2018届四川省雅安市高中第三次诊断性考试数学(理科)试题(解析版)

四川省雅安市2018届高三数学下学期三诊试题 理一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若复数z 满足(34)1z i ⋅-=，则z 的虚数是（ ） A ．425-B ．425i -C ．425D ．425i 2.已知集合{}12A x x =-<<，{B x y ==，则A B =（ ）A ．{}10x x -<< B ．{}10x x -<≤ C ．{}02x x << D ．{}02x x ≤< 3.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=（弦×矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，半径等于4米的弧田.按照上述方法计算出弧田的面积约为（ ）A ．6平方米B ．9平方米C ．12平方米D ．15平方米4.若实数x ，y 满足360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．155.已知1)nx展开式的各个二项式系数的和为128，则1(2)n x的展开式中2x 的系数（ ）A ．448B ．560C ．7D ．356.某几何体的三视图如图所示，其中，正视图、俯视图都是矩形，侧视图是直角三角形，则该几何体的体积等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 7.已知函数3()7sin f x x x x =--+，若2()(2)0f a f a +->，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．(,3)-∞C ．(1,2)-D ．(2,1)- 8.执行如图的程序框图，如果输入8p =，则输出的S =（ ）A ．6364 B ．12764 C ．127128 D ．2551289.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 作直线交双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，若B 为线段FA 的中点，且OB FA ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 D10.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，2AB =，AC =60ABC ∠=，且棱锥O ABC -，则球O 的表面积为（ ） A ．10π B ．24π C ．36π D ．48π11.已知函数2()22xxf x xe kx e kx =--+只有一个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．(,]e -∞ B ．[0,]e C ．(,)e -∞ D ．[0,)e12.在直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，//DC AB ，1AD DC ==，2AB =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动（如图所示）.若AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是（ ）A ．[B ．[C ．11[,]22-D ．[ 二、填空题（本大题每题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.函数())3f x x π=+的图象在区间(0,)2π上的对称轴方程为 ．14.已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，满足：100010182a a π+=，620122b b =，则2201632015tan1a a b b +=+ ．15.某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如表所示.若根据表中数据得出的线性回归方程为0.70.35y x =+，则表中空格处y 的值为 ．16.已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是 ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数()272cos sin 216f x x x π⎛⎫=+--⎪⎝⎭()x R ∈. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()12f A =，若2b c a+=，且6AB AC ⋅=，求a 的值.18.某校初一年级全年级共有500名学生，为了拓展学生的知识面，在放寒假时要求学生在假期期间进行广泛的阅读，开学后老师对全年级学生的阅读量进行了问卷调查，得到了如图所示的频率分布直方图（部分已被损毁），统计人员记得根据频率直方图计算出学生的平均阅读量为8.3万字.根据阅读量分组按分层抽样的方法从全年级500人中抽出20人来作进一步调查.（1）从抽出的20人中选出2人来担任正副组长，求这两个组长中至少有一人的阅读量少于7万字的概率；（2）为进一步了解广泛阅读对今后学习的影响，现从抽出的20人中挑选出阅读量低于5万字和高于11万字的同学，再从中随机选出3人来长期跟踪调查，求这3人中来自阅读量为11万到13万字的人数的概率分布列和期望值.19.如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，M 为SD 的中点，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，且222CD AB AD ===.（1）求证：//AM 平面SBC ，平面SBC ⊥平面SDB ；（2）若SB 与平面SDC A SB C --的余弦值.20.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>过点.（1）求椭圆E 的方程；（2）过(1,0)-的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，判断点9(,0)4G -与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由. 21.已知函数()1axf x e ax =--.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设m 为整数，且对于任意正整数(2)n n ≥.若2(1)(!)n n n m -<恒成立，求m 的最小值.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为(2,0)X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为：1x ty t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）.（1）求圆C 和直线l 的极坐标方程； （2）点P 的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与圆C 相交于A ，B ，求PA PB +的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()22f x x a x =++-（其中a R ∈）. （1）当1a =-时，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式2()32f x a x ≥--恒成立，求a 的取值范围.雅安市高中2015级第三次诊断性考试数学试题(理科)参考答案一、选择题1-5: CBBCA 6-10: BDCDA 11、12：DA 二、填空题13. 12x π=14. 4.5 16. 3 三、解答题 17. 解答：2711()sin(2)2sin 1cos 22cos 2cos 2262222f x x x x x x x x π=--+=-++=+sin(2)6x π=+.（Ⅰ）最小正周期：22T ππ==， 由222()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈可解得：()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为：[,]()36k k k Z ππππ-+∈; （Ⅱ）由1()sin(2)62f A A π=+=可得：5222()666A k k k Z πππππ+=++∈或而()0,A π∈所以3A π=，又因为2a b c =+， 而1cos 6,122AB AC bc A bc bc ⋅===∴=， 222221()4cos 11122248b c a a a a A bc +--∴==-=-=-，a ∴=18. 解答：(1)设阅读量为5万到7万的小矩形的面积为x ，阅读量为7万到9万的小矩形的面积为y则： 40.168100.25120.158.30.10.250.151x y x y ⨯+++⨯+⨯=⎧⎨++++=⎩，可得0.2,0.3x y ∴==，∴按分层抽样的方法在各段抽得的人数依次为：2人，4人，6人，5人，3人.112226142622220299190C C A C A P C A +∴==或2214222202991190C A P C A =-=或11226142622099190C C A A P A +∴==或214220991190A P A =-=， ∴从抽出的20人中选出2人来担任正副组长，这两个组长中至少有一人的阅读量少于7万字的概率为99190. (2) 设3人中来自阅读量为11万到13万的人数为随机变量ξ 由题意知随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，31221332323333555361(1),(2),(3)101010C C C C C P P P C C C ξξξ∴=========故ξ的分布列为123 1.8101010E ξ∴=⨯+⨯+⨯=， ∴这3人来自阅读量为11万到13万的人数的期望值为1.8.19．（1）证明：设SC 中点是E ，连接,BE ME 则12ME //DC ， 12AB//DC ， ABEM 为平行四边形，//AM EB ，EB ⊂平面SBC ，AM ⊄平面SBC ，//AM ∴平面SBC ，ABCD 为直角梯形，AD AB ⊥，CD AB //，且222===AD AB CD ，DB BC ∴==DB BC ∴⊥，⊥SD底面ABCD，SD BC∴⊥，SD DB D=，BC∴⊥底面SBD，BC⊂底面SBC，∴平面SBC⊥平面SDB.（2）SB与平面SDC所成角的正弦值为1SD∴=，建立如图所示的空间直角坐标系(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0) S∴∴平面SAB的法向量1(1,0,1)n=，平面SBC的法向量2(1,1,2)n=，223cos,n n∴<>=.∴二面角CSBA--的余弦值为-20.解答：（1）椭圆E ：22221(a 0)x y b a b +=>>过点，且离心率为2∴222b c e a a b c ⎧=⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩， 即2224,2a b c ===，∴椭圆E 的方程22142x y +=.(Ⅱ)当l 的斜率为0时，显然G 9(4-,0)与以线段AB 为直径的圆的外面，当l 的斜率不为0时，设l 的方程为：1x my =-，点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x ．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)230m y my +--=，所以12122223y +y =,y y =m 2m 2m ++， 从而022y m 2=+.所以222222200000095525()y (my )y (m +1)y +my +44216GH x =++=++=.22222121212()(y )(m +1)(y )|AB|444x x y y -+--== 22221212012(m +1)[(y )4y ](m +1)(y y )4y y y +-==-，故222222012222|AB|52553(m +1)25172|GH|my (m +1)y 042162(m 2)m 21616(m 2)m m y +-=++=-+=>+++， 所以|AB||GH|>2，故G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外． 解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)当l 的斜率为0时，显然G 9(4-,0)与以线段AB 为直径的圆的外面， 当l 的斜率不为0时，设l 的方程为：1x my =-，设点1122(,),(,)A x y B x y ，则112299(,),G (,)44GA x y B x y =+=+，由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)230m y my +--=，12122223y +y =,y y =m 2m 2m ∴++. 1212121222121229999G ()()=(m )(m )4444525172(m 1)()041616(m 2)GA B x x y y y y y y m y y y y ∴∙=+++++++=++++=>+ 0cos ,G GA B >>∴<，又,G GA B 不共线，所以AGB ∠为锐角，故点G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外． 21．解：（1）=a-a=a(，当a>0时，令>0，解得x>0f （x ）在(0，)上单调递增，当a=0时，显然无单调区间， 当a<0时，令>0，解得x>0f （x ）在(0，)上单调递增， 综上：当a=0时，无单调区间，a时，减区间为，增区间为(0，) .（2）令a=1，由（1）可知f （x ）的最小值为f(0)=0，f （x ），(当0x =时取得“=”)，令x=n-1， 1n en ->>，所以0121n e e e e -⨯⨯⋅⋅⋅⨯>123n ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯， 所以(n 1)2!n e n ->，两边进行2(1)n n -次方得2(1)(!)n n n e -<， 所以m 的最小值为3. 选考题：22、解：圆的直角坐标方程为，代入圆得：， 化简得圆的极坐标方程：，由:1x tl yt =-⎧⎨=+⎩得，l ∴的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=即1)4ρπθ=+.（2）由(1,)2P π得点P 的直角坐标为(1,0)P ， 直线的参数的标准方程可写成1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 代入圆得：22(2)(1)222--++=， 化简得：，，.23解:解：（1）当1a =-时，函数()212f x x x =-+-， 则不等式为2126x x -+-≥，① 2x ≥时，原不等式为2126x x -+-≥，解得：3x ≥； ②当122x ≤<时，原不等式为2126x x -+-≥，解得：5x ≥.此时不等式无解；③当12x <时，原不等式为1226x x -+-≥，解得：1x ≤-， 原不等式的解集为{|13}x x x ≤-≥或.方法二：当1a =-时，函数()212f x x x =-+-33,211,22133,x 2x x x x x ⎧⎪-≥⎪⎪=+≤<⎨⎪⎪-+<⎪⎩，画出函数()f x 的图象，如图：结合图象可得原不等式的解集为{|13}x x x ≤-≥或.（2）不等式2()32f x a x ≥--即为22x a x ++-232a x ≥--，即关于x 的不等式22223x a x a ++-≥恒成立. 而222x a x ++-224x a x =++-(2)(24)x a x ≥+--4a =+， 所以243a a +≥，解得243a a +≥或243a a +≤-， 解得413a -≤≤或a φ∈.所以a 的取值范围是4[1,]3-.。

雅安市高中级第三次诊断性考试数学试题（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}0,1,2,3,4U =----，集合{}0,1,2M =--，{}0,3,4N =--，那么()U C M N 为（ ）A ．{}0B ．{}3,4--C ．{}1,2--D ．∅ 2．复数3i2iz -+=+的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i - C ．1i -+ D ．1i --3．若()y f x =是定义域在R 上的函数，则()y f x =为奇函数的一个充要条件为（ ） A ．()00f = B ．对x R ∀∈，()0f x =都成立 C ．0x R ∃∈，使得()()000f x f x +-= D ．对x R ∀∈，()()0f x f x +-=都成立 4．cos xdx π⎰（ ）A ．1B ．2-C ．0D ．π5．阅读程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为（ ）A ．4i ≤B ．5i ≤C ．6i ≤D ．7i ≤ 6．将函数()sin 43f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位后关于直线12x π=对称，则ϕ的最小值为（ ） A ．6π B ．524π C ．4π D ．724π 7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3πB ．103π C ．6π D ．83π8．对一切实数x ，不等式210x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞- B ．[)2,-+∞ C ．[]2,2- D ．[)0,+∞9．半径为2的球内有一底面边长为2的内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），则球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是（ ）A．(16π B．(16π C．(82π- D．(82π 10．若ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin 23sin b A a B =，且2c b =，则ab等于（ ） A ．32 B ．43CD11．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且当PA 与抛物线相切时，点P 恰好在以A 、B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） ABC1 D1- 12．已知函数()ln f x x =，()2042g x x ⎧⎪=⎨--⎪⎩()()011x x <≤>则方程()()1f x g x +=实根的个数为（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．变量x ，y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数3z x y =+的最小值 ．14．展开式5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的常数项为 ．15．设a ，b ，{}1,2,3,4,5,6c ∈，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三角形有 个．16．直线0ax by c ++=与圆O ：2216x y +=相交于两点M 、N .若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=- （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S . 18．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.（1）根据已知条件完成上面的22⨯列联表，若按95%的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 分布列，期望()E X 和方差()D X .附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，24BC AD ==，AB CD ==（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）若二面角A PC D --的大小为60︒，求AP 的值.20．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的短轴长为2，离心率为2，直线l ：y kx m=+与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线通过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）当AOB （O 为坐标原点）面积取最大值时，求直线l 的方程. 21．已知函数()21ln 2f x x ax =-（a R ∈）. （1）若()f x 在点()()2,2f 处的切线与直线220x y ++=垂直，求实数a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）讨论函数()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上零点的个数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的倾斜角；（2）设点()0,2P ，直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB +. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x =+（1）求不等式()211f x x <+-的解集M ； （2）设a ，b M ∈，证明：()()()f ab f a f b >--.雅安市高中2014级第三次诊断性考试 数学试题（理科）参考答案及评分意见一、选择题1-5:BDDCA 6-10:BABBC 11、12：CB二、填空题13．4 14．40 15．27个 16．[]6,10-三、解答题17．解：（1）设等差数列{}n a 的公差是d ．由已知()()382726a a a a d +-+==- 3d ∴=-2712723a a a d ∴+=+=-m ，得 11a =-， ∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+（2）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列，1n n n a b q -∴+=，1n n n b q a -∴=-=132n n q --+，()14732n S n ∴=++++-⎡⎤⎣⎦()211n q q q -+++++∴当1q =时，()312n n n S n -=+232n n +=当1q ≠时，()312n n n S -=+11nq q -- 18.解 (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而22⨯列联表如下：将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++1003.03033=≈.因为3.030 3.841<，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14. 由题意13,4X⎛⎫⎪⎝⎭，从而X 的分布列为[来源:学&科&网]()13344E X np ==⨯=， ()()1D X np p =-13934416=⨯⨯=.19．（1）证明：设O 为AC 与BD 的交点，作DE BC ⊥于点E ． 由四边形ABCD 是等腰梯形得12BC ADCE -==，3DE ==， 所以BE DE =，从而得45DBC BCA ∠=∠=︒，所以90BOC ∠=︒，即AC BD ⊥． 由PA ⊥平面ABCD 得PA BD ⊥，因为ACPA A =，所以BD⊥平面PAC ．（2）解：作OH PC ⊥于点H ，连接DH ． 由（1）知DO ⊥平面PAC ，故DO PC ⊥．所以PC ⊥平面DOH ，从而得PC OH⊥，PC DH⊥． 故DHO ∠是二面角A PC D --的平面角，所以60DHO∠=︒． 在Rt DOH中，由DO =，得3OH =．在Rt PAC 中，PA OH PC OC =． 设PA x =6=11x =，即11AP =． 20.解：（1）由已知可得222,222,c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得22a =，21b =，故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得()22124kxkmx ++2220m +-=．当()228210k m =-+>，即2221k m >-时，122412km x x k -+=+，21222212m x x k -⋅=+．所以1222212x x km k +-=+，122212y y m k+=+． 当0k =时，线段AB 的垂直平分线显然过点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭12AOBSAB m =⋅=12m ⋅⋅=因为()1,0m ∈-()0,1,所以()20,1m ∈AOBS≤=，当212m =时，取到等号.则l :2y =±当0k ≠时，因为线段AB 的垂直平分线过点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以121212202y y x x +⎛⎫-- ⎪⎝⎭+-1k=-，化简整理得2212k m +=． 由222212,21,k m k m ⎧+=⎪⎨+>⎪⎩得02m <<． 又原点O 到直线AB的距离为d =．12AB x =-=所以12AOBSAB d =⋅=而2212k m +=且02m <<，则AOBS =02m <<.所以当1m =，即212k =时，AOB S 取得最大值．综上AOB S的最大值为2，此时直线l : 12y x =+或12y x =-+或2y =±21．解：（1）由题可知()f x 的定义域为()0,+∞，因为()21ln 2f x x ax =-，所以()1f x ax x '=-=21ax x-又因为直线220x y ++=的斜率为2-，()14212a-∴-⨯=-，解得0a = （2）由（1）知：()1f x ax x '=-=21ax x-，当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增； 当0a >时，由()0f x '>得1x a<，由()0f x '<得1x a >，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减.综上所述：当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减.（3）由（2）可知，当0a <时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，而()1102f a =->，故()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上没有零点；当0a =时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，而()1102f a =-=，故()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点； 当0a >时，1≤，即1a ≥时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，()1102f a =-<，()f x ∴在21,e ⎡⎤⎣⎦上没有零点；②若21e <≤，即411a e <<时，()f x在⎡⎢⎣上单调递增，在2e ⎤⎥⎦上单调递减，而()1102f a =-<，11ln 22f a =--，()24122f e ae =-， 若11ln 2f a a ⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭102<，即1a e >时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上没有零点； 若1ln 2f a =--102=，即1a e =时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点； 若1ln 2f a =--102>，即1a e <时，由()241202f e ae =->得44a e <，此时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点；由()241202f eae =-≤得44a e≥，此时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有两个零点； ③若2e ≥，即410a e <≤时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，()1102f a =-<，()241202f e ae =->，()f x ∴在21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点. 综上所述：当440a e ≤<或1a e =时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点；当0a <或1a e>时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上没有零点；当441a e e≤<时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有两个零点. 选考题：22、解: (1)由3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α，得()f x ，即曲线C 的普通方程为2219x y +=由sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-=，(*) 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入(*)，化简得2y x =+， 所以直线l 的倾斜角为4π (2)由(1)知，点()0,2P 在直线l 上，可设直线l 的参数方程为cos 42sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)， 即2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，代入2219x y +=并化简，得25270t ++=，(245∆=-⨯271080⨯=>，[来源:学|科|网]设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则1205t t +=-<，122705t t ⋅=>，10t ∴<，20t < 所以PA PB +=12t t +=()125t t -+=23解:(1)(ⅰ)当1x ≤-时，原不等式可化为122x x --≤--，解得1x <-(ⅱ)当112x -<<-时，原不等式可化为122x x +<--，解得1x <-，此时原不等式无解； (ⅲ)当12x ≥-时，原不等式可化为12x x +<，解得1x > 综上，{1M x x =<-或}1x >.(2)证明：因为()()f a f b --=11a b +--+≤()11a b a b +--+=+，所以，要证()()()f ab f a f b >--，只需证1ab a b +>+， 即证221ab a b +>+，即证2221a b ab ++>222a ab b ++，即证222210a b a b --+>，即证()()22110a b -->.因为a ，b M ∈，所以21a >，21b >，所以()()22110a b -->成立，所以原不等式成立.。

【试卷整体分析】考试范围：高考范围试题难度：一般【题型考点分析】四川雅安市2018届高三第三次诊断考试理综化学试题第I卷（选择题）1．生活中处处有化学，下列说法正确的是A．烟尘在空气中形成胶体且胶体具有电泳现象，故水泥厂常用高压静电除尘B．豆浆煮沸后，蛋白质变成了氨基酸C．油脂在酸性条件下可水解为高级脂肪酸盐和甘油D．NO、CO、H2S是环境污染物，对人体没有任何好处【答案】A【解析】A、烟尘在空气中形成胶体，由于胶体能吸附带电的微粒，在通电的情况下具有电泳现象，因此水泥厂常用高压静电除尘，防止污染空气，故A正确；B、豆浆煮沸，使蛋白质变性，不属于水解，故B 错误；C、油脂在酸性条件下水解成高级脂肪酸和甘油，故C错误；D、NO、CO、H2S虽然是环境污染物，但微量的对人体是有益的，如NO被称为“明星分子”，故D错误。

2．设N A为阿伏加德罗常数的值。

下列说法正确的是A．1 L 1 mol·L－1的NaClO溶液中含有ClO－的数目为N AB．常温常压下，14 g由N2和CO组成的混合气体含有的电子总数为7N AC．78 g苯含有C=C键的数目为3N AD．1 mol FeI2与足量氯气反应时转移的电子数为2N A【答案】B【解析】A、ClO－发生水解，因此1L1mol·L－1的NaClO溶液中ClO－的物质的量小于1mol，故A错误；B、N2、CO摩尔质量为28g·mol－1，且1mol含有电子物质的量都是14mol，因此14g此混合物中含有电子物质的量为14×14/28mol=7mol，故B正确；C、苯中不含碳碳双键，苯中碳碳键是介于双键和单键之间的特殊的键，故C错误；D、Cl2能与Fe2＋、I－发生反应，因此转移电子物质的量为(1×1＋1×2×1)mol=3mol，故D错误。

3．脱落酸是一种抑制生长的植物激素，因能促使叶子脱落而得名，其结构简式如下图所示，则有关脱落酸的说法中正确的是A．脱落酸的分子式为C15H18O4B．脱落酸只能和醇类发生酯化反应C．1 mol 脱落酸最多可以和2 mol 金属钠发生反应D．1 mol脱落酸最多可以和2 mol 氢气发生加成反应【答案】C【解析】A、根据有机物的结构简式，脱落酸的分子式为C15H20O4，故A错误；B、脱落酸中含有羧基羟基、羰基、碳碳双键，脱落酸能与羧酸、醇发生酯化反应，故B错误；C、能与金属钠反应的官能团是羟基和羧基，1mol脱落酸中含有1mol羟基和1mol羧基，因此1mol脱落酸最多可以和2mol金属钠发生反应，故C正确；D、1mol脱落酸中含有3mol碳碳双键和1mol羰基，即1mol脱落酸中最多可以和4molH2发生加成反应，故D错误。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015年四川省雅安市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={x|x2﹣x=0}，N={﹣1，0}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，1} C．{0} D．φ【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：根据集合的基本运算进行求解即可．【解析】：解：M={x|x2﹣x=0}={0，1}，N={﹣1，0}，则M∩N={0}，故选：C【点评】：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）已知向量=（1，2），=（x，﹣4），若∥，则x=（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2【考点】：平行向量与共线向量．【专题】：平面向量及应用．【分析】：利用向量共线定理即可得出．【解析】：解：∵∥，∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2．故选：D．【点评】：本题考查了向量共线定理，属于基础题．3．（5分）设a，b∈R，则“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．【解析】：解：若a≥1且b≥1则a+b≥2成立，当a=0，b=3时，满足a+b≥2，但a≥1且b≥1不成立，即“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的充分不必要条件，故选：A【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件，比较基础．4．（5分）设α为锐角，若cos=，则sin的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】：二倍角的正弦；三角函数的化简求值．【专题】：三角函数的求值．【分析】：利用同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．【解析】：解：∵α为锐角，cos=，∴∈，∴==．则sin===．故选：B．【点评】：本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）（2013•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1 B．2 C． 4 D．7【考点】：程序框图．【专题】：算法和程序框图．【分析】：由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解析】：解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，退出循环，输出S=4；故选C．【点评】：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．6．（5分）（2011•陕西）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．8﹣2π D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题．【分析】：三视图复原的几何体是正方体，除去一个倒放的圆锥，根据三视图的数据，求出几何体的体积．【解析】：解：三视图复原的几何体是棱长为：2的正方体，除去一个倒放的圆锥，圆锥的高为：2，底面半径为：1；所以几何体的体积是：8﹣=故选A．【点评】：本题是基础题，考查三视图复原几何体的判定，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．7．（5分）已知直线l：x﹣ky﹣5=0与圆O：x2+y2=10交于A，B两点且=0，则k=（）A．2 B．±2 C．±D．【考点】：平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【专题】：平面向量及应用．【分析】：由题意可得弦长AB对的圆心角等于90°，故弦心距等于半径的倍，再利用点到直线的距离公式求得k的值．【解析】：解：由题意可得弦长AB对的圆心角等于90°，故弦心距等于半径的倍，等于=，故有=，求得k=±2，故选：B．【点评】：本题主要考查直线和圆相交的性质，弦长公式、点到直线的距离公式的应用，属于基础题．8．（5分）若实数a，b满足a2+b2≤1，则关于x的方程x2﹣2x+a+b=0有实数根的概率是（）A．B．C．D．【考点】：几何概型．【专题】：概率与统计．【分析】：易得总的基本事件包含的区域为单位圆，面积S=π，由根的存在性可得满足条件的区域为阴影部分，可求面积S′，由概率公式可得．【解析】：解：∵实数a，b满足a2+b2≤1，∴点（a，b）在单位圆内，圆面积S=π，∵关于x的方程x2﹣2x+a+b=0有实数根，∴△=（﹣2）2﹣4（a+b）≥0，即a+b≤1，表示图中阴影部分，其面积S′=π﹣（π﹣）=+故所求概率P==故选：A．【点评】：本题考查几何概型，涉及一元二次方程根的存在性和不等式与平面区域，属中档题．9．（5分）过抛物线x2=4y的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，分别过A，B作抛物线的切线l1，l2，则l1与l2的交点P的轨迹方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．y=x﹣1 D．y=﹣x﹣1【考点】：轨迹方程．【专题】：导数的综合应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，由斜截式写出过焦点的直线方程，和抛物线方程联立求出A，B两点横坐标的积，再利用导数写出过A，B两点的切线方程，然后整体运算可求得两切线的交点的纵坐标为定值﹣1，从而得到两切线焦点的轨迹方程．【解析】：解：由抛物线x2=4y得其焦点坐标为F（0，1）．设A（），B（），直线l：y=kx+1，联立，得：x2﹣4kx﹣4=0．∴x1x2=﹣4…①．又抛物线方程为：，求导得，∴抛物线过点A的切线的斜率为，切线方程为…②抛物线过点B的切线的斜率为，切线方程为…③由①②③得：y=﹣1．∴l1与l2的交点P的轨迹方程是y=﹣1．故选：A．【点评】：本题考查了轨迹方程，训练了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了整体运算思想方法，是中档题．10．（5分）对于定义在正整数集且在正整数集上取值的函数f（x）满足f（1）≠1，且对∀n∈N*，有f（n）+f（n+1）+f（f（n））=3n+1，则f（2015）=（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017【考点】：抽象函数及其应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：由于f（1）≠1，则f（1）=2，或f（1）≥3，若f（1）≥3，则令n=1，即有f（1）+f（2）+f（f（1））=4，即为f（2）+f（f（1））≤1这与f（x）≥1矛盾．故有f（1）=2，分别令n=1，2，3，4，…，求得几个特殊的函数值，归纳得到当n为奇数时，f（n）=n+1，当n为偶数时，f（n）=n﹣1．检验成立，即可得到f（2015）．【解析】：解：由于f（1）≠1，则f（1）=2，或f（1）≥3，若f（1）≥3，则令n=1，即有f（1）+f（2）+f（f（1））=4，即为f（2）+f（f（1））≤1这与f（x）≥1矛盾．故有f（1）=2，由f（1）+f（2）+f（f（1））=4，即2+f（2）+f（2）=4，解得f（2）=1，再由f（2）+f（3）+f（f（2））=7，解得f（3）=4，再由f（3）+f（4）+f（f（3））=10，解得f（4）=3，再由f（4）+f（5）+f（f（4））=13，解得f（5）=6，再由f（5）+f（6）+f（f（5））=16，解得f（6）=5，…归纳可得，当n为奇数时，f（n）=n+1，当n为偶数时，f（n）=n﹣1．经检验，当n为奇数时，f（n）+f（n+1）+f（f（n））=n+1+n+f（n+1）=2n+1+n=3n+1成立；同样n为偶数时，仍然成立．则f（2015）=2016．故选：C．【点评】：本题考查抽象函数的运用，主要考查赋值法的运用，通过几个特殊，计算得到结果再推出一般结论，再验证，是解本题的常用方法．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）已知（1+2i）z=3﹣i（i为虚数单位），则复数z=．【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：直接由复数代数形式的除法运算化简求值即可得答案．【解析】：解：由（1+2i）z=3﹣i，得．故答案为：．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．12．（5分）在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为﹣1．【考点】：二项式系数的性质．【专题】：概率与统计．【分析】：所有二项式系数的和是32，可得2n=32，解得n=5．在中，令x=1，可得展开式中各项系数的和．【解析】：解：∵所有二项式系数的和是32，∴2n=32，解得n=5．在中，令x=1，可得展开式中各项系数的和=（﹣1）5=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】：本题考查了二项式定理及其性质，考查了计算能力，属于基础题．13．（5分）若函数f（x）=（a+2）x2+2ax+1有零点，但不能用二分法求其零点，则a的值2或﹣1．【考点】：二次函数的性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：利用二次函数的性质以及函数的零点判定定理推出结果即可．【解析】：解：函数f（x）=（a+2）x2+2ax+1有零点，说明函数是二次函数，函数的图象与x轴有一个交点，即△=4a2﹣4（a+2）=0解得a=2或﹣1故答案为：2或﹣1．【点评】：本题考查二次函数的性质，函数的零点判定定理的应用，考查计算能力．14．（5分）曲线y=2sin（x+）cos（x﹣）和直线y=在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于π．【考点】：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数；三角函数的周期性及其求法．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：本题考查的知识点是诱导公式，二倍角公式及函数图象的交点，将y=2sin（x+）cos（x﹣）的解析式化简得y=sin（2x）+1，令y=，解得x=kπ+±（k∈N），代入易得|P2P4|的值．【解析】：解：∵y=2sin（x+）cos（x﹣）=2sin（x﹣+）cos（x﹣）=2cos（x﹣）cos（x﹣）=cos[2（x﹣）]+1=cos（2x﹣）+1=sin（2x）+1若y=2sin（x+）cos（x﹣）=则2x=2kπ+±（k∈N）x=kπ+±（k∈N）故|P2P4|=π故答案为：π【点评】：求两个函数图象的交点间的距离，关于是要求出交点的坐标，然后根据两点间的距离求法进行求解．15．（5分）以下命题，错误的是①②③（写出全部错误命题）①若f（x）=x3+（a﹣1）x2+3x+1没有极值点，则﹣2＜a＜4②f（x）=在区间（﹣3，+∞）上单调，则m≥③若函数f（x）=﹣m有两个零点，则m＜④已知f（x）=log a x（0＜a＜1），k，m，n∈R+且不全等，．【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：导数的综合应用；简易逻辑．【分析】：①若f（x）没有极值点，则f′（x）=3x2+2（a﹣1）x+3≥0恒成立，可得△≤0，解出即可判断出正误；②f（x）在区间（﹣3，+∞）上单调，f′（x）=≥0或f′（x）≤0恒成立，且m=时舍去，解出即可判断出正误；③f′（x）=，利用单调性可得：当x=e时，函数f（x）取得最大值，f（e）=．且x→0，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→﹣m．若函数f（x）有两个零点，则，解得即可判断出正误；④由于f（x）=log a x（0＜a＜1），可得函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．k，m，n∈R+且不全等，kd ，，，等号不全相等，即可判断出正误．【解析】：解：①若f（x）=x3+（a﹣1）x2+3x+1没有极值点，则f′（x）=3x2+2（a﹣1）x+3≥0恒成立，∴△=4（a﹣1）2﹣36≤0，解得﹣2≤a≤4，因此①不正确；②f（x）=在区间（﹣3，+∞）上单调，f′（x）=≥0或f′（x）≤0恒成立，且m=时舍去，因此m∈R且m≠，因此②不正确；③f′（x）=，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，∴当x=e时，函数f（x）取得最大值，f （e）=．且x→0，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→﹣m．若函数f（x）=﹣m有两个零点，则，解得，因此③不正确．④∵f（x）=log a x（0＜a＜1），∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．∵k，m，n∈R+且不全等，则，，，等号不全相等，，因此正确．综上可得：错误的是①②③．故答案为：①②③．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：（本大题共6个小题，75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（12分）已知向量，，函数（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=1，c=1，，且a＞b，求a，b的值．【考点】：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；余弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：（Ⅰ）由题意结合数量积的定义可得f（x）的解析式，由整天法可求单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）和条件可得（2C+）=1，进而可得，结合余弦定理和结合可解答案．【解析】：解：（Ⅰ）由题意可得：===（3分）由，得．（5分）所以f（x）的单调增区间是．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）和条件可得（2C+）=1∵C是三角形内角，∴，即，（7分）∴cosC==，即a2+b2=7．（9分）将代入可得，解之得：a2=3或4，∴a=或2，∴b=2或，（11分）∵a＞b，∴a=2，b=．（12分）【点评】：本题为三角函数和解三角形的综合应用，涉及余弦定理，属中档题．17．（12分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）【考点】：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】：概率与统计．【分析】：（I）由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出x值．（II）再求出小矩形的面积即上学所需时间不少于1小时组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数即可．（Ⅲ）求出随机变量X可取得值，利用古典概型概率公式求出随机变量取各值时的概率，列出分布列，利用随机变量的期望公式求出期望．【解析】：解：（Ⅰ）由直方图可得：20×x+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20=1．所以x=0.0125．（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003×2×20=0.12，因为600×0.12=72，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿．（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，4．由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为，，，，，．所以X的分布列为：．（或）所以X的数学期望为1．【点评】：本题考查频率分布直方图，考查离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望等，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，考查了识图的能力．18．（12分）如图1在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D、E分别为线段AB、AC的中点，AB=4，BC=，以D为折痕，将Rt△ADE折起到图2的位置，使平面A′DE⊥平面DBCE，连接A′C′，A′B′，设F是线段A′C上的动点，满足=（1）证明：平面FBE⊥平面A′DC；（2）若二面角F﹣BE﹣C的大小为45°，求λ的值．【考点】：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（1）由已知得A′D⊥DE，A′D⊥平面DBCE，从而A′D⊥BE，由1﹣tan∠BED•tan ∠CDE=0，得BE⊥DC，由此能证明平面FEB⊥平面A′DC．（2）作FG⊥DC，垂足为G，设BE交DC于O点，连OF，则∠FOG为二面角F﹣BE﹣C 的平面角，由FG∥A′D，得FG=λA′D=2λ，同理，得C′G=λCD，DG=（1﹣λ）CD=2（1﹣λ），从而OG=DG﹣DO=2（1﹣λ）﹣，由此结合已知条件能求出．【解析】：解：（1）证明：∵平面A′DE⊥平面DBCE，A′D⊥DE，∴A′D⊥平面DBCE，∴A′D⊥BE，∵D，E分别是线段AB、AC的中点，∴DE==，BD=，…（2分）在直角三角形DEB中，∵tan=，tan，1﹣tan∠BED•tan∠CDE=0，∴∠BED+∠CDE=90°，得BE⊥DC，∴BE⊥平面A′DC，又BE⊂平面FEB，∴平面FEB⊥平面A′DC．…（6分）（2）解：作FG⊥DC，垂足为G，则FG⊥平面DBCE，设BE交DC于O点，连OF，由（1）知，∠FOG为二面角F﹣BE﹣C的平面角，…（7分）由FG∥A′D，则=λ，∴FG=λA′D=2λ，同理，得C′G=λCD，DG=（1﹣λ）CD=2（1﹣λ），∵DO==，∴OG=DG﹣DO=2（1﹣λ）﹣，在Rt△OGF中，由tan∠FOG===1，…（10分）得．…（12分）【点评】：本题考查面面垂直的证明，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（12分）已知数列{a n}的前项n和为S n，点（n，S n）（n∈N*）均在函数f（x）=3x2﹣2x 的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=是数列{b n}的前n项和，求使得2T n≤λ﹣2015对所有n∈N*都成立的实数λ的范围．【考点】：数列的求和；数列与函数的综合．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）利用点（n，S）在函数f（x）=3x2﹣2x的图象上，得到，求出首项，判断数列是等差数列，然后求解通项公式．（2另一类消费求出数列的和，然后结合不等式求出λ≥2016即可．【解析】：解：（1）∵点（n，S）在函数f（x）=3x2﹣2x的图象上，∴当n=1时，a1=S1=3﹣2=1…（2分）当n≥2时，=6n﹣5…（5分）当n=1时，6n﹣1=1符合∴…（6分）（2）∵，∴=…（10分）∴2T n＜1又∵2T n≤λ﹣2015对所有n∈N*都成立∴1≤λ﹣2015故λ≥2016…（12分）【点评】：本题考查等差数列的判定，数列求和的方法，数列与函数相结合，以及不等式的应用，考查计算能力．20．（13分）已知椭圆+=1，（a＞b＞0）的离心率e=，直线y=x与椭圆交于A，B两点，C为椭圆的右顶点，（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上存在两点E，F使，λ∈（0，2），求△OEF面积的最大值．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）设A（t，t）且t＞0，通过，以及椭圆的离心率，A在椭圆上，列出方程求出椭圆的几何量，然后求解椭圆方程．（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），EF中点为M（x0，y0），利用，得到方程组，利用E，F在椭圆上，代入椭圆方程，利用平方差法求出EF的斜率，得到直线EF的方程代入椭圆方程，利用韦达定理求出|EF|，求出三角形的高，表示出三角形的面积，利用基本不等式求出最值．【解析】：解：（1）根据题意，不妨设A（t，t）且t＞0，，，∴…①（1分），…②（2分），…③，a2﹣b2=c2…④，联立①②③④解得：a2=3，b2=1∴椭圆的方程为：…（6分）（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），EF中点为M（x0，y0），∵，∴…（7分）∵E，F在椭圆上，则，相减可得，，∴直线EF的方程为：，即，代入，整理得：，∴，…（9分），===，∵原点O（0，0）到直线EF的距离为，…（11分）=，…（12分）=，当时等号成立，所以△OEF得最大值为．…（13分）【点评】：本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的简单性质的综合应用，基本不等式以及斜率与圆锥曲线相结合，考查分析问题解决问题的能力．21．（14分）已知f（x）=mx﹣alnx﹣m，g（x）=，其中m，a均为实数，（1）求g（x）的极值；（2）设m=1，a=0，求证对|恒成立；（3）设a=2，若对∀给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在t1，t2（t1≠t2）使得f（t1）=f（t2）=g（x0）成立，求m的取值范围．【考点】：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）求出函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，然后求解极值．（2）通过m=1，a=0，化简f（x）=x﹣1，利用函数的单调性，转化原不等式转化，构造函数，利用新函数的导数的单调性，证不等式成立．（3）由（1）得g（x）的最大值，求出函数f（x）的导数，判断m≤0，不满足题意；当m ＞0时，要∃t1，t2使得f（t1）=f（t2），f（x）的极值点必在区间（0，e）内，求出m的范围，当，利用g（x）在（0，e）上的值域包含于f（x）在上的值域，推出关系式，通过构造函数w（x）=2e x﹣x，通过导数求解函数的最值，然后推出．【解析】：解：（1）∵，∴，∴（﹣∞，1）↑，（1，+∞）↓，∴g（x）极大值g（1）=1，无极小值；…（4分）（2）∵m=1，a=0，∴f（x）=x﹣1，在[3，4]上是增函数∴，在[3，4]上是增函数设3≤x1＜x2≤4，则原不等式转化为即…（6分）令，即证∀x1＜x2，h（x2）＜h（x1），即h（x）在[3，4]↓∵h′（x）=1﹣e x＜0在[3，4]恒成立即h（x）在[3，4]↓，即所证不等式成立．…（9分）（3）由（1）得g（x）在（0，1）↑（1，e）↓，g（x）max=g（1）=1所以，g（x）∈（0，1]又不符合题意当m＞0时，要∃t1，t2使得f（t1）=f（t2），那么由题意知f（x）的极值点必在区间（0，e）内，即得，且函数f（x）在由题意得g（x）在（0，e）上的值域包含于f（x）在上的值域，∴内，，下面证时，f（t）≥1，取t=e﹣m，先证．令w（x）=2e x﹣x，∴内恒成立，∴w（x）↑，∴，∴2e m﹣m＞0，再证f（e﹣m）≥1，∵，∴．…（14分）【点评】：本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的单调性的判断与应用，新函数以及构造法的应用，考查综合分析问题解决问题的能力．。

雅安市2009年高三第三次诊断性考试理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至8页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k k n kn n P k C P P -=- 一、选择题：1、设全集U R =，集合{|2}A x x =≥-，集合{|3}B x x =<，则()U C A B =（ ）A 、{|23}x x -≤<B 、{|2}x x ≤-C 、{|3}x x <D {|2}x x <-2、点(1,2)A -在直线cos 40x θ-=的（ ）A 、上方B 、下方C 、线上D 、位置视θ而定3、若2()f x ax x c =--，且不等式()0f x >的解集为(2,1)-，则函数()y f x =-的图象为（ ）4、函数2()31f x ax ax =++，若()()f x f x '>对一切x 恒成立，则实数的取值范围是（ ）A 、413a <B 、0a ≥C 、4013a <<D 、4013a ≤<5、已知P ：12x>，Q 1，则Q 是P 的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件 6、已知点(1,2)A ，过点(5,2)-的直线与抛物线24y x =交于另外两点B 、C ，那么ABC ∆ 是（ ）A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、直角三角形D 、锐角或钝角三角形 7、已知向量(,)n p a n =，1(,1)n q a n +=+，（*n N ∈），若13a =，//p q ，则数列{}n a 的通项n a 等于（ ）A 、2n +B 、35n +C 、3nD 、5n8、已知cos 2x =44sin cos x x +的值为（ ） A 、1318 B 、1118 C 、79D 、1 9、在正方体1111ABCD A BC D -中，与1AB 所成角为60°的棱和面对角线共有（ ）A 、4条B 、5条C 、8条D 、9条 10、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12009a =，20092007220092007S S -=-，则2009S =（ ） A 、2007 B 、2008 C 、2009 D 、2010 11、若x A ∈，则1A x ∈，就称A 是伙伴关系集合，集合11{1,0,,,1,2,3,4}32M =-的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ） A 、15 B 、16 C 、82 D 、5212、从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个号码中任意抽取3个号码，则所抽取的3个号码中，仅有两个号码是连续整数的概率为（ ）A 、715 B 、815 C 、813 D 、713第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。

数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}24120A x x x =--<，{}2B x x =>，则A B = （ ） A ．3 62⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．3 22⎛⎫⎪⎝⎭， C ．()1 6， D ．()1 2， 2.若复数()421aiz a R i-=∈-的实部为1，则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．3 C ．1- D ．3-3.已知向量()2 m =a ，，()1 2=-b ，，若()222m ⋅-=+a a b b ，则实数m 等于（ ） A ．12 B ．52 C．544.若47972cos cos sin sin cos cos 51551523x x πππππ⎛⎫-=++ ⎪⎝⎭，则sin 2x 等于（ ） A ．13 B ．13- C.112 D ．112-5.执行如图所示的程序框图，若94a =，则输出S 的值为（ ）A ．10B ．12 C.14 D ．166.若实数 x y ，满足条件1022010x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则543z x y =-+的最大值为（ ） A ．158-B ．54- C.12- D ．1-7.“()22143m x dx ≤-⎰”是“函数()122x x mf x +=+的值不小于4”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件8.甲、乙、丙三位同学将独立参加英语听力测试，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为P 、23、35，若三人中有人达标但没有全部达标的概率为23，则P 等于（ ）A ．23 B ．34 C.45 D ．569.已知函数()()12cos cos 3f x x x ϕ=++是偶函数，其中0 2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则下列关于函数()()cos 2g x x ϕ=-的正确描述是（ ）A ．()g x 在区间 123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值为1- B ．()g x 的图象可由函数()f x 的图象先向上平移2个单位，再向右平移3π个单位得到 C.()g x 的图象可由函数()f x 的图象向左平移3π个单位得到 D ．()g x 的图象可由函数()f x 的图象向右平移3π个单位得到10.已知函数() 2 011 1x f x x -<<⎧=⎨≥⎩，，，则不等式()2134log log 41log 15x x f x ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．1 13⎛⎫⎪⎝⎭， B ．[]1 4， C.1( 4]3， D ．[1 )+∞， 11.设双曲线()2222:10 0x y C a b a b -=>>，的左焦点为() 0F c -，，点M 、N 在双曲线C 上，O是坐标原点，若四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2 C.．12.已知函数()()26 3 x e exf x x xg x ex+=---=，，实数m ，n 满足0m n <<，若[]1 x m n ∀∈，，()20 x ∃∈+∞，，使得()()12f x g x =成立，则n m -的最大值为（ ）A ．4B ． C. D ．第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.51x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为 ．14.若抛物线()220y px p =>上的点()00 22p x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，到其焦点的距离为52，则p = ．15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3534a a =+，若510S <，则2a 的取值范围是 ．16.在ABC △中，内角 A B C ，，所对的边分别为 a b c ，，，已知22sin cos sin cos 4sin c A A a C C B +=，cos B =，D 是AC 上一点，且23BCD S =△，则ADAC= ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1*63n n S a n N +=+∈. （1）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若()()2311log n n n b an a a +=-⋅，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）在ABC △中，角 A B C ，，所对的边分别为 a b c ，，，且232cos cos a c bA B-=.（1）若b B =，求a ；（2）若a ABC △b c +. 19.（本小题满分12分）为推行“新课堂”教学法，某地理老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”.（1）由以上统计数据填写下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？附：()()()()()()2 n ad bc K n a b c d a c b d a b c d -==+++++++，临界值表：（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X ，求X 的分布列及数学期望. 20.（本小题满分12分）已知右焦点为() 0F c ，的椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>过点31 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，且椭圆M 关于直线x c =对称的图形过坐标原点.（1）求椭圆M 的方程；（2）过点()4 0，且不垂直于y 轴的直线与椭圆M 交于P ，Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为E ，证明：直线PE 与x 轴的交点为F . 21.（本小题满分12分）已知函数()()()322ln f x a x a x a R =--+-∈.（1）若函数()y f x =在区间()1 3，上单调，求a 的取值范围； （2）若函数()()g x f x x =-在10 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，上无零点，求a 的最小值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标方程是2sin a ρθ=，直线l 的参数方程是3545x t a y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）若2a =，M 为直线l 与x 轴的交点，N 是圆C 上一动点，求MN 的最大值； （2）若直线l 被圆C截得的弦长为a 的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()1f x x =+. （1）解不等式()2f x x <； （2）若()28f x x a+->对任意x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.数学参考答案（理科）一、选择题1.C ∵{}26A x x =-<<，{}1B x x =>，∴{}16A B x x =<< .2.B ∵()()()2122z ai i a a i =-+=++-的实部为1，∴1a =-，则虚部为3. 3.D ∵()20 4a b m -=+，，()222a a b b m ⋅-=+，∴2245m m m +=+，解得54m =. 4.A 由已知得12cossin 2323x π=-+，解得1sin 23x =. 5.B 0 2; 2 3; 6 4;12 5S i S i S i S i ========，，，，，结束，即输出S 的值为12. 6.C 根据约束条件画出可行域，则当 1 2x y ==，时，43x y +取最大值10，则z 取最大值12-.7.A ()()2232114343m x dx x x ≤-=-=-⎰，()f x ≥若()f x 的值不小于4，则4，解得2m ≤-，故选A.8.B 3人中有人达标但没有全部达标，其对立事件为“3人都达标或全部没有达标”，则()231221135353P P ⨯+⨯-=-，解得34P =. 9.C ∵0 2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴330 2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∵()f x 为偶函数，∴33πϕπϕ==⇒，则()()cos2cos 2f x x x π=-=-，()cos 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则将函数()f x 的图象向左平移3π个单位可得函数()g x 的图象，故选C.10.C 原不等式3214log 11log log 415x x x +≥⎧⎪⇔⎛⎫⎨--≤ ⎪⎪⎝⎭⎩或32140log 11log 2log 415x x x <+<⎧⎪⎛⎫⎨+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得14x ≤≤或113x <<， ∴原不等式的解集为1( 4]3，.11.D 设()00 M x y ，，∵四边形OFMN 为平行四边形，∴02cx =-，∵四边形OFMN 的面积，∴0y c，即0y =，∴ 2c M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入双曲线方程得2214e -=，∵1e >，∴e =12.A ()()21'1'x x e x e g x ex ex -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则当01x <<时，()'0g x <；当1x >时，()'0g x >，∴()()min 12g x g ==.()()2366f x x =-++≤，作函数()y f x =的图象如图所示，当()2f x =时，方程两根分别为5-和1-，则n m -的最大值为()154---=.二、填空题13.20-，由通项公式得常数项为()23351C 20⨯-⨯=-.14.1，由题意024px =且0522p x +=，消去0x 得2540p p -+=，解得1p =或4p =（舍去）. 15.() 2-∞，，设公差为d ，由3634a a =+得223344a d a d +=++，即224d a =-，则由510S <得()()()152425556810222a a a a a ++-==<，解得22a <.16.59，由22sin cos sin cos 4sin c A sA a C C B +=得22222222422b c a a b c a c ac b bc ab+-++⋅+⋅=，化简得4ac =.由cos B =3sin 4B =，∴13sin 22ABC S ac B ==△，∵49BCD ABC S CD AC S ==△△，∴59AD AC =.三、解答题17.解：（1）∵163n n S a +=+，∴当1n =时，11669S a a ==+，………………………………1分 当2n ≥时，()16623n n n n a S S -=-=⋅，…………………… …………2分 即13n n a -=，…………………………………………………………3分∵{}n a 是等比数列，∴11a =-，则96a +=，得3a =-，……………………4分 ∴数列{}n a 的通项公式为()1*3n n a n N -=∈.………………………………5分（2）由（1）得()()()()2311log 3231n n n b an a a n n +=-⋅=-+，……………………7分∴()()1211111114473231n n T b b b n n =+++=+++⨯⨯-+………………………………9分 111111134473231n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭………………………………………11分 31nn =+.……………………………………………………12分 18.解：（1）由正弦定理得：2322sin 3sin 2sin cos cos cos cos a c b A C BA B A B--==⇒，………… …………1分即2sin cos 3sin cos 2sin cos A B C A B A =-，……………………………………………………2分∴1sin 2bc A =3bc =，…………………………………………………………7分∵a =22463b c bc +-=，…………………………………………9分∴()21063b c bc +-=，即()216b c +=，……………………………………11分 ∵0 0b c >>，，∴4b c +=.…………………………………………………………12分19.解：（1）………………………………………………………………………………………………2分 根据22⨯列联表中的数据，得2K 的观测值为()240941611 5.227 5.024********k ⨯-⨯=>⨯⨯⨯≈，∴能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.………………5分 （2）由表可知在8人中成绩不优良的人数为158340⨯=，则X 的可能取值为0 1 2 3，，，.…………6分()31131533091C P X C ===；()2111431544191C C P X C ===；…………………………………………………………8分()12114315662455C C P X C ===；()3431543455C P X C ===.…………………………………………………………10分∴X 的分布列为：………………………………………………………………………………………………11分∴()334466436401239191455455455E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.……………………………………12分 20.（1）解：∵椭圆M 过点31 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴221914a b +=，①………………………………1分 ∵椭圆M 关于直线x c =对称的图形过坐标原点，∴2a c =，………………………………2分∵222a b c =+，∴2234b a =，②…………………………………………………………3分由①②得24a =，23b =，……………………………………………………4分∴椭圆M 的方程为22143x y +=.………………………………………………5分（2）证明：易知直线PQ 的斜率必存在，设直线PQ 的方程为()()40y k x k =-≠，代入22143x y +=得()2222343264120k x k x k +-+-=，由()()()22223243464120k k k ∆=--+->得，11 22k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，.…………………………7分 设()()1122 P x y Q x y ，，，，()22 E x y -，，则21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+，……………………………………8分 则直线PE 的方程为()121112y y y y x x x x +-=--，令0y =得：()()()122112122111121212448x k x x k x x x x y x y x y x y y y y k x x ⋅-+⋅--+=-⋅+==+++- ()22221212212641232242434341328834k k x x x x k k k x x k -⋅-⋅⋅-+++===+--+，∴直线PE 过定点()1 0，，又M 的右焦点为()1 0，，∴直线PE 与x 轴的交点为F .…………12分21.解：（1）()()322'3a x f x a x x--=--=，………………………………1分 当3a ≥时，有()'0f x <，即函数()f x 在区间()1 3，上单调递减；……………………2分 当3a <时，令()'0f x =，得23x a=-，若函数()y f x =在区间()1 3，上单调，则 213a ≤-或233a ≥-，解得1a ≤或733a ≤<；………………………………4分 综上，a 的取值范围是7( 1][ )3-∞+∞ ，，………………………………5分（2）因为当0x →时，()g x +∞→，所以()()()212ln 0g x a x x =---<在区间10 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，上恒成立不可能，…………………………………………………………………………6分故要使函数()g x 在10 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，上无零点，只要对任意的10 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，()0g x >恒成立， 即对10 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，2ln 21x a x >--恒成立，令()2ln 12 0 12x l x x x ⎛⎫=-∈ ⎪-⎝⎭，，， 则()()()()222212ln 2ln 2'11x x x x x l x x x --+-=-=--，………………………………8分 再令()212ln 2 0 2m x x x x ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，，， 则()()222122'0x m x x x x --=-+=<，故()m x 在10 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为减函数，于是()122ln 202m x m ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭，………………10分 从而，()'0l x >，于是()l x 在10 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数，所以()124ln 22l x l ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭， 故要使2ln 21nxa x >--恒成立，只要[24ln 2 )a ∈-+∞，， 综上，若函数()g x 在10 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，上无零点，则a 的最小值为24ln2-.……………………12分 22.解：（1）由24sin ρρθ=得圆C 可化为2240x y y +-=，…………………………1份 将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得()423y x =--，…………………………2分 令0y =，得2x =，即点M 的 坐标为()2 0，，…………………………………………3分 又圆C 的圆心坐标为()0 2，，半径2r =，则MC =分 所以MN的最大值为2MC r +=.………………………………………………5分 （2）因为圆()222:C x y a a +-=，直线:4340l x y a +-=，………………………………6分 所以圆心C 到直线l 的距离3455a a a d -==，…………………………………………7分所以=分 解得52a =±.…………………………………………………………10分23.解：（1）由()2f x x <，得12x x +<，则212x x x -<+<，……………………………………………………2分 即1212x x x x +<⎧⎨+>-⎩，………………………………………………3分解得1x >，∴不等式()2f x x <的解集为()1 +∞，.…………………………5分（2）∵()111f x x a x x a x x a a +-=++-≥+-+=+，………………7分 又()3282f x x a +->=对任意x R ∈恒成立，即()3f x x a +->对任意x R ∈恒成立，……8分 ∴13a +>，解得4a <-或2a >， ∴实数a 的取值范围是()() 4 2 -∞+∞ ，，.………………………………10分。

雅安市高中2015级第三次诊断性考试数学试题(理科)
（本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，答题时间120分钟）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。

并检查条形码粘贴是否正确。

2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3.考试结束后，将答题卡收回。

第Ⅰ卷 （选择题，50分）
一、选择题：(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合{}
02=-=x x x M ，{}0,1-=N ,则=N M A. {}1,0,1- B. {}1,1- C. {}0 D. φ
2. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－4)，若a ∥b ，则x =
A ．4
B ．－4
C ．2
D ．2-
3. 设a,b ∈R,则“a ≥1且b ≥1”是“a+b ≥2”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 4. 设α为锐角，若cos ()6πα+
＝45，则sin (2)3πα+的值为 A ．2512 B ．2425
C. 2425- D ．1225-
5. 执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出s 的值是。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作雅安市高中2015级第三次诊断性考试数学试题(理科)（本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，答题时间120分钟） 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。

并检查条形码粘贴是否正确。

2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3.考试结束后，将答题卡收回。

第Ⅰ卷 （选择题，50分）一、选择题：(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}02=-=x x x M ，{}0,1-=N ,则=N MA. {}1,0,1-B. {}1,1-C. {}0D. φ2. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－4)，若a ∥b ，则x =A ．4B ．－4C ．2D ．2-3. 设a,b ∈R,则“a ≥1且b ≥1”是“a+b ≥2”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 设α为锐角，若cos ()6πα+＝45，则sin (2)3πα+的值为A ．2512 B ．2425C. 2425-D ．1225-5. 执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出s 的值是A. 1B. 2C. 4D. 76. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A. 283π-B. 83π- C. 82π-D.23π7. 已知直线l ：50x ky --=与圆O :2210x y +=交于,A B两点且0OA OB ⋅=，则k=A.2B. 2±C. 2±D. 28. 若实数a ，b 满足a 2＋b 2≤1，则关于x 的方程x 2－2x ＋a ＋b ＝0有实数根的概率是A.3142π+ B ．314π+ C ．3152π+ D ．315π+ 9.过抛物线24x y =的焦点作直线l 交抛物线于A,B 两点，分别过A,B 作抛物线的切线12,l l ,则1l 与2l 的交点P 的轨迹方程是（ ）A.1y =-B.2y =-C.1y x =-D. 1y x =--10. 对于定义在正整数集且在正整数集上取值的函数)(x f 满足1)1(≠f ，且对*N n ∈∀,有,13))(()1()(+=+++n n f f n f n f 则=)2015(fA. 2014B. 2015C. 2016D. 2017第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11. 已知(1＋2i) z ＝3－i(i 为虚数单位)，则复数z = 12. 在二项式22()nx x-的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为 .13. 若函数12)2()(2+++=ax x a x f 有零点，但不能用二分法求其零点，则a 的值______14．曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4与直线y ＝12在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|＝________15. 以下命题，错误的是_________（写出全部错误命题）①若13)1()(23++-+=x x a x x f 没有极值点，则42<<-a②31)(++=x mx x f 在区间()+∞-,3上单调，则31≥m③若函数m x x x f -=ln )(有两个零点，则em 1<④已知且不全等，+∈<<=R n m k a x x f a ,,),10(log )()()()()2()2()2(n f m f k f nk f n m f m k f ++<+++++则 三、解答题：(本大题共6个小题,75分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16．（本题满分12分）已知向量p ＝(2sin x ，3cos x )，q ＝(－sinx,2sin x )，函数f (x )＝p ·q(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C)＝1，c ＝1，ab ＝23， 且a >b ，求a ，b 的值． 17. （本题满分12分）雅安市某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（1）求直方图中x 的值；（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率） 18. （本题满分12分）如图1在Rt ABC ∆中，90ABC ︒∠=，D 、E 分别为线段AB 、AC 的中点，4,22AB BC ==．以DE 为折痕，将Rt ADE ∆折起到图2的位置，使平面A DE '⊥平面DBCE ，连接,A C A B ''，设F 是线段A C '上的动点，满足CF CA λ'=．频率/组距时间（1）证明：平面FBE A DC '⊥平面；（2）若二面角F BE C --的大小为45°，求λ的值．19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前项n 和为n S ，点))(,(*∈N n S n n 均在函数x x x f 23)(2-=的图象上。