1.4.3正切函数的性质与图象学案

1.4.3 正切函数的性质与图象预习导引区[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题． (1)正切函数y ＝tan x 的定义域是什么？(2)诱导公式tan(π＋x )＝tan x 说明了正切函数的什么性质？tan(k π＋x )(k ∈Z )与tan x 的关系怎样？(3)诱导公式tan(－x )＝－tan x 说明了正切函数的什么性质？(4)从正切线上观察，正切函数值是有界的吗？(5)从正切线上观察正切函数值，在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增大的吗？2．归纳总结，核心必记 (1)正切函数的性质(2)①正切函数的图象：②正切函数的图象叫做 ． ③正切函数的图象特征：正切曲线是由被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．[问题思考](1)正切函数在整个定义域上都是增函数吗？(2)可以怎样快速作出正切函数的图象？课堂互动区知识点1 正切函数的定义域、值域问题 讲一讲1．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4；(2)y ＝3－tan x .类题·通法求正切函数定义域的方法及求值域的注意点求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．解形如tan x ＞a 的不等式的步骤：练一练1．函数f (x )＝1tan x －1的定义域是________．知识点2 正切函数的单调性及应用 讲一讲2．(1)求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调区间； (2)比较tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－12π5的大小． 类题·通法(1)求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法①若ω＞0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2＜ωx ＋φ＜k π＋π2，求得x 的范围即可． ②若ω＜0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可． (2)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系． 练一练2．(1)比较tan 1，tan 2, tan 3的大小； (2)求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调区间．知识点3 与正切函数有关的奇偶性、周期性问题 讲一讲3．(1)求f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期； (2)判断y ＝sin x ＋tan x 的奇偶性．类题·通法正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期性、奇偶性(1)一般地，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|，常常利用此公式来求周期． (2)若函数y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π或φ＝k π＋π2(k ∈Z )，否则为非奇非偶函数．练一练3．关于x 的函数f (x )＝tan(x ＋φ)有以下几种说法：①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②f (x )的图象关于⎝⎛⎭⎫π2－φ，0对称；③f (x )的图象关于(π－φ，0)对称；④f (x )是以π为最小正周期的周期函数． 其中不正确的说法的序号是________．——————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————— 1．本节课的重点是正切函数的定义域、单调性以及奇偶性和周期性，难点是正切函数单调性的应用．2．本节课要学会“三点两线法”画正切函数的图象类似于正弦、余弦函数的“五点法”作图，正切曲线的简图可用“三点两线法”作出，这里的三个点分别为(k π，0)，⎝⎛⎭⎫k π＋π4，1，⎝⎛⎭⎫k π－π4，－1，其中k ∈Z .两线为直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )，直线x ＝k π－π2(k ∈Z )．3．要掌握与正切函数性质有关的三个问题 (1)与正切函数有关的定义域、值域问题，见讲1； (2)正切函数的单调性及应用，见讲2；(3)与正切函数有关的奇偶性、周期性问题，见讲3. 4．本节课的易错点有两处(1)易忽视正切函数y ＝tan x 的定义域为{x |x ≠k π＋⎭⎬⎫π2，k ∈Z ，如讲1的第(1)题．(2)易忽视正切曲线只有对称中心而没有对称轴．参考答案预习导引区[核心必知]1．预习教材，问题导入 (1)提示：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ．(2)提示：周期性．tan(k π＋x )＝tan_x (k ∈Z )． (3)提示：奇偶性．(4)提示：不是，正切函数没有最大值和最小值． (5)提示：是的． 2．归纳总结，核心必记(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z (－∞，＋∞) π 奇函数 ⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z ) (2)②正切曲线[问题思考](1)提示：不是．正切函数在每一个开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数．但在整个定义域上不是增函数．(2)提示：正切函数的图象的简图可以用“三点两线法”作出，三点指的是(k π，0)，⎝⎛⎭⎫k π＋π4，1，⎝⎛⎭⎫k π－π4，－1，k ∈Z ，两线为直线x ＝k π＋π2和直线x ＝k π－π2，其中k ∈Z ．课堂互动区知识点1 正切函数的定义域、值域问题 讲一讲1．解：(1)由x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π4，k ∈Z ，其值域为(－∞，＋∞)．(2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图象可知，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上，满足tan x ≤3的角x 应满足－π2＜x ≤π3，所以函数y ＝3－tan x 的定义域为{x |k π⎭⎬⎫－π2＜x ≤k π＋π3，k ∈Z ，其值域为[0，＋∞)． 练一练1．【答案】⎝⎛⎭⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z ) 【解析】若使函数f (x )有意义，需使tan x －1＞0， 即tan x ＞1.结合正切曲线，可得k π＋π4＜x ＜k π＋π2(k ∈Z )．所以函数f (x )的定义域是⎝⎛⎭⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z )． 知识点2 正切函数的单调性及应用 讲一讲2．解：(1)由k π－π2＜12x －π4＜k π＋π2(k ∈Z )得，2k π－π2＜x ＜2k π＋3π2，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调递增区间是(2k π－⎭⎫π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． (2)由于tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋3π4＝tan 3π4＝－tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5＝－tan 2π5， 又0＜π4＜2π5＜π2，而y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， 所以tan π4＜tan 2π5，－tan π4＞－tan 2π5，即tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＞tan ⎝⎛⎭⎫－12π5. 练一练2．解：(1)因为tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)． 又因为π2＜2＜π，所以－π2＜2－π＜0.因为π2＜3＜π，所以－π2＜3－π＜0.显然－π2＜2－π＜3－π＜1＜π2，又y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是增函数， 所以tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan 1， 即tan 2＜tan 3＜tan 1.(2)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 由－π2＋k π＜2x －π4＜π2＋k π得，－π8＋k π2＜x ＜3π8＋k π2(k ∈Z )， 所以y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－π8＋k π2，3π8＋k π2(k ∈Z )． 知识点3 与正切函数有关的奇偶性、周期性问题讲一讲3．解：(1)∵tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 即tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期是π2. (2)定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称，∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )， ∴它是奇函数． 练一练 3．【答案】①【解析】①若取φ＝k π(k ∈Z )，则f (x )＝tan x ，此时，f (x )为奇函数，所以①错；观察正切函数y ＝tan x 的图象，可知y ＝tan x 关于⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )对称，令x ＋φ＝k π2得x ＝k π2－φ，分别令k ＝1，2知②、③正确，④显然正确．。

云南省德宏州梁河县第一中学高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象学案 新人教A 版必修4【学习目标】1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题． 【课前学习】1.tan()πα+= ; tan()α-= .2.自学课本P42-P43，类比正、余弦函数的图象及性质得出正切函数的图象及性质。

正切函数tan ,(,)22y x x ππ=∈-的图象 3.把上述图象向左、右扩展，得到正切函数Rx x y ∈=t an ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称正切曲线。

4.一般地，函数y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的周期是多少？【例题与变式】函数tan y x =图象定义域 值域周期性 正切函数是周期函数，周期为 ，最小正周期为 . 奇偶性单调性 正切函数在开区间 内都是增函数。

对称轴 对称中心例1..及最小正周期)32tan(区间的定义域、周期和单调求函数ππ+=x y变式1. 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的定义域、周期、单调区间和对称中心及最小正周期例2..利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小： (1)tan ⎝⎛⎭⎫－65π与tan ⎝⎛⎭⎫－137π； (2)tan 2与tan 9.变式2.比较下列两组函数值的大小． (1)tan(－1 280°)与tan 1 680°； (2)tan 1，tan 2，tan 3.【目标检测】1．函数y ＝3tan(2x ＋π4)的定义域是 ( )A ．{x|x≠kπ＋π2，k ∈Z}B ．{x|x≠k 2π－3π8，k ∈Z}C ．{x|x≠k 2π＋π8，k ∈Z}D ．{x|x≠k2π，k ∈Z}2．函数f(x)＝tan(x ＋π4)的单调递增区间为 ( )A ．(kπ－π2，kπ＋π2)，k ∈ZB ．(kπ，(k ＋1)π)，k ∈ZC ．(kπ－3π4，kπ＋π4)，k ∈ZD ．(kπ－π4，kπ＋3π4)，k ∈Z3．在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( ) A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝t an x2D ．y ＝－tan x【小结】【课后巩固】 A 组2D.C. 2B.A. )0(tan y 3y 3.0,167 D. 0,83 C. 0,165 B. 0,8 A.)8-3tan(2x y 2. D.2 C. 2.B 4.A )12tan(5.1ωπωπωππωωπππππππππ（）个交点间的距离是的图像相交，则相邻两与函数直线）（）（）（）（（）的一个对称中心是函数的最小正周期为（）函数>===+=x x y 求下列函数的周期：.4 )()12(,2tan 2..).........(24,2tan 1Z k k x xy Z k k x x y ∈+≠=∈+≠=πππ）（）（5.利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小：143tan 138tan )1(与)517(tan )413tan()2(ππ--与B 组6．方程tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3在区间[0,2π)上的解的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 7.函数y＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是()8.求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π4的定义域、周期、单调区间和对称中心及最小正周期。

1.4.3 正切函数的性质与图象学 习 目 标核 心 素 养1.能画出正切函数的图象．(重点)2．掌握正切函数的性质．(重点、难点) 3．掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易混点)1.通过观察正切函数的图象获得正切函数性质的直观认识，提升学生直观想象素养． 2．通过对正切函数性质的研究，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想得到体现.正切函数的图象与性质解析式 y ＝tan x图象定义域 _⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠π2＋k π，k ∈Z值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数对称中心 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z单调性在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 内都是增函数[提示]不是，在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0中，当k 为偶数时，在函数图象上，当k 为奇数时，不在函数图象上．1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为()A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．()k π，k π＋π，k ∈ZC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈ZD ．⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈ZC [令k π－π2＜x ＋π4＜k π＋π2(k ∈Z )得k π－3π4＜x ＜k π＋π4(k ∈Z )，故单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z )．]2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z[因为2x －π6≠k π＋π2，k ∈Z ，所以x ≠k π2＋π3，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z .]3．函数y ＝tan 3x 的最小正周期是________． π3 [函数y ＝tan 3x 的最小正周期是π3.] 4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5的对称中心是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π5，0(k ∈Z ) [令x －π5＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π5(k ∈Z )，∴对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π5，0(k ∈Z )．]有关正切函数的定义域、值域问题【例1】 (1)函数y ＝1tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＜x ＜4，且x ≠0的值域是( )A ．(－1，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)(2)求下列函数的定义域： ①y ＝11＋tan x ；②y ＝lg(3－tan x )．思路点拨：(1)由x 范围求出tan x 的范围→求1tan x的范围(2)①中注意分母不为零且y ＝tan x 本身的定义域； ②中注意对数大于零⇒从而得到定义域．(1)B [当－π4＜x ＜0时，－1＜tan x ＜0，∴1tan x ＜－1；当0＜x ＜π4时，0＜tan x ＜1，∴1tan x＞1.即当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，函数y ＝1tan x 的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．](2)[解] ①要使函数y ＝11＋tan x 有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2（k ∈Z ）， 所以函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z .②因为3－tan x ＞0，所以tan x ＜ 3. 又因为tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z )，根据正切函数图象，得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z )，所以函数的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .1．求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .2．解形如tan x ＞a 的不等式的步骤提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件． 1．求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．[解] 要使函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x ＞0，即－1≤tan x ＜1. 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2上满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，π4.又因为y ＝tan x 的周期为π，所以所求x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π4＋k π≤x ＜π4＋k π，k ∈Z .正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性【例2】 (1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为________．(2)已知函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，则该函数图象的对称中心坐标为________．(3)判断下列函数的奇偶性： ①y ＝3x tan 2x －2x4；②y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x .思路点拨：(1)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期T ＝π|ω|，也可以用定义法求周期． (2)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx ＋φ＝k π2，k ∈Z 求出．(3)先求定义域，看是否关于原点对称，若对称再判断f (－x )与f (x )的关系．(1)π2 (2)⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0(k ∈Z ) [(1)法一：(定义法) ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，即tan ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期是π2.法二：(公式法)f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期T ＝π2.(2)由x －π3＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，所以图象的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0，k ∈Z .] (3)[解]①定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝3(－x )tan 2(－x )－2(－x )4＝3x tan 2x －2x 4＝f (x )，所以它是偶函数．②定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x ＝sin x ＋tan x ，又f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )，所以它是奇函数．1．函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)周期的求解方法． (1)定义法．(2)公式法：对于函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|. (3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法．先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．提醒：y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z )的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z . 2．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝tan 2x －tan x tan x －1；(2)f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，k ∈Z ，tan x ≠1，得f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z ，不关于原点对称，所以函数f (x )既不是偶函数，也不是奇函数．(2)函数定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π4，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝－f (x )，所以函数是奇函数.正切函数单调性的应用1．正切函数y ＝tan x 在其定义域内是否为增函数？提示：不是．正切函数的图象被直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开，所以它的单调区间只在⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x 1＝π4，x 2＝54π，x 1<x 2，但tan x 1＝tan x 2.2．如果让你比较tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π3与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π5的大小，你应该怎样做？提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较．【例3】 (1)不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：①tan 13π4与tan 17π5；②tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5. (2)求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调区间．思路点拨：(1)把角化成同一单调区间上 →根据正切函数单调性比较出大小(2)化为y ＝－3tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4→解－π2＋k π＜2x －π4＜k π＋π2，k ∈Z→求出单调区间[解] (1)①因为tan 13π4＝tan π4，tan 17π5＝tan 2π5，又0＜π4＜2π5＜π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4＜tan 2π5，即tan 13π4＜tan 17π5.②因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝－tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5＝－tan π5，又0＜π5＜π4＜π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4＞tan π5，所以－tan π4＜－tan π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＜tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5. (2)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝－3tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，由－π2＋k π＜2x －π4＜π2＋k π，k ∈Z 得，－π8＋k 2π＜x ＜3π8＋k2π，k ∈Z ，所以y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－π8＋k 2π，3π8＋k 2π，k∈Z .1．将本例(2)中的函数改为“y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4”，结果又如何？[解] 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，∴函数y ＝3tan⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋32π(k ∈Z )．2．将本例(2)中函数改为“y ＝lg tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4”结果又如何？[解] 因为函数y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数，所以函数y ＝lg tan x 的单调递增区间就是函数y ＝tan x (tanx ＞0)的单调递增区间，令k π＜2x －π4＜k π＋π2(k ∈Z )，得k π2＋π8＜x ＜k π2＋3π8(k ∈Z )，故y ＝lg tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π8，k π2＋3π8，k ∈Z . 1．求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω≠0，且A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法．(1)若ω＞0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2＜ωx ＋φ＜k π＋π2，k ∈Z ，解得x 的范围即可．(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的步骤．(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．(2)运用单调性比较大小关系．提醒：y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)只有增区间；y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＜0，ω＞0)只有减区间．1．正切函数在整个定义域上的图象叫正切曲线．正切曲线是由相互平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )所隔开的无穷多支曲线组成，每支曲线向上、向下无限接近相应的两条直线，且每支曲线都是单调递增的．2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|. (3)正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间.1．下列说法正确的是( )A ．正切函数的定义域和值域都是RB ．正切函数在其定义域内是单调增函数C ．函数y ＝|tan x |与y ＝tan x 的周期都是πD ．函数y ＝tan|x |的最小正周期是π2 C [y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2（k ∈Z ），所以A 错；由正切函数图象可知B 错；画出y ＝tan x ，y ＝|tan x |和y ＝tan|x |的图象可知C 正确，D 错误，因为y ＝tan|x |不是周期函数．]2．在下列函数中同时满足：①在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝tan x 2D ．y ＝－tan x C [A ，D 的周期为π，B中函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递减，故选C.] 3．函数y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为________． ⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π [如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π. ]4．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心．[解] ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋5π3，k ∈Z ， ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠2k π＋53π，k ∈Z . ②T ＝π12＝2π，∴函数的最小正周期为2π. ③由k π－π2＜x 2－π3＜k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π3＜x ＜2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋5π3， k ∈Z .④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋2π3，k ∈Z ， ∴函数图象的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋2π3，0，k ∈Z .。

1．4.3 正切函数的性质与图象预习课本P42～45，思考并完成以下问题 (1)正切函数有哪些性质？(2)正切函数在定义域内是不是单调函数？[新知初探]正切函数y ＝tan x 的性质与图象y ＝tan x图象定义域 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z值域 R周期 最小正周期为π奇偶性 奇函数单调性在开区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)内递增[点睛] 正切函数的单调性：正切函数在每一个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋k π，2＋k π(k ∈Z)上，都是从－∞增大到＋∞，故正切函数在每一个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)上是增函数，但不能说函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R.( ) (2)正切函数在整个定义域上是增函数．( ) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( )(4)正切函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的定义域是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪ x ≠k π＋5π6，k ∈ZB ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪ x ≠k π－5π6，k ∈Z C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪ x ≠2k π＋5π6，k ∈Z D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠2k π－5π6，k ∈Z 答案：A3．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调递增区间为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈ZD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 答案：C4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的值域是________．答案：[0,1]正切函数的定义域[典例] (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4；(2)y ＝3－tan x .[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z)得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π4，k ∈Z .(2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图象可知，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上，满足tan x ≤3的角x 应满足－π2<x ≤π3，所以函数y ＝3－tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2<x ≤k π＋π3，k ∈Z .求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义即x ≠π2＋k π，k ∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .求函数y ＝11＋tan x 的定义域．解：要使函数有意义，则有1＋tan x ≠0， ∴tan x ≠－1，∴x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z. 因此，函数y ＝11＋tan x的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .与正切函数有关的周期性、奇偶性问题[典例] (1)求f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期； (2)判断y ＝sin x ＋tan x 的奇偶性． [解] (1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，即tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期是π2.(2)定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z，关于原点对称， ∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )， ∴它是奇函数．与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略(1)一般地，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|，常常利用此公式来求周期．(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f (－x )与f (x )的关系．[活学活用] 1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋3的最小正周期是( )A ．4B ．4πC ．2πD ．2解析：选D T ＝ππ2＝π·2π＝2.2．已知函数f (x )＝tan x ＋1tan x，若f (α)＝5，则f (－α)＝________. 解析：f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)．可知f (x )的定义域关于原点对称．又f (－x )＝tan(－x )＋1tan －x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．∴f (－α)＝－f (α)＝－5. 答案：－5正切函数的单调性及应用1．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的单调区间．解：y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4， 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z ，∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋3π2，k ∈Z.题点二：比较大小2．比较tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎪⎫－12π5的大小．解：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋3π4＝tan 3π4＝－tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π－2π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝－tan 2π5，∵0<π4<2π5<π2，且y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内递增，∴tan π4＜tan 2π5，∴－tan π4>－tan 2π5，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5.题点三：求最值或值域3．已知f (x )＝tan 2x －2tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π3，求f (x )的值域．解：令u ＝tan x ，因为|x |≤π3，所以u ∈[－3， 3 ]，所以函数化为y ＝u 2－2u . 对称轴为u ＝1∈[－3， 3 ]． 所以当u ＝1时，y min ＝12－2×1＝－1. 当u ＝－3时，y max ＝3＋2 3. 所以f (x )的值域为[－1,3＋2 3 ]．1．求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω>0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2，求得x 的范围即可．(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系．层级一 学业水平达标1．函数y ＝－2＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3的定义域是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－53π，2k π＋π3，k ∈ZB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋53π，k ∈ZC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－53π，k π＋π3，k ∈ZD ．⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋53π，k ∈Z 解析：选A 由－π2＋k π＜12x ＋π3＜π2＋k π，k ∈Z ，解得－53π＋2k π＜x ＜π3＋2k π，k ∈Z.2．f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的最小正周期为( )A.π4B ．π2C ．πD ．2π解析：选B 法一：函数y ＝tan(ωx ＋φ)的周期是T ＝π|ω|，直接套用公式，可得T ＝π|－2|＝π2. 法二：由诱导公式可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3－π＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝f (x )，所以周期为T ＝π2.3．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4与函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的最小正周期相同，则ω＝( )A ．±1B ．1C ．±2D ．2解析：选A g (x )的最小正周期为π，则π|ω|＝π，得ω＝±1.4．函数y ＝|tan 2x |是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数解析：选D f (－x )＝|tan(－2x )|＝|tan 2x |＝f (x )为偶函数，T ＝π2.5．与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是( ) A ．x ＝π2B ．x ＝－π2C ．x ＝π4D ．x ＝π8解析：选D 当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，而π2的正切值不存在，所以直线x ＝π8与函数的图象不相交．6．函数y ＝1－tan x 的定义域是_____________________________________． 解析：由1－tan x ≥0即tan x ≤1结合图象可解得． 答案：⎝⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π＋π4(k ∈Z) 7．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的单调递增区间是_________________________________．解析：令k π－π2＜2x ＋π4＜k π＋π2，k ∈Z ，解得k π2－3π8<x <k π2＋π8，k ∈Z.答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π2－3π8，k π2＋π8，k ∈Z8．函数y ＝3tan(π＋x )，－π4<x ≤π6的值域为________．解析：函数y ＝3tan(π＋x )＝3tan x ，因为正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，所以－3<y ≤3，所以值域为(－3， 3 ]．答案：(－3， 3 ]9．比较下列各组中两个正切函数值的大小． (1)tan 167°与tan 173°；(2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π4与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5. 解：(1)∵90°＜167°＜173°＜180°，又∵y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上是增函数，∴tan 167°＜tan 173°.(2)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π4＝－tan 11π4＝tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5＝－tan 13π5＝tan 2π5，又∵0＜π4＜2π5＜π2，函数y ＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2是增函数， ∴tan π4＜tan 2π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π4＜tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5. 10．已知f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，(1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x ＋φ)是奇函数，则φ应满足什么条件？并求出满足|φ|＜π2的φ值．解：(1)法一：∵y ＝tan x 的周期是π. ∴y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期是π2. 法二：由诱导公式知：tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 即f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝f (x )． ∴f (x )的周期是π2.(2)∵f (x ＋φ)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2φ是奇函数， ∴图象关于原点中心对称， ∴π3＋2φ＝k π2(k ∈Z)， ∴φ＝k π4－π6(k ∈Z)．令⎪⎪⎪⎪⎪⎪k π4－π6＜π2(k ∈Z)，解得－43＜k ＜83，k ∈Z.∴k ＝－1,0,1，或2.从而得φ＝－5π12，－π6，π12或π3.层级二 应试能力达标1．函数y ＝log 12tan x 的定义域是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤π4＋k π，k ∈ZB ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＜x ≤2k π＋π4，k ∈Z C ．⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π＜x ≤k π＋π4，k ∈ZD ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π－π2＜x ≤k π＋π4，k ∈Z解析：选C 要使函数有意义，只要log 12tan x ≥0，即0＜tan x ≤1.由正切函数的图象知，k π＜x ≤k π＋π4，k ∈Z.2．函数y ＝tan(cos x )的值域是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1]D ．以上均不对解析：选C ∵－1≤cos x ≤1，且函数y ＝tan x 在[－1,1]上为增函数，∴tan(－1)≤tanx ≤tan 1.即－tan 1≤tan x ≤tan 1.3．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )解析：选A 令y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3＝0，则有12x －π3＝k π，x ＝2k π＋2π3，k ∈Z.再令k＝0，得x ＝2π3，可知函数图象与x 轴一交点的横坐标为2π3.故可排除C 、D.令12x －π3＝－π2，得x ＝－π3，或令12x －π3＝π2，得x ＝5π3.故排除B ，选A.4．方程tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝3在区间[0,2π)上的解的个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选B 由tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝3，得2x ＋π3＝π3＋k π(k ∈Z)，∴x ＝k π2(k ∈Z)，又x ∈[0,2π)，∴x ＝0，π2，π，3π2.故选B. 5．若tan x ＞tan π5且x 在第三象限，则x 的取值范围是________．解析：tan x ＞tan π5＝tan 6π5，又x 为第三象限角，∴k π＋6π5＜x ＜k π＋3π2(k ∈Z)．答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π＋6π5，k π＋3π2(k ∈Z)6．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是单调减函数，则ω的取值范围是________．解析：函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是单调减函数，则有ω<0，且周期T ≥π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π，即π|ω|≥π，故|ω|≤1，∴－1≤ω<0.答案：[－1,0)7．已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，求函数y ＝1cos 2x ＋2tan x ＋1的最值及相应的x 的值． 解：y ＝1cos 2x ＋2tan x ＋1＝cos 2x ＋sin 2xcos 2x ＋2tan x ＋1 ＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1.11 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴tan x ∈[－3，1]． 当tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y 取得最小值1；当tan x ＝1，即x ＝π4时，y 取得最大值5.8．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的定义域、周期及单调区间．解：由12x －π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠4π3＋2k π，k ∈Z ， 所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠4π3＋2k π，k ∈Z .T ＝π12＝2π，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的周期为2π.由－π2＋k π<12x －π6<π2＋k π，k ∈Z ，得－2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z.所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2k π，4π3＋2k π(k ∈Z)．。

第一章 三角函数三角函数 1．4 三角函数的图象与性质 1．4.3 正切函数的性质与图象1．理解正切函数的性质，掌握正切函数的图象的作法．2．能利用正切函数的图象与性质解决与正切函数有关的基本问题．基础梳理 一、 正切函数的性质1．正切函数的定义域和值域：定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域为R ．2．正切函数的周期性：y ＝tan x 的周期是k π(k ∈Z，k ≠0)，最小正周期是π． 3．正切函数的奇偶性与对称性：正切函数是奇函数，其图象关于原点中心对称． 4．正切函数的单调性：正切函数在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)内都是增函数． 练习：正切函数y ＝tan x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的值域为[－1，1]．思考应用1．能否说正切函数在整个定义域上是增函数？解析：不能．正切函数在整个定义域上不具有单调性，因为它的定义域不连续，所以，不能说它在整个定义域上是增函数，正切函数在它的任一个连续区间内是单调递增函数．举反例：x 1＝π4，x 2＝5π4，x 1<x 2，tan x 1＝tan x 2这与单调性的定义矛盾．对每一个k ∈Z，在开区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2内，函数单调递增． 二、正切函数的图象1．根据正切函数y ＝tan x 的定义和周期，通过平移单位圆中的正切线来作出它在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象．2．将正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象，我们把它叫做正切曲线．正切曲线是被互相平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)所隔开的无数多支曲线组成的．这些平行直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)叫做正切曲线各支的渐近线．3．结合正切曲线的特征，类比正弦、余弦函数的“五点法”作图，也可用三点两线作图法作出正切函数y ＝tan x 在一个单调区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图．其中，三点为：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1.二线为：x ＝－π2，x ＝π2.画图时，注意图象不能与直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)相交． 思考应用2．你能求不等式tan x ≥3的解集吗？ 分析：本题可利用图象直观解决．解析：作正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图，观察图象，且由正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，tan π3＝ 3. ∵tan x ≥ 3，即tan x ≥tan π3，∴在区间⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，不等式tan x ≥3的解集⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2，故由正切函数的周期性可知原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π＋π3，k π＋π2(k ∈Z)．自测自评1．函数y ＝tan 2x 的最小正周期是(C )A ．2πB ．π C.π2 D.π4解析：T ＝π2，故选C.2．下列命题正确的是(C ) A ．正切函数在定义域内是增函数 B ．正弦函数在定义域内是增函数 C ．函数y ＝3tan x 2的图象关于y 轴对称D ．若x 是第一象限角，则y ＝tan x 是增函数，y ＝cos x 是减函数解析： 正弦函数、余弦函数与正切函数都是区间上的单调函数，可排除A 、B 、D ，故选C.3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的定义域是(D )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋3π4，k ∈Z解析：x －π4≠k π＋π2⇒x ≠k π＋3π4，k ∈Z.4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4的值域为⎦⎥⎤3，1．基础提升1．函数y ＝lg tan x 的增区间是(B ) A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)B.⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z) C.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2 (k ∈Z) D ．(k π，k π＋π)(k ∈Z)解析：由tan x >0，得k π<x <k π＋π2(k ∈Z)．又y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2上是增函数．∴函数y ＝lg tan x 的增区间是⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)．故选B.2．tan 600°的值是(D ) A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3 解析：tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan 240° ＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝ 3.3．直线y ＝a (a 为常数)与函数y ＝tan ωx (ω为常数且ω＞0)的图象相交的相邻两点间的距离是(C )A ．π B.2πω C.πωD ．与a 值有关解析：利用图象，直线y ＝a 与函数y ＝tan ωx 的图象相交，相邻两点间的距离就是y ＝tan ωx 的一个最小正周期，即为πω.故选C.4．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为(C )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 5．方程tan x ＝－3(－π<x <π)的解集为(C )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π6，56πB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－23π，23πC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，23πD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫23π，53π巩固提高6．若f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则(A)A ．f (0)>f (－1)>f (1)B ．f (0)>f (1)>f (－1)C ．f (1)>f (0)>f (－1)D ．f (－1)>f (0)>f (1) 解析：由k π－π2＜x ＋π4＜k π＋π2，k ∈Z 得k π－3π4＜x ＜k π＋π4，k ∈Z ， ∴f (－1)＜f (0)．又∵f (1)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫1－3π4，∴1－3π4，－1，0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4且1－3π4＜－1＜0，∴f (1)＜f (－1)＜f (0)，故选A. 7．函数f (x )＝tan 2xtan x 的定义域为(A )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R且x ≠k π＋π2，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π4，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R且x ≠k π－π4，k ∈Z 8．利用正切函数图象解不等式． (1)tan x ≥－1； (2)tan 2x ≤－1.分析：本题可先作出y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象，然后由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，并结合图象的升降(单调性)便可去掉法则“tan ”，从而建立自变量间的关系．解析：(1)因为tan x ≥－1，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，满足条件的x 为：－π4≤x ＜π2，由正切函数的图象及周期性可知，满足此不等式的x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π4＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z .(2)在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1.所以不等式tan 2x ≤－1的解集由不等式k π－π2＜2x ≤k π－π4，k ∈Z 确定．解得k π2－π4＜x ≤k π2－π8，k ∈Z.所以不等式tan 2x ≤－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π2－π4＜x ≤k π2－π8，k ∈Z .9．已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值；(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数． 解析：(1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1.∵x ∈[－1，3]， ∴当x ＝33时，f (x )min ＝－43； 当x ＝－1时，f (x )max ＝233.(2)函数f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1的对称轴为x ＝－tan θ， ∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3， 即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2<θ≤－π3或π4≤θ<π2， 即θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2.1．正切函数单调区间的求法：求y ＝A tan(ωx ＋φ)的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，再由不等式k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2(k ∈Z)求得x 的范围即可．2．比较大小问题：比较两个同名函数值的大小，应先保证自变量在同一单调区间内，再利用函数单调性比较大小．如果自变量不在同一单调区间内，则可用介值法比较大小．3．解简单的三角不等式：一般地，求解简单的三角不等式时，既可以用三角函数线，又可以用三角函数的图象，先得到一个周期内的解集，再加上周期的整数倍，即可得所求的解集．。

1.4.3正切函数的图像与性质【学习目标】1、能正确作出正切函数图像；2、借助图像理解正切函数的性质；3、进一步研究正切函数的综合运用.【重点难点】正切函数的图像与性质【学习过程】一、复习旧知1.画出下列各角的正切线：2.正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？3.正、余弦函数的基本性质包括哪些内容？二、自主学习预习教材P42~ P45思考以下问题：知识探究（一）：正切函数的图象思考1：类比正弦函数图象的作法,利用正切线在下图中作正切函数tan ((,))22y x x ππ=∈-图象，具体应如何操作？思考2：上图中,直线2π-=x 和2π=x 与正切函数的图象的位置关系如何？图象的凸向有什么特点？思考3：结合正切函数的周期性, 如何画出正切函数在整个定义域内的图象？A 思考4：正切函数Z k k x x y ∈+≠=,2,tan ππ的图象叫做正切曲线.它是由被相互平行的直线Z k k x ∈+=,2ππ所隔开的无穷多支完成相同的曲线组成的。

因为正切函数是奇函数，所以正切曲线关于原点对称，此外，正切曲线是否还关于其它的点和直线对称？ 知识探究（二）：正切函数的性质观察正切函数Z k k x x y ∈+≠=,2,tan ππ的图象，完成下列思考：思考1：正切函数的定义域是 , 用区间表示为 思考2：根据诱导公式与周期函数的定义结合正切函数Z k k x x y ∈+≠=,2,tan ππ的图象，你能判断正切函数是周期函数吗？其最小正周期是什么？思考3：根据图像你能判断正切函数具有奇偶性吗？思考4：观察右图中的正切线,当角x 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ内增加时, 正切函数值发生什么变化?由此反映出一个什么性质?思考5：结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？思考6：正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？思考7：正切函数的值域是什么?三、典型例题例1:比较下列两个三角函数值的大小．（1）710tan 72tan)1(ππ与（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-517tan 413tan )2(ππ与变式练习1：比较下列两个三角函数值的大小．（1）815tanπ 914tan π （2）ο240tan ο260tan例2：根据正切函数图象，分别写出满足下列条件的x 的集合：（1）0tan >x （2）tan x >（3）0tan 1≥+x变式练习2：（1）函数1tan 2-=x y 的定义域是（2）函数)tan 1lg(x y -=的定义域是 例3：研究函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4tan πx y 的基本性质变式训练3：（1）求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42tan πx y 的基本性质 （2）求函数)32tan(ππ+=x y 的定义域、周期和单调区间.课后思考：研究函数x y tan =的相关性质课后练习与提高1. 下列函数不等式中正确的是（ ）.A ．43tan tan 77ππ>B ．23tan tan 55ππ<{}C.|22,|2,2x k x k k x x k k Z ππππππ⎧⎫≤<+∈⋃=+∈⎨⎬⎩⎭ C ． 1315tan()tan()78ππ-<- D ．1312tan()tan()45ππ-<-2. 若,则（ ）.A ．B ．C ．D ．3.函数y = ）.A ．|22,2x k x k k ππππ⎧⎫≤<+∈⎨⎬⎩⎭B ．|22,2x k x k k ππππ⎧⎫<≤+∈⎨⎬⎩⎭D ．|222x k x k πππ⎧≤<+⎨⎩且}2,x k k Z ππ≠+∈4. 函数)43tan(2π+=x y 的周期是( )A ．32πB ．2πC ．3πD ．6π5. 函数x y π3tan =的最小正周期是（ ）A ．31B ．32C ．π6D ．π36. 函数tan()(0)6y ax a π=+≠的周期为（ ）.A ．2a πB ．2a πC ．a πD ．a πtan 0x ≤22,2k x k k Z πππ-<<∈2(21),2k x k k Z πππ+≤<+∈,2k x k k Z πππ-<≤∈,2k x k k Z πππ-≤≤∈7. 直线y a =(a 为常数)与正切曲线tan (y x ωω=为常数，且0)ω>相交的两相邻点间的距离为（ ）.A ．πB ．2πω C ．πω D ．与a 值有关8. 函数)4tan(x y -=π的定义域是（ ）A. {R x x ∈|且4π-≠x } B. {R x x ∈|且43π≠x }C. {R x x ∈|且z k k x ∈-≠,4ππ}D. {R x x ∈|且z k k x ∈+≠,43ππ}9. 在下列函数中，同时满足：①在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是（）.A ．tan y x =B ．cos y x =C ．tan 2xy = D ．tan y x =-10. 3tan ,2tan ,1tan 的大小关系是 .11. 函数)42tan(1π-=x y 的定义域为 .12. 函数sin y x =与tan y x =的图像在[]1,1-上有 个交点。

1.4.3正切函数的性质与图象学习目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质；2.理解并掌握作正切函数图象的方法；2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法；问题：1、正弦曲线是怎样画的？ 2、练习：画出下列各角的正切线：．下面我们来作正切函数的图象．二、讲解新课：1．正切函数tan y x =的定义域是什么？2．正切函数是不是周期函数？3．作tan y x =，x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ的图象 4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：（1）定义域：（2）值域：（3）周期性：=T ；（4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是 。

（5）单调性：在开区间 内，函数单调递增。

5.讲解范例：例1比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫ ⎝⎛-517tan π的大小例2：求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，思考1：你能判断它的奇偶性吗？练习1：求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32tan ππx y 的定义域、周期性、奇偶性、单调性。

练习2：教材P45 2、3、4、5、6题思考2：你能用图象求函数tan 3y x =-的定义域吗？例3.要得到)32tan()(π-=x x f 的图象，只须将f(x)=tan2x 的图象 （）A.向右平移3π个单位 B.向左平移3π个单位 C.向右平移6π个单位 D.向左平移6π个单位四、小结：本节课学习了以下内容：1.因为正切函数x y tan =的定义域是},2,|{Z k k x R x x ∈+≠∈ππ，所以它的图象被, (2)3,2ππ±±=x 等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。

2.作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（-π/2，π/2）的区间内的函数的图象，然后再将它沿x 轴向左或向右移动，每次移动的距离是π个单位，就可以得到整个正切函数的图象。

学习资料内容标准学科素养1.会求正切函数y＝tan（ωx＋φ)的周期．2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性,并会判断简单三角函数的奇偶性．3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法。

应用直观想象发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第29页［基础认识]知识点一正切函数的性质阅读教材P42～44，思考并完成以下问题根据诱导公式二、三及正切线，可得出正切函数哪些性质？（1)由正切函数的定义得出定义域是什么？提示：错误!.（2）由公式二tan（π＋x)＝tan x,可得出y＝tan x的什么性质？提示：周期性．（3）由公式三tan（－x）＝－tan x可得出y＝tan x的什么性质？提示：是奇函数．(4)当x大于－错误!且无限接近－错误!时，正切线AT趋近________．当x小于错误!且无限接近错误!时，正切线AT趋近________．可得y＝tan x的值域为________．提示:－∞＋∞R定义域错误!值域R最小正周期π奇偶性奇函数单调性在开区间错误!k∈Z内都是增函数提示：不是．知识点二正切函数的图象思考并完成以下问题如何根据正切线作正切函数的图象？（1）利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？提示：①作平面直角坐标系,并在平面直角坐标系y轴的左侧作单位圆．②把单位圆的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线．③描点（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线的长度)．④连线，得到如图①所示的图象．①⑤根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y＝tan x,x∈R且x≠错误!＋kπ(k∈Z)的图象,把它称为正切曲线（如图②所示）．可以看出，正切曲线是被相互平行的直线x＝错误!＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．②（2)我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图,你能类似地画出正切函数y ＝tan x，x∈错误!的简图吗？怎样画?提示：能，三个关键点：错误!，(0，0），错误!，两条平行线：x＝错误!,x＝－错误!。

1.4.3正切函数的性质与图象班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语白首壮心驯大海，青春浩气走千山。

——林伯渠学习目标1．掌握正切函数的性质.2．会画正切函数的图象，并能利用图象和性质解题学习重点正切函数的性质与图象的简单应用学习难点正切函数性质的深刻理解及其简单应用自主学习正切函数的性质与图象图象定义域值域周期性奇偶性单调性递增区间对称性对称中心坐标预习评价1．是A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数2．的最小正周期为A. B.π C.2π D.3π3．函数的定义域是， .4．函数最小正周期为__________.5．函数的单调递减区间是__________.♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．如图为正切函数，的图象，根据图象回答下面的问题：(1)作正切函数，的图象的三个关键点几两条直线是什么？(2)直线与图象的两交点A 1，A2之间的距离是多少？正切曲线与直线存在怎样的关系？2．正切函数的性质根据正切函数的图象，探究下面的问题：(1)由正切曲线可知，正切函数的最小正周期为π，你能根据正切函数的周期推导出函数的周期吗？(2)结合正切函数的单调区间你能推导出函数的单调区间吗？(3)正切曲线是对称图形吗？对称中心是什么？教师点拨1．作正切函数的图象的两种方法(1)几何法；利用单位圆中的正切线来作出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较繁琐.(2)三点两线法：“三点”是指，，，；“两线”是指和.在三点、两线确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在上的简图，然后向左、向右扩展即得正切曲线.2．对正切函数性质的四点说明(1)研究正切函数的性质，首先要考虑正切函数的定义域，否则容易引起错误.(2)正切函数在整个定义域上不单调，但在每个单调区间上单调.(3)正切函数的值域为Ｒ，但正切函数在定义域上无最值.(4)正切曲线x轴的交点是正切函数的对称中心；直线与x轴的交点也是交流展示——正切函数的图像及应用1．函数在一个周期内的图象是A.B .C .D.2．若集合，B={x，y)|y=x}，则A∩B中有____个元素. 变式训练1．若函数tan x>l，则x的取值区间___________.2．函数y=tan(x+)的定义域为.3．比较大小:交流展示——正切函数的性质3．与函数y=tan(2x+)的图象不相交的一条直线是()A.x=B.x=-C.x=D.x= 4．函数f(x)=tan(ωx-)与函数g(x)=sin(-2x)的最小正周期相同,则ω=()A.±1B.1C.±2D.2 5．tan2与tan3的大小关系是____.变式训练4．函数的图像的一个对称中心是A. B. C. D.(0,0) 5．若函数(a ≠0)的最小正周期为，则a=_______.学习小结1．函数和图象的作法(1)作函数的图象的步骤：①作出函数在y轴右侧的那部分图象；②函数是偶函数，故将y轴右侧的那部分图象对称到y轴的左侧，保留y 轴右侧的部分，即得到函数的图象.(2)作函数的图象的步骤：①作出函数的图象；②将x轴下方的那部分图象翻折到x轴上方，保留x轴上方的部分，即得到函数的图象.2．利用正切函数的单调性比较函数值大小的三个步骤(1)转化：利用诱导公式将角度化到同一单调区间内.(2)比较：利用单调性比较函数值的大小.(3)结论：按一定顺序写出其大小关系.3．求函数定义域、周期、单调性的方法(1)定义域：由，，求出的x的取值范围即为函数的定义域，即.(2)周期性；利用周期性函数的定义或直接利用公式来求.(3)单调性：在求函数的单调区间时，首先要用公式把x的系数化为正值，再利用整体代换的思想和正切函数的单调性求出单调区间，即由，求出x的取值范围即可.提醒：注意A的正负对函数单调性的影响.当堂检测关于x的函数f(x)=tan(x+φ)有以下说法:(1)对任意的φ,f(x)既不是奇函数也不是偶函数;(2)不存在φ,使f(x)既是奇函数又是偶函数;(3)存在φ,使f(x)是奇函数;(4)对任意的φ,f(x)都不是偶函数.其中不正确的说法的序号是.因为当φ=时,该说法的结论不成立.知识拓展求函数y=tan2x的定义域、值域和周期，并作出它在区间[-π,π]内的图象.1.4.3正切函数的性质与图象详细答案♒♒♒♒♒♒♒课前预习 · 预习案♒♒♒♒♒♒♒【自主学习】R π 奇函数，k ∈Z，k ∈Z【预习评价】 1．A 2．A 3．4． 5．(k ∈Z ) ♒♒♒♒♒♒♒知识拓展 · 探究案♒♒♒♒♒♒♒【合作探究】1．(1)由图知三个关键点是：，(0，0)，，两直线为：.(2)由图象结合正切函数的周期性可知，两交点之间的距离为π. 2．(1)因为A tan＝A tan(x ++π)＝A tan(x +)，所以由周期函数的定义知，函数y ＝A tan(x +)(>0，A >0)的周期为T =.(2)因为函数y =tan x 只有增区间，所以函数y ＝A tan(x +)(A >0， >0)也只有增区间，由+k π<x +<+k π(k ∈Z )得x 的范围对应的区间即为函数r ＝A tan(x =+)的单调区间.(3)由函数图象知，正切曲线是中心对称图形，对称中心为【交流展示——正切函数的图像及应用】 1．A 2．1【解析】由(),tan ,,22A x y y x x ππ⎧⎫⎛⎫==∈-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，集合B={(x ，y)|y=x}，作出两个点集对应的图象如图.∵在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，tanx ＞x 结合图象可知，A∩B 中只有1个元素.故答案为1.【变式训练】 1．,()42k k k ππππ⎛⎫++∈⎪⎝⎭Z2．{x|x ∈R 且x≠+kπ,k ∈Z}【解析】函数的自变量x 应满足x+≠+kπ,k ∈Z,即x≠+kπ,k ∈Z.所以函数y=tan(x+)的定义域为{x|x ∈R 且x≠+kπ,k ∈Z}. 3．<【解析】本题考查比较正切值的大小问题.,因为函数在上为增函数,,故.【交流展示——正切函数的性质】 3．D【解析】当x=时,2x+=,而的正切值不存在,所以直线x=与函数的图象不相交.故选D. 4．A【解析】g(x)的最小正周期为π,则=π,得ω=±1.5．t a n2＜t a n3 【解析】因为32322ππ<<<，所以t a n2＜t a n3. 【变式训练】 4．C 5．23±【当堂检测】 (1) kπ或kπ+,k ∈Z【解析】对于(1),显然当φ=kπ或kπ+,k ∈Z 时,f(x)是奇函数,故(1)错,(3)正确;既是奇函数又是偶函数的函数为f(x)=0,显然对于任意的φ,f(x)都不可能恒为0,从而(2)正确;(4)显然正确. 【知识拓展】定义域为；值域为(,)-∞+∞；周期为2π；对应图象如图所示：。

1.4.3正切函数的性质与图象学习目标：1、理解并掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性、值域等相关性质.2、会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象.3、经历根据正切函数的性质描绘函数图象的过程，进一步体会函数线的作用.自学导引1．正切函数tan y x =的定义域是 ；2．回顾跟正切函数有关的诱导公式，想一想：正切函数是周期函数吗？如果是，那么最小正周期是 ；3. 回顾跟正切函数有关的诱导公式，想一想：正切函数是 (奇、偶)函数；4．正切函数在每个开区间_____________________________内均为增函数；典例精析例1求函数)ln(tan )(x x f =的定义域；变式 求函数)3(tan tan 1-=x x y 的定义域；例2若]4,3[ππ-∈x ，求函数1tan 2cos 12++=x xy 的最值及相应的x 的值；变式 函数]4,4[,tan sin ππ-∈+=x x x y 的值域为例3作出函数)321tan(π-=x y 在一个周期内的图象；变式 作出函数|sin tan |sin tan x x x x y --+=在区间)23,2(ππ内的大致图象；例4（1）求函数)46tan(3)(x x f -=π的周期和单调递减区间；（2）试比较)(πf 与)23(πf 的大小；变式 是否存在实数a ，且Z a ∈，使得函数)4cot(ax y +=π在)85,8(ππ∈x 上是单调递增的？若存在，求出a 的一个值；若不存在说明理由；例5（1）求函数x x y tan sin +=的定义域；（2）画出函数|tan |x y =的简图，并根据图象写出其最小正周期和单调区间；自主反馈1、与函数tan 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象不相交的一条直线是（ ） ()2A x π= ()2B x π=- ()4C x π= ()8D x π=2、函数1tan y x =-的定义域是 ．3、函数2tan 2tan 22++=x x y 的最大值是 ． 4、已知函数x y ωtan =在)2,2(ππ-内是减函数，则ω的取值范围是____________； 5、函数|)4tan(|π+=x y 的单调递增区间是__________________；1.4.3正切函数的性质与图象自学导引1．},2|{Z k k x x ∈+≠ππ2．π3．奇4．Z k k k ∈++-),2,2(ππππ 典例精析例1Z k k k ∈+),2,(πππ 变式 Z k k k k k k k ∈++++-),2,3()3,(),2(ππππππππππ例2当4π-=x 时，1min =y ；当4π=x 时，5min =y变式 ]122,122[+--例3图略 变式 图略例4（1）π4=T 减区间：Z k k k ∈+-],384,344[ππππ （2）)(πf >)23(πf 变式 存在，2-=a例5（1）},2|{},222|{Z k k x x Z k k x k x ∈+≠∈+<≤πππππ（2）图略 π=T 增区间：Z k k k ∈+),2,[πππ 减区间：Z k k k ∈-],,2(πππ 变式 Z k k k ∈++),2,6[ππππ 自主反馈1、D2、Z k k k ∈+-],4,2(ππππ3、24、01<≤-ω5、Z k k k ∈+-),4,4[ππππ。

1.4.3 正切函数的性质与图象【课前准备】 1．课时目标（1）掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性及值域等相关性质；（2）了解利用正切线作出正切函数，并会作简单的正切函数的图象；（3）利用正切函数的图象来研究相关的函数 性质． 2．基础预探（1）正切函数的性质：正切函数是周期函数，其周期是_______；就奇偶性而言，正切函数是_______； 正切函数在开区间_______（k ∈Z ）内都是增函数；正切函数的值域是_______． （2）正切函数y =tan x 的定义域为_______． 【知识训练】1．已知函数y =tan （2x +φ）的图象过点（12π，0），则φ可以下面中的（ ） A ．－6πB ．6πC ．－12πD ．12π2．下列函数中，是奇函数的是（ ） A ．y =sin x B ．y =sin x +1 C ．y =cos xD ．y =1－tan x3．若tan x =1，则x =（ ）A ．π4 B ．2k π+π4，k ∈Z C ．k π+π4，k ∈Z D ．k π±π4，k ∈Z4．函数y =tan （2x －3π）的最小正周期是_______．5．关于函数f （x ）= tan （2x －4π），有以下命题：①函数f （x ）的周期是π2；②函数f （x ）的定义域是{x |x ≠21k π+π8，k ∈Z }；③函数f （x ）是奇函数；④函数f （x ）的图象关于点（π8，0）对称；⑤函数f （x ）的一个单调递增区间为（－π2，π2）．其中，正确的命题序号是_______．6．求函数y=2tan2x的定义域．【学习引领】正切函数的图象是借且于正切线来作的，观察图形的形状，理解并掌握其相关性质．由正切函数的定义域知正切函数的图象被直线x=kπ+π2，k∈Z隔开，所以正切函数的图象是间断的，在每个开区间（－π2+kπ，π2+kπ），k∈Z内，正切函数都是增函数，但不能说正切函数在定义域内是增函数．由于正切函数定义域不是R，因此一些性质与正弦函数、余弦函数的性质有了较大的差别．如正、余弦函数是有界函数，而正切函数是无界函数；正、余弦函数是连续函数，而正切函数在R上不连续，它有无数条渐近线x=kπ+π2，k∈Z；正、余弦函数既有单调增区间又有单调减区间，而正切函数在每一个开区间（－π2+kπ，π2+kπ），k∈Z内都是增函数；正、余弦函数的周期为2π，而正切函数的周期为π；正、余弦函数的值域为[－1，1]，而正切函数的值域为（－∞，+∞）．【典例导析】题型一：函数的定义域问题例1．求函数y=xtan+lg（1－tan x）的定义域．点评：函数的定义域是构成函数的三大要素之一，是函数的灵魂．求定义域实质就是使函数有意义的的x 取值范围，要注意使整个式子有意义的x 取值范围．当有几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域．变式练习1：求函数y =2tan （2x －π4）的定义域．题型二：函数图象问题例2．作出函数y =|tan x |的图象，并根据图象求单调区间．点评：根据图象可以发现y =|tan x |的最小正周期为π，一般的，函数y =A |tan （ωx +φ）|的最小正周期与y =A tan （ωx +φ）的最小正周期相同，均为||π ．作函数图象时，要注意对函数式进行化简，同时要注意函数的定义域． 变式练习2：若tan x ≤－1，则x ∈（ ）A ．（2k π－π2，2k π－π4），k ∈Z B ．（2k π+π2，2k π+3π4），k ∈Z C ．（k π－π2，k π－π4]，k ∈ZD ．[k π－π2，k π+π4]，k ∈Z题型三：比较函数值的大小例3．比较下列四个数的大小关系：tan1，tan2，tan3，tan4．点评：有关正、余切函数大小的比较，一般将角化到同一单调区间内，再利用函数的单调性处理，若遇到不同函数之间的比较，则最好通过变换化为同名函数再作比较． 变式练习3：比较大小：tan （－21π4）与tan （－17π5）．题型四：判断函数的单调性 例4．已知函数y =tan x ，x ∈（0，π2）是增函数，求证：函数y =1－tan x ，x ∈（－π2，0）是减函数．点评：判断此类函数的单调性问题，可以结合上述的函数单调性的定义来处理，在一些填空题或解答题中往往可以直接根据数形结合的方法，通过草图来加以处理，必要时再加以科学论证．变式练习4：已知函数f （x ）=tan45x ，则f （x ）（ ） A ．是定义域上的增函数，周期为π B ．是定义域上的增函数，周期为54π C ．在[－π2，π2]上为增函数，周期为π D ．在[－2π5，2π5]上为增函数，周期为54π【随堂练习】1．在下列函数中，同时满足下列三个条件的函数是（ ）①在（0，π2）上单调递增；②以2π为周期；③是奇函数； A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan 21x D ．y ＝－tan x2．函数f （x ）=tan （x +π4）的单调增区间为（ ） A ．（k π－π2，k π+π2），k ∈Z B ．（k π，（k +1）π），k ∈Z C ．（k π－3π4，k π+π4），k ∈Z D ．（k π－π4，k π+3π4），k ∈Z3．下列不等式中正确的是（ ）A ．tan53π>tan 52π B ．tan4>tan3C ．tan281º>tan665ºD ．tan （－413π）<tan （－512π）4．若x ∈[0，2π]，函数y =x sin +x tan 的定义域为__________．5．在区间（－3π2，3π2）范围内，函数y =tan x 与函数y =sin x 的图象交点的个数为 个． 6．求函数y = tan （－2x +π8）的周期与单调性．【课后作业】1．观察正切函数的图象，满足|tan x |≤1的x 取值范围是（ ）A ．[2k π－π4，2k π+π4]，k ∈Z B ．[k π，k π+π4]，k ∈Z C ．[k π－π4，k π+π4]，k ∈Z D ．[k π+π4，k π+3π4]，k ∈Z2．函数y ＝sin x ＋tan x －|sin x －tan x |在区间（π2，3π2）内的取值范围是（ ）A ．（－∞，0]B ．[0，＋∞）C ．[－2，0]D ．[0，2] 3．已知y ＝tan 2x －2tan x ＋3，则它的最小值为________． 4．给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的；②y =|sin x |、y =|tan x |的周期分别为π、2π； ③若x 1>x 2，则sin x 1>sin x 2；④若f （x ）是R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f （－2T）=0； 其中正确命题的序号是____________．5．若x∈[－π3，π4]，求函数y=tan2x+2tan x+3的值域．6．求函数y＝tan2x的定义域、值域和周期，并作出它在区间［－π，π］内的图象．参考答案【课前准备】 2．基础预探 （1）π，奇函数，（－π2+k π，π2+k π），实数集R ；（2）{x |x ≠π2+k π，k ∈Z }． 【知识训练】 1． A 【解析】将（12π，0）代入原函数可得，tan （6π+φ）=0，再将选项A 、B 、C 、D 代入检验即可. 2． A【解析】A 是奇函数，B 、D 是非奇非偶函数，C 是偶函数. 3． C【解析】当tan x =1，在（－π2，π2）内对应的值是π4，而其周期是π，则有k π+π4，k ∈Z . 4．2π【解析】根据正切函数的性质知其最小正周期为T =ωπ=2π. 5．①【解析】对f （x ）=tan （2x －4π），T =π2，故①对；定义域为2x －4π≠k π+π2，k ∈Z ，即x ≠21k π+3π8，k ∈Z ，故②错；由于f （－x ）= tan （－2x －4π）=－tan （2x +4π）≠tan （2x －4π）=f （x ），故③错；由k π－π2<2x －4π<k π+π2，k ∈Z 知函数的单调增区间为（21k π－π8，21k π+3π8），k ∈Z ，故⑤错. 6．【解】要使函数y =2tan2x 有意义，则有2x ≠k π+π2，k ∈Z ，即x ≠21k π+π4，k ∈Z ，所以函数y =2tan2x 的定义域为{x |x ≠21k π+π4，k ∈Z }．【典例导析】例1．【解】函数y =x tan +lg （1－tan x ）有意义，则⎩⎨⎧>-≥0tan 10tan x x ，解得0≤tan x <1，结合正切函数的图象可得k π≤x <k π+π4，k ∈Z ，所以原函数的定义域为{x |k π≤x <k π+π4，k ∈Z }． 变式练习1：【解】要使函数y =2tan （2x －π4）有意义，则有2x －π4≠k π+π2，k ∈Z ，即x ≠21k π+3π8，k ∈Z ，所以函数y =2tan （2x －π4）的定义域为{x |x ≠21k π+3π8，k ∈Z }．例2．【解】由于y =|tan x |=πtan ,[π,π)2πtan ,(π,π)2x x k k x x k k ⎧∈+⎪⎪⎨⎪-∈-⎪⎩，k ∈Z ，单调增区间为[k π，k π+π2），k ∈Z ；单调减区间为（k π－π2，k π]，k ∈Z ．变式练习2：C【解析】如图，在（－π2，π2）这个周期内，tan x ≤－1所对应的区间是（－π2，－π4]，故在R 上，tan x ≤－1的解为（k π－π2，k π－π4]，k ∈Z .例3．【解】由于tan2=tan （2－π），tan3=tan （3－π），tan4=tan （4－π）， 又因为－π2<2－π<3－π<4－π<1<π2，而y =tan x 在（－π2，π2）上是增函数， 所以tan （2－π）<tan （3－π）<tan （4－π）<tan1，即tan2<tan3<tan4<tan1． 变式练习3：【解】由于tan （－21π4）=－tan π4，tan （－17π5）=－tan 2π5，又0<π4<2π5，而y =tan x 在（0，π2）内单调递增， 所以tan π4<tan 2π5，则有－tan π4>－tan 2π5，即tan （－21π4）>tan （－17π5）．例4．【解】设任意x 1、x 2∈（－π2，0），且x 1<x 2，则有π2>－x 1>－x 2>0，由于函数y =tan x ，x ∈（0，π2）是增函数，所以tan （－x 1）>tan （－x 2），而正切函数y =tan x 是奇函数，则有－tan x 1>－tan x 2， 从而1－tan x 1>1－tan x 2，所以函数y =1－tan x ，x ∈（－π2，0）是减函数． 变式练习4：D【解析】正切函数不是在其定义域内单调，而是在区间（5π4k －2π5，5π4k +2π5）（k ∈Z ）上单调，周期为54π. 【随堂练习】 1． C【解析】对y ＝tan 21x ，在开区间（－π+2k π，π+2k π），k ∈Z 内，函数单调递增； 又tan （－21x ）= －tan 21x ，是奇函数；且周期T =π12=2π.2． C【解析】根据函数y =tan x 的单调性，由k π－π2< x +π4<k π+π2，k ∈Z ，得k π－3π4< x <k π+π4，k ∈Z . 3． B【解析】根据正切函数y =tan x 的单调性加以分析. 4．（π2，π] 【解析】函数y =x sin +x tan -的定义域为⎩⎨⎧≥-≥0tan 0sin x x ，即⎩⎨⎧≤≥0tan 0sin x x ，又x ∈[0，2π]，那么结合草图，可知x ∈（π2，π]. 5．3【解析】结合函数y =tan x 与函数y =sin x 的图象，在区间（－3π2，3π2）范围内，知它们的交点分别为（－π，0），（0，0），（π，0）；6．【解】周期为T =π|2|-=π2； 令u =－2x +π8，则y =tan u 在（－π2+k π，π2+k π），k ∈Z 上单调递增， 即－π2+k π<－2x +π8<π2+k π，解得：－3π16－21k π<x <5π16－21k π，k ∈Z ，又u =－2x +π8在R 上递减，故y = tan （－2x +π8）在区间（－3π16－21k π，5π16－21k π），k ∈Z 上单调递减．【课后作业】 1． C【解析】结合正切函数的图象可以判断出来. 2． A【解析】由于y ＝⎩⎨⎧2tan x ，π2<x ≤π，2sin x ，π<x <3π2，当π2<x ≤π时，y ≤0；当π<x <3π2时，－2<y <0；综上，y ≤0. 3．2【解析】由于y ＝tan 2x －2tan x ＋3＝（tan x －1）2＋2，当tan x =1时，函数y ＝tan 2x －2tan x ＋3的最小值为2. 4．④【解析】结合正切函数的图象与性质知①是错误的，同时y =|tan x |的周期为π，即②也是错误的；结合正弦函数的图象与性质知是③错误的；由于f （x ）是R 上的奇函数，则有f （0）=0，且有f （－2T ）=－f （2T ），而由其最小正周期为T 知f （－2T ）= f （2T ），则有f （－2T）=0.5．【解】函数y =tan x 在（－π2，π2）这个周期内是单调递增的， 因而当x ∈[－π3，π4]时，y =tan x 的最小值在x =－π3取到，且最小值为tan （－π3）=－3，y =tan x 的最大值在x =π4取到，且最大值为tan π4=1，又y =tan 2x +2tan x +3=（tan x +1）2+2，当tan x =－1时，函数y =tan 2x +2tan x +3取到最小值2；高中数学优质学案11 当tan x =1，函数y =tan 2x +2tan x +3取到最大值6；故函数y =tan 2x +2tan x +3的值域为[2，6]．6．【解】（1）要使函数y ＝tan2x 有意义，必须且只须2x ≠π2＋k π，k ∈Z ， 即x ≠π4＋π2k ，k ∈Z ， ∴函数y ＝tan2x 的定义域为{x ∈R ｜x ≠ππ42k +，k ∈Z }； （2）设t ＝2x ，由x ≠ππ42k +，k ∈Z 知t ≠π2＋k π，k ∈Z ， ∴y ＝tan t 的值域为（－∞，＋∞），即y ＝tan2x 的值域为（－∞，＋∞）；（3）由tan2（x ＋π2）＝tan （2x ＋π）＝tan2x ， ∴y ＝tan2x 的周期为π2； （4）函数y ＝tan2x 在区间［－π，π］的图象如图：。

§1.4.3正切函数的图像与性质【教材分析】正切函数的图象和性质》 它前承正、余弦函数，后启必修五中的直线斜率问题。

研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石。

教材单刀直入，直接进入画图工作，没有给出任何提示。

正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以类比的方式，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。

教材上直接圈定了区间（2,2ππ-），这样限制了学生的思维，我把空间留给学生，采用让学生自己选择周期，设计一个得到正切曲线的方法。

这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力，而且，在此过程中，学生会注意到画正切曲线的细节。

在得到图象后，单调性是一个难点，我设计了几个判断题帮助学生理解该性质，并用比大小的题型启发学生从代数和几何两种角度看问题。

【教学目标】正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。

本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标： 1.会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。

2.首先学生自主绘图，通过投影仪纠正图像，投影完整的正确图象，然后再让学生观察，类比正弦，探索知识。

3.在得到正切函数图像的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图像让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

【教学重点难点】教学重点：正切函数的图象及其主要性质。

教学难点：利用正切线画出函数y =tan x 的图象，对直线x =2ππ+k ，Z k ∈是y =tan x的渐近线的理解，对单调性这个性质的理解。

§1.4.3正切函数的图像与性质课前预习学案一、预习目标利用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质二、预习内容1.画出下列各角的正切线：2.类比正弦函数我们用几何法做出正切函数x y tan =图象：3.把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x xy ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”4.观察正切曲线，回答正切函数的性质： 定义域： 值域：最值： 渐近线： 周期性： 奇偶性 单调性： 图像特征： 三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标：会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。

学习重难点：正切函数的图象及其主要性质。

二、学习过程例1.讨论函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4tan πx y 的性质变式训练1. 求函数y ＝tan2x 的定义域、值域和周期例2.求函数y ＝2tan x 1－的定义域变式训练2. y ＝tan x 1＋例3. 比较tan 27π与tan 107π的大小变式训练3. tan 65π与tan (－135π)三、反思总结 1、数学知识： 2、数学思想方法： 四、当堂检测 一、选择题1. 函数)43tan(2π+=x y 的周期是 ( )(A)32π (B) 2π (C)3π (D)6π 2.函数)4tan(x y -=π的定义域为 ( )(A)},4|{R x x x ∈≠π(B)},4|{R x x x ∈-≠π(C) },,4|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ (D)},,43|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ 3.下列函数中,同时满足(1)在(0, 2π)上递增,(2)以2π为周期,(3)是奇函数的是 ( )(A)x y tan = (B)x y cos = (C)x y 21tan = (D)x y tan -=二、填空题4.tan1,tan2,tan3的大小关系是_______________________.5.给出下列命题:（1）函数y =sin|x |不是周期函数; (2)函数y =|cos2x +1/2|的周期是π/2; (3)函数y =tan x 在定义域内是增函数; (4)函数y =sin(5π/2+x )是偶函数; (5)函数y =tan(2x +π/6)图象的一个对称中心为(π/6,0)其中正确命题的序号是_______________(注:把你认为正确命题的序号全填上) 三、解答题6.求函数y=lg(1-tanx)的定义域课后练习与提高一、选择题1、tan (,)2y x x k k Z ππ=≠+∈在定义域上的单调性为（ ）.A ．在整个定义域上为增函数B ．在整个定义域上为减函数C ．在每一个开区间(,)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数 D ．在每一个开区间(2,2)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数2、下列各式正确的是（ ）.A ．1317tan()tan()45ππ-<-B ．1317tan()tan()45ππ->- C ．1317tan()tan()45ππ-=- D ．大小关系不确定3、若tan 0x ≤,则（ ）.A ．22,2k x k k Z πππ-<<∈ B ．2(21),2k x k k Z πππ+≤<+∈C ．,2k x k k Z πππ-<≤∈ D ．,2k x k k Zπππ-≤≤∈二、填空题 4、函数tan 2()tan xf x x=的定义域为 . 5、函数y =的定义域为 . 三、解答题 6、 函数tan()4y x π=-的定义域是（ ）.。

1．4.3 正切函数的性质与图象[学习目标] 1.了解正切函数图象的画法，理解、掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．[知识链接]1．正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？ 答 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )． 2．如何作正切函数的图象？答 类似于正弦、余弦函数的“五点法”作图，正切曲线的简图可用“三点两线法”，这里的三点分别为(k π，0)，⎝⎛⎭⎫k π＋π4，1，⎝⎛⎭⎫k π－π4，－1，其中k ∈Z ，两线分别为直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )，x ＝k π－π2(k ∈Z )．3．根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其最小正周期为多少？ 答 由诱导公式tan(x ＋π)＝tan x ，可知正切函数是周期函数，最小正周期是π. 4．根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？答 从正切函数的图象来看，正切曲线关于原点对称；从诱导公式来看，tan(－x )＝－tan x ．故正切函数是奇函数． [预习导引]正切函数y ＝tan x 的性质与图象π要点一 求正切函数的定义域 例1 求函数y ＝tan x －1tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的定义域． 解 根据题意，得⎩⎨⎧tan x ≥1，tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≠0，x ＋π6≠π2＋k π，解得⎩⎪⎨⎪⎧π4＋k π≤x <π2＋k π，x ≠－π6＋k π，x ≠π3＋k π.所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫π4＋k π，π3＋k π∪⎝⎛⎭⎫π3＋k π，π2＋k π(k ∈Z )． 规律方法 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．跟踪演练1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4，又y ＝tan x 的周期为π， 所以函数的定义域是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )． 要点二 正切函数的单调性及应用例2 (1)求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间； (2)比较tan 1、tan 2、tan 3的大小．解 (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4， 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π2<x <2k π＋32π，k ∈Z ，∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是 ⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z .(2)∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， 又∵π2<2<π，∴－π2<2－π<0.∵π2<3<π，∴－π2<3－π<0， 显然－π2<2－π<3－π<1<π2，且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是增函数， ∴tan (2－π)<tan (3－π)<tan 1，即tan 2<tan 3 <tan 1.规律方法 正切型函数单调性求法与正弦、余弦型函数求法一样，采用整体代入法，但要注意区间为开区间且只有单调增区间或单调减区间．利用单调性比较大小要把角转化到同一单调区间内．跟踪演练2 (1)求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调区间； (2)比较tan 65π与tan ⎝⎛⎭⎫－137π的大小． 解 (1)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4，令－π2＋k π<2x －π4<π2＋k π，则－π8＋k π2<x <3π8＋k π2，k ∈Z ，从而函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π8＋k π2，3π8＋k π2，k ∈Z ，故函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－π8＋k π2，3π8＋k π2，k ∈Z . (2)tan 65π＝tan ⎝⎛⎭⎫π＋π5＝tan π5， tan ⎝⎛⎭⎫－137π＝－tan 137π＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π7＝－tan ⎝⎛⎭⎫－π7＝tan π7， ∵－π2<π7<π5<π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，∴tan π7<tan π5，即tan 65π>tan ⎝⎛⎭⎫－137π. 要点三 正切函数图象与性质的综合应用 例3 设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的定义域、周期、单调区间及对称中心； (2)求不等式－1≤f (x )≤3的解集； (3)作出函数y ＝f (x )在一个周期内的简图． 解 (1)由x 2－π3≠π2＋k π(k ∈Z )得x ≠5π3＋2k π (k ∈Z )，∴f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠5π3＋2k π，k ∈Z . ∵ω＝12，∴周期T ＝πω＝π12＝2π.由－π2＋k π<x 2－π3<π2＋k π(k ∈Z )得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π(k ∈Z )．∴函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－π3＋2k π，5π3＋2k π(k ∈Z )．由x 2－π3＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π＋23π，故函数f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋23π，0 (k ∈Z )． (2)由－1≤tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3≤3， 得－π4＋k π≤x 2－π3≤π3＋k π(k ∈Z )．解得π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )．∴不等式－1≤f (x )≤3的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z .(3)令x 2－π3＝0，则x ＝2π3.令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3. 令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3. ∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫2π3，0，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3.从而得函数y ＝f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎫－π3，5π3内的简图(如图)．规律方法 对于形如y ＝tan(ωx ＋φ)(ω、φ为非零常数)的函数性质和图象的研究，应以正切函数的性质与图象为基础，运用整体思想和换元法求解．如果ω<0，一般先利用诱导公式将x 的系数化为正数，再进行求解．跟踪演练3 画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性． 解 由y ＝|tan x |得，y ＝⎩⎨⎧tan x ，k π≤x <k π＋π2(k ∈Z )，－tan x ，－π2＋k π<x <k π(k ∈Z ).其图象如图．由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数， 单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π，π2＋k π(k ∈Z )， 单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z )， 是周期函数，最小正周期为π.1．函数y ＝3tan(2x ＋π4)的定义域是( )A ．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }B ．{x |x ≠k 2π－3π8，k ∈Z }C ．{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z }D ．{x |x ≠k2π，k ∈Z }答案 C2．函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调递增区间为( )A ．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC ．(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈ZD ．(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z答案 C3．在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( ) A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan x2D ．y ＝－tan x答案 C4．方程tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3在区间[0,2π)上的解的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案 B解析 由tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3，解得2x ＋π3＝π3＋k π(k ∈Z )，∴x ＝k π2(k ∈Z )，又x ∈[0,2π)，∴x ＝0，π2，π，3π2.故选B.1.正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增． 2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ) (A ，ω≠0)的周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间．一、基础达标1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5，x ∈R 且x ≠310π＋k π，k ∈Z 的一个对称中心是( ) A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫π5，0 C.⎝⎛⎭⎫45π，0 D ．(π，0)答案 C2．f (x )＝－tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2 k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π) k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4 k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4 k ∈Z 答案 C3．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos(2x ＋π6)，④y ＝tan(2x －π4)中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．②④ B ．①③④ C ．①②③D ．①③答案 C解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，T ＝π. ②由图象知，函数的周期T ＝π. ③T ＝π. ④T ＝π2.综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③. 4．下列各式中正确的是( ) A ．tan 735°>tan 800° B ．tan 1>－tan 2 C ．tan 5π7<tan 4π7D ．tan9π8<tan π7答案 D5．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D.π4答案 A解析 由题意，得T ＝πω＝π4，∴ω＝4.∴f (x )＝tan 4x ，f ⎝⎛⎭⎫π4＝tan π＝0.6．下列关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的说法正确的是( ) A ．在区间⎝⎛⎭⎫－π6，5π6上单调递增 B ．最小正周期是πC ．图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0成中心对称 D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称答案 B解析 令k π－π2<x ＋π3<k π＋π2，解得k π－5π6<x <k π＋π6，k ∈Z ，显然⎝⎛⎭⎫－π6，5π6不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，任取k 值不能得到x ＝π4，故C 错误；正切曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象也没有对称轴，故D 错误．故选B.7．求函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域． 解 ∵－π4≤x ≤π4，∴－1≤tan x ≤1.令tan x ＝t ，则t ∈[－1,1]． ∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5. ∴当t ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝－4，当t ＝1，即x ＝π4时，y max ＝4.故所求函数的值域为[－4,4]． 二、能力提升8．函数y ＝tan(sin x )的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π4，π4 B.⎣⎡⎦⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1] D ．以上均不对答案 C解析 ∵－1≤sin x ≤1，又sin x ≠k π＋π2 (k ∈Z )，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.又∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，∴tan (－1)≤y ≤tan 1，即y ∈[－tan 1，tan 1]．9．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是( )答案 D解析 当π2<x <π时，tan x <sin x ，y ＝2tan x <0；当x ＝π时，y ＝0；当π<x <3π2时，tan x >sin x ，y ＝2sin x ．故选D.10．函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期是π2，则ω＝________.答案 ±2解析 T ＝π|ω|＝π2，∴ω＝±2.11．已知函数f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，θ∈(－π2，π2)．(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数． 解 (1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝(x －33)2－43(x ∈[－1，3])，∴当x ＝33时，f (x )min ＝－43； 当x ＝－1时，f (x )max ＝233. (2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图象的对称轴为直线x ＝－tan θ. ∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥ 3. ∴tan θ≥1或tan θ≤－ 3.解得θ的取值范围是[π4，π2)∪(－π2，－π3]．12．设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π2)，已知函数y ＝f (x )的图象与x 轴相邻两交点的距离为π2，且图象关于点M (－π8，0)对称，求f (x )的解析式． 解 由题意可知，函数f (x )的最小正周期T ＝π2，即πω＝π2，∴ω＝2.从而f (x )＝tan(2x ＋φ)．高中数学-打印版精校版 ∵函数y ＝f (x )的图象关于点M (－π8，0)对称， ∴2×(－π8)＋φ＝k π2，k ∈Z ，即φ＝2k π＋π4(k ∈Z )． ∵0<φ<π2，∴φ只能取π4. 故f (x )＝tan(2x ＋π4)． 三、探究与创新13．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在区间[0,2π]上交点的个数是多少？解 因为当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，tan x >x >sin x ， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝sin x 与y ＝tan x 没有公共点，因此函数y ＝sin x 与y ＝tan x 在区间[0,2π]内的图象如图所示：观察图象可知，函数y ＝tan x 与y ＝sin x 在区间[0,2π]内有3个交点.。

高中数学必修四1.4.3正切函数的性质和图象导学案正切函数的性质和图象【学习目标】1.能借助单位圆中正切线画出y=tanx的图象.2.理解正切函数在上的性质.（预习课本第页42----44页的内容）【新知自学】知识回顾：1、周期性2、奇偶性3.单调性：x在每一个区间__________上是增函数，在每一个区间___________上是减函数；x在每一个区间__________上是增函数，在每一个区间___________上是减函数；最值：当且仅当x=_______时，y=sinx取最大值___，当且仅当x=______ _时，y=s inx取最小值______.当且仅当x=_______时，取最大值____，当且仅当x=_______时，y=cosx取最小值______.新知梳理：1.正切函数的性质（1）周期性：正切函数的最小正周期为_____;y=tanx( )的最小正周期为_____.（2）定义域、值域：正切函数的定义域为_________,值域为_________.（3）奇偶性：正切函数是__ ____函数.（4）单调性：正切函数的单调递增区间是______________________.2．正切函数的图象：正切函数y=tanx,x R且的图象，称“正切曲线”.探究：1. 正切函数图象是被平行直线y= 所隔开的无穷多支曲线组成。

能否认为正切函数在它的定义域内是单调递增的？2.正切曲线的对称中心是什么？对点练习：函数的周期是（）A. B. C. D.2.函数的定义域为 ( )A.BD下列函数中,同时满足(1)在(0, )上递增,(2)以2 为周期,(3)是奇函数的是( )A. BD求函数y＝的定义域【合作探究】典例精析：题型一：与正切函数有关的定义域问题例1.求函数的定义域.变式1.求函数的定义域.题型二：正切函数的单调性例2.（1）求函数y=tan(3x- )的周期及单调区间.（2）比较tan 与tan 的大小.变式2.(1)求函数y=tan( -x)的周期及单调区间.(2)比较大小：tan 与tan (－ ).【课堂小结】【当堂达标】1.下列各式正确的是（）A．B．C．D．大小关系不确定2.函数y＝5tan(2x＋1)的最小正周期为________．3.函数y＝tan 的单调区间是____________________，且此区间为函数的________区间（填递增或递减）．4.写出函数y=|tanx|的定义域、值域、单调区间、奇偶性和周期.【课时作业】1、在定义域上的单调性为（）.A．在整个定义域上为增函数B．在整个定义域上为减函数C．在每一个上为增函数D．在每一个上为增函数2、若 ,则（）.A．B．C．D．与函数的图象不相交的一条直线是（）4. 已知函数的图象过点，则可以是．tan1,tan2,tan3的大小关系是_________________________________.6.下列四个命题：①函数y＝tan x在定义域内是增函数；②函数y＝tan(2x＋1)的最小正周期是π；③函数y＝tan x的图象关于点(π，0)成中心对称；④函数y＝tan x的图象关于点成中心对称．其中正确命题的序号为__________________．7.求函数y=3tan(2x+ ),( )的值域、单调区间。

1．4.3 正切函数的性质与图象学习目标1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．知识点一 正切函数的性质 思考1 正切函数的定义域是什么？[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z . 思考2 诱导公式tan(π＋x )＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？[答案] 周期性．思考3 诱导公式tan(－x )＝－tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？[答案] 奇偶性．思考4 从正切线上看，在⎝⎛⎭⎫0，π2上正切函数值是增大的吗？ [答案] 是．梳理 函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象与性质见下表：知识点二 正切函数的图象思考1 利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？[答案] 根据正切函数的定义域和周期，首先作出区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的图象．作法如下： (1)作平面直角坐标系，并在平面直角坐标系y 轴的左侧作单位圆． (2)把单位圆的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线． (3)描点(横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线的长度)． (4)连线，得到如图①所示的图象．(5)根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y ＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π(k ∈Z )的图象，把它称为正切曲线(如图②所示)．可以看出，正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．思考2 我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2的简图吗？怎样画？ [答案] 能，三个关键点：⎝⎛⎭⎫π4，1，(0,0)，⎝⎛⎭⎫－π4，－1，两条平行线：x ＝π2，x ＝－π2. 梳理 (1)正切函数的图象(2)正切函数的图象特征正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．1．函数y ＝tan x 在其定义域上是增函数．( × )提示 y ＝tan x 在开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数，但在其定义域上不是增函数． 2．函数y ＝tan x 的图象的对称中心是(k π，0)(k ∈Z )．( × ) 提示 y ＝tan x 图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫12k π，0(k ∈Z )． 3．正切函数y ＝tan x 无单调递减区间．( √ ) 4．正切函数在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上单调递增．( × )提示 正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，不能写成闭区间，当x ＝±π2时，y ＝tan x 无意义.类型一 正切函数的定义域、值域问题例1 (1)函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的定义域为________． [考点] 正切函数的定义域、值域 [题点] 正切函数的定义域[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4π3－4k π，k ∈Z [解析] 由π6－x 4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠－4π3－4k π，k ∈Z ，即函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4π3－4k π，k ∈Z . (2)求函数y ＝tan 2⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋1的定义域和值域． [考点] 正切函数的定义域、值域 [题点] 正切函数的值域 解 由3x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π3＋π18，k ∈Z ，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π3＋π18，k ∈Z . 设t ＝tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3， 则t ∈R ，y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34≥34，所以原函数的值域是⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 反思与感悟 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线．(2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R ，将问题转化为某种函数的值域求解． 跟踪训练1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． [考点] 正切函数的定义域、值域 [题点] 正切函数的定义域解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4. 又y ＝tan x 的周期为π，所以函数的定义域是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．类型二 正切函数的单调性问题 命题角度1 求正切函数的单调区间例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期． [考点] 正切函数的单调性 [题点] 判断正切函数的单调性 解 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4， 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z ，周期T ＝π⎪⎪⎪⎪－12＝2π. 反思与感悟 y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．跟踪训练2 (2017·太原高一检测)求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调区间． [考点] 正切函数的单调性 [题点] 判断正切函数的单调性 解 y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 由－π2＋k π<2x －π4<π2＋k π，k ∈Z ，得－π8＋k π2<x <3π8＋k π2(k ∈Z )， 所以y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－π8＋k π2，3π8＋k π2(k ∈Z )． 命题角度2 利用正切函数的单调性比较大小 例3 比较大小：(1)tan 32°________tan 215°； (2)tan 18π5________tan ⎝⎛⎭⎫－28π9. [考点] 正切函数的单调性 [题点] 正切函数的单调性的应用 [答案] (1)< (2)<[解析] (1)tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°， ∵y ＝tan x 在(0°，90°)上单调递增，32°<35°， ∴tan 32°<tan 35°＝tan 215°.(2)tan 18π5＝tan ⎝⎛⎭⎫4π－2π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π5， tan ⎝⎛⎭⎫－28π9＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π－π9＝tan ⎝⎛⎭⎫－π9， ∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，且－2π5<－π9， ∴tan ⎝⎛⎭⎫－2π5<tan ⎝⎛⎭⎫－π9，即tan 18π5<tan ⎝⎛⎭⎫－28π9. 反思与感悟 运用正切函数的单调性比较大小的步骤 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内； (2)运用单调性比较大小关系．跟踪训练3 比较大小：tan ⎝⎛⎭⎫－7π4_______tan ⎝⎛⎭⎫－9π5.[考点] 正切函数的单调性 [题点] 正切函数的单调性的应用 [答案] >[解析] ∵tan ⎝⎛⎭⎫－7π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π4＝tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－9π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π5＝tan π5. 又0＜π5＜π4＜π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增， ∴tan π5＜tan π4，∴tan ⎝⎛⎭⎫－7π4＞tan ⎝⎛⎭⎫－9π5.类型三 正切函数综合问题 例4 设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的最小正周期，对称中心； (2)作出函数f (x )在一个周期内的简图． [考点] 正切函数的综合应用 [题点] 正切函数的综合应用解 (1)∵ω＝12，∴最小正周期T ＝πω＝π12＝2π.令x 2－π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋2π3(k ∈Z )， ∴f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋2π3，0(k ∈Z )． (2)令x 2－π3＝0，则x ＝2π3；令x 2－π3＝π4，则x ＝7π6；令x 2－π3＝－π4，则x ＝π6；令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3； 令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3. ∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫2π3，0，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3，从而得到函数y ＝f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎫－π3，5π3内的简图(如图)．反思与感悟 熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 隔开的无穷多支曲线组成，y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z .跟踪训练4 画出f (x )＝tan |x |的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性．[考点] 正切函数的综合应用[题点] 正切函数的综合应用解 f (x )＝tan |x |化为f (x )＝⎩⎨⎧ tan x ，x ≠k π＋π2，x ≥0(k ∈Z )，－tan x ，x ≠k π＋π2，x <0(k ∈Z )，根据y ＝tan x 的图象，作出f (x )＝tan |x |的图象，如图所示，由图象知，f (x )不是周期函数，是偶函数，单调增区间为⎣⎡⎭⎫0，π2，⎝⎛⎭⎫k π＋π2，k π＋3π2(k ∈N )；单调减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0，⎝⎛⎭⎫k π－3π2，k π－π2(k ＝0，－1，－2，…).1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z [考点] 正切函数的单调性[题点] 判断正切函数的单调性[答案] C2．函数y ＝tan x ＋1tan x是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数[考点] 正切函数的周期性、对称性[题点] 正切函数的奇偶性[答案] A[解析] 函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠12k π，k ∈Z ，且tan(－x )＋1tan (－x )＝－tan x －1tan x ＝－⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x ，所以函数y ＝tan x ＋1tan x是奇函数． 3．将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为________．(用“<”连接)[考点] 正切函数的单调性[题点] 正切函数单调性的应用[答案] tan 2<tan 3<tan 1[解析] tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，∵－π2<2－π<3－π<1<π2， 且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1，即tan 2<tan 3<tan 1.4．(2017·西安高一检测)函数y ＝4tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6的最小正周期为________． [考点] 正切函数的周期性、对称性[题点] 正切函数的周期性[答案] π3[解析] T ＝π|ω|＝π3. 5．函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫π4≤x ≤3π4，且x ≠π2的值域是________________． [考点] 正切函数的定义域、值域[题点] 正切函数的值域[答案] (－∞，－1]∪[1，＋∞)[解析] 函数y ＝tan x 在⎣⎡⎭⎫π4，π2上单调递增，在⎝⎛⎦⎤π2，3π4上也单调递增，所以函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．1．正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R . (2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的最小正周期为T ＝π|ω|. (3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间.。