河北省邯郸市馆陶县第一中学高中数学 2.1平面向量的实际背景及其基本概念限时训练 新人教A版必修4

2.1 平面向量的实际背景及基本概念【课标要求】1．了解向量的实际背景，从位移、力等物理背景中抽象出向量． 2．理解向量的概念，相等向量的概念及向量的几何表示． 3．掌握向量的概念及共线向量的概念． 【核心扫描】1．向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示．(重点) 2．共线向量的概念．(难点)3．向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线的联系．(易混点)新知导学1．向量既有 ，又有 的量叫向量．温馨提示：本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． 2．向量的几何表示 (1)有向线段带有 的线段，叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度．线段AB 的长度叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|. (2)向量的几何表示法以A 为 ，以B 为 的有向线段记作AB →. 如果有向线段AB →表示一个向量，通常我们就说向量AB →. (3)用字母表示向量通常在印刷时，用黑体小写字母a ，b ，c …表示向量，在手写时用带箭头的小写字母a →， b →， c →，…表示向量．也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如AB →，CD →. 温馨提示：向量可以用有向线段表示，但不能说向量是有向线段． 3．与向量有关的概念(1)零向量：长度为 的向量叫做零向量，记作0. (2)单位向量：长度为 的向量叫做单位向量． (3)相等向量： 且 的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共线向量)：方向 的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．①记法：向量a 平行于b ，记作a ∥b .②规定：零向量与 平行．温馨提示：注意0与0的含义与书写的区别：前者表示实数零，后者表示零向量．互动探究探究点1 两个向量能比较大小吗？探究点2 向量与有向线段有什么区别？探究点3 向量AB →与向量BA →是相等向量吗？题型探究类型一 向量的概念 【例1】 给出下列命题： (1)若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； (2)向量的模一定是正数；(3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (4)向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是________．[规律方法] 要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键． 【活学活用1】 下列命题中，正确的是( )． A ．a ，b 是两个单位向量，则a 与b 相等 B ．若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量 C ．两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同 D ．共线的单位向量必是相等向量 类型二 向量的表示【例2】 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°； (2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°.[规律方法] 在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．【活学活用2】 中国象棋中规定：马走“日”字．下图是中国象棋的半个棋盘，若马在A 处，可跳到A 1处，也可跳到A 2处，用向量AA 1→或AA 2→表示马走了“一步”．试在图中画出马在B ，C 处走了“一步”的所有情况．类型三 相等向量与共线向量【例3】 如图，四边形ABCD 与ABDE 是平行四边形．(1)找出与向量AB →共线的向量；(2)找出与向量AB →相等的向量．[规律方法] 判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．【活学活用3】 如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 都是正方形．(1)写出与AO →相等的向量； (2)写出与AO →共线的向量； (3)向量AO →与CO →是否相等？易错辨析 对零向量理解错误【示例】 下列说法中错误的是( )． A ．零向量是没有方向的 B ．零向量的长度为0 C ．零向量与任一向量平行D ．零向量的方向是任意的[错解] B 或D[错因分析] 误认为零向量没有方向．另外，没有理解零向量的长度的意义． [正解] A[防范措施] 零向量是规定了模为0的向量，其方向没有规定，是任意的，可以看作和任一向量平行，但并不是没有方向.课堂达标1．下列各量中不是向量的是( ) A ．浮力B ．风速C ．位移D ．密度2．下列说法正确的是( )A ．共线向量是在同一直线上的向量B ．平行向量方向相同C ．共线向量一定相等D ．平行向量一定是共线向量3．若对任意向量b ，均有a ∥b ，则a 为________．4．设O 是正方形ABCD 的中心，则①AO →＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD →共线；④AO →＝BO →.其中，所有正确的序号为________．5．如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)与a 的模相等的向量有多少个？(2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与a 共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．课堂小结1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．参考答案新知导学1．向量 大小 方向 2．向量的几何表示(1)方向 (2)起点 终点 3．与向量有关的概念(1) 0 (2) 1 (3)长度相等 方向相同 (4)相同或相反 任一向量互动探究探究点1 【提示】向量有方向、大小双重性，而方向是不能比较大小的，因此向量不能比较大小．探究点2 【提示】 向量只有大小和方向两个要素，与起点无关．只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．探究点3 【提示】不是．向量AB →与向量BA →的大小相等，但是方向相反，所以这两个向量不是相等向量.题型探究类型一 向量的概念 【例1】 (3)【解析】(1)错误．由|a |＝|b |仅说明a 与b 模相等，但不能说明它们方向的关系． (2)错误.0的模|0|＝0.(3)正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．(4)错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →、CD →必须在同一直线上． 【活学活用1】 B【解析】若a 与b 中有一个是零向量，则a 与b 是平行向量． 类型二 向量的表示【例2】 【解】(1)由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC →如图所示．【活学活用2】 【解】根据规则，画出符合要求的所有向量． 马在B 处走了“一步”的情况如图(1)所示； 马在C 处走了“一步”的情况如图(2)所示．类型三 相等向量与共线向量【例3】 【解】(1)依据图形可知DC →，ED →，EC →与AB →方向相同，BA →，CD →，DE →，CE →与AB →方向相反，所以与向量AB →共线的向量为BA →，CD →，DC →，ED →，DE →，EC →，CE →.(2)由四边形ABCD 与ABDE 是平行四边形，知DC →，ED →与AB →长度相等且方向相同， 所以与向量AB →相等的向量为DC →和ED →.【活学活用3】 【解】(1)与AO →相等的向量为：OC →、BF →、ED →. (2)与AO →共线的向量为：OA →、OC →、CO →、AC →、CA →、ED →、DE →、BF →、FB →. (3)向量AO →与CO →不相等，因为AO →与CO →的方向相反，所以它们不相等．课堂达标1．D【解析】由向量的定义和题中物理量的含义知，浮力、风速及位移均有大小和方向，而密度只有大小而没有方向，故选D. 2．D【解析】考查平行向量与共线向量的关系，平行向量就是共线向量． 3．0【解析】0与任意向量平行，故a ＝0. 4．①②③【解析】正方形的对角线互相平分，∴AO →＝OC →，①正确；AO →与AC →的方向相同，所以AO →∥AC →，②正确；AB →与CD →的方向相反，所以AB →与CD →共线，③正确；尽管|AO →|＝|BO →|，然而AO →与BO →的方向不相同，所以AO →≠BO →，④不正确． 5．【解】(1)与a 的模相等的向量有23个．(2)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →. (3)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(4)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.。

2.1平面向量的实际背景及基本概念（第一课时）龙宝中学李连代教学目标：知识与技能：了解向量的物理背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示，掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。

过程与方法：经历类比方法的学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。

情感、态度与价值观：通过本节的学习，让学生感受向量的概念，方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣。

重点：理解并掌握向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量的概念、会表示向量。

难点：向量的相关概念，平行向量学法指导：探究式和类比式学习教学设计：章头图解释重庆实施畅通重庆以来，万州的高速的得到突飞猛进的发展，这是渝宜高速路上的一张图片，加入你开着一辆小车行驶在这条路上，看到路标，你想到了什么？T:这就是本章所研究的——平面向量，平面向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有着深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具，就像图中的高速路一样，是解决几何问题的高速路，本章主要研究5个方面的内容，下面我们听着音乐带着问题进入今天的课堂。

展示课题——2.1平面向量的实际背景及基本概念学案（第一课时）一、向量概念的形成1、让学生感受引入概念的必要性引子：新华网东京3月30日电：日本部署“爱国者－3”型拦截导弹拟拦截可能落入日本境内的朝鲜发射物。

不考虑其他因素，导弹击中拦截目标取决于导弹运行的路程还是位移？意图：向量概念不是凭空产生的．用这一简单、直观例子中的“位移不仅有大小，而且有方向”，让学生感受“既有大小又有方向的量”的客观存在，自然引出学习内容．S:位移T;路程和位移的区别？（根据物理知识学生容易回答）T：问题1：你能否再举出一些既有方向，又有大小的量？意图：激活学生的已有相关经验．（学生能容易地举出重力、浮力、作用力等物理中学过的量．）概念抽象需要典型丰富的实例．让学生举例可以观察到他们对概念属性的领悟，形成对概念的初步认识，为进一步抽象概括做准备．T：由同学们的举例可见，现实中有的量只有大小没有方向，有的量既有大小又有方向．类似于从一支笔、一本书、一棵树……中抽象出只有大小的数量1，数学中对位移、力……这些既有大小又有方向的量进行抽象，就形成一种新的量——向量（板书概念）．二、向量的表示问题: 数学中，定义概念后，通常要用符号来表示它．怎样把你所举例子中的向量表示出来呢？（例如：由同学们举的例子中发现，力是向量，请同学们画出一个竖直向上，大小为20N的力怎样表示？）意图：让学生先尝试向量的表示方法，自觉接受用带有箭头的线段（有向线段）来表示向量．（让学生在黑板上画．学生画了用带有箭头的线段表示力，开始时没有对带箭头的线段加注起点、终点的字母，也没有给出大小，教师引导学生不断完善，最终形成了用带箭头的线段表示向量．有的学生还标出了单位长，以比较两个向量的大小．）T：看来大家都认为用带箭头的线段表示向量比较好．在初中，常用AB，CD，a，b，c等表示线段．现在，我们能否用AB，CD，a，b，c表示向量？S:学生自然想到字母上面加箭头表示向量T: 展示课件加深对向量的几何表示和代数表示，强调有向线段的三要素：起点、大小、方向。

2.1 平面向量的实际背景及基本概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．2．向量的几何表示(1)带有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．(2)向量可以用有向线段表示．向量AB →的大小，也就是向量 AB →的长度(或称模)，记作|AB→|．向量也可以用字母a ，b ，c ，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：AB →，CD →.思考：(1)向量可以比较大小吗？(2)有向线段就是向量吗？[提示] (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(2)有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量．3．向量的有关概念123n )A ．都相等B ．都共线C ．都不共线D ．模都相等D [因为多边形为正多边形，所以边长相等，所以各边对应向量的模都相等．]2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．其中可以看成是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [①②③不是向量，④⑤是向量．]3．已知|AB →|＝1，|AC →|＝2，若∠ABC ＝90°，则|BC →|＝ ．3 [三角形ABC 是以B 为直角的直角三角形，所以|BC →|＝22－12＝ 3.]4．如图，四边形ABCD 是平行四边形，则图中相等的向量是 (填序号)． (1)AD →与BC →；(2)OB →与OD →；(3)AC →与BD →；(4)AO →与OC →.(1)(4) [由平行四边形的性质和相等向量的定义可知：AD →＝BC →，OB →≠OD →， AC →≠BD →，AO →＝OC →.]向量的有关概念 【例1】 判断下列命题是否正确，请说明理由：(1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；(2)若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a |＝|b |，若a 与b 的方向相同，则a ＝b ；(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；(5)向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反．思路点拨：解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素．[解] (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a |＝|b |只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．(3)正确．因为|a |＝|b |，且a 与b 同向，由两向量相等的条件，可得a ＝b .(4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．(5)不正确．因为向量a 与向量b 若有一个是零向量，则其方向不定．1．理解零向量和单位向量应注意的问题(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．(2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．2．共线向量与平行向量(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别；(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同；(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．提醒：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度．1．给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .②若单位向量的起点相同，则终点相同．③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；④向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是 ．③ [①错误．若b ＝0，则①不成立；②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →，CD→必须在同一直线上．]向量的表示及应用写出 个向量．(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： ①OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°；②AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东；③BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°.(1)12 [可以写出12个向量，分别是：AB →，AC →，AD →，BC →，BD →，CD →，BA →，CA →，DA →，CB →，DB →，DC →.](2)[解] ①由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →如图所示．②由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →如图所示．③由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC→如图所示．1．向量的两种表示方法(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a ，b ，c 表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB →，CD →，EF →等．2．两种向量表示方法的作用(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算．2．某人从A 点出发向东走了5米到达B 点，然后改变方向按东北方向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求AD →的模．[解] (1)作出向量AB →，BC →，CD →，如图所示：(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米．△ABD 是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋102＝55(米)，所以|AD →|＝55米.相等向量和共线向量 1．两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？提示：不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关．2．若AB →∥CD →，则从直线AB 与直线CD 的关系和AB →与CD →的方向关系两个方面考虑有哪些情况？提示：分四种情况(1)直线AB 和直线CD 重合，AB →与CD →同向；(2)直线AB 和直线CD 重合，AB →与CD →反向；(3)直线AB ∥直线CD ，AB →与CD →同向；(4)直线AB ∥直线CD ，AB →与CD →反向．【例3】 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a 共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．思路点拨：根据相等向量与共线向量的概念寻找所求向量．[解] (1)与a 的长度相等、方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →.(2)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(3)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，FA →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.1．本例条件不变，写出与向量BC →相等的向量．[解] 相等向量是指长度相等、方向相同的向量，所以图中与BC →相等的向量有AO →，OD →，FE →.2．本例条件不变，写出与向量BC →长度相等的共线向量．[解] 与BC →长度相等的共线向量有：CB →，OD →，DO →，AO →，OA →，FE →，EF →.3．在本例中，若|a |＝1，则正六边形的边长如何？[解] 由正六边形中，每边与中心连接成的三角形均为正三角形，∴△FOA 为等边三角形，所以边长AF ＝|a |＝1.相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．1．向量是近代数学重要的和基本的数学概念之一，有深刻的几何和物理背景，它是沟通代数、几何、三角函数的一种工具，注意向量与数量的区别与联系．2．从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的．向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．4．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.1．在下列判断中，正确的是( )①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线．A ．①②③B ．②③④C ．①②⑤D ．①③⑤D [由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③⑤正确，④不正确，故选D.]2．汽车以120 km/h 的速度向西走了2 h ，摩托车以45 km/h 的速度向东北方向走了2 h ，则下列命题中正确的是( )A ．汽车的速度大于摩托车的速度B ．汽车的位移大于摩托车的位移C ．汽车走的路程大于摩托车走的路程D ．以上都不对C [速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较大小．]3．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是 ．④⑥ [由向量的相关概念可知④⑥正确．]4．如图所示菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点，∠DAB ＝60°，分别以A ，B ，C ，D ，O 中的不同两点为始点与终点的向量中，(1)写出与DA →平行的向量；(2)写出与DA →模相等的向量．[解] 由题图可知，(1)与DA →平行的向量有：AD →，BC →，CB →；(2)与DA →模相等的向量有：AD →，BC →，CB →，AB →，BA →，DC →，CD →，BD →，DB →.。

河北省邯郸市馆陶县第一中学高中数学 2.1平面向量的实际背景及其基本概念导学案新人教A版必修4学习目标1. 通过对物理中有关概念的分析，了解向量的实际背景，进而深刻理解向量的概念；2. 掌握向量的几何表示；理解向量的模、零向量与单位向量的概念；3. 在理解向量和平行向量的基础上掌握相等向量和共线向量的概念.教学重点向量、零向量、单位向量、平行向量的概念.教学难点向量及相关概念的理解，零向量、单位向量、平行向量的判断.学习过程一、课前准备（预习教材P74-P76）复习引入：有一类量如长度、质量、面积、体积等，只有没有，这类量我们称之为数量. 而力是常见的物理量，重力、浮力、弹力等都是既有又有的量；那这样的量叫什么呢？二、新课导学※探索新知探究一：向量的概念：数学中，我们把这种既有，又有的量叫做向量.问题1：数量和向量的异同点有哪些？探究二：向量的表示法问题2：向量有几种表示方法？（1）人们常用来表示向量，线段按一定比例画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向.（2）以A 为起点，B 为终点的有向线段记作 ，线段AB 的长度称为模，记作AB u u u r .有向线段包含三个要素： .（3）有向线段也可用字母如a r ， ，L 表示.探究三：几个特殊的向量零向量：长度为 的向量；单位向量：长度等于 的向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量. 若向量a r ，b r 平行，记作：//a b r r .因为任一组平行向量都可以移动到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.※ 典型例题例1、在如图所示的坐标纸中，用直尺和圆规画出下列向量：⑴3OA =u u u r ，点A 在点O 的正北方向；⑵22OB =u u u r ，点B 在点O 南偏东60o 方向.例2、教材P75例1学法指导：请将教材上的空白处填好。

先用刻度尺量出图上距离，再算出实际距离。

人教版必修四2。

1平面向量的实际背景及基本概念(讲）教材分析：向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来,向量的理论和方法,又成为解决物理学和工程技术的重要工具,向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。

向量不同于数量，它是一种新的量,关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。

因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。

之后，又将向量与坐标联系起来,把关于向量的代数运算与数量（向量的坐标)的代数运算联系起来,这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法。

本章共分五大节。

第一节是“平面向量的实际背景及基本概念”，内容包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。

本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。

在“向量的物理背景与概念"中介绍向量的定义；在“向量的几何表示"中,主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量；在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量,共线向量定义等。

教学目标：1、了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2、通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别。

3、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。

教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量。

河北省邯郸市馆陶县第一中学高中数学 2.2.1向量的加法运算及其几何意义导学案 新人教A 版必修4 学习目标1. 通过实际例子，掌握向量的加法运算，并理解向量加法的平行四边形法则和三角形法则及其几何意义。

2. 灵活运用平行四边形法则和三角形法则进行向量求和运算。

教学重点 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点 三角形不等式 学习过程 一、课前准备（预习教材P80—P84）1、复习：向量的定义以及有关概念。

2、引入：周三大清洁时，两个同学抬着回收箱去卖废品，请同学们做出回收箱的受力图，并思考拉力和重力满足什么条件便可将回收箱抬起. 二、新课导学※ 探索新知问题1：在复习中回收箱所受的重力与两个同学拉力的合力有什么关系呢？1、向量加法的三角形法则（首尾相接，首尾连）： 已知非零向量,a b ，在平面内任取一点A ，作==,AB a BC b ，则向量__________叫做a 与b 的和，记作___________，即+a b =_______=________。

这个法则就叫做向量求和的三角形法则。

O A B aaa b b b2、向量加法的平行四边形法则：以同起点O两个向量a，b（→==,OA a OB b）为邻边作四边形OACB，则以O为起点对角线___________，就是a与b的和。

这个法则就叫做两个向量求和的平行四边形法则。

问题2：想想两个法则有没有共同的地方？※典型例题例1、已知向量a、b，求作向量a b+.思考：当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？小结1：在三角形法则中“首尾相接”，是第二个向量的与第一个向量的重合.小结2：（1）两相向量的和仍是；（2）当向量a与b不共线时，a+b的方向，且|a+b| |a|+|b|；（3）当a与b同向时，则a+b、a、b，且|a+b| |a|+|b|，当a与b反向时，若|a|>|b|，则a+b的方向与a相同，且|a+b| |a|-|b|；若|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，且|a+b| |b|-|a|.例2、一架飞机向北飞行400km ，然后改变方向向东飞行300km ，求飞机飞行的路程及两次位移的合成.例3、教材P83例2.三、小结反思※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1、化简++=++=+++=++=__________________________________________________MB BA AC MN NP PM OA OC BO CO AB AC BA ++=+++=++=__________________________________________________MB BA AC MN NP PM OA OC BO CO AB AC BA 2、若C 是线段A B 的中点，则+AC BC =（ ）A 、AB B 、BAC 、OD 、0 3、已知△ABC 中，D 是BC 的中点，则++32AB BC CA =（ ）A 、ADB 、3ABC 、OD 、2AD4、已知正方形ABCD 的边长为1，===,, AB a AC c BC b ，则++||a b c 为（ ）A ．0B ．3C ．2D ．225、在矩形ABCD ，==||4,||2AB BC ，则向量++AB AD AC 的长度等于（ ）A ．25B ．45C ．12D ．6课后作业1、已知|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围？2、若E ，F ，M ，N 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：EF →＝NM →.。

河北省邯郸市馆陶县第一中学高中数学 2.4.1平面向量的数量积的物理背景及含义导学案新人教A版必修41. 在物理中功的概念的基础上，理解向量数量积的概念及几何意义；2. 掌握数量积的运算式及变式；掌握并能熟练运用数量积的运算律；掌握模长公式.一、课前准备（预习教材P103—P105）复习：如右图，如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W= ，其中 是F与s的夹角.二、新课导学※探索新知探究：平面向量数量积的含义问题1：功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？与均为非零向量：2、平面向量数量积的性质：设a b①a b ⊥⇔___________②当a b 与同向时，a b ⋅＝________ 当a b 与反向时，a b ⋅＝_______ _， 特别地，a ⋅a =______或a =___________。

③a b ⋅≤___________ _④cos =θ_______ ____ ⑤.b a ⋅的几何意义：_____________ ________。

问题3：运算律和运算紧密相连，引进向量数量积后，自然要看一看它满足怎么样的运算律，同学们能推导向量数量积的下列运算律吗？ 3、向量的数量积满足下列运算律：已知向量a b c ，，与实数λ。

①a b ⋅＝___________；②()a b λ⋅＝___________；③()a+b c ⋅＝___________。

问题4：我们知道，对任意,a b R ∈，恒有()2222a b a ab b +=++，()()22a b a b a b +-=-对任意向量,a b ，是否也有下面类似的结论？ ⑴()=+2 ； ⑵()()=-⋅+ . ※ 典型例题例1、已知6a =，8b =，且a 与b 的夹角120=θ，求a b ⋅.变式1：若6a =，8b =，且//a b ，则a b ⋅是多少？变式4：若6a =4=，且()()7232-=-⋅+b a b a ，求与的夹角。

教材：人教 A 版高中数学必修 4课题： 2.1 平面向量的实际背景及基本概念一. 教学内容解析向量是近代数学重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用. 向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小 , 又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景.向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题，因此它在整个高中数学中起到联系数形、跨越学科、承前启后的作用.本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用 . 本节概念课，更为重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，分析问题，解决问题的能力.本节课主要内容包括向量的物理背景与概念，向量的表示，相等向量与共线向量 .二.教学目标设置1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念，掌握向量的几何表示；3.经历平面向量及其相关概念的形成过程，初步体会学习新概念的基本思路．三. 学生学情分析从学生已经学习过的知识中看，他们已经掌握了数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、单位长度、 0 和 1 的特殊性 . 还有学生在物理学科中已经积累了足够多的向量模型，并且在三角函数线部分内容的学习中（必修 4 任意角的三角函数、三角函数的图象与性质）已经接触到有向线段的概念，从而为本节课的学习提供了知识准备 .尝试让学生从实际背景中抽象并概括出向量的概念.学生在学习本节课内容过程中，对撇去实际背景后理解向量的概念，一时难以适应；向量的几何表示是向量概念的形象化（几何化），它是学生认识过程中的又一次飞跃，后继的向量运算，以及用向量方法解决几何问题，都是以此为基础 . 学生的易混点是向量的几何表示（有向线段）与平面向量，学生的易错点是，在解决向量问题时，不能从向量的两个要素全面考虑，顾此失彼.四．教学策略分析本节课的难点是平面向量的概念，共线向量的概念，向量的几何表示的生成过程，突破策略主要是：1.创设问题情境，让学生从初步感悟生活中既有大小，又有方向的量开始，逐步增加信息，以期达到上升到理性认识所需的信息量；2.学生适度模仿抽象数量概念的过程，从同类事物中抽象概括得到向量的概念；3.学生比较向量和数量的区别，进一步理解向量概念；4.引导类比思考，让学生将已学习过的直线（段）平行和共线与共线向量这一新知之间建立联系；5.类比数的表示引出向量几何表示的必要性，从特殊向量（浮力）的有向线段表示推广到一般向量的几何表示，用直观的有向线段表示抽象的向量.在本节课的教学中，主要以问题引领过程，通过教师引导、学生提问、师生交流、学生合作举例，让学生自主建构向量和共线向量的概念．这样做可使学生经历新概念产生的过程，从总体上认识新知识与原有知识的联系，在过程中感受学习新概念、解决新问题的方法．五．重点与难点1.重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示；2.难点：向量的概念和共线向量的概念，向量的几何表示的生成过程．六．教学方法与教学手段问题引导教学法，启发式教学，小组合作学习．七．教学过程1.创设情境建构概念【引例】学生在教来的一条祝福短信：“刘老您好，祝您教快！我考到了一个离合肥直距离800 公里的大城市大学，目前在了，您猜我在哪个城市？”[意 ] 通学生熟悉的情境，引学生思考.只有大小，没有方向，并不能出具体的位置，从而指出位移是一个既有大小, 又有方向的量 .[教学片段 ]：百度地的搜索，教定位地上离合肥800 公里的大城市有天津、西安、厦三个 .你能否确定是哪个城市呢？生：不能 .：什么不能确定呢？生：因只知道从合肥到个城市的位移的大小，并不知道方向.：么位移不要求有大小，而且有方向.【 1】你能否再出一些既有大小，又有方向的量？[意 ] 激活学生的已有相关.一步直演示，加深印象. 再追有没有只有大小，没有方向的量的，通两相比，突向量的两大要素.[教学片段 ]生：重力、浮力、力 ...：生活中有没有只有大小，没有方向的量？生：年、身高、面、体等.：回学数的概念，我可以从一支笔、一棵、一本⋯⋯ 中抽象出只有大小的数量“ 1”.似地，我可以力、位移⋯⋯些既有大小 , 又有方向的量行抽象，形成一种新的量 .：数学中，我把种既有大小，又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小，没有方向的量称数量 .向量在物理学中常称矢量，数量在物理学中常称量 .【本章介】向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何的有力工具 .向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可化向量的加（减）法、数乘向量、数量运算（运算律），从而把形的基本性化向量的运算体系 .向量是沟通代数、几何与三角函数[设计意图 ] 本节课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用，有必要对本节内容在数学学习研究中的地位做一个简要的介绍.回答平面向量这一章“是什么”、“为什么学”、“学什么”、“怎么学”，激发学生学习兴趣，明确学习任务，指明向量的研究对象及研究方法.(板书： 2.1 平面向量的实际背景及基本概念.)(板书：既有大小，又有方向的量叫做向量.)2.几何表示理解概念【问题 2】实数在数轴上是如何表示的？[设计意图 ] 类比实数的点表示，寻求向量的几何表示.[教学片段 ]生：可以用数轴上的点表示.师：同学们都知道实数常常可以用数轴上的一个点来表示，而且不同的点表示不同的实数 .请同学们在数轴上画出表示实数0, 1 的点，再画出表示实数 a 的点 .生：在稿纸上画出数轴，并标注点的位置（如图 1 所示） .图 1师：实数 a 是一个数量，数轴上表示它的点是一个点A，一个点也是几何图形，这里实际上就是用几何图形（数轴上的一个点）来表示了实数a，数量可以这样，那么向量呢？我们能不能也找到一种几何图形来表示平面向量呢？【师生互动】两回顾、一探究：回顾浮力在物理中如何表示，回顾实数中绝对值符号的使用，探究向量的几何表示和字母表示以及向量的模的字母表示.[设计意图 ]用“带箭头的线段” 表示浮力，是初中物理已学习过的内容，是学生的“最近发展区” ，将这一内容再次进行条理化、系统化，是强化、固化新知的“停泊点”，让旧知自然地“生长”出新知 .在实数的两边画上两条平行、等长的竖线段表示“表示实数的点到原点的距离”，这是学生已经熟练掌握的绝对值的几何意义，将这一符号表示方法类比到向量的模的字母表示上是自然的.[教学片段 ]师：如图 2，有两个木块浮在水面上，一个木块所受到的重力大小是10N，另一个木块所受到的重力的大小为20N.同学们试在练习纸中画出两个物体所受到的浮力，练习纸中已经给出了表示10N 的线段长度 .生：作图，并表示浮力 (如图 2 所示 ).10N图2师：表示这两个木块所受浮力大小的线段哪个更长？生：表示浮力大小为20N 的线段更长 .师：一般地，可以按一定比例画出一条线段，它的长短表示向量的大小.（板书设计：画一条线段，标注线段AB，也可记作线段 a.）师：我们用线段的长短表示了浮力的大小，那浮力的方向同学们又是如何表示的呢？生：用箭头表示的 .师：（板书设计：在已画的线段AB 中，以 A 为起点， B 为终点画一个箭头 .）一般地，可以用箭头表示向量的方向，这个图形就是一条线段上带了一个箭头，有线段有箭头，如果给这个图形起一个形象点的名字，你会叫它什么？生：有向线段 .师：带有方向的线段叫做有向线段.师：线段我们可以用AB、a 来表示，有向线段该如何用字母表示呢？师：以 A 为起点， B 为终点的有向线段记作AB ，或者用a, b,表示（板书： AB ，a,b ,.）师：这样我们就用有向线段的长度表示向量的长度，用有向线段的方向表示向量的方向，那我们就可以用有向线段表示向量了.师： AB 表示向量的方向是由 A 指向 B 的，那向量的大小又该如何用字母来表示呢？师：如图 1，在数轴上 A 点表示实数 a，那 A 点到原点的距离该如何表示呢？生： | a | .师：也就是在实数 a 的两边画两条平行、等长的竖线段（在实数中称为绝对值）来表示 A 点到原点的距离 .师：类似地，在AB 两边画两条平行、等长的竖线段，来表示向量AB 的大小，也就是向量 AB 的长度（或称模），记作| AB |.师：这里需要强调，书上的向量用的是印刷体的黑体字母 a 表示向量，没有箭头 . 但是我们书写的字母不是印刷体，在表示向量时，必须打上箭头.【问题 3】在你画的实数轴上，哪些实数比较特殊？[设计意图 ] 挖掘结果背后的思维过程，引导学生把向量集合与实数集类比.通过 0,1 这两个特殊实数类比出零向量和单位向量的概念.[教学片段 ]师：现在我们已经建立起了一个向量的集合，就像实数可以构成实数集一样.如图 1，在实数轴上有两个特殊的实数，请问是哪两个？生： 0,1.师：类似地，在向量的集合中有两个向量很特殊，一个是长度为零的向量，叫做零向量，一个是长度等于 1 个单位的向量，叫做单位向量 .（板书：长度为零的向量，叫做零向量，记作 0 .长度等于 1 个单位的向量叫做单位向量 .）师：向量是既有大小 ,又有方向的量 .研究向量需要将代数形式和几何形式相结合 .对实数的研究经验告诉我们，引进一个新的数，就要研究它的运算及运算律 .可以预见，引进向量就要研究向量的运算及其相应的运算律或运算法则 .所以对于向量还有很多内容等待我们去研究 .3.探究实例引出关系【探究互动】在坐标纸中画出如图 3 所示的向量 .(1)图中哪些向量是单位向量？(2)AB,CD, EF 三个向量的方向有何关系？(3)AB,CD 在大小和方向上有何关系？图 3[设计意图 ] 巩固单位向量的概念；该探究将平行向量、相等向量、共线向量的概念的形成过程串在了一起，并让学生参与这些概念的形成过程，使得概念成为在教师引导下，学生观察、归纳、概括之后的自然产物.[教学片段 ]师：坐标纸中哪些向量是单位向量？生： AB, CD, MN , GH .师：为什么它们是单位向量？生：因为它们的模都等于 1 个单位 .师：单位向量和它们的方向有关系吗？生：没有 .师：坐标纸中哪些向量不是单位向量？生： EF.师：刚才我们从向量大小的角度找到了单位向量，向量不仅有大小，还有方向，同学们想一想 AB, CD , EF 这三个向量的方向有何关系？生： AB 与 CD 方向相同 , AB 与 EF 方向相反 ,CD 与 EF 方向相反 .师： AB, CD , EF 中有零向量吗？生：没有 .师： AB, CD , EF 所在的线段之间的位置关系是什么？生：平行 .师：一般地，方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量，记作 AB / / CD .（板书：方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量,记作 AB / /CD .）师：大家想不想知道零向量的方向？生：想 .师：我们规定，零向量与任一向量平行，即对于任意的向量 a ，都有0 / /a .（板书： 0 / /a .)师： AB, CD 在大小和方向上有何关系？生：长度相等，方向相同.师：也就是 AB 和 CD 在向量的两个基本要素上完全相同，数学上将长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作 AB CD .图4（板书：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量,记作AB CD .）师：如图 4，OK与AB之间什么关系？那OK与CD之间什么关系？生：都是相等的 .师：既然相等，那就意味着可以用同一条有向线段OK 来表示两个相等的非零向量 AB 和 CD ，并且与有向线段的起点无关.换句话说，就是可以将两个相等的非零向量 AB 和 CD 在平面内都平移到向量 OK 的位置，平移后的向量与原来的向量相等 . 类似地，也可以作向量OP与向量EF相等. 此时，我们将一组平行向量 AB,CD, EF 都平移到了同一条直线上 . 因此，平行向量也叫做共线向量 .（板书：共线向量平行向量 .）【自主探究】讨论有向线段与向量之间的区别与联系？[设计意图 ]在上一个探究题目学生分组讨论，通过小组合作学习，体会向量可以在平面内可以任意平移，与表示向量的有向线段的起点无关.[教学片段 ]生：我们小组讨论的结果是有向线段有三要素，即起点、长度、方向, 而向量完全由它的方向和模决定，与起点无关 .4.辨析概念例题互动【例 1】判断下面的说法是否正确.(1)向量的模的取值范围是 (0, ) .（×）(2)若 a 与b都是单位向量，则| a | | b |.（√）(3) 若 a / /b ，则a与 b 的方向相同 .（×）(4)物理学中的作用力与反作用力是一对相等向量. （×）(5)若 | AB | 0 ，则AB BA .（×）[设计意图 ] 本节内容概念较多，容易混淆，这5个概念辨析题的设置基本上涵盖了本节中所有的新概念以及易错点，在辨析过程中加强学生对概念的理解与记忆 .[解法点评 ]紧扣向量的相关概念，同时关注零向量.【例 2】如图5,设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图5中与OA、OB、OC相等的向量 .[设计意图 ] 让学生在寻找相等向量的过程中，进一步体会相等向量的概念. [教学片段 ] 学生板书：OA CB DO; OB DC EO; OC AB ED FO.9【变式】如图 6，设O是正六边形ABCDEF的中心，请在图中作出与OA 共线的向量 .[设计意图 ] 学生分小组讨论，通过学生合作学习，进一步体会共线向量的概念以及共线向量和相等向量的区别.[解法点评 ]怎么作？在图中找与线段OA 平行或共线的线段，可以先找与之平行的线段，再找与之共线的线段；从对比与向量OA相等和共线向量的结果看，可以得出怎样的结论？相等必共线，共线未必相等.[教学片段 ]学生讨论 .5.课堂小结作业布置【课堂小结】有哪位同学能够回答一下本节课我们都学习了哪些新的概念？平面向量的概念表示法模平行向量（共线向量）零向量单位向量相等向量[设计意图 ] 由学生总结概括本节课所学习的主要内容，教师加以提炼.并总结学习新概念的基本思路，即：从同类具体事下定义符号认识考查例中抽象出共特殊特殊表示同本质特征对象关系【作业布置】(1)习题 2.1：第 1 题，第 3 题.(2)思考题：平行向量与平行线段的区别与联系？(3)阅读课本 78 页《向量及向量符号的由来》 .10。