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第4章 拉普拉斯变换1

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第四章 拉普拉斯变换

第四章 拉普拉斯变换

即，收敛域相应平移一 Res0 个
Res 0 a
例：求衰减的正弦函数 t sin t的象函数， 0 e 解： sin t

s
2 2
Res 0
令f (t ) sin t 则F ( s)

s2 2
由频移性质： e t sin t e t f (t ) F (s )
0为收敛轴，如图所示
F(s)的拉氏逆变换为
1 f (t ) F ( s) F ( s)e st ds 2j f (t ) F (s) 记为
1
五、一些常用函数的拉氏变换 1.阶跃函数
u (t )
2.指数函数
Hale Waihona Puke 0e st e st dt s
单边拉氏变换 当f(t)为有始函数时，即t＜0时f(t)=0
则 F ( s ) f (t )e st dt
0
记为F ( s ) f (t )
1 f (t ) F ( s )e st ds 2j f (t ) 0
t0 t0
f (t ) F (s) f (t )e st dt
0
在半平面Re(s ) 0上一定存在，积分 f (t )e st dt在 Re(s ) 1 0
0

上绝对一致收敛， ( s )在 Re(s )为解析函数。其收敛域 Re(s ) 0， F 为
注：零点、极点相抵消，为不可观测状态。例： 1 1 1 s 1 s 1 s 2 其中s=-1为不可观测状态。 四、复频移特性 若 f (t ) F ( s), Res 0

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换

第十一章 拉普拉斯变换在高等数学中，为了把复杂的计算转化为较简单的计算，往往采用变换的方法。

拉普拉斯变换（简称拉斯变换）就是其中的一种。

拉斯变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方法。

用变拉普拉斯换分析和综合线性系统（如线性电路）的运动过程在工程上有着广泛的应用。

本章将扼要地介绍拉氏变换的基本概念、主要性质、拉氏逆变换及拉氏变换的简单应用。

第一节 变拉普拉斯换的概念定义 设函数)(t f 当0≥t 时有定义，且广义积分⎰+∞-0)(dt e t f st在s 的某一区域内收敛，则由此积分确定的参数为s 的函数dt e t f s F st -∞⎰=0)()(叫做函数)(t f 的变拉普拉斯换，记作)]([)(t f L s F =函数F （s ） 也可叫做)(t f 的像函数。

若F （s ）是)(t f 的拉)(t f 是F （s ）的拉氏逆变换（或叫做()s F 的像原函数），记作)]([)(1s f L t f -=在拉氏变换中，只要求)(t f 在),0[+∞内有定义即可。

为了研究方便，以后总假定在)0,(-∞内，)(t f ≡0。

另外，拉氏变换中的参数s 是在复数域中取值的，但我们只讨论s 是实数的情况，所得结论也适用于s 是复数的情况。

例1 求指数函数at e t f =)(（a a ,0≥是常数）的拉氏变换。

解 由拉氏变换定义有 ：dt e dt e e e L t a s st at at ⎰⎰+∞--+∞-==0)(0][此积分在s >a 时收敛，有⎰∞+---=)(1as dt e t a s 所以)(1][a s as e L at >-=例2 求单位阶梯函数⎩⎨⎧≥<=0,100)(t t t u ， 的拉氏变换。

解()[]⎰+∞-=0dt e t u L st此积分在0>s 时收敛，且有⎰∞+->=)0(1s sdt e st 所以 ()[])01>=s st u L （ 例3 求at t f =)(（a 为常数）的拉氏变换。

信号与系统4.3拉氏变换的性质

信号与系统4.3拉氏变换的性质

T
T2
2
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
E(2 )
[
s2
T
( 2
)2
sT
]e 2
T
T
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
(1
sT
e2
)
T
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
例4-4 试求图4.4所示的正弦半波周期信号的拉氏变换。
f (t)
E
…
0
TT
2T
t
2
图4.4 例 4―4图
解: 在例4―3中我们已求得从t=0开始的单个正弦半波（亦即
0 24
t
图4.5 例4-5图
e2(t2)e4u(t 2) e2(t4)e8u(t 4)
于是
F (s) L[ f (t)] e4L[e2t ]e2s e8L[e2t ]e4s
e2(s2) e4(s2) s2
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
4、s域平移特性
若 f (t) F(s)
t)u(t) E sin[ T
(t )]u(t )
2
2
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
应用拉氏变换的时移特性,有
F (s) L[ f (t)] L[ fa (t)] L[ fb (t)]
L[E sin(2 t)u(t)] L{E sin[ 2 (t T )]u(t T )}
本题第一个周期的波形）的拉氏变换为
F1(s)
L[
f
(t)]
E(2 )
T
s2 ( 2 )2
(1
sT
e2
)
T
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析

第4章 拉氏变换

第4章 拉氏变换

求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。 解： y(t)= 4f(0.5t)
f(t) 1 0 1 y(t) 2 4 t
Y(s) = 4×2 F(2s)
8 e 2 s
2s 2
(1 e
2 s
2s e
2 s
)
0
2 e 2 s 2 (1 e 2 s 2s e 2 s ) s
可见，对于因果信号，仅当 Re[s]=>时，其拉氏变换存 在。 收敛域如图所示。
0
α
σ
收敛边界
第4-7页
■
收敛域
信号与系统 解
4.1
拉普拉斯变换
例2 反因果信号f2(t)= et(-t) ，求其拉普拉斯变换。
e ( s )t F2b ( s ) e e st d t (s )
■
信号与系统
2 拉普拉斯变换引入 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推 广到复频域来解决这些问题。 本章引入复频率 s = ζ+jω,以复指数函数est 为基本信号，任意信号可分解为不同复频率 的复指数分量之和。这里用于系统分析的独 立变量是复频率 s ，故称为s域分析。所采用 的数学工具为拉普拉斯变换。
第4-15页
■
信号与系统
4.1
拉普拉斯变换
（2）0 =0，即F(s)的收敛边界为j轴，
F (j ) lim F ( s )
0
如f(t)= (t)←→F(s)=1/s
1 j F (j ) lim lim 2 lim 2 0 j 0 2 0 2
s 2 2 2 2 s2 F ( s) 2 2 2 s2 4 s 4 2 s 4 2

第4章 拉普拉斯变换

第4章 拉普拉斯变换

拉普拉斯反变换 ——部分分式展开法
Fc ( s ) K1 K2 K ( s j ) K 2 ( s j ) 1 s j s j (s )2 2 ( s )( K1 K 2 ) j ( K1 K 2 ) (s )2 2 ( s ) 2 A j 2 jB (s )2 2 (s ) 2A 2B 2 2 (s ) (s )2 2
t0 0
拉普拉斯变换的基本性质
4. 频移特性
L f ( t ) F ( s) 若
L at f ( t ) e F (s a) 则
拉普拉斯变换的基本性质
5. 时域微分特性
L f (t ) F (s)
Re(s) 0
df (t ) L sF ( s ) f (0 ) Re( s ) 0 dt
若 则
L f (t ) F ( s )
Re( s ) 0
a0
1 f (at ) F ( s / a ) a
L
拉普拉斯变换的基本性质
3. 时移特性
若 则
f (t ) F ( s)
L
L f (t t0 )u (t t0 ) e st0 F ( s )
0
4. t 的正幂函数 t n，n为正整数
常用信号的拉普拉斯变换
5.余弦信号 cos 0t
6.正弦信号 sin 0t
常用信号的拉普拉斯变换
at e cos 0t 7.衰减余弦信号
at e sin 0t 8.衰减正弦信号
拉普拉斯变换的基本性质
1. 线性特性
若

第四章 拉普拉斯变换

第四章 拉普拉斯变换

F ( s a)
1 s F a a

df (t ) dt
SF(s) f (0 )
F ( s ) f 1 ( 0 ) s s

t

f ( ) d
12
拉氏变换的基本性质（2） 1 s F 尺度变换 f (at) a a
初值定理
t 0
lim f ( t ) f ( 0 ) lim SF ( s )
n! s n 1 1
s2 1
e
st 0
11
5.3 拉氏变换的基本性质（1）
线性
k i f i (t )
i 1
n
k .LT [ f (t )]
i 1 i
n
时移 尺度变换
f (t t0 )u(t t0 )
e
st 0
F ( s)
f (at)
f (t )e
at
频移
微分 积分
例：衰减余弦的拉氏变换
S F0 ( S ) LT [cos t ] 2 2 S
f (t ) e
t
cost
频移特性
S F (S ) 2 2 (S )
15
例：求下式的拉氏变换
f (t )
f (t ) sin t[u(t ) u(t 1)]
f (0

)
S
lim S F ( S ) lim
S F( S )
S
1 S 1 sa
f ( )
lim
S 0
lim
S
S 0
1 0 sa
注意：f(t)=e-at u(t),
若a>0,则终值为0 若a<0,则终值不存在 如果原信号是等幅震荡或增长的， 则其终值不存在。

第四章拉普拉斯变换1

第四章拉普拉斯变换1
13
二、拉氏变换的收敛域ROC(单边拉氏变换)
(Region of Convergence) 信号 f (t)乘以收敛因子后，有可能满足绝对 可积的条件。是否一定满足，还要看f (t) 的性 质与 的相对关系。
t f ( t ) e 通常把使 满足绝对可积条件的 值
的范围称为拉氏变换的收敛域 。
14
lim f (t )e
t
t
0
( 0 )
则收敛条件为 0 满足上述条件的最低限度的 值，记为 0 (收敛坐标)。 j
收 敛 轴 0
1
收敛区

收 敛 坐 标
15
lim f (t )e
t
t
0
( 0 )
则收敛条件为 0
常用信号的收敛域 如：有始有终的能量信号 0 周期信号是功率信号 0 0 按指数规律增长的信号，如
显然，可表示成 F j


令s j F ( s) f (t )e st dt
FT[ f (t )e ] F ( s) f (t )e dt
t st
8

f (t )e
dt
FT[ f (t )e ] F ( s) f (t )e dt
24
1. 线性（linearity）
设f1 (t ) F 1 ( s), f 2 (t ) F 2 ( s)
则a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1F1 ( s) a2 F2 ( s), a1, a2为常数
例：求 f (t ) sin t u (t )的拉氏变换 F ( s ) 1 j t j t sin t (e e ) 解： 2j 1 1 jt jt e u (t ) , e u (t ) s j s j 1 1 1 LT [sin tu (t )] [ ] 2 2 j s j s j s 2

第四章拉普拉斯变换

第四章拉普拉斯变换

1 1 [tu (t )] [u (t )] 2 s s 2 2 [t u (t )] 3 s
n! [t u (t )] n 1 s
n
[ (t t0 )] (t t0 )e dt e
st 0
[ (t )] (t )e dt e
1 2 1 1 FB (s) s 2 s 1 (s 1)(s 2 )
1
2
f (t )
j
2 1 0
1
e 2t u (t )
e1t u (t )
1
2

0
f (t )
t
j
1 2 0
e 2t u (t )
e dt
e
( s ) t
s
0
1 , ( ) s
（二）阶跃信号 u (t )
[u (t )] e dt
st 0

e
st
（三）tnu(t) (n为正整数) u (t )]
n

0
t st t e dt e s

F ( )

f (t )e
jt
dt
1 f (t ) 2
t j t



F ( )e j t d
e t得 引入衰减因子
令s j
F ( s)

F1 ( ) [ f (t )e ]e



d t f (t )e


n 1 d f (t ) n n r 1 ( r ) [ n ] s F ( s) s f (0) dt r 0 n

第4章拉普拉斯变换

第4章拉普拉斯变换

第四章 连续信号与系统的S 域分析1、如下方程和非零起始条件表示的连续时间因果LTI 系统，()()t f dt dft y dt dy dty d 524522+=++ 已知输入()()t e t f t ε3-=时，试求（1）系统的零状态响应；（2）判断系统的稳定性解：(1) 方程两边取拉氏变换；()()()()4552455222+++=⋅+++=⋅=s s s s F s s s s F s H s Y()()()t e e e t y s s s s s s s s Y t t t zs z ε⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+-+=+++⋅+=---4221212142122111459221(2) 对于因果连续系统，()s H 的全部极点位于s 平面的左半平面， ()t h 才是衰减信号，由此可以得出，在复频域有界输出的充要条件是系统函数()s H 的全部极点位于s 平面的左半平面，若系统函数的极点是虚轴上的单阶共轭极点。

则系统临界稳定，若系统函数的极点在右半平面，则系统不稳定，如下图。

该题中，()114145522+++=+++=s s s s s s H ，其极点分别为4,121-=-=s s ，都在左半平面，所以系统稳定。

2、如下方程和非零起始条件表示的连续时间因果LTI 系统()()()()⎪⎩⎪⎨⎧==+=++--30,20223'22y y t f dt dft y dt dy t d y d已知输入()()t e t f t ε3-=时，试用拉普拉斯变换的方法求系统的零状态响应()t y zs 和零输入响应()t y zi ， 0≥t 以及系统的全响应()0,≥t t y 。

解：方程两边取拉氏变换()()()()()()[]()()()()()()()()()()()()()()()t e e e t y t e e t y s s s s s s Y t e e e t y s s s s s s s s Y s s s s s s s s Y s s F s F s y y sy s Y s s t t t t t zi zi t t t zs ZS εεε⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-=+++-=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+-++++-=+⋅+++=++++++⋅+++=+=+=---+++-----------213225751725239232132512123325312312223632312312;3112030'023*********22。

第4章 拉氏变换--1

第4章 拉氏变换--1


时域分析法
F ( )


f ( t )e j t d t
Rzs ( j ) E j H j
W.Hong, Institute of Optoelectronic science and technology, Wuhan National Lab for Optoelctronics, HUST
拉氏变换对
f t 称为原函数， s 称为象函数。 F
F s L f t f t e s t d t 0 1 σ j 1 f t L F ( s ) F s e s t d s 2 π j σ j
W.Hong, Institute of Optoelectronic science and technology, Wuhan National Lab for Optoelctronics, HUST
16
例4-1：求 f (t ) sin t 的拉氏变换 F(s) 解： 由欧拉公式，有：
1 f (t ) sin t e jt e jt 2j
∵
L
e
jt
1 s j

0
故由线性叠加性质，得：
L
1 1 1 = 2 sin t 2 j s j s j s 2
5
从傅氏变换到拉氏变换
有几种情况不满足狄里 赫利条件：

若乘一衰减因子e-σt, σ为任意实数，则 f(t) e-σt收敛，于满足 狄里赫利条件
u( t )e t

u(t) 增长信号 e at (a 0) 周期信号 cos 1t

第4章-4.3拉普拉斯变换的性质

第4章-4.3拉普拉斯变换的性质
lim x(t ) x() lim sX ( s )
t s 0
举例
x1 (t ) * x2 (t )
卷积定理
X 1 ( s) X 2 ( s)
1 X 1 ( s) * X 2 ( s) 2j
x1 (t ) x2 (t )
第4章 4.3 拉普拉斯变换的性质
单边拉氏变换中要求a>0
dX (s) tx(t ) ds
dX ( s ) d ds ds


x(t )e
0
st
dt dt

0
d st x(t ) e dt ds

0
[tx (t )]e
st
L[tx (t )]
重复运用上述结果，还可得
(t ) x(t )
n
d X (s) ds
L[
d n x(t ) dt n
第4章 4.3 拉普拉斯变换的性质 例4-14 应用微分性质求 x(t ) (t ) 的变换。 解
d (t ) L[ (t )] L[ ] s L[ (t )] (0 ) s dt
应用微分性质求x(t ) cos(0t )的单边拉氏变换。
第一周期的拉氏变换 第n周期的拉氏变换
x1 (t nT ) e
snT
X 1 (s)
X1 ( s ) X (s) e sT 1
2 1 e e sT ) s (1 s
利用时移特性 利用无穷技术求和
第4章 4.3 拉普拉斯变换的性质 例 求周期信号的拉氏变换 x(t )
2 ( s a) 3
2
类似得
t e
2 at
t e

第4章 拉氏变换

第4章 拉氏变换

f (t )
A T
0
T A ( t T )
17
t
拉普拉斯变换的性质
例 10
f (t ) t e
(t 2)
(t 1)
dF ( s ) 1 s 方法一：因为 (t 1) e 用频域微分性质 tf ( t ) ds s 1 s s t (t 1) 2 e 应用频移性质 f ( t )e at F( s a ) s 2 s s 1 e 2 e t t ( t 1 ) e 2 ( s 1) 1 方法二： f (t ) e t e (t 1) (t 1) e t (t ) s 1 1 s ( t 1 ) ( t 1) e 应用时移性质： e 应用频域微分性质： s 1 d 1 s 1 1 s s t e ( t 1 ) ( t 1 ) ( e ) e e 2 ds s 1 ( s 1) s 1
终值 定理
f1 (t ) * f 2 (t )
卷积 定理
F1 ( s).F2 ( s)
1 F1 ( s ) * F2 ( s) 2j
12
f1 (t ). f 2 (t )
拉普拉斯变换的性质
例 1 余弦函数 f (t)=cost· (t)
1 j t 应用线性性质: cos t (e e j t ) 2 1 1 1 s cos t ( t ) 2 2 s j s j s 2
应用频域微分性质
1 (t ) t(t)，因为： s
2 t (t ) 3 s
2
dF ( s ) tf ( t ) ds
1 1 t ( t ) ( ) 2 s s

第4章拉普拉斯变换

第4章拉普拉斯变换

j
收
敛
轴
0 收 敛 域
0收
敛
坐
标
《 信号与系统》
10
第四章 连续系统的复频域分析
例：求下列各单边函数拉氏变换的收敛域（即求收敛坐标 0）
1 f t t ;
2 f t ut;
3 f t e2tu t ; 4 f t e2tu t ;
5 f t cos0tu t
《 信号与系统》
11
f t
1
2 j
j
j
F (s)est ds
LT
1
F
s
原函数
《 信号与系统》
3
第四章 连续系统的复频域分析
傅氏变换建立了信号在时域和频域间的关系，而拉氏变换 则建立了在时域和复频域间的关系。同时我们发现，在拉氏变
换中，当变量s中的实部σ=0时，拉氏变换就变成了傅氏变换，
也就是说，傅氏变换是拉氏变换的一个特例。
由于s=σ+jω，因此上式中括号内第二项可写为
lim e-(s- )t lim e e -( - )t -jt
t
t
只要选择σ>α，随着时间t的增大，e-(σ-α)t将会衰减。故有
lim e-(s- )t 0
t
从而使f(t)的象函数为
F(s) 1
s
若σ<α，e-(σ-α)t将随着时间t的增大而增大。当t→∞时， 结果 将趋于无穷大， 从而使积分不收敛， f(t)的象函数不存在。
LT tn
tn est dt0ຫໍສະໝຸດ n! s n 1n
1时,
f
t
t,
LT
t
1 s2
7.单边衰减正弦信号e-t sin 0t u t

第四章 拉普拉斯变换

第四章 拉普拉斯变换

第四章拉普拉斯变换第一题选择题1．系统函数H（s）与激励信号X（s）之间 B 。

A、是反比关系；B、无关系；C、线性关系；D、不确定。

2．如果一连续时间系统的系统函数H(s)只有一对在复平面左半平面的共轭极点，则它的h(t)应是 B 。

A、指数增长信号B、指数衰减振荡信号C、常数D、等幅振荡信号3．一个因果稳定的连续系统，其H（s）的全部极点须分布在复平面的 A 。

A、左半平面B、右半平面C、虚轴上D、虚轴或左半平面4．如果一连续时间系统的系统函数H(s)只有一个在左半实轴上的极点，则它的h(t)应是B 。

A、指数增长信号B、指数衰减振荡信号C、常数D、等幅振荡信号5．一个因果稳定的连续系统，其H(s)的全部极点须分布在复平面的 A 。

A 左半平面B 右半平面C 虚轴上D 虚轴或左半平面6．若某连续时间系统的系统函数H(s)只有一对在复平面虚轴上的一阶共轭极点，则它的h(t)是D 。

A 指数增长信号B 指数衰减信号C 常数D 等幅振荡信号7．如果一连续时间系统的系统函数H(s)只有一对在虚轴上的共轭极点，则它的h(t)应是DA、指数增长信号B、指数衰减振荡信号C、常数D、等幅振荡信号8．如果系统函数H(s)有一个极点在复平面的右半平面，则可知该系统 B 。

A 稳定B 不稳定C 临界稳定D 无法判断稳定性9．系统函数H(s)是由 D 决定的。

A 激励信号E(s)B 响应信号R(s)C 激励信号E(s)和响应信号R(s)D 系统。

10．若连续时间系统的系统函数H(s)只有在左半实轴上的单极点，则它的h(t)应是B 。

A 指数增长信号B 指数衰减信号C 常数D 等幅振荡信号11、系统函数H（s）与激励信号X（s）之间 BA、是反比关系；B、无关系；C、线性关系；D、不确定。

12．关于系统函数H(s)的说法，错误的是 C 。

A 是冲激响应h(t)的拉氏变换B 决定冲激响应h(t)的模式C 与激励成反比D 决定自由响应模式13．若某连续时间系统的系统函数H(s)只有一个在原点的极点，则它的h(t)应是 C 。

第四章拉普拉斯变换及S域分析

第四章拉普拉斯变换及S域分析
• 直接按电路的s域模型建立代数方程。
求解s域方程。 ，得到时域解答。
二．微分方程的拉氏变换
我们采用0-系统求解瞬态电路，简便起见，只要知 道起始状态，就可以利用元件值和元件的起始状态， 求出元件的s域模型。
三．利用元件的s域模型分析电路
1.电路元件的s域模型
·电阻元件的s域模型
·电感元件的s域模型
Zl1(s)I1(s) Zll (s)Il (s) Vl (s)
系统函数求响应
则其矩阵形式为V ZI 或 I Z 1V
第k个回路电流
Ik
(s)
jk
Vj (s)
网络函数H (s)
Ykj (s)
Ik (s) Vj (s)
jk
其中为Z 方阵的行列式，称回路分析行列式或特征方程式；
E1 R1
E2 R2
1 s
s
1 1
IL (s)
IL0 (s)
E1 sR1
E2 sR2
E1 R1
E2 R2
1 s1
L1 iL (t)
E2 R2
E1 R1
E2 R2
e
t
u(t)
第六节
系统函数 （网络函数）H(s)
系统函数 1.定义
系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比
部分分式展开法
设F1 (s)
A( s ) D(s)
则F (s) F1(s) (s p1)k
分解
(s
K11 p1
)k
(s
K1i p1 )k i1
K1k s p1
部分分式展开法
其中K1i
(i
1 1)!
d i1 dsi1
F1(s) s p1

数字信号处理 第4章 信号与系统的复频域分析

数字信号处理 第4章 信号与系统的复频域分析
有的零点和极点以及比例因子bm，就可以 确定系统函数。因此，系统函数的零点和
极点的分布反映了系统的各种特征。
系统函数往往用零点和极点在S平面上的分 布图来表示，以”○”表示零点，以”×” 表示极点，以“⊙”表示重零点，以”*” 表示重极点。
jω
×
1
○
*
-2
-1
○
01
○
2
σ
×
-1
H
(s)
s(s (s2 2s
求上式的拉氏反变换，就可以得到系统的
冲激响应为：
n
h(t) bm kie pit i 1
每一极点对应一分量 epit ,(有r重极点时对 应 t e r1 pit ），极点位置就决定了该分量 的时域性质。
在H(s)的系数都为实数时，如果有一极点
为复数，必有另一极点是该极点的共轭复 数，同时系数k也将为共轭复数，一对共轭 极点组成的响应分量仍然为实数。
系统稳定性：对于任何一个有界的激励， 稳定系统产生的响应在任何时候都是有界 的。也就是要求系统的冲激响应有界（随 着t→∞，|h(t)|将逐渐衰减到零）。系统的 冲激响应的时域性质可由系统函数的极点 位置确定，因此，系统的稳定性可由系统 函数的极点位置来判断。
1、系统函数的极点全部位于左半S平面时， 随着t→∞将逐渐衰减到零，系统稳定。因
1
F (s)estds F (s)estds
2 j C0 Ci
Ci
0
k
Re
s(sk
)
1
2
j
Ci
F
(s)e st ds
F (s)estds 0 t 0
C1
F (s)estds 0 t 0
C2

第四章 拉普拉斯变换

第四章 拉普拉斯变换

例:
1 es 2 已 知 X (s) ( ) ， 求 x (t ) ？ s 1 X ( s ) 2 (1 2e s e 2 s ) s
x(t ) tu(t ) 2(t 1)u(t 1) (t 2)u(t 2)
8、复频域积分性： 若x(t) X(s)，则
第四章 拉普拉斯变换 连续时间系统的s域分析
傅立叶变换的局限性:
1) 工程中一些信号不满足绝对可积条件，如u(t)；
t e ( 0) ； 2) 有些信号不存在傅立叶变换如
3) 求反变换时,求 (-∞,∞)上的广义积分,很困难； 4) 只能求零状态响应,不能求零输入响应。
为了克服傅立叶变换的局限性,采用拉普拉斯变换。
T ( t ) ( t nT )
0

x s(t) x(nT) (t nT)
0

1 L T ( t ) 1 e sT
X s ( s ) x ( nT ) e nsT
n0

4、复频移性： 若x(t) X(s)，则
x(t)e j 0 t X( 0 )
x(t)e s 0 t X (s s 0 )
例：
cos(0t )u (t )
t
s e cos 0 t s 2 02 0 t 同理：e sin 0 t 2 s 02
s 2 2 s 0
5、时域微分性：
若x(t) X(s)，则
拉普拉斯变换：
• 将信号分解成 e
st
的线性组合；
• 是分析连续时间信号与系统的另一工具； • 可用来分析傅立叶变换所不能分析的系统，不如傅立叶变换那么清楚。

信号与系统-4章 拉斯分析

信号与系统-4章 拉斯分析
0 0 0
t

t
1 e st t [ f ( )d f ( t )e st dt ] 0 s 0 s 0 F ( s) s
若积分下限由 开始

t

f ( )d
0

f ( )d f ( )d
0
t
f (0 ) f ( )d
解：先时移性后比例性
由时移性
L[ x(t t0 )u (t t0 )] e st0 X (s)
s 1 a t0 s 再由比例性 L[ x(at t0 ) u (at t0 )] e X ( ) a a
另解：先比例性后时移性
由比例性
再由时移性
1 s L[ x(at )u (at )] X ( ) a a


s
F ( s)ds [ f (t )e st dt ]ds
s 0


f ( t )[ e st ds]dt
0 s



ห้องสมุดไป่ตู้

0


0
e st f ( t )[ ] dt t s f ( t ) st e dt t
例：求
t
0
sin x dx 拉氏变换 x
同理可得
2 df ( t ) d df ( t ) df 2 ( t ) st L[ ] e dt [ ]e st dt 0 0 dt dt 2 dt 2 dt
df ( t ) s[ sF ( s ) f (0 )] s 2 F ( s ) sf (0 ) f (0 ) dt t 0
由此式可以很容易地求得其对应变换。有

拉普拉斯逆变换

拉普拉斯逆变换

第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的一．由象函数求原函数的三种方法的一般形式s a s m +具有如下的有理分式形天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University三．拉氏逆变换的过程天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University四．部分分式展开法(m <n )1.第一种情况：单阶实数极点天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University第一种情况：单阶实数极点天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University第一种情况：单阶实数极点611332++++s s 天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University第一种情况：单阶实数极点天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University第一种情况：单阶实数极点第二种情况：极点为共轭复数](s =第二种情况：极点为共轭复数的逆变换)5+天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical UniversityF 的逆变换f (t )：极点为共轭复数另一种方法天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University第三种情况：有重根存在122)1+=s k 天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University第三种情况：有重根存在天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University第三种情况：有重根存在22d d ⎢⎡+s s s 天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University一种特殊情况天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University1.真分式＋多项式作长除法。

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第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
傅氏变换对于一些指数函数处理不方便, 主要原因 是这类函数不收敛, 例如阶跃函数u(t)。 为了使函数收 敛， 我们在进行变换时让原函数f(t)乘以e-σt ， 使得 f(t)e-σt是一个收敛速度足够快的函数。 即有 f1(t)=f(t)e-σt 式中, e-σt为收敛（衰减）因子， 且f1(t)满足绝对可 积条件。 则
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
5．t的正幂信号 ． 的正幂信号
F (s) = L t
[ ]= ∫
n
∞ 0
∞ 0−
t n e − st dt
n dt = s
∞ 0
利用分部积分法，得：
∫
∞ 0
t e −
n
− st
t − st dt = − e s
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
4.1 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换
4.1.1 单边拉普拉斯变换 1. 单边拉氏变换定义 因果信号的傅氏正、 反变换为
F (ω ) = ∞ f (t )e − jωt dt ∫−∞ 1 ∞ f (t ) = F (ω )e jωt dt 2π ∫−∞
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
2. 单边拉氏变换收敛域 收敛域是使f(t)e-σt满足可积的σ取值范围， 或是使 f(t)的单边拉氏变换存在的σ取值范围。 由式(4.1-3)的推导可见， 因为e-σt 的作用， 使得 f(t)e-σt在一定条件下收敛， 即有
F (ω ) = ∫
∞
0
f (t )e e
− at − jωt
dt = ∫
∞
0
f (t )e −(σ + jω )t dt = F (σ + jω )
(4.1-1)
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
令σ+jω=s， 式（4.1-1）可表示为
F ( s ) = ∫ f (t )e dt
依此类推
n ∞ ∞ d f (t) d n f (t) L[ n ] = ∫ e−stdt = sn F(s) − ∑sn−r−1 f (r) (0) 0− dtn dt r =0
若f(t)为单边信号,则式（5―13）中由于f(0-)=0而 简 化为
df (t) L[ ] = sF(s) dt
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
lim f (t )e − st = 0
t →∞
(σ > σ 0 )
(4.1-8)
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
式中, σ0叫做收敛坐标， 是实轴上的一个点。 穿 过σ0并与虚轴jω平行的直线叫做收敛边界。 收敛轴的 右边为收敛区， 收敛区不包括收敛轴。 一旦σ0确定， f(t)的拉氏变换的收敛区就确定了。 满足式(4.1-8)的函数， 称为指数阶函数。 这类函 数若发散， 借助指数函数的衰减可以被压下去。 指数 阶函数的单边拉氏变换一定存在， 其收敛区由收敛坐 标σ0 确定。 σ0 的取值与f(t)有关， 具体数值式计算。
即：
e
− st ∞
s
0−
1 = s
1 u (t ) ↔ s
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
2．单位冲激信号 ．
F ( s ) = L [δ (t )] =
即：
∫
∞ 0
−
δ (t ) e dt =
− st
∫
∞ 0
−
δ (t )dt = 1
δ (t ) ↔ 1
象函数与原函数的关系还可以表示为
L{ f (t )} = F ( s ) −1 L {F ( s )} = f (t )
f (t ) ↔ F ( s )
(4.1-7)
s=σ+jω可以用直角坐标的复平面（s平面）表示， σ是实轴， jω是虚轴， 如图4.1-1所示。
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
积分下限取0-是把f(t)中可能存在的冲激信号也包含 在积分中。应用分部积分法,则有
∞ d (t ) − st ∞ L[ ] = [e f (t )]0 − ∫ ( − s )e − st f (t )dt = sF ( s ) − f (0− ) 0− dt
上式得证。
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
（5―12）
L
则
af1 (t ) + bf 2 (t ) ↔ aF1 ( s ) + bF2 ( s )
式中,a和b为任意常数。
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
2. 时域微分 若
（5―13） L[ f (t )] = F ( s ) df (t ) L[ ] = sF ( s ) − f (0− ) dt d n f (t ) L[ ] = s n F ( s ) − s n −1 f (0− ) − s n −2 f ′(0− ) − ⋅⋅⋅ − f ( n −1) (0− ) dt n
lim f (t )e − st = 0
t →∞
(σ > σ 0 )
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
以f(t)随时间变化的趋势， 收敛区的大致范围为: 若f(t)是随时间衰减的， σ0<0， 例如单边指数信号 e-atu(t)（a>0）的σ0=-a， 其拉氏变换的收敛区如图4.12(a)所示； f(t)是随时间不变的， σ0=0， 例如u(t)、 sinω0tu(t)， 其拉氏变换的收敛区如图4.1-2(b)所示； f(t) 是随时间增长的， σ0>0， 例如eatu(t)（a>0）的σ0=a， >0 e u(t) a>0 σ =a 其拉氏变换的收敛区如图 4.1-2(c)所示。
同理可得
∞ df (t) d f (t) d f (t) −st −st df (t) ∞ L[ 2 ] = ∫ e dt = e |0− +s∫ e−stdt 0− dt2 0− dt dt dt ' 2 ' = − f (0) + s[sF(s) − f (0)]= s F(s) − sf (0) − f (0) 2 ∞ 2
(n) 式中f(0-)及 f (t ) 分别表示f(t)及f(t)的n阶
（5―14）
导数在t=0-时的值。
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
证明:根据拉氏变换定义
∞ df ( t ) df (t ) L[ e − st dt ]= ∫ 0− dt dt
1 σ + j∞ f (t ) = ∫σ − j∞ F (s)ds 2πj
(4.1-5)
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
因为e-σt的作用， 式(4.1-2)与 (4.1-5)是适合指数阶 函数的变换。 又由于式(4.1-2)中的f(t)是t<0时为零的 因果信号， 故称“单边”变换。 将两式重新表示在一 起， 单边拉氏变换定义为
jω
0
σ
图 4.1-1 复平面
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
由以上分析， 并比较式(4.1-6)与式(3.3-7)， 以及 式（4.1-2）的推导，可见拉氏变换的基本信号元为est。 虽然单边拉普拉斯变换存在条件比傅氏变换宽， 不需要信号满足绝对可积， 但对具体函数也有变换是 否存在及在什么范围内变换存在的问题， 这些问题可 由单边拉氏变换收敛域解决。
0
∞
− st
(4.1-2)
F1(ω)的傅氏反变换为
f1 (t ) = f (t )e 1 f (t ) = 2π
−σt
1 = 2π
∫
∞
−∞
F1 (ω )e dω dω
(4.1-3)
jωt
∫
∞
−∞
F1 (ω )e
(σ + jω ) t
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
式（4.1-3）两边同乘eσt， eσt不是ω的函数， 可放 入积分号里， 由此得到
∞ ∞
1 f (t ) = 2π
∫
−∞
F1 (ω )e
( σ + jω ) t
1 dω = 2π
∫
−∞
F (σ + jω )e (σ + jω )t dω
(4.1-4)
已知s=σ+jω， ds=d(σ+jω)， σ为常量， ds=j dω， 代入式（4.1-4）且积分上、 下限也做相应改 变， 式(4.1-4)可写作
[
]
[ ] [ ]
表4-1 常用信号的拉氏变换
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第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 域分析 章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
5.2 拉普拉斯变换的性质
5.2.1 拉氏变换的基本特性 1.线性特性 若
f1 (t ) ↔ F1 ( s );
L
L
f 2 (t ) ↔ F2 ( s )