第4章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
§ 4.1柱面
1、已知柱面的准线为：
?
?
?=+-+=-+++-0225
)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。
解：（1）从方程
??
?=+-+=-+++-0
225
)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(2
2
2
=-+++--z y y z 即
02
3
5622=-
---+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线?
??==c z y
x 的直线方程为：
???
??=-=-=?
??
?
??=+=+=z z t y y t
x x z
z t y y t
x x 0
00000 而0M 在准线上，所以
??
?=+--+=-++-+--0
2225
)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：026888232
22=--+--++z y x xy z y x
此即为要求的柱面方程。
2、设柱面的准线为???=+=z x z y x 22
2，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
解：由题意知：母线平行于矢量{
}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为：
???
??+==-=?
??
?
??-==+=t z z y
y t
x x t
z z y y t x x 220
0000
而0M 在准线上，所以：
??
?+=-++=-)
2(2)2(2
2t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******
22=--+++z x xz z y x , 此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为
())3
4,31,3
1(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为
)15
13
,1511,152(0--
M ，圆的方程为： ?????
=++=
-++++0
7598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{
}1,1,1的直线方程为：
???
??-=-=-=?
??
?
??+=+=+=t z z t y y t
x x t
z z t y y t x x 1
11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到：
013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x
此即为所求的圆柱面的方程。 4、已知柱面的准线为
{})(),(),()(u z u y u x u =γ，母线的方向平行于矢量
{}Z Y X ,,=，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：
v u Y +=(
与
??
?
??+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。
证明：对柱面上任一点),,(z y x M ，过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M '，
则，v M ='
, 即v M O OM ='-, 亦即v u Y =-(，v u Y +=( 此即为柱面的矢量式参数方程。 又若将上述方程用分量表达，即：
{}{}{}Z Y X v u z u y u x z y x ,,)(),(),(,,+=
??
?
??+=+=+=∴Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 此即为柱面的坐标式参数方程。
§ 4.2锥面
1、求顶点在原点，准线为01,0122
=+-=+-z y z x 的锥面方程。
解：设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为：
z
Z y Y x X == 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去参数t ，得：
0)()(222=-+--y z y z z x
即：02
22=-+z y x
此为所要求的锥面方程。
2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,12
22=+-=-+z y x z y x ，试求它的
方程。
解：设),,(z y x M 为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：
2
2
1133++=++=--z Z y Y x X 令它与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使
???
??++-=++-=-+=t z Z t y Y t x X )2(2)!(1)3(30
00 将它们代入准线方程，并消去t 得：
044441026753222=+-+-+--+-z y x xz yz xy z y x
此为要求的锥面方程。
3、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。 解：（这里仅求Ⅰ、Ⅶ卦限内的圆锥面，其余类推）
圆锥的轴l 与k j i ,,等角，故l 的方向数为1:1:1∴与l 垂直的平面之一令为
1=++z y x
平面1=++z y x 在所求的锥面的交线为一圆，该圆上已知三点
)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(，该圆的圆心为)3
1
,31,31(，故该圆的方程为：
?????
=++=-+-+-1
)
32()31()31()31(2222z y x z y x 它即为要求圆锥面的准线。对锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与顶点O 的母线为：
z
Z
y Y x X == 令它与准线的交点为),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去t 得：
0=++zx yz xy
此即为要求的圆锥面的方程。
4、求顶点为)4,2,1(，轴与平面022=++z y x 垂直，且经过点)1,2,3(的圆锥面的方程。
解：轴线的方程为：
1
4
2221-=
-=-z y x , 过点)1,2,3(且垂直于轴的平面为： 0)1()2(2)3(2=-+-+-z y x
即： 01122=-++z y x 该平面与轴的交点为)9
37,920,911(
，它与)1,2,3(的距离为： 3
116)1937()2920()3911(222=-+-+-=d
∴要求圆锥面的准线为：
???
??=-++=-+-+-0
11229116)937()920()911(222z y x z y x
对锥面上任一点),,(z y x M ，过该点与顶点的母线为：
4
4
2211--=--=--z Z y Y x X 令它与准线的交点为),,(000Z Y X ，即存在t ，使,)1(10t x X -+=,)2(20t y Y -+=
t z Z )4(40-+=, 将它们代入准线方程，并消去t 得：
01299252516518525210412515122=+---+++++z y x zx yz xy z y x
5、已知锥面的准线为
{})(),(),()(u z u y u x u =γ，顶点A 决定的径矢为
{}0000,,z y x =γ，试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：
0()(1)v u v γγγ=+-
与
000()(1)()(1)()(1)x vx u v x y vy u v y z vz u v z
=+-??
=+-??=+-?
式中，v u ,为参数。
证明：对锥面上任一点),,(z y x M ，令OM γ=，它与顶点A 的连线交准线于((),(),())M x u y u z u '=，即OM ()u γ'=。//AM AM '，且0AM '≠（顶点不在准线上）
AM vAM '∴=,
00(())v u γγγγ-=-, 0()(1)v u v γγγ=+-
此为锥面的矢量式参数方程。
若将矢量式参数方程用分量表示，即：
000{,,}{(),(),()}(1){,,}x y z v x u y u z u v x y z =+-
??
?
??-+=-+=-+=∴000)1()()1()()1()(z
v u vz z y v u vy y x v u vx x 此为锥面的坐标式参数方程，v u ,为参数。
§ 4.3旋转曲面
1、求下列旋转曲面的方程：
（1）；
111112x y z -+-==-绕1
112x y z -==
-旋转 （2）；1211x y z -==-绕1112x y z -==
-旋转 （3）1133
x y z -==-绕z 轴旋转；
（4）空间曲线2
221
z x
x y ?=??+=??绕z 轴旋转。
解：（1）设1111(,,)M x y z 是母线
111
112
x y z -+-==
-上任一点，过1M 的纬圆为： 111222222111
()()2()0
(1)(1)(1)(2)
x x y y z z x y z x y z ---+-=??++-=++-?
又1M 在母线上。
111111
112
x y z -+-∴
==
- 从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：
22255224444480x y z xy yz xz x y z ++++-+---=
此为所求的旋转面方程。
（2）对母线上任一点1111(,,)M x y z ，过1M 的纬圆为：
111222222111()()2()0
(1)(1)(1)
(2)
x x y y z z x y z x y z ---+-=??++-=++-?
因1M 在母线上， 1111
211
x y z -∴
==
- (3) 从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：
2225523122424242446230x y z xy yz xz x y z ++--+-+-+=
此为所求的旋转面的方程。
（3）对母线上任一点1111(,,)M x y z ，过该点的纬圆为：
1222222111
(1)(2)
z z x y z x y z =??++=++?
又1M 在母线上，所以：
111
1133
x y z -==- （3） 从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：
2229()10690x y z z +---=
此为所求的旋转面方程。
（4）对母线上任一点1111(,,)M x y z ，过1M 的纬圆为：
1222222111
(1)(2)
z z x y z x y z =??++=++?
又1M 在母线上，所以
2
112211(1)1
(2)
z x x y ?=??+=??
从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：
221x y +=
211101z z x z ==≤∴≤≤
即旋转面的方程为：22
1x y += (01)z ≤≤
2、将直线01
x
y z
βα
-=
=绕z 轴旋转，求这旋转面的方程，并就,αβ可能的值讨论这是什么曲面？
解：先求旋转面的方程式：任取母线上一点1111(,,)M x y z ，过1M 的纬圆为：
1
222222111
(1)(2)
z z x y z x y z =??++=++?
又
1
11
01
x y z βα
-=
= （3） 从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：
222220x y z αβ+--=
此即为所求旋转面的方程。
当0,0αβ=≠时，旋转面为圆柱面（以z 轴为轴）；
当0,0αβ≠=时，旋转面为圆锥面（以z 轴为轴，顶点在原点）； 当,0αβ≠时，旋转面变为z 轴；
当0,0αβ=≠时，旋转面为单叶旋转双曲面。
x
O
3、已知曲线Γ的参数方程为(),(),()
x x u y y u z z u
===，将曲线Γ绕z轴旋转，求旋转曲面的参数方程。
解：如图，设((),(),())
M x u y u z u为Γ上任一点，则对经过M的纬圆上任一点(,,)
p x y z，令p在xoy面上的射影为p'
令(,)
i opθ
'
∠=，则op op p p
γ''
==+，
而2
op x
'=
2222
()()cos()()sin
op x u y u i x u y u
θ
'=+?++
而()
p p z u k
'=
2222
()()cos()()sin()
x u y u i x u y u u k
γθ
=+?++
此即为旋转面的矢量式参数方程，v
u,为参数。
其坐标式参数方程为：
(02)
()
x
y
z z u
θ
θθπ
?=
?
?
=≤<
?
?=
??
§4.4椭圆面
2、设动点与点(1,0,0)的距离等于从这点到平面4
x=的距离的一半，试求此动点的轨迹。
解：设动点(,,)
M x y z，要求的轨迹为∑，则
222
1
(,,)434412
2
M x y z x x y z
∈∑?=-?++=即：
222
1
433
x y z
++=
此即为∑的方程。
3、由椭球面
222
222
1
x y z
a b c
++=的中心（即原点），沿某一定方向到曲面上的一点的距离为r，设定方向的方向余弦分别为,,
λμν，试证：
222
2222
1
r a b c
λμν
=++
证明：沿定方向{,,}λμν到曲面上一点，该点的坐标为{,,}
r r r λμν该点在曲面上
222222
2221r r r a b c
λμν∴++=
即222
22221r a b c
λμν=++ 4、由椭球面222
2221x y z a b c ++=的中心，引三条两两相互垂直的射线，分别交曲面
123,,p p p ，设112233,,op r op r op r ===，试证：
222222123111111
r r r a b c
++=++ 证明：利用上题结果，有222
2222
1(1,2,3)i i i i i r a b c
λμν=++=, 其中,,i i i λμν是i op 的
方向余弦。
若将(1,2,3)i op i =所在的直线看成新的坐标系的三个坐标轴，则123,,λλλ是坐标矢量
关于新坐标系的方向余弦，从而2221231λλλ++=，同理，222
1231μμμ++=，
2221231ννν++=, 所以，
222222222
123123123222222123111111()()()r r r a b c
λλλμμμννν++=++++++++ 222
111
a b c =
++ 即：
222222
123111111r r r a b c ++=++ 5、一直线分别交坐标面,,yoz zox xoy 于三点,,A B C ，当直线变动时，直线上的三定点,,A B C 也分别在三个坐标面上变动，另外，直线上有第四点p ，它与三点的距离分别为
,,a b c ，当直线按照这样的规定（即保持,,A B C 分别在三坐标面上）变动，试求p 点的轨
迹。
解：设112233(0,,),(,0,),(,,0)A y z B x z C x y ，则知：
2121331221
,x z z y
x y z z z z =
=--
21211221
(
,,0)x z z y
C z z z z ∴-- 又设(,,)p x y z ，
,,pA a pB b pC c ===
2222
11
2222222222
21211221()()(1)()()(2)()()(3)
x y y z z a x x y z z b x z z y
x y z c z z z z ?
?+-+-=??-++-=???-+-+=--??
又p 在AB 的连线上，
11
1121
y y z z x x y z z --∴
==--（4） 从（1）——（4）消去1122,,,y z x z ，得到
222
2221x y z a b c
++= 此为点的轨迹方程。
6、已知椭球面222
2221()x y z c a b a b c
++=<<，试求过x 轴并与曲面的交线是圆的平面。
解：设要求的平面为：0y z λ+= 它与椭球面的交线为：
222
2221
0x y z a b c y z λ?++=???+=?
（4）
若（5）为圆，因（5）以原点为对称，故圆心在原点，所以圆的半径为a ，从而交线上
的点都在球面：2222
x y z a ++=上, 即有
2
22
22222
21[1(
)]z a z z a b c
λλ-+
++= 亦即：22
2
2
222(1)0a a z b c
λλ-
-+= 22
2
2
2210a a b c
λλ∴-
-+=
22
2
22(11a a b c
λ-=-
222
2
222
a c
b
c b a λ-=?-
λ∴=满足要求的平面方程为：0y ±=
§ 4.5双曲面
1、画出以下双曲面的图形：
（1）
22211694x y z -+=； （2）222
11649
x y z -+=- 解：图形如下： 2、给定方程
222
1(0)x y z A B C A B C λλλ
++=>>>--- 试问当λ取异于,,A B C 的各种数值时，它表示怎样的曲面？
解：对方程
222
1(0)x y z A B C A B C λλλ
++=>>>--- 1o、当A λ>时，不表示任何实图形； 2o、当A B λ>>时，表示双叶双曲面； 3o、当B C λ>>时，表示单叶双曲面； 4o、当C λ<时，表示椭球面。
3、已知单叶双曲面222
1494
x y z +-=，试求平面的方程，使这平面平行于yoz 面（或xoz
z 面）且与曲面的交线是一对相交直线。
解：设所求的平面为x k =，则该平面与单叶双曲面的交线为：
222
1
494
x y z x k ?+-=???=?
（6） 亦即 2221944y z k x k ?-=-
???=?
为使交线（6）为二相交直线，则须：2
104
k -=，即2k =± 所以，要求的平面方程为：2x =±
同理，平行于xoy 的平面要满足它与单叶双曲面的交线为二相交直线，则该平面为：
3y =±
4、设动点与(4,0,0)的距离等于这点到平面1x =的距离的两倍，试求这动点的轨迹。 解：设动点(,,)M x y z ，所求轨迹为∑，则
亦即：222
141212
x y z -
++= 此为∑的轨迹方程。
5、试求单叶双曲面
222
11645
x y z +-=与平面230x z -+=的交线对xoy 平面的射影柱面。
解：题中所设的交线为：
222
1
1645
230x y z x z ?+-=???-+=?
从此方程中消去z ，得到：
2220241160x y x +--=
此即为要求的射影柱面方程。
6、设直线l 与m 为互不垂直的两条异面直线，C 是l 与m 的公垂线的中点，,A B 两点分别在直线l ，m 上滑动，且90ACB ∠=，试证直线AB 的轨迹是一个单叶双曲面。
证明：以l ，m 的公垂线作为z 轴，C 作为坐标原点，再令x 轴与l ，m 的夹角均为α，公垂线的长为2c ，若设tg αλ=，则l ，m 的方程分别为：
0:y x l z c λ+=??=?
0:y x m z c
λ-=??=-? 令11(,,)A x y c ，22(,,)B x y c -11220,0y x y x λλ+=-=
又AC CB ⊥，所以：222222222
11221212()()(2)x y c x y c x x y y c +++++=-+-+
亦即
212120x x y y c +-= （2）
又设(,,)M x y z 为AB 上任一点，则
c
c z y y y y x x x x 2121121--=--=-- (3)
从（1）——（3）中消去2211,,,y x y x ，得：
222222222)1()1(c z y x λλλλλ=+---
即：11122
2
22222
2=+---c z c y c x λλλ (4) l 不垂直m ，1≠∴λ,（4）表示单叶双曲面，即AB 的轨迹是一单叶双曲面。
7、试验证单叶双曲面与双叶双曲面的参数方程分别为：
??
?
??===ctgu z v u b y v u a x sin sec cos sec 与 ??
?
??===u c z v btgu y v
atgu x sec sin cos 解：对方程：??
?
??===ctgu z v u b y v u a x sin sec cos sec
消去参数v u ,，有：122
2222=-+c
z b y a x
此即为单叶双曲面；
又对方程：??
?
??===u
c z v btgu y v
atgu x sec sin cos , 消去参数v u ,，有：1222222-=-+c z b y a x
此即为双叶双曲面方程。
§ 4.6抛物面
1、已知椭圆抛物面的顶点在原点，对称面为xoz 面与yoz 面，且过点)6,2,1(和
)1,1,3
1
(-，求这个椭圆抛物面的方程。 解：据题意可设，要求的椭圆抛物面的方程为：
z b
y a x 222
22=+ )6,2,1( 和)1,1,3
1
(-均在该曲面上,∴有：
???
???
?=+=+21911241222
2b a b a 从而
56
1,536122
==b a
所以要求的椭圆抛物面的方程为：z y x 25
65362
2=+ 即：z y x 53182
2=+
2、适当选取坐标系，求下列轨迹的方程：
（1）到一定点和一定平面距离之比为定常数的点的轨迹；
（2）与两给定的异面直线等距离的点的轨迹，已知两异面直线间的距离为a 2，夹角为α2。
解：（1）取定平面为xoy 面，过定点且垂直于xoy 面的直线作为z 轴，则定点的坐标设为),0,0(a ，而定平面即为0=z ，设比值常数为c ，并令所求的轨迹为∑，则
点c z
a z y x z y x M =-++?
∑∈2
22)(),,(即
02)1(22222=+--++a az z c y x
（2）取二异面直线的公垂线为轴，中点的坐标为原点；再取x 轴，使其与二异面直线的夹角相等，则二异面直线的方程为：
??
?==?+a
z x tg y 0
α 与 ??
?-==?-a
z x tg y 0
α 设所求的轨迹为∑，则
α
α
αα
α
α22
2222
221110011100),,(tg tg y
x x a z tg a z y
tg tg y
x x a z tg a z y z y x M +-+-+--=
+++++?
∑∈
即
：
22222222)()()()()()(y xtg a z a z tg y xtg a z a z tg ++-+-?=-++++?αααα
经同解化简得：xy a
z ααcos sin =
此即所要求的轨迹方程。
5、试验证椭圆抛物面与双曲抛物面的参数方程可分别写成：
???
?
???
===2
21sin cos u z v bu y v au x 与 ??
?
??=-=+=uv z v u b y v u a x 2)()
( 式中的v u ,为参数。 解：对方程
???
?
???
===2
21sin cos u z v bu y v au x 消去参数v u ,得：z b
y a x 222
22=+
这正是椭圆抛物面的方程。
对方程
??
?
??=-=+=uv z v u b y v u a x 2)()(
消去参数v u ,得：z b
y a x 222
22=-
§ 4.7单叶双曲面与双叶双曲面的直母线
1、 求下列直纹面的直母线族方程：
（1）02
22=-+z y x （2）axy z = 解：（1）从原方程得：2
22y z x -=-即：
y y z x z x ?-=-+))((
为了避免取极限，将上方程写成：
?
?
?-=-=+sy t z x ty
z x s )()( （1） 若将原方程变形为：2
22x z y -=-，则可得到：
??
?-=-=+ux
z y v vx
z y u )()( （2） 若令)(2
1s t u -=
，)(2
1s t v +=
，则（2）便是（1）
∴原曲面的直母线族是（1），其中t s ,不全为零。
（2）原方程变形为：ay x z =, 即：t ay x
z
==
?
??==∴t ay xt
z （1） 由
ax y
z
=得： ??
?==s
ax sy
z （2）
（1）（2）即这原曲面的两组直母线族方程。 2、 求下列直线族所成的曲面（式中的λ为参数）
（1）0112λ
λ-=-=-z y x ； （2）???=--=++4
42442z y x z y x λλλλ ()x z ty
x z y
t x z t y
y x z
+=?+=-=??
-=--?
解：（1）原方程等价于???=-=-λ
λz y x 2, 从此式中消去λ，得：y x z +=2
此即为直母线（1）所形成的曲面。
（2）从原方程中消去λ得：14
1622
2=-+z y x 此即为（2）的直母线族所形成的曲面。
3、在双曲抛物面z y x =-4162
2上，求平行于平面0423=-+z y x 的直母线。 解：双曲抛物面z y x =-4
162
2的两族直母线为： ??????
?=-=+z y x u u
y x )24(24 及 ???????=+=-z y
x v v y
x )2
4(2
4
第一族直母线的方向矢量为：},1,2{u - 第二族直母线的方向矢量为：},1,2{v 据题意，要求的直母线应满足：
2
04232104232=?=-+?=?=--?v v u u
要求的直母线方程为：
???????=-=+z y x y
x 2412
4 及 ???????=+=-2
2422
4z y x y
x 4、试证单叶双曲面122
2222=-+c
z b y a x 的任意一条直母线在xoy 面上的射影，一定是其
腰圆的比线。
证明：单叶双曲面的腰圆为??
???==+
0122
22z b y a x , 两直母线为：
??????
?+=--=+)1(1)1(b y v
c z a x b
y v c z
a x 它在xoy 面内的射影为 ：
?????=-++=0
)
1(12z v v b y v v a
x
（2） 将（2）的第一式代入（1）的第一式得：
44)]1(1[222
=+-++b
y v v b y v v
即：0)1()1(2])1(1[
22
2
222=-+-++v v y v v b y v v b
上述方程的判别式为：
0)1()1(4)1(42
22
2222=-+--=
?v v v v b
v v b ∴ （2）与（1）相比，证毕。
5、求与两直线11236-==-z y x 与21
4
283-+=
-=z y x 相交，而且与平面0532=-+y x 平行的直线的轨迹。
解：设动直线与二已知直线分别交于),,(),,,(111000z y x z y x ，则
11236000-==-z y x ，21
4
283111-+=-=z y x 又动直线与平面0532=-+y x 平行，所以，0)(3)(21010=-+-y y x x
对动直线上任一点),,(z y x M ，有：
10
010010z z z z y y y y x x x x --=--=--
从（1）——（4）消去111000,,,,,z y x z y x ，得到：z y x 44
92
2=- 6、求与下列三条直线
?
??==z y x 1
， ?
?
?-=-=z y x 1 与52
4132+=+=--z y x 都共面的直线所构成的曲面。
解：动直线不可能同时平行于直线??
?==z y x 1及直线???-=-=z
y x 1
, 不妨设其与第一条直线交
于),,1(λλp ,),,1(λλp 与第二条直线的平面为：0)()1(=+-+z y x λ
过p 与直线
5
2
4132+=
+=--z y x 的平面为 0)]()1(3[)](3)1[(=++----+z y x z y x λ
动直线的方程为：??
?=++----+=+-+0
)]()1(3[)](3)1[(0
)()1(z y x z y x z y x λλ
从上式中消去参数λ，得：12
22=-+z y x
此为所要求的轨迹方程。 7、试证明经过单叶双曲面的一 直母线的每个平面一定经过属于另一族直母线的一条直母线，并举一反例，说明这个命题与双曲抛物面的情况下不一定成立。
证明：单叶双曲面122
2222=-+c
z b y a x 的一族直母线为：
过该族中一条直母线的平面为：0)]1()([)]1()(
[=---++-+b
y
u c z a x v t b y v c z a x u s 即：
0)1()()1()(
=---++-+b
y
tu c z a x tv b y sv c z a x su （1） 另一族直母线为：??????
?+=--=+)1()()1()(b
y m c
z a x n b y
n c
z
a x m 过该族中一条直母线的平面为：0)]1()([)]1()(
[=+--+--+b
y
m c z a x n l b y n c z a x m k 0)1()()1()(=+--+--+b
y
ml c z a x nl b y kn c z a x km （2）
对照（1）、（2）得，只要令v l t n u k s m ====,,,，得（2）便是（1）了 亦即过u 族每一直母线的任一平面都经过v 族中的一条直母线，
同理，对v 族的直母线也有类似性质。
()(1)()(1)x z
y u v a c b x z y v u a c
b ?+=+???
?-=-??
对双曲抛物面：z b
y a x 222
22=-
其族直母线为：
??????
?=-=+z b
y
a
x u u b y
a x )(2 （*）
取其中的一条（即取定u ），显然平面u b
y
a x 2=+通过直母线（*）
，但该平面不通过v 族直母线中的任何一条，这是因为： v 族直母线
??????
?=+=-z v b
y a x w b
y a x )( 的方向矢量为}2,1,
1{ab v a b , 而 02
201111≠=?+?+?ab ab v a b b a ∴平面u b
y
a x 2=+不能通过v 族中的任何直母线。
8、试求单叶双曲面122
2222=-+c
z b y a x 上互相垂直的两条直母线交点的轨迹方程。
解：由于过单叶双曲面上每点仅有一条u 母线和一条v 母线，
所以它的同族直母线不能相交，设单叶双曲面的二垂直相交的直母线为：
??????
?+=--=+)1()()1()(b
y t c
z a x v b y
v c z
a x t 将两方程化为标准式，得：
2222222
2()22()2()
a u w u w x z y uw uw a u w buw c u w +---
==-+ ()(1)()(1)x z
y w u a c b
x z y u w a c
b ?+=+???
?-=-??
第七章空间解析几何 第一节作业 一、选择题(单选)： 1. 点M(2,-3,1)关于xoy平面的对称点是： (A)( -2,3,1 )；( B)( -2,-3,-1 )；(C)( 2,-3,-1 )；( D)( -2,-3,1 ) 答：() 2. 点M(4,-3,5)到x轴距离为： (A).. 42—(—3)2—52; (B) 3)2—52; (cr. 4252; (D) ： 4252. 答：() 、在yoz面上求与A(3,1,2),B(4,-2,-2) 和C(0,5,1)等距离的点。 第二节作业 设u a b c, v a b 2c.试用a, b, c表示2u 3v. 第三节作业 一、选择题(单选)： 已知两点M'2,2，?一2)和M2(1,3,0),则MM2的三个方向余弦为: 1 1 V 2 1 1 <2 1 1 42 1 1 V2 (A) , , ; (B) , , ; (C) —, , . (D) —，,. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 答：() 二、试解下列各题： 1. 一向量的终点为B( 2，-1，7),它在x轴，y轴，z轴上的投影依次为4, -4，4，求这向量的起点A的坐标。
2. 设m 3i 5 j 3k, n 2i j 4k, p 5i j 4k 求向量 a 4m 3n p 在x 轴 上的投影及在y 轴上的分向量. 3. 求平行于向量a 6,7, 6的单位向量 第四节作业 一、选择题（单选）： 1. 向量a 在b 上的投影为： 答:（） 2. 设a 与b 为非零向量，则a b 0是： （A ）a//b 的充要条件； （B ）a b 的充要条件； （C ） a b 的充要条件； （D ） a //b 的必要但不充分条件 答:（） 3.向量a,b,c 两两垂直，w —1- — a 1, b —1- J )2, C 3,则s a b c 的长度 为 (A)1 2 3 6; 2 2 2 (B)1 2 3 14; (C)J12 22 32 ; (D) J1 2 3 勺6. 答:（） (A) (B) -a a b (D)
第三章 平面与空间直线 § 3.1平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1）Θ }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： ?? ? ??++-=-=--=v u z u y v u x 212123 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又 }3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： ?? ? ??+-=+-=+=v u z u y u x 317521 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： ?? ? ??+-=+=--=v u z u y v u x 235145 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?
第4章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 § 4.1柱面 1、已知柱面的准线为： ? ? ?=+-+=-+++-0225 )2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。 解：（1）从方程 ?? ?=+-+=-+++-0 225 )2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(2 2 2 =-+++--z y y z 即 02 3 5622=- ---+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。 （2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线? ??==c z y x 的直线方程为： ??? ??=-=-=? ?? ? ??=+=+=z z t y y t x x z z t y y t x x 0 00000 而0M 在准线上，所以 ?? ?=+--+=-++-+--0 2225 )2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：026888232 22=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。 2、设柱面的准线为???=+=z x z y x 22 2，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。 解：由题意知：母线平行于矢量{ }2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为： ??? ??+==-=? ?? ? ??-==+=t z z y y t x x t z z y y t x x 220 0000
而0M 在准线上，所以： ?? ?+=-++=-) 2(2)2(2 2t z t x t z y t x 消去t ，得到：010******* 22=--+++z x xz z y x , 此即为所求的方程。 3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。 解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为 ())3 4,31,3 1(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为 )15 13 ,1511,152(0-- M ，圆的方程为： ????? =++= -++++0 7598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{ }1,1,1的直线方程为： ??? ??-=-=-=? ?? ? ??+=+=+=t z z t y y t x x t z z t y y t x x 1 11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到： 013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x 此即为所求的圆柱面的方程。 4、已知柱面的准线为 {})(),(),()(u z u y u x u =γ，母线的方向平行于矢量 {}Z Y X ,,=，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为： v u Y +=( 与 ?? ? ??+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。 证明：对柱面上任一点),,(z y x M ，过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M '，
第七章空间解析几何与向量代数[作业No.40] 班级 §1空间直角坐标系§2向量及其加减法，向量与数的乗法姓名________ 一、概念题 1、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限。 (】，-2, 3) ________ (2，- 3，- 4) _________ (- 1，- 3，- 5) _________ (-1, 5,- 3)____________ (2, 3,- 4)____________ (- 2,- 3, ]) _______________ (-5 , 3 , 1) _________ (3 , 4 , 6) _______________ 2、指出下列各点的位置。 A(3,4,0) ___________ B(0,4,3) ________ C(3,0,0) ___________ D(0,—1,0) ________ 3、指出当点的坐标适合下列条件之一时，该点所在的卦限。 点)在__________________ 上的对称点是1 5、点A (—4,3,5 )在％0『平面上的投影点为_________________________ 在ZOX平面上的投影点为 _______________ 在0X轴上的投影点为 _________________ 在oy轴上的投影点为__________________ 6、点P (—3,2,— 1)关于yoz平面的对称点为_______________________ 关于ZOX 平面的对称点为 ______________ 关于oy轴的对称点为_______________ 关于ox轴的对称点为_______________ 7、在y轴上与点A (1,—3,7 )和点B (5,7,—5 )等距离的点 为_______________ 8、u a b 2 c, v a 3b c，用a, b, c 表示2u 3v = __________________ 二、计算题：
第八章 平面解析几何 （时间120分钟，满分150分） 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分?在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的） 1 .抛物线y 2= ax （a 丰0）的焦点到其准线的距离是 C ? |a| 解析：由已知焦点到准线的距离为 p =鸟 答案：B 2.过点A(4, a)与B(5 , b)的直线与直线 y = x + m 平行，则|AB| = B. .2 b — a 解析：由题知 ----- =1, ?- b — a = 1. 5— 4 ???|AB|= (5-4)2+ (b — a)2= 2. 答案：B 答案: ax + 2by — 2 = 0(a >0, b >0)始终平分圆 x 2 + y 2 — 4x — 2y — 8 = 0 的周长，则* + f 的 最小值为 ( ) A . 1 B . 5 C . 4 2 D . 3+ 22 解析：由(x — 2)2+ (y — 1)2= 13,得圆心(2,1), ???直线平分圆的周长，即直线过圆心. ?? a + b = 1. 12 ,12 b 「2a ?-a + b = (a + b )(a + b )= 3 + a + T 》3 + 22 ， 当且仅当b =弓，即a = 2 — 1, b = 2 — 2时取等号， a b D .不确定 3.已知双曲线 2 2 X —y^= 1的离心率为e , 抛物线x = 2pf 的焦点为（e,0）,则p 的值为（ B . 1 1 Cd 解析: 依题意得e = 2，抛物线方程为 y2= 2p x ，故 8p = 2,得 p = 和 4.若直线
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 § 4.1柱面 1、已知柱面的准线为： ? ? ?=+-+=-+++-0225 )2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。 解：（1）从方程 ?? ?=+-+=-+++-0 225 )2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(2 2 2 =-+++--z y y z 即：02 3 5622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。 （2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线? ??==c z y x 的直线方程为： ??? ??=-=-=? ?? ? ??=+=+=z z t y y t x x z z t y y t x x 0 00000 而0M 在准线上，所以 ?? ?=+--+=-++-+--0 2225 )2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：026888232 22=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。 2 而0M 在准线上，所以： ?? ?+=-++=-) 2(2)2(2 2t z t x t z y t x 消去t ，得到：010******* 22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。 3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过 又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{ }1,1,1的直线方程为： ??? ??-=-=-=? ?? ? ??+=+=+=t z z t y y t x x t z z t y y t x x 1 11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到： 013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x 此即为所求的圆柱面的方程。 4、已知柱面的准线为{})(),(),((u z u y u x u =γ，母线的方向平行于矢量{}Z Y X ,,=，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为： S v u Y x +=)( 与 ?? ? ??+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。 证明：对柱面上任一点),,(z y x M ，过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M '，则， v M =' 即 1、求顶点在原点，准线为01,0122 =+-=+-z y z x 的锥面方程。 解：设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为： z Z y Y x X == 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去参数t ，得： 0)()(222=-+--y z y z z x 即：02 22=-+z y x 此为所要求的锥面方程。 2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,12 22=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。
第八章 空间解析几何与向量代数答案 一、选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是（A ） A 5 B 3 C 6 D 9 2. 设a =（1,-1,3）, b =（2,-1,2），求c =3a -2b 是（ B ） A （-1,1,5）. B （-1,-1,5）. C （1,-1,5）. D （-1,-1,6）. 3. 设a =（1,-1,3）, b =（2, 1,-2），求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D -2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 6. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12 213+= -=z y x 的距离是：（ A ） A 138 B 118 C 158 D 1 7. 设,23,a i k b i j k =-=++求a b ?是：（ D ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D 3i -3j +3k 8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ A ） A 2 B 364 C 3 2 D 3 9. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程是：（ D ） A 2x+3y=5=0 B x-y+1=0 C x+y+1=0 D 01=-+y x ． 10、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有（ C ）； A -+a b =a b ； B =a b ； C 0?a b =； D ?a b =0． 11、设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有（ C ） A a b a b +=+ B a b a b -=-
第4章 向量代数与空间解析几何练习题 习题4.1 一、选择题 1．将平行于同一平面的所有单位向量的起点移到同一点, 则这些向量的终点构成的图形是( ) （A ）直线； （B ） 线段； （C ） 圆； （D ） 球． 2．下列叙述中不是两个向量a 与b 平行的充要条件的是( ) （A ）a 与b 的内积等于零； （B ）a 与b 的外积等于零； （C ）对任意向量c 有混合积0)(=abc ； （D ）a 与b 的坐标对应成比例． 3．设向量a 的坐标为 31 3 , 则下列叙述中错误的是( ) （A ）向量a 的终点坐标为),,(z y x ； （B ）若O 为原点,且a =, 则点A 的坐标为),,(z y x ； （C ）向量a 的模长为2 22z y x ++；（D ） 向量)2/,2/,2/(z y x 与a 平行． 4．行列式2 13132 3 21的值为( ) （A ） 0 ； （B ） 1 ； （C ） 18 ； （D ） 18-． 5．对任意向量a 与b , 下列表达式中错误的是( ) （A ）||||a a -=； （B ）||||||b a b a +>+； （C ） ||||||b a b a ?≥?； （D ） ||||||b a b a ?≥?． 二、填空题 1．设在平行四边形ABCD 中，边BC 和CD 的中点分别为M 和N ，且p =，q =，则 BC =_______________，CD =__________________． 2．已知ABC ?三顶点的坐标分别为A(0，0，2)，B(8，0，0)，C(0，8，6)，则边BC 上的中线长为______________________． 3．空间中一动点移动时与点)0,0,2(A 和点)0,0,8(B 的距离相等, 则该点的轨迹方程是_______________________________________． 4．设力k j i F 532++=, 则F 将一个质点从)3,1,0(A 移到)1,6,3(,B 所做的功为____________________________． 5．已知)2,5,3(A , )4,7,1(B , )0,8,2(C , 则=?_____________________; =?____________________;ABC ?的面积为_________________． 三、计算题与证明题 1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ?+?+?．
第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1）Θ }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又}3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式：
042:=+-+z y x π. 解： π与三个坐标轴的交点为：)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--， 所以，它的截距式方程为： 14 24=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为：}4,0,4{},0,2,4{-， ∴ 所求平面的参数式方程为： 3.证明矢量},,{Z Y X =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： 0=++CZ BY AX . 证明： 不妨设0≠A ， 则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为： 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{A C A B --， 从而v 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： ，}1,0,{},0,1,{A C A B -- 共面? ? 0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 点的z 坐标. 解： Θ }5,2,3{z +-= 而平行于0147=--+z y x 由题3知：0)5(427)3(=+-?+?-z 从而18=z . 5. 求下列平面的一般方程. ⑴通过点()1,1,21-M 和()1,2,32-M 且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点()4,2,3-M 且在x 轴和y 轴上截距分别为2-和3-的平面;
第七章 空间解析几何与向量代数 §7.1空间直角坐标系 一. 空间点的直角坐标 右手系 坐标轴，坐标面，卦限 空间点的直角坐标 横坐标，纵坐标和竖坐标 二.空间两点的距离 设M 1 X i , y i , z i ,M 2 X 2,y 2,Z 2 为空间两点 特殊地，点M X, y,z 与坐标原点O 0,0,0的距离 .向量的概念 1 .定义 3 .自由向量 4 .零向量 单位向量 零向量的方向可以看作是任意的 二.向量的加减法 (1 )交换律:a b b a 的负向量：记 a 大小相等，方向相 反 三.向量与数的乖法 1 .定义 2 .运算规律 (1 )结合律: (2 )分配律: (2 )结合律:(a b) c a (b c) 1. 2. 3. =J 2 X 2 X 1 y 2 2 y i Z 2 2 Z i D = J x 2 y 2 z 2 §7 .2向量及其加减法 向量与数的乘法 2 .向径：OM 叫点M 对于点O 的向径
定理1 .设向量a 0，那么，向量b//a 存在唯一的实数 ，使b a 注：(1 ). b 可以为零向量，此时 0 (2 ).规定零向量与任何向量都平行 3 .与a 同方向的单位向量：a 0 一. 向量在轴上的投影 1 .轴u 上有向线段 AB 的值.记AB 2.点A 在轴U 上的投影 * 3 .向量在.轴U 上的投影，记prj u AB 二. 向量的坐标 1 . P 1P 2 Q i Q 2 R i R 2 2 .向量a 的坐标 a a x , a y , a z a x ，a y , a z 为a 在x,y,z 轴上的投影 上式叫向量a 的坐标表示式 §7 .3 向量的坐标 AB * 4 .（性质1 ）投影T h 向量AB 在轴 u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角 的余弦：prj u AB AB cos 5.（性质2 ） prj prj a prj b 6 .（性质3 ） prj prj a M 1M 2 M 1P M i Q M i R X 2 X 1 y 2 * j 上式称为向量基本单位向量的分解式
第八章平面解析几何 1 .到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是y=x.（） 2、双曲线离心率e<1 （） 5、椭圆上的任一点到它的两焦点的距离的和都等于短轴长。（） 6、方程x2+y2+入x=0表示圆，则入的取值范围是任意实数。（） 8、任意直线都有斜率。（） 9、直线2x —3y+1=0与圆x2+y2=1 相交。（） 6、已知0,则过点（1,- 1）的直线ax+ 3my+ 2a=0的斜率是（） _ 1 1 A、3 B、一3 C、 D、一— 3 3 7、直线L1: ax+ 2y+ 6=0 与直线L2：x+ （a—1）y + a?—1=0 平行，则a= （） A、一1 B、2 C、一1, 2 D、0, 1 8、圆x2—8x+ y2+ 12=0与直线3x + y=0的位置关系是（） A、相切 B、相离 C、相交 D、无法确定 9、如果椭圆的短轴长、焦距、长轴长依次成等差数列，贝U其离心率e=（） 4332 A、- B、一 C、一 D、- 5543 10、抛物线y=4x2的焦点坐标是( ) A、( 1, 0) B、 (0, 1) 1 C、(0,—) D、（丄,0） 1616 5、直线L过点A(—2,—3), 且在两坐标轴上的截距相等，则L的方程为 6、__________________________________________________________________________ 若直线L1与L2的斜率是方程4x2—15x —4=0的两根，则L1与L2的夹角为______________ ■ 7、过圆x2+ y2=13上一点（2,—3）的切线方程是_____________ 。 2 2 &椭圆—+ —=1的焦距为2,则m的值为___________________ 。 m 4 9、双曲线x2—3y2=1的两条渐近线的夹角是____________ 。 10、顶点在原点，且经过点P （—1, 2）的抛物线标准方程为 ___________ 。 、解答题（共70分） 1、已知：求（1）的值（2）（10分）
第七章空间解析几何与向量代数内容概要
习题7-1 ★★1．填空： （1） 要使b a b a -=+成立，向量b a , 应满足b a ⊥ （2） 要使 b a b a +=+成立，向量b a , 应满足 //b a ，且同向 ★2．设c b a v c b a u -+-=+-=3 , 2，试用c b a , , 表示向量v u 32- 知识点：向量的线性运算 解：c b a c b a c b a v u 711539342232+-=+-++-=- ★3．设Q , P 两点的向径分别为21 , r r ，点 R 在线段PQ 上，且 n m RQ PR = ，证明点R 的向径为 n m m n += +r r r 12 知识点：向量的线性运算 证明：在OPQ ?中，根据三角形法则PQ OP OQ =-，又)(21r r -+=+= n m m n m m ， ∴n m m n n m m PR OP OR ++=-++ =+=22r r r r r 1 11)( ★★4．已知菱形 ABCD 的对角线b a ==B , ，试用向量b a , 表示 , , , 。 知识点：向量的线性运算 解：根据三角形法则， b a ==-==+B D AD , AB AC BC AB ，又ABCD 为菱形， ∴ =（自由向量）， ∴222 AB AC BD AB CD DC AB --=-=-?=?=-=-= u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b b a a b ∴2b a +==，2 DA +=-u u u r a b ★★5．把ABC ?的BC 边五等分，设分点依次为4321 , , , D D D D ，再把各分点与点 A 连接，试以 a c ==BC AB , 表示向量 , , 321A D A D A D 和A D 4。
第七章向量代数与空间解析几何 （一）空间直角坐标系、向量及其线性运算 一、判断题 1．点（ -1， -2， -3）是在第八卦限。（）2．任何向量都有确定的方向。（） 3．任二向量a,b，若a b .则 a = b 同向。() 4．若二向量a,b满足关系a b = a + b ,则 a,b 同向。（）5．若a b a c, 则b c() 6．向量a, b满足a = b ，则a, b同向。（）a b 7．若a ={ a x,a y, a z } ，则平行于向量 a 的单位向量为{a x，a y ， a z }。（） | a || a || a | 8．若一向量在另一向量上的投影为零，则此二向量共线。(） 二、填空题 1．点（ 2， 1， -3）关于坐标原点对称的点是 2．点（ 4， 3， -5）在坐标面上的投影点是 M （0， 3， -5） 3．点（ 5， -3， 2）关于的对称点是 M（ 5， -3， -2）。 4．设向量 a 与 b 有共同的始点，则与a, b 共面且平分 a 与 b 的夹角的向量为 5．已知向量 a 与 b 方向相反，且 | b | 2 | a | ，则 b 由 a 表示为 b =。 6．设 a =4， a 与轴l的夹角为，则 prj l a= 6 7．已知平行四边形ABCD 的两个顶点 A （2， -3，-5）、 B（ -1， 3， 2）。以及它的对角线交点 E（ 4，-1，7），则顶点 C 的坐标为，则顶点 D 的坐标为。8．设向量 a 与坐标轴正向的夹角为、、，且已知=60，=120。则= 9．设 a 的方向角为、、，满足 cos=1时， a 垂直于坐标面。 三、选择题 1．点（ 4，-3， 5）到oy轴的距离为 （A）42( 3)252（ B）( 3)252 （C）42( 3)2（D）4252 2．已知梯形 OABC 、CB // OA且CB =1 OA 设 OA = a ， OC = b ，则 AB 2 =
第一章矢量与坐标 § 1.1矢量的概念 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点； （4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. 解： 2.设点 O 是正六边形 ABCDEF的中心， 在矢量 OA 、 OB 、 OC 、 OD 、 OE 、 OF 、 AB 、 BC 、 CD、DE 、 EF O 和 FA 中，哪些矢量是相等的？ [解 ]： 图 1-1 3.设在平面上给了一个四边形ABCD，点 K、L、 M、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、 ＤＡ的中点，求证：KL ＝ NM .当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？ [证明 ]： . 4.如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体， 在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反 矢量的矢量： (1) AB、; (2) AE、; (3) AC 、 CD CG EG ; (4)AD 、 GF ;(5)BE 、 CH . 解： 图1—3
§ 1.2矢量的加法 1.要使下列各式成立，矢量a,b 应满足什么条件？ （1）a b a b;（2）a b a b ; （3）a b a b ;（4）a b a b ; （5）a b a b . 解： § 1.3数量乘矢量 1试解下列各题． ⑴化简 (x y) (a b) (x y) (a b) ． ⑵已知 a e1 2 e2e3， b 3e12e2 2 e3，求a b ， a b 和 3 a 2 b ． ⑶ 从矢量方程组解：3 x 4 y a ，解出矢量 x ，y．2 x 3 y b 2 已知四边形ABCD 中， AB a 2 c ，CD 5 a 6 b 8 c ，对角线AC 、 BD 的中 点分别为 E 、 F ，求EF． 解： 3 设AB a 5 b ， BC 2 a 8 b ，CD3( a b) ，证明： A 、 B 、 D 三点共线．解：
[方法与技巧] 双曲线标准方程的求法： (1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y 2n ＝1 (mn >0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1 (AB <0)，这种形式在解题时更简便； (2)当已知双曲线的渐近线方程bx ±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值； (3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ (λ≠0)，据其他条件确定λ的值． [失误与防范] 1．区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 大小关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2. 2．双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0,1)． 3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±a b x . 4．若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况． 5．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．
[忽视“判别式”致误] 典例 (14分)已知双曲线x 2－y 22 ＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？ 易错分析 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，所以在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑“判别式”．致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑“判别式”，导致解题错误． 规范解答 解 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)， 若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．[2分] 设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋1－k .[3分] 由? ???? y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1， 得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0 (2－k 2≠0)．① [7分] ∴x 0＝x 1＋x 22＝k (1－k )2－k 2 . 由题意，得k (1－k )2－k 2 ＝1，解得k ＝2.[10分] 当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．[13分] ∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．[14分] 温馨提醒 (1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的． (2)本题属探索性问题．若存在，可用点差法求出AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率k ，利用待定系数法求方程． (3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验．
第七章空间解析几何与向量代数 一、填空题 1. 平行于={1，1，1}的单位向量= 2. 设向量a = (2,-1,4)与b = (1,k,2)垂直, 则k = 3.已知向量与向量平行，则＝ 4.已知=3，=26， =72,则=_________； 5.已知（）=，且=1，=2，则 =______________； 6. 平面与平面互相垂直的充要条件是 ;若上两平面互相平行，则充要条件是 7.分别按下列条件求平面方程： （1）平行于XOZ平面且通过点（2，－5，3）的平面方程： （2）平行于轴且经过点（4，0，－2），（5，1，7）的平面方程：（3）过点（-3，1，-2）和Z轴.的平面方程： 8. 平面与直线平行,则k = 9. 过点,且平行于向量a = (2,1,-1) 及 b = ( 3,0,4) 的平面方程为 10.过两点（3，－2，1）和（－1，0，2）的直线方程为 二、选择题 1、若为共线的单位向量，则它们的数量积 =（ ）. （A） 1； （B）-1； （C） 0； （D）. 2、向量与二向量的位置关系是（ ）. （A） 共面； （B）共线； （C） 垂直； （D）斜交 . 3、设λ,其中，若⊥，则λ＝（ B ） A. 2 B. C. D. 1 4.设与为非零向量，则是（） A. 的充要条件 B.⊥的充要条件 C. ∥的充要条件 D. ∥的必要但不充分条件 5. 设与为非零向量，则是（） A. 的充要条件 B.⊥的充要条件 C. ∥的充要条件 D. ∥的必要但不充分条件 6. 若平面方程为，其中A,C,D均不为零，则平面（） A. 平行于x轴 B. 平行于y轴 C. 经过x轴 D. 经过y轴 三、计算题 1.求过点 和直线 的平面方程
第8章 第8节 一、选择题 1．若M 、N 为两个定点且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN → ＝0，则P 点的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 [答案] A [解析] 以MN 的中点为原点，直线MN 为x 轴建立直角坐标系．并设M (－3,0)，N (3,0)，P (x ，y )， 则PM →·PN →＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y ) ＝(x 2－9)＋y 2＝0，即x 2＋y 2＝9. 2．(2010·浙江台州)在一张矩形纸片上，画有一个圆(圆心为O )和一个定点F (F 在圆外)．在圆上任取一点M ，将纸片折叠使点M 与点F 重合，得到折痕CD .设直线CD 与直线OM 交于点P ，则点P 的轨迹为( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线 [答案] A [解析] 由OP 交⊙O 于M 可知|PO |－|PF |＝|PO |－|PM |＝|OM |<|OF |(F 在圆外)，∴P 点的轨迹为双曲线，故选A. 3．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( ) A ．π B ．4π C ．8π D ．9π [答案] B [解析] 设P (x ，y )，由知有：(x ＋2)2 ＋y 2 ＝4[(x －1)2 ＋y 2 ]，整理得x 2 －4x ＋y 2 ＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4，可知圆的面积为4π. 4．已知点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，动点A 到F 1的距离是23，线段AF 2的垂直平分线交AF 1于点P ，则点P 的轨迹方程是( ) A.x 2 9＋y 2 4＝1 B.x 2 12＋y 2 8＝1 C.x 2 3＋y 22＝1 D.x 2 12＋y 2 10 ＝1 [答案] C
《空间解析几何》学习指导 一、教学目的与课程性质、任务。 《空间解析几何》是数学教育专业专业开设的一门重要基础数学课，它具有逻辑推理的严密性和实际应用的广泛性。本课程的基本概念、基本方法和基本理论是学习后继课程所必备的数学基础，同时本课程对于培养学生的严密的逻辑推理能力，抽象的思维表达能力，空间想象能力以及解决实际问题的能力都有着十分重要的意义。本课程使学生切实体会“代数”与“几何”的密切关系，学会并掌握以代数为工具研究几何问题以及为代数问题寻找直观的几何背景。 二、教学要求 通过这门课程的学习，使学生能够比较系统地掌握几何向量，n维向量的基本概念、基本方法和基本运算技巧。逐步培养学生抽象思维能力，逻辑推理能力，运算技能，并且能运用所学知识解决实际问题。具体要求如下： 第一章向量与坐标 1 使掌握矢量的概念和记法，矢量相等和反矢量的概念 2 了解共线矢量及共面矢量等有关概念 3 掌握矢量加法的三角形法则和平行四边形法则 4理解矢量加法的运算律，矢量减法的定义 5理解数乘矢量的概念，掌握数乘矢量含义及运算律 6理解线性相关和线性无关的含义 7根据矢量的线性组合、线性相关判断矢量的几何关系. 8掌握空间标架的构成及坐标系的概念，掌握空间点和矢量坐标的定义，坐标与矢量的关系 9掌握投影与矢量模及夹角的关系. 10利用数积判断两矢量是否垂直；掌握矢量模的计算和两矢量夹角的计算11了解矢量的矢性积的概念，掌握矢积的计算；矢积坐标的公式；能利用矢积判断两矢量是否共线 12了解矢量的混合积的概念，掌握混合积与矢量坐标的关系 第二章轨迹与方程 1系统地理解曲面方程的概念，掌握矢量方程和参数方程的求法及关系 2系统地理解母线平行于坐标轴的柱面方程的概念，掌握其方程的特征 3掌握空间曲线的一般方程和参数方程的概念及求法，空间曲线在坐标面上的投影及求法 4 了解螺旋线的方程. 第三章平面与空间曲线 1 认识平面方程的几种形式：（1）点法式方程，（2）一般式方程，（3）参数式方程，（4）法式化方程 2 熟练掌握平面方程几种形式的求法 3 熟练掌握点到平面的距离公式 4 熟练掌握平面与平面的夹角公式
第三章 平面与空间直线 版权所有，侵权必究 §3.1 平面的方程 1．平面的点位式方程 在空间给定了一点M 0与两个不共线的向量a ，b 后，通过点M 0且与a ，b 平行的平面π 就惟一被确定. 向量a ，b 叫平面π 的方位向量. 任意两个与π 平行的不共线的向量都可作为平面 π 的方位向量. 取标架{}321,,;e e e O ，设点M 0的向径0r =0OM ={}000,,z y x ， 平面π 上任意一点M 的向径为r =OM = {x ，y ，z }（如图）. 点M 在平面π上的充要条件为向量M M 0与向量a ，b 共面. 由于a ，b 不共线，这个共面的条件可以写成 M M 0= u a ＋v b 而M M 0= r －r 0，所以上式可写成 r = r 0＋u a ＋v b (3.1－1) 此方程叫做平面π 的点位式向量参数方程，其中u ，v 为参数. 若令a = {1X ，1Y ，1Z }，b = {2X ，2Y ，2Z }，则由(3.1－1)可得 ?????++=++=++=v Z u Z z z v Y u Y y y v X u X x x 210210210 (3.1－2) 此方程叫做平面π 的点位式坐标参数方程，其中u ，v 为参数. (3.1－1)式两边与a ×b 作内积，消去参数u ，v 得 (r －r 0，a ，b ) = 0 (3.1－3) 此即 2 2 2 111000Z Y X Z Y X z z y y x x ---=0 (3.1－4)
这是π 的点位式普通方程. 已知平面π上三非共线点i M （i = 1，2，3）. 建立坐标系{O ；e 1, e 2, e 3}，设r i = i OM ={i x ， i y ，i z }，i = 1，2，3. 对动点M ，设r =OM ={x ，y ，z }，取21M M 和31M M 为方位向量，M 1 为定点，则平面π的向量参数方程，坐标参数方程和一般方程依次为 r = 1r ＋u(2r －1r )＋v(3r －r 1) (3.1－5) ?????-+-+=-+-+=-+-+=)()()()() ()(131211312113121z z v z z u z z y y v y y u y y x x v x x u x x (3.1－6) 1 31 31 3121212111z z y y x x z z y y x x z z y y x x ---------= 0 (3.1－7) (3.1－5)，(3.1－6)和(3.1－7)统称为平面的三点式方程. 特别地，若i M 是π 与三坐标轴的交点，即1M (a ，0，0)，2M (0，b ，0)，3M (0，0，c )，其中abc ≠0，则平面π 的方程就是 c a b a z y a x 00---=0 (3.1－8) 即 1=++c z b y a x (3.1－9) 此方程叫平面π的截距式方程，其中a ，b ，c 称为π 在三坐标轴上的截距. 2．平面的一般方程 在空间任一平面都可用其上一点M 0(x 0，y 0，z 0)和两个方位向量a = {1X ，1Y ，1Z }，b = {2X ，2Y ，2Z }确定，因而任一平面都可用方程将其方程(3.1－4)表示. 将(3.1－4)展开就可写成 Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0 (3.1－10) 其中 A = 22 11 Z Y Z Y ，B =2 2 11X Z X Z ，C = 2 21 1 Y X Y X 由于a = {1X ，1Y ，1Z }与b = {2X ，2Y ，2Z }不共线，所以A ，B ，C 不全为零，这说明空间任一平面都可用关于a ，b ，c 的一三元一次方程来表示. 反之，任给一三元一次方程(3.1－10)，不妨设A ≠0，则(3.1－10)可改写成 02=++??? ? ? +ACz ABy A D x A