广西陆川县中学高二下学期数学同步作业：第9章 立体几何 直线与平面垂直的判定和性质(3)(大纲版))

一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）
1. 垂直于同一平面的两条直线
（）
A.平行
B.垂直
C.相交
D.异面
5. 如图，ABCD—A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是
（）
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.异面直线AD与B1C所成的角为60°
12.如图所示,三棱柱A1B1C1-ABC中，底面△ABC是正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点
D是BC的中点，BB1，设B1D∩BC1=F.
（1）求证：A1C∥平面AB1D;
（2）求证：BC1⊥平面AB1D.
1.设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是（）
A.c⊥α,若c⊥β,则α∥β
B.b⊂α,c⊄α,若c∥α,则b∥c
C.b⊂β,若b⊥α,则β⊥α
D.b⊂β,c是a在β内的射影，若b⊥c,则b⊥a
5.如图，在组合体中，ABCD-A1B1C1D1是一个长方体，P-ABCD是一个四棱锥.AB=2,BC=3，点
P∈平面CC1D1D且.
（1）证明：PD⊥平面PBC；
（2）若AA 1=a,当a 为何值时，PC ∥平面AB 1D.
6.（2011·江西）如图，在△ABC 中，∠B=
2
,AB=BC=2,P 为AB 边上一动点，PD ∥BC
交AC 于点D ，现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA ′，使平面PDA ′⊥平面PBCD.
（1）当棱锥A ′-PBCD 的体积最大时，求PA 的长；
（2）若点P 为AB 的中点，E 为A ′C 的中点.求证：A ′B ⊥DE.。

直线与平面垂直的判定【知识梳理】1. 直线与平面垂直的定义(1) 自然语言：如果直线I与平面a内的任意一条直线都垂直，就说直线I与平面a 互相垂直，记作I丄a直线I叫做平面a的垂线，平面a叫做直线I的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.(2) 图形语言：如图.画直线I与平面a垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.(3) 符号语言：任意a? a,都有I丄a? 1丄公2. 直线与平面垂直的判定定理(1) 自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直.(2) 图形语言：如图所示.(3)符号语言：a? a，b? a，a A b = P，1 丄a，1 丄b? 13.直线与平面所成的角(1) 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，巴做这条直线和这个平面所成的角.如图，/ PAO就是斜线AP与平面a所成的角.(2) 当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°.(3) 当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.(4) 线面角B的范围：0 °90 °.【常考题型】题型一、线面垂直的定义及判定定理的理解【例1】下列说法中正确的个数是()①如果直线I与平面a内的两条相交直线都垂直，则I丄a；②如果直线I与平面a内的任意一条直线垂直，则I丄a；③如果直线I不垂直于a，则a内没有与I垂直的直线；④如果直线I不垂直于a，则a内也可以有无数条直线与I垂直.A . 0B . 1C. 2D. 3［解析］由直线和平面垂直的定理知①对；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当不垂直时，I可能与a内的无数条直线垂直，故③不对；④正确.［答案］D【类题通法】1 .对于线面垂直的定义要注意"直线垂直于平面内的所有直线”说法与"直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.2•判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.【对点训练】1. 下列说法中，正确的是（）A .若直线I与平面a内无数条直线垂直，则I丄aB .若直线I垂直于平面a,则I与平面a内的直线可能相交，可能异面，也可能平行C.若a// b, a? a, I丄a,贝U I丄bD .若a丄b, b丄a,贝U a / a解析：选C 当I与a内的任何一条直线都垂直时，I丄a,故A错；当I丄a时，I与a内的直线相交或异面，但不会平行，故B错；C显然是正确的；而D中，a可能在a内，所以D错误.题型二、线面垂直的判定【例2】如图所示，在三棱柱ABC —A I B I C I中，侧棱AA i丄底面ABC,AB = AC= 1 , AA i = 2,Z B i A i C i= 90° D 为BB!的中点.求证：AD丄平面A1DC1.［证明］・.AA1丄底面ABC,平面A1B1C1/平面ABC ,••AA1 丄平面A1B1C1,••A1C11AA1.又/B1A1CL 90°「A1C1 JA1B1.而A1B1Q AA1 = A1,•AC1 丄平面AA1B1B.又AD?平面AA1B1B ,/A1C11AD.由已知计算得 AD = □.；2, A i D = 2, AA i = 2. •'AD 2+ A i D 2= AA 1, •AD!AD.・.A i C i Q A i D = A i , •AD 丄平面A i DC i . 【类题通法】1 .用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法.2. 线线垂直与线面垂直的转化关系.3. 解决线面垂直的常用方法： (1) 利用勾股定理的逆定理.(2) 利用等腰三角形底边的中线就是底边的高线. (3) 利用线面垂直的定义.⑷利用平行转化，即 a /b , b Jc ，则a Jc. 【对点训练】2•如图，直角三角形 ABC 所在平面外有一点 为斜边AC 的中点.⑴求证：SD 丄平面ABC ;⑵若AB = BC ,求证：BD 丄平面SAC.有 AD = DC = BD ，所以△ ADS^zBDS. 所以Z BDS =Z ADS = 90° 即 SD1BD.又AC A BD = D , AC , BD?平面 ABC ，所以SD 丄平面ABC. ⑵因为AB = BC , D 为AC 的中点，所以BD 丄AC.又由 ⑴知SDJBD ，于是BD 垂直于平面SAC 内的两条相交直线，所以BD 丄平面SAC.线线垂直线面垂直的判定定理线面垂直的定义线面垂直.证明：⑴因为SA = SC , D 为AC 的中点，所以 SD J AC.则在 Rt △KBC 中,S,且 SA = SB = SC ,点 D设0为底面中心,题型三、直线与平面所成的角【例3】 如图所示，在正方体 ABCD — A I B I C I D I 中，E 是棱DD i 的中点.求直线 BE 与所以EM /AD.又在正方体 ABCD — A i B i C i D i 中，AD 丄平面ABB i A i , 所以EM 丄平面ABB i A i ,从而BM 为直线BE 在平面ABB i A i 上的射影，左BM 即为直线BE 与平面ABB i A i 所成的角. 设正方体的棱长为 2,贝U EM = AD = 2, BE =」22+ 22+ i 2= 3, EM 2于是在 Rt^BEM 中，sinZEBM = =-,BE 3 2即直线BE 与平面ABB i A i 所成的角的正弦值为3. 【类题通法】求斜线与平面所成角的步骤(1) 作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂 足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算.(2) 证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.(3) 计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算. 【对点训练】3•已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的 2倍，求侧棱与底面所成角的余弦值. 解：如图，设正三棱锥的底面边长为a ，则侧棱长为2a.平面ABB I A I 所成的角的正弦值.［解］取AA i 的中点M ,连接EM , BM ,因为E 是DD i 的中点，四边形 ADD 1A 1为正方形,则/SAO 为SA 与平面ABC 所成的角.【练习反馈】1•一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是 （）A .平行B .垂直C .相交不垂直D .不确定答案：B2•如图所示，若斜线段 AB 是它在平面 与平面a 所成的角是（）A . 60 ° D . 120解析：选A Z ABO 即是斜线AB 与平面a 所成的角, 1在 Rt △KOB 中，AB = 2BO ，所以 cos Z ABO = 2, 即 /ABO = 60°3•如图所示，三棱锥 P — ABC 中，PA 丄平面 ABC , PA = AB ,则直线 PB 与平面ABC 所成的角等于 ___________ .解析：因为FA 丄平面ABC ,所以斜线PB 在平面ABC 上的射影为AB , 所以Z PBA 即为直线PB 与平面ABC 所成的角.在△ FAB 中，/BAP = 90°, PA = AB ,所以Z PBA = 45 °,即直线PB 与平面ABC 所成的角等于45 °答案：454•已知PA 垂直于平行四边形 ABCD 所在的平面，若 PC 丄BD ，则平行 四边形一定是在Rt 竺OA 中，：AO =a ,Aoj33a-Cos/SAO = SA = 2a__3 "6，即侧棱与底面所成角的余弦值为"6.C . 30 °a 上的射影BO 的2倍，则B . 45 °解析：连接AC、BD，则AC与BD交于点O.法知道它的对错。

高二数学同步检测二直线和平面平行、垂直与平面和平面平行说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题栏，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．共100分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．1．设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中正确的是A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若a∥b，b∥α，则a∥α D．若m与α无公共点，则m∥α2．给定空间中的直线l及平面α.条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．下面给出三个命题：①直线l与平面α内两直线都垂直，则l⊥α；②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b；③直线l同时垂直于平面α、β，则α∥β.其中正确的命题个数为A．0 B．1 C．2 D．34．平面α∥β的一个充分条件是A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α5．两平面α∥β，a⊂α，下列命题中：①a与β内的所有直线平行；②a与β内的无数条直线平行；③a与β内的任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．其中真命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．46．已知平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离都相等，则正确的结论是A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必与α相交C．平面ABC必不垂直于αD．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内7．如图，PA⊥平面ABC，△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有A．4个B．3个C ．2个D ．1个 8．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 其中真命题的个数是A ．4B ．3C ．2D ．19．一平面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形只有一条对角线与这个平面平行，那么这四个交点围成的四边形是A ．梯形B ．菱形C ．平行四边形D ．任意四边形10．已知m ，n ，l 为直线，α，β为平面，给出下列命题：①⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ⊥n ⇒n ∥α ②⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥βn ⊥β⇒m ∥n ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ⊥β⇒α∥β ④⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂βα∩β＝l ⇒m ∥n 其中正确的命题序号是A ．③④B ．②③C ．①②D ．①②③④第Ⅱ卷(非选择题 共60分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 11．设直线m 在平面α内，则平面α平行于平面β是直线m 平行于平面β的__________条件．(填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)12．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8，∠ABC ＝60°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，M 是AB 上一个动点，则PM 的最小值为__________．13．四边形ABCD 是空间四边形，E 、F 、G 、H 分别是四边上的点，它们共面，并且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，则当四边形EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝__________.14．m 、n 是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面有四个命题： ①m ⊥α，n ∥β，α∥β⇒m ⊥n ②m ⊥n ，α∥β，m ⊥α⇒n ∥β ③m ⊥n ，α∥β，m ∥α⇒n ⊥β ④m ⊥α，m ∥n ，α∥β⇒n ⊥β其中真命题的序号是__________．三、解答题：本大题共5小题，共44分．解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题8分)如图，PA ⊥矩形ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面PAD ；(2)求证：MN⊥CD；(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.16．(本小题8分)如图，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB ＝BC，E是PC的中点．(1)证明CD⊥AE；(2)证明PD⊥平面ABE.17．(本小题8分)如图，P 是△ABC 所在平面外的一点，PA ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥PA ，PH ⊥平面ABC ，H 是垂足．(1)求证：H 是△ABC 的垂心；(2)求证：△ABC 是锐角三角形．18．(本小题10分)如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，平面CDE 是等边三角形，棱EF 綊12BC.(1)证明FO ∥平面CDE ；19．(本小题10分)如图，空间四边形ABCD中，BD⊥AC，平行于对角线AC、BD的平面分别交AB，BC，CD，DA于点E，F，G，H，且AC＝a，BD＝b.求四边形EFGH面积的最大值．。

直线、平面垂直的判定和性质（简答题：容易）1、（本小题满分14分）如图，在四面体中，，点是的中点，点在线段上，且．（1）若∥平面，求实数的值；（2）求证：平面平面．2、直三棱柱中，，，、分别为、的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求四面体的体积．3、如图和均为等腰直角三角形，，，平面平面，平面，，（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.4、如图，在四棱柱中，侧面和侧面都是矩形，是边长为的正三角形，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.（3）若平面，求棱的长度.5、如图，四棱锥中，，，侧面SAB为等边三角形， , .（Ⅰ）证明：平面;（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.6、如图，在四棱锥中，平面，平面，.（1）证明：平面平面；（2）点为线段（含端点）上一点，设直线与平面所成角为，求的取值范围.7、已知四棱锥，底面是、边长为的菱形，又底，且，点分别是棱的中点．（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求点到平面的距离．[8、如图，是正方形,是正方形的中心，是的中点．求证：（1）平面；（2）平面．9、如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，.（1）求证：平面平面；（2）设是上的动点，求与平面所成最大角的正切值；（3）求二面角的余弦值.10、在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）设M为棱CC1的点，且满足BM⊥B1D，求证：平面AB1D⊥平面ABM．11、如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ（II）求二面角Q-BP-C的余弦值．12、如图，在四棱锥中，底面为菱形，分别是棱的中点，且平面．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．13、如图，四棱柱的底面是菱形，，底面，.（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.14、如图，在四棱锥中，平面，,,是的中点.(1)证明：平面;(2)若直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求二面角的正切值15、如图，在三棱锥D-ABC中，DA=DB=DC,D在底面ABC上的射影E，E为的中点，AB⊥BC，DF⊥AB于F．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=60°，求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值.16、如图,在四棱锥中,面,,且,点在上.（Ⅰ）求证:；（Ⅱ）若二面角的大小为,求的值.17、已知四棱锥的底面是正方形，底面，是上的任意一点.过点E的平面α垂直于平面SAC.（1）请作出平面α 截四棱锥S-ABCD的截面（只需作图并写出作法）；（2）当时，求二面角的大小.18、如图，在四棱锥中，平面，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面?说明理由.19、如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝4AB，F为CD的靠近C的四等分点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）请问：平面BCE与平面CDE是否互相垂直？请证明你的结论．20、如图，在直三棱柱中，已知，分别为的中点，求证：（1）平面平面；（2）平面.21、边长为4的菱形中，满足，点，分别是边和的中点，交于点，交于点，沿将△翻折到△的位置，使平面⊥平面，连接，，，得到如图所示的五棱锥．（1）求证：⊥；（2）求二面角的正切值．22、如图所示，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，F为CD的中点．求证：（Ⅰ）AF∥平面BCE；（Ⅱ）平面BCE⊥平面CDE．23、如图，矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N、R分别是AB、PC、CD的中点．①求证：直线AR∥平面PMC；②求证：直线MN⊥直线AB．24、如图1，在直角梯形ADCE中，AD∥EC，EC=2BC，∠ADC=90°，AB⊥EC，点F为线段BC上的一点．将△ABE沿AB折到△ABE1的位置，使E1F⊥BC，如图2．（Ⅰ）求证：AB∥平面CDE1；（Ⅱ）求证：E1F⊥AC；（Ⅲ）在E1D上是否存在一点M，使E1C⊥平面ABM．说明理由．25、（2014•淄博二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD，PB⊥AC，Q是线段PB的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面PAC；（Ⅱ）求证：AQ∥平面PCD．26、（2015秋•陕西校级期末）如图，P为△ABC所在平面外一点，AP=AC，BP=BC，D为PC中点，直线PC与平面ABD垂直吗？为什么？27、如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且分别是的中点．（1）求证：平面；（2）求锐二面角的余弦值；（3）若点是上一点，求的最小值．28、四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC=，（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）求证，直线PB与AC垂直；29、三棱锥P—ABC中，PO⊥面ABC，垂足为O，若PA⊥BC，PC⊥AB，求证：（1）AO⊥BC（2）PB⊥AC30、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD．31、已知E是矩形ABCD（如图1）边CD上的一点，现沿AE将△DAE折起至△D1AE（如图2），并且平面D1AE⊥平面ABCE，图3为四棱锥D1—ABCE的主视图与左视图．（1）求证：直线BE⊥平面D1AE；（2）求点A到平面D1BC的距离．32、（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，与都是边长为2的等比三角形且所在平面互相平行，四边形BCED为正方形，，O，G分别是BC，DE的中点．（1）证明：平面ADE平面AOFG；（2）求二面角D-AE-F的余弦值．33、（本小题满分14分）如图，在五面体中，四边形为正方形，，平面平面，且,，点G是EF的中点.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若点在线段上，且，求证：//平面；（Ⅲ）已知空间中有一点O到五点的距离相等，请指出点的位置. (只需写出结论)34、（本小题满分14分）如图，在四面体中，，点是的中点，点在线段上，且．（1）若∥平面，求实数的值；（2）求证：平面平面．35、（本题满分14分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，，AF⊥PC于点F，FE∥CD交PD于点E.（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）若，证明平面36、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1中点．(1)求证：AB1⊥BF；（2）若正方体的棱长为1，求37、（本题满分12分）己知斜三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧面为菱形，，平面平面，是的中点．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．38、（本小题满分13分）如图，⊙O在平面内，AB是⊙O的直径，平面，C为圆周上不同于A、B的任意一点，M，N，Q分别是PA，PC，PB的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求证：平面.39、（本小题满分14分）如图，四边形是正方形，△与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是的中点，点是边上的任意一点.（1）求证：；（2）求二面角的平面角的正弦值.40、（本小题满分14分）如图，在三棱锥P- ABC中，已知平面PBC 平面ABC．（1）若AB BC，CP PB，求证：CP PA：（2）若过点A作直线⊥平面ABC，求证：//平面PBC．41、（本小题满分13分）在四棱锥中，底面是正方形，与交于点，底面，为的中点.（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．42、（本题满分14分）如图，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点．求证：（1）//平面；（2）平面平面．43、在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF=1，（1）求证：BD⊥平面AED；（2）求B到平面FDC的距离．44、如图，正方形的边长为1，正方形所在平面与平面互相垂直，是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积．45、（2013•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，，BC=CD=2，．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P﹣BDF的体积．46、（2011•山东）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=2AD，AD=A1B1，∠BAD=60°．（1）证明：AA1⊥BD；（2）证明：CC1∥平面A1BD．47、如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，点V是圆O所在平面外一点，是AC的中点，已知，．（1）求证：AC⊥平面VOD；（2）求三棱锥的体积.48、如图，直三棱柱中，、分别是棱、的中点，点在棱上，已知，，．（1）求证：平面；（2）设点在棱上，当为何值时，平面平面？49、如图所示，已知为圆的直径，点为线段上一点，且，点为圆上一点，且．点在圆所在平面上的正投影为点，．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．50、如图已知：菱形所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，，点分别是线段的中点.(1)求证：平面平面;(2)试问在线段上是否存在点，使得平面,若存在,求的长并证明；若不存在，说明理由.51、如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C丄平面ABCD，且AB=BC＝CA=,AD=CD=1.求证：BD⊥AA1；若四边形是菱形，且，求四棱柱的体积.52、如图，、为圆柱的母线，是底面圆的直径，、分别是、的中点，．(1)证明：；(2)证明：；(3)求四棱锥与圆柱的体积比.53、如图所示，已知为圆的直径，点为线段上一点，且，点为圆上一点，且．点在圆所在平面上的正投影为点，．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．54、如图已知：菱形所在平面与直角梯形所在平面互相垂直，，点分别是线段的中点.（1）求证：平面平面;（2）点在直线上，且//平面，求平面与平面所成角的余弦值。

一、选择题1.已知,a b 为异面直线，AB 是公垂线，直线//l AB ，则l 与a 或l 与b 的交点总数为 A ．0 B ．只有一个 C ．最多一个 D ．最多两个2.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 和N 分别为11A B 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成的角的余弦值是AC ．35D ．253.直线,a b 相交于点O 且,a b 成60︒角，则过点O 与,a b 都成 60︒角的直线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 4.右图是正方体平面展开图，在这个正方体中①BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60︒角； ④DM 与BN 垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④ 二、填空题5.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，那么（1）哪些棱所在直线与直线1BA 成异面直线： 。

（2）直线1BA 与1CC 所成角的大小为 。

（3）直线1BA 与1B C 所成角的大小为 。

（4）异面直线BC 与1AA 的距离为 。

（5）异面直线1BA 与1CC 的距离是 。

6.四面体S ABC -，各条棱长相等，D 为SC 的中点，则BD 与SA 所成的角的余弦值是 。

7.已知ABCDEF 是边长为1的正六边形，AP 垂直于正六边形所在的平面，并且1AP =，则直线AB 和PC 所成的角的余弦值为 。

8.设P 为异面直线,a b 外一点，那么：（1）过P 与,a b 同时平行的直线有 条； （2）过P 与,a b 同时垂直的直线有 条； （3）过P 与,a b 同时相交的直线有 条。

三、解答题9.设A 、B 、C 、D 是不共面的四点，E 、F 、G 、H 分别是,,,AC BC DB DA 的中点。

若AB CD ==，四边形EFGH的面积为AB 、CD 所成的角。

两个平面垂直的判定和性质（4）一、选择题1.对于直线,m n 和平面,αβ，αβ⊥的一个充分条件是A ．,//,m n m n αβ⊥⊥B ．,,m n m n αβα⊥⋂=⊂C ．//,,m n n m βα⊥⊂D ．//,,m n m n αβ⊥⊥2. 设l αβ--是直二面角，直线a α⊂，直线b β⊂，且,a b 与l 都不垂直，那么 A ．a 与b 可能垂直，但不可能平行 B ．a 与b 可能垂直，也可能平行 C ．a 与b 不可能垂直，但可能平行 D ．a 与b 不可能垂直，也不可能平行3.把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，对于下列结论： ①AC BD ⊥； ②ADC ∆是正三角形； ③AB 与CD 成60︒角； ④AB 与平面BCD 成60︒角 则其中正确结论的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4.如图所示，在直二面角l αβ--中，,A B l ∈，AC α⊂且,AC l BD β⊥⊂，且,6,8,24BD l AC AB BD ⊥===，则线段CD 的长是A ．25B ．26C ．27D ．28 二、填空题5.已知平面α⊥平面β，,l P αβ⋂=是空间一点，且P 到平面,αβ的距离分别是1，2，则点P 到l 的距离为 。

6.已知,a b 表示直线，,,αβγ表示平面，给出下列四个命题：①若,//a b a α⊥，则b α⊥； ②若//,a ααβ⊥，则a β⊥； ③若//,//βγαγ，则αβ⊥； ④若,a αββ⊥⊥，则//a α。

其中不正确．．．的命题的个数是 。

7.在直角坐标系中，设(2,3),(3,2)A B --，沿x 轴把直角坐标平面折成60︒的二面角，则折后AB 的长为 。

8.如图，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与两平面,αβ所成的角分别为4π和6π。

过,A B 分别作两平面交线的垂线，垂足为,A B ''，则:AB A B ''= 。

第9章第五节直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题(6×5分＝30分)1．已知直线a，b和平面α，β，且a⊥α，b⊥β，那么α⊥β是a⊥b的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：如图，α⊥β且a⊥α，b⊥β，∴a⊥b.当a⊥b时，a⊥α，b⊥β⇒α⊥β.答案：C2．(2011·浙江宁波调研)如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：∵BA⊥AC，BC1⊥AC，BA∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1，且交线是AB.故平面ABC1上一点C1在底面ABC的射影H必在交线AB上．答案：A3．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AG⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°解析：对于A，∵BD∥B1D1，B1D1⊂平面CB1D1，∴BD∥平面CB1D1；对于B，∵AC1在平面ABCD上的射影是AC，而AC⊥BD，∴AC1⊥BD；对于C，同B可证AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，∴AC1⊥面CB1D1.对于D，连接A1D，则DA1∥CB1，∴∠ADA1等于异面直线AD与CB1所成的角，∴∠ADA1＝45°.答案：D4．(2012·西城模拟)已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线a，在平面α内一定存在一条直线b，使得a与b()A．平行B．相交C．异面D．垂直解析：当a∥α时，显然存在b⊥a，当a与α斜交时，过a上一点A作AB⊥α于B，设a与α的交点为O，连OB，在α内过B作BC⊥OB，又∵AB⊥BC，∴BC⊥面AOB，而a⊂面AOB，∴存在b，使得a⊥b，当a⊥α时，显然存在b⊥a，综上可知，选项D正确．答案：D5．(2011·东莞一模)若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.其中正确的命题有( )A．0个B．1个C．2个D．3个解析：对于①，α与β可能平行，故错．②③正确，故选C.答案：C6．(2011·漳州模拟)设a、b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是()A．若a⊥b，a⊥α，则b∥αB．若a∥α，α⊥β，则a⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β解析：A中，b可能在α内；B中，a可能在β内，也可能与β平行或相交(不垂直)；C 中，a可能在α内；D中，a⊥b，a⊥α，则b⊂α或b∥α，又b⊥β，∴α⊥β.答案：D二、填空题(3×5分＝15分)7．如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的即可)解析：∵四边形ABCD的边长相等，∴四边形为菱形．∴AC⊥BD，又∵P A⊥面ABCD，∴P A⊥BD，∴BD⊥面P AC，∴BD⊥PC.若PC⊥面BMD，则PC垂直于面BMD中两条相交直线．∴当BM⊥PC，PC⊥面BMD，∴面PCD⊥面BMD.答案：BM⊥PC(其它合理即可)8．(2011·合肥模拟)设m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α⊥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，m∥β，则α∥β④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是________．解析：①∵n∥α，∴过n的一个平面γ与α的交线n′∥n，又∵m⊥α，∴m⊥n′，而n′∥n，∴m⊥n，②∵α∥β，β∥γ，∴α∥γ，又∵m⊥α，∴m⊥γ.③m∥α，m∥β，则α与β可能平行，也可能不平行．④α⊥γ，β⊥γ时，α与β可能平行，也可能相交．答案：①②9．(2011·长沙模拟)a、b表示直线，α、β、γ表示平面．①若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；②若a⊂α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a⊥b；④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内无数条直线；⑤若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β.上述五个命题中，正确命题的序号是________．解析：对①可举反例如图，需b⊥β才能推出α⊥β.对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可得到a，b不垂直．对④a只需垂直于α内一条直线便可以垂直α内无数条与之平行的直线．所以只有②⑤是正确的．答案：②⑤三、解答题(共37分)10．(12分)(2011·池州一模)四面体ABCD 中，AC ＝BD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且EF ＝22AC ，∠BDC ＝90°.求证：BD ⊥平面ACD.证明：如图所示，取CD 的中点G ，连接EG 、FG 、EF .∵E 、F 分别为AD 、BC 的中点，∴EG 綊12AC ，FG 綊12BD .又AC ＝BD ，∴EG ＝FG ＝12AC .在△EFG 中，EG 2＋FG 2＝12AC 2＝EF 2.∴EG ⊥FG .∴BD ⊥AC .又∠BDC ＝90°，即BD ⊥CD ，AC ∩CD ＝C ，∴BD ⊥平面ACD .11．(12分)(2011·漳州模拟)如图所示，已知△ABC 是等边三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ，且EC 、DB 在平面ABC 的同侧，M 为EA 的中点，CE ＝2BD.求证：(1)DE ＝DA ；(2)平面BDM ⊥平面ECA ；(3)平面DEA ⊥平面ECA .证明：如图，取AC 中点N ，连结MN 、BN ，∵EC ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ，∴EC ∥BD .△ECA 中，M 、N 分别是EA 、CA 中点，∴MN ∥EC ，且MN ＝12EC .又∵EC ＝2BD ，∴MN ∥BD 且MN ＝BD .∴四边形MNBD 是平行四边形．∴MD ∥BN .∵EC ⊥平面ABC ，且BN ⊂平面ABC ，∴EC ⊥BN .∵正三角形ABC 中，N 是AC 中点，∴BN ⊥AC .又AC ∩EC ＝C ，∴BN ⊥平面ECA .∴MD ⊥平面ECA .(1)∵MD ⊥平面ECA ，EA ⊂平面ECA ，∴MD ⊥EA .∵EM＝MA，∴Rt△DME≌Rt△DMA.∴DE＝DA.(2)∵MD⊥平面ECA，MD⊂平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.(3)∵MD⊥平面ECA，MD⊂平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.12．(13分)(2011·东北六校一模)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.证明：(1)由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC，因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1，又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D.又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1，B1C⊂平面BB1C1C，故A1D⊥平面BB1C1C.又A1D ⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.。

§7.4 直线、平面垂直的判定与性质1．直线与平面垂直图形条件结论判定性质a ⊥b ，b ⊂α(b 为α内的任意一条直线)a ⊥αa ⊥m ，a ⊥n ，m 、n ⊂α，m ∩n ＝Oa ⊥αa ∥b ，a ⊥αb ⊥αa ⊥α，b ⊂αa ⊥ba ⊥α，b ⊥αa ∥b2.直线和平面所成的角 (1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角． (2)范围：⎣⎡⎦⎤0，π2. 3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． (2)平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．(3)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝al⊂βl⊥a⇒l⊥α概念方法微思考1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？提示垂直．若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面．2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？提示垂直．在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行．由线面平行的性质可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(×)(3)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)(4)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(√)题组二教材改编2．(多选)下列命题中正确的有()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案ABC解析对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．3．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；(2)若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点O是△ABC的________心．答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，P A＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.∵PC⊥P A，PB⊥PC，P A∩PB＝P，P A，PB⊂平面P AB，∴PC⊥平面P AB，又AB⊂平面P AB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．题组三易错自纠4．若l，m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m∥α”是“m⊥l”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由l⊥α且m∥α能推出m⊥l，充分性成立；若l⊥α且m⊥l，则m∥α或者m⊂α，必要性不成立，因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要条件，故选A.5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是()A．与AC，MN均垂直B．与AC垂直，与MN不垂直C．与AC不垂直，与MN垂直D．与AC，MN均不垂直答案 A解析因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，因为OM⊂平面BDD1B1，所以OM⊥AC.设正方体的棱长为2，则OM＝1＋2＝3，MN＝1＋1＝2，ON＝1＋4＝5，所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A.6．(多选)如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是()A．MN∥平面ABC B．平面VAC⊥平面VBCC．MN与BC所成的角为45°D．OC⊥平面VAC答案AB解析易知MN∥AC，又AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC，又由题意得BC⊥AC，因为VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VA⊥BC.因为AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC.因为BC⊂平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC.故选AB.直线与平面垂直的判定与性质例1(2019·全国Ⅱ)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE ⊥EC 1.(1)证明：BE ⊥平面EB 1C 1；(2)若AE ＝A 1E ，AB ＝3，求四棱锥E －BB 1C 1C 的体积．(1)证明 由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1，故B 1C 1⊥BE . 又BE ⊥EC 1，B 1C 1∩EC 1＝C 1，B 1C 1，EC 1⊂平面EB 1C 1， 所以BE ⊥平面EB 1C 1. (2)解 由(1)知∠BEB 1＝90°. 由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ， 所以∠AEB ＝∠A 1EB 1＝45°， 故AE ＝AB ＝3，AA 1＝2AE ＝6. 如图，作EF ⊥BB 1，垂足为F ，则EF ⊥平面BB 1C 1C ， 且EF ＝AB ＝3.所以四棱锥E －BB 1C 1C 的体积V ＝13×3×6×3＝18.思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理．②垂直于平面的传递性．③面面垂直的性质． (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质． 跟踪训练1 (2019·贵阳模拟)如图，在三棱锥ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ；(2)AD ⊥AC .证明 (1)在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ， 则AB ∥EF .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .(2)因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，BC ⊂平面BCD ，BC ⊥BD ， 所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD .又AB ⊥AD ，BC ∩AB ＝B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC .又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥AC .平面与平面垂直的判定与性质例2 (2019·栖霞模拟)如图，多面体ABCDEF 中，ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，F A ⊥平面ABCD ，ED ∥F A ，且AB ＝F A ＝2ED ＝2.(1)求证：平面F AC ⊥平面EFC ； (2)求多面体ABCDEF 的体积．(1)证明 连接BD 交AC 于O ，设FC 中点为P ，连接OP ，EP ，∵O ，P 分别为AC ，FC 的中点， ∴OP ∥F A ，且OP ＝12F A ，∴OP ∥ED 且OP ＝ED ， ∴四边形OPED 为平行四边形， ∴OD ∥EP ，即BD ∥EP ，∵F A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴F A ⊥BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ， ∵F A ∩AC ＝A ，F A ，AC ⊂平面F AC ， ∴BD ⊥平面F AC ，即EP ⊥平面F AC ， 又EP ⊂平面EFC ，∴平面F AC ⊥平面EFC . (2)解 V F －ABC ＝13S △ABC ·F A ＝13×34×4×2＝233，∵F A ⊥平面ABCD ，F A ⊂平面ADEF ，∴平面ADEF ⊥平面ABCD ，作CG ⊥AD 于点G ， 又平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ，∴CG ⊥平面ADEF ， ∴C 到平面ADEF 的距离CG ＝32CD ＝3， ∴V C －ADEF ＝13×(1＋2)×22×3＝3，∴V ABCDEF ＝V F －ABC ＋V C －ADEF ＝533. 思维升华 (1)判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)．(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．跟踪训练2 (2018·全国Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°.以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝23DA ，求三棱锥Q －ABP 的体积．(1)证明 由已知可得，∠BAC ＝90°，即BA ⊥AC . 又BA ⊥AD ，AD ∩AC ＝A ，AD ，AC ⊂平面ACD ， 所以AB ⊥平面ACD . 又AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)解 由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝3，DA ＝3 2.又BP ＝DQ ＝23DA ，所以BP ＝2 2.如图，过点Q 作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE ∥DC 且QE ＝13DC .由已知及(1)可得，DC ⊥平面ABC ， 所以QE ⊥平面ABC ，QE ＝1.因此，三棱锥Q －ABP 的体积为V Q －ABP ＝13×S △ABP ×QE ＝13×12×3×22sin 45°×1＝1.垂直关系的综合应用例3 如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的一动点．(1)证明：△PBC 是直角三角形；(2)若P A ＝AB ＝2，且当直线PC 与平面ABC 所成角的正切值为 2 时，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．(1)证明 ∵AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的一动点．∴BC ⊥AC ， ∵P A ⊥平面ABC ，∴BC ⊥P A ， 又P A ∩AC ＝A ，P A ，AC ⊂平面P AC ， ∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC ， ∴△BPC 是直角三角形．(2)解 如图，过A 作AH ⊥PC 于H ，∵BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥AH ，又PC ∩BC ＝C ，PC ，BC ⊂平面PBC ， ∴AH ⊥平面PBC ，∴∠ABH 是直线AB 与平面PBC 所成的角， ∵P A ⊥平面ABC ，∴∠PCA 即是PC 与平面ABC 所成的角， ∵tan ∠PCA ＝P AAC ＝2，又P A ＝2，∴AC ＝2， ∴在Rt △P AC 中，AH ＝P A ·AC P A 2＋AC 2＝233，∴在Rt △ABH 中，sin ∠ABH ＝AH AB ＝2332＝33，即直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为33. 思维升华 (1)证明垂直关系时，要充分利用定义、判定和性质实现线线垂直、线面垂直、面面垂直关系的相互转化．(2)线面角的计算，首先要利用定义和题目中的线面垂直作出所求角，然后在一个直角三角形中求解．跟踪训练3 如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD .将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论中正确的结论个数是( )①A ′C ⊥BD ； ②∠BA ′C ＝90°；③CA ′与平面A ′BD 所成的角为30°； ④四面体A ′－BCD 的体积为13.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 ∵AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，∴AB ⊥AD ，∵平面A ′BD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，平面A ′BD ∩平面BCD ＝BD ，∴CD ⊥平面A ′BD ，取BD的中点O，连接OA′(图略)，∵A′B＝A′D，∴A′O⊥BD.又平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，A′O⊂平面A′BD，∴A′O⊥平面BCD.BD⊥CD，∴OC不垂直于BD.假设A′C⊥BD，∵OC为A′C在平面BCD内的射影，∴OC⊥BD，矛盾，故①错误；∵CD⊥BD，平面A′BD⊥平面BCD，且平面A′BD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面A′BD，A′B⊂平面A′BD，∴CD⊥A′B.∵A′B＝A′D＝1，BD＝2，∴A′B⊥A′D，又CD∩A′D＝D，CD，A′D⊂平面A′CD，∴A′B⊥平面A′CD，又A′C⊂平面A′CD，∴A′B⊥A′C，故②正确；∠CA′D为直线CA′与平面A′BD所成的角，∠CA′D＝45°，故③错误；V A′－BCD＝V C－A′BD＝13S△A′BD·CD＝16，故④错误．故选B.。

一、选择题1.给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行； ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

其中真命题的个数是A ．4B ．3C ．2D ．12. 已知直二面角l αβ--，,A B αβ∈∈，直线AB 和,αβ所成的角分别为,θϕ，则 A ．090θϕ︒<+<︒ B ．090θϕ︒≤+≤︒ C ．90180θϕ︒<+<︒ D ．090θϕ︒<+≤︒3.已知平面α与β所成的二面角为80︒，P 为,αβ外一定点，过点P 的一条直线与,αβ所成的角都是30︒，则这样的直线有且仅有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条4.在一个45︒的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45︒角，则此直线与二面角的另一个面所成的角为A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 二、填空题5.在空间四边形ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，90BDC ∠=︒，,E F 分别是,AD BC 的中点，若EF CD =，则EF 与CD 所成的角为 ，EF 与平面ABD 所成的角为 。

6.二面角l αβ--的平面角为120︒，在面α内，AB l ⊥，垂足为B ，且2AB =，在面β内，CD l ⊥，垂足为D ，且3CD =，若1,BD M =是棱l 上的一个动点，则AM CM +的最小值为 。

7.如右图所示，90BAD ∠=︒的等腰直角三角形ABD 与正三角形CBD 所在平面互相垂直，E 是BC 的中点，则AE 与平面BCD 所成角的大小为 。

8.设,αβ表示平面，,a b 均不在α内，也不在β内的两条直线，给出下列四个论断：①//a b ；②//a β；③αβ⊥；④b α⊥。

一、选择题1.已知集合I ={四棱柱}，M ={平行六面体}，N ={直平行六面体}，P ={正四棱柱}，Q ={长方体}，R ={直四棱柱}，S ={正方体}，则下列关系中不正确．．．的是 A ．S P Q R ⊂⊂⊂ B ．S Q N M ⊂⊂⊂ C ．()M R Q ⋂⊂ D ．()M R I ⋃⊂ 2. 下列命题中，不正确．．．的是 A ．棱长都相等的长方体是正方体 B ．有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱 C ．有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱 D ．底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体 3.设命题甲：“直四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面1ACB 与对角面11BB D D 垂直”；命题乙：“直四棱柱1111ABCD A B C D -是正方体”，那么甲是乙的A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4.长方体的一条对角线与交于一点的三个平面所成的角分别是,,αβγ，那么下列命题中正确的是①222sin sin sin 1αβγ++=； ②222sin sin sin 2αβγ++=； ③222cos cos cos 1αβγ++= ④222cos cos cos 2αβγ++= A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 二、填空题5.若长方体的三条棱长之比为1:2:3，全面积为88，则它的对角线长为 。

6.正六棱柱的底面边长为6，最长的对角线长为13，则此六棱柱的高是 。

7.如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面四边形ABCD 满足条件 时，有111AC B D ⊥。

（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能情况） 8.如图所示，已知三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，190,BCA BC CA CC ∠=︒==，且11,D F 分别是1111,A B AC 的中点，则1BD 与1AF 所成的角的余弦值是 。

直线与平面垂直的判定和性质（第1课时）一、选择题1.“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l α⊥”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2. 已知直线,a b 和平面,M N ，且a M ⊥，那么A ．//b M b a ⇒⊥B ．//b a b M ⊥⇒C ．b M a b ⊥⇒⊥D ．a N M N φ⊄⇒⋂≠ 3.已知三条相交于一点的线段PA 、PB 、PC 两两垂直，且A 、B 、C 在同一平面内，P 在平面ABC 外，PH ⊥平面ABC 于H ，则垂足H 是ABC ∆的A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心4.已知,,l m n 为两两垂直的三条异面直线，过l 作平面α与直线m 垂直，则直线n 与平面α 的关系是：A ．//n αB ．//n α或n α⊂C ．n α⊂D ．n α⊂或n 不平行于α 二、填空题5.过直线外一点，作直线的垂线有 条，垂面有 个，平行线有 条，平行平面有 个。

6.四面体的各面中，是直角三角形的面的个数最多有 个。

7.在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的各面的对角线的条数是 。

8.直线a 与直线b 垂直，b 又垂直于平面α，则a 与α的位置关系是 。

三、解答题9.如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 为1CC 的中点，AC 与BD 交于点O ，求证：1AO ⊥平面MBD 。

10.已知PD 垂直于矩形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AD 、PB 的中点（如图），求证：MN AD ⊥。

A 1B CMA B 1 C 1D 1D OPN11.如图，已知空间图形1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是菱形，1111//////AA BB CC DD ，且1160C CB C CD BCD ∠=∠=∠=︒，求证：1C C BD ⊥。

参考答案一、选择题 1.B 2.A 3.C 4.A二、填空题5.无数；1；1；无数 CD1A1B DB1 AC16.47.68. a α⊂或//a α 三、解答题 9.略 10.略 11.略。

直线与平面垂直的判定和性质（第2课时）一、选择题1.给出下列四个命题：①平行于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一直线的两条直线互相平行； ③平行于同一平面的两条直线互相平行；④垂直于同一平面的两条直线平行。

其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 2.下列命题中是假命题．．．的是 A ．如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与这个平面内的任意一条直线垂直。

B ．如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

C ．平面的垂线与这个平面一定相交。

D ．如果一条直线上有两点到一个平面的距离相等，那么这条直线与这个平面平行。

3.给出下列四个命题：①点A ∉平面α，直线a α⊂，则A 到α的距离等于A 到a 的距离； ②直线//a 平面α，b α⊂，//a b ，则,a b 间的距离等于,a α间的距离； ③A ∈直线a ，//a 直线b ，则,a b 间的距离等于A 到b 的距离； ④直线//a 平面α，A a ∈，则,a α间的距离等于A 到α的距离。

其中正确命题的个数是A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4.平面α过ABC ∆的重心，B 、C 在α的同侧，A 在α另一侧，若A 、B 、C 到平面α的距离分别为,,a b c ，则,,a b c 间的关系为：A ．2a b c =+B ．a b c =+C ．23()a b c =+D ．32()a b c =+二、填空题5.线段AB 的两端点A 、B 到平面α的距离分别为a 和b ，若A 、B 在α的同侧，则AB 的中点到α的距离为 ；若A 、B 在α的同侧，则AB 的中点到α的距离为 。

6.在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -中，A 到平面11BB D D 的距离为 ，1AA 到平面11BB D D 的距离为 。

7.已知矩形ABCD 的边长6,4AB cm BC cm ==，在CD 上截取4CE cm =，以BE 为棱将矩形折起，使BC E '∆的高C E '⊥平面ABED ，则点C '到平面ABED 的距离为 cm 。

一、选择题1.已知正二十面体的棱数为30，则它的每个面的边数是A．3 B．4 C．5 D．62.一个十二面体共有8个顶点，其中2个顶点处各有6条棱，其它的顶点处都有相同的数目的棱，则其它顶点各有（）条棱A．4 B．5 C．6 D．73.棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为A．23aB．24aC．26aD．212a4.甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成，其空间构型为一个各条棱长都相等的四面体，四个氢原子分别位于该四面体的四个顶点上，碳原子位于该四面体的中心，它与每个氢原子的距离都是a，若将碳原子和氢原子均视为一个点，则任意两个氢原子之间的距离为A．43a B．3a C．2a D．9a二、填空题5.正八面体的棱长为a，则它的对角线长是6.一个凸多面体，它有6个面，且每个面都是正多边形，已知边长为a，则该多面体的表面为。

7.如图是一个体积为72的正四面体，连结两个面的重心,E F，则线段EF的长是。

8.一个简单多面体的顶点数为12，以每个顶点为一端点都有3条棱，面的形状只有四边形和六边形，则多面体四边形和六边形的数目分别为。

三、解答题9.70C分子有类似于球多面体结构，它有70个顶点，以每个顶点为一端都有3条棱，各面是五边形或六边形，求70C分子中五边形和六边形的个数。

10.试求正八面体每相邻两个平面所成二面角的大小。

E F11.所有各个面都是三角形的正多面体共有多少种？参考答案一、选择题1.A2.A3.C4.B二、填空题6.26a 或222a （这个多面体可以是正方体，也可以是6个正三角形围成的多面体）7.8.6个，2个三、解答题9. 70C 分子中有12个五边形，25个六边形。

10.1arccos 3π- 11.设正多面体的面数为F ，因为各个面都是三角形且正多面体的棱都是相邻两个面的交线，所有总棱数：32F E =。

又假设正多面体共有V 个顶点，且过每个顶点各有P 条棱，得：2VP E =，由2V F E +-=得636666P E P P==-+--，因为E 为整数，且3P ≥，所以3,4,5P =。

D A BC POCABPM直线与平面垂直的判定和性质（第4课时）一、选择题1。

如图，PC ⊥矩形ABCD ，下列结论中不正确的是 A ．PB BA ⊥ B ．PD AD ⊥ C ．PD BD ⊥ D ．PC BD ⊥2.下列命题中正确的是A ．若a 是平面α的斜线，直线b 垂直于a 在α内的射影，则a b ⊥B ．若a 是平面α的斜线，平面β内的直线b 垂直于a 在α内的射影，则a b ⊥C ．若a 是平面α的斜线， b 是平面α内的一条直线,且b 垂直于a 在这个平面内的射影，则a b ⊥D ．若a 是平面α的斜线，直线b 平行于α，且b 垂直于a 在另一平面β内的射影，则a b ⊥3。

正方体1111ABCD A B C D -中,E 为11A C 的中点，则直线CE 垂直于 A ．ACB ．BDC ．11A DD ．1A A4。

如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总保持1AP BD ⊥，则动点P 的轨迹是 A ．线段1B C B ．线段1BC C ．1BB 中点与1CC 中点连成的线段D ．BC 中点与11B C 中点连成的线段 二、填空题5.若一个直角的射影在一个平面内的射影仍然是一个角，则这个角的最大值是 。

6.P 为ABC ∆所在平面外一点，O 为点P 在平面ABC 上的射影。

（1）若PA PB PC ==，则O 是ABC ∆的 ； （2）若PA BC PB AC ⊥⊥，，则O 是ABC ∆的 ； （3）若P到ABC ∆三边距离相等,且O 在ABC ∆内部,则O 是ABC∆的 ;(4）若PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则O 是ABC∆的 。

7。

如图,在ABC∆中，C1B90860ACB AB BAC PC ∠=︒=∠=︒⊥，，，平面ABC ,4PC M =，为AB 边上的一个动点，则PM 的最小值为 。

8。

Rt ABC ∆在平面α内，90,16,C AC P ∠=︒=为α外一点，PA PB PC ==,如果P 到BC 的距离为17，那么点P 到平面P 的距离为 .三、解答题9.已知PA ⊥正六边形ABCDEF 所在的平面,且,PA a AB b ==，求点P 到边BC 、CD 的距离。

ASCBED两个平面垂直的判定和性质（1）一、选择题 1.二面角指的是：A ．两个平面相交组成的图形B ．一个平面绕这个平面内的一条直线旋转所组成的图形C ．从一个平面内一条直线出发的一个半平面与另一个平面组成的图形D ．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形2. 如图所示，SA ⊥平面ABC ，90,ABC DE ∠=︒垂直平分,,SC SA AB SB BC ==，那么二面角C BD E --的平面角的大小为 A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒3.自二面角内一点分别向两个面引垂线，它们所成的角与二面角的平面角的大小关系是： A ．相等 B ．互补 C ．无关 D ．相等或互补4.把边长为a 的正三角形ABC 沿高线AD 折成60︒的二面角，这时顶点A 到BC 的距离是 A ．a BC ．34a Da 二、填空题5.在正方体1111ABCD A BC D -中，设二面角1B AC B --的大小为α，则tan α 。

6.已知三条射线,,PA PB PC 两两夹角都是60︒，则二面角A PB C --的余弦值为 。

7.在一个坡角为α的斜坡上，沿着与坡脚的水平线成30︒角，的道路上行走，经测量行走100m，实际升高，则α= 。

8.已知PA 垂直于矩形ABCD所在平面，3,2,PA AB BC ===则二面角P BD A -- 的正切值为 。

三、解答题9.已知P 为120︒的二面角a αβ--内一点，若P 到α和β的距离均为10，求点P 到棱a 的距离。

10.如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，求平面1A BD 与平面1C BD 所成角的余弦值。

11.S 为ABC ∆所在平面外一点，SA ⊥平面ABC ，,AB BC DE ⊥垂直平分SC ，且分别交AC 、SC 于D 、E ，又,SA AB a BC ==。

（1）求证：SC ⊥平面BDE 。

（2）求平面BDE 与平面BDC 所成二面角的大小。

平面的基本性质（第1课时）一、选择题1.下列图形中，不一定为平面图形的是A ．三角形B ．梯形C ．四边形D ．菱形2.下列判断中，错误．．的是 A ．,,,,A l B l A B C l C ααα∈∈∈∈∈⇒∈ B ．,,,,,A l B C A B C C AB ααβββ∈∈∈∈∈∈⇒∈C ．,A l l A αα∈⊄⇒∉D ．,P l l P αα∈⊂⇒∈3.若平面α、β的公共点多于2，则α、βA ．重合B ．有一条公共直线C ．有无数个公共点D ．有两条相交的公共直线4.若直线上有两个点在平面外，则A ．直线上至少有一个点在平面内B ．直线有无穷多个点在平面内C ．直线上所有点都在平面外D ．直线上至多有一个点在平面内二、填空题5.互相平行的四条直线，每两条确定一个平面，最多可以确定 个平面，最少可以确定 个平面。

6.已知,,,m a b a b A αβαβ⋂=⊂⊂⋂=，则A 与直线m 的位置关系用符号语言表示为 。

7.正方体的六个面所在平面把空间分成 部分。

8.三个互不重合的平面把空间分成六个部分时，它们的交线有 条。

三、解答题9.画图表示平面α与平面β相交，其中：①平面α与平面β相互遮挡住一部分；②AB αβ⋂=；③P AB ∈10. 已知:.//,,,,a PQ b P A b a b a ∈=⋂⊂⊂αα求证:.α⊂PQ .11.已知平面α、β交于直线l，AB、CD分别在平面α、β内，且与l分别交于B、D∠=∠，试问AB、CD能否平行？请说明理由。

两点。

若ABD CDB参考答案一、选择题1.C2.C3.C4.D二、填空题5.6；1∈6.A m7.278.1或2三、解答题9.略10.略11.不能平行。