【数学】2.1.2《求曲线的方程》测试(新人教A版选修2-1)02

§2.1.2 求曲线的方程学习目标1．学会根据条件，选择适当的坐标系求轨迹方程；2．掌握求轨迹方程的基本方法．学习过程一、课前准备（预习教材理P 35~ P 37，找出疑惑之处）复习1：已知曲线C 的方程为 22y x = ，曲线C 上有点(1,2)A ，A 的坐标是不是22y x = 的解？点(0.5,)t 在曲线C 上,则t =___ ．复习2：曲线（包括直线）与其所对应的方程(,)0f x y =之间有哪些关系?复习3：求曲线方程的一般步骤是：(1) ；(2) ;(3) ；(4) ；(5) ．二、新课导学※ 学习探究引入：圆心C 的坐标为(6,0)，半径为4r =，求此圆的方程．问题：此圆有一半埋在地下，求其在地表面的部分的方程．探究：若4AB =，如何建立坐标系求AB 的垂直平分线的方程．【基础练习】1．已知点A(2，5)、B(3，一1)，则线段AB 的方程是( )．(A)6x+y-17=0(B)6x+y-17=0(x ≥3)(C)6x+y-17=0(x ≤3)(D)6x+y-17=0(2≤x ≤3)2．直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是( )． (A) 1=-y x (B) 1=-y x (C)1=-y x (D) 1=±y x ．3.设B A ,两点的坐标分别是()()7,3,1,1--,则线段AB 的垂直平分线的方程为： ．4.已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是()())0,2(,0,2,3,0C B A -,中线)(为原点O AO 所在直线的方程是 ．5.已知方程222=+by ax 的曲线经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛35,0A 和点(),1,1B 求b a ,的值．※ 典型例题例1（直接法）已知一条直线l 和它上方的一个点F ,点F 到l 的距离是2,一条曲线也在直线l 的上方,它上面的每一个点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条直线的方程．例2 （相关点法） 动点M 在曲线x 2+y 2=1上移动，M 和定点B(3，O)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程，并指出点P 的轨迹．例3（定义法）已知直角三角形ABC, C ∠为直角，,求满足条件的点C 的轨迹方程．例4（参数法）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点())3,1(,1,3-B A 为，若点C 满足βα+=，其中R ∈βα,且1=+βα，求点C 的轨迹方程．三、总结提升※ 学习小结1. 求曲线的方程；2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．※ 知识拓展求曲线方程常用的方法有：直接法、代入法、参数法、定义法、相关点法、待定系数法、向量法等．学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．方程[]2(3412)log (2)30x y x y --+-=的曲线经过点(0,3)A -，(0,4)B ，(4,0)C ，57(,)34D -中的（ ）. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个2．已知(1,0)A ，(1,0)B -，动点满足2MA MB -=,则点M 的轨迹方程是（ ）.A ．0(11)y x =-≤≤B ．0(1)y x =≥C ．0(1)y x =≤-D ．0(1)y x =≥3．曲线y =与曲线0y x +=的交点个数一定是（ ）．A ．0个B ．2个C ．4个D ．3个4．若定点(1,2)A 与动点(,)P x y 满足4O PO A ∙=,则点P 的轨迹方程是 ．5．由方程111x y -+-=确定的曲线所围成的图形的面积是 ． 课后作业1．以O 为圆心，2为半径，上半圆弧的方程是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？2．已知点C 的坐标是(2,2)，过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B ．设点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程．。

高中数学 2.1.2求曲线的方程课时作业新人教A版选修21(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知动点P到点(1,-2)的距离为3,则动点P的轨迹方程是( )A.(x+1)2+(y-2)2=9B.(x-1)2+(y+2)2=9C.(x+1)2+(y-2)2=3D.(x-1)2+(y+2)2=3【解析】选B.设P(x,y),由题设得=3,所以(x-1)2+(y+2)2=9.2.已知等腰三角形ABC底边两端点是A(-,0),B(,0),顶点C的轨迹是( ) A.一条直线 B.一条直线去掉一点C.一个点D.两个点【解析】选B.到两定点距离相等的点的轨迹为两点连线的垂直平分线.注意当点C与A,B共线时,不符合题意,应去掉.3.(2014·临沂高二检测)在△ABC中,若B,C的坐标分别是(-2,0),(2,0),中线AD的长度是3,则A点轨迹方程是( )A.x2+y2=3B.x2+y2=4C.x2+y2=9(y≠0)D.x2+y2=9(x≠0)【解析】选C.易知BC中点D即为原点O,所以|OA|=3,所以点A的轨迹是以原点为圆心,以3为半径的圆,又因△ABC中,A,B,C三点不共线,所以y≠0.所以选C.【变式训练】一动点到y轴的距离比到点(2,0)的距离小2,则此动点的轨迹方程为.【解析】设动点为P(x,y),则由条件得:=|x|+2,平方得y2=4x+4|x|,当x≥0时,y2=8x;当x<0时,y=0.所以动点的轨迹方程为y2=8x(x≥0)或y=0(x<0).答案:y2=8x(x≥0)或y=0(x<0)4.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=α+β,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为( )A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-2)2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=0【解题指南】利用向量的坐标运算,建立方程组,把α,β用动点坐标(x,y)表示后代入α+β=1,整理即可得出点C的轨迹方程或根据=α+β及α+β=1,用α表示出的坐标,再消去α即可得出点C的轨迹方程.【解析】选D.设C(x,y),因为=α+β,所以(x,y)=α(3,1)+β(-1,3),所以(x,y)=(3α-β,α+3β),得即因为α+β=1,所以+=1,整理得x+2y-5=0.【一题多解】选D.由=α+β=α(3,1)+(1-α)(-1,3)=(3α,α)+(α-1,3-3α)=(4α-1,3-2α),设C点的坐标为(x,y),得=(x,y),所以消去α得x+2y-5=0.5.已知点A(1,0),直线l:y=2x-4,点R是直线l上的一点,若=,则点P的轨迹方程为( )A.y=-2xB.y=2xC.y=2x-8D.y=2x+4【解析】选B.由=,知R,A,P三点共线,且A为RP的中点.设P(x,y),R(x1,y1),由=,得(1-x1,-y1)=(x-1,y),得即x1=2-x,y1=-y代入直线y=2x-4中,得y=2x,故选B.6.设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若=2,且·=1,则P点的轨迹方程是( )A.3x2+y2=1(x>0,y>0)B.3x2-y2=1(x>0,y>0)C.x2-3y2=1(x>0,y>0)D.x2+3y2=1(x>0,y>0)【解析】选D.设A(x0,0),B(0,y0),则=(x,y-y0),=(x0-x,-y),因为=2,所以(x,y-y0)=2(x0-x,-y),所以得因此A点坐标为,B点坐标为(0,3y),又因为点Q与点P关于y轴对称,所以Q(-x,y),由·=1,得(-x,y)·=1,即x2+3y2=1,又P点在第一象限,所以x>0,y>0.故选D.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·温州高二检测)已知点M到定点F(1,0)的距离和它到定直线l:x=4的距离的比是常数,设点M 的轨迹为曲线C,则曲线C的轨迹方程是.【解析】设点M(x,y),则据题意有=,则4[(x-1)2+y2]=(x-4)2,即3x2+4y2=12,所以+=1,故曲线C的方程为+=1.答案:+=18.(2014·珠海高二检测)动点P与平面上两定点A(-,0),B(,0)连线的斜率的积为定值-,则动点P 的轨迹方程为.【解析】设P(x,y),由题意知,x≠±,k AP=,k BP=,由条件知k AP·k BP=-,所以×=-,整理得x2+2y2-2=0(x≠±).答案:x2+2y2-2=0(x≠±)【误区警示】解答本题时容易漏掉“x≠±”这个条件.这是因为忽略了直线斜率的存在性所导致.所以做题时理解要到位,避免因隐含条件未挖掘出来而导致错误发生.9.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA,PB,切点分别为A,B,∠APB=60°,则动点P的轨迹方程为.【解析】如图.|PA|=|PB|,连接PO.则∠OPB=30°.因为|OB|=1.所以|PO|=2.所以P点的轨迹是以O为圆心以2为半径的圆,即x2+y2=4.答案:x2+y2=4三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·唐山高二检测)设点P是圆x2+y2=4上任意一点,由点P向x轴作垂线PP0,垂足为P0,且=,求点M的轨迹C的方程.【解析】设点M(x,y),P(x0,y0),则由题意知P0(x0,0).由=(x0-x,-y),=(0,-y0),且=,得(x0-x,-y)=(0,-y0),所以于是又+=4,所以x2+y2=4,所以,点M的轨迹C的方程为+=1.【变式训练】若长为3的线段AB的端点A,B分别在x轴、y轴上移动,动点C(x,y)满足=2,求动点C 的轨迹方程.【解析】设A,B两点的坐标分别为(a,0),(0,b),则=(x-a,y),=(-x,b-y),因为=2,所以即又因为|AB|=3,所以a2+b2=9,即9x2+y2=9,即x2+=1.故动点C的轨迹方程为x2+=1.11.(2013·陕西高考改编)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C 的方程.【解题指南】由弦长的一半、半径和弦心距构成直角三角形列出方程,化简后得出轨迹C的方程.【解析】A(4,0),设圆心C(x,y),线段MN的中点为E,由几何图象知ME=,CA2=CM2=ME2+EC2⇒(x-4)2+y2=42+x2⇒y2=8x.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·长沙高二检测)已知两点M(-2,0),N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足||·||+·=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为( )A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=-4x【解析】选B.依题意可得,4+4(x-2)=0,整理可得y2=-8x.2.曲线f(x,y)=0关于直线x-y-3=0对称的曲线方程为( )A.f(x-3,y)=0B.f(y+3,x)=0C.f(y-3,x+3)=0D.f(y+3,x-3)=0【解题指南】求对称曲线上任意一点关于直线x-y-3=0的点的坐标(x′,y′),又(x′,y′)满足方程f(x,y)=0,由此可得对称曲线方程.【解析】选 D.设P′为对称曲线上任意一点,其坐标为(x,y),它关于直线x-y-3=0对称点的坐标为(x′,y′),依题意有⇒又(x′,y′)适合方程f(x,y)=0,故所求对称曲线方程为f(y+3,x-3)=0,故选D.3.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q 点的轨迹方程是( )A.2x+y+1=0B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0D.2x-y+5=0【解析】选D.设Q(x,y),则P为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0,得2x-y+5=0.【举一反三】若题中直线方程和点的坐标不变,其他条件改为“Q是PM的中点”,则结论如何?【解析】设Q(x,y),P(x0,y0),则x=,y=,所以x0=2x+1,y0=2y-2.因为点P在直线2x-y+3=0上,所以2(2x+1)-(2y-2)+3=0.整理得4x-2y+7=0,即点Q的轨迹方程为4x-2y+7=0.4.(2014·哈尔滨高二检测)在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于,则动点P的轨迹方程为( ) A.x2-3y2=-2 B.x2-3y2=-2(x≠±1)C.x2-3y2=2D.x2-3y2=2(x≠±1)【解析】选B.设P(x,y),由于点B与点A(-1,1)关于原点O对称,所以B(1,-1).k PA=(x≠-1),k PB=(x≠1),因为k PA·k PB=,所以·=.整理得x2-3y2=-2(x≠±1).【变式训练】定长为6的线段,其端点分别在x轴,y轴上移动,则AB中点M的轨迹方程是( ) A.x2+y2=9 B.x+y=6C.2x2+y2=12D.x2+2y2=12【解析】选A.设M点坐标为(x,y),A(0,y0),B(x0,0),因为M为AB中点,所以得因为|AB|=6,所以=6,整理得:x2+y2=9.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·成都高二检测)如图,动点M和两定点A(-1,0),B(2,0)构成△MAB,且∠MBA=2∠MAB,设动点M的轨迹为C,则轨迹C的方程为.【解析】设M的坐标为(x,y),显然有x>0,且y≠0,当∠MBA=90°时,点M的坐标为(2,±3),当∠MBA≠90°时,x≠2,由∠MBA=2∠MAB,有tan∠MBA=,将tan∠MBA=,tan∠MAB=代入上式,化简可得3x2-y2-3=0,而点(2,±3)在曲线3x2-y2-3=0上,综上可知,轨迹C的方程为3x2-y2-3=0(x>1).答案:3x2-y2-3=0(x>1)6.已知sinθ,cosθ是方程x2-ax+b=0的两根,则点P(a,b)的轨迹方程为.【解题指南】根据sinθ,cosθ是方程x2-ax+b=0的两根,建立a,b与sinθ,cosθ的关系,再通过消参,消去sinθ,cosθ得到a,b的关系式.【解析】由根与系数的关系知由①2-②×2得a2-2b=1.因为a=sinθ+cosθ=sin,所以-≤a≤,b=sin2θ,所以-≤b≤.所以点P的轨迹方程为:a2=2(-≤a≤).答案:a2=2(-≤x≤)【知识拓展】参数法的定义及消参的方法(1)参数法的定义求曲线方程时,若x,y的关系不明显或难以寻找,可借助中间量(即参数)使x和y建立起联系,然后再从式子中消去参数得到曲线方程,这种方法叫做参数法求曲线的方程.(2)消去参数的常用方法①代入法:从所给的一个式子中解出所要消的参数,代入另外的式子,从而消去参数;②加、减、乘、除法:通过对所给式子乘以某一常数后,再借助于加、减、乘、除,消去参数;③平方法:通过平方,整体代入消去参数.三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·南京高二检测)△ABC的顶点B,C的坐标分别为(0,0),(4,0),AB边上的中线的长为3,求顶点A的轨迹方程.【解析】设A的坐标为(x,y),AB的中点D的坐标为(x1,y1).由中点坐标公式可知因为AB边上的中线CD=3,所以(x1-4)2+=9,化简整理得(x-8)2+y2=36.所以点A的轨迹方程为(x-8)2+y2=36(y≠0).8.(2014·大庆高二检测)已知点P(-3,0),点Q在x轴上,点A在y轴上,且·=0,=2.当点A 在y轴上移动时,求动点M的轨迹方程.【解析】设M(x,y)是曲线上任意一点,并设Q(a,0),A(0,b),则=(3,b),=(a,-b),=(x-a,y),·=3a-b2=0 ①,因为=2,所以所以②把②代入①,得y2=4x,所以,动点M的轨迹方程为y2=4x.。

第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程*2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程基础过关练题组一曲线与方程的概念1.已知曲线C的方程为x3+x+y-1=0,则下列各点中在曲线C上的点是( )A.(0,0)B.(-1,3)C.(1,1)D.(-1,1)2.(2018天津耀华中学高二上学期月考)直线x-y=0与曲线xy=1的交点坐标是( )A.(1,1)B.(-1,-1)C.(1,1),(-1,-1)D.(0,0)3.已知0≤α<2π,点P(cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为( )A.π3 B.5π3C.π3或5π3D.π3或π64.“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=-2√x”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件题组二 方程的曲线5.方程4x 2-y 2+6x-3y=0表示的图形是( ) A.直线2x-y=0 B.直线2x+y+3=0C.直线2x-y=0和直线2x+y+3=0D.直线2x+y=0和直线2x-y+3=06.下列四个选项中,方程与曲线相符合的是( )7.方程|x|+|y|=1表示的曲线所围成图形的面积为 .题组三 求曲线的方程8.设A 为圆(x-1)2+y 2=1上的动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则点P 的轨迹方程是( )A.(x-1)2+y 2=2B.(x-1)2+y 2=4C.y 2=2xD.y 2=-2x9.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A(1,0),B(2,2).若点C 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),其中t∈R ,则点C 的轨迹方程为 .10.(2018湖南岳阳一中高二上学期期末)已知M 为直线l:2x-y+3=0上的一动点,A(4,2)为一定点,点P 在直线AM 上运动,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求动点P 的轨迹方程.11.已知△ABC 中,AB=2,AC=√2BC. (1)求点C 的轨迹方程; (2)求△ABC 的面积的最大值.能力提升练一、选择题1.(2018海南海口一中高二上学期月考,★★☆)方程xy 2+x 2y=1所表示的曲线( )A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点中心对称D.关于直线y=x 对称 2.(2020鄂东南九校高二期中联考,★★☆)方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0表示的曲线为( ) A.一条线段和半个圆 B.一条线段和一个圆 C.一条直线和半个圆 D.两条线段3.(2020北京朝阳高三期末,★★☆)笛卡儿、牛顿都研究过方程(x-1)(x-2)(x-3)=xy,关于这个方程的曲线有下列说法:①该曲线关于y 轴对称;②该曲线关于原点对称;③该曲线不经过第三象限;④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数.其中正确的是( ) A.②③ B.①④ C.③ D.③④4.(2019江西南昌高三开学摸底考试,★★☆)在平面直角坐标系xOy 中,已知M(-1,2),N(1,0),动点P 满足|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则动点P 的轨迹方程是( )A.y 2=4xB.x 2=4yC.y 2=-4xD.x 2=-4y5.(★★☆)方程x 2+y 2=1(xy<0)表示的曲线形状是( )6.(2018吉林长春五县期末,★★★)已知定点M(-3,0),N(2,0),若动点P满足|PM|=2|PN|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )A.100π9 B.142π9C.10π3D.9π二、填空题7.(2020贵州贵阳高二期末,★★☆)以古希腊数学家阿波罗尼斯命名的阿波罗尼斯圆,是指到两定点的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的动点M的轨迹.已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA||MB|=√2,此时阿波罗尼斯圆的方程为.8.(2020北京房山高二期末,★★☆)已知曲线W的方程为|y|+x2-5x=0.①请写出曲线W的一条对称轴方程: ;②曲线W上的点的横坐标的取值范围是.三、解答题9.(2019贵州铜仁一中高二入学考试,★★☆)已知动点M到点A(-1,0)与点B(2,0)的距离之比为2∶1,记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点P(5,-4)作曲线C的切线,求切线方程.10.(2019上海七宝中学高二期末,★★★)在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:x2+y2=1(y≥0).(1)如图1,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),求线段AB的中点的轨迹方程;(2)如图2,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,求线段OC长度的最大值.答案全解全析 基础过关练1.B 点P(x 0,y 0)在曲线f(x,y)=0上⇔f(x 0,y 0)=0.经验证知点(-1,3)在曲线C 上.2.C 由{x -y =0,xy =1,得{x =1,y =1或{x =-1,y =-1.故选C.3.C 将点P 的坐标代入方程(x-2)2+y 2=3,得(cos α-2)2+sin 2α=3,解得cos α=12.又0≤α<2π,所以α=π3或5π3.4.B 设M(x 0,y 0),由点M 的坐标满足方程y=-2√x ,得y 0=-2√x 0,∴y 02=4x 0,∴点M 在曲线y 2=4x 上.反之不成立,故选B.5.C ∵4x 2-y 2+6x-3y=(2x+y)(2x-y)+3(2x-y)=(2x-y)(2x+y+3)=0, ∴原方程表示直线2x-y=0和2x+y+3=0.6.D 对于A,点(0,-1)满足方程,但不在曲线上,排除A;对于B,点(1,-1)满足方程,但不在曲线上,排除B;对于C,由于曲线上第三象限的点的横、纵坐标均小于0,不满足方程,排除C.故选D.7.答案 2解析 方程表示的图形是边长为√2的正方形(如图所示),其面积为(√2)2=2.8.A 设圆(x-1)2+y 2=1的圆心为C,半径为r,则C(1,0),r=1,依题意得|PC|2=r 2+|PA|2,即|PC|2=2,所以点P 的轨迹是以C 为圆心,√2为半径的圆,因此点P 的轨迹方程是(x-1)2+y 2=2. 9.答案 y=2x-2解析 设点C(x,y),则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y).因为点A(1,0),B(2,2),所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1+t,2t),所以{x =t +1,y =2t ,消去t,得点C 的轨迹方程为y=2x-2. 10.解析 设M(x 0,y 0),P(x,y), 则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-4,y-2),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0-x,y 0-y), 由题意可得{x -4=3(x 0-x ),y -2=3(y 0-y ),所以{x 0=4x -43,y 0=4y -23.因为点M(x 0,y 0)在直线2x-y+3=0上, 所以2×4x -43-4y -23+3=0,即8x-4y+3=0,所以点P 的轨迹方程为8x-4y+3=0.11.解析 (1)以直线AB 为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),由AC=√2BC,得(x+1)2+y 2=2[(x-1)2+y 2],即(x-3)2+y 2=8,又在△ABC 中,y≠0,所以点C 的轨迹方程为(x-3)2+y 2=8(y≠0).(2)因为AB=2,所以S △ABC =12×2×|y|=|y|.因为(x-3)2+y 2=8(y≠0), 所以0<|y|≤2√2,所以S △ABC ≤2√2,即△ABC 的面积的最大值为2√2.能力提升练一、选择题1.D 设P(x 0,y 0)是曲线xy 2+x 2y=1上的任意一点,则x 0y 02+x 02y 0=1.设点P 关于直线y=x 的对称点为P',则P'(y 0,x 0),因为y 0x 02+y 02x 0=x 0y 02+x 02y 0=1,所以P'在曲线xy 2+x 2y=1上,故该曲线关于直线y=x 对称.2.A 由方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0得y=√1-x 2(y≥0)或3x-y+1=0,且满足-1≤x≤1,即x 2+y 2=1(y≥0)或3x-y+1=0(-1≤x≤1),∴方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0表示一条线段和半个圆.3.C 将x=-x 代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=xy,方程改变,故该曲线不关于y 轴对称; 将x=-x,y=-y 代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=-xy,方程改变,故该曲线不关于原点对称; 当x<0,y<0时,(x-1)(x-2)(x-3)<0,xy>0,显然方程不成立,∴该曲线不经过第三象限;令x=-1,易得y=24,即(-1,24)在曲线上,同理可得(1,0),(2,0),(3,0)也在曲线上,∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的.4.A 设P(x,y),因为M(-1,2),N(1,0),所以PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-x,2-y),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x,-y),因为|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|1+x|=√(1-x )2+(-y )2, 整理得y 2=4x.5.C 方程x 2+y 2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部分,故选C. 6.A 设P(x,y),则由|PM|=2|PN|,得(x+3)2+y 2=4[(x-2)2+y 2],化简,得3x 2+3y 2-22x+7=0, 即(x -113)2+y 2=1009,所以所求图形的面积S=100π9.二、填空题7.答案 x 2+y 2-12x+4=0 解析 设M(x,y),因为|MA ||MB |=√2, 所以√(x+2)2+y 2√(x -2)+y 2=√2,整理得x 2+y 2-12x+4=0.8.答案 ①y=0(或x =52) ②[0,5]解析 ①由W 的方程知,若(x,y)是曲线上的点,则(x,-y)也是曲线上的点,因此直线y=0是曲线W的一条对称轴.同理,点(52-x,y)与(52+x,y)也都是曲线上的点,因此直线x=52也是曲线W的一条对称轴.②由|y|+x2-5x=0得|y|=-x2+5x,因为|y|≥0,所以-x2+5x≥0,解得0≤x≤5.三、解答题9.解析(1)设动点M的坐标为(x,y),则|MA|=√(x+1)2+y2,|MB|=√(x-2)2+y2所以√(x+1)2+y2√(x-2)+y2=2,化简得(x-3)2+y2=4.因此,动点M的轨迹方程为(x-3)2+y2=4.(2)当过点P的直线斜率不存在时,直线方程为x-5=0,圆心C(3,0)到直线x-5=0的距离等于2,此时直线x-5=0与曲线C相切; 当过点P的切线斜率存在时,不妨设斜率为k,则切线方程为y+4=k(x-5),即kx-y-5k-4=0,由圆心到切线的距离等于半径,得√k2+1=2,解得k=-34.所以切线方程为3x+4y+1=0.综上所述,切线方程为x-5=0和3x+4y+1=0.10.解析(1)设点B的坐标为(x0,y0),则y0≥0,设线段AB的中点为M(x,y), 因为点B在曲线Γ上,所以x02+y02=1.①因为M为线段AB的中点,所以{x=x0+22,y=y02,则{x0=2x-2,y0=2y,代入①式得(2x-2)2+4y2=1,化简得(x-1)2+y2=14,其中y≥0.则线段AB的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=14(y≥0).(2)如图所示,将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,易知点D(2,2),结合图形可知,点C在曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上运动,则问题转化为求原点O到曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上一点C的距离的最大值,连接OD并延长交曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)于点C',当点C与C'重合时,|OC|取得最大值,且|OC|max=|OD|+1=2√2+1.。

2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程1.结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系.(了解)2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.(重点)3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程.(难点)[基础·初探]教材整理1曲线的方程与方程的曲线阅读教材P34～P35例1以上部分内容，完成下列问题.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是____________；(2)以这个方程的解为坐标的点都是__________，那么，这个方程叫做________，这条曲线叫做方程的曲线.【答案】这个方程的解曲线上的点曲线的方程设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是()A.坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C.坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0【解析】本题考查命题形式的等价转换，所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A、C错，选项B显然错.【答案】 D教材整理2求曲线方程的步骤阅读教材P36“例3”以上部分，完成下列问题.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是____________.【解析】设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形，∴MP2＋NP2＝MN2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，即x2＋y2＝4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2，∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2).【答案】x2＋y2＝4(x≠±2)[小组合作型]对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系.【导学号：37792038】【精彩点拨】曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方程的解为坐标的点是否都在曲线上？【自主解答】(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上.因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.1.分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义.2.定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可.条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f (x ，y )＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性.两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化.[再练一题]1.已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求实数m 的值. 【解】 (1)因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上.(2)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， 所以x ＝m 2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185.故实数m 的值为2或－185.由方程研究曲线(1)(x ＋y －1)x －1＝0；(2)2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0；(3)(x －2)2＋y 2－4＝0.【精彩点拨】 (1)方程(x ＋y －1)x －1＝0中“x ＋y －1”与“x －1”两式相乘为0可作怎样的等价变形？(2)在研究形如Ax 2＋By 2＋Cx ＋Dy ＋E ＝0的方程时常采用什么方法？(3)由两个非负数的和为零，我们会想到什么？【自主解答】 (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0， 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.故方程表示一条射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和一条直线x ＝1.(2)对方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0.∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 从而方程表示的图形是一个点(1，－1).(3)由(x －2)2＋y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2).1.判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定.2.方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想.[再练一题]2.方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于x－y＝0对称【解析】同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称.【答案】 C[探究共研型]求曲线的方程探究1【提示】建立坐标系的基本原则：(1)让尽量多的点落在坐标轴上；(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴.建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等.探究2求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？【提示】一般有三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法.在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法.求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件.在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程.【导学号：37792039】【精彩点拨】(1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？【自主解答】取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y).由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以((x＋a)2＋y2)2＋((x－a)2＋y2)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a).1.求曲线方程的一般步骤(1)建系设点；(2)写几何点集；(3)翻译列式；(4)化简方程；(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.2.一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程.3.没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系.[再练一题]3.已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.【解】设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，则点M属于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}.由距离公式，点M适合的条件可表示为x2＋(y－2)2－y＝2.化简得x2＝8y.∵曲线在x轴上方，∴y>0.∴(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线.∴所求曲线的方程为x2＝8y(y≠0).1.已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)()A.在直线l上，但不在曲线C上B.在直线l上，也在曲线C上C.不在直线l上，也不在曲线C上D.不在直线l上，但在曲线C上【解析】将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上.【答案】 B2.在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是()【解析】 当x ＞0时，方程为xy ＝1，∴y ＞0，故在第一象限有一支图象；当x ＜0时，方程为－xy ＝1，∴y ＞0，故在第二象限有一支图象.【答案】 C3.已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝4，则点P 的轨迹方程为________.【解析】 设点P 的坐标为P (x ，y )，由PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝4，得x 2＋y 2＝8，则点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝8.【答案】 x 2＋y 2＝84.设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.【导学号：37792040】【解】 法一：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，连接CP ，则CP ⊥OQ .OC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接MP ，则|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14. 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.法二：如图所示，由垂径定理，知∠OPC ＝90°，所以动点P 在以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上. 由圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14， 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.。

曲线和方程学习目标：1、了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”含义.2、会判定一个点是否在已知曲线上.一、知识回顾并引题：二、自学课本7573-P 并记下重点，积极思考问题：三、自我检测：1、到两坐标轴距离相等的点组成的直线方程是0=-y x 吗？2、已知等腰三角形三个顶点的坐标是)3,0(A ，)0,2(-B ，)0,2(C 。

中线O AO (为原点）的方程是0=x 吗？为什么？3、已知方程2522=+by ax 的曲线经过点)35,0(A 和点)1,1(B ，求a 、b 的值。

四、提问、答疑，共同解决：五、例题分析：1、若曲线C 上的点的坐标满足方程(,)0f x y =，则下列说法正确的是 （ ）A.曲线C 的方程是(,)0f x y =B.方程(,)0f x y =的曲线是CC.坐标不满足方程(,)0f x y =的点都不在曲线C 上D. 坐标满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上2、已知00(,)P x y 在曲线(,)0f x y =上，P 也在曲线(,)0g x y =上，求证：点P 在曲线(,)(,)0f x y g x y λ+=上（R λ∈）六、课后作业：1、点)2,1(-A ，)3,2(-B ，)10,3(C 是否在方程0122=++-y xy x 的图形上？2、解答下列问题，并说明理由：（1）点12(3,4),(2,3)P P -是否在方程2225x y +=所表示的曲线上；（2）已知方程 2225x y +=表示的曲线F 经过点(2,)A m ，求m 的值。

3、（1）求方程c bx ax y ++=2的曲线经过原点的充要条件是 。

（2）求方程222)()(r b y a x =-+-的曲线经过原点的充要条件 。

4、（1）已知：[0,2)απ∈，点(c o s ,s i n )P αα在曲线22(2)3x y -+=上，则α的值是 ； （2）方程2222(4)(4)0x y -+-=表示的图形是 。

人教版高中数学精品资料【优化设计】高中数学 2.1曲线与方程课后习题新人教A版选修2-1课时演练·促提升A组1.“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”时,不一定能得到“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,但反之,如果“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,必能得出“曲线C上的点的坐标都是f(x,y)=0的解”.答案:B2.方程y=3x-2(x≥1)表示的曲线为()A.一条直线B.一条射线C.一条线段D.不能确定解析:方程y=3x-2表示的曲线是一条直线,当x≥1时,它表示一条射线.答案:B3.曲线xy=2与直线y=x的交点是()A.()B.(-,-)C.()或(-,-)D.不存在解析:由解得即交点坐标为()或(-,-).答案:C4.如图所示的曲线方程是()A.|x|-y=0B.x-|y|=0C.-1=0D.-1=0解析:∵(0,0)点在曲线上,∴C,D不正确.∵x≥0,y∈R,∴B正确.答案:B5.一动点C在曲线x2+y2=1上移动时,它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.+y2=1解析:设C(x0,y0),P(x,y).依题意有所以因为点C(x0,y0)在曲线x2+y2=1上,所以(2x-3)2+(2y)2=1,即点P的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.答案:C6.如果方程ax2+by2=4的曲线过点A(0,-2),B,则a=,b=.解析:由已知解得答案:4 17.已知动点M到点A(9,0)的距离是M到点B(1,0)的距离的3倍,则动点M的轨迹方程是.解析:设M(x,y),则|MA|=,|MB|=.由|MA|=3|MB|,得=3,化简得x2+y2=9.答案:x2+y2=98.已知曲线C的方程是y2-xy+2x+k=0.(1)若点(1,-1)在曲线C上,求k的值;(2)当k=0时,判断曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称?解:(1)因为点(1,-1)在曲线C上,所以(-1)2-1×(-1)+2×1+k=0,解得k=-4.(2)当k=0时,曲线C的方程为y2-xy+2x=0.以-x代替x,y不变,方程化为y2+xy-2x=0,所以曲线C不关于y轴对称;以-y代替y,x不变,方程化为y2+xy+2x=0,所以曲线C不关于x轴对称;同时以-x代替x,-y代替y,方程化为(-y)2-(-x)(-y)+2(-x)=0,即y2-xy-2x=0,所以曲线C不关于原点对称.9.已知两点A(,0),B(-,0),点P为平面内一动点,过点P作y轴的垂线,垂足为Q,且=2,求动点P的轨迹方程.解:设动点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(0,y).于是=(-x,0),=(-x,-y),=(--x,-y),=x2-2+y2.由=2,得x2-2+y2=2x2,即y2-x2=2.故动点P的轨迹方程为y2-x2=2.B组1.方程x2+xy=x表示的曲线是()A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线解析:∵x2+xy=x可化为x(x+y-1)=0,即x=0或x+y-1=0,∴原方程表示两条直线.答案:C2.已知A(-1,0),B(2,4),△ABC的面积为10,则动点C的轨迹方程是()A.4x-3y-16=0或4x-3y+16=0B.4x-3y-16=0或4x-3y+24=0C.4x-3y+16=0或4x-3y+24=0D.4x-3y+16=0或4x-3y-24=0解析:|AB|==5.∵S△ABC=|AB|·h=10,∴h=4,即顶点C到AB所在直线的距离为4,易求AB所在直线的方程为4x-3y+4=0.设点C(x,y),则=h=4,∴4x-3y+4=±20.故选B.答案:B3.方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为.解析:方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形是正方形ABCD(如图),其边长为.故方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为2.答案:24.已知Rt△ABC,|AB|=2a(a>0),求直角顶点C的轨迹方程.解法一:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则有A(-a,0),B(a,0),设顶点C(x,y).由△ABC是直角三角形可知|AB|2=|AC|2+|BC|2,即(2a)2=(x+a)2+y2+(x-a)2+y2,化简得x2+y2=a2.依题意可知,x≠±a.故所求直角顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).解法二:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则A(-a,0),B(a,0).∵∠ACB=90°,∴点C在以AB为直径的圆上.∵以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2,又∵C与A,B不重合,∴x≠±a.∴顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).5.若直线y=kx+1与曲线mx2+5y2-5m=0(m>0)恒有公共点,求m的取值范围.解:将y=kx+1代入mx2+5y2-5m=0,得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0.由题意得,该方程对k∈R总有实数解,∴Δ=20m(m-1+5k2)≥0对k∈R恒成立.∵m>0,∴m≥1-5k2恒成立.∵1-5k2≤1,∴m≥1.故m的取值范围是[1,+∞).6.已知A,B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点,线段AB的长为2,P是AB的中点.求动点P的轨迹C的方程.解:设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).∵P是线段AB的中点,∴∵A,B分别是直线y=x和y=-x上的点,∴y1=x1,y2=-x2,∴又∵|AB|=2,∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=12.∴12y2+x2=12.∴动点P的轨迹方程为+y2=1.。

§2.1.2 求曲线的方程1．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是( )．(A)x 2+y 2=4 (B) x 2+y 2=4 (x>O)(C)y=24x -- (D) y=24x --（0<x<2）2．等腰直角三角形底边两端点是A(3-，0)，B(3，0)，顶点C 的轨迹是( )．(A)一条直线 (B)一条直线去掉一点(C)一个点 (D)两个点3．与点A(一1，0)和点B(1，0)连线的斜率之和为一l 的动点P 的轨迹方程是( )．(A)x 2+y 2=3 (B)x 2+2xy=1(x ≠±1)(C)y=21x - (D)x 2+y 2=9(x ≠0)4．已知两点A(一2，0)、B(6，0)，三角形ABC 的面积为1 6，则C 点的轨迹方程为 ．5．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A ，B ，APB ∠=60，则动点P 的轨迹方程为 ．6．在平面直角坐标系中，O 为原点，A(1，0)、B(2，2)，若点C 满足)(OA OB t OA OC -+=，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是 ．7．已知B A ),0,21(-是圆421:22=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x F （F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则点P 的轨迹方程为： ．８．经过定点())0(,≠a b a A 作互相垂直的两条直线1l 和2l ，分别与x 轴、y 轴交于C B , 两点，求线段BC 的中点M 的轨迹方程．9．已知点M 与x 轴的距离和点M 与点F(O ，4)的距离相等，求点M 的轨迹方程．10．已知一曲线是到两个点O(0，0)，A(3，0)距离之比为1：2的点的轨迹，求这条曲线的方程．11．设P 为曲线1422=-y x 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段PO 的中点，求点M 的轨迹方程．12．如图，已知F(1，O)，直线l ：x = -1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，FQ FP QF QP ⋅=⋅，求动点P 的轨迹方程．13．定长为6的线段，其端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，线段AB 的中点为M ，求M 点的轨迹方程．14．如图所示，圆O 1和圆O 2的半径都等于1，O 1O 2=4。

课时作业8 曲线与方程时刻：45分钟 分值：100分一、选择题(每题6分，共36分)1．方程(x －2)2＋(y ＋2)2＝0表示的图形是( )A ．圆B ．两条直线C ．一个点D ．两个点解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x＝2，y ＝－2.因此方程表示点(2，－2)．答案：C2．已知直线l ：x ＋y －3＝0和曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，那么点M(2,1)知足()A ．在直线l 上，但不在曲线C 上B ．既在直线l 上，也在曲线C 上C ．既不在直线l 上，也不在曲线C 上D ．不在直线l 上，但在曲线C 上解析：把M 的坐标代入直线方程和曲线方程验证即可．答案：B3．方程1－|x|＝1－y 表示的曲线是( )A ．两条线段B ．两条直线C ．两条射线D ．一条射线和一条线段解析：由已知得1－|x|＝1－y,1－y≥0，因此y ＝|x|(y≤1)．答案：A4．以(5,0)和(0,5)为端点的线段的方程是( )A ．x ＋y ＝5B ．x ＋y ＝5(x≥0)C ．x ＋y ＝5(y≥0)D ．x ＋y ＝5(0≤x≤5)答案：D5．方程|x|＋|y|＝1表示的曲线是图中的( )解析：分x≥0，y≥0；x≥0，y≤0；x≤0，y≥0；x≤0，y≤0四种情形去绝对值号，即可作出判定． 答案：D6．假设曲线y ＝x 2－x ＋2与直线y ＝x ＋m 有两个交点，那么( )A ．m ∈RB ．m ∈(－∞，1)C ．m ＝1D ．m ∈(1，＋∞)解析：联立y ＝x 2－x ＋2与y ＝x ＋m 得x 2－2x ＋2－m ＝0.由Δ＝4－4(2－m )>0，得m >1.答案：D二、填空题(每题8分，共24分)7．假设P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，那么a 的值为________．解析：由22－a (－3)2＝1，得a ＝13. 答案：138．方程x 2－y 2＝0表示的图形是________．解析：由x 2－y 2＝0得y ＝±x ，因此方程x 2－y 2＝0表示的图形是两条直线．答案：两条直线9．曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积是________．解析：在y ＝|x |－1中令x ＝0得y ＝－1，令y ＝0得x ＝±1，因此曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积为12×2×1＝1. 答案：1三、解答题(共40分)10．(10分)已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判定P (1，－2)，Q (2，3)两点是不是在此方程表示的曲线上； (2)假设点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值． 解：(1)因为12＋(－2－1)2＝10，而(2)2＋(3－1)2≠10.因此点P (1，－2)在方程表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程表示的曲线上．(2)因为点M (m 2，－m )在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或m ＝－185. 11．(15分)求曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标． 解：在方程x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0中，令y ＝0，得x 2－3x －4＝0，x ＝4或x ＝－1. ∴曲线与x 轴的交点为(4,0)和(－1,0)．12．(15分)求证：对任意m∈R，曲线mx －y －m ＋1＝0和曲线(x －2)2＋y 2＝4恒有交点． 证明：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧mx －y －m ＋1＝0 ①x －22＋y 2＝4 ②由①得y ＝mx －m ＋1.代入②得，(x －2)2＋[mx －(m －1)]2＝4，∴(m 2＋1)x 2－[2m (m －1)＋4]x ＋(m －1)2＝0， Δ＝4(m 2－m ＋2)2－4(m 2＋1)(m －1)2＝4(3m 2－2m ＋3)＝4[3(m －13)2＋83]>0，对任意m ∈R 成立，因此两曲线对任意m ∈R 恒有交点．。

圆锥曲线基本题型总结：提纲：一、定义的应用：1、定义法求标准方程：2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：3、焦点三角形问题：二、圆锥曲线的标准方程：1、对方程的理解2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程）3、各种圆锥曲线系的应用：三、圆锥曲线的性质：1、已知方程求性质：2、求离心率的取值或取值范围3、涉及性质的问题：四、直线与圆锥曲线的关系：1、位置关系的判定：2、弦长公式的应用：3、弦的中点问题：4、韦达定理的应用：一、定义的应用：1.定义法求标准方程：（1）由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：（注意细节的处理）1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．直线C．圆D．线段【注：2a>|F1 F2|是椭圆，2a=|F1 F2|是线段】A.x 225＋y 29＝1 (y ≠0) B.y 225＋x 29＝1 (y ≠0) C.x 216＋y 216＝1 (y ≠0) D.y 216＋x 29＝1 (y ≠0) 【注：检验去点】3.已知A (0，－5)、B (0,5)，|P A |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为( ) A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线D.双曲线一支或一条射线 【注：2a<|F 1 F 2|是双曲线，2a=|F 1 F 2|是射线，注意一支与两支的判断】4.已知两定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，是双曲线的是( ) A.||PF 1|－|PF 2||＝5 B.||PF 1|－|PF 2||＝6 C.||PF 1|－|PF 2||＝7D.||PF 1|－|PF 2||＝0 【注：2a<|F 1 F 2|是双曲线】5.平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( ) A.x 216－y 29＝1(x ≤－4)B.x 29－y 216＝1(x ≤－3) C.x 216－y 29＝1(x ≥4)D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 【注：双曲线的一支】 6.如图，P 为圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 坐标为(2,0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程.7.已知点A(0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM|＝|PA|，求动点P 的轨迹方程．（2）涉及圆的相切问题中的圆锥曲线：8.已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3，0)，圆P 过B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程. 已知动圆M 过定点B (－4,0)，且和定圆(x －4)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 24－y 212＝1 (x >0)B.x 24－y 212＝1 (x <0) C.x 24－y 212＝1D.y 24－x 212＝1 【注：由题目判断是双曲线的一支还是两支】 9.若动圆P 过点N (－2,0)，且与另一圆M ：(x －2)2＋y 2＝8相外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程. 【注：双曲线的一支，注意与上题区分】10.如图，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.11.若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线12.已知动圆M 经过点A (3,0)，且与直线l ：x ＝－3相切，求动圆圆心M 的轨迹方程. 【注：同上题做比较，说法不一样，本质相同】13.已知点A (3,2)，点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12.（M 的横坐标非负） (1)求点M 的轨迹方程； 【注：体现抛物线定义的灵活应用】(2)是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 【注：抛物线定义的应用，涉及抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】（3）其他问题中的圆锥曲线：14.已知A ，B 两地相距2 000 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚4 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 【注：双曲线的一支】2.15.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )A ．直线B ．圆C ． 双曲线D ．抛物线【注：体现抛物线定义的灵活应用】2.涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：16.设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1 (m >1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为( )A.22 B.12 C.2－12 D.3417.椭圆x 216＋y 27＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．418.已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m19.若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________.20.设F 1、F 2是椭圆x 216＋y 212＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到两个焦点的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．直角三角形21．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．【注：椭圆上的点到焦点的距离，最小是a -c ，最大是a+c 】22.已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________.【注：注意结果的取舍，双曲线上的点到焦点的距离最小为c -a 】23.已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点). 【注：O 是两焦点的中点，注意中位线的体现】24.设F 1、F 2分别是双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且1PF u u u u r ·2PF u u u u r ＝0，则|1PF u u u u r ＋2PF u u u u r |等于( ) A ．3 B ．6 C ．1 D ．225.已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是( ) A.172B.3C. 5D.92【注：抛物线定义的应用，将抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】26.已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( ) A.125 B.65 C ．2 D.55【注：抛物线定义的应用，将抛物线上的点到准线的距离转化成到焦点的距离】27.设点A 为抛物线y2＝4x 上一点，点B(1,0)，且|AB|＝1，则A 的横坐标的值为( )A ．－2B ．0C ．－2或0D ．－2或2 【注：抛物线的焦半径，即定义的应用】3.焦点三角形问题：椭圆的焦点三角形周长2c 2a 2C PF PF C 21F PF 21+∆＝＋＋＝ 椭圆的焦点三角形面积：推导过程：2tan sin cos 121sin 21cos 1 -)cos (12 (1)-(2)(2)2a (1)COS 2-2 1 b 2b PFPF S 2bPFPF 4c 4a PFPF PF PF 4c PF PF PF PF 2221F PF 22122212212212221θθθθθθθ=+==+==+⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∆得双曲线的焦点三角形面积：2tanbS 2F PF 21θ=∆28.设P 为椭圆x 2100＋y 264＝1上一点，F 1、F 2是其焦点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．【注：小题中可以直接套用公式。

2.1曲线与方程 （检测教师版） (25分钟 50分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若方程x －2y －2k ＝0与2x －y －k ＝0所表示的两条曲线的交点在方程x 2＋y 2＝9的曲线上，则k ＝( )A ．±3B ．0C ．±2D ．一切实数[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －2k ＝0，2x －y －k ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－k ，∴交点为(0，－k )，∴k 2＝9，k ＝±3.故选A ． 2．(2017·广州高二检测)方程|y |－1＝1－x －2表示的曲线是( )A ．两个半圆B ．两个圆C ．抛物线D ．一个圆[解析] y ≥1时，(x －1)2＋(y －1)2＝1，y ≤－1时，(x －1)2＋(y ＋1)2＝1， ∴表示两曲线为两个半圆．故选A ．3．在直角坐标系中，方程|x |·y ＝1的曲线是( )[解析] 由|x |·y ＝1知y >0，曲线位于x 轴上方，故选C ．4．命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是( )A ．方程f (x ，y )＝0的曲线是CB ．方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 C ．方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是CD ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上[解析] 不论方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程，还是曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：(1)曲线上的点的坐标都是方程的解；(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以A 、B 、D 错误．5．已知A (－2,0)、B (2,0)，△ABC 的面积为10，则顶点C 的轨迹是( )A ．一个点B ．两个点C ．一条直线D ．两条直线[解析] 设顶点C 到边AB 的距离为d ，则12×4×d ＝10，∴d ＝5.∴顶点C 到x 轴的距离等于5.故顶点C 的轨迹是直线y ＝－5和y ＝5. 二、填空题(每小题5分，共15分)6.由动点P 向圆x 2＋y 2＝1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程 _.[解析] 设P (x ，y )，x 2＋y 2＝1的圆心为O ， ∵∠APB ＝60°，OP 平分∠APB ，∴∠OPB ＝30°， ∵|OB |＝1，∠OBP 为直角，∴|OP |＝2，∴x 2＋y 2＝4. 7．方程y ＝x 2－2x ＋1所表示的图形是_ _.[解析] 原方程等价于y ＝|x －1|⇔x ＋y －1＝0(x ≤1)和x －y －1＝0(x ≥1)． 8．给出下列结论：①方程yx －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线；②到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y ＝－2； ③方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示四个点． 正确的结论的序号是_③__. [解析] 方程yx －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线且扣除点(2,0)，故①错；到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y ＝－2或y ＝2，故②错；方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示点(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)，故③正确． 三、解答题(每小题10分，共10分)9.已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上．求yx的最大值和最小值.[解析] 圆x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0整理得(x －3)2＋(y －2)2＝4，所以圆心为C (3,3)，半径r ＝2，设k ＝y x ，即kx －y ＝0(x ≠0)，则圆心到直线的距离d ≤r ，即|3k －3|1＋k2≤2，整理得5k 2－18k ＋5≤0，解得9－2145≤k ≤9＋2145，故y x 的最大值是9＋2145，最小值为9－2145.。

2.1.2求曲线的方程填一填1.坐标法和解析几何研究的主要问题(1)坐标法：借助于坐标系，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法．(2)解析几何研究的主要问题：①曲线研究方程：根据已知条件，求出表示曲线的方程．②方程研究曲线：通过曲线的方程，研究曲线的性质．2．求曲线方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{x|P(M)}．(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0.(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式．(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.判一判1.在求曲线方程时，(√)2．化简方程“|x|＝|y|”为“y＝x”是恒等变形．(×)3．按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验．(×)4．“点M在曲线y＝x上”是“点M到两坐标轴距离相等”的充分不必要条件．(√) 5．方程x(x2＋y2－1)＝0所表示的图形是一条直线和一个圆．(√)6．方程x2＋(x2＋y2－1)2＝0所表示的图形是一个点．(×)7．到两坐标轴的距离之和等于1的点的轨迹方程是x＋y＝±1.(×)8．如图所示的图象对应的方程是x|y|－1＝0.(×)想一想1.曲线(或轨迹)若曲线(或轨迹)为轴对称图形，通常以对称轴为坐标轴(x轴或y轴)；若曲线(或轨迹)是中心对称图形，通常以对称中心为原点．2．求解曲线方程时一定要按各步骤操作吗？不一定，若有坐标系，第一步可省略，第二步虽重要，但只要能把条件转化为方程即可，故也可省略．若化简前后方程的解集相同，步骤(5)也可省略，如有特殊情况可以适当说明．3．求得曲线方程后，如何避免出现“增解”或“漏解”？可根据曲线与方程的定义从曲线的方程与方程的曲线两个方面进行检验． 思考感悟：练一练1．下列命题中为真命题的是( )A ．点A (3,2)，点B (3,6)，则线段AB 的方程是x ＝3 B ．到x 轴距离为2的点的直线方程是y ＝2C ．方程y ＝kx ＋1表示过(0,1)的所有直线D ．方程xy ＝1和方程y ＝1x表示相同的曲线答案：D2．动点P 到点(－1,2)的距离是3，则动点P 的轨迹方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝9 B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝9 C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝3 D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝3 答案：C3．若点M 到x 轴、y 轴的距离之积等于1，则点M 的轨迹方程是____________． 答案：|xy |＝1.4．以(5,0)和(0,5)为端点的线段的方程是____________． 答案：x ＋y －5＝0(0≤x ≤5)知识点一直接法求轨迹方程1．到两坐标轴距离之和等于1的点的轨迹方程是( ) A ．x ＋y ＝1 B ．x ＋y ＝±1 C ．|x |＋|y |＝1 D ．|x ＋y |＝1解析：动点P (x ，y )到x 轴和y 轴的距离分别为|y |和|x |，故有|x |＋|y |＝1.故选C. 答案：C2．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1,1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP与BP 的斜率之积等于－13，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2－3y 2＝4B ．x 2＋3y 2＝4C ．x 2－3y 2＝4(x ≠±1)D ．x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)解析：由点B 与点A (－1,1)关于原点对称，得点B 的坐标为(1，－1)．设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得k AP ·k BP ＝y －1x ＋1·y ＋1x －1＝－13(x ≠±1)，化简得x 2＋3y 2＝4，且x ≠±1.故动点P 的轨迹方程为x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．答案：知识点二用定义法求曲线方程3.已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)D ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2) 解析：由MP ⊥PN ，知点P 的轨迹是以MN 为直径的圆(除去M 、N 两点)，所以P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)． 答案：D4．一条线段AB 的长等于2a ，两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点M 的轨迹方程．解析：根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，设点M 的坐标为(x ，y )．当点A 或点B 与原点重合时，显然有|OM |＝12|AB |＝a ；当点A ，点B 都不在原点时，在如图所示的直角三角形AOB 中，斜边上的中线|OM |＝12|AB |＝12×2a ＝a ，即OM 的长度为定值a ，所以x 2＋y 2＝a ，即x 2＋y 2＝a 2.所以点222.知识点三代入法求轨迹方程5.已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA ＝AP ，则点P 的轨迹方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝2xC ．y ＝2x －8D ．y ＝2x ＋4解析：设点P (x ，y )，R (x 0，y 0)，因为A (1,0)，所以RA →＝(1－x 0，－y 0)，AP →＝(x －1，y )，因为RA →＝AP →，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝x －1，－y 0＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2－x ，y 0＝－y .代入直线y ＝2x －4，得y ＝2x .故选B. 答案：B6．已知直线l ：2x ＋4y ＋3＝0，P 为l 上的动点，O 为坐标原点，点Q 分线段OP 为12两部分，则点Q 的轨迹方程为________________．解析：设点Q 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 1，y 1)．∵Q 分线段OP 为12，∴OQ →＝12QP →.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 11＋12，y ＝12y 11＋12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ，y 1＝3y .∵点P 在直线l 上，∴2x 1＋4y 1＋3＝0.把x 1＝3x ，y 1＝3y 代入并化简，得2x ＋4y ＋1＝0，即为所求轨迹方程． 答案：2x ＋4y ＋1＝0综合应用7.已知△ABC 中，A (－y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 的重心G 的轨迹方程．⎝⎛⎭⎫提示：△ABC 的重心G 的坐标为⎝⎛⎭⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3解析：设△ABC 重心G 的坐标为(x ，y )，顶点C 的坐标为(x 1，y 1)， 由重心坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋0＋x13，y ＝0－2＋y 13，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ＋2，y 1＝3y ＋2.因为点C (x 1，y 1)在曲线y ＝3x 2－1上， 所以3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1，化简得y ＝9x 2＋12x ＋3，即△ABC 的重心G 的轨迹方程为y ＝9x 2＋12x ＋3. 8．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．解析：(1)将圆C 1的方程化为标准方程为C 1：(x －3)2＋y 2＝4，故圆心C 1的坐标为(3,0)．(2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94. 结合图可知，线段AB 的中点M 的轨迹C 是⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94在圆C 1：(x －3)2＋y 2＝4内的部分．由|C 1M |<2，即y 2＋(x －3)2<2，解得x >53.即轨迹C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94⎝⎛⎭⎫53<x ≤3.基础达标一、选择题1．已知动点M (x ，y )到直线l ：3x ＋4y ＋1＝0的距离等于1，则点M 的轨迹方程为( ) A ．3x ＋4y ＋2＝0B ．3x ＋4y ＋2＝0和3x ＋4y ＝0C ．3x ＋4y ＋6＝0D ．3x ＋4y ＋6＝0和3x ＋4y －4＝0 解析：由题意知|3x ＋4y ＋1|32＋42＝1，∴3x ＋4y ＋1＝±5.∵点M 的轨迹方程为3x ＋4y ＋6＝0和3x ＋4y －4＝0. 答案：D 2．已知分别过点A (－1,0)和点B (1,0)的两条直线相交于点P ，若两直线的斜率之积为－1，则动点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1)C ．x 2＋y 2＝1(x ≠0) D ．y ＝1－x 2解析：设P (x ，y )，则由题意得y x ＋1·yx －1＝－1，化简得x 2＋y 2＝1(x ≠±1)．答案：B3．平面上有三点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程是( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：∵A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )．∴AB →＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2，BC →＝⎝⎛⎭⎫x ，y 2.∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，∴2·x －y 2·y2＝0，得y 2＝8x .答案：A4．一条线段的长等于10，两端点A ，B 分别在x 轴和y 轴上滑动，M 在线段AB 上且AM →＝4MB →，则点M 的轨迹方程是( )A ．x 2＋16y 2＝64B ．16x 2＋y 2＝64C ．x 2＋16y 2＝8D ．16x 2＋y 2＝8解析：设M (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则a 2＋b 2＝100.∵AM →＝4MB →，∴(x －a ，y )＝4(－x ，b －y )，∴⎩⎨⎧ x ＝a 5，y ＝4b5，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5x ，b ＝54y ，代入a 2＋b 2＝100， 得25x 2＋2516y 2＝100，即16x 2＋y 2＝64，故选B.答案：B5．若方程x －2y －2k ＝0与2x －y －k ＝0所表示的两条曲线的交点在方程x 2＋y 2＝9所表示的曲线上，则k 等于( )A ．±3B ．0C ．±2D ．一切实数解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2k ＝0，2x －y －k ＝0，得交点(0，－k )，将点(0，－k )代入x 2＋y 2＝9中得k ＝±3.答案：A6．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，那么点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析：设P 点的坐标为(x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋y 2＝4，所以点P 的轨迹所包围的图形的面积等于4π.答案：B7．已知两点A (2，0)，B (－2，0)，点P 为平面内一动点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，且P A →·PB →＝2PQ →2，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝2B ．y 2－x 2＝2C ．x 2－2y 2＝1D ．2x 2－y 2＝1解析：设动点P 的坐标为(x ，y )，则点Q 的坐标为(0，y )，PQ →＝(－x,0)，P A →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，P A →·PB →＝x 2－2＋y 2.由P A →·PB →＝2PQ →2，得x 2－2＋y 2＝2x 2，∴所求动点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝2.答案：B8．点A (2,0)，点B 在圆x 2＋y 2＝1，点C 是∠AOB 的角平分线与线段AB 的交点，则当点B 运动时，点C 的轨迹方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x －232＋y 2＝49B.⎝⎛⎭⎫x ＋232＋y 2＝49C.⎝⎛⎭⎫x －132＋y 2＝49D.⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49解析：设B (x 0，y 0)，C (x ，y )由|OA ||OB |＝2，得AC →＝2CB →，即(x －2，y )＝2(x 0－x ，y 0－y )⇒⎩⎨⎧x 0＝32x －1，y 0＝32y ，因为点B (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，代入后化简得⎝⎛⎭⎫x －232＋y 2＝49，故选A. 答案：A 二、填空题9．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (x ，y )，B (－1,0)，C (1,0)，若△ABC 的面积为定值2，则顶点A 的轨迹方程为________________．解析：已知A (x ，y )到BC 边的距离为|y |，则S △ABC ＝12|BC |·|y |＝|y |＝2，即y ＝±2.答案：y ＝±210．已知三点O (0,0)，A (－2,1)，B (2,1)，曲线C 上任意一点M (x ，y )满足|MA →＋MB →|＝OM →·(OA →＋OB →)＋2，则曲线C 的方程为________________．解析：由题意知MA →＝(－2－x,1－y )，MB →＝(2－x,1－y )，从而|MA →＋MB →|＝(－2x )2＋(2－2y )2，又OM →·(OA →＋OB →)＝(x ，y )·(0,2)＝2y ， 则得(－2x )2＋(2－2y )2＝2y ＋2，化简得x 2＝4y .故曲线C 的方程为x 2＝4y . 答案：x 2＝4y11．过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为________________．解析：设圆C 的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 圆心(a ，b )到直线x －y －1＝0的距离 d ＝|a －b －1|2＝r ，①又圆C 过A (4,1)，B (2,1)， ∴(4－a )2＋(1－b )2＝r 2，② (2－a )2＋(1－b )2＝r 2，③由①②③，得a ＝3，b ＝0，r ＝2，∴圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2. 答案：(x －3)2＋y 2＝212．已知圆C ：x 2＋y 2＝4，过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设直线m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ →＝OM →＋ON →，则动点Q 的轨迹方程为________________．解析：设点M 的坐标为(x 0，y 0)，点Q 的坐标为(x ，y )，则点N 的坐标为(0，y 0)．∵OQ →＝OM →＋ON →，∴(x ，y )＝(x 0,2y 0)，即x 0＝x ，y 0＝y 2.又x 20＋y 20＝4，∴x 2＋y 24＝4.∵直线m 平行于x轴，∴y ≠0，∴点Q 的轨迹方程为y 216＋x 24＝1(y ≠0)．答案：y 216＋x24＝1(y ≠0)三、解答题13．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程． 解析：如图，设OQ 为过O 点的一条弦，P (x ，y )为弦的中点，则CP ⊥OQ ，设M 为OC 的中点，则M 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，0.∵∠OPC ＝90°，∴动点P 在以点M ⎝⎛⎭⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上，∴弦的中点的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14(0<x ≤1)． 14．已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.求动圆圆心的轨迹C 的方程．解析：如图，设动圆圆心O 1(x ，y )， 由题意知， |O 1A |＝|O 1M |.①当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ， 则H 是MN 的中点， ∴|O 1M |＝x 2＋42. 又|O 1A |＝(x －4)2＋y 2，∴(x －4)2＋y 2＝x 2＋42.化简得y 2＝8x (x ≠0)；②当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x . ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .能力提升15.△ABC ABC 内切圆上一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2的最小值与最大值．解析：以C 为原点O ，CB 、CA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于AC ＝3，BC ＝4，得C (0,0)，A (0,3)，B (4,0)．设△ABC 内切圆的圆心为(r ，r )，由△ABC 的面积＝12×3×4＝12×3r ＋12×4r ＋12×5r ，得r ＝1，于是内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y －1，由(x －1)2≤1⇒0≤x ≤2.设P (x ，y )，那么|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋(y －3)2＋(x －4)2＋y 2＋x 2＋y 2＝3(x 2＋y 2)－8x －6y ＋25＝3(2x ＋2y －1)－8x －6y ＋25＝22－2x ，那么当x ＝0时，|P A |2＋|PB |2＋|PC |2取最大值为22，当x ＝2时取最小值为18.16．已知A 在y 轴正半轴上，为定点，线段BC 在x 轴上滑动，已知|BC |＝4，A 到x 轴的距离为3，求△ABC 外心的轨迹方程．解析：解法一 如图所示，根据题意建立平面直角坐标系，则A 点坐标为(0,3)． 设△ABC 的外心P (x ，y )， ∵P 在BC 的垂直平分线上， ∴B (x ＋2,0)，C (x －2,0)． ∵P 也在AB 的垂直平分线上， ∴|P A |＝|PB |， 即x 2＋(y －3)2＝22＋y 2，化简得x 2－6y ＋5＝0.∴△ABC 外心的轨迹方程为x 2－6y ＋5＝0.解法二 所建坐标系同解法一，则A (0,3)，设△ABC 的外心为P (x ，y )， 又设BC 的垂直平分线方程为x ＝t ， 则点B (t ＋2,0)，AB 中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t ＋22，32，∴AB 的垂直平分线方程为y －32＝t ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －t ＋22. ∵P 是AB ，BC 的垂直平分线的交点，∴由⎩⎨⎧x ＝t ，y －32＝t ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －t ＋22，消去t 得x 2－6y ＋5＝0， ∴△ABC 外心的轨迹方程为x 2－6y ＋5＝0.。

2.1.2求曲线的方程一、基础过关1．若点M到两坐标轴的距离的积为2 012，则点M的轨迹方程是() A．xy＝2 012 B．xy＝－2 012C．xy＝±2 012 D．xy＝±2 012 (x>0)2．在第四象限内，到原点的距离等于2的点M的轨迹方程是() A．x2＋y2＝4B．x2＋y2＝4 (x>0)C．y＝－4－x2D．y＝－4－x2(0<x<2)3．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是() A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2 (x≠±2) D．x2＋y2＝4 (x≠±2)4．与点A(－1,0)和点B(1,0)的连线的斜率之积为－1的动点P的轨迹方程是() A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1(x≠±1)C．y＝1－x2D．x2＋y2＝9(x≠0)5．已知A(2,5)、B(3，－1)，则线段AB的方程是__________________．6．“点M在曲线y＝|x|上”是“点M的两坐标轴距离相等”的__________条件．7．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于() A．πB．4πC．8πD．9π二、能力提升8．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是() A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝09．若动点P在y＝2x2＋1上移动，则点P与点Q(0，－1)连线的中点的轨迹方程是__________．10．等腰三角形ABC中，若一腰的两个端点分别为A(4，2)，B(－2，0)，A为顶点，求另一腰的一个端点C的轨迹方程．11．A为定点，线段BC在定直线l上滑动．已知|BC|＝4，A到l的距离为3，求△ABC的外心的轨迹方程．12．已知△ABC的两顶点A、B的坐标分别为A(0,0)、B(6,0)，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC重心的轨迹方程．三、探究与拓展13.如图所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N)为切点，使得|PM|＝2|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．答案1．C 2.D 3.D4．B5．6x＋y－17＝0 (2≤x≤3)6．充分不必要7.B8．B9．y＝4x210．解设点C的坐标为(x，y)，∵△ABC为等腰三角形，且A为顶点．∴AB＝AC.又∵AB＝(4＋2)2＋22＝210，∴AC＝(x－4)2＋(y－2)2＝210.∴(x－4)2＋(y－2)2＝40.又∵点C不能与B重合，也不能使A、B、C三点共线．∴x≠－2且x≠10.∴点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝40 (x≠－2且x≠10)．11．解建立平面直角坐标系，使x轴与l重合，点A在y轴上(如图所示)，则A(0,3)．设外心P(x，y)．∵点P在BC的垂直平分线上，∴B(x＋2,0)、C(x－2,0)．∵点P也在AB的垂直平分线上，∴|PA|＝|PB|，即x2＋(y－3)2＝22＋y2.化简得x2－6y＋5＝0.这就是所求的轨迹方程．12．解设G(x，y)为所求轨迹上任一点，顶点C的坐标为(x′，y′)，则由重心坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0＋6＋x ′3，y ＝0＋0＋y ′3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝3x －6，y ′＝3y .∵顶点C (x ′，y ′)在曲线y ＝x 2＋3上， ∴3y ＝(3x －6)2＋3，整理，得y ＝3(x －2)2＋1. 故所求轨迹方程为y ＝3(x －2)2＋1. 13．解 以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴， 建立如图所示的坐标系， 则O 1(－2,0)，O 2(2,0)．由已知|PM |＝2|PN |，∴|PM |2＝2|PN |2.又∵两圆的半径均为1，∴|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)． 设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]， 即(x －6)2＋y 2＝33.∴所求动点P 的轨迹方程为 (x －6)2＋y 2＝33 (或x 2＋y 2－12x ＋3＝0)．。

技能演练基础强化1．命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下面命题中正确的是()A．方程f(x，y)＝0的曲线是CB．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是CC．f(x，y)＝0是曲线的方程D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线上解析由题设知曲线C与方程f(x，y)＝0不是对应关系，所以答案B正确．答案 B2．下列各对方程中，表示相同曲线的一组是()A．y＝x与y＝x2B．(x－1)2＋(y＋2)2＝0与(x－1)(y＋2)＝0C．y＝1x与xy＝1D．y＝lg x2与y＝2lg x解析易知A、B、D中两方程不是同一曲线，C中两方程表示的是同一曲线，故应选C.答案 C3．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是()A．两个点B．四个点C．两条直线D．四条直线解析由方程⇔x2－4＝0且y2－4＝0，即x＝±2且y＝±2，因此方程表示四个点(2,2)，(2，－2)，(－2,2)，(－2，－2)．答案 B4．已知0≤α≤2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为( )A.π3B.5π3C.π3或5π3D.π3或π6解析 依题意有(cos α－2)2＋sin 2α＝3，化简得cos α＝12，又0≤α≤2π，∴α＝π3或5π3，故选C.答案 C5．直线x －y ＝0与曲线xy ＝1的交点是( ) A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(1,1)和(－1，－1)D ．(0,0)解析⎩⎨⎧x －y ＝0，xy ＝1，⇒⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1.∴直线x －y ＝0与曲线xy ＝1的交点是(1,1)和(－1，－1)． 答案 C6．方程y ＝|x |x2表示的曲线是( )解析y＝|x|x2＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，(x>0)，－1x，(x<0)，且y>0，还是偶函数，故应选D.答案 D能力提升7．若曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)(a∈R)，则k的取值范围是________．解析依题意，知a2＝a(－a)＋2a＋k，∴k＝2a2－2a＝2(a－12)2－12.∵a∈R，∴k≥－12.答案：[－12，＋∞)8．如下图，在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称，且OP →·MN →＝4，则动点P 的轨迹方程为________．解析 依题意可知M (0，y )，N (x ，－y )， ∴OP→＝(x ，y )，MN →＝(x ，－2y )． 由OP →·MN →＝4，得x 2－2y 2＝4，这就是点P 的轨迹方程． 答案：x 2－2y 2＝49．已知定点A ，B ，且AB ＝2a (a >0)，如果动点P 到点A 的距离和到点B 的距离之比为21，求点P 的轨迹方程．解 以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．则A(－a,0)，B(a,0)．设点P的坐标为(x，y)，由题意得|PA||PB|＝2，即(x＋a)2＋y2 (x－a)2＋y2＝2.化简整理得3x2－10ax＋3y2＋3a2＝0.即(x－53a)2＋y2＝169a2(a>0)为所求的轨迹方程．10．如图所示，从曲线x2－y2＝1上一点Q引直线l：x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程．解 设P 点的坐标为(x ，y )，曲线上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，因为点P 是线段QN 的中点，所以N 的坐标为(2x －x 0,2y －y 0)．又点N 在直线l 上， ∴2x －x 0＋2y －y 0＝2即x 0＋y 0＝2x ＋2y －2. ① 又QN ⊥l ，∴k QN ＝2y －y 0－y 02x －x 0－x 0＝1即x 0－y 0＝x －y . ② 由①②得 x 0＝12(3x ＋y －2)y 0＝12(x ＋3y －2)．又因为点Q 在曲线上，∴14(3x ＋y －2)2－14(x ＋3y －2)2＝1 化简整理得 (x －12)2－(y －12)2＝12.故线段QN 的中点P 的轨迹方程为 (x －12)2－(y －12)2＝12.品 味 高 考11．直角坐标平面xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则P 点的轨迹方程为________．解析 ∵OP →·OA →＝4， ∴(x ，y )·(1,2)＝4. ∴x ＋2y ＝4. 答案 x ＋2y －4＝012．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析 设P (x ，y )， 由|PA |＝2|PB |，得 (x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，化简整理，得x2－4x＋y2＝0即(x－2)2＋y2＝4.所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆．故S＝4π.答案 B。