一元二次方程的应用(专题训练)上课讲义

《一元二次方程及其应用》讲义一、一元二次方程的定义【例题】1、关于x 的方程023)1()1(2=++++-m x m x m ,当m 时为一元一次方程；当m 时为一元二次方程。

2、下列方程中，是关于x 的一元二次方程的有________．（1）2y 2+y －1=0；（2）x （2x －1）=2x 2；（3）21x－2x=1；（4）ax 2+bx+c=0；（5）12x 2=0． 3、关于x 的方程（m 2－1）x 2+（m －1）x+2m －1=0是一元二次方程的条件是________．【习题】1、下列方程中是一元二次方程的是( ).A.xy ＋2＝1B. 09212=-+xx C. x 2＝0 D.02=++c bx ax 2、下列方程中，不是一元二次方程的是（ ） A.2x 2+7=0 B.2x 2+23x +1=0 C.5x 2+x 1+4=0 D.3x 2+(1+x ) 2+1=03、关于x 的方程(m －4)x 2+(m +4)x +2m +3=0，当m __________时，是一元二次方程，当m __________时，是一元一次方程.4、下列说法正确的是（ ）A ．一元二次方程的一般形式是20ax bx c ++= B ．一元二次方程20ax bx c ++=的根是242b b ac x a -±-= C ．方程2x x =的解是x ＝1D ．方程(3)(2)0x x x +-=的根有三个 二、一元二次方程的根【例题】1、若ｎ（ｎ≠0）是关于ｘ的方程ｘ2+ｍｘ+2ｎ=0的根，则ｍ＋ｎ的值是（ ）A 、1B 、2C 、－1D 、－22、若x =1是方程ax 2+bx +c =0的解，则（ ）A.a +b +c =1B.a －b +c =0C.a +b +c =0D.a －b －c =03、已知0和1-都是某个方程的解，此方程是（ ）A. 012=-xB. 0)1(=+x xC. 02=-x xD. 1+=x x4、如果21x －2x －8=0，则1x 的值是________．5、已知一元二次方程02=++c bx ax ，若0=++c b a ，则该方程一定有一个根是（ ）A. 0B. 1C. -1D. 2【习题】1、若x =－1是方程ax 2+bx +c =0的解，则（ ）A.a +b +c =1B.a －b +c =0C.a +b +c =0D.a －b －c =02、已知（x 2+y 2+1）（x 2+y 2+3）=8，则x 2+y 2的值为（ ）．A ．－5或1B ．1C ．5D ．5或－13、已知m 是一元二次方程x 2–2005x +1=0的解，求代数式22200520041m m m -++的值.4、已知x = –5是方程x 2+mx –10=0的一个根，求x =3时，x 2+mx –10的值.三、一元二次方程的解法【例题】1、填写解方程3x (x +5)=5(x +5)的过程解：3x (x +5)__________=0(x +5)(__________)=0x +5=__________或__________=0∴x 1=__________,x 2=__________2、用配方法解方程x 2+2x －1=0时①移项得__________________②配方得__________________即（x +__________）2=__________③x +__________=__________或x +__________=__________④x 1=__________,x 2=__________3、方程2（x+2）2－8=0的根是 。

教学目标1．了解整式方程和一元二次方程的概念；2．知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。

3．通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。

教学建议教学重点和难点：重点：一元二次方程的概念和它的一般形式。

难点：对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定。

教学建议：1．教材分析：1）知识结构：本小节首先通过实例引出一元二次方程的概念，介绍了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程中各项的名称。

2）重点、难点分析理解一元二次方程的定义：是一元二次方程的重要组成部分。

方程，只有当时，才叫做一元二次方程。

如果且，它就是一元二次方程了。

解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：（1）一元二次方程的条件是确定的，如方程（），把它化成一般形式为，由于，所以，符合一元二次方程的定义。

（2）条件是用“关于的一元二次方程”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。

如“关于的一元二次方程”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。

（3）方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。

如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程；当时，它是一元二次方程，解题时就会有不同的结果。

教学设计示例一元二次方程（1）教学目的1.了解整式方程和一元二次方程的概念；2.知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。

3.通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。

教学难点和难点:重点:1．一元二次方程的有关概念2．会把一元二次方程化成一般形式难点: 一元二次方程的含义.教学过程设计一、引入新课引例：剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪?分析：1.要解决这个问题，就要求出铁片的长和宽。

一元二次方程根与系数关系及应用题（讲义）➢ 课前预习1. 已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）有两个实数根x 1，x 2，请你用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式．2. 已知x 1+x 2=5，x 1·x 2=6，请利用完全平方公式及分式运算知识求解下列各式的值．（1）x 1-x 2； （2）1211x x +；（3）x 12-x 22．➢ 知识点睛1. 从求根公式中我们发现x 1+x 2=________，x 1·x 2=__________，这两个式子称为_____________，数学史上称为___________． 注：使用___________________的前提是____________． 2. 一元二次方程应用题的常见类型有：①__________；②__________；③_________；④_________． 增长率型 例如：原价某元，经过两次连续降价（涨价）；1人患了流感，经过两轮传染．双循环制 例如：每两队之间都进行两场比赛 经济型 例如：“每涨价××元，则销量减少××件”． 3. 应用题的处理思路：①理解题意，梳理信息； ②建立数学模型； ③求解验证，回归实际．➢ 精讲精练1. 若x 1，x 2是一元二次方程2x 2-7x =4的两根，则x 1+x 2与x 1·x 2的值分别是（ ）A ．7，4B ．72-，2C ．72，2D ．72，-22.若12x =x 2+ax +1=0的一个根，则该方程的另一个根x 2=_________，a =________．3. 若关于x 的方程x 2+2x +a -1=0有两个负根，则a 的取值范围是____________________．4. 已知关于x 的一元二次方程x 2-2x +a =0的两实数根x 1，x 2满足x 1·x 2+x 1+x 2＞0，则a 的取值范围为__________．5. 若x 1，x 2是方程2x 2+4x -3=0的两个根，不解方程，求下列各式的值．（1）1211x x +； （2）x 12+x 22；解：由原方程知a =_____，b =_____，c =_____， ∵Δ=b 2-4ac= =______0∴x 1+x 2= ，x 1·x 2= ．（1）原式= （2）原式= = = = =（3）|x 1-x 2|．6.已知关于x的方程(m-1)x2-x-2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）若x1，x2是该方程的两个根，且2212121 8x x x x+=-，求实数m的值．7.某商品原售价为289元，经过连续两次降价后售价为256元．设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（）A．289(1-x)2=256 B．256(1-x)2=289C．289(1-2x)=256D．256(1-2x)=2898.为了做好“精准扶贫”，某市2016年投入资金1 200万元用于异地安置，此后投入资金逐年增加，2016年到2018年，该市投入异地安置资金的总金额达5 700万元．设该市投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意所列方程正确的是（）A．1 200(1+x)2=5 700B．1 200(1+2x)=5 700C．1 200(1+x)+1 200(1+x)2=5 700D．1 200+1 200(1+x)+1 200(1+x)2=5 7009.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了________个人．10.2017-2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场．若设参赛队伍有x支，则可列方程为（）A．1(1)3802x x-=B．x(x-1)=380C．1(1)3802x x+=D．x(x+1)=38011.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A．9人B．10人C．11人D．12人12.如图，有一张矩形纸片，长10 cm，宽6 cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32 cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）A．10×6-4×6x=32 B．(10-2x)(6-2x)=32=32C．(10-x)(6-x)=32 D．10×6-4x213.如图，在一块长92 m，宽60 m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），若水渠把耕地分成面积均为885 m2的6个矩形小块，则水渠应挖多宽？14.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元，据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加______件，每件商品盈利_______元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？【分析】解：15. 某商店将进价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可销售200件．现在采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润，并尽量使顾客得到实惠，如果这种商品的售价每提高0.5元，其销售量就减少10件，则将每件售价定为多少元时，才能使每天的利润达到640元？ 【分析】16. 宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为x 元时宾馆当天的利润为10 890元，则有（ ）A ．(18020)501089010x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭B ．1805050201089010x x -⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭C ．180(20)501089010x x -⎛⎫--= ⎪⎝⎭D ．(180)5050201089010x x ⎛⎫+--⨯= ⎪⎝⎭【参考答案】 ➢ 课前预习1. 有实数根的条件：b 2-4ac ≥0；求根公式：2b x a-±=（b 2-4ac ≥0）2. （1）原式=±1；（2）原式=56；（3）原式=±5．➢ 知识点睛1. b a -；ca；根与系数的关系；韦达定理；韦达定理；Δ≥02. ①增长率型；②双循环制；③面积型；④经济型➢ 精讲精练1. D2.2；-4 3. 1＜a ≤2 4. -2＜a ≤15. 解：由原方程知：a =2，b =4，c =-3， ∵Δ=b 2-4ac =42-4×2×(-3) =40 ＞0∴x 1+x 2=-2，1232x x ⋅=-．1212123243x xx x +=-=-=（）原式（2）7；（36. （1）78m >且m ≠1； （2）m =5． 7. A 8. D9.1010.B11.C12.B13.水渠应挖1 m宽．14.（2）每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2 100元．15.每件售价定为12元时，才能使每天的利润达到640元．16.C。

一元二次方程应用实际问题一、学习要点：1、列一元二次方程解应用题的步骤；2、会解三种类型应用题。

二、例题讲解与练习：引例（说明列一元二次方程解应用题的步骤）：一块长方形绿地的面积为１２００平方米，并且长比宽多１０米，那么长和宽各多少米？例1、某建筑工程队，在工地一边的靠墙处，用120米长的铁栅栏围一个矩形的临时仓库，铁栅栏只围三边,求按下列要求所围矩形的两邻边的长。

（1）围成的矩形的面积是1152平方米；（2）围成的矩形的面积是1800平方米；（3）围成的矩形的面积是2000平方米。

练习1、要建造一个面积为150平方米的长方形仓库，为节约材料，仓库的一边靠着长为m 的一堵墙，另三边用竹子围成，竹长35米。

（1）求仓库的长和宽个多少米；（2）墙的长度m对题目的解起什么作用？练习2、李老伯想利用一边长为a米的旧墙及24米长的旧木料建造猪舍3间，如图所示。

它们的平面图是一排大小相等的长方形。

（1）如果猪舍的宽AB为x米，则猪舍的总面积S与x有怎样的关系式？（2）请帮李老伯计算一下，如果猪舍总面积为32平方米，应如何安排猪舍的长和宽？又旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？例2、问题1：某工厂七月份的产值为100万元，计划八、九两月的产值平均每月比上月递增20%，求八、九两月的产值各是多少万元？问题2：某工厂今年的产值为a万元，如果计划在五年内的年产值每年平均增长率为x，那么该厂两年后的年产值可用怎样的代数式表示？练习1、某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000吨，3月上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率为多少？练习2、一种药品原价是每盒800元,经过两次降价后,价格降到每盒578元,平均每次降价的百分率是多少?练习3、市第四中学初三年级初一开学时就参加课程改革试验，重视学生能力培养.初一阶段就有48人在市级以上各项活动中得奖，之后逐年增加，到三年级结束共有183人次在市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年增长率.练习4、制造一种产品，原来每件产品成本为300元，由于两次降低成本，现在成本为195元，求平均每次降低成本百分之几？，并求第一次降低后的成本。

考点一、概念(1)内容：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax（3）关键点：强调对最高次项的讨论：①次数为“2”；②系数不为“0”。

典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。

针对练习：1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。

2、若方程()112=∙+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。

考点二、方程的解⑴内容：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：①利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。

例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。

说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。

说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。

例4、已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a变式：若0122=--a a ，0122=--b b ，则ab b a +的值为 。

针对练习：1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。

2、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。

3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。

一元二次方程及应用【基础知识回顾】一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次。

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成a x2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现，但二次项必须存在，而且左边通常按未知数的次数从高到低排列，特别注意的是“＝”的右边必须整理成0。

注意：判断某个方程是否为一元二次方程，必须满足：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2 三个条件。

特别注意一元二次方程的左右两边不应有分母和根号中出现未知数。

【提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件】【重点考点例析】考点一：一元二次方程的解例1 若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013-a-b的值是（）A．2018B．2008C．2014D．2012点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式a+b的值．考点二：一元二次方程的解法例2 一元二次方程x（x-2）=2-x的根是（）A．-1B．2C．1和2D．-1和2考点三：根的判别式的运用例5 已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．思路分析：（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC 时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．考点四：一元二次方程的应用2．一元二次方程x2-3x=0的根是．3．解方程：（2x-1）2=x（3x+2）-7．4．关于x的一元二次方程为（m-1）x2-2mx+m+1=0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？5．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是（）A．x2-3x+1=0B．x2+1=0C．x2-2x+1=0D．x2+2x+3=06．若关于x的方程式x2-x+a=0有实根，则a的值可以是（）A．2B．1C．0.5D．0.257．已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜-2B．k＜2C．k＞2D．k＜2且k≠1。

一元二次方程概念、解法、根的判别式（讲义）一、知识点睛1. 只含有___________________的整式方程，并且都可以化成_______________（____________________）的形式，这样的方程叫做一元二次方程．思考次序：______________、__________、_______________．2. 我们把____________________（____________________）称为一元二次方程的_______形式，其中____，____，____分别称为二次项、一次项和常数项，_____，_____分别称为二次项系数和一次项系数．3. 解一元二次方程的思路是设法将其转化成________________来处理．主要解法有：________________，________________，_____________，_____________等．4. 配方法是配成_______公式；公式法的公式是_____________；分解因式法是先把方程化为___________________________的形式，然后把方程左边进行____________________，根据_________________________，解出方程的根．5. 通过分析求根公式，我们发现___________决定了根的个数，因此_________被称作根的判别式，用符号记作_________；当__________时，方程有两个不相等的实数根（有两个解）；当__________时，方程有两个相等的实数根（有一个解）；当__________时，方程没有实数根（无根或无解）．二、精讲精练1. 下列方程：①3157x x +=+；②2110x x+-=； ③25ax bx -=（a ，b 为常数）；④322=-m m ；⑤202y =；⑥2(1)3x x x +=-；⑦22250x xy y -+=．其中为一元二次方程的是____________．2. 方程221x =-的二次项是________，一次项系数是____，常数项是______．3. 若关于x 的方程21(1)230m m x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为___________．4. 若方程01)1(2=-+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m =0B ．m ≠1C ．m ≥0且m ≠1D ．m 为任意实数 5. 若x =2是关于x 的方程230x x a -+=的一个根，则2a -1的值是（ ）A ．2B ．-2C ．3D ．-36. 一元二次方程2(4)25x +=的根为（ ）A ．x =1B ．x =21C ．x 1=1，x 2=-9D ．x 1=-1，x 2=97. 关于x 的方程210x kx --=的根的情况是（ ）A ．方程有两个不相等的实数根B ．方程有两个相等的实数根C ．方程没有实数根D ．根的情况与k 的取值有关8. 如果关于x 的方程220x x m -+=（m 为常数）有两个相等的实数根，那么m =_________．9. 若一元二次方程22(4)60x x kx -+-+=无实数根，则k 的最小整数值是________． 10. 用配方法解方程： （1）2210x x --=； （2）210x x +-=；解：22____x x -=，22___1___x x -+=+，()2___________=，_______=_____， x =∴1x = ，2x =（3）23920x x -+=； （4）24810x x --=；（5）20ax bx c ++=（a ≠0）．11. 用公式法解方程： （1）23100x x +-=；（2）22790x x --=；解：a =___，b =___，c =___，∵24b ac -=________=________>0∴ x ==∴1x = ，2x =（3）21683x x +=；（4）2352x x -+=-．12. 用分解因式法解方程： （1）(54)54x x x +=+； （2）(1)(8)12x x ++=-；解：( _____ )(54)0x +=， _______=0或_______=0， ∴1x = ，2x =（3）22(2)(23)x x -=+；（4）29x -=；（5）2(21)10kx k x k -+++=（k ≠0）．13. 阅读题：解方程的关键是设法将其转化为一元一次方程，转化的思路是“多元消元、高次降次”，换元法是降次的常用工具． 例 解方程：42320x x -+=． 解：设2y x =，则2320y y -+=， 解得，11y =，22y =． 当21x =时，11x =，21x =-；当22x =时，3x =，4x =故原方程的解为11x =，21x =-，3x =4x = 仿照以上作法求解方程：222(5)2(5)240x x x x +-+-=．三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1. 一个未知数x ；20ax bx c ++=（0a a b c ≠，，，为常数）；整式方程、化简整理、一元二次．2. 20ax bx c ++=（0a a b c ≠，，，为常数）；一般；2ax ，bx ，c ；a ，b ．3. 一元一次方程；直接开平方法，配方法，公式法，分解因式法．4. 完全平方；2402b x b ac a（）-=-≥；20ax bx c ++=（0a a b c ≠，，，为常数）； 分解因式；若ab =0，则a =0或b =0．5. 24b ac -；24b ac -；Δ；Δ>0；Δ=0；Δ<0． 二、精讲精练1．④⑤； 2．22x ，1-； 3．1-； 4．C ； 5．C ；6．C ；7．A8．1；9．210．（1）2210x x --= 解：221x x -=，22111x x -+=+，()212x -=，1x -=，1x =±∴1x =121x =．（2）1x =，2x =．（3）196x =，2x =．（4）122x =，222x =．（5）12b x a -=，22b x a--=（24b ac -≥0）．11．（1）23100x x +-= 解：a =1，b =3，c =-10， ∵24b ac -=()23410-⨯-=49>0∴ 3 2x -==3 72-± ∴1x =2，2x =-5．（2）11x =-，292x =． （3）114x =，234x =-．（4）113x =-，22x =．12．（1）(54)54x x x +=+ 解：( 1 )(54)0x x -+=，1x -=0或54x +=0，∴1x =1，2x =45-．（2）14x =-，25x =-． （3）113x =-，25x =-．（4）1x =2x =． （5）11k x k+=，21x =． 13．222(5)2(5)240x x x x +-+-= 解：设25y x x =+，则22240y y --= 解得：1264y y ==-，当256x x +=时，1261;x x ，=-= 当254x x +=-时，3414;x x ，=-=-故原方程的解为12346114x x x x =-==-=-，，，一元二次方程概念、解法、根的判别式（随堂测试）1. 已知关于x 的方程22(1)40m m mx m x -+---=是一元二次方程，则m 的值为__________．2. 已知x =a 是一元二次方程2350x x --=的一个根，则代数式23a a -=————．3. 用你认为合适的方法解方程： （1）2410x x --=；（2）2(32)(1)(32)x x x x -=--；（3）2280x x --=；（4）23440x x --=．【参考答案】1．12．53．（1）12x =22x =（2）11x =-，223x =； （3）12x =-，24x =；（4）12x =，223x =-．一元二次方程概念、解法、根的判别式（作业）1. 已知x =1是关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=的一个根，则m 的值是（ ） A ．-3B ．-1C ．1D ．32. 用配方法解一元二次方程2890x x -+=，配方得2()x m n +=，则m ，n 的值分别为（ ） A ．4，7B ．4，-7C ．-4，7D ．-4，-73. 关于x 的方程22210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是（ ）A ．k 为任何实数，方程都没有实数根B ．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C ．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D ．根据k 的不同取值，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种4. 下列方程：①21213x x -=；②230y xy y -+=；③2710y +=；④213x =；⑤22(1)23x x x -=-；⑥20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数，且a ≠0）．其中是一元二次方程的是____________．5. 方程(1)(21)2x x-+=化成一般形式是______________，它的二次项是________，一次项系数是______，常数项是______．6. 已知关于x 的方程22(1)(1)20m x m x -+--=，当m _____时，方程为一元二次方程；当m ______时，方程为一元一次方程．7. 若m 是方程220x x --=的一个根，则代数式2m m -=_____． 8. 方程3(1)22x x x -=-的解为____________．9. 若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______． 10. 用配方法解方程： （1）2440x x --=；（2）2214x x -=．11. 用公式法解方程： （1）230x x --=；（2）22750x x --=．12. 用分解因式法解方程： （1）(1)(2)24x x x ++=+； （2）(2)(3)12x x --=．13. 用你认为合适的方法解方程： （1）2240x x --=； （2）2310x x --=；（3）2+3280x x -=；（4）2(21)10mx m x m ---+=（m ≠0）．14. 阅读题：解方程的关键是设法将其转化为一元一次方程，转化的思路是“多元消元、高次降次”，分解因式是降次的一种工具． 例 解方程：3234120x x x --+=． 解：原方程可化为：2(3)4(3)0x x x ---=2(3)(4)0x x --=(3)(2)(2)0x x x -+-=∴x 1=3，x 2=-2，x 3=2．仿照以上作法求解方程：3244160x x x +--=．【参考答案】1．B2．C3．B4．③④⑥5．2230x x --=，22x ，1-，3-6．1m ≠±，=1m -7．28．12213x x ==-，9．k >-1且0k ≠10．（1）1222x x =+=-（2）12x x ==．11．（1）12x x ==；（2）127744x x +-== 12．（1）1221x x =-=，；（2）1216x x =-=，；13．（1）1211x x ==（2）123322x x ==； （3）1247x x ==-，；（4）1211m x x m-==，； 14．123224x x x ==-=-，，．一元二次方程根与系数关系及应用题（讲义）一、知识点睛1．从求根公式中我们发现12x x +=_______，12x x ⋅=_________， 这两个式子称为_____________，数学史上称为___________． 注：使用___________________的前提是_________________． 2．一元二次方程应用题的常见类型有：①______________；②______________；③______________． 增长率型 例如：原价某元，经过两次连续降价（涨价）；1人患了流感，经过两轮传染．经济型 例如：“每涨价××元，则销量减少××件”． 3．应用题的处理流程： ① 理解题意，辨析类型； ② 梳理信息，建立数学模型； ③ 求解，结果验证．二、精讲精练1. 若x 1，x 2是一元二次方程2274x x -=的两根，则x 1+x 2与12x x ⋅的值分别是（ ） A ．7，4B ．72-，2C ．72，2D ．72，-22. 若x1=2是一元二次方程210x ax ++=的一个根，则该方程的另一个根x 2=_________，a =________．3. 若关于x 的方程2210x x a ++-=有两个负根，则a 的取值范围是____________________．4. 若关于x 的方程2220x x m +-=的两根之差的绝对值是m =________．5. 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价256元．设平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．2289(1)256x -=B ．2256(1)289x -=C ．289(12)256x -=D ．256(12)289x -= 6. 据调查，某市2013年的房价为6 000元/米2，预计2015年将达到8 840元/米2，求该市这两年房价的年平均增长率．设年平均增长率为x ，根据题意，所列方程为_______________．7. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了________________个人．8. 若x 1，x 2是方程22430x x +-=的两个根，不解方程，求下列各式的值．（1）1211x x +； （2）2212x x +．解：由原方程知a =_____，b =_____，c =_____，2Δ4 0b ac _____=-==∵∴12x x += ，12x x ⋅= ． （1）原式== =9. 已知关于x 的方程2(1)20m x x ---=．若x 1，x 2是该方程的两个根，且22121218x x x x +=-，求实数m 的值．10. 如图，在一块长92 m ，宽60 m 的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），若水渠把耕地分成面积均为885 m 2的6个矩形小块，则水渠应挖多宽？11.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元，据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加______件，每件商品盈利_____元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？【分析】12.某商店将进价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可销售200件．现在采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润，并尽量使顾客得到实惠，如果这种商品的售价每提高0.5元其销售量就减少10件，则将每件售价定为多少元时，才能使每天的利润达到640元？【分析】13.我市高新技术开发区的某公司，用320万元购得某种产品的生产技术后，进一步投入资金880万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元．当销售单价定为100元时，年销售量为20万件，调查表明：在100~200元范围内，新产品的销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件．为了实现年获利240万元，产品的销售单价应定为多少元？（年获利=年销售额-生产成本-投资成本）【分析】解：Array三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________一、知识点睛1. b ca a，-；根与系数的关系；韦达定理；韦达定理，Δ0≥．2. ①增长率型；②面积型；③经济型． 二、精讲精练 1．D 2．2，-43．12a <≤4．2±5．A6．6000(1+x )2=88407．108．解：由原方程知： a =2，b =4，c =-3，()22Δ4446400b ac =-=-⨯-=＞∵ ∴122x x +=-，1232x x ⋅=-．（1）原式121224332x x x x +-===-； （2）7 9．5m = 10．水渠应挖1m 宽．11．（2）每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2 100元． 12．13．产品的销售单价应定为120元．一元二次方程根与系数关系及应用题（随堂测试）1. 先验证方程22410x x --=有两个实数根1x ，2x ，然后不解方程，求下列各式的值．（1）12(1)(1)x x ++；（2）2212x x +．2. 某商场将进货单价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：在40~60元范围内，这种台灯的销售单价每上涨1元，其销售量将减少10个，为实现平均每月10 000元的销售利润，这种台灯的销售单价应定为多少元？ 【分析】解：【参考答案】1．∵2Δ(4)42(1)240=--⨯⨯-=>，∴方程22410x x --=有两个实数根1x ，2x ．（1）52；（2）5；2．这种台灯的销售单价应定为50元．一元二次方程根与系数关系及应用题（作业）1. 某品牌服装原售价为173元，经过连续两次降价后售价为127元，设平均每次降价x %，则所列方程为_______________．2. 小丽要在一幅长为80 cm ，宽为50 cm 的矩形风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，使整幅挂图的面积是5 400 cm 2，设金色纸边的宽度为x cm ，则x 满足的方程是_______________．3. 一种商品经连续两次降价后，价格是原来的14，若两次降价的百分率相同，则这个百分率为_______________． 4. 若1x ，2x 是一元二次方程23540x x --=的两个根，则12x x +与12x x ⋅的值分别是_____________．5. 若关于x 的方程2250x x a -+-=有两个正根，则a 的取值范围是_______________．6. 设1x ，2x 是方程23620x x +-=的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．（1）12(1)(1)x x ++；（2）221212x x x x +；（3）1211x x +；（4）212()x x -．7. 某市为争创全国文明卫生城市，2012年市政府对市区绿化工程投入的资金是2000万元，2014年投入的资金是2 420万元，且从2012年到2014年，每年投入资金的年平均增长率相同．（1）求该市政府对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市政府在2016年需投入多少万元？8. 小明家有一块长为8 m ，宽为6 m 的矩形空地，妈妈准备在该空地上建造一个花园，并使花园面积为空地面积的一半．小明设计了如下的两种方案供妈妈挑选，请你选择其中的一种方案帮小明求出图中的x 值．方案一9. 某商店进购某种商品出售，若按每件盈利2元售出，每天可售出200件．现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的售价每提高0.5元，其销售量就减少5件，则将每件商品提高多少元出售时，才能使每天的利润为1 210元？10. 汽车站水果批发市场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克这种水果在原售价的基础上每涨价1元，日销售量将减少20千克．如果市场每天销售这种水果盈利了6 000元，同时顾客又得到了实惠，那么每千克这种水果盈利了多少元？【参考答案】1．2173(1%)127x -=2．()()5028025400x x ++=3．50%4．5433-，5．4158a <≤． 6．（1）53-； （2）43； （3）3； （4）203．7．（1）10%； （2）2 928.2万元．8．方案一中2x =，方案二中2x =．9．将每件商品提高9元出售时，才能使每天的利润为1 210元． 10．每千克这种水果盈利了15元．。