单项式乘以多项式

单项式与多项式相乘教学建议一、知识结构二、重点、难点分析本节教学的重点是掌握单项式与多项式相乘的法则．难点是正确、迅速地进行单项式与多项式相乘的计算．本节知识是进一步学习多项式乘法，以及乘法公式等后续知识的基础。

1．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即其中，可以表示一个数、一个字母，也可以是一个代数式．2．利用法则进行单项式和多项式运算时要注意：（1）多项式每一项都包括前面的符号，例如中的多项式，共有两项，就是．运用法则计算时，一定要强调积的符号．（2）单项式必须和多项式中的每一项相乘，不能漏乘多项式中的任何一项．因此，单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同．（3）对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意：运算结果如有同类项要合并，从而得出最简结果．3﹒根据去括号法则和多项式中每一项包含它前面的符号，来确定乘积每一项的符号；4﹒非零单项式乘以不含同类项的多项式，乘积仍然是多项式；积的项数与所乘多项式的项数相等；5﹒对于含有乘方、乘法、加减法的混合运算的题目，要注意运算顺序；也要注意合并同类项，得出最简结果．三、教法建议1．单项式与多项式相乘的基本依据是乘法分配律，故在本课开始先讲述乘法分配律，由有理数过渡到字母．2．由乘法分配律过渡到单项乘多项式的法则时，也可以采用以下代换的方法，如计算：(-4x2)·(2x2+3x-1)．设m=-4x2，a=2x2，b=3x，c=-1，∴ (-4x2)·(2x2+3x-1)=m(a+b+c)=ma+mb+mc=(-4x2)·2x2+(-4x2)·3x+(-4x2)·(-1)=-8x4-12x3+4x2．这样过渡较自然，同时也渗透了一些代换的思想．3．单项式与多项式相乘，积仍是多项式，它的项数与多项式的项数相同．这是单项式与多项式相乘的结果，这个结果也是我们掌握法则的关键．一般说来，对于一个运算法则的掌握应从分析结果开始，分析结果的结构，分析结果与各算式的关系，这样才能较好地掌握法则．教学设计示例一、教学目标1．理解和掌握单项式与多项式乘法法则及推导．2．熟练运用法则进行单项式与多项式的乘法计算．3．培养灵活运用知识的能力，通过用文字概括法则，提高学生数学表达能力．4．通过反馈练习，培养学生计算能力和综合运用知识的能力．5．渗透公式恒等变形的数学美．二、学法引导1．教学方法：讲授法、练习法．2．学生学法：学习单项式与多项式相乘的运算法则是运用了“转化”的数学思想方法，利用分配律把单项式乘以多项式问题转化为前面学过的单项式与单项式相乘；最后再合并同类项，故在学习中应充分利用这种方法去解题．三、重点·难点·疑点及解决办法（一）重点单项式与多项式乘法法则及其应用．（二）难点单项式与多项式相乘时结果的符号的确定．（三）解决办法复习单项式与单项式的乘法法则，并注意在解题过程中将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式后符号确定的问题．四、课时安排一课时．五、教具学具准备投影仪、胶片．六、师生互动活动设计1．设计一道可运用乘法分配律进行简便运算的题目，让学生复习乘法分配律，并为引入单项式与多项式的乘法法则打下良好的基础．2．通过面积分割法，形象直观地引入单项式与多项式的乘法法则，并引导学生用文字语言概括出其结论．3．通过举例，教师分析、讲解并示范板书全过程，让学生规范解题过程，再通过反复的练习巩固所学过的法则．七、教学步骤（一）明确目标本节课重点学习单项式与多项式的乘法法则及其应用．（二）整体感知单项式乘以多项式的乘法运算主要是将它转化为单项式与单项式的乘法运算，放首先应适当复习并掌握单项式与单项式的乘法运算方法，再在计算过程中注意单项式与多项式相乘后的符号问题．（三）教学过程1．复习导入复习：（1）叙述单项式乘法法则．（单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.）（２）什么叫多项式？说出多项式的项和各项系数.2．探索新知，讲授新课简便计算：引申：计算，基中m、a、b、c都是单项式，因为式中字母都表示数，故分配律对代数式也适用，则引导学生用学过的长方形面积知识加以验证，把宽为m，长分别是a、b、c的三个小长方形拼成大长方形，研究图形面积的整体与部分关系．由该等式，你能说出单项式与多项式相乘的法则吗？单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．例1 计算：（1）（2）说明：计算按课本，讲解时，要紧扣法则：①用单项式遍乘多项式的各项，不要漏乘．②要注意符号，多项式的每一项包括它前面的符号．③“把所得积相加”时，不要忘了加上加号．例2 化简：化简按课本，化街时直接写成省略加号的代数和，注意正确表达，做完乘法后，要合并同类项．练习：错例辨析（1）（2）（2）错在单项式与多项式的每一项相乘之后没有添上加号，故正确答案为（四）总结、扩展1．由学生叙述单项式与多项式相乘法则，并回答积仍是多项式，积的项数与多项式因式的项数相同．2．考点剖析：单项式乘以多项式这一知识点在中考试卷中都是以与其他知识综合命题的形式考查的．但它是多项式乘法、因式分解、分式通分、解分式方程等知识的重要基础．故必须掌握好．如（99，河北）下列运算中，不正确的为（）A． B．C． D．八、布置作业P112 A组 1．（2）（4）（6）（8），2，3．（2）参考答案：略单项式与多项式相乘。

一、解答题（共19小题）1．计算：﹣6a•（﹣﹣a+2）考点：单项式乘多项式。

分析：根据单项式乘以多项式，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，计算即可．解答：解：﹣6a•（﹣﹣a+2）=3a3+2a2﹣12a．点评：本题主要考查单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意运算符号．2．计算：（1）（﹣12a2b2c）•（﹣abc2）2=﹣a4b4c5；（2）（3a2b﹣4ab2﹣5ab﹣1）•（﹣2ab2）=﹣6a3b3+8a2b4+10a2b3+2ab2．考点：单项式乘多项式；单项式乘单项式。

分析：（1）先根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；单项式乘单项式，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式的法则计算；（2）根据单项式乘多项式，先用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加的法则计算即可．解答：解：（1）（﹣12a2b2c）•（﹣abc2）2，=（﹣12a2b2c）•，=﹣；故答案为：﹣a4b4c5；（2）（3a2b﹣4ab2﹣5ab﹣1）•（﹣2ab2），=3a2b•（﹣2ab2）﹣4ab2•（﹣2ab2）﹣5ab•（﹣2ab2）﹣1•（﹣2ab2），=﹣6a3b3+8a2b4+10a2b3+2ab2．故答案为：﹣6a3b3+8a2b4+10a2b3+2ab2．点评：本题考查了单项式与单项式相乘，单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意运算符号的处理．3．﹣3x•（2x2﹣x+4）考点：单项式乘多项式。

分析：根据单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，计算即可．解答：解：﹣3x•（2x2﹣x+4），=﹣3x•2x2﹣3x•（﹣x）﹣3x•4，=﹣6x3+3x2﹣12x．点评：本题主要考查单项式与多项式相乘的运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意运算符号．4．（3x2y﹣2x+1）（﹣2xy）考点：单项式乘多项式。

专题3.10 单项式乘以多项式（知识讲解）【学习目标】1. 会进行单项式与多项式的乘法计算；2. 掌握整式的加、减、及单项式乘以单项式及单项式与多项式相乘的的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算.【要点梳理】单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即.特别说明：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.【典型例题】类型一、单项式乘以单项式➽➼化简✭✭求值1．化简(1)2(1)3(25)x x x x x x -++--． 【答案】2316x x -+【分析】先根据单项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项即可．解：(1)2(1)3(25)x x x x x x -++--22222615x x x x x x =-++-+22226215x x x x x x =+--++2316x x =-+【点拨】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 举一反三：【变式1】计算：（1）3(52)a a b ； （2）(3)(6)x y x --．【答案】（1）2156a ab ；（2）2618x xy -+．【分析】根据多项式乘单项式的运算法则计算即可．解：（1）()352a a b -()m a b c ma mb mc ++=++3532a a a b =⋅-⋅2156a ab =-（2）()()36x y x --663x x x y =-⋅+⋅ 2618x xy =-+【点拨】本题考查了多项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．【变式2】计算：（1）()2222433x y xy xy ⎛⎫--⋅ ⎪⎝⎭ （2）()2213233a ab b ab ⎛⎫-+⋅- ⎪⎝⎭.2．计算：(1) ()()3222346a b b a -⋅-+； (2) 221(2)534m m m ⎛⎫-⋅-- ⎪⎝⎭．举一反三：【变式1】计算下列各式（1）22412332ab ab b ab ⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭；（2） （2）()111223n n n n y y y y -+-⋅+-．【点拨】本题考查整式的乘法，涉及单项式乘多项式、单项式乘单项式、同底数幂的乘法等知识，熟练掌握这些知识的运算法则是解答的关键．【变式2】计算：22232(2)()53a bc ab ac ac -+-⋅-．类型二、单项式乘以单项式➽➼化简求值 ✭✭求参数✭✭应用3．先化简，再求值：2(1)(2)26x x x x x --+-，其中53x =．举一反三：【变式1】先化简，再求值：3a(2a 2- 4a + 3)- 2a 2 (3a + 4) ，其中a =-2 .【答案】-98【分析】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可．解：3a(2a2−4a+3)−2a2(3a+4)=6a3−12a2+9a−6a3−8a2=−20a2+9a，当a=−2时，原式=−20×4−9×2=−98.【点拨】此题考查单项式乘多项式，解题关键在于掌握运算法则.【变式2】阅读下列文字，并解决问题．已知x2y＝3，求2xy(x5y2－3x3y－4x)的值．分析：考虑到满足x2y＝3的x，y的可能值较多，则不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y＝3整体代入．解：2xy(x5y2－3x3y－4x)＝2x6y3－6x4y2－8x2y＝2(x2y)3－6(x2y)2－8x2y＝2×33－6×32－8×3＝－24.请你用上述方法解决问题：已知ab＝3，求(2a3b2－3a2b＋4a)·(－2b)的值．【答案】－78【分析】根据单项式乘多项式，可得一个多项式，根据把已知代入，可得答案．解：(2a3b2－3a2b＋4a)·(－2b)＝－4a3b3＋6a2b2－8ab＝－4(ab)3＋6(ab)2－8ab＝－4×33＋6×32－8×3＝－108＋54－24＝－78.【点拨】本题考查了单项式乘多项式，整体代入是解题关键．4．已知()223531062-+=-+ax x x y by x x y xy ，求a ，b 的值． 【答案】a =2，b =1【分析】根据整式的乘法展开，分别得到a ，b 的关系式，故可求解．解：∵()3222353531062ax x x y by ax ax y abxy x x y xy -+=-+=-+∵5a =10，-3a =-6，ab =2∵a =2，b =1．【点拨】此题主要考查整式运算的应用，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则． 举一反三：【变式1】若23()3265x x a x b x x -+-=-+成立，请求出a 、b 的值．【变式2】先化简，再求值：A ＝3a 2b ﹣ab 2，B ＝ab 2+3a 2b ，其中a ＝12，b ＝13．求5A ﹣B 的值．5．若n 为自然数，试说明整式(21)2(1)+--n n n n 的值一定是3的倍数． 【答案】见分析【分析】先把n （2n ＋1）−2n （n −1）进行计算，然后合并同类项，即可得出n （2n ＋1）−2n （n −1）的值一定是3的倍数．解：∵n （2n ＋1）−2n （n −1）＝2n 2＋n −2n 2＋2n ＝3n ，n 为自然数，∵3n 是3的倍数，∵n （2n ＋1）−2n （n −1）的值一定是3的倍数．【点拨】此题考查了整式乘法的应用，解题的关键是把所求的式子进行计算，然后进行整理，得到3n ，n 为自然数，说明一定是3的倍数．举一反三：【变式1】某中学扩建教学楼，测量地基时，量得地基长为2m a 宽为()224m a -，试用a 表示地基的面积，并计算当25a =时地基的面积．【答案】()22448m a a -，13002m ． 【分析】根据题意可直接利用长×宽进行求解面积，然后把25a =代入求解即可． 解：根据题意得：地基的面积是：()()222224448m a a a a -=-，当25a =时，地基面积为：()22244842548251300m a a -=-=⨯⨯．【点拨】本题主要考查整式的乘除的应用，熟练掌握整式的乘法是解题的关键．【变式2】一块长方形硬纸片，长为(5a 2＋4b 2)m ，宽为6a 4m ，在它的四个角上分别剪去一个边长为32a 3m 的小正方形然后折成一个无盖的盒子，请你求这个无盖盒子的表面积．。

单项式乘以多项式教案引言：在代数学中，单项式和多项式是非常基础且重要的概念。

本教案旨在教导学生如何乘以一个单项式和一个多项式，以加深他们对这些概念的理解。

通过这个教案，学生将学习如何正确地进行单项式和多项式的乘法运算，并能够应用这些技巧解决实际问题。

一、概念解释1. 单项式单项式是一个代数表达式，由一个常数（称为系数）与若干个同一变量的乘积构成。

例如，5x、2xy和8x²都是单项式。

单项式的指数可以是任何实数，但不能是负数或分数。

2. 多项式多项式是由多个单项式相加（减）而得到的代数表达式。

例如，3x + 2y、4x² - 7xy + 9和2a²b - 3ab + 5b³都是多项式。

二、单项式乘以单项式1. 规则解释要将一个单项式乘以另一个单项式，只需要将两者的系数相乘，并将两者的变量乘积的指数相加。

例如，(4x)(3x³)可以计算为4 * 3 =12，并将x的指数1和3相加得到x的指数4，所以(4x)(3x³) = 12x⁴。

2. 示例演示让我们通过一些示例来更好地理解单项式相乘的过程。

例1：计算(7u)(5u²)解：将系数7和5相乘得到35，将变量u的指数1和2相加得到u的指数3。

所以(7u)(5u²) = 35u³。

例2：计算(2y²)(4y³)解：将系数2和4相乘得到8，将变量y的指数2和3相加得到y 的指数5。

所以(2y²)(4y³) = 8y⁵。

三、单项式乘以多项式1. 规则解释要将一个单项式乘以一个多项式，只需将单项式依次与多项式的每个单项式相乘，并将结果相加。

例如，(3x)(4x² - 2x + 6)可以计算为3x * 4x² + 3x * -2x + 3x * 6。

2. 示例演示让我们通过一些示例来更好地理解单项式乘以多项式的过程。

单项式多项式的乘除法
单项式和多项式是数学中的基础概念，它们在乘除法运算中有一些特定的规则和步骤。

下面将详细介绍单项式与多项式的乘除法。

首先，我们来看单项式与单项式的乘法。

单项式是由一个或多个相同或不同的字母（或未知数）的幂相乘，再乘以一个常数（这个常数可以是正数、负数或零）得到的代数式。

单项式与单项式相乘时，我们只需将它们的系数相乘，并将相同字母的幂次相加。

例如，单项式2x^2与3x^3相乘，结果为6x^5。

接下来是单项式与多项式的乘法。

多项式是由一个或多个单项式通过加法或减法运算得到的代数式。

单项式与多项式相乘时，我们需要将单项式分别与多项式中的每一个单项式相乘，然后再将所得的结果相加。

例如，单项式2x与多项式3x^2+4x+5相乘，结果为6x^3+8x^2+10x。

至于多项式与多项式的乘法，其原理与单项式与多项式的乘法类似。

我们需要将第一个多项式中的每一个单项式分别与第二个多项式中的每一个单项式相乘，然后再将所得的结果相加。

这个过程可能会比较复杂，但只要按照步骤进行，就能得到正确的结果。

至于单项式与多项式的除法以及多项式与多项式的除法，这些运算通常可以通过长除法或者合成除法来进行。

但需要注意的是，多项式除法并不总是能得到一个整式结果，有时可能会得到一个带有余数的结果。

总的来说，单项式与多项式的乘除法运算需要遵循一定的规则和步骤。

在进行这些运算时，我们需要仔细、耐心，并确保每一步都正确无误。

通过这些运算，我们可以更好地理解和应用数学中的基本概念和原理。

单项式乘以多项式洋葱数学
单项式乘以多项式是初中数学中的一个重要概念，也是代数学中的基础知识。

在洋葱数学中，我们可以通过“洋葱图”来更加形象地理解这个概念。

首先，让我们来看一个简单的例子：计算$x^2(x+2)$。

这个式子可以看做$x^2$乘以$(x+2)$这个多项式。

我们可以将$(x+2)$展开，得到$x^2(x+2)=x^3+2x^2$。

在洋葱图中，我们可以将$x^2$看作一个“洋葱”，$(x+2)$看作另一个“洋葱”。

将它们放在一起，形成一幅图：
x
|
x
/
x 2
|
x
图中，每个“洋葱”代表一个单项式或多项式，上面的$x$表示当前项的系数，下面的$x$表示当前项中$x$的次数。

我们可以看到，将$x^2$乘以$(x+2)$，等价于将一个$x^2$的“洋葱”插入到一个$(x+2)$的“洋葱”中，并按照乘法分配律将$x^2$的每一项都乘以$(x+2)$的每一项。

最终，我们得到的结果就是两个“洋葱”中所有可能的“洋葱”组合的和。

这个例子只是单项式乘以多项式的简单示例。

在实际运用中，我们可能会遇到更加复杂的情况。

但是，只要我们掌握了洋葱数学的方法，就能够快速而准确地解决这些问题。

总之，洋葱数学是一种直观、有趣而实用的数学理念，可以帮助我们更好地理解代数学中的各种概念和运算。

一、单项式乘以单项式文字语言：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

符号语言：（ma）.（nb）=(mn)ab图形语言：分析：我们可以把它看成一个长为nb,宽为ma的长方形，也可以看成mn个小长方形，由面积相等得：（ma）.（nb）=(mn)ab！二、单项式乘以多项式文字语言：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。

符号语言：a(b+c+d)=ab+ac+ad图形语言：分析：我们可以把它看成一个长为（b+c+d),宽为a的长方形，也可以看成3个小长方形，由面积相等得：a(b+c+d)=ab+ac+ad!三、多项式乘以多项式文字语言：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。

符号语言：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd图形语言：分析：我们可以把它看成一个长为（a+b),宽为(c+d)的长方形，也可以看成4个小长方形，由面积相等得：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd四、完全平方公式文字语言：两数和（差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们乘积的两倍。

符号语言：图形语言：分析：我们可以把图1看成一个长为（a+b),宽为(a+b)的长方形，也可以看成4个小长方形，由面积相等得(1);我们把图2边长为（a-b)的正方形，可以转化成边长为a的正方形减去两个面积为ab的正方形，再加上边长为b的正方形，可得（2）。

五、平方差公式文字语言：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。

符号语言：图形语言：分析：我们可以把左侧图形转化为右侧图形，由面积相等得:(a+b)(a-b)=a^2-b^2六、立方差公式文字语言：两数的平方和加上两数的积再乘以两数的差，所得到的积就等于两数的立方差。

符号语言：图形语言：分析：由面积相等得a^3-b^3=a^2(a-b)+b^2(a-b)+ab(a-b)=(a-b)(a^2+ab+b^2)!七、连续n个自然数立方和公式（n>0）文字语言：前n个自然数的立方和，等于前n个自然之和的平方。