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专题1 集合考点1 集合间的基本关系考场高招1 两法搞定集合间的基本关系 1.解读高招 方法 解 读典例指引 列举法利用列举法,根据题中的限定条件把集合的元素表示出来,比较集合中元素的异同,从而找出集合间的关系典例导引1(1)集合元素 特征法 首先确定集合中的元素是什么,弄清集合中元素的特征,然后利用集合中元素的特征判断集合间的关系典例导引1(2)温馨 提醒 研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件.当集合用描述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么2.典例指引(1)(2017河北唐山模拟)已知集合A={-2,-1,0,2,3},B={y|y=x 2-1,x ∈A },则A ∩B 中元素的个数是( ) A.2B.3C.4D.5(2)(2016河北石家庄质检)设集合M={-1,1},N={x|x 2-x<6},则下列结论正确的是( ) A.N ⊆MB.N ∩M=∅C.M ⊆ND.M ∪N=R【答案】 (1)B (2)C3.亲临考场1.(2013课标Ⅰ,理1)已知集合A={x|x 2-2x>0}, ,则( )A .A∩B=∅B .A ∪B=RC .B ⊆AD .A ⊆B【答案】 B ∵x (x-2)>0,∴x<0或x>2. ∴集合A 与B 可用图象表示为: 由图象可以看出A ∪B=R ,故选B .B={x|- 5<x< 5}2.(2012课标,理1)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x ,y )|x ∈A ,y ∈A ,x-y ∈A },则B 中所含元素的个数为( )A.3B.6C.8D.10【答案】 D3.(2017河北冀州模拟)已知集合A={x|x 2-7x<0,x ∈N *},则中元素的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【答案】 D【解析】由A={x|x 2-7x<0,x ∈N *}={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3,6},可得B 中元素的个数为4. 4.(2017湖南长沙模拟)若集合A={y|y=2x ,x ∈R },B={y|y=x 2,x ∈R },则( ) A.A ⫋B B.B ⫋A C.A=B D.A ∩B=∅【答案】 A【解析】∵2x>0,∴A={y|y>0}.∵x 2≥0,∴B={y|y ≥0}.∴A ⫋B.故选A . 考场高招2 利用两集合的关系求参数的值或取值范围 1.解读高招 步骤 解 读1.化简 化简集合,明确集合中元素的性质2.转化 将两集合的关系转化为元素的关系,进而转化为参数满足的关系3.求解 合理利用数轴、Venn 图帮助分析,对参数进行分类讨论4.验证 解题时注意区间端点的取舍2.典例指引(1)已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3 D ．1或3(2)设集合A={x||x-a|<1,x ∈R},B={x|1<x<5,x ∈R}.若A∩B=∅ ,则实数a 的取值范围是( )B= y 6y ∈N *,y ∈AA.{a|0≤a≤6}B.{a|a≤2或a≥4}C.{a|a≤0或a≥6}D.{a|2≤a≤4}【答案】(1)B(2)C3.亲临考场(1)设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( ) A ．－1<a ≤2 B ．a >2 C ．a ≥－1 D ．a >－1【答案】D【解析】因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a >－1.(2)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 【答案】D【解析】由题意可得{a ，a 2}＝{4,16}，∴a ＝4.(3)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[－1,3] C ．[2，＋∞) D ．[－1，＋∞)【答案】D【解析】由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}．又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)．(4)已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,1) D ．(1，＋∞)【答案】B【解析】由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.(5)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为__________． 【答案】 －32(6)设不等式4－x x －2>0的解集为集合A ，关于x 的不等式x 2＋(2a －3)x ＋a 2－3a ＋2<0的解集为集合B .若A ⊇B ，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[－2，－1]【解析】由题意知A ＝{x |(4－x )·(x －2)>0}＝{x |2<x <4}，B ＝{x |(x ＋a －2)(x ＋a －1)<0}＝{x |1－a <x <2－a }．若A ⊇B ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≥2，2－a ≤4，可得－2≤a ≤－1.考点2 集合的基本运算考场高招3 三法(定义法、数轴法、Venn 图法)解决集合的基本运算 1.解读高招方法 解读适合题型典例指引1定义 法交集元素仔细找，属于A 且属于B ；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U 是大范围，去掉U 中A 元素，剩余元素成补集．集合中元素具体、有限典例指引例3（1） 方法一2数轴 法①化简集合;②将集合在数轴上表示出来;③进行集合运算求范围,重叠区域为集合的交集,合并区域代表集合的并集。
第一板块必修1第一章集合与函数概念【学科点悟】传道解惑，高屋建瓴高考纵横:集合与函数是数学中重要的基础概念之一,是学生进一步学习的高等数学的基础课程,包括极限理论、微积分学、微分方程和泛函分析等,无一不是以集合与函数作为基本概念和研究对象的.其它学科,如物理学科等,也是以集合与函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具.集合与函数的教学内容蕴含着极其丰富的辩证思想,是对进行辩证唯物主义观点教育的好素材.通过使用集合语言，有利于简洁、准确地表达数学内容，高中数学课程只将集合作为一门语言来学习，要求学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力．而新课标高考中集合知识的考查主要在于集合语言与集合思想的运用, 以集合为背景的试题具有构思巧妙、独特新颖、解法灵活,其必将是今年高考“出活题,考能力的一个亮点”.新课标高考中函数知识占有极其重要的地位.其试题不但形式多样，而且突出考查学生联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力.知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高，是高考考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地.集合的初步知识与简易逻辑知识，是掌握和使用数学语言的基础.命题趋向:1.重思维.有关集合的高考试题.考查重点是集合与集合之间的关系，新课标试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用文氏图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练.2.多层次. 新课标高考题中，函数题低档、中档，高档难度都有，且选择、填空、解答题题型齐全.低档难度一般仅涉及函数本身的内容．诸如定义域、值域、单调性、周期性、图像、反函数，且对能力的要求不高；中、高档难度题多为综合程度较大的问题，或者是函数与其他知识的整合．或者是多种方法的渗透.状元心得:1.在集合的备考时，既要牢固掌握集合基本概念与运算，又要加强集合与其它数学知识的联系，突出集合的工具性，尤其是熟练进行集合的自然语言、图形语言、符号语言的相互转化.2.对函数有关概念，只有做到准确、深刻地理解，才能正确、灵活地加以运用.所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去考虑，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线等问题.3.函数一章的复习中,善于转化命题，引进变量建立函数，运用变化的方法、观点解决数学试题方能够理解掌握常见题的解题方法和思路. 在此基础上需要构建思维模式，并以此为基础进行转化发展，即在造就思维依托的基础上，还要打破框框，发展能力.学科知识体系结构图:第一节 集合【考点点知】知己知彼，百战不殆集合知识点在新课标高考中均以选择填空题形式出现,一般为中档题，考查点往往是与其它章节的一些知识点交汇考查,体现了数形结合、分类讨论等数学思想方法的重要应用.考题中通过集合语言表达出的数学对象也往往是简洁和准确的，体现数学的简洁美. 考点一: 集合的概念（1）集合的定义：某些指定的对象在一起就成为一个集合.自然数集用N 表示,正整数用N *或N +表示,整数集用Z 表示，有理数集用Q 表示，实数集用R 表示.（2）元素与集合的关系：集合中的每个对象叫做这个集合的元素.集合中的元素通常用小写拉丁字母表表示，如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a A ∈；如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作a A ∉（或a A ∈）.（3）集合的表示方法：集合的表示方法，常用的有列举法和描述法两种.根据元素个数，集合可分为三类：① 有限集：含有有限个元素；② 无限集：含有无限个元素；③ 空集：不含任何元素，用∅表示.考点二: 子集、全集、补集的概念（1）子集与真子集：①对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，记作A ⊆B （或B ⊇A ），即集合A 是集合B 的子集.空集是任何集合的子集，∅⊆A. 任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A.②对于两个集合A 与B ，如果A ⊆B 并且A ≠B ，就说集合A 是集合B 的真子集，记作A ⊂≠B （或B ⊃≠A ）.③空集是任何非空集合的真子集.（2）全集与补集：①设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即A ⊆S ），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集，记作A S ð，即{|}A x x S x A =∈∉且S ð.②如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示.考点三: 交集、并集的概念（1）交集：①由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ，即A ∩B={x |∈A,且x ∈B}②()A B A ⊆ ，()A B B ⊆ ， A A A = ，A ∅=∅ ，A B B A = .（2）并集：①由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A∪B, 即：A ∪B={x |x ∈A ，或x ∈B}.②()A B A ⊇ ，()A B B ⊇ ， A A A = ，A A ∅= ，A B B A = , (ðU A)∪A=U .【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.(基础·2007·广东卷文科1)已知集合M={x|10x +>}，N={x|101x>-}，则M ∩N= A ．{x|-1≤x ＜0} B ．{x |x>1} C ．{x|-1＜x ＜0} D ．{x |x ≥-1}思路透析:由已知条件可得{|10}{|1}M x x x x =+>=>-,{|10}{|1}N x x x x =->=<,∴{|1}{|1}{|11}M N x x x x x x =>-<=-<< ,故应选C.点评:取交集时要注意不等式中不等号的方向,要看清题意,应用数轴求解该类问题可以提高解题的直观性.例 2.(基础·2007宁夏卷文科1)设集合{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，，则A B = （ ）Ａ．{}|2x x >-Ｂ．{}1x x >-| Ｃ．{}|21x x -<<-Ｄ．{}|12x x -<< 思路透析:由已知条件可得{|1}{|22}{|2}A B x x x x x x =>--<<=>- ,故应选A.点评:两个集合取并集时,“取其最大的范围”,少数考生选择B,需要注意的是并集运算中集合的上下界的确定是关键.例3.(综合·2007山东卷理科2文科2)已知集合{11}M =-，，11|242x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M N = （ ） A ．{11}-，B ．{0}C ．{1}-D ．{10}-， 思路透析:由112222x -+<<,x Z ∈可得112,x x Z -<+<∈∴21,x x Z -<<∈, ∴{1,0}N =-, ∴{1,1}{1,0}{1}M N =--=- ,故应选C.点评:本题以指数不等式为背景,将集合运算与不等式解法相交汇, 考查了整数集合间的交集运算,及对基础题的迅速计算的能力.本题易错点有两个,其一是指数不等式的求解,其二是集合中元素特征的错误认识,对于第二个易错点问题在本题中体现得不明显,集合N 求解错误为(2,1)N =-不影响交集运算的结果.例4.(综合·2006盐城三模)对于两个集合1S 、2S 我们把一切有序对),(y x 所组成的集合（其中21,S y S x ∈∈），叫做1S 和2S 的笛卡尔积，记作21S S ⨯.如果{}2,11=S ，{}1,0,12-=S ，则21S S ⨯的真子集的个数为 个.思路透析:由已知可得21S S ⨯={(1,1),(1,0),(1,1),(2,1),(2,0),(2,1)}--,其真子集的个数为62163-=个.点评:本题考查了新定义下集合的运算性质的探究. “笛卡尔积”可以理解为有序的点坐标对为集合的元素,找出所有的元素再利用公式就可以求得真子集的个数.集合作为工具，渗透在其他知识点里面时，需认真分析其他知识，而集合仅是一种载体.例5.(创新探究·2007陕西,12）设集合S={A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算⊕为：A i ⊕A j =A k ,其中k 为i+j 被4除的余数，i,j=0,1,2,3.满足关系式（x ⊕x ）⊕A 2=A 0的x(x ∈S)的个数为A.4B.3C.2D.1思路透析: 本题考查新定义的认识，取特值验证，逐一研究 . {}()200,1,2,3,,S x x A A =⊕⊕=()()()()()()()00000001120,1113=0113102211022220223303320=02C A A A A A A A ⊕⊕==⊕⊕=≠⊕⊕=≠⊕⊕=≠=⊕⊕=≠=⊕⊕=≠=⊕⊕==满足；，不满足;=，不满足；；；满足，综上研究个满足,选.点评:以集合为背景将其它学科的知识交汇于命题之中,是高考集合命题的一大特色,探究解题时紧扣定义及其相互间的联系,巧妙应用特殊化思想可以使解题的思路更为简捷.例 6.(创新探究·2007北京20）已知集合{}12(2)k A a a a k = ，，，≥，其中(12)i a i k ∈=Z ，，，，由A 中的元素构成两个相应的集合： {}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，． 其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ．若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（I ）检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；（II ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)2k k n -≤； （III ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．思路透析:（I ）集合{}0123，，，不具有性质P ．集合{}123-，，具有性质P ，其相应的集合S 和T 是{}(13)(31)S =--，，，，{}(21)23T =-()，，，．（II ）证明：首先，由A 中元素构成的有序数对()i j a a ，共有2k 个．因为0A ∉，所以()(12)i i a a T i k ∉= ，，，，；又因为当a A ∈时，a A -∉时，a A -∉，所以当()i j a a T ∈，时，()(12j i a a T i j k ∉= ，，，，，．从而，集合T 中元素的个数最多为21(1)()22k k k k --=， 即(1)2k k n -≤． （III ）m n =，证明如下：（1）对于()a b S ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A +∈，从而()a b b T +∈，．如果()a b ，与()c d ，是S 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d +=+与b d =中也至少有一个不成立．故()a b b +，与()c d d +，也是T 的不同元素．可见，S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m n ≤，（2）对于()a b T ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A -∈，从而()a b b S -∈，．如果()a b ，与()c d ，是T 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d -=-与b d =中也不至少有一个不成立，故()a b b -，与()c d d -，也是S 的不同元素．可见，T 中元素的个数不多于S 中元素的个数，即n m ≤，由（1）（2）可知，m n =．点评:本例主要是培养考生理解新概念的程度和灵活应用知识的能力,新概念的引入不仅要求能深入理解新概念的信息,而且要能够调出已学习过的概念, 进行相互对照.此类题目难度较大，对集合的考查不是很难，关键是其他方面的知识点的问题，需认真分析，等价转化.【画龙点睛】探索规律，豁然开朗1.规律总结:(1)根据元素与集合的关系，可以分析集合中元素的特征、确定性、互异性和无序性.(2)子集与真子集的区别联系：集合A 的真子集一定是其子集，而集合A 的子集不一定是其真子集；若集合A 有n 个元素，则其子集个数为2n ，真子集个数为21n-.(3)全集是一个相对概念，一个全集又可以是另一个集合的子集或真子集，是我们为研究集合关系临时选定的一个集合.(4)子集、全集、补集等概念实质上即是生活中的“部分”、“全体”、“剩余”等概念在数学中的抽象与反映，当A S ⊆时,S A ð的含义是:从集合S 中去掉集合A 的元素后,由所有剩余的元素组成的新集合.集合A 的元素补上S A ð的元素后可合成集合S .(5)两个结论:①若A B=A ，则A ⊆B ，反之也成立;②A ∪B=B ，则A ⊆B ，反之也成立. 应用这两个结论时一定要注意不要忘记集合A =∅这一个特例.(6)对于交集概念的把握要注意以下三方面:①交集仍是一个集合.②交集中的元素都是两个集合的“公共元素”,即若x A B ∈ ,一定有x A ∈且x B ∈. ③交集中包括了两集合的全体公共元素,即若x A ∈且x B ∈,一定有x A B ∈ .（2）对于并集的理解应注意: 若x A B ∈ ,则有三种可能①x A ∈但x B ∉; ②x B ∈但x A ∉; ③x A ∈且x B ∈.2.学以致用:(1)已知全集{1,2,3,4,5,6}U =,集合{1,2,3,4}P =,{2,3,4,6}Q =,则()()P Q U U 痧中元素个数为 ( )A. 0B. 1C. 3D. 5(2)设全集R U =，集合},1|{},1|{2>=>=x x P x x M 则下列关系中正确的是( ) Ａ．N M = Ｂ．P M ⊆ Ｃ．M P ⊆ Ｄ．U M P =∅ ð(3)设数集M ={x |m ≤x ≤m +43}，N ={x |n －31≤x ≤n }，且M 、N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是 ( ) A.31 B.32 C.121 D.125 (4)求集合2160{|}3a a Z Z a ∈∈-且中所有元素的和. 答案:(1) B 解析:由已知可得()(){5,6}{1,5}{5}P Q == U U 痧,该集合中的元素仅有一个,故应选B. (2)B 解析: 由2{|1}{|11}P x x x x x =>=><-或,可得P M ⊆,故应选B.(3)方法一:由已知可得0314m m ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩, 即104m ≤≤ ; 1031n n ⎧-≥⎪⎨⎪≤⎩即 113n ≤≤ .取字母m 的最小值0, 字母n 的最大值1 ,可得3[0,]4M =, 2[,1]3N = . ∴3223[0,][,1][,]4334M N == , 此时得集合M ∩N 的“长度”为3214312-= . 方法二: 从另外一个角度也可得解此题, 集合M 的长度为43、集合N 的长度为31，因M 、N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，而{x |0≤x ≤1}的长度为1，由此得集合M ∩N 的“长度”的最小值是311()14312+-=. 故应选C.(4)解析: 问题需要从2160的约数入手思考, 找出2160的所有约数, 然后将3a -作为一个整体, 应用整体思想去求解. ∵4312160235=⨯⨯ , ∴2160的所有正约数是由2 , 3 , 5 几个基本元素构成的, 其中元素2可以构成新元素02、12、22、32、42 ;元素3可以构成新元素03、13、23、33;元素5可以构成新元素05、15, 将它们相乘即可得正约数, 则数2160的正约数共有54240⨯⨯=个 . 从而可得数2160的正、负约数共有254280⨯⨯⨯=个, 这80个数为40对互为相反的数,即集合2160{|}3a a Z Z a∈∈-且中共有80个元素. 设为1280,,,a a a ⋅⋅⋅, 则12803,3,,3a a a --⋅⋅⋅-为数2160的80个约数, 由于这80个数是40对互为相反的数,故其和为0 , 即1280(3)(3)(3)0a a a -+-+⋅⋅⋅+-= ,∴ 1280380240a a a ++⋅⋅⋅+=⨯=,即集合2160{|}3a a Z Z a ∈∈-且中所有元素的和 为240 .3.易错分析:(1)解题粗心大意，不考虑元素的特征，对数集，点集理解有误；如{}{}{}222,(,)x y x y y x x y y x ===就表示完全不同的三个集合，如不注意它们的区别，很容易出错.(2)要注意集合表示的列举法与描述法在形式上的区别.列举法一般适用于有限集，而描述法一般适合于无限集.要注意集合{∅}与空集∅的区别与联系；{}∅⊆∅，{}∅∈∅.(3)不能准确把握子集、真子集、相等、补集等相关概念，在转化命题时往往出现错误;(4)对空集理解不正确或忽视空集在解题中的地位和作用而产生错误.【能力训练】学练结合，融会贯通一、选择题:1.设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B = 的集合B 的个数是A. 1B. 3C. 4D. 82.已知全集U Z =，2{1,0,1,2},{|}A B x x x =-==，则U A B ð为（ ）A ．{1,2}-B ．{1,0}-C ．{0,1}D ．{1,2}3.设I 为全集，I B A B = ð，则B A 为Ａ．A Ｂ．B Ｃ． I B ð Ｄ．∅4.定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy (x+y )，x ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为A. 0B. 6C. 12D. 185.若}{2228x A x -=∈Z ≤<，{}2R log 1B x x =∈>，则R ()A B ð的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．36.设集合P ={m |－1＜m ≤0}，Q ={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是A.P ⊂≠QB.Q PC.P =QD.P ∩Q =Q二、填空题:7.已知集合A={-1,3，2m -1}，集合B={3，m 2}，若B ⊆A ，则实数m =____8.设A ={x |1＜x ＜2}，B ={x |x ＞a }，若A B ，则a 的取值范围是___________________.9.设集合M ＝{1，2，3，4，5，6}，A ⊆M ，A 不是空集，且满足：a ∈A ，则6－a ∈A ，则满足条件的集合A 共有_____________个．10.已知A ={x ∈R |x 2+2x +p =0}且A ∩{x ∈R |x ＞0}=∅，则p 的取值范围为 .三、解答题:11.设集合P ={1，a ，b }，Q ={1，a 2，b 2}，已知P =Q ，求1+a 2+b 2的值.12.若B ={x |x 2－3x +2＜0}，是否存在实数a ，使A ={x |x 2－（a +a 2）x +a 3＜0}且A ∩B =A ？请说明你的理由13.设}019|{22=-+-=a ax x x A ，}065|{2=+-=x x x B ， }082|{2=-+=x x x C .(Ⅰ)A B =A B ，求a 的值；(Ⅱ)∅⊂≠A B ，且A C =∅，求a 的值； (Ⅲ)A B =A C ≠∅，求a 的值；14.已知集合222|{-+=x x x A ＜}1， B={x | x 2+4x -5>0 }, |||{m x x C -=＜1，}R m ∈.（Ⅰ）求B A ⋂;（Ⅱ）若()A B C ⊆ ，求m 的取值范围.【能力训练】参考答案一、选择题:1. C2. A3. D4. D5. C6. A二、填空题:7. 1 8. a ≤1 9. 7 10. p ≥0三、解答题:11.解析:∵P =Q ，∴⎪⎩⎪⎨⎧==22,b b a a ① 或⎪⎩⎪⎨⎧==.,22a b b a ②解①得a =0或a =1，b =0或b =1.（舍去）由②得a =b 2=a 4，∴a =1或a 3=1.a =1不合题意， ∴a 3=1（a ≠1）.∴a =ω，b =ω2，其中ω=－21+23i. 故1+a 2+b 2=1+ω2+ω4=1+ω+ω2=0.12.解析:∵B ={x |1＜x ＜2}，若存在实数a ，使A ∩B =A ，则A ={x |（x －a ）（x －a 2）＜0}.（1）若a =a 2，即a =0或a =1时，此时A ={x |（x －a ）2＜0}=∅，满足A ∩B =A ， ∴a =0或a =1.（2）若a 2＞a ，即a ＞1或a ＜0时，A ={x |0＜x ＜a 2}，要使A ∩B =A ，则⎩⎨⎧≤≥212a a ⇒1≤a ≤2，∴1＜a ≤2. （3）若a 2＜a ，即0＜a ＜1时，A ={x |a ＜x ＜a 2}，要使A ∩B =A ，则⎩⎨⎧≥≤122a a ⇒1≤a ≤2，∴a ∈∅. 综上所述，当1≤a ≤2或a =0时满足A ∩B =A ，即存在实数a ，使A ={x |x 2－（a +a 2）x +a 3＜0}且A ∩B =A 成立.13. 解析：(Ⅰ)此时当且仅当B A =，有韦达定理可得5=a 和6192=-a 同时成立，即5=a ；(Ⅱ)由于}3,2{=B ，}24{，-=C ，故只可能3A ∈.此时01032=--a a ，也即5=a 或2a =-，由(Ⅰ)可得2a =-.(Ⅲ)此时只可能2A ∈，有01522=--a a ，也即5=a 或3-=a ，由(Ⅰ)可得3-=a .14.解析：（Ⅰ）∵222|{-+=x x x A ＜1} 得2x +2 x -2 <1 ⇔ (x +4)（x -2)<0 ∴4|{-=x A ＜x ＜2} x 2+4x -5>0 ⇔ (x +5)（x -1)>0∴{|51}B x x x =<->或 ,∴{|A B x = 1＜x ＜}2（Ⅱ）∵|||{m x x C -=＜1，}R m ∈,即1|{-=m x C ＜x ＜},1R m m ∈+ .∵()A B C ⊆ , ∴11,12,11,m m m m -≤⎧⎪+≥⎨⎪-<+⎩解之得1≤m ≤2.。
第1讲集合的概念与运算考试要求 1.集合的含义，元素与集合的属于关系，A级要求；2.集合之间包含与相等的含义，集合的子集，B级要求；3.并集、交集、补集的含义，用韦恩(Venn)图表述集合关系，B级要求；4.求两个简单集合的并集与交集及求给定子集的补集，B级要求．知识梳理1．集合的概念(1)一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合，集合中的每一个对象称为该集合的元素．(2)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(3)集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图法等．(4)集合按含有元素的个数可分为有限集、无限集、空集．(5)特别地，自然数集记作N，正整数集记作N*或N＋，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R，复数集记作C.2．两类关系(1)元素与集合的关系，用∈或∉表示．(2)集合与集合的关系，用⊆、≠⊂或＝表示．3．集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁U A图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A} 4.集合关系与运算的常用结论(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．(2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.(4)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)任何集合都有两个子集．( )(2)已知集合A ＝{x |y ＝x 2}，B ＝{y |y ＝x 2}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，则A ＝B ＝C .( ) (3)若{x 2,1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( ) (4)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( )2．(必修1P10习题5改编)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则实数m ＝________.3．(2016·江苏卷)已知集合A ＝{－1,2,3,6}，B ＝{x |－2＜x ＜3}，则A ∩B ＝________.4．(2017·泰州模拟)设全集U ＝{x |x ∈N *，x <6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )＝________.5．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为________．考点一 集合的基本概念【例1】 (1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为________．(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________.【训练1】 (1)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba ，b ，则b －a ＝________.(2)已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋3x －2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________．考点二 集合间的基本关系【例2】 (1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则A ________B (填A ，B 间的包含关系)．(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．【训练2】(1)(2017·盐城模拟)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,5,7,9}，C＝A∩B，则集合C的子集的个数为________．(2)(2017·南通调研)已知集合A＝{x|x＝x2－2，x∈R}，B＝{1，m}，若A⊆B，则m的值为________．考点三集合的基本运算【例3】(1)(2015·全国Ⅰ卷改编)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为________．(2)(2016·浙江卷改编)设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝________.【训练3】(1)(2017·南京调研)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2－1>0}，则A∩B ＝________.(2)(2016·山东卷改编)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则∁U(A ∪B)＝________.[思想方法]1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到．3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一体现．[易错防范]1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.基础巩固题组(建议用时：20分钟)1．(2017·苏北四市调研)已知集合A＝{0,1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，则A∪B中元素的个数为________．2．(2016·全国Ⅱ卷改编)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2<9}，则A∩B＝________. 3．(2017·苏州调研)设全集U＝{x|x≥2，x∈N}，集合A＝{x|x2≥5，x∈N}，则∁U A＝________.4．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则实数a的取值范围为________．5．(2016·山东卷改编)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝________.6．(2016·浙江卷改编)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,3,5}，Q＝{1,2,4}，则(∁U P)∪Q＝________.7．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________．8．(2016·天津卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝________.9．若x∈A，则1x∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．10．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)________．11．集合A ＝{x |x <0}，B ＝{x |y ＝lg[x (x ＋1)]}，若A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A －B ＝________.12．(2017·石家庄质检)已知集合A ＝{x |x 2－2 016x －2 017≤0}，B ＝{x |x <m ＋1}，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是________．能力提升题组 (建议用时：10分钟)13．(2016·全国Ⅲ卷改编)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则(∁R S )∩T ＝________.14．(2017·苏州调研)集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分所表示的集合是________．15．(2017·徐州、宿迁、连云港三市模拟)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N 14≤2x ≤16，B ＝{x |y＝ln(x 2－3x )}，则A ∩B 中元素的个数是________．16．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＋n ＝________.。
第1讲集合最新考纲 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言【列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩【Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.知识梳理1.元素与集合【1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.【2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.【3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系【1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.【2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A B或B A. 【3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.【4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算4.集合关系与运算的常用结论【1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.【2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.【3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.【4)∁U【A∩B)＝【∁U A)∪【∁U B)，∁U【A∪B)＝【∁U A)∩【∁U B).诊断自测1.判断正误【在括号内打“√”或“×”)【1)任何集合都有两个子集.【)【2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{【x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.【) 【3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.【)【4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.【)解析【1)错误.空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的.【2)错误.集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝【－∞，＋∞)；集合B是函数y ＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集.因此A，B，C 不相等.【3)错误.当x＝1，不满足互异性.【4)错误.当A＝∅时，B，C可为任意集合.答案【1)×【2)×【3)×【4)×2.【必修1P7练习2改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是【)A.{a}⊆AB.a⊆AC.{a}∈AD.a∉A解析由题意知A＝{0，1，2，3}，由a＝22，知a∉A.答案 D3.【2016·全国Ⅰ卷)设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝【)A.{1，3}B.{3，5}C.{5，7}D.{1，7}解析因为A＝{1，3，5，7}，而3，5∈A且3，5∈B，所以A∩B＝{3，5}.答案 B4.【2017·杭州模拟)设全集U＝{x|x∈N*，x<6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U 【A ∪B )等于【 )A.{1，4}B.{1，5}C.{2，5}D.{2，4}解析 由题意得A ∪B ＝{1，3}∪{3，5}＝{1，3，5}.又U ＝{1，2，3，4，5}，∴∁U 【A ∪B )＝{2，4}.答案 D5.【2017·绍兴调研)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |0≤x <5}，则A ∪B ＝________，【∁U A )∩B ＝________.解析 ∵A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |0≤x <5}，∴A ∪B ＝{x |x ≥0}，【∁U A )∩B ＝{x |0≤x <2}. 答案 {x |x ≥0} {x |0≤x <2}6.已知集合A ＝{【x ，y )|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{【x ，y )|x ，y ∈R ，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为________.解析 集合A 表示圆心在原点的单位圆，集合B 表示直线y ＝x ，易知直线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝1相交，且有2个交点，故A ∩B 中有2个元素.答案 2考点一 集合的基本概念【例1】 【1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是【 )A.1B.3C.5D.9【2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝【 ) A.92 B.98 C.0 D.0或98解析 【1)当x ＝0，y ＝0，1，2时，x －y ＝0，－1，－2；当x ＝1，y ＝0，1，2时，x －y ＝1，0，－1；当x ＝2，y ＝0，1，2时，x －y ＝2，1，0.根据集合中元素的互异性可知，B 的元素为－2，－1，0，1，2，共5个.【2)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝【－3)2－8a ＝0，得a ＝98， 所以a 的取值为0或98.答案 【1)C 【2)D规律方法 【1)第【1)题易忽视集合中元素的互异性误选D.第【2)题集合A 中只有一个元素，要分a ＝0与a ≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a ＝0的情形.【2)用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合.【训练1】 【1)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.【2)已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋3x －2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________.解析 【1)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0， 所以a ＋b ＝0，且b ＝1，所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2.【2)由A ＝∅知方程ax 2＋3x －2＝0无实根，当a ＝0时，x ＝23不合题意，舍去；当a ≠0时，Δ＝9＋8a <0，∴a <－98.答案 【1)2 【2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－98 考点二 集合间的基本关系【例2】 【1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则【 )A.A BB.B AC.A ⊆BD.B ＝A【2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________.解析 【1)易知A ＝{x |－1≤x ≤1}，所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}.因此B A .【2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图.则⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为【－∞，4].答案 【1)B 【2)【－∞，4]规律方法 【1)若B ⊆A ，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.【2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直观进行求解.【训练2】 【1)【2017·镇海中学质检)若集合A ＝{x |x >0}，且B ⊆A ，则集合B 可能是【 )A.{1，2}B.{x |x ≤1}C.{－1，0，1}D.R【2)【2016·郑州调研)已知集合A ＝{x |x ＝x 2－2，x ∈R }，B ＝{1，m }，若A ⊆B ，则m 的值为【 )A.2B.－1C.－1或2D.2或2解析 【1)因为A ＝{x |x ＞0}，且B ⊆A ，再根据选项A ，B ，C ，D 可知选项A 正确.【2)由x ＝x 2－2，得x ＝2，则A ＝{2}.因为B ＝{1，m }且A ⊆B ，所以m ＝2.答案 【1)A 【2)A考点三 集合的基本运算【例3】 【1)【2015·全国Ⅰ卷)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6，8，10，12，14}，则集合A ∩B 中元素的个数为【 )A.5B.4C.3D.2【2)【2016·浙江卷)设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪【∁R Q)＝【)A.[2，3]B.【－2，3]C.[1，2)D.【－∞，－2)∪[1，＋∞)解析【1)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素.【2)易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}.∴∁R Q＝{x|－2<x<2}，又P＝{x|1≤x≤3}，故P∪【∁R Q)＝{x|－2<x≤3}.答案【1)D【2)B规律方法【1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.【2)一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍.【训练3】【1)【2017·石家庄模拟)设集合M＝{－1，1}，N＝{x|x2－x<6}，则下列结论正确的是【)A.N⊆MB.N∩M＝∅C.M⊆ND.M∩N＝R【2)【2016·山东卷)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U【A∪B)＝【)A.{2，6}B.{3，6}C.{1，3，4，5}D.{1，2，4，6}解析【1)易知N＝【－2，3)，且M＝{－1，1}，∴M⊆N.【2)∵A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，∴A∪B＝{1，3，4，5}，又全集U＝{1，2，3，4，5，6}，因此∁U【A∪B)＝{2，6}.答案【1)C【2)A[思想方法]1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.[易错防范]1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性【是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.基础巩固题组【建议用时：25分钟)一、选择题1.【2015·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则【)A.A＝BB.A∩B＝∅C.A BD.B A解析∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴2，3∈A且2，3∈B，1∈A但1∉B，∴B A.答案 D2.【2016·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2<9}，则A∩B＝【)A.{－2，－1，0，1，2，3}B.{－2，－1，0，1，2}C.{1，2，3}D.{1，2}解析由于B＝{x|x2<9}＝{x|－3<x<3}，又A＝{1，2，3}，因此A∩B＝{1，2}. 答案 D3.【2017·肇庆模拟)已知集合A＝{x|lg x>0}，B＝{x|x≤1}，则【)A.A ∩B ≠∅B.A ∪B ＝RC.B ⊆AD.A ⊆B解析 由B ＝{x |x ≤1}，且A ＝{x |lg x >0}＝【1，＋∞)，∴A ∪B ＝R .答案 B4.已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }.若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是【 )A.【－∞，－1]B.[1，＋∞)C.[－1，1]D.【－∞，－1]∪[1，＋∞)解析 因为P ∪M ＝P ，所以M ⊆P ，即a ∈P ，得a 2≤1，解得－1≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－1，1].答案 C5.【2016·山东卷)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B ＝【 )A.【－1，1)B.【0，1)C.【－1，＋∞)D.【0，＋∞) 解析 由y ＝2x ，x ∈R ，知y >0，则A ＝【0，＋∞).又B ＝{x |x 2－1<0}＝【－1，1).因此A ∪B ＝【－1，＋∞).答案 C6.【2016·浙江卷)已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，集合P ＝{1，3，5}，Q ＝{1，2，4}，则【∁U P )∪Q ＝【 )A.{1}B.{3，5}C.{1，2，4，6}D.{1，2，3，4，5}解析 ∵U ＝{1，2，3，4，5，6}，P ＝{1，3，5}，∴∁U P ＝{2，4，6}，∵Q ＝{1，2，4}，∴【∁U P )∪Q ＝{1，2，4，6}.答案 C7.若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是【 )A.1B.3C.7D.31解析 具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.答案 B8.已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U【A∪B)＝【)A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}解析∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，在数轴上表示如图.∴∁U【A∪B)＝{x|0<x<1}.答案 D二、填空题9.已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________.解析∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.答案【－∞，1]10.【2017·宁波调研)集合A＝{0，|x|}，B＝{1，0，－1}，若A∪B＝B，则A∩B ＝________；A∪B＝________；∁B A＝________.解析A＝{0，|x|}，B＝{1，0，－1}，若A∪B＝B，则A⊆B，∴|x|＝1，∴A∩B ＝{0，1}，A∪B＝{－1，0，1}，∁B A＝{－1}.答案{0，1}{－1，0，1}{－1}11.集合A＝{x|x<0}，B＝{x|y＝lg[x【x＋1)]}，若A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A －B＝________.解析由x【x＋1)>0，得x<－1或x>0，∴B＝【－∞，－1)∪【0，＋∞)，∴A－B＝[－1，0).答案[－1，0)12.【2017·湖州质检)已知集合A＝{x|x2－2 016x－2 017≤0}，B＝{x|x<m＋1}，若A⊆B，则实数m的取值范围是________.解析由x2－2 016x－2 017≤0，得A＝[－1，2 017]，又B＝{x|x<m＋1}，且A⊆B，所以m＋1>2 017，则m>2 016.答案【2 016，＋∞)13.【2017·金华模拟)设集合A ＝{x ∈N |6x ＋1∈N }，B ＝{x |y ＝ln 【x －1)}，则A ＝________，B ＝________，A ∩【∁R B )＝________.解析 当x ＝0，1，2，5时，6x ＋1的值分别为6，3，2，1，当x ∈N 且x ≠0，1，2，5时，6x ＋1∉N ，∴A ＝{0，1，2，5}，由x －1>0，得x >1，∴B ＝{x |x >1}，∁R B ＝{x |x ≤1}，∴A ∩【∁R B )＝{0，1}.答案 {0，1，2，5} {x |x >1} {0，1}能力提升题组【建议用时：10分钟)14.【2016·全国Ⅲ卷改编)设集合S ＝{x |【x －2)【x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则【∁R S )∩T ＝【 )A.[2，3]B.【－∞，－2)∪[3，＋∞)C.【2，3)D.【0，＋∞)解析 易知S ＝【－∞，2]∪[3，＋∞)，∴∁R S ＝【2，3)，因此【∁R S )∩T ＝【2，3).答案 C15.【2016·黄山模拟)集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |y ＝ln 【1－x )}，则图中阴影部分所表示的集合是【 )A.{x |x ≥1}B.{x |1≤x <2}C.{x |0<x ≤1}D.{x |x ≤1}解析 易知A ＝【－1，2)，B ＝【－∞，1)，∴∁U B ＝[1，＋∞)，A ∩【∁U B )＝[1，2).因此阴影部分表示的集合为A ∩【∁U B )＝{x |1≤x <2}.答案 B16.【2017·南昌十所省重点中学模拟)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |14≤2x ≤16，B ＝{x |y ＝ln 【x 2－3x )}，则A ∩B 中元素的个数是________.解析 由14≤2x ≤16，x ∈N ，∴x ＝0，1，2，3，4，即A ＝{0，1，2，3，4}.又x 2－3x >0，知B ＝{x |x >3或x <0}，∴A ∩B ＝{4}，即A ∩B 中只有一个元素.答案 117.已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |【x －m )【x －2)<0}，且A ∩B ＝【－1，n )，则m ＋n ＝________.解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝【－1，n )可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.所以m ＋n ＝0.答案 018.【2017·丽水质检)若三个非零且互不相等的实数a ，b ，c 满足1a ＋1b ＝2c ，则称a ，b ，c 是调和的；若满足a ＋c ＝2b ，则称a ，b ，c 是等差的，若集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”，若集合M ＝{x ||x |≤2 014，x ∈Z }，集合P ＝{a ，b ，c }⊆M ，则【1)“好集”P 中的元素最大值为________；【2)“好集”P 的个数为________.解析 【1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋1b ＝2c ，a ＋c ＝2b⇒1a ＋2a ＋c ＝2c ⇒c 【a ＋c )＋2ac ＝2a 【a ＋c )⇒c 2＋ac －2a 2＝0⇒【c ＋2a )【c －a )＝0，∵c ≠a ，∴c ＝－2a ，b ＝a ＋c 2＝－a 2，∴c ＝4b ，令－2 014≤4b ≤2 014，得－503≤b ≤503，∴P 中最大元素为4b ＝4×503＝2 012.【2)由【1)知P ＝{－2b ，b ，4b }且－503≤b ≤503，所以“好集”P 的个数为2×503＝1 006.答案 【1)2 012 【2)1 006。
第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合教师用书理新人教版(建议用时：25分钟)一、选择题1.(2015·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则( )A.A＝BB.A∩B＝∅C.A BD.B A解析∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴2，3∈A且2，3∈B，1∈A但1∉B，∴B A.答案 D2.(2016·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)·(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )A.{1}B.{1，2}C.{0，1，2，3}D.{－1，0，1，2，3}解析由(x＋1)(x－2)<0，得－1<x<2，又x∈Z，所以B＝{0，1}，因此A∪B＝{0，1，2，3}.答案 C3.(2017·肇庆模拟)已知集合A＝{x|lg x>0}，B＝{x|x≤1}，则( )A.A∩B≠∅B.A∪B＝RC.B⊆AD.A⊆B解析由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lg x>0}＝(1，＋∞)，∴A∪B＝R.答案 B4.已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}.若P∪M＝P，则a的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.[1，＋∞)C.[－1，1]D.(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析因为P∪M＝P，所以M⊆P，即a∈P，得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1，1].答案 C5.(2016·山东卷)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝( )A.(－1，1)B.(0，1)C.(－1，＋∞)D.(0，＋∞)解析由y＝2x，x∈R，知y>0，则A＝(0，＋∞).又B＝{x|x2－1<0}＝(－1，1).因此A∪B＝(－1，＋∞).答案 C6.(2016·浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，则(∁U P )∪Q ＝( )A.{1}B.{3，5}C.{1，2，4，6}D.{1，2，3，4，5}解析 ∵U ＝{1，2，3，4，5，6}，P ＝{1，3，5}，∴∁U P ＝{2，4，6}，∵Q ＝{1，2，4}，∴(∁U P )∪Q ＝{1，2，4，6}.答案 C7.若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A.1B.3C.7D.31解析 具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2. 答案 B8.已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝( )A.{x |x ≥0}B.{x |x ≤1}C.{x |0≤x ≤1}D.{x |0<x <1}解析 ∵A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，∴A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，在数轴上表示如图.∴∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}.答案 D二、填空题9.已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵1∉{x |x 2－2x ＋a >0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1.答案 (－∞，1]10.(2016·天津卷)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{y |y ＝2x －1，x ∈A }，则A ∩B ＝________. 解析 由A ＝{1，2，3}，B ＝{y |y ＝2x －1，x ∈A }，∴B ＝{1，3，5}，因此A ∩B ＝{1，3}. 答案 {1，3}11.集合A ＝{x |x <0}，B ＝{x |y ＝lg[x (x ＋1)]}，若A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A －B ＝________.解析 由x (x ＋1)>0，得x <－1或x >0，∴B ＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，∴A －B ＝[－1，0).答案 [－1，0)12.(2017·石家庄质检)已知集合A ＝{x |x 2－2 016x －2 017≤0}，B ＝{x |x <m ＋1}，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是________.解析 由x 2－2 016x －2 017≤0，得A ＝[－1，2 017]，又B ＝{x |x <m ＋1}，且A ⊆B ，所以m ＋1>2 017，则m >2 016.答案 (2 016，＋∞)能力提升题组(建议用时：10分钟)13.(2016·全国Ⅲ卷改编)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则(∁R S )∩T ＝( )A.[2，3]B.(－∞，－2)∪[3，＋∞)C.(2，3)D.(0，＋∞) 解析 易知S ＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，∴∁R S ＝(2，3)，因此(∁R S )∩T ＝(2，3).答案 C14.(2016·黄山模拟)集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A.{x |x ≥1}B.{x |1≤x <2}C.{x |0<x ≤1}D.{x |x ≤1}解析 易知A ＝(－1，2)，B ＝(－∞，1)，∴∁U B ＝[1，＋∞)，A ∩(∁U B )＝[1，2).因此阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}.答案 B15.(2017·南昌十所省重点中学模拟)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |14≤2x ≤16，B ＝{x |y ＝ln(x 2－3x )}，则A ∩B 中元素的个数是________.解析 由14≤2x ≤16，x ∈N ， ∴x ＝0，1，2，3，4，即A ＝{0，1，2，3，4}.又x 2－3x >0，知B ＝{x |x >3或x <0}，∴A ∩B ＝{4}，即A ∩B 中只有一个元素.答案 116.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＋n＝________.解析A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.所以m＋n＝0.答案0。
（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语 1.1 集合及其运算教师用书1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法A B(或B A)1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩(∁U A)＝∅；A∪(∁U A)＝U；∁U(∁U A)＝A.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．( ×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( ×)(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( ×)(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( √)(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( √)(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( ×)1．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是( ) A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A答案 D解析由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝22，知a∉A.2．(2016·杭州质检)设集合A＝{x|x2－2x≥0}，B＝{x|－1<x≤2}，则(∁R A)∩B等于( ) A．{x|－1≤x≤0} B．{x|0<x<2}C．{x|－1<x<0} D．{x|－1<x≤0}答案 B解析因为A＝{x|x≥2或x≤0}，所以∁R A＝{x|0<x<2}，(∁R A)∩B＝{x|0<x<2}，故选B. 3．(2016·天津)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B等于( ) A．{1} B．{4}C．{1,3} D．{1,4}答案 D解析因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；当x＝2时，y＝3×2－2＝4；当x＝3时，y＝3×3－2＝7；当x＝4时，y＝3×4－2＝10；即B＝{1,4,7,10}．又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．故选D.4．(2016·云南名校联考)集合A＝{x|x－2<0}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是__________．答案 [2，＋∞)解析 由A ∩B ＝A ，知A ⊆B ，从数轴观察得a ≥2.题型一 集合的含义例1 (1)(2016·济南模拟)设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P ＋Q 中元素的个数是( )A ．9B ．8C ．7D ．6(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 答案 (1)B (2)0或98解析 (1)当a ＝0时，a ＋b ＝1,2,6； 当a ＝2时，a ＋b ＝3,4,8； 当a ＝5时，a ＋b ＝6,7,11.由集合中元素的互异性知P ＋Q 中有1,2,3,4,6,7,8,11共8个元素．(2)若a ＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意；若a ≠0，则由题意得Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98.综上，a 的值为0或98.思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型是数集、点集还是其他类型的集合．(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．(1)(2016·宁波模拟)已知A ＝{x |x ＝3k －1，k ∈Z }，则下列表示正确的是( ) A ．－1∉AB ．－11∈AC ．3k 2－1∈A (k ∈Z )D ．－34∉A(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，则b －a ＝________.答案 (1)C (2)2解析 (1)∵k ∈Z ，∴k 2∈Z ，∴3k 2－1∈A . (2)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，得b a＝－1， 所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2. 题型二 集合的基本关系例2 (1)(2016·余姚一模)设A ，B 是全集I ＝{1,2,3,4}的子集，A ＝{1,2}，则满足A ⊆B 的B 的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2(2)已知集合A ＝{x |x 2－2 017x ＋2 016<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________________． 答案 (1)B (2)[2 016，＋∞) 解析 (1)∵{1,2}⊆B ，I ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的集合B 有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个． (2)由x 2－2 017x ＋2 016<0，解得1<x <2 016， 故A ＝{x |1<x <2 016}，又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 016. 引申探究本例(2)中，若将集合B 改为{x |x ≥a }，其他条件不变，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－∞，1]解析 A ＝{x |1<x <2 016}，B ＝{x |x ≥a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≤1.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．(1)(2016·宁波模拟)已知集合A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{1，x ，x 2－x }，且B ⊆A ，则x 等于( )A ．1B ．0C ．2D ．－1(2)(2016·连云港模拟)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是____________． 答案 (1)D (2)(－∞，4]解析 (1)当x ＝0时，x 2－x ＝0，不满足条件； 当x ＝2时，x 2－x ＝2，不满足条件； 当x ＝－1时，x 2－x ＝2，满足条件， 所以x ＝－1，故选D.(2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2； 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为(－∞，4]． 题型三 集合的基本运算 命题点1 集合的运算例3 (1)(2016·全国乙卷)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B 等于( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32B.⎝⎛⎭⎪⎫－3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 (2)(2016·浙江)已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )等于( )A ．[2,3]B ．(－2,3]C ．[1,2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案 (1)D (2)B解析 (1)由A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2x －3>0}＝{x |x >32}，得A ∩B ＝{x |32<x <3}＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，故选D. (2)由已知得Q ＝{x |x ≥2或x ≤－2}． ∴∁R Q ＝(－2,2)．又P ＝[1,3]，∴P ∪(∁R Q )＝[1,3]∪(－2,2)＝(－2,3]． 命题点2 利用集合的运算求参数例4 (1)已知集合P ＝[1,3]，集合Q ＝(－∞，a )∪(b ，＋∞)，其中a <b ，若P ∩(∁R Q )＝[2,3]，则( ) A ．a ＝2，b ＝3 B ．a ＝2，b ≤3 C ．a ＝2，b ≥3D ．a ≤2，b ≥3(2)设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( ) A ．－1<a ≤2 B ．a >2 C ．a ≥－1 D ．a >－1答案 (1)C (2)D解析 (1)因为∁R Q ＝[a ，b ]，P ∩(∁R Q )＝[a ，b ]∩[1,3]＝[2,3]，所以a ＝2，b ≥3，故选C. (2)因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a >－1.思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．(1)(2016·山东)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B 等于( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[－1,3] C ．[2，＋∞) D ．[－1，＋∞)答案 (1)C (2)D解析 (1)∵A ＝{y |y >0}，B ＝{x |－1<x <1}， ∴A ∪B ＝(－1，＋∞)，故选C.(2)由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}．又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)． 题型四 集合的新定义问题例5 若对任意的x ∈A ，1x ∈A ，则称A 是“伙伴关系集合”，则集合M ＝{－1,0，12，1,2}的所有非空子集中，具有伙伴关系集合的个数为________． 答案 7解析 具有伙伴关系的元素组有－1；1；2和12共三组，它们中任一组、两组、三组均可组成非空伙伴关系集合，所以非空伙伴关系集合分别为{1}，{－1}，{12，2}，{－1,1}，{－1，12，2}，{1，12，2}，{－1,1，12，2}，共7个． 思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．定义一种新的集合运算△：A △B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }．若集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，则按运算△，B △A 等于( ) A ．{x |3<x ≤4} B ．{x |3≤x ≤4} C ．{x |3<x <4} D ．{x |2≤x ≤4}答案 B解析 A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2≤x ≤4}，由题意知B △A ＝{x |x ∈B 且x ∉A }＝{x |3≤x ≤4}．1．集合关系及运算典例 (1)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3D ．1或3或0(2)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________． 错解展示解析 (1)由A ∪B ＝A 得B ⊆A ，∴m ＝3或m ＝m ， 故m ＝3或m ＝0或m ＝1. (2)∵B ⊆A ，讨论如下：①当B ＝A ＝{0，－4}时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a ＋2－a 2－，－a ＋＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1.②当B A 时，由Δ＝0得a ＝－1， 此时B ＝{0}满足题意，综上，实数a 的取值范围是{1，－1}． 答案 (1)D (2){1，－1} 现场纠错解析 (1)A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，故B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，其中m ＝1不符合题意，所以m ＝0或m ＝3，故选B. (2)因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a ＋2－a 2－，－a ＋＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意； ③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}． 答案 (1)B (2)(－∞，－1]∪{1}纠错心得 (1)集合的元素具有互异性，参数的取值要代入检验． (2)当两个集合之间具有包含关系时，不要忽略空集的情况.1．(2016·台州模拟)若A ＝{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，则( ) A ．A ⊆B B ．B ⊆A C ．A ＝B D ．A ∩B ＝∅答案 A解析 ∵k ∈Z ，∴4k ＋1∈B ，∴A ⊆B .2．(2016·四川)设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是( ) A．3 B．4 C．5 D．6答案 C解析由题意可知，A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩Z中元素的个数为5.故选C.3．已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M且2x∉M}的子集的个数为( )A．8 B．4 C．3 D．2答案 B解析由题意得P＝{3,4}，∴集合P有4个子集．4．(2016·绍兴期末调研)设集合S＝{x|x>2}，T＝{x|x2－x－12≤0}，则S∩T等于( ) A．[3，＋∞) B．[4，＋∞)C．(2,3] D．(2,4]答案 D解析由x2－x－12≤0，得－3≤x≤4，所以T＝{x|－3≤x≤4}，所以S∩T＝(2,4]，故选D.5．(2017·杭州二中月考)已知全集为U，集合M＝{x|－2≤x<2}，N＝{x|y＝log2(x－1)}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|－2≤x≤1} B．{x|1<x<2}C．{x|1≤x<2} D．{x|－2≤x<0}答案 A解析由x－1>0，解得x>1，所以N＝{x|x>1}．图中阴影部分表示的集合为M∩(∁U N)，又∁U N＝{x|x≤1}，所以M∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤1}，故选A.6．已知集合A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则a的取值范围为( )A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)答案 B解析用数轴表示集合A，B(如图)，由A⊆B，得a≥0.7．(2015·浙江)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则(∁R P)∩Q等于( )A ．[0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．[1,2] 答案 C解析 ∵P ＝{x |x ≥2或x ≤0}，∁R P ＝{x |0＜x ＜2}， ∴(∁R P )∩Q ＝{x |1＜x ＜2}，故选C.8．(2016·杭州第二中学考试)已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)答案 B解析 由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.9．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 D解析 由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}． 由题意知B ＝{1,2,3,4}．∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．*10.设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |n －13≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫作集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( )A.13B.23C.112D.512 答案 C解析 由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋34≤1，即0≤m ≤14；⎩⎪⎨⎪⎧n －13≥0，n ≤1，即13≤n ≤1，取m 的最小值0，n 的最大值1，可得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，所以M ∩N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34，此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝112，故选C.x<0}，则A∩(∁U B)＝11．(2016·浙江五校高三联考)定义集合A＝{x|2x≥1}，B＝{x|log12________.答案[0,1]解析∵A＝{x|x≥0}，B＝{x|x>1}，∴∁U B＝{x|x≤1}，∴A∩(∁U B)＝[0,1]．12．(2016·诸暨高三5月质检)已知集合P＝{1，m}，Q＝{m2}，若P∪Q＝P，则实数m的值是________．答案0或－1解析由P∪Q＝P，得Q⊆P，∴m2∈{1，m}，当m2＝1时，m＝1(舍)或m＝－1；当m2＝m时，m＝1(舍)或m＝0.综上，m＝－1或m＝0.13．(2016·临安模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|y＝x2－2x－3}，B＝{y|y＝e x＋1}，则A∪B ＝__________.答案(－∞，－1]∪(1，＋∞)解析因为A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{y|y>1}，所以A∪B＝{x|x>1或x≤－1}．14．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是__________．答案(－∞，1]解析∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.15．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________．答案 5解析当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个．*16.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.答案－1 1解析A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.。
