2018届高三数学 第8练 函数的奇偶性和周期性练习

高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性专题训练（含答案）若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，下面是函数的奇偶性与周期性专题训练，请考生及时练习。

一、选择题1.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x0时，f(x)=2x+2x+b(b 为常数)，则f(-1)等于().A.3 B.1 C.-1 D.-3解析由f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.则b=-1，f(x)=2x+2x-1，f(-1)=-f(1)=-3.答案 D2.已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为 ().A.-1B.0C.1D.2(构造法)构造函数f(x)=sin x，则有f(x+2)=sin=-sinx=-f(x)，所以f(x)=sin x是一个满足条件的函数，所以f(6)=sin 3=0，故选B.答案 B3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x[3,5]时，f(x)=2-|x-4|，则下列不等式一定成立的是().A.ffB.f(sin 1)f(sin 2)解析当x[-1,1]时，x+4[3,5]，由f(x)=f(x+2)=f(x+4)=2-|x+4-4|=2-|x|，显然当x[-1,0]时，f(x)为增函数;当x[0,1]时，f(x)为减函数，cos=-，sin =，又f=ff，所以ff.答案 A4.已知函数f(x)=则该函数是().A.偶函数，且单调递增B.偶函数，且单调递减C.奇函数，且单调递增D.奇函数，且单调递减解析当x0时，f(-x)=2-x-1=-f(x);当x0时，f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).当x=0时，f(0)=0，故f(x)为奇函数，且f(x)=1-2-x在[0，+)上为增函数，f(x)=2x-1在(-，0)上为增函数，又x0时1-2-x0，x0时2x-10，故f(x)为R上的增函数.答案 C.已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x[0,1)时，f(x)=4x-1，则f(-5.5)的值为()A.2B.-1C.-D.1解析 f(-5.5)=f(-5.5+6)=f(0.5)=40.5-1=1.答案 .设函数D(x)=则下列结论错误的是().A.D(x)的值域为{0,1}B.D(x)是偶函数C.D(x)不是周期函数D.D(x)不是单调函数解析显然D(x)不单调，且D(x)的值域为{0,1}，因此选项A、D正确.若x是无理数，-x，x+1是无理数;若x是有理数，-x，x+1也是有理数.D(-x)=D(x)，D(x+1)=D(x).则D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B正确，C错误.答案 C二、填空题.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则实数a=________.解析由题意知，函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则f(1)=f(-1)，1-|1+a|=1-|-1+a|，a=0.答案 0.已知y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2，则g(-1)=________.解析因为y=f(x)+x2是奇函数，且x=1时，y=2，所以当x=-1时，y=-2，即f(-1)+(-1)2=-2，得f(-1)=-3，所以g(-1)=f(-1)+2=-1.答案 -1.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5]，当x[0,5]时，函数y=f(x)的图象如图所示，则使函数值y0的x的取值集合为________.解析由原函数是奇函数，所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y=f(x)在[0,5]上的图象，得它在[-5,0]上的图象，如图所示.由图象知，使函数值y0的x的取值集合为(-2,0)(2,5).答案 (-2,0)(2,5) 10. 设f(x)是偶函数，且当x0时是单调函数，则满足f(2x)=f的所有x之和为________.解析 f(x)是偶函数，f(2x)=f，f(|2x|)=f，又f(x)在(0，+)上为单调函数，|2x|=，即2x=或2x=-，整理得2x2+7x-1=0或2x2+9x+1=0，设方程2x2+7x-1=0的两根为x1，x2，方程2x2+9x+1=0的两根为x3，x4.则(x1+x2)+(x3+x4)=-+=-8.-8三、解答题.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1)，f(-1)的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性.解 (1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)=yf(x)+xf(y)，所以令x=y=1，得f(1)=0，令x=y=-1，得f(-1)=0.(2)令y=-1，有f(-x)=-f(x)+xf(-1)，代入f(-1)=0得f(-x)=-f(x)，所以f(x)是(-，+)上的奇函数..已知函数f(x)对任意x，yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x0时，f(x)0，f(1)=-2.(1)求证f(x)是奇函数;(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.(1)证明令x=y=0，知f(0)=0;再令y=-x，则f(0)=f(x)+f(-x)=0，所以f(x)为奇函数.(2)解任取x1所以f(x)max=f(-3)=6，f(x)min=f(3)=-6.已知函数f(x)是(-，+)上的奇函数，且f(x)的图象关于x=1对称，当x[0,1]时，f(x)=2x-1，(1)求证：f(x)是周期函数;(2)当x[1,2]时，求f(x)的解析式;(3)计算f(0)+f(1)+f(2)++f(2019)的值.(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)，函数f(x)的图象关于x=1对称，则f(2+x)=f(-x)=-f(x)，所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数.(2) 当x[1,2]时，2-x[0,1]，又f(x)的图象关于x=1对称，则f(x)=f(2-x)=22-x-1，x[1,2].(3)f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-1又f(x)是以4为周期的周期函数.f(0)+f(1)+f(2)++f(2019)=f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1..已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x).(1)求证：f(x)是周期函数;(2)若f(x)为奇函数，且当01时，f(x)=x，求使f(x)=-在[0,2 014]上的所有x的个数.(1)证明 f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数.(2)解当01时，f(x)=x，设-10，则01，f(-x)=(-x)=-x.f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)，-f(x)=-x，即f(x)=x.故f(x)=x(-11).函数的奇偶性与周期性专题训练及答案的全部内容就是这些，查字典数学网预祝考生可以取得优异的成绩。

高三数学函数的奇偶性试题1.下列函数在定义域内为奇函数的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据奇函数的定义：A选项：，所以函数为奇函数；B选项：，所以函数为偶函数；C选项：，所以函数为偶函数；D选项：，所以函数为偶函数；可知A正确。

【考点】函数的奇偶性.2.若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________．【答案】－1【解析】∵y＝f(x)为偶函数，且f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，∴f(x)＝x2＋(1－a)x－a,1－a＝0.∴a＝1.f(x)＝(x＋1)(x－1)(－3≤x≤3)．f(－6)＝f(－6＋6)＝f(0)＝－1.10))＝5，则f(lg(lg2))＝3. [2013·重庆高考]已知函数f(x)＝ax3＋bsinx＋4(a，b∈R)，f(lg(log2()A．－5B．－1C．3D．4【答案】C【解析】∵f(x)＝ax3＋bsinx＋4，①∴f(－x)＝a(－x)3＋bsin(－x)＋4，即f(－x)＝－ax3－bsinx＋4，②①＋②得f(x)＋f(－x)＝8，③10)＝lg()＝lg(lg2)－1＝－lg(lg2)，又∵lg(log2∴f(lg(log10))＝f(－lg(lg2))＝5，2又由③式知f(－lg(lg2))＋f(lg(lg2))＝8，∴5＋f(lg(lg2))＝8，∴f(lg(lg2))＝3.故选C.4.函数的图象大致是()A．B．C．D．【答案】A【解析】易知函数是偶函数，当x=0时，. 所以选A.5.已知且，若，则 .【答案】【解析】由得，即．设，则有，又，而函数是奇函数，∴，即，∴．【考点】奇函数的性质，综合问题.6.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)等于()A．-3B．-1C．1D．3【答案】A【解析】因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,即f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3.故选A.7.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(-∞,0]时,f(x)=e-x-ex2+a,则函数f(x)在x=1处的切线方程为()A．x+y=0B．ex-y+1-e=0C．ex+y-1-e=0D．x-y=0【答案】B【解析】因为函数是奇函数,故有f(0)=1+a=0,即a=-1.设x>0,则-x<0,所以f(-x)=e x-ex2+a.即-f(x)=e x-ex2+a,即f(x)=-e x+ex2-a,所以f′(x)=-e x+2ex,即f′(1)=-e+2e=e.又切点为(1,1),所以f(x)在x=1处的切线方程为ex-y+1-e=0.故选B.8.若二次函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=.【答案】-2x2+4【解析】【思路点拨】化简f(x),函数f(x)为偶函数,则一次项系数为0可求b.值域为(-∞,4],则最大值为4,可求2a2,即可求出解析式.解：∵f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2是偶函数,则其图象关于y轴对称.∴2a+ab=0,∴b=-2或a=0(舍去).∴f(x)=-2x2+2a2,又f(x)的值域为(-∞,4],∴2a2=4,f(x)=-2x2+4.9.设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2);③当0≤x≤1时,f(x)=2x-1,则f()+f(1)+f()+f(2)+f()=.【答案】【解析】【思路点拨】根据条件先探究函数的奇偶性、周期性,再将所求函数值转化为已知函数值求解.解:依题意知:函数f(x)为奇函数且周期为2,∴f()+f(1)+f()+f(2)+f()=f()+f(1)+f(-)+f(0)+f()=f()+f(1)-f()+f(0)+f()=f()+f(1)+f(0)=-1+21-1+20-1=.10.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)．(1)求f(2 012)的值；(2)求证：函数f(x)的图像关于直线x＝2对称；(3)若f(x)在区间[0,2]上是增函数，试比较f(－25)，f(11)，f(80)的大小．【答案】(1)0 (2)见解析 (3) f(－25)<f(80)<f(11)【解析】解：(1)因为f(x－4)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x－4)＝－{－f[(x－4)－4]}＝f(x－8)，知函数f(x)的周期为T＝8.所以f(2 012)＝f(251×8＋4)＝f(4)＝－f(0)．又f(x)为定义在R上的奇函数．所以f(0)＝0，故f(2 012)＝0.(2)证明：因为f(x)＝－f(x－4)，所以f(x＋2)＝－f[(x＋2)－4]＝－f(x－2)＝f(2－x)，知函数f(x)的图像关于直线x＝2对称．(3)由(1)知f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(－25)＝f[(－3)×8－1]＝f(－1)，f(11)＝f(8＋3)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(10×8＋0)＝f(0)．又f(x)在[0,2]上是增函数，且f(x)在R上为奇函数，所以f(x)在[－2,2]上为增函数，则有f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．11.已知函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝x－B．f(x)＝C．f(x)＝－1D．f(x)＝【答案】D【解析】由图像可知该函数为奇函数，排除B，C；验证A，f(x)＝x－，当x正向无限增大时，其函数值也无限增大，图像不满足，排除A.12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)=()．A．1B．－1C．D．－【答案】B【解析】∵f(x)为R上的奇函数，∴f(－2)＝－f(2)．当x＝2时，f(2)＝22－3＝1，∴f(－2)＝－1.13.设为实常数，是定义在上的奇函数，且当时，．若对一切成立，则的取值范围是 .【答案】【解析】因为是定义在上的奇函数，所以当时，；当时，，因此且对一切成立所以且，即.【考点】函数奇偶性，不等式恒成立14. R上的奇函数满足，当时，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】据题意得，这是一个周期为3的周期函数，且为奇函数.所以.选A.【考点】函数的性质.15.函数的图象（）A．关于原点对称B．关于直线对称C．关于轴对称D．关于轴对称【答案】D【解析】，定义域为，，故函数为偶函数，其图象关于轴对称，选D.【考点】函数的奇偶性16.设函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集用区间表示为_________.【答案】【解析】因为，函数是定义在上的奇函数，且当时，，所以，时，-，；由得；由得，故答案为.【考点】函数的奇偶性，分段函数，简单不等式的解法.17.若是奇函数，当时，的解析式是,当时，的解析式是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】因为是奇函数，所以当时，所以，选C.【考点】奇函数的应用.18.设函数，若是奇函数，则 .【答案】2【解析】依题意，由于是奇函数，，.【考点】分段函数，函数的奇偶性.19.若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为（1），所以，又因为函数分别是上的奇函数、偶函数，所以（2），（1）+（2）得，所以g(0)=-1,,故选D.【考点】1.函数是奇偶性；2.求抽象函数的解析式.20.已知在R上是奇函数，且（）A．-2B．2C．-98D．98【答案】A【解析】因为在R上是奇函数，，所以，选A.【考点】函数的周期性和奇偶性.21.下列函数中，即是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=2x3B．y=|x|+1C．y=－x2+4D．y=2-|x|【解析】如果对于函数的定义域内的任何一个值，都有，那么就称为偶函数，A选项的函数是奇函数，B、C、D选项的函数是偶函数，B选项的函数在是单调递增的，C选项的二次函数在是单调递减的，D选项的函数在上是单调递减的.【考点】偶函数的判断，函数单调性.22.已知函数,定义函数给出下列命题:①; ②函数是奇函数;③当时,若,,总有成立,其中所有正确命题的序号是（）A．②B．①②C．③D．②③【答案】D【解析】①，所以，错误；②当x＞0时，－x＜0，F（－x）＝－f（－x）＝－（）＝－f（x）＝F（x），为奇函数，同理可证当x＜0时也是奇函数，正确；③因为mn＜0，不妨设m＞0，n＜0，又m＋n＞0，所以，｜m｜＞｜n｜，＝－（）＝，因为,，所以，有＜0，正确.【考点】分段函数，函数奇偶性.23.已知函数，其中（1）对于函数，当时，，求实数的取值集合；（2）当时，的值为负，求的取值范围.【答案】（1）（2）且【解析】（1）根据函数奇偶性和单调性运算；（2）解关于a的不等式.试题解析:（1）容易知道函数是奇函数、增函数.（2）由（1）可知：当时，的值为负且【考点】函数奇偶性，单调性，解不等式.24.已知是奇函数，若且，则【答案】【解析】而是奇函数，所以所以【考点】本小题主要考查函数奇偶性的应用和函数值的求解，考查学生的运算求解能力.点评：函数的单调性和奇偶性是比较重要的两个性质，要灵活应用.25.设为定义域在上的奇函数，当时，（为常数），则【答案】-2【解析】∵当x≥0时，f（x）=2x+x+b，∴f（1）=3+b∵f（x）是定义在R上的奇函数∴f（0）=1+0+a=0，∴b=-1∴f（-1）=-f（1）=-3-b=-226.下列函数中,即是偶函数又在单调递增的函数是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】偶函数是A，B，C。

正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．辨析感悟1．对奇偶函数的认识及应用(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( )(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(3)(教材习题改编)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( )(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( )(5)(2013·山东卷改编)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝－2.( )(6)(2014·菏泽模拟)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是[－2,2]．( )2．对函数周期性的理解(7)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a ＞0)的周期函数．( )(8)(2013·湖北卷改编)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上是周期函数．( )[感悟·提升]1．两个防范一是判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，如(1)；二是若函数f(x)是奇函数，则f(0)不一定存在；若函数f(x)的定义域包含0，则必有f(0)＝0，如(2)．2．两个结论一是若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称，如(4)．二是若对任意x∈D都有f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是以2a为周期的函数；若对任意x∈D都有f(x＋a)＝±1f x(f(x)≠0)，则f(x)也是以2a为周期的函数，如(7)(8).教学过程【例3】(经典题)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)，f(11)，f(80)的大小顺序为________．规律方法关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.【训练3】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)．教学效果分析。

专题2.3 函数奇偶性和周期性真题回放1.【2017高考新课标1理5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D【解析】由已知，使1()1f x -≤≤成立的x 满足11x -≤≤，所以由121x -≤-≤得13x ≤≤，即使1(2)1f x -≤-≤成立的x 满足13x ≤≤，选D.2.【2017高考北京理5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x 为（ ）（A ）是偶函数，且在R 上是增函数 （B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数 （D ）是奇函数，且在R 上是增函数 【答案】A【解析】()()113333xxxx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x⎛⎫ ⎪⎝⎭是减 函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A.【考点解读】本题为考查函数的奇偶性和单调性，由函数1()3()3x x f x =-，可借助函数奇偶性的定义及指数函数的性质来分析处理。

3.【2017高考天津理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则,,a b c 的大小关系为（ ）（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b << 【答案】C【考点解读】本题为函数奇偶性与单调性结合问题，可由()f x 为奇函数及单调递增性质，化为比较自变量，再运用指数和对数函数的性质，来比较大小。

对知识综合运用要求较高。

4. 【2017高考江苏理11】已知函数()3x x 12x+e -ef x =x -，其中e 是自然数对数的底数，若()()f f 0≤2a-1+2a ，则实数a 的取值范围是 。

第三节函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．()(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．()(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－13 B.13C.12D．－12B [依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴b ＝0且a ＝13，则a ＋b ＝13.]3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 2 B ．y ＝x ＋1x C ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x ＋e xD [A 选项定义域为R ，由于f (－x )＝1＋(－x )2＝1＋x 2＝f (x )，所以是偶函数．B 选项定义域为{x |x ≠0}，由于f (－x )＝－x －1x ＝－f (x )，所以是奇函数．C 选项定义域为R ，由于f (－x )＝2－x ＋12－x＝12x ＋2x ＝f (x )，所以是偶函数．D 选项定义域为R ，由于f (－x )＝－x ＋e －x ＝1e x －x ，所以是非奇非偶函数．]4．若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.－2 [∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－4＝－2，f (2)＝f (0)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2＋0＝－2.]5．(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x ＜0时，f (x )＝________.x (1－x ) [当x ＜0时，则－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )． 又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )， ∴f (x )＝x (1－x )．](1)f (x )＝x 3－2x ； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x；(3)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x ＞0，x 2－x ，x ＜0.【导学号：51062025】[解] (1)定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝(－x )3－2(－x )＝－x 3＋2x ＝－(x 3－2x )＝－f (x )． ∴该函数为奇函数.4分 (2)由1－x1＋x≥0可得函数的定义域为(－1,1]． ∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数.8分(3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x ＜0时，－x ＞0， 故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2－x ，则当x ＞0时，－x ＜0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数.15分 [规律方法] 1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图象进行判断．[变式训练1] (1)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数(2)判断函数f (x )＝3－x 2＋x 2－3的奇偶性．(1)C [A ：令h (x )＝f (x )·g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )， ∴h (x )是奇函数，A 错．B ：令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )， ∴h (x )是偶函数，B 错．C ：令h (x )＝f (x )|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，C 正确．D ：令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )，∴h (x )是偶函数，D 错．](2)由⎩⎨⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，∴x ＝±3，4分即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0.10分 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.15分(1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________.(1)1(2)⎩⎨⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0[(1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )－f (x )＝0恒成立，∴－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，∴x ln a ＝0恒成立，∴ln a ＝0，即a ＝1.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， 即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.][规律方法] 1.已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f (x )±f (x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；2．已知函数的奇偶性求函数值或解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出关于f (x )的方程(组)，从而可得f (x )的值或解析式．[变式训练2] 设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3A [因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以有f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1，所以当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x －1，所以f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.]时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝________. 【导学号：51062026】1 009 [∵f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝2.又当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，∴f (0)＝0，f (1)＝1，f (0)＋f (1)＝1. ∴f (0)＋f (1)＝f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＝…＝f (2 016)＋f (2 017)＝1， ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝1 009.][迁移探究1] 若将本例中“f (x ＋2)＝f (x )”改为“f (x ＋1)＝－f (x )”，则结论如何？[解] ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝－f (x ＋1)＝f (x ).5分 故函数f (x )的周期为2.8分由本例可知，f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝1 009.15分 [迁移探究2] 若将本例中“f (x ＋2)＝f (x )”改为“f (x ＋1)＝1f (x )”，则结论如何？[解] ∵f (x ＋1)＝1f (x )， ∴f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝1f (x ＋1)＝f (x ).5分 故函数f (x )的周期为2.8分由本例可知，f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝1 009.15分[规律方法] 1.判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质．2．函数周期性的三个常用结论： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ， (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ， (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a ＞0)． [变式训练3] (2017·杭州模拟(一))已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )＝⎩⎨⎧1，－1＜x ≤0，－1，0＜x ≤1，则下列函数值为1的是( )A ．f (2.5)B ．f (f (2.5))C ．f (f (1.5))D ．f (2)D [由f (x ＋1)＝－f (x )知f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，于是f (x )是以2为周期的周期函数，从而f (2.5)＝f (0.5)＝－1，f (f (2.5))＝f (－1)＝f (1)＝－1，f (f (1.5))＝f (f (－0.5))＝f (1)＝－1，f (2)＝f (0)＝1，故选D.][思想与方法]1．函数奇偶性的三个常用性质(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)若f(x)为偶函数，则f(|x|)＝f(x)．(3)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．利用函数奇偶性可以解决以下问题(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性．3．在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用．[易错与防范]1．判断函数的奇偶性，应首先判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件．应用时要注意函数的定义域并进行检验．3．判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不能用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性．课时分层训练(五) 函数的奇偶性与周期性A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·嘉兴三模)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0B [y ＝x cos x 是奇函数，y ＝lg x 2－2和y ＝x sin x 是偶函数，y ＝e x ＋x 2是非奇非偶函数，故选B.]2．函数y ＝log 21＋x1－x的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝－x 对称 C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称A [由1＋x1－x ＞0得－1＜x ＜1，即函数定义域为(－1,1)， 又f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝－log 21＋x1－x ＝－f (x )， ∴函数y ＝log 21＋x1－x为奇函数，故选A.] 3．已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2D [由题意知当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f(x＋1)＝f(x)．又当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)．又当x<0时，f(x)＝x3－1，∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.故选D.]4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)＝() 【导学号：51062027】A．－2 B．2C．－98 D．98A[∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2.]5．对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是() A．f(x)＝x B．f(x)＝x2C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)D[由f(x)为准偶函数的定义可知，若f(x)的图象关于x＝a(a≠0)对称，则f(x)为准偶函数，A，C中两函数的图象无对称轴，B中函数图象的对称轴只有x＝0，而D中f(x)＝cos(x＋1)的图象关于x＝kπ－1(k∈Z)对称．]二、填空题6．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________. 【导学号：51062028】－－x－1[∵f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝x＋1，∴当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，即x＜0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1.]7．(2017·浙江五校二模)函数f(x)＝(x＋2)(x＋a)x是奇函数，则实数a＝________.－2 [由题意知，g (x )＝(x ＋2)(x ＋a )为偶函数， ∴a ＝－2.]8．(2017·杭州模拟)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝x 2，若对于任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，则f (2)－f (3)的值为________．1 [由题意得f (2)＝f (－2＋4)＝f (－2)＝－f (2)， ∴f (2)＝0.∵f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (2)－f (3)＝1.] 三、解答题9．若f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1，求f (x )的表达式. 【导学号：51062029】[解] 在f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1中用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝1(－x )2－(－x )＋1，4分又f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， 所以－f (x )＋g (x )＝1x 2＋x ＋1，8分联立方程⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1，－f (x )＋g (x )＝1x 2＋x ＋1，12分两式相减得f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－x ＋1－1x 2＋x ＋1＝x x 4＋x 2＋1.15分10．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1. (1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式． [解] (1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (1)＝f (2－1)＝f (－1)＝－f (1)，4分∴f (1)＝0，f (－1)＝0.7分(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4－x ＋1＝－2x4x ＋1，10分 综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 4x ＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x ＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.15分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2 018)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±2 A [∵g (－x )＝f (－x －1)，∴－g (x )＝f (x ＋1)．又g (x )＝f (x －1)，∴f (x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (2 018)＝f (4×504＋2)＝f (2)＝2.]2．(2017·浙江镇海中学测试卷二)设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －2，x <2，x 2，x ≥2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________，若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是________.【导学号：51062030】254 (－∞，2] [因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝52， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝254. 因为函数f (x )在实数集上单调递增，故有a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.]3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，(1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．[解] (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .2分又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.7分(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图象知⎩⎨⎧a －2＞－1，a －2≤1，12分 所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3].15分。

第04节 函数奇偶性与周期性A 基础巩固训练1.【2017辽宁沈阳东北育才学校模拟】若函数()()f x x ∈R 是奇函数，函数()()g x x ∈R 是偶函数，则A. 函数()()f x g x -是奇函数B. 函数()()f x g x ⋅是奇函数C. 函数()f g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数D. ()g f x ⎡⎤⎣⎦是奇函数【答案】B()()2,sin f x x g x x ==， ()g f x ⎡⎤⎣⎦是偶函数，故选项D 不正确；综上，正确的只有选项B,故选B.2.【2017浙江模拟】已知()f x ，()g x 都是偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，设函数()()(1)()(1)F x f x g x f x g x =+----，若0a >，则（ ）A.()()F a F a -≥且()()11F a F a +≥-B.()()F a F a -≥且()()11F a F a +≤-C.()()F a F a -≤且()()11F a F a +≥-D.()()F a F a -≤且()()11F a F a +≤-【答案】A.【解析】由题意得，2(1),()(1)()2(), ()(1)g x f x g x F x f x f x g x -≥-⎧=⎨<-⎩， ∴2(1),()()(1)()2(), () ()(1)g a f a f a g a F a f a f a f a g a +=-≥+⎧-=⎨-=-<+⎩，2(1),()(1)()2(), ()(1)g a f a g a F a f a f a g a -≥-⎧=⎨<-⎩，综上可知()()F a F a -≥，同理可知(1)(1)F a F a +≥-，故选A.3.若函数21()2x x f x a+=-是奇函数，则使3f x >（）成立的x 的取值范围为( )（A ）( ) (B)() （C ）0,1（） （D ）1,+∞（）【答案】C 【解析】由题意()()f x f x =--，即2121,22x x x x a a--++=---所以，(1)(21)0,1x a a -+==，21(),21x x f x +=-由21()321x x f x +=>-得，122,01,x x <<<<故选C . 4.【2017课标II 】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f = ________．【答案】12【解析】(2)(2)[2(8)4]12f f =--=-⨯-+=5.【2017山东】已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当[3,0]x ∈- 时,()6x f x -=,则f(919)= .【答案】【解析】由f(x+4)=f(x-2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以(919)(66531)(1)f f f =⨯+= (1)6f =-=.B 能力提升训练1．【2017（0a >，1a ≠），()f m n=， ()1,1m ∈-，则()f m -=（ ） A. B. n - C. 0 D. 不存在【答案】B数()y f x =是奇函数，由()f m n =可知()()f m f m n -=-=-，应选答案B 。

高三数学函数的奇偶性试题答案及解析1.定义在R上的奇函数满足则= ．【答案】-2．【解析】∵奇函数，∴，∴，以代x，∴∴函数的周期为3，∴f（2014）=f（3×671+1）=f（1）=2，∴f（-1）=-f（1）=-2故答案为：-2．【考点】函数的奇偶性和周期性.2.（满分16分）已知函数，其中是自然对数的底数.（1）证明：是上的偶函数；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）已知正数满足：存在，使得成立，试比较与的大小，并证明你的结论.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当时，，当时，，当时，．【解析】试题解析：（1）证明：函数定义域为，∵，∴是偶函数．（2）由得，由于当时，，因此，即，所以，令，设，则，，∵，∴（时等号成立），即，，所以．（3）由题意，不等式在上有解，由得，记，，显然，当时，（因为），故函数在上增函数，，于是在上有解，等价于，即．考察函数，，当时，，当时，，当时，即在上是增函数，在上是减函数，又，，，所以当时，，即，，当时，，，即，，因此当时，，当时，，当时，．【考点】（1）偶函数的判断；（2）不等式恒成立问题与函数的交汇；（3）导数与函数的单调性，比较大小．3.偶函数的图像关于直线对称，，则=________．【答案】3【解析】因为的图像关于直线对称，故，又因为是偶函数，故．【考点】1、函数图象的对称性；2、函数的奇偶性．4.（5分）（2011•广东）设函数f（x）=x3cosx+1，若f（a）=11，则f（﹣a）= ．【答案】﹣9【解析】由于函数f（x）=x3cosx+1，是一个非奇非偶函数，故无法直接应用函数奇偶性的性质进行解答，故可构造函数g（x）=f（x）﹣1=x3cosx，然后利用g（x）为奇函数，进行解答．解：令g（x）=f（x）﹣1=x3cosx则g（x）为奇函数，又∵f（a）=11，∴g（a）=f（a）﹣1=11﹣1=10∴g（﹣a）=﹣10=f（﹣a）﹣1∴f（﹣a）=﹣9故答案为：﹣9点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中构造出奇函数g（x）=f（x）﹣1=x3cosx，是解答本题的关键．5.若函数为偶函数，当时，，则不等式的解集为______.【答案】.【解析】当时，，令，即，解得，此时有；当时，由于是偶函数，则，，于是有，解得，此时有.综上所述，不等式的解集为.【考点】1.函数的奇偶性；2.指数不等式6.（2011•湖北）已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠0）．若g（a）=a，则f（a）=（）A．2B．C．D．a2【答案】B【解析】∵f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）是定义在R上的偶函数由f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2 ①得f（﹣x）+g（﹣x）=a﹣x﹣a x+2=﹣f（x）+g（x）②①②联立解得f（x）=a x﹣a﹣x，g（x）=2由已知g（a）=a∴a=2∴f（a）=f（2）=22﹣2﹣2=故选B7.下面四个命题：①已知函数f(x)＝sin x，在区间[0，π]上任取一点x0，则使得f(x)>的概率为；②函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到函数y＝sin的图象；③命题“∀x∈R，x2－x＋1≥”的否定是“∃x0∈R，x2－x＋1<”；④若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x＋4)＝f(x)，则f(2 012)＝0．其中所有正确命题的序号是________．【答案】①③④【解析】②错误，应该向左平移；①使得f(x)>的概率为p＝＝；④f(2 012)＝f(0)＝0．8.若函数y=（x+1）（x﹣a）为偶函数，则a=（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【答案】C【解析】f（1）=2（1﹣a），f（﹣1）=0∵f（x）是偶函数∴2（1﹣a）=0，∴a=1，故选C．9.设偶函数满足，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】的解集为,因为是偶函数，关于轴对称，所以的解集为或,那么的解集为或,故解集为或,故选B.【考点】1.函数的奇偶性；2.解不等式.10.已知函数①②，③，④的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是( )A．①④②③B．①④③②C．④①②③D．③④②①【答案】A【解析】①是偶函数，其图象关于轴对称；②是奇函数，其图象关于原点对称；③是奇函数，其图象关于原点对称，且当时，其函数值;④为非奇非偶函数，且当时，, 且当时，.故选A【考点】奇偶性函数图像11.已知函数是定义在上的偶函数，且，则下列各式中一定成立的是( ).A．B．C．D．【答案】C【解析】根据偶函数的定义可知，对于区间内的任意的x都有成立，所以有，因为，所以，即.【考点】偶函数的性质12.已知函数，若，那么______【答案】-18【解析】因为，，所以，，又，所以，【考点】函数的奇偶性13.定义域为R的四个函数，，，中，偶函数的个数是( ) A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】根据图像可以判定二次函数,是偶函数,而非奇非偶.故选C【考点】奇偶性判断14.已知f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则f(2)=.【答案】6【解析】g(-2)=f(-2)+9=3,则f(-2)=-6,又f(x)为奇函数,所以f(2)=-f(-2)=6.15.函数y=f(x-1)为奇函数,y=f(x+1)为偶函数(定义域均为R).若0≤x<1时,f(x)=2x,则f(10)=.【答案】1【解析】依题意得f(-x-1)=-f(x-1),f(-x+1)=f(x+1),所以f(x+4)=-f(x),f(x+8)=f(x),故函数周期为8.f(10)=f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=1.16.若函数f(x)=(a+)cosx是奇函数,则常数a的值等于()A．-1B．1C．-D．【答案】D【解析】设g(x)=a+,t(x)=cosx,∵t(x)=cosx为偶函数,而f(x)=(a+)cosx为奇函数,∴g(x)=a+为奇函数,又∵g(-x)=a+=a+,∴a+=-(a+)对定义域内的一切实数都成立,解得:a=.17.已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时， f(x) ＝x2＋，则f(－1)＝()A．－2B．0C．1D．2【答案】A【解析】f(－1)＝－f(1)＝－2.18.已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．【答案】(－5,0)∪(5，＋∞)【解析】由已知得f(0)＝0，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－4x，因此f(x)＝不等式f(x)>x等价于或解得：x>5或－5<x<0.19.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于() A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】由函数的奇偶性质可得f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)．根据f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4，可得2g(1)＝6，即g(1)＝3，选B.20.已知是定义在上的奇函数，满足,当时,，则函数在区间上的零点个数是（）A．3B．5C．7D．9【答案】D【解析】由是定义在上的奇函数，满足,得，即，函数的周期为.∵当时, ，令，则，解得.又∵函数是定义在上的奇函数，∴在区间上，．∴，∴，又∵函数的是周期为的周期函数，则函数在区间上的零点，共9个，故选D.【考点】函数的奇偶性和周期性，函数的零点.21.若y＝f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y＝f′(x)()．A．既是周期函数，又是奇函数B．既是周期函数，又是偶函数C．不是周期函数，但是奇函数D．不是周期函数，但是偶函数【答案】B【解析】因为y＝f(x)是周期函数，则有f(x＋T)＝f(x)，两边同时求导，得f′(x＋T)(x＋T)′＝f′(x)，即f′(x＋T)＝f′(x)，所以导函数为周期函数．因为y＝f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，两边求导得f′(－x)(－x)′＝－f′(x)，即－f′(－x)＝－f′(x)，所以f′(－x)＝f′(x)，即导函数为偶函数．22.函数的图象大致为( )【答案】A【解析】观察函数可知，該函数是偶函数，其图像关于轴对称，据此可排除B,D.又在轴附近，函数值接近1，所以C不符合.选A.【考点】函数的奇偶性，函数的图像.23.函数是上的奇函数，是上的周期为4的周期函数，已知,且,则的值为___________．【答案】2【解析】本题就是要待计算式中的每个式子计算化简，由已知，，因此，，，，，从而已知式为，∴.【考点】奇函数与周期函数的定义.24.函数对任意都有的图象关于点对称，则（）A．B．C．D．0【答案】Ｄ【解析】由题知的图象关于，是奇函数，令，有，∴，∴，则，所以函数是周期为12的周期函数，则=0．【考点】１、周期函数；2、函数的奇偶性．25.已知函数为奇函数，且当时，则当时，的解析式( ) A．B．C．D．【答案】B【解析】因为求当时，的解析式时的解析式，设在任意的则，.又因为函数为奇函数.所以.故选B.本小题考查的分段函数的奇偶性问题.【考点】1.分段函数的解析式.2.函数的奇偶性.26.偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且在x∈[0,1]时,f(x)="x" ,则关于x的方程f(x)= ,在x∈[0,4]上解的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】依题意可得函数f(x)是以2 为周期的函数.又因为是偶函数所以又以x=1对称，由此可得函数f(x)与函数的交点有4个.故选D.本题关键就是理解函数的周期性与偶函数相结合得到一个新的对称轴.【考点】1.函数的奇偶性.2.函数的周期性.3.指数函数的性质.27.已知,函数且，且.(1) 如果实数满足且，函数是否具有奇偶性? 如果有,求出相应的值;如果没有,说明原因；(2) 如果，讨论函数的单调性。

第04节 函数奇偶性与周期性班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.【2017肇庆三模】在函数y xcosx ＝2x y e x ＝＋，y ＝y xsinx ＝中，偶函数的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0【答案】B【解析】y xcosx ＝为奇函数，2x y e x ＝＋为非奇非偶函数，y ＝y xsinx ＝为偶函数.2.【2017赣中南五校联考】已知()y f x ＝是奇函数，当x<0时，f(x)＝x 2＋ax ，且()36f ＝，则a 的值为( ) A.5 B.1C.－1D.－3【答案】A3.已知函数f(x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ，若f(x 1)<f(x 2)，则( )A.x 1>x 2B.x 1＋x 2＝0C.x 1<x 2D.x 21<x 22【答案】D【解析】∵1()()()x x f x x e f x e-=--=.∴()f x 在R 上为偶函数， 11()()x xx x f x e x e e e'=-++，∴0x >时，()0f x '>，∴()f x 在[0，＋∞)上为增函数，由()()12f x f x <，得()()12f x f x <，∴|x 1|<|x 2|，∴2212x x <.4.【2017陕西西安一模】奇函数f(x)的定义域为R ，若f(x ＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为( )A.2B.1C.－1D.－2【答案】A【解析】∵()1f x ＋为偶函数，∴()1()1f x f x －＋＝＋，则f(－x)＝f(x ＋2)，又y ＝f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)＝f(x ＋2)，且f(0)＝0. 从而()()()()42f x f x f x y f x ＋＝－＋＝，＝的周期为4. ∴()()()()4501022f f f f ＋＝＋＝＋＝.5.【2017·沈阳模拟】函数f(x)满足f(x ＋1)＝－f(x)，且当0≤x ≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52的值为( )A.12B.14 C ．－14 D ．－12 【答案】A6.【2017山东济宁模拟】设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时， ()2x f x m =+（m 为常数），则()1f -=（ ） A. 3 B. 1 C. 1- D. 3- 【答案】C【解析】由题意得，当()()000020121x x f m m f x =⇒=⇒+=⇒=-⇒=- ，因此()()()111211f f -=-=--=-，故选C.7．定义在R 上的偶函数满足，且当 时，， 则等于（ ）A. 3B.C. -2D. 2 【答案】D【解析】用x+1代换x,得f(x+2)=f(x),f(x)为周期函数,T=2 log 28=3 f （3）=f （1）=f （-1）=2,本题选择D 选项.8．【2017东北三校二模】已知偶函数()f x 的定义域为R ，若()1f x -为奇函数，且()23f =，则()()56f f +的值为（ ）A. -3B. -2C. 2D. 3 【答案】D9.已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且()f x 在(),0-∞上是减函数，()()()20,2f g x f x ==+，则不等式()0xg x ≤的解集是（ ）A ．(][),22,-∞-+∞B ．[][)4,20,--+∞C ．(][),42,-∞--+∞D ．(][),40,-∞-+∞ 【答案】C【解析】由于)2()(+=x f x g 是)(x f 向左平移2个单位得到,结合函数的图象可知当4-≤x 或2-≥x ，纵横坐标的积不大于0, 即应选C.10.【2017四川宜宾二诊】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时， ()21x f x =-，则A. ()()11672f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭B. ()()11672f f f ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭C. ()()11762f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭D.()()11762f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭【答案】B【解析】 由题意得，因为()()2f x f x +=-，则()()4f x f x +=， 所以函数()f x 表示以4为周期的周期函数， 又因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，。

高考达标检测（五）函数的单调性、奇偶性及周期性一、选择题1．（2017·沈阳教学质量监测)下列函数中，在其定义域内是增函数且是奇函数的是（)A．y＝2x B．y＝2｜x|C．y＝2x－2－x D．y＝2x＋2－x解析：选C A中函数是非奇非偶函数，B、D中函数是偶函数，对于选项C，由奇函数的定义可知该函数是奇函数,由复合函数的单调性可知其在定义域内是增函数,故选C.2．（2017·辽宁阶段测试）设函数f（x)＝ln(1＋x）＋m ln（1－x)是偶函数，则（)A．m＝1，且f(x）在（0,1)上是增函数B．m＝1，且f(x）在（0,1)上是减函数C．m＝－1，且f(x）在(0，1)上是增函数D．m＝－1,且f（x）在(0,1）上是减函数解析：选B 因为函数f(x)＝ln（1＋x）＋m ln（1－x)是偶函数,所以f错误!＝f错误!，则（m－1）ln 3＝0,即m＝1，则f（x)＝ln(1＋x)＋ln（1－x)＝ln(1－x2），因为x∈（0，1）时，y＝1－x2是减函数，故f(x）在(0，1)上是减函数，故选B.3．(2016·北京高考）已知x，y∈R,且x>y>0,则（)A。

错误!－错误!〉0 B．sin x－sin y>0C.错误!x－错误!y〈0 D．ln x＋ln y〉0解析:选C A项，考查的是反比例函数y＝错误!在(0，＋∞)上单调递减，因为x>y>0，所以错误!－错误!<0，所以A错误；B项，考查的是三角函数y＝sin x在(0，＋∞)上的单调性，y＝sin x在（0，＋∞）上不单调，所以不一定有sin x〉sin y，所以B错误；C项，考查的是指数函数y＝错误!x在(0，＋∞）上单调递减，因为x>y>0，所以有错误!x<错误!y，即错误!x－错误!y<0，所以C正确;D项,考查的是对数函数y＝ln x的性质，ln x＋ln y＝ln xy，当x〉y〉0时，xy〉0，不一定有ln xy>0，所以D错误．4．(2016·山东高考）已知函数f（x)的定义域为R.当x＜0时，f（x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x）＝－f（x)；当x＞错误!时，f错误!＝f错误!，则f(6）＝（）A．－2 B．－1C．0 D．2解析：选D 由题意可知，当－1≤x≤1时，f(x）为奇函数，且当x〉错误!时，f（x＋1）＝f（x)，所以f(6)＝f(5×1＋1)＝f（1)．而f（1）＝－f（－1）＝－［（－1）3－1］＝2，所以f(6)＝2.故选D。

函数的性质-单调性、奇偶性、周期性、对称性目录一、常规题型方法1题型一函数的单调性1题型二函数的奇偶性4题型三单调性与奇偶性的综合应用10题型四函数的周期性13题型五函数的对称性18题型六周期性与对称性的综合应用22二、针对性巩固练习26练习一函数的单调性26练习二函数的奇偶性28练习三单调性与奇偶性的综合应用30练习四函数的周期性32练习五函数的对称性34练习六周期性与对称性的综合应用36常规题型方法题型一函数的单调性【典例分析】典例1-1．(2020·天津·高一期末)函数f (x )=log 13-x 2+6x -5 的单调递减区间是( )A.(-∞,3]B.[3,+∞)C.(1,3]D.[3,5)【答案】C 【分析】首先由函数解析式，求其定义域，根据复合函数的单调性，结合对数函数与二次函数的单调性，可得答案.【详解】由f x =log 13-x 2+6x -5 ，则-x 2+6x -5>0，x -5 x -1 <0，解得1<x <5，即函数f x 的定义域1,5 ，由题意，令g x =log 13x ，h x =-x 2+6x -5，则f x =g h x ，易知g x 在其定义域上单调递减，要求函数f x 的单调递减区间，需求在1,5 上二次函数h x 的递增区间，由h x =-x 2+6x -5=-x -3 2+4，则在1,5 上二次函数h x 的递增区间为1,3 ，故选：C .典例1-2．(2022·湖北武汉·高一期中)若二次函数f x =ax 2+a +6 x -5在区间-∞，1 为增函数，则a 的取值范围为( )A.-2，0B.-2，0C.-2，0D.-2，0【答案】A 【分析】根据条件确定二次函数的图象应开口向下，再利用端点值和对称轴比较大小.【详解】当a <0时，-a +62a≥1，解得：a ≥-2，所以-2≤a <0，当a >0时，不满足条件，综上可知：-2≤a <0故选：A典例1-3．(浙江省台州山海协作体2022-2023学年高一上学期期中联考数学试题)已知函数f x =x 2-2ax +52a ,x ≤1ax ,x >1 是定义在R 上的减函数，则实数a 的取值范围为( )A.1,2B.1,2C.1,+∞D.0,1【答案】A 【分析】根据二次函数和反比例函数的单调性，结合分割点处函数值之间的关系，列出不等式，求解即可.【详解】解：因为函数f x =x 2-2ax +52a ,x ≤1a x,x >1 是定义在R 上的减函数，所以a ≥1a >01-2a +52a ≥a解得1≤a ≤2，即a ∈1,2 .故选：A .【方法技巧总结】1.函数单调性的判断方法有：定义法、性质法、图像法、导数法。