1.3 第2课时补集教学目标1.理解补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn 图.3.会求补集，并能解决一些集合的综合运算问题.教学知识梳理知识点一 补 集 自然语言对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作∁U A 集合语言∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }图形语言性质①A ∪(∁U A )＝U ，A ∩(∁U A )＝∅； ②∁U U ＝∅，∁U ∅＝U 题型一 补集的运算例1 (1)已知全集U ＝{a ，b ，c }，集合A ＝{a }，则∁U A 等于( )A.{a ，b }B.{a ，c }C.{b ，c }D.{a ，b ，c } 『答案』C『解析』∁U A ＝{}x |x ∈U 且x ∉A ＝{}b ，c .(2)若全集U ＝{x ∈R |－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R |－2≤x ≤0}，则∁U A 等于( )A.{x |0<x <2}B.{x |0≤x <2}C.{x |0<x ≤2}D.{x |0≤x ≤2}『答案』C『解析』∵U ＝{x ∈R |－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R |－2≤x ≤0}，∴∁U A ＝{x |0<x ≤2}，故选C.反思感悟 求集合的补集，需关注两处：一是确认全集的范围；二是善于利用数形结合求其补集，如借助Venn 图、数轴、坐标系来求解.跟踪训练1 (1)设集合U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则∁U A ＝________.『答案』{3,4,5}(2)已知全集U ＝{a ，b ，c ，d ，e }，集合A ＝{b ，c ，d }，B ＝{c ，e }，则(∁U A )∪B 等于( )A.{b ，c ，e }B.{c ，d ，e }C.{a ，c ，e }D.{a ，c ，d ，e }『答案』C『解析』∁U A ＝{a ，e }，(∁U A )∪B ＝{a ，c ，e }.(3)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |1<x ≤3}，则∁U A 等于( )A.{x |x <1或x ≥3}B.{x |x ≤1或x >3}C.{x |x <1或x >3}D.{x |x ≤1或x ≥3}『答案』B『解析』U ＝R ，∁U A ＝{x |x ≤1或x >3}.题型二 补集的应用例2 (1)设全集U ＝{1,3,5,7}，集合M ＝{1，|a －5|}，∁U M ＝{5,7}，则a 的值为________. 『答案』2或8『解析』由U ＝{1,3,5,7}，M ＝{1，|a －5|}，∁U M ＝{5,7}知M ＝{1,3}.∴|a －5|＝3，∴a ＝8或2.(2)已知A ＝{0,2,4,6}，∁U A ＝{－1，－3,1,3}，∁U B ＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B . 解 ∵A ＝{0,2,4,6}，∁U A ＝{－1，－3,1,3}，∴U ＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}.而∁U B ＝{－1,0,2}，∴B ＝∁U (∁U B )＝{－3,1,3,4,6}.反思感悟 从Venn 图的角度讲，A 与∁U A 就是圈内和圈外的问题，由于(∁U A )∩A ＝∅，(∁U A )∪A ＝U ，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推.跟踪训练2 (1)已知集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |x >2a ＋1}，若A ∩(∁R B )＝∅，则实数a 的取值范 围是_____________.『答案』{a |a <0}『解析』∁R B ＝{x |x ≤2a ＋1}.由A ∩(∁R B )＝∅，∴2a ＋1<1，∴a <0.(2)设全集U ＝{0,1,2,3}，集合A ＝{x |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________. 『答案』－3『解析』∵U ＝{0,1,2,3}，∁U A ＝{1,2}，∴A ＝{0,3}.∴0,3是x 2＋mx ＝0的两个根，∴m ＝－3.题型三 集合的综合运算例3 (1)已知全集U ＝{}1，2，3，4，5，6，集合P ＝{}1，3，5，Q ＝{}1，2，4，则(∁U P )∪Q 等于( )A.{}1B.{}3，5C.{}1，2，4，6D.{}1，2，3，4，5『答案』C『解析』∵∁U P ＝{}2，4，6，∴(∁U P )∪Q ＝{}1，2，4，6.(2)已知集合A ＝{x |x ≤a }，B ＝{x |1≤x ≤2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是________. 『答案』{a |a ≥2}『解析』∵∁R B ＝{x |x <1或x >2}且A ∪(∁R B )＝R ，∴{x |1≤x ≤2}⊆A ，∴a ≥2.反思感悟 解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分.有限集合混合运算可借助Venn 图，与不等式有关的可借助数轴.跟踪训练3 (1)已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ≠N ，若N ∩(∁I M )＝∅，则M ∪N 等于( )A.MB.NC.ID.∅『答案』A『解析』如图所示，因为N ∩(∁I M )＝∅，所以N ⊆M ，所以M ∪N ＝M .(2)设集合A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，A ∩B ＝{2}.①求a 的值及A ，B ；②设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )；③设全集U ＝A ∪B ，写出(∁U A )∪(∁U B )的所有子集.解 ①因为A ∩B ＝{2}，所以2∈A ，且2∈B ，代入可求得a ＝－5，所以A ＝{x |2x 2－5x ＋2＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，B ＝{x |x 2＋3x －10＝0}＝{－5,2}. ②由①可知U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12，2，所以∁U A ＝{－5}，∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12， 所以(∁U A )∪(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12. ③由②可知(∁U A )∪(∁U B )的所有子集为∅，{－5}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12. 核心素养之数学运算根据补集的运算求参数典例 (1)设全集U ＝{3,6，m 2－m －1}，A ＝{|3－2m |,6}，∁U A ＝{5}，求实数m . 解 ∵∁U A ＝{5}，∴5∈U 且5∉A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝5，|3－2m |≠5， 由m 2－m －1＝5，得m 2－m －6＝0，∴m ＝－2或m ＝3.①当m ＝－2时，|3－2m |＝7≠5，此时U ＝{3,5,6}，A ＝{6,7}，不符合要求，舍去；②当m ＝3时，|3－2m |＝3，此时，U ＝{3,5,6}，A ＝{3,6}满足∁U A ＝{5}.综上所述m ＝3.(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |a ＋1≤x ≤2a －1}，且A ⊆(∁U B )，求实数a 的取值范围.解 若B ＝∅，则a ＋1>2a －1，即a <2，此时∁U B ＝R ，所以A ⊆(∁U B ).若B ≠∅，则a ＋1≤2a －1，即a ≥2，此时∁U B ＝{x |x <a ＋1或x >2a －1}，又A ⊆(∁U B )，所以a ＋1>5或2a －1<－2，所以a >4或a <－12(舍去). 所以实数a 的取值范围为{a |a <2或a >4}.『素养评析』(1)由集合的补集求解参数的方法①有限集：由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解.②无限集：与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解.(2)理解运算对象，掌握运算法则，选择运算方法，求得运算结果，充分体现了数学运算的数学核心素养.课堂小结1.全集与补集的互相依存关系(1)补集是集合之间的一种运算.求集合A 的补集的前提是A 是全集U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念.(2)∁U A 的数学意义包括两个方面：首先必须具备A ⊆U ；其次是定义∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }，补集是集合间的运算关系.2.补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U ，求子集A ，若直接求A 困难，可先求∁U A ，再由∁U (∁U A )＝A ，求A .达标检测1.设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁U M等于()A.UB.{1,3,5}C.{3,5,6}D.{2,4,6}『答案』C2.已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于()A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4}『答案』D3.设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁R S)∪T等于()A.{x|－2<x≤1}B.{x|x≤－4}C.{x|x≤1}D.{x|x≥1}『答案』C4.设集合U＝{0,1,2,3,4}，M＝{1,2,4}，N＝{2,3}，则(∁U M)∪N＝________.『答案』{0,2,3}5.设全集U＝Z，A＝{x∈Z|x<4}，B＝{x∈Z|x≤2}，则∁U A与∁U B的关系是________. 『答案』∁U A∁U B『解析』∁U A＝{4,5,6，…}，∁U B＝{3,4,5,6，…}，∴∁U A∁U B.。
