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《相似三角形的判定》课件5(人教A版选修4-1)

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人教A版高中数学选修4-1课件高二：1.3.1相似三角形的判定及性质

人教A版高中数学选修4-1课件高二：1.3.1相似三角形的判定及性质

4
首页
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
1.相似三角形 (1)定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形,相
似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数). (2)记法:两个三角形相似,用符号“∽”表示,例如△ABC 与△A'B'C'相似,
记作△ABC∽△A'B'C'.
5
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S 随堂练习 UITANG LIANXI
归纳总结(1)三角形相似与三角形全等不同,全等三角形一
定相似,但相似三角形不一定全等. (2)三角形相似定义中的“对应边成比例”是三组对应边分别成比例.
∵BD=DC,∴AH=AG.
∵HG∥BC,∴������������������������
=
������������ ������������
,
������������ ������������
=
������������������������.
∵AH=AG,∴������������������������ = ������������������������.∴EF∥BC.
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
1
三 相似三角形的判定及性质
2
1.相似三角形的判定
3
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人教版高中数学选修4-1《第一讲：相似三角形的判定》

人教版高中数学选修4-1《第一讲：相似三角形的判定》
对于任意两个三角形， 判定定理1： 两角对应相等，两三角形相似 判定定理2： 两边对应成比例且夹角相等， 两三角形相似 判定定理3： 三边对应成比例，两三角形 相似
A
图形
A 1
B
C B 1 C 1
A
D
E
对于直角三角形呢？
相似三角形的性质定理：
B
C
预习交流，探究总结 内容四：直角三角形的射影定理
1、直角三角形斜边上的高是 ______________________的比例中项； 两直角边在斜边上的射影 2、两直角边分别是它们在斜边上____ 射影与 ____ 斜边的比例中项。（射影，斜边）
AD:BD=2:1,BC=8.4cm。求(1)DE的长；(2) AG
AF
；(3)
你认为求解的关键是什么？ 求解的关键是利用平行DE//BC.
S ABC . S ADE
说题解题 巩固知识
【例３】已知：如图，△ABC 的高AD、BE交于点F．求证： （1）AD•BC=BE•AC；（2）AF•FD=BF•FE.
讨论作业：P9,2；P10,4 要求：小组讨论，理清思路，代表“说题” 作业：P19,7；P20,10 弹性作业： 复习指导P154 17.1几何证明选讲（一）
3、（2007湛江一模理）如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的
中点，AE交BC于F，则 BF _____. 1:2
FC
D C F
E A
B
知识总结 1、三住平行这一关键，构造相似（全等）三角形 （或比例关系）； 2 ）（乘积→）比例关系→相似（全等）三角形 （或平行）。 3）线段长→三角形→相似（全等）三角形（相似 三角形→比例关系→线段长）。
【例5】如图，在△ABC 内任取一点 D ，连接AD 和 BD. 点 E 在△ABC外， ∠EBC=∠ABD，∠ECB=∠DAB．求证： △DBE∽△ABC.

高中数学 第一讲三 1 相似三角形的判定课件 新人教A版选修41

高中数学 第一讲三 1 相似三角形的判定课件 新人教A版选修41

(2)要说明线段的乘积式 ab＝cd，或平方式 a2＝bc，一般都是
证明比例式a＝d或b＝a，再根据比例的基本性质推出乘积式 cbac
或平方式．
第十七页，共19页。
跟踪训练 3．如图，已知在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD 是∠B 的角平分线，试利用三角形相似的关系证明 AD2＝DC·AC.
第七页，共19页。
【名师点评】 判定两个三角形相似除定义外一般有四种方 法：预备定理和三个判定定理．预备定理需要有平行的条件， 三个判定定理的选择一般是先找两对内角相等，若只有一对 内角对应相等，再找夹这个角的两边看是否成比例．若无角 相等，再利用三边对应成比例，即方法选择为：判定定理 1→ 定理 2→定理 3.
证明：因为∠A＝36°，AB＝AC， 所以∠ABC＝∠C＝72°. 又因为 BD 平分∠ABC， 所以∠ABD＝∠CBD＝36°， 所以 AD＝BD＝BC，且△ABC∽△BCD， 所以 BC∶AB＝CD∶BC， 所以 BC2＝AB·CD， 所以 AD2＝AC·CD.
第十八页，共19页。
方法感悟 1．在相似三角形的判定方法中，应用最多的是判定定理 1， 因为它的条件最容易寻求，实际证明当中，要特别注意两个 三角形的公共角，判定定理 2 则常见于连续两次证明相似时， 在第二次使用此定理的情况较多． 2．在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件 的利用．
第三页，共19页。
2．相似三角形的判定定理 (1)判定定理 1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两 个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形 相似，简述为：_两__角__对应相等，两三角形相似． (2)判定定理 2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两 边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么 这两个三角形相似，简述为两边：(_l_iǎ_n_g_b对iān应) 成比例夹且角_(_j_iā_j_iǎ相o)等， 两三角形相似． 引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的 对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第的三__(d_ì_s_ā_n_)边_．

《相似三角形的判定》课件3(人教A版选修4-1)

《相似三角形的判定》课件3(人教A版选修4-1)

相似.
与△DCE是否相似?说明理由.
A F
E
D
B
C
4、已知：如图，BD、CE是△ABC的高，
试说明 △ADE∽△ABC。
A E
D
B
C
相似三角形的判定方法
平行于三角形一边的直线与其他两边
(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角 形相似;
三边对应成比例,两三角形相似. 两边对应成比例且夹角相等,两三角形
A
B`
C`
∵A`B`:AB=A`C`:AC ∴ AD:AB=AE:AC ∴DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴△A`B`C`∽△ABC
B
D
E
C
相似三角形的识别
如果一个三角形的两条边与另一个三角形 的两条边对应成比例，并且夹角相等，那 么这两个三角形相似 。
A
B
C
A′
AB AC A = A' A' B ' A'C '
B D A
E
A = A
如果一个三角形的两条 边与另一个三角形的两 条边对应成比例，并且 夹角相等，那么这两个 三角形一定相似吗？
• 已知:如图△ABC和△A`B`C`中,∠A＝∠A` , •
∠A` ,A`B`:AB=A`C`:AC. 求证:△ABC∽△A`B`C`
A`
证明:在△ABC的边AB、AC(或它们的延长线) 上分别截取AD=A`B`,AE=A`C`,连结DE. ∠A=∠A`, 这样,△ADE≌△A`B`C`.
相 似 三 角 形 的 判 定
判断两个三角形相似,你有哪些方法 方法1：通过定义（不常用）

三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：通过平行线。 方法3：三边对应成比例。

1.3 第一课时 相似三角形的判定及性质 课件(人教A选修4-1)

1.3 第一课时 相似三角形的判定及性质 课件(人教A选修4-1)

证明：如图，连接 BD. AE AF ∵EB＝FD， ∴EF∥BD. BG DH 又∵GC＝HC，∴GH∥BD. ∴EF∥GH. ∴∠EFO＝∠HGO，∠OHG＝∠OEF. ∴△OEF∽△OHG.
3．已知，如图，在正方形ABCD中，P是 BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点． 求证：△ADQ∽△QCP.
1．相似三角形
(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫
做 相似三角形 ，相似三角形对应边的比值叫做 相似比 或 (相似系数)． (2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或 两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似 ．
2．相似三角形的判定定理 (1)判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形 的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个
判定两三角形相似，可按下面顺序进行：(1)有平
行截线，用预备定理；(2)有一对等角时，①找另一对
等角，②找夹这个角的两边对应成比例；(3)有两对应 边成比例时，①找夹角相等，②找第三边对应成比例， ③找一对直角．
1. 如图，在▱ABCD中，E、F分别在AD 与CB的延长线 上，请写出图中所有 的相似三角形．
解：∵AB∥CD， ∴△EDH∽△EAG，
△CHM∽△AGM，
△FBG∽△FCH. ∵AD∥BC， ∴△AEM∽△CFM， △AEG∽△BFG，
△EDH∽△FCH.
∴图中相似的三角形有： △AEM∽△CFM，△CHM∽△AGM， △EDH∽△EAG∽△FBG∽△FCH.
2．如图，在四边形 ABCD 中， AE AF BG DH EB＝FD，GC＝HC. 求证：△OEF∽△OHG.
不仅可以由平行线得到比例式，也可以根据比 例式的成立确定两直线的平行关系．有时用它来证 明角与角之间的数量关系，线段之间的数量关系．

《相似三角形的判定》课件1(人教A版选修4-1)

《相似三角形的判定》课件1(人教A版选修4-1)

(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角 形相似;
三边对应成比例的,两三角形相似.
例1：在△ABC和△A′B′C′中，已知：
(1)AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm，
A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm．
试判定△ABC与A′B′C′是否相似，并说明理由．
(2) AB=12cm， BC=15cm， AC＝24cm A’B’＝16cm，B’C’＝20cm，A’C’＝30cm
答案是2:1
要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形 的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形框架的 一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似?这个 问题有其他答案吗?
①4:2=5:x=6:y ②4:x=5:2=6:y ③4:x=5:y=6:2
4
5
6
2
相似三角形的判定方法
平行于三角形一边的直线与其他两边
D
B` A
C`
E
因此DE=B`C`,EA=C`A`.
∴△ADE≌△A`B`C` ∴△A`B`C`∽△ABC
B C
A
A’
C
B
B’
C’
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
△ABC∽△A’B’C’
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的 三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.
简单地说:三边对应成比例,两三角形相似.
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A`B`,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC ∵AD=A`B`∴AD:AB=A`B`:AB 又A`B`:AB=B`C`:BC=C`A`:CA ∴DE:BC=B`C`:BC,EA:CA=C`A`:CA.

高中数学第一讲三1相似三角形的判定课件新人教A版选修4-1

高中数学第一讲三1相似三角形的判定课件新人教A版选修4-1

相似三角形的应用 [例 2] 如图，D 为△ABC 的边 AB 上一点，过 D 点作 DE∥ BC，DF∥AC，AF 交 DE 于 G，BE 交 DF 于 H，连接 GH.
求证：GH∥AB. [思路点拨] 根据此图形的特点可先证比例式GDEE＝EEHB成 立，再证△EGH∽△EDB，由相似三角形的定义得∠EHG＝ ∠EBD 即可．
成比例且夹角相等．故选项 A、B、D 都能推出两三角形相
似．在 C 项的条件下推不出两三角形相似．
答案：C
2．如图，在四边形 ABCD 中，AEEB＝FADF， BGGC＝DHHC，EH，FG 相交于点 O. 求证：△OEF∽△OHG. 证明：如图，连接 BD. ∵AEEB＝FADF， ∴EF∥BD. 又∵BGGC＝DHHC，
1.如图，D，E 分别是 AB，AC 上的两点，CD 与 BE 相交于点
O，下列条件中不能使△ABE 和△ACD 相似的是 ( )
A．∠B＝∠C
பைடு நூலகம்
B．∠ADC＝∠AEB
C．BE＝CD，AB＝AC D．AD∶AC＝AE∶AB 解析：在选项 A、B 的条件下，两三角形有两组对应角相等，
所以两三角形相似，在 D 项的条件下，两三角形有两边对应
相似三角形的判定
[例 1] 如图，已知在△ABC 中，AB＝AC，∠ A＝36°，BD 是角平分线，证明：△ABC∽△BCD.
[思路点拨] 已知 AB＝AC，∠A＝36°，所以 ∠ABC＝∠C＝72°，而 BD 是角平分线，因此，可 以考虑使用判定定理 1.
判定两三角形相似，可按下面顺序进行： (1)有平行截线，用预备定理； (2)有一对等角时，①找另一对等角，②找夹这个角 的两边对应成比例； (3)有两对应边成比例时，①找夹角相等，②找第三 边对应成比例，③找一对直角．

1.3.1 相似三角形的判定 课件(人教A选修4-1)

1.3.1 相似三角形的判定 课件(人教A选修4-1)

2．如果两个三角形的两边对应成比例，且有一角相等，
那么这两个三角形相似吗？ 提示：不一定．只有当这个角是对应成比例的两边的
夹角时，这两个三角形才相似．
返回Biblioteka 例1][研一题] 如图，等腰梯形ABCD中，AD
∥BC，AD＝3 cm，BC＝7 cm，∠B＝60°， P为下底BC上一点(不与B、C重合)，连接 AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B.
∴∠BAF＝∠AED，∠C＋∠D＝180°.
又∵∠C＝∠BFE，∠BFE＋∠BFA＝180°， ∴∠D＝∠AFB， ∴△ABF∽EAD. (2)∵AB∥CD，BE⊥CD，
∴∠ABE＝90°.
在Rt△AEB中，∠BAE＝30°，AB＝4，
返回
AB 4 8 ∴AE＝ ＝ ＝ 3. cos 30° 3 3 2 (3)∵△ABF∽△EAD， AB BF ∴ ＝ ， AE AD AB· AD 4×3 3 BF＝ ＝ ＝ 3. AE 8 2 3 3
所以∠BEC＝∠ADE.所以△ADE∽△BEC.
返回
[悟一法]
(1)在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一
隐含条件的应用． (2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 与原三角形相似．
返回
[通一类] 2．如图，BD、CE是△ABC的高． 求证：△ADE∽△ABC.
证明：∵BD、CE 是△ABC 的高， ∴∠AEC＝∠ADB＝90° . 又∵∠A＝∠A， ∴△AEC∽△ADB， AD AE ∴AB ＝AC. 又∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC.
返回
相似三角形的判断及应用是几何证明的重点内容之 一.2012年新课标全国卷以圆为载体，以解答题的形式考
查了直线的平行问题以及相似三角形的判定．

《相似三角形的判定》课件5(人教A版选修4-1)

《相似三角形的判定》课件5(人教A版选修4-1)

一定需三个角吗？
相似三角形的识别方法： 如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两 角对应相等，那么这两个三角形相似． 思考 如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它 们是否一定相似？
相似三角形的识别
用数学符号表示：
A A'
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
B (两个角分别对应相等的两个三角形相似)
C
A
D
B
△ACD ∽ △ CBD∽ △ ABC
你能写出对应边的比例式吗?
填一填
（1）如图3，点D在AB上，当∠ACD ＝∠ B 时， △ACD∽△ABC。 (或者∠ ACB＝∠ ADB) （2）如图4，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足 条件 DE//BC ，就可以使△ADE与原△ABC相似。 (或者∠ B＝∠ ADE)
A B D F B 图 1
E
G E C
O F D 图 2
C
（3）在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝80°，∠C＝60°， ∠A′＝80°，∠B′＝40°，那么这两个三角形是否相似？为什么？ ∠B=180 °－（∠A+∠C)=180 °－（80 °+60 °)=40 °
3.找出图中所有的相似三角形
C B' C'
例题欣赏 例1 如图所示，在两个直角三角形 △ ABC 和 △ A′B′C′ 中 ， ∠ B＝∠B′ ＝90°，∠A＝∠A′， 判 断 这 两 个 三角形是否相似．
A
A'
解：∵ ∠B＝∠B′＝90°（已知）， ∠A＝∠A′（已知）， ∴ △ABC∽△A′B′C′（两个角分别对应 相等的两个三角形相似．）

1.3.1 相似三角形的判定 课件(人教A选修4-1)

1.3.1 相似三角形的判定 课件(人教A选修4-1)

求证：△ABP∽△PCE.
分析：本题考查相似三角形判定定理1的应用．解答 此题需要根据已知条件，寻找三角形相似的条件．因为
∠B＝∠C，所以只需在△ABP与△PCE中找到一组对应
相等的角即可． 返回
证明：∵AD∥BC，∴∠PAD＝∠APB.
∵∠B＋∠BAD＝180°， ∴∠BAP＋∠PAD＝120°. 又∵∠APB＋∠CPE＝120°. ∴∠BAP＝∠CPE. 又∵∠B＝∠C， ∴△ABP∽△PCE.
由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.
而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD. 返回
点击下图进入“创新演练”
返回
(2)△BCD∽△GBD.
[命题立意] 形的判定． 返回 本题考查平行关系的证明及相似三角
解：(1)因为D，E分别为AB，AC的 中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，
故四边形BCFD是平行四边形，所以CF
＝BD＝AD.而CF∥AD，连结AF，所以 四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF. 因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC. (2)因为FG∥BC，故GB＝CF.
∴∠BAF＝∠AED，∠C＋∠D＝180°.
又∵∠C＝∠BFE，∠BFE＋∠BFA＝180°， ∴∠D＝∠AFB， ∴△ABF∽EAD. (2)∵AB∥CD，BE⊥CD，
∴∠ABE＝90°.
在Rt△AEB中，∠BAE＝30°，AB＝4，
返回
AB 4 8 ∴AE＝ ＝ ＝ 3. cos 30° 3 3 2 (3)∵△ABF∽△EAD， AB BF ∴ ＝ ， AE AD AB· AD 4×3 3 BF＝ ＝ ＝ 3. AE 8 2 3 3
返回
[悟一法]
在相似三角形的判定中，应用最多的是判定定理1，

《相似三角形的判定》课件6(人教A版选修4-1)

《相似三角形的判定》课件6(人教A版选修4-1)
（这可是今天新学的，要牢记噢！)
A
1 2
A O
C
B
A
C
C
D E
B D
D O
A D E
B
B
C
A
B
C
C
A
D
B
△ACD ∽ △ CBD∽ △ ABC
你能写出对应边的比例式吗?
填一填
（1）如图3，点D在AB上，当∠ ACD ＝∠ B 时， ∠ ∠ △ACD∽△ABC。 (或者∠ ACB＝∠ ADB) （2）如图4，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足 条件 DE//BC ，就可以使△ADE与原△ABC相似。 (或者∠ C＝∠ ADE)
可证△ABC∽△A’B’C’ AC BC 即 A'C' B'C' 所以A’ C’=1.7x176÷2.2=136m
课堂小结
相似三角形的识别方法有那些？
方法1：通过定义

三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：平行于三角形一边的直线。 方法3：三边对应成比例。 方法4：两边对应成比例且夹角。 方法5：通过两角对应相等。
相 似 三 角 形 的 判 定
观察你与老师的直角三角尺(30 与60 ) ,会相似吗？
O O
这两个三角形的三个内角的 大小有什么关系？
相 似
三个内角对应相等。
三个内角对应相等的两个三角 形一定相似吗？
画△ ，使三个角分别为60°，45°, 75° 。 ①同桌分别量出两个三角形三边的长度； ②同桌这两个三角形相似吗? 观察
例3.弦AB和CD相交于⊙o内一点P,求证:PA· PB=PC· PD 证明:连接AC、BD
⌒ ∵∠A、∠D都是CB所对的圆周角

高中数学新人教A版选修4-1课件：第一讲相似三角形的判定及有关性质本讲整合

高中数学新人教A版选修4-1课件：第一讲相似三角形的判定及有关性质本讲整合

提示:将 AM

=DM·EM 化为

=

, 只需证明△AMD∽△EMA

即可.
证明:∵∠BAC=90°,M是BC的中点,
∴AM=CM,∴∠MAC=∠C.
∵EM⊥BC,∴∠E+∠C=90°.
又∵∠BAM+∠MAC=90°,
∴∠E=∠BAM.
∵∠EMA=∠AMD,
∴△AMD∽△EMA.


=
专题三
证明:∵PQ ∥BC,BC ∥AE,∴ PQ ∥AE.
∴∠CPQ=∠CEA,∠CQP=∠CAE,


∴△CPQ∽△CEA.∴ = .
同理可得



∴
=
.

=

,

而由题意知,AE=DE,
∴PQ=PB.
专题归纳
高考体验
知识网络
专题一
专题二
专题归纳
高考体验
专题三
∴PE= 6.
答案: 6
知识网络
1
2
3
4
专题归纳
高考体验
5
5(课标全国高考)如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交
△ABC的外接圆于F,G两点.若CF∥AB,证明:
(1)CD=BC;
(2)△BCD∽△GBD.
知识网络
1
2
3
4
专题归纳
5
证明:(1)如图,连接AF,因为D,E分别为AB,AC的中点,
故△BCD∽△GBD.
高考体验
EB=2AE,AC 与 DE 交于点 F,则
△的面积
=
△的面积
.

1.3.1 相似三角形的判定 课件(人教A选修4-1)

1.3.1 相似三角形的判定 课件(人教A选修4-1)

返回
[通一类] 3.如图，在▱ABCD中，过点B作BE⊥CD， 垂足为E，连接AE，F为AE上一点，且
∠BFE＝∠C.
(1)求证：△ABF∽△EAD； (2)若AB＝4，∠BAE＝30°，求AE的长； (3)在(1)、(2)的条件下，若AD＝3，求BF的长．
返回
解：(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
所以∠BEC＝∠ADE.所以△ADE∽△BEC.
返回
[悟一法]
(1)在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一
隐含条件的应用． (2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 与原三角形相似．
返回
[通一类] 2．如图，BD、CE是△ABC的高． 求证：△ADE∽△ABC.
证明：∵BD、CE 是△ABC 的高， ∴∠AEC＝∠ADB＝90° . 又∵∠A＝∠A， ∴△AEC∽△ADB， AD AE ∴AB ＝AC. 又∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC.
求证：△ABP∽△PCE.
分析：本题考查相似三角形判定定理1的应用．解答 此题需要根据已知条件，寻找三角形相似的条件．因为
∠B＝∠C，所以只需在△ABP与△PCE中找到一组对应
相等的角即可． 返回
证明：∵AD∥BC，∴∠PAD＝∠APB.
∵∠B＋∠BAD＝180°， ∴∠BAP＋∠PAD＝120°. 又∵∠APB＋∠CPE＝120°. ∴∠BAP＝∠CPE. 又∵∠B＝∠C， ∴△ABP∽△PCE.
∴∠BAF＝∠AED，∠C＋∠D＝180°.
又∵∠C＝∠BFE，∠BFE＋∠BFA＝180°， ∴∠D＝∠AFB， ∴△ABF∽EAD. (2)∵AB∥CD，BE⊥CD，
∴∠ABE＝90°.
在Rt△AEB中，∠BAE＝30°，AB＝4，

人教版高中数学选修4-1第1讲 相似三角形的判定及有关性质 第1节ppt课件

人教版高中数学选修4-1第1讲 相似三角形的判定及有关性质 第1节ppt课件
证明： ∵DE⊥BC，∴∠BDE＝90°. ∵∠ACB＝90°，∴∠BDE＝∠ACB，
∴DE∥CA．
∵D是BC的中点，∴E是AB的中点， ∴AB＝2CE.
课堂学案
平行线等分线段定理的应用
• 求作任一线段AB的五等分点(尺寸自定)． • [思路点拨] 根据平行线等分线段定理，需要构造定
理的基本图形，进行作图，这里要注意平行线组要
第一 讲
相似三角形的判定 及有关性
•第一节 平行线等分线段定理
目标定位
• 1．由观察或测量得到关于平行线等分线段定理的猜 想，进而进行证明．
• 2．灵活掌握并运用平行线等分线段定理及其推论．
[特别关注]
• 1．对平行线等分线段定理及其推论的考查(重点)．
• 2．本课考查题目形式多样，侧重于有关计算与证明 (难点)
∴AF＝13AC．
平行线等分线段定理推论2的运用
• 如图所示，梯形ABCD中， AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°， BC＝AB，E为AB的中点．
• 求证：△ECD为等边三角形．
[思路点拨] 证明AD∥EF∥BC ―推―论→2 F是DC中点 中―定垂 ―理→线
ED＝EC ―→ △ABC为等边三角形 ―→ △ECD为等边三角形
• [规律方法] 此类问题往往涉及平行线等分线段定理 的推论1的运用，寻找便于证明三角形中线段相等或 平行的条件，再结合三角形全等或相似的知识，达 到求解的结果．
2.如图，已知 AD 是三角形 ABC 的中线，E 为 AD 的中点， BE 的延长线交 AC 于 F.
求证：AF＝13AC．
证明： 过 D 作 DH∥BF 交 AC 于 H， ∵BD＝CD，DH∥BF，∴FH＝CH. 同理：AF＝FH. ∴AF＝FH＝CH，

(人教A版)高考数学复习：选修4-1(第1讲)相似三角形的判定及有关性质》课件

(人教A版)高考数学复习：选修4-1(第1讲)相似三角形的判定及有关性质》课件
2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB， E 为 AC 的中点，ED、CB 的延长线交于一点 F.
求证：FD2＝FB·FC.
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选修4-1 几何证明选讲
证明：∵E 是 Rt△ACD 斜边上的中点， ∴ED＝EA，∴∠A＝∠1， ∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A， ∵∠FDC＝∠CDB＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD＝∠ACB＋∠A ＝90°＋∠A，∴∠FBD＝∠FDC， ∵∠F 是公共角，∴△FBD∽△FDC， ∴FFDB＝FFDC，∴FD2＝FB·FC.
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选修4-1 几何证明选讲
解：由 CD＝2，AB＝4，EF＝3，得 EF＝12(CD＋AB)，所以 EF 是梯形 ABCD 的中位线，则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 有 相同的高，设为 h，则 S 梯形 ABFE∶S 梯形 EFCD＝12(3＋4)h∶12(2＋ 3)h＝7∶5.
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选修4-1 几何证明选讲
(2)平行线分线段成比例定理 定理：三条平行线截两条直线，所得的___对__应__线__段___成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线) 所得的____对__应__线__段___成比例．
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选修4-1 几何证明选讲
2．相似三角形的判定与性质 (1)判定定理
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选修4-1 几何证明选讲
[规律方法] (1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵 活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘 积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题． (2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间 接证明线段相等．
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选修4-1 几何证明选讲
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若∠A=35°, ∠C=85°,∠AED=60 °则AD· AB=
AE· AC
A D E B C
找一找
（1）图1中DE∥FG∥BC，找出图中所有的相似三角形。 答：相似三角形有 △ADE∽△AFG∽△ABC。 （2）图2中AB∥CD∥EF，找出图中所有的相似三角形。 答：相似三角形有 A △AOB∽△FOE∽△DOC。
A D D B 图 3 C B 图 4 D
●
(或者∠ C＝∠ ADE)
A
E
C
A
D
B C
3.已知如图， ∠ABD=∠C AD=2 AC=8，求AB 解： ∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C ∴ △ABD ∽ △ACB ∴ AB : AC=AD : AB ∴ AB2 = AD · AC ∵ AD=2 AC=8 ∴ AB =4
一定需三个角吗？
相似三角形的识别方法： 如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两 角对应相等，那么这两个三角形相似． 思考 如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它 们是否一定相似？
相似三角形的识别
用数学符号表示：
A A'
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
B (两个角分别对应相等的两个三角形相似)
A
D
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
5、如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=900，BD⊥AC于D 18 若 AB=6 AD=2 则AC= BD= BC= 4 √2 12√2
5、如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=90 ， BD⊥AC于D
0
问：若E是BC中点，ED的延 长线交BA的延长线于F， 求证：AB : AC=DF : BF
例3.弦AB和CD相交于⊙o内一点P,求证:PA· PB=PC· PD 证明:连接AC、BD
⌒ ∵∠A、∠D都是CB所对的圆周角
∴ ∠A=∠D 同理: ∠C=∠B
PA PC PD PB
A
D
O
C
P B
∴△PAC∽△PDB
即PA· PB=PC· PD
例4.已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点，
C
A
D
B
△ACD ∽ △ CBD∽ △ ABC
你能写出对应边的比例式吗?
填一填
（1）如图3，点D在AB上，当∠ACD ＝∠ B 时， △ACD∽△ABC。 (或者∠ ACB＝∠ ADB) （2）如图4，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足 条件 DE//BC ，就可以使△ADE与原△ABC相似。 (或者∠ B＝∠ ADE)
A
F
D
B
E
C
A
1 2
A O
C
B
A
C
C
D E
B D
D O
A D E
B
B
C
A
B
C
课堂小结
相似三角形的识别方法有那些？
方法1：通过定义

三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：平行于三角形一边的直线。 方法3：三边对应成比例。 方法4：两边对应成比例且夹角。 方法5：通过两角对应相等。
（这可是今天新学的，要牢记噢！)
C B' C'
例题欣赏 例1 如图所示，在两个直角三角形 △ ABC 和 △ A′B′C′ 中 ， ∠ B＝∠B′ ＝90°，∠A＝∠A′， 判 断 这 两 个 三角形是否相似．
A
A'
解：∵ ∠B＝∠B′＝90°（已知）， ∠A＝∠A′（已知）， ∴ △ABC∽△A′B′C′（两个角分别对应 相等的两个三角形相似．）
泰勒斯测量金字塔高度的示意图:
A′
A′
A
A B C B′ C′ B
C
B′
C′
如果人体高度AC＝1.7米，人影长BC＝2.2米，而B′C′ ＝176米，你能求出金字塔的高度并说明其中的道理吗？
可证△ABC∽△A’B’C’ AC BC 即 A'C' B'C' 所以A’ C’=1.7x176÷2.2=136m
A B D F B 图 1
E
G E C
O F D 图 2
C
（3）在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝80°，∠C＝60°， ∠A′＝80°，∠B′＝40°，那么这两个三角形是否相似？为什么？ ∠B=180 °－（∠A+∠C)=180 °－（80 °+60 °)=40 °
3.找出图中所有的相似三角形
B
B'
C'
C
例题分析
例2. 如图，△ABC中， DE∥BC，EF∥AB， 试说明△ADE∽△EFC.
B D
A
E
F
C
解: ∵ DE∥BC，EF∥AB（已知），
∴ ∠ADE＝∠B＝∠EFC （两直线平行，同位角相等） ∠AED＝∠C. （两直线平行，同位角相等） ∴ △ADE∽△EFC. （两个角分别对应相等的 两个三角形相似．）
观察你与老师的直角三角尺(30 与60 ) ,会相似吗？
O O
这两个三角形的三个内角的 大小有什么关系？
相 似
三个内角对应相等。
三个内角对应相等的两个三角 形一定相似吗？
画△ ，使三个角分别为60°，45°, 75° 。 ①同桌分别量出两个三角形三边的长度； ②同桌这两个三角形相似吗? 观察
即： 如果一个三角形的三个角分别与另一个三角 相似 形的三个角对应相等，那么这两个三角形_______．