2019届高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.3全称量词与存在量词逻辑联结词学案

哈哈哈哈哈哈哈哈你好§1.3 逻辑联络词、全称量词与存在量词考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型展望热度1. 逻辑联络词认识逻辑联络词“或”“且”“非”2017 山东 ,5;Ⅱ2014 重庆 ,6 选择题★★☆“或”“且”“非”的含义2.1. 理解全称量词和存在量词的意义2015 湖北 ,3;全称量词与存在量2. 2014 湖南 ,1;能正确地对含有一个量词的命题进Ⅲ选择题★★★词2013 四川 ,4行否认剖析解读1. 会判断含有一个量词的全称命题或特称命题的真假, 能正确地对含有一个量词的命题进行否认.2. 能用逻辑联络词“或”“且”“非”正确地表达有关的数学内容.3. 本节内容在高考取约为 5 分, 属中低档题 .五年高考考点一逻辑联络词“或”“且”“非”1.(2014重庆,6,5分)已知命题p: 对随意 x∈R,总有 |x| ≥0;q:x=1是方程x+2=0的根.则以下命题为真命题的是（）A.p∧?qB.?p∧qC.?p∧?qD.p∧q答案 A2.(2014 辽宁 ,5,5 分 ) 设 a,b,c 是非零向量 . 已知命题 p: 若 a·b=0,b ·c=0, 则 a·c=0; 命题 q: 若 a∥b,b ∥c, 则a∥c. 则以下命题中真命题是（）A.p∨qB.p∧qC.(?p) ∧(?q)D.p∨(?q)答案 A3.(2013 湖北 ,3,5 分 ) 在一次跳伞训练中, 甲、乙两位学员各跳一次. 设命题 p 是“甲下降在指定范围” ,q 是“乙下降在指定范围” , 则命题“起码有一位学员没有下降在指定范围”可表示为（）A.(?p) ∨(?q)B.p∨(?q)C.(?p) ∧(?q)D.p∨q答案 A考点二全称量词与存在量词1.(2015 湖北 ,3,5 分 ) 命题“ ? x ∈(0,+ ∞),lnx =x - 1”的否认是（）0 0 0A. ? x∈(0,+ ∞),lnx≠x-1B. ? x?(0,+ ∞),lnx=x-1哈哈哈哈哈哈哈哈你好C. ? x0∈(0,+ ∞),lnx0≠x0-1D. ? x0?(0,+ ∞),lnx0=x0-1答案 A2.(2014天津,3,5分)已知命题p: ? x>0, 总有 (x+1) ·e x>1, 则?p 为（）A. ? x0≤0, 使得 (x 0+1) ≤1B. ? x >0, 使得 (x +1) ≤10 0C. ? x>0, 总有 (x+1)e x≤1D. ? x≤0, 总有 (x+1)e x≤1答案 B3.(2014湖南,1,5分)设命题p: ? x∈R,x2+1>0,则?p为（）A. ? x0∈R, +1>0B. ? x0∈R, +1≤0C. ? x ∈R, +1<0D. ? x∈R,x 2 +1≤0答案 B4.(2014 湖北 ,3,5 分 ) 命题“ ? x∈R,x 2≠x”的否认是（）A. ? x?R,x 2≠xB. ? x∈R,x 2=xC. ? x?R,x 2≠xD. ? x∈R,x 2 =x答案 D5.(2013四川,4,5分)设x∈Z,会合A是奇数集,会合B是偶数集.若命题p: ? x∈A,2x∈B,则（）A.?p: ? x∈A,2x ∈BB.?p: ? x?A,2x ∈BC. ?p: ? x∈A,2x ?BD.?p: ? x?A,2x ?B答案 C教师用书专用(6 — 7)6.(2014安徽,2,5分)命题“ ? x∈R,|x|+x2≥0”的否认是（）．．A. ? x∈R,|x|+x2<0B. ? x∈R,|x|+x2≤0C. ? x ∈R,|x0 |+ <0 D. ? x ∈R,|x|+ ≥00 0答案 C7.(2014 福建 ,5,5 分 ) 命题“ ? x∈[0,+ ∞),x 3+x≥0”的否认是（）A. ? x∈(- ∞,0),x 3+x<0B. ? x∈(- ∞,0),x 3+x≥0哈哈哈哈哈哈哈哈你好C. ? x0∈[0,+ ∞),+x0<0D. ? x0∈[0,+ ∞),+x0≥0答案 C三年模拟A 组 2016— 2018 年模拟·基础题组考点一逻辑联络词“或”“且”“非”1.(2018山西康杰中学10 月月考 ,2) 已知命题p: ? x≥0,2 x≥1; 命题 q: 若 x>y, 则 x2>y2. 则以下命题为真命题的是（）A.p∧qB.p∧(?q)C.(?p) ∧(?q)D.(?p) ∨q答案 B2.(2018 河南顶级名校期中,5) 已知命题 p: 对随意 x∈R,总有 2x >0; 命题 q: “x>1”是“ x>2”的充分不用要条件. 则以下命题为真命题的是（）A.p∧qB.p∧(?q)C.(?p) ∨qD.(?p) ∧q答案 B3.(2017 广东深圳三校联考,7) 已知命题 p: 不等式 ax2+ax+1>0 的解集为 R, 则实数 a∈(0,4), 命题2 , 则以下命题正确的选项q: “x-2x- 8>0”是“ x>5”的必需不充分条件是（）A.p∧qB.p∧(?q)C.(?p) ∧(?q)D.(?p) ∧q答案 D4.(2017 湖北襄阳五中模拟,8) 已知命题 p: 对随意 x∈(0,+ ∞),log 4x<log 8x,命题q:存在x∈R,使得tanx=1-3x,则以下命题为真命题的是（）A.p∧qB.( q)C.p∧( q)D.(答案 D5.(2016 湖南衡阳一模 ,3) 已知命题 p: ? α∈R,cos( π - α )=cos α ; 命题 q: ? x∈R,x 2+1>0. 则下边结论正确的是（）A.p∧q是真命题B.p∧q是假命题C.?p 是真命题D.p 是假命题答案 A考点二全称量词与存在量词6.(2018福建德化一中等三校联考,2) 命题“对随意的x∈R,都有 x3-2x 2+3x- 1≤0”的否认是（）A. 不存在 x∈R, 使 x3-2x 2+3x- 1≤0B. 存在 x∈R,使 x3-2x 2+3x- 1≤0C. 存在 x∈R,使 x3-2x 2+3x-1>0D. 对随意的x∈R,都有 x3-2x 2+3x-1>0哈哈哈哈哈哈哈哈你好答案 C7.(2018 河北名校结盟质检 ,3) 命题“ ? x∈R,x 2- 2x+1<0”的否认是（）A. ? x∈R,x 2- 2x+1≥0B. ? x∈R,x 2-2x+1>0C. ? x∈R,x 2- 2x+1≥0D. ? x∈R,x 2-2x+1<0答案 C8.(2017 陕西咸阳二模2 x为（）,5) 命题 p: ? x<0,x ≥2, 则命题 ?pA. ? x0<0, ≥B. ? x0≥0, <C. ? x <0, <D. ? x ≥0, ≥0 0答案 C9.(2017 河南部分要点中学联考,2) 命题“ ? x0∈(0,+ ∞), 使 lnx 0=x0- 1”的否认是（）A. ? x0∈(0,+ ∞),lnx 0 ≠x-1B. ? x ?(0,+ ∞),lnx =x -10 0 0C. ? x∈(0,+ ∞),lnx≠x-1D. ? x?(0,+ ∞),lnx=x-1答案 CB 组 2016— 2018 年模拟·提高题组( 满分 :45 分时间 :40 分钟 )一、选择题 ( 每题 5 分, 共 25 分)1.(2018湖南浏阳三校联考,3) 以下结论错误的选项是（）A. 命题“若x≠1, 则 x2- 3x+2≠0”的逆否命题是“若x2-3x+2=0, 则 x=1”B. 若命题 p: ? x∈R,x 2+x+1≠0, 则?p: ? x∈R,x 2+x+1=0C. 若 p∨q为真命题 , 则 p,q 均为真命题D.“x>2”是“x2- 3x+2>0”的充分不用要条件答案 C2.(2018山东济南一中期中联考,6) 已知命题p: 对于 x∈R,恒有 2x+2-x≥2建立 ; 命题 q: 奇函数 f(x)的图象必过原点 . 则以下结论正确的选项是（）A.p∧q为真B.(?p) ∨q为真C.?q 为假D.p∧(?q) 为真答案 D3.(2017河南商丘二模,3) 已知 f(x)=sinx-x,命题p: ? x∈,f(x)<0,则（）哈哈哈哈哈哈哈哈你好A.p 是假命题 ,?p: ? x∈,f(x)≥0B.p 是假命题 ,?p: ? x∈,f(x)≥0C.p 是真命题 ,?p: ? x∈,f(x)≥0D.p 是真命题 ,?p: ? x∈,f(x) ≥0答案 C4.(2017 湖北七校联考 ,8) 以下命题中错误的选项是（）A. 若命题 p 为真命题 , 命题 q 为假命题 , 则命题“ p∨() ”为真命题B. 命题“若 a+b≠7, 则 a≠2或 b≠5”为真命题C. 命题“若 x2-x=0, 则 x=0 或 x=1”的否命题为“若x2-x=0, 则 x≠0且 x≠1”D. 命题 p: ? x0>0, 使 sinx>2 x -1, 则 p 为 ? x>0,sinx ≤2x-1答案 C5.(2016 江西赣中南五校 2 月第一次联考 ,10) 已知 p: ? x∈R,(m+1)(x 2+1) ≤0,q: ? x∈R,x 2+mx+1>0恒建立 . 若p∧q为假命题 , 则实数 m的取值范围为（）A.m≥2B.m≤ -2 或 m>-1C.m≤ -2 或 m≥2D.- 1<m≤2答案 B二、填空题 ( 每题 5 分, 共 10 分)6.(2018山西康杰中学等四校12 月联考 ,15) 已知 m∈R,设 p: ? x∈[-1,1],x2-2x-4m2+8m-2≥0成立 ;q: ? x∈[1,2],lo(x 2-mx+1)<-1 建立 . 假如“ p∨q”为真 , “p∧q”为假, 则实数 m的取值范围为 .答案7.(2016山东枣庄一模,11) 若“ ? x∈,m≤tanx+1 ”为真命题, 则实数 m的最大值为 .答案 0三、解答题 ( 共 10 分)8.(2017江西六校联考,18)已知p:对于x的不等式x2+2ax+4>0 对全部 x∈R恒建立 ;q: 函数 f(x)=-(5-2a)x 在R 上是减函数 , 若 p 或 q 为真 ,p 且 q 为假 , 务实数 a 的取值范围 .分析设 g(x)=x 2+2ax+4.由于对于x 的不等式x2+2ax+4>0 对全部 x∈R恒建立 ,因此函数g(x) 的图象张口向上且与x 轴没有交点 , 故=4a2-16<0, 因此 -2<a<2,因此命题p 为真命题时 ,-2<a<2.函数 f(x)=-(5-2a)x 在R上是减函数,则有5-2a>1,即a<2.因此命题q为真命题时,a<2.又由 p 或 q 为真 ,p 且 q 为假 , 可知 p 和 q 一真一假 .①若 p 真 q 假 , 则此不等式组无解.②若 p 假 q 真 , 则因此a≤ -2.综上可知 , 所务实数 a 的取值范围为a≤ -2.C 组 2016— 2018 年模拟·方法题组方法 1 含有逻辑联络词的命题的真假的判断方法1.(2018 广东惠州二调,6) 设命题 p: 若定义域为 R的函数 f(x) 不是偶函数 , 则 ? x∈R,f( - x) ≠f(x). 命题q:f(x)=x|x|在(-∞,0) 上是减函数 , 在(0,+ ∞) 上是增函数 . 则以下判断错误的选项是（）A.p 为假命题B.?q 为真命题C.p∨q为真命题D.p∧q为假命题答案 C2.(2017河北衡水中学上学期一调,4) 已知命题p: 方程 x2-2ax-1=0有两个实数根; 命题 q: 函数 f(x)=x+的最小值为 4. 给出以下命题:①p∧q; ②p∨q; ③p∧(?q); ④(?p) ∨(?q).则此中真命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4答案 C3.(2016云南昆明一中考前加强,5) 已知命题p: ? x∈R,x+≥2;命题q: ? x∈, 使 sinx+cosx=, 则下列命题中为真命题的是（）A.(?p) ∧qB.p∧(?q)C.(?p) ∧(?q)D.p∧q答案 A方法 2 全 ( 特 ) 称命题真假的判断方法4.(2018福建德化一中等三校联考,2) 已知 : 命题 p: “ ? x∈R,sinx+cosx=2 ”; 命题q: “ ? x∈R,2 x-1 >0”. 则下列命题正确的选项是（）A. 命题“ p ∧q ”是真命题B. 命题“ (?p) ∧q ”是真命题C. 命题“ p ∨(?q) ”是真命题D. 命题“ (?p) ∧(?q) ”是真命题答案 B5.(2017 河南安阳二模 ,3) 设命题 p: 函数 f(x)=ln 为奇函数 ; 命题 q: ? x 0∈(0,2),> , 则以下命题为假命题的是（ ）A.p ∨qB.p ∧(?q)C.(?p) ∧qD.(?p) ∨(? q)答案 C6.(2016 湖北黄冈 3 月质检 ,3) 以下命题中 , 假命题是（）B. ? x ∈(- ∞,0),ex>x+1A. ? x ∈R,lnx <0C. ? x>0,5 x >3xD. ? x 0∈(0,+ ∞),x 0<sinx 0答案 D方法 3 解决与全 ( 特 ) 称命题的否认有关问题的方法7.(2018 辽宁五校协作体模拟 ,2) 命题“ ? x 0∈R,(1 -3x 0) 2- 6≥0”的否认是（）A. ? x 0∈R,(1 -3x 0) 2- 6≤0B. ? x 0∈R,(1 -3x 0) 2-6<0C. ? x ∈R,(1 -3x) 2- 6≤0D. ? x ∈R,(1 -3x) 2-6<0 答案 D8.(2017 河北五个一名校联考,3) 命题“ ? x ∈R,1<f(x 0) ≤2”的否认形式是（）A. ? x ∈R,1<f(x) ≤2B. ? x ∈R,1<f(x) ≤2C. ? x ∈R,f(x) ≤1 或 f(x)>2D. ? x ∈R,f(x) ≤1 或 f(x)>2答案 D9.(2016 皖江名校联考 ,2) 命题 p: 存在 x ∈, 使 sinx+cosx> ; 命题 q: “ ? x 0∈(0,+ ∞), 使 lnx 0=x 0 - 1”的否认是“ ? x ∈(0,+ ∞),lnx≠x - 1”, 则四个命题 :(?p) ∨(?q),p ∧q,(?p) ∧q,p ∨(?q) 中, 正确命题的个数为哈哈哈哈哈哈哈哈你好（）A.1B.2C.3D.4答案 B方法 4 解决与逻辑联络词、全( 特 ) 称命题有关的参数问题的方法10.(2018山东师大附中二模,9) 已知命题“ ? x∈R,使 2x2+(a-1)x+≤0”是假命题,则实数a的取值范围是（）A.(- ∞,-1)B.(-1,3)C.(- 3,+ ∞)D.(-3,1)答案 B11.(2017云南玉溪一中11 月模拟 ,9) 命题 p: “ ? x0∈,sin2x 0+cos2x 0>a”是假命题 , 则实数 a 的取值范围是（）A.a<1B.a<C.a≥1D.a≥答案 D12.(2017广东深圳三市一模,17) 设 p: 实数 x 知足 x2-4ax+3a 2<0,q: 实数 x 知足 |x-3|<1.(1)若 a=1, 且 p∧q为真 , 务实数 x 的取值范围 ;(2)若 a>0 且?p 是?q 的充分不用要条件 , 务实数 a 的取值范围 .分析 (1) 由 x2-4ax+3a 2<0 得(x-3a)(x-a)<0,当 a=1 时 ,1<x<3, 故 p 为真时 , 实数 x 的取值范围是1<x<3.由 |x-3|<1 得 -1<x-3<1, 解得 2<x<4,故 q 为真时 , 实数 x 的取值范围是2<x<4,若 p∧q为真 , 则 p 真且 q 真 ,∴实数 x 的取值范围是2<x<3.(2) 由 x2-4ax+3a 2<0 得 (x-3a)(x-a)<0,∵a>0, ∴a<x<3a.若?p 是?q 的充分不用要条件,则?p? ?q, 且?q ? /?p,设 A={x|?p},B={x|?q}, 则 A? B,又 A={x|?p}={x|x≤a 或x≥3a},B={x|?q}={x|x≥4 或x≤2},∴或哈哈哈哈哈哈哈哈你好解得≤a≤2,∴实数 a 的取值范围是≤a≤2.。

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【考点梳理】1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词． (2)命题p ∧q ，p ∨q ，⌝p 的真假判断2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”简记为∀x ∈M ，p (x )．(3)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．(4)特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M 中的一个元素x 0，使p (x 0)成立”，简记为∃x 0∈M ，p (x 0)．3．含有一个量词的命题的否定【考点突破】考点一、含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】(1)已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若1x >1y，则x <y .在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④(2)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0>3；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x，则下列命题为真的是( )A ．p ∧(⌝q )B ．(⌝p )∧qC ．p ∧qD ．(⌝p )∨q[答案] (1)C (2)A[解析] (1) 由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③⌝q 为真命题，则p ∧(⌝q )为真命题；④⌝p 为假命题，则(⌝p )∨q 为假命题．(2) 对于命题p ，当x 0＝4时，x 0＋1x 0＝174>3，故命题p 为真命题；对于命题q ，当x ＝4时，24＝42＝16，即∃x 0∈(2，＋∞)，使得2x 0＝x 20成立，故命题q 为假命题，所以p ∧(⌝q )为真命题，故选A.【类题通法】1.判断含有逻辑联结词命题真假的步骤2.p 且q 形式是“一假必假，全真才真”，p 或q 形式是“一真必真，全假才假”，非p 则是“与p 的真假相反”.【对点训练】1.已知命题p ：a 2≥0(a ∈R)，命题q ：函数f (x )＝x 2－x 在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：①p ∨q ；②p ∧q ；③(⌝p )∧(⌝q )；④(⌝p )∨q . 其中为假命题的序号为________． [答案] ②③④[解析] 显然命题p 为真命题，⌝p 为假命题．∵f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增． ∴命题q 为假命题，⌝q 为真命题．∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，(⌝p )∧(⌝q )为假命题，(⌝p )∨q 为假命题． 2.若命题p ：∀x ∈R ，log 2x ＞0，命题q ：∃x 0∈R ，2x 0＜0，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∨(⌝q ) B ．p ∧q C ．(⌝p )∧q D ．p ∨q[答案] A[解析] 命题p 和命题q 都是假命题，则命题⌝p 和命题⌝q 都是真命题，故选A.考点二、全称命题、特称命题【例2】(1)设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n，则⌝p 为( )A ．∀n ∈N ，n 2>2nB ．∃n ∈N ，n 2≤2nC ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n(2)下列命题中，为真命题的是( ) A ．∀x ∈(0，＋∞)，x 2>1 B ．∃x 0∈(1，＋∞)，lg x 0＝－x 0 C ．∀a ∈(0，＋∞)，a 2>aD ．∃a 0∈(0，＋∞)，x 2＋a 0>1对x ∈R 恒成立 [答案] (1) C (2) D[解析] (1)命题p 的量词“∃”改为“∀”，“n 2>2n ”改为“n 2≤2n”，∴⌝p ：∀n ∈N ，n 2≤2n .(2)对于A ，当x ＝1时不成立；对于B ，当x ∈(1，＋∞)时，lg x >0，而－x <0，不成立； 对于C ，当a ＝1时不成立；对于D ，∃a 0＝2∈(0，＋∞)，x 2＋a 0＝x 2＋2>1对x ∈R 恒成立，正确．故选D. 【类题通法】 1. 命题否定2步操作(1)改写量词：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．2．真假判断注意特例全称命题与特称命题的真假判断要注意“特例”的作用，说明全称命题为假命题，只需给出一个反例；说明特称命题为真命题，只需找出一个正例．【对点训练】1．命题p ：∀x <0，x 2≥2x，则命题⌝p 为( )A ．∃x 0<0，x 20≥2x 0 B ．∃x 0≥0，x 20<2x 0 C ．∃x 0<0，x 20<2x 0 D ．∃x 0≥0，x 20≥2x 0[答案] C[解析] 全称命题的否定，应先改写量词，再否定结论，∴⌝p ：∃x 0<0，x 20<02x.2．以下四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R ，4x 2>2x －1＋3x 2，其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4[答案] A[解析] ∵∆＝(－3)2－4×2>0，∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题；对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题；④中，当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2；则④为假命题.考点三、由命题的真假求参数的取值范围【例3】(1)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，3)C ．(－3，＋∞)D ．(－3，1)(2)命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数f (x )＝(3－2a )x是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，则实数a 的取值范围为________．[答案] (1)B (2) (－∞，－2]∪[1，2)[解析] (1)原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，为真命题，则Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，则－2＜a －1＜2，则－1＜a ＜3， ∴实数a 的取值范围为(－1，3).(2) p 为真：Δ＝4a 2－16<0，解得－2<a <2；q 为真：3－2a >1，解得a <1.∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p ，q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥1⇒1≤a <2；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－2，a <1⇒a ≤－2.∴实数a 的取值范围为(－∞，－2]∪[1，2)． 【类题通法】 1．由真假求参要转化含量词的命题的真假求参数取值问题，关键是根据量词等价转化相应的命题，一般要将其转化为恒成立或有解问题，进而根据相关知识确定对应条件．2．根据命题的真假求参数的取值范围的步骤(1)求出当命题p ，q 为真命题时所含参数的取值范围； (2)根据复合命题的真假判断命题p ，q 的真假性；(3)根据命题p ，q 的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围． 【对点训练】1．若命题“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则k 的取值范围是________． [答案] (－4，0][解析] “对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0且∆＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0，综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]．2．已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，2][答案] A[解析] 依题意知，p ，q 均为假命题． 当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有∆＝m 2－4≥0，解得m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.∴实数m 的取值范围是[2，＋∞)．。

第三讲逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理·双基自测知识点一简单的逻辑联结词(1)用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，(2)用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，(3)对一个命题p的否定记作¬ p，(4)命题p∧q，p∨q，¬ p的真假判断真值表知识点二全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定(1)(2)p∨q的否定是(¬p)∧(¬ q)；p∧q的否定是(¬p)∨(¬ q)．重要结论1．逻辑联结词与集合的关系．(1)“或”与集合的“并”密切相关，集合的并集是用“或”来定义的，命题“p∨q”为真有三个含义：只有p成立，只有q成立，p、q同时成立；(2)“且”与集合的“交”密切相关，集合的交集是用“且”来定义的，命题p∧q为真表示p、q同时成立；(3)“非”与集合中的补集相类似．2．常用短语的否定词题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“2023≥2022”是真命题．( √)(2)命题p和¬ p不可能都是真命题．( √)(3)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( ×)(4)命题¬(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题．( √)题组二走进教材2．(选修2－1P23T2改编)下列命题中的假命题是( C )A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sin x0＝0C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，2x>0[解析]对于C，任意x∈R，x3∈R，故选C．3．(选修2－1P18A1(3)，改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题¬p，¬q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( B )A．1 B．2C．3 D．4[解析]命题p是真命题，q是真命题，因此命题¬p，¬q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题，故选B．题组三走向高考4．(2020·课标Ⅱ，5分)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是①③④．①p1∧p4②p1∧p2③(¬ p 2)∨p 3 ④(¬ p 3)∨(¬ p 4)[解析] 对于命题p 1，两两相交且不过同一点的三条直线的交点记为A 、B 、C ，易知A 、B 、C 三点不共线，所以可确定一个平面，记为α，由A ∈α，B∈α，可得直线AB ⊂α，同理，另外两条直线也在平面α内，所以p 1是真命题；对于命题p 2，当三点共线时，过这三点有无数个平面，所以p 2是假命题，从而¬ p 2是真命题； 对于命题p 3，空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3是假命题，从而¬ p 3是真命题；对于命题p 4，由直线与平面垂直的性质定理可知，是真命题，从而¬ p 4是假命题．综上所述，p 1∧p 4是真命题，p 1∧p 2是假命题，(¬ p 2)∨p 3是真命题，(¬ p 3)∨(¬ p 4)是真命题，所以答案为①③④.5．(2016·浙江，5分)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n≥x 2”的否定形式是( D ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n<x 2B ．∀x ∈R ，∀x ∈N *，使得n<x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n<x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n<x 2[解析] 根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D ．6．(2015·山东，5分)若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为1．[解析] 由已知可得m≥tan x (x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4)恒成立．设f(x)＝tan x (x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4)，显然该函数为增函数，故f(x)的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π4＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即实数m 的最小值为1.考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点一 含逻辑联结词的命题及其真假判断——自主练透例1 (1)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( A )A ．(¬ p)∨(¬ q)B ．p ∧(¬ q)C ．(¬ p)∧(¬ q)D ．p ∨q(2)(多选)命题p ：若sin x>sin y ，则x>y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy.下列命题为真命题的是( ACD ) A ．p 或q B ．p 且q C ．qD ．¬ p(3)已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：①p ∧q 为真；②p∨q 为假；③p∨q 为真；④(¬ p)∨(¬ q)为假． 其中，正确的是②．(填序号)[解析] (1)命题p 是“甲降落在指定范围”，则¬ p 是“甲没降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则¬ q 是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬ p)∨(¬ q)．(2)取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y)2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故¬ p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题． (3)命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．考点二 含有一个量词的命题——多维探究 角度1 全称命题、特称命题的真假例2 (多选题)( 2021·山东济宁期末)下列命题中真命题是( ACD ) A ．∀x ∈R ，2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x<1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2[解析] 根据指数函数的值域知A 是真命题；取x ＝1，计算知(x －1)2＝0，故B 是假命题；取x ＝1，计算知lg x ＝0<1，故C 是真命题；由y ＝tan x 的值域为R.知D 是真命题．故选ACD ．角度2 含一个量词的命题的否定例3 (1)已知命题p ：“∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1≤0”，则¬ p 为( C ) A ．∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1≥0 B ．∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1>0 C ．∀x ∈R ，e x－x －1>0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0(2)(2021·陕西部分学校摸底)命题“∀x ∈R ，xx －1≥0”的否定是( D )A ．∃x ∈R ，x 0x 0－1<0B ．∃x ∈R ，0<x 0<1C ．∀x ∈R ，xx －1≤0D ．∃x ∈R ，0<x 0≤1[解析] (1)根据全称命题与特称命题的否定关系，可得¬ p 为“∀x ∈R ，e x－x －1>0”，故选C ． (2)∀x ∈R ，x x －1≥0的否定是∃x 0∈R ，使xx －1不大于等于0，包括小于零和无意义，即∃x 0∈R ，0<x 0<1或x 0＝1，故选D ．名师点拨 MING SHI DIAN BO 全(特)称命题真假的判断方法全称命题特称命题真假 真假真假法一 证明所有对象使命题为真存在一个对象使命题为假存在一个对象使命题为真证明所有对象使命题为假法二否定为假否定为真否定为假否定为真注：当判断原命题的真假有困难时，可通过判断它的逆否命题的真假来实现． 角度3 含参命题中参数的取值范围例 4 已知f(x)＝ln(x 2＋1)，g(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若对于∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数m 的取值范围是( A )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋ ∞B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ D ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13 [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)min ＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min ＝g(2)＝14－m ，由f(x)min ≥g(x)min 得0≥14－m ，所以m≥14.[引申1]把本例中“∃x 2∈[1，2]”改为：“∀x 2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是m≥12． [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)min ＝f(0)＝0， 当x∈[1，2]时，g(x)max ＝g(1)＝12－m ，由f(x)min ≥g(x)max 得0≥12－m ，所以m≥12.[引申2]把本例中，∀x 1∈[0，3]改为∃x 1∈[0，3]其他条件不变，则实数m 的取值范围是m≥14－ln_10．[解析] 当x∈[0，3]时，f(x)max ＝f(3)＝ln 10， 当x∈[1，2]时，g(x)min ＝g(2)＝14－m ，由f(x)max ≥g(x)min 得ln 10≥14－m ，所以m≥14－ln 10.答案：m≥14－ln 10[引申3]把本例中，∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]改为∃x 1∈[0，3]，∀x 2∈[1，2]，其他条件不变，则实数m 的取值范围是m ≥12－ln 10． [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)max ＝f(3)＝ln 10， 当x∈[1，2]时，g(x)max ＝g(1)＝12－m ，由f(x)max ≥g(x)max ，得ln 10≥12－m ，所以m≥12－ln 10.答案：m≥12－ln 10名师点拨 MING SHI DIAN BO根据复合命题的真假求参数范围的步骤(1)先求出每个简单命题为真命题时参数的取值范围．(2)再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况(有时不一定只有一种情况)． (3)最后由(2)的结论求出满足条件的参数取值范围． 〔变式训练1〕(1)(角度1)(多选题)(2020·吉林长春外国语学校高三上期中改编)下列命题中，假命题是( ABD ) A ．∃x 0∈R ，sin 2 x 02＋cos 2 x 02＝12B ．∀x ∈(0，π)，sin x>cos xC ．∀x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>x D ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1(2)(角度2)已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(3x 0＋1)≤0，则( B ) A ．p 是假命题；¬ p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0 B ．p 是假命题；¬ p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 C ．p 是真命题；¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0(3)(角度3)已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(¬ p)∧q”是真命题，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞，－2)∪{1}B ．(－∞，－2]∪[1，2]C ．(1，＋∞)D ．[－2，1](4)(角度3)已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋a 和g(x)＝2x ＋x ＋1，对∀x 1∈[－1，＋∞)，∃x 2∈R 使g(x 1)＝f(x 2)成立，则实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．[解析] (1)对于A ，由同角三角函数的平方关系，我们知道∀x ∈R ，sin 2 x 2＋cos 2 x2＝1，所以A 为假命题；对于B ，取特殊值，当x ＝π4时，sin x ＝cos x ＝22，所以B 为假命题；对于C ，一元二次方程根的判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以原方程没有实数根，所以C 为真命题；对于D ，判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以D 错误．故选A 、B 、D ．(2)∵3x>0，∴3x＋1>1，则log 2(3x＋1)>0，∴p 是假命题，¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0.故选B ． (3)命题p 为真命题时a≤1；命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”为真命题，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，故Δ＝4a 2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.又(¬ p)∧q 为真命题，即¬ p 真且q 真，所以a>1，即a 的取值范围为(1，＋∞)．故选C ．(4)因为f(x)＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1， 所以f(x)∈[a－1，＋∞)．因为g(x)＝2x ＋x ＋1在[－1，＋∞)上单调递增， 所以g(x)∈[－2，＋∞)．由题意得a －1≤－2， 所以a≤－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG简易逻辑的综合应用例5 (2019·全国卷Ⅱ，5分)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( A ) A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙[解析] 依题意，若甲预测正确，则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾．综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙，选A ．名师点拨 MING SHI DIAN BO在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题．〔变式训练2〕(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( D )A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩[解析]由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D．。

第三节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非” [考纲传真] 1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(对应学生用书第5页)[基础知识填充]1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．(2)2.(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定为：綈p且綈q；p且q的否定为：綈p或綈q.[知识拓展]1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p或q：p、q中有一个为真，则p或q为真，即有真为真；(2)p且q：p、q中有一个为假，则p且q为假，即有假即假；(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“5＞6或5＞2”是假命题．( )(2)命题綈(p且q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题．( )(3)“长方形的对角线相等”是特称命题．( )(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．( ) [解析] (1)错误．命题p 或q 中，p ，q 有一真则真． (2)错误．p 且q 是真命题，则p ，q 都是真命题．(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题．(4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题綈p ，綈q ，p 或q ，p 且q 中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4B [p 和q 显然都是真命题，所以綈p ，綈q 都是假命题，p 或q ，p 且q 都是真命题．] 3．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p ：存在n ∈N ，n 2＞2n，则綈p 为( )A ．任意n ∈N ，n 2＞2nB ．存在n ∈N ，n 2≤2nC ．任意n ∈N ，n 2≤2nD ．存在n ∈N ，n 2＝2nC [因为“存在x ∈M ，p (x )”的否定是“任意x ∈M ，綈p (x )”，所以命题“存在n ∈N ，n 2>2n ”的否定是“任意n ∈N ，n 2≤2n ”．故选C ．]4．(2018·韶关模拟)下列命题中的假命题是( )A ．任意x ∈R,2x －1＞0B ．任意x ∈N *，(x －1)2＞0 C ．存在x ∈R ，lg x ＜1 D ．存在x ∈R ，tan x ＝2B [当x ＝1时，(x －1)2＝0，故B 是假命题．]5．若命题“任意x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________.[－8,0] [当a ＝0时，不等式显然成立．当a ≠0时，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，解得－8≤a ＜0. 综上可知－8≤a ≤0.](对应学生用书第5页)q ：若a∥b ，b∥c ，则a∥C．则下列命题中真命题是( ) A ．p 或q B ．p 且q C ．(綈p )且(綈q )D ．p 且(綈q )A [取a ＝c ＝(1,0)，b ＝(0,1)，显然a·b ＝0，b·c ＝0，但a·c ＝1≠0，∴p 是假命题．a ，b ，c 是非零向量，由a∥b 知a ＝x b ，由b∥c 知b ＝y c ， ∴a ＝xy c ，∴a∥c ，∴q 是真命题． 综上知p 或q 是真命题，p 且q 是假命题．又∵綈p 为真命题，綈q 为假命题，∴(綈p )且(綈q )，p 且(綈q )都是假命题．][规律方法] 1.“p 或q ”“p 且q ”“綈p ”形式的命题真假判断的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成 形式；(2)判断其中命题p ，q 的真假；(3)确定“p 或q ”“p 且q ”“綈p ” 形式的命题的真假．2．p 且q 形式是“一假必假，全真才真”，p 或q 形式是“一真必真，全假才假”，非p 则是“与p 的真假相反”．[变式训练1] (2017·石家庄一模)命题p ：若sin x ＞sin y ，则x ＞y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( ) A ．p 或q B ．p 且q C ．qD ．綈pB [取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 不正确；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 正确．故綈p角度1 (2015·湖北高考)命题“存在x0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )【导学号：00090009】A ．任意x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1B ．任意x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1C ．存在x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1D ．存在x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1A [改变原命题中的三个地方即可得其否定，存在改为任意，x 0改为x ，否定结论，即ln x ≠x －1，故选A ．]角度2 全称命题、特称命题的真假判断(2018·青岛模拟)已知a ＞0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x1满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项中的命题为假命题的是( ) A ．存在x ∈R ，使得f (x )≤f (x 1) B ．存在x ∈R ，使得f (x )≥f (x 1) C ．对任意x ∈R ，都有f (x )≤f (x 1) D ．对任意x ∈R ，都有f (x )≥f (x 1) C [由题意知2ax 1＋b ＝0，即x 1＝－b2a，又f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a ，故f (x )min ＝f (x 1)．因此，A ，B ，D 正确，C 错误．][规律方法] 1.否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论．2．要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．3．要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立．只要找到一个反例，则该命题为假命题．(1)已知命题“存在x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋2≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,3) C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)(2)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2(1)B (2)A [(1)原命题的否定为任意x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，为真命题，则Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，则－2＜a －1＜2，则－1＜a ＜3.(2)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，任意x ∈R ，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此，由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.][规律方法] 1.根据含逻辑联结词命题的真假求参数的方法步骤： (1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)． (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围． (3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围． 2．全称命题可转化为恒成立问题．[变式训练2] (2018·泰安模拟)若“任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．1 [∵0≤x ≤π4，∴0≤tan x ≤1，由“任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，得m ≥1.故实数m 的最小值为1.]。

§简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度.简单的逻辑联结词.含简单的逻辑联结词的命题真假的判断.由含逻辑联结词的命题的真假求参数范围填空题★☆☆.全称量词与存在量词.全称命题和存在性命题真假的判断.全称命题和存在性命题的否定填空题★☆☆分析解读江苏高考近五年没有考查本部分知识,在复习时主要要理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,会写含有全称量词与存在量词的命题的否定.五年高考考点一简单的逻辑联结词(湖南改编分)已知命题:若>,则<;命题:若>,则>.在命题①∧;②∨;③∧(¬);④(¬)∨中,真命题是(填序号).答案②③考点二全称量词与存在量词.(课标Ⅰ改编分)设命题:∃∈>,则¬为.答案∀∈≤.(山东分)若“∀∈≤”是真命题,则实数的最小值为.答案.(重庆理改编分)命题“对任意∈,都有≥”的否定为.答案存在∈,使得<.(四川理改编分)设∈,集合是奇数集,集合是偶数集.若命题:∀∈∈,则¬为.答案∃∈∉三年模拟组—年模拟·基础题组考点一简单的逻辑联结词.(苏教选—,一,变式)若命题是偶数,命题是的约数,则下列命题中为真的是.①且;②或;③��;④��且��.答案②.(苏教选—,一,变式)若、是两个命题,且“或”的否定是真命题,则、的真假性是.答案假假.(苏教选—,一,变式)对于命题、,若且为真命题,则下列四个命题:①或��是真命题;②且��是真命题;③��且��是假命题;④��或是假命题.其中真命题是.答案①③考点二全称量词与存在量词.(江苏南通中学测试)若命题“存在∈≤”为假命题,则实数的取值范围是.答案(∞).(江苏南京溧水中学质检)命题“∀∈>”的否定是.答案∃∈≤.(江苏苏州期中)若命题:∃∈,使<,则��:.答案∀∈≥组—年模拟·提升题组(满分分时间分钟)一、填空题(每小题分,共分).(江苏南京师大附中期初调研)已知命题:∃∈≤是真命题,则实数的取值范围是.答案(∞].(江苏前黄中学第二次学情调研)已知下列四个命题,其中真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上). ()命题“∃∈>”的否定是“∀∈<”;()命题“在△中,若>,则> ”的逆命题为真命题;()“ '()”是“函数()在处取得极值”的充分不必要条件;()直线不能作为函数()图象的切线.答案()().(江苏泰州一模)若命题“存在∈≤”为假命题,则实数的取值范围是.答案(∞)二、解答题(共分).(江苏盐城期中)设:实数满足<,其中>:实数满足<.()若,且∨为真,求实数的取值范围;()若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.解析()由<,得()()<,因为>,所以<<,当时<<,即为真时,实数的取值范围是<<.<等价于()()<,解得<<,即为真时,实数的取值范围是<<.若∨为真,则实数的取值范围是<<.()是的必要不充分条件等价于⇒且⇒ ,则有或所以实数的取值范围是≤≤.组—年模拟·方法题组方法含有逻辑联结词的命题的真假判断.若命题:不等式>的解集为,命题:关于的不等式()()<的解集为{<<},则“且”“或”“��”形式的命题中的真命题是.答案或且.分别指出下列各组命题构成的“∧”“∨”“��”形式的命题的真假.()<;():梯形的对角线相等:梯形的对角线互相平分;。

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．(2)命题p∧q、p∨q、﹁p的真假判断p q p∧q p∨q ﹁p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.(1)全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)特称命题存在M中的元素x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，﹁p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，﹁p(x)常用结论(1)含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与﹁p→真假相反．(2)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．(3)“p ∨q ”的否定是“(﹁p )∧(﹁q )”，“p ∧q ”的否定是“(﹁p )∨(﹁q )”． (4)逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题p ∧q 为假命题，则命题p 、q 都是假命题．( ) (2)命题p 和﹁p 不可能都是真命题．( )(3)若命题p 、q 至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题． ( ) (4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( ) (5)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，﹁p (x )的真假性相反． ( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)全称命题或特称命题的否定出错； (2)不会利用真值表判断命题的真假； (3)判断命题真假时忽视对参数的讨论． 1．命题“正方形都是矩形”的否定是________． 答案：存在一个正方形，这个正方形不是矩形2．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ；命题q ：若1x ＞1y，则x ＜y .在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(﹁q )；④(﹁p )∨q 中，真命题是________．(填序号)解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③﹁q 为真命题，则p ∧(﹁q )为真命题；④﹁p 为假命题，则(﹁p )∨q 为假命题．答案：②③3．若p ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋1>0是假命题，则实数a 的取值范围为________． 答案：(－∞，4]含有逻辑联结词的命题的真假判断(自主练透)1．命题p ：若sin x ＞sin y ，则x ＞y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．qD ．﹁p解析：选B ．取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故﹁p 为真命题，p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题．2．(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题①p ∨q ②﹁p ∨q ③p ∧﹁q ④﹁p ∧﹁q 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．③④解析：选A ．通解：作出不等式组表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，直线2x ＋y ＝9和直线2x ＋y ＝12均穿过了平面区域D ，不等式2x ＋y ≥9表示的区域为直线2x ＋y ＝9及其右上方的区域，所以命题p 正确；不等式2x ＋y ≤12表示的区域为直线2x ＋y ＝12及其左下方的区域，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．优解：在不等式组表示的平面区域D 内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x ＋y ≥9，所以命题p 正确；点(7，0)不满足不等式2x ＋y ≤12，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．3．(2020·高考全国卷Ⅱ)设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题是________．(填序号) ①p 1∧p 4 ②p 1∧p 2 ③﹁p 2∨p 3④﹁p 3∨﹁p 4解析：方法一：对于p 1，由题意设直线l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，则由l 1∩l 2＝A ，知l 1，l 2共面，设此平面为α，由B ∈l 2，l 2⊂α，知B ∈α，由C ∈l 1，l 1⊂α，知C ∈α，所以l 3⊂α，所以l 1，l 2，l 3共面于α，所以p 1是真命题．对于p 2，当A ，B ，C 三点不共线时，过A ，B ，C 三点有且仅有一个平面；当A ，B ，C 三点共线时，过A ，B ，C 的平面有无数个，所以p 2是假命题，﹁p 2是真命题．对于p 3，若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3是假命题，﹁p 3是真命题．对于p 4，若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ，所以p 4是真命题，﹁p 4是假命题．故p 1∧p 4为真命题，p 1∧p 2为假命题，﹁p 2∨p 3为真命题，﹁p 3∨﹁p 4为真命题．综上可知，真命题的序号是①③④.方法二：对于p 1，由题意设直线l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，则A ，B ，C 三点不共线，所以此三点确定一个平面α，则A ∈α，B ∈α，C ∈α，所以AB ⊂α，BC ⊂α，CA ⊂α，即l 1⊂α，l 2⊂α，l 3⊂α，所以p 1是真命题．以下同方法一．答案：①③④判断含有逻辑联结词命题真假的步骤全称命题与特称命题(多维探究) 角度一 全称命题、特称命题的否定(1)(2021·成都市诊断性检测)已知命题p ：∀x ∈R ，2x －x 2≥1，则﹁p 为( )A ．∀x ∉R ，2x －x 2＜1 B ．∃x 0∉R ，2x 0－x 20＜1 C ．∀x ∈R ，2x－x 2＜1 D ．∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1(2)(2021·沈阳市教学质量监测(一))命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，x 13≠x 15，则﹁p 为( ) A ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 150 B ．∀x ∈(0，＋∞)，x 13＝x 15 C ．∃x 0∈(－∞，0)，x 130＝x 150 D ．∀x ∈(－∞，0)，x 13＝x 15【解析】 (1)全称命题的否定是特称命题，所以﹁p ：∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1. (2)由全称命题的否定为特称命题知，﹁p 为∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 150，故选A ．【答案】 (1)D (2)A全称命题与特称命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；(2)否定结论：对原命题的结论进行否定． 角度二 全称命题、特称命题的真假判断(1)下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R ，x 2≥0 B ．∀x ∈R ，2x －1＞0C ．∃x 0∈R ，lg x 0＜1D ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 (2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，e x＞0 B ．∀x ∈N ，x 2＞0 C ．∃x 0∈R ，ln x 0＜1D ．∃x 0∈N *，sin π2x 0＝1【解析】 (1)A 显然正确；由指数函数的性质知2x －1＞0恒成立，所以B 正确；当0＜x ＜10时，lg x ＜1，所以C 正确；因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以－2≤sin x＋cos x ≤2，所以D 错误．(2)对于B ．当x ＝0时，x 2＝0，因此B 中命题是假命题． 【答案】 (1)D (2)B全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题真 所有对象使命题为真 否定为假 假 存在一个对象使命题为假 否定为真 特称命题真 存在一个对象使命题为真 否定为假 假所有对象使命题为假否定为真[提醒] 因为命题p 与﹁p 的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．1．下列命题正确的是( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0B ．x >1是x 2>1的充分不必要条件 C ．∀x ∈N ，x 3>x 2D ．若a >b ，则a 2>b 2解析：选B ．对于x 2＋2x ＋3＝0，Δ＝－8<0，故方程无实根，即∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0错误，即A 错误；x 2>1⇔x <－1或x >1，故x >1是x 2>1的充分不必要条件，故B 正确；当x ≤1时，x 3≤x 2，故∀x ∈N ，x 3>x 2错误，即C 错误； 若a ＝1，b ＝－1，则a >b ，但a 2＝b 2，故D 错误．故选B ．2．已知f (x )＝sin x －x ，命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，﹁p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0C ．p 是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0D ．p 是真命题，﹁p ：∃x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 解析：选C ．易知f ′(x )＝cos x －1<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，因为f (0)＝0，所以f (x )<0，所以命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0，故选C ．由命题的真假确定参数的取值范围(典例迁移)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．【解】 依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4＜0，－2＜m ＜2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)．【迁移探究1】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为真，求实数m 的取值范围． 解：依题意知p ，q 均为真命题，当p 是真命题时，有m ＜0； 当q 是真命题时，有－2＜m ＜2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－2＜m ＜2，可得－2＜m ＜0. 【迁移探究2】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数m 的取值范围．解：若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则p ，q 一真一假． 当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2＜m ＜2，所以0≤m ＜2.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题转化为存在性问题． (2)含逻辑联结词问题：①求出每个命题是真命题时参数的取值范围； ②根据题意确定每个命题的真假；③由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解．1．若命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值范围是______． 解析：因为命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”为假命题，所以命题“∀t ∈R ，t 2－2t －a ≥0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a )＝4a ＋4≤0，即a ≤－1.答案：(－∞，－1]2．已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a ＜－12；若p 假q 真，则－4＜a ＜4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．答案：(－∞，－12)∪(－4，4)。

第3讲 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”一、选择题1．已知命题p ：所有指数函数都是单调函数，则綈p 为( )A ．所有的指数函数都不是单调函数B ．所有的单调函数都不是指数函数C ．存在一个指数函数，它不是单调函数D ．存在一个单调函数，它不是指数函数解析 命题p ：所有指数函数都是单调函数，则綈p 为：存在一个指数函数，它不是单调函数，故选C. 答案 C2．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图像关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈p 为假C ．p 且q 为假D ．p 且q 为真 解析 p 为假命题，q 为假命题，∴p 且q 为假． 答案 C3．2016年巴西里约奥运会，在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加．设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为( )A ．(綈p )或(綈q )B ．p 或(綈q )C ．(綈p )且(綈q )D ．p 或q解析 命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况：“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳，乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站稳”，故可表示为(綈p )或(綈q )．或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“p 且q ”的否定．选A. 答案 A4．(2017·西安调研)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )A ．p 且(綈q )B ．(綈p )且qC ．(綈p )且(綈q )D ．p 且q解析 由题意知命题p 是真命题，命题q 是假命题，故綈p 是假命题，綈q 是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p 且(綈q )是真命题． 答案 A5．下列命题中，真命题是( )A ．存在x 0∈R ，e x 0≤0B ．任意x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1 D ．“a >1，b >1”是“ab >1”的充分条件解析 因为y ＝e x>0，x ∈R 恒成立，所以A 不正确． 因为当x ＝－5时，2－5<(－5)2，所以B 不正确．“a b＝－1”是“a ＋b ＝0”的充分不必要条件，C 不正确． 当a >1，b >1时，显然ab >1，D 正确． 答案 D6．命题p ：任意x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)解析 因为命题p ：任意x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0， 所以命题綈p ：存在x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1<0，则a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a >0，解得a <0或a >4.答案 D7．(2016·咸阳模拟)已知命题p ：存在α∈R ，cos(π－α)＝cos α；命题q ：任意x ∈R ，x 2＋1>0.则下面结论正确的是( )A ．p 且q 是真命题B ．p 且q 是假命题C ．綈p 是真命题D ．綈q 是真命题解析 对于p ：取α＝π2，则cos(π－α)＝cos α，所以命题p 为真命题；对于命题q ：∵x 2≥0，∴x 2＋1>0，所以q 为真命题．由此可得p 且q 是真命题． 答案 A8．(2017·江西赣中南五校联考)已知命题p ：存在x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0，命题q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p 且q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]∪(－1，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．(－1,2]解析 由命题p ：存在x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0可得m ≤－1；由命题q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，可得－2<m <2，若命题p ，q 均为真命题，则此时－2<m ≤－1.因为p 且q 为假命题，所以命题p ，q 中至少有一个为假命题，所以m ≤－2或m >－1. 答案 B 二、填空题9．命题“存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x 0>sin x 0”的否定是________．答案 任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ≤sin x 10．若命题“存在x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵“存在x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1＜0”是真命题， ∴Δ＝(a －1)2－4＞0，即(a －1)2＞4， ∴a －1＞2或a －1＜－2，∴a ＞3或a ＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)11．(2017·石家庄调研)已知下列四个命题：①“若x 2－x ＝0，则x ＝0或x ＝1”的逆否命题为“x ≠0且x ≠1，则x 2－x ≠0” ②“x <1”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件③命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0，则綈p ：任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0 ④若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题 其中为真命题的是________(填序号)． 解析 显然①③正确．②中，x 2－3x ＋2>0⇔x >2或x <1.∴“x <1”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件，②正确． ④中，若p 且q 为假命题，则p ，q 至少有一个假命题，④错误． 答案 ①②③12．已知命题p ：“任意x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“存在x 0∈R ，使得x 20＋4x 0＋a ＝0”．若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析 若命题“p 且q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由任意x ∈[0,1]，a ≥e x，得a ≥e；由存在x 0∈R ，使x 20＋4x 0＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，得a ≤4，因此e≤a ≤4.答案 [e,4]13．(2016·浙江卷)命题“任意x ∈R ，存在n ∈N ＋，使得n ≥x 2”的否定形式是( )A ．任意x ∈R ，存在n ∈N ＋，使得n <x 2B ．任意x ∈R ，任意n ∈N ＋，使得n <x 2C ．存在x ∈R ，存在n ∈N ＋，使得n <x 2D ．存在x 0∈R ，任意n ∈N ＋，使得n <x 20 解析 改变量词，否定结论．∴綈p 应为：存在x 0∈R ，任意n ∈N ＋，使得n <x 20. 答案 D14．(2017·西安铁中质检)已知命题p ：任意x ∈R ，x ＋1x≥2；命题q ：存在x 0∈(0，＋∞)，x 20＞x 30，则下列命题中为真命题的是( )A ．(綈p )且qB ．p 且(綈q )C ．(綈p )且(綈q )D ．p 且q解析 对于p ：当x ＝－1时，x ＋1x＝－2，∴p 为假命题．取x 0∈(0,1)，此时x 20＞x 30，∴q 为真命题．从而綈p 为真命题，(綈p )且q 为真命题． 答案 A15．(2016·沈阳九校联考)下列判断错误的是________(填序号)．①若p 且q 为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题②命题“任意x ∈R ，x 3－x 2－1≤0”的否定是“存在x 0∈R ，x 30－x 20－1>0” ③“若a ∥c 且b ∥c ，则a ∥b ”是真命题 解析 显然命题①，②是真命题． ③中，当向量c ＝0，命题是假命题． 答案 ③16．已知命题p ：存在x ∈R ，e x－mx ＝0，q ：任意x ∈R ，x 2－2mx ＋1≥0，若p 或(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是________． 解析 若p 或(綈q )为假命题，则p 假q 真． 由e x－mx ＝0得m ＝e xx ，设f (x )＝exx，则f ′(x )＝e x ·x －exx2＝x －1e xx 2.当x ＞1时，f ′(x )＞0，此时函数单调递增； 当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，此时函数单调递减； 当x ＜0时，f ′(x )＜0，此时函数单调递减．由f (x )的图像及单调性知当x ＝1时，f (x )＝e xx 取得极小值f (1)＝e ，所以函数f (x )＝exx的值域为(－∞，0)∪[e ，＋∞)，所以若p 是假命题，则0≤m ＜e ； 命题q 为真命题时，有Δ＝4m 2－4≤0，则－1≤m ≤1. 所以当p 或(綈q )为假命题时，m 的取值范围是[0,1]． 答案 [0,1]。