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第十节变化率与导数、导数的运算授课提示：对应学生用书第37页［基础梳理］1．导数的概念（1）函数y＝f(x)在x＝x0处导数的定义称函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率＝错误!为函数y＝f（x)在x＝x0处的导数,记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝错误!＝．(2）导数的几何意义函数f（x）在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s（t)对时间t 的导数）．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．（3）函数f（x)的导函数称函数f′(x)＝错误!为f(x)的导函数．2原函数导函数f（x）＝c(c为常数)f′(x)＝0f（x)＝xα(α∈Q＊）f′(x)＝αxα－1f(x）＝sin x f′(x)＝cos__xf(x）＝cos x f′（x）＝－sin__xf（x）＝a x(a＞0，且a≠1）f′（x)＝a x ln__af(x）＝e x f′（x）＝e x f(x)＝log a x（a＞0,且a≠1）f′(x）＝错误!f（x)＝ln x f′（x)＝错误!3.导数的运算法则（1）[f(x)±g(x）］′＝f′(x）±g′(x)．(2）［f（x)·g（x）］′＝f′（x)g(x）＋f（x)g′（x)．（3）错误!′＝错误!(g（x）≠0)．1．求导其实质是一种数学运算即求导运算，有公式和法则，也有相应的适用范围或成立条件,要注意这一点，如(x n）′＝nx n－1中,n≠0且n∈Q*.错误!′＝错误!，要满足“＝”前后各代数式有意义，且导数都存在．2．(1)f′（x0)代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；(f（x0））′是函数值f(x0）的导数,而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)）′＝0.(2）f′（x)是一个函数，与f′(x0）不同．3．（1）“过”与“在”：曲线y＝f（x)“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别：前者P（x0，y0)为切点，而后者P（x0，y0)不一定为切点．(2)“切点”与“公共点”:曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点．[四基自测]1．（基础点：求导数值)若f(x）＝x·e x，则f′（1)等于(）A．0B．eC．2e D．e2答案：C2．（易错点：导数的运算)已知f（x)＝x·ln x,则f′（x）＝（) A。
第二章 函数、导数及其应用 第10讲 变化率与导数、导数的计算一、必记3个知识点1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数： 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即 f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0 fx 0＋Δx －f x 0Δx.(2)导数的几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数： 称函数f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式(sin x )′＝cos_x ，(cos x )′＝－sin_x ，(a x)′＝a xln_a ，(e x)′＝e x，(log a x )＝1x ln a ，(ln x )′＝1x. 3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)．二、必明3个易误区1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者． 3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．考点一利用导数的定义求函数的导数利用导数的定义求函数的导数：(1)y ＝x 2； (2)f (x )＝1x ＋2. 解：(1)因为Δy Δx ＝fx ＋Δx －f x Δx ＝x ＋Δx 2－x 2Δx ＝x 2＋2x ·Δx ＋Δx2－x2Δx＝2x ＋Δx ，所以y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .(2)因为Δy Δx ＝fx ＋Δx －f x Δx ＝1x ＋Δx ＋2－1x ＋2Δx ＝－1x ＋Δx ＋2x ＋2所以y ′＝lim Δx →0ΔyΔx＝－lim Δx →01x ＋Δx ＋2x ＋2＝－1x ＋22.[类题通法]定义法求函数的导数的三个步骤一差：求函数的改变量Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )．二比：求平均变化率Δy Δx ＝fx ＋Δx －f xΔx.三极限：取极限，得导数y ′＝f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx. 考点二导数的运算[典例] 求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝e x＋1e x －1.[解] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝e x＋1′e x－1－e x＋1e x －1′e x －12＝exe x －1－e x ＋1e x e x －12＝－2exe x －12.[类题通法]1．求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．2．有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量． [针对训练]已知f (x )＝sin 2x ，记f n ＋1(x )＝f n ′(x )(n ∈N *)，则f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋…＋f 2 013⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f 2 014⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.解析：由题意，可知f 2(x )＝f 1′(x )＝(sin 2x )′＝2cos 2x ；f 3(x )＝f 2′(x )＝(2cos 2x )′＝－4sin 2x ； f 4(x )＝f 3′(x )＝(－4sin 2x )′＝－8cos 2x ； f 5(x )＝f 4′(x )＝(－8cos 2x )′＝16sin 2x ；…故f 4k ＋1(x )＝24ksin 2x ，f 4k ＋2(x )＝24k ＋1cos 2x ，f 4k ＋3(x )＝－24k ＋2sin 2x ，f 4k ＋4(x )＝－24k ＋3cos 2x (k ∈N )．所以f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋…＋f 2 014⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝20sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋21cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6－23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋…－22 010sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－22 011cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋22 012sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋22 013cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＝(20－22＋24－26＋…＋22 008－22 010＋22 012)sin π3＋(21－23＋25－27＋…＋22 009－22 011＋22 013)cos π3＝1×[1－－22 1 007]1－－22×32＋2×[1－－22 1 007]1－－22×12＝1＋22 0145×32＋2×1＋22 0145×12＝3＋21＋22 01410答案：3＋21＋22 01410考点三导数的几何意义角度一 求切线方程1．曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝－3x －1C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －1 解析：选A 依题意得y ′＝(x ＋1)e x＋2，则曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率为(0＋1)e 0＋2＝3，故曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝3x ，即3x －y －1＝0，故选A. 角度二 求切点坐标2．(2013·辽宁五校第二次联考)曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是( )A ．(0,1)B ．(1，－1)C ．(1,3)D ．(1,0)解析：选C 由题意知y ′＝3x＋1＝4，解得x ＝1，此时4×1－y －1＝0，解得y ＝3，∴点P 0的坐标是(1,3)．角度三 求参数的值3．(2014·郑州第一次质量预测)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2解析：选C ∵直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，且y ＝x 3＋ax ＋b 的导数y ′＝3x 2＋a ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝k ×1＋1，3＝13＋a ×1＋b k ＝3×12＋a ，，解得a ＝－1，b ＝3，∴2a ＋b ＝1.[类题通法]导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f x 1－f x 0x 1－x 0求解．课后作业[试一试]1．(2013·江西高考)若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.解析：由题意y ′＝αx α－1，在点(1,2)处的切线的斜率为k ＝α，又切线过坐标原点，所以α＝2－01－0＝2.答案：22．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________．解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .答案：－x sin x 做一做1．(2013·全国大纲卷)已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝( ) A ．9 B ．6 C ．－9 D ．－6解析：选D y ′＝4x 3＋2ax ，由导数的几何意义知在点(－1，a ＋2)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，解得a ＝－6.2．(2014·济宁模拟)已知f (x )＝x (2 012＋ln x )，f ′(x 0)＝2 013，则x 0＝( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：选B 由题意可知f ′(x )＝2 012＋ln x ＋x ·1x＝2 013＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 013，得ln x 0＝0，解得x 0＝1.3．若曲线y ＝x 2＋a ln x (a >0)上任意一点处的切线斜率为k ，若k 的最小值为4，则此时该切点的坐标为( ) A ．(1,1) B ．(2,3) C ．(3,1) D ．(1,4) 解析：选A y ＝x 2＋a ln x 的定义域为(0，＋∞)，由导数的几何意义知y ′＝2x ＋ax≥22a ＝4，则a ＝2， 当且仅当x ＝1时等号成立，代入曲线方程得y ＝1，故所求的切点坐标是(1,1)． 4．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________.解析：∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2.∴f ′(x )＝2x －4.∴f ′(0)＝－45．(2014·黄冈一模)已知函数f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)·(x －4)(x －5)，则f ′(0)＝________. 解析：f ′(x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋x [(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′， ∴f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.答案：－1206．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．解：∵(1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，∴当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，∴斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率k ＝－1，∴切线方程为x ＋y －113＝0. (2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.7．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．8．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194 B.174 C.154 D.134解析：选D ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.9．(2014·济南模拟)已知曲线y 1＝2－1x与y 2＝x 3－x 2＋2x 在x ＝x 0处切线的斜率的乘积为3，则x 0的值为( )A ．－2B ．2 C.12D ．1解析：选D 由题知y ′1＝1x 2，y ′2＝3x 2－2x ＋2，所以两曲线在x ＝x 0处切线的斜率分别为1x 20，3x 20－2x 0＋2，所以3x 20－2x 0＋2x 2，所以x 0＝1. 10．已知f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：选C 由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0， 即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．11．已知函数f (x )＝23x 3－2ax 2－3x (a ∈R )，若函数f (x )的图像上点P (1，m )处的切线方程为3x －y ＋b ＝0，则m 的值为( )A ．－13B ．－12 C.13 D.12解析：选A ∵f (x )＝23x 3－2ax 2－3x ，∴f ′(x )＝2x 2－4ax －3，∴过点P (1，m )的切线斜率k ＝f ′(1)＝－1－4a .又点P (1，m )处的切线方程为3x －y ＋b ＝0，∴－1－4a ＝3，∴a ＝－1，∴f (x )＝23x 3＋2x 2－3x .又点P 在函数f (x )的图像上，∴m ＝f (1)＝－13.12．(2013·广东高考)若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________. 解析：因为y ′＝2ax －1x ，依题意得y ′|x ＝1＝2a －1＝0，所以a ＝12.答案：1213．已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________.解析：∵f ′(x )＝1x－2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8.14．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 014⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________. 解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )，又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 014⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝503f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 4⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0.答案：015．求下列函数的导数．(1)y ＝x ·tan x ； (2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)．解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋xcos 2x.(2)y ′＝(x ＋1)′[(x ＋2)(x ＋3)]＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)·(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.16．已知函数f (x )＝x －2x，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解：根据题意有曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3，曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a .所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f (1)＝3(x －1)，又f (1)＝－1，得：y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0.曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g (1)＝3(x －1)．又g (1)＝－6.得y ＋6＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －9＝0，所以，两条切线不是同一条直线．17．(2014·东营一模)设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线的斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图像可以为( )解析：选C 根据题意得g (x )＝cos x ，∴y ＝x 2g (x )＝x 2cos x 为偶函数．又x ＝0时，y ＝0，故选C.18．(2013·山西模拟)已知函数f (x )＝x ＋12＋sin xx 2＋1，其导函数记为f ′(x )，则f (2 012)＋f ′(2 012)＋f (－2 012)－f ′(－2 012)＝________.解析：由已知得f (x )＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，则f ′(x )＝2＋cos xx 2＋1－2x ＋sin x ·2xx 2＋12令g (x )＝f (x )－1＝2x ＋sin xx 2＋1，显然g (x )为奇函数，f ′(x )为偶函数，所以f ′(2 012)－f ′(－2 012)＝0，f (2 012)＋f (－2 012)＝g (2 012)＋1＋g (－2 012)＋1＝2，所以f (2 012)＋f ′(2 012)＋f (－2 012)－f ′(－2 012)＝2.答案：2。
