新高考数学考试试卷及试卷结构说明

一、试卷结构新高考数学试卷分为选择题、填空题、解答题三个部分，总分150分。

试卷内容涵盖高中数学课程的知识点和能力要求，旨在全面考察学生的数学素养。

1. 选择题（共20题，每题3分，共60分）选择题分为单选题和多选题。

单选题每题只有一个正确答案，多选题有两个或两个以上正确答案。

选择题旨在考察学生对基础知识的掌握程度和逻辑推理能力。

2. 填空题（共10题，每题5分，共50分）填空题主要考察学生对基础知识的掌握和运算能力。

题目类型包括直接填空、计算填空和证明填空。

计算填空和证明填空要求学生在规定的时间内完成。

3. 解答题（共5题，每题15分，共75分）解答题分为三个层次：基础题、中等题和难题。

基础题主要考察学生对基础知识的掌握和应用能力；中等题考察学生分析问题和解决问题的能力；难题则考察学生的创新思维和综合运用知识的能力。

二、题型特点1. 选择题选择题题型多样，包括概念题、计算题、证明题等。

题目设计注重基础知识的考察，同时兼顾思维能力的培养。

部分题目涉及实际应用，引导学生关注数学与生活的联系。

2. 填空题填空题以计算为主，考察学生对基础知识的掌握和运算能力。

题目难度适中，既注重基础知识的考察，又关注学生的思维能力。

3. 解答题解答题注重考察学生的分析问题和解决问题的能力。

题目设计由易到难，层次分明。

基础题主要考察学生对基础知识的掌握和应用；中等题和难题则考察学生的创新思维和综合运用知识的能力。

三、考试要求1. 学生应掌握高中数学课程的基本知识和基本技能，具备一定的逻辑推理和空间想象能力。

2. 学生应具备良好的运算能力和解决问题的能力，能够灵活运用所学知识解决实际问题。

3. 学生应具备创新思维和综合运用知识的能力，能够在考试中充分发挥自己的潜能。

4. 学生应注重培养良好的学习习惯和考试心态，以应对新高考数学考试。

总之，新高考数学试卷题型多样，难度适中，旨在全面考察学生的数学素养。

考生在备考过程中，应注重基础知识的学习和能力的培养，以提高自己的综合素质。

2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）数学本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1 .答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是正确的・请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知z = —1 —i,则（）A. 0B. 1C. V2D. 22. 已知命题p ： Vx e R , x +11> 1 ；命题 q ： > 0 , x 3 = x ，贝I （ ）A. p 和q 都是真命题B. ~^P 和q 都是真命题C. p 和「0都是真命题D. F 和「0都是真命题3. 已知向量口,直满足|4 = 1J q + 2，= 2,且— 则料=（）A. |B. —C.匝D. 12 2 24. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理下表据表中数据，结论中正确的是（）亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)频数612182410A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间5.已知曲线C：x2+y2=16(歹>0),从。

新课标高考理科数学试卷分析一.题型、题量全卷包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

第Ⅰ卷为选择题。

第Ⅱ卷为非选择题。

考试时间为120分钟，总分为150分。

试题分选择题、填空题和解答题.其中，选择题有12个小题，每题5分，共计60分；填空题有4个小题，每题5分，共计20分；解答题有8个题,其中第17题～21题各12分，第22～24题（各10分)选考一题内容分别为选修4—1（几何选讲)、选修4-4（坐标系与参数方程）、4-5（不等式选讲)，共计70分.全部试题都要求在答题卡上作答.题型、题量同教育部考试中心近几年命制的新高考数学理科卷相同。

二。

试题考查内容试题内容与考试要求都与2012年新课程高考《考试大纲》的考试内容与要求相吻合,考查的知识内容与方法分布与高中数学新课标和考试大纲所规定的相同.三.试题考查的知识和方法四. 2012年新课标高考理科数学试卷分析2012年全国新课标理科数学试卷突出主干、强化综合；突出应用、体现创新；强化思想、能力立意。

总体难度高于近几年全国新课标卷,平均分将明显下降，对2012年首次参加新课标高考的省份是一个不小的打击，试卷是否会是新课标卷的一个分水岭，值得思考。

（一）、小题综合、难度上升。

相比近几年新课标卷，小题更趋综合，难度提升，基本没有送分题,没有稳定情绪的题目.1、选择题部分。

第1题考查集合，就有一定难度，要求学生对集合语言有一定的理解，更要求学生具有一定的实际操作能力；第2题考查排列组合分配问题，这是教学的一个难点，学生多有恐惧心理,位置太靠前，造成学生一定心理负担，影响全卷解答，试题排列顺序值得商榷；第3题考查复数，结合命题真假命制,题目简单，有创新；第5题考查等比数例性质与运算，要求学生运算能力强、有方程思想;第六题考查程序框图，字母较多、结构复杂，难度相比往年上升一档;第8题考查解析几何，双曲线与抛物线综合,要求学生概念清楚，综合能力强；第11题考查立体几何，三棱锥外接球问题，空间想象能力要求非常高，难度高于往年相同位置的题目；第12题考查指对函数，可结合反函数的思想，利用导数的几何意义进行求解，显然，这部分超出了课标与考纲对反函数知识的要求；2、填空题部分。

2023新高考一卷数学评分标准随着2023年新高考的全面实行，数学作为高考科目之一，评分标准备受到广泛关注。

本文将针对2023年新高考一卷数学评分标准进行详细介绍，以便考生和教师更好地理解数学试卷的评分规则。

1. 试卷整体结构2023年新高考一卷数学试卷将分为两部分，分别为选择题和非选择题。

选择题占总分的60，非选择题占总分的40。

选择题主要考查考生的基本知识和运算能力，非选择题主要考查考生的解决问题能力和创新思维。

2. 选择题评分标准选择题的评分主要根据考生的答案是否正确来进行。

每道选择题的分值在题目中已经标明，答对得分，答错不得分，未作答不得分。

对于存在多个答案的选择题，考生只有在所有正确答案均选对的情况下才能得分，否则不得分。

3. 非选择题评分标准非选择题主要包括解答题和填空题。

评分标准将主要根据考生的解题过程和答案完整性来进行，具体包括以下几个方面：- 解题思路清晰、合理：考生应该通过逻辑严谨的论证或运算过程来解答问题，避免无头绪地写答案。

若解题思路清晰、合理，即使得出的答案有误，也可根据解答过程给分。

- 答案准确、完整：对于填空题，考生应该给出准确的答案，并将答案填写在相应的空格内。

对于解答题，考生应该给出完整的解答过程，并得出准确的结论。

- 注重整体表达：除了求解过程和答案的准确性外，考生的表达方式也应该清晰、简洁、完整，避免出现语法错误或表达不清的情况。

4. 主观题评分标准除了基础的选择题和非选择题外，2023年新高考一卷数学试卷还将增加主观题，主要考察考生的数学建模能力和创新思维。

评分标准将主要根据以下几个方面来进行：- 问题分析全面：考生应该对问题进行全面的分析，明确问题的要求和限制条件，并能够从数学的角度进行建模和分析。

- 模型建立合理：考生应该能够根据问题的实际情况建立合理的数学模型，准确体现问题的本质和关键因素。

- 解决方法有效：考生应该能够运用合适的数学方法进行求解，并能够针对所得的结果进行合理的解释和分析。

【新结构】华大新高考联盟2024届高三下学期3月教学质量测评数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若，则z的虚部为()A. B. C. D.12.已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为()A. B. C. D.3.对A，B两地国企员工的上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中A地员工的上班迟到时间为单位：，，对应的曲线为，B地员工的上班迟到时间为单位：，，对应的曲线为，则下列图象正确的是()A. B.C. D.4.已知，，若，则()A. B. C. D.5.若，则()A. B. C. D.6.已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为P，过点F的直线与C交于M，N两点，若，且，则()A. B. C. D.7.已知实数a，b满足，则的最小值与最大值之和为()A.4B.5C.6D.78.已知正方体的边长为4，其中点E为线段的中点，点F，G分别在线段，上运动，若恒成立，则实数的取值范围为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知正数m，n满足，则()A.B.C.D.，，10.六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则()A.该正八面体结构的表面积为B.该正八面体结构的体积为C.该正八面体结构的外接球表面积为D.该正八面体结构的内切球表面积为11.若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的值可以是()A. B. C. D.2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若函数的图象关于原点对称，则__________.13.已知平面凸四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，其中，，则__________;若，则四边形ABCD 的面积的最大值为__________.14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，且，，若点Q也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分。

高考2024新高考试卷结构
2024年新高考的试卷结构将会有一些调整，特别是在数学科目上。

以下是一些具体的变化：
1. 题型调整：2024年九省联考数学试卷在整体上延续了全国新课标卷的单选题、多选题、填空题、解答题的结构。

但是，相比以前，试题数量有所减少，总题数从22个变为更少的数量。

2. 考查重点：未来的高考试卷将会加强对核心素养、关键能力和必备知识的整体性考查，注重考生的逻辑思维、形象思维、抽象思维等多方面的能力。

3. 分值变化：在外语科目上，将会减少语言知识运用类试题的题量和分值，相应地增加语言运用能力试题的分值，以更好地考查学生的语言实际运用能力。

综上所述，这些调整反映了教育部门对高考内容和形式不断优化的努力，旨在更好地适应新时代教育的需求，培养学生的综合能力和创新思维。

对于即将参加高考的学生来说，了解这些变化对于他们的备考是非常重要的。

同时，这也提醒教师和学校在教学安排和复习指导上要及时做出相应的调整，以帮助学生适应新的考试模式。

新高考（全国卷）地区数学试卷结构及题型变化新高考数学考试试卷及试卷结构说明：新高考数学试卷结构：第一大题，单项选择题，共8小题，每小题5分，共40分；第二大题，多项选择题，共4小题，每小题5分，部分选对得3分，有选错得0分，共20分.第三大题，填空题，共4小题，每小题5分，共20分。

第四大题，解答题，共6小题，均为必考题，涉及的内容是高中数学的六大主干知识：三角函数，数列，统计与概率，立体几何，函数与导数，解析几何。

单项选择题考点分析：多项选择题考点分析：①新高考全国Ⅰ卷与新高考全国Ⅱ卷相同新高考选择题部分分析：①新高考与之前相比，最大的不同就是增加了多项选择题部分，选择题部分由原来的12道单选题，变成了8道单选题与4道多选题。

这有利于缩小学生选择题部分成绩的差距，过去学生错一道单选题，可能就会丢掉5分，在新高考中，考生部分选对就可以得3分，在一定程度上保证了得分率。

②新高考的单项选择题部分主要考察学生的基础知识和基本运算能力，总体上难度不大，只要认真复习，一般都可以取得一个较好的成绩。

在多项选择题上，前两道较为基础，后两道难度较大，能够突出高考的选拔性功能，总体上来看，学生比以往来讲，更容易取得一个不错的成绩，但对于一些数学基础比较的好的同学来说，这些题比以往应该更有挑战性。

过去，只需要在四个选项中选一个正确答案，现在要在四个选项中，选出多个答案，比以往来说，要想准确的把正确答案全部选出来，确实有一定的难度、③新高考数学试卷的第4题，第6题和第12题都体现了创新性。

第4题，以古代知识为背景，考察同学们的立体几何知识，这体现了数学考试的价值观导向。

弘扬传统文化的同时也鼓励同学们走进传统文化。

近年来，对于这类题目也是屡见不鲜，平时也应该鼓励学生去关注一些古代的数学著作，如《九章算术》，《孙子算经》等等，通过对这些著作的了解，再遇到这类题目时，在一定程度上能够减少恐惧感与焦虑感。

第6题则体现了聚焦民生，关注社会热点。

2024年新高考数学I卷分析2024年高考数学全国卷,考主干、考能力、考素养,重思维、重创新、重应用,突出考查思维过程、思维方法和创新能力.创设全新的试卷结构,减少题量,给学生充足的思考时间,加强思维考查,强化素养导向,给不同水平的学生提供充分展现才华的空间,服务拔尖创新人才选拔,助推素质教育发展,助力教育强国建设.一、依托高考评价体系,创新试卷结构设计2024年数学新课标卷调减了题量,同时增加了解答题的总分值,优化了多选题的赋分方式,强化了考查思维过程和思维能力的功能.试卷题量减少能够增加用于思考的时间,学生不必过多地关注做题的进度和速度,可以更专注、更深入地思考,更从容地试错,使思维能力强的学生能够展示素养、发挥潜力、脱颖而出,发挥了高考的选拔功能,引导数学教学关注对学生核心素养的培养.新课标卷打破以往的模式,灵活科学地确定试题的内容、顺序.机动调整题目顺序,有助于打破学生机械应试的套路,打破教学中僵化、固定的训练模式,防止猜题押题,同时测试学生的应变能力和解决各种难度问题的能力.引导教学培养学生全面掌握主干知识、提升基本能力,灵活地整合知识解决问题.如新课标Ⅰ卷将解析几何试题安排在解答题的第2题,数列内容则结合新情境,安排在最后压轴题的位置.试卷聚焦主干知识内容和重要原理、方法,着重考查数学学科核心素养,引导中学教学遵循教育规律,突出数学教学本质,回归课标,重视教材,重视概念教学,夯实学生学习基础,给学生留出思考和深度学习的空间.避免超纲学、超量学,助力减轻学生学业负担.如新课标Ⅰ卷第10题以基本求导公式及求导法则、利用导数判断函数单调性的方法为素材,考查灵活运用导数工具分析、解决问题的能力,以及学生的逻辑推理能力、运算求解能力.二、突出思维能力考查,助力拔尖创新人才选拔数学作为一门重要的基础学科,也是唯一一门理科性质的统考科目,在服务人才选拔、服务国家发展战略、助力强国建设方面承担重要责任、发挥关键作用.2024年高考数学重点考查学生逻辑推理、批判性思维、创新思维等关键能力,助力拔尖创新人才选拔,引导培育支撑终身发展和适应时代要求的能力.试卷贯彻改革要求,注重整体设计,很好地处理考试时间、试卷题量、试题难度之间的关系,统筹协调试题的思维量、计算量和阅读量.优化题量设置、合理控制试题的计算量,尽量避免繁难运算,保证学生在分析问题的过程中有充裕的时间进行思考,强调对思维能力的考查,适应拔尖创新人才选拔需要.如新课标Ⅰ卷第12题,通过应用双曲线的定义和性质,可以避免较为复杂的坐标计算以及联立方程求解,从而有效地减少计算量,节省考试时间.试题突出创新导向,新课标卷根据试卷结构调整后整卷题量减少的客观情况,创新能力考查策略,设计全新的试题情境、呈现方式和设问方式,加强解答题部分对基本能力的考查,提升压轴题的思维量,突出理性思维和数学探究,考查学生运用数学思维和数学方法发现问题、分析问题和解决问题的能力.如新课标Ⅰ卷第19题以等差数列为知识背景,创新设问方式,设置数学新定义,搭建思维平台,引导学生积极思考,在思维过程中领悟数学方法,自主选择路径和策略分析问题、解决问题.试题强化综合性考查,强调对原理、方法的深入理解和综合应用,考查知识之间的内在联系,引导学生重视对学科理论本质属性和相互关联的深刻理解与掌握,引导中学通过深化基础知识、基本原理方法的教学,培养学生形成完整的知识体系和网络结构.如新课标Ⅰ卷第5题将圆柱与圆锥结合,综合考查侧面积、体积的计算,第18题在函数导数试题中考查了曲线的对称性的这一几何性质.三、加强考教衔接,引导中学教学2024年高考数学试卷立足课程标准,考查的内容依据学业质量标准和课程内容,注重考查学生对基础知识和基本技能的熟练掌握和灵活应用,强调知识的整体性和连贯性,引导教学以课程目标和核心素养为指引,避免超纲教学,注重内容的基础性和方法的普适性,避免盲目钻研套路和机械训练.高考数学通过创新试卷结构设计和题目风格,深化基础性考查,强调对学科基础知识、基本方法的深刻理解,不考死记硬背、不出偏题怪题,引导中学把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养.增加基础题比例、降低初始题起点,增强试题的灵活性和开放性.如新课标Ⅰ卷第14题,不是考查学生记住了哪些知识点,而是突出考查学生的理性思维和探究能力,使得一些套路无用、模板失效,让死记硬背的教学方式不能适应现在高考的新要求.1.总题量由21题减少为19题,多选题由4题减少为1题,填空题由4题减少为1题,解答题由6道减少为5题.2.多选题分值由每题5分调整为每题6分,解答题分值增加,由原来的70分增加到77分.3.增加新定义问题,全国卷I为数列新定义问题压轴,解答题中少了单调考查概率统计的试题,导数题目增加为3道,立体几何题由3道减少为2道,导数解答题中出现对“纯”函数内容的考查.4.大部分题目都比较简单,考查基础知识与基本技能题占100分左右,难题数量少,但更难,难在数学上思维上.减少题量,体现“多想少算”,加强思维考查,强化素养导向,容易题占多数,难题更难,给不同水平的学生提供充分展现才华的空间,服务拔尖创新人才选拔,助推素质教育发展,不考死记硬背、不出偏题怪题,引导中学把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养.题号分值题型考查内容模块（题目数）15分单选题集合与不等式 1.集合（共1题）2.不等式（共2题）25分单选题复数的运算复数（共1题）35分单选题平面向量的数量积平面向量（共1题）45分单选题三角变换三角函数与解三角形（共3题）55分单选题圆锥的体积立体几何（共2题）65分单选题分段函数单调性函数（共2题）75分单选题三角函数的图象三角函数与解三角形（共3题）85分单选题抽象函数函数（共2题）96分多选题正态分布概率统计（共3题）106分多选题导数应用1导数（共3题）2.不等式（共2道）116分多选题曲线与方程解析几何（共3题）125分填空题双曲线解析几何（共3题）135分填空题导数的几何意义导数（共3题）145分填空题概率概率统计（共3题）1513分解答题解三角形三角函数与解三角形（共3题）1615分解答题椭圆、面积解析几何（共3题）1715分解答题线面平行、二面角立体几何（共2题）1817分解答题导数应用、对称问题导数（共3题）1917分解答题新定义、数列数列（共1题）1．重视“双基”复习,首轮复习时在概念定义、通性通法上回归教材,把教材上典型的例题、习题（复习题）过一下,做到：正确地理解基本概念的内涵和外延；熟练地掌握和应用相关的公式与定理；熟悉并运用常见的基本技能和方法.2.一轮复习要做到：各章内容综合化；基础知识体系化；基本方法类型化；解题步骤规范化.3.对复习资料要处理,删去偏难、偏怪、超纲、解法太唯一的题目,对基本运算能力、空间想象能力、推理论证能力、数据处理能力等在复习时要逐步提高,达到高考要求4.第一轮复习结束后,要做好以下几个方面的工作：抓住每一专题（板块）的宏观主线,提纲挈领,将板块知识及题型和解题方法等高度系统化,条理化.把高考试题进行专题整合,采对重要知识、方法和技能通过高考试题的链式分析,体会“突出重点、突破难点、关注热点、把握通性、注重通法、淡化技巧”的内涵,真正明白高考到底考什么、怎么考,对高考试题的认识和把握形成清晰的思维脉络.5.对于大部分考生高考数学考不好的原因不是难题没有作对,二是基础题失分过多,可以说会做做不对是失分的主要原因.所以平时的复习要注意纠错,对每次考试中“会做做不对的题”,要找出错误原因进行标注,同时再找几道类似的题进行巩固,做到以例及类、题不二错.2024年新高考数学I 卷试题一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}355A x x =-<<,{}3,1,0,2,3B =--,则A B =（）A ．{}1,0-B ．{}2,3C ．{}3,1,0--D ．{}1,0,2-【命题意图】本题考查集合的交集运算及简单不等式的解法,考查数学运算的核心素养.难度：易.【解析】由355x -<<得x <<,因为158<<,12<,所以{}1,0A B =- ,故选A.【快解】因为333275,285-=-<-=>,排除BCD,故选A.【点评】集合是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,考查热点一是集合的并集、交集、补集运算,二是集合之间的关系,所给集合多为简单不等式的解集、离散的数集或点集,这种考查方式多年来保持稳定.【知识链接】1.求解集合的运算问题的三个步骤：(1)看元素构成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键,即辨清是数集、点集还是图形集等,如{x |y ＝f (x )},{y |y ＝f (x )},{(x ,y )|y ＝f (x )}三者是不同的；(2)对集合化简,有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了、易于解决；(3)应用数形结合进行交、并、补等运算,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).2．若1i 1zz =+-,则z =（）A ．1i--B ．1i-+C ．1i-D 1i +．【命题意图】本题考查复数的运算,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：易.【答案】C 【解析】由1i 1z z =+-得,1i1i i z +==-,故选C.【点评】复数是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,新高考复数题单选题、多选题、填空题都可能出现,考查热点一是复数的概念与复数的几何意义,如复数的模、共轭复数、纯虚数、复数相等、复数的几何意义等,二是复数的加减乘除运算.【知识链接】解复数运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i 的看作一类同类项,不含i 的看作另一类同类项,分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i 的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a ＋b i(a ,b ∈R )的形式,再结合相关定义解答．(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a ＋b i(a ,b ∈R )的形式,再结合复数的几何意义解答．3．已知向量()()0,1,2,x ==a b ,若()4⊥-b b a ,则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D.2【命题意图】本题考查平面向量的数量积及坐标运算,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：易.【答案】D【解析】因为()4⊥-b b a ,所以()2244440x x ⋅-=-⋅=+-=b b a b a b ,所以2x =,故选D.【点评】平面向量是高考数学必考知识点,一般以客观题形式考查,热点是平面向量的线性运算及平面向量的数量积,可以是容易题,也可以是难题,难题常用平面几何、不等式、三角函数等知识交汇考查.【知识链接】1.求平面向量数量积,当已知向量的模和夹角时,可利用a·b ＝|a ||b |cos 〈a ,b 〉求解；当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a·b ＝x 1x 2＋y 1y2.2.求解与平面几何有关的平面向量数量积的最值与范围问题,常见的方法有2种,一是建立坐标系,把问题转化为代数问题利用函数思想或基本不等式求解,二是引进角作变量,把问题转化为三角函数求最值或范围.4.已知()cos ,tan tan 2m αβαβ+==,则()cos αβ-=A ．3m-B ．3m -C ．3m D.3m【命题意图】本题考查两角和与差的余弦公式、同角三角函数基本关系式,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：易.【答案】A 【解析】因为()()()()cos cos 2sin sin tan tan 2cos cos 2cos cos αβαβαβαβαβαβαβ--+===-++.所以()()cos cos mmαβαβ--=-+2,所以()cos αβ-=3m -,故选A.【快解】因为tan tan 2αβ=,取π,sin 4αββ===则()cos αβ+=()2cos sin 2βα-=1010,()cos αβ-=()2cos sin 2βα+=()3103cos 310m αβ=-+=-,故选A.【点评】三角函数与解三角形在高考中通常有2-3道试题,若有3道题,通常是三角变换、三角函数图像与性质、解三角形各有1道题.【知识链接】1.使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征．2.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．3.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角,二看名,三看式子结构与特征；三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的联系点．4.给角求值与给值求值问题的关键在“变角”,通过角之间的联系寻找转化方法．5．已知圆柱与圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为则圆锥的体积为（）A ．B ．C ．D ．【命题意图】本题考查圆柱与圆锥的侧面积与体积,考查逻辑推理、直观想象等核心素养.难度：易【答案】B【解析】设圆柱与圆锥的底面半径相等为r ,由侧面积相等,得2ππr r =,解得r ,所以圆锥的体积为21π33⨯=,故选B.【点评】新课标高考数学立体几何客观题一般有两道（今年特殊,只有1到客观题）,一般分别涉及多面体与旋转体,表面积、体积计算及线面位置判断是考查热点.【知识链接】对于柱体、椎体、台体的体积可直接使用公式求解,对于不规则多面体的体积计算常采用割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体,分别求出柱体和锥体的体积,从而得出要求的几何体的体积；对于三棱锥,由于其任意一个面均可作为棱锥的底面,从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积性”还可求“点到面的距离”.6.已知函数()()22,0ln 1,0x x ax a x f x e x x ⎧---<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增,则a 的取值范围是A ．(],0-∞B ．[]1,0-C ．[]1,1-D ．[)0,+∞【命题意图】本题考查分段函数的单调性,考查逻辑推理、数学运算等核心素养.难度：中【答案】B【解析】当0x ≥时()f x 单调递增,要使()f x 在R 上单调递增,应满足01a a -≥⎧⎨-≤⎩,所以10a -≤≤,故选B.【点评】高考函数客观题一般有2道,考查热点是函数的奇偶性、单调性与周期性,利用函数单调性求参数取值范围更是热点中的热点.【知识链接】1.确定函数单调性的四种方法(1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接．(4)性质法：利用函数单调性的性质,尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时,需先确定简单函数的单调性．2.函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)求最值．(3)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉,转化为具体的不等式求解,应注意函数的定义域．(4)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较．②需注意若函数在区间[a ,b ]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．③分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值．7．[]0,2x π∈时,曲线sin y x =与π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．8【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质,考查数形结合思想,考查直观想象的核心素养.难度：中【答案】C【解析】作出曲线sin y x =与π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,2π上的图象如图所示,由图象可得交点有6个,故选C.【点评】三角函数的图象与性质基本是高考每年必考题,本题求解没有过多的技巧,关键是能熟练作出三角函数图像,高考中有不少题目都需要借助图形求解,在此提醒考生,做题时千万不要得“意”忘“形”.【知识链接】1.y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标．2.对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0,ω≠0),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点．3.根据y ＝A sin(ωx ＋φ),x ∈R 的图象求解析式的步骤：(1)首先确定振幅和周期,从而得到A 与ω.(Ⅰ)A 为离开平衡位置的最大距离,即最大值与最小值的差的一半．(Ⅱ)ω由周期得到：①函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；②函数图象与x 轴的交点是其对称中心,相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；③一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的14个周期(借助图象很好理解记忆)．(2)求φ的值时最好选用最值点求．峰点：ωx ＋φ＝π2＋2k π；谷点：ωx ＋φ＝－π2＋2k π.也可用零点求,但要区分该零点是升零点,还是降零点．升零点(图象上升时与x 轴的交点)：ωx ＋φ＝2k π；降零点(图象下降时与x 轴的交点)：ωx ＋φ＝π＋2k π(以上k ∈Z )．8．已知函数()f x 的定义域为R ,()()()12f x f x f x >-+-,且当3x <时,()f x x =,则下列结论一定正确的是（）A ．()10100f >B ．()20100f >C ．()101000f <D ．()2010000f <【命题意图】本题考查抽象函数求值,考查逻辑推理与数学抽象的核心素养.难度：难【答案】C【解析】由3x <时()3f x =,()()()12f x f x f x >-+-得,()()()321f f f >+=3()()()432f f f >+>5,()()()5438f f f >+>,()()()65413f f f >+>,不等式右侧恰好是裴波那契数列从第3项起的各项：3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597 ,所以()()201615971000f f >>>,故选B.【点评】抽象函数是近两年高考考查热点,考查频率比较高的是抽象函数求值、奇偶性、周期性及与不等式的交汇问题.【知识链接】1.本题是由裴波那契数列改编而成,下面列出斐波那契数列{}n a 的一些基本性质,供有兴趣的同学参考：(1)n a a a a ++++...321=12-+n a ；(2)n n a a a a a 212531...=++++-；(3)1...122642-=+++++n n a a a a a ；(4)12232221...+=++++n n n a a a a a a ；(5)1)()1()1(...1321+--=-++-+-+n n nn na a a a a a ；(6)11+-++=m n m n n m a a a a a ；(7)nn n n a a a ）（1211-=--+；(8)n n n a a a 322=+-+.2.对称性与周期性是抽象函数考查的热点,下面列出一些基本结论,供参考：(1)若()()f a x f b x +=-,则()f x 的图象关于直线2a bx +=对称；(2)()y f a x =+的图象与()y f b x =-的图象关于直线2b ax -=对称；(3)若()()22f a x f x b -+=,则()f x 的图象关于点(),a b 对称.(4)若函数()f x 的图象既关于直线x a =对称,又关于直线x b =对称()a b ≠,则()f x 是周期函数,且()2b a -是它的一个周期.(5)若函数()f x 的图象既关于点(),0a 对称,又关于点(),0b 对称()a b ≠,则()f x 是周期函数,且()2b a -是它的一个周期.(6)若函数()f x 的图象既关于直线x a =对称,又关于点(),0b 对称()a b ≠,则()f x 是周期函数,且()4b a -是它的一个周期.二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =,样本方差20.01s =,已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ,假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2N x s ,则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ,()0.8413P Zu σ<+≈）A ．(2)0.2P X >>B ．(2)0.5P X ><C ．(2)0.5P Y >>D ．(2)0.8P Y ><【命题意图】本题考查正态分布,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.难度：易【答案】BC【解析】依题可知,22.1,0.01x s ==,所以()2.1,0.1Y N ,故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>,C 正确,D 错误；因为()1.8,0.1X N ,所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯,因为()1.80.10.8413P X <+≈,所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<,而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<,B 正确,A 错误,故选BC ．【点评】概率统计在新高考试卷中通常有2-3道题,由于概率统计知识点比较多,出题没有固定方向,但大多有实际背景.【知识链接】正态曲线的特点：①曲线位于x 轴上方,与x 轴不相交；②曲线是单峰的,它关于直线x ＝μ对称；③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x 轴之间的面积为1；2.解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x ＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ,σ,分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为3σ特殊区间,从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x ＝0.10．设函数2()(1)(4)f x x x =--,则（）A ．3x =是()f x 的极小值点B ．当01x <<时,()2()f x f x<C ．当12x <<时,4(21)0f x -<-<D ．当10x -<<时,()()2f x f x->【命题意图】本题考查利用导数研究函数单调性,考查数学运算与逻辑推理的核心素养,难度：中【答案】ACD【解析】解法一：对于A,因为()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--',当()1,3x ∈时,()0f x '<,当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时,()0f x '>,()f x 在(),1∞-上单调递增,在()1,3上单调递减,在()3,∞+上单调递增,3x =是函数()f x 的极小值点,A 正确；对于B,当01x <<时,210x x >>>,由()f x 在()0,1上单调递增,可得()()2f x f x >,B 错误；对于C,当12x <<时,1213x <-<,由()f x 在()1,3上单调递减,可得()()()1213f f x f >->,即()4210f x -<-<,C 正确；对于D,当10x -<<时,()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->,所以(2)()f x f x ->,D 正确；故选ACD.解法二：对于A,由()()()313f x x x -'=-,且()1,3x ∈时,()0f x '<,当()3,x ∞∈+时,()0f x '>,得3x =是函数()f x 的极小值点,A 正确；对于B,取12x =,则1728f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,1135464f ⎛⎫=-⎪⎝⎭,12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭>14f ⎛⎫⎪⎝⎭,B 错误；对于C,因为()()()22141250f x x x -=--<,()()()221442210f x x x -+=-->,C 正确；对于D,当10x -<<时,()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->,所以(2)()f x f x ->,D 正确；故选ACD.【点评】利用导数研究函数单调性是高考热点,客观题中此类问题常与数式大小比较、不等式等知识交汇.【知识链接】1.确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f (x )的定义域．(2)求f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间．(4)解不等式f ′(x )<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间．特别提醒：划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为零的点和函数的间断点．2.根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ,b )上单调,则区间(a ,b )是相应单调区间的子集．(2)f (x )为增(减)函数的充要条件是对任意的x ∈(a ,b )都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且在(a ,b )内的任一非空子区间上,f ′(x )不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则会漏解．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．11．造型可以做成美丽的丝带,将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-,到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4,则（）A ．2a =-B ．点(22,0)在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时,0042y x ≤+【命题意图】本题考查曲线与方程,考查数学运算与逻辑推理的核心素养,难度:难【答案】ABD【解析】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ,则2x >-()2224x y x a -+-=,因为曲线过坐标原点,故()2202004a -+-=,解得2a =-,故A 正确.对于B ：又曲线方程为()22224x y x -++=,而2x >-,故()()22224x y x -++=.当22,0x y ==时,()()2222222844-=-=,故()2,0在曲线上,故B 正确.对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+,取32x =,则2641494y =-,而64164525624510494494494---=-=>⨯,故此时21y >,故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1,故C 错误.对于D ：当点()00,x y 在曲线上时,由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++,故0004422y x x -≤≤++,故D 正确.故选ABD.【点评】往年解析几何试题都是以圆、椭圆、双曲线、抛物线为载体命题,该题以与生活有关的曲线命题,背景新颖,对解题能力要求较高,是一道好题.【知识链接】直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤,但最后的证明可以省略,如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步,求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、,过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ,B 两点,若1||13,||10F A AB ==,则C 的离心率为___________．【命题意图】本题考查双曲线,考查数学运算的核心素养,难度：易【答案】32【解析】解法一：由题可知2,,A B F 三点横坐标相等,设A 在第一象限,将x c =代入22221x ya b-=得2b y a =±,即22,,,b b Ac B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故2210b AB a ==,225b AF a ==,又122AF AF a -=,得1222513AF AF a a =+=+=,解得4a =,代入25b a=得220b =,故22236,c a b =+=,即6c =,所以6342c e a ===.解法二：在直角△12AF F 中1213,5F A AF ==,由勾股定理得1212F F =,所以C 的离心率为12121231352F F e F A AF ===--.【点评】本题通过应用双曲线的定义和性质求离心率,没有较为复杂的计算,属于基础题,高考中双曲线客观题以容易题居多.【知识链接】1.过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>焦点且与实轴垂直的弦长为22b a；2.在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ,运用平方的方法,建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．3.根据双曲线的渐近线求离心率常用结论：e =13.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线,则=a __________.【命题意图】本题考查导数的几何意义,考查逻辑推理、直观想象,难度：中【答案】ln 2【解析】由e x y x =+得e 1x y '=+,00|e 12x y ='=+=,故曲线e xy x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+,设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++,由两曲。

大题新定义题型继2024年九省联考的第19题考查了新定义问题，已有部分地区考试采用了该结构考试。

2024年的新高考试卷第19题极大可能也会考查新定义问题，难度较大。

新定义题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”“规定”等字眼，题目一般使用抽象的语言给出新定义、运算或符号，没有过多的解释说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义要求后马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。

题型一：集合的新定义问题题型二：函数与导数的新定义问题题型三：复数与不等式的新定义问题题型四：三角函数的新定义问题题型五：平面向量的新定义问题题型六：数列的新定义问题题型七：立体几何的新定义问题题型八：平面解析几何的新定义问题题型九：概率统计的新定义问题题型十：高等数学背景下的新定义问题题型一：集合的新定义问题1(2024·广东·惠州一中校联考模拟预测)已知集合A中含有三个元素x,y,z，同时满足①x<y<z；②x+y>z；③x+y+z为偶数，那么称集合A具有性质P.已知集合S n=1,2,3,⋯,2n(n∈N*,n≥4)，对于集合S n的非空子集B，若S n中存在三个互不相同的元素a,b,c，使得a+b,b+c,c+a均属于B，则称集合B是集合S n的“期待子集”.(1)试判断集合A=1,2,3,5,7,9是否具有性质P，并说明理由；(2)若集合B=3,4,a具有性质P，证明：集合B是集合S4的“期待子集”；(3)证明：集合M具有性质P的充要条件是集合M是集合S n的“期待子集”.集合新定义问题的方法和技巧：(1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.1(2023·北京·北京四中校考模拟预测)已知集合M =1,2,3,⋯,n n ∈N * ，若集合A =a 1,a 2,⋯,a m ⊆M m ∈N * ，且对任意的b ∈M ，存在a i ，a j ∈A 1≤i ≤j ≤m ，使得b =λ1a i +λ2a j (其中λ1,λ2∈-1,0,1 )，则称集合A 为集合M 的一个m 元基底．(1)分别判断下列集合A 是否为集合M 的一个二元基底，并说明理由；①A =1,5 ，M =1,2,3,4,5 ；②A =2,3 ，M =1,2,3,4,5,6 ．(2)若集合A 是集合M 的一个m 元基底，证明：m m +1 ≥n ；(3)若集合A 为集合M =1,2,3,⋯,19 的一个m 元基底，求出m 的最小可能值，并写出当m 取最小值时M 的一个基底A ．2(2024·北京海淀·高三人大附中校考开学考试)设m 为正整数，集合A ⊆α∣α=t 1,t 2,⋯,t m ,t j ∈-1,1 ,j =1,2,⋯,m . 任取集合A 中的2n +1n ∈N *个元素(可以重复)α1=α1.1,α1.2,⋅⋅⋅,α1.m ，α2=α2.1,α2.2,⋅⋅⋅,α2.m ,⋅⋅⋅，α2n +1=α2n +1.1,α2n +1.2,⋅⋅⋅,α2n +1.m ，M α1,α2,⋅⋅⋅,α2n +1 =y 1,y 2,⋅⋅⋅,y m ，其中y j =α1.j +α2.j +⋅⋅⋅+α2n +1.jα1.j +α2.j +⋅⋅⋅+α2n +1.jj =1,2,⋅⋅⋅,m .(1)若α1=1,-1,-1,-1 ,α2=-1,1,1,-1 ,α3=-1,-1,-1,1 ,α4=1,1,-1,1 ，α5=-1,-1,-1,1 ，直接写出M α1,α2,α3 ,M α1,α2,α3,α4,α5 ；(2)对于α，β，γ∈A ，证明：M α,⋯,αk 个 ,β,⋯,βk 个,γ=M α,β,γ ；(3)对于某个正整数n ，若集合A 满足：对于A 中任意2n +1个元素α1,α2,⋅⋅⋅,α2n +1，都有M α1,α2,⋅⋅⋅,α2n +1 ∈A ，则称集合A 具有性质P n . 证明：若∃n 0∈N *，集合A 具有性质P n 0 ，则∀n ∈N *，集合A 都具有性质P n .题型二：函数与导数的新定义问题1(2024·陕西安康·高三校联考阶段练习)记函数f x 的导函数为f x ，f x 的导函数为f x ，设D 是f x 的定义域的子集，若在区间D 上f x ≤0，则称f x 在D 上是“凸函数”.已知函数f x =a sin x -x 2.(1)若f x 在0,π2上为“凸函数”，求a 的取值范围；(2)若a =2，判断g x =f x +1在区间0,π 上的零点个数.函数新定义问题，命题新颖，常常考虑函数的性质，包括单调性，奇偶性，值域等，且存在知识点交叉，会和导函数，数列等知识进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决。

2023年全国新高考二卷数学试卷分析引言2023年全国新高考二卷数学试卷是全国范围内高中学生参加的一项重要考试。

本文将对该试卷进行分析，包括试卷结构、题型选择、难易程度以及评价等方面，以便为学生提供参考和指导。

试卷结构2023年全国新高考二卷数学试卷共分为三个部分：选择题、填空题和解答题。

其中，选择题占总分的40%，填空题占总分的35%，解答题占总分的25%。

每个部分的试题数量和分值如下：1.选择题：共有20道选择题，每题2分，总分40分。

2.填空题：共有10道填空题，每题3分，总分35分。

3.解答题：共有5道解答题，每题10分，总分25分。

整个试卷的总分为100分。

题型选择在2023年全国新高考二卷数学试卷中，选择题是基础题型，涵盖了各个知识点。

该部分题目设计考察了学生对基本概念和计算能力的掌握程度，以及运用所学知识解决问题的能力。

填空题主要考察学生对数学概念的理解和灵活运用能力。

其中，一部分填空题需要进行推理和变式思维，要求学生在解题过程中运用所学知识进行分析和推理。

解答题是试卷的难点和重点，旨在考察学生解决复杂问题的能力。

这些问题通常较长且需要较多的计算步骤，要求学生将所学知识和解题方法进行整合和应用。

通过采用多种题型，试卷设计者旨在全面考察学生的数学素养和解决问题的能力。

难易程度根据参加考试的学生反馈和教师评价，2023年全国新高考二卷数学试卷的难易程度整体适中。

选择题部分普遍偏易，很多题目考察了基础知识的掌握情况，大部分学生都可以得出正确答案。

填空题部分考察了学生对知识点的深入理解和扩展运用，难度适中。

部分填空题需要通过推理和变式思维进行解答，相对较难，但总体上没有超出学生的能力范围。

解答题部分是试卷的难点，题目相对复杂，需要学生运用多种数学知识和解题方法进行分析和解答。

其中一道解答题题目较长且需要进行复杂的计算步骤，较为考验学生的逻辑思维和应用能力。

综上所述，2023年全国新高考二卷数学试卷整体难易程度适中，能够全面考察学生的数学素养和解题能力。

2023年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅰ卷）数 学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合M ={−2,−1,0,1,2}，N ={x |x 2−x −6≥0}，则M ∩N =（ ） A. {−2,−1,0,1} B. {0,1,2}C. {−2}D. {2}2. 已知1i22iz −=+，则z z −=（ ） A. i −B. iC. 0D. 13. 已知向量()()1,1,1,1a b ==−，若()()a b a b λμ+⊥+，则（ ） A. 1λμ+= B. 1λμ+=− C. 1λμ= D. 1λμ=−4. 设函数()()2x x a f x −=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A. (],2−∞−B. [)2,0−C. (]0,2D. [)2,+∞5. 设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若21e =，则=a （ ）A.3B.C.D.6. 过点()0,2−与圆22410x y x +−−=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（ ）A. 1B.4C.4D.47. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8. 已知()11sin ,cos sin 36αβαβ−==，则()cos 22αβ+=（ ）． A.79 B.19C. 19−D. 79−二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（ ） A. 2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数 B. 2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数 C. 2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差 D. 2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差10. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lg p pL p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（ ）． A. 12p p ≥ B. 2310p p > C. 30100p p =D. 12100p p ≤11. 已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（ ）．A. ()00f =B. ()10f =C. ()f x 是偶函数D. 0x =为()f x 的极小值点12. 下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ） A. 直径为0.99m 的球体 B. 所有棱长均为1.4m 的四面体C. 底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体D. 底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．14. 在正四棱台1111ABCD A B C D −中，1112,1,AB A B AA ===，则该棱台的体积为________．15. 已知函数()cos 1(0)f x x ωω=−>在区间[]0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________． 16. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A F B ⊥=−，则C 的离心率为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=−=． （1）求sin A ；（2）设5AB =，求AB 边上的高．18. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D −中，12,4AB AA ==．点2222,,,A B C D 分别在棱111,,AA BB CC ,1DD 上，22221,2,3AA BB DD CC ====．（1）证明：2222B C A D ∥；（2）点P 在棱1BB 上，当二面角222P A C D −−为150︒时，求2B P ． 19. 已知函数()()e xf x a a x =+−．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()32ln 2f x a >+．20. 设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n nn nb a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．（1）若2133333,21a a a S T =++=，求{}n a 的通项公式； （2）若{}n b 为等差数列，且999999S T −=，求d ．21. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==−===⋅⋅⋅，则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ． 22. 在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为W ． （1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD的周长大于（2023·新高考Ⅰ卷·1·★）已知集合{2,1,0,1,2}M =−−，2{|60}N x x x =−−≥，则M N =（ ）（A ）{2,1,0,1}−− （B ）{0,1,2} （C ）{2}− （D ）{2} 答案：C解析：260(2)(3)02x x x x x −−≥⇔+−≥⇔≤−或3x ≥，所以(,2][3,)N =−∞−+∞， 又{2,1,0,1,2}M =−−，所以{2}MN =−.（2023·新高考Ⅰ卷·2·★）已知1i22iz −=+，则z z −=（ ） （A ）i − （B ）i （C ）0 （D ）1 答案：A解析：由题意，221i (1i)(22i)22i 2i 2i 4i 1i22i (22i)(22i)44i 82z −−−−−+−=====−++−−，所以1i 2z =，故11i i i 22z z −=−−=−. （2023·新高考Ⅰ卷·3·★）已知向量(1,1)=a ，(1,1)=−b ，若()()λμ+⊥+a b a b ，则（ ） （A ）1λμ+= （B ）1λμ+=− （C ）1λμ= （D ）1λμ=− 答案：D解析：向量垂直可用数量积为0来翻译，此处可先求两个向量的坐标，再算数量积，但若注意到0⋅=a b ，则会发现直接展开计算量更小，因为()()λμ+⊥+a b a b ，所以22()()()0λμλμλμ+⋅+=++⋅+=a b a b a a b b ①，又(1,1)=a ，(1,1)=−b ，所以222112=+=a ，2221(1)2=+−=b ，111(1)0⋅=⨯+⨯−=a b ， 代入①得：220λμ+=，所以1λμ=−.（2023·新高考Ⅰ卷·4·★★）设函数()()2x x a f x −=在区间(0,1)单调递减，则a 的取值范围是（ ） （A ）(,2]−∞− （B ）[2,0)− （C ）(0,2] （D ）[2,)+∞ 答案：D解析：函数()y f x =由2u y =和()u x x a =−复合而成，可由同增异减准则分析单调性， 因为2u y =在R 上，所以要使()()2x x a f x −=在(0,1)上，只需()u x x a =−在(0,1)上，二次函数2()u x x a x ax =−=−的对称轴为2a x =，如图，由图可知应有12a≥，解得：2a ≥.x =（2023·新高考Ⅰ卷·5·★）设椭圆2212:1(1)x C y a a +=>，222:14x C y +=的离心率分别为1e ，2e ，若21e =，则a =（ ）（A （B （C （D 答案：A解析：由题意，1e =，22e ==，因为21e =，解得：a =. （2023·新高考Ⅰ卷·6·★★）过点(0,2)−与圆22410x y x +−−=相切的两直线的夹角为α，则sin α=（ ） （A ）1 （B（C（D答案：B解析：2222410(2)5x y x x y +−−=⇒−+=，圆心为(2,0)C，r =，记(0,2)P −，两切点分别为A ，B ， 如图，P A ，PB 的夹角APB απ=−∠，所以sin sin()sin APB APB απ=−∠=∠，注意到2APB APC ∠=∠，故要求sin APB ∠，可先在Rt PAC ∆中求sin APC ∠和cos APC ∠，再用二倍角公式，因为PC ==AC r ==，所以PA =从而cos PA APC PC∠==，sin AC APC PC∠==故sin sin 22sin cos 2APB APC APC APC ∠=∠=∠∠==.（2023·新高考Ⅰ卷·7·★★★）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列，乙：n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则（ ）（A ）甲是乙的充分条件但不是必要条件 （B ）甲是乙的必要条件但不是充分条件 （C ）甲是乙的充要条件（D ）甲既不是乙的充分也不是乙的必要条件 答案：C解析：判断是否为等差数列，就看通项是否为pn q +或前n 项和是否为2An Bn +的形式，故直接设形式来分析，先看充分性，若{}n a 为等差数列，则可设2n S An Bn =+， 此时nS An B n=+，满足等差数列的形式特征， 所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，故充分性成立；再看必要性，此时可将nS n设为等差数列的通项形式，看看n S 是否满足等差数列的形式特征， 若n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，则可设n S pn q n =+，所以2n S pn qn =+，满足等差数列前n 项和的形式特征， 从而{}n a 是等差数列，必要性成立，故选C.【反思】{}n a 是等差数列的充要条件是通项为pn q +的形式，或前n 项和n S 为2An Bn +的形式，熟悉这一特征可巧解一些等差数列的概念判断题.（2023·新高考Ⅰ卷·8·★★★）已知1sin()3αβ−=，1cos sin 6αβ=，则cos(22)αβ+=（ ）（A ）79 （B ）19（C ）19− （D ）79− 答案：B解析：只要求出cos()αβ+或sin()αβ+，就能用二倍角公式算cos(22)αβ+，而已知的cos sin αβ是sin()αβ+展开才有的结构，故先算sin()αβ+，将sin()αβ−展开也会出现cos sin αβ，于是展开， 由题意，1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ−=−= ①， 又1cos sin 6αβ=，代入①可求得1sin cos 2αβ=， 所以112sin()sin cos cos sin 263αβαβαβ+=+=+=， 故2221cos(22)12sin ()12()39αβαβ+=−+=−⨯=.（2023·新高考Ⅰ卷·9·★★★）（多选）有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（ ） （A ）2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数 （B ）2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数 （C ）2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差 （D ）2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差 答案：BD解析：A 项，1x 和6x 偏离平均数的程度不一定相同，所以去掉它们后，平均数可能发生变化，故能想象A 项错误，我们举个例子，不妨设这组数据为0，2，3，4，5，6， 则原平均数023*******x +++++==， 去掉0和6之后的平均数2345742x x +++'==≠， 故A 项错误；B 项，不妨假设126x x x ≤≤⋅⋅⋅≤，则2345,,,x x x x 和126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数都是342x x +，故B 项正确； C 项，1x 和6x 偏离平均数较大，去掉它们后，标准差可能减小，故通过直观想象能得出C 项错误， 举个例子，不妨设这组数据为1，2，3，5，6，7， 则12356746x +++++==，2221[(14)(24)6s =−+−+222214(34)(54)(64)(74)]3−+−+−+−=，去掉1和7后，235644x +++'==， 2222215[(24)(34)(54)(64)]42s '=−+−+−+−=，所以22s s '<，从而s s '<，故C 项错误；D 项，沿用B 项的假设，则2345,,,x x x x 的极差为52x x −，126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差为61x x −， 要比较两个极差的大小，可再将它们作差判断正负，因为61526521()()()()0x x x x x x x x −−−=−+−≥，所以5261x x x x −≤−，故D 项正确.（2023·新高考Ⅰ卷·10·★★★）（多选）噪声污染问题越来越受到重视. 用声压级来度量噪声的强度，定义声压级020lgP pL p =⨯，其中常数00(0)p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压. 下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为1p ，2p ，3p ，则（ ） （A ）12p p ≥ （B ）2310p p > （C ）30100p p = （D ）12100p p ≤ 答案：ACD解析：因为我们要比较的是1p ，2p ，3p 的一些大小情况，所以先由所给等式解出p ，由题意，020lg P p L p =⨯，所以0lg20P L p p =，从而20010PL p p =，故20010P Lp p = ①， A 项，由式①可以看到，P L 越大，则p 也越大，由表中数据可知燃油汽车的声压级P L 大于等于混合动力汽车的声压级，所以12p p ≥，故A 项正确； B 项，由表中数据可知506020200201010p p p ≤≤，所以0201000p p ≤≤ ①， 又402030010100p p p ==，所以2310p p ≤，故B 项错误，C 项正确；D 项，由表中数据可知609020200101010p p p ≤≤，所以0101000p p ≤≤，而由①可得020*********p p ≤≤， 所以12100p p ≤，故D 项正确.（2023·新高考Ⅰ卷·11·★★★）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，22()()()f xy y f x x f y =+，则（ ） （A ）(0)0f = （B ）(1)0f = （C ）()f x 是偶函数 （D ）0x =为()f x 的极小值点 答案：ABC解析：A 项，给出22()()()f xy y f x x f y =+这类性质，让求一些具体的函数值，常用赋值法， 令0x y ==可得22(00)0(0)0(0)f f f ⨯=+，所以(0)0f =，故A 项正确；B 项，令1x y ==可得22(11)1(1)1(1)f f f ⨯=+，所以(1)0f =，故B 项正确；C 项，要判断奇偶性，就看()f x −与()f x 的关系，为了产生()f x −，可将y 取成1−， 令1y =−可得2()()(1)f x f x x f −=+− ①，所以还得算(1)f −，继续赋值，令1x y ==−可得222((1))(1)(1)(1)(1)f f f −=−−+−−，所以(1)2(1)f f =−，结合(1)0f =可得(1)0f −=， 代入①得()()f x f x −=，所以()f x 是偶函数，故C 项正确；D 项，ABC 都对，可大胆猜测D 项错误，正面推理判断此选项较困难，可尝试举个反例，观察发现常值函数()0f x =满足所给等式，故可用它来判断选项，令()0f x =，经检验，满足22()()()f xy y f x x f y =+，显然此时0x =不是()f x 的极小值点，故D 项错误.（2023·新高考Ⅰ卷·12·★★★★）（多选）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ） （A ）直径为0.99m 的球体（B ）所有棱长均为1.4m 的正四面体 （C ）底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体 （D ）底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体 答案：ABD解析：A 项，因为正方体的内切球直径为1m ，所以直径为0.99m 的球体可以放入正方体容器，故A 项正确； B 项，看到正方体和正四面体，要想到由正方体的面对角线可以构成正四面体，如图1，，比1.4大，从而所有棱长均为1.4m 的正四面体可以放入正方体容器，故B 项正确；C 项，注意到圆柱的底面直径很小，圆柱很细长，不妨将其近似成线段，故先看1.8m 的线段能否放入正方体， 如图1，正方体的棱长为1，则正方体表面上任意两点之间距离的最大值为1 1.8BD =<，所以高为1.8m 的圆柱不可能放入该正方体，故C 项错误；D 项，注意到圆柱的高很小，不妨将圆柱近似看成圆，故先分析直径为1.2m 的圆能否放入正方体，为了研究这一问题，我们得先找正方体的尽可能大的截面，正方体有一个非常特殊的截面，我们不妨来看看， 如图2，E ，F ，G ，H ，I ，J 分别为所在棱的中点，则EFGHIJ的正六边形， 其内切圆如图3，其中K 为HI中点，则内切圆半径r OK ===，直径2 1.2r =>， 所以可以想象，底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体能放进正方体容器，故D 项正确.1A 1B 1C 1D AB CD1图2图1A 1B 1C 1D A B CDE FGHIJ E F GHIJOK 3图（2023·新高考Ⅰ卷·13·★★）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选2门或3门课，并且每类选修课至少选1门，则不同的选课方案共有_____种.（用数字作答） 答案：64解析：由于一共可以选2门或3门，所以据此分类，若选2门，则只能体育类、艺术类各选1门，有1144C C 16=种选法；若选3门，则可以体育1门艺术2门，或体育2门，艺术1门，有12214444C C C C 48+=种选法；由分类加法计数原理，不同的选课方案共有164864+=种.（2023·新高考Ⅰ卷·14·★★★）在正四棱台1111ABCD A B C D −中，2AB =，111A B =，1AA =积为_____.答案：7√66解析：求正四棱台的体积只差高，由于知道侧棱长，故在包含高和侧棱的截面11AAC C 中来分析， 设正四棱台的高为h ，如图，作1A E AC ⊥于点E ，1C F AC ⊥于点F ，则11A E C F h ==， 因为111A B =，2AB =，所以11EF AC ==AC =1()2AE AC EF =−=，又1AA =，所以1A E ==h =，正四棱台的上、下底面积分别为1S '=，4S =，所以正四棱台的体积1(3V S S h '=++=1A 1B 1C 1D ABCDEF（2023·新高考Ⅰ卷·15·★★）已知函数()cos 1(0)f x x ωω=−>在区间[0,2]π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是_____. 答案：[2,3)解析：()0cos 10cos 1f x x x ωω=⇔−=⇔=，所以问题等价于cos y x ω=在[0,2]π恰有3个最大值点， 函数cos y x ω=的图象容易画出，故直接画图来看， 如图，要使cos y x ω=在[0,2]π上有恰有3个最大值点，应有462πππωω≤<，解得：23ω≤<.（2023·新高考Ⅰ卷·16·★★★）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 在C上，点B 在y 轴上，11F A F B ⊥，2223F A F B =−，则C 的离心率为_____.解析：如图，条件中有2223F A F B =−，不妨设一段长度，看能否表示其余线段的长，设22AF m =，因为2223F A F B =−，所以23BF m =，故225AB AF BF m =+=，由对称性，123BF BF m ==， 又11F A F B ⊥，所以14AF m ==，1AF 和2AF 都有了，用双曲线的定义可找到m 和a 的关系，于是用双余弦法建立方程求离心率，由图可知A 在双曲线C 的右支上，所以1222AF AF m a −==，从而m a =，故123BF BF a ==， 又122F F c =，所以在12BF F ∆中，由余弦定理推论， 22212121212cos 2BF BF F F F BF BF BF +−∠=⋅222222994922339a a c a c a a a +−−==⨯⨯，在1ABF ∆中，1133cos 55BF m ABF ABm ∠===， 因为112ABF F BF ∠=∠，所以22292395a c a −=， 故双曲线C的离心率c e a ==.（2023·新高考Ⅰ卷·17·★★★）已知在ABC ∆中，3A B C +=，2sin()sin A C B −=. （1）求sin A ；（2）设5AB =，求AB 边上的高.解：（1）由题意，3A B C C π+=−=，所以4C π=，（要求的是sin A ，故用4C π=和34A B π+=将2sin()sin A C B −=的消元，把变量统一成A ） 由334A B C π+==可得34B A π=−，代入2sin()sin A C B −=可得32sin()sin()44A A ππ−=−， 所以332(sin coscos sin )sin cos cos sin 4444A A A A ππππ−=−，整理得：1cos sin 3A A =， 代入22sin cos 1A A +=可得221sin sin19A A +=，所以sin A =0A π<<可得sin A =.（2）设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则5c AB ==，如图，AB 边上的高sin CD CD a B == ①， （已知A ，C ，故sin B 可用内角和为π来求）3sin sin()422B A A A π=−=+=， （再求a ，已知条件有C ，c ，sin A ，故用正弦定理求a ） 由正弦定理，sin sin a c A C =，所以sin sin c Aa C==代入①得6CD ==，故AB 边上的高为6.ABCa5c =（2023·新高考Ⅰ卷·18·★）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D −中，2AB =，14AA =. 点2A ，2B ，2C ，2D 分别在棱1AA ，1BB ，1CC ，1DD 上，21AA =，222BB DD ==，23CC =. （1）证明：22B C ∥22A D ；（2）点P 在棱1BB 上，当二面角222P A C D −−为o 150时，求2B P .1A 1B 1C 1D ABC DP 2B 2C2D 2A解：（1）（正四棱柱底面为正方形，侧棱垂直于底面，故天然就有三条两两垂直的直线，可建系证明） 以C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则2(0,2,2)B ，2(0,0,3)C ，2(2,2,1)A ，2(2,0,2)D ， 所以22(0,2,1)B C =−，22(0,2,1)A D =−，故2222B C A D =， 由图可知直线22B C 与22A D 不重合，所以22B C ∥22A D .（2）（点P 在棱1BB 上运动时，只有z 坐标会变，故可直接设其坐标，用于计算平面22PA C 的法向量） 设(0,2,)(04)P a a ≤≤，则22(2,2,2)A C =−−，2(0,2,3)C P a =−，22(2,0,1)C D =−， 设平面22PA C 和平面222A C D 的法向量分别为111(,,)x y z =m ，222(,,)x y z =n ，则2211121122202(3)0A C x y z C P y a z ⎧⋅=−−+=⎪⎨⋅=+−=⎪⎩m m ， 令13y a =−，则1112x a z =−⎧⎨=−⎩，所以(1,3,2)a a =−−−m 是平面22PA C 的一个法向量，222222222222020A C x y z C D x z ⎧⋅=−−+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩n n ，令21x =，则2212y z =⎧⎨=⎩， 所以(1,1,2)=n 是平面222A C D 的一个法向量， 因为二面角222P A C D −−为o 150，所以cos ,⋅<>===⋅m n m n m n， 解得：3a =或1，所以221B P a =−=.（2023·新高考Ⅰ卷·19·★★★）已知函数()(e )x f x a a x =+−. （1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，3()2ln 2f x a >+. 解：（1）由题意，()e 1x f x a '=−，（1()0ln f x x a'=⇒=，但这个零点只在0a >时有意义，故据此讨论） 当0a ≤时，()0f x '<，所以()f x 在R 上单调递减， 当0a >时，11()0e 10e ln x x f x a x a a '<⇔−<⇔<⇔<，1()0ln f x x a'>⇔>， 所以()f x 在1(,ln )a −∞上单调递减，在1(ln ,)a+∞上单调递增.（2）由（1）可得当0a >时，()f x 有最小值1ln 2111(ln )(e )ln ()ln 1ln a f a a a a a a a a a a=+−=++=++，（要证3()2ln 2f x a >+，只需证13(ln )2ln 2f a a >+，此不等式中ln a 已孤立，故直接移项构造函数分析） 令13()(ln )2ln (0)2g a f a a a =−−>，则21()ln 2g a a a =−−，所以2121()2a g a a a a−'=−=，故()0g a a '>⇔>，()00g a a '<⇔<<， 所以()g a在上单调递减，在)+∞上单调递增，故11()(ln ln 022222g a g ≥=−−=−>，所以13(ln )2ln 2f a a >+， 又因为1(ln )f a是()f x 的最小值，所以3()2ln 2f x a >+.（2023·新高考Ⅰ卷·20·★★★★）设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >，令2n n n nb a +=，记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和.（1）若21333a a a =+，3321S T +=，求{}n a 的通项公式； （2）若{}n b 为等差数列，且999999S T −=，求d .解：（1）（所给条件容易用公式翻译，故直接代公式，建立关于1a 和d 的方程组并求解） 因为21333a a a =+，所以1113()3(2)a d a a d +=++，整理得：1a d = ①， 又311323332S a d a d ⨯=+=+，3123123111261226122T b b b a a a a a d a d=++=++=++++， 代入3321S T +=可得1111261233212a d a a d a d++++=++ ②， 将①代入②整理得：327d d+=，解得：3d =或12，又由题意，1d >，所以3d =，结合①可得13a =， 所以1(1)3n a a n d n =+−=.（2）（条件{}n b 为等差数列怎样翻译？可先由1b ，2b ，3b 为等差数列建立方程找1a 和d 的关系） 由题意，112b a =，216b a d=+，31122b a d =+，因为{}n b 为等差数列，所以2132b b b =+，故111122122a d a a d=+++， （上式要化简，同乘以3个分母即可）所以11111112(2)2()(2)12()a a d a d a d a a d +=++++， 整理得：11()(2)0a d a d −−=，所以1a d =或12a d =，（求d 肯定要由999999S T −=来建立方程，故讨论上述两种情况，分别求出n S 和n T ）若1a d =，则1(1)n a a n d nd =+−=，1()()(1)222n n n a a n d nd n n S d +++===，21n n n n b nd d++==， 所以121()()(3)222n n n n n b b n n d d T d++++===，故999999S T −=即为9951995099d d ⨯⨯−=，解得：5150d =或1−（舍去）； 若12a d =，则1(1)(1)n a a n d n d =+−=+，1()[2(1)](3)222n n n a a n d n d n n S d ++++===，2(1)n n n nb n d d+==+，所以11()()(1)222n n nn n b b n n d d T d+++===， 故999999S T −=即为9950995199d d ⨯⨯−=，解得：5051d =−或1，均不满足1d >，舍去； 综上所述，d 的值为5150.（2023·新高考Ⅰ卷·21·★★★★）甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. （1）求第二次投篮的人是乙的概率； （2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且(1)1(0)i i i P X P X q ==−==，1,2,,i n =⋅⋅⋅，则11()nni i i i E X q ===∑∑，记前n 次（即从第1次到第n 次）投篮中甲投篮的次数为Y ，求()E Y .解：（1）（第一次投篮的人可能是甲，也可能是乙，两种情况下第二次投篮的人是乙的概率都是已知的，故按第一次投篮的人是谁划分样本空间，套用全概率公式）记第(1,2,3,)i i =⋅⋅⋅次投篮的人是甲为事件i A ，第2次投篮的人是乙为事件B ， 由全概率公式，1111()()(|)()(|)0.5(10.6)0.50.80.6P B P A P B A P A P B A =+=⨯−+⨯=.（2）（要分析第i 次投篮的人是甲的概率，先看第1i −次的情况，不外乎是甲或乙投篮，且两种情况下第i 次投篮的人是甲的概率都已知，故根据第1i −次由谁投篮划分样本空间，套用全概率公式来建立递推公式） 当2i ≥时，由全概率公式，111111()()(|)()(|)()0.6[1()]0.2i i i i i i i i i P A P A P A A P A P A A P A P A −−−−−−=+=⨯+−⨯， 整理得：121()()55i i P A P A −=+ ①， （要由此递推公式求()i P A ，可用待定系数法构造等比数列，设12()[()]5i i P A P A λλ−+=+，展开化简得123()()55i i P A P A λ−=−，与121()()55i i P A P A −=+对比可得3155λ−=，所以13λ=−） 由①可得1121()[()]353i i P A P A −−=−，又11()0.52P A ==，所以111()36P A −=，故1()3i P A ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭是等比数列， 首项为16，公比为25，所以1112()()365i i P A −−=⨯，故1121()()653i i P A −=⨯+，即第i 次投篮的人是甲的概率为1121()653i −⨯+.（3）（题干给出了一个期望的结论，我们先把它和本题的背景对应起来. 所给结论涉及两点分布，那本题背景下有没有两点分布呢？有的，在第i 次的投篮中，若设甲投篮的次数为i X ，则i X 的取值为1（表示第i 次投篮的是甲）或0（表示第i 次投篮的是乙），所以i X 就服从两点分布，且前n 次投篮的总次数即为1ni i X =∑，故直接套用所给的期望公式就能求得答案）设第i 次投篮中，甲投篮的次数为i X ，则(1)()i i P X P A ==，且12n Y X X X =++⋅⋅⋅+， 所以12()()n E Y E X X X =++⋅⋅⋅+，由所给结论， 01112121121121()()()()()()()653653653n n E Y P A P A P A −=++⋅⋅⋅+=⨯++⨯++⋅⋅⋅+⨯+ 01121()12221525[()()()][1()]26555363185315nn n n n n −−=++⋅⋅⋅++=⨯+=−+−.（2023·新高考Ⅰ卷·22·★★★★）在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点1(0,)2的距离，记动点P 的轨迹为W . （1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD的周长大于解：（1）设(,)P x y ,则y =214y x =+，故21:4W y x =+. （2）方法一：设矩形的三个顶点222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在W 上,且a b c <<，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，则1,AB BC k k a b b c =⋅−+<+,令2240114ABk b a b a b am ⎛⎫+−+ ⎪⎝=+⎭==<−， 同理令0BC k b c n =+=>，且1mn =−，则1m n=−， 设矩形周长为C ,由对称性不妨设||||m n ≥，1BC AB k k c a n m n n−=−=−=+，则11||||(((2C AB BC b a c b c a n n ⎛=+=−−≥−=+ ⎝0n >，易知10n n ⎛+> ⎝则令()222111()1,0,()22f x x x x f x x x x x x '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++>=+− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令()0f x '=，解得2x =，当0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，()0f x '>，此时()f x 单调递增，则min 27()24f x f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故12C ≥=,即C ≥当C =,2n m ==,且((b a b a −=−m n =时等号成立，矛盾，故C >得证.方法二：不妨设,,A B D 在W 上，且BA DA ⊥，依题意可设21,4A a a ⎛⎫+⎪⎝⎭，易知直线BA ，DA 的斜率均存在且不为0， 则设BA ,DA 的斜率分别为k 和1k−，由对称性，不妨设1k ≤， 直线AB 的方程为21()4y k x a a =−++，则联立22141()4y x y k x a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−++⎪⎩得220x kx ka a −+−=，()()222420k ka a k a ∆=−−=−>，则2k a ≠则||2|AB k a =−，同理||2AD a =+，||||2|2AB AD k a a ∴+=−1122k a a k k ⎫≥−++≥+=⎪⎭令2k m =，则(]0,1m ∈，设32(1)1()33m f m m m m m+==+++，则2221(21)(1)()23m m f m m m m '−+=+−=，令()0'=f m ，解得12m =， 当10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f m '<，此时()f m 单调递减， 当1,2m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f m '>，此时()f m 单调递增， 则min 127()24f m f ⎛⎫==⎪⎝⎭，||||AB AD ∴+≥但1|2|2|2|2k a a k a a k ⎫−≥−++⎪⎭，此处取等条件为1k =，与最终取等时2k =不一致，故2AB AD +>. 方法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动14个单位得抛物线2:W y x '=,矩形ABCD 变换为矩形A B C D '''',则问题等价于矩形A B C D ''''的周长大于 设 ()()()222001122,,,,,B t t A t t C t t ''', 根据对称性不妨设 00t ≥.则 1020,A B B C k t t k t t ''''=+=+, 由于 A B B C ''''⊥, 则 ()()10201t t t t ++=−.由于 1020,A B t B C t ''''=−=−, 且 0t 介于 12,t t 之间,则 1020A B B C t t ''''+=−+−. 令 20tan t t θ+=,10πcot ,0,2t t θθ⎛⎫+=−∈ ⎪⎝⎭,则2010tan ,cot t t t t θθ=−=−−,从而))002cot tan 2A B B C t t θθ''''+=+−故330022222(cos sin )11sin cos sin cos 2sin cos cos sin sin cos sin cos t A B B C t θθθθθθθθθθθθθθ''''−+⎛⎫+=−++=+ ⎪⎝⎭①当π0,4θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,332222sin cos sin cos sin cos cos sin A B B C θθθθθθθθ''''++≥=+≥=≥ ②当 ππ,42θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,由于102t t t <<,从而000cot tan t t t θθ−−<<−, 从而0cot tan 22t θθ−<<又00t ≥, 故0tan 02t θ≤<,由此330222(cos sin )sin cos sin cos sin cos t A B B C θθθθθθθθ''''−++=+ 3323222sin (cos sin )(sin cos )sin cos 1cos sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθθθθθ−+>+=+==2≥≥=，当且仅当cos 3θ=时等号成立，故A B B C''''+>.（本题的第二个的关键是通过放缩得12C =|AB|+|BC|≥(n +1n )√1+n 2，同时为了简便运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可.）。

2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I卷）数学参考答案与解析1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准注意事项：考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|−5<x3<5}，B={−3,−1,0,2,3}，则A B=A.{−1,0}B.{2,3}C.{−3,−1,0}D.{−1,0,2}【答案】A.【解析】−5<x3<5⇒−513<x<513，而1<513<2，因此A B={−1,0}.故答案为A.2.若zz−1=1+i，则z=A.−1−iB.−1+iC.1−iD.1+i【答案】C.【解析】两边同时减1得：1z−1=i,进而z=1+1i=1−i.故答案为C.3.已知向量a=(0,1)，b=(2,x).若b⊥(b−4a)，则x=A.−2B.−1C.1D.2【答案】D.【解析】即b⋅(b−4a)=0.代入得4+x(x−4)=0,即x=2.故答案为D.4.已知cos(α+β)=m，tanαtanβ=2，则cos(α−β)=A.−3mB.−m3C.m3D.3m【答案】A.【解析】通分sinαsinβ=2cosαcosβ.积化和差12(cos(α−β)−cos(α+β))=2⋅12(cos(α−β)+cos(α+β)).即cos(α−β)=−3cos(α+β)=−3m.故选A.5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且他们的高均为√3，则圆锥的体积为A.2√3π B.3√3π C.6√3π D.9√3π【答案】B.【解析】设二者底面半径为r，由侧面积相等有πr √r2+3=2πr⋅√3，解得r=3.故V=13⋅πr2⋅√3=√33π×9=3√3π.故答案为B.6.已知函数为f(x)=⎧{⎨{⎩−x2−2ax−a,x<0e x+ln(x+1),x⩾0在R上单调递增，则a的取值范围是A.(−∞,0]B.[−1,0]C.[−1,1]D.[0,+∞)【答案】B.【解析】x⩾0时，f′(x)=e x+11+x>0，故f(x)在[0,+∞)上单调递增.而y=−x2−2zx−a的对称轴为直线x=−a，故由f(x)在(−∞,0)上单调递增可知−a⩾0⇒a⩽0.在x=0时应有−x2−2ax−a⩽e x+ln(x+1)，解得a⩾−1，故−1⩽a⩽0.故答案为B.7.当x∈[0,2π]时，曲线y=sin x与y=2sin(3x−π6)的交点个数为A.3B.4C.6D.8【答案】C.【解析】五点作图法画图易得应有6个交点.故答案为C.8.已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x−1)+f(x−2)，且当x<3时f(x)=x，则下列结论中一定正确的是A.f(10)>100B.f(20)>1000C.f(10)<1000D.f(20)<10000【答案】B.【解析】f(1)=1,f(2)=2⇒f(3)>3⇒f(4)>5⇒f(5)>8⇒f(6)>13⇒⋯⇒f(11)>143⇒f(12)>232⇒f(13)>300⇒f(14)>500⇒f(15)>800⇒f(16)>1000⇒⋯⇒f(20)>1000故答案为B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值为x =2.1，样本方差s 2=0.01.已知该种植区以往的亩收入x 服从正态分布M(1.8,0.12)，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布N(x,s 2)，则（若随机变量Z 服从正态分布N(μ,σ2)，则P (Z <μ+σ)≈0.8413）A.P (X >2)>0.2 B.P (X >2)<0.5 C.P (Y >2)>0.5 D.P (Y >2)<0.8【答案】BC.【解析】由所给材料知两正态分布均有σ=0.1及正态分布的对称性得：P (X >2)<P (X >1.9)=1−P (X <1.9)=1−0.8413<0.2,A 错误；P (X >2)<P (X >1.8)=0.5,B 正确；P (Y >2)>P (Y >2.1)=0.5,C 正确；P (Y >2)=P (Y <2.2)=0.8413>0.8,D 错误.故答案为BC.10.设函数f(x)=(x −1)2(x −4)，则A.x =3是f(x)的极小值点B.当0<x <1时，f(x)<f(x 2)C.当1<x <2时，−4<f(2x −1)<0D.当−1<x <0时，f(2−x)>f(x)【答案】ACD.【解析】计算知f ′(x)=3(x −1)(x −3).故x ∈(1,3)时f(x)单调减,其余部分单调增.由此知x =3为f(x)极小值点，A 正确；由上知x ∈(0,1)时f(x)单调增,又此时x >x 2,故f(x)>f(x 2),B 错误；此时2x −1∈(1,3),故f(2x −1)∈(f(3),f(1))=(−4,0),C 正确；由f(2−x)=(x −1)2(−x −2),故f(2−x)−f(x)=2(1−x)3>0,D 正确.故答案为ACD.11.造型∝可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于−2；到点F (2,0)的距离与到定直线x =a(a <0)的距离之积为4，则A.a =−2B.点(2√2,0)在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点(x 0,y 0)在C 上时，y 0⩽4x 0+2【答案】ABD.【解析】由原点O 在曲线C 上且|OF |=2知O 到直线x =a 距离为2,由a <0知a =−2,A 正确；由x >−2知C 上点满足(x +2)√(x −2)2+y 2=4,代(2√2,0)知B 正确；解出y 2=16(x +2)2−(x −2)2,将左边设为f(x),则f ′(2)=−0.5<0.又有f(2)=1,故存x0∈(0,1)使f(x0)>1.此时y>1且在第一象限,C错误；又y2=16(x+2)2−(x−2)2<16(x+2)2,故y0<4(x0+2),D正确.故答案为ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线C∶x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2，过F2做平行于y轴的直线交C于A,B两点，若|F1A|=13,|AB|=10，则C的离心率为..【答案】3 2 .【解析】根据对称性|F2A|=|AB|2=5，则2a=|F1A|−|F2A|=8，得到a=4.另外根据勾股定理2c=|F1F2|=12，得到c=6，所以离心率e=ca=32.13.若曲线y=e x+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=..【答案】ln2.【解析】设曲线分别为y1,y2，那么y′1=e x+1，得到切线方程y−1=2x，根据y′2=1x+1得到切点横坐标为−12，代入y2得到a=ln2.14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为..【答案】1 2 .【解析】.由对称性，不妨固定乙出卡片顺序依次为(2,4,6,8),为了简便,设甲依次出(a,b,c,d),{a,b,c,d}∈{1,3,5,7}.首先注意到8是最大的,故甲不可能得四分.若甲得三分,则从c到a均要求得分,比较得必有c=7,b=5,a=3,d=1共一种情况；若甲得两分,则讨论在何处得分：若在b,c处,则同样c=7,b=5,进而a=1,d=3,共一种；若在a,c处，则必有c=7,a≠1,b≠5,在b=1时有全部两种,在d=1时仅一种,共三种；若在a,b处,则b∈{5,7},a≠1,c≠7.当a=5时,由上述限制,c=1时有两种,d=1时仅一种；当a=7时,a,c,d全排列六种中仅a=1的两种不行,故有四种,此情形共八种.故共有1+3+8=12种,又总数为4!=24,故所求为1−1224=12.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sin C=√2cos B，a2+b2−c2=√2ab.（1）求B；（2）若△ABC的面积为3+√3，求c.【解析】（1）根据余弦定理a 2+b 2−c 2=2ab cos C =√2ab ，那么cos C =√22，又因为C ∈(0,π)，得到C =π4，此时cos B =12，得到B =π3.（2）根据正弦定理b =c sin B sin C =√62c ，并且sin A =sin (B+C)=sin B cos C +cos B sin C =√6+√24，那么S =12bc sin A =3+√3，解得c =2√2.16.（15分）已知A(0,3)和P (3,32)为椭圆C ∶x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上两点.（1）求C 的离心率；（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且△ABP 的面积为9，求l 的方程.【解析】（1）直接代入后解方程，得到a 2=12,b 2=9,c 2=3，所以e 2=14，离心率e =12.（2）设B(x 0,y 0)，则⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗AB =(x 0−3,y 0−32),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗AP =(3,−32).得到9=S =12∣−32(x 0−3)−3(y 0−32)∣，或者x 0+2y 0=−6，与椭圆方程联立，得到B 1(−3,−15),B 2(0,−3)，对应的直线方程y =12x 或者y =32x −3.17.（15分）如图，四棱锥P −ANCD 中，P A⊥底面ABCD ，P A =AC =2，BC =1，AB =√3.（1）若AD⊥AB ，证明：AD平面P BC ；（2）若AD⊥DC ，且二面角A −CP −D 的正弦值为√427，求AD .【解析】（1）由P A⊥面ABCD 知P A⊥AD ,又AD⊥P B ,故AD⊥面P AB .故AD⊥AB ,又由勾股定理知AB⊥BC ,故AD//BC ,进而AD//面P BC .（2）由P A⊥面ABCD .P A⊥AC ,P C =2√2,设AD =t ,则P D =√4+t 2,CD =√4−t 2,由勾股定理知P D⊥CD .则S △P CD =12√16−t 4,S △ACD =12t √4−t 2,设A到P CD距离为ℎ.由等体积,S△P CD ⋅ℎ=S△ACD⋅P A.代入解出ℎ=2t√4+t2.考虑A向CP作垂线AM,二面角设为θ则ℎ=AM sinθ=2√217.由此解出t=√3.18.（17分）已知函数f(x)=lnx2−x+ax+b(x−1)3.（1）若b=0，且f′(x)⩾0，求a的最小值；（2）证明：曲线y=f(x)是中心对称图形；（3）若f(x)>−2当且仅当1<x<2，求b的取值范围.【解析】函数定义域(0,2).(1)当b=0时,f′(x)=1x+12−x+a=2x(2−x)+a⩾0恒成立.令x=1得a⩾−2.当a=−2时,f′(x)=2(x−1)2x(2−x)⩾0,从而a的最小值为−2.(2)f(x)+f(2−x)=lnx2−x+ax+b(x−1)3+ln2−xx+a(2−x)+b(1−x)3=2a=2f(1),且定义域也关于1对称,因此y=f(x)是关于(1,a)的中心对称图形.(3)先证明a=−2.由题意,a=f(1)⩽−2.假设a<−2,由f(2e|b|+11+e|b|+1)> |b|+1−|b|=1,应用零点存在定理知存在x1∈(1,2e|b|+11+e|b|+1),f(x1)=0,矛盾.故a=−2.此时,f′(x)=(x−1)2x(2−x)[3bx(2−x)+2].当b⩾−23,f′(x)⩾(x−1)2x(2−x)(2−4x+2x2)⩾0,且不恒为0,故f(x)在(0,2)递增.f(x)>−2=f(1)当且仅当1<x<2,此时结论成立.当b<−23,令x0=3b−√9b2−6b3b∈(0,1),f′(x0)=0,且f′(x)<0,当x∈(x0,1),因此f(x)在(x,1)递减,从而f(x0)>f(1)=−2,而x0∉(1,2)此时结论不成立.综上,b的取值范围是[−23,+∞).19.（17分）设m为正整数，数列a1,a2,⋯a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a i和a j(i<j)后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1,a2,⋯a4m+2是(i,j)−可分数列.（1）写出所有的(i,j),1⩽i⩽j⩽6，使数列a1,a2,⋯a6是(i,j)−可分数列；（2）当m⩾3时，证明：数列a1,a2,⋯a4m+2是(2,13)−可分数列；（3）从1,2,⋯4m+2中一次任取两个数i和j(i<j)，记数列a1,a2,⋯a4m+2是(i,j)−可分数列的概率为Pm ，证明Pm>18.【解析】记{a n }的公差为d .(1)从a 1,a 2,⋯,a 6中去掉两项后剩下4项,恰构成等差数列,公差必为d ,否则原数列至少有7项.因此剩下的数列只可能为a 1,a 2,a 3,a 4,a 2,a 3,a 4,a 5,a 3,a 4,a 5,a 6三种可能,对应的(i,j)分别为(5,6),(1,6),(1,2).(2)考虑分组(a 1,a 4,a 7,a 10),(a 3,a 6,a 9,a 12),(a 5,a 8,a 11,a 14),(a 4k−1,a 4k ,a 4k+1,a 4k+2)(4⩽k ⩽m),(当m =3时只需考虑前三组即可)即知结论成立.(3)一方面,任取两个i,j(i <j)共有C 24m+2种可能.另一方面,再考虑一种较为平凡的情况:i−1,j−i−1均可被4整除,此时,只要依次将剩下的4m 项按原顺序从头到尾排一列,每四个截取一段,得到m 组公差为d 的数列,则满足题意,故此时确实是(i,j)−可分的.接着计算此时的方法数.设i =4k+1(0⩽k ⩽m),对于每个k ,j 有(4m +2)−(4k +1)−14+1=m−k+1(种),因此方法数为m∑k=1(m −k +1)=(m +1)(m +2)2.当m =1,2,已经有(m +1)(m +2)2/C 24m+2>18.下面考虑m ⩾3.我们证明:当i −2,j −i +1被4整除,且j −i +1>4时,数列是(i,j)−可分的.首先我们将a 1,a 2,⋯,a i−2,及a j+2,a j+3,⋯,a 4m+2顺序排成一列,每4个排成一段,得到一些公差为d 的四元数组,因此我们只需考虑a i−1,a i+1,a i+2,⋯,a j−1,a j+1这j −i +1个数即可.为书写方便,我们记j −i =4t −1(t >1),并记b n =a n+i−2,即证b 1,b 3,b 4,⋯,b 4t ,b 4t+2可被划分成若干组.引理:设j−1能被4整除.若b 1,b 2,⋯,b j+1是(2,j)−可分的,则b 1,b 2,⋯,b j+9是(2,j+8)−可分的.引理证明:将b 1,b 2,⋯,b j+1去掉b 2,b j 后的j −14组四元组再并上(b j ,b j+2,b j+4,b j+6),(b j+3,b j+5,b j+7,b j+9)即证.回原题.由(2),b 1,⋯,b 14是(2,13)−可分数列,且(b 1,b 3,b 5,b 7)和(b 4,b 6,b 8,b 10)知b 1,⋯,b 10是(2,9)−可分数列,因而结合引理知b 1,b 3,b 4,⋯,b 4t ,b 4t+2可被划分成若干组,由此结论成立.计算此时的方法数.设i =4k+2(0⩽k ⩽m−1),则此时j 有(4m +2)−(4k +2)4−1=m −k −1种,因此方法数为m−1∑k=0(m −k −1)=m(m −1)2.因此我们有p m ⩾m(m −1)+(m +1)(m +2)2C 2m+1>18.。

高考数学试卷结构（理）
一、考试形式
考试采用闭卷、笔答形式，考试时间为120分钟，全卷满分150分，考试不使用计算器。

二、试卷结构
1、题型和赋分
全卷包括选择题、填空题、解答题三种题型，选择题是四选一型的单项选择题；填空题每题有一个或多个空，只要求直接写结果，不必写出计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答必须写出文字说明、演算步骤和推证过程。

各题型赋分如下：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧.101312570452012560分题），题（每位学生选做选做题分；题，每题分，其中必做题
解答题满分题，分，共分，每题填空题满分题，分，共分，每题选择题满分 2、必做题和选做题
试题分为必做题和选做题，必做题考查必考内容，选做题考查选考内容，选做题为3选1，考生在试卷给出的3道选做题中选择其中一道作答（3题全答的只计算前一题得分）。

三、难度比例
试题按其难度分为容易题、中等难度题、难题，试卷包括容易题（40/150=26.6%）、中等题 (75/150=50%) 和难题 (35/150=23.3%)，以中等难度题为主。

2024吉林新高考试卷结构、题型【新高考】2024吉林新高考试卷结构、题型《吉林省普通高中学业水平选择性考试试卷结构》从2024 年开始实施。

思想政治一、考试形式采用闭卷、笔试形式。

考试时间 75 分钟，试卷满分 100分。

二、题型、题量分值题型题量分值单项选择题16 48非选择题 4 52合计20 100 历史一、考试形式采用闭卷、笔试形式。

考试时间 75 分钟，试卷满分 100分二、题型、题量及分值题型题量分值单项选择题16 48非选择题 4 52合计20 100 地理一、考试形式采用闭卷、笔试形式。

考试时间 75 分钟，试卷满分100分。

二、题型、题量及分值题型题量分值单项选择题16 48非选择题 3 52合计19 100 物理一、考试形式采用闭卷、笔试形式。

考试时间 75 分钟，试卷满分 100分。

二、题型、题量及分值题型题量分值单项选择题7 28多项选择题 3 15非选择题 5 57合计15 100 化学一、考试形式采用闭卷、笔试形式。

考试时间 75 分钟，试卷满分 100分。

二、题型、题量及分值题型题量分值单项选择题14 42非选择题 4 58合计18 100 生物学一、考试形式采用闭卷、笔试形式。

考试时间 75 分钟，试卷满分 100分。

二、题型、题量及分值题型题量分值单项选择题16 48非选择题 5 52合计21 100 2024年吉林高考满分是多少2024年吉林高考满分为750分。

由语文、数学、外语(含英语、俄语、日语、德语、法语、西班牙语)统一高考科目和3门普通高中学业水平选择性考试科目(含1门首选科目和2门再选科目)组成，不分文理科。

吉林新高考改革方案1、考试类型普通高中学业水平考试分为合格性考试(以下简称合格考)和选择性考试(也称等级性考试，以下简称选择考)。

合格考成绩作为普通高中学生毕业、高中同等学力认定的主要依据。

选择考成绩计入考生总成绩，作为普通高等学校招生录取的重要依据。

……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考1卷）数学副标题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号 一 二 三 四 总分 得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若集合M ={x|√x <4}，N ={x|3x ≥1}，则M ∩N =( ) A. {x|0≤x <2} B. {x|13≤x <2} C. {x|3≤x <16}D. {x|13≤x <16}2. 若i(1−z)=1，则z +z = A. −2B. −1C. 1D. 23. 在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD =2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ，则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 3m⃗⃗⃗ −2n ⃗ B. −2m⃗⃗⃗ +3n ⃗ C. 3m⃗⃗⃗ +2n ⃗ D. 2m⃗⃗⃗ +3n ⃗ 4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为140.0km 2;水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为180.0km 2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为(√7≈2.65)( )A. 1.0×109m 3B. 1.2×109m 3C. 1.4×109m 3D. 1.6×109m 35. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A. 16B. 13C. 12D. 236. 记函数f(x)=sin(ωx +π4)+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3<T <π，且y =f(x)的图像关于点 (3π2,2)中心对称，则f(π2)=( )A. 1B. 32C. 52D. 37. 设a =0.1e 0.1，b =19，c =−ln0.9，则( ) A. a <b <cB. c <b <aC. c <a <bD. a <c <b8. 已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为36π，且3≤l ≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是( )A. [18,814]B. [274,814]C. [274,643]D. [18,27]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。

2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）数学（含解析）适用地区：吉林、辽宁、海南、广西、贵州、甘肃、新疆、山西、云南、黑龙江、重庆本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知1i z =--，则z =（A.0B.1C.D.2【答案】C【解析】【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【详解】若1i z =--，则z ==.故选：C .2.已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（）A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题【答案】B【解析】【分析】对于两个命题而言，可分别取=1x -、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【详解】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题，综上，p ⌝和q 都是真命题.故选：B.3.已知向量,a b 满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （）A.12 B.2 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】由()2b a b -⊥ 得22b a b =⋅ ，结合1,22a a b =+= ，得22144164a b b b +⋅+=+= ，由此即可得解.【详解】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅ ，又因为1,22a a b =+= ，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，从而22=b .故选：B.4.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理下表亩产量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1100，1150）[1150，1200）频数612182410据表中数据，结论中正确的是（）A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间【答案】C【解析】【分析】计算出前三段频数即可判断A ；计算出低于1100kg 的频数，再计算比例即可判断B ；根据极差计算方法即可判断C ；根据平均值计算公式即可判断D.【详解】对于A,根据频数分布表可知,612183650++=<,所以亩产量的中位数不小于1050kg ,故A 错误；对于B ，亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+，所以低于1100kg 的稻田占比为1003466%100-=，故B 错误；对于C ，稻田亩产量的极差最大为1200900300-=，最小为1150950200-=，故C 正确；对于D ，由频数分布表可得，亩产量在[1050,1100)的频数为100(612182410)30-++++=，所以平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故D 错误.故选；C.5.已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（）A.221164x y +=（0y >） B.221168x y +=（0y >）C.221164y x +=（0y >） D.221168y x +=（0y >）【答案】A【解析】【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '，因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上，所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>.故选：A6.设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （）A.1- B.12 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】解法一：令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，分析可知曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得2a =，并代入检验即可；解法二：令()()()(),1,1h x f x g x x =-∈-，可知()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即可得2a =，并代入检验即可.【详解】解法一：令()()f x g x =，即2(1)1cos 2a x x ax +-=+，可得21cos a x ax -=+，令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，原题意等价于当(1,1)x ∈-时，曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，注意到()(),F x G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得()()00F G =，即11a -=，解得2a =，若2a =，令()()F x G x =，可得221cos 0x +-=因为()1,1x ∈-，则220,1cos 0x x ≥-≥，当且仅当0x =时，等号成立，可得221cos 0x x +-≥，当且仅当0x =时，等号成立，则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0，即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，所以2a =符合题意；综上所述：2a =.解法二：令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--∈-，原题意等价于()h x 有且仅有一个零点，因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=，则()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即()020h a =-=，解得2a =，若2a =，则()()221cos ,1,1h x x x x =+-∈-，又因为220,1cos 0x x ≥-≥当且仅当0x =时，等号成立，可得()0h x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，即()h x 有且仅有一个零点0，所以2a =符合题意；故选：D.7.已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（）A.12 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高3h =，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得3AM =，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台111ABC A B C -补成正三棱锥-P ABC ，1A A 与平面ABC 所成角即为PA 与平面ABC 所成角，根据比例关系可得18P ABC V -=，进而可求正三棱锥-P ABC 的高，即可得结果.【详解】解法一：分别取11,BC B C 的中点1,D D ，则11AD A D ==可知111131662222ABC A B C S S =⨯⨯⨯==⨯=设正三棱台111ABC A B C -的为h ，则(11115233ABC A B C V h -=++=，解得433h =，如图，分别过11,A D 作底面垂线，垂足为,M N ，设AM x =，则1AA==DN AD AM MN x=--=-，可得1DD==，结合等腰梯形11BCC B可得22211622BB DD-⎛⎫=+⎪⎝⎭,即()221616433x x+=++，解得433x=，所以1A A与平面ABC所成角的正切值为11tan1A MA ADAMÐ==；解法二：将正三棱台111ABC A BC-补成正三棱锥-P ABC，则1A A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，因为11113PA A BPA AB==，则111127P A B CP ABCVV--=，可知1112652273ABC A B C P ABCV--==，则18P ABCV-=，设正三棱锥-P ABC的高为d，则116618322P ABCV d-=⨯⨯⨯⨯=，解得d=，取底面ABC的中心为O，则PO⊥底面ABC，且AO=所以PA与平面ABC所成角的正切值tan1POPAOAO∠==.故选：B.8.设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（）A.18 B.14 C.12D.1【答案】C【解析】【分析】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b -+∞，分类讨论a -与,1b b --的大小关系，结合符号分析判断，即可得1b a =+，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln()x b +的符号，进而可得x a +的符号，即可得1b a =+，代入可得最值.【详解】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b -+∞，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；若-≤-a b ，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1b a b -<-<-，当(),1x a b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1a b -=-，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+<，此时()0f x >；当[)1,x b ∈-+∞时，可知()0,ln 0x a x b +≥+≥，此时()0f x ≥；可知若1a b -=-，符合题意；若1a b ->-，当()1,x b a ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+>，此时()0f x <，不合题意；综上所述：1a b -=-，即1b a =+，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭+，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12；解法二：由题意可知：()f x 的定义域为(),b -+∞，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；则当(),1x b b ∈--时，()ln 0x b +<，故0x a +≤，所以10b a -+≤；()1,x b ∈-+∞时，()ln 0x b +>，故0x a +≥，所以10b a -+≥；故10b a -+=，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭+，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12.故选：C.【点睛】关键点点睛：分别求0x a +=、ln()0x b +=的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列正确的有（）A.()f x 与()g x 有相同零点B.()f x 与()g x 有相同最大值C.()f x 与()g x 有相同的最小正周期D.()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴【答案】BC【解析】【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A 选项，令()sin 20f x x ==，解得π,2k x k =∈Z ，即为()f x 零点，令π()sin(204g x x =-=，解得ππ,28k x k =+∈Z ，即为()g x 零点，显然(),()f x g x 零点不同，A 选项错误；B 选项，显然max max ()()1f x g x ==，B 选项正确；C 选项，根据周期公式，(),()f x g x 的周期均为2ππ2=，C 选项正确；D 选项，根据正弦函数的性质()f x 的对称轴满足πππ2π,224k x k x k =+⇔=+∈Z ，()g x 的对称轴满足πππ3π2π,4228k x k x k -=+⇔=+∈Z ，显然(),()f x g x 图像的对称轴不同，D 选项错误.故选：BC10.抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A.l 与A 相切B.当P ，A ，B 三点共线时，||PQ =C.当||2PB =时，PA AB⊥D.满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个【答案】ABD【解析】【分析】A 选项，抛物线准线为=1x -，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,,P A B 三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB =先算出P 的坐标，然后验证1PA AB k k =-是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PB PF =，于是问题转化成PA PF =的P 点的存在性问题，此时考察AF的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P 点坐标进行求解.【详解】A 选项，抛物线24y x =的准线为=1x -，A 的圆心(0,4)到直线=1x -的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ⊥，则P 的纵坐标4P y =，由24P P y x =，得到4P x =，故4)P ，此时切线长PQ ===，B 选项正确；C 选项，当2PB =时，1P x =，此时244P P y x ==，故(1,2)P 或(1,2)P -，当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B -，42201PA k -==--，4220(1)AB k -==--，不满足1PA AB k k =-；当(1,2)P -时，(0,4),(1,2)A B -，4(2)601PA k --==--，4(2)60(1)AB k --==--，不满足1PA AB k k =-；于是PA AB ⊥不成立，C 选项错误；D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF =，这里(1,0)F ，于是PA PB =时P 点的存在性问题转化成PA PF =时P 点的存在性问题，(0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，AF 中垂线的斜率为114AF k -=，于是AF 的中垂线方程为：2158x y +=，与抛物线24y x =联立可得216300y y -+=，2164301360∆=-⨯=>，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF =，D 选项正确.方法二：（设点直接求解）设2,4t P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由PB l ⊥可得()1,B t -，又(0,4)A ，又PA PB =，214t =+，整理得216300t t -+=，2164301360∆=-⨯=>，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确.故选：ABD11.设函数32()231f x x ax =-+，则（）A.当1a >时，()f x 有三个零点B.当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C.存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D.存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心【答案】AD【解析】【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为0,x x a ==，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a -上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x =-为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a '=-=-，由于1a >，故()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增，(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值，由(0)10=>f ，3()10f a a =-<，则(0)()0f f a <，根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a -=--<，3(2)410f a a =+>，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<，则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点，于是1a >时，()f x 有三个零点，A 选项正确；B 选项，()6()f x x x a '=-，a<0时，(,0),()0x a f x '∈<，()f x 单调递减，,()0x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，此时()f x 在0x =处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-，即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+，根据二项式定理，等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为33332C (2)()2b x x -=-，于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，C 选项错误；D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-，于是266(126)(1224)1812a a x a x a-=-+-+-即126012240181266a a a a -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，解得2a =，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax =-+，2()66f x x ax '=-，()126f x x a ''=-，由()02af x x ''=⇔=，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122aa =⇔=，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x =⇔=-；（2）()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ⇔+-=；（3）任何三次函数32()f x ax bx cx d =+++都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0f x ''=的解，即,33bb f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是三次函数的对称中心三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S =________.【答案】95【解析】【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出1,a d ，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.【详解】因为数列n a 为等差数列，则由题意得()1111237345a d a d a d a d +++=⎧⎨+++=⎩，解得143a d =-⎧⎨=⎩，则()10110910104453952S a d ⨯=+=⨯-+⨯=.故答案为：95.13.已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ=+，则sin()αβ+=_______.【答案】223-【解析】【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得()tan αβ+=-，再缩小αβ+的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得()tan tan tan1tan tan αβαβαβ++==--因为π3π2π,2π,2ππ,2π22k k m m αβ⎛⎫⎛⎫∈+∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,Z k m ∈，则()()()22ππ,22π2πm k m k αβ+∈++++，,Z k m ∈，又因为()tan 0αβ+=-<，则()()3π22π,22π2π2m k m k αβ⎛⎫+∈++++ ⎪⎝⎭，,Z k m ∈，则()sin 0αβ+<，则()()sin cos αβαβ+=-+，联立()()22sin cos 1αβαβ+++=，解得()22sin 3αβ+=-.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos 0,cos 0αβ><,cos α==，cos β==，则sin()sin cos cos sin cos cos (tan tan )αβαβαβαβαβ+=+=+224cos cos 3αβ==-故答案为：223-.14.在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________．【答案】①.24②.112【解析】【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解.【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有432124⨯⨯⨯=种选法；每种选法可标记为(,,,)a b c d ，a b c d ,,,分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为：(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)，(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)，(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)，(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)，所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为152********+++=.故答案为：24；112【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．（1）求A ．（2）若2a =，sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．【答案】（1）π6A =（2）2++【解析】【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A =进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【小问1详解】方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A +=可得13sin cos 122A A +=，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,)333A A ∈⇒+∈，故ππ32A +=，解得π6A =方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A +=，又22sin cos 1A A +=，消去sin A 得到：224cos 30(2cos 0A A A -+=⇔=，解得3cos 2A =，又(0,π)A ∈，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =+<，则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin()3f A A A A =+==+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos f A A A '==，即3tan 3A =，又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A == ，由题意，sin 2a b A A ⋅==，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==，则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，31cos sin tan 3A A A ⋅=⇔=，又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，22223(1)sin 211t t A A t t-==+++，整理可得，2222(2(20((2t t t --+==-，解得tan22A t ==-，根据二倍角公式，223tan 13t A t ==-，又(0,π)A ∈，故π6A =【小问2详解】由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而2cos 2B =，得到π4B =，于是7ππ12C A B =--=，26sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A =--=+=+=，由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C ==，即2ππ7πsin sin sin6412bc==，解得b c ==故ABC的周长为2++16.已知函数3()e x f x ax a =--．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（2）若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．【答案】（1）()e 110x y ---=（2）()1,+∞【解析】【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析0a ≤和0a >两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得2ln 10a a +->，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知()e '=-x f x a 有零点，可得0a >，进而利用导数求()f x 的单调性和极值，分析可得2ln 10a a +->，构建函数解不等式即可.【小问1详解】当1a =时，则()e 1x f x x =--，()e 1x f x '=-，可得(1)e 2f =-，(1)e 1f '=-，即切点坐标为()1,e 2-，切线斜率e 1k =-，所以切线方程为()()()e 2e 11y x --=--，即()e 110x y ---=.【小问2详解】解法一：因为()f x 的定义域为R ，且()e '=-x f x a ，若0a ≤，则()0f x '≥对任意x ∈R 恒成立，可知()f x 在R 上单调递增，无极值，不合题意；若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <；可知()f x 在(),ln a -∞内单调递减，在()ln ,a +∞内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--，无极大值，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，构建()2ln 1,0g a a a a =+->，则()120g a a a'=+>，可知()g a 在()0,∞+内单调递增，且()10g =，不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >，所以a 的取值范围为()1,+∞；解法二：因为()f x 的定义域为R ，且()e '=-x f x a ，若()f x 有极小值，则()e '=-x f x a 有零点，令()e 0x f x a '=-=，可得e x a =，可知e x y =与y a =有交点，则0a >，若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <；可知()f x 在(),ln a -∞内单调递减，在()ln ,a +∞内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--，无极大值，符合题意，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，构建()2ln 1,0g a a a a =+->，因为则2,ln 1y a y a ==-在()0,∞+内单调递增，可知()g a 在()0,∞+内单调递增，且()10g =，不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >，所以a 的取值范围为()1,+∞.17.如图，平面四边形ABCD 中，8AB =，3CD =，AD =，90ADC ︒∠=，30BAD ︒∠=，点E ，F 满足25AE AD = ，12AF AB =，将AEF △沿EF 对折至PEF !，使得PC =．（1）证明：EF PD ⊥；（2）求面PCD 与面PBF 所成的二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）86565【解析】【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得2EF =，利用勾股定理的逆定理可证得EF AD ⊥，则,EF PE EF DE ⊥⊥，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；（2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明PE ED ⊥，建立如图空间直角坐标系E xyz -，利用空间向量法求解面面角即可.【小问1详解】由218,,52AB AD AE AD AF AB ====，得4AE AF ==，又30BAD ︒∠=，在AEF △中，由余弦定理得2EF =,所以222AE EF AF +=，则AE EF ⊥，即EF AD ⊥，所以,EF PE EF DE ⊥⊥，又,PE DE E PE DE =⊂ 、平面PDE ，所以EF ⊥平面PDE ，又PD ⊂平面PDE ，故EF ⊥PD ；【小问2详解】连接CE，由90,3ADC ED CD ︒∠===，则22236CE ED CD =+=，在PEC中，6PC PE EC ===，得222EC PE PC +=，所以PE EC ⊥，由（1）知PE EF ⊥，又,EC EF E EC EF =⊂ 、平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，又ED ⊂平面ABCD ，所以PE ED ⊥，则,,PE EF ED 两两垂直，建立如图空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0),(0,0,(2,0,0),(0,E P D C F A -，由F 是AB的中点，得(4,B ，所以(4,(2,0,2PC PD PB PF =-=-=-=-，设平面PCD 和平面PBF 的一个法向量分别为111222(,,),(,,)n x y z m x y z ==，则11111300n PC x n PD ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，222224020m PB x m PF x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令122,y x ==，得11220,3,1,1x z y z ===-=，所以(0,2,3),1,1)n m ==-，所以65cos ,65m n m n m n ⋅===，设平面PCD 和平面PBF 所成角为θ，则sin 65θ==，即平面PCD 和平面PBF 所成角的正弦值为65.18.某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立．（1）若0.4p =，0.5q =，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．（2）假设0p q <<，（i 15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？【答案】（1）0.686（2）（i ）由甲参加第一阶段比赛；（i ）由甲参加第一阶段比赛；【解析】【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；（2）（i ）首先各自计算出331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲，331(1)P q p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到X 和Y 的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.【小问1详解】甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，∴比赛成绩不少于5分的概率()()3310.610.50.686P =--=.【小问2详解】（i ）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P q p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙，0p q << ，3333()()P P q q pq p p pq ∴-=---+-甲乙()2222()()()()()()q p q pq p p q p pq q pq p pq q pq ⎡⎤=-+++-⋅-+-+--⎣⎦()2222()333p q p q p q pq =---3()()3()[(1)(1)1]0pq p q pq p q pq p q p q =---=---->，P P ∴>甲乙，应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲先参加第一阶段比赛，数学成绩X 的所有可能取值为0，5，10，15，333(0)(1)1(1)(1)P X p p q ⎡⎤==-+--⋅-⎣⎦，32123(5)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦，3223(10)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦，33(15)1(1)P X p q ⎡⎤==--⋅⎣⎦，()332()151(1)1533E X p q p p p q ⎡⎤∴=--=-+⋅⎣⎦记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩Y 的所有可能取值为0，5，10，15，同理()32()1533E Y q q q p=-+⋅()()15[()()3()]E X E Y pq p q p q pq p q ∴-=+---15()(3)p q pq p q =-+-，因为0p q <<，则0p q -<，31130p q +-<+-<，则()(3)0p q pq p q -+->，∴应该由甲参加第一阶段比赛.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论.19.已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =，过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .（1）若12k =，求22,x y ；（2）证明：数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列；（3）设n S 为12n n n P P P ++的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=.【答案】（1）23x =，20y =（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出2P 的坐标即可；（2）根据等比数列的定义即可验证结论；（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可.【小问1详解】由已知有22549m =-=，故C 的方程为229x y -=.当12k =时，过()15,4P 且斜率为12的直线为32x y +=，与229x y -=联立得到22392x x +⎛⎫-= ⎪⎝⎭.解得3x =-或5x =，所以该直线与C 的不同于1P 的交点为()13,0Q -，该点显然在C 的左支上.故()23,0P ，从而23x =，20y =.【小问2详解】由于过(),n n n P x y 且斜率为k 的直线为()n n y k x x y =-+，与229x y -=联立，得到方程()()229n n x k x x y --+=.展开即得()()()2221290n n n n kxk y kx x y kx ------=，由于(),n n n P x y 已经是直线()n ny k x x y =-+和229x y -=的公共点，故方程必有一根n x x =.从而根据韦达定理，另一根()2222211n n n n nn k y kx ky x k x x x k k---=-=--，相应的()2221n n nn n y k y kx y k x x y k+-=-+=-.所以该直线与C 的不同于n P 的交点为222222,11n n n n n n n ky x k x y k y kx Q k k ⎛⎫--+- ⎪--⎝⎭，而注意到n Q 的横坐标亦可通过韦达定理表示为()()2291n n ny kx k x ----，故n Q 一定在C 的左支上.所以2212222,11n n n n n n n x k x ky y k y kx P k k +⎛⎫+-+- ⎪--⎝⎭.这就得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n nn y k y kx y k ++-=-.所以2211222211n n n n n nn n x k x ky y k y kx x y k k +++-+--=---()()222222221211111n n n n n n n n n n x k x kx y k y ky k k kx y x y k k k k+++++++=-=-=-----.再由22119x y -=，就知道110x y -≠，所以数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列.【小问3详解】方法一：先证明一个结论：对平面上三个点,,U V W ，若(),UV a b = ，(),UW c d =，则12UVWSad bc =-.（若,,U V W 在同一条直线上，约定0UVWS =）证明：11sin ,22UVWSUV UW UV UW UV UW =⋅=⋅12UV UW =⋅==12ad bc===-.证毕，回到原题.由于上一小问已经得到21221n n nnx k x kyxk++-=-，21221n n nny k y kxyk++-=-，故()() 22211222221211111n n n n n nn n n n n n x k x ky y k y kx k k kx y x y x yk k k k +++-+-+--+=+=+=+---+.再由22119x y-=，就知道11x y+≠，所以数列{}n nx y+是公比为11kk-+的等比数列.所以对任意的正整数m，都有n n m n n mx y y x++-()()()()()() 1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n mx x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=-+-----()()()()1122n n n m n m n n n m n mx y x y x y x y++++=-+-+-()()()()11112121m mn n n n n n n nk kx y x y x y x yk k-+⎛⎫⎛⎫=-+-+-⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()22111211m mn nk k x yk k⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=--⎪⎪ ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211m mk kk k⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=-⎪⎪ ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而又有()()()111,n n n n n nP P x x y y+++=----，()122121,n n n n n nP P x x y y++++++=--，故利用前面已经证明的结论即得()()()()1212112112n n nn P P P n n n n n n n nS S x x y y y y x x++++++++==---+--()()()()12112112n n n n n n n nx x y y y y x x++++++=-----()()()1212112212n n n n n n n n n n n nx y y x x y y x x y y x++++++++=-+---2219119119112211211211k k k k k kk k k k k k⎛⎫-+-+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪+-+-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.这就表明n S的取值是与n无关的定值，所以1n nS S+=.方法二：由于上一小问已经得到21221n n nnx k x kyxk++-=-，21221n n nny k y kxyk++-=-，故()()22211222221211111n n n n n n n n n n n n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++-+-+--+=+=+=+---+.再由22119x y -=，就知道110x y +≠，所以数列{}n n x y +是公比为11kk-+的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有n n m n n mx y y x ++-()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=-+-----()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=-+-+-()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k -+⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()22111211mmn n k k x y k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211mmk k k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.这就得到232311911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++-+⎛⎫-=-=- ⎪+-⎝⎭，以及221313229121n n n n n n n n k x y y x x y y x k ++++++⎛⎫+⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.两式相减，即得()()()()232313131122n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x x y y x ++++++++++++---=---.移项得到232131232131n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x y x x y y x x y ++++++++++++--+=--+.故()()()()321213n n n n n n n n y y x x y y x x ++++++--=--.而()333,n n n n n n P P x x y y +++=-- ，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=--.所以3n n P P + 和12n n P P ++平行，这就得到12123n n n n n n P P P P P P SS+++++=，即1n n S S +=.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.。

2024年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学第Ⅰ卷(选择题)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.集合{}1,2,3,4A =,{}2,3,4,5B =,则A B =( )A.{}1,2,3,4B.{}2,3,4C.{}2,4D.{}12.设,a b ∈R ,则“33a b =”是“33a b =”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列图中,相关性系数最大的是( )A. B.C. D.4.下列函数是偶函数的是( ) A.22e 1x x y x -=+ B.22cos 1x x y x +=+ C.e 1x x y x -=+ D.||sin 4ex x x y += 5.若0.30.3 4.24.24.2log 0.2a b c -===，，,则a b c ，，的大小关系为( ) A.a b c >> B.b a c >> C.c a b >> D.b c a >>6.若,m n 为两条不同的直线,α为一个平面,则下列结论中正确的是( )A.若//m α,n ⊂α,则//m nB.若//,//m n αα,则//m nC.若//,αα⊥m n ,则m n ⊥D.若//,αα⊥m n ,则m 与n 相交7.已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．则函数在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值是( )A. B.32- C.0 D.328.双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点,且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为( )9.一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥,且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为( )A.36B.33142+C.32D.33142- 第Ⅱ卷二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分．试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分．10.已知i 是虚数单位,复数))i 2i ⋅=______． 11.在63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,常数项为______． 12.22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合,A 为两曲线的交点,则原点到直线AF 的距离为______．13.,,,,A B C D E 五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加.(1)甲选到A 的概率为______;已知乙选了A 活动,他再选择B 活动的概率为______．14.在边长为1的正方形ABCD 中,点E 为线段CD 的三等分点,1,2CE DE BE BA BC ==+λμ,则λμ+=______;若F 为线段BE 上的动点,G 为AF 中点,则AF DG ⋅的最小值为______．15.若函数()21f x ax =--+有唯一零点,则a 的取值范围为______．三、解答题:本大题共5小题,共75分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.在ABC 中,92cos 5163a Bbc ===，，． (1)求a ;(2)求sin A ;(3)求()cos 2B A -．17.已知四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 为梯形,//AB CD ,1A A ⊥平面ABCD ,AD AB ⊥,其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点,M 是1DD 的中点．(1)求证1//D N 平面1CB M ;(2)求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值;(3)求点B 到平面1CB M 的距离．18.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ,下顶点为B C ，是线段OB 的中点,其中ABC S =△． (1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围,若不存在请说明理由．19.已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．(1)求数列{}n a 前n 项和n S ;(2)设11,2,k n n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨+<<⎩,11b =,其中k 是大于1的正整数． (ⅰ)当1k n a +=时,求证:1n k n b a b -≥⋅;(ⅱ)求1nS i i b =∑．20.设函数()ln f x x x =．(1)求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程;(2)若()(f x a x ≥在()0,x ∞∈+时恒成立,求a 的取值范围;(3)若()12,0,1x x ∈,证明()()121212f x f x x x -≤-．2024年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学解析一、选择题．1.【答案】B【解析】因为集合{}1,2,3,4A =,{}2,3,4,5B =所以{}2,3,4A B =故选:B2.【答案】C【解析】根据立方的性质和指数函数的性质,33a b =和33a b =都当且仅当a b =,所以二者互为充要条件.故选:C.3.【答案】A【解析】观察4幅图可知,A 图散点分布比较集中,且大体接近某一条直线,线性回归模型拟合效果比较好,呈现明显的正相关,r 值相比于其他3图更接近1.故选:A4.【答案】B【解析】对A,设()22e 1x x f x x -=+,函数定义域为R ,但()112e 1f ---=,()112e f -=,则()()11f f -≠,故A 错误;对B,设()22cos 1x x g x x +=+,函数定义域为R 且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+,则()g x 为偶函数,故B 正确; 对C,设()e 1x x h x x -=+,函数定义域为{}|1x x ≠-,不关于原点对称,则()h x 不是偶函数,故C 错误; 对D,设()||sin 4e x x x x ϕ+=,函数定义域为R ,因为()sin141e ϕ+=,()sin141eϕ---=则()()11ϕϕ≠-,则()x ϕ不是偶函数,故D 错误.故选:B.5.【答案】B【解析】因为 4.2x y =在R 上递增,且0.300.3-<<所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<所以0.30.30 4.21 4.2-<<<,即01a b <<<因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增,且00.21<<所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=,即0c <所以b a c >>故选:B6.【答案】C【解析】对于A,若//m α,n ⊂α,则,m n 平行或异面,故A 错误.对于B,若//,//m n αα,则,m n 平行或异面或相交,故B 错误.对于C,//,αα⊥m n ,过m 作平面β,使得s βα=因为m β⊂,故//m s ,而s α⊂,故n s ⊥,故m n ⊥,故C 正确.对于D,若//,αα⊥m n ,则m 与n 相交或异面,故D 错误.故选:C.7.【答案】A【解析】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x ωωω⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭,由2ππ3T ω==得23ω= 即()sin2f x x =-,当,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时,ππ2,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 画出()sin2f x x =-图象,如下图由图可知,()sin2f x x =-在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减所以,当π6x =时,()min π3sin 32f x =-=- 故选:A 8.【答案】C 【解析】如下图:由题可知,点P 必落在第四象限,1290F PF ∠=︒,设2PF m =211122,PF F PF F θθ∠=∠=,由21tan 2PF k θ==,求得12sin 5θ=因为1290F PF ∠=︒,所以121PF PF k k ⋅=-,求得112PF k =-,即21tan 2θ= 21sin 5θ=,由正弦定理可得:121212::sin :sin :sin902:1:5PF PF F F θθ=︒= 则由2PF m =得1122,25PF m F F c m ===由1212112822PF F S PF PF m m =⋅=⋅=得22m = 则211222,42,2210,10PF PF F F c c =====由双曲线第一定义可得:12222PF PF a -==,222,8a b c a ==-=所以双曲线的方程为22128x y -=. 故选:C9.【答案】C【解析】用一个完全相同的五面体HIJ LMN -(顶点与五面体ABC DEF -一一对应)与该五面体相嵌,使得,D N ;,E M ;,F L 重合因为AD BE CF ∥∥,且两两之间距离为1．1,2,3AD BE CF ===则形成的新组合体为一个三棱柱该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)为边长为1的等边三角形,侧棱长为1322314+=+=+=2132211311422ABC DEF ABC HIJ V V --==⨯⨯⨯⨯⨯=. 故选:C.第Ⅱ卷二、填空题．10.【答案】7-【解析】))i 2i 527⋅=-+=-. 故答案为:7.11.【答案】20【解析】因为63333x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()63636216633C 3C ,0,1,,63rr r r r r r x T x r x ---+⎛⎫⎛⎫===⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令()630r -=,可得3r =所以常数项为0363C 20=.故答案为:20.12.【答案】45【解析】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ,故12p =即2p = 由()2221254x y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=,故4x =或6x =-(舍) 故()4,4A ±,故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-= 故原点到直线AF 的距离为4455d == 故答案为:45 13.【答案】①.35②.12 【解析】设甲、乙选到A 为事件M ,乙选到B 为事件N则甲选到A 的概率为()2435C 3C 5P M ==; 乙选了A 活动,他再选择B 活动的概率为()()()133524351C 2C C P MN C P N M P M === 故答案为:35;12 14.【答案】①.43②.518- 【解析】因为12CE DE =,即23CE BA =,则13BE BC CE BA BC =+=+ 可得1,13λμ==,所以43λμ+=; 由题意可知:1,0BC BA BA BC ==⋅=因为F 为线段BE 上的动点,设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭又因为G 为AF 中点,则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得11111113232AF DG k BA kBC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 又因为[]0,1k ∈,可知:当1k =时,AF DG ⋅取到最小值518-; 15.【答案】()()11,3-【解析】令()0fx =,即21ax =-- 由题可得20x ax -≥当0a =时,x∈R ,有211=--=,则x =,不符合要求,舍去; 当0a >时,则23,121,ax x a ax ax x a ⎧-≥⎪⎪=-=⎨⎪-<⎪⎩即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩有唯一交点 由20x ax -≥,可得x a ≥或0x ≤当0x ≤时,则20ax-<,则211ax ax =--=-即()22441x ax ax -=-,整理得()()()2242121210a x ax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦ 当2a =时,即410x +=,即14x =- 当()0,2a ∈,12x a =-+或102x a =>-(正值舍去)当()2,a ∈+∞时,102x a =-<+或102x a=<-,有两解,舍去 即当(]0,2a ∈时,210ax -+=在0x ≤时有唯一解 则当(]0,2a ∈时,210ax -+=在x a ≥时需无解 当(]0,2a ∈,且x a ≥时由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩关于2x a =对称,令()0h x =,可得1x a =或3x a =且函数()h x 在12,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在23,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 令()g x y ==即2222142a x y a a ⎛⎫- ⎪-⎭=⎝ 故x a ≥时,()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=右支的x 轴上方部分向右平移2a 所得 由()222214y x a a-=的渐近线方程为22a y x x a =±=± 即()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,其斜率为2又(]0,2a ∈,即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a ≥时的斜率(]0,2a ∈令()0g x ==,可得x a =或0x =(舍去) 且函数()g x 在(),a +∞上单调递增故有13a aa a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩,解得1a <<故1a <<; 当a<0时,则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≤⎪⎪=--=⎨⎪->⎪⎩即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩有唯一交点由20x ax -≥,可得0x ≥或x a ≤当0x ≥时,则20ax -<,则211ax ax =--=-即()22441x ax ax -=-,整理得()()()2242121210a x ax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦当2a =-时,即410x -=,即14x = 当()2,0a ∈-,102x a =-<+(负值舍去)或102x a =- 当(),2a ∈-∞时,102x a =->+或102x a=>-,有两解,舍去 即当[)2,0a ∈-时,210ax -+=在0x ≥时有唯一解 则当[)2,0a ∈-时,210ax -+=在x a ≤时需无解 当[)2,0a ∈-,且x a ≤时由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩关于2x a =对称,令()0h x =,可得1x a =或3x a = 且函数()h x 在21,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,在32,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增同理可得:x a ≤时,()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=左支的x 轴上方部分向左平移2a 所得 ()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,其斜率为2-又[)2,0a ∈-,即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a <时的斜率[)2,0a ∈-令()0g x ==,可得x a =或0x =(舍去) 且函数()g x 在(),a -∞上单调递减故有13a aa a⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩,解得1a <<-,故1a <<-符合要求; 综上所述,()()11,3a ∈-.故答案为:()(1-⋃. 三、解答题.16.【答案】(1)4(3)5764 【小问1详解】设2,3a t c t ==,0t >,则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯,解得2t =(负舍); 则4,6a c ==. 【小问2详解】因为B 为三角形内角,所以sin 16B ===再根据正弦定理得sin sin a b A B =,即4sin A =,解得sin A =【小问3详解】 因为9cos 016B =>,且()0,πB ∈,所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由(2)法一知sin 16B =因为a b <,则A B <,所以3cos 4A ==则3sin 22sin cos 24A A A ===2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()1957cos 2cos cos 2sin sin 281664B A B A B A -=+=⨯=.17.【答案】(1)证明见解析(2)11(3)11【小问1详解】取1CB 中点P ,连接NP ,MP由N 是11B C 的中点,故1//NP CC ,且112NP CC =由M 是1DD 的中点,故1111122D M DD CC ==,且11//D M CC 则有1//D M NP ,1D M NP =故四边形1D MPN 是平行四边形,故1//D N MP 又MP ⊂平面1CB M ,1D N ⊄平面1CB M 故1//D N 平面1CB M ; 【小问2详解】以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系有()0,0,0A ,()2,0,0B ,()12,0,2B ,()0,1,1M ,()1,1,0C ,()11,1,2C 则有()11,1,2CB =-,()1,0,1CM =-,()10,0,2BB =设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z =,()222,,n x y z =则有111111200m CB x y z m CM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,1222122020n CB x y z n BB z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 分别取121x x ==,则有13y =,11z =,21y =,20z = 即()1,3,1m =,()1,1,0n = 则13222cos ,1119111m n m n m n ⋅+===⋅++⋅+ 故平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值为22211; 【小问3详解】由()10,0,2BB =,平面1CB M 的法向量为()1,3,1m = 则有1221111191BB m m⋅==++ 即点B 到平面1CB M 的距离为21111. 18.【答案】(1)221129x y +=(2)存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤⎪⎝⎭,使得0TP TQ ⋅≤恒成立. 【小问1详解】因为椭圆的离心率为12e =,故2a c =,3b c =,其中c 为半焦距 所以()()32,0,0,3,0,2c A c B c C ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭,故13332222ABC S c c =⨯⨯=△ 故3c =,所以23a =,3b =,故椭圆方程为:221129x y +=.【小问2详解】若过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线的斜率存在,则可设该直线方程为:32y kx =-设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t由22343632x y y kx ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩可得()223412270k x kx +--= 故()222Δ144108343245760k k k =++=+>且1212221227,,3434k x x x x k k +==-++ 而()()1122,,,TP x y t TQ x y t =-=-故()()121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t ⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()22121233122kx x k t x x t ⎛⎫⎛⎫=+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222731231342342k k k t t k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯--+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222222327271812332234k k k t t t k k ⎛⎫----++++ ⎪⎝⎭=+ ()22223321245327234t t k t k ⎛⎫⎡⎤+--++- ⎪⎣⎦⎝⎭=+因为0TP TQ ⋅≤恒成立,故()223212450332702t t t ⎧+--≤⎪⎨⎛⎫+-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩,解得332t -≤≤. 若过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线的斜率不存在,则()()0,3,0,3P Q -或()()0,3,0,3P Q -此时需33t -≤≤,两者结合可得332t -≤≤. 综上,存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤⎪⎝⎭,使得0TP TQ ⋅≤恒成立. 19.【答案】(1)21n n S =- (2)①证明见详解;②()131419nn S ii n b =-+=∑ 【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为0q > 因为1231,1a S a ==-,即1231a a a +=- 可得211q q +=-,整理得220q q --=,解得2q或1q =-(舍去)所以122112nn n S -==--. 【小问2详解】(i)由(1)可知12n n a -=,且N*,2k k ∈≥当124kk n a +=≥=时,则111221111k k k k k a n n a a -++⎧=<-=-⎨-=-<⎩,即11k k a n a +<-< 可知12,1k k n a b k -==+()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k --+=+--⋅=+-=-可得()()()()1112112122120k n k n k k k k k k k k b k a b ---=--+=--≥--=-⋅≥-当且仅当2k =时,等号成立 所以1n k n b a b -≥⋅;(ii)由(1)可知:1211nn n S a +=-=-若1n =,则111,1S b ==;若2n ≥,则112k k k a a -+-=当1221k k i -<≤-时,12i i b b k --=,可知{}i b 为等差数列 可得()()()111211112221122431434429k k k k k k k k i i b k kk k k -------=-⎡⎤=⋅+=⋅=---⎣⎦∑ 所以()()()232113141115424845431434499nnS n n i i n b n n -=-+⎡⎤=+⨯-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅+---=⎣⎦∑ 且1n =,符合上式,综上所述:()131419nn S ii n b =-+=∑. 20.【答案】(1)1y x =-(2){}2(3)证明过程见解析 【小问1详解】由于()ln f x x x =,故()ln 1f x x ='+.所以()10f =,()11f '=,所以所求的切线经过()1,0,且斜率为1,故其方程为1y x =-. 【小问2详解】设()1ln h t t t =--,则()111t h t t t'-=-=,从而当01t <<时()0h t '<,当1t >时()0h t '>. 所以()h t 在(]0,1上递减,在[)1,+∞上递增,这就说明()()1h t h ≥,即1ln t t -≥,且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--,则()((ln 1f x a x x x a x x a x g ⎛⎫⎫-=-=--=⋅ ⎪⎭⎝.当()0,x ∞∈+时()0,∞+,所以命题等价于对任意()0,t ∞∈+,都有()0g t ≥. 一方面,若对任意()0,t ∞∈+,都有()0g t ≥,则对()0,t ∞∈+有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t ⎛⎫≤=--=-+≤-+-=+-- ⎪⎝⎭取2t =,得01a ≤-,故10a ≥>.再取t =得2022a a a ≤-=-=-,所以2a =.另一方面,若2a =,则对任意()0,t ∞∈+都有()()()212ln 20g t t t h t =--=≥,满足条件. 综合以上两个方面,知a 的取值范围是{}2. 【小问3详解】先证明一个结论:对0a b <<,有()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.证明:前面已经证明不等式1ln t t -≥,故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a aa b b b b b a b a a--=+=+<+--- 且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a ab b a a b b b a b b a a a a a a b a b a bb⎛⎫--- ⎪--⎝⎭=+=+>+=+---- 所以ln ln ln 1ln 1b b a aa b b a -+<<+-,即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.由()ln 1f x x ='+,可知当10ex <<时()0f x '<,当1ex >时()0f x '>.所以()f x 在10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减,在1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增.不妨设12x x ≤,下面分三种情况(其中有重合部分)证明本题结论. 情况一:当1211ex x ≤≤<时,有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<结论成立;情况二:当1210ex x <≤≤时,有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-.对任意的10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,设()ln ln x x x c c ϕ=-则()ln 1x x ϕ=+'. 由于()x ϕ'单调递增,且有1111111ln1ln1110 2e2e ec cϕ⎛⎫⎪=+<++=--+=⎪⎝⎭'且当2124ln1x cc≥-⎛⎫-⎪⎝⎭,2cx>时,2ln1c≥-可知()2ln1ln1ln102cx xcϕ⎛⎫=+>+=--≥⎪⎝⎭'.所以()xϕ'在()0,c上存在零点x,再结合()xϕ'单调递增,即知0x x<<时()0xϕ'<,x x c<<时()0xϕ'>.故()xϕ在(]00,x上递减,在[],x c上递增.①当x x c≤≤时,有()()0x cϕϕ≤=;②当0x x<<时,112221e ef fc⎛⎫=-≤-=<⎪⎝⎭,故我们可以取1,1qc⎫∈⎪⎭.从而当21cxq<<-时,>可得()1ln ln ln ln0 x x x c c c c c c qcϕ⎫=-<--<--=-<⎪⎭.再根据()xϕ在(]00,x上递减,即知对0x x<<都有()0xϕ<;综合①②可知对任意0x c<≤,都有()0xϕ≤,即()ln ln0x x x c cϕ=-≤.根据10,ec⎛⎤∈ ⎥⎝⎦和0x c<≤的任意性,取2c x=,1x x=,就得到1122ln ln0x x x x-≤.所以()()()()12121122ln lnf x f x f x f x x x x x-=-=-≤.情况三:当12101ex x<≤≤<时,根据情况一和情况二的讨论,可得()11ef x f⎛⎫-≤⎪⎝⎭()21ef f x⎛⎫-≤≤⎪⎝⎭而根据()f x 的单调性,知()()()1211e f x f x f x f ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭或()()()1221e f x f x f f x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭.故一定有()()12f x f x -≤成立.综上,结论成立.。

一、试卷结构新高考数学试卷分为选择题、填空题、解答题三个部分，总分150分。

试卷结构如下：1. 选择题（共20题，每题3分，共60分）选择题主要考查学生对基础知识的掌握程度和基本运算能力。

题型包括单选题、多选题和判断题。

单选题共10题，每题3分；多选题共5题，每题3分；判断题共5题，每题2分。

2. 填空题（共10题，每题3分，共30分）填空题主要考查学生对基础知识的掌握程度和基本运算能力。

题型包括填空题和简答题。

填空题共8题，每题3分；简答题共2题，每题3分。

3. 解答题（共5题，共60分）解答题主要考查学生的综合运用知识、分析问题和解决问题的能力。

题型包括计算题、证明题、应用题和综合题。

计算题共2题，每题12分；证明题共1题，12分；应用题共1题，12分；综合题共1题，12分。

二、试卷内容1. 选择题和填空题内容选择题和填空题内容主要涉及以下几个方面：（1）集合与函数：集合的基本概念、运算；函数的基本概念、性质、图像；反函数、复合函数；指数函数、对数函数、幂函数等。

（2）数列：数列的概念、性质；等差数列、等比数列、幂函数数列；数列的求和、通项公式等。

（3）三角函数：三角函数的基本概念、性质；三角恒等变换；三角函数的图像与性质；解三角形等。

（4）平面几何：点、线、面的基本概念；平面几何的基本性质；三角形、四边形、圆的性质与计算；解析几何等。

（5）概率与统计：概率的基本概念、性质；随机变量及其分布；概率分布列、期望、方差；统计方法等。

2. 解答题内容解答题内容主要涉及以下几个方面：（1）计算题：涉及数列、函数、三角函数、平面几何等基础知识的应用。

（2）证明题：涉及数列、函数、三角函数、平面几何等基础知识的证明。

（3）应用题：涉及实际问题与数学知识的结合，如经济、物理、工程等领域的问题。

（4）综合题：涉及多个知识点和方法的综合运用，考查学生的综合能力。

三、试卷特点1. 注重基础知识：试卷内容紧密围绕基础知识展开，强调学生对基础知识的掌握程度。

2024年普通高等学校招生考试新高考II 卷数 学注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的. 1. 已知1z i =−−，则z = （ C ）A .0B .1CD .2解：因为1z i =−−，所以z =C .2.已知命题p :x R ∈∀,1x +>1；命题q :30,x x x =∃＞, 则 （ B ） A .p 和q 都是真命题 B .p ﹁和q 都是真命题 C .p 和q ﹁都是真命题 D .p ﹁和q ﹁都是真命题.解：因为1x =−，1x +1＜，所以p 为假，p ﹁真，又因为1x =时，3x x =，所以q 真，故选B . 3.已知向量,a b 满足: 1,22a a b =+=，且(2)b a b −⊥，则b = （ B ）A .12B C D .1 解：因为22a b +=，所以22444a a b b +⋅+=，又因为1a =，所以2443a b b ⋅+=，又因为(2)b a b −⊥， 所以(2)0b a b −⋅=，所以220b a b −⋅=，所以263b =，所以22b =，故选B 4.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位: kg) 并部分 整理如下表所示.根据表中数据，下列结论正确的是 （ C ） A .100块稻田亩产量的中位数小于1050 kgB .100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C .100块稻田亩产量的极差介于200 kg 到300 kg 之间D .100块稻田亩产量的平均值介于900 kg 到1000 kg 之间解：根据频数表得亩产在[1050,1100)的频数为100612182410=30−++++（），所以列出频率表如下：所以中位数在分组[1050,1100)内，所以A 错；又因为亩产量低于1100kg 的稻田的频率为0.66，所以B 错；又极差最大为1200-900=300，最小为1150-950=200，故C 正确，亩产平均值为1(692512975181025301075241125101175)100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=1067，所以D 错，故选C . 5.已知曲线C :2216x y +=(0y ＞)，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ',P '为垂足，则线段PP '的中点 M 的轨迹方程为 （ A ）A .221(0)164x y y +=＞ B .221(0)168x y y +=＞ C .221(0)164y x y +=＞ D .221(0)168y x y +=＞ 解：设线段PP '的中点为(,)x y ，则(,2)x y 在曲线C 上，所以22416x y +=，所以221(0)164x y y +=＞，选A 6.设函数2()(1)1f x a x =+−, ()cos 2g x x ax =+ (a 为常数)，当(1,1)x ∈−时，曲线()y f x =和()y g x =恰有 一个交点，则a = （ D ） A .1− B .12C .1D .2解：因为当(1,1)x ∈−时，曲线()y f x =和()y g x =恰有一个交点，所以(1,1)x ∈−时，()()f x g x =有一解，即2(1)1cos 2a x x ax +−=+，所以21cos ax a x +−=，因为21cos y ax a y x =+−=与都是偶函数，当0x = 时，11a −=，所以2a =时恰有一个交点，故选D . 7.已知正三棱台ABC A B C '''−的体积为523,6,2AB A B ''==, 则AA '与平面ABC 所成角的正切值为（ B ） A .12B .1C .2D .3解：因为26S 下22S 上，所以13V h =（，所以523=，所以h =，设上下底面正三角形的高分别为12,h h，则1223h =，2263h = 设AA '与平面ABC 所成角为θ，则21tan 12233h h h θ===−，故选B8.设函数()()ln()f x x a x b =++,若()0f x ≥， 则22a b +的最小值为 ( C ) A .18 B .14 C .12D .1 解：因为函数y x a =+与ln()y x b =+都是单调递增函数，且两个函数的零点分别为a −和1b −，又因为()0f x ≥,所以22a b +取最小值时，1x a b =−=−,即1b a =+,所以2221112()222a b a +=++≥，故选C .二、选择题:本题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的.全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选得0分.9.对于函数()sin 2f x x =和()sin(2)4g x x π=−,下列正确的有 （ ,B C ）A . ()f x 与g()x 有相同零点B . ()f x 与g()x 有相同最大值C . ()f x 与g()x 有相同的最小正周期D . ()f x 与g()x 的图像有相同对称轴 解：因为把函数()g x 的图象向左平移8π个单位就得到()f x 的图象，所以两个函数的零点不同，对称轴不同，故,A D 错，又因为多选，所以选,B C .10.抛物线C :24y x =的准线为l ，P 为C 上动点，过P 作A ⊙:22(4)1x y +−=的一条切线，Q 为切点.过P 作l 的垂线，垂足为B ，则 ( ABD )A .l 与A ⊙相切B .当P A B 、、三点共线时，PQ =C .当2PB =时，PA AB ⊥D .满足PA PB =的点A 有且仅有2个解：因为A ⊙的圆心为(0,4)，半径1r =，又因为l 的方程为1x =−，所以l 与A ⊙相切，所以选项A 正确；设(,)P x y ，则当P A B 、、三点共线时时，4y =，所以4x =，所以4PA =,所以PQ ==， 所以选项B 正确；当2PB =时，PAB △是等边三角形，所以选项C 错；设(,)P x y ，则(1,)B y −, 因为PA PB =，所以222(4)(1)x y x +−=+，又因为24y x =，所以222(4)2y y −=+，所以216300y y −+=， 即方程有两个不同的实数解，所以选项D 正确，故选ABD .11.设函数32()231f x x ax =−+,则 （ AD ） A .当1a ＞时，()f x 有三个零点. B .当0a ＜时，0x =是()f x 的极大值点 C .存在,a b ，使得x b =为曲线()f x 的对称轴 D .存在a ，使得点(1,(1))f 为曲线()y f x =的对称中心解：因为2()666()f x x ax x x a '=−=−，因为1a ＞，所以()f x 在(,0)−∞和(,)a +∞上递增，在(0,)a 上递减，又因为(0)10f =＞，(1)3(1)0f a =−＜，所以()f x 有三个零点，所以选项A 正确；因为()6()f x x x a '=−，所以0a ＜时，()f x 在(,)a −∞和(0,)+∞上递增，在(,0)a 上递减，所以0x =是()f x 的极小值点，所以选项B 错；因为三次函数3y x =是奇函数，没有对称轴，所以平移与伸缩变换后仍没有对称轴，所以选项C 错； 因为是多选，所以正确选项为AD .另，三次函数的对称中心点为二阶导函数的零点，因为()126f x x a '=−，所以()1260f x x a '=−=时， 12x a =，所以112a =时，2a =，所以存在2a =，使得点(1,(1))f 为曲线()y f x =的对称中心. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，满分15分.12.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若347a a +=，2535a a +=,则10S = . 解：因为347a a +=，2535a a +=，所以22525a a a ++=，又因为3427a a a a +=+，所以21a =−，又因为23423a d a a +=+，所以3d =，14a =−，所以1023a =，所以1095S =.13.已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ=,则sin()αβ+= .解：根据题意tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++==−−，又因为α为第一象限角，β为第三象限角，所以22222n m n m πππαβπππ+++++＜＜，即αβ+第三或第四象限的角，由于tan()0αβ+=−，所以αβ+是第四象限的角，所以sin()αβ+=.14.在下图的44⨯方格表中有4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法；在符合上述要求的选法中，选中方格中的四个数之和的最大值是 .解：行列式法，第一步，先从第一行的4个数中任选一个，不同选法有14C 种，第二步，去掉第一步选的数所在的行和列，再从余下的三行三列数中第一行中任选一个数，不同选法有13C 种,第三步，把第二步中选取的数所在的行和列去掉，从余下的2行2列的第一行中任先一个数，不同选法有12C 种，第四步，去掉第三步选的数所在的行与列后余下一个数，不同选法有11C 种，所以共有1111432124C C C C =种选法.因为每列数的十位数都相同，所以把个位数都看成0，则任意的不同行与列的 四个数的和都为100，所以所有个位数所组成如下的图，不同行列的4个数之 和最大值为5+3+3+1=12，故选中方格中的四个数之和的最大值是112. （即4134231215433321112a a a a +++=+++=）.四、解答题:本题共5小题，满分87分.解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程. 15. (本题满分13分)记ABC △的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知sin 2A A =. (1)求A ;(2)若2a =sin sin 2C c B =,求ABC △的周长.解：（1）因为sin 2A A =，所以1sin 12A A =，所以sin()13A π+=，所以32A ππ+=，所以30A =；（2）由（1)知30A =，因为2a =，所以4sin aA=,sin sin 2C c B =sin c C =，又因为sin sin sin c a bC A B==4sin b B ==，所以cos B =，所以45B =,105c =所以4sin b B ==,4sin1054sin(6045)6c ==+=+，所以2a b c ++= 16. (本题满分 15分)已知函数3()x f x e ax a =−−.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程.(2)若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围.解：（1）因为1a =，所以()1x f x e x =−−，所以()1x f x e '=−，所以(1)2f e =−，(1)1f e '=−， 所以2(1)(1)y e e x −+=−−，所以(1)1y e x =−−，即曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是(1)1y e x =−−；（2）因为3()x f x e ax a =−−，所以()x f x e a '=−是单调递增函数，又因为()f x 有极小值，所以 ()0f x '=有解，所以ln (0)x a a =＞，所以()f x 的极小值为3(ln )ln f a a a a a =−−，所以3ln 0a a a a −−＜，所以21ln 0a a −−＜，令2()1ln g a a a =−−，则1()20g a a a'=−−＜，所以 函数2()1ln g a a a =−−在(0,)+∞上单调递减，又因为(1)0g =，所以1a ＞，即a 的取值范围是(1,)+∞.17. (本题满分15分)如图，平面四边形ABCD 中, 8AB =,3CD =,53AD =,90ADC ∠=,30BAD ∠=，点E F 、满足25AE AD =,12AF AB =,将AEF △沿EF 对折至PEF △，使得43PC =.(1)证明: EF PD ⊥(2)求面PCD 与面PBF 所成的二面角的正弦值. 解：（1）因为1725EF AF AE AB AD =−=−,又因为 1212()2525EF AD AB AD AD AB AD AD AD ⋅=−⋅=⋅−⋅12853cos3053533030025=⨯⨯−⨯⨯=−=，所以EF AD ⊥，即,EF ED EF PE ⊥⊥, 所以EF PED ⊥平面,又因为PD PED ⊂平面,所以EF PD ⊥；（2）因为90ADC ∠=，所以CD AD ⊥,又由（1)知EF AD ⊥，所以CD EF ∥，又因为EF PED ⊥平面， 所以CD PED ⊥平面,所以CD PD ⊥,又因为43PC =，3CD =，所以39PD =，又因为23PE =, 33ED =,所以222PE DE PD +=,所以PE ED ⊥,所以PE BCDEF ⊥平面,如图，分别以,,EF ED EP 为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，所以(0,0,23)P ，(3,33,0)C (0,33,0)D ,(2,0,0)F ,(4,23,0)B ,所以(0,33,23),(3,0,0)PD CD =−=−,(2,0,23)PF =−,(4,23,23)PB =−,设平面PCD 的法量为(,,)n x y z =，则3200y z x −=⎧⎨=⎩，令3z =，则2y =，0x =，所以(0,2,3)n =，同理求得平面PBF 的法向量为(3,1,1)m =−， 所以165cos ,65135m n <>==⨯，设面PCD 与面PBF 所成的二面角为θ，则865sin 65θ=.18. (本题满分17分)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分;若至少投中1次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立.(1)若0.4p =,0.5q =，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率. (2)假设0p q ＜＜.（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛? （ii ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛? 解：（1）记A ={甲参加第一阶段比赛至少投中一次}，B ={乙参加第二阶段比赛至少投中一次}， C ={甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分}，则3398()1(1)10.6125P A p =−−=−=， 337()1(1)10.58P B q =−−=−=，所以987686()()()0.68612581000P C P A P B ==⨯==, 所以甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率是0.686；（2）（i ）记D ={第二阶段比赛成绩为15分},E ={甲、乙所在队的比赛成绩为15分},当甲参加第一阶段比赛时，3()1(1)P A p =−−，3()P D q =，所以33()[1(1)]P E q p =−−甲，同理，当乙参加第一阶段比赛时，33()[1(1)]P E p q =−−乙，因为0p q ＜＜，所以3333323323()()[1(1)][1(1)][33][33]P E P E p q q p p q q q q p p p −=−−−−−=−+−−+乙甲222222222222[33][33]3[]pq p p q p q qp q pq p q pq p p q q pq =−+−−+=−−+3[()()(]3()()0pq p q p q pq p q pq p q p q pq =−+−−=−+−＜，所以()()P E P E 乙甲＜，所以为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由甲参加第一阶段比赛；（ii ）不妨设让甲参加第一阶段的的比赛，则甲进入第二阶段比赛的概率为31p −1-（），设乙进第二阶 段比赛时投中的次数为X ,得分为Y ,则5Y X =,因为(3,)X B q ~，所以()3(1)E X q q =−，()5()15(1)E Y E X q q ==−,所以甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望为：3215(1)[1(1]15(1)(33)q q p pq q p p −−−=−−+），同理让乙参加第一阶段的的比赛时，甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望为：3215(1)[1(1]15(1)(33)p p q pq q q q −−−=−−+），因为01p q ＜＜＜，所以22(33)(33)()(3)0p p q q p q p q −+−−+=−+−＞，所以应该让甲参加第一阶段的比赛.19. (本题满分 17分)已知双曲线C ：22()x y m m −=＞0,点1(5,4)P 在C 上，k 为常数，01k ＜＜,按照如下方式依次构造点n P (2,3,n =⋅⋅⋅)；过点1n P −作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q −，令n P 为1n Q −关于y 轴的对称点，记nP 的坐标为(,)n n x y . (1) 若12k =，求22,x y ； (2)证明:数列{}n n x y −是公比为11kk+−的等比数列. (3)设n S 为12n n n P P P ++△的面积，证明:对于任意正整数n ，1n n S S +=.解：（1）因为点1(5,4)P 在C 上，所以25169m =−=，所以双曲线C :229x y −=,又因为过点1P ，斜率为k 的直线方程为4(5)y k x −=−，因为12k =，所以230x y −+=，解方程组229230x y x y ⎧−=⎨−+=⎩化简后得240y y −=，所以4y =或0y =，所以0y =时，3x =−，4y =时，5x =，又因为1Q 在左支上，所以1(3,0)Q −，所以1Q 关于y 轴的对称点为2(3,0)P ,所以223,0x y ==. （2）根据题意知1(,)n n n Q x y −−，所以11n n n ny yk x x −−−=+所以111111n n n nn n n nx x y y k k x x y y −−−−++−+=−+−+ 又因为11,,(2)n n n P P Q n −−≥都在曲线C 上，所以2222119n n n n x y x y −−−=−=，所以1111()()()()9n n n n n n n n x y x y x y x y −−−−−+=−+= 所以111199,n n n n n n n n x y x y x y x y −−−−+=+=−−，所以 111111111111()()9919()()91n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nx y x y x y x y x y x y kx y x y k x y x y x y x y −−−−−−−−−−−−−−+−+−−−+===−−+−−−+−−所以数列{}n n x y −是公比为11kk+−的等比数列. （3）因为11112121221111()()()()221nn n n n n n n n n n n n n n x y S x y x x y y x x y y x y ++++++++++==−−−−−又因为112112(0,1)n n n n n n n n y y y y k x x x x ++++++−−==∈++，所以11212111212111()()()()()()()()22n n n n n n n n n n n n n n n n n S x x k x x x x k x x k x x x x x x x x ++++++++++++=−+−−+=−+−−+ 2221211211221211)2n n n n n n n n n n n n n n n n n k x x x x x x x x x x x x x x k x x x ++++++++++++=+−−−−++=−又由（2）知111111()()()11n n n n k k x y x y k k−−++−=−=−−，且2222119n n n n x y x y −−−=−= 所以1919()1n n n n n k x y x y k −−+==−+，两式相加得111129()()11n n n k k x k k−−−+=++−，所以 11111[9()()]211n n n k k x k k −−−+=++−，1111[9()()]211n n n k k x k k+−+=++−，112111[9()()]211n n n k k x k k +++−+=++− 所以2111122111111111[9()()][9()()][9()()]41111411n n n n n n n n n n k k k k k k S k x x x k k k k k k k−−++++−+−+−+=−=++−++−+−+− 221119()9()18411k k k k k+−=+−−+，所以n S 与无关，只有k 有关，说明n S 是与n 无关的定值， 所以对任意的正整数n ，1n n S S +=.。