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和差化积与积化和差公式、万能公式【知识点讲解】1、积化和差公式cos α·cos β＝12[]cosα＋β＋cosα－β；sin α·sin β＝－12[]cosα＋β－cosα－β；sin α·cos β＝12[]sinα＋β＋sinα－β；cos α·sin β＝12[]sinα＋β－sinα－β．2、和差化积公式sin α＋sin β＝2sin α＋β2cosα－β2；sin α－sin β＝2cos α＋β2sinα－β2；cos α＋cos β＝2cos α＋β2cosα－β2；cos α－cos β＝－2sin α＋β2sinα－β2．3、万能公式sin α＝2tanα21＋tan2α2；cos α＝1－tan2α21＋tan2α2；tan α＝2tanα21－tan2α2．4、解题导语使用这类公式时首先要确保公式记忆正确，其实在记忆时记住关键结构再比较各种公式的不同即可有效记忆。
同时，在实际应用中要考虑两角和、两角差是否为一个特殊值再进行使用，不要盲目使用！【例题讲解】【例1】已知cos cos cos 1cos cos αβθαβ-=-.求证：222tan tan cot 222θαβ=.【分析】由21cos 1s a o t c n 2θθθ-+=，结合万能公式化简可得结果.【详解】2cos cos 11cos 1cos cos cos cos 1cos 11cos c n os ta 2αβθαβαβθβθα----+-==-+()()()()221cos 1cos tan cot 1cos 1cos 22αβαβαβ-+==+-. 【跟踪训练1】已知6tan 2αβ+=13tan tan 7αβ=，求()cos αβ-的值．【答案】23【分析】先用万能公式求出()cos αβ+的值，再根据13tan tan 7αβ=得出7sin sin 13cos cos 0αβαβ-=，最后联立可求得答案.【详解】()2222611tan12cos 561tan 12αβαβαβ+--⎝⎭+===-+++⎝⎭，则有1cos cos sin sin 5αβαβ-=-①， 又已知sin sin 13cos cos 7αβαβ⋅=，从而有7sin sin 13cos cos 0αβαβ-=②．联立①②可得cos cos 730αβ=，13sin sin 30αβ=． ∴()2cos cos cos sin sin 3αβαβαβ-=+=．【例2】计算：(1)cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°； (2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. 【答案】(1)12 (2)14【分析】（1）利用和差化积公式计算；（2）利用积化和差公式计算. 【解析】(1)原式＝cos 20°＋12＋(cos 100°＋cos 140°) ＝cos 20°＋12＋2cos 120°cos 20°＝cos 20°＋12－cos 20°＝12. (2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°)＝14－12sin 50°＋12cos 40°＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14.【跟踪训练2】利用和差化积公式，求下列各式的值： (1)sin15sin105︒+︒； (2)sin20sin40sin80︒+︒-︒； (3)cos40cos60cos80cos160︒+︒+︒+︒． 【答案】62(2)0； (3)12. 【分析】(1)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算得解. (2)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值结合诱导公式求解作答. (3)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值结合诱导公式求解作答. 【解析】(1)1510515105326sin15sin1052sincos 2sin 60cos(45)22222+-︒+︒==-=⨯=(2)sin20sin40sin802sin30cos10cos10cos10cos100︒+︒-︒=-=-=. (3)1cos40cos60cos80cos160(cos40cos80)cos202︒+︒+︒+︒=︒+︒+-︒1112cos60cos20cos20cos20cos20222=︒︒+-︒=︒+-︒=.【对点训练】一、单选题1．已知[0,],,44ππαπβ⎡⎤∈∈-⎢⎥⎣⎦，且33cos 0,22sin cos 02πααλβββλ⎛⎫--=---= ⎪⎝⎭，若4cos 5α=，则tan β=（ ）A ．12 B ．13C 3D ．3【答案】A【详解】[0α∈，]π，[,]44ππβ∈-，且3cos 0ααλ--=，设3()cos f x x x λ=--，则2()3sin 0f x xα'=+，故函数()f x 在[0，]π上单调递增，且α是()f x 的一个零点．3(2)2sin cos02πβββλ---=，即3(2)cos(2)022ππββλ----=．根据2[02πβ-∈，]π，故22πβ-也是()f x的一个零点，22παβ∴=-，cos cos(22παβ∴=-2222sin cos2tan4)sin2sin cos tan15βββββββ====++，1tan2β∴=，或tan2β=（舍去），2．若tan3α=，则sin2α=（）A．35B．35C．34-D．34【答案】A【详解】222222222sin cos2sin cos2tan233cossin22sin cossin cossin cos tan1315cosααααααααααααααα⨯======++++.3．已知角θ的大小如图所示，则1sin2cos2θθ+=（）A．5-B．5C．15-D．15【答案】A【详解】由图可知，tan54πθ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，()()()22222cos sin1sin2sin cos2sin cos cos sincos2cos sin cos sin cos sin cos sinθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+++++ ===--+-tan tan1tan4tan51tan41tan tan4πθθπθπθθ++⎛⎫===+=-⎪-⎝⎭-；4．cos15° sin 105°=（）A312B312C 3D 31 【答案】A 【详解】1113131cos15sin105sin 15105sin 15105sin120sin 90122222[()()][()]︒︒=︒+︒-︒-︒=︒--︒=⨯= 5．若1cos cos sin sin 2x y x y +=， 2sin 2sin 23x y +=，则()sin +=x y （ ） A ．23 B ．23- C ．13D ．13-【答案】A【详解】因为1cos cos sin sin 2x y x y +=， 所以()1cos 2-=x y ，因为2sin 2sin 23x y +=， 所以()()22sin cos 3+-=x y x y ，所以()122sin 23+⨯=x y ，所以()2sin 3+=x y ， 6．已知锐角,αβ满足22,tan tan 2332πααββ+==()sin βα-=（ ） A ．12 B 3C 62- D 62+【答案】C【详解】由223παβ+=得23απβ+=，所以tantan 2tan 321tan tan 2αβαβαβ+⎛⎫+== ⎪⎝⎭- 又tantan 232αβ=tantan 332αβ+=由tan tan 332tan tan 232αβαβ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得tan 232tan 1αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或tan 12tan 23αβ⎧=⎪⎨⎪=⎩α不是锐角），tan 1β=，β是锐角，4πβ⇒=，2sin cos 2ββ==222tan2(23)12sin 21(23)1tan2ααα-===+-+，则3cos α=所以232162sin()sin cos cossin 2βαβαα--=-== 7．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos αα=，则cos2α的值为（ ）A ．35B ．12-C ．0D ．35【答案】D 【详解】因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos αα=，所以cos 0α≠且22sin cos cos ααα=， 解得1tan 2α=，所以2222111tan 34cos 2cos sin 11tan 514ααααα--=-===++. 二、多选题8．下列关系式中，正确的是（ ）A ．sin5sin32sin4cos θθθθ+=B ．cos3cos52sin4sin θθθθ-=-C ．1sin3sin5cos4cos 2θθθθ-=- D ．()()1sin ?sin cos cos 2θαθαθα⎡⎤=--+⎣⎦【答案】AD【详解】由()sin5sin 4sin4cos cos4sin θθθθθθθ=+=+，()sin3sin 4sin4cos cos4sin θθθθθθθ=-=-， ()cos5cos 4cos4cos sin4sin θθθθθθθ=+=-， ()cos3cos 4cos4cos sin4sin θθθθθθθ=-=+，代入前三项，得sin5sin32sin4cos θθθθ+=，A 正确， B 错误，右边应是2sin4sin ;θθ C 错误，右边应是2cos4sin ;θθ-选项D ，等号右边()()1cos cos 2θαθα⎡⎤=-+--⎣⎦()()1cos cos sin sin cos cos sin sin 2θαθαθαθα⎡⎤=---+⎣⎦ ()12sin sin sin sin 2θαθα=--=，故选项D 正确， 三、填空题9．已知α为锐角且tan 23tan 4απα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则sin 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是________． 【答案】35或-0.6 【详解】由()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. 因为α为锐角，故tan 2α=.222222cos 2cos sin 1tan 143sin 2cos 221cos sin 1tan 145πααααααααα---⎛⎫+======- ⎪+++⎝⎭10．π3π5πcos cos cos 777++=____．【答案】12或 0.5 【详解】 原式1πππ3ππ5π(2sin cos 2sin cos 2sin cos )π7777772sin 7=++ 12π4π2π6π4π[sin(sin sin )(sin sin )]π777772sin7=+-+- 6πsin7π2sin7=ππsin(π)sin 177ππ22sin 2sin 77-===. 11．若sin 11cos 2αα=+，则sin cos αα+的值为________.【答案】75【详解】解：∴sin 1tan 1cos 22ααα==+， ∴222112tan1tan 2172224sin cos 151tan 1tan 1224αααααα-⨯+-+=+==+++. 12．已知tan 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2θ=______.【答案】35-. 【详解】令4παθ=-，则4πθα=+，且tan 3α=，所以()2222232sin cos 2tan 3cos 2cos 2sin 22sin cos tan 1315παααθααααα-⨯--⎛⎫=+=-====- ⎪+++⎝⎭.13．已知()tan π2θ+=，则πsin 24θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．【答案】210【详解】因为()tan π2θ+=，由诱导公式得：()tan πtan 2θθ+== 所以2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15θθθθθθθ===++．222222cos sin cos 21tan 1431tan 14os sin 5c θθθθθθθ-==-+++-==-，ππ42322sin 2sin 2cos cos 2sin 444551π220θθθ⎛⎫⎛⎫+=+=⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．14．已知613tan()tan tan ,27αβαβ+=则cos()αβ-的值为______. 【答案】23【详解】1sin sin 132tan tan 1cos cos 7(cos()cos()]2αβαβαβαβαβ===-++， 所以10cos()cos()3αβαβ-=-+， 222261tan 1(122cos()561tan 1()2αβαβαβ+--+===-+++，所以1012cos()()353αβ-=-⨯-=． 15．利用和差化积和积化和差公式完成下面的问题：已知1210sin sin 21ωω+=，126cos cos 21ωω+=，则2121cos cos sin sin ωωωω-=-___________.【答案】53- 【详解】1212121212121210sin sin sin sin 2sincos 22222221ωωωωωωωωωωωωωω+-+-+-⎛⎫⎛⎫+=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得12125sin cos 2221ωωωω+-=；121212*********cos cos cos cos 2cos cos 22222221ωωωωωωωωωωωωωω+-+-+-⎛⎫⎛⎫+=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得12123cos cos 2221ωωωω+-=；则1212121212sin cos 522tan 23cos cos 22ωωωωωωωωωω+-+==+-；12121212211212121221cos cos cos cos 2222sin sin sin sin 2222ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω+-+-⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=+-+--⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12121212122sinsin522tan 232cos sin 22ωωωωωωωωωω+-+==-=-+--.16．2sin 20cos80cos40+= _____． 【答案】14或0.25 【详解】()222111sin 20cos80cos40sin 20cos120cos40sin 20cos40224+=++=+- ()2211sin 202cos 20124=+-- 11124=-- 14=．四、双空题17．已知角θ的终边在直线20x y -=上，则tan θ=___________；3cos 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________. 【答案】 12或0.545或0.8 【详解】由直线20x y -=的斜率为12，则1tan 2θ=，又232tan 4cos 2sin221tan 5πθθθθ⎛⎫+===⎪+⎝⎭. 18．已知sin α＋sin β＝12，cos α＋cos β＝13，则tan(α＋β)＝________，cos(α－β)＝________.【答案】 125-或 2.4- 5972-【详解】sin sin sin sin 2222αβαβαββααβ+-+-⎛⎫⎛⎫+=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos cos sin sin coscossin22222222αβαβαβαβαββααββα+-+-+-+-=+++1sincossin cos22222αβαβαββα+-+-=+=， 即12sincos222αβαβ+-=①，cos cos cos cos 2222αβαβαββααβ+-+-⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ cos cos sin sin cos cos sin sin22222222αβαβαβαβαββααββα+-+-+-+-=-+-1coscoscos cos22223αβαβαββα+-+-=+=， 即12coscos223αβαβ+-=②， ①②两式相除得3tan22αβ+=， 则232tan21222tan()951tan 124αβαβαβ+⨯+===-+--； ()2221sin sin sin sin 2sin sin 4αβαβαβ+=++=， ()2221cos cos cos cos 2cos cos 9αβαβαβ+=++=， 两式相加可得()1322cos 36αβ+-=， ()59cos cos cos sin sin 72αβαβαβ-=+=-. 五、解答题19．把下列各式化成积的形式：(1)sin 24sin36+︒︒；(2)()()sin 15sin 15αα︒+-︒-； (3)cos cos3x x +；(4)cos cos22αβαβ+--．【答案】(1)cos6︒62α+(3)2cos2cos x x (4)2sin sin 22αβ-【解析】(1)解：()s s 2in 24364362sinco 2sin 30cos 6cos6224sin 236︒+︒︒-︒︒︒==︒-︒=+︒ (2)解：()()()()()()15151515sin 15sin 152cossin 22αααααα︒++︒-︒+-︒-︒+-︒-=()622cos15sin 2cos 4530sin ααα+=︒=︒-︒=；(3)解：()32cos cos32cos cos 2cos 2cos 2cos 2cos 22x x x x x x x x x x +-+==-=； (4)解：2222cos cos 2sin sin 2222αβαβαβαβαβαβ+-+-+-+--=-2sin sin 22αβ=-.20．利用积化和差公式，求下列各式的值：(1)cos15cos75︒︒；(2)sin20sin40sin80︒︒︒．【答案】(1)143【解析】(1)解：由积化和差公式得：cos15cos75︒︒ ，()()1cos 1575+cos 15752=︒+︒︒-︒⎡⎤⎣⎦ 1cos90+cos602⎡⎤=⎣⎦14=； (2)由积化和差公式得：sin20sin40sin80︒︒︒，()()1cos 2040cos 2040sin802⎡⎤=-︒+--︒︒⎣⎦， 11sin80sin80cos 2042=-︒+， ()111sin80sin100sin 60422=-︒+⨯+， 113sin 80sin 8044=-︒+︒3= 21．计算:sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°. 【答案】14【详解】sin 20cos70sin10sin50⋅+⋅()()()()11sin 2070sin 2070cos 1050cos 105022⎡⎤⎡⎤=++-+--+⎣⎦⎣⎦ ()()11sin 90sin 50cos 40cos6022=-+- 111sin 50cos 40422=-+ 1111sin 50sin 504224=-+=．证明下列各恒等式：22．ππ2sin sin cos 244ααα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 23．1sin 20cos70sin10sin 504+=；24．1sin15sin 30sin 758=．【解析】(1)ππππ2sin sin 2sin sin 44244παααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ πππ2cos sin sin 2cos 2442αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故ππ2sin sin cos 244ααα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立. (2)sin 20cos70sin10sin50+()()()()11sin 2070sin 2070cos 1050cos 105022⎡⎤⎡⎤=++-+--+⎣⎦⎣⎦ ()()11sin 90sin 50cos 40cos6022⎡⎤⎡⎤=+-+--⎣⎦⎣⎦ ()()11sin 90sin 50cos 40cos6022=-+- 11111sin 50cos 4022222=-+-⨯ 1111sin 50sin 504224=-+=， 故1sin 20cos70sin10sin 504+=成立.(3)1sin15sin 30sin 75sin15sin 752=()11sin15sin 9015sin15cos1522=-= 111sin 30228=⨯=， 故1sin15sin 30sin 758=.25．把下列各式化为积的形式： (1)sin18cos 27+；(2)sin50cos50-；(3)ππcos cos 33αα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (4)sin cos x x +．【答案】(1)2sin 40.5cos 22.5(2)2cos 45sin5(3)π2cos cos 3α (4)2sin cos()44x ππ- 【解析】 (1)18636318sin18cos 27sin18sin 632sin cos 2sin 40.5cos 22.522+-+=+== (2)500500s 442cos sin 2cos 4c 5sin in 50os50sin 50s 52in 024+-===-- (3)ππππ()πππ3333cos cos 2cos cos 2cos cos 33223ααααααα++-+--⎛⎫⎛⎫++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4)()()22sin cos sin sin()2sin cos 2sin cos()22244x x x x x x x x x πππππ+---+=+-==-。
三角函数式的化简要求是:项数最少\三角函数种类最少\函数次数最低\尽可能不带根号\ 能求值得要求出值. 一: 定义法例1. 化简 xx xx x x x x sin tan sin tan sin tan sin tan ∙+--∙ 解: 设点则且终边上一点为角,,),(22y x r OP x y x P +==.tan ,sin xyx r y x ==二: 弦切互化法例2. xx x x x x x 2222tan 1tan 1)cos 2tan tan (sin 2tan +-∙+∙+化简解: 原式x x x x x xx x x x x x x x x 2cos )cos 2sin 21(2cos 2sin cos sin 1cos sin 1)2cos 2sin cos sin 1(2cos 2sin 22222∙+∙=+-∙∙+∙= 三: 变用公式例3. o o o o o o 15tan 50tan 50tan 25tan 25tan 15tan ∙+∙+∙化简解: 原式 15tan 50tan )50tan 15(tan 25tan ∙++=说明: 公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±在解题中运用非常灵活.常常变形为)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±来使用. 四: 连锁反应法例5. o o 78sin 66sin 42sin 6sin 化简解: 原式12cos 24cos 48cos 6sin ∙∙∙=6cos 48cos 24cos 12cos 6sin 6cos ∙∙∙∙==1616cos 96sin 1616cos 48cos 24cos 12cos 12sin 21=====∙∙∙说明: 此题分子分母同乘以 6cos ,从而连续逆用倍角公式,达到多次化角的目地. 五: 升降次法例6. y x y x y x 2cos 2cos )(cos )(cos 22∙--++化简解: 原式y x y x y x 2cos 2cos 2)22cos(12)22cos(1∙---+++=例7. x x 4cos 812cos 2183:+-化简解: 原式 )12cos 2(81)1cos 2(218322-+--=x x )1cos 4cos 4(41cos 43)1cos 2(41cos 43242222+-+-=-+-=x x x x x x x x x 42242sin )cos 1(cos cos 21=-=+- 六: 基本技巧例8 (1) θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1:++-+化简解: 原式)cos (sin cos 2)cos (sin sin 2cos sin 2cos cos sin 2sin 22sin )2cos 1(2sin )2cos 1(22θθθθθθθθθθθθθθθθ++=++=+++-=θtan = (2) .2cos 2sin ,2tan 的值求已知x x x +=解: x x x cos 2sin ,2tan =∴= 角的变换角的变换，一般包括角的分解和角的组合，角的分解即把一个角分成几个角的和或差，而角的组合即把几个角通过和或差组合成一个角。
3.3 三角函数的积化和差与和差化积典题精讲例1 已知cos α-cos β=21，sin α-sin β=-31，求sin(α+β)的值. 思路分析:考查三角函数的和差化积公式的应用，以及万能公式.两个等式分别用和差化积公式后再相除，得tan 2βα+的值，再用万能公式求sin(α+β)的值.解:∵cos α-cos β=21，∴-2sin 2βα+sin 2βα-=21.① ∵sin α-sin β=-31，∴2cos 2βα+sin 2βα-=-31.②①÷②得-tan2βα+=-23. ∴tan2βα+=23. ∴sin(α+β)=2tan 12tan22βαβα+++=491232+⨯=1312. 绿色通道:如果出现系数绝对值相同的同名三角函数的和差时，常用到和差化积公式.如果出现弦函数的积时，常用到积化和差公式.黑色陷阱:受思维定势的影响，如果由已知sin 2α+cos 2α=1，sin 2β+cos 2β=1联立方程组，分别解得sin α,cos α,sin β,cos β的值，那么运算量就明显加大，甚至会陷入困境. 变式训练1 已知tan α、tan β是方程x 2+3x-4=0的两个根，求βαβα2sin 2sin 2cos 2cos ++的值.思路分析:利用根与系数的关系，得到tan α+tan β和tan αtan β，进而得到tan(α+β).看到cos2α+cos2β，sin2α+sin2β是系数相等的同名三角函数的和，用和差化积公式变形.解:由韦达定理得tan α+tan β=-3，tan αtan β=-4. ∴βαβα2sin 2sin 2cos 2cos ++=)cos()sin(2)cos()cos(2βαβαβαβα-+-+=βαβαβαtan tan tan tan 1)tan(1+-=+=341-+=-35.变式训练2 把cosx+cos2x+cos3x+cos4x 化成积的形式.思路分析:所给的式子是四项的和，要化为积的形式，需考虑适当分组，注意到四个角的特征，显然应将cosx 和cos4x 组到一起，将cos2x 和cos3x 组到一起，这样可以在分别化积之后产生公因式，提取公因式后再继续化积.解:cosx+cos2x+cos3x+cos4x=(cosx+cos4x)+(cos2x+cos3x)=2cos25x cos 23x +2cos 25x cos 2x =2cos 25x (cos 23x +cos 2x )=4cos 25x cosxcos 2x. 例2(2005重庆高考卷，文17)若函数f(x)=)2sin(22cos 1x x-+π+sinx+a 2sin(x+4π)的最大值为2+3，试确定常数a 的值.思路分析:考查三角函数公式，以及利用三角函数的有界性来求最值的问题.化简函数f(x)的解析式为Asin(ωx+φ)的形式，再确定常数a 的值. 解:f(x)=)2sin(2cos 22x x -π+sinx+a 2sin(x+4π) =xx cos 2cos 22+sinx+a 2sin(x+4π)=sinx+cosx+a 2sin(x+4π)=2sin(x+4π)+a 2sin(x+4π)=(2+a 2)sin(x+4π). ∵f(x)的最大值为2+3,sin(x+4π)的最大值为1，∴2+a 2=2+3.∴a=±2.绿色通道:讨论三角函数的最值问题时，经过三角恒等变换，化归为 y=Asin(ωx+φ)的形式求解，有时化归为二次函数求解. 变式训练 求函数y=cos3x·cosx 的最值.思路分析:由于是弦函数积的形式，则利用化积公式，将两个角的余弦化为一个角的三角函数值，从而转化为求二次函数的最值. 解:y=cos3x·cosx=21(cos4x+cos2x) =21(2cos 22x-1+cos2x) =cos 22x+21cos2x-21=(cos2x+41)2-169.∵cos2x∈［-1，1］， ∴当cos2x=-41时，y 取得最小值-169； 当cos2x=1时，y 取得最大值1，即函数y=cos3x·cosx 的最大值是1，最小值是-169. 问题探究问题 1)试分别计算cosA+cosB+cosC-4sin2A sin 2B sin 2C的值. ①在等边三角形ABC 中；②A=60°,B=90°,C=30°；③A=120°,B=30°,C=30°.(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明.(3)利用(2)的结论计算-2cos10°-2cos99.8°-2cos70.2°+8sin5°sin49.9°sin35.1°的值.导思:从A+B+C 上归纳并猜想出结论. 探究:(1)①由题意得A=B=C=60°， cosA+cosB+cosC-4sin 2A sin 2B sin 2C =cos60°+cos60°+cos60°-4sin30°sin30°sin30°=21+21+21-4×21×21×21=1; ②cosA+cosB+cosC -4sin 2A sin 2B sin 2C=cos60°+cos90°+cos30°-4sin30°sin45°sin15° =21+0+23-4×21×22×2cos30-1︒=1； ③cosA+cosB+cosC -4sin 2A sin 2B sin 2C=cos120°+cos30°+cos30°-4sin60°sin15°si n15° =-21+23+23-4×23sin 215° =-21+3-3×(1-cos30°)=1. (2)在(1)①中A+B+C=180°，有cosA+cosB+cosC-4sin2A sin 2B sin 2C=1； 在(1)②中A+B+C=180°，有cosA+cosB+cosC-4sin 2A sin 2B sin 2C=1；在(1)③中A+B+C=180°，有cosA+cosB+cosC-4sin 2A sin 2B sin 2C=1.猜想：当A+B+C=180°时，有cosA+cosB+cosC=1+4sin 2A sin 2B sin 2C.证明：当A+B+C=180°时，有A+B=180°-C,即2B A +=90°-2C，∴cosA+cosB+cosC=2cos 2B A +cos 2B A -+1-2sin 22C =2cos(90°-2C )cos 2B A -+1-2sin 22C=2sin 2C cos 2B A --2sin 22C +1=2sin 2C (cos 2B A --sin 2C )+1=2sin 2C (cos 2B A --cos 2B A +)+1=2sin2C (-2)sin 2A sin(-2B)+1 =4sin 2A sin 2B sin 2C+1.∴cosA+cosB+cosC=1+4sin 2A sin 2B sin 2C.(3)∵10°+99.8°+70.2°=180°，∴cos10°+cos99.8°+cos70.2°-4sin5°sin49.9°sin35.1°=1.∴-2cos10°-2cos99.8°-2cos70.2°+8sin5°sin49.9°sin35.1°=-2.。
专题05 和差化积——因式分解的应用例113或53例2 D 提示：（a －b ）（a －c ）＝7．a －b >0，a －c >0．例3 （1）19951998 提示：设1997＝a ，则原式＝3232221a a a a a a --++--（2）221 提示：422111422x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=-+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭例4 （1）x ＝1，y ＝－1 提示：（2x －3）（2＋3y ）＝1； （2）445,221;x y =⎧⎨=-⎩445,221.x y =-⎧⎨=⎩221,445.x y =-⎧⎨=⎩445,221.x y =-⎧⎨=⎩提示：（2x ＋y ）（x ＋2y ）＝2007×1＝669×3＝223×9＝（－1）×（－669）＝（－9）×（－223）． 例5 （1）a 2b ＋ab 2＝ab （a ＋b ）＝2×3＝6． （2）a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－2ab ＝32－2×2＝5．（3）()22222222222211322542a b ab a b a b a b a b +-+-⨯+====． 例6 提示：设m ＝19951993，则a ＝()321m +．A 组1．a ＋3b 2．363．（x ，y ）＝（6，5）或（4，5） 4．1或－3 5．A6．D 7．B 8．A9．（1）3 （2）1133334 提示：设a ＝22223，b ＝11112，则原式＝()3333a b a a b ++-．10.设1998=x ，则11999+=x .2222342222)19991998()1(1232)1()1(+=++=++++=+++⨯+=x x x x x x x x x x a 11.(1)由1284)()(22=+=+++ac c ac a ,得12)(2=+c a ,故32±=+c a .(2)由044)()(22=-=+-+bc b ac a ,088)()(22=-=+-+ad d ac c ,得0))((=++-c b a b a 0))((=++-d c a d c ,而d c b a ≠≠,,∴0,0=++=++d c a c b a ,从而)(c a d b +-==,又484)()(22-=-=+-+ac c ac a . 当32=+c a 时,332-=-c a ,解得332=a ,334=c ,32-==d b ； 当32-=+c a 时,332=-c a ,解得332-=a ,334-=c ,32==d b ；B 级1. 3 提示：原式=)106)(10622+-++n n n n （，1106=+-n n2. 783. 8 提示：,4)1)(1(=++b a ,4)1)(1(=++c b ,4)1)(1(=++c a4. 101030或103010或3010105. Ｂ 提示：原式=))()()(()2()22222c b a c b a c b a c b a ab c b a --+--+++=--+（ 6. Ｃ 提示：)1()1(22++=x x y 7. Ｃ 8. Ｃ9. 提示：原式=5552575270169⨯⨯==+⨯）（，共有()()216151515=+++）（（个因数.10. 3333)(b a a b a -++=()[]()()[]2222))((b a b a a ab a a b ab a b a -+---++-+=][)()())((2222b ab a b a a b ab a b a +--++-+=)(b a a ba -++11. (1)499就是扩充三次的最大数(2)1)1)(1(-++=++=b a b a ab c ，)1)(1(1++=+b a c 取c a ,可得新数1)1)(1)(1(1)1)(1(-+++=-++=a b a c a d ∴)1()1(12++=+b a d 取c b ,可得新数1)1)(1)(1(1)1)(1(-+++=-++=b a b c b e ∴)1()1(12++=+a b e ,设扩充后的新数为x ，则总可以表示为nm b a x )1()1(1+⋅+=+，式中n m ,为整数. 当4,1==b a 时,n m x 521⨯=+,又3452200011999⨯==+,故1999可以通过上述规则扩充得到.12.(1)设s 为22b a -与2a 的最大公因数，则su b a =-22，sv a =2（),Z u N v s ∈∈+于是)()(2222u v s b b a a -==--.可见,s 是2b 的因数,∵b a ,互质, ∴22,b a 也互质,可见1=s ,即22b a -与2a 互质,同理可得:22b a -与2b 互质.(2) ∵22)116(b m ma k +==,∴)(116)(222b a b b a m >=-.又m b a ,,都是正整数，∴22b a -整除2116b .因22b a -与2b 互质，∴22b a -整除116，即()()116b a b a -+.而2921162⨯=,()()b a b a -+,具有相同的奇偶性,且()()0>->+b a b a ,∴⎩⎨⎧=-=+129b a b a 或⎩⎨⎧=-⨯=+2292b a b a ,解得⎩⎨⎧==1415b a 或⎩⎨⎧==2830b a ,∵b a ,互质,⎩⎨⎧==1415b a .∴2422272116⨯=-=ba b m ,∴17640015722242=⨯⨯==ma k . (3)若(),5,=b a 设115,5b b a a ==,则(),1,11=b a 同(2)有222116)(b b a m =-即21212125116)2525(b b a m ⨯⨯=-,212121116)(b b a m ⨯=-,且(),1,11=b a .根据(2)有2472⨯=m ,14,1511==b a .∴441000025)5(2121===ma a m k .。
积化和差、和差化积专题三角函数的积化和差公式:积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得个公式•其中前两可合并为一个：三角函数的和差化积公式：和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：①其中前两个公式可合并为一个：sin+sin=2 sincos②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想•③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积④合一变形也是一种和差化积•⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用•积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用•如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幕公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算•和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值•正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段•典型例题：例1 .把下列各式化为和或差的形式:(]J2cos(oe - 45* )sin(oe + 45^ ") (2)sin6! cos3a例 2 .求值：sin6 ° sin42 ° sin66° sin78例 4 .求值：cos24°- sin6°- cos72例 5 .求tan20 ° + 4sin20 ° 的值.例6 .求值:例7 .已知sin(A+B)= , sin(A-B)=―,求值:2 2例8.求sin 20° +cos 80° +sin20 ° cos80 ° 的值.例9 .试证：cos2(A-)+cos 2(B - )-2cos(A-B)cos(A-)cos(B-) 的值与无关专题训练、基础过关n1. 函数y= cos x+ cos x + 3的最大值是B. .3C. 22. 化简1+ sin 4 a COS 4 a1+ sin 4 a cos 4a的结果是( )仝.3( )A . cot 2 a C. cot aB. tan 2 aD. tan a 13. 若cos( a+ ®cos( a—® = 3，贝卩cos2a—sin2^ 等于C.i4. sin 20 cos 70 + cos 40 cos 80 的值为4求sin( a+ 3的值.、探究与拓展5.A ・4 sin 35 — sin 25 cos 35 — cos的值是6.给出下列关系式：① sin 5 0+ sin 3 0= 2sin 8 0cos 2 0;②cos 3 0— cos 5 0= — 2sin 4 Osin1③ sin 3 0— sin 5 =— ^cos 4 O os 0； ④ sin 5 0+ cos 3 0= 2sin 4 0cos 0 1⑤ sin xsin y = ^[cos(x — y) — cos(x + y)]. 其中正确的序号是 _________ . 7.sin 40 1 + 2cos 40 ° 2cos 240 °+ cos 40 — 1.& 在厶 ABC 中，求证：sin A + sin B + sin C, ABC=4cos ^cos ^cos ^.D.二、能力提升9. cos 2a — cos acos(60 + a )+ sin 2(30 °- a 的值为()1331CaDa10.已知 cos 2 a — cos 2 3= m , 那么 sin( a+ 3) sin( a — 3)=.11.化简:tan 20 + 4sin 20 . °12.已知 1cos a — cos 3= 2，sin a — sin 3=— 13, 13.已知△ ABC 的三个角 A , B , C 满足：A + C = 2B ,+ g~C2cos B，求 cos4的值.专题训练二n n6. 函数 y = sin (x + 3) — si n x(x € [0 , ^])的值域是( )A . [— 2,2]B. — 1, -2C.[1, 1] D. 1手7. cog75 ° + cos ?15 ° + cos75 °cos15 的值等于 ___ .2 n 18 .已知 a —片 丁，且 cos a + cos 3= ?,_则 COS ( a + ◎等于 _____ . 才)的最大值是10•化简下列各式： cosA + cos 120。
专题05 和差化积——因式分解的应用阅读与思考：因式分解是代数变形的有力工具，在以后的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，其应用主要体现在以下几个方面：1．复杂的数值计算； 2．代数式的化简与求值； 3．简单的不定方程（组）； 4．代数等式的证明等.有些多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉这些结果： 1. 4224(22)(22)x x x x x +=++-+; 2. 42241(221)(221)x x x x x +=++-+; 3. 1(1)(1)ab a b a b ±±+=±±； 4.1(1)(1)ab ab a b ±-=±；5. 3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---．例题与求解【例1】已知0≠ab ，2220a ab b +-=，那么22a ba b-+的值为___________ .（全国初中数学联赛试题） 解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求a ，b 之间的关系，代入关系求值．【例2】a ，b ，c 是正整数，a ＞b ，且27a ab ac bc --+=，则a c -等于( ).A . －1B ．－1或－7C ．1 D.1或7（江苏省竞赛试题） 解题思路：运用因式分解，从变形条件等式入手，在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是研究代数式、方程和函数的重要工具，换元、待定系数、配方、因式分解又是恒等变形的有力工具．求代数式的值的基本方法有； (1)代入字母的值求值； (2)代入字母间的关系求值； (3)整体代入求值．【例3】计算：(1) 32321997219971995199719971998--+- （“希望杯”邀请赛试题） （2）444444444411111(2)(4)(6)(8)(10)4444411111(1)(3)(5)(7)(9)44444++++++++++ （江苏省竞赛试题） 解题思路：直接计算，则必然繁难，对于(1)，不妨用字母表示数，通过对分子、分母分解因式来探求解题思路；对于(2)，可以先研究41()4x +的规律．【例4】求下列方程的整数解．(1)64970xy x y +--=; （上海市竞赛试题） (2)222522007x xy y ++=. （四川省竞赛试题） 解题思路：不定方程、方程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察方程、方程组的特点，利用整数解这个特殊条件，从分解因式入手．解不定方程的常用方法有：(1)穷举法； (2)配方法； (3)分解法； (4)分离参数法．用这些方程解题时，都要灵活地运用质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识.【例5】已知3a b +=，2ab =，求下列各式的值：(1) 22a b ab +； (2) 22a b +； (3)2211a b+． 解题思路：先分解因式再代入求值.【例6】一个自然数a 恰等于另一个自然数b 的立方，则称自然数a 为完全立方数，如27＝33，27就是一个完全立方数．若a ＝19951993×199519953－19951994×199519923，求证：a 是一个完全立方数． （北京市竞赛试题）解题思路：用字母表示数，将a 分解为完全立方式的形式即可．能力训练A 级1. 如图，有三种卡片，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长分别为a ，b 的长方形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ________．（烟台市初中考试题）2．已知223,4x y x y xy +=+-=，则4433x y x y xy +++的值为__________．（江苏省竞赛试题） 3．方程25510x xy x y --+-=的整数解是__________． （“希望杯”邀请赛试题） 4. 如果2(1)1x m x -++是完全平方式，那么m 的值为__________． （海南省竞赛试题） 5. 已知22230x xy y -+=(0≠xy )，则x yy x+的值是( )． A ．2，122 B ．2 C ．122 D ．12,22-- 6．当1x y -=，43322433x xy x y x y xy y ---++的值为( )． A . －1 B ．0 C ．2 D ．17．已知a b c ＞＞，222222M a b b c c a N ab bc ca =++=++，，则M 与N 的大小关系是( )．A . M ＜NB ．M ＞NC ．M ＝ND ．不能确定（“希望杯”邀请赛试题）babbaa8．n 为某一自然数，代入代数式3n n -中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是( )．A . 388944B .388945C .388954D .388948（五城市联赛试题）9．计算：(1) 3331999100099919991000999--⨯⨯ （北京市竞赛试题）(2) 333322223111122222311111++ (安徽省竞赛试题)10. 一个自然数a 恰好等于另一个自然数b 的平方，则称自然数a 为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数，若a ＝19982＋19982×19992＋19992，求证：a 是一个完全平方数．（北京市竞赛试题）11.已知四个实数a ，b ，c ，d ，且a b ≠，c d ≠，若四个关系式224,b 4a ac bc +=+=，82=+ac c ，28d ad +=，同时成立.(1)求a c +的值；(2)分别求a ，b ，c ，d 的值．（湖州市竞赛试题）B 级1．已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，那么n ____________ .（“希望杯”邀请赛试题）2．已知三个质数,,m n p 的乘积等于这三个质数的和的5倍，则222m n p ++＝________ .（“希望杯”邀请赛试题）3.已知正数a ，b ，c 满足3ab a b bc b c ac c a ++=++=++=，则(1)(1)(1)a b c +++＝_________ . （北京市竞赛试题） 4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式44x y -，因式分解的结果是22()()()x y x y x y -++，若取x ＝9，y ＝9时，则各个因式的值是：22()0,()18,()162x y x y x y -=+=+=，于是就可以把“0181 62”作为一个六位数的密码，对于多项式324x xy -，取x ＝10，y ＝10时，用上述方法产生的密码是：__________．（写出一个即可）．（浙江省中考试题）5．已知a ，b ，c 是一个三角形的三边，则444222222222a b c a b b c c a ++---的值( )． A .恒正 B ．恒负 C ．可正可负 D ．非负(太原市竞赛试题) 6．若x 是自然数，设4322221y x x x x =++++，则( )．A . y 一定是完全平方数B ．存在有限个x ，使y 是完全平方数C . y 一定不是完全平方数D ．存在无限多个x ，使y 是完全平方数 7．方程2223298x xy x --=的正整数解有( )组．A .3B ．2C ．1D ．0（“五羊杯”竞赛试题）8．方程24xy x y -+=的整数解有( )组．A .2B ．4C ．6D .8（”希望杯”邀请赛试题）9．设N ＝695＋5×694＋10×693＋10×692＋5×69＋1.试问有多少个正整数是N 的因数？（美国中学生数学竞赛试题）10．当我们看到下面这个数学算式333337133713503724372461++==++时，大概会觉得算题的人用错了运算法则吧，因为我们知道3333a b a bc d c d++≠++．但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种算式：333331313232++=++，333352525353++=++，333373737474++=++，3333107107103103++=++，… 你能发现以上等式的规律吗？11.按下面规则扩充新数：已有a ，b 两数，可按规则c ab a b =++扩充一个新数，而以a ，b ，c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作. 现有数1和4，求：(1) 按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；(2) 能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．（重庆市竞赛试题）12.设k ，a ，b 为正整数．k 被22,a b 整除所得的商分别为m ，16+m . (1)若a ，b 互质，证明22a b -与22,a b 互质； (2)当a ，b 互质时．求k 的值；( 3)若a ，b 的最大公约数为5，求k 的值．（江苏省竞赛试题）。
高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.的值为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由和差化积公式原式=．【考点】和差化积公式．2.已知函数，若，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由和差化积公式得，，即，可得，解得．【考点】1、和差化积；2、三角函数的取值．3.计算 = ．【答案】【解析】．【考点】两角差的正弦公式．4.已知分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，.（1）求A；（2）若，△ABC 的面积为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由条件及正弦定理，进行边角的统一，可得到，注意到，因此，可将等式继续变形为，从而得到，由利用辅助角公式可变形为，因此，；（2）由（1）及面积为，可得，再根据余弦定理，联立方程即可解得.（1）由正弦定理及可得：，即，又∵，∴ 3分即，∴，； 7分由（1）及，∴，又由余弦定理及： 10分，联立方程，即可得 14分【考点】1.正弦定理与余弦定理解三角形；2.三角恒等变形.5.在中，为的对边，且，则（）A．成等差数列B．成等差数列C．成等比数列D．成等比数列【答案】D【解析】因为，所以，且由二倍角公式可得，所以可化为即也就是，根据正弦定理可得，所以成等比数列，选D.【考点】1.两角和差公式；2.二倍角公式；3.正弦定理；4.等比数列的定义.6.（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据两角和的公式，,故选A.【考点】两角和的正弦公式7.设△ABC的内角所对的边分别为,若,则的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】A【解析】∴，则由正弦定理可得，即，可得，故，所以三角形为直角三角形，故选A．【考点】1．正弦定理；2．两角和与差的三角函数．8.若,则________.【答案】【解析】∵,∴＝＝＝＝．【考点】1、两角和与差的余弦函数；2、二倍角的余弦．9. sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°的值是 ( )A．B．C．－D．－【答案】C【解析】。
积化差和和化积公式练习：积化差和和化积公式练引言积化差和和化积是一种常见的数学技巧，可用于简化复杂的数学问题。
掌握积化差和和化积公式对于解决各种数学题目至关重要。
本文将介绍积化差和和化积的基本概念和公式，以及一些练题目供读者练。
积化差公式积化差公式用于将两个数的乘法转化为它们之间的差。
具体公式如下：公式： $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$在使用积化差公式时，我们需要将乘号两边的表达式分别表示为两个因子的和与差。
然后，我们将这两个因子代入公式并简化，得到结果。
例如，让我们解决一个实际的例子：例子： $(5 + 3)(5 - 3)$ $(5 + 3)(5 - 3)$首先，我们可以表示乘号两边的表达式为：$a = 5$，$b = 3$。
然后，我们将这两个因子代入积化差公式：$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$简化后，我们得到：$(5 + 3)(5 - 3) = 5^2 - 3^2$继续计算，我们得到：$(8)(2) = 25 - 9$最后，我们得到结果为：$16 = 16$和化积公式和化积公式用于将两个数的差转化为它们之间的乘法。
具体公式如下：公式： $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$ $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$在使用和化积公式时，我们需要将两个数的差表示为两个因子的和与差。
然后，我们将这两个因子代入公式并简化，得到结果。
让我们解决一个例子来说明和化积公式的应用：例子： $(5 + 3)^2 - (5 - 3)^2$ $(5 + 3)^2 - (5 - 3)^2$首先，我们可以表示乘号两边的表达式为：$a = 5$，$b = 3$。
然后，我们将这两个因子代入和化积公式：$(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$简化后，我们得到：$(5 + 3)^2 - (5 - 3)^2 = 4(5)(3)$继续计算，我们得到：$(8)^2 - (2)^2 = 4(15)$最后，我们得到结果为：$64 - 4 = 60$练题目以下是一些练题目，供读者巩固对积化差和和化积公式的理解和应用：1. $(6 + 4)(6 - 4)$2. $(11 + 3)(11 - 3)$3. $(9 - 7)^2 - (9 + 7)^2$读者可以通过代入公式并简化计算，得出答案。
半角、万能和积化和差与和差化积公式问题题型一半角公式问题1．已知函数2()sin cos cos (0)f x x x x ωωωω=+>，若函数()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．15,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．已知函数()3cos (0)f x x x ωωω=->，实数1x ，2x 满足()()124f x f x -=，且12x x -的最小值为2π，由()f x 的图象向左平移3π个单位得到函数()g x ，则24g π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A ．622B ．1C 2D 33．（多选题）下列说法正确的是（）A ．4,sin 5x x ∃∈=R ，且3tan 5x =B ．,2sin 2cos 2x x x x∃∈==R C ．21cos(2),cos 2x x x +-∀∈=R D ．,1sin 1sin 2sin22x x x x ππ⎛⎫∀∈-+= ⎪⎝⎭4．若3sin 5θ=，532πθπ<<，则tan 2cos 22θθ+=____________．5．已知7sin cos 5αα+=，且α是第一象限的角，则tan 2α=______．6．已知函数()sin cos 36f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22cos 2x g x =.(1)若α是第三象限角，且()55f α=，求()g α的值；(2)设()()()22F x f x g x =+，讨论()F x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.题型二万能公式问题7．已知锐角,αβ满足22,tan tan 2332πααββ+==()sin βα-=（）A ．12B ．32C ．624D ．6248．曲线2y x x =-在1x =处的切线的倾斜角为α，则cos 21tan αα=+（）A ．1-B ．15-C 3D ．29．（多选题）设非负实数,x y 满足21,x y +=则22x x y +的（）A ．最小值为45B ．最小值为25C ．最大值为1D 123+10．已知三角式：24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；③2212tantan 221tan 2x x x--+；1cos 21cos 222x x+-当x ∈R 时，与cos sin x x -恒等的是__________.（选填序号）11．已知ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，tan 2α=，则22πsin 2cos 14αα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值为___________12．向量(sin ,cos ),(cos ,sin )m x x n ωωϕϕ==，(,0)2x R πϕω∈<>.（Ⅰ）若函数()=⋅f x m n 的图象在y 轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的一个点）为(,1)6P π，在原点右侧与x 轴的第一个交点为5(,0)12Q π，求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若=1ω，(2,3a =-r 且//m a，求sin 2x 的值.题型三积化和差与和差化积公式13．函数()sin sin 3cos cos 3x xf x x x+=+的最小正周期是（）A ．2πB ．23πC ．ΠD ．2π14．已知函数()sin sin()f x x x π=+；现给出如下结论：①()f x 是奇函数；②()f x 是周期函数；③()f x 在区间(0,)π上有三个零点；④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的编号为（）A ．①③B ．①②③C ．②④D ．①④15．（多选题）若函数()f x 满足：对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在函数()f x 的定义域内，就有函数值()f a ，()f b ，()(0,)f c ∈+∞也是某个三角形的三边长，则称函数()f x 为“保三角形函数”，下面四个函数中保三角形函数有（）A ．2()(0)f x x x =>B ．()0)f x x x =>C ．()sin (0)4f x x x π=<<D ．()cos (0)2f x x x π=<<16．已知同一平面内的单位向量1e ，2e，3e ，则()()2123e e e e -⋅- 的取值范围是________.17．如图，平面上有一条走廊宽为3米，夹角为120°，地面是水平的，走廊两端足够长．那么能够通过走廊的钢筋（看作线段，不考虑粗细）的最大长度为____________________米．18．设πA B C ++=，求证：222sin sin 2sin sin cos sin B C B C A A +-=．半角、万能和积化和差与和差化积公式问题题型一半角公式问题1．已知函数2()sin cos cos (0)f x x x x ωωωω=+>，若函数()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．15,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】先用辅助角公式化简，结合函数单调性，列出不等式组，解出实数ω的取值范围，进而求出答案.【详解】221()sin cos cos sin 2242f x x x x x πωωωω⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，由函数()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.且2,2ππππ4π44x ωωω⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，πππ2π,42π3π2π2π,42k k ωω⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得：152,48k k k ω+≤≤+∈Z ，当0k =时，1548ω≤≤.故选：C.2．已知函数()3cos (0)f x x x ωωω=->，实数1x ，2x 满足()()124f x f x -=，且12x x -的最小值为2π，由()f x 的图象向左平移3π个单位得到函数()g x ，则24g π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A ．622B ．1C 2D 3【答案】A 【解析】【分析】由已知分析得到函数的最小正周期为π，求出()2sin(2)6f x x π=-，通过平移得到()2cos 2g x x =，再求24g π⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】由题得()3cos 2sin()6f x x x x ωωωπ=-=-，函数的最大值是2，最小值是-2.因为()()124f x f x -=，所以()()122,2f x f x ==-，因为12x x -的最小值为2π，所以函数的最小正周期为2=2ππ⨯，所以2==2ππωω∴.所以()2sin(2)6f x x π=-，由()f x 的图象向左平移3π个单位得到函数()2sin[2()]2sin(2)362g x x x πππ=+-=+2cos 2x =，所以31cos 18+43622cos 2232412224g πππ++⎛⎫==+=⎪⎝⎭8+2126+242=故选：A3．（多选题）下列说法正确的是（）A ．4,sin 5x x ∃∈=R ，且3tan 5x =B ．,2sin 2cos 2x x x x∃∈==R C ．21cos(2),cos 2x x x +-∀∈=R D ．,1sin 1sin 2sin22x x x x ππ⎛⎫∀∈-+= ⎪⎝⎭【答案】BCD 【解析】【分析】根据三角函数恒等变换进行化简及求值，一一判断命题是否正确即可.【详解】当4sin 5x =时，23cos 1sin 5x x =-=±，所以4tan 3x =±，故A 错误；当4x π=时，2sin 2cos 22x x x ===B 正确；因为21cos 2cos 2xx +=，且cos(2)cos 2x x -=，所以C 正确；因为,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,242x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 022x x >>，且sin cos 022x x ->，所以221sin 1sin sin cos sin cos 2222x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sincos sin cos 2222x x x x=-++sin cos sin cos 2sin 22222x x x x x=-++=，故D 正确．故选：BCD 4．若3sin 5θ=，532πθπ<<，则tan 2cos 22θθ+=____________．【答案】1035-##15105【解析】【分析】先利用同角三角函数的关系求出cos θ，再利用半角公式求出cos 2θ，sin 2θ，从而可求出tan2θ，进而可求得答案【详解】因为3sin 5θ=，532πθπ<<，所以294cos 1sin 1255θθ=-=--=-，因为532πθπ<<所以53422πθπ<<，所以411cos 105cos22210θθ-+==-，411cos 105sin 22210θθ+-=-，所以sin 2tan32cos2θθθ==，所以10tan2cos3225θθ+=-，故答案为：10355．已知7sin cos 5αα+=，且α是第一象限的角，则tan 2α=______．【答案】13或12【解析】【分析】根据同角三角函数关系，建立方程求出sinα，cosα的值，结合正切函数的公式进行求解即可．【详解】解：∵α是第一象限角，7sin cos 5αα+=，∴7sin cos 5αα=-+平方得2221449sin cos cos 1cos 525αααα=-+=-，得214242cos cos 0525αα-+=，即46cos 2cos 055αα⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则3cos 5α=或4cos 5α=，当3cos 5α=时，4sin 5α=，则311cos 15tan 42sin 25ααα--===．当4cos 5α=时，3sin 5α=，则411cos 15tan 32sin 35ααα--===，即1tan22α=或13．故答案为：12或13．6．已知函数()sin cos 36f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22cos 2x g x =.(1)若α是第三象限角，且()5f α=，求()g α的值；(2)设()()()22F x f x g x =+，讨论()F x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.【答案】(1)2515-(2)在0,8π⎡⎤⎢⎣⎦上递增，在,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减【解析】【分析】（1）根据和差角公式展开即可得()sin f x x =，进而5sin 5α=得25cos 5α=（2）结合（1）得()2214F x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再结合题意得52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，进而解2442x πππ≤+≤和52244x πππ≤+≤即可得单调区间.(1)解：()sin cos 36f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1331sin sin sin 2222x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为()55f α=-，所以5sin α=因为α是第三象限角，所以25cos 5α=()2252cos 1cos 125g ααα==+=-.(2)解：由（1）得()()()22sin 2cos 212sin 214F x f x g x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦要使()f x 为增函数，则2442x πππ≤+≤，解得08x π≤≤要使()f x 为减函数，则52244x πππ≤+≤，解得82x ππ≤≤综上所述，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减.题型二万能公式问题7．已知锐角,αβ满足22,tan tan 2332πααββ+==()sin βα-=（）A ．12B ．32C ．624D ．624【答案】C 【解析】【分析】求出tan()2αβ+，由两角和的正切公式展开，结合已知求得tan2α和tan β，然后求得sin ,cos ,sin ,cos ααββ，再由两角差的正弦公式计算．【详解】由223παβ+=得23απβ+=，所以tantan 2tan 321tan tan 2αβαβαβ+⎛⎫+=⎪⎝⎭-又tantan 232αβ=tantan 332αβ+=-由tan tan 332tan tan 232αβαβ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得tan 232tan 1αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或tan 12tan 23αβ⎧=⎪⎨⎪=⎩（舍去，此时α不是锐角），tan 1β=，β是锐角，4πβ⇒=，2sin cos 2ββ==222tan3)12sin 21(23)1tan2ααα==+-+，则3cos 2α=，所以232162sin()sin cos cos sin 22224βαβαα-=-=⨯-⨯=．故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查两角和正切公式，万能公式，同角间的三角函数关系，两角差的正弦公式．解题关键是确定选用公式的顺序，解题时由函数名及角的关系确定选用的公式及顺序．．8．曲线2y x x =-在1x =处的切线的倾斜角为α，则cos 21tan αα=+（）A ．1-B ．15-C 3D ．2【答案】B 【解析】【分析】先求出2y x x=-的导函数，进而求出1x =时，123y '=+=，由导函数的几何意义和倾斜角与斜率的关系，求出tan 3α=，利用万能公式求出结果.【详解】221y x '=+，当1x =时，123y '=+=，所以tan 3α=，由万能公式得：222222cos sin 1tan 194cos 2cos sin 1tan 195ααααααα---====-+++所以cos 24111tan 545αα=-⨯=-+故选：B9．（多选题）设非负实数,x y 满足21,x y +=则22x x y +的（）A ．最小值为45B ．最小值为25C ．最大值为1D ．最大值为123【答案】AC 【解析】【分析】采用三角代换的方式化简原式，然后利用换元法以及二次函数的值域求解出22x x y +的最大值和最小值，注意取等号的条件.【详解】令cos x r θ=，sin y r θ=，0,0,2r πθ⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦，因为21x y +=，所以2cos sin 1r r θθ+=，所以12cos sin r θθ=+，所以22222221tan 211tan cos 12cos 2cos sin 1tan 2tan2221tan 1tan 22x x y r r θθθθθθθθθθ-++++=+==+-⋅+++[]2211tan 0,1215tan tan1tan 22224θθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭⎛⎫-++--+⎪⎝⎭，所以(222max111524x x y +==⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，(22min2145504x x y +==-+，取最大值时tan 02θ=或1，此时01x y =⎧⎨=⎩或120x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，取最小值时1tan 22θ=，此时31025x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故选：AC.【点睛】本题考查用三角换元法求最值，着重考查逻辑推理和运算求解的能力，难度较难.(1)利用换元法求解最值时注意，换元后新元的取值范围；(2)三角函数中的一组“万能公式”：22tan2sin 1tan 2θθθ=+，221tan 2cos 1tan 2θθθ-=+.10．已知三角式：24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；③2212tantan 221tan 2x xx--+；1cos 21cos 222x x+-当x ∈R 时，与cos sin x x -恒等的是__________.（选填序号）【答案】②【解析】【分析】根据两角和与差的三角公式展开求得①②判断出结果，③中x 的范围不同，④在部分条件下可以相等，故不成立.【详解】解：：22sin cos sin cos sin cos 444x x x x x πππ⎛⎫⎫+=+=+ ⎪⎪⎝⎭⎭，不正确；22cos sin cos sin cos sin 444x x x x x πππ⎛⎫⎫+=-=- ⎪⎪⎝⎭⎭，正确；③2222212tantan 1tan 2tan 2222cos sin 1tan 1tan 1tan 222x xx xx x xx x---=-=-+++，但是2,x k k Z ππ≠+∈，错误；1cos 21cos 222x x +-cos sin x x -≠cos sin x x -，错误；故答案为：②.11．已知ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，tan 2α=，则22πsin 2cos 14αα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值为___________【答案】710【解析】【分析】先由tan 2α=求出sin 2α、cos 2α的值，再利用余弦的二倍角公式以及诱导公式化简，将sin 2α、cos 2α的值代入即可求解.【详解】因为ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π2,π2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因为tan 2α=，所以2222sin cos 2tan 4sin 22sin cos sin cos 1tan 5ααααααααα====++22222222cos sin 1tan 143cos 2cos sin cos sin 1tan 145ααααααααα---=-===-+++，22π1cos 2π2sin 2cos 1cos 242αααα⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭--+=- ⎪⎝⎭411sin 2375cos 222510αα--⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭，故答案为：710.12．向量(sin ,cos ),(cos ,sin )m x x n ωωϕϕ==，(,,0)2x R πϕω∈<>.（Ⅰ）若函数()=⋅f x m n 的图象在y 轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的一个点）为(,1)6P π，在原点右侧与x 轴的第一个交点为5(,0)12Q π，求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若=1ω，(2,3a =-r 且//m a，求sin 2x 的值.【答案】（Ⅰ）()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）437【解析】（Ⅰ）利用数量积的坐标形式和两角和的正弦公式可得()()sin ωϕ=+f x x ，再根据图象特征得到函数的周期，最后利用周期公式可求ω的值从而得到所求的解析式.（Ⅱ）利用//m a可得tan x 的值，再利用二倍角的正弦公式和弦切互化法可求sin 2x 的值.【详解】（Ⅰ）()f x m n =⋅=sin cos cos sin sin()x x x ωϕωϕωϕ+=+由题意，得5,,24126T T πππω=-∴=∴=.将点(,1)6P π代入sin(2)y x ϕ=+，得sin(2)16πϕ⨯+=，所以2,()6k k Z πϕπ=+∈，又因为||,26ππϕϕ<∴=，即函数()f x 的解析式为()sin(2)6f x x π=+.（Ⅱ）∵//m a ，∴232cos 3sin ,tan .x x x =-=-2222sin cos 2tan 43sin 22sin cos sin cos 1tan 7x x x x x x x x x ∴====++本题考查正弦型函数的图像和性质以及三角函数的化简求值，注意正弦型函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为12个最小正周期，相邻两个对称中心的距离也是12个最小正周期，相邻的对称中心与对称轴之间的水平距离为14个最小正周期，另外，我们可用α的正切表示2α的三角函数.题型三积化和差与和差化积公式13．函数()sin sin 3cos cos 3x xf x x x+=+的最小正周期是（）A ．2πB ．23πC ．πD ．2π【答案】C 【解析】【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得()tan 2f x x =，结合函数的定义域，由02f π⎛⎫+ ⎪⎝⎭无意义，()()f x f x π+=周期的定义可得答案.【详解】()332sincossin sin 32sin 2cos 22tan 233cos cos32cos 2cos 2cos cos 22x x x xx x x x f x x x x x x x x x x+-+====+-+，由cos 0cos 20x x ≠⎧⎨≠⎩，得,2x k ππ≠+且1,24x k k Zππ≠+∈可得函数()f x 的最小正周期2T π=，但是，当0x =时，()00f =，02f π⎛⎫+ ⎪⎝⎭无意义，所以2T π≠，又()()f x f x π+=，且对定义域内的任意自变量x ，x π+也在定义域内.所以函数()f x 的最小正周期T π=.故选：C.14．已知函数()sin sin()f x x x π=+；现给出如下结论：①()f x 是奇函数；②()f x 是周期函数；③()f x 在区间(0,)π上有三个零点；④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的编号为（）A ．①③B ．①②③C ．②④D ．①④【答案】A【分析】由给定函数()f x 逐一验证4个结论的正确性而得解.【详解】原函数定义域为R ，显然有函数()sin()sin()f x x x π-=-+-(sin sin())()x x f x π=-+=-，()f x 是奇函数，①正确；假定()f x 是周期函数，周期为T ，则sin()sin()sin sin()x T x T x x πππ+++=+，22sin()sin sin()sin()sincos sin cos 2222T x T T x Tx T x x x T ππππππ+++-=-+⇔=-，0x R ∃∈使得02cos 02x T +=，02cos 02x T ππ+≠，则sin 02T π=，2,2Tk T k k Z ππ=⇒=∈1x R ∃∈使得12cos02x T ππ+=，12cos 02x T +≠，则sin 02T =，2,2Tk T m m Z ππ=⇒=∈，k m π=，矛盾，即②不正确；()0f x =，即(1)(1)2sincos 022x x ππ+-=，(1)sin 02xπ+=，(1)cos 02x π-=，则(1)2x k ππ+=或(1)()22x k k Z πππ-=+∈，解得21k x ππ=+或(21)()1k x k Z ππ+=∈-，因(0,)x π∈，24,,111x ππππππ=-++，即()f x 在区间(0,)π上有三个零点，③正确；因2()2x k k Z ππ=+∈时sin x 取最大值1，12()2x k k Z =+∈时sin()x π取最大值1，sin x 的最大值和sin()x π的最大值不同时取得，即()f x 的最大值比2小，④不正确.故选：A 【点睛】结论点睛：和差化积公式：sin sin 2sin cos22αβαβαβ+-+=；sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=；cos cos 2coscos22αβαβαβ+-+=；cos cos 2sinsin22αβαβαβ+--=-.15．（多选题）若函数()f x 满足：对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在函数()f x 的定义域内，就有函数值()f a ，()f b ，()(0,)f c ∈+∞也是某个三角形的三边长，则称函数()f x 为“保三角形函数”，下面四个函数中保三角形函数有（）A ．2()(0)f x x x =>B ．()0)f x x x =>C ．()sin (0)4f x x x π=<<D ．()cos (0)2f x x x π=<<【解析】欲判断函数()f x 是不是“保三角形函数”，只需要任给三角形，设它的三边长分别为,,a b c ，则a b c +>，不妨设a c ≤，b c ≤，判断()f a ，()f b ，()f c 是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边即可.【详解】解：任给三角形，设它的三边长分别为,,a b c ，则a b c +>，不妨假设a c ≤，b c ≤，对于2()(0)f x x x =>，3,3,5可作为一个三角形的三边长，但222335+<，所以不存在三角形以2223,3,5为三边长，故A 不是“保三角形函数”；对于()0)f x x x =>，a b c +> a b a b c +，所以B 是“保三角形函数”；对于()sin (0)4f x x x π=<<，02a b c π∴>+>>，()()sin sin sin ()f a f b a b c f c +=+>=，所以C 是“保三角形函数”；对于()cos (02f x x x π=<<，若5,1212a b c ππ===,由5()()2coscos ()1212f a f b f c ππ+=<=，所以D 不是“保三角形函数”.故选：BC .16．已知同一平面内的单位向量1e ，2e，3e ，则()()2123e e e e -⋅- 的取值范围是________.【答案】1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】可设2(1,0)e = ，1(cos ,sin )e αα= ，3(cos ,sin )e ββ=，转化为坐标运算，再化简转化成三角函数与二次函数复合而成的复合函数的值域问题.【详解】设2(1,0)e =，1(cos ,sin )e αα= ，3(cos ,sin )e ββ= ，则()()2123e e e e -⋅-(1cos ,sin )(1cos ,sin )ααββ=--⋅--1cos cos cos cos sin sin αβαβαβ=--++1cos()(cos cos )αβαβ=+--+1cos 2()[cos(cos()]22222αβαβαβαβαβ-+-+-=+-++-22cos 2coscos222αβαβαβ-+-=-由令t =cos[1,1]2αβ-∈-，则y =()()2123e e e e -⋅-222cos 2t t αβ+=-，[1,1]t ∈-函数开口向上，对称轴为01cos22t αβ+=-11[,]22∈-故当cos 12t αβ-==，cos12αβ+=-或cos12t αβ-==-，cos12αβ+=时，max 4y =；当cos12αβ+=，1cos22t αβ-==或cos 12αβ+=-，1cos 22t αβ-==-时，min 12y =-，故1[,4]2y ∈-.故答案为：1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了向量的坐标运算，求三角函数与二次函数复合而成的复合函数的值域问题，还考查了学生分生思维能力，运算能力，难度较大.17．如图，平面上有一条走廊宽为3米，夹角为120°，地面是水平的，走廊两端足够长．那么能够通过走廊的钢筋（看作线段，不考虑粗细）的最大长度为____________________米．【答案】12【解析】【分析】如图，设能通过走廊的钢筋的长度为AB ，设BAQ α∠=，60ABQ α∠=︒-，则求得()33,sin sin 60AP BP αα==︒-，然后相加，利用基本不等式可得基本最小值【详解】如图，设能通过走廊的钢筋的长度为AB ，设BAQ α∠=，60ABQ α∠=︒-，则()()3316sin sin 60sin sin 60AB AP PB αααα=+=+≥︒-⋅︒-()126612111cos 602cos 6022α=≥=-︒--︒⎡⎤⎣⎦，当且仅当30α=︒时取等号，故能够通过走廊的钢筋（看作线段，不考虑粗细）的最大长度为12米．故答案为：1218．设πA B C ++=，求证：222sin sin 2sin sin cos sin B C B C A A +-=．【答案】证明见解析【解析】【分析】令22sin sin 2sin sin cos B C B C A x +-=，设22cos cos 2cos cos cos y B C B C A =++，计算22sin x y A +=，0x y -=，即可得到2sin x A =，从而证得原式.【详解】证明：令22sin sin 2sin sin cos B C B C A x +-=，设22cos cos 2cos cos cos y B C B C A =++，()22cos cos cos sin sin x y A B C B C ∴+=+-()2222cos cos 22cos 2sin A B C A A =+⋅+=-=，()cos 2cos 22cos cos x y B C A B C -=---⋅-()()()2cos cos 2cos cos B C B C A B C =-+⋅--⋅-()()2cos cos cos 0B C A A =--=．∴2sin x A =，所以222sin sin 2sin sin cos sin B C B C A A +-=．【点睛】方法点睛：在某种意义下成对出现的两个数学结构，称之为对偶关系．对偶关系中最常见的是对偶式，即式的对称性，若对于一个孤立的研究对象，有意识地构造对偶关系，往往可获得新颖别致的妙解，如数列求和中的逆序相加法，就是利用对偶式解题的范例．本题对偶式可考虑加减对偶、互余对偶（但又不全互余对偶）体现了灵活性．。
和差化积公式例题一、和差化积公式。
sinα+sinβ = 2sin(α + β)/(2)cos(α-β)/(2)sinα-sinβ=2cos(α + β)/(2)sin(α-β)/(2)cosα+cosβ = 2cos(α+β)/(2)cos(α - β)/(2)cosα-cosβ=- 2sin(α+β)/(2)sin(α-β)/(2)二、例题及解析。
（一）例1。
1. 题目。
已知sin A+sin B=(√(2))/(2)，A + B=(π)/(2)，求sin A和sin B的值。
2. 解析。
因为A + B=(π)/(2)，B=(π)/(2)-A。
由和差化积公式sin A+sin B=2sin(A + B)/(2)cos(A - B)/(2)将A + B=(π)/(2)代入得sin A+sin B = 2sin(π)/(4)cos(A - B)/(2)=2×(√(2))/(2)cos(A - B)/(2)=√(2)cos(A - B)/(2)又因为sin A+sin B=(√(2))/(2)，所以√(2)cos(A - B)/(2)=(√(2))/(2)，则cos(A - B)/(2)=(1)/(2)(A - B)/(2)=±(π)/(3)+ 2kπ,k∈ ZA - B=±(2π)/(3)+4kπ,k∈ Z又A + B=(π)/(2)联立方程组A + B=(π)/(2) A - B=±(2π)/(3)+4kπ当A - B=(2π)/(3)+4kπ时，2A=(π)/(2)+(2π)/(3)+4kπ=(7π)/(6)+4kπ，A=(7π)/(12)+2kπ，B=(π)/(2)-A=-(π)/(12)+2kπsinA=sin((7π)/(12))=sin((π)/(4)+(π)/(3))=sin(π)/(4)cos(π)/(3)+cos(π)/(4)sin(π)/(3)=(√(2)+√(6))/( 4)sin B=sin(-(π)/(12))=-sin(π)/(12)=-sin((π)/(3)-(π)/(4))=-(sin(π)/(3)cos(π)/(4)-cos(π)/(3)sin(π)/(4))=(√(2)-√(6))/(4)当A - B=-(2π)/(3)+4kπ时，2A=(π)/(2)-(2π)/(3)+4kπ=-(π)/(6)+4kπ，A =-(π)/(12)+2kπ，B=(π)/(2)-A=(7π)/(12)+2kπsin A=sin(-(π)/(12))=(√(2)-√(6))/(4)sin B=sin((7π)/(12))=(√(2)+√(6))/(4)（二）例2。
