2019年高三最新信息卷 理数(四)

2019 年新课标全国 3 卷高三最新信息卷理科数学（一）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019 吉·林实验中学]在复平面内与复数2iz 所对应的点关于实轴对称的点为 A ，则A 对应的复数为1 i（）A ．1 i B．1 i C． 1 i D． 1 i 【答案】B【解析】复数2i 2i 1 iz 1 i ，复数的共轭复数是 1 i ，1 i 1 i 1 i就是复数2iz 所对应的点关于实轴对称的点为 A 对应的复数，故选B．1 i2．[2019 哈·六中] 0 x 3 是x 1 2 成立的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解x 1 2 得到 1 x 3 ，假设0 x 3 ，一定有 1 x 3 ，反之不一定，故0 x 3 是x 1 2 成立的充分不必要条件．故答案为 A ．3．[2019 衡·阳联考]比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为 5 分，分值高者为优），绘制了如图 1 所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（）A ．乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值【答案】C【解析】对于选项 A ，甲的逻辑推理能力指标值为4，优于乙的逻辑推理能力指标值为3，所以该命题是假命题；对于选项B，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，所以该命题是假命题；对于选项C，甲的六维能力指标值的平均值为1234 3 45 3 46 6，乙的六维能力指标值的平均值为1 6 5 4 3 5 4 3 4，因为2364，所以选项 C 正确；对于选项D，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故该命题是假命题．故选C．4．[2019 西·安中学]若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（）A ．12B．32C．34D．64【答案】A【解析】由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即2c a ，所以离心率 e ca12，故选A．log x, x 125．[2019 郑·州一中]已知函数 f x 11 x，则不等式 f x 1的解集为（）, x 1A ．,2 B．,0 1,2 C．0,2 D．,0 1,2 【答案】D【解析】当x 1时， f x 1，即为l og x 1，解得1 x 2 ；2当x 1时， f x 1，即为 111 x，解得x 0 ，综上可得，原不等式的解集为,0 1,2 ，故选D．π6．[2019 烟·台一模]将函数 f x sin x 0, 的图象向右平移2 π个单位长度后，所得图象关6于y 轴对称，且π 1f ，则当取最小值时，函数 f x 的解析式为（）2πA ． f x sin 2x B． f x sin 2x6 π6πC． f x sin 4x D．f x sin 4x6 π6【答案】Cπ【解析】将函数sin 0,f x x 的图象向右平移2 π个单位长度后，6可得πy sin x 的图象，6∵所得图象关于y 轴对称，∴ππk ，k Z．π6 2∵π1f sin πsin ，即2sin12，则当取最小值时，π，6∴ππk ，取k 1，可得 4 ，π6 3π∴函数 f x 的解析式为 f x sin 4x ，故选C．67．[2019 聊·城一模]数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍（méng），下广三丈，袤（mào）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽 3 丈，长4 丈；上棱长 2 丈，高 1 丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为 1 丈，则该楔体的体积为（单位：立方丈）（）A ．5.5 B．5 C．6 D．6.5【答案】B【解析】根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示：结合图中数据，计算该几何体的体积为1 1 1V V三棱柱V三棱锥（立方丈）．2 3 1 4 2 3 1 1 52 3 22x y 08．[2019 哈·六中]实数x ，y 满足不等式组2x y 0，若z 3x y 的最大值为5，则正数m 的值为（）y y m 0A ．2 B．12C．10 D．110【答案】A【解析】先由2x y 02x y 0画可行域，发现y 0 ，所以y y m 0 可得到y m，且m 为正数．画出可行域为△AOB （含边界）区域．z 3x y ，转化为y 3x z，是斜率为3的一簇平行线，z 表示在y 轴的截距，由图可知在A点时截距最大，解y 2xy mmx，得 2y mm，即,A m ，2此时3mz m 5 ，解得m 2 ，故选 A 项．max29．[2019 ·镇海中学]已知正项等比数列a n 满足a7 a6 2a5 ，若存在两项a m ，a n ，使得 2a a 16a ，则m n 11 9m n的最小值为（）A ．32B．114C．83D．103【答案】B【解析】设正项等比数列a的公比为q ，且q 0 ，n由a7 a6 2a5 ，得a q a6 6 2a6q，化简得 2 2 0q q ，解得q 2 或q 1 （舍去），因为 2a a 16a ，所以m n 1m 1 n 1 2a1q a1q 16a1 ，则m n 2q 16 ，解得m n 6 ，所以19 1 1 9 1 n 9m 1 n 9m 8m n 10 10 2m n 6 m n 6 m n 6 m n 3，当且仅当n 9mm n时取等号，此时n 9mm nm n 6，解得mn3292，因为m ，n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1 9 8 m n 3，验证可得，当m 2 ，n 4 时，19m n取最小值为114，故选B．10．[2019 聊·城一模]如图，圆柱的轴截面为正方形ABCD ，E 为弧BC 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（）A ．33B．55C．306D．66【答案】D【解析】取BC 的中点H ，连接EH ，AH ，EHA 90 ，设AB 2 ，则BH HE 1，AH 5 ，所以AE 6 ，连接ED ，ED 6 ，因为BC∥AD ，所以异面直线AE与BC 所成角即为EAD ，在△EAD中，cos 6 4 6 6EAD ，故选D．6 2 2 611．[2019 天·津毕业]已知双曲线2 2x y2 2 1 a 0,b 0a b，过原点的直线与双曲线交于A，B 两点，以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点 C ，若△ABC 的面积为 22a ，则双曲线的渐近线方程为（）A ．2y x B．y 2x C．23y x D．y 3x3【答案】B【解析】以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 C ，以AB为直径的圆的方程为 2 2 2x y c ，由对称性知△ABC 的面积12S 2S 2 ch ch 2a△，OBC2即h22ac，即 B 点的纵坐标为y22ac，则由222 2a 2x cc，得22 42a 4a2 2 2x c c2c c，2c4 44a 4a2 2c c2 2a b因为点 B 在双曲线上，则 1，即2 2 4c 4a 4a2 2 2 2 2a c c c a1，即2 2 2c 4a a1 12 2 2 2a c c a，即2 2 2c4a c2 2 2 2a c c a1，即2 2c4a2 2 2a c a1，即2 2 2 2c 4a c a12 2 2 2a c a a，得 24 2 24a c a ，即 2 2 22a c a ，得2 23a c ，得c 3a ，b 2a ．b则双曲线的渐近线方程为y x 2xa，故选B．12．[2019 ·上高二中]定义：若数列a n 对任意的正整数n ，都有a a d d为常数，则称a n 为“绝n 1 n对和数列”，d 叫做“绝对公和”．已知“绝对和数列”a n 中，a1 2，绝对公和为3，则其前2019 项的和S的最小值为（）2019A ．2019 B．3010 C．3025 D．3027【答案】C【解析】依题意，要使其前2019 项的和S2019 的最小值只需每一项的值都取最小值即可，∵a1 2，绝对公和 d 3 ，∴a2 1或a2 1（舍），∴a3 2 或a3 2（舍），∴a4 1或a4 1（舍），，2, n 1∴满足条件的数列a n 的通项公式a2, n为大于1的奇数n，1, n为偶数∴所求值为a1 a2 a3 a4 a5 a2018 a20192019 12 1 2 30252，故选C．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019 呼·和浩特质检]在2x51x的展开式中， 2x 的系数为______．【答案】801 x 5的展开式中，通项公式r315 r5 r r 52r r rT C 2x 1 2 C xr 1 5 5x【解析】2x，令35 r 2，解得r 2 ．22x 的系数3 22 C 80 ，故答案为80．514．[2019 衡·水二中]已知函数f x2sin x tan x, x 0e 2x , x 0，则25πf f _____．4【答案】 13e【解析】因为25π25π25π 1 32f sin tan 1 ，4 4 4 2 2所以33 1232f e e ．故答案为32 e13e．15．[2019 福·建联考]在边长为 2 的等边三角形ABC 中，BC 2BD ，则向量BA 在AD 上的投影为______．【答案】 3【解析】BC 2BD ， D 为BC 的中点，1AD AB AC ，21 1 1BA AD AB BA AC BA 2 2 2 cos120 3，2 2 211122AD AB AC2AB AC442223，222则向量BA在AD上的投影为B A ADAD 333，故答案为3．16．[2019德·州一模]已知函数22f x x ax，2g x4a ln x b，设两曲线y f x，y g x有公共点P，且在P点处的切线相同，当a0,时，实数b的最大值是______．【答案】2e【解析】设P x0,y0，f x2x2a，g x24ax．由题意知，f x0g x0，f x0g x0，即22x02ax04a ln x0b，①2x2a24ax，②解②得：x a或x02a（舍），代入①得：22b3a4a ln a，a0,，b6a8a ln a4a2a14ln a，11当a0,e4时，b0；当a e,时，b0．411b e43e4eln e42e．故答案为2e．实数b的最大值是三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019甘·肃联考]在△ABC中，3sin A2sin B，tanC35．（1）求cos2C；（2）若AC BC1，求△ABC的周长．【答案】（1）1718；（2）511．【解析】（1）∵tanC35，∴cos1C，∴62117cos2C21．618（2）设△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为 a ，b ，c ．∵3sin A 2sin B ，∴3a 2b ，∵AC BC b a 1 ，∴ a 2 ，b 3 ．由余弦定理可得 2 2 2c a b 2ab cosC 13 2 11，则c 11，△ABC 的周长为 5 11 ．18．（12 分）[2019 保·山统测]某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用 A ，B 两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n n *N个人数超过1000 人的大集团和8 个人数低于200 人的小集团中随机抽取若干4个集团进行调查，若一次抽取 2 个集团，全是小集团的概率为．15（1）求n的值；（2）若取出的 2 个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；（3）若一次抽取 4 个集团，假设取出小集团的个数为X ，求X 的分布列和期望．【答案】（1）n 7 ；（2）37；（3）详见解析．【解析】（1）由题意知共有n 8 个集团，取出 2 个集团的方法总数是 2C n ，8其中全是小集团的情况有 2C ，故全是小集团的概率是82C 56 482C n n 8 n 7 158，整理得到n 7 n 8 210 ，即 2n 15n 154 0 ，解得n 7 ．（2）若 2 个全是大集团，共有 2C 21 种情况；7若2 个全是小集团，共有 2C 28种情况，8故全为大集团的概率为21 3 21 28 7．（3）由题意知，随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，计算0 4C C 18 7P X 0 ；4C 39151 3C C 88 7P X 1 ；4C 39152 2C C 288 7P X 2 ；4C 65153 1C C 568 7P X 3 ；4C 195154 0C C 28 7P X 4 ，4C 3915故X 的分布列为：X 0 1 2 3 41 39839286556195239P数学期望为182856232E X01234．393965195391519．（12分）[2019·河南名校]如图所示的三棱柱ABC A1B1C1中，AA1平面ABC，AB BC，BC BB，B1C的中点为O，若线段A1C1上存在点P使得PO平面AB1C．331（1）求AB；（2）求二面角A B C A的余弦值．11【答案】（1）62；（2）63．【解析】（1）方法一：设AB的长为t，依题意可知BA，BC，B B两两垂直，分别以BC，BB1，BA的方1向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示．则A0,0,t，C3,0,0，B10,1,0，C13,1,0，31O,,0，A10,1,t，22因此B1C3,1,0，AC3,0,t，A1C13,0,t．设A1P A1C13,0,t，易求得点P的坐标为3,1,t t，所以31OP3,,t t．22因为OP平面ABC，所以111OP B C3301221OP AC33t t102．6t2解之得，所以AB的长为262．3方法二：如图，在平面B CC B内过点O作B1C的垂线分别交BC和B1C1于M，N，连接PN，11在平面ABC内过点M作BC的垂线交AC于R，连接OR．依题意易得，R M∥A B∥PN R，M，N，P，O五点共面．11因为PO平面ABC，所以1RM ONPO RO RMO ONP△△．①MO PN在3△中，ON B1O tan30，BON13OB23B N，因此N为线段B1C1靠近C1的三等分点．11cos303由对称性知，M为线段BC靠近B的三等分点，因此2RM AB，31PN AB．3代入①，得3336 AB OM ON．2232（2）由（1）方法一可知，316OP,,是平面626AB C的一个法向量且16B1C3,1,0，B1A10,0,．2设平面A B C的法向量为n，则11nnB C1B A11n可以为1,3,0．23cos OP,n O POPnn232263．因为二面角A B C A为锐角，故所求二面角A B1C A1的余弦值为1163．20．（12分）[2019烟·台一模]已知F为抛物线2C:y2px p0的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B 两点．当直线与x轴垂直时，AB4．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．【答案】（1）2y4x；（2）P1,2．p【解析】（1）因为,0F，在抛物线方程22y2px中，令px，可得y p．2于是当直线与x轴垂直时，AB2p4，解得p2．所以抛物线的方程为24y x．（2）因为抛物线24y x的准线方程为x1，所以M1,2．设直线AB的方程为y x1，联立24y x消去x，得y x12440y y．设A x1,y1，B x2,y2，则y1y24，y1y24．若点P x0,y0满足条件，则2k PM k PA k PB，即2y2y y y y 00102x1x x x x 00102，因为点P，A，B均在抛物线上，所以2yx，42y1x，142y2x．24代入化简可得2y22y y y001222y4y y y y y y0012012，将y1y24，y1y24代入，解得y02．将y02代入抛物线方程，可得x01．于是点P1,2为满足题意的点．21．（12分）[2019济·南模拟]已知函数a2f x xln x x a1x，其导函数f x的最大值2为0．（1）求实数a的值；（2）若f x1f x21x1x2，证明：x1x22．【答案】（1）a1；（2）见解析．【解析】（1）由题意，函数f x的定义域为0,，其导函数f x lnx a x1，记h x f x，则h x1axx．当a0时，h x 1axx0恒成立，所以h x在0,上单调递增，且h10．所以x1,，有h x f x0，故a0时不成立；当a0时，若x0,1a，则h x1axx0；若x1a,，则h x1axx0．所以h x在0,1a 单调递增，在1a,单调递减．所以1h x h lna a10maxa．令g a lna a1，则g a11a1a a．当0a1时，g a0；当a1时，g a0．所以g a在0,1的单减，在1,单增．所以g a g10，故a1．（2）当a1时，12f x xlnx x，则f x1lnx x．2由（1）知f x1lnx x0恒成立，所以12f x xlnx x在0,上单调递减，2且1f1，f x1f x212f1，2不妨设0x x，则120x1x，12欲证x1x22，只需证x22x1，因为f x在0,上单调递减，则只需证f x2f2x1，又因为f x1f x21，则只需证1f x1f2x1，即f2x1f x11．令F x f x f2x（其中x0,1），且F11．所以欲证f2x1f x11，只需证F x F1，x0,1，由F x f x f2x1lnx x1ln2x2x，整理得F x lnx ln2x21x，x0,1，221xF x0，x0,1，x2x所以F x lnx ln2x21x在区间0,1上单调递增，所以x0,1，F x lnx ln2x21x F10，所以函数F x f x f2x在区间0,1上单调递减，所以有F x F1，x0,1，故x1x22．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·宝鸡模拟]点P是曲线22C1:x2y4上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点P逆时针旋转90得到点Q，设点Q的轨迹为曲线C．2（1）求曲线C，1C的极坐标方程；2π（2）射线03与曲线C1，C2分别交于A，B两点，设定点M2,0，求△MAB的面积．【答案】（1）C1:4cos，C2:4sin；（2）33．【解析】（1）曲线C1的圆心为2,0，半径为2，把互化公式代入可得：曲线C1的极坐标方程为4cos．ππ设Q,，则P,，则有4cos4sin22．所以曲线C的极坐标方程为4sin．2（2）M到射线ππ的距离为d2sin3，33ππAB4sin cos231，B A33则1S AB d33．223．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·上饶二模]已知函数f x ax1a0．（1）若不等式f x2的解集为A，且A2,2，求实数a的取值范围；（2）若不等式123f x f xa a2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）3,2；（2）1,22．【解析】（1）ax12，2ax12，13xa a ，A13,a a．A2,2，3a 1a22，3a，a的取值范围232,．（2）由题意3ax1x1恒成立，设h x ax1x1，2a1x,x1h x1a x2,1x 1a，a1x,x 1 a①0a1时，由函数单调性h x h a，min113a1，212a1，②a1时，h x hmin 1a1a a，aa132，1a2，综上所述，a的取值范围12,2．。

2019年高考高三最新信息卷理科数学（一）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·吉林实验中学]在复平面内与复数2i1iz=+所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为（）A．1i+B．1i-C．1i--D．1i-+2．[2019·哈六中]03x<<是12x-<成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．[2019·衡阳联考]比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图1所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（）A．乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值4．[2019·西安中学]若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（）A．12B3CD5．[2019·郑州一中]已知函数()2log,11,11x xf xxx≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，则不等式()1f x≤的解集为（）A．(],2-∞B．(](],01,2-∞C．[]0,2D．(][],01,2-∞6．[2019·烟台一模]将函数()()sin0,π2f x xϕωϕω⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象关于y轴对称，且1π2fω⎛⎫=-⎪⎝⎭，则当ω取最小值时，函数()f x的解析式为（）A．()sin2π6f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭B．()sin2π6f x x⎛⎫=-⎪⎝⎭C．()sin4π6f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭D．()sin4π6f x x⎛⎫=-⎪⎝⎭7．[2019·聊城一模]数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍（méng），下广三丈，袤（mào）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（单位：立方丈）（）A．5.5B．5 C．6 D．6.58．[2019·哈六中]实数x，y满足不等式组()2020x yx yy y m-⎧≤+≥-≤⎪⎨⎪⎩，若3z x y=+的最大值为5，则正数m的值为（）A．2 B．12C．10 D．1109．[2019·镇海中学]已知正项等比数列{}n a满足7652a a a=+，若存在两项ma，na，使得2116m na a a⋅=，则19m n+的最小值为（）A．32B．114C．83D．10310．[2019·聊城一模]如图，圆柱的轴截面为正方形ABCD ，E 为弧BC 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）ABCD11．[2019·天津毕业]已知双曲线()222210,0x ya b a b -=>>，过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C ，若ABC △的面积为22a ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A．y = B．y = C．y = D ．3y x =12．[2019·上高二中]定义：若数列{}n a 对任意的正整数n ，都有()1n n a a d d ++=为常数，则称{}n a 为“绝对和数列”，d 叫做“绝对公和” ．已知“绝对和数列”{}n a 中，12a =，绝对公和为3， 则其前2019项的和2019S 的最小值为（ ） A ．2019- B ．3010- C ．3025- D ．3027-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·呼和浩特质检]在52x ⎛ ⎝的展开式中，2x 的系数为______．14．[2019·衡水二中]已知函数()22sin tan ,,0e xx x x f x x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，则25π4f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____． 15．[2019·福建联考]在边长为2的等边三角形ABC 中，2BC BD =，则向量BA 在AD 上的投影 为______．16．[2019·德州一模]已知函数()22f x x ax =+，()24ln g x a x b =+，设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在P 点处的切线相同，当()0,a ∈+∞时，实数b 的最大值是______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·甘肃联考]在ABC △中，3sin 2sin A B =，tan C（1）求cos2C ；（2）若1AC BC -=，求ABC △的周长．18．（12分）[2019·保山统测]某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A ，B 两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市()n n ∈*N 个人数超过1000人的大集团和8个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为415． （1）求n 的值；（2）若取出的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；（3）若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X ，求X 的分布列和期望．19．（12分）[2019·河南名校]如图所示的三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，133BC BB ==，1B C 的中点为O ，若线段11A C 上存在点P 使得PO ⊥平面1AB C ．（1）求AB ；（2）求二面角11A B C A --的余弦值．20．（12分）[2019·烟台一模]已知F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，过F 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点．当直线与x 轴垂直时，4AB =． （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线AB 的斜率为1且与抛物线的准线l 相交于点M ，抛物线C 上存在点P 使得直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列，求点P 的坐标．21．（12分）[2019·济南模拟]已知函数()()2ln 12a f x x x x a x =-+-，其导函数()f x '的最大值为0．（1）求实数a 的值；（2）若()()()12121f x f x x x +=-≠，证明：122x x +>．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·宝鸡模拟]点P 是曲线()22124C x y -+=:上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转90︒得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线2C ． （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）射线()03πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，设定点()2,0M ，求M AB △的面积．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·上饶二模]已知函数()()10f x ax a =->．（1）若不等式()2f x ≤的解集为A ，且()2,2A ⊆-，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()1232f x f x aa ⎛⎫++> ⎪⎝⎭对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．绝密 ★ 启用前2019年高考高三最新信息卷理科数学答案（一）一、选择题． 1．【答案】B 【解析】复数()()()2i 1i 2i1i 1i 1i 1i z -===+++-，∴复数的共轭复数是1i -， 就是复数2i1iz =+所对应的点关于实轴对称的点为A 对应的复数，故选B ． 2．【答案】A【解析】解12x -<得到13x -<<，假设03x <<，一定有13x -<<，反之不一定， 故03x <<是12x -<成立的充分不必要条件．故答案为A ． 3．【答案】C【解析】对于选项A ，甲的逻辑推理能力指标值为4，优于乙的逻辑推理能力指标值为3， 所以该命题是假命题；对于选项B ，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5， 所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，所以该命题是假命题； 对于选项C ，甲的六维能力指标值的平均值为()12343453466+++++=，乙的六维能力指标值的平均值为()154354346+++++=，因为2346<，所以选项C 正确； 对于选项D ，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故该命题是假命题．故选C ． 4．【答案】A【解析】由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即2c a =， 所以离心率12c e a ==，故选A ． 5．【答案】D【解析】当1x ≥时，()1f x ≤，即为2log 1x ≤，解得12x ≤≤； 当1x <时，()1f x ≤，即为111x≤-，解得0x ≤， 综上可得，原不等式的解集为][(,01,2⎤-∞⎦，故选D ．6．【答案】C【解析】将函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，可得πsin 6y x ωωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象， ∵所得图象关于y 轴对称，∴πππ62k ωϕ-+=+，k ∈Z ． ∵()1sin πsin 2πf ϕϕω⎛⎫=-=+=- ⎪⎝⎭，即1sin 2ϕ=，则当ω取最小值时，π6ϕ=，∴ππ63πk ω-=+，取1k =-，可得4ω=， ∴函数()f x 的解析式为()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选C ．7．【答案】B【解析】根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示：结合图中数据，计算该几何体的体积为111231423115232V V V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯==-三棱柱三棱锥（立方丈）． 8．【答案】A【解析】先由2020x y x y -≤+≥⎧⎨⎩画可行域，发现0y ≥，所以()0y y m -≤可得到y m ≤，且m 为正数． 画出可行域为AOB △（含边界）区域．3z x y =+，转化为3y x z =-+，是斜率为3-的一簇平行线，z 表示在y 轴的截距，由图可知在A 点时截距最大，解2y x y m ==⎧⎨⎩，得2m x y m ==⎧⎪⎨⎪⎩，即,2m A m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时max 352mz m =+=，解得2m =，故选A 项． 9．【答案】B【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，且0q >， 由7652a a a =+，得6662q a a a q=+， 化简得220q q --=，解得2q =或1q =-（舍去）， 因为2116m n a a a =，所以()()11211116m n a qa qa --=，则216m n q+-=，解得6m n +=，所以()19119191810106663n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当9n m m n =时取等号，此时96n m m n m n =+=⎧⎪⎨⎪⎩，解得3292m n ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩， 因为m ，n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1983m n +>，验证可得，当2m =，4n =时，19m n +取最小值为114，故选B ．10．【答案】D【解析】取BC 的中点H ，连接EH ，AH ，90EHA ∠=︒，设2AB =，则1BH HE ==，AH =AE =， 连接ED，ED ，因为BC AD ∥，所以异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠， 在EAD △中，cos EAD ∠==，故选D ． 11．【答案】B【解析】以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点C ，∴以AB 为直径的圆的方程为222x y c +=，由对称性知ABC △的面积212222OBC S S ch ch a ==⨯==△，即22a h c =，即B 点的纵坐标为22a y c=，则由22222a x c c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得224222224a a x c c c c ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为点B 在双曲线上，则4422222441a a c c c a b--=， 即()22422222441c a a a c c c a --=-，即2222222411c a a a c c a ⎛⎫-+= ⎪-⎝⎭， 即222222241c a c a c c a -⋅=-，即2222241c a a c a -=-， 即2222222241c a c a a c a a --==-，得()24224a c a =-， 即2222a c a =-，得223a c =，得c =，b ．则双曲线的渐近线方程为by x a=±=，故选B ．12．【答案】C【解析】依题意，要使其前2019项的和2019S 的最小值只需每一项的值都取最小值即可， ∵12a =，绝对公和3d =，∴21a =-或21a =（舍）， ∴32a =-或32a =（舍），∴41a =-或41a =（舍）， ，∴满足条件的数列{}n a 的通项公式2,12,11,n n a n n =⎧⎪=-⎨⎪-⎩为大于的奇数为偶数， ∴所求值为()()()2345201801912a a a a a a a +++++++()2019121230252-=+--⨯=-，故选C ．二、填空题． 13．【答案】80【解析】52x ⎛ ⎝的展开式中，通项公式()()35552155C 22C 1rr r r r r r r T x x---+⎛ ⎝==-，令3522r -=，解得2r =．2x ∴的系数325C 280==，故答案为80． 14．【答案】31e【解析】因为225π25π25π13sin tan 144422f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以3232331ee 2ef -⨯-⎛⎫===⎪⎝⎭．故答案为31e． 15．【答案】【解析】2BC BD =，D ∴为BC 的中点，()12AD AB AC ∴=+， 111222cos1203222BA AD AB BA AC BA ∴⋅=⋅+⋅=-+⨯⨯⨯︒=-，221124AD AB AC AB AC=++⋅== 则向量BA 在AD上的投影为BA AD AD⋅==16．【答案】【解析】设()00,P x y ，()22f x x a '=+，()24a g x x'=．由题意知，()()00f x g x =，()()00f x g x ''=，即2200024ln x ax a x b +=+，① 200422ax a x +=，② 解②得：0x a =或02x a =-（舍）， 代入①得：2234ln b a a a =-，()0,a ∈+∞，()68ln 4214ln b a a a a a a '=--=-，当140,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0b '>；当14e ,a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，0b '<．∴实数b的最大值是1144e e b ⎛⎫== ⎪⎝⎭三、解答题． 17．【答案】（1）1718-；（2）5 【解析】（1）∵tan 35C =1cos 6C =，∴2117cos 221618C ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭．（2）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．∵3sin 2sin A B =，∴32a b =，∵1AC BC b a -=-=，∴2a =，3b =．由余弦定理可得2222cos 13211c a b ab C =+-=-=，则11c ABC △的周长为5+18．【答案】（1）7n =；（2）37；（3）详见解析．【解析】（1）由题意知共有8n +个集团，取出2个集团的方法总数是28C n +，其中全是小集团的情况有28C ，故全是小集团的概率是()()282856487C C 15n n n +==++， 整理得到()()78210n n ++=，即2151540n n +-=，解得7n =．（2）若2个全是大集团，共有27C 21=种情况； 若2个全是小集团，共有28C 28=种情况， 故全为大集团的概率为21321287=+．（3）由题意知，随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，计算()0487415C C 10C 39P X ===；()1387415C C 81C 39P X ===；()2287415C C 282C 65P X ===；()3187415C C 563C 195P X ===；()4087415C C 24C 39P X ===，故X 的分布列为：数学期望为()182856232012343939651953915E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．【答案】（16（26．【解析】（1）方法一：设AB 的长为t ，依题意可知BA ，BC ，1BB 两两垂直，分别以BC ，1BB ，BA 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示．则()0,0,A t，)C，()10,1,0B，)1C，1,02O ⎫⎪⎪⎝⎭，()10,1,A t ，因此()13,1,0B C =-，()3,0,AC t =-，()113,0,AC t =-．设()1113,0,A PAC t λλλ==-，易求得点P 的坐标为),1,t t λ-，所以13,2OP t t λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎭． 因为OP ⊥平面1AB C，所以()111302213102OP B C OP AC t t λλλ⎧⎪⎫⋅=⨯--=⎪⎭⎫⋅=⨯--⋅-=⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎭．解之得23t λ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩，所以AB方法二：如图，在平面11BCC B 内过点O 作1B C 的垂线分别交BC 和11B C 于M ，N ，连接PN ， 在平面ABC 内过点M 作BC 的垂线交AC 于R ，连接OR ．依题意易得，11RM AB PN R ⇒∥∥，M ，N ，P ，O 五点共面． 因为PO ⊥平面1AB C ，所以RM ONPO RO RMO ONP MO PN⊥⇒~⇒=△△．① 在1B ON △中，1tan30ON B O =⋅︒=，11cos30OB B N=︒，因此N为线段11B C 靠近1C 的三等分点． 由对称性知，M 为线段BC 靠近B 的三等分点，因此23RM AB =，13PN AB =．代入①，得AB =． （2）由（1）方法一可知，312OP ⎛= ⎝⎭是平面1AB C 的一个法向量且()13,1,0B C =-，11B A ⎛= ⎝⎭． 设平面11A B C 的法向量为n ，则1110B C B A ⋅=⇒⋅=⎧⎪⎨⎪⎩n n n 可以为()．2363cos 22,OP OP OP ⋅〈〉===⨯n n n．因为二面角11A B C A --为锐角，故所求二面角11A B C A --． 20．【答案】（1）24y x =；（2）()1,2P ±．【解析】（1）因为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在抛物线方程22y px =中，令2p x =，可得y p =±．于是当直线与x 轴垂直时，24AB p ==，解得2p =． 所以抛物线的方程为24y x =．（2）因为抛物线24y x =的准线方程为1x =-，所以()1,2M --． 设直线AB 的方程为1y x =-，联立241y xy x ==-⎧⎨⎩消去x ，得2440y y --=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y +=，124y y =-． 若点()00,P x y 满足条件，则2PM PA PB k k k =+， 即0010200102221y y y y y x x x x x +--⋅=++--， 因为点P ，A ，B 均在抛物线上，所以2004y x =，2114y x =，2224y x =．代入化简可得()()00122200120122224y y y y y y y y y y y +++=++++，将124y y +=，124y y =-代入，解得02y =±． 将02y =±代入抛物线方程，可得01x =． 于是点()1,2P ±为满足题意的点． 21．【答案】（1）1a =；（2）见解析．【解析】（1）由题意，函数()f x 的定义域为()0,+∞，其导函数()()ln 1f x x a x '=--， 记()()h x f x ='，则()1axh x x='-． 当0a ≤时，()10axh x x-'=≥恒成立，所以()h x 在()0,+∞上单调递增，且()10h =． 所以()1,x ∀∈+∞，有()()0h x f x ='>，故0a ≤时不成立；当0a >时，若10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()10ax h x x -'=>；若1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()10ax h x x -'=<．所以()h x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减．所以()max 1ln 10h x h a a a ⎛⎫==-+-= ⎪⎝⎭．令()ln 1g a a a =-+-，则()111a g a a a'-=-=． 当01a <<时，()0g a '<；当1a >时，()0g a '>． 所以()g a 在()0,1的单减，在()1,+∞单增． 所以()()10g a g ≥=，故1a =．（2）当1a =时，()21ln 2f x x x x =-，则()1ln f x x x =+-'．由（1）知()1ln 0f x x x '=+-≤恒成立， 所以()21ln 2f x x x x =-在()0,+∞上单调递减，且()112f =-，()()()12121f x f x f +=-=，不妨设120x x <<，则1201x x <<<， 欲证122x x +>，只需证212x x >-，因为()f x 在()0,+∞上单调递减，则只需证()()212f x f x <-，又因为()()121f x f x +=-，则只需证()()1112f x f x --<-，即()()1121f x f x -+>-． 令()()()2F x f x f x =+-（其中()0,1x ∈），且()11F =-． 所以欲证()()1121f x f x -+>-，只需证()()1F x F >，()0,1x ∈， 由()()()()()21ln 1ln 22F x f x f x x x x x =--=+--+-'-'+'，整理得()()()()ln ln 2210,1F x x x x x -'=--+∈，， ()()()22102x F x x x -=-'>'，()0,1x ∈，所以()()()ln ln 221F x x x x =--+-'在区间()0,1上单调递增， 所以()0,1x ∀∈，()()()()ln ln 22110F x x x x F =--+-<'='，所以函数()()()2F x f x f x =+-在区间()0,1上单调递减， 所以有()()1F x F >，()0,1x ∈， 故122x x +>．22．【答案】（1）1:4cos C ρθ=，2:4sin C ρθ=；（2）3-．【解析】（1）曲线1C 的圆心为()2,0，半径为2，把互化公式代入可得：曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=．设(),Q ρθ，则,2πP ρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则有4cos 4sin π2ρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．所以曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （2）M 到射线π3θ=的距离为2sin 3πd ==)4sin cos ππ2133B A AB ρρ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，则1332S AB d =⨯= 23．【答案】（1）3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）1,22⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】（1）12ax -≤，212ax -≤-≤，13x a a -≤≤，13,A a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦． ()2,2A ⊆-，1232aa⎧->-⎪⎪∴⎨⎪<⎪⎩，32a >，a ∴的取值范围3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）由题意3112ax x -++>恒成立，设()11h x ax x =-++，()()()()()1,1112,111,a x x h x a x x a a x x a ⎧⎪-+<-⎪⎪⎛⎫=-+-≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，①01a <≤时，由函数单调性()()min 11h x h a =-=+，312a +>，112a ∴<≤， ②1a >时，()min 11a h x h a a +⎛⎫== ⎪⎝⎭，132a a +>，12a ∴<<，综上所述，a 的取值范围1,22⎛⎫⎪⎝⎭．。

绝密 ★ 启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科综合能力测试（四） 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 S 32 Cl 35.5 K 39第Ⅰ卷（选择题，共126分）一、选择题：本大题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列叙述正确的是A ．线粒体膜上存在转运葡萄糖的载体B ．细胞分裂间期，染色体复制需DNA 聚合酶和RNA 聚合酶C ．细菌和青蛙等生物在无丝分裂过程中需进行DNA 复制D ．核孔保证了控制物质合成的基因能够从细胞核到达细胞质2．下图是用32P 标记噬菌体并侵染细菌的过程，有关叙述正确的是A ．过程①32P 标记的是噬菌体外壳的磷脂分子和内部的DNA 分子B ．过程②应短时保温，有利于吸附在细菌上的噬菌体与细菌分离C ．过程③离心的目的是析出噬菌体外壳，使被感染的大肠杆菌沉淀D ．过程④沉淀物的放射性很高，说明噬菌体的DNA 是遗传物质3．某兴趣小组将小鼠分成两组，A 组注射一定量的某种生物提取液，B 组注射等量的生理盐水，两组均表现正常。

注射后若干天，分别给两组小鼠注射等量的该种生物提取液，A 组小鼠很快发生了呼吸困难等症状；B 组未见明显的异常表现。

对第二次注射后A 组小鼠的表现，下列解释合理的是A ．提取液中的物质导致A 组小鼠出现低血糖症状B ．提取液中含有过敏原，刺激A 组小鼠产生了特异性免疫C ．提取液中的物质阻碍了神经细胞与骨骼肌细胞间的兴奋传递D ．提取液中的物质使A 组小鼠细胞不能正常产生ATP4．下列叙述正确的是A ．基因转录时，解旋酶与基因相结合，RNA 聚合酶与RNA 相结合B ．非姐妹染色单体的交叉互换导致染色体易位C ．秋水仙素通过促进着丝点分裂使染色体数目加倍D ．镰刀型细胞贫血症的形成体现了基因通过控制蛋白质的结构直接控制生物体的性状 5．兴趣小组将酵母菌分装在500ml 培养瓶后，置于不同培养条件下进行培养，下列相关叙述错误的是A ．在80h 到100h 内③中酵母菌增长率基本不变B ．140h 内①中酵母菌种群的增长倍数（N t /N t -1）基本不变C ．利用血球计数板计数时，压线的个体左上两边记在方格内D ．④和⑤出现差异的原因可能是培养瓶中葡萄糖的量不同 6．2018年的诺贝尔奖获得者詹姆斯·艾利森发现在T 细胞表面有一种名为CTLA -4的蛋白质可以发挥“分子刹车”的作用，当CTLA -4被激活后，免疫反应就会终止，如果使它处于抑制状态，则能使T 细胞大量增殖，集中攻击肿瘤细胞，这样有望治愈某些癌症。

绝密 ★ 启用前 2019年高考高三最新信息卷理 科 数 学（六）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·桂林一模]已知集合()0,2A =，{}e 1,x B y y x ==+∈R ，则A B （ ）A ．()0,2B ．()1,+∞C ．()0,1D ．()1,22．[2019·南宁适应]已知复数12i 1iz =-+-，则它的共轭复数 在复平面内对应的点的坐标为（ ）A ．()1,3--B ．()1,3-C ．()1,3D ．()1,3-3．[2019·云师附中]根据如图给出的2005年至2016年我国人口总量及增长率的统计图，以下结论不正确的是（ ）A ．自2005年以来，我国人口总量呈不断增加趋势B ．自2005年以来，我国人口增长率维持在0.5%上下波动C ．从2005年后逐年比较，我国人口增长率在2016年增长幅度最大D ．可以肯定，在2015年以后，我国人口增长率将逐年变大4．[2019·邯郸一模]位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m ，跨径为12m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（ ）A ．25m 12B ．25m 6C ．9m 5D ．18m 55．[2019·安阳一模]已知向量()2,1=a ，4+=a b ，1⋅=a b ，则=b （ ） A ．2B ．3C ．6D ．126．[2019·张家界期末]如图是一个中心对称的几何图形，已知大圆半径为2，以半径为直径画出两个半圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．π8B ．18C ．12D ．147．[2019·福州期中]某个团队计划租用A ，B 两种型号的小车安排40名队员（其中多数队员会开车且有驾驶证，租用的车辆全部由队员驾驶）外出开展活动，若A ，B 两种型号的小车均为5座车（含驾驶员），且日租金分别是200元/辆和120元/辆．要求租用A 型车至少1辆，租用B 型车辆数不少于A 型车辆数且不超过A 型车辆数的3倍，则这个团队租用这两种小车所需日租金之和的 最小值是（ ） A ．1280元B ．1120元C ．1040元D ．560元8．[2019·山西适应]正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4， 则{}n a 的公比是（ ） A ．1B ．2 CD9．[2019·玉溪一中]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某多面体的 三视图，则该多面体的体积为（ ）班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．43B ．83C ．23D ．410．[2019·海口调研]已知函数()f x 在[)3,+∞上单调递减，且()3f x +是偶函数，则()1.10.3a f =，()0.53b f =，()0c f =的大小关系是（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．b a c >>11．[2019·泸州期末]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，A ，B 是圆()2224x c y c ++=与双曲线C 位于x 轴上方的两个交点，且190AF B ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（ ） AB1 CD ．21+12．[2019·福建三模]设函数()()32,,,0f x ax bx cx a b c a =++∈≠R ．若不等式()()3xf x af x '-≤对一切x ∈R 恒成立，则3b ca -的取值范围为（ ） A ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·白银联考]已知函数()()24log 1,14,1x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩．若()1f a =，则()f a =_____．14．[2019·六盘山一模]函数()()1cos 02f x x x ωωω=>的最小正周期为π，则函数在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的值域为______．15．[2019·福建模拟]我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”．其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．该原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等．如图，在空间直角坐标系中的xOy 平面内，若函数()[)[]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈⎪⎩的图象与x 轴围成一个封闭的区域A ，将区域A 沿z 轴的正方向平移8个单位长度，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A 的面积相等，则此圆柱的体积为________．16．[2019·雅礼中学]等差数列{}n a 的公差0d ≠，3a 是2a ，5a 的等比中项，已知数列2a ，4a ，1k a ，2k a ，，n k a ，为等比数列，数列{}n k 的前n 项和记为n T ，则29n T +=_______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·四川诊断]如图，在ABC △中，已知点D 在BC 边上，且AD AC ⊥，sin BAC ∠=，1AD =，7AB =（1）求BD 的长； （2）求ABC △的面积．18．（12分）[2019·齐齐哈尔二模]某职业学校有2000名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如图所示．（1）试估计该校学生在校月消费的平均数；（2）根据校服务部以往的经验，每个学生在校的月消费金额x（元）和服务部可获得利润y（元），满足关系式10,20040030,40080050,8001200xy xx≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≤≤⎩，根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：（i）将校服务部从一个学生的月消费中，可获得的利润记为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（ii）若校服务部计划每月预留月利润的14，用于资助在校月消费低于400元的学生，估计受资助的学生每人每月可获得多少元？19．（12分）[2019·衡水二中]如图所示，在四面体ABCD中，AD AB⊥，平面ABD⊥平面ABC，AB BC AC==，且4AD BC+=．（1）证明：BC⊥平面ABD；（2）设E为棱AC的中点，当四面体ABCD的体积取得最大值时，求二面角C BD E--的余弦值．20．（12分）[2019·保山统测]已知点)Q，点P是圆(22:12C x y+=上的任意一点，线段PQ的垂直平分线与直线CP交于点M．（1）求点M的轨迹方程；（2）过点()3,0A-作直线与点M的轨迹交于点E，过点()0,1B作直线与点M的轨迹交于点(),F E F不重合，且直线AE和直线BF的斜率互为相反数，直线EF的斜率是否为定值，若为定值，求出直线EF的斜率；若不是定值，请说明理由．21．（12分）[2019·聊城一模]已知函数()()2ln 2f x a x x a x =+++． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设0a <，若不相等的两个正数1x ，2x 满足()()12f x f x =，证明：1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·衡阳二模]在直角坐标系xOy 中，设P 为22:9O x y +=上的动点，点D 为P 在x 轴上的投影，动点M 满足2DM MP =，点M 的轨迹为曲线C ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()1,0A ρ，2π2,B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭为直线l 上两点．（1）求C 的参数方程；（2）是否存在M ，使得M AB △的面积为8？若存在，有几个这样的点？若不存在，请说明理由．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·潍坊一模]已知函数()121f x x x =--+的最大值为t ． （1）求实数t 的值；（2）若()()21g x f x x =++，设0m >，0n >，且满足112t m n+=，求证：()()222g m g n ++≥．绝密 ★ 启用前2019年高考高三最新信息卷理科数学答案（六）一、选择题． 1．【答案】D【解析】因为e 11x y =+>，所以{}{}e 1,1x B y y x y y ==+∈=>R ，又()0,2A =，所以()1,2A B =，故选D ．2．【答案】A【解析】因为12i i i113z =-+-=-+，所以13i z =--，对应点的坐标为()1,3--，故选A ． 3．【答案】D【解析】解：由2005年至2016年我国人口总量及增长率的统计图，知： 在A 中，自2005年以来，我国人口总量呈不断增加趋势，故A 正确； 在B 中，自2005年以来，我国人口增长率维持在0.5%上下波动，故B 正确； 在C 中，从2005年后逐年比较，我国人口增长率在2016年增长幅度最大，故C 正确； 在D 中，在2015年以后，我国人口增长率将逐年变小，故D 错误． 故选D ． 4．【答案】D【解析】以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y 轴建立直角坐标系xOy ，结合题意可知，该抛物线()220x py p =->经过点()6,5-，则3610p =，解得185p =，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为185p =．故选D ． 5．【答案】B【解析】∵4+=a b ，∴22216++⋅=a b a b ，∴2716+=b ，∴3=b ，故选B ． 6．【答案】D【解析】由题意知，大圆的面积为2π24πS =⋅=，阴影部分的面积为221π2ππ21S '⋅-⋅==， 则所求的概率为π14π4S P S '===．故选D ． 7．【答案】B【解析】设租用A 型车辆x 辆，租用B 型车辆y 辆，租金之和为z ，则135540x x y x x y ≥≤≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩，200120z x y =+，作出可行域：求出区域顶点为()4,4，()2,6，将它们代入200120z x y =+，可得min 200212061120z =⨯+⨯=， 故选B ． 8．【答案】D【解析】由题意，正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，可得()222337737216a a a a a a ++=+=，即374a a +=，5a 与9a 的等差中项为4，即598a a +=，设公比为q ，则()223748q a a q +==，则q =，故选D ． 9．【答案】C【解析】画出三视图对应的原图如下图所示三棱锥1A BDE -．故体积为112122323⨯⨯⨯⨯=，故选C ．10．【答案】D【解析】由()3f x +是偶函数可得其图象的对称轴为0x =， 所以函数()f x 的图象关于直线3x =对称．又函数()f x 在[)3,+∞上单调递减，所以函数()f x 在(],3-∞上单调递增． 因为 1.10.500.333<<<，所以()()()1.10.500.33f f f <<，即b a c >>．故选D ． 11．【答案】A 【解析】解：圆()2224x c y c ++=的圆心为(),0c -，半径为2c ，且12AF c =，12BF c =，由双曲线的定义可得222AF a c =+，222BF c a =-，设12BF F α∠=，在三角形12BF F 中，()()()()22222222222cos 2222c c c a c c a c ccα+----==⋅⋅，在三角形12AF F 中，()()()22222244222cos 90sin 2222c c c a c c a c ccαα+-+-+︒+===-⋅⋅，由22sin cos 1αα+=，化简可得()22242c a c +=，即为222c a +，即有)221a c =，可得ce a==A ．12．【答案】D【解析】因为()32f x ax bx cx =++，所以()232f x ax bx c '=++， 不等式()()3xf x af x '-≤，即()()()2323230a a x b ab x c ac x -+-+--≤．因为()()()2323230a a x b ab x c ac x -+-+--≤对一切x ∈R 恒成立， 而三次函数的图象不可能恒在x 轴的下方， 所以230a a -=，解得3a =或0a =（舍去）． 所以2230bx cx ---≤对一切x ∈R 恒成立， 则00b c ==⎧⎨⎩或204120b Δc b >=-≤⎧⎨⎩，所以23c b ≥， 则223311999399244b c b c c c c a --⎛⎫=≥-=--≥- ⎪⎝⎭． 3b c a -的取值范围为9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，故选D ．二、填空题． 13．【答案】72【解析】因为()411log 22a f ===，所以()1174222f a f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，本题正确结果为72．14．【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】函数()()13cos cos 02π3f x x x x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为2ππω=，∴2ω=，()cos 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内，2π2,π33π3x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，1cos 2,132πx ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故答案为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．15．【答案】2π4+ 【解析】021d x x --⎰表示的是四分之一的圆的面积，且圆的半径是1，所以区域A 的面积为1π21424π1++⨯⨯=，所以圆柱的体积π282π44V +=⨯=+． 16．【答案】232n n ++【解析】因为数列{}n a 是等差数列，且3a 是2a ，5a 的等比中项， 所以()2325a a a =⋅，()()()211124a d a d a d +=+⋅+，因为公差0d ≠，解得10a =， 公比4233a d q a d===，所以+1+1233n n n k a a d =⋅=⋅， 由{}n a 是等差数列可知()()111n k n n a a k d k d =+-=-， 所以()+131n n d k d ⋅=-，所以+131n n k =+， 所以231+1333331n n n n T n -=++⋅⋅⋅+++⨯ ()2+23131931322n n n n -=+=-⨯+-， 所以2219292393222n n n T n n ++⎛⎫+=⨯⨯++=+ ⎪⎝⎭-．三、解答题．17．【答案】（1）2BD =；（2【解析】（1）因为AD AC⊥，所以π2 BAD BAC∠=∠-，所以πcos cos sin2BAD BAC BAC⎛⎫∠=∠-=∠=⎪⎝⎭．在BAD△中，由余弦定理得：222222cos1214BD AB AD AB AD BAD=+-⋅⋅∠=+-=，所以2BD=．（2）在BAD△中，由（1）知，2221471cos22122AD BD ABADBAD BD+-+-∠===-⋅⨯⨯，所以2π3ADB∠=，则π3ADC∠=．在ADCRt△中，易得AC．11sin22ABCS AB AC BAC=⋅⋅∠==△．所以ABC△18．【答案】（1）680；（2）（i）见解析；（ii）160．【解析】（1）学生月消费的平均数11311300500700900110020068040001000100020004000x⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭．（2）（i）月消费值落入区间[)200,400、[)400,800、[]800,1200的频率分别为0.05、0.80、0.15，因此()100.05Pξ==，()300.80Pξ==，()500.15Pξ==，即ξ的分布列为ξ的数学期望值()100.05300.80500.1532Eξ=⨯+⨯+⨯=．（ii）服务部的月利润为32200064000⨯=（元），受资助学生人数为20000.05100⨯=，每个受资助学生每月可获得1640001001604⨯÷=（元）．19．【答案】（1）见证明；（2．【解析】（1）证明：因为AD AB⊥，平面ABD⊥平面ABC，平面ABD平面ABC AB=，AD⊂平面ABD，所以AD⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以AD BC⊥．因为AB BC AC=，所以222AB BC AC+=，所以AB BC⊥，因为AD AB A=，所以BC⊥平面ABD．（2）解：设()04AD x x=<<，则4AB BC x==-，四面体ABCD的体积()()()2321114816326V f x x x x x x==⨯-=-+()04x<<．()()()()2113161643466f x x x x x=-+=--'，当43x<<时，()0f x'>，()V f x=单调递增；当443x<<时，()0f x'<，()V f x=单调递减．故当43AD x==时，四面体ABCD的体积取得最大值．以B为坐标原点，建立空间直角坐标系B xyz-，则()0,0,0B，80,,03A⎛⎫⎪⎝⎭，8,0,03C⎛⎫⎪⎝⎭，840,,33D⎛⎫⎪⎝⎭，44,,033E⎛⎫⎪⎝⎭．设平面BCD的法向量为(),,x y z=n，则BCBD⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=nn，即838433xy z⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩，令2z=-，得()0,1,2=-n，同理可得平面BDE的一个法向量为()1,1,2=-m，则3056==⨯．由图可知，二面角C BD E--为锐角，故二面角C BD E--．20．【答案】（1）2213xy+=；（2）定值，．【解析】（1）如下图所示，连接MQ，则MC MQ MC MP CP +=+==又CQ =M 的轨迹是以C ，Q 为焦点的椭圆，因为2a =2c =a =c =1b =，故点M 的轨迹方程是2213x y +=．（2）设直线AE的方程为(y k x =+，则直线BF 的方程为1y kx =-+，由(2233y k x x y =+=⎧⎪⎨⎪⎩，消去y 整理得()222231930k x x k +++-=．设交点()11,E x y 、()22,F x y ，则1x =，1x(11y k x =． 由22133y kx x y =-++=⎧⎨⎩，消去y 整理得()223160k x kx +-=， 则22613k x k =+，222213113k y kx k -=-+=+．所以1212EFy y k x x -==-． 故直线EF的斜率为定值，其斜率为． 21．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）()()()()()2222122x a x a x a x af x x a x x x+++++'=+++==，0x >， 当0a ≥时，()0f x '>，()f x ∴在()0,+∞单调递增；当0a <时，02a x <<-当时，()0f x '<，当2ax >-时，()0f x '>，()f x ∴在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．（2）()()12f x f x =，()()22111222ln 2ln 2a x x a x a x x a x =∴++++++，()()()()()221221212121ln ln 22a x x x x a x x x x x x a ∴-=-++=-+++-，()122121ln ln 2a x x x x a x x -∴+++=-，()()22af x x a x'=+++， ()121221121221ln ln 2222a x x x x a a f x x a x x x x x x -+⎛⎫'∴=++++=+ ⎪++-⎝⎭()222111222122121211211121ln 22ln ln 1x x x x x x x x a a a x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫⎝⎭ ⎪ ⎪=-=-=-⎪ ⎪+--+- ⎪⎝⎭+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 不妨设210x x >>，则211x x >，所以只要证21221121ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-<+， 令211x t x =>，()224ln 2ln 11t g t t t t t -∴=-=--++， ()()()()()()22222411410111t t t g t t t t t t t -+-'∴=-==-<+++， ()g t ∴在()1,+∞上单调递减，()()221ln1011g t g -∴<=-=+，21221121ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴-<+，1202x x f +⎛⎫'∴> ⎪⎝⎭． 22．【答案】（1）3cos sin x y αα==⎧⎨⎩；（2）见解析．【解析】（1）设()3cos ,3sin P αα，(),M x y ，则()3cos ,0D α． 由2DM MP =，得3cos sin x y αα==⎧⎨⎩．（2）依题，直线:330l x +-=，设点()3cos ,sin M αα，设点M 到直线l 的距离为d ，()3cos 3sin 433sin d αααβ+-==+-≥将0θ=，π2代入sin 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭1ρ=，24ρ=，8AB ==．12MAB S AB d =≥△∵8>M ，且存在两个这样的点． 23．【答案】（1）2t =；（2）见解析．【解析】（1）由()121f x x x =--+，得()3,131,113,1x x f x x x x x --≥⎧⎪=---<<⎨⎪+≤-⎩， 所以()()max 12f x f =-=，即2t =． （2）因为()1g x x =-，由1122m n+=， 知()()221211212g m g n m n m n m n ++=++-≥++-=+ ()1111212222222222n m m n m n m n⎛⎫=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当22n mm n=，即224m n =时取等号． 所以()()222g m g n ++≥．。

专题04 立体几何1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68π B ．64π C ．62πD ．6π【答案】D【解析】解法一：,PA PB PC ABC ==Q △为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA ，AB 的中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥I 平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体的一部分，22226R =++=，即364466,π62338R V R =∴=π=⨯=π，故选D ．解法二：设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 的中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==，ABC Q △为边长为2的等边三角形，3CF ∴=， 又90CEF ∠=︒，213,2CE x AE PA x ∴=-==，AEC △中，由余弦定理可得()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =Q ，D \为AC 的中点，1cos 2AD EAC PA x∠==，2243142x x x x+-+∴=， 22122122x x x ∴+=∴==，，，2PA PB PC ∴===， 又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=，62R ∴=，344666338V R ∴=π=π⨯=π，故选D.【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ．【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,a b a b αβ⊂⊂∥，则αβ∥”此类的错误．3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 【答案】B【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线.过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，Q 平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===,，35,,722MF BF BM ==∴=，BM EN ∴≠，故选B ．【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．4．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是A．158 B．162C．182 D．324【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为2646336162 22++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭.故选B.【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.5．【2019年高考浙江卷】设三棱锥V–ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P–AC–B的平面角为γ，则A．β<γ，α<γB．β<α，β<γC．β<α，γ<αD．α<β，γ<β【答案】B【解析】如图，G 为AC 中点，连接VG ，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面的投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直于AC 于E ，连接PE ，BD ，易得PE VG ∥，过P 作PF AC ∥交VG 于F ，连接BF ，过D 作DH AC ∥，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED αβγ=∠=∠=∠，结合△PFB ，△BDH ，△PDB 均为直角三角形，可得cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBαβ===<=，即αβ>； 在Rt △PED 中，tan tan PD PDED BDγβ=>=，即γβ>，综上所述，答案为B.【名师点睛】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.【答案】118.8【解析】由题意得，214642312cm 2EFGH S =⨯-⨯⨯⨯=四边形， ∵四棱锥O −EFGH 的高为3cm ， ∴3112312cm 3O EFGH V -=⨯⨯=． 又长方体1111ABCD A B C D -的体积为32466144cm V =⨯⨯=， 所以该模型体积为3214412132cm O EFGH V V V -=-=-=，其质量为0.9132118.8g ⨯=．【名师点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量即可.7．【2019年高考北京卷理数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【答案】40【解析】如图所示，在棱长为4的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱1111MPD A NQC B -之后余下的几何体，则几何体的体积()3142424402V =-⨯+⨯⨯=. 【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体，再根据题目给定的数据，计算几何体的体积.属于中等题.(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．8．【2019年高考北京卷理数】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m .【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m ，正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α，不正确，有可能m 在平面α内； （3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α，不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α. 故答案为：如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m.【名师点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.将所给论断，分别作为条件、结论加以分析即可.9．【2019年高考天津卷理数】2的正方形，5若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．【答案】π4【解析】由题意，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5，借助勾股定理，可知四棱锥的高为512-=.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1，圆柱的底面半径为12， 故圆柱的体积为21ππ124⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭. 【名师点睛】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径.注意本题中圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半.10．【2019年高考江苏卷】如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E −BCD 的体积是 ▲ .【答案】10【解析】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ⋅⋅=， 因为E 为1CC 的中点，所以112CE CC =， 由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高， 所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=.【名师点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求二面角A −MA 1−N 的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2）105. 【解析】（1）连结B 1C ，ME ． 因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点， 所以ME ∥B 1C ，且ME =12B 1C ． 又因为N 为A 1D 的中点，所以ND =12A 1D ． 由题设知A 1B 1=P DC ，可得B 1C =P A 1D ，故ME =P ND ， 因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ∥ED ． 又MN ⊄平面EDC 1，所以MN ∥平面C 1DE ． （2）由已知可得DE ⊥DA ．以D 为坐标原点，DA uuu r的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，则(2,0,0)A ，A 1(2，0，4)，3,2)M ，(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =-u u u r ，1(13,2)A M =--u u u u r，1(1,0,2)A N =--u u u u r ，(0,3,0)MN =u u u u r．设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量，则1100A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r m m ， 所以32040x z z ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩，．可取(3,1,0)=m ．设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量，则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u u r ，．n n 所以3020q p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，．可取(2,0,1)=-n ．于是2315cos ,||525⋅〈〉===⨯‖m n m n m n ， 所以二面角1A MA N --10【名师点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.12．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1．（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）32. 【解析】（1）由已知得，11B C ⊥平面11ABB A ，BE ⊂平面11ABB A ， 故11B C ⊥BE ．又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ．（2）由（1）知190BEB ∠=︒．由题设知Rt ABE △≌11Rt A B E △，所以45AEB ∠=︒， 故AE AB =，12AA AB =．以D 为坐标原点，DA u u u r的方向为x 轴正方向，||DA uuu r 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D –xyz ，则C （0，1，0），B （1，1，0），1C （0，1，2），E （1，0，1），(1,0,0)CB =u u u r ，(1,1,1)CE =-u u u r，1(0,0,2)CC =u u u u r．设平面EBC 的法向量为n =（x ，y ，x ），则0,0,CB CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u ur n n 即0,0,x x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取n =(0,1,1)--.设平面1ECC 的法向量为m =（x ，y ，z ），则10,0,CC CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u ur m m 即20,0.z x y z =⎧⎨-+=⎩ 所以可取m =（1，1，0）． 于是1cos ,||||2⋅<>==-n m n m n m ．所以，二面角1B EC C --的正弦值为32． 【名师点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直以及线面垂直的判定，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.13．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的二面角B −CG −A 的大小.【答案】（1）见解析；（2）30o .【解析】（1）由已知得AD P BE ，CG P BE ，所以AD P CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE．又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE．（2）作EH⊥BC，垂足为H．因为EH⊂平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC．由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=3．以H为坐标原点，HCu u u r的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H–xyz，则A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，03CGu u u r=（1，03），ACu u u r=（2，–1，0）．设平面ACGD的法向量为n=（x，y，z），则0,0,CGAC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rnn即30,20.x zx y⎧+=⎪⎨-=⎪⎩所以可取n=（3，6，3又平面BCGE的法向量可取为m=（0，1，0），所以3cos,||||2⋅〈〉==n mn mn m．因此二面角B–CG–A的大小为30°．【名师点睛】本题是很新颖的立体几何考题，首先是多面体折叠问题，考查考生在折叠过程中哪些量是不变的，再者折叠后的多面体不是直棱柱，最后通过建系的向量解法将求二面角转化为求二面角的平面角问题，突出考查考生的空间想象能力.14．【2019年高考北京卷理数】如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且13PFPC=．（1）求证：CD⊥平面PAD；（2）求二面角F–AE–P的余弦值；（3）设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．【答案】（1）见解析；（23（3）见解析. 【解析】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ． 又因为AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面PAD ． （2）过A 作AD 的垂线交BC 于点M ．因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AM ，PA ⊥AD ．如图建立空间直角坐标系A −xyz ，则A （0，0，0），B （2，-1，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2）． 因为E 为PD 的中点，所以E （0，1，1）．所以(0,1,1),(2,2,2),(0,0,2)AE PC AP ==-=u u u r u u u r u u u r ． 所以1222224,,,,,3333333PF PC AF AP PF ⎛⎫⎛⎫==-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .设平面AEF 的法向量为n =（x ，y ，z ），则0,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 即0,2240.333y z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 令z =1，则1,1y x =-=-．于是=(1,1,1)--n ．又因为平面PAD 的法向量为p =（1，0，0），所以3cos ,||3⋅〈〉==-‖n p n p n p . 由题知，二面角F −AE −P 为锐角，所以其余弦值为33．（3）直线AG 在平面AEF 内．因为点G 在PB 上，且2,(2,1,2)3PG PB PB ==--u u ur ，所以2424422,,,,,3333333PG PB AG AP PG ⎛⎫⎛⎫==--=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .由（2）知，平面AEF 的法向量=(1,1,1)--n .所以4220333AG ⋅=-++=u u u r n .所以直线AG 在平面AEF 内.【名师点睛】（1）由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；（2）建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F −AE −P 的余弦值；（3）首先求得点G 的坐标，然后结合平面AEF 的法向量和直线AG 的方向向量即可判断直线是否在平面内.15．【2019年高考天津卷理数】如图，AE ⊥平面ABCD ，,CF AE AD BC ∥∥，,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====．（1）求证：BF ∥平面ADE ；（2）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； （3）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长．【答案】（1）见解析；（2）49；（3）87． 【解析】依题意，可以建立以A 为原点，分别以AB AD AE u u u r u u u r u u u r，，的方向为x 轴，y 轴，z轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)A B C D ，(0,0,2)E ．设(0)CF h h =>>，则()1,2,F h ．（1）依题意，(1,0,0)AB =u u u r 是平面ADE 的法向量，又(0,2,)BF h =u u u r，可得0BF AB ⋅=u u u r u u u r，又因为直线BF ⊄平面ADE ，所以BF ∥平面ADE ．（2）依题意，(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BD BE CE =-=-=--u u u r u u u r u u u r ． 设(,,)x y z =n 为平面BDE 的法向量，则0,0,BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rn n 即0,20,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩不妨令1z =， 可得(2,2,1)=n ．因此有4cos ,9||||CE CE CE ⋅==-u u u ru u u r u u u r n n n ．所以，直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49． （3）设(,,)x y z =m 为平面BDF 的法向量，则0,0,BD BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rm m 即0,20,x y y hz -+=⎧⎨+=⎩ 不妨令1y =，可得21,1,h ⎛⎫=-⎪⎝⎭m ． 由题意，有224||1cos ,||||3432h h -⋅〈〉===+m n m n m n ，解得87h =．经检验，符合题意．所以，线段CF的长为87．【名师点睛】本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．16．【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1，A1B1 平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC−A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .【名师点睛】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.17．【2019年高考浙江卷】（本小题满分15分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）35． 【解析】方法一：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC ． 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ， 所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC ． 又因为A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F ． 所以BC ⊥平面A 1EF ．因此EF ⊥BC ．（2）取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形． 由于A 1E ⊥平面ABC ，故A 1E ⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形． 由（1）得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1， 所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上．连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）． 不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E =23，EG =3. 由于O 为A 1G 的中点，故11522A G EO OG ===， 所以2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∠==⋅．因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35． 方法二：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC . 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ．如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E –xyz ．不妨设AC =4，则A 1（0，0，B1，0），1B，3,2F ，C (0，2，0)．因此，3(,22EF =u u u r，(BC =u u u r ．由0EF BC ⋅=u u u r u u u r得EF BC ⊥．（2）设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ．由（1）可得1=(10)=(02BC A C -u u u r u u u u r，，，． 设平面A 1BC 的法向量为n ()x y z =，，， 由100BC A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u rn n，得00y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 取n (11)=，故||4sin |cos |=5|||EF EF EF θ⋅==⋅u u u ru u u r u u u r ，n n n |， 因此，直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为35． 【名师点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力.18．【云南省昆明市2019届高三高考5月模拟数学试题】已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，若αβ⊥，则下列结论正确的是 A ．l β∥或l β⊄ B ．//l m C ．m α⊥ D ．l m ⊥【答案】A【解析】对于A ，直线l ⊥平面α，αβ⊥，则l β∥或l β⊂，A 正确；对于B ，直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，且αβ⊥，则//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴B 错误；对于C ，直线m ∥平面β，且αβ⊥，则m α⊥或m 与α相交或m α⊂或m α∥，∴C 错误；对于D ，直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，且αβ⊥，则//l m 或l 与m 相交或l 与m异面，∴D错误．故选A．【名师点睛】本题考查了空间平面与平面关系的判定及直线与直线关系的确定问题，也考查了几何符号语言的应用问题，是基础题．19．【陕西省2019届高三年级第三次联考数学试题】已知三棱柱111ABC A B C-的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与1CC所成的角的余弦值为A．3B．34C．54D．54【答案】B【解析】如图，设BC的中点为D，连接1A D、AD、1A B，易知1A AB∠即为异面直线AB与1CC所成的角（或其补角）.设三棱柱111ABC A B C-的侧棱与底面边长均为1，则3AD=，112A D=，12A B=，由余弦定理，得2221111cos2A A AB A BA ABA A AB+-∠=⋅111322114+-==⨯⨯.故应选B.【名师点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，通过平移找到所成角是解这类问题的关键，若平移不好作，可采用建系，利用空间向量的运算求解，属于基础题.解答本题时，易知1A AB∠即为异面直线AB与1CC所成的角（或其补角），进而通过计算1ABA △的各边长，利用余弦定理求解即可.20．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学试题】如图，边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别是,BC CD 的中点，现在沿,AE AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使,,B C D 三点重合，重合后的点记为P ，则四面体P AEF -的高为A ．13 B ．23C ．34D ．1【答案】B【解析】如图，由题意可知PA PE PF ，，两两垂直，∴PA ⊥平面PEF ， ∴11111123323PEF A PEF V S PA -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△， 设P 到平面AEF 的距离为h ，又2111321212112222AEF S =-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=△， ∴13322P AEF hV h -=⨯⨯=，∴123h =，故23h =， 故选B .【名师点睛】本题考查了平面几何的折叠问题，空间几何体的体积计算，属于中档题．折叠后，利用A PEF P AEF V V --=即可求得P 到平面AEF 的距离．21．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学试题】在三棱锥P ABC-中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC △是边长为6的等边三角形，PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______． 【答案】48π【解析】如图，在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ，设等边三角形ABC 的中心为O ，连接PF ，CF ，OP .由6AB =，得223,33AO BO CO CF OF ===== PAB Q △是以AB 为斜边的等腰角三角形，PF AB ∴⊥,又平面PAB ⊥平面ABC ，PF ∴⊥平面ABC ，PF OF ∴⊥，2223OP OF PF =+=则O 为棱锥P ABC -的外接球球心，外接球半径23R OC ==∴该三棱锥外接球的表面积为(24π348π⨯=，故答案为48π.【名师点睛】本题主要考查四面体外接球表面积，考查空间想象能力，是中档题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径.求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两两垂直，则用22224R a b c =++（,,a b c 为三条棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC △外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.22．【2019北京市通州区三模数学试题】如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面，AB AC ⊥，1AB =，12,5AC AA AD CD ===E 为线段1AA 上的点，且12AE =．（1）求证：BE ⊥平面1ACB ； （2）求二面角11D AC B --的余弦值；（3）判断棱11A B 上是否存在点F ，使得直线DF ∥平面1ACB ，若存在，求线段1A F 的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）见解析；（210；（3）见解析. 【解析】（1）因为1A A ABCD ⊥底面， 所以1A A AC ⊥． 又因为AB AC ⊥， 所以AC ⊥平面11ABB A ， 又因为BE ⊂平面11ABB A ， 所以AC ⊥BE ．因为112AE ABAB BB ==，∠EAB =∠ABB 1=90°， 所以1Rt Rt ABE BB A △∽△． 所以1ABE AB B ∠=∠． 因为1190BAB AB B ∠+∠=︒， 所以190BAB ABE ∠+∠=︒． 所以BE ⊥1AB ．又1AC AB A=I，所以BE⊥平面1ACB．（2）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得111(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(1,2,0),(0,0,2),(0,1,2),(2,0,2), A B C D A B C-11(1,2,2),(0,0,)2D E-．由（1）知，1(0,1,)2EBu u u r=-为平面1ACB的一个法向量，设(,,)x y z=n为平面1ACD的法向量．因为1(1,2,2),(2,0,0)AD ACu u u u r u u u r=-=，则10,0,ADAC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u uu u urrnn即220,20,x y zx-+=⎧⎨=⎩不妨设1z=，可得(0,1,1)=n．因此10cos,10||||EBEBEBu u u ru u u ru u u rnnn×<>==．因为二面角11D AC B--为锐角，所以二面角11D AC B--10．（3）设1A F a=，则(0,,2)F a，(1,2,2)DF au u u r=-+．1(1,2,2)(0,1,)2102DF EB a a u u u r u u u r ?-+?=+-=，所以1a =-（舍）．即直线DF 的方向向量与平面1ACB 的法向量不垂直， 所以，棱11A B 上不存在点F ，使直线DF ∥平面1ACB ．【名师点睛】本题主要考查线面垂直与平行、以及二面角的问题，熟记线面垂直的判定定理以及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.（1）根据线面垂直的判定定理，直接证明，即可得出结论成立；（2）以A 为原点建立空间直角坐标系，由（1）得到1(0,1,)2EB u u u r =-为平面1ACB 的一个法向量，再求出平面1ACD 的一个法向量，求两向量夹角的余弦值，即可得出结果； （3）先设1A F a =，用向量的方法，由0DF EB u u u r u u u r?求出a 的值，结合题意，即可判断出结论.。

2019年高考高三最新信息卷理 科 数 学（四）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·金山中学]已知集合{}2340A x x x =-->，{}1B x x =>，则()A B =R ð（ ）A ．∅B ．(]0,4C ．(]1,4D ．(]4,+∞2．[2019·湘钢一中]已知i 为虚数单位，若复数()()1i 2i a ++是纯虚数，则实数a 等于（ ） A ．2-B ．12C ．12-D ．23．[2019·玉溪一中]若向量a ，b 的夹角为π3，且2=a ，1=b ，则向量2+a b 与向量a 的夹角为（ ） A ．π3B ．π6C ．2π3D ．5π64．[2019·凯里一中]已知1cos 4α=，则πsin 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．18B ．18-C ．78 D ．78-5．[2019·宁乡一中]函数()()1e 2cos 1xf x x -=--的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．[2019·天津一中]设1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．340x y ±=B ．350x y ±=C ．430x y ±=D ．540x y ±=7．[2019·天一大联考]已知()()πsin 0,0,2f x A x B A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则函数()f x 的对称中心可以为（ ）A ．π,06⎛⎫⎪⎝⎭B ．π,16⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭8．[2019·首师附中]秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入n ，x 的值分别为4，2，则输出v 的值为（ ）A ．5B ．12C ．25D ．509．[2019·济宁一模]已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1此三棱柱的高为 ） A ．8π3B ．16π3C ．32π3D ．64π310．[2019·牡丹江一中]牡丹江一中2019年将实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目．已知某生的高考志愿为北京大学环境科学专业，按照17年北大高考招生选考科目要求物、化必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节，上午第四节和下午第一节不算相邻），现该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻，则该生该天课表有（ ）种． A ．444B ．1776C ．1440D ．156011．[2019·蚌埠质检]已知F 为抛物线24y x =的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，若点A 在抛物线上，且5AF =，则PA PO +的最小值为（ ） AB．CD．12．[2019·湘钢一中]已知()3ln 44x f x x x=-+，()224g x x ax =--+，若对(]10,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．258ln 2,16-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．15,84⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·天一大联考]不等式组2024020x x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪--+≤⎩，表示的平面区域的面积为________．14．[2019·东北三校]()()42x y x y -+的展开式中23x y 的系数是__________．15．[2019·宁乡一中]ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知58a b =，2A B =，则cos B =_________．16．[2019·河南联考]如图，ABC △是等腰直角三角形，斜边2AB =，D 为直角边BC 上一点（不含端点），将ACD △沿直线AD 折叠至1AC D △的位置，使得1C 在平面ABD 外，若1C 在平面ABD 上的射影H 恰好在线段AB 上，则AH 的取值范围是______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·顺义统考]已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且22b =，516b =，112a b =，34a b =． （1）求{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．18．（12分）[2019·山东实验中学]为了调查民众对国家实行“新农村建设”政策的态度，现通过网络问卷随机调查了年龄在20周岁至80周岁的100人，他们年龄频数分布和支持“新农村建设”人数如下表：（1）根据上述统计数据填下面的2×2列联表，并判断是否有95％的把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异；（2）为了进一步推动“新农村建设”政策的实施，中央电视台某节目对此进行了专题报道，并在节目最后利用随机拨号的形式在全国范围内选出4名幸运观众(假设年龄均在20周岁至80周岁内)，给予适当的奖励．若以频率估计概率，记选出4名幸运观众中支持“新农村建设”人数为ξ，试求随机变量ξ的分布列和数学期望． 参考数据：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（12分）[2019·西城一模]如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直，AF DE∥，DE AD⊥，AD BE⊥，112AF AD DE===，AB（1）求证：BF∥平面CDE；（2）求二面角B EF D--的余弦值；（3）判断线段BE上是否存在点Q，使得平面CDQ⊥平面BEF？若存在，求出BQBE的值，若不存在，说明理由．20．（12分）[2019·凉州二诊]椭圆长轴右端点为A，上顶点为M，O为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且21 MF FA⋅=．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l交椭圆于P、Q两点，判断是否存在直线l，使点F恰为PQM△的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．（12分）[2019·济南模拟]已知函数()()()21ln02af x x x x a=--+>．（1）讨论()f x的单调性；（2）若1ea<<，试判断()f x的零点个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·安庆二模]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为x m y ⎧=⎪⎨=⎪⎩t 为参数）．以原点O 为极点，以x 轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位．圆C 的方程为ρθ=，l 被圆C 截（1）求实数m 的值；（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为(m ，且0m >，求PA PB +的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·成都实验中学]已知函数()22f x x x a =-++，a ∈R ． （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若存在0x 满足()0023f x x +-<，求a 的取值范围．绝密 ★ 启用前2019年高考高三最新信息卷理科数学答案（四）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】由题意得{}{}234014A x x x x x x =-->=<->或， ∴{}14A x x =-≤≤R ð，∴(){}(]141,4A B x x =<≤=R ð．故选C ．2．【答案】D【解析】∵()()()1i 2i 221i a a a ++=-++，∴20a -=，210a +≠，即2a =，故选D ． 3．【答案】B【解析】设向量2+a b 与a 的夹角为α，∵a ，b 的夹角为π3，且2=a ，1=b ， ∴()()22π1222cos 4221632⋅+=+⋅=+⋅=+⨯⨯⨯=a a b a a ba ab ，2+===a b∴()2cos 2α⋅+===⋅+a a b a a b， 又∵[]0,πα∈，∴π6α=，故选B ． 4．【答案】D【解析】由题得22π17sin 2cos 22cos 121248ααα⎛⎫⎛⎫-==-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．5．【答案】A【解析】∵()11f =-，∴舍去B ， ∵()0e 2cos10f =->，∴舍去D ，∵2x >时，()()1e 2cos 1x f x x -=--，∴()()1e 2sin 1e 20x f x x --'=+≥->，故选A ． 6．【答案】C【解析】依题意212PF F F =，可知三角形21PF F 是一个等腰三角形，2F 在直线1PF 的投影是其中点， 由勾股定理知，可知14PF b =，根据双曲定义可知422b c a -=，整理得2c b a =-， 代入222c a b =+整理得2340b ab -=，求得43b a =， ∴双曲线渐进线方程为43y x =±，即430x y ±=．故选C ．7．【答案】D 【解析】由图可知3122A +==，3112B -==，7ππ2π1212T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，∴2ω=， 由()ππ22π122k k ϕ⨯+=+∈Z ，π2ϕ<，得π3ϕ=，故()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．令()π2π3x k k +=∈Z ，得()ππ26k x k =-∈Z ，则0k =时，π6x =-．故选D ． 8．【答案】C【解析】模拟程序的运行，可得：2x =，4n =，1v =，i 3=， 满足进行循环的条件i 0>，5v =，i 2=，满足进行循环的条件i 0>，12v =，i 1=， 满足进行循环的条件i 0>，25v =，i 0=，不满足进行循环的条件i 0>，退出循环，输出v 的值为25．故选C ． 9．【答案】C【解析】如图所示，将直三棱柱111ABC A B C -补充为长方体，，设长方体的外接球的半径为R ，则24R =，2R =， ∴该长方体的外接球的体积3432ππ33V R ==，∴该三棱柱的外接球的体积3432ππ33V R ==，故选C ．10．【答案】B【解析】首先理、化、生、史、地、政六选三，且物、化必选， ∴只需在生、史、地、政四选一有14C 4=种；然后对语文、外语排课进行分类，第1类：语文外语有一科在下午第一节，则另一科可以安排在上午四节课任意一节，剩下的四科可全排列，共114244C C A 192=种；第2类：语文外语都不在下午第一节，则下午第一节可在除语数外三科的另三科中选择13C ， 语文和外语可都安排在上午，可以是上午第一、三，上午一、四、上午二、四节3种， 也可一科在上午任一节一科在下午第二节14C 4=，其他三科可以全排列，共()123323C 34A A 252+=；∴总共有()41922521776+=种．故选B ．11．【答案】D【解析】不妨A 为第一象限中的点，设(),A a b （0b >）．由抛物线的方程得()1,0F ，则15AF a =+=，故4a =，∴()4,4A ，A 关于准线1x =-的对称点为()6,4A '-，故PA OP PA OP A O ''+=+≥== 当且仅当A '，P ，O 三点共线时等号成立，故选D ． 12．【答案】A 【解析】∵()3ln 44x f x x x=-+，(]0,2x ∈， ∴()()()221311301444x x f x x x x x---=--==⇒='，(3舍去) 从而01x <<，()0f x '<；12x <<，()0f x '>；即1x =时，()f x 取最小值12， 因此[]1,2x ∃∈，使得21242x ax ≥--+成立，724x a x≥-+的最小值， ∵724x x -+在[]1,2上单调递减，∴724x x -+的最小值为271288-+=-，因此18a ≥-，故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】3【解析】依据不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，平面区域为ABC △，其中()2,0A ，()0,2B ，()2,3C ，∴1232S AC =⨯⨯=．故答案为3．14．【答案】16-【解析】∵()()()()444222x y x y x x y y x y -+=+-+，又()42x y +展开式的通项为4414C 2k k k kk T x y --+=， 求()()42x y x y -+的展开式中23x y 的系数，只需令2k =或3k =，故所求系数为3432244C 2C 216--=-．故答案为16-．15．【答案】45【解析】∵58a b =，∴5sin 8sin A B =，∵2A B =，∴5sin28sin B B =，10sin cos 8sin B B B =， ∵sin 0B ≠，∴4cos 5B =． 16．【答案】(【解析】∵在等腰Rt ABC △中，斜边2AB =，D 为直角边BC 上的一点，∴AC BC =90ACB ∠=︒，将ACD △沿直AD 折叠至1AC D △的位置，使得点1C 在平面ABD 外， 且点1C 在平面ABD 上的射影H 在线段AB 上，设AH x =，∴1AC AC ==，(1CD C D =∈，190AC D ∠=︒，CH ⊥平面ABC ，∴1AH AC <=CD B 与D 重合，1AH =，当CD <112AH AB >=， ∵D 为直角边BC上的一点，∴(CD ∈， ∴AH的取值范围是(．故答案为(．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）()121,2,3,n n b n -==；（2）2312122n n S n n =++-． 【解析】（1）设{}n b 的公比为q ．∵22b =，516b =，∴3521682b q b ===，∴2q =，211bb q==，∴()11121,2,3,n n n b b q n --===．（2）由（1）知12n n b -=，∴11b =，48b =，设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵112a b =，34a b =，∴12a =，3128a a d =+=，∴3d =，∴31n a n =-， 因此1312n n n n c a b n -=+=-+， 从而数列{}n c 的前n 项和 ()()12231123125311222121222n n n n n n S n n n -+--=+++-++++=+=++--．18．【答案】（1）2×2列联表见解析，无95％的把握；（2）期望为125，分布列见解析． 【解析】（1）列联表如下图所示：()2210040202020 2.778 3.84160406040K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，故没有95%把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异． （2）依题意，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，且观众支持“新农村建设”的概率为6031005=，且34,5B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，∴()04432160C 55625P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()131432961C 55625P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2224322162C 55625P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3134322163C 55625P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()404432814C 55625P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望为()312455E ξ=⨯=．19．【答案】（1）见解析；（2（3）17BQ BE =． 【解析】（1）由底面ABCD 为平行四边形，知AB CD ∥，又∵AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，∴AB ∥平面CDE ．同理AF ∥平面CDE ， 又∵ABAF A =，∴平面ABF ∥平面CDE ．又∵BF ⊂平面ABF ，∴BF ∥平面CDE ．（2）连接BD ，∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，DE AD ⊥，∴DE ⊥平面ABCD ．则DE DB ⊥， 又∵DE AD ⊥，AD BE ⊥，DEBE E =，∴AD ⊥平面BDE ，则AD BD ⊥，故DA ，DB ，DE 两两垂直，∴以DA ，DB ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()0,1,0B ，()1,1,0C -，()0,0,2E ，()1,0,1F ， ∴()0,1,2BE =-，()1,0,1EF =-，()0,1,0=n 为平面DEF 的一个法向量． 设平面BEF 的一个法向量为(),,x y z =m，由0BE ⋅=m ，0EF ⋅=m ，得200y z x z -+=⎧⎨-=⎩，令1z =，得()1,2,1=m ，∴cos ,⋅==m n m n m n 如图可得二面角B EF D --为锐角，∴二面角B EF D --． （3）结论：线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ，证明如下：设()0,,2BQ BE λλλ==-，[]()0,1λ∈，∴()0,1,2DQ DB BQ λλ=+=-． 设平面CDQ 的法向量为(),,a b c =u ，又∵()1,1,0DC =-，∴0DQ ⋅=u ，0DC ⋅=u ，即()1200b c a b λλ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1b =，得11,1,2λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭u ．若平面CDQ ⊥平面BEF ，则0⋅=m u ，即11202λλ-++=，解得[]10,17λ=∈． ∴线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ，且此时17BQ BE =． 20．【答案】（1）2212x y +=；（2）存在直线l ：43y x =-满足要求．【解析】（1）设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，半焦距为c ．则(),0A a 、()0,M b 、(),0F c 、(),MF c b =-、(),0FA a c =-， 由21MF FA =⋅，即21ac c --，又c a =222a b c =+解得2221a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴椭圆的方程为2212x y +=． （2）∵F 为MPQ △的垂心，∴MF PQ ⊥， 又()0,1M ，()1,0F ，∴1MF K =-，1PQ K =， 设直线PQ ：y x m =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，将直线方程代入2212x y +=，得223+4220x mx m +-=1243mx x +=-，212223m x x -⋅=， ()()22412220m m ∆=-->，m <<1m ≠，又PF MQ ⊥，()111,PF x y =--，()22,1MQ x y =-，∴2121210x x x y y y --+=，即()()21212120m x x x x m m -⋅+-+-=， 由韦达定理得2340m m +-=，解得43m =-或1m =（舍去）。

下学期第四次模拟考试高三（ ）数学理科试题说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上.第Ⅰ卷 （60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足()3443i z i -=+，则z 的虚部为( ) A. 4- B. 45-C. 4D. 452. 已知集合{}11≤-=x x M ，{}22log (1)N x y x ==-，则=N M （ ）A.(]2,1B. [)+∞--∞,0)1,(C. (]),1(0,+∞∞- D.[]2,0)1,( --∞3. 已知向量a ，b 满足||4=b ，a 在b 方向上的投影是12，则=a b ( ) A. 2- B. 2 C. 0 D.124. 命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题为( )A ．若220x y +=，则0x ≠且0y ≠B ．若220x y +=，则0x ≠或0y ≠C ．若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠D ．若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠ 5. 已知1122log log a b <，则下列不等式一定成立的是( )A. 11a b>B. 1133a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()ln 0a b ->D. 31a b->6. 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：（第10题图）有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布( )A. 30尺B. 90尺C. 150尺D. 180尺7.已知l 是双曲线22:124x y C -=的一条渐近线，P 是l 上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120PF PF ⋅=，则P 到x 轴的距离为() A.3B. C. 2D.38．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是( )A. 若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B. 若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC. 若//,,//m n m n αβ⊥，则αβ⊥ D ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ 9. 设函数()sin cos f x x x x =+的图像在点(,())t f t 处切线的斜率为k ,则函数()k g t =的图像为A B C D10. 用随机模拟的方法估计圆周率π的近似值的程序框图如右图所示，P 表示输出的结果，则图中空白处应填( ) A. 100M P =B. 600M P =C.100N P =D. 100NP = 11. 设集合22{(,)|(1)1,,},M x y x y x y R =++=∈{(,)|0,,}N x y x y c x y R =+-≥∈，则使得M N M = 的实数c 的取值范围是()A. [1,)+∞B. (,1]-∞C. ),12[+∞+D. ]12,(+--∞12．定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数,恒有()()f x f x tanx '<成立，则( )A ()()43ππ>B ．(1)2()sin16f f π>⋅C ()()64f ππ>D ()()63f ππ>第Ⅱ卷 （90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13. 已知的展开5(12)x -式中所有项的系数和为m ，则21m x dx =⎰.14. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为8，P 、Q 分别是棱11A B 和11B C 的中点，则点1A 到平面APQ 的距离为 . 15．以下命题正确的是 ． ① 函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π个单位，可得到3sin 2y x =的图象； ② 函数)0()(>+=x xax x f 的最小值为a 2； ③某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；④ 在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （2，2σ）（0σ>）．若ξ在(),1-∞内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．16. 已知数列}{n a 的前n 项和为，，，046,21>==n n S S S S 且22122,,n n n S S S -+成等比数列，12221-2,++n n n S S S ，成等差数列，则2016a 等于 .三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （本小题满分12分） 设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin()sin sin a b a cA B A B+-=+-，3b =.（Ⅰ）求角 B ； （Ⅱ）若sin A =ABC ∆的面积.18. （本小题满分12分） 根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X （单位：米）的频率分布直方图如下：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响.（Ⅰ）求未来三年，至多有1年河流水位)31,27[∈X 的概率（结果用分数表示）；（Ⅱ）该河流对沿河A 企业影响如下：当)27,23[∈X 时，不会造成影响；当)31,27[∈X 时，损失10000元；当)35,31[∈X 时，损失60000元，为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元； 方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元； 方案三：不采取措施；试比较哪种方案较好，并说理由.19. (本小题满分12分) 已知四棱锥P －ABCD 的三视图如下图所示，E 是侧棱PC 上的动点．（Ⅰ）是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论； （Ⅱ）若点E 为PC 的中点，求二面角D －AE －B 的大小.20. （本小题满分12分） 已知椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>的离心率为2，若Γ与圆E ：22312x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相交于M,N 两点，且圆E 在Γ内的弧长为23π.（I ）求,a b 的值；（II ）过Γ的中心作两条直线AC ，BD 交Γ于A,C 和B,D 四点，设直线AC 的斜率为1k ，BD 的斜率为2k ，且1214k k =.（1）求直线AB 的斜率；（2）求四边形ABCD 面积的取值范围.21.（本小题满分12分）定义在R 上的函数()f x 满足()22x f x e x ax =+-，,a b 为常数，函数()()21124x g x f x b x b ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，若函数()f x 在0x =处的切线与y 轴垂直.（I ）求函数()f x 的解析式； （II ）求函数()g x 的单调区间；（III ）若,,s t r 满足s r t r -<-恒成立，则称s 比t 更靠近r.在函数()g x 有极值的前提下，当1x ≥时，e x比1x e b -+更靠近ln x ，试求b 的取值范围. 请考生在22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按第一题记分22．（选修4—1；几何证明选讲 本小题满分10分） 如图过圆E 外一点A 作一条直线与圆E 交于B 、C 两点，且13AB AC =，作直线AF 与圆E 相切于点F ，连结EF 交BC 于点D ，已知圆E 的半径为2，30EBC ∠= （Ⅰ）求AF 的长； （Ⅱ）求证：3AD ED =23．（选修4-4；坐标系与参数方程选讲 本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos t y t x （t 为参数，πα<<0），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 1-=p（0>p ）（Ⅰ）写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求OBOA 11+的值. 24．（选修4—5；不等式选讲 本小题满分10分）设函数()214f x x x =+--．（Ⅰ）解不等式：()0f x >； （Ⅱ）若()34f x x m +-≥对一切实数x 均成立，求m 的取值范围．高三 数学理科试题参考答案（1）～（5）DBBDD (6)～（10）BCCBA (11)～（12）BB （13）ln 2 （14）83（15）①③④ (16）-1009 （17）解：（Ⅰ）sin()sin sin a b a c A B A B +-=+- ∴a b a cc a b+-=- ……………2分222a b ac c ∴-=-2221cos 222a c b ac B ac ac +-∴=== ………………………………5分(0,)B π∈，3B π∴= (6)分（Ⅱ）由3b =，sin A =，sin sin a b A B =，得2a = …………………………7分由a b <得A B <，从而cos A =………………………………………9分故sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=…………………10分所以ABC ∆的面积为1sin 2S ab C ==. ……………………………12分（18）（19）解：(Ⅰ)不论点E在何位置，都有BD⊥AE. 证明如下：由三视图可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2. ………………………1分连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC. …………………………2分∵PC⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PC. ……………………3分又∵AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC. …………………………………………………4分∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC.∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE. ………5分(Ⅱ) 解法1：在平面DAE 内过点D 作DF ⊥AE 于F ，连结BF. ………6分∵AD ＝AB ＝1，DE ＝BE ＝12＋12＝2，AE ＝AE ＝3，∴Rt △ADE ≌Rt △ABE ，从而△ADF ≌△ABF ，∴BF ⊥AE.∴∠DFB 为二面角D －AE －B 的平面角 ……………………………9分．Rt △ADE 中，DF ＝AD·DE AE ＝63, ∴BF ＝63.BD ＝2，△DFB 中余弦定理得cos ∠DFB ＝12-，∴∠DFB ＝2π3，即二面角D －AE －B 的大小为2π3. ……………………………12分 解法2：如图，以点C 为原点，CD ，CB ，CP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． ………………………………………………………………………6分 D(1,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(0,0,1)，从而DA ＝(0,1,0)，DE ＝(－1,0,1)，BA ＝(1,0,0)，BE ＝(0，－1,1)． 设平面ADE 和平面ABE 的法向量分别为()1111,,n x y z =，()2222,,n x y z =由1100n DA n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11100y x z =⎧⇒⎨-+=⎩，取()11,0,1n =由2200n BA n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩2220x y z =⎧⇒⎨-+=⎩，取()20,1,1n =--…………………………10分设二面角D －AE －B 的平面角为θ，则12121cos 22n n n n θ⋅===-⋅，…………11分 ∴θ＝2π3，即二面角D －AE －B 的大小为2π3…………………………………………12分 (20)()20,2m ∈，且21m ≠，所以()0,4ABOS∈ (12)分（22）解：（Ⅰ）延长BE 交圆E 于点M ，连接CM ，则90BCM ︒∠=，24BM BE ==24BM BE ==，30EBC ︒∠=，所以BC =线定理得：29AF AB AC =⋅=，所以3AF =.…………5分（Ⅱ）过E 作EH BC ⊥于H ，则△EDH ∽△A D F ,从而有E D E H A D A F =, 12EH MC =,所以1EH =，因此13ED AD =，即3AD ED =. ……………10分 (23)解：（Ⅰ）由cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩得，直线l 是过原点且倾斜角为α的直线.故直线l 的极坐标方程为,θαθαπ==+()0απ<< ……………………………………3分 由1cos P ρθ=-得222P y p x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭…………………………………5分24． 解：（Ⅰ）当4x ≥时,()()21450f x x x x =+--=+>,得5x >-,]所以4x ≥成立. 当421<≤-x 时，()214330f x x x x =++-=->,得1x >，所以14x <<成立. 当21-<x 时, ()50f x x =-->,得5x <-,所以5x <-成立. 综上，原不等式的解集为{}1,5x x x ><-或………………………………………5分 （Ⅱ）()342124f x x x x +-=++-9|)82(12|=--+≥x x 当时等号成立421≤≤-x 所以9m ≤ ………………………………………10分。

2019年高考高三最新信息卷理 科 数 学（四）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·金山中学]已知集合{}2340A x x x =-->，{}1B x x =>，则()A B =R ð（ ）A ．∅B ．(]0,4C ．(]1,4D ．(]4,+∞2．[2019·湘钢一中]已知i 为虚数单位，若复数()()1i 2i a ++是纯虚数，则实数a 等于（ ） A ．2-B ．12C ．12-D ．23．[2019·玉溪一中]若向量a ，b 的夹角为π3，且2=a ，1=b ，则向量2+a b 与向量a 的夹角为（ ） A ．π3B ．π6C ．2π3D ．5π64．[2019·凯里一中]已知1cos 4α=，则πsin 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．18B ．18-C ．78 D ．78-5．[2019·宁乡一中]函数()()1e 2cos 1xf x x -=--的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．[2019·天津一中]设1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．340x y ±=B ．350x y ±=C ．430x y ±=D ．540x y ±=7．[2019·天一大联考]已知()()πsin 0,0,2f x A x B A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则函数()f x 的对称中心可以为（ ）A ．π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．π,16⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭8．[2019·首师附中]秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入n ，x 的值分别为4，2，则输出v 的值为（ ）A ．5B ．12C ．25D ．509．[2019·济宁一模]已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1此三棱柱的高为 ） A ．8π3B ．16π3C ．32π3D ．64π310．[2019·牡丹江一中]牡丹江一中2019年将实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目．已知某生的高考志愿为北京大学环境科学专业，按照17年北大高考招生选考科目要求物、化必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节，上午第四节和下午第一节不算相邻），现该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻，则该生该天课表有（ ）种． A ．444B ．1776C ．1440D ．156011．[2019·蚌埠质检]已知F 为抛物线24y x =的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，若点A 在抛物线上，且5AF =，则PA PO +的最小值为（ ） AB．CD．12．[2019·湘钢一中]已知()3ln 44x f x x x=-+，()224g x x ax =--+，若对(]10,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．258ln 2,16-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．15,84⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·天一大联考]不等式组2024020x x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪--+≤⎩，表示的平面区域的面积为________．14．[2019·东北三校]()()42x y x y -+的展开式中23x y 的系数是__________．15．[2019·宁乡一中]ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知58a b =，2A B =，则cos B =_________．16．[2019·河南联考]如图，ABC △是等腰直角三角形，斜边2AB =，D 为直角边BC 上一点（不含端点），将ACD △沿直线AD 折叠至1AC D △的位置，使得1C 在平面ABD 外，若1C 在平面ABD 上的射影H 恰好在线段AB 上，则AH 的取值范围是______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·顺义统考]已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且22b =，516b =，112a b =，34a b =．（1）求{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．18．（12分）[2019·山东实验中学]为了调查民众对国家实行“新农村建设”政策的态度，现通过网络问卷随机调查了年龄在20周岁至80周岁的100人，他们年龄频数分布和支持“新农村建设”人数如下表：（1）根据上述统计数据填下面的2×2列联表，并判断是否有95％的把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异；（2）为了进一步推动“新农村建设”政策的实施，中央电视台某节目对此进行了专题报道，并在节目最后利用随机拨号的形式在全国范围内选出4名幸运观众(假设年龄均在20周岁至80周岁内)，给予适当的奖励．若以频率估计概率，记选出4名幸运观众中支持“新农村建设”人数为ξ，试求随机变量ξ的分布列和数学期望．参考数据：参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．19．（12分）[2019·西城一模]如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直，AF DE∥，DE AD⊥，AD BE⊥，112AF AD DE===，AB=（1）求证：BF∥平面CDE；（2）求二面角B EF D--的余弦值；（3）判断线段BE上是否存在点Q，使得平面CDQ⊥平面BEF？若存在，求出BQBE的值，若不存在，说明理由．20．（12分）[2019·凉州二诊]椭圆长轴右端点为A，上顶点为M，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且21MF FA⋅=．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l交椭圆于P、Q两点，判断是否存在直线l，使点F恰为PQM△的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．（12分）[2019·济南模拟]已知函数()()()21ln 02a f x x x x a =--+>． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1e a <<，试判断()f x 的零点个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·安庆二模]在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x m y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，以x 轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位．圆C的方程为ρθ=，l 被圆C．（1）求实数m 的值；（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P的坐标为(m ，且0m >，求PA PB +的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·成都实验中学]已知函数()22f x x x a =-++，a ∈R ．（1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若存在0x 满足()0023f x x +-<，求a 的取值范围．绝密 ★ 启用前2019年高考高三最新信息卷理科数学答案（四）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】由题意得{}{}234014A x x x x x x =-->=<->或， ∴{}14A x x =-≤≤R ð，∴(){}(]141,4A B x x =<≤=R ð．故选C ．2．【答案】D【解析】∵()()()1i 2i 221i a a a ++=-++，∴20a -=，210a +≠，即2a =，故选D ． 3．【答案】B【解析】设向量2+a b 与a 的夹角为α，∵a ，b 的夹角为π3，且2=a ，1=b ， ∴()()22π1222cos 4221632⋅+=+⋅=+⋅=+⨯⨯⨯=a a b a ab a a b ，2+===a b∴()2cos 2α⋅+===⋅+a a b a a b又∵[]0,πα∈，∴π6α=，故选B ． 4．【答案】D【解析】由题得22π17sin 2cos 22cos 121248ααα⎛⎫⎛⎫-==-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．5．【答案】A【解析】∵()11f =-，∴舍去B ， ∵()0e 2cos10f =->，∴舍去D ，∵2x >时，()()1e 2cos 1x f x x -=--，∴()()1e 2sin 1e 20x f x x --'=+≥->，故选A ． 6．【答案】C【解析】依题意212PF F F =，可知三角形21PF F 是一个等腰三角形，2F 在直线1PF 的投影是其中点， 由勾股定理知，可知14PF b ==， 根据双曲定义可知422b c a -=，整理得2c b a =-， 代入222c a b =+整理得2340b ab -=，求得43b a =， ∴双曲线渐进线方程为43y x =±，即430x y ±=．故选C ．7．【答案】D【解析】由图可知3122A +==，3112B -==，7ππ2π1212T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，∴2ω=， 由()ππ22π122k k ϕ⨯+=+∈Z ，π2ϕ<，得π3ϕ=，故()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．令()π2π3x k k +=∈Z ，得()ππ26k x k =-∈Z ，则0k =时，π6x =-．故选D ．8．【答案】C【解析】模拟程序的运行，可得：2x =，4n =，1v =，i 3=， 满足进行循环的条件i 0>，5v =，i 2=，满足进行循环的条件i 0>，12v =，i 1=， 满足进行循环的条件i 0>，25v =，i 0=，不满足进行循环的条件i 0>，退出循环，输出v 的值为25．故选C ． 9．【答案】C【解析】如图所示，将直三棱柱111ABC A B C -补充为长方体，，设长方体的外接球的半径为R ，则24R =，2R =， ∴该长方体的外接球的体积3432ππ33V R ==，∴该三棱柱的外接球的体积3432ππ33V R ==，故选C ．10．【答案】B【解析】首先理、化、生、史、地、政六选三，且物、化必选，∴只需在生、史、地、政四选一有14C 4=种；然后对语文、外语排课进行分类，第1类：语文外语有一科在下午第一节，则另一科可以安排在上午四节课任意一节，剩下的四科可全排列，共114244C C A 192=种；第2类：语文外语都不在下午第一节，则下午第一节可在除语数外三科的另三科中选择13C ， 语文和外语可都安排在上午，可以是上午第一、三，上午一、四、上午二、四节3种， 也可一科在上午任一节一科在下午第二节14C 4=，其他三科可以全排列， 共()123323C 34A A 252+=；∴总共有()41922521776+=种．故选B ．11．【答案】D【解析】不妨A 为第一象限中的点，设(),A a b （0b >）．由抛物线的方程得()1,0F ，则15AF a =+=，故4a =，∴()4,4A ，A 关于准线1x =-的对称点为()6,4A '-，故PA OP PA OP A O ''+=+≥= 当且仅当A '，P ，O 三点共线时等号成立，故选D ． 12．【答案】A 【解析】∵()3ln 44x f x x x=-+，(]0,2x ∈， ∴()()()221311301444x x f x x x x x ---=--==⇒='，(3舍去) 从而01x <<，()0f x '<；12x <<，()0f x '>；即1x =时，()f x 取最小值12， 因此[]1,2x ∃∈，使得21242x ax ≥--+成立，724x a x≥-+的最小值， ∵724x x -+在[]1,2上单调递减，∴724x x -+的最小值为271288-+=-，因此18a ≥-，故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】3【解析】依据不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，平面区域为ABC △，其中()2,0A ，()0,2B ，()2,3C ，∴1232S AC =⨯⨯=．故答案为3．14．【答案】16-【解析】∵()()()()444222x y x y x x y y x y -+=+-+，又()42x y +展开式的通项为4414C 2k k k kk T x y --+=， 求()()42x y x y -+的展开式中23x y 的系数，只需令2k =或3k =，故所求系数为3432244C 2C 216--=-．故答案为16-．15．【答案】45【解析】∵58a b =，∴5sin 8sin A B =，∵2A B =，∴5sin28sin B B =，10sin cos 8sin B B B =， ∵sin 0B ≠，∴4cos 5B =． 16．【答案】(【解析】∵在等腰Rt ABC △中，斜边2AB =，D 为直角边BC 上的一点，∴AC BC =90ACB ∠=︒，将ACD △沿直AD 折叠至1AC D △的位置，使得点1C 在平面ABD 外， 且点1C 在平面ABD 上的射影H 在线段AB 上，设AH x =，∴1AC AC ==，(1CD C D =∈，190AC D ∠=︒，CH ⊥平面ABC ，∴1AH AC <，当CD =B 与D 重合，1AH =，当CD <时，112AH AB >=，∵D 为直角边BC上的一点，∴(CD ∈， ∴AH的取值范围是(．故答案为(．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）()121,2,3,n n b n -==；（2）2312122n n S n n =++-． 【解析】（1）设{}n b 的公比为q ．∵22b =，516b =，∴3521682b q b ===，∴2q =，211bb q==，∴()11121,2,3,n n n b b q n --===．（2）由（1）知12n n b -=，∴11b =，48b =，设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵112a b =，34a b =，∴12a =，3128a a d =+=，∴3d =，∴31n a n =-， 因此1312n n n n c a b n -=+=-+，从而数列{}n c 的前n 项和()()12231123125311222121222n n n n n n S n n n -+--=+++-++++=+=++--．18．【答案】（1）2×2列联表见解析，无95％的把握；（2）期望为125，分布列见解析．【解析】（1）列联表如下图所示：()2210040202020 2.778 3.84160406040K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，故没有95%把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异． （2）依题意，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，且观众支持“新农村建设”的概率为6031005=，且34,5B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，∴()040432160C 55625P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()131432961C 55625P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2224322162C 55625P ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3134322163C 55625P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()404432814C 55625P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望为()312455E ξ=⨯=．19．【答案】（1）见解析；（2；（3）17BQ BE =． 【解析】（1）由底面ABCD 为平行四边形，知AB CD ∥，又∵AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，∴AB ∥平面CDE ．同理AF ∥平面CDE ， 又∵ABAF A =，∴平面ABF ∥平面CDE ．又∵BF ⊂平面ABF ，∴BF ∥平面CDE ．（2）连接BD ，∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，DE AD ⊥，∴DE ⊥平面ABCD ．则DE DB ⊥， 又∵DE AD ⊥，AD BE ⊥，DEBE E =，∴AD ⊥平面BDE ，则AD BD ⊥，故DA ，DB ，DE 两两垂直，∴以DA ，DB ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()0,1,0B ，()1,1,0C -，()0,0,2E ，()1,0,1F ， ∴()0,1,2BE =-，()1,0,1EF =-，()0,1,0=n 为平面DEF 的一个法向量． 设平面BEF 的一个法向量为(),,x y z =m，由0BE ⋅=m ，0EF ⋅=m ，得200y z x z -+=⎧⎨-=⎩，令1z =，得()1,2,1=m ，∴cos ,⋅==m n m n m n 如图可得二面角B EF D --为锐角，∴二面角B EF D -- （3）结论：线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ，证明如下：设()0,,2BQ BE λλλ==-，[]()0,1λ∈，∴()0,1,2DQ DB BQ λλ=+=-．设平面CDQ 的法向量为(),,a b c =u ，又∵()1,1,0DC =-，∴0DQ ⋅=u ，0DC ⋅=u ，即()1200b c a b λλ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1b =，得11,1,2λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭u ．若平面CDQ ⊥平面BEF ，则0⋅=m u ，即11202λλ-++=，解得[]10,17λ=∈． ∴线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ，且此时17BQ BE =． 20．【答案】（1）2212x y +=；（2）存在直线l ：43y x =-满足要求．【解析】（1）设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，半焦距为c ．则(),0A a 、()0,M b 、(),0F c 、(),MF c b =-、(),0FA a c =-， 由21MF FA =⋅-，即21ac c -=，又c a =222a b c =+解得2221a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴椭圆的方程为2212x y +=． （2）∵F 为MPQ △的垂心，∴MF PQ ⊥， 又()0,1M ，()1,0F ，∴1MF K =-，1PQ K =， 设直线PQ ：y x m =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，将直线方程代入2212x y +=，得223+4220x mx m +-=1243mx x +=-，212223m x x -⋅=， ()()22412220m m ∆=-->，m <1m ≠，又PF MQ ⊥，()111,PF x y =--，()22,1MQ x y =-，∴2121210x x x y y y --+=，即()()21212120m x x x x m m -⋅+-+-=， 由韦达定理得2340m m +-=，解得43m =-或1m =（舍去）。