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二次函数的一般式化为顶点式课件

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2 二次函数的图象与性质2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第4课时PPT课件(华师大版)

2 二次函数的图象与性质2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第4课时PPT课件(华师大版)
质 随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x 的增大而增大;在对称轴的右侧,即当x

>-

>-
时,y随x的增大而增大.
(4)抛物线有最低点,当x=
-
最小值,y最小值=

-
时,y随x的增大而减小.


时,y有 (4)抛物线有最高点,当x=
-
大值,y最大值=

-


时,y有最
以选项 D 错误.
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
【归纳总结】求二次函数最大(小)值的方法:
(1)直接观察函数图象得最大(小)值;(2)配方法;(3)用顶点的坐标公
式求最大(小)值.
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
例 3 [高频考题]
2
如果二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图
2
2
y=ax +bx+c 的形式.反过来,二次函数 y=ax +bx+c 也可以通过配方法转
2
化为 y=a(x-h) +k 的形式.具体过程如下:
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
2
y=ax +bx+c





=a + +


=a + ·
=a +
+
-
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
反思
已知二次函数 y=x2+(m-1)x+1,当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大,试

二次函数-PPT课件

二次函数-PPT课件

a2)>f(a)，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)
C．(－2,1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析：分段处理，y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4在[0， ＋∞)上是增函数；y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4在 (－∞，0)上是增函数，因为(x2＋4x)－(4x－x2)＝ 2x2≥0，所以f(x)在R上是增函数，由题意得2－ a2>a，解得－2<a<1.故选C.
答案：C
2．若函数f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1是偶函数， 则在区间[0，＋∞)上f(x)是( )
A．减函数
B．增函数
C．常函数 是常函数
D．可能是减函数，也可能
解析：∵f(x)为偶函数，∴a2－1＝0，即a＝±1，
当a＝1时，f(x)＝1为常函数．
当a＝－1时，f(x)＝－2x2＋1，在[0，＋∞)上为 减函数．
对称性
图象关于直线 x＝－2ba成轴对称图形
1．若二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 满足 f(x1)＝f(x2)，则 f(x1＋x2)
等于( )
A．－2ba
B．－ba
C．c
4ac－b2 D. 4a
解析：由已知 f(x1)＝f(x2)且 f(x)的图象关于 x＝－2ba对称，∴x1 ＋x2＝－ba，∴f(x1＋x2)＝f(－ba)＝a·ba22－b·ba＋c＝c.
答案：C
2．(2010·安徽高考)设abc>0，二次函数f(x)＝ ax2＋bx＋c的图象可能是( )
解析：若 a>0，b<0，c<0，则对称轴 x＝－2ba>0， 图象与 y 轴的交点(c,0)在负半轴上．故选 D. 答案：D

二次函数一般式转化为顶点式

二次函数一般式转化为顶点式

二次函数一般式转化为顶点式
二次函数一般式和顶点式是解题时常用的两种方式，二次函数一
般式指的是$y=ax^2+bx+c$，而顶点式指的则是$y=a(x-h)^2+k$。

那么
接下来，我将为大家详细阐述如何将二次函数一般式转化为顶点式。

步骤一：求得抛物线的对称轴
首先，我们需要求出抛物线的对称轴，这可以通过使用$x=-
\frac{b}{2a}$来求得。

其中，$a$为一次项系数，$b$为二次项系数。

这个$x$值的坐标即为抛物线的对称轴。

步骤二：计算顶点坐标
接下来，我们可以使用已求得的对称轴坐标，代入二次函数一般
式所得到的顶点式中，即可得到顶点坐标。

顶点坐标可用$(h,k)$表示，其中$h$表示对称轴的横坐标，$k$表示抛物线的最低或最高点的纵坐标。

而$a$则相当于抛物线的开口方向以及大小。

步骤三：将顶点式写出
当我们求得了顶点坐标后，我们就能够将顶点式写出来了。

顶点
式即为$y=a(x-h)^2+k$，其中$a$、$h$、$k$的含义同上所述。

通过以上步骤，我们可以将二次函数一般式转化为顶点式，这样
有利于我们更好地研究和分析二次函数的图像，例如确定抛物线的开
口方向、最高点或最低点的坐标等信息。

因此，当我们使用二次函数时，掌握这种转化方法是非常必要的。

当然，在实际操作时，我们还需要多多练习、反复推导，才能更
好地掌握这种转化方法。

希望本文能够为大家提供一定的帮助。

二次函数顶点式及一般式的对称轴及顶点坐标完整精选ppt

二次函数顶点式及一般式的对称轴及顶点坐标完整精选ppt

整理
15
·二次函数顶点式的对称轴和顶点坐
标。
·用配方法（九年级上册一元二次方 程时已经学过配方）推导出一般 式的对称轴及顶点 才 只 我步 会 有
们
量
热 爱
有的
数 质变
学 的化
吧
！
才只 会有 有不 新断 的的 发思 现考
整理
数枯 数
学燥 学
因 思
因
维规
而律
耐 人
而
寻不
再 味
17
一次函数 :Y=KX+b (K≠0) 特别的,当b=0时,是正比例函数。 反比例函数：Y=K／X (K≠0)
那么二次函数的解析整理 式是怎样的呢？ 10
二次函数解析式
1、一般式：y=ax2+bx+c (a≠0) 二次三项式
y
2、交点式：y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0）
3、顶点式： y=a(x-h)2+k (a≠0)
y
o
x
·（h,k）
2、a ﹤ 0时， a(x-h)2 ≤ 0,即 － ∞ ～0 故当X=h时，a(x-h)2有最大值0，
y
· （h,k）
即当X=h时,y=a(x-h)2+k (a≠0)有最大值K
即顶点坐标（h,k）
o
x
对称轴：x=h
顶点坐标:（h,k）整理
12
练一练
1.抛物线y=2(x-4)2 +8的顶点在第(一)象限
y=ax2+bx+c (a≠0)
顶点坐标最关键，
ax2b x c a a
一般式配方它就 现！横标即为对
配 方
ax2bax2ba22ba2ac

2.3 二次函数表达式的三种形式 课件(共21张PPT)

2.3 二次函数表达式的三种形式 课件(共21张PPT)
3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x
轴（交其点中的x1横, 坐x2标是）抛，物选线交与点x式轴：交y 点 (的x 横x坐1)(标x ）x2 )
但不论何种形式，最后都化为一般形x1 式。
2.抛物线y=ax²+bx+c的顶点为(2，4)，且过(1，2)点， 求抛物线的解析式．
3.二次函数y=ax²+bx+c的图象过点A(－2，5)，且当 x＝2时，y＝－3，求这个二次函数的解析式，并 判断点B(0，3)是否在这个函数的图象上．
4.抛物线y=ax²+bx+c经过(0，0)，(12，0)两点，其 顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解x1 析式．(要 求用多种方法)
• 求二次函数表达式的方法有很多，今 天主要学习用待定系数法来求二次函 数的表达式（解析式）
• 2015已知二次函数的图象与y轴的交点为C， 与x轴正半轴的交点为A．且．tan ACO 1
4
• (1)求二次函数的解析式；
课后练习
1.抛物线y=ax²+bx+c过(－3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)过(－3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式
• 3.交点式：y a(x x1)(x x2 ) (a 0)
一般式 y ax2 bx c(a )
例题1 (1) 已知二次函数图象经过点A(-1,0), B（4，5），C（0，－3），求该二次函
数的表达式．
(2) (2015牡丹江)抛物线y=x²+bx+c经过 点A(1,-4),B(3,0).求此抛物线的解析式.
二、顶点式 y a(x h)2 k
例题1 (1)(2013绥化)若二次函数图像的顶点坐 标为(-2,3），且过点（－3,5）,求此二次 函数的解析式。

二次函数解析式的几种求法ppt

二次函数解析式的几种求法ppt

∴ OE = BF =（12-8）÷2 = 2。 ∴O（0，0），B（-12，0），A（-2，2）。
设解析式为
F
E
又 ∵A（-2，2）点在图像上，
a = -0.1
∴即：三、Fra bibliotek用举例例2、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度 OB是12米，当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。
（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水位是2.5米时， 高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。 船的高度指船在水面上的高度）。
∴ ∴ 又∵点（0，1）在图像上， ∴
∴ a = -1 ∴ 即：
-
五、小结
1、二次函数常用解析式
一般式 顶点式 交点式
2、求二次函数解析式的一般方法：平移式
.已知图象上三点坐标，通常选择一般式。 .已知图象的顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。 .已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2， 通常选择交点式。
-
三、应用举例
例2、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度OB是12米， 当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。 （1）求拱桥所在抛物线的解 析式；（2）当水位是2.5米时，高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由 （不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度）。
解：（1）、由图可知：四边形ACBO是等腰梯形 过A、C作OB的垂线，垂足为E、F点。
二次函数解析式的几种求法 （第一课时）
涵水小学 王儒钦
二次函数关系式的常见形式：
一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x+m)2+k
-
二次函数的几种解析式及求法
二次函数解析式

二次函数顶点式及一般式的对称轴及顶点坐标课件

二次函数顶点式及一般式的对称轴及顶点坐标课件

2
如何选择使用哪种形式的二次函数
根据需要确定是否需要确定顶点位置来选择使用顶点式或一般式表示二次函数。
3
顶点式与一般式的对称轴及顶点坐标总结
通过对称轴与顶点坐标的求解，可以准确定轴是二次函数图像的对 称轴线，它通过顶点，并且 与x轴垂直。对称轴的方程为 x=-b/2a。
如何求出函数的顶点坐 标
顶点坐标是二次函数图像的 最高或最低点，通过顶点的x 值和代入函数的x值得到顶点 的y值。
小结
1
二次函数顶点式与一般式的区别
顶点式通过顶点坐标确定二次函数图像的顶点位置，而一般式可以表示二次函数 的一般形式。
二次函数顶点式及一般式 的对称轴及顶点坐标课件
本课件将介绍二次函数顶点式及一般式的对称轴及顶点坐标。通过本课件， 你将了解二次函数的顶点式与一般式的区别，以及如何选择使用哪种形式的 二次函数。
二次函数顶点式
什么是二次函数顶点式
二次函数顶点式是表示二次函数 顶点位置的一种形式。它形如 y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点坐 标。
如何将一般式转化为顶点式 什么时候使用顶点式
要将一般式y=ax²+bx+c转化为顶 点式，可以使用平方完成方法， 将其写成标准形式后提取顶点坐 标。
顶点式适用于确定二次函数的顶 点位置，计算顶点坐标以及进行 函数图像的平移。
二次函数一般式
什么是二次函数一般式
二次函数一般式是表示二次 函数的一种常见形式。它形 如y=ax²+bx+c，其中a、b和 c是常数。

二次函数的一般式化为顶点式

二次函数的一般式化为顶点式

2020年3月26日星期四
5
将抛物线 y 3x2向左平移2个单位
再向下平移5个单位就得到 y 3 x 22 5 的图 象，将 y 3 x 22 5 化为一般式为
y 3x2 12x 7 ，那么如何将抛物线 y 3x2的图 像移动，得到的 y 3x2 12x 7 图像呢？
2020年3月26日星期四
2020年3月26日星期四
13
y=ax2+bx+c =a(x2+ b x)+c
a
=
a[x2+
b
a x+
( b )2]-
2a
( b )2a +c
2a
=a(x+ b )2+ 4ac b2
2a
4a
14
求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴
①y=2x2-5x+3②y=－ 1 x2+4x-9 ③y=(x-3)(x+2)
y 3 x 22 5 的图象？
2020年3月26日星期四
4
3．y 3 x 22 5 的顶点坐标是(－2，－5)，
对称轴是直线 x＝－2 ． 4．在上述移动中图象的开口方向、形状、 顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没 有变化？
有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴， 没有变化的：抛物线的开口方向、形状
像的特征吗？
2020年3月26日星期四
7
如何画出 y -2x2 8x-7 的图象呢?
我们知道,像y=a(x+h)2+k这样的函数, 容易确定相应抛物线的顶点为(-h,k), 二次 函数y -2x2 8x-7 也能化成这样的形式 吗?
2020年3月26日星期四

二次函数的一般式化为顶点式(课堂PPT)

二次函数的一般式化为顶点式(课堂PPT)

y
···
· ·0
x
··
·
·
如何画出
y
1x2 2
6x21的图象呢?
我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数, 容易确定相应抛物线的顶点为(h,k), 二次函 数 y1x2 6x21也能化成这样的形式吗
2
?
y=ax2+bx+c
b
=a(x2+ x)+c
a
= a[x2+
Hale Waihona Puke b ax+
(
b 2a
) 2 ]-
y3x212x7，那么如何将抛物线 y 3 x 2的图 像移动，得到的 y3x212x7 图像呢？
二次函数 y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2 y = 4(x-3)2 +7 y = -5(2-x)2 - 6
开口方 对称轴 顶点坐标 向
向上 直线x=–3 （－3，5）
向下 直线x=1 （1，－2）
向上 直线x=3 （3，7 ） 向下 直线x=2 （2，－6）
你能说出二次函数y=-2x 2－8x-7图 像的特征吗？
如何画出 y-2x28x-7 的图象呢?
我们知道,像y=a(x+h)2+k这样的函数, 容易确定相应抛物线的顶点为(-h,k), 二次 函数y-2x28x-7 也能化成这样的形式 吗?
(
b 2a
)2
a
+c
=a(x+ b )2+ 4 a c b 2
2a
4a
2020/7/10
14
求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴
①y=2x2-5x+3②y=－ 1 x2+4x-9 ③y=(x-3)(x+2)

二次函数的解析式的三种形式 ppt课件

二次函数的解析式的三种形式 ppt课件
驶向胜利 的彼岸抛物线的解析式抛物线的解析式 驶向胜利
一般式 y=ax2+bx+c
的彼岸
： 顶点
b 2a
对称轴
b, 2a
4acb2 4a
抛物线的解析式 驶向胜利 的彼岸
顶点式 y=a(x-h)2+k
：顶点 (h,k
(h,k)
)
对称轴
h
直线:x=h
抛物线的解析式 驶向胜利 的彼岸
交点式 y=a(x-x1)(x-x2)
y＝2x2+5
对称轴 直线x=0(即y轴
：
)
(0,5)
顶点: (0,5)
与y轴的交点: (0,5)
y＝-2(x+2)(x-3)
对称轴 直线x=0.5 ： 顶点:
(0,12)
(-2, 0.5 (3,0) 0)
与y轴的交点: (0,12)
y＝2(x+1)2
对称轴 ：
顶点:
直线x=-1 (-1,0)
与y轴的交点: (0,2)
(0,2)
-1
y＝-2(x-1)(x-3)
对称轴 ：
顶点:
直线x=2 (2,2)
(1,0) 2
(3,0)
与y轴的交点: (0,-6)
(0,-6)
(3,0)
y＝-3(x-3)2
3
对称轴 直线x=3 ：
顶点: (3,0)
与y轴的交点: (0,-27) (0,-27)
y＝-(x+3)2+1 对称轴 直线x=-3 ： 顶点: (-3,1)
ya(x2)21
已知抛物线 ,
点A(-1,y1), B(1,y2),
C(2,y3)在这条抛物线上，

二次函数一般式变成顶点式的方法

二次函数一般式变成顶点式的方法

二次函数一般式变成顶点式的方法要将二次函数的一般式转化为顶点式，我们需要经过以下步骤：1.了解一般式和顶点式的含义：- 一般式表示为：y = ax^2 + bx + c-顶点式表示为：y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)表示顶点坐标2.求解顶点坐标：-顶点坐标可以通过求解x的值找到，由于二次函数的对称性，顶点横坐标为x=-b/2a- 将x = -b/2a代入一般式y = ax^2 + bx + c中，求解出顶点纵坐标k3.将顶点坐标代入顶点式：-将顶点坐标代入顶点式y=a(x-h)^2+k，求解出a4.代入顶点式：-将得到的a、h、k代入顶点式y=a(x-h)^2+k中，得到转化后的顶点式下面将详细解释如何进行这些步骤：1.求解顶点坐标：- 对于一般式的二次函数y = ax^2 + bx + c，我们知道它的顶点横坐标x = -b/2a-将此值代入一般式中，求解出顶点坐标k例如，对于二次函数y=2x^2+4x+3，我们有a=2,b=4,c=3所以顶点的横坐标为x=-4/(2*2)=-1将x=-1代入一般式中，求解出顶点坐标k：y=2(-1)^2+4(-1)+3=2-4+3=1所以顶点坐标为(-1,1)2.将顶点坐标代入顶点式：-将顶点坐标代入顶点式y=a(x-h)^2+k，求解出a例如，我们已经求得顶点坐标为(-1,1)将顶点坐标代入顶点式y=a(x-h)^2+k中：1=a(-1-(-1))^2+11=a(0)^2+11=a+1a=03.代入顶点式：-将得到的a、h、k代入顶点式y=a(x-h)^2+k中例如，我们已经求得a=0,h=-1,k=1将这些值代入顶点式y=a(x-h)^2+k中：y=0(x-(-1))^2+1y=0(x+1)^2+1y=0+1y=1所以，将二次函数y=2x^2+4x+3转化为顶点式后可以写成y=(x+1)^2+1通过以上步骤，我们就可以将二次函数的一般式转化为顶点式。

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二次函数 y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2 y = 4(x-3)2 +7 y = -5(2-x)2 - 6
开口方 对称轴 顶点坐标 向
向上 直线x=–3 （－3，5）
向下 直线x=1 （1，－2）
向上 直线x=3 （3，7 ） 向下 直线x=2 （2，－6）
你能说出二次函数y=-2x 2－8x-7图 像的特征吗？
有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴， 没有变化的：抛物线的开口方向、形状
将抛物线 y 3x2向左平移2个单位
再向下平移5个单位就得到 y 3 x 22 5 的图 象，将 y 3 x 22 5 化为一般式为
y 3x2 12x 7 ，那么如何将抛物线 y 3x2的图 像移动，得到的 y 3x2 12x 7 图像呢？
如何画出 y -2x2 8x-7 的图象呢?
我们知道,像=a(x+h)2+k这样的函数,
容易确定相应抛物线的顶点为(-h,k), 二次
函数y -2x2 8x-7
也能化成这样的形式
吗?
y -2x2 8x-7 你知道是怎样配
方的吗？
配
(1)“提”：提出二次项系数；
方
( 2 )“配”：括号内配成完全平方
（3）“化”：化成顶点式。
y=-2 (x+2)2 +1
归纳 二次函数 y=- 2x2 －8x -7图象的画法：
(1)“化” ：化成顶点式 ； (2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶 点坐标； (3)“画”：列表、描点、连线。
y 2x2 8x 7
2 x2 4 x 7
b
a x+
( b )2]-
2a
( b )2a +c
2a
=a(x+ b )2+ 4ac b2
2a
4a
求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴
①y=2x2-5x+3②y=－ 1 x2+4x-9 ③y=(x-3)(x+2)
2
请画出草图:
3
－9
－6
1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在
A.第一象限
B.第二象限
对称轴是__直__线__x_＝__-h_ 2．怎样把 y 3x2的图象移动，便可得到
y 3 x 22 5 的图象？
3．y 3 x 22 5 的顶点坐标是(－2，－5)，
对称轴是直线 x＝－2 ． 4．在上述移动中图象的开口方向、形状、 顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没 有变化？
C.第三象限
D.第四象限
（C ）
2.不论k 取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0)
的顶点都在
（）
A.直B线y = x上
C.x轴上
B.直线y = - x上 D.y轴上
3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a
的值是
（）
• A 4 B. -1
C. 3
D.4或A-1
2 x2 4 x 4 7 8
2 x 2 2 1
可见，函数图像的开口方向向下，顶点坐标（-2，1） 对称轴为x=-2
根据函数的对称性列表：
x
… -2 -1.5 -1 -0.5 0 ... ... …
y=-2(x+2)²+1
1 0.5 -1 -3.5 -7
y
···
一般地，抛物线y=a(x+h)2 +k 与y=ax2的 形状 相同， 位置 不同
上加下减 y=ax 2
y=a(x+h2) +k
左加右减
抛物线y=a(x+h)2+k有如下特点:
1.当a﹥0时，开口向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ，
2.对称轴是直线X=-h ；
3.顶点坐标是 (-h,k)。
1．y a x+h2 k 的顶点坐标是_（__-_h_，__k_），
· ·0
x
··
·
·
如何画出
y 1 x2 6x 21 2
的图象呢?
我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,
容易确定相应抛物线的顶点为(h,k), 二次函
数 y 1 x2 6x 21 2
也能化成这样的形式吗?
y=ax2+bx+c =a(x2+ b x)+c
a
= a[x2+