河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试(文数)

2016～2017学年度第二学期高三年级二调考试一、选择题ABCCD ADDCB CD二、填空题5 2- 4 191622=+y x . 三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18. 解：（1）当日需求量n ≥20时，利润y=1000；当日需求量n ＜20时，利润y=50n ﹣20（20﹣n ）=70n ﹣400；（4分） ∴利润y 关于当天需求量n 的函数解析式y=（n ∈N *）（2）（i ）这100天的日利润的平均数为=937；（9分）（ii ）当天的利润不少于900元，当且仅当日需求量不少于19个，故当天的利润不少于900元的概率为P=0.2+0.14+0.13+0.13+0.1=0.7．（12分）19. （本题满分12分）（1）证明：连接AO ，在1AOA ∆中，作1OE AA ⊥于点E ，因为11//AA BB ，得1OE BB ⊥，因为1A O ⊥平面ABC ，所以1A O BC ⊥，因为,AB AC OB OC ==，得AO BC ⊥，所以BC ⊥平面1AA O ，所以BC OE ⊥，所以OE ⊥平面11BB C C ，又2211,5AO AB BO AA =-==，得2155AO AE AA ==．．．．．．．．5分 （2）由已知可得11ABB A Y 的高2212262()55h =+=，11BCC B Y 的高222215h =+=⇒2S =⨯侧()265454565⨯+⨯=+．．．．．．．12分 20. （Ⅰ）由题设可得(2,)M a a ，(22,)N a -，或(22,)M a -，(2,)N a a .∵12y x '=，故24x y =在x =22a 处的到数值为a ，C 在(22,)a a 处的切线方程为(2)y a a x a -=-，即0ax y a --=.故24x y =在x =-22a 处的到数值为-a ，C 在(22,)a a -处的切线方程为(2)y a a x a -=-+，即0ax y a ++=.故所求切线方程为0ax y a --=或0ax y a ++=. ……5分 （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=.∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a +. 当b a =-时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意. ……12分 21.若54a <-，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg f ==<,故x =1不是()h x 的零点. 当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在（0,1）的零点个数.(ⅰ)若3a ≤-或0a ≥，则2()3f x x a '=+在（0,1）无零点，故()f x 在（0,1）单调，而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a ≤-时，()f x 在（0，1）有一个零点；当a ≥0时，()f x 在（0，1）无零点.(ⅱ)若30a -<<，则()f x 在（0，3a -）单调递减，在（3a -，1）单调递增，故当x =3a-时，()f x 取的最小值，最小值为()3a f -=21334aa -+. ①若()3af -＞0，即34-＜a ＜0，()f x 在（0,1）无零点. ②若()3af -=0，即34a =-，则()f x 在（0,1）有唯一零点； ③若()3af -＜0，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a -<<-时，()f x 在（0,1）有两个零点；当534a -<≤-时，()f x 在（0,1）有一个零点.…10分综上，当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点. ……12分故)max3+12+4t t-=.。

河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合{A k =∈N |}N ,{|2B x x n ==或3,x n n =∈}N ,则A B =（ ）A ．{}6,9B ．{}3,6,9C ．{}1,6,9,10D ．{}6,9,102. 若复数z 满足()2z 12i 13i (i -+=+为虚数单位),则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知命题:p 一组数据的平均数一定比中位数小;命题:1,1,log 2log a b q a b b a ∀>>+≥( ）A ． p q ∧B ．()p q ⌝∧ C.()p q ∧⌝D ．()p q ∨⌝ 4. 设函数()4,12,1xx a x f x x +<⎧=⎨≥⎩，若243f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数a =（ ）A ．23- B ．43- C 。

43-或 23-D ．2-或 23-5.若实数,x y 满足条件21022030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩,则432z x y =-+的最大值为（ ）A ．14- B ．4- C 。

419-D ．423-6。

运行如图所示的程序框图，输出的结果S 等于( ）A ．9B ．13 C. 15 D ．257. 若以2为公比的等比数列{}nb 满足2221loglog 23n n b b n n +⋅-=+，则数列{}n b 的首项为（ ）A ．12B ．1 C.2D ．48.已知函数()g x 的图象向左平移13个单位所得的奇函数()()()cos 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示,且MNE ∆是边长为1的正三角形，则()g x 在下列区间递减的是（ ）A ．53,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．94,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C 。

河北省衡水2017届高三下学期第二次摸底考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{A k =∈N |}N ，{|2B x x n ==或3,x n n =∈}N ，则A B = （ ）A ．{}6,9B ．{}3,6,9C ．{}1,6,9,10D ．{}6,9,10 2. 若复数z 满足()2z 12i 13i (i -+=+为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知命题:p一组数据的平均数一定比中位数小；命题:1,1,log 2log a b q a b b a ∀>>+≥ （ ）A ． p q ∧B ．()p q ⌝∧ C. ()p q ∧⌝ D ．()p q ∨⌝ 4. 设函数()4,12,1xx a x f x x +<⎧=⎨≥⎩，若243f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数a =（ ）A ．23-B ．43- C. 43-或 23- D ．2-或 23-5. 若实数,x y 满足条件21022030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则432z x y =-+的最大值为（ ）A ．14-B ．4- C.419- D ．423- 6. 运行如图所示的程序框图，输出的结果S 等于（ ）A ．9B ．13 C. 15 D ．25 7. 若以2为公比的等比数列{}n b 满足2221log log 23n n b b n n +⋅-=+，则数列{}n b 的首项为（ ）A ．12B ．1 C.2 D ．4 8.已知函数()g x 的图象向左平移13个单位所得的奇函数()()()cos 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，且MNE ∆是边长为1的正三角形，则()g x 在下列区间递减的是 （ ）A ．53,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．94,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,26⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 9. 已知12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点，,M N 分别是双曲线C 的左、右支上关于y 轴对称的两点，且1222F F ON MN ==，则双曲线C 的两条渐近线的斜率之积为（ ）A ．4-B ．4--3--D ．4--10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．28+．36+C. 36+．44+11.椭圆()222101y x b b+=<<的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若FAB ∆的外接圆圆心(),P m n 在直线y x =-的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）A ．2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.0,2⎛ ⎝⎭D ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ 12. 设函数()3(x g x e x a a =+-∈R,e 为自然对数的底数），定义在R 上的连续函数()f x 满足：()()2f x f x x -+=，且当0x <时，()'f x x <，若存在()(){}0|222x x f x f x x ∈+≥-+，使得()()00g g x x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．(],2e -∞+ C. 1,2e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦D ．(2⎤-∞⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二 2000人、高三n 人中，抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为 ． 14.Rt ∆ABC 中，,4,5,(,2A AB AC AM AB AC πλμλμ=====+∈R)），若AM BC ⊥，则λμ= ． 15. 《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里.良马初日行一百零三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢？”其大意:“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是1125里.良马第一天走103里，之后每天比前一天多走13里.驽马笫一天走97里，之后每天比前一天少走0.5里.良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中驽马从出发到相遇行走的路程为 里.16.点M 是棱长为1111ABCD A BC D -的内切球O 球面上的动点，点N 为11B C 上一点，112,NB NC DM BN =⊥，则动点M 的轨迹的长度为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知24cos 4sin sin 32B CB C --=. （1）求A ；（2）若(22cos cos bc A a B a b -+=-，求ABC ∆面积.18. 如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数()AQI 小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.（1）若该人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市，到达后停留3天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气重度污染的天数为1天的概率；（2）若该人随机选择3月7日至3月12日中的2天到达该市，求这2天中空气质量恰有1天是重度污染的概率.19. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//,2AB CD AB DC AC BD F === ，且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，G 为PAD ∆的重心.（1）求证：//GF 平面PDC ； （2）求点G 到平面PCD 的距离.20. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为,F A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D .（1）若当点A 的横坐标为3，且ADF ∆为等腰三角形，求C 的方程； （2）对于（1）中求出的抛物线C ，若点()001,02D x x ⎛⎫≥⎪⎝⎭，记点B 关于x 轴的对称点为,E AE 交x 轴于点P ，且AP BP ⊥，求证：点P 的坐标为()0,0x -，并求点P 到直线AB的距离d 的取值范围. 21. 函数()21ln (2f x x x ax a =++∈R)，()232=+x g x e x . （1）讨论()f x 的极值点的个数； （2）若()()0,x f x g x ∀>≤. ①求实数a 的取值范围；②求证：0x ∀>，不等式()212x ee x e x x+-++>成立. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (2sin x a tt y t=⎧⎨=⎩为参数，0a >）. 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当a =P 到直线l 的距离的最大值； （2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()2,f x x m x m =--∈N *，且()4f x <恒成立. （1）求实数m 的值；（2）若()()()()0,1,0,1,3f f αβαβ∈∈+=，求证：4118αβ+≥.河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学（文）试题参考答案一、选择题1-5: DCBAD 6-10: CDBCB 11-12：AB二、填空题13. 24 14.2516 15. 855 16.5三、解答题17. 解：(1)()()1cos 44sin sin 22cos cos 2sin sin 22cos 2B C B C B C B C B C +-⨯-=+-=++122cos 3,cos 2A A =-==-,20,3A A ππ<<∴= .(2)(2222222222b c a a c b bc ac a b bc ac +-+--⋅+⋅=- ,22222222222222b c a b c a a c b a b bc +-+-+-∴-+=-,22222222220,,023b c a b c a A b c a bc π+-∴+--==∴+-≠ ,11310,sin 222ABC bc S bc A ∆∴====⨯=. 18. 解：(1)设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”()1,2,...,14i =.依题意知，()114i P A =，且()i j A A i j =∅≠ . 设B 为事件“此人停留期间空气重度污染的天数为1天” ，则356710B A A A A A = ，所以()()()()()()356710514P B P A P A P A P A P A == ，即此人停留期间空气重度污染的天数为1天的概率为514. (2) 记3月7日至3月12日中重度污染的2天为,E F ，另外4天记为,,,a b c d ，则6天中选2天到达的基本事件如下：()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a E a F b c b d ， ()()(),,,,,d E d F E F 共15种，其中2天恰有1天是空气质量重度污染包含()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,a E a F b E b F c E c F d E d F这8个基本事件，故所求事件的概率为815. 19. 解：(1)连接AG 并延长交PD 于H ，连接CH .由梯形,//ABCD AB CD 且2AB DC =，知21AF FC =，又G 为PAD ∆的重心，21AG GH ∴=，在AHC ∆中，21AG AF GH FC ==，故//GF HC .又HC ⊂平面,PCD GF ⊄平面,//PCD GF ∴平面PDC.(2)连接PG 并延长交AD 于E ，连接BE ，因为平面PAD ⊥平面,ABCD PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，E ∴为AD 的中点，,,PE AD BE AD PE ∴⊥⊥∴⊥平面ABCD ，且3PE =.由（1）知//GF 平面1,3G PCD F PCD P CDF CDF PDC V V V PE S ---∆∴===⨯⨯.又由梯形,//ABCD AB CD，且2AB DC ==13DF BD ==又ABD ∆为正三角形，得160,sin 2CDF CDF ABD S CD DF BDC ∆∠=∠=∴=⨯⨯⨯∠=，得13P CDF CDF V PE S -∆=⨯⨯=所以三棱锥G PCD -的体积为2.又2,3,3CD DE CDE CE PC π==∠=∴=== 在PCD ∆中，3121811cos ,sin 22344244PDC PDC PDC S ∆+-∠==-∠===⨯⨯，故点G 到平面PCD25==. 20. 解：(1) 由题知,0,322p p F FA ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()3,0,D p FD +的中点坐标为33,024p ⎛⎫+⎪⎝⎭，则33324p +=，解得2p =，故C 的方程为24y x =. (2) 依题可设直线AB 的方程为()()()011220,,,,x my x m A x y B x y =+≠，则()22,E x y -，由204y xx my x ⎧=⎨=+⎩消去x ，得220001440,.161602y my x x m x --=≥∴∆=+> ，121204,4y y m y y x +==-，设P 的坐标为(),0P x ，则()()2211,,,P P PE x x y PA x x y =--=-，由题知//PE PA ，所以()()21210P P x x y y x x -+-=，即()()221212211221211244P y y y y y y y y x y y x y y x +++=+==，显然1240y y m +=≠，所以1204P y y x x ==-，即证()0,0P x x -，由题知EPB ∆为等腰直角三角形，所以1AP k =，即12121y y x x +=-，也即()122212114y y y y +=-，所以()21212124,416y y y y y y -=∴+-=，即22000161616,1,1m x m x x +==-<，又因为012x ≥，所以011,2x d ≤<===，令()220224,2,2t t x t d t t t ⎛-=∈=-==- ⎝⎦，易知()42f t t t =-在⎛ ⎝⎦上是减函数，所以2d ⎫∈⎪⎪⎣⎭. 21. 解：(1)()()[)1',0,'2,f x x a x f x a x=++>∴∈++∞ . ① 当20a +≥，即[)2,a ∈-+∞时，()'0f x ≥对0x ∀>恒成立，()f x 在()0,+∞ 上单调递增，()f x 没有极值点. ②当20a +<，即(),2a ∈-∞-时，方程210x ax ++=有两个不等正数解12,x x ，()()()()21211'0x x x x x ax f x x a x x x x--++=++==>，不妨设120x x <<，则当()10,x x ∈时，()()'0,f x f x >递增，当()12,x x x ∈时，()()'0,f x f x <递减，当()2,x x ∈+∞时，()()'0,f x f x >递增，所以12,x x 分别为()f x 的极大值点和极小值点. ()f x 有两个极值点.综上所述，当[)2,a ∈-+∞时，()f x 没有极值点，当(),2a ∈-∞-时，()f x 有两个极值点.(2) （i ）()()2ln xf xg x e x x ax ≤⇔-+≥,由0x >，即2ln x e x xa x+-≤对于0x ∀>恒成立，设()()()22212ln ln (0),'xx x e x x e x x e x x x x x x x x ϕϕ⎛⎫+--+- ⎪+-⎝⎭=>=()()()21ln 11x e x x x x x-+++-=，0,x >∴ 当()0,1x ∈时，()()'0,x x ϕϕ<递减，当()1,x ∈+∞时，()()'0,x x ϕϕ>递增，()()11,1x e a e ϕϕ∴≥=+∴≤+.（ii ）由（i ）知，当1a e =+时，有()()f x g x ≤，即()()22231ln 11ln 22x x e x x x e x e x e x x +≥+++⇔+-+≥， ① 当且仅当1x =时取等号. 以下证明ln 2e x x +≥，设()()221ln ,'e e x ex x x x x x xθθ-=+=-=，所以当()0,x e ∈时，()()'0,x x θθ<递减，当(),x e ∈+∞时，()()'0,x x θθ>递增，()()2,ln 2ex e x xθθ∴≥=∴+≥， ② 当且仅当x e =时取等号. 由于①②等号不同时成立，故有()212x ee x e x x+-++>. 22. 解：(1)由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭)cos sin 22ρθρθ-=-方程，得()2x y -=-l 的方程为40x y -+=，依题意，设(),2sin P t t ，则P 到直线l的距离6d t π⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，当26t k ππ+=，即2,6t k k Z ππ=-∈时，max d ==，故点P 到直线l 的距离的最大值为(2)因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，t ∴∀∈R ，cos 2sin 40-+>a t t 恒成立，即()4t ϕ+-（其中2tan aϕ=）恒成立，4，又0a >，解得0a <<a 取值范围为(.23. 解：（1）222x m x x m x m --≤--= ,要使24x m x --<恒成立，则2m <，解得22m -<<.又m ∈ N *，1∴=m .（2）()()()()0,1,0,1,22223f f αβαβαβ∈∈∴+=-+-= ，即()141414,22525182βααβαβαβαβαβ⎛⎛⎫⎛⎫+=∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4βααβ=，即11,36αβ==时取等号，故4118αβ+≥.。

7.已知数列 为等差数列， 为前 项和，公差为 ，若 ，则 的值为（）
A. B. C.10 D.20
【答案】B.
8.若函数 的部分图象如图所示，则关于 描述中正确的是（）
A. 在 上是减函数B. 在 上是减函数
C. 在 上是增函数D. 在 上是增函数
【答案】C.
考点：三角函数的图象和性质.
9.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则（）
∴ ，因此有 为定值；（2）设存在直线 ： 满足条件，则 的中点 ， ，因此以 为直径的圆的半径 ，
点到直线 的距离，
∴所截弦长为 ，
当 即 时，弦长为定值2，这时直线方程为 .
【思路点睛】求解定值问题的方法一般有两种：1.从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；2.直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合 ， ，则如图所示表示阴影部分表示的集合为（）
A. B. C. D.
2.已知向量 ， ，且 ，则实数 的值为（）
A.0 B.2 C.-2或1 D.-2
【答案】B.
（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量 和中位数；
（2）将 表示为 的函数；
（3）根据直方图估计利润 不少于4800元的概率
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
试题分析：（1）根据频率直方图的数据结合中位数的定义即可求解；（2）根据 的取值范围分类讨论即可求解；（3）首先求得 的取值范围，再结合频率直方图即可求解.