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2016届高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含答案2016届高三上学期第一次月考数学文试卷考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(0,1]D ．(0,1)2．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，a ，b }，则“a ＝2”是“A ?B ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．﹁p 或q B ．p 且q C ．﹁p 且﹁qD ．﹁p 或﹁q4．设函数f (x )＝x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15B ．3C.23D.1395．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)6．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．27. 如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是( ) A ．a ≥8 B ．a ≤8 C ．a ≥4D ．a ≥－48. 函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图像必经过点( ) A ．(0,1) B ．(1,1) C ．(2,0)D ．(2,2)9. 函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图像是( )10. 函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)11. 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2B ．eC.ln22D ．ln212. 函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为( )．A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<1}<="" p="">二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13. 已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________．14. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________． 15. 函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．16. 若方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等的实根，则k 的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(10分) 化简：(1)3131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(12分)已知函数f (x )＝1a －1(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间． 21．（12分）已知函数f (x )＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； 22．（12分）已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图像有三个不同的交点，求m 的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学答题卡一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题有一个正确答案）13、 14、15、 16、三、解答题17.(10分) 化简：(1)131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(10分)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；21．（13分）已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．22．（13分）已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学文试卷参考答案1．B2.A3.D4.D5.D6.A7.A8.D9.B10.B11.B12.A13. x －y －2＝0 14. {x |－32<1}<="" p="">15. (0,1] 16. (512，34]17. 解 (1)原式＝121311113233211212633311233().a b a b abab ab a b+-++----==(2)原式＝(－278)23-＋(1500)12-－105－2＋1＝(－827)23＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 18. (1)证明设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)解∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又f (x )在[12，2]上单调递增，∴f (12)＝12，f (2)＝2.易得a ＝25.19. 解(1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0，f (－1)＝0. (2)由题意知，f (0)＝0. 当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1, 1]上，f (x )＝2x4x ＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.20．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∵x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)∵函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，∴要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝?x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0, 6]，单调递减区间是[－6,0]．21.解 (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.∴f ′(x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)法一设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26.) 法二设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x2＋1，解之得x0＝－2，∴y0＝(－2) 3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．22.解(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－a或x>a.由f′(x)<0，解得－a<x<a，< p="">∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图像可知：实数m的取值范围是(－3,1)．</x<a，<>。
数学试卷（文史类）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1.已知全集U R =，集合{24}A x x =<<，2{60}B x x x =--≤,则()U A C B 等于（ ）A ．(2,3]B ．(3,4)C ．[2,4)-D ．(,2)(3,4)-∞-2。
如图,在复平面内，表示复数z 的点为A ,则复数12zi-对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ) A ．2y x =- B ．2xy -= C ．1y x= D ．lg y x =4。
已知非零向量,a b 满足2a b =，且()(23)a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为（ ）A ．3π B ．4π C ．23π D ．34π5。
某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是( ） A ．163B ．203C ．86π- D ．83π-6。
将函数sin 3cos y x x =-的图象沿x 轴向右平移a 个单位（0a >),所得图关于y 轴对称，则a 的值可以是（ ） A ．6π B ．2π C ．6π- D ．3π-7. 执行下图所示的程序框图，若输入390a =，156b =，则输出的a 的值是( ）A ．234B ．39C ．78D ．1568.若变量,x y 满足约束条件142x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数24z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．139.若正三棱住的所有棱长均为a ,且其体积为23，则此三棱柱外接球的表面积是（ ）A ．83π B ．283π C ．3π D ．43π10。
设等差数列{}na 的前n 项和为nS ，且满足170S>，180S <，则11S a ，22S a ，…，1515S a 中最大的项为（ ）A ．77S a B ．88S a C ．99S a D ．1010Sa11.如图，已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的右顶点为,A O 为坐标原点,以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于两点P ，Q ，若060PAQ ∠=，且3OQ OP =,则双曲线C 的离心率为( ） A ．72B ．333C ．296D ．312.已知函数2()log1f x x =-，且关于x 的方程2[()]()20f x af x b ++=有6个不同的实数解，若最小的实数解为—1，则a b +的值为（ ) A ．—2 B ．—1 C ．0 D ．1第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集U R =，集合{24}A x x =<<，2{60}B x x x =--≤，则()U A C B 等于（ ） A ．(2,3] B ．(3,4) C ．[2,4)- D ．(,2)(3,4)-∞- 【答案】B考点：集合的运算.2.如图，在复平面内，表示复数z 的点为A ，则复数12zi-对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C 【解析】试题分析：由图可得i z +-=2，所以()()()()534212121221221ii i i i i i i z --=+-++-=-+-=-，则对应的点在第三象限，故选C.考点：复数的意义.3.下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ）A ．2y x =-B ．2xy -= C ．1y x=D ．lg y x = 【答案】D 【解析】试题分析：由函数的基本性质可得2y x =-，2xy -=，1y x=在(0,)+∞均为减函数，故选D. 考点：函数的单调性与奇偶性.4.已知非零向量,a b ()(23)a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为（ ）A ．3π B ．4π C ．23π D ．34π 【答案】D考点：向量的夹角.5.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ） A ．163 B ．203 C ．86π- D ．83π-【答案】B【解析】试题分析：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，如图所示：所以该几何体的体积为3201231223=⨯⨯-．故选B ．考点：由三视图求面积、体积.【方法点睛】本题考查三视图，考查柱体、锥体的体积计算，解决该类问题的关键是由三视图还原得到原几何体，画三视图的要求为：“长对正，高平齐，宽相等”的原则，难度中档；由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，根据所提供的数据可求出正方体、锥体的体积，从由正方体的体积减去椎体的体积而得到答案．6.将函数sin y x x =-的图象沿x 轴向右平移a 个单位（0a >），所得图关于y 轴对称，则a 的值可以是（ ） A ．6πB ．2πC ．6π-D ．3π-【答案】A考点：（1）函数()ϕω+=x A y sin 的图象变换；（2）两角和与差的正弦函数.7.执行下图所示的程序框图，若输入390a =，156b =，则输出的a 的值是（ ）A ．234B ．39C ．78D ．156【答案】C考点：程序框图.8.若变量,x y 满足约束条件142x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数24z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13 【答案】D 【解析】考点：简单的线性规划.9.若正三棱住的所有棱长均为a ，且其体积为 ） A ．83π B ．283π C ．3π D ．43π 【答案】B 【解析】试题分析：由题意可得，正棱柱的底面是边长等于a 的等边三角形，面积为 60sin 21a a ⋅，正棱柱的高为a ，∴3260sin 21=⋅⋅a a a ，∴2=a ，取三棱柱C B A ABC '''-的两底面中心O ，O '，连结O O '，取O O '的中点D ，连结BD ，则BD 为三棱柱外接球的半径．∵ABC ∆是边长为2的正三角形，O 是ABC ∆的中心，∴332332=⨯=BO ．又∵12121='='=A A O O OD ∴3213722==+=OD OB BD ．∴三棱柱外接球的表面积ππ32842=⨯=BD S ，故选项为B.考点：几何体的组合体.【方法点睛】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，多面体与外接球的关系，球的体积计算，属于中档题．由题意结合体积公式可得3260sin 21=⋅⋅a a a ，由此求得a 的值．作出图形，由正三棱柱的性质可知外接球的球心为棱柱上下底面中心连线的中点，根据正三棱柱的棱长，利用勾股定理求出球的半径，得出球的表面积．10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足170S >，180S <，则11S a ，22S a ，…，1515S a 中最大的项为（ ） A ．77S a B ．88S a C ．99S a D ．1010Sa 【答案】C考点：等差数列的性质.11.如图，已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右顶点为,A O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于两点P ，Q ，若060PAQ ∠=，且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为（ ）A B D【答案】A考点：双曲线的简单性质.12.已知函数2()log 1f x x =-，且关于x 的方程2[()]()20f x af x b ++=有6个不同的实数解，若最小的实数解为-1，则a b +的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．1 【答案】B 【解析】试题分析：作出函数2()log 1f x x =-的图象，∵方程2[()]()20f x af x b ++=有6个不同的实数解，∴如图所示，令()x f t =，方程2[()]()20f x af x b ++=转化为：022=++b at t ，则方程有一零根和一正根，又∵最小的实数解为1-，由()11=-f ，∴方程：022=++b at t 的两根是0和1，由韦达定理得：1-=a ，0=b ，∴1-=+b a ，故选B.考点：函数与方程的综合应用.【方法点晴】本题主要考查函数与方程的综合运用，还考查了方程的根与函数零点的关系．作出函数2()log 1f x x =-的图象，令()x f t =，方程2[()]()20f x af x b ++=转化为：022=++b at t ，再方程2[()]()20f x af x b ++=有6个不同的实数解，可知方程022=++b at t 有一零根和一正根，又因为最小的实数解为1-，所以()11=-f 从而得到方程：022=++b at t 的两根是0和1，最后由韦达定理求得得：a ，b 进而求得b a +．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知函数()4ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为____________. 【答案】043=-+y x考点：导数的几何意义.14.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过椭圆22195x y +=的一个焦点，则该抛物线的准线方程为____________. 【答案】2-=x【解析】试题分析：椭圆22195x y +=的焦点为()0,21-F ，()0,2F ，∵抛物线22(0)y px p =>的准线经过椭圆22195x y +=的一个焦点，∴该抛物线的准线方程为2-=x ．故答案为：2-=x ． 考点：椭圆的简单性质.15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若B C ∠=∠，且2227a b c ++=，则ABC ∆的面积最大值为____________. 【答案】55考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理.【方法点晴】本题考查余弦定理，平方关系，基本不等式的应用，以及三角形的面积公式，考查变形、化简能力，对计算能力要求较高，属于中档题；由B C ∠=∠得c b =，代入2227a b c ++=化简，根据余弦定理求出C cos ，由平方关系求出C sin ，代入三角形面积公式求出表达式，由基本不等式即可求出三角形ABC 面积的最大值．16.若关于x 的函数2222sin ()tx x t x f x x t+++=+（0t >）的最大值为M ，最小值为N ，且4M N +=，则实数t 的值为____________. 【答案】2考点：函数的最值及其几何意义.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，且12，n a ，n S 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足221223(log )(log )n n n b a a ++=⨯，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）()+-∈=N n a n n 22；（2）12+n n. 【解析】 试题分析：（1）由12，n a ，n S 成等差数列．可得122n n a S =+，再利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出；（2）利用对数的运算性质可得：()()1212+-=n n b n ，⎪⎭⎫⎝⎛+-=12121211n n b n ．再利用“裂项求和”方法即可得出．试题解析：（1）∵12，n a ，n S 成等差数列，∴122n n a S =+， 当1n =时，11122a S =+，∴112a =，当2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=-，∴12nn a a -=， 所以数列{}n a 是首项为12，公比为2的等比数列， 22n n a -=*()n N ∈.（2）∵21223322122322log log log 2log 2(21)(21)n n n n n b a a n n +-+-++=⨯=⨯=-+， ∴111111()212122121n b n n n n =⨯=--+-+， ∴11111111[(1)()()](1)23352121221n T n n n =-+-++-=--++ 21nn =+ 考点：（1）数列的求和；（2）数列递推式.【方法点晴】本题考查了递推关系、等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”方法，考查了 推理能力与计算能力，属于中档题．解题中，在利用1--=n n n S S a 的同时一定要注意1=n 和2≥n 两种情况，否则容易出错；求数列的前n 项和，必须先求出数列的通项公式，然后根据通项公式所所具有的特征决定采用哪种方法，在本题中采用“裂项求和”. 18.（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于 40分的整数）分成如下六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图. （1）若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数； （2）在抽取的40名学生中，若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内随机选取2名学生，求这 2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.【答案】（1）544；（2）157. 【解析】（2）成绩在[40,50)分数段内的人数为400.052⨯=，成绩在[90,100]分数段内的人数为400.14⨯=，则记在[40,50)分数段的两名同学为12,A A ，在[90,100]分数段内的同学为1234,,,B B B B , 若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法共有15种.如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10；则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的取法有12(,)A A ，12(,)B B ，13(,)B B ，14(,)B B ，23(,)B B ，24(,)B B ，34(,)B B 共7种取法，所以所求概率为715P =. 考点：（1）列举法计算基本事件数及事件发生的概率；（2）频率分布直方图. 19.（本小题满分12分）如图，在多面体111ABC A B C -中，四边形11ABB A 是正方形，1ACB ∆是正三角形，1AC AB ==， 11//B C BC ，112BC B C =.（1）求证：1//AB 平面11AC C ； （2）求多面体111ABC A B C 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）125.考点：（1）直线与平面平行的判定；（2）几何体的体积. 20.（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =，直线y x =与椭圆交于,A B 两点，C 为椭圆的右顶点，32OA OC ∙= .（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上存在两点,E F ，使OE OF OA λ+=，(0,2)λ∈，求OEF ∆面积的最大值.【答案】（1）2213x y +=；（2）23. （2）设11(,)E x y ，22(,)F x y ，EF 中点为00(,)M x y ，由（1）t =，∵OE OF OA λ+=，∴01201222x x x y y y ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩， ∵,E F 椭圆上，则221122221313x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，相减可得2222121203x x y y -+-=， 121212121133EF y y x x k x x y y -+==-∙=--+，∴直线EF的方程为：1()3y x =-，即3x y =-， 代入2213x y +=整理得：22410y y λ-+-=，考点：（1）直线与圆锥曲线的综合问题；（2）椭圆的标准方程.【方法点睛】本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的简单性质的综合应用，基本不等式以及斜率与圆锥曲线 相结合，考查分析问题解决问题的能力，计算量较大，难度适中.把题意中的已知条件结合222c b a +=转化为关于参数c b a ,,的方程组解得，也是在高考中常见的表达形式；由OE OF OA λ+=易知该题中将会涉及到直线与圆锥曲线相交的中点问题，故应采用点差法，得其斜率，利用函数的思想结合均值不等式得结果.21.（本小题满分12分） 设函数2()ln f x x bx a x =+-.（1）若2x =是函数()f x 的极值点，1和0x 是函数()f x 的两个不同零点，且0(,1)x n n ∈+，n N ∈， 求n .（2）若对任意[2,1]b ∈--，都存在(1,)x e ∈，使得()0f x <成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）3n =；（2）1a >. 【解析】试题分析：（1）先求导得到'()2a f x x b x =+-，由'(2)402af b =+-=，(1)10f b =+=，得到a 与b 的值，再令导数大于0，或小于0，得到函数的单调区间，再由零点存在性定理得到得到0(3,4)x ∈，进而得到n 的值；（2）令2()ln g b xb x a x =+-，[2,1]b ∈--，问题转化为在(1,)x e ∈上()()01max <-=g b g 有解即可，亦即只需存在0(1,)x e ∈使得0ln 2<--x a x x 即可，连续利用导函数，然后分别对01≥-a ，01<-a ，看是否存在0(1,)x e ∈使得()()010=<h x h ，进而得到结论．（2）令2()ln g b xb x a x =+-，[2,1]b ∈--，则()g b 为关于b 的一次函数且为增函数， 根据题意，对任意[2,1]b ∈--，都存在(1,)x e ∈，使得()0f x <成立， 则2max ()(1)ln 0g b g x x a x =-=--<在(1,)x e ∈有解， 令2()ln h x x x a x =--，只需存在0(1,)x e ∈使得0()0h x <即可，由于2'2()21a x x ah x x x x--=--=，令2()2x x x a ϕ=--，(1,)x e ∈，'()410x x ϕ=->，考点：（1）利用导数研究函数的极值；（2）导数在最值中的应用.【方法点睛】本题考查利用导数求函数性质的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审 题，仔细解答．考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为()x h a >或()x h a <恒成立，即()x h a max >或()x h a min <即可，利用导数知识结合单调性求出()x h max 或()x h min 即得解.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，1O 与2O 相交于,A B 两点，AB 是2O 的直径，过A 点作1O 的切线交2O 于点E ，并与1BO 的延长线交于点P ，PB 分别与1O ，2O 交于,C D 两点. （1）求证：PA PD PE PC ∙=∙； （2）求证：AD AE =.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.由（1）知PA PCPE PD=，∴//AC ED ， ∴AB DE ⊥，CAD ADE ∠=∠,又∵AC 是2O 的切线，∴CAD AED ∠=∠， ∴AED ADE ∠=∠，∴AD AE =，（或AB DE ⊥，∵AB 是2O 的直径，由垂径定理得， AD DE=,∴AD AE =.）考点：（1）切线的性质；（2）相似三角形的判定与性质. 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l的方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+，直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B . （1）若3πα=，求线段AB 中点M 的直角坐标；（2）若2PA PB OP ∙=，其中P ，求直线l 的斜率.【答案】（1）12(,13；（2.考点：（1）简单曲线的极坐标方程；（2）参数方程化成普通方程.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()21f x x x a =++-，a R ∈.（1）当2a =时，求不等式()4f x <的解集；（2）当12a <-时，对于1(,]2x ∀∈-∞-，都有()3f x x +≥成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{11}x x -<<；（2）4a ≤-.【解析】（2）令()()g x f x x =+，当12x ≤-时，()1g x x a x =---， 由12a <-，得11,()221,a a x g x x a x a⎧--<≤-⎪=⎨⎪-+-≤⎩， 对于1(,]2x ∀∈-∞-使得()3f x x +≥恒成立，只需min ()3g x ≥ 1((,])2x ∈-∞-即可， 作出()g x 的大致图象，易知，min ()()1g x g a a ==--， ∴13a --≥，得4a ≤-考点：绝对值不等式的解法.：。
2015-2016学年山西省太原市高三(上)期末数学试卷(文科)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．(5分)(2014•重庆)在复平面内复数Z=i(1﹣2i)对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．(5分)(2015秋•太原期末)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A．y=x2+1B．y=2x﹣1C．y=sinxD．y=cosx3．(5分)(2015秋•太原期末)若m，n是两条不同的直线，m⊥平面α，则“m⊥n”是“n∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．(5分)(2016•陕西校级一模)已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足=+，则的值为()A．B．C．1D．25．(5分)(2014•济南一模)执行如图的程序框图输出的T的值为()A．4B．6C．8D．106．(5分)(2016•萍乡二模)已知sinα=﹣，且α∈(π，)，则tan2α=()A．B．﹣C．D．﹣7．(5分)(2015秋•太原期末)从集合{1，2，3，4，5，6}中随机抽取一个数a，从集合{1，2，3}中随机收取一个数b，则log a2b=1的概率为()A．B．C．D．8．(5分)(2015秋•太原期末)设变量x，y满足|x﹣a|+|y﹣a|≤1，若2x﹣y的最大值为5，则实数a的值为()A．0B．1C．2D．39．(5分)(2015秋•太原期末)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．16﹣πB．8+πC．16+πD．8﹣π10．(5分)(2015秋•太原期末)已知函数f(x)=x2﹣ax+b(a＞0，b＞0)有两个不同的零点m，n，且m，n和﹣2三个数适当排序后，即可成为等差数列，也可成为等比数列，则a+b的值为()A．7B．8C．9D．1011．(5分)(2015秋•太原期末)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，若f(α)=3，α∈(，)，则sinα的值为()A．B．C．D．12．(5分)(2015秋•太原期末)已知函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，若f(x)＜f′(x)恒成立，且f(0)=2，则不等式f(x)＞2e x的解集是()A．(2，+∞)B．(0，+∞)C．(﹣∞，0)D．(﹣∞，2)二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．(5分)(2016•大兴区一模)已知函数f(x)=4x+(x＞0，a＞0)在x=2时取得最小值，则实数a=．14．(5分)(2015秋•太原期末)若向量=(cos15°，sin15°)，=(cos75°，sin75°)，则+与的夹角为．15．(5分)(2015秋•太原期末)若a＞b＞1，且a+b+c=0，则的取值范围是．16．(5分)(2015秋•太原期末)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x)．当﹣3≤x＜﹣1时，当f(x)=﹣(x+2)2，当﹣1≤x＜3时．f(x)=x，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2015)=．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(12分)(2015秋•太原期末)某地一家课外培训机构随机选取当地1000名学生的数据，研究他们报名参加数学、英语、物理、化学培训的情况，整理成如下统计表:课程人数数学英语物理化学100 √×√√217 ×√×√200 √√√×300 √×√×85 √×××98 ×√××表中“√”表示参加，“×”表示未参加．(1)估计当地某一学生同时参加英语和物理培训的概率；(2)估计当地某一学生在以上四门课程同时参加三门培训的概率；(3)如果一个学生参加了数学培训，则该生同时参加英语、物理、化学培训中哪一种的可能性最大？说明理由．18．(12分)(2015秋•太原期末)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且ccosA=5，asinC=4．(1)求边长c；(2)若△ABC的面积S=16．求△ABC的周长．19．(12分)(2015秋•太原期末)已知等差数列{a n}的前3项和为﹣6，前8项的和为24．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=(a n+6)q n(q≠0)，求数列{b n}的前n项和S n．20．(12分)(2015秋•太原期末)已知平行四边形ABCD中，∠A=45°，且AB=BD=1，将△ABD 沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示:(1)求证:AB⊥CD；(2)求棱锥A﹣BCD的表面积．21．(12分)(2015秋•太原期末)函数f(x)=ax n(1﹣x)(x＞0，n∈N*)，当n=﹣2时，f(x)的极大值为．(1)求a的值；(2)若方程f(x)﹣m=0有两个正实根，求m的取值范围．请在22、23、24三体中任选一题作答，注意:只能做选做给定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分[选修4-1:几何证明选讲]22．(10分)(2015秋•太原期末)如图，四边形ABCD内接于⊙O，BA，CD的延长线相交于点E，EF∥DA，并与CB的延长线交于点F，FG切⊙O于G．(1)求证:BE•EF=CE•BF；(2)求证:FE=FG．[选修4-4:坐标系与参数方程]23．(2015秋•太原期末)已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，当t=﹣1时，对应曲线C1上一点A且点A关于原点的对称点为B，以原点O为极点，以x轴为正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=．(1)求A，B两点的极坐标；(2)设P为曲线C2上动点，求|PA|2+|PB|2的最大值．[选修4-5:不等式选讲]24．(2016•新余校级一模)设函数f(x)=|x﹣2|﹣2|x+1|．(1)求f(x)的最大值；(2)若f(x)≤mx+3+m恒成立，求m的取值范围．2015-2016学年山西省太原市高三(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．(5分)(2014•重庆)在复平面内复数Z=i(1﹣2i)对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z化为a=bi(a，b∈R)的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．【解答】解:∵复数Z=i(1﹣2i)=2+i∵复数Z的实部2＞0，虚部1＞0∴复数Z在复平面内对应的点位于第一象限故选A【点评】本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z化为a=bi(a，b∈R)的形式，是解答本题的关键．2．(5分)(2015秋•太原期末)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A．y=x2+1B．y=2x﹣1C．y=sinxD．y=cosx【分析】根据函数奇偶性和函数零点的定义进行判断即可．【解答】解:A．∵y=x2+1≥1，∴函数y=x2+1没有零点，不满足条件．B．y=2x﹣1为增函数，不是偶函数，不满足条件．C．y=sinx是奇函数，不满足条件．D．y=cosx是偶函数，且函数存在零点，满足条件．故选:D【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数零点的应用，比较基础．3．(5分)(2015秋•太原期末)若m，n是两条不同的直线，m⊥平面α，则“m⊥n”是“n∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】“m⊥n”推不出“n∥α”，“n∥α”⇒“m⊥n”．【解答】解:∵m，n是两条不同的直线，m⊥平面α，∴“m⊥n”推不出“n∥α”，“n∥α”⇒“m⊥n”，∴“m⊥n”是“n∥α”的必要不充分条件．故选:B．【点评】本题考查命真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．4．(5分)(2016•陕西校级一模)已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足=+，则的值为()A．B．C．1D．2【分析】如图所示，由于=+，可得:PA是平行四边形PBAC的对角线，PA与BC的交点即为BC的中点D．即可得出．【解答】解:如图所示，∵=+，∴PA是平行四边形PBAC的对角线，PA与BC的交点即为BC的中点D．∴=1．故选:C．【点评】本题查克拉向量的平行四边形法则、平行四边形的性质，考查了推理能力，属于基础题．5．(5分)(2014•济南一模)执行如图的程序框图输出的T的值为()A．4B．6C．8D．10【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件S≥15，计算输出T的值．【解答】解:由程序框图知:第一次运行S=0+0+1=1，T=0+2=2；第二次运行S=1+2×2+1=6，T=2+2=4；第三次运行S=6+2×4+1=15≥15，T=4+2=6；满足条件S≥15，程序终止运行，输出T=6，故选:B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．6．(5分)(2016•萍乡二模)已知sinα=﹣，且α∈(π，)，则tan2α=()A．B．﹣C．D．﹣【分析】由条件利用查同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．【解答】解:∵sinα=﹣，且α∈(π，)，∴cosα=﹣=﹣，∴tanα==，则tan2α===，故选:A．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于基础题．7．(5分)(2015秋•太原期末)从集合{1，2，3，4，5，6}中随机抽取一个数a，从集合{1，2，3}中随机收取一个数b，则log a2b=1的概率为()A．B．C．D．【分析】所有的数对(a，b)共有6×3=18个，而满足log a2b=1的数对用列举法求得有3个，由此求得所求事件的概率．【解答】解:从集合{1，2，3，4，5，6}中随机抽取一个数a，从集合{1，2，3}中随机收取一个数b，共有6×3=18种，∵log a2b=1，∴a=2b，则有(2，1)，(4，2)，(6，3)，共3种，故log a2b=1的概率为=，故选:B．【点评】本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题．8．(5分)(2015秋•太原期末)设变量x，y满足|x﹣a|+|y﹣a|≤1，若2x﹣y的最大值为5，则实数a的值为()A．0B．1C．2D．3【分析】满足条件的点(x，y)构成趋于为平行四边形及其内部区域，令z=2x﹣y，显然当直线y=2x﹣z过点C(1+a，a)时，z取得最大值为5，即2(1+a)﹣a=5，由此求得a的值．【解答】解:设点M(a，a)则满足|x﹣a|+|y﹣a|≤1的点(x，y)构成区域为平行四边形及其内部区域，如图所示:令z=2x﹣y，则z表示直线y=2x﹣z在y轴上的截距的相反数，故当直线y=2x﹣z过点C(1+a，a)时，z取得最大值为5，即2(1+a)﹣a=5，解得a=3．故选:D．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式、简单的线性规划问题，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．9．(5分)(2015秋•太原期末)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．16﹣πB．8+πC．16+πD．8﹣π【分析】由三视图可知几何体为正方体切去两个圆柱的，故可使用作差法求体积．【解答】解:由三视图可知几何体为正方体切去两个圆柱的，正方体的棱长为2，圆柱的高为2，底面半径为1．所以几何体的体积V=23﹣=8﹣π．故选D．【点评】本题考查了空间几何体的三视图和结构特征，属于基础题．10．(5分)(2015秋•太原期末)已知函数f(x)=x2﹣ax+b(a＞0，b＞0)有两个不同的零点m，n，且m，n和﹣2三个数适当排序后，即可成为等差数列，也可成为等比数列，则a+b的值为()A．7B．8C．9D．10【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到m+n=a，mn=b，再由m，n，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于m，n的方程组，求得m，n后得答案．【解答】解:由题意可得:m+n=a，mn=b，∵a＞0，b＞0，可得m＞0，n＞0，又m，n，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得:m=4，n=1；解②得:m=1，n=4．∴a=5，b=4，则a+b=9．故选:C．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．11．(5分)(2015秋•太原期末)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，若f(α)=3，α∈(，)，则sinα的值为()A．B．C．D．【分析】根据函数的最值得到A，再由图象可得函数的周期，结合周期公式得到ω的值，再根据函数的最大值对应的x值，代入并解之得φ，从而得到函数的表达式，最后求得cos(α+)的值，利用两角差的正弦函数公式即可得解．【解答】解:∵函数f(x)的最大值为5，最小值为﹣5，∴A=5，又∵函数的周期T=2()=2π，∴ω===1，∴函数图象经过点(，5)，即:5sin(+φ)=5，∴解得:+φ=+2kπ，k∈Z，可得:φ=+2kπ，k∈Z，∵0＜φ＜π，∴取k=0，得φ=．∴函数的表达式为:f(x)=5sin(x+)，∵f(α)=5sin(α+)=3，解得:sin(α+)=，又∵α∈(，)，可得:α+∈(，π)，∴cos(α+)=﹣=﹣，∴sinα=sin(α+﹣)=sin(α+)cos﹣cos(α+)sin=×﹣(﹣)×=．故选:A．【点评】本题给出函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象，要我们确定其解析式并根据解析式求特殊的函数值，着重考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的知识，属于中档题．12．(5分)(2015秋•太原期末)已知函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，若f(x)＜f′(x)恒成立，且f(0)=2，则不等式f(x)＞2e x的解集是()A．(2，+∞)B．(0，+∞)C．(﹣∞，0)D．(﹣∞，2)【分析】造函数g(x)=，利用导数可判断g(x)的单调性，再根据f(0)=2，求得g(0)=2，继而求出答案．【解答】解:∵∀x∈R，都有f′(x)＞f(x)成立，∴f′(x)﹣f(x)＞0，于是有()′＞0，令g(x)=，则有g(x)在R上单调递增，∵f(0)=2，∴g(0)=2，∵不等式f(x)＞2e x，∴g(x)＞2=g(0)，∴x＞0，故选:B．【点评】本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．(5分)(2016•大兴区一模)已知函数f(x)=4x+(x＞0，a＞0)在x=2时取得最小值，则实数a=16．【分析】由基本不等式等号成立的条件和题意可得a的方程，解方程可得．【解答】解:∵x＞0，a＞0，∴f(x)=4x+≥2=4，当且仅当4x=即x=时取等号，又∵f(x)在x=2时取得最小值，∴=2，解得a=16，故答案为:16．【点评】本题考查基本不等式求最值，属基础题．14．(5分)(2015秋•太原期末)若向量=(cos15°，sin15°)，=(cos75°，sin75°)，则+与的夹角为30°．【分析】利用单位圆作出图形，根据菱形的性质即可得出答案．【解答】解:∵=(cos15°，sin15°)，=(cos75°，sin75°)，=1，∴＜＞=60°，以为邻边的平行四边形为菱形，∴平分＜＞．∴+与的夹角为30°．故答案为:30°．【点评】本题考查了平面向量加法的几何意义，数形结合的思想方法，属于基础题．15．(5分)(2015秋•太原期末)若a＞b＞1，且a+b+c=0，则的取值范围是(﹣2，﹣1)．【分析】根据a＞b＞1，求出的范围，根据a+b+c=0，得到=﹣1﹣，从而求出其范围即可．【解答】解:∵a＞b＞1，∴0＜＜1，∴﹣1＜﹣＜0，∴﹣2＜﹣1﹣＜﹣1，由a+b+c=0，得:c=﹣a﹣b，∴=﹣1﹣，∴﹣2＜＜﹣1，故答案为:(﹣2，﹣1)．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查转化思想，求出的范围是解题的关键，本题是一道基础题．16．(5分)(2015秋•太原期末)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x)．当﹣3≤x＜﹣1时，当f(x)=﹣(x+2)2，当﹣1≤x＜3时．f(x)=x，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2015)=336．【分析】由f(x+6)=f(x)知函数的周期为6，求出f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)的值．【解答】解:∵f(x+6)=f(x)，∴T=6，∵当﹣3≤x＜﹣1时，当f(x)=﹣(x+2)2，当﹣1≤x＜3时．f(x)=x，∴f(1)=1，f(2)=2f(3)=f(﹣3)=﹣1，f(4)=f(﹣2)=0，f(5)=f(﹣1)=﹣1，f(6)=f(0)=0，∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1；f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2015)=335×1+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=336故答案为:336．【点评】本题考查函数的周期性，根据周期性求代数式的值，属于一道基础题．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(12分)(2015秋•太原期末)某地一家课外培训机构随机选取当地1000名学生的数据，研究他们报名参加数学、英语、物理、化学培训的情况，整理成如下统计表:课程人数数学英语物理化学100 √×√√217 ×√×√200 √√√×300 √×√×85 √×××98 ×√××表中“√”表示参加，“×”表示未参加．(1)估计当地某一学生同时参加英语和物理培训的概率；(2)估计当地某一学生在以上四门课程同时参加三门培训的概率；(3)如果一个学生参加了数学培训，则该生同时参加英语、物理、化学培训中哪一种的可能性最大？说明理由．【分析】(1)由统计表得1000名学生中，同时参加英语和物理培训的学生有200人，由此能估计当地某一学生同时参加英语和物理培训的概率．(2)由统计表得1000名学生中，在以上四门课程同时参加三门培训的学生有300人，由此能估计当地某一学生在以上四门课程同时参加三门培训的概率．(3)该生同时参加英语、物理、化学培训中参加物理培训的可能性最大．【解答】解:(1)由统计表得1000名学生中，同时参加英语和物理培训的学生有200人，∴估计当地某一学生同时参加英语和物理培训的概率p1==0.2．(2)由统计表得1000名学生中，在以上四门课程同时参加三门培训的学生有:100+200=300人，∴估计当地某一学生在以上四门课程同时参加三门培训的概率p2==0.3．(3)该生同时参加英语、物理、化学培训中参加物理培训的可能性最大．理由如下:参加数学培训的学生有100+200+300+85=685人，学生参加了数学培训，该生同时参加英语培训的学生有200人，学生参加了数学培训，该生同时参加物理培训的学生有100+200=300人，学生参加了数学培训，该生同时参加化学培训的学生有100人，∴该生同时参加英语、物理、化学培训中参加物理培训的可能性最大．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．18．(12分)(2015秋•太原期末)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且ccosA=5，asinC=4．(1)求边长c；(2)若△ABC的面积S=16．求△ABC的周长．【分析】(1)由正弦定理可得asinC=csinA，可得sinA=，由ccosA=5，可得:cosA=，由sin2A+cos2A=+=1，即可解得c的值．(2)利用三角形面积公式可得S=absinC=16，asinC=4．解得b，利用余弦定理即可解得a的值，从而可求△ABC的周长．【解答】(本题满分为12分)解:(1)∵由正弦定理可得:，可得:asinC=csinA，∵asinC=4，可得:csinA=4，即得:sinA=，由ccosA=5，可得:cosA=，∴可得:sin2A+cos2A=+=1，∴解得:c=．(2)∵△ABC的面积S=absinC=16，asinC=4．解得:b=8，∴由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA=64+41﹣2××8×=25，解得a=5，或﹣5(舍去)，∴△ABC的周长=a+b+c=5+8+=13+．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．(12分)(2015秋•太原期末)已知等差数列{a n}的前3项和为﹣6，前8项的和为24．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=(a n+6)q n(q≠0)，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】(1)利用等差数列的前n项和公式、通项公式即可得出；(2)利用等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”即可得出．【解答】解:(1)设等差数列{a n}的公差为d，其前n项和为S n．∵S3=﹣6，S8=24．∴，解得，∴a n=﹣4+2(n﹣1)=2n﹣6．(2)b n=(a n+6)q n=2nq n，∴数列{b n}的前n项和S n=2(q+2q2+3q3+…+nq n)，当q=1时，S n=2(1+2+3+…+n)==n2+n．当q≠1，0时，qS n=2(q2+2q3+3q4+…+nq n+1)，∴﹣S n=2(q+q2+q3+…+q n﹣nq n+1)=2，∴S n=+2nq n+1．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．(12分)(2015秋•太原期末)已知平行四边形ABCD中，∠A=45°，且AB=BD=1，将△ABD 沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示:(1)求证:AB⊥CD；(2)求棱锥A﹣BCD的表面积．【分析】(1)由已知条件求出∠ADB=45°，从而得到AB⊥BD，利用平面ABD⊥平面BCD，由此能够证明AB⊥DC．(Ⅱ)利用侧面积加底面积可得棱锥A﹣BCD的表面积．【解答】(1)证明:在△ABD中，∵AB=1，BD=1，且∠A=45°∴∠ADB=45°，∴AB⊥BD，∴平面ABD⊥平面BCD，面ABD∩面BDC=BD，∴AB⊥面BDC，∴AB⊥DC；(2)解:由(1)可知，AB⊥BC，AD⊥CD，∴棱锥A﹣BCD的表面积=×2+=+1．【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查棱锥A﹣BCD的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．．21．(12分)(2015秋•太原期末)函数f(x)=ax n(1﹣x)(x＞0，n∈N*)，当n=﹣2时，f(x)的极大值为．(1)求a的值；(2)若方程f(x)﹣m=0有两个正实根，求m的取值范围．【分析】(1)求出函数的对数，根据n=2时，f(x)的极大值为，得到f()=a•×=，解出即可；(2)求出f(x)的导数，得到函数的单调区间，求出f(x)的值域，从而求出m的范围．【解答】解:(1)n=2时，f(x)=ax2(1﹣x)，∴f′(x)=ax(2﹣3x)，令f′(x)=0得:x=0或x=，∵n=2时，f(x)的极大值为，故a＞0，且f()=a•×=，解得:a=1；(2)∵f(x)=x n(1﹣x)，∴f′(x)=nx n﹣1﹣(n+1)x n=(n+1)x n﹣1(﹣x)，显然，f(x)在x=处取得最大值，f()=，∴f(x)的值域是(0，)，若方程f(x)﹣m=0有两个正实根，只需0＜m＜即可．【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．请在22、23、24三体中任选一题作答，注意:只能做选做给定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分[选修4-1:几何证明选讲]22．(10分)(2015秋•太原期末)如图，四边形ABCD内接于⊙O，BA，CD的延长线相交于点E，EF∥DA，并与CB的延长线交于点F，FG切⊙O于G．(1)求证:BE•EF=CE•BF；(2)求证:FE=FG．【分析】(1)圆的内接四边形的性质，平行线的性质，判断△CFE∽△EFB，线段对应成比例，从而证得式子成立．(2)根据CFE∽△EFB，可得BE•EF=CF•BF，在根据圆的切线性质可得FC2=FB•FC，从而证得结论成立．【解答】证明:(1)∵EF∥DA，∴∠DAE=∠AEF，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DAE=∠C，∴∠C=∠AEF，又∠CFE=∠EFB，∴△CFE∽△EFB，∴=，∴BE•EF=CF•BF．(2)∵CFE∽△EFB，∴=，∴EF•EF=FB•FC，∵FG切⊙O于G，∴FC2=FB•FC，∴EF•EF=FG2，∴FG=FE．【点评】本题主要考查与圆有关的比例线段，圆的内接四边形的性质，三角形相似的判定与性质，属于中档题．[选修4-4:坐标系与参数方程]23．(2015秋•太原期末)已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，当t=﹣1时，对应曲线C1上一点A且点A关于原点的对称点为B，以原点O为极点，以x轴为正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=．(1)求A，B两点的极坐标；(2)设P为曲线C2上动点，求|PA|2+|PB|2的最大值．【分析】(1)曲线C1的参数方程为(t为参数)，当t=﹣1时，对应曲线C1上一点A(3，﹣)，点A关于原点的对称点为B，利用即可得出极坐标．(2)曲线C2的极坐标方程为ρ=，利用化为直角坐标方程=1．设P，θ∈[0，2π)，则|PA|2+|PB|2=4sin2θ+32，即可得出．【解答】解:(1)曲线C1的参数方程为(t为参数)，当t=﹣1时，对应曲线C1上一点A(3，﹣)，点A关于原点的对称点为B，利用即可得出极坐标:A，B．(2)曲线C2的极坐标方程为ρ=，化为3x2+2y2=12，即=1．设P，θ∈[0，2π)，则|PA|2+|PB|2=+(2cosθ+3)2+=4sin2θ+32≤36，∴|PA|2+|PB|2的最大值是36．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与椭圆相交弦长问题、三角函数的求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5:不等式选讲]24．(2016•新余校级一模)设函数f(x)=|x﹣2|﹣2|x+1|．(1)求f(x)的最大值；(2)若f(x)≤mx+3+m恒成立，求m的取值范围．【分析】(1)通过讨论x的范围，将f(x)写成分段函数的形式，画出函数的图象，从而求出f(x)的最大值即可；(2)问题转化为，解出即可．【解答】解:(1)∵f(x)=|x﹣2|﹣2|x+1|=，如图示:，∴f(x)的最大值是3；(2)若f(x)≤mx+3+m恒成立，则，解得:﹣3≤m≤1．【点评】本题考查了绝对值不等式，考查函数恒成立问题，是一道中档题．。
2cos 3A=2016年山西高考文科数学试题及答案(满分150分，时间120分钟)第Ⅰ卷一. 选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）（1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则AB =（A ）{1,3} （B ）{3,5} （C ）{5,7} （D ）{1,7} (2)设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，学.科.网余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ）13 （B ）12（C ）13 （D ）56 （4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =，2c =，则b=（A（B（C ）2 （D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的 14，则该椭圆的离心率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（6）将函数y=2sin (2x+π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y=2sin(2x+π4) （B ）y=2sin(2x+π3)（C ）y=2sin(2x –π4) （D ）y=2sin(2x –π3)（7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （8）若a>b>0，0<c<1，则（A ）log a c<log b c （B ）log c a<log c b （C ）a c<b c（D ）c a >c b（9）函数y=2x 2–e |x|在[–2,2]的图像大致为（A ） （B ）（C ） （D ）（10）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =（11）平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D α平面,ABCD m α=平面，11ABB A n α=平面，则m ，n 所成角的正弦值为（A ）2 （B ）2 （C ）3 （D ）13（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1- （B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二.填空题(本大题共4小题，每小题5分)（13）设向量a=(x ，x+1)，b=(1，2)，且a ⊥b ，则x=_________. （14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=_________. （15）设直线y=x+2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ，B 两点，若|AB|=23，则圆C 的面积为________。
2016年山西省高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|1＜x2≤5x}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∪B=（）A．（1，2）B．（﹣2，2）C．（﹣1，5）D．（﹣2，5）2．复数+的共轭复数为（）A．5+i B．﹣5+i C．5﹣i D．﹣5﹣i3．如图是某班50位学生期中考试化学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，则成绩在[70，90）内的频数为（）A．27 B．30 C．32 D．364．P（x1，y1）、Q（x2，y2）分别为抛物线y2=4x上不同的两点，F为焦点，若|QF|=2|PF|，则（）A．x2=2x1+1 B．x2=2x1C．y2=2y1+1 D．y2=2y15．执行如图所示的程序框图，则输出的S等于（）A．B．C．D．6．将函数y=cos（3x+）的图象向左平移个单位后，得到的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．7．函数f （x ）=e x ﹣x 在区间[﹣1，1]上的值域为（ ）A ．[1，e ﹣1]B ．C ．D ．[0，e ﹣1]8．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，给出下列两个命题：命题p ：若S 3，S 9都大于9，则S 6大于11命题q ：若S 6不小于12，则S 3，S 9中至少有1个不小于9．那么，下列命题为真命题的是（ ）A ．￢pB ．（￢p ）∧（￢q ）C ．p ∧qD ．p ∧（￢q ）9．在矩形ABCD 中，|AB |=3，|AC |=5，=， =，若=x +y ，则x +y 的值为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．710．设a ＞0，且x ，y 满足约束条件，若z=x +y 的最大值为7，则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．11．某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ． +8πB ． +8πC ．16+8πD ． +16π12．记min {a ，b }表示a ，b 中较小的数，比如min {3，﹣1}=﹣1．设函数f （x ）=|min {x 2，log x }|（x ＞0），若f （x 1）=f （x 2）=f （x 3）（x 1，x 2，x 3互不相等），则x 1x 2x 3的取值范围为（ ）A． B．C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．一个蜂巢有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴…如果这个找伙伴的过程继续下去，第5天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有_______只蜜蜂．14．已知函数f（x）=为奇函数，则g（﹣2）=_______．15．若双曲线mx2+y2=1（m＜﹣1）的离心率恰好是实轴长与虚轴长的等比中项，则m=_______．16．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，cos∠ACE=，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为_______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，C=60°，c=b．（1）求角A，B的大小；（2）若D为边AC上一点，且a=4，△BCD的面积为，求BD的长．数学成绩与地理成绩，例如：表中地理成绩为A等级的共有14+40+10=64人，数学成绩为B等级且地理成绩为C等级的有8人．已知x与y均为A等级的概率是0.07．（1）设在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；（2）已知a≥8，b≥6，求数学成绩为A等级的人数比C等级的人数多的概率．19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥B1D，BB1⊥底面ABCD，E为线段AD 上的任意一点（不包括A、D两点），平面CEC1与平面BB1D交于FG．（1）证明：AC⊥BD；（2）证明：FG∥平面AA1B1B．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆C与圆M：x2+（y﹣3）2=4的公共弦长为4（1）求椭圆C的方程；（2）已知O为坐标原点，过椭圆C的右顶点A作直线l与圆x2+y2=相切并交椭圆C于另一点，求•的值．21．已知函数f（x）=（ax2﹣lnx）（x﹣lnx）（a∈R）．（1）当a=6时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在⊙O的直径AB的延长线上取点P，作⊙O的切线PN，N为切点，在AB上找一点M，使PN=PM，连接NM并延长交⊙O于点C．（1）求证：OC⊥AB；（2）若⊙O的半径为，OM=MP，求MN的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以坐标原点O为极点，O轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（sinθ+cosθ+）．（1）写出曲线C的参数方程；（2）在曲线C上任取一点P，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，求矩形OAPB 的面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式＜|1+|﹣|1﹣|＜对x∈（0，+∞）恒成立．（1）求实数a的取值范围；（2）不等式|x﹣1|+|x+1|≤a的解集为A，不等式4≤2x≤8的解集为B，试判断A∩B是否一定为空集？请证明你的结论．2016年山西省高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|1＜x2≤5x}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∪B=（）A．（1，2）B．（﹣2，2）C．（﹣1，5）D．（﹣2，5）【考点】并集及其运算．【分析】化简集合A，求出A∪B即可．【解答】解：集合A={x|1＜x2≤5x}={x|1＜x≤5}，B={x|﹣2＜x＜2}，∴A∪B={x|﹣2＜x≤5}=（﹣2，5]．故选：D．2．复数+的共轭复数为（）A．5+i B．﹣5+i C．5﹣i D．﹣5﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解： +=+=2+2i+3﹣i=5+i的共轭复数为5﹣i．故选：C．3．如图是某班50位学生期中考试化学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，则成绩在[70，90）内的频数为（）A．27 B．30 C．32 D．36【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图先求出成绩在[70，90）内的频率，由此能求出成绩在[70，90）内的频数．【解答】解：由频率分布直方图得成绩在[70，90）内的频率为：1﹣（0.006+0.006+0.01+0.006）×10=0.72，∴成绩在[70，90）内的频数为：50×0.72=36．故选：D．4．P（x1，y1）、Q（x2，y2）分别为抛物线y2=4x上不同的两点，F为焦点，若|QF|=2|PF|，则（）A．x2=2x1+1 B．x2=2x1C．y2=2y1+1 D．y2=2y1【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的性质将|PF|，|QF|转化为到准线的距离，得出答案．【解答】解：抛物线的准线方程为x=﹣1，∴|PF|=x1+1，|QF|=x2+1．∵|QF|=2|PF|，∴x2+1=2（x1+1），即x2=2x1+1．故选：A．5．执行如图所示的程序框图，则输出的S等于（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】根据程序框图的流程，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=时，满足条件S＜1，退出循环，输出S的值为．【解答】解：模拟执行程序，可得S=600，i=1执行循环体，S=600，i=2不满足条件S＜1，执行循环体，S=300，i=3不满足条件S＜1，执行循环体，S=100，i=4不满足条件S＜1，执行循环体，S=25，i=5不满足条件S＜1，执行循环体，S=5，i=6不满足条件S＜1，执行循环体，S=，i=7满足条件S＜1，退出循环，输出S的值为．故选：C．6．将函数y=cos （3x +）的图象向左平移个单位后，得到的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】由函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换可得向左平移个单位后，得到的函数解析式为：y=﹣sin3x ，利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：将函数y=cos （3x +）的图象向左平移个单位后，得到的函数解析式为：y=cos [3（x +）+]=﹣sin3x ，此函数过原点，为奇函数，排除C ，D ；原点在此函数的单调递减区间上，故排除B ．故选：A ．7．函数f （x ）=e x ﹣x 在区间[﹣1，1]上的值域为（ ）A ．[1，e ﹣1]B ．C ．D ．[0，e ﹣1]【考点】函数的值域．【分析】求函数的导数，判断函数的单调性和极值，最值，结合函数的最值即可求出函数的值域．【解答】解：函数的导数f ′（x ）=e x ﹣1，由f ′（x ）＞0得e x ﹣1＞0，即e x ＞1，得0＜x ≤1，此时函数递增，由f ′（x ）＜0得e x ﹣1＜0，即e x ＜1，得﹣1≤x ＜0，此时函数递减，即当x=0时，函数取得极小值同时也是最小值f （0）=1，∵f （1）=e ﹣1，f （﹣1）=+1＜e ﹣1，∴函数的最大值为f （1）=e ﹣1，即函数的值域为[1，e ﹣1]，故选：A ．8．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，给出下列两个命题：命题p ：若S 3，S 9都大于9，则S 6大于11命题q ：若S 6不小于12，则S 3，S 9中至少有1个不小于9．那么，下列命题为真命题的是（ ）A ．￢pB ．（￢p ）∧（￢q ）C ．p ∧qD ．p ∧（￢q ）【考点】复合命题的真假．【分析】由等差数列的前n项和的性质可得：S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，即可判断出命题p，q的真假．【解答】解：对于命题p：由等差数列的前n项和的性质可得：S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，∴2（S6﹣S3）=S3+S9﹣S6，∴3S6=3S3+S9≥3×9+9，∴S6≥12，因此命题p正确；命题q：由上面可知：3S3+S9=3S6≥3×12=36，因此S3，S9中至少有1个不小于9，是真命题．那么，下列命题为真命题的是p∧q．故选：C．9．在矩形ABCD中，|AB|=3，|AC|=5，=，=，若=x+y，则x+y的值为（）A．2 B．4 C．5 D．7【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由已知利用勾股定理可得|AD|，从而可得=3，==4，由向量的加法可得=+=3+4，利用平面向量的基本定理及其意义即可得解x，y的值，进而得解．【解答】解：∵在矩形ABCD中，|AB|=3，|AC|=5，∴利用勾股定理可得：|AD|=4，∵=，=，∴=3，==4，∴=+=3+4，∴x=3，y=4，可得：x+y=7．故选：D．10．设a＞0，且x，y满足约束条件，若z=x+y的最大值为7，则的最大值为（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划的应用；简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，利用z=x+y的最大值为7，推出直线x+y=7与x+4y﹣16=0的交点A必在可行域的边缘顶点，得到a，利用所求的表达式的几何意义，可得的最大值．【解答】解：作出不等式组约束条件表示的平面区域，直线x+y=7与x+4y﹣16=0的交点A必在可行域的边缘顶点．解得，即A（4，3）在3ax﹣y﹣9=0上，可得12a﹣3﹣9=0，解得a=1．的几何意义是可行域的点与（﹣3，0）连线的斜率，由可行域可知（﹣3，0）与B连线的斜率最大，由可得B（﹣1，），的最大值为：=．故选：D．11．某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． +8πB． +8πC．16+8πD． +16π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个组合体：下面是半个圆柱、上面两个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、并判断出位置关系，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个组合体：下面是半个圆柱、上面两个四棱锥，且两个四棱锥的定点相对、底面是俯视图中两个矩形两条边分别是2、4，其中一条侧棱与底面垂直，高都是2，圆柱的底面圆半径是2、母线长是4，∴几何体的体积V=2×+=，故选：B．12．记min{a，b}表示a，b中较小的数，比如min{3，﹣1}=﹣1．设函数f（x）=|min{x2，log x}|（x＞0），若f（x1）=f（x2）=f（x3）（x1，x2，x3互不相等），则x1x2x3的取值范围为（）A． B．C． D．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由f（x1）=f（x2）=f（x3）（x1，x2，x3互不相等），不妨设x1＜x2＜x3，则0＜x1＜，=﹣，由此，即可求出x1x2x3的取值范围．【解答】解：作出y=x2及y=||的图象，f（x1）=f（x2）=f（x3）（x1，x2，x3互不相等），不妨设x1＜x2＜x3，则0＜x1＜，=﹣，∴x2x3=1，∴0＜x1x2x3＜，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．一个蜂巢有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴…如果这个找伙伴的过程继续下去，第5天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有7776只蜜蜂．【考点】归纳推理．【分析】根据题意，第n天蜂巢中的蜜蜂数量为a n，则数列{a n}成等比数列．根据等比数列的通项公式，可以算出第5天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共的蜜蜂．【解答】解：设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为a n，根据题意得数列{a n}成等比数列，它的首项为6，公比q=6，所以{a n}的通项公式：a n=6•6n﹣1到第5天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a5=65=7776只蜜蜂．故答案为：7776．14．已知函数f（x）=为奇函数，则g（﹣2）=6﹣log35．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题意，g（﹣2）=f（﹣2）+6，利用函数是奇函数，即可得出结论．【解答】解：由题意，g（﹣2）=f（﹣2）+6=﹣f（2）+6=6﹣log35故答案为：6﹣log35．15．若双曲线mx2+y2=1（m＜﹣1）的离心率恰好是实轴长与虚轴长的等比中项，则m=﹣7﹣4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的标准方程，求出a，b，结合离心率恰好是实轴长与虚轴长的等比中项，建立方程关系进行转化求解即可．【解答】解：双曲线的标准方程为y2﹣=1（m＜﹣1），则焦点在y轴上，且a=1，b2=﹣，∵离心率恰好是实轴长与虚轴长的等比中项，∴e2=2a•2b=4ab，即=4ab，则c2=4b，即1+b2=4b，平方得1+2b2+b4=16b2，即b4﹣14b2+1=0，则++1=0，则1+14m+m2=0即m===﹣7±4，∵m＜﹣1，∴m=﹣7﹣4，故答案为：；16．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，cos∠ACE=，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为4或．【考点】球的体积和表面积．【分析】设AB=2x，则AE=x，BC=，由余弦定理可得x2=9+3x2+9﹣2×3××，求出x，即可求出球O的直径．【解答】解：设AB=2x，则AE=x，BC=，∴AC=由余弦定理可得x2=9+3x2+9﹣2×3××，∴x=1或，∴AB=2，BC=2，球O的直径为=4，或AB=2，BC=，球O的直径为=．故答案为：4或．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，C=60°，c=b．（1）求角A，B的大小；（2）若D为边AC上一点，且a=4，△BCD的面积为，求BD的长．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由C=60°，可得sinC，由c=b，可得：，又由正弦定理可得：，解得sinB，结合b＜c，可得B为锐角，利用三角形内角和定理可求B，A的值．（2）利用三角形面积公式及已知可求CD，由余弦定理即可解得BD的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵C=60°，可得：sinC=，由c=b，可得：，又∵由正弦定理，可得：，解得：sinB=，∵由已知可得b＜c，可得B为锐角，∴可得：B=45°，A=π﹣B﹣C=75°．（2）∵△BCD的面积为，即：a•CD•sinC==，解得：CD=1，∴由余弦定理可得：BD===．数学成绩与地理成绩，例如：表中地理成绩为A等级的共有14+40+10=64人，数学成绩为B等级且地理成绩为C等级的有8人．已知x与y均为A等级的概率是0.07．（1）设在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；（2）已知a≥8，b≥6，求数学成绩为A等级的人数比C等级的人数多的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由频率=，能求出a，b的值．（2）由14+a+28＞10+b+34，得a＞b+2．由此利用列举法能求出所求概率．【解答】解：（1）由频率=，得到，∴，故a=18，而14+a+28+40+36+8+10+b+34=200，∴b=12．…（2）∵a+b=30且a≥8，b≥6，∴由14+a+28＞10+b+34，得a＞b+2．（a，b）的所有结果为（8，22），（9，21），（10，20），（11，19），…（24，6）共17组，其中a＞b+2的共8 组，故所求概率为：．…19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥B1D，BB1⊥底面ABCD，E为线段AD 上的任意一点（不包括A、D两点），平面CEC1与平面BB1D交于FG．（1）证明：AC⊥BD；（2）证明：FG∥平面AA1B1B．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱的结构特征．【分析】（1）先证出BB1⊥AC，AC⊥B1D，即可证明AC⊥平面BB1D，从而证出AC⊥BD；（2）先证明CC1∥平面BB1D，得出CC1∥FG，从而得出FG∥BB1，再证出FG∥平面AA1B1B．【解答】解：（1）证明：四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∵BB1⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC；又AC⊥B1D，BB1∩B1D=B1，∴BB1⊂平面BB1D，B1D⊂平面BB1D，∴AC⊥平面BB1D；又BD⊂平面BB1D，∴AC⊥BD；（2）四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1∥BB1，CC1⊄平面BB1D，BB1⊂平面BB1D，∴CC1∥平面BB1D；又平面CEC1∩平面BB1D=FG，∴CC1∥FG，∴FG∥BB1；又FG⊄平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A1，∴FG∥平面AA1B1B．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆C与圆M：x2+（y﹣3）2=4的公共弦长为4（1）求椭圆C的方程；（2）已知O为坐标原点，过椭圆C的右顶点A作直线l与圆x2+y2=相切并交椭圆C于另一点，求•的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和对称性可得椭圆经过点（±2，3），代入椭圆方程，解得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设过右顶点A（4，0）的直线l为y=k（x﹣4），由直线和圆相切的条件：d=r，可得k，再由直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理，可得B的横坐标，结合向量的数量积的坐标表示，即可得到所求值．【解答】解：（1）由题意可得e==，a2﹣b2=c2，椭圆C与圆M：x2+（y﹣3）2=4的公共弦长为4，可得椭圆经过点（±2，3），即有+=1，解得a=4，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）设过右顶点A（4，0）的直线l为y=k（x﹣4），由直线与圆x2+y2=相切，可得=，解得k=±，将直线y=±（x﹣4），代入椭圆+=1，消去y，可得31x2﹣32x﹣368=0，设B（x0，y0），可得4x0=﹣，则•=（4，0）•（x0，y0）=4x0=﹣．21．已知函数f（x）=（ax2﹣lnx）（x﹣lnx）（a∈R）．（1）当a=6时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；（2）设g（x）=x﹣lnx，（x＞0），求出函数的导数，得到若f（x）＞0恒成立，则ax2﹣lnx＞0恒成立，问题转化为，设，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）当a=6时，，∴f'（1）=11，f（1）=6，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣6=11（x﹣1），即y=11x﹣5．（2）设g（x）=x﹣lnx，（x＞0），则，当0＜x＜1时，g'（x）＜0，函数g（x）递减，当x＞1时，g'（x）＞0，函数g（x）递增，所以当x＞0时，g（x）≥g（1）=1＞0．若f（x）＞0恒成立，则ax2﹣lnx＞0恒成立，∴．设，则，当时，h'（x）＞0，函数h（x）递增，当时，h'（x）＜0，函数g（x）递减，所以当x＞0时，，∴.．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在⊙O的直径AB的延长线上取点P，作⊙O的切线PN，N为切点，在AB上找一点M，使PN=PM，连接NM并延长交⊙O于点C．（1）求证：OC⊥AB；（2）若⊙O的半径为，OM=MP，求MN的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接ON，运用圆的切线的性质和等腰三角形的性质，由垂直的判定即可得证；（2）运用直角三角形的勾股定理和圆的相交弦定理，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）证明：连接ON，则ON⊥PN，且△OCN为等腰三角形，则∠OCN=∠ONC，∵PN=PM，∴∠PMN=∠PNM，∵∠OCM+∠OMC=∠ONC+∠PNM=90°，∴∠COM=90°，∴OC⊥AB．（2）在Rt△ONP中，由于OM=MP，∴OP2=PN2+ON2，∴，∴4PN2=PN2+12，∴PN=2，从而，∴，由相交弦定理可得MN•CM=BM•AM，又，∴．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以坐标原点O为极点，O轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（sinθ+cosθ+）．（1）写出曲线C的参数方程；（2）在曲线C上任取一点P，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，求矩形OAPB 的面积的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由极坐标化为标准方程，再写出参数方程即可，（2）可设点P的坐标为（1+2cosθ，1+2sinθ），表示出矩形OAPB的面积为S，再设t=sinθ+cosθ，根据二次函数的性质即可求出答案．【解答】解：（1）由得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ+1），所以x2+y2=2x+2y+2，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．故曲线C的参数方程（θ为参数）．（2）由（1）可设点P的坐标为（1+2cosθ，1+2sinθ），θ∈[0，2π），则矩形OAPB的面积为S=|（1+2cosθ）（1+2sinθ）|=|1+2sinθ+2cosθ+4sinθcosθ）|令，t2=1+2sinθcosθ，，故当时，．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式＜|1+|﹣|1﹣|＜对x∈（0，+∞）恒成立．（1）求实数a的取值范围；（2）不等式|x﹣1|+|x+1|≤a的解集为A，不等式4≤2x≤8的解集为B，试判断A∩B是否一定为空集？请证明你的结论．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）根据x的范围，得到关于a的不等式组，解出即可；（2）分别求出集合A，B，结合a的范围，判断A，B的交集是否是空集即可．【解答】解：（1）∵x＞0，∴1+＞0，不等式＜|1+|﹣|1﹣|＜对x∈（0，+∞）恒成立，即不等式＜1+﹣|1﹣|＜对x∈（0，+∞）恒成立．即对x∈（0，+∞）恒成立．即，∴，解得：1＜a＜8；（2）∵x＞0，∴x+1＞0，令f（x）=|x﹣1|+|x+1|，∴f（x）=|x﹣1|+x+1=，由（1）a=8时，得：2x＜8，解得：x＜4，故集合A的最大范围是（0，4），由4≤2x≤8，解得：2≤x≤3，故集合B=[2，3]，故A∩B不一定是空集．2016年9月9日。
2cos 3A=2016年山西高考文科数学试题及答案(满分150分，时间120分钟)第Ⅰ卷一. 选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）（1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则AB =（A ）{1,3} （B ）{3,5} （C ）{5,7} （D ）{1,7} (2)设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，学.科.网余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ）13 （B ）12（C ）13 （D ）56 （4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =，2c =，则b=（A（B（C ）2 （D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的 14，则该椭圆的离心率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（6）将函数y=2sin (2x+π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y=2sin(2x+π4) （B ）y=2sin(2x+π3)（C ）y=2sin(2x –π4) （D ）y=2sin(2x –π3)（7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （8）若a>b>0，0<c<1，则（A ）log a c<log b c （B ）log c a<log c b （C ）a c<b c（D ）c a >c b（9）函数y=2x 2–e |x|在[–2,2]的图像大致为（A ） （B ）（C ） （D ）（10）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =（11）平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D α平面,ABCD m α=平面，11ABB A n α=平面，则m ，n 所成角的正弦值为（A ）2 （B ）2 （C ）3 （D ）13（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1- （B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二.填空题(本大题共4小题，每小题5分)（13）设向量a=(x ，x+1)，b=(1，2)，且a ⊥b ，则x=_________. （14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=_________. （15）设直线y=x+2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ，B 两点，若|AB|=23，则圆C 的面积为________。
2016届山西高考假期综合练习Since the card is still in your name, you can take them off it at any point and cut off their access if they're not able to handle the responsibility.Another option is to set them up with an account at a local bank that offers free use of a debit card (借记卡). Unlike credit card, the debit card has no overdraft (透支) function.Children can only use the card to pay for things and the money is taken directly from their bank account. If the account is empty, the worst that will happen is the card being declined at a cash register.68. Why does advise parents to give middle school kids credit cards?A. To leave their kids financially independent.B. To help their kids form good spending habits.C. To teach their kids' how to save pocket money.D. To strengthen the relationship with their kids.69. The author considers a credit card as a teaching tool because ______.A. it motivates teens to ask their parents for less financial supportB. it helps teenagers to know some basic knowledge of credit cardsC. it contains detailed financial information on the card surfaceD. it offers parents the chance to teach kids to manage money70. What is the purpose of adding kids as credit card authorized users?A. To avoid extremely high overdraft fees.B. To encourage them to share household expenses.C. To teach them to be responsible credit card users.D. To help them pay close attention to their bank account.71. What is most likely to be discussed in the paragraph that follows?A. Further information about the debit card.B. The overdraft functions of a debit card.C. More disadvantages of credit cards.D. The kids' attitude towards a credit card.EWhy do people feel so rushed? Part of this is a perception (认知) problem. Generally, people in rich countries have more free time than they used to. This isparticularly true in Europe, but even in America free time has beeninching up. Women's paid work has risen a lot over this period，buttheir time in unpaid work，like cooking and cleaning, has fallen evenmore significantly, thanks in part to dishwashers, washing machinesand microwaves, and also to the fact that men shift themselves a littlemore around the house than they used to.The problem, then, is less how much time people have than how they see it. Ever since a clock was first used at a workplace to record labor hours in the 18th century, time has been understood in relation to money. Once hours are financially quantified (量化), people worry more about wasting, but tend to save or use them more profitably. When economies grow and incomes rise, everyone's time becomes more valuable. And the more valuable something becomes, the rarer it seems.Once seeing their time in terms of money, people often grow stingy with the former to maximize the latter. Workers who are paid by the hour volunteer less of their time and tend to feel more upset when they are not working.The relationship between time, money and anxiety is something Gary Becker noticed in America's post-war boom years. "If anything, time is used more carefully today than a century ago,"he noted in 1965. He found that when people are paid more to work, they tend to work longer hours, because working becomes a more profitable use of time. So the rising value of work time puts pressure on all time. Leisure time starts to seem more stressful, as people are forced to use it wisely or not at all.72. Women's time in unpaid work has fallen partly because ______.A. men's ability to support a family has been improvedB. men's involvement in housework has increasedC. women's leisure time was taken up by heavy houseworkD. women become more skilled at household equipment73. From the second paragraph, we learn that ______.A. labor hours were recorded with a clockB. people haven't realized the value of timeC. more work hours bring in more moneyD. The rise of incomes makes time less valuable74. The underlined phrase grow stingy with can probably be replaced by "______".A. refuses to delayB. intend to killC. try to accumulateD. hesitate to spend75. According to Gary Becker, what causes people feel anxious about time?A. The wrong way of time being spent.B. People's willingness to work hard.C. The increasing value of work time.D. More and more leisure time.第Ⅱ卷（非选择题, 共35分)第四部分：写作（共两节, 满分35分)第一节任务型读写（共10小题; 每小题1分,满分10分)阅读下面短文,根据所读内容在表格中的空白处填入恰当的单词。
数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 设集合{}{}21,1,|6M N x x x =-=-<,则下列结论正确的是（ ）A ．N M =∅B ．N M ⊆C ．M N ⊆D ．M N R = 2. 复数131ii +=-（ ） A ．12i - B ．12i + C ．12i -+ D ．12i -- 3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若6826a a =+,则7S =（ ）A ．49B ．42C ．35D ．284. 已知,a b 是实数, 则“22log log a b >” 是“1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭” 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 5. 如图是一个算法程序框图, 当输入的x 的值为4时, 输出结果恰好是14,则空白处的关系式可以是（ ）A ．2xy -= B ．2xy = C ．12y x -= D ．12y x =6. 两个随机变量,x y 的取值表为（ ）若,x y 具有线性相关关系，且 2.6y bx =+，则下列四个结论错误的是 A ．x 与y 是正相关B ．当6x =时，y 的估计值为8.3C ．x 每增加一个单位y 增加0.95个单位D ．样本点()3,4.8的残差为0.567. 若函数()f x 同时满足以下三个性质： ①()f x 的最小正周期为π；②对任意的x R ∈,都有()04f x f x π⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；③()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数, 则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()sin 2f x x =B ．()sin 2cos2f x x x =+C ．()sin 8f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()cos2f x x = 8. 若,x y 满足约束条件210220,320x y x y z x y m x y -+≤⎧⎪-+≥=++⎨⎪+-≤⎩的最大值为1,则m 为（ ）A ．1-B ．3-C ．2D ．3 9. 如图所示, 某几何体的三视图, 则该几何体的体积为（ ）A ．163B ．4C ．3D ．210. 双曲线E 与椭圆22:193x y C +=有相同焦点, 且以E 的一个焦点为圆心与双曲线的渐近线相切的圆的面积为π,则E 的离心率为（ ） A．e =．e =CD．e =11. 在三棱锥D ABC -中,已知2,AB BC AD BD AC BC AD =====⊥,则三棱锥D ABC -外接球的表面积为（ ）A． B． C ．6π D ．12π 12. 已知函数()()()()22xf x x a e aa R =-+-∈,若存在0xR ∈,使得()012f x ≤成立, 则实数a 的值为（ ） A ．13 B．2 C．4D ．12 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在平面直角坐标系中, 角α终边过点()2,1P ,则2cos sin 2αα+的值为 ．14. 已知平面向量,a b满足()5a a b += ,且2,1a b == ,则向量a 与b 夹角的为 ．15. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且对任意的x R ∈,都有()()11f x f x +=-,当01x ≤≤时,()2f x x =, 与函数()y f x x a =--在[]0,2内有三个不同的零点, 则实数a 的取值范围为 ． 16. 已知数列{}n a 的前n 项和为2131,,22n n n n n n S n b T a a +=-= 为{}n b 的前n 项和, 若对任意的n N *∈,不等式()121nn T n λ<+-恒成立, 则实数λ的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中, 角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,满足2cos 2a B c b =-.（1）求角A ；（2）若ABC ∆的面积为4,且a =请判断ABC ∆的形状, 并说明理由.18. （本小题满分12分）某校为了解高一新生文理科的选择, 对1000名高一新生发放文理科选择调查表. 统计知, 有600名学生选择理科, 400名学生选择文科.（1）分别从选择理科和文科的学生中随机抽取20名学生的数学成绩如下积累表：①从统计表分析, 比较选择文理科学生的数学平均分及学生选择文理科的情况, 并绘制理科数学成绩的频率分布直方图：②根据你绘制的频率分布直方图, 估计意向选择理科的学生数学成绩的中位数与平均分； （2）现用分层抽样从高一新生中抽取5名学生, 再从这5名学生中任抽取两名学生, 求至少有一名学生选择文科的概率.19. （本小题满分12分）如图, 已知四棱锥P ABCD -,侧面PAD 为边长等于2的正三角形, 底面ABCD 为菱形,60BDA ∠=. （1）证明：BC PB ⊥；（2）若3PB =,求点P 到平面ABCD 的距离.20. （本小题满分12分）已知点()1,0A 点P 是圆()22:18C x y ++=上的任意一点, 线段PA 的垂直平分线与直线CP 交于点E .（1）求点E 的轨迹方程；（2）若直线l 与点E 的轨迹有两个不同的交点M 和N ,问点E 的轨迹的右焦点F 是否可以为BNM ∆的垂心？其中B 为上顶点, 若可以, 求出直线l 的方程；若不可以, 请说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数()()()1,ln a f x ax a R g x x x-=+∈=. （1）若对任意的实数a ,函数()f x 与()g x 的图象在0x x =处的切线斜率总相等, 求0x 的值.（2）对任意1x ≥,不等式()()1f x g x -≥恒成立, 求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图, 正方形ABCD 边长为2,以D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ,连接CF 并延长交AB 于点E . （1）求证：AE EB =； （2）求EF FC 的值.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴, 且两个坐标系取相等的长度单位建立坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为2cos sin 3ρθρθ+=,曲线C 的参数方程为2cos (3sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数).（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）()1,1P ,设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点, 求PA PB 的值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x =-.（1）解不等()()15f x f x ++≥； （2）若1a >且()b f ab a f a ⎛⎫>⎪⎝⎭,证明：2b >.山西省运城市2016届高三4月模拟考试数学（文）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5.CABAB 6-10.DBBDC 11-12.CD 二、填空题（每小题5分，共20分）13.85 14.3π 15.104a -<< 16.(),44-∞- 三、解答题（2）ABC ∆是等边三角形, 理由如下：由（1）可知1,sin sin 32ABC A A S bc A π∆=∴=∴==,解得3bc =,由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-得226b c +=,解得c b ==,所以ABC ∆是等边三角形.18. 解：（1）①从统计表看出选择理科的学生的数学平均成绩高于选择文科的学生的数学平均成绩, 反映了数学成绩对学生选择文理科有一定的 影响, 频率分布直方图如下:②从频率分布直方图知，数学成绩有0050小于或等于80分, 0050大于或等于80分, 所以中位数为80分.平均分为()550.005650.015750.030850.030950.0201079.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=,即估计选择理科的学生的平均分为79.5分.（2）5人中选出两人共有10种选法，其中至少有一人选文科的选法有7种，所以这5名学生中任抽取两名学生,至少有一名学生选择文科的概率为710. 19. 解：（1）取AD 中点O ,连OP 、OB ,由已知得：,OP AD OB AD ⊥⊥,又,OP OB O AD =∴⊥ 平面,,POB BC AD BC ∴⊥ 平面,POB PB ⊂ 平面,POB BC PB ∴⊥.（2）设点P 到平面ABCD 的距离为h ,由(1) 知AD ⊥平面POB ,点A 到面POB 的距离是1AO =.在POB ∆中13,322POB PO BO PB S ∆===∴=.由P AOB A POB V V --=得1111311332322h h =⇒=.20. 解：（1）2EC EA EC EP AC +=+=>=,则由椭圆的定义可知点E 的轨迹为焦点x 轴,22a c == 的椭圆.1,1a c b ∴=== 所以点E 的轨迹方程2212x y +=. （2）假设右焦点F 是椭圆的的轨迹心.()1,0,F ∴ 直线BF 的斜率为1-,从而直线l 的斜率为1,设其方程为y x m =+,联立方程组2212y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理可得()22222234220,162412480,3x mx m m m m m ++-=∆=--=->∴<, 设()()1122,,,M x y N x y ,则21212422,33m x x m x x -+=-=.于是()()112112121211NF BM x x y y x y x x y y =---=+--()()()()2121212121221x x m x x x m x m x x m x x m m =++--++=-+-++-()222224142103333m m m m m m m -⎛⎫=-+--+-=--+= ⎪⎝⎭ ,解得1m =或43m =-,当1m =时, 点B 即为直线l 与椭圆的交点, 不符合题意；当43m =-时, 经检验l 和椭圆相交符合题意.所以, 当且仅当直线l 的方程为43y x =-时, 点F 是BMN ∆的垂心. 21. 解：（1）()211','a f x a g x x-=+=,由题设知即00x >,且()()00''f x g x =,即 ,因为上式对任意的实数a 恒成立, 20011a a x x -+=化为()()200110a x x -+-=2001010x x ⎧-=⎪∴⎨-=⎪⎩,故所求01x =.（2）()()1f x g x -≥即1ln 1a ax x x -+-≥,记()1ln a h x ax x x-=+-,则在[)1,+∞上,()1h x ≥,()()()211',1ax a x h x x x ---⎡⎤⎣⎦=≥, ①若()0,1,a x ≤∈+∞上()()'0,h x h x <单调递减；而()1211h a =-<,这与[)1,+∞上()1h x ≥矛盾；②若102a <≤,则111a -+>时,11,a x a -⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,()()'0,h x h x < 单调递减；()()1,'0,a x h x h x a -⎡⎫∈+∞>⎪⎢⎣⎭单调递增,()11210,0a h a h a -⎛⎫=-≤∴< ⎪⎝⎭, 这与[)1,+∞上()1h x ≥恒成立矛盾；③若()1,1,2a x >∈+∞时, ()()'0,h x h x > 单调递增,()()min 1211,1h x h a a ∴==-≥∴≥ 即()1h x ≥恒成立, 综上实数a 的取值范围[)1,+∞.22. 解：（1）由以D 为圆心DA 为半径作圆, 而ABCD 为正方形,EA ∴ 为圆D 的切线, 依据切割线定理得2EA EF EC = .另外圆O 以BC 为直径, EB ∴ 为圆O 的切线, 同样依据切割线定理得2EB EF EC = ,故AE EB =.（2）连结,BF BC 为圆O 为直径, BF EC ∴⊥,由1122BCE S BC BE CE BF ∆==得BF ==又在RT BCE ∆中, 由射影定理得245EF FC BF == . 23. 解：（1）由2cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩可得曲线C 的普通方程为：22149x y +=,由2cos sin 6ρθρθ+=可得直线l 的直角坐标方程为230x y +-=.（2）很明显()1,1P 在直线230x y +-=上, 故有直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数) ；则求,PA PB 即需找到对应的t 值即可.把11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22149x y +=得：25230t -=,所以有：12235t t =-,即235PA PB = . 24. 解：（1）原不等式等价于215x x -+-≥,当2x >时, 不等式化为()()215x x -+-≥,解得4,4x x ≥∴≥,当12x ≤≤时, 不等式化为()()215x x -+-≥,解得15≥,无解, 当1x <时, 不等式化为()()215x x ----≥,解得1,1x x ≤-∴≤-≤,综上所述, 不等式的解集为{}|41x x x ≥≤-或. （2）证：(),22b b f ab a f ab a a a ⎛⎫>∴->-⎪⎝⎭,即()()2222,22ab b a ab b a ->-∴--展开得()()22222222440,140,1,1,4,2a b a b a b a a b b --+>∴-->>∴>∴>∴> .。
