高中数学开放题练习卷

一、选择题1．给出下列函数：①()()2ln 1f x x x =+-；②()3cos f x x x =；③()xf x e x =+.0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰的函数是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2．已知函数sin (11)()1(12)x x f x x x-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则21()f x dx -=⎰( )A ．ln 2B ．ln 2-C ．12-D ．3cos 1-3．设113a x dx -=⎰，1121b x dx =-⎰，130c x dx =⎰则a ，b ，c 的大小关系( )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．b>c>a4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ）A ．1eB ．11e - C ．11e-D ．21e e -- 5．若2(sin cos )2x a x dx π-=⎰，则实数a 等于（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．36．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A ．1B ．23C ．43D ．27．已知函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是（ ） A ．12m ≥B ．12m < C ．1m ≥ D ．1m < 8．设函数()f x 是R 上的奇函数， ()()f x f x π+=-，当02x π≤≤时，()cos 1f x x =-，则22x ππ-≤≤时， ()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为（ ）A ．48π-B ．24π-C ．2π-D ．36π-9．设()2012a x dx =-⎰,则二项式6212a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的常数项是（ ）A ．240B ．240-C ．60-D ．6010．由23y x =-和2y x =围成的封闭图形的面积是（ ） A．．9-．323 D ．35311．设函数e ,10()1xx f x x ⎧-≤≤⎪=<≤，计算11()d f x x -⎰的值为（ ） A ．1e πe 4-+ B ．e 1πe 4-+ C．e 1e - D ．e 1πe 2-+ 12．已知函数()[](]sin ,,00,1x x f x x π⎧∈-⎪=∈，则()1f x dx π-=⎰（ ） A ．2π+B ．2πC ．22π-+D ．24π-二、填空题13．计算()0cos 1x dx π⎰+=_________.14．已知函数()323232t f x x x x t =-++在区间()0,∞+上既有极大值又有极小值，则实数t 的取值范围是__________．15．1321(tan sin )x x x x dx -++⎰的值为______________________16．(1||1x edx -=⎰__________________17．设函数()f x 的图象与直线,x a x b ==及x 轴所围成图形的面积称为函数()f x 在[],a b 上的面积，已知函数()sin f x nx =在0,2n π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为1n ()*n N ∈，则函数()()sin 32f x x π=-+在4,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为__________．18．定积分2sin cos t tdt π=⎰________．19．曲线2y x 与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为_______________.20．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M （x ，y ），则点M 取自阴影部分的概率为__．三、解答题21．已知函数()ln f x x =(0)x ≠,函数⑴当0x ≠时,求函数()y g x =的表达式;⑵若0a >,函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2 ,求a 的值; ⑶在⑵的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.22．如图，函数()sin()f x x ωϕ=+（其中π0,2ωϕ>≤）的图象与坐标轴的三个交点为,,P Q R ，且π(,0)6P ,2π(,0)3Q ，M 为QR 的中点，且M 的纵坐标为34-.（1）求()f x 的解析式；（2）求线段QR 与函数()f x 图象围成的图中阴影部分的面积.23．根据《山东省全民健身实施计划（2016-2020年）》，到2020年乡镇（街道）普遍建有“两个一”工程，即一个全民健身活动中心或灯光篮球场、一个多功能运动场.某市把甲、乙、丙、丁四个多功能运动场全部免费为市民开放.（1）在一次全民健身活动中，四个多功能运动场的使用场数如图，用分层抽样的方法从甲、乙、丙、丁四场馆的使用场数中依次抽取a ，b ，c ，d 共25场，在a ，b ，c ，d 中随机取两数，求这两数和ξ的分布列和数学期望；（2）设四个多功能运动场一个月内各场使用次数之和为x ，其相应维修费用为y 元，根据统计，得到如下表的y 与x 数据：x10 15 20 25 30 35 40 y23022708 2996 3219 3401 3555 3689 10013102y z e =+ 2.49 2.993.554.004.494.995.49（i ）用最小二乘法求z 与x 之间的回归直线方程； （ii ）40yx +叫做运动场月惠值，根据（i ）的结论，试估计这四个多功能运动场月惠值最大时x 的值.参考数据和公式：4z =，()721700ii x x =-=∑，()()7170i i i x x z z =--=∑，320e =，()()()71721ˆiii ii x x z z bx x ==--=-∑∑，a y bx =-.24．已知函数()x ae f x x x=+．（1）若函数()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线经过点(0,1)-，求a 的值；（2）是否存在负整数a ，使函数()f x 的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由；（3）设0a >，求证：函数()f x 既有极大值，又有极小值 25．已知21()3cos cos 2f x x x x =-+ . （Ⅰ）写出()f x 的最小正周期T ；（Ⅱ）求由555()(0),0(0),(10),666y f x x y x x y πππ=≤≤=≤≤=-≤≤ 以及10(0)2x y =-≤≤ 围成的平面图形的面积． 26．计算由直线4,y x =-曲线y =x 轴所围图形的面积S 。

新高考新定义开放性和探究专题题型一：数列新题型1(2023·河北张家口·统考二模)欧拉函数φn n ∈N * 的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互质的正整数的个数，例如：φ1 =1,φ3 =2.数列a n 满足a n =φ2n ，其前n 项和为S n ，则S 10=()A.1024B.2048C.1023D.2047【答案】C【分析】根据欧拉函数的定义可求出a n =φ2n =2n -1，再由等比数列的前n 项和公式即可求出答案.【详解】根据欧拉函数的定义可得a 1=φ2 =1,a 2=φ22 =2,a 3=φ23 =4,a 4=φ24 =8，一般地，a n =φ2n =2n -1.事实上，φ2n 表示从1到2n 的正整数中，与2n 互质的正整数的个数，相当于去掉从1到2n 的正整数中所有2的倍数的个数(共2n -1个数)，因此，a n =φ2n =2n -2n -1=2n -1.所以，S 10=1+2+4+⋯+29=1023.故选：C .2(2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测)南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列a n 本身不是等差数列，但从a n 数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列b n (则称数列a n 为一阶等差数列)，或者b n 仍旧不是等差数列，但从b n 数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列c n (则称数列a n 为二阶等差数列)，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64⋯是一阶等比数列，则该数列的第8项是( )．A.28 B.215C.221D.228【答案】C 【分析】设b n -1=a na n -1，得到b n 为等比数列，求得b n =2n -1，结合a n =b n -1⋅b n -2⋯b 1⋅a 1，进而求得a 8的值．【详解】由题意，数列1，1，2，8，64，⋯为a n ，且为一阶等比数列，设b n -1=a na n -1，所以b n 为等比数列，其中b 1=1，b 2=2，公比为q =b 2b 1=2，所以b n =2n -1，则a n =b n -1⋅b n -2⋯b 1⋅a 1=21+2+3+⋯+n -2=2n -1 n -22,n ≥2，所以第8项为a 8=221．故选：C .3(2023·上海黄浦·统考二模)设数列a n 的前n 项的和为S n ，若对任意的n ∈N *，都有S n <a n +1，则称数列a n 为“K 数列”．关于命题：①存在等差数列a n ，使得它是“K 数列”；②若a n 是首项为正数、公比为q 的等比数列，则q ∈[2,+∞)是a n 为“K 数列”的充要条件．下列判断正确的是()A.①和②都为真命题B.①为真命题，②为假命题C.①为假命题，②为真命题D.①和②都为假命题【答案】C【分析】根据给定的定义，按公差的取值情况分类探讨判断①；利用等比数列通项公式及前n项和公式，结合不等式恒成立即可推理作答.【详解】令等差数列a n的公差为d，当d≤0时，S1=a1≥a1+d=a2，不符合题意，当d>0时，S n-a n+1=na1+n(n-1)2d-(a1+nd)=d2n2-32d-a1n-a1，函数f(x)=d2x2-32d-a1x-a1的图象是开口向上的抛物线，对称轴x=32-a1d，存在x0>32-a1d，使得f(x0)>0，取不小于x0的正整数n，则有f(n)>0，即S n>a n+1，不符合题意，综上得①为假命题；等比数列a n首项a1>0，因为数列a n为“K数列”，则有a1=S1<a2=a1q，即q>1，S n=a1(1-q n)1-q,a n+1=a1q n，于是a1(1-q n)1-q<a1q n⇔q n+1-2q n+1>0⇔2-q<1q n，依题意，任意的n∈N*，2-q<1q n，函数y=1qx,x≥1在[1,+∞)单调递减，值域是0,1q ，因此2-q≤0⇔q≥2，所以q∈[2,+∞)是a n为“K数列”的充要条件，②是真命题，判断正确的是①为假命题，②为真命题.故选：C【点睛】关键点睛：数列是特殊的函数，根据数列的特性，准确构造相应的函数，借助函数性质分析求解是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件.题型二：立体几何新定义4(2023·辽宁沈阳·统考一模)刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体(八个面均为正三角形)的总曲率为()A.2πB.4πC.6πD.8π【答案】B【分析】利用正八面体的面积和减去六个顶点的曲率和可得结果.【详解】正八面体每个面均为等比三角形，且每个面的面角和为π，该正面体共6个顶点，因此，该正八面体的总曲率为6×2π-8π=4π.故选：B.5(2021·全国·统考模拟预测)图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3．若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为()A.100πB.600C.200πD.300π【答案】C【分析】由莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，结合已知可得半径为20，由弧长公式求得底面周长，进而可求得结果.【详解】莱洛三角形由三段半径为20，圆心角为π3的圆弧构成，所以该零件底面周长为3×π3×20=20π，故其侧面积为200π．故选：C.6(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测)我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球(如图①)放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体(如图②)，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即12V球=πR2⋅R-13πR12⋅R=23πR3.现将椭圆x24+y29=1绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体(如图③)，类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于()A.32πB.24πC.18πD.16π【答案】D【解析】构造一个底面半径为2，高为3的圆柱，通过计算可得高相等时截面面积相等，根据祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积.【详解】解：构造一个底面半径为2，高为3的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，则当截面与顶点距离为h0≤h≤3时，小圆锥底面半径为r，则h3=r2，∴r=23h，故截面面积为：4π-49πh2，把y=h代入x24+y29=1，即x24+h29=1，解得：x=±239-h2，∴橄榄球形几何体的截面面积为πx2=4π-49πh2，由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积为：V=2V圆柱-V圆锥 =2×4π×3-13×4π×3=16π.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意，构建圆柱，通过计算得到高相等时截面面积相等，根据祖暅原理得到橄榄球形几何体的体积.题型三：函数新定义7(2023·陕西商洛·统考二模)古希腊数学家普洛克拉斯指出：“哪里有数，哪里就有美．”“对称美”是数学美的重要组成部分，在数学史上，人类一直在思考和探索数学的对称问题，图形中的对称性本质就是点的对称、线的对称．如正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称性也是函数一个非常重要的性质．如果一个函数的图象经过某个正方形的中心并且能够将它的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个正方形的“优美函数”．下列关于“优美函数”的说法中正确的有()①函数f x =x2x+2-x-1≤x ≤1 可以是某个正方形的“优美函数”；②函数f x =4cos 2x -π6 +3只能是边长不超过π2的正方形的“优美函数”；③函数f x =ln 4x 2+1-2x -1可以是无数个正方形的“优美函数”；④若函数y =f x 是“优美函数”，则y =f x 的图象一定是中心对称图形．A.①② B.①③ C.②③ D.②④【答案】B【分析】根据“优美函数”的定义，可判断①③中的函数为奇函数，其图象为中心对称图形，可判断其正误，结合余弦函数的性质可判断②，作图分析，举出反例，判断④.【详解】对于①，f x =x 2x+2-x -1≤x ≤1满足f -x =-x2-x +2x =-f (x )，故为奇函数，则f x 图象原点对称，且连续，所以f x 可以是中心为原点且边长为2的正方形的“优美函数”，故①正确．对于②，令2x -π6=π2+k πk ∈Z ，得x =π3+k π2k ∈Z ，所以f x =4cos 2x -π6+3图象的对称中心为π3+k π2,3 k ∈Z ，故以π3+k π2,3k ∈Z 为中心的正方形都能被函数f x =4cos 2x -π6+3的图象平分，即f x =4cos 2x -π6+3可以同时是无数个正方形的“优美函数”，故②错误．对于③，令g x =ln 4x 2+1-2x ，x ∈R ,则g -x =ln 4x 2+1+2x =-ln 4x 2+1-2x =-f (x )，故g x 为奇函数．又因为f x 的图象是由g x 的图象向下平移一个单位长度得到的，所以f x 图象的对称中心为0,-1 ，故以0,-1 为中心的正方形都能被f x =ln 4x 2+1-2x -1的图象平分，故③正确．对于④，如图所示，图中两三角形面积相等，函数y =f x 是“优美函数”，但其图象不是中心对称图形，可知④错误，故选：B8(2021·陕西渭南·统考三模)已知符号函数sgn x =1,x >0,0,x =0,-1,x <0,偶函数f x 满足f x +2 =f x ,当x ∈0,1 时,f x =x ,则下列结论正确的是()A.sgn f x >0 B.f 40412=1C.sgn f 2k =0k ∈Z D.sgn f k =sgn k k ∈Z【答案】C【分析】利用偶函数以及函数周期为2,作出函数f x 的大致图象,数形结合即可逐个分析答案.【详解】根据题意得函数f x 是周期为2的函数,作出函数f x 的大致图象,如下图所示.数形结合易知f x ∈0,1 ,则sgn f x =0或sgn f x =1,故A 错误;f 40412=f 202012 =12,故B 错误;f 2k =0k ∈Z ,则sgn f 2k =0k ∈Z ,故C 正确;sgn k =1,k >00,k =0,-1,k <0(k ∈Z ),所以sgn k =1,k ≠00,k =0 (k ∈Z ),所以sgn f k ≠sgn k k ∈Z ,故D 错误.故选:C .9(2023·陕西安康·统考二模)宋代理学家周敦颐的《太极图》和《太极图说》是象数和义理结合的表达．《朱子语类》卷七五：“太极只是一个混沦底道理，里面包含阴阳、刚柔、奇偶，无所不有”．太极图(如下图)将平衡美、对称美体现的淋漓尽致．定义：对于函数f x ，若存在圆C ，使得f x 的图象能将圆C 的周长和面积同时平分，则称f x 是圆C 的太极函数．下列说法正确的是()①对于任意一个圆，其太极函数有无数个②f x =log 122x +1 +12x 是x 2+y +1 2=1的太极函数③太极函数的图象必是中心对称图形④存在一个圆C ，f x =sin x +cos x 是它的太极函数A.①④ B.③④ C.①③ D.②③【答案】A【分析】根据“太极函数”、函数的对称性、对数运算等知识对选项4个说法进行分析，由此确定正确答案.【详解】对于①：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积平分，所以对于任意一个圆，太极函数有无数个，故①正确对于②：f -x =log 122-x+1 -12x =log 121+2x 2x-12x ，f x -f -x =log 122x+12x +12x+x =-x +x =0，所以f x 关于y 轴对称，不是太极函数，故②错误；对于③：中心对称图形必定是太极函数，对称点即为圆心．但太极函数只需平分圆的周长和面积，不一定是中心对称图形，故③错误；对于④：曲线f x =sin x +cos x =2sin x +π4存在对称中心，所以必是某圆的太极函数，故④正确．故选：A ．题型四：向量新定义10(2022·浙江·高三专题练习)定义d a ,b =a -b 为两个向量a ，b 间的“距离”，若向量a ，b满足下列条件：(ⅰ)b =1；(ⅱ)a ≠b ；(ⅲ)对于任意的t ∈R ，恒有d a ,tb ≥d a ,b，现给出下面结论的编号，①.a ⊥b ②.b ⊥a -b ③.a ⊥a -b ④.a ≥1⑤.a +b ⊥a -b 则以上正确的编号为()A.①③B.②④C.③④D.①⑤【答案】B【分析】根据题意可得a -tb 2≥a -b 2，转化为t 2-2ta ⋅b +2a ⋅b -1 ≥0对于任意的t ∈R 恒成立，即Δ≤0，整理得a ⋅b -1 2≤0，再利用向量的数量积逐一判断即可.【详解】由于d a ,b =a -b ，又对于t ∈R ，恒有d a ,tb ≥d a ,b ，显然有a -tb ≥a -b ，即a -tb 2≥a -b 2，则t 2-2ta ⋅b +2a ⋅b-1 ≥0对于任意的t ∈R 恒成立，显然有Δ=-2a ⋅b 2-42a ⋅b-1 ≤0成立，即a ⋅b -1 2≤0，则a ⋅b=1，故序号①错误，进而a ⋅b =a ⋅bcos θ=1，∵b =1，于是cos θ=1a ≤1，得a ≥1，即序号④正确.再由a ⋅b -1=0得a ⋅b -b 2=0，得b a -b =0，∴b ⊥a -b ，显然序号②正确.从而序号③错误，再由②a ≠b ，故序号⑤错误.综上知本题正确的序号为②④.故选：B .【点睛】本题命制是以新定义为背景，考查向量长度及数量积等知识概念，同时考查了等价转换、不等式恒成立问题，符合以生考熟的高考理念，考查知识内容源于教材，试题面向全体考生，不同思维能力层次的考生度可以利用熟悉的通法来解决问题，从而增强考生的自信心，有利于考生正常发挥，属于中档题.11(2023·全国·高三专题练习)互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P 作两坐标轴的平行线，其在x 轴和y 轴上的截距a ，b 分别作为点P 的x 坐标和y 坐标，记P a ,b ，则在x 轴正方向和y 轴正方向的夹角为θ的斜坐标系中，下列选项错误的是()A.当θ=60°时A 1,2 与B 3,4 距离为23B.点A 1,2 关于原点的对称点为A -1,-2C.向量a=x 1,y 1 与b =x 2,y 2 平行的充要条件是y 1x 2=y 2x 1D.点A 1,2 到直线x +y -1=0的距离为2【答案】D【分析】根据“斜坐标系”的定义，结合向量运算对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】设x 轴正方向的单位向量为e 1 ，y 轴正方向的单位向量为e 2，对于A 选项：由已知得e 1 ,e 2 =60°，所以e 1 ⋅e 2 =1×1×12=12.由A 1,2 ,B 3,4 及斜坐标的定义可知OA =e 1 +2e 2 ,OB =3e 1 +4e 2，AB =OB -OA =2e 1 +e 2 =2e 1 +e 2 2=2e 1 2+2e 1 ⋅e 2 +e 2 2=21+1+1=23，故A 选项正确；对于B 选项：根据“斜坐标系”的定义可知：点A 1,2 ，则OA =e 1 +2e 2 ，设A 1,2 关于原点的对称点为Ax ,y ，则OA ' =-OA =-e 1 -2e 2 =x e 1 +y e 2 ，由于e 1 ,e 2 不共线，所以x =-1y =-2 ，故B 选项正确；对于C 选项：a =x 1e 1 +y 1e 2 ,b =x 2e 1 +y 2e 2 ，若a 是零向量，则a ⎳b 成立，同时x 1=y 1=0，所以x 1y 2=x 2y 1成立，此时a ⎳b⇔x 1y 2=x 2y 1；若a 是非零向量，则a ⎳b ⇔存在非零常数λ，使b =λa⇔x 2e 1 +y 2e 2 =λx 1e 1 +λy 1e 2 ⇔x 2=λx 1λy 1=y 2 ⇔λx 2y 1=λx 1y 2⇔y 1x 2=y 2x 1，所以a ⎳b⇔x 1y 2=x 2y 1.故C 选项正确；对于D 选项：设直线x +y -1=0上的动点为P x ,y ,OP =x e 1 +y e 2 ，因为x +y -1=0，所以x +y =1，设OC =e 1 ,OD =e 2 ，则点P x ,y 在直线CD 上，所以直线x +y -1=0过点C 1,0 ,D 0,1 ，因为OA =e 1 +2e 2 ，则AC =OC -OA =2e 2 =2，AD =OD -OA =e 1 +e 2 =e 1 +e 2 2=3，由于OC =OD =1,OC ,OD =60°，所以CD =1.所以AD 2+CD 2=AC 2，所以AD ⊥CD ，所以点A 到直线x +y -1=0的距离为AD=3，故D 选项错误.故选：D12(2023·全国·高三专题练习)向量的运算包含点乘和叉乘，其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积．现定义向量的叉乘：给定两个不共线的空间向量a 与b ，a ×b 规定：①a ×b 为同时与a ，b垂直的向量；②a ，b ，a ×b 三个向量构成右手系(如图1)；③a ×b =a b sin a ,b ；④若a=x 1,y 1,z 1 ，b =x 2,y 2,z 2 ，则a ×b=+y 1,z 1y 2,z 2 ,-x 1,z 1x 2,z 2 ,+x 1,y 1x 2,y 2 ，其中a ,b c ,d=ad -bc ．如图2，在长方体中ABCD -A 1B 1C 1D 1，AB =AD =2，AA 1=3，则下列结论正确的是()A.AB ×AD =AA 1B.AB ×AD =AD ×ABC.AB -AD ×AA 1 =AB ×AA 1 -AD ×AA 1D.长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积V =AB ×AD ⋅C 1C【答案】C【分析】利用向量的叉乘的定义逐项分析即得.【详解】解法一：AA 1 同时与AB ，AD 垂直；AA 1 ，AB ，AD三个向量构成右手系，且AB ×AD =AB AD sin AB ,AD =2×2×sin90°=4≠AA 1=3，所以选项A 错误；根据右手系知：AB ×AD 与AD ×AB 反向，所以AB ×AD ≠AD ×AB，故选项B 错误；因为AB -AD ×AA 1 =DB ×BB 1=22×3×sin90°=62，且DB ×BB 1 =-BD ×BB 1 与CA同向共线；又因为AB ×AA 1 =2×3×sin90°=6，且AB ×AA 1 与DA同向共线，AD ×AA 1 =2×3×sin90°=6，AD ×AA 1与DC 同向共线，所以AB ×AA 1 -AD ×AA 1 =62，且AB ×AA 1 -AD ×AA 1 与CA 同向共线，AB -AD ×AA 1 =AB ×AA -AD ×AA 1，故选项C 正确；因为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为2×2×3=12．又因为由右手系知向量AB ×AD 方向垂直底面向上，与C 1C 反向，所以AB ×AD ⋅C 1C<0，故选项D 错误；故选：C ．解法二：如图建立空间直角坐标系：AB =0,2,0 ，AD =-2,0,0 ，AA 1 =0,0,3 ，则AB ×AD=0,0,4 ，所以选项A 错误；C 1C =0,0,-3 ，则AB ×AD ⋅C 1C =-12，故选项D 错误；AD ×AB=0,0,-4 ，故选项B 错误；AB -AD =DB =2,2,0 ，则AB -AD ×AA 1 =6,-6,0 ，AB ×AA 1 =6,0,0 ，AD ×AA 1 =0,6,0 ，则AB ×AA 1 -AD ×AA 1 =6,-6,0 ．所以AB -AD ×AA 1 =AB ×AA 1 -AD ×AA 1 ，故选项C 正确；故选：C ．题型五：开放性题型13(2023·甘肃酒泉·统考三模)已知P 是平行四边形ABCD 对角线上的一点，且AP =λAB +μAD，其中λ∈0,1,μ∈ 0,1 ，写出满足条件的λ与μ的一组λ,μ 的值．【答案】13,23(答案不唯一，满足λ+μ=1或λ=μ即可)【分析】若P 在AC 上可得λ=μ，若P 在BD 上，根据共线定理的推论得到λ+μ=1，填写符合题意的答案即可.【详解】因为AC =AB +AD ，若P 在AC 上，则AC ⎳AP ，又AP =λAB +μAD ，所以λ=μ，若P 在BD 上，即P 、B 、D 三点共线，又AP =λAB +μAD，则λ+μ=1．故答案为：13,23(答案不唯一，满足λ+μ=1或λ=μ即可)14(2023·江西九江·瑞昌市第一中学校联考模拟预测)已知⊙O :x 2+y 2=4，⊙C 与一条坐标轴相切，圆心在直线x -y +7=0上.若⊙C 与⊙O 相切，则⊙C 的一个方程为.【答案】x +4 2+y -3 2=9(答案不唯一)【分析】先根据已知得出⊙C 的圆心在⊙O 的外面.然后分⊙C 与x 轴相切以及⊙C 与y 轴相切，结合已知可得出两圆外切.列出方程，化简整理求解，即可得出答案.【详解】由已知可得，⊙O :x 2+y 2=4的圆心为O 0,0 ，半径R =2，所以点O 0,0 到直线x -y +7=0的距离d =72=722>2，所以，直线与圆相离，所以⊙C 的圆心在⊙O 的外面.当⊙C 与x 轴相切时，设⊙C 的圆心C a ,a +7 ，则⊙C 的半径r 1=a +7 .因为⊙C 与⊙O 相切，且C 在⊙O 的外面，所以两圆外切.所以OC =R +r 1，即a 2+a +7 2=2+a +7 ，整理可得，a 2=4+4a +7 .若a ≤-7，整理可得a 2+4a +24=0无解，所以a >-7，所以a 2-4a -32=0，解得a =-4或a =8，所以⊙C 方程为x +4 2+y -3 2=9或x -8 2+y -15 2=225；当⊙C 与y 轴相切时，设圆心C a ,a +7 ，则⊙C 的半径r 2=a .由两圆外切可得，OC =R +r 2，即a 2+a +7 2=2+a ，整理可得a 2+14a +49=4+4a ，则a <0，所以有a 2+18a +45=0，解得a =-3或a =-15，所以⊙C 方程为x +3 2+y -4 2=9或x +15 2+y +8 2=225.故答案为：x +4 2+y -3 2=9.15(2023·新疆·校联考二模)已知函数f x 满足下列条件：①f x 是y =sin x 经过图象变换得到的；②对于∀x ∈R ，均满足-3=f -π6 ≤f x ≤f π3=1成立；③y =f x 的函数图象过点0,-2 ．请写出符合上述条件的一个函数解析式．【答案】f x =2sin 2x -π6-1(答案不唯一)【分析】由①可设f x =A sin ωx +φ +B ，根据②，设A >0，求得A =2,B =-1，且ω=2，再由③求得φ的一个值为φ=-π6，即可求解.【详解】解：由①可设f x =A sin ωx +φ +B ，又由②可知，不妨设A >0，由-3=f -π6 ≤f x ≤f π3 =1，可得A =1-(-3)2=2,B =1+(-3)2=-1，且T =2π3--π6=π，所以ω=2πT=2，所以f x =2sin 2x +φ -1，由③，可得2sin φ-1=-2，即sin φ=-12，所以φ的一个值为φ=-π6，因此函数f x 的一个解析式为f x =2sin 2x -π6-1.故答案为：f x =2sin 2x -π6-1(答案不唯一).16(2023·江西南昌·校联考模拟预测)正割(Secant )及余割(Co sec ant )这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔·威发首先引入，sec ，csc 这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角中，定义正割sec α=1cos α，余割csc α=1sin α.已知函数f x =1sec x +1csc x，给出下列说法：①f x 的定义域为x x ≠k π,k ∈Z ；②f x 的最小正周期为2π；③f x 的值域为-2,-1 ∪-1,1 ∪1,2 ；④f x 图象的对称轴为直线x =-π4+k πk ∈Z .其中所有正确说法的序号为()A.②③B.①④C.③D.②③④【答案】A【分析】首先化简函数f x =2sin x +π4，再结合原函数的特征，求函数的定义域，以及根据三角函数的性质判断周期，值域和对称性.【详解】f x =1sec x +1csc x =cos x +sin x =2sin x +π4 ，由cos x ≠0，sin x ≠0，得x ≠k π2k ∈Z ，即f x 的定义域为x x ≠k π2,k ∈Z ，①错误；f x 的定义域关于原点对称，故f x 的最小正周期与函数y =2sin x +π4的最小正周期一致，均为2π，②正确；当x =0，π2，π，3π2时，y =2sin x +π4的值分别为1，1，-1，-1，考虑周期性可知，f x 的值域为-2,-1 ∪-1,1 ∪1,2 ，③正确；令x +π4=π2+k πk ∈Z ，得x =π4+k πk ∈Z ，即f x 图象的对称轴为直线x =π4+k πk ∈Z ，④错误，故选：A .17(2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)林业部门规定：树龄500年以上的古树为一级，树龄300~500年之间的古树为二级，树龄100~299年的古树为三级，树龄低于100年不称为古树．林业工作者为研究树木年龄，多用年轮推测法，先用树木测量生长锥在树干上打孔，抽取一段树干计算年轮个数，由经验知树干截面近似圆形，年轮宽度依次构成等差数列．现为了评估某棵大树的级别，特测量数据如下：树干周长为3.14米，靠近树芯的第5个年轮宽度为0.4cm ，靠近树皮的第5个年轮宽度为0.2cm ，则估计该大树属于()A.一级B.二级C.三级D.不是古树【答案】C【分析】由条件抽象出等差数列的基本量，再结合等差数列的前n 项和，求n .【详解】设树干的截面圆的半径为r ，树干周长2πr =3.14，r =0.5m =50cm ，从内向外数：a 5=0.4，a n -4=0.2，S n =r =50=a 5+a n -4 ⋅n2=0.3n ，∴n =5003≈167年，所以为三级.故选:C18(2023春·江西·高三校联考阶段练习)若存在实数k 和m 使得函数f x 和g x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：g x ≤kx +m ≤f x 恒成立，则称此直线y =kx +m 为f x 和g x 的“分离直线”.有下列命题：①f x =x 2和g x =a ln x 之间存在唯一的“分离直线”y =2ex -e 时a =2e ；②f x =x 2和g x =1x(x <0)之间存在“分离直线”，且m 的最小值为-4，则()A.①、②都是真命題B.①、②都是假命題C.①是假命题，②是真命题D.①是真命题，②是假命题【答案】A【分析】命题①，f(x)=x2和g(x)=2e ln x有公共点e,e，故隔离直线过该点，设为点斜式，结合二次函数性质对参数分类讨论，即可求解；命题②，设隔离直线为y=kx+b，则x2-kx-m≥0kx2+mx-1≤0对任意x<0恒成立，结合二次函数性质对参数分类讨论，即可求解；【详解】对于命题①，函数f(x)=x2和g(x)=2e ln x的图像在x=e处有公共点，若存在f(x)和g(x)的隔离直线，那么该直线过这个公共点e,e，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为y-e=k x-e，即y=kx-k e+e 由f(x)≥kx-k e+e x>0恒成立，即x2-kx+k e-e≥0x>0恒成立，(i)当k=0时，则x2≥e x>0不恒成立，不符合题意；(ii)当k<0时，令u x =x2-kx+k e-e x>0，对称轴x=k2<0，u x 在0,e上单调递增，且u e=0，故k<0不恒成立，不符合题意；(iii)当k>0时，令u x =x2-kx+k e-e x>0，对称轴x=k2>0，则u x min=uk2=-k24+k e-e=-k-2e24≥0，只有k=2e，即直线y=2e x-e下面证明g(x)=2e ln x≤2e x-e，令G(x)=2e x-e-2e ln x,求导G (x)=2e x-ex，令G(x)=0，得x=e，当x∈0,e时，G (x)<0，函数G(x)在区间0,e上单调递减；当x∈e,+∞时，G (x)>0，函数G(x)在区间e,+∞单调递增；故当x=e时，函数G(x)取得极小值，也是最小值，故G(x)≥0，即g(x)≤2e x-e 所以f(x)=x2和g(x)=2e ln x之间存在唯一的隔离直线y=2e x-e.所以命题①是真命题；对于命题②，设f(x)=x2和g(x)=1x(x<0)的隔离直线为y=kx+m，则x2≥kx+m1x≤kx+m对任意x<0恒成立，即x2-kx-m≥0kx2+mx-1≤0对任意x<0恒成立，由kx2+mx-1≤0恒成立，得k≤0(i)当k=0时，则m=0符合题意；(ii)当k<0时，则x2-kx-m≥0对任意x<0恒成立，令h x =x2-kx-m x<0，对称轴x=k2<0，需Δ=k2+4m≤0，即k2≤-4m，故m≤0令d x =kx2+mx-1x<0，对称轴x=-m2k≤0，需Δ=m2+4k≤0，即m2≤-4k，所以k4≤16m2≤-64k，故-4≤k<0同理可得m4≤16k2≤-64m，即-4≤m<0，故m 的最小值为-4故命题①正确，命题②正确；故选：A专题强化一、单选题19(2023·山东潍坊·统考模拟预测)阿基米德螺线是一个点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动而产生的轨迹．如图，在平面直角坐标系xOy 中，螺线与坐标轴依次交于点A 1-1,0 ，A 20,-2 ，A 33,0 ，A 40,4 ，A 5-5,0 ，A 60,-6 ，A 77,0 ，A 80,8 ，并按这样的规律继续下去．若四边形A n A n +1A n +2A n +3的面积为760，则n 的值为()A.18B.19C.21D.22【答案】A【分析】根据四边形的特点，将四边形的面积转化为四个直角三角形的面积，即可求解.【详解】如图，四边形A n A n +1A n +2A n +3的面积由四个直角三角形构成，得12n n +1 +12n +1 n +2 +12n +2 n +3 +12n n +3 =760，n n +1+n +3 +n +2 n +1+n +3 =1520，2n +4 2n +2 =1520，即n +2 n +1 =380，n ∈N *，解得：n =18故选：A20(2023春·湖北·高二校联考阶段练习)高斯(Gauss )被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行1+2+3+⋯+100的求和运算时，他这样算的：1+100=101，2+99=101，⋯，50+51=101，共有50组，所以50×101=5050，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n 项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列a n是公比不等于1的等比数列，且a1a2023=1，试根据以上提示探求：若f(x)=41+x2，则f a1+f a2+⋯+f a2023=()A.2023B.4046C.2022D.4044【答案】B【分析】根据倒序相加法，结合等比数列的下标性质进行求解即可.【详解】根据等比数列的下标性质由a1⋅a2023=1⇒a n⋅a2024-n=1，∵函数f(x)=41+x2，∴f(x)+f1x=41+x2+41+1x2=4+4x21+x2=4，令T=f a1+f a2+⋯+f a2023，则T=f a2023+f a2023+⋯+f a1 ，∴2T=f a1 +f a2023+f a2+f a2022+⋯+f a2023+f a1 =4×2023，∴T=4046．故选：B21(2022秋·山东青岛·高三统考期末)已知定义域为0,1的“类康托尔函数”f x 满足：①∀0≤x1<x2≤1，f x1≤f x2；②f x =2fx3；③f x +f1-x=1.则f12023=()A.132B.164C.1128D.1256【答案】C【分析】根据函数的定义分别赋值得到f(1)=1,f12=12，然后再利用f x =2f x3 得到f(x)=2n⋅f x3n，再次赋值，利用∀0≤x1<x2≤1，f x1 ≤f x2 即可求解.【详解】因为∀0≤x1<x2≤1，f x =2fx3，令x=0可得：f(0)=0，又因为f x +f1-x=1，令x=0可得：f(1)=1，令x=12可得：f12=12，由f x =2fx3可得：f(x)=2f x3 =22⋅f x32=⋯=2n⋅f x3n ，令x=1,n=7，则有f(1)=27f137=128f12187，所以f12187=1128，令x=12，n=6，则有f12=26f1236=64f11458=12，所以f11458=1128，因为12187<12023<11458，所以f12187≤f12023≤f11458，也即1128≤f12023≤1128，所以f12023=1128，故选：C.22(2023·全国·高三专题练习)设定点F1,0，动点M满足以MF为直径的圆与y轴相切，设动点M的轨迹为C ，则下列说法正确的是()A.轨迹C 的方程为y 2=4xB.动点M 到直线l 1：4x -3y +6=0和l 2：x =-2的距离之和的最小值为2C.长度为8的线段两端点在轨迹C 上滑动，中点到y 轴距离的最小值为4D.轨迹C 上一点P 处的切线与x 轴交于Q ，若PQ =FQ ，则切线斜率为3【答案】A【分析】先用直接法求出动点M 的轨迹方程，然后根据轨迹方程为抛物线找出焦点和准线，将BC 两选项中的问题用抛物线的定义进行转化可判断BC 的真假；D 答案需要联立方程设而不求的思想可判断.【详解】设M x ,y ，MF 中点Q x +12,y2，∵以MF 为直径的圆与y 轴相切∴x +12 =12x -12+y 2⇒y 2=4x ，A 正确.对于B ，MM +MM =MM +MP +1=MM +MF +1，MM +MF ≥F 到l 1的距离=2，∴MM +MM ≥3，B 错.对于C ，设AB 中点M ，AB =8，分别过A ，B 作l 2的垂线，垂足为A ,B ，∴MM=AA +BB 2=AF -1+BF -12=AF +BF -22≥AB -22=3∴中点到y 轴距离的最小值为3，C 错.对于D ，切线：x =my +n ，x =my +ny 2=4x消y 可得y 2-4my -4n =0，Δ=0，∴n =-m 2，y =2mx =m2 ，∴Q -m 2,0 ，P m 2,2m ，PQ =FQ ，∴4m 4+4m 2=1+m 2，∴m 2=13，m =±33，斜率±3，D 错.故选：A23(2022·重庆江北·校考一模)已知斐波那契数列a n 满足a 1=a 2=1，a n +2=a n +1+a n ，若a s ，a t 是数列a n 中的任意两项，a s -a t =m ，当m ≤2时，称数组a s ,a t 为数列a n 的“平缓数组”(a s ,a t 与a t ,a s 为相同的“平缓数组”)，m 为数组a s ,a t 的组差.现从a n 的所有“平缓数组”中随机抽取3个，则这3个“平缓数组”的组差中至少有2个相等的取法种数为()A.24B.26C.29D.35【答案】B【分析】先根据“平缓数组”的定义，找出所有的“平缓数组”，然后再计算随机抽取三个“平缓数组”的组差中至少有2个相等的取法种数即可.【详解】由题意得a n +1≥a n ，a n +2-a n +1≥a n +1-a n ，a 1=a 2=1，a 3=2，a 4=3，a 5=5，a 6=8，又a 6-a 5=3，所以当n ≥5时，a n +1-a i ≥3i =1,2,⋅⋅⋅,n ，所以a n 的所有“平缓数组”有a 1,a 2 ，a 1,a 3 ，a 1,a 4 ，a 2,a 3 ，a 2,a 4 ，a 3,a 4 ，a 4,a 5 ，共7个，其中组差为0的有1个为a 1,a 2 ，组差为1的有3个为a 1,a 3 ，a 2,a 3 ，a 3,a 4 ，组差为2的有3个为a 1,a 4 ，a 2,a 4 ，a 4,a 5 ，所以这3个“平缓数组”的组差中至少有2个相等的取法种数为2C 23C 14+2C 33=26，故选：B24(2022秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考期中)十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数n >2时，关于x ，y ，z 的方程x n +y n =z n 没有正整数解”．经历三百多年，于二十世纪九十年代中期由美国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理根据前面叙述，则下列命题正确的个数为()(1)存在至少一组正整数组x ,y ,z 是关于x ，y ，z 的方程x 3+y 3=z 3的解；(2)关于x ，y 的方程x 3+y 3=1有正有理数解；(3)关于x ，y 的方程x 3+y 3=1没有正有理数解；(4)当整数n >3时关于x ，y ，z 的方程x n +y n =z n 有正实数解A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【分析】当整数n >2时方程没有正整数解，(1)错误，x z 3+y z3=1，没有正有理数解，(2)错误，(3)正确，当x =y =1，z =21n满足条件，(4)正确，得到答案.【详解】当整数n >2时，关于x ，y ，z 的方程x n +y n =z n 没有正整数解，故方程x 3+y 3=z 3没有正整数解，(1)错误；x 3+y 3=z 3没有正整数解.即x z3+y z3=1，z ≠0 ，没有正有理数解，(2)错误，(3)正确；方程x n+y n=z n，当x =y =1，z =21n满足条件，故有正实数解，(4)正确.故选：C25(2022秋·北京·高三北京铁路二中校考期中)德国著名数学家、解析数论的创始人狄利克雷(1805年2月13日~1859年5月5日)，对函数论、三角级数论等都有重要贡献，主要著作有《数论讲义》《定积分》等.狄利克雷函数就是以其名字命名的函数，其解析式为D x =1,x 为有理数,0,x 为无理数, 则下列关于狄利克雷函数D(x )的判断错误的是()A.对任意有理数t ，D (x +t )=D (x )B.对任意实数x ，D (D (x ))=1C.D (x )既不是奇函数也不是偶函数D.存在实数x ，y ，D (x +y )=D (x )+D (y )【答案】C【分析】根据狄利克雷函数的定义判断ABD ，结合奇偶性的定义判断C ．【详解】对于A ，对任意有理数t ，当x 为有理数时，x +t 为有理数，则D (x +t )=1=D (x )；当x 为无理数时，x +t 为无理数，则D (x +t )=0=D (x )，故A 正确；对于B ，若x 为有理数，则D (D (x ))=D (1)=1；若x 为无理数，则D (D (x ))=D (0)=1，故B 正确；对于C ，当x 为有理数时，则-x 为有理数，则D (-x )=1=D (x )；当x 为无理数时，则-x 为无理数，则D (-x )=0=D (x )，于是对任意实数x ，都有D (-x )=D (x )，即狄利克雷函数为偶函数，故C 错误；对于D ，取x =2，y =3，因为2+3为无理数，所以D (2+3)=0=D (2)+D (3)，故D 正确.故选：C .二、多选题26(2023春·吉林白山·高三统考期中)古希腊数学家普洛克拉斯指出：“哪里有数，哪里就有美.”“对称美”是数学美的重要组成部分，在数学史上，人类对数学的对称问题一直在思考和探索，图形中对称性的本质就是点的对称、线的对称.如正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称性也是函数一个非常重要的性质.如果一个函数的图象经过某个正方形的中心并且能够将它的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个正方形的“优美函数”.下列关于“优美函数”的说法中正确的有()A.函数f x =x2x+2-x-1≤x ≤1 可以是某个正方形的“优美函数”B.函数f x =4cos 2x -π6 +3只能是边长不超过π2的正方形的“优美函数”C.函数f x =ln 4x 2+1-2x -1可以是无数个正方形的“优美函数”。

高中数学开放性题目教案
题目: 请解释在四个数1，3，4，6中找出符合以下条件的数字:
A. 一个数字可以整除所有其他数字
B. 一个数字不被任何其他数字整除
教学目标:
1. 熟练掌握整除的概念和具体操作方法。

2. 培养学生逻辑思维和分析问题的能力。

3. 提高学生的数学解决问题的能力。

教学步骤:
1. 引入问题：让学生思考四个数字1，3，4，6的整除关系，启发学生的思维。

2. 分组讨论：将学生分为小组，让他们讨论解决问题的方法，并互相交流思路。

3. 探究解题方法：引导学生从整除的定义和性质出发，寻找可以符合条件的数字。

4. 解决问题：让学生尝试找出符合条件的数字，并解释他们的答案是如何得到的。

5. 拓展讨论：讨论其他可能的解决方法，引导学生拓展思考。

教学互动:
1. 教师引导学生思考问题，激发学生的求知欲和探究兴趣。

2. 引导学生积极参与讨论和交流，激发学生思维的碰撞和火花。

3. 提醒学生要注重逻辑推理和细致分析，培养学生解决问题的能力。

教学评价:
1. 通过学生的讨论和解答，了解学生对整除概念的理解和应用情况。

2. 评价学生解决问题的思维和方法，鼓励学生勇于创新和挑战。

3. 鼓励学生在解决问题的过程中，敢于提出疑问和质疑，积极探索解决方案。

教学反思:
1. 教学中是否引导学生正确理解整除的概念和性质，促进学生的数学思维发展？
2. 学生对问题的理解和解决方法是否充分，是否提高了解决问题的意识和方法？
3. 如何提高教学效果，激发学生对数学的兴趣和热爱，促进其综合素质的提高？。

人教A版高中数学必修1全册练习题高中数学必修1练习题集第一章、集合与函数概念1.1.1集合的含义与表示例1.用符号和填空。

⑴设集合A是正整数的集合，则0_______A，________A，______A；⑵设集合B是小于的所有实数的集合，则2______B，1+______B；⑶设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国_____A，美国_____A，印度_____A，英国____A例2.判断下列说法是否正确，并说明理由。

⑴某个单位里的年轻人组成一个集合；⑵1，，，，这些数组成的集合有五个元素；⑶由a，b，c组成的集合与b，a，c组成的集合是同一个集合。

例3.用列举法表示下列集合：⑴小于10的所有自然数组成的集合A；⑵方程x=x的所有实根组成的集合B；⑶由1～20中的所有质数组成的集合C。

例4.用列举法和描述法表示方程组的解集。

典型例题精析题型一集合中元素的确定性例1.下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤的近似值得全体，其中能构成集合的组数是（）A.2B.3C.4D.5题型二集合中元素的互异性与无序性例2.已知x{1，0，x}，求实数x的值。

题型三元素与集合的关系问题1.判断某个元素是否在集合内例3．设集合A={x∣x=2k,kZ}，B={x∣x=2k+1,kZ}。

若aA，bB，试判断a+b与A，B的关系。

2.求集合中的元素例4.数集A满足条件，若aA，则A，（a≠1），若A，求集合中的其他元素。

3.利用元素个数求参数取值问题例5.已知集合A={x∣ax+2x+1=0,aR}，⑴若A中只有一个元素，求a的取值。

⑵若A中至多有一个元素，求a的取值范围。

题型四列举法表示集合例6.用列举法表示下列集合⑴A={x∣≤2，xZ}；⑵B={x∣=0}⑶M={x+y=4，xN，yN}.题型五描述法表示集合例7.⑴已知集合M={xN∣Z}，求M；⑵已知集合C={Z∣xN}，求C.例8.用描述发表示图（图-8）中阴影部分（含边界）的点的坐标的集合。

新高考题型：解答题开放性问题（条件3选1）《数列》1．已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项12a =，前n 项和是n S ，且____（①1a ，3a ，7a 成等比数列，①(3)2n n n S +=，①816a =，任选一个条件填入上空），设12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．2．在①35a =，2526a a b +=；①22b =，3433a a b +=；①39S =，4528a a b +=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为(1)d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b =，d q =， ．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．3．在等差数列{}n a 中，已知612a =，1836a =． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若____，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 在①14n n n b a a +=，①(1)n n n b a =-，①2n a n n b a =这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．4．在①414S =-，①515S =-，①615S =-三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足： ，*n N ∈． （1）求n S 的最小值；（2）设数列671{}n n a a ++的前n 项和n T ，证明：1n T <．5．从条件①2(1)n n S n a =+，(2)n a n =，①0n a >，22nn n a a S +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，_____．若1a ，k a ，2k S +成等比数列，求k 的值．6．在①355a a +=，47S =；①243n S n n =+；①42514S S =，5a 是3a 与92的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若____． （1）求n a ； （2）记2221n nn b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．7．已知{}n a 为等差数列，1a ，2a ，3a 分别是表第一、二、三行中的某一个数，且1a ，2a ，3a 中的任何两个数都不在表的同一列．请从①12a =，①11a =，①13a =的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{}n a 存在；并在此存在的数列{}n a 中，试解答下列两个问题 （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足12(1)n n n b a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．8．在①2n S n n =+，①3516a a +=，3542S S +=，①171,56n n a n S a n++==这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，_____，12112,2a ab a b ==．求数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．9．在①2342a a a +=，①22n n S a =-，①425S S =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．在已知等比数列{}n a 的公比0q >前n 项和为n S ，若 _____，数列{}n b 满足11,13n n n b a b b =+=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列1{}n n n a b b +的前n 项和n T ，并证明13n T <．10．在①131n n S S +=+，①211,2139n n a S a +==-③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足____，____；又知正项等差数列{}n b 满足12b =，且1b ，21b -，3b 成等比数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）证明：12326n b b b a a a ++⋯+<．11．给出以下三个条件：①数列{}n a 是首项为2，满足142n n S S +=+的数列； ①数列{}n a 是首项为2，满足2132()n n S R λλ+==+∈的数列； ①数列{}n a 是首项为2，满足132n n S a +=-的数列．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解． 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a 与n S 满足______，记数列21222log log log n n b a a a =++⋯+，21n n n n nc b b ++=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．12．在①5462a b b =+，①35144()a a b b +=+，①24235b S a b =三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．设{}n a 是公比大于0的等比数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等差数列．已知11a =，32212S S a a -=+，435a b b =+，________．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设112233n n n T a b a b a b a b =+++⋯+，求n T ．13．在①4S 是2a 与21a 的等差中项；①7a 是33S 与22a 的等比中项；①数列2{}n a 的前5项和为65这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题． 已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前n 项和为n S ，_______． （1）求n a ；（2）设3()4n n n b a =；是否存在k N ∈，使得278k b >？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，____． 给出下列三个条件：条件①：数列{}n a 为等比数列，数列1{}n S a +也为等比数列；条件①：点(n S ，1)n a +在直线1y x =+上；条件①：1121222n n n n a a a na -+++⋯+=．试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答： （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21231log log n n n b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．15．在①2351a a a b +=-，①2372a a a =，①315S =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，若 _______，数列{}n b 满足11b =，213b =，11n n n n a b nb b ++=-．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．16．在①53A B =，①122114a a B -=，①535B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，等差数列{}n b 的公差为2d ．设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设132n a n n n c b b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n S ．17．①535a b b =+，①387S =①91012a a b b -=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，________，16a b =，若对于任意*n N ∈都有21n n T b =-，且(n k S S k 为常数），求正整数k 的值．注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．18．在①1，n a ，n S 成等差数列，①递增等比数列{}n a 中的项2a ，4a 是方程21090x x -+=的两根，①11a =，120n n a a ++=这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由．已知数列{}n a 和等差数列{}n b 满足 _______，且14b a =，223b a a =-，是否存在(320,)k k k N <<∈使得k T 是数列{}n a 中的项？(n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n b 的前n 项和）注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．给出以下三个条件：①34a ，43a ，52a 成等差数列；①对于*n N ∀∈，点(,)n n S 均在函数2x y a =-的图象上，其中a 为常数；①37S =．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠的等比数列，且它的首项11a =，． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令*22log 1()n n b a n N =+∈，证明数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和12n T <．20．在①133a a b +=，①52a =-，①254b S b +=-这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中．若问题中的m 存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是各项均为正数的等比数列， ， ，且12b =，2312b b +=．是否存在大于2的正整数m ，使得14S ，3S ，m S 成等比数列？21．在①2213(0)n n n a a a +-=>，①211390n n n n a a a a -----=，①222n S n n =-+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．已知：数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =， ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对大于1的自然数n ，是否存在大于2的自然数m ，使得1a ，n a ，m a 成等比数列．若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．22．在①21n n S b =-，①14(2)n n b b n --=，①12(2)n n b b n -=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求出k 的值；若k 不存在，说明理由． 已知数列{}n a 为等比数列，123a =，312a a a =，数列{}n b 的首项11b =，其前n 项和为n S ， ，是否存在k ，使得对任意*n N ∈，n n k k a b a b 恒成立？23．已知函数()log (k f x x k =为常数，0k >且1)k ≠．（1）在下列条件中选择一个 使数列{}n a 是等比数列，说明理由； ①数列{()}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列； ①数列{()}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；①数列{()}n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k =时，设12241n n n a b n +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．24．在①44a b =，①624S =-这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数k 存在，求k 的值；若k 不存在，请说明理由．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，{}n b 是等比数列， ，15b a =，39b =-，6243b =．是否存在k ，使得1k k S S ->且1k k S S +<？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．25．设33M a =-，22N a =，4T a =，给出以下四种排序：①M ，N ，T ；①M ，T ，N ；①N ，T ，M ；①T ，N ，M ．从中任选一个，补充在下面的问题中，解答相应的问题． 已知等比数列{}n a 中的各项都为正数，11a =，且___依次成等差数列． （①）求{}n a 的通项公式；（①）设,01,1,1,n n n n na ab a a <⎧⎪=⎨>⎪⎩数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足100n n S b >的最小正整数n ．26．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1(0n n S pa p +=≠且1p ≠-，*)n N ∈． （1）求{}n a 的通项公式；（2）在①1k a +，3k a +，2k a +①2k a +，1k a +，3k a +这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中：对任意的正整数k ，若将1k a +，2k a +，3k a +按______的顺序排列后构成等差数列，求p 的值．27．设*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，______．请在①1a ，2a ，5a 成等比数列，①69a =，①535S =这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b满足1(1)n a n n n b a +=+-，求数列{}n b 的前2n 项的和2n T ．28．已知公差不为0的等差数列的首项12a =，前n 项和为n S ，且 ______（①1a ，2a ，4a 成等比数列；①(3)2n n n S +=；①926a =任选一个条件填入上空）． 设3n a n b =，nn n a c b =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，试判断n T 与13的大小．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．29．在①2a ，3a ，44a -成等差数列；①1S ，22S +，3S 成等差数列；①12n n a S +=+中任选一个，补充在下列的问题中，并解答．在各项均为正数等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知12a =，且 ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b的通项公式nn b =，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．30．在①36S a =，①420S =，①14724a a a ++=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足36a =，____． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n a n n b a =+，求{}n b 的前n 项和n T ．31．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，15b a =，23b =，581b =-． （1）求数列{}n b 的通项公式：（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，在①132b b a +=，①44a b =这两个条件中任选一个，补充在题干条件中，是否存在k ，使得1k k S S +>且21k k S S ++>？若问题中的k 存在，求k 的值；着k 不存在，说明理由．32．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，315S =，0n a >，1d >，且______从“①21a -为11a -与31a +的等比中项”，“①等比数列{}n b 的公比12q =，12b a =，33b a =”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列{}n a 存在并作答．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，求n T ．33．在①312S =，①2123a a -=，①824a =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，__，且1a ，2a ，4a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，且21b a =，44b a =，求数列{}n n a b +的前n 项和n T ．34．在①4516a a +=；①39S =；①2(n S n r r =+为常数）这3个条件中选择1个条件，补全下列试题后完成解答（选择多个条件并分别解答的按第1个评分）．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项均为正整数，且满足公差1d >，______． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令21n a n b =+，求数列{}n b 的前n 项的和．35．已知{}n a 为等差数列，各项为正的等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1122a b ==，2810a a +=，_____．在①1()n n S b R λλ=-∈；①43212a S S S =-+；①2()n a n b R λλ=∈．这三个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答（如果选择多个条件解答，则按选择第一个解答计分）． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n T ．36．在①5CA CB =-，①ABC ∆的面积为-一个，补充在下面问题中，并解决该问题：在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ， 已知sin sin 1sin sin sin sin A CB C A B+=++，_______，且1b =．（1）求ABC ∆的周长；（2）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，数列{}n b 为等比数列，1cos 1a A =，且11b a =，23b a =，37b a =．若数列{}n c 的前n 项和为n S ，且113c =，111n n n n n a c b a a -+=-．2n ． 证明：116n S <． 注：在横线上填上所选条件的序号，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．新高考题型：解答题开放性问题（条件3选1）《数列》答案解析1．已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项12a =，前n 项和是n S ，且____（①1a ，3a ，7a 成等比数列，①(3)2n n n S +=，①816a =，任选一个条件填入上空），设12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：设等差数列{}n a 的公差为d ，选①：由1a ，3a ，7a 成等比数列得22111(6)(2)a a d a d +=+， 化简得20d dd =≠，11n d a n ∴=∴=+，于是1(1)2n n b n -=+，∴21213242(1)2n n T n -=+++⋯++，232223242(1)2n n T n =+++⋯++，相减得：212222(1)22n n n n T n n --=+++⋯+-+=-，∴2n n T n =；选①：()()()13122,122n n n n n n n n a S S n -+-+=-=-=+时，1n =时，12a =，符合上式，1n a n ∴=+，下同①； 选①：81281a a d -==-，22(1)2n a n n ∴=+-=， ∴2n n b n =，231222322n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+， 234121222322n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋯+，相减得2311122222222n n n n n T n n +++-=+++⋯+-=--，∴1(1)22n n T n +=-+．2．在①35a =，2526a a b +=；①22b =，3433a a b +=；①39S =，4528a a b +=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为(1)d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b =，d q =， 22b =，3433a a b += ．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ． 解： 选择①（1）35a =，2526a a b +=，11a b =，d q =，111251256a d d a d a d +=⎧>∴⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或1256512a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去），∴112b q =⎧⎨=⎩，1(1)21n n d n αα∴=+--=-，1112n n n b b q --==，（2）n n n a c b =，11211(21)()22n n n n c n ---∴==-⨯， 2211111135()(23)()(21)()2222n n n T n n --∴=+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯，∴2311111113()5()(23)()(21)()222222n n n T n n -=+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯， ∴12111[1()]11111112212[()()](21)()12(21)()3(23)()1222222212n n n n nn T n n n ---=+++⋯+--⨯=+⨯--⨯=-+⨯-，∴116(23)()2n n T n -=-+⨯．选择①22b =，3433a a b +=；（1）设11a b t ==，1d q =>，由22b =，3433a a b +=，可得2tq =，2253t d tq +=， 又d q =，解得2d q ==，1t =， 可得12(1)21n a n n =+-=-；12n n b -=； （2）11(21)()2n n n n a c n b -==-， 前n 项和11111135(21)()242n n T n -=+++⋯+-， 11111135(21)()22482n n T n =+++⋯+-， 两式相减可得21111111()(21)()22422n n n T n -=++++⋯+--，111121(1)()1212n n n --=+---， 化简可得116(23)()2n n T n -=-+．选择①39S ∴=，4528a a b +=，11a b =，d q =，1d >，∴1113278a d a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或121838a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去），1(1)21n a a n d n ∴=+-=-，1112n n n b b q --==．（2）11211(21)()22n n n n n n a n c c n b ---=∴==-⨯， 2211111135()(23)()(21)()2222n n n T n n --∴=+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯，∴2311111113()5()(23)()(21)()222222n n n T n n -=+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯， ∴12111[1()]11111112212[()()](21)()12(21)()3(23)()1222222212m n n n nn T n n n ---=+++⋯+--⨯=+⨯--⨯=-+⨯-，∴116(23)()2n n T n -=-+⨯．3．在等差数列{}n a 中，已知612a =，1836a =． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若____，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 在①14n n n b a a +=，①(1)n n n b a =-，①2n a n n b a =这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．解：（1）由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，则 115121736a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩， 2(1)22n a n n ∴=+-⨯=，*n N ∈．（2）方案一：选条件① 由（1）知，144122(1)(1)n n n b a a n n n n +===++， 12n n S b b b =++⋯+1111223(1)n n =++⋯+⨯⨯+ 1111112231n n =-+-+⋯+-+ 111n =-+ 1nn =+． 方案二：选条件①由（1）知，(1)(1)2n n n n b a n =-=-，122468(1)2n n n S b b b n ∴=++⋯+=-+-+-⋯+-，()i 当n 为偶数时， 12n n S b b b =++⋯+2468(1)2n n =-+-+-⋯+-，(24)(68)[2(1)2]n n =-++-++⋯+--+222=++⋯+22n =⨯ n =，()ii 当n 为奇数时，1n -为偶数， 12n n S b b b =++⋯+2468(1)2n n =-+-+-⋯+-，(24)(68)[2(2)2(1)]2n n n =-++-++⋯+--+--2222n =++⋯+-1222n n -=⨯- 1n =--，,,1,.n n n S n n ⎧∴=⎨--⎩为偶数为奇数；方案三：选条件①由（1）知，222224n a n n n n b a n n ===，1231224446424n n n S b b b n ∴=++⋯+=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯， 231424442(1)424n n n S n n +=⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯，两式相减，可得123132424242424n n n S n +-=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯-⨯ 12118(1444)24n n n -+=⨯+++⋯+-⨯11482414nn n +-=⨯-⨯-12(13)8433n n +-=-．12(31)8499n n n S +-∴=+． 4．在①414S =-，①515S =-，①615S =-三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足： ①① ，*n N ∈． （1）求n S 的最小值； （2）设数列671{}n n a a ++的前n 项和n T ，证明：1n T <．解：（1）①若选择①①； 由题知：6650a S S =-=， 又因为15535()5152a a S a +===-，所以33a =-． 所以6333d a a =-=，解得1d =． 所以6(6)6n a a n n =+-=-．所以125670a a a a a <<⋯<<=<<⋯， 所以6515n S S S ==- ①若选择①①；由题知：5541a S S =-=-， 又因为15535()5152a a S a +===-， 所以33a =-．所以5322d a a =-=，1d =． 所以3(3)6n a a n d n =+-=-． 所以125670a a a a a <<⋯<<=<<⋯， 所以6515n S S S ==- ①若选择①①； 由题知：1666()152a a S +==-，所以161255a a a d +=+=- 由题知：1444()142a a S +==-，所以141237a a a d +=+=-所以15a =-，1d =． 所以6n a n =-．所以125670a a a a a <<⋯<<=<<⋯， 所以6515n S S S ==-． 证明（2）因为6n a n =-， 所以671111(1)1n n a a n n n n ++==-++ 所以11111111122311n T n n n =-+-+⋯+-=-<++． 5．从条件①2(1)n n S n a =+，(2)n a n =，①0n a >，22nn n a a S +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，_____．若1a ，k a ，2k S +成等比数列，求k 的值． 解：选择①2(1)n n S n a =+，112(2)n n S n a ++∴=+，相减可得：112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+，∴11n na a n n+=+， ∴111n a a n ==，可得：n a n =． 2(2)(12)(2)(3)22k k k k k S ++++++∴==． 1a ，k a ，2k S +成等比数列，∴212kk a a S +=，2(2)(3)2k k k ++∴=，*k N ∈，解得6k =．选择(2)n a n =，1n n S S -=-=，0n S >1=，∴数列是等差数列，首项为1，公差为1．∴11n n =+-=，解得2n S n =．2n ∴时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．2(2)(123)(2)(2)2k k k S k k ++++∴==++1a ，k a ，2k S +成等比数列，∴212kk a a S +=，22(21)(2)k k ∴-=+，*k N ∈，解得3k =． 选择①0n a >，22n n n a a S +=，∴21112n n n a a S ++++=，相减可得：221112n n n n n a a a a a ++++--=，化为：11()(1)0n n n n a a a a +++--=， 可得：11n n a a +-=，∴数列{}n a 是首项与公差都为1的等差数列，11n a n n ∴=+-=．(1)2n n n S +∴=， 1a ，k a ，2k S +成等比数列，∴212kk a a S +=，2(2)(12)2k k k +++∴=，*k N ∈，解得6k =．6．在①355a a +=，47S =；①243n S n n =+；①42514S S =，5a 是3a 与92的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若____． （1）求n a ； （2）记2221n nn b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 解：（1）选择条件①：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则11265,4347,2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得11,1,2a d =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴12n n a +=，*n N ∈； 选择条件①：243n S n n =+，∴当2n 时，2214443(1)3(1)22n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+即1(2)2n n a n +=， 当1n =时，21113114a S +⨯===，也适合上式，∴12n n a +=，*n N ∈； 选择条件①：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则112115(46)14(2),9(4)(2),2a d a d a d a d ⨯+=+⎧⎪⎨+=+⎪⎩， 解得11a =，12d =，或10a =，0d =，不合题意，舍去， ∴12n n a +=，*n N ∈； （2）由（1）可知，22214112()(21)(23)2123n n n b a a n n n n +===-++++，∴121111112()35572123n n T b b b n n =++⋯+=-+-+⋯+-++ 1142()32369nn n =-=++． 7．已知{}n a 为等差数列，1a ，2a ，3a 分别是表第一、二、三行中的某一个数，且1a ，2a ，3a 中的任何两个数都不在表的同一列．请从①12a =，①11a =，①13a =的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{}n a 存在；并在此存在的数列{}n a 中，试解答下列两个问题 （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足12(1)n n n b a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：（1）若选择条件①12a =，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{}n a 都不存在，若选择条件①11a =，则放在第一行的第二列，结合条件可得11a =，24a =，37a =，则32n a n =-，则*n N ∈，若选择条件①13a =，则放在第一行的任何一列，结满足条件的等差数列{}n a 都不存在， 综上可得32n a n =-，则*n N ∈， （2）由（1）知，12(1)(32)n n b n +=--， 当n 为偶数时，22222212312341n n n n T b b b b a a a a a a -∴=+++⋯+=-+-+⋯+-，1212343411()()()()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --=+-++-+⋯+-+，2123(132)933()3222n n n a a a a n n +-=-+++⋯+=-⨯=-+，当n 为奇数时，22219393(1)(1)(32)22222n n n T T b n n n n n -=+=--+-+-=--，2293,22932,22n n n n T n n n ⎧-+⎪⎪∴=⎨⎪--⎪⎩为偶数为奇数 8．在①2n S n n =+，①3516a a +=，3542S S +=，①171,56n n a n S a n++==这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，_____，12112,2a ab a b ==．求数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 解：选①：当1n =时，112a S ==，当2n 时，12n n n a S S n -=-=，又1n =满足2n a n =，所以2n a n =．设{}n b 的公比为q ，又因为12121122,4,,2a a a ab a b ====由，得12b =，2q =，所以2n n b =； 由数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--，又可知211111(1)1n S n n n n n n ===-+++， 数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋯+-=-++，故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++． 选①：设公差为d ，由1353512616,16,42,81342,a d a a S S a d +=⎧+=+=⎨+=⎩得解得12,2,a d =⎧⎨=⎩所以22,n n a n S n n ==+．设{}n b 的公比为q ，又因为12121122,4,,2a a a ab a b ====由，得12b =，2q =，所以2n n b =．由数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--，又可知211111(1)1n S n n n n n n ===-+++，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋯+-=-++，故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++． 选①： 由11111,,,11n n n n n n a a a a an a a n a n n n n +++====+得所以即，74172856S a a ===，所以12a =，所以22,n n a n S n n ==+．设{}n b 的公比为q ，又因为12121122,4,,2a a a ab a b ====由，得12,2,2n n b q b ===所以． 由数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--，又可知211111(1)1n S n n n n n n ===-+++， 数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋯+-=-++， 故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++． 9．在①2342a a a +=，①22n n S a =-，①425S S =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．在已知等比数列{}n a 的公比0q >前n 项和为n S ，若 _____，数列{}n b 满足11,13n n n b a b b =+=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列1{}n n n a b b +的前n 项和n T ，并证明13n T <． 解：（1）若选择①2342a a a +=，可得231112a q a q a q +=，化为220q q --=，解得2(1q =-舍去），又因为1n n n a b b +=，113b =，解得12a =，所以2n n a =，11112n n n b a ==++； 选择①22n n S a =-，可得11122a S a ==-，解得12a =，又122222a a S a +==-，解得24a =，可得2q =，又因为1n n n a b b +=，113b =，解得12a =，所以2n n a =，11112n nn b a ==++； 选择①425S S =，可得4211(1)(1)511a q a q q q--=--，即215q +=，解得2q =，又因为1n n n a b b +=，113b =，解得12a =，所以2n n a =，11112n n n b a ==++； （2）证明：111211(21)(21)2121n n n n n n n n a b b +++==-++++， 2231111111111()()()212121212121321n n n n T ++=-+-+⋯+-=-+++++++， 由11021n +>+，可得13n T <． 10．在①131n n S S +=+，①211,2139n n a S a +==-③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足____，____；又知正项等差数列{}n b 满足12b =，且1b ，21b -，3b 成等比数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）证明：12326n b b b a a a ++⋯+<． 解：选择①①：（1）解：由131n n S S +=+⇒当2n 时，有131n n S S -=+，两式相减得：13n n a a +=，即113n n a a +=，2n ．又当1n =时，有2112313()S S a a =+=+，又219a =，113a ∴=，2113a a =也适合，所以数列{}n a 是首项、公比均为13的等比数列，所以1()3n n a =；设正项等差数列{}n b 的公差为d ，12b =，且1b ，21b -，3b 成等比数列，2213(1)b b b ∴-=，即2(21)2(22)d d +-=+，解得：3d =或1d =-（舍)，23(1)31n b n n ∴=+-=-，故1()3n n a =，31n b n =-．（2）证明：由（1）可得311()3n n b a -=，∴1211[1()]313927[1()]1262726127n n n b b b a a a -++⋯+==-<-． 选择：①①：（1）解：由1213n n S a +=-⇒当2n 时，1213n n S a -=-，两式相减得：1233n n n a a a +=-+，即113n n a a +=，2n ．又当1n =时，有1212132S a a =-=，又219a =，113a ∴=，2113a a =也适合，所以数列{}n a 是首项、公比均为13的等比数列，所以1()3n n a =；设正项等差数列{}n b 的公差为d ，12b =，且1b ，21b -，3b 成等比数列，2213(1)b b b ∴-=，即2(21)2(22)d d +-=+，解得：3d =或1d =-（舍)，23(1)31n b n n ∴=+-=-，故1()3n n a =，31n b n =-．（2）证明：由（1）可得311()3n n b a -=，∴1211[1()]313927[1()]1262726127n n n b b b a a a -++⋯+==-<-． 11．给出以下三个条件：①数列{}n a 是首项为2，满足142n n S S +=+的数列； ①数列{}n a 是首项为2，满足2132()n n S R λλ+==+∈的数列； ①数列{}n a 是首项为2，满足132n n S a +=-的数列．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解． 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a 与n S 满足______，记数列21222log log log n n b a a a =++⋯+，21n n n n nc b b ++=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：选①，由已知142n n S S +=+⋯①， 当2n 时，142n n S S -=+⋯①，①-①可得14n n a a +=，当1n =时，2142S S =+可得28a =，满足214a a =．∴数列{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列．即可得212n n a -=．221222log log log 13(21)n n b a a a n n =++⋯+=++⋯+-=2221(1)111(1)(1)1n n n n n n n c b b n n n n n n +++====-+++． ∴数列{}n c 的前n 项和1111111()1223111n nT n n n n =-+-+⋯+-=-=+++． 选①，由已知2132n n S λ+==+⋯①211.32n n S λ--==+⋯①， ①-①可得21212132232n n n n a +--=-=． 当1n =时，12a =满足212n n a -=．∴数列{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列，即可得212n n a -=．221222log log log 13(21)n n b a a a n n =++⋯+=++⋯+-=2221(1)111(1)(1)1n n n n n n n c b b n n n n n n +++====-+++． ∴数列{}n c 的前n 项和1111111()1223111n nT n n n n =-+-+⋯+-=-=+++． 选①，由已知132n n S a +=-⋯①， 当2n 时，12n n S S -=-⋯①， ①-①可得14n n a a +=，当1n =时，可得28a =，满足214a a =．∴数列{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列．即可得212n n a -=．221222log log log 13(21)n n b a a a n n =++⋯+=++⋯+-=2221(1)111(1)(1)1n n n n n n n c b b n n n n n n +++====-+++．∴数列{}n c 的前n 项和1111111()1223111n nT n n n n =-+-+⋯+-=-=+++． 12．在①5462a b b =+，①35144()a a b b +=+，①24235b S a b =三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．设{}n a 是公比大于0的等比数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等差数列．已知11a =，32212S S a a -=+，435a b b =+，________．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设112233n n n T a b a b a b a b =+++⋯+，求n T ． 解：方案一：选条件①：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ．11a =，32212S S a a -=+，220q q ∴--= 解得2q =或1q =-，0q >，2q ∴=，∴12n n a -=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）设等差数列{}n b 的公差为435d a b b =+，5462a b b =+，∴113431316b d b d +=⎧⎨+=⎩ 解得111b d =⎧⎨=⎩，n b n ∴=．∴12,n n n a b n -==⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）（2）由（1）可知：12,n n n a b n -==，012111221222(1)22n n n n n T a b a b a b n n --∴=++⋯+=⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯，∴12121222(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）∴1211212222221212nn nn n n n T n n n ---=+++⋯+-⨯=-⨯=--⨯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯-（9分）∴(1)21n n T n =-+．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）方案二：选条件①：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ．11a =，32212S S a a -=+，220q q ∴--=． 解得2q =或1q =-， 0q >，2q ∴=，∴12n n a -=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）设等差数列{}n b 的公差为d ，435a b b =+，135141344()235b d a a b b b d +=⎧+=+∴⎨+=⎩ 解得111b d =⎧⎨=⎩，n b n ∴=．∴12,n n n a b n -==．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）（2）同方案一（2）． 方案三：选条件①（1）设等比数列{}n a 的公比为q ．11a =，32212S S a a -=+，220q q ∴--=，解得2q =或1q =-， 0q >，2q ∴=，∴12n n a -=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）设等差数列{}n b 的公差为d ． 435a b b =+，4235S a b =，∴11340b d b d +=⎧⎨-=⎩解得111b d =⎧⎨=⎩，n b n ∴=，∴12,n n n a b n -==．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）（2）同方案一（2）．13．在①4S 是2a 与21a 的等差中项；①7a 是33S 与22a 的等比中项；①数列2{}n a 的前5项和为65这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题． 已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前n 项和为n S ，_______． （1）求n a ；（2）设3()4n n n b a =；是否存在k N ∈，使得278k b >？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．解：（1）{}n a 是公差d 为2的等差数列，若选①4S 是2a 与21a 的等差中项，可得42212S a a =+， 即有112(46)221a d a d +=+，即为16918a d ==，解得13a =； 若①7a 是33S 与22a 的等比中项，可得2732213a S a =，即21111(62)(332)(212)3a a a +⨯=+⨯+⨯， 即2111(12)(2)(42)a a a +=++， 解得13a =；若选①数列2{}n a 的前5项和为65，可得241065a a a ++⋯+=， 即1115(13579)52555065a d a d a +++++=+=+=， 解得13a =；综上可得32(1)21n a n n =+-=+，*n N ∈；（2）33()(21)()44n n n n b a n ==+，由1133523(23)()(21)()()4444n n nn n n b b n n ++--=+-+=，当1n =，2时，可得10n n b b +->，即321b b b >>；当3n ，*n N ∈时，可得10n n b b +-<，即345b b b >>>⋯， 则n b 的最大项为318964b =， 由18927648<， 可得不存在k N ∈，使得278k b >． 14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，____． 给出下列三个条件：条件①：数列{}n a 为等比数列，数列1{}n S a +也为等比数列；条件①：点(n S ，1)n a +在直线1y x =+上；条件①：1121222n n n n a a a na -+++⋯+=．试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答： （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21231log log n n n b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：选条件①： （1）数列1{}n S a +为等比数列，2211131()()()S a S a S a ∴+=++，即2121123(2)2(2)a a a a a a +=++．设等比数列{}n a 的公比为q ，22(2)2(2)q q q ∴+=++，解得2q =或0q =（舍)，1112n n n a a q --∴==；（2）由（1）知：12n n a -=，212311111()log log (2)22n n n b a a n n n n ++∴===-++，111111111111311323[()()()()()]()2132435111221242(1)(2)n n T n n n n n n n n +∴=-+-+-+⋯+-+-=--=--++++++． 选条件①：（1）点(n S ，1)n a +在直线1y x =+，11n n a S +∴=+，又11(2,)n n a S n n N -=+∈，两式相减有：12n n a a +=，又11a =，2112a S =+=，也适合上式，故数列{}n a 为首项是1，公比是2的等比数列．1112n n n a a q --∴==；（2）由（1）知：12n n a -=，212311111()log log (2)22n n n b a a n n n n ++∴===-++，111111111111311323[()()()()()]()2132435111221242(1)(2)n n T n n n n n n n n +∴=-+-+-+⋯+-+-=--=--++++++． 选条件①：（1）1121222n n n n a a a na -+++⋯+=，12121222(1)(2)n n n n a a a n a n ---∴++⋯+=-． 由两式相减可得：122(1)n n n a na n a +=--，即12n n a a +=，又11a =，2112a S =+=，也适合上式，故数列{}n a 为首项是1，公比是2的等比数列． 1112n n n a a q --∴==；（2）由（1）知：12n n a -=，212311111()log log (2)22n n n b a a n n n n ++∴===-++，111111111111311323[()()()()()]()2132435111221242(1)(2)n n T n n n n n n n n +∴=-+-+-+⋯+-+-=--=--++++++．15．在①2351a a a b +=-，①2372a a a =，①315S =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，若 _______，数列{}n b 满足11b =，213b =，11n n n n a b nb b ++=-．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：若选①：（1）11n n n n a b nb b ++=-，∴当1n =时，1212a b b b =-，11b =，213b =，12a ∴=．又2351a a a b +=-，3d ∴=，31n a n ∴=-；（2）由（1）知：11(31)n n n n b nb b ++-=-，即13n n nb nb +=，113n n b b +∴=．又11b =，所以数列{}n b 是以1为首项，以13为公比的等比数列，11()3n n b -∴=，11()33(13)1213nn n T --==--． 若选①：（1）11n n n n a b nb b ++=-，∴当1n =时，1212a b b b =-，11b =，213b =，12a ∴=．又2372a a a =，(2)(22)2(26)d d d ∴++=+，0d >，3d ∴=， 31n a n ∴=-；（2）由（1）知：11(31)n n n n b nb b ++-=-，即13n n nb nb +=，113n n b b +∴=．又11b =，所以数列{}n b 是以1为首项，以13为公比的等比数列，11()3n n b -∴=，11()33(13)1213nn n T --==--． 若选①：（1）11n n n n a b nb b ++=-，∴当1n =时，1212a b b b =-，11b =，213b =，12a ∴=．又315S =，3d ∴=， 31n a n ∴=-；（2）由（1）知：11(31)n n n n b nb b ++-=-，即13n n nb nb +=，113n n b b +∴=．又11b =，所以数列{}n b 是以1为首项，以13为公比的等比数列，11()3n n b -∴=，11()33(13)1213nn n T --==--． 16．在①53A B =，①122114a a B -=，①535B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，等差数列{}n b 的公差为2d ．设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设132n a n n n c b b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 解：方案一：选条件① （1）由题意，可知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，且23A =，53A B =，∴112351096a d a d d +=⎧⎨+=+⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，11(1)n a n n ∴=+-=，*n N ∈， 321(1)21n b n n =+-=+，*n N ∈，综上所述，可得n a n =，21n b n =+． （2）由（1）知， 331122()(21)(23)22123n n n c n n n n =+=+-++++，12n n S c c c ∴=++⋯+2311311311[2()][2()][2()]23525722123n n n =+-++-+⋯++-++23111111(222)[()()()]235572123n n n =++⋯++-+-+⋯+-++2(12)311()122323n n -=+--+13(2)223n n n ++=-+． 方案二：选条件① （1）由题意，可知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，且21221143,A a aB =-=，∴111114232a a d d ⎪⎨-=⎪+⨯+⎩， 整理，得()()1111231,4621a d a a a d d d d +==⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩解得，11(1)n a n n ∴=+-=，*n N ∈， 321(1)21n b n n =+-=+，*n N ∈，综上所述，可得n a n =，21n b n =+． （2）同方案一第（2）小题解题过程． 方案三：选条件① （1）由题意，可知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，且23A =，535B =， ∴11231,541352352a d a d d +=⎧=⎧⎪⎨⎨⨯=⨯+⨯=⎩⎪⎩解得， 11(1)n a n n ∴=+-=，*n N ∈， 321(1)21n b n n =+-=+，*n N ∈，综上所述，可得n a n =，21n b n =+． （2）同方案一第（2）小题解题过程．17．①535a b b =+，①387S =①91012a a b b -=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，________，16a b =，若对于任意*n N ∈都有21n n T b =-，且(n k S S k 为常数），求正整数k 的值． 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．解：由21n n T b =-，可得1n =时，11b =；2n 时，1121n n T b --=-，相减可得122n n n b b b -=-，1n n -由此可得{}n b 为首项为1，公比为2的等比数列，故12n n b -=， ①当535a b b =+，1632a b ==，541620a =+=， 设{}n a 的公差为d ，则20324d =+，解得3d =-，所以323(1)353n a n n =--=-．因为当11n 时，0n a >，当11n >时，0n a <， 所以当11n =时，n S 取得最大值， 因此正整数k 的值为11．①当387S =时，132a =，2387a =，设{}n a 的公差为d ，则3(32)87d +=，解得3d =-，所以323(1)353n a n n =--=-．因为当11n 时，0n a >，当11n >时，0n a <， 所以当11n =时，n S 取得最大值， 因此正整数k 的值为11．①当91012a a b b -=+时，132a =，9103a a -=， 设{}n a 的公差为d ，则3d =-，所以323(1)353n a n n =--=-．因为当11n 时，0n a >，当11n >时，0n a <， 所以当11n =时，n S 取得最大值， 因此正整数k 的值为11．18．在①1，n a ，n S 成等差数列，①递增等比数列{}n a 中的项2a ，4a 是方程21090x x -+=的两根，①11a =，120n n a a ++=这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由．已知数列{}n a 和等差数列{}n b 满足 _______，且14b a =，223b a a =-，是否存在(320,)k k k N <<∈使得k T 是数列{}n a 中的项？(n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n b 的前n 项和）。