必修1 第五章 三角函数 5.4节 (1)

《第五章三角函数》《5.4.1正弦函数、余弦函数的图像》教案【教材分析】由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就完全清楚了，因此本节课利用单位圆中的三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图．【教学目标与核心素养】课程目标1.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.2.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.数学学科素养1.数学抽象：正弦曲线与余弦曲线的概念；2.逻辑推理：正弦曲线与余弦曲线的联系；3.直观想象：正弦函数余弦函数的图像；4.数学运算：五点作图；5.数学建模：通过正弦、余弦图象图像，解决不等式问题及零点问题，这正是数形结合思想方法的应用.【教学重难点】重点：正弦函数、余弦函数的图象．难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系．【教学方法】：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

【教学过程】一、情景导入遇到一个新的函数，非常自然地是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等．我们也很自然地想知道y＝sinx与y＝cosx的图象是怎样的呢？回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么？是如何画出它们图象的(列表描点法：列表、描点、连线)？请学生尝试画出当x∈[0,2π]时，y＝sinx 的图象．要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本196-199页，思考并完成以下问题1.任意角的正弦函数在单位圆中是怎样定义的？2．怎样作出正弦函数y=sinx的图像？3.怎样作出余弦函数y＝cosx的图像？4.正弦曲线与余弦曲线的区别与联系.要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

第五章三角函数1. 任意角{（按逆时针方向旋转形成的角）（不作任何旋转形成的角）（按顺时针方向旋转形成的角）2象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为;（用弧度制表示）第二象限角的集合为;（用弧度制表示）第三象限角的集合为;（用弧度制表示）第四象限角的集合为;（用弧度制表示）3. 使角α的顶点与原点重合，始边与X轴正半轴重合，终边落在第几象限，则称角α为第几象限角，终边落在坐标轴上的角α被称为轴线角。

终边在x轴非负半轴的角的集合;（用弧度制表示）终边在x轴非正半轴的角的集合;（用弧度制表示）终边在y轴非负半轴的角的集合;（用弧度制表示）终边在y轴非正半轴的角的集合;（用弧度制表示）终边在x轴的角的集合;（用弧度制表示）终边在y轴的角的集合;（用弧度制表示）终边在坐标轴的角的集合;（用弧度制表示）4.终边相同的角：与角α终边相同的角的集合为;（用弧度制表示）．5.弧度制：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6.角度与弧度互化公式：2π=()°π=()°1=()°1°=()7.扇形公式半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，则角α的弧度数的绝对值是．8三角函数的概念设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P的坐标是(),x y，它与原点的距离是rr=(r、x、y之间的关系)则sinα=;cosα=;tanα=9.三角函数在各象限的符号;10.计算特殊角的三角函数值：11同角三角函数的基本关系：（1）平方关系： ; （2）商数关系： ;12诱导公式口诀： ;(1)sin (2kπ+α)= ; cos (2kπ+α)= ; tan (2kπ+α)= ; (2)sin (π+α)= ; cos (π+α)= ; tan (π+α)= ; (3)sin (−α)= ; cos (−α)= ; tan (−α)= ;(4)sin (π−α)= ; cos (π−α)= ; tan (π−α)= ;(5)sin (π2−α)= ; cos (π2−α)= ; tan (π2−α)= ;(6)sin (π2+α)= ; cos (π2+α)= ; tan (π2+α)= ;14两角和差的正弦、余弦、正切公式：(1)sin(α+β)=;(2)sin(α−β)=;(3)cos(α+β)=;(4)cos(α−β)=;(5)tan(α+β)=;(6)tan(α−β)=;15二倍角公式：(1)sin 2α= ;(2)cos2α= = = ; (3)tan2α= ; 16半角公式：(1)sin 2α= ; sin 2α2= ;(2)cos 2α= ; cos 2α2= ;(3)tan 2α= ; tan 2α2= ;17辅助角公式：asinx +bcosx = ;18函数b x A y ++=)sin(ϕω的图象与性质： 图象变换： 先平移后伸缩函数sin y x =的图象 得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象 得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象 得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 先伸缩后平移函数sin y x =的图象 得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象 得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象 得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 五点法画图函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①定义域为 ；②值域为 ；③单调性：根据函数x y sin =的单调区间求函数的单调区间；④奇偶性：当Z k k ∈=,πϕ时，函数()sin y x ωϕ=A +是 ；当Z k k ∈+=,2ππϕ时，函数()sin y x ωϕ=A +是 ；⑤周期： ；⑥对称性：根据函数x y sin =的对称性研究函数的对称性17函数B x A y ++=)sin(ϕω的应用①振幅： ；②周期： ；③频率： ；④相位： ；⑤初相： ．⑥最值：函数B x A y ++=)sin(ϕω，当 时，取得最小值为min y ；当 时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<．。

【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第五章教案教学设计+课后练习及答案5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案教材分析：学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.教学目标与核心素养：课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.教学重难点：重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程：一、情景导入初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）①（2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( )A ．230°12′B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k ·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k ·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}． 题型三 任意角终边位置的确定和表示例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B (2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．所以α2是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．2．nα或所在象限的判断方法：的范围；(1)用不等式表示出角nα或αn所在象限．(2)用旋转的观点确定角nα或αn跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.5.1.2《任意角和弧度制---弧度制》教案教材分析：前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养：课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点：重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

高一必修一数学第五章的公式主要包括三角函数的定义和性质、三角恒等变换以及解三角形等部分。

1. 三角函数的定义和性质：* 任意角三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P（x，y），它与原点的距离为r（r > 0），那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α= y / r, cos α= x / r, tan α= y / x。

* 同角三角函数基本关系式：sin^2 α+ cos^2 α= 1，tan α= sin α/ cos α（cos α≠0）。

* 诱导公式：根据角的关系，将α的三角函数值转化为其他角的形式。

常用的诱导公式包括：sin(π+ α) = -sin α，cos(π+ α) = -cos α，tan(π+ α) = tan α等。

2. 三角恒等变换：* 两角和与差的正弦、余弦和正切公式：sin(α±β) = sin αcos β±cos αsin β，cos(α±β) = cos αcos β±sin αsin β，tan(α±β) = tan α±tan β/ 1 ±tan αtan β。

* 二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin 2α= 2sin αcos α，cos 2α= cos^2 α- sin^2 α，tan 2α= 2tan α/ (1 - tan^2 α)。

3. 解三角形：* 余弦定理：cos A = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)，cos B = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)，cos C = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)。

* 正弦定理：sin A / a = sin B / b = sin C / c，其中a、b、c 分别为三角形的三边长。

这些公式是解决三角函数问题的基础，通过掌握这些公式，可以更好地理解和应用三角函数的性质和变换。

2020年高中新教材目录数学必修第一册（A版）第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念 (2)1.2集合间的基本关系 (7)1.3集合的基本运算 (10)阅读与思考集合中元素的个数 (15)1.4充分条件与必要条件 (17)阅读与思考集合命题与充分条件、必要条件..241.5全称量词与存在量词 (26)小结 (33)复习参考题1 (34)第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质.......... 3 72.2基本不等式.................... 4 42.3二次函数与一元二次方程、不等式5 0小结............................. 5 6复习参考题2 (57)第三章函数的概念与性质阅读与思考函数概念的发展历程 (75)3.2函数的基本性质 (76)信息技术应用用计算机绘制函数图象87 3.3幂函数 (89)探究与发现探究函数y = x + 1/x的图象与性质 (92)3.4函数的应用（一） (93)文献阅读与数学写作函数的形成与发展97小结 (99)复习参考题3 (100)第四章指数函数与对数函数4.1指数 (104)4.2指数函数 (111)阅读与思考放射性物质的衰减 (115)信息技术应用探究指数函数的性质1204.3对数 (122)阅读与思考对数的发明 (128)4.4对数函数 (130)探究与发现互为反函数的两个函数图象间的关系 (135)阅读与思考中外历史上的方程求解147 文献阅读与数学写作对数概念的形成与发展 (157)小结 (158)复习参考题4 (159)数学建模建立函数模型解决实际问题 (162)第五章三角函数5.1任意角和弧度制 (168)5.2三角函数的概念 (177)阅读与思考三角学与天文学 (186)5.3诱导公式 (188)5.4三角函数的图象与性质 (196)探究与发现函数y=Asin（3x + 5）及函数y = Acos（3x +牛）的周期 (203)探究与发现利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质.• (208)5.5三角恒等变换 (215)信息技术应用利用信息技术制作三角函数表 (224)5.6函数丫二人$岫乂 +牛） (231)阅读与思考振幅、周期、频率、相位 (250)小结 (251)复习参考题5 (253)部分中英文词汇索引 (258)数学必修第一册（B版）第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法 (3)1.1.2集合的基本关系 (9)1.1.3集合的基本运算 (14)1.2常用逻辑用语1.2.1命题与量词 (22)1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定..271.2.3充分条件、必要条件 (30)本章小结 (37)第二章等式与不等式2.1等式2.1.1等式的性质与方程的解集 (43)2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系 (47)2.1.3方程组的解集 (51)2.2不等式2.2.1不等式及其性质 (58)2.2.2不等式的解集 (64)2.2.3一元二次不等式的解法 (68)2.2.4均值不等式及其应用 (72)本章小结 (79)第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.1函数及其表示方法 (85)3.1.2函数的单调性 (95)3.1.3函数的奇偶性 (104)3.2函数与方程、不等式之间的关系 (112)3.3函数的应用（一） (121)3.4数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点..125本章小结 (131)本书拓展阅读目录罗素悖论与第三次数学危机 (11)数学中的猜想 (23)自主招生中的充分条件与必要条件 (33)《九章算术》中的代数成就简介 (52)函数定义的演变过程简介 (86)物理中的变化率 (99)付出与收获的关系 (101)二分法在搜索中的应用 (118)数学必修第二册（A版）第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念 (2)阅读与思考向量及向量符号的由来 (6)6.2平面向量的运算 (7)6.3平面向量基本定理及坐标表示 (25)6.4平面向量的应用 (38)阅读与思考海伦和秦九韶 (55)小结 (57)复习参考题6 (59)数学探究用向量法研究三角形的性质 (63)第七章复数7.1复数的概念 (68)7.2复数的四则运算 (75)阅读与思考代数基本定理 (81)7.3*复数的三角表示 (83)探究与发现1的n次方根 (91)小结 (93)复习参考题7 (94)第八章立体几何初步8.1基本立体图形 (97)8.2立体图形的直观图 (107)阅读与思考画法几何与蒙日 (112)8.3简单几何体的表面积与体积 (114)探究与发现祖暅原理与柱体、锥体的体积 (121)8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 (124)8.5空间直线、平面的平行 (133)8.6空间直线、平面的垂直 (146)阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法 (165)文献阅读与数学写作*几何学的发展166小结 (167)复习参考题8 (169)第九章统计9.1随机抽样 (173)阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应 (185)信息技术应用统计软件的应用 (189)9.2用样本估计总体 (192)阅读与思考统计学在军事中的应用----二战时德国坦克总量的估计问题 (208)阅读与思考大数据 (217)9.3统计案例公司员工的肥胖情况调查分析 (218)小结 (220)复习参考题9 (222)第十章概率10.1随机事件与概率 (226)10.2事件的相互独立性 (246)10.3频率与概率 (251)阅读与思考孟德尔遗传规律 (259)小结 (261)复习参考题10 (263)部分中英文词汇索引 (265)数学必修第二册（B版）第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算 (3)4.1.2指数函数的性质与图像 (9)4.2对数与对数函数4.2.1对数运算 (15)4.2.2对数运算法则 (20)4.2.3对数函数的性质与图像 (24)4.3指数函数与对数函数的关系 (30)4.4幂函数 (33)4.5增长速度的比较 (38)4.6函数的应用（二） (42)4.7数学建模活动：生长规律的描述 (46)4.8结 (50)第五章统计与概率5.1统计5.1.1数据的收集 (55)5.1.2数据的数字特征 (61)5.1.3数据的直观表示 (68)5.1.4用样本估计总体 (77)5.2数学探究活动：由编号样本估计总数及其模拟 (90)5.3概率5.3.1样本空间与事件 (93)5.3.2事件之间的关系与运算 (98)5.3.3古典概型 (102)5.3.4频率与概率 (108)5.3.5随机事件的独立性 (114)5.4统计与概率的应用 (119)本章小结 (126)第六章平面向量初步6.1平面向量及其线性运算6.1.1向量的概念 (133)6.1.2向量的加法 (137)6.1.3向量的减法 (142)6.1.4数乘向量 (145)6.1.5向量的线性运算 (147)6.2向量基本定理与向量的坐标6.2.1向量基本定理 (152)6.2.2直线上向量的坐标及其运算 (157)6.2.3平面向量的坐标及其运算 (160)6.3平面向量线性运算的应用 (168)本章小结 (172)本书拓展阅读目录对数发明起源的简介 (17)素数个数与对数 (18)指数运算与生活哲学 (40)我国古代统计工作简介 (57)用样本估计总体的失败案例 (82)“黄金7 2小时”中的概率 (96)向量的推广与应用 (163)数学必修第三册（B版）第七章三角函数7.1任意角的概念与弧度制7.1.1角的推广 (3)7.1.2弧度制及其与角度制的换算 (8)7.2任意角的三角函数7.2.1三角函数的定义 (14)7.2.2单位圆与三角函数线 (18)7.2.3同角三角函数的基本关系式 (22)7.2.4诱导公式 (27)7.3三角函数的性质与图像7.3.1正弦函数的性质与图像 (36)7.3.2正弦型函数的性质与图像 (43)7.3.3余弦函数的性质与图像 (50)7.3.4正切函数的性质与图像 (54)7.3.5已知三角函数值求角 (57)7.4数学建模活动：周期现象的描述...•• (64)本章小结 (66)第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1向量的数量积8.1.1向量数量积的概念 (71)8.1.2向量数量积的运算律 (76)8.1.3向量数量积的坐标运算 (81)8.2三角恒等变换8.2.1两角和与差的余弦 (87)8.2.2两角和与差的正弦、正切 (90)8.2.3倍角公式 (96)8.2.4三角恒等变换的应用 (99)本章小结 (107)本书拓展阅读目录更多三角函数及关系式 (25)向量的数量积与三角形的面积 (84)正弦型函数与信号处理 (103)数学必修第四册（B版）第九章解三角形9.1正弦定理与余弦定理9.1.1正弦定理 (3)9.1.2余弦定理89.2正弦定理与余弦定理的应用 (13)9.3数学探究活动：得到不可达两点之间的距离 (17)本章小结 (19)第十章复数10.1复数及其几何意义10.1.1复数的概念 (25)10.1.2复数的几何意义 (29)10.2复数的运算10.2.1复数的加法与减法 (33)10.2.2复数的乘法与除法 (36)10.3复数的三角形式及其运算 (43)本章小结 (50)第十一章立体几何初步11.1空间几何体11.1.1空间几何体与斜二测画法 (55)11.1.2构成空间几何体的基本元素 (60)11.1.3多面体与棱柱 (66)11.1.4棱锥与棱台 (72)11.1.5旋转体 (76)11.1.6祖暅原理与几何体的体积 (82)11.2平面的基本事实与推论 (91)11.3空间中的平行关系11.3.1平行直线与异面直线 (96)11.3.2直线与平面平行 (100)11.3.3平面与平面平行 (103)11.4空间中的垂直关系11.4.1直线与平面垂直 (110)11.4.2平面与平面垂直 (116)本章小结 (123)本书拓展阅读目录秦九韶的“三斜求积术” (11)利用复数产生分形图 (40)四元数简介 (47)我国古代数学中球的体积公式 (86)生物学必修1分子与细胞第一章走进细胞第1节细胞是生命活动的基本单位 (2)第2节细胞的多样性和统一性 (9)探究•实践使用高倍显微镜观察^种细胞 (9)生物科技进展人工合成生命的探索 (12)第二章组成细胞的分子第1节细胞中的元素和化合物 (16)探究•实践检测生物组织中的糖类、脂肪和蛋白质 (18)第2节细胞中的无机物 (20)第3节细胞中的糖类和脂质 (23)第4节蛋白质是生命活动的主要承担者 (28)生物科学史话世界上第一个人工合成蛋白质的诞生 (33)第5节核酸是遗传信息的携带者 (34)第三章细胞的基本结构第1节细胞膜的结构和功能 (40)第2节细胞器之间的分工合作 (47)探究•实践用高倍显微镜观察叶绿体和细胞质的流动 (50)第3节细胞核的结构和功能 (54)探究•实践尝试制作真核细胞的三维结构模型 (57)生物科技进展世界上首例体细胞克隆猴的诞生 (58)第四章细胞的物质和输入输出第1节被动运输 (62)探究•实践探究植物细胞的吸水和失水 (64)生物科学史话人类对通道蛋白的探索历程 (68)第2节主动运输与胞吞、胞吐 (69)第五章细胞的能量供应和利用第1节降低化学反应活化能的酶 (76)一酶的作用和本质 (76)探究•实践比较过氧化氢在不同条件下的分解 (77)二酶的特性 (81)探究•实践淀粉酶对淀粉和蔗糖的水解作用 (81)探究•实践影响酶活性的条件 (82)科学・技术・社会酶为生活添姿彩..85第2节细胞的能量“货币” ATP (86)第3节细胞呼吸的原理和应用 (90)探究•实践探究酵母菌细胞呼吸的方式..90第4节光合作用与能量转化 (97)一捕获光能的色素和结构 (97)探究•实践绿叶中色素的提取和分离 (98)二光合作用的原理和应用 (102)探究•实践探究环境因素对光合作用强度的影响 (105)第六章细胞的生命历程第1节细胞的增殖 (110)探究•实践观察根尖分生区组织细胞的有丝分裂 (116)第2节细胞的分化 (118)科学・技术・社会骨髓移植和中华骨髓库 (122)第3节细胞的衰老和死亡 (123)生物科技进展秀丽隐杆线虫与细胞凋亡研究 (127)与生物学有关的职业病理科医师 (128)附录生物学实验室的基本安全规则 (131)生物学必修2遗传与进化第一章遗传因子的发现第1节孟德尔的豌豆杂交实验（一） (2)探究•实践性状分离比的模拟实验 (6)第2节孟德尔的豌豆杂交（二） (9)与生物学有关的职业育种工作者 (14)第二章基因和染色体的关系第1节减数分裂和受精作用一减数分裂 (18)探究•实践观察蝗虫精母细胞减数分裂装片 (24)二受精作用 (25)探究•实践建立减数分裂中染色体变化的模型 (25)科学・技术・社会人类辅助生殖技术..28在染色体上 (29)科学家的故事染色体遗传理论的奠基人摩尔根 (33)第3节伴性遗传 (34)第三章基因的本质第1节DNA是主要的遗传物质 (42)生物科技进展生物信息学及其应用..47第2节DNA的结构 (48)探究•实践制作DNA双螺旋结构模型51科学・技术・社会DNA指纹技术 (52)第四章基因的表达指导蛋白质的合成 (64)生物科学史话遗传密码的破译 (70)第2节基因表达与性状的关系 (71)科学・技术・社会基因工程的应用 (76)第五章基因突变及其它变化第1节基因突变和基因重组 (80)生物科技进展基因组编辑 (85)科学・技术・社会精准医疗 (86)第2节染色体变异 (87)探究•实践低温诱导植物细胞染色体数目的变化 (89)第3节人类遗传病 (92)探究•实践调查人群中的遗传病 (93)与生物学有关的职业遗传咨询师.96第六章生物的进化第1节生物有共同祖先的证据 (100)科学・技术・社会理想的“地质时钟”105与生物学有关的职业化石标本的制作人员 (105)第2节自然选择与适应的形成 (106)第3节种群基因组成的变化与物种的形成..110物理必修第一册第一章运动的描述1.质点参考系 (11)2.时间位移 (14)3.位置变化快慢的描述一一速度 (19)4.速度变化快慢的描述一一加速度 (25)第二章匀变速直线运动的研究1.实验：探究小车速度随时间变化的规律..342.匀变速直线运动的速度与时间的关系 (37)3.匀变速直线运动的位移与时间的关系 (40)4.自由落体运动 (45)第三章相互作用力1.重力与弹力 (55)2.摩擦力 (60)3.牛顿第三定律 (64)4.力的合成和分解 (68)5.共点力的平衡 (72)第四章运动和力的关系1.牛顿第一定律 (79)2.实验：探究加速度与力、质量的关系 (83)3.牛顿第二定律 (88)4.力学单位制 (93)5.牛顿运动定律的应用 (97)6.超重和失重 (101)课题研究 (108)学生实验 (112)索引 (116)化学必修第一册第一章物质及其变化第一节物质的分类及转化 (6)第二节离子反应 (13)第三节氧化还原反应 (20)整理与提升 (27)第二章海水中的重要元素——钠和氯第一节钠及其化合物 (32)第二节氯及其化合物 (41)第三节物质的量 (49)整理与提升 (58)实验活动1配制一定物质的量浓度的溶液..61第三章铁金属材料第一节铁及其化合物 (64)第二节金属材料 (73)整理与提升.............. 整实验活动2铁及其化合物的性质 (84)第四章物质结构元素周期律 (84)第一节原子结构与元素周期表 (86)第二节元素周期律 (101)第三节化学键 (107)整理与提升 (111)实验活动3同周期、同主族元素性质的递变115附录I实验室突发事件的应对措施和常见废弃物的处理方法 (116)附录口一些化学品安全使用标识 (117)附录印名词索引 (119)附录V部分酸、碱和盐的溶解性表（室温）120附录V 一些常见元素中英文名称对照表..121附录VI相对原子质量表 (122)元素周期表地理必修第一册第一章宇宙中的地球第一节地球的宇宙环境 (2)第二节太阳对地球的影响 (8)第三节地球的历史 (14)第四节地球的圈层结构 (21)问题研究火星基地应该是什么样子.25第二章地球上的大气第一节大气的组成和垂直分层 (28)第二节大气受热过程和大气运动 (34)问题研究何时“蓝天”常在 (42)第三章地球上的水第一节水循环 (46)第二节海水的性质 (50)第三节海水的运动问题研究能否淡化海冰解决环渤海 (57)地区淡水短缺问题 (63)第四章地貌第一节常见地貌类型 (66)第二节地貌的观察 (76)问题研究如何提升我国西南喀斯特峰丛山地的经济发展水平 (79)第五章制备与土壤第一节植被 (82)第二节土壤 (88)问题研究如何让城市不再“看海” (96)第六章自然灾害第一节气象灾害 (100)第二节地质灾害 (106)第三节防灾减灾 (110)第四节地理信息技术在防灾减灾中的应用 (114)问题研究救灾物资储备库应该建在哪里 (120)附录一本书主要地理词汇中英文对照表122附录二本套书常用地图图例 (124)体育与健康必修全一册。

高中数学必修第一册第五章三角函数5.1、任意角和弧度制1.任意角（1）角的概念：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角，射线的起始位置叫做角的始边，终止位置叫做角的终边.按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果射线没有作任何旋转，则形成零角.在坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的终边与x轴的正半轴重合，则角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.（2）终边相同的角：所有与α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合{360}==⋅+∈S k,k Zββα（3）坐标轴上的角：2.弧度制（1）定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.（2）计算：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α弧度数的绝对值是=l rα其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定.注意：弧长公式: =l r α.扇形面积公式: 21122==S lr r α. （3）换算:360°＝2π180°＝π1001745180π≈=. 1801=()5730≈.π说明：①1800＝π是所有换算的关键，如ππ====,18018030456644；②πmn形式的角当n ＝2，3，4，6时都是特殊角.任意角和弧度制检测1、下列角中终边与330°相同的角是（ ）A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630° 2、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ） A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k ∈Z ｝ 3、下列命题是真命题的是（ ） Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不同D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360|αα={}Z k k ∈+⋅=,90180| αα4、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C=C C ．A ⊂C D ．A=B=C5、若α是第一象限的角，则-2α是( )A.第一象限的角B.第一或第四象限的角C.第二或第三象限的角D.第二或第四象限的角6、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）A ．2B ．1sin 2C ．1sin 2D ．2sin7、中心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则它的内切圆半径为（ ）A ．2B ．3C ．1D ．238、将下列各角从弧度化成角度（1）36πrad （2）2.1 rad5.2、任意角的三角函数1.任意角三角函数的定义（1）定义：设P (x , y )是角α终边上任意一点,=>OP r 0,则有sin α=y rcos α=x r tan α=y x（2）三角函数值的符号：口诀：一全二正弦，三切四余弦.注：一二三四指象限，提到的函数为正值，未提到的为负值. 2.同角三角函数的基本关系sin 2α+cos 2α=1sin tan cos αα=α三角函数的概念检测1. 设α角属于第二象限，且2cos2cos αα-=，则2α角属于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 给出下列各函数值：①)1000sin(0-；②)2200cos(0-；③)10tan(-；④917tancos 107sinπππ.其中符号为负的有（ ）A. ①B. ②C. ③D. ④ 3.02120sin 等于（ ）A.23±B. 23C. 23-D. 214. 已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（ ）A.43-B. 34-C. 43D. 345．若θ∈（5π4 ，3π2 ），则1－2sin θcos θ 等于A.cos θ－sin θB.sin θ＋cos θC.sin θ－cos θD.－cos θ－sin θ5.3、三角函数的诱导公式1.诱导公式（k 属于整数集z ）sin(2)sin cos(2)cos tan(2)tan +=+=+=k k k πααπααπααsin()cos 2cos()sin 2+=+=-πααπαα口诀2：函数名改变，符号看象限.诱导公式 检测1．已知3tan 2α=-，α为第二象限角． （1）求3sin()cos()tan()22tan()sin()παπαπααππα--+-----的值；（2）求21sin 1sin1sin 1sin cos 1tan αααααα+-+--++的值．2．已知α为第三象限角，()3sin()cos()tan()22tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=----． （1）化简()fα；（2）若31cos()25πα-=，求()f α的值．5.4、三角函数的图象与性质1.正、余弦函数的图象2.正、余弦函数的性质（2）最值①y =sin x ：当22=+x k ππ时，取得最大值1，当322=+x k ππ时，取得最小值-1. ②y =cos x ：当x =2kπ时，取得最大值1，当x =2kπ+π时，取得最小值-1.（3）对称性①y =sin x ：对称轴：2=+x k ππ，对称中心：(kπ , 0).②y =cos x ：对称轴：x = kπ，对称中心：(,0)2+k ππ.3.正切函数的图象与性质 （1）图象 如右图. （2）性质 定义域：.2≠+x k ππ值域：R. 奇偶性：奇函数 周期性：最小正周期为π单调性：在(,)22-+k k ππππ上是增函数.三角函数的图像与性质 检测1 f(x)＝sin ()x ϕ+（0≤ϕ<π）是R 上的偶函数，则ϕ等于（ ）A.0 B ．4π C ．2πD ．π2.()sin(2)()()2f x x x R f x π=-∈例设，则是( )π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数C ．2π最小正周期为的奇函数D ．2π最小正周期为的偶函数3.sin(2)cos(2)66y x x ππ=++例函数的最小正周期为( )A.2π B ．4πC ．2πD ．π.sin(2)([0,])6y x x ππ=-∈例4函数的递增区间是( )A.[0,]3π B ．7[,]1212ππ C ．5[,]36ππ D ．5[,]6ππ.sin(2)3y x π=+例5函数图象的对称轴方程可能是( )A.6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=5.5三角恒等变换一、两角和与差的三角函数sin(α+β)＝sin α cos β+cos α sin β sin(α-β)＝sin α cos β-cos α sin β cos(α+β)＝cos α cos β-sin α sin β cos(α-β)＝cos α cos β+sin α sin βtan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+二、二倍角的三角函数sin2α＝2sin α cos αcos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α22tan tan21tan ααα=-补充公式：三角恒等变换检测1.cos 225+tan240+sin(-300)=︒︒︒______.2.tan 20tan 40320tan 40︒+︒︒︒=_______.3. 已知tan 2x =-，则2222sin 3cos 3sin cos x xx x +-的值为_________.4. 已知34παβ+=，则(1tan )(1tan )αβ--=一一一一5.若3sin cos 0θθ-=，则21cos sin 22θθ+的值是___________.5.6、y=Asin(ωx + φ)图象与性质 1.图象（1）. 由x y sin =的图象得到)sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的图象注意：定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。

5.2三角函数的概念5.2.1三角函数的概念学习目标1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.3.会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦、余弦、正切.4.掌握公式并会应用．知识点一 任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，α∈R ，它的终边OP 与单位圆相交于点P (x ，y )，点P 的纵坐标y 叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y ；点P 的横坐标x 叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x ；把点P 的纵坐标与横坐标的比值yx 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x ≠0)．正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，分别记为： 正弦函数y ＝sin x ，x ∈R ； 余弦函数y ＝cos x ，x ∈R ；正切函数y ＝tan x ，x ≠π2＋k π(k ∈Z )．思考 三角函数值的大小与点P 在角α终边上位置是否有关？答案 三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P 在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关． 知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示：2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知识点三 公式一 sin(α＋2k π)＝sin α， cos(α＋2k π)＝cos α， tan(α＋2k π)＝tan α， 其中k ∈Z .终边相同的角的同一三角函数的值相等．思考 同一三角函数值相等时，角是否一定相等或相差周角的整数倍？ 答案 不一定，如sin 30°＝sin 150°＝12.1．sin α表示sin 与α的乘积．( × )2．设角α终边上的点P (x ，y )，r ＝|OP |≠0，则sin α＝yr ，且y 越大，sin α的值越大．( × )3．终边相同的角的同一三角函数值相等．( √ ) 4．终边落在y 轴上的角的正切函数值为0.( × )一、任意角三角函数的定义及应用例1 (1)已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝⎛⎭⎫35，y (y <0)，则tan α＝ . 答案 －43解析 因为点P ⎝⎛⎭⎫35，y (y <0)在单位圆上，则925＋y 2＝1， 所以y ＝－45，所以tan α＝－43.(2)已知角α的终边落在射线y ＝2x (x ≥0)上，求sin α，cos α的值． 解 设射线y ＝2x (x ≥0)上任一点P (x 0，y 0)， 则|OP |＝r ＝x 20＋y 20，∵y 0＝2x 0，∴r ＝5x 0，∴sin α＝y 0r ＝255，cos α＝x 0r ＝55.延伸探究1．若将本例(1)中条件“α的终边与单位圆的交点为P ⎝⎛⎭⎫35，y (y <0)”改为“α的终边经过点P (－3，－4)”，求角α的正弦、余弦和正切值． 解 由已知可得|OP |＝(－3)2＋(－4)2＝5.如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P 0(x ，y )．分别过点P ，P 0作x 轴的垂线PM ，P 0M 0， 则|MP |＝4，|M 0P 0|＝－y ， |OM |＝3，|OM 0|＝－x ， △OMP ∽△OM 0P 0，于是，sin α＝y ＝y 1＝－|M 0P 0||OP 0|＝－|MP ||OP |＝－45；cos α＝x ＝x 1＝－|OM 0||OP 0|＝－|OM ||OP |＝－35；tan α＝y x ＝sin αcos α＝43.2．若将本例(2)中条件“α的终边落在射线y ＝2x (x ≥0)上”，换为“α的终边落在直线y ＝2x 上”，其结论又如何呢？解 (1)若α的终边在第一象限内， 设点P (a ,2a )(a >0)是其终边上任意一点， 因为r ＝|OP |＝a 2＋4a 2＝5a所以sin α＝y r ＝2a 5a ＝255，cos α＝x r ＝a 5a ＝55.(2)若α的终边在第三象限内，设点P (a ,2a )(a <0)是其终边上任意一点， 因为r ＝|OP |＝a 2＋4a 2＝－5a (a <0)，所以sin α＝y r ＝2a －5a ＝－255，cos α＝x r ＝a －5a ＝－55.反思感悟 利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． ②注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a ，b )(a ≠0)，则对应角的正弦值sin α＝b a 2＋b 2，余弦值cos α＝a a 2＋b2，正切值tan α＝ba .(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1 已知角α的终边过点P (－3a ,4a )(a ≠0)，则2sin α＋cos α＝ . 答案 1或－1 解析 因为r ＝(－3a )2＋(4a )2＝5|a |，①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限． sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35.所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.二、三角函数值符号的运用例2 (1)已知点P (tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限(2)下列各式：①sin(－100°)；②cos(－220°)；③tan(－10)；④cos π. 其中符号为负的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 (1)C (2)D解析 (1)因为点P 在第四象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧tan α>0，cos α<0，由此可判断角α的终边在第三象限．(2)－100°在第三象限，故sin(－100°)<0；－220°在第二象限，故cos(－220°)<0； －10∈⎝⎛⎭⎫－72π，－3π，在第二象限，故tan(－10)<0，cos π＝－1<0. 反思感悟 判断三角函数值正负的两个步骤 (1)定象限：确定角α所在的象限．(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． 跟踪训练2 已知点P (sin α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C三、公式一的应用 例3 计算下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5tan 4π. 解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12. 反思感悟 利用诱导公式一求解任意角的三角函数的步骤跟踪训练3 (1)cos 405°的值是( ) A.12 B ．－12 C.22 D ．－22 答案 C解析 cos 405°＝cos(45°＋360°)＝cos 45°＝22. (2)sin 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4＝ . 答案32＋1 解析 sin25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋8π＋tan ⎝⎛⎭⎫π4－4π＝sin π3＋tan π4＝32＋1.1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( )A.45B.35 C ．－35 D ．－45 答案 D2．sin(－315°)的值是( ) A ．－22 B ．－12 C.22 D.12答案 C解析 sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝22. 3．若sin θ·cos θ>0，则θ在( ) A ．第一或第四象限 B ．第一或第三象限 C ．第一或第二象限 D ．第二或第四象限答案 B解析 因为sin θ·cos θ>0，所以sin θ<0，cos θ<0或sin θ>0，cos θ>0， 所以θ在第一象限或第三象限． 4．tan ⎝⎛⎭⎫－17π3＝ . 答案3解析 tan ⎝⎛⎭⎫－17π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－6π＋π3＝tan π3＝ 3. 5．y ＝sin x ＋tan x 的定义域为 ．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z 解析 要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z .1．知识清单：(1)三角函数的定义及求法； (2)三角函数在各象限内的符号； (3)公式一．2．方法归纳：负角化为正角、大角化为小角的化归思想；角的终边位置上点的不确定引起的分类讨论思想．3．常见误区：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z .1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫－32，－12，则sin α的值为( ) A ．－32 B ．－12 C.32 D.12答案 B 2．若cos α＝－32，且角α的终边经过点P (x ,2)，则P 点的横坐标x 是( )A ．2 3B ．±2 3C ．－2 2D ．－2 3答案 D解析 因为cos α＝－32<0，所以x <0， 又r ＝x 2＋22，由题意得x x 2＋22＝－32， 所以x ＝－2 3.故选D.3．有下列命题，其中正确的个数是( )①终边相同的角的同名三角函数值相等；②同名三角函数值相等的角也相等；③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相等；④不相等的角，同名三角函数值也不相等．A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 对于①，由诱导公式一可得正确； 对于②，由sin 30°＝sin 150°＝12， 但30°≠150°，所以②错误；对于③，如α＝60°，β＝120°的终边不相同， 但sin 60°＝sin 120°＝32，所以③错误； 对于④，由③中的例子可知④错误．4．代数式sin(－330°)cos 390°的值为( )A ．－34 B.34 C ．－32 D.14答案 B解析 由诱导公式可得，sin(－330°)cos 390°＝sin 30°×cos 30° ＝12×32＝34，故选B. 5．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是( )A ．(2k π，2k π＋π)，k ∈ZB.⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k π＋π2，k π＋π，k ∈Z D ．[2k π，2k π＋π]，k ∈Z答案 B解析 由sin x ≥0，－cos x ≥0，得x 为第二象限角或y 轴正半轴上的角或x 轴负半轴上的角，所以2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z . 6．若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为 ．答案 －4 3解析 由三角函数定义知，tan 420°＝－a 4， 又tan 420°＝tan(360°＋60°)＝tan 60°＝3，∴－a 4＝3，∴a ＝－4 3. 7．点P (tan 2 019°，cos 2 019°)位于第 象限．答案 四解析 因为2 019°＝5×360°＋219°，所以2 019°与219°终边相同，是第三象限角，所以tan 2 019°>0，cos 2 019°<0，所以点P 位于第四象限．8．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是 ． 考点 三角函数值在各象限的符号题点 三角函数值在各象限的符号答案 (－2,3]解析 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，解得－2<a ≤3. 9．已知角α的终边过点P (12，a )，且tan α＝512，求sin α＋cos α的值．解 根据三角函数的定义，tan α＝a 12＝512，所以a ＝5，所以P (12,5)．这时r ＝13，所以sin α＝513，cos α＝1213，从而sin α＋cos α＝1713.10．化简下列各式：(1)sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4；(2)a 2sin 810°－b 2cos 900°＋2ab tan 1 125°.解 (1)原式＝sin 32π＋cos π2＋cos π＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.(2)原式＝a 2sin 90°－b 2cos 180°＋2ab tan 45°＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.11．如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是() A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 ∵P 点位于第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＋cos θ<0，sin θ·cos θ>0，则有sin θ<0且cos θ<0，∴角θ位于第三象限．12．某点从点(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32 B.⎝⎛⎭⎫－32，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12，－32 D.⎝⎛⎭⎫－32，12 答案 A 解析 由三角函数定义可得Q ⎝⎛⎭⎫cos 2π3，sin 2π3， cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32.13．如果cos x ＝|cos x |，那么角x 的取值范围是 ．答案 ⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z 解析 因为cos x ＝|cos x |，所以cos x ≥0，所以角x 的终边落在y 轴或其右侧，从而角x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z . 14．已知角α的顶点为坐标原点，以x 轴的非负半轴为始边，它的终边过点⎝⎛⎭⎫12，－32，则sin α＝ ，cos α＝ . 答案 －32 12 解析 由三角函数的定义得r ＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－322＝14＋34＝1， 则sin α＝y r ＝－32，cos α＝12.15．α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2所在象限是( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 因为α是第三象限角，所以2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z . 所以k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z . 所以α2在第二、四象限． 又因为⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2， 所以cos α2<0. 所以α2在第二象限． 16．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点是M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解 (1)由1|sin α|＝－1sin α，可知sin α<0， 由lg(cos α)有意义可知cos α>0，所以角α是第四象限角．(2)∵|OM |＝1，∴⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45. 由正弦函数的定义可知sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.。

高一数学知识模块——必修第一册第五章《三角函数》学习要点详解1.高考考点：（1）三角函数定义；（2）三角函数运算；（3）三角函数图像与性质。

2.知识模块学习要点基本概念部分：（1）弧度制，是一种度量制度。

而度量制度的核心内容是度量单位大小的规定，所以这里面第一个要理解的是“1弧度角”的规定。

下面的内容就是在弧度制下公式的简化（简化后的两个公式）以及弧度制与角度制的换算。

换算关系可以用前面的第一个公式求出半圆所对圆心角的弧度数推算出来。

（2）定义，新教材与老教材定义方式有所不同，由于以前的很多考察定义的题目还会遇到，所以两个定义方式最好都掌握。

定义必须要背记下来，在后面是学习中比较有用。

比如用定义可以解决:相限角三角函数值的符号判断，同角三角函数的关系以及诱导公式的推导与应用。

应用提示，看到“角的终边”的题目就关联定义。

基本运算部分：四组公式，重点掌握公式应用的方法。

（1）同角三角函数关系。

应用提示，公式应用方法一，对分式分子分母同除角的余弦实现正余弦化为正切，减少未知量个数，不是分式的将分母视为1用公式化为分式。

公式应用方法二，对含同角正余弦等式两边平方，配凑出第一个公式的形式，实现化简目的。

（2）诱导公式。

学法建议：用三角函数定义（新教材）推导课本上六组诱导公式3-5遍就能记住公式，再用诱导公式将0°～90°之间的五个特殊角推广到0°～360°之间的17个特殊角，重复三遍记住特殊角三角函数值。

应用提示，真正理解“奇变偶不变”的含义，解题时试着“把未知角用已知角表示”实现条件与结论的关联。

(3)两角和与差的三角函数。

推导3-5遍，并逆向默写公式3-5遍，熟记公式。

应用提示，公式应用一，角的拆分。

拆分的第一种情形有已知角和未知角，“把未知角用已知角表示”；拆分的第二种情形没有已知角，“将一次项拆分”。

公式应用二，辅助角公式，“同角齐次”优先考虑使用辅助角公式。

(名师选题)部编版高中数学必修一第五章三角函数知识汇总笔记单选题1、已知tanθ=2，则sin(π2+θ)−cos(π−θ)cosθ−sin(π−θ)=（ ）A ．2B ．-2C ．0D ．23 答案：B分析：根据tanθ=2，利用诱导公式和商数关系求解.因为tanθ=2，所以sin(π2+θ)−cos(π−θ)cosθ−sin(π−θ)，=2cosθcosθ−sinθ，=21−tanθ=−2，故选：B2、要得到函数y =sin (2x +π6)的图象，可以将函数y =cos (2x −π6)的图象（ ） A ．向右平移π12个单位长度B ．向左平移π12个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向左平移π6个单位长度答案：A分析：利用诱导公式将平移前的函数化简得到y =sin (2x +π3)，进而结合平移变换即可求出结果. 因为y =cos (2x −π6)=sin (2x −π6+π2)=sin (2x +π3)， 而y =sin [2(x −π12)+π3]，故将函数y =cos (2x −π6)的图象向右平移π12个单位长度即可，故选：A.3、已知sinαcosα=−16, π4<α<3π4，则sinα-cosα的值等于（ ）A ．2√33B ．−2√33C ．−√63D ．43 答案：A分析：结合同角三角函数的基本关系式，利用平方的方法求得正确结论.由于sinαcosα=−16, π4<α<3π4，所以sinα>0,cosα<0，故sinα−cosα>0，所以sinα−cosα=√(sinα−cosα)2=√1−2sinαcosα=√1+13=2√33. 故选：A4、若tanθ=2，则sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ=（ ） A ．25B ．−25C ．65D ．−65答案：A分析：由二倍角正弦公式和同角关系将sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ转化为含tanθ的表达式，由此可得其值. sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ=sinθ(sin 2θ+cos 2θ−sin2θ)sinθ−cosθ=sinθ(sinθ−cosθ)2sinθ−cosθ=sin 2θ−sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ−tanθtan 2θ+1=25． 故选：A.5、智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线y =Asin(ωx +φ)（其中A >0，ω>0，0≤φ<2π）的振幅为1，周期为2π，初相为π2，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ）A ．y =sinxB ．y =cosxC ．y =−sinxD ．y =−cosx答案：D分析：设噪声的声波曲线y =Asin(ωx +φ)，由题意求出A ，ω，φ，即可得到降噪芯片生成的声波曲线的解析式.由噪声的声波曲线y =Asin(ωx +φ)（其中A >0，ω>0，0≤φ<2π）的振幅为1，周期为2π，初相为π2，可得ω=2πT =2π2π=1，A =1，φ=π2，所以噪声的声波曲线的解析式为y =sin (x +π2)=cosx ，所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为y =−cosx .故选D ．6、已知扇形的圆心角为3π4，半径为4，则扇形的面积S 为（ ） A ．3πB ．4πC ．6πD ．2π答案：C解析：利用S =12αr 2即可求得结论.由扇形面积公式得：S =12×3π4×42=6π.故选：C.7、已知A 为三角形的内角，且sinA +cosA =713，则tanA =（ ）A ．−125B ．−512C ．512D ．125 答案：A分析：根据同角三角函数的基本关系，运用“弦化切”求解即可.∵sinA +cosA =713∴(sinA +cosA )2=(713)2 计算得2sinAcosA =−120169<0，所以sinA >0，cosA <0，从而可计算的(sinA −cosA )2=1−2sinAcosA =289169∴sinA −cosA =1713，∴sinA =1213，cosA =−513∴tanA =sinA cosA =−125,选项A 正确，选项BCD 错误.故选：A.8、要得到函数y =3sin(2x +π4)的图象，只需将函数y =3sin2x 的图象（ ）. A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π8个单位长度D ．向右平移π8个单位长度 答案：C分析：根据函数图象平移的性质：左加右减，并结合图象变化前后的解析式判断平移过程即可.将y =3sin2x 向左移动π8个单位长度有y =3sin2(x +π8)=3sin(2x +π4)， ∴只需将函数y =3sin2x 的图象向左平移π8个单位长度，即可得y =3sin(2x +π4)的图象.故选：C多选题9、若α∈[0，2π]，sin α3sin 4α3+cos α3cos 4α3=0，则α的值是（ ）A ．π6B ．π4C ．π2D ．3π2 答案：CD分析：由已知结合两角差的余弦公式进行化简求解即可．解：因为α∈[0，2π]，sin α3sin 4α3+cos α3cos 4α3=cos α＝0，则α =12π或α=3π2，故选：CD ．10、下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A ．sin(x +π3）B ．sin(π3−2x)C ．cos(2x +π6）D ．cos(5π6−2x) 答案：BC分析：首先利用周期确定ω的值，然后确定φ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果. 由函数图像可知：T 2=23π−π6=π2，则|ω|=2πT =2ππ=2，所以不选A,不妨令ω=2,当x =23π+π62=5π12时，y =−1∴ 2×5π12+φ=3π2+2kπ(k ∈Z )， 解得：φ=2kπ+23π(k ∈Z )，即函数的解析式为：y=sin(2x+23π+2kπ)=sin(2x+π6+π2)=cos(2x+π6)=sin(π3−2x).而cos(2x+π6)=−cos(5π6−2x)故选：BC.小提示：已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2πT即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.11、已知0<α<β<π2，且tanα，tanβ是方程x2−kx+2=0的两不等实根，则下列结论正确的是（）A．tanα+tanβ=−k B．tan(α+β)=−kC．k>2√2D．k+tanα≥4答案：BCD解析：根据题意可得tanα+tanβ=k，tanα⋅tanβ=2，再利用两角和的正切公式可判断B，利用基本不等式可判断C、D由tanα，tanβ是方程x2−kx+2=0的两不等实根，所以tanα+tanβ=k，tanα⋅tanβ=2，tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=k−1=−k，由0<α<β<π2，tanα，tanβ均为正数，则tanα+tanβ=k≥2√tanα⋅tanβ=2√2，当且仅当tanα=tanβ取等号，等号不成立k+tanα=2tanα+tanβ≥2√2tanα⋅tanβ=4，当且仅当2tanα=tanβ取等号，故选：BCD小提示：本题考查了韦达定理、两角和的正切公式、基本不等式的应用，注意验证等号成立的条件，属于基础题.填空题12、已知120°的圆心角所对的弧长为4πm，则这个扇形的面积为_________m2．答案：12π分析：选求出半径，再用扇形面积公式计算即可.由题意，120°=2π3，且圆心角所对的弧长为4πm，∴2π3R=4π，解得R=6，∴扇形的面积为S=12×4π×6=12π(m2)．所以答案是：12π．13、已知tanα=2，则1sin2α−cos2α_____.答案：53分析：根据弦切互化即可求解.因为tanα=2，所以1sin2α−cos2α=sin2α+cos2αsin2α−cos2α=tan2α+1tan2α−1=4+14−1=53所以答案是：53。

高中数学必修一第五章知识点
摘要：
一、三角函数的定义和分类
二、三角函数的性质
三、三角函数的公式
四、三角函数的应用
正文：
高中数学必修一第五章知识点主要涉及三角函数的定义、性质、公式及应用。

一、三角函数的定义和分类
三角函数是指以角度为自变量，以正弦、余弦、正切等为函数值的函数。

在平面直角坐标系中，对于任意角θ，都可以定义一个正弦函数sinθ、一个余弦函数cosθ和一个正切函数tanθ。

根据角度的不同，三角函数可以分为正弦函数、余弦函数、正切函数等。

二、三角函数的性质
三角函数具有一些重要的性质，如周期性、奇偶性、单调性等。

正弦函数和余弦函数都是周期函数，其周期为2π。

正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

正切函数是奇函数。

此外，三角函数在不同区间上的单调性也有所不同。

三、三角函数的公式
三角函数之间存在着一些重要的关系式，如三角函数的和差公式、倍角公
式、半角公式等。

这些公式可以帮助我们快速计算三角函数的值，是三角函数计算中的重要工具。

四、三角函数的应用
三角函数在物理学、工程学、数学等领域中都有着广泛的应用。

在物理学中，三角函数可以用来描述周期性现象；在工程学中，三角函数可以用来设计电路、控制系统等；在数学中，三角函数可以用来解方程、求极限等。

(名师选题)人教高中数学必修一第五章三角函数知识点归纳总结(精华版)单选题1、若sinα+cosαsinα−cosα=12，则tan (α+π4)的值为（ ） A ．−2B ．2C ．−12D ．12 答案：C分析：利用弦化切和两角和的正切展开式化简计算可得答案. 因为sinα+cosαsinα−cosα=12．所以tanα+1tanα−1=12，解得tanα=−3， 于是tan (α+π4)= tanα+tanπ41−tanαtanπ4=−3+11−(−3)=−12．故选：C.2、已知sinαcosα=12，则tanα+1tanα的值为（ ） A ．12B ．−12C ．−2D ．2答案：D解析：根据题中条件，由切化弦，将所求式子化简整理，即可得出结果. ∵sinαcosα=12， ∴tanα+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=sin 2α+cos 2αsinαcosα=112=2，故选：D.3、设0<α<π，sinα+cosα=713，则1−tanα1+tanα的值为（ ）A ．177B ．717C ．−177D ．−717 答案：C分析：依题意可知π2<α<π，得到cosα−sinα<0，再利用正余弦和差积三者的关系可求得cosα−sinα的值，将所求关系式切化弦，代入所求关系式计算即可． 由sinα+cosα=713，平方得到1+sin2α=49169，∴sin2α=49169−1=−120169=2sinαcosα，0<α<π， ∴ π2<α<π，∴cosα<0，而sinα>0， ∴cosα−sinα<0； 令t =cosα−sinα(t <0)， 则t 2=1−sin2α，∴t 2=1−sin2α=1+120169=289169，t <0∴t =−1713∴ 1−tanα1+tanα=cosα−sinαcosα+sinα=137(cosα−sinα)=137×(−1713)=−177，故选：C ．4、若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r 为（ ） A ．5−1sin1B ．1sin1+32C ．5sin11+sin1D ．5+51+sin1 答案：C分析：先根据扇形周长求解出面积取最大值时扇形的圆心角和半径，然后根据图形中的内切关系得到关于内切圆半径r 的等式，由此求解出r 的值.设扇形的半径为R ，圆心角为α，面积为S ，因为2R +αR =20， 所以S =12αR 2=(10−R )R ≤(10−R+R 2)2=25，取等号时10−R =R ，即R =5，所以面积取最大值时R =5,α=2， 如下图所示：设内切圆圆心为O ，扇形过点O 的半径为AP ，B 为圆与半径的切点， 因为AO +OP =R =5，所以r +rsin∠BPO =5，所以r +rsin1=5， 所以r =5sin11+sin1，故选：C.5、设函数f(x)=2sin (ωx +φ)−1(ω>0)，若对于任意实数φ，f(x)在区间[π4,3π4]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．[83,163)B ．[4,163)C ．[4,203)D ．[83,203)答案：B分析：t =ωx +φ，只需要研究sint =12的根的情况，借助于y =sint 和y =12的图像，根据交点情况，列不等式组，解出ω的取值范围. 令f(x)=0，则sin (ωx +φ)=12 令t =ωx +φ，则sint =12则问题转化为y =sint 在区间[π4ω+φ,3π4ω+φ]上至少有两个，至少有三个t ，使得sint =12，求ω的取值范围.作出y =sint 和y =12的图像，观察交点个数，可知使得sint =12的最短区间长度为2π，最长长度为2π+23π，由题意列不等式的：2π≤(3π4ω+φ)−(π4ω+φ)<2π+23π 解得：4≤ω<163.故选：B小提示：研究y =Asin (ωx +φ)+B 的性质通常用换元法（令t =ωx +φ），转化为研究y =sint 的图像和性质较为方便.6、cos 2π12−cos 25π12=（ ） A ．12B ．√33C ．√22D ．√32 答案：D分析：由题意结合诱导公式可得cos 2π12−cos 25π12=cos 2π12−sin 2π12，再由二倍角公式即可得解. 由题意，cos 2π12−cos 25π12=cos 2π12−cos 2(π2−π12)=cos 2π12−sin 2π12 =cos π6=√32. 故选：D.7、已知函数f(x)=a 2x−6+3（a >0且a ≠1）的图像经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则sinθ−cosθsinθ+cosθ=（ ） A ．−17B ．0C ．7D ．17 答案：D分析：由题知A(3,4),进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可. 解:令2x −6=0得x =3,故定点A 为A(3,4), 所以由三角函数定义得tanθ=43， 所以sinθ−cosθsinθ+cosθ=tanθ−1tanθ+1=43−143+1=17故选：D8、若y =f (x )的图像与y =cosx 的图象关于x 轴对称，则y =f (x )的解析式为（ ）A．y=cos(−x)B．y=−cosxC．y=cos|x|D．y=|cosx|答案：B分析：根据f(−x)、−f(x)、f(|x|)与|f(x)|的图象特征依次判断即可得到结果.对于A，y=cos(−x)=cosx，图象与y=cosx重合，A错误；对于B，∵y=f(x)与y=−f(x)图象关于x轴对称，∴y=−cosx与y=cosx图象关于x轴对称，B正确；对于C，当x≥0时，y=cos|x|=cosx，可知其图象不可能与y=cosx关于x轴对称，C错误；对于D，将y=cosx位于x轴下方的图象翻折到x轴上方，就可以得到y=|cosx|的图象，可知其图象与y= cosx的图象不关于x轴对称，D错误.故选：B.9、将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以A、B、C为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（）（1）曲线Γ不是等宽曲线；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB的长；（3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB的长；（4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等；（5）若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B分析：若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为1，根据定义逐项判断即可得出结论.2若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12，（1）根据定义，可以得曲线Γ是等宽曲线，错误； （2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长，正确； （3）根据（2）得（3）错误；（4）曲线Γ的周长为3×16×2π=π，圆的周长为2π×12=π，故它们的周长相等，正确；（5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为π×126=π6，正三角形的面积S =12×1×1×√32=√34， 则一个弓形面积S =π6−√34， 则整个区域的面积为3(π6−√34)+√34=π2−√32， 而圆的面积为π(12)2=π4，不相等，故错误；综上，正确的有2个， 故选：B.小提示：本题主要考查新定义，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键． 10、f(x)=−sinx−xcosx+x 2在[−π,π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C分析：先由函数为奇函数可排除A ，再通过特殊值排除B 、D 即可.由f(−x)=−sin(−x)+xcosx+x2=−−sinx−xcosx+x2=−f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除选项A.又f(π)=−sinπ−πcosπ+π2=−ππ2−1<0，则排除选项B,D故选：C填空题11、如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为4√3，则这个圆锥的体积为___________.答案：128√2π81分析：作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理求出cos∠P′OP=2π3，求出底面圆的半径r，从而求出这个圆锥的高，由此能求出这个圆锥的体积.作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得：cos∠P′OP=OP2+OP′2−PP′22OP·OP′=42+42−(4√3)22×4×4=−12∴cos∠P′OP=2π3.设底面圆的半径为r,则有2πr=2π3·4,解得r=43,所以这个圆锥的高为ℎ=√16−169=8√23，则这个圆锥的体积为V=13Sℎ=13πr2ℎ=13π×169×8√23=128√2π81.所以答案是：128√2π81.小提示：立体几何中的翻折叠（展开）问题要注意翻折（展开）过程中的不变量.12、自行车大轮48齿，小轮20齿，大轮转一周小轮转___________周．答案：125分析：通过两个车轮转动的齿数相同，计算即可得出结果.∵两个车轮转动的齿数相同，大轮有48齿，小轮有20齿，∴当大轮转动一周时，大轮转动了48个齿，∴小轮转动4820=125周.所以答案是：125.13、若cosα=−35,α为第二象限的角，则sin(π−α)=__________．答案：45分析：先根据同角三角函数的关系求出sinα，再结合诱导公式即可求出sin(π−α).∵cosα=−35,α为第二象限的角，∴sinα=√1−cos2α=45，∴sin(π−α)=sinα=45.所以答案是：45.小提示：本题考查同角三角函数的关系以及诱导公式的应用，属于基础题.14、若α∈(π2，π)，且cos2α−sinα=14，则tanα=_____.答案：−√33分析：根据同角平方和关系可解得sinα=12，进而根据角的范围可得α=5π6，进而可求.因为cos2α−sinα=14，所以4(1－sin2α)－4sinα－1=0即4sin 2α+4sin α－3=0 ，∴解得sin α=12或sin α=−32（舍去）．∵α∈(π2，π)，∴α=5π6，因此tan α=tan5π6=−√33． 所以答案是：−√33 15、已知cos(α+π6)=35，α∈(0，π2)，则cos(2α+7π12)=__．答案：−31√250分析：先求出cos(2α+π3)=−725，sin(2α+π3)=2425，再利用和差角公式即可求解. ∵cos(α+π6)=35，α∈(0，π2)． ∴(α+π6)∈(0，π2)，(2α+π3)∈(0，π)．cos(2α+π3)=2cos(α+π6)−1=2×(35)2−1=−725． ∴sin(2α+π3)=√1−cos(2α+π3)=2425．∴cos(2α+7π12)=cos(2α+π3+π4)=cos(2α+π3)cos π4−sin(2α+π3)sin π4 =−725×√22−2425×√22=−31√250． 所以答案是：−31√250. 解答题16、已知函数y =asin (2x −π3)+b (a >0).(1)求出该函数的单调递减区间；(2)当x ∈[0,π2]时，f (x )的最小值是−2，最大值是√3，求实数a ，b 的值.答案：(1)[k π+5π12,k π+11π12]，k ∈Z(2)a =2，b =−2+√3分析：(1)利用整体代入法即可求解y =asin (2x −π3)+b 的单调减区间；(2)结合x ∈[0,π2]，利用正弦函数的性质求出sin (2x −π3)的取值范围，然后结合已知条件求解即可. (1)结合已知条件和正弦函数性质，由2k π+π2≤2x −π3≤2k π+3π2，k ∈Z ，解得k π+5π12≤x ≤k π+11π12，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递减区间为[k π+5π12,k π+11π12]，k ∈Z .(2)令t =2x −π3，∵0≤x ≤π2，∴−π3≤t ≤2π3，∴由正弦函数性质得，−√32≤sint =sin(2x −π3)≤1，故f (x )min =−√32a +b =−2，f (x )max =a +b =√3，由{−√32a +b =−2a +b =√3，解得{a =2b =−2+√3. 17、已知函数f (x )={cosx,−π⩽x <0,sinx,0⩽x ⩽π.（1）作出该函数的图象； （2）若f (x )=12，求x 的值；（3）若a ∈R ，讨论方程f (x )=a 的解的个数．答案：（1）图见解析；（2）x =−π3或π6或5π6；（3）当a >1或a <−1时，解的个数为0；当−1⩽a <0或a =1时，解的个数为1；当0⩽a <1时，解的个数为3． 分析：（1）根据正余弦函数的图象即可画出； （2）讨论x 的范围根据解析式即可求解；（3）方程f (x )=a 的解的个数等价于y =f (x )与y =a 的图象的交点个数，结合图象即可得出. （1）f (x )的函数图象如下：（2）当−π≤x <0时，f (x )=cosx =12，解得x =−π3，当0≤x ≤π时，f (x )=sinx =12，解得x =π6或5π6，综上，x =−π3或π6或5π6； （3）方程f (x )=a 的解的个数等价于y =f (x )与y =a 的图象的交点个数，则由（1）中函数图象可得，当a >1或a <−1时，解的个数为0；当−1⩽a <0或a =1时，解的个数为1；当0⩽a <1时，解的个数为3．18、已知函数f (x )=2cos 2x 2+√3sin x +a −1的最大值为1.(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)若x ∈[0，π2]，求函数f (x )的值域.答案：(1)[2kπ+π3,2kπ+4π3]，k ∈Z(2)[0,1]分析：(1)利用三角恒等变换化简函数解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，ωx ＋φ整体替换进行单调区间的求解；(2)求出ωx ＋φ整体范围，根据正弦型函数图像求其值域﹒（1）f (x )=2cos 2x 2+√3sin x +a −1 =cosx +√3sinx +a =2sin (x +π6)+a ．由f(x)max=2+a=1，解得a=−1．又f(x)=2sin(x+π6)−1，则2kπ+π2≤x+π6≤2kπ+3π2，k∈Z，解得2kπ+π3≤x≤2kπ+4π3，k∈Z，所以函数的单调递减区间为[2kπ+π3,2kπ+4π3]，k∈Z；（2）由x∈[0，π2]，则x+π6∈[π6，2π3]，所以12≤sin(x+π6)≤1，所以0≤2sin(x+π6)−1≤1，所以函数f(x)的值域为[0,1]．。