[最新推荐]广州市越秀区高一上期末数学试卷有答案

一、单选题1．设集合，，（ ） {}15A x x =-<<{}2,3,4,5B =A B = A ． B ． C ． D ．{}2{}2,3{}3,4{}2,3,4【答案】D【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解作答. 【详解】因为集合，， {}15A x x =-<<{}2,3,4,5B =所以. {}2,3,4A B = 故选：D2．下列函数为增函数的是（ ） A ．B ．()f x x =()2xf x =C ．D ．()2f x x =()0.5log f x x =【答案】B【分析】把函数化成分段函数由单调性判断A ；利用二次函数、指数函数、对数函数单调性判断CBD 作答.【详解】对于A ，函数，函数在上单调递减，在定义域R 上不单,0(),0x x f x x x x -≤⎧==⎨>⎩()f x (,0]-∞调，A 不是；对于B ，函数在R 上单调递增，B 是；()2x f x =对于C ，函数在上单调递减，在定义域R 上不单调，C 不是； 2()f x x =(,0]-∞对于D ，函数在上单调递减，D 不是. 0.5()log f x x =(0,)+∞故选：B3．设a ，，则“”是的（ ） R b ∈0a b <<11a b>A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用不等式的性质，充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】因为， 11b a a b ab--=所以当时，，0a b <<0,0ab b a >->所以即， 110b a a b ab --=>11a b >当时，取，得不到， 11a b>1,1a b ==-0a b <<所以是充分不必要条件， 0a b <<11a b>故选:A.4．已知，，，则（ ） 3log 0.3a =0.33b =0.50.3c =A ． B ． a b c <<a c b <<C ． D ．c a b <<b c a <<【答案】B【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合“媒介数”比较大小作答. 【详解】，，， 33log 0.3log 10a =<=0.30331b =>=0.5000.30.31c <=<=所以. a c b <<故选：B5．已知是第四象限角，且，则（ ）θ()3sin π5θ+=πtan 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．7177-17-【答案】A【分析】利用诱导公式结合同角公式求出，再利用和角的正切计算作答. tan θ【详解】由得：，即，而是第四象限角，()3sin π5θ+=3sin5θ-=3sin 5θ=-θ则有，， 4cos 5θ===sin 3tan cos 4θθθ==-所以. π3tan tan1π144tan(π3471tan tan 1()144θθθ+-++===---⨯故选：A 6．已知，则的最小值为（ ）0x <21x x--A ．B ．4C ．D ．11【答案】D【分析】根据给定条件，利用配凑的方法，结合均值不等式求解作答.【详解】因为，则，， 0x <11x ->22(1)11111x x x x -=+--≥-=--当且仅当，即 211x x=--1x =所以的最小值为. 21x x--1-故选：D7．已知，，则的值为（ ） 1cos cos 2αβ+=1sin sin 3-=αβ()cos αβ+A ． B ．C ．D ．1372-13725972-5972【答案】C【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.【详解】， ()2221cos cos cos 2cos cos cos 4αβααββ+=++=，()2221sin sin sin 2sin sin sin 9αβααββ-=-+=两式相加得， ()()62221113cos cos sin sin 2cos 493αβαβαβ-=+=+=++. ()59cos 72αβ∴+=-故选：C.8．已知函数，若方程有四个不同的根，则的取值2ln(),0(),0x x f x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩()f x a =1234,,,x x x x 1234x x x x 范围为（ ）A ．B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】分析给定的函数性质，画出函数的部分图象，确定a 的取值范围，进而求出()y f x =范围作答.1234x x x x 【详解】函数，当时，单调递增，，2ln(),0(),0x x f x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩1x ≤-()ln()f x x =--()0f x ≤当时，单调递减，，10x -<<()ln()f x x =-()0f x <当时，在上递减，在上递增，，0x ≥2()f x x x =-1[0,]21[,)2+∞1()4f x ≥-作出函数的部分图象，如图，()y f x =方程有四个不同的根，不妨令，即直线与函数的()f x a =1234,,,x x x x 1234x x x x <<<y a =()y f x =图象有4个公共点， 观察图象知，，，104a -<<123411012x x x x <-<<<<<<显然有，且，由得，12|ln()||ln()|x x --=--341x x +=12|ln()||ln()|x x --=--12ln()ln()0x x -+-=即，则有，因此，12ln()0x x =121=x x 21234333111(1)()(0,)244x x x x x x x =-=--+∈所以的取值范围为.1234x x x x 1(0,4故选：B【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键.二、多选题9．下列函数为奇函数的是（ ） A ． B ．()21f x x =()3f x x =C ．D ． ()1ln 1x f x x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭()1f x x x=+【答案】BCD【分析】分析各选项中函数的定义域，再利用奇函数的定义判断作答. 【详解】对于A ，函数的定义域为，，是偶函()21f x x =(,0)(0,)-∞+∞ 21()()()f x f x x -==-()f x 数，A 不是；对于B ，函数的定义域为R ，是奇函数，B 是；()3f x x =()f x 对于C ，函数中，，解得，即的定义域为， 1()ln(1x f x x+=-101xx +>-11x -<<()f x (1,1)-，是奇函数，C 是；11()ln(ln()()11x xf x f x x x-+-==-=-+-()f x 对于D ，函数的定义域为，，是奇函数，1()f x x x =+(,0)(0,)-∞+∞ 1()()f x x f x x-=-+=--()f x D 是. 故选：BCD10．下列命题为真命题的是（ ） A ．任意两个等边三角形都相似 B ．所有的素数都是奇数 C ．， D ．，R x ∀∈0x x +≥R x ∃∈210x x -+=【答案】AC【分析】利用判定全称量词命题、存在量词命题真假的方法，逐项判断作答.【详解】对于A ，因为所有的等边三角形的每个内角都为，因此任意两个等边三角形都相似，60 A 正确；对于B ，2是素数，而2是偶数，即“所有的素数都是奇数”是假命题，B 错误； 对于C ，因为，，即，C 正确；R x ∀∈||x x ≥-||0x x +≥对于D ，因为，，D 错误.R x ∀∈221331(0244x x x -+=-+≥>故选：AC11．记函数，，其中．若，则（ ） ()()sin 2f x x ϕ=+x ∈R π2ϕ≤π5π1662f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．B ．π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．为奇函数D ．为奇函数π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π24f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】由对称性得到为对称轴，故，代入解析式得到或，求出函数解π2x =π12f ⎛⎫=± ⎪⎝⎭π2ϕ=-π2析式或，分两种情况计算出，及判断和()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的奇偶性，推断出四个选项的正误.π24f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】A 选项，因为，所以为的对称轴， π5π1662f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ5662πx =+=()f x 故，A 错误；ππsin 2122f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 选项，，解得：，πππ,Z 2k k ϕ+=+∈ππ,Z 2k k ϕ=-+∈因为，所以，解得：， π2ϕ≤ππππ222k -≤-+≤01k ≤≤因为，所以或1，Z k ∈0k =当时，，当时，，0k =π2ϕ=-1k =π2ϕ=故或，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3π3ππsin 0422f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，，B 正确； ()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3π3ππsin 0422f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 选项，当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭i 1ππ32s n 2f x x ⎛⎫- ⎪⎭⎝⎫+= ⎪⎝⎭⎛此时不满足，不是奇函数，1212ππf x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭s 12π2πin 23f x x ⎪⎛⎫+= ⎪⎛⎫+ ⎝⎝⎭⎭不满足，不是奇函数，C 错误； 1212ππf x fx ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 选项，当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πππ2sin 4si 22n 44f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时的定义域为R ，且，为奇函数，()f x ()sin 4sin 4x x -=-当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πππ2sin 4si 22n 44f x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时的定义域为R ，且，即，()f x ()sin 4sin 4x x --=()()f x f x -=-为奇函数，D 正确. ()f x 故选：BD12．已知正实数x ，y ，z 满足，则（ ） 3515x y z ==A ． B ． x y z +=xz yz xy +=C ．D ．3515x y z>>24xy z >【答案】BCD【分析】令，利用指数式与对数式互化表示出，再逐项计算、判断作答. 13515x y z t ==>=,,x y z 【详解】是正实数，令，则，,,x y z 13515x y z t ==>=3515log ,log ,log x t y t z t ===， 111log 3,log 5,log 15t t t x y z ===对于A ，，A 错误； ln ln ln ln15ln15ln 5ln 3()(2(24ln 3ln 5ln15ln 3ln 5ln 3ln 5t t t x y z z z +=+=+=++>+>对于B ，因为，则，B 正确；111log 3log 5log 15t t t x y z+=+==xz yz xy +=对于C ，因为，则，即，35153515<<3515log 3log 5log 15t t t <<3log 35log 515log 15t t t <<因此，即有，C 正确； 3515x y z <<3515x y z>>对于D ，， 2221515151515log 3log 5log 3log 511log 3log 5()(log 15)log 15log 15244t t t t z z z xy x y +=⋅=⋅=⋅<==因此，D 正确. 24xy z >故选：BCD【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.三、填空题13．若函数只有一个零点，则实数a 的值为_____________．()22f x x x a =-+【答案】1【分析】利用判别式等于零求解.【详解】因为函数只有一个零点，()22f x x x a =-+所以解得. 440a ∆=-=1a =故答案为:1. 14．计算_____________． 01331log log 120.60.24-+-+=【答案】5【分析】直接利用对数的运算性质及指数幂的运算可得答案. 【详解】. 0133311log log 120.60.2log 1215544-⎛⎫+-+=⨯-+= ⎪⎝⎭故答案为：.5四、双空题15．已知函数，分别由下表给出， ()f x ()g x x0 1 2()f x 1 2 1x 0 1 2 ()g x 2 1 0则_____________；满足的x 的值是_____________． ()1f g ⎡⎤⎣⎦=()()()f g x g f x ⎦>⎡⎤⎣【答案】 2 1【分析】根据列表法给定的函数，x 分别取0，1，2依次计算、即可作答. [()]f g x [()]g f x 【详解】依题意，；()()112f g f ⎡⎤==⎣⎦，，，，[(0)](2)1f g f ==[(0)](1)1g f g ==()()112f g f ⎡⎤==⎣⎦[(1)](2)0g f g ==，，因此当且仅当时，成立，[(2)](0)1f g f ==[(2)](1)1g f g ==1x =()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦所以满足的x 的值是1. [()][()]f g x g f x >故答案为：2；1五、填空题16．已知，（且），若对任意的，都存在()221f x x x =--()log a g x x =0a >1a ≠[]11,2x ∈-，使得成立，则实数a 的取值范围是_____________． []22,4x ∈()()12f x g x <【答案】(1,2)【分析】求出函数在上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解作答. ()f x []1,2-【详解】当时，，则， []1,2x ∈-2()(1)2f x x =--max ()(1)2f x f =-=因为对任意的，都存在，使得成立， []11,2x ∈-[]22,4x ∈()()12f x g x <因此函数在上的最大值小于函数在上的最大值， ()f x []1,2-()g x []2,4而当时，，，不符合题意，01a <<[]2,4x ∈log 0a x <于是，函数在上单调递增，则，即，解得，1a >()log a g x x =[]2,4log 42a >214a <<12a <<所以实数a 的取值范围是. (1,2)故答案为：(1,2)【点睛】结论点睛：一般地，已知函数， ()[],,y f x x a b =∈()[],,y g x x c d =∈（1）若，，总有成立，故； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∀∈()()12f x g x <()()max min f x g x <（2）若，，有成立，故； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()max max f x g x <（3）若，，有成立，故.[]1,x a b ∃∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()min min f x g x <六、解答题17．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点． ()3,4P -(1)求的值；tan α(2)求的值．2sin(π)cos(2π)ππcos()sin()22αααα+++-++【答案】(1)；43-(2). 11-【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义计算作答. （2）利用诱导公式化简，结合（1）的结论，用齐次式法计算作答. 【详解】（1）角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点， α()3,4P -所以.4tan 3α=-（2）由（1）知，，4tan 3α=-所以. 42()12sin(π)cos(2π)2sin cos 2tan 1311ππ4sin cos tan 1cos()sin()1223αααααααααα-⨯-++++-+-+====-++-++-+18．已知函数，且，．()x b f x x a -=-()124f =()235f =(1)求函数的解析式；()f x (2)根据定义证明函数在上单调递增．()f x ()2,-+∞【答案】(1) ()12x f x x -=+(2)证明见解析【分析】（1）直接根据条件列方程组求解即可；（2）任取，计算判断的符号即可证明单调性.122x x >>-()()12f x f x -【详解】（1）由已知，解得，()()2122432335b f a b f a -⎧==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩21a b =-⎧⎨=⎩； ()12x f x x -∴=+（2）任取， 122x x >>-则，()()()()()()()()()()()12211212121122121212112222223x x x x x x f x f x x x x x x x x x -+--+---=-==++++++-，122x x >>-Q ，121220,20,0x x x x ∴+>+>->，即， ()()120f x f x ∴->()()12f x f x>函数在上单调递增.∴()f x ()2,-+∞19．已知函数．ππ())sin()sin cos 44f x x x x x =+-+(1)求函数的最小正周期； ()f x (2)在中，若，求的最大值． ABC A π()1212A f -=sin sinBC +【答案】(1)； π【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数性质求出周期作答.()f x （2）由（1）中函数式求出A ，再利用差角的正弦公式、辅助角公式结合正弦函数性质求解作答. 【详解】（1）依题意，πππ1ππ1()sin()sin[()]sin 2)cos()sin 24242442fx x x x x x x =+-++=+++， π11π2)sin 2sin 22sin(2)2223x x x x x =++==+所以函数的周期为. ()f x 2ππ2T ==（2）由（1）知，， ππππ()sin[2()]sin()121221236A A f A -=-+=+=在中，，有，于是，解得，则， ABC A 0πA <<ππ7π666A <+<ππ62A +=π3A =2π3BC +=， 2π13πsin sin sin sin()sin sin sin )3226B C B B B B B B B B +=+-=+=+显然，，因此当，即时，， 2π03B <<ππ5π666B <+<ππ62B +=π3B =max (sin sin )BC +=所以sin sin B C +20．某小区要在一块扇形区域中修建一个矩形的游泳池．如图，在扇形OPQ 中，半径，()100m OP =圆心角，C 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形．记，矩形ABCD 的π4POQ ∠=POC α∠=面积为． ()2m S(1)将面积S 表示为角的函数；α(2)当角取何值时，S 最大？并求出这个最大值．α【答案】(1)； ππ5000,044S αα=+-<<(2)，. π8α=2max 5000(m )S =- 【分析】（1）根据给定的图形，用的正余弦函数表示矩形的一组邻边即可列式作答. α（2）利用（1）中函数，结合正弦函数的性质求解作答.【详解】（1）依题意，在中，，则， Rt OBC △π2OBC ∠=sin 100sin AD BC OC POC α==∠=，在中，，则， cos 100cos OB OC POC α=∠=Rt OAD △ππ,24OAD POQ ∠=∠=OA AD =因此， 100(cos sin )AB OB OA αα=-=-100sin 100(cos sin )S AB BC ααα=⋅=⋅-， 2π10000(sin cos sin )5000(sin 2cos 21)50004αααααα=-=+-=+-所以面积S 表示为角的函数是. αππ)5000,044S αα=+-<<（2）由（1）知，当时，，则当，即时，π04α<<ππ3π2444α<+<ππ242α+=π8α=， max π[sin(2)]14α+=所以当时，. π8α=2max 5000(m )S =21．已知函数的最大值为． ()cos 22sin 2f x x a x a =++12-(1)求a 的值：(2)当时，求函数的最小值以及取得最小值时x 的集合．x ∈R ()f x 【答案】(1)1a =-(2)最小值为-5，的取值构成的集合为 x π|2π,Z 2x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【分析】(1)换元法，分类讨论二次函数在给定区间的单调性和最值；(2)利用二次函数的性质求最值以及三角函数的性质求时x 的集合．【详解】（1）()2cos 22sin 212sin 2sin 2f x x a x a x a x a =++=-++，22sin 2sin 21x a x a =-+++令，则，对称轴， []sin 1,1t x =∈-2()2221f t t at a =-+++02a t =当即时， 012a t =≤-2a ≤-在单调递减，2()2221f t t at a =-+++[]1,1t ∈-所以不满足题意； max ()(1)22211f t f a a =-=--++=-当即时， 112a-<<22a -<<在单调递增，单调递减， 2()2221f t t at a =-+++1,2a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭,12a ⎛⎤ ⎥⎝⎦所以， 22max 1()()21222a a f t f a a ==-+++=-即解得或（舍）；2430a a ++=1a =-3a =-当即时， 012a t =≥2a ≥在单调递增，2()2221f t t at a =-+++[]1,1t ∈-所以， max 1()(1)22212f t f a a ==-+++=-解得不满足题意， 18a =综上.1a =-（2）由(1)可得在单调递增，单调递减， 2()221f t t t =---11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦所以当时函数有最小值为，1t =(1)2215f =---=-此时，则的取值构成的集合为. sin 1t x ==x π|2π,Z 2x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭22．已知函数，其中e 为自然对数的底数，记．()()e R x f x x =∈()()()g x f x f x =+-(1)解不等式；()()26f x f x +≤(2)若存在，使得成立，求实数k 的取值范围．(0x ∈()()20021g x k g x =⋅-【答案】(1)；(,ln 2]-∞(2) 37(,49【分析】（1）根据给定条件，解指数不等式作答.（2）求出的取值范围，分离参数并换元构造函数，利用对勾函数求出函数的值域作答.0e x 【详解】（1）函数，则不等式化为：，即，()()e R x f x x =∈()()26f x f x +≤2e e 6x x +≤2e e 60x x +-≤，而，因此，解得，(e 3)(e 2)0x x +-≤e 0x >0e 2x <≤ln 2x ≤所以原不等式的解集是(,ln 2]-∞（2）依题意，，当时，，()e e x x g x -=+0x∈0e x ∈，则， 0000002202202))e e )e e 1e e)1(2(1((x x x x x x g x k g x k ---+=++=+⋅-⇔=-0021)(1e e x x k -=-+令，，， 0e x t =∈001e e ()x x h t t t-+==+(1212,,t t t t ∀∈<，因为，则， 1212121212111()()()()(1)h t h t t t t t t t t t -=+-+=--121t t <<121210,10t t t t-<->因此，即，则有函数在上单调递增，12()()0h t h t -<12()()h t h t <()h t (于是当时，，， t ∈12t t <+≤002e e x x -<+00294(e e )2x x -<+≤，从而， 0022119e e )4(x x -≤<+3749k <≤所以实数k 的取值范围是． 37(,49【点睛】思路点睛：涉及含参方程有解的问题，分离参数构造函数，转化为求函数的值域得解.。

数学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，，则（）{}1,2,3,4,5,6U ={}1,2,3A ={}3,4,5B =()UA B ⋂=ðA. B. C.D.{}4,5,6{}4,6{}6{}4,5【答案】D 【解析】【分析】直接根据补集和交集的概念可得答案.【详解】由已知，又，{}4,5,6=U A ð{}3,4,5B =.(){}U 4,5B A ∴= ð故选：D.2. 命题“，”的否定是（ ）ππ,22x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭2cos 12x x >-A. ，B. ，2ππ,2x ⎛⎫∀∉- ⎪⎝⎭2cos 12x x >-ππ,22x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭2cos 12x x -≤C. ，D. ，ππ,22x ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭∃2cos 12x x -≤ππ,22x ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭∃2cos 12x x <-【答案】C 【解析】【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题可得答案. 【详解】根据全称命题的否定是特称命题得命题“，”的否定是“，”. ππ,22x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭2cos 12x x >-ππ,22x ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭∃2cos 12x x -≤故选：C.3. 已知函数的最小正周期为2π，则下列说法错误的是（ ） ()()2sin 0f x x ωω=>A.1ω=B. 函数是奇函数()f x C. 当时，函数在上是减函数，在上是增函数 []0,2x π∈()f x []0,π[],2ππD. 当时，在上是增函数，在，上是减函数[],x ππ∈-()f x ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】CD 【解析】【分析】由周期公式判断A ；根据定义判断B ；根据正弦函数的单调性判断CD. 【详解】因为函数的最小正周期为2π，所以，故A 正确；()()2sin 0f x x ωω=>2π2π,1ωω==，定义域为，，即函数是奇函数，故B()2sin f x x =R ()()()2sin 2sin f x x x f x -=-=-=-()f x 正确；当时，由正弦函数的单调性可知，函数在和上单调递增，在[]0,2x π∈()2sin f x x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误； 3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦当时，由正弦函数的单调性可知，函数在和上单调递减，在[],x ππ∈-()2sin f x x =,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故D 错误； ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：CD4. 已知a ，b 是实数，且，则“”是“”的（ ） 0a b +≠0a b +>a b +≥A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行求解即可【详解】因为满足，但不满足，故充分性不满足； 2,1a b ==-0a b +>a b +≥因为等价于，所以，a b +≥20≥0,0a b ≥≥因为，所以不同时为0， 0a b +≠,a b 所以能得到，故必要性满足，0a b +>所以“”是“”的必要不充分条件 0a b +>a b +≥故选：B 5. 已知，，，则的大小关系为（ ） 12a=2log b =5log 3c =,,a b c A. B. c<a<b a c b <<C. D.c b a <<a b c <<【答案】B 【解析】【分析】利用对数函数的单调性来比较大小即可. 【详解】函数在上单调递增，log (1)a y x a =>()0,∞+，221log log 2b a =>==，55log 31log 2a c ==>=，2453311log log 3log 3log 4log 5b c ===>==.a cb ∴<<故选：B.6. 已知是第二象限的角，，则的值是（ ） α23sin sin cos 2ααα-=cos αA. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】先将条件等式变形为分子分母为关于的二次齐次式，然后同除即可得关于sin ,cos αα2cos α的方程，求出，进而可得，则可求.tan αtan ααcos α【详解】是第二象限的角，αQtan 0,cos 0αα∴<≠， 2222223sin sin cos 3tan tan 3sin sin cos 2sin cos tan 1ααααααααααα--∴-===++解得，tan 1α=-， 3π2π,Z 4k k α∴=+∈. cos α∴=故选：A.7. 下列函数中，最小值为2的是（ ） A. ()1f x x x=+B. ()()2212sin π,Z 2sin f x x x k k x=+≠∈C.()e e xxf x -=+D. ()()111f x x x x =+>-【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式以及等号的成立条件逐一判断即可. 【详解】对于A ：当时，，A 错误； =1x -()12f -=-对于B ：， ()2212sin 22sin f x x x =+≥=当且仅当，即时等号成立，故等号不能成立，，B 错误； 2212sin 2sin x x=2sin 2x =()2f x ∴>对于C ：，当且仅当，即时等号成立，C 正确； ()2e e x x f x -+=≥=e e =x x -0x =对于D ：当时，，当且仅当1x >()11111311f x x x x x =+=-++≥+=--111x x -=-，即时等号成立，D 错误； 2x =故选：C.8. 已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，()f x R ()1f x +()10-,1x ，且，都有成立，，则不等式的解集()20,x ∈+∞12x x ≠()()2112120x f x x f x x x ->-()11f =()0f x x ->为（ ）A. B.()(),11,-∞-⋃+∞()1,1-C. D.()(),10,1-∞-⋃()()1,01,-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】利用函数的图象的对称中心是可得是上的奇函数，由()1f x +()10-,()f x R 可得，故可得在上单调递增，然后分()()2112120x f x x f x x x ->-()()1212120f x f x x x x x ->-()()f xg x x=()0,+∞，和三种情况进行求范围即可0x =0x >0x <【详解】因为是向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是()1f x +()f x ()1f x +()10-,，所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以， ()f x ()0,0()f x R ()()111f f -=-=-对任意的，，且，都有成立，1x ()20,x ∈+∞12x x ≠()()2112120x f x x f x x x ->-所以， ()()()()()12211212121212f x f x x f x x f x x x x x x x x x --=>--令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增， ()()f xg x x=()g x ()0,+∞由是上的奇函数可得是上的偶函数 ()f x R ()g x ()(),00,∞-+∞U 所以在上单调递减，()g x (),0∞-当时，不等式得到，矛盾； 0x =()0f x x ->000->当时，转化成即，所以； 0x >()0f x x ->()()111f x f x >=()()1g x g >1x >当时，转化成，，所以， 0x <()0f x x ->()()111f x f x -<=-()()1g x g <-10x -<<综上所述，不等式的解集为 ()0f x x ->()()1,01,-⋃+∞故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列函数中是偶函数，且在上是减函数的是（ ） ()0,∞+A. B. cos y x =2y x =-C .D. y x =21y x =【答案】BD 【解析】【分析】直接根据函数的性质逐一判断即可.【详解】对于A ：是偶函数，但在上不是单调函数，A 不符； cos y x =()0,∞+对于B ：是偶函数，且在上单调递减，B 符合； 2y x =-()0,∞+对于C ：是偶函数，且在上单调递增，C 不符； y x =()0,∞+对于D ：是偶函数，且在上单调递减，D 符合. 221y x x-==()0,∞+故选：BD.10. 设实数a ，b 满足，则下列不等式中正确的是（ ）01b a <<<A.B.11a b a b+>+1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. D.ln ln a b >b b a b <【答案】BC 【解析】【分析】选项A ：做差判断；选项BCD ：构造函数，利用函数单调性判断.【详解】对于A ：，，，()()111b a ab a b a b ab --⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭01b a <<< 0,10,0b a ab ab ∴-<->>，即，A 错误； 110a b a b ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭11a b a b +<+对于B ：函数在上的单调递减，又，，B 正确；12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭R b a <1122a b⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于C ：函数在上的单调递增，又，，C 正确； ln y x =()0,∞+b a <ln ln a b \>对于D ：函数在上的单调递增，又，，D 错误； ,0b y x b =>()0,∞+b a <b b a b ∴>故选：BC.11. 给出下列四个命题，其中是真命题的为（ ） A. 如果θ是第一或第四象限角，那么 cos 0θ>B. 如果，那么θ是第一或第四象限角 cos 0θ>C. 终边在x 轴上的角的集合为{}2,Z k k ααπ=∈D. 已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为2 【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，利用三角函数的定义即可判断；对于B ，举反例即可；对于C ，直接写出对应角的集合；对于D ，利用扇形的面积和弧长公式即可【详解】对于A ，若θ是第一或第四象限角，根据三角函数的定义可得，故正确； cos 0θ>对于B ，若，则，但此时θ不是第一或第四象限角，故错误； 0θ=cos 10θ=>对于C ，终边在x 轴上的角的集合为，故错误； {},Z k k ααπ=∈对于D ，设扇形的圆心角的弧度数为，半径为，βr 则，解得，故正确 224112r r r ββ+=⎧⎪⎨=⎪⎩21r β=⎧⎨=⎩故选：AD12. 已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）()2,12,1a x x a x f x x --⎧≥=⎨<⎩A.1a =B.1a =-C. 函数是偶函数 ()1y f x =+D. 关于x 的不等式的解集为 ()12f x >()0,2【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数图象可得函数图象的对称轴，进而求得参数a 的值，判断A ，B ；根据图象的平移结合偶函数的性质可判断C ；分段解不等式可得不等式的解集，判断D. ()12f x >【详解】由函数图像可知为函数的对称轴，即函数满足， 1x =()f x ()2()f x f x -=则当时，则，故，则， 1x >21x -<2,222x a a x x a a x ---∴--=-=1a =同理当时，则，故，则， 1x <21x ->2,222a x x a a x x a -+--+=∴=-1a =综合可知，A 正确；B 错误.1a =将的图象向左平移1个单位，即得函数的图象，()2,12,1a x x a x f x x --⎧≥=⎨<⎩()1,R y f x x =+∈则的图象关于y 轴对称，故为偶函数，C 正确；()1y f x =+()1y f x =+当时，，令，解得，故； 1x ≥1()2x f x -=1212x->2x <12x ≤<当时，，令，解得，故，1x <1()2x f x -=1122x ->0x >01x <<综合可得，即不等式的解集为，D 正确，02x <<()12f x >()0,2故选：ACD【点睛】方法点睛：解答本题，要注意数形结合的思想方法，同时要结合函数图像的特征，利用相应的定义去判断解答，即可求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数_____________． ()()2log 2f x x =-+【答案】 [)3,2-【解析】【分析】直接根据对数的真数大于零及被开方数不小于零列不等式求解. 【详解】由已知得，解得， 22090x x ->⎧⎨-≥⎩32x -≤<即函数. ()()2log 2f x x =-+[)3,2-故答案为：. [)3,2-14. 已知，，则_____________． 12sin cos 25αα=-π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin cos αα-=【答案】## 751.4【解析】【分析】先通过角的范围确定的符号，然后通过计算可得答案. sin cos αα-()2sin cos αα-【详解】， π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，即，sin 0,cos 0αα∴><sin cos 0αα->又， ()21249sin cos 12sin cos 122525αααα⎛⎫-=-=-⨯-=⎪⎝⎭. 7sin cos 5αα∴-=故答案为：. 7515. 已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是()y f x =R 0x ≥()f x =0x <()f x _____________．【答案】()f x =【解析】【分析】利用奇函数的定义计算即可得答案.【详解】函数在上为奇函数，且当时，()y f x =R 0x ≥()f x =当时，，0x <0x ->，()()f x f x ∴=--=故答案为：.()f x =16. 对于函数和，设，，若存在使得，则()f x ()g x (){}0x f x α∈=(){}0x g x β∈=,,αβ1αβ-≤称函数和互为“零点相邻函数”，若函数与()f x ()g x ()()ln 23f x x x =-+-互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围为_____________．()()()22log 1g x x a =-+⋅2log 3x +【答案】1,3⎡⎤-⎣⎦【解析】【分析】首先求出函数的零点，从而得，结合新定义可得，则，从而可知()f x 3α=31β-≤24β≤≤方程在区间上存在实数根，通过分离参数并化简整理得()()22log 1x a -+⋅2log 3x +[]2,4，结合函数的单调性求出值域，从而确定实数的取值范围.2231log log a x x+=+a 【详解】函数是上的单调递增函数，且，据此可知， ()()ln 23f x x x =-+-()2,+∞()30f =3α=结合“零点相邻函数”的定义可得，则，31β-≤24β≤≤据此可知函数在区间上存在零点，()()()22log 1g x x a =-+⋅2log 3x +[]2,4即方程在区间上存在实数根，()()22log 1x a -+⋅2log 30x +=[]2,4整理可得：， ()22222log 331log log log x a x xx++==+令，则， 2log ,12t x x =≤≤31a t t +=+根据对勾函数的性质，函数在区间上单调递减，在上单调递增，又()3h t t t=+⎡⎣2⎤⎦()14,h h ==(2)h =则314a t t ⎡⎤+=+∈⎣⎦据此可知实数的取值范围是. a 1,3⎡⎤-⎣⎦故答案为：1,3⎡⎤-⎣⎦【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.四、解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 计算： （1）；()110520.01321π---++（2）．3log 22log 8lg 2lg 53++-【答案】（1）5（2）2【解析】 【分析】（1）直接计算指数幂即可；（2）利用对数的运算性质计算即可.【小问1详解】；()110520.01321102125π---+=---=【小问2详解】 ．()3log 22log 8lg 2lg 53lg 25223=+++-⨯-=18. 已知集合，． {}20log 3A xx =≤≤∣{}08B x x =<<（1）求：A B ⋃（2）若集合，且，求实数a 的取值范围{}9C x a x a =≤≤+A C ⊆【答案】（1）{}08x x <≤（2）11a -≤≤【解析】【分析】（1）先求出集合A 中元素范围，然后直接求即可；A B ⋃（2.【小问1详解】 ，又，{}{}20log 318A x x x x =≤≤=≤≤ ∣∣{}08B x x =<<；{}08A B x x ∴⋃=<≤【小问2详解】，，，{}18A x x =≤≤ ∣{}9C x a x a =≤≤+A C ⊆， 198a a ≤⎧∴⎨+≥⎩解得.11a -≤≤19. 如图，在平面直角坐标系中，角和角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点αβαA ，将射线OA 绕坐标原点沿顺时针方向旋转后，所得射线与单位圆交于点B ，且射线OB 是角的终π2β边．（1）求的值； ()()sin cos 23πco πs πsin 2αββα⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭（2）若点A ，求的值． ()tan πβ-【答案】（1）1（2） 12【解析】【分析】（1）利用的关系及诱导公式计算即可；,αβ（2）先通过三角函数的定义得，然后利用的关系及诱导公式计算即可.sin ,cos αα,αβ【小问1详解】由已知， π2π,Z 2k k αβ=++∈； ()()()sin cos sin sin sin sin cos sin 213πcos cos cos sin cos πsi π2ππ2n cos c 22os π2πk k αββαβββαββαβββββ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭∴⎛⎫++==⎭-=-=--+ ⎪⎝⎛-⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎪⎫+ ⎝⎭【小问2详解】若点A ，则sin αα===. ()2sin t π2πcos 12πsin cos 2πan πt 2an k k βαβααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝-=-=-⎭20. 某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q （单位：元/10kg ）与上市时间t （单位：天）的数据如下表：时间t7 9 10 11 13 种植成本Q 19 11 10 11 19为了描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系，现有以下四种函数模型供选择：①，()Q t a t b =⋅+②，()2Q t a t b t c =⋅+⋅+③， ()tQ t a b =⋅④．()log b Q t a t =⋅（1）选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式；（2）在第（1）问的条件下，若函数在区间上的最大值为110，最小值为10，求实数m 的最()Q t []0,m 大值．【答案】（1）选择，理由见解析，()2Q t a t b t c =⋅+⋅+()220110Q t t t =-+（2）20【解析】【分析】（1）由表中数据可知，先单调递减后单调递增，故选择满足题意的二次函数，然后利用待()Q t 定系数法即可求解；（2）通过二次函数的性质即可求出实数m 的最大值【小问1详解】由表中数据可知，先单调递减后单调递增，()Q t 因为，，都是单调函数，所以不符合题意， ()Q t a t b =⋅+()tQ t a b =⋅()log b Q t a t =⋅因为可先单调递减后单调递增，故符合题意，()2Q t a t b t c =⋅+⋅+由表格数据可得，解得，2221977101010111111a b c a b c a b c ⎧=⨯+⨯+⎪=⨯+⨯+⎨⎪=⨯+⨯+⎩120110a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以，经检验其他几组数据也满足表达式 ()220110Q t t t =-+【小问2详解】由（1）知，故其对称轴为，且开口向上， ()()21010Q t t =-+10t =，所以()()()()22001010110,20201010110,Q Q =-+==-+=()()21010101010Q =-+=，1020m ≤≤所以实数m 的最大值为2021. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<时，列表并填入了部分数据，如下表： x π6- π3x ωϕ+0 π2 π 3π2 2π()f x 1 －1（1）求函数的解析式；()f x （2）当时，求函数的最大值及相应的x 值； ,4π11π12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x （3）求关于x 的不等式的解集．()2f x >【答案】（1） ()2sin 21f x x ⎛=++ ⎝（2）最大值3，或 11π12x =-π12x =（3） πππ,π,Z 124k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据表中数据列方程组求解即可；（2）通过的范围求出的范围，然后利用正弦函数的性质求最值； x π23x +（3）利用正弦函数的图像和性质来解不等式即可.【小问1详解】由表可得，解得，π06ππ3sin 013πsin 12A B A B ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎪+=-⎪⎩2π321A B ωϕ=⎧⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪=⎪⎩； ()π2sin 213f x x ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭【小问2详解】当时，， 11π124πx -≤≤5ππ2π2336x -≤+≤ π1sin 213x ⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭当或，即或时，函数取最大值3； ∴π3π232x +=-ππ232x +=11π12x =-π12x =()f x 【小问3详解】关于x 的不等式，即， ()2f x >π2sin 2123x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭， π1sin 232x ⎛⎫∴+> ⎪⎝⎭， ππ5π2π22π,Z 636k x k k ∴+≤+≤+∈， ππππ,Z 124k x k k ∴-+≤≤+∈关于x 的不等式的解集为. ∴()2f x >πππ,π,Z 124k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦22. 已知函数（a 为常数，）．()22x x f x a -=⋅-R a ∈（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；()f x （2）当为偶函数时，若对任意的，不等式恒成立，求实数m ()f x [)2,0x ∈-()()220f x mf x --≥的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2） 17,.4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求出和时的具体值，即可判断奇偶；()()=f x f x -()()f x f x -=-a （2）由（1）可得，题意可转化成对恒成立，设()22x x f x -=--22x x m -≥+[2,0)x ∈-12,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，，利用单调性的定义判断在上为减函数，即可求解 ()1t t t ϕ=+()t ϕ1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭【小问1详解】函数的定义域为，，()22x x f x a -=⋅-R ()22x x f x a --=⋅-当时，即，解得，()()=f x f x -2222x x x x a a --⋅-=⋅-()(1)220x x a -+-=1a =-所以时，函数是偶函数，1a =-()f x 当时，即，解得，()()f x f x -=-()2222x x x x a a --⋅-=-⋅-()(1)220x x a --+=1a =所以时，函数是奇函数，1a =()f x 综上所述，当时，函数是奇函数；1a =()f x 当时，函数是偶函数；1a =-()f x 当时，函数是非奇非偶函数1a ≠±()f x 【小问2详解】为偶函数，根据（1）可知()f x 1,()22.x x a f x -=-=--对于任意的，都有成立，故即[2,0)x ∈-(2)()20f x mf x --≥()22222220x x x x m --------≥， ()()22222x x x x m --+≤+因为，所以对恒成立，220x x -+>22x x m -≥+[2,0)x ∈-设，， 12,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭()1t t t ϕ=+任取，且，即， 121,,14t t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭12t t <12114t t ≤<<则 ， ()()()12121212121111t t t t t t t t t t ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1212211212121t t t t t t t t t t t t ---=-+=因为，所以，可得，即 12114t t ≤<<12120,1t t t t -<<()()120t t ϕϕ->()()12t t ϕϕ>所以在上为减函数，，故 ()t ϕ1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭max 117()44t ϕϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭174m ≥所以实数m 的取值范围是 17,.4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】方法点睛：函数存在性和恒成立问题，构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键，并注意把握下述结论：①存在解；恒成立；()()f x g a <min ()()f x g a ⇔<()()f x g a <max ()()f x g a ⇔<②存在解；恒成立；()()f x g a ≤min ()()f x g a ⇔≤()()f x g a ≤max ()()f x g a ⇔≤③存在解；恒成立；()()f x g a >max ()()f x g a ⇔>()()f x g a >min ()()f x g a ⇔>④存在解；恒成立()()f x g a ≥max ()()f x g a ⇔≥()()f x g a ≥min ()()f x g a ⇔≥。

2016-2017学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卡相应的位置.）1．（5分）已知集合M={x∈|x（x﹣3）≤0}，N={x|lnx＜1}，则M∩N=（）A．{1，2} B．{2，3} C．{0，1，2} D．{1，2，3}2．（5分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．B．（1，2）C．（2，3）D．（e，+∞）3．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下些说法正确的是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βD．若α⊥γ，α⊥β，，则γ⊥β4．（5分）已知函数，设，则有（）A．f（a）＜f（b）＜f（c）B．f（a）＜f（c）＜f（b）C．f（b）＜f（c）＜f（a）D．f（b）＜f（a）＜f（c）5．（5分）将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．6．（5分）一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2B，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原的2倍，若该病毒占据64MB内存（1MB=210B），则开机后经过（）分钟．A．45 B．44 C．46 D．477．（5分）若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=loga||的图象大致为（）A． B．C．D．8．（5分）在平面直角坐标系中，下列四个结论：①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；③方程与方程y+1=k（x﹣2）可表示同一直线；④直线l过点P（x0，y），倾斜角为90°，则其方程为x=x°；其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．（5分）如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径2R，把球放在在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，此时容器中水的深度是（）A．2R B．C． D．10．（5分）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．11．（5分）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°12．（5分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A． B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在答卷上.）13．（5分）计算的结果是．14．（5分）已知4a=2，lgx=a，则x= ．15．（5分）过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．16．（5分）已知：在三棱锥P﹣ABQ 中，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH，则多面体ADGE﹣BCHF的体积与三棱锥P﹣ABQ体积之比是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应位置.）17．（10分）如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．（1）求OC所在直线的斜率；（2）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．18．（12分）如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1，AB=2．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADE；（Ⅱ）求凸多面体ABCDE的体积．19．（12分）已知函数为奇函数，（1）求a的值；（2）当0≤x≤1时，关于x的方程f（x）+1=t有解，求实数t的取值范围；（3）解关于x的不等式f（x2﹣mx）≥f（2x﹣2m）．20．（12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场调查和预测，投资债券等稳键型产品A的收益f（x）与投资金额x的关系是f（x）=k1x，（f（x）的部分图象如图1）；投资股票等风险型产品B的收益g（x）与投资金额x的关系是，（g（x）的部分图象如图2）；（收益与投资金额单位：万元）．（1）根据图1、图2分别求出f（x）、g（x）的解析式；（2）该家庭现有10万元资金，并全部投资债券等稳键型产品A及股票等风险型产品B两种产品，问：怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？21．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，M，N分别为AC，B1C1的中点．（Ⅰ）求线段MN的长；（Ⅱ）求证：MN∥平面ABB1A1；（Ⅲ）线段CC1上是否存在点Q，使A1B⊥平面MNQ？说明理由．22．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）若a＜0，b＞0，c=0，且f（x）在[0，2]上的最大值为，最小值为﹣2，试求a，b的值；（2）若c=1，0＜a＜1，且||≤2对任意x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．（用a表示）2016-2017学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卡相应的位置.）1．（5分）已知集合M={x∈|x（x﹣3）≤0}，N={x|lnx＜1}，则M∩N=（）A．{1，2} B．{2，3} C．{0，1，2} D．{1，2，3}【解答】解：集合M={x∈|x（x﹣3）≤0}={x∈|0≤x≤3}={0，1，2，3}，N={x|lnx＜1}={x|0＜x＜e}，则M∩N={1，2}．故选：A．2．（5分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．B．（1，2）C．（2，3）D．（e，+∞）【解答】解：∵函数，∴f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0，故有f（2）f（3）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间为（2，3），故选：C．3．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下些说法正确的是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βD．若α⊥γ，α⊥β，，则γ⊥β【解答】解：若m⊂β，α⊥β，则m与α平行、相交或m⊂α，故A不正确；若m⊥α，m∥β，则α⊥β，因为m∥β根据线面平行的性质在β内至少存在一条直线与m平行，根据线面垂直的判定：如果两条平行线中的一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于该平面，故B正确；若αlγ=m，βlγ=n，m∥n，则α∥β或α与β相交，故C不正确；若α⊥γ，α⊥β，则γ与β相交或平行，故D不正确．故选B．4．（5分）已知函数，设，则有（）A．f（a）＜f（b）＜f（c）B．f（a）＜f（c）＜f（b）C．f（b）＜f（c）＜f（a）D．f（b）＜f（a）＜f（c）【解答】解：由复合函数的单调性可得函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，又，，，因此b＞c＞a，∴f（b）＞f（c）＞f（a）．故选：B．5．（5分）将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD在右侧的射影是正方形的对角线，1C在右侧的射影也是对角线是虚线．B1如图B．故选B．6．（5分）一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2B，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原的2倍，若该病毒占据64MB内存（1MB=210B），则开机后经过（）分钟．A．45 B．44 C．46 D．47【解答】解：因为开机时占据内存2B，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原的2倍，所以3分钟后占据内存22B，两个3分钟后占据内存23B，三个3分钟后占据内存24B，故n个3分钟后，所占内存是原的2n+1倍，则应有2n+1=64×210=216，∴n=15，15×3=45，故选：A．7．（5分）若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=log||的图a象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1．因此，必有0＜a＜1．先画出函数y=log|x|的图象：黑颜色的图象．a而函数y=loga ||=﹣loga|x|，其图象如红颜色的图象．故选B．8．（5分）在平面直角坐标系中，下列四个结论：①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；③方程与方程y+1=k（x﹣2）可表示同一直线；④直线l过点P（x0，y），倾斜角为90°，则其方程为x=x°；其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故错；对于②，由倾斜角与斜率的关系知，倾斜角是钝角的直线，斜率为负数，正确；对于③，方程（x≠2）与方程y+1=k（x﹣2）（x∈R）不表示同一直线，故错；对于④，直线l过点P（x0，y），倾斜角为90°，则其方程为x=x，正确；故选：B．9．（5分）如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径2R，把球放在在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，此时容器中水的深度是（）A．2R B．C． D．【解答】解：由题意，水的体积==，∴容器中水的深度h==，故选：C．10．（5分）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰三角形，高为2，底面边长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度相等，为，将垂足与顶点连接起即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A ．11．（5分）如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误的命题是（ ）A ．点H 是△A 1BD 的垂心B ．AH 垂直平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成角为45°【解答】解：因为三棱锥A ﹣A 1BD 是正三棱锥，所以顶点A 在底面的射影H 是底面中心，所以选项A 正确；易证面A 1BD ∥面CB 1D 1，而AH 垂直平面A 1BD ，所以AH 垂直平面CB 1D 1，所以选项B 正确； 连接正方体的体对角线AC 1，则它在各面上的射影分别垂直于BD 、A 1B 、A 1D 等，所以AC 1⊥平面A 1BD ，则直线A 1C 与AH 重合，所以选项C 正确； 故选D ．12．（5分）已知函数y=f （x ）是定义域为R 的偶函数．当x ≥0时，f （x ）=若关于x 的方程[f （x ）]2+af （x ）+b=0，a ，b ∈R 有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．【解答】解：依题意f （x ）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递增， 在（﹣2，0）和（2，+∞）上递减， 当x=±2时，函数取得极大值；当x=0时，取得极小值0．要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6个不同实数根，设t=f（x），则则有两种情况符合题意：（1），且，此时﹣a=t1+t2，则；（2）t1∈（0，1]，，此时同理可得，综上可得a的范围是．故选答案C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在答卷上.）13．（5分）计算的结果是 2 ．【解答】解：运算=1﹣++lg2+lg5=1﹣0.4+0.4+1=2．故答案为2．14．（5分）已知4a=2，lgx=a，则x= ．【解答】解：∵4a=2，∴22a=2，即2a=1解得a=∵lgx=a，∴lgx=∴x=，故答案为：15．（5分）过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程2x﹣y=0或x+y﹣3=0 ．【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y﹣3=0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x即2x﹣y=0．综上，所求直线的方程为：2x﹣y=0或x+y﹣3=0．故答案为：2x﹣y=0或x+y﹣3=016．（5分）已知：在三棱锥P﹣ABQ 中，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH，则多面体ADGE﹣BCHF的体积与三棱锥P﹣ABQ体积之比是．【解答】解：∵D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，∴EF∥AB，DC∥AB，则EF∥DC，又EF⊄平面PCD，DC⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD，又EF⊂平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD=GH，∴EF∥GH，设三棱锥P﹣ABQ体积为V，则V=，，P﹣DCQ=．∴=．∴多面体ADGE﹣BCHF的体积与三棱锥P﹣ABQ体积之比是．故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应位置.）17．（10分）如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．（1）求OC所在直线的斜率；（2）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．【解答】解：（1）∵点O（0，0），点C（1，3），∴OC所在直线的斜率为．（2）在平行四边形OABC中，AB∥OC，∵CD⊥AB，∴CD⊥OC．∴CD所在直线的斜率为．∴CD所在直线方程为，即x+3y﹣10=0．18．（12分）如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1，AB=2．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADE；（Ⅱ）求凸多面体ABCDE的体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD，又在正方形ABCD中，CD⊥AD，AE∩AD=A，∴CD⊥平面ADE，又在正方形ABCD中，AB∥CD，∴AB⊥平面ADE．…（6分）解：（Ⅱ）连接BD，设B到平面CDE的距离为h，∵AB∥CD，CD⊂平面CDE，∴AB∥平面CDE，又AE⊥平面CDE，∴h=AE=1，又=，∴=，又==，∴凸多面体ABCDE的体积V=VB﹣CDE +VB﹣ADE=．…（12分）19．（12分）已知函数为奇函数，（1）求a的值；（2）当0≤x≤1时，关于x的方程f（x）+1=t有解，求实数t的取值范围；（3）解关于x的不等式f（x2﹣mx）≥f（2x﹣2m）．【解答】解：（1）∵x∈R，∴f（0）=0，∴a=﹣1…．（3分）（2）∵，∵0≤x≤1，∴2≤3x+1≤4…．（5分）∴…．（7分）∴…．（8分）（3）在R上单调递减，…．（9分）f（x2﹣mx）≥f（2x﹣2m）x2﹣mx≤2x﹣2m…．（10分）x2﹣（m+2）x+2m≤0（x﹣2）（x﹣m）≤0…．（11分）①当m＞2时，不等式的解集是{x|2≤x≤m}②当m=2时，不等式的解集是{x|x=2}③当m＜2时，不等式的解集是{x|m≤x≤2}…．（14分）20．（12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场调查和预测，投资债券等稳键型产品A的收益f（x）与投资金额x的关系是f（x）=k1x，（f（x）的部分图象如图1）；投资股票等风险型产品B的收益g（x）与投资金额x的关系是，（g（x）的部分图象如图2）；（收益与投资金额单位：万元）．（1）根据图1、图2分别求出f（x）、g（x）的解析式；（2）该家庭现有10万元资金，并全部投资债券等稳键型产品A及股票等风险型产品B两种产品，问：怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？【解答】解：（1）设投资为x万元，由题意，知f（1.8）=0.45，g（4）=2.5；解得k1=，k2=，∴f（x）=x，x≥0．g（x）=，x≥0；（2）设对股票等风险型产品B投资x万元，则对债券等稳键型产品A投资（10﹣x）万元，记家庭进行理财投资获取的收益为y万元，则y=，x≥0．设=t，则x=t2，0≤t≤∴y=﹣，当t=，也即x=时，y取最大值．答：对股票等风险型产品B投资万元，对债券等稳键型产品A投资万元时，可获最大收益万元．21．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，M，N分别为AC，B1C1的中点．（Ⅰ）求线段MN的长；（Ⅱ）求证：MN∥平面ABB1A1；（Ⅲ）线段CC1上是否存在点Q，使A1B⊥平面MNQ？说明理由．【解答】解：（Ⅰ）连接CN，因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，所以AC⊥CC1，…（2分）因为AC⊥BC，所以AC⊥平面BCC1B1．…（3分）因为MC=1，CN==，所以MN=…（4分）（Ⅱ）证明：取AB中点D，连接DM，DB1…（5分）在△ABC 中，因为M 为AC 中点，所以DM ∥BC ，DM=BC ． 在矩形B 1BCC 1中，因为N 为B 1C 1中点，所以B 1N ∥BC ，B 1N=BC ．所以DM ∥B 1N ，DM=B 1N ．所以四边形MDB 1N 为平行四边形，所以MN ∥DB 1． …（7分） 因为MN ⊄平面ABB 1A 1，DB 1⊂平面ABB 1A 1…（8分）所以MN ∥平面ABB 1A 1． …（9分）（Ⅲ）解：线段CC 1上存在点Q ，且Q 为CC 1中点时，有A 1B ⊥平面MNQ ． …（11分） 证明如下：连接BC 1，在正方形BB 1C 1C 中易证QN ⊥BC 1．又A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1C 1⊥QN ，从而NQ ⊥平面A 1BC 1．…（12分） 所以A 1B ⊥QN ． …（13分） 同理可得A 1B ⊥MQ ，所以A 1B ⊥平面MNQ ．故线段CC 1上存在点Q ，使得A 1B ⊥平面MNQ ． …（14分）22．（12分）已知函数f （x ）=ax 2+bx+c （a ，b ，c ∈R ）．（1）若a ＜0，b ＞0，c=0，且f （x ）在[0，2]上的最大值为，最小值为﹣2，试求a ，b 的值；（2）若c=1，0＜a ＜1，且||≤2对任意x ∈[1，2]恒成立，求b 的取值范围．（用a 表示）【解答】（1）抛物线的对称轴为，①当时，即b ＞﹣4a 时， 当时，，f （x ）min =f （2）=4a+2b+c=﹣2，∴，∴a=﹣2，b=3．②当时，即b≥﹣4a时，f（x）在[0，2]上为增函数，f（x）=f（0）=0与f（x）min=﹣2矛盾，无解，min综合得：a=﹣2，b=3．（2）对任意x∈[1，2]恒成立，即对任意x∈[1，2]恒成立，即对任意x∈[1，2]恒成立，令，则，∵0＜a＜1，∴，（ⅰ）若，即时，g（x）在[1，2]单调递减，此时，即，得，此时，∴∴．（ⅱ）若，即时，g（x）在单调递减，在单调递增，此时，，只要，当时，，当时，，．综上得：①时，；②时，；③时，．。

2022-2023学年广东省广州市越秀区执信中学高一（上）期末数学试卷1. 已知角α的终边经过点(8,6)，则cosα的值为( ) A. 34B. 43C. 45D. −352. cos17∘cos43∘+sin17∘sin223∘=( ) A. −12 B. −√32 C. 12 D. √323. 如图，I 为全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )A. (M ∩P)∩SB. (M ∩P)∪SC. (M ∩P)∩C I SD. (M ∩P)∪C I S4. 下列函数既是奇函数又在(−1,1)上是增函数的是( ) A. y =sinx B. y =−2x C. y =2x +2−x D. y =lg(x +1)5. 设a =tan92∘，b =(1π)2，c =log π92，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A. c >a >b B. c >b >a C. a >b >c D. b >a >c 6. 函数f(x)=cos(x−π2)|x|的部分图像大致是( )A.B.C.D.7. 已知定义在[a−1,2a]上的偶函数f(x)，且当x∈[0,2a]时，f(x)单调递减，则关于x的不等式f(x−1)>f(2x−3a)的解集是( )A. (0,23)B. [16,5 6 ]C. (13,2 3 )D. (23,5 6 ]8. 一半径为2m的水轮，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．如图所示，建立直角坐标系，将点P距离水面的高度ℎ(单位：m)表示为时间t(单位：s)的函数，记ℎ=f(t)，则f(t)+ f(t+1)+f(t+2)=( )A. 0B. 1C. 3D. 49. 已知a ，b ，c 是实数，则下列不等关系的表述，一定正确的有( ) A. a 2+b 2≥(a+b)22B. 若ab ≠0，则|a||b|+|b||a|≥2 C. 若a <b ，则1a >1bD. 若a <b ，c <0.则ac >bc10. 先将函数f(x)=sinx 的图像向右平移π6个单位长度后，再将横坐标缩短为原来的12，得到函数g(x)的图像，则关于函数g(x)，下列说法正确的是( )A. 在(0,π4)上单调递增 B. 图像关于直线x =5π6对称 C. 在(π4,π2)上单调递减D. 最小正周期为π，图像关于点(π12,0)对称11. 已知函数f(x)={x +2,x ≤0|lgx|,x >0，方程f 2(x)−mf(x)−1=0有4个不同的实数根，则下列选项正确的为( )A. 函数f(x)的零点的个数为2B. 实数m 的取值范围为(−∞,32] C. 函数f(x)无最值D. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增12. 已知函数f(x)满足对任意的x ∈R 都有f(x +2)=−f(x)，f(1)=3，若函数y =f(x −1)的图象关于点(1,0)对称，且对任意的x 1，x 2∈(0,1)，x 1≠x 2，都有x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 1f(x 2)+x 2f(x 1)，则下列结论正确的是( )A. f(x)是偶函数B. f(x)的图象关于直线x =1对称C. f(2022)−f(2023)=3D. f(−52)<f(54)13. 已知集合M ={x||x −1|≤3}，N ={x|3x ≥1}，则M ∩N =______.(用区间作答) 14. 若sin(π6−α)=√33，则cos(π3+α)=______.15. 设f(x)是定义域为R 的奇函数，且f(1+x)=f(−x).若f(−12)=1，则f(20212)=______.16. 函数y =sinx +cosx +2sinxcosx +2的值域是______.17. 已知α为第三象限角，且f(α)=sin(3π2−α)cos(π2−α)tan(−α+π)sin(π2+α)tan(2π−α).(1)化简f(α)； (2)若f(α)=2√65，求cos(π+α)的值． 18. 已知函数f(x)=2(√3cosx −sinx)sinx ，x ∈R.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期与单调增区间； (Ⅰ)求函数f(x)在[0,π4]上的最大值与最小值．19. 2020年12月17日凌晨，经过23天的月球采样旅行，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域，我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功，成为时隔40多年来首个完成落月采样并返回地球的国家，标志着我国探月工程“绕，落，回”圆满收官．近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v =v 0⋅ln Mm 计算火箭的最大速度vm/s ，其中v 0m/s 是喷流相对速度，mkg 是火箭(除推进剂外)的质量，Mkg 是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”，已知A 型火箭的喷流相对速度为1000m/s. (1)当总质比为200时，利用给出的参考数据求A 型火箭的最大速度；(2)经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的32倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度至少增加500m/s ，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．参考数据：ln200≈5.3，2.718<e <2.719.20. 在①A ={x|2x−2x+1<1}，②A ={x||x −1|<2}，③A ={x|y =log 23−xx+1}这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题．设全集U =R ，_____，B ={x|x 2+x +a −a 2<0}.(1)若a =2，求(∁U A)∪(∁U B)；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．21. 设函数f(x)=sin(ωx −π3)+2cos(ωx −π6)(0<ω<3)，将该函数的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图象，函数g(x)的图象关于y 轴对称．(1)求ω的值；(2)在给定的坐标系内，用“五点法”列表、画出函数f(x)在一个周期内的图象；(3)设关于x 的方程mf(x2)+g(x +π6)+√3(m +1)=0在区间[−7π6,0]上有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．22. 已知函数f(x)=ax 2+2(a −2)x +1，其中a ∈R.(1)若对任意实数x 1，x 2∈[2,4]，恒有f(x 1)≥9sin2x 2，求a 的取值范围；(2)是否存在实数x 0，使得ax 0<0且f(x 0)=|2x 0−a|+2？若存在，则求x 0的取值范围；若不存在，则加以证明．答案和解析1.【答案】C【解析】解：角α的终边经过点(8,6)，则cosα=√8+6=45.故选：C.由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解．本题考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：cos17∘cos43∘+sin17∘sin223∘=cos17∘cos43∘+sin17∘sin(180∘+43∘)=cos17∘cos43∘−sin17∘sin43∘=cos(17∘+43∘)=cos60∘=1 2.故选：C.利用诱导公式，再利用两角和的余弦公式求解即可．本题考查诱导公式与两角和的余弦公式，属基础题．3.【答案】C【解析】解：图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集即是C I S的子集则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩∁I S故选：C.先根据图中的阴影部分是M∩P的子集，但不属于集合S，属于集合S的补集，然后用关系式表示出来即可．本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=sinx，是正弦函数，既是奇函数又在(−1,1)上是增函数，符合题意，对于B，y=−2x，是反比例函数，其定义域为{x|x≠0}，在(−1,1)上不具有单调性，不符合题意，对于C，y=2x+2−x，不是奇函数，不符合题意，对于D，y=lg(x+1)，其定义域为(−1,+∞)，不是奇函数，故选：A.根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．本题考查函数奇偶性和单调性的判断，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：因为92∘是第二象限角， 所以a =tan92∘<0，因为指数函数y =(1π)x 在R 上为减函数，且0<2<3， 所以0<(1π)3<(1π)2<(1π)0=1， 所以0<b <l ，因为y =log πx 为(0,+∞)上的增函数，π<92， 所以c =log π92>1， 所以c >b >a. 故选：B.根据正切函数，指数函数，对数函数性质估计a ，b ，c 的大小，由此确定它们的大小关系． 本题主要考查了正切函数，指数函数以及对数函数性质的应用，考查了函数思想，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：因为f(x)=cos(x−π2)|x|=sinx|x|，f(−x)=sin(−x)|−x|=−sinx |x|=−f(x).所以f(x)为奇函数，故AB 选项错；x ∈(0,π)，sinx >0，即f(x)>0，故D 选项错； 故选：C.根据函数基本性质及函数图像特征分别判断即可． 本题考查函数基本性质及函数图像特征，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：f(x)是偶函数，则a −1+2a =0，得a =13，即函数的定义域为[−23,23]， 当x ∈[0,23]时，f(x)单调递减，则不等式f(x −1)>f(2x −1)等价为不等式f(|x −1|)>f(|2x −1|)， 则|x −1|<|2x −1|，平方得x 2−2x +1<4x 2−4x +1， 得3x 2−2x >0，得x >23或x <0，又{−23⩽x −1⩽23−23⩽2x −1⩽23x >23或x <0，得{13⩽x ⩽5316⩽x ⩽56x >23或x <0，得，23<x ≤56，即不等式的解集为(23,56], 故选：D.根据函数奇偶性的对称性求出a 的值，然后利用函数单调性进行转化求解即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据进行和单调性的性质进行转化是解决本题的关键，是中档题．8.【答案】C【解析】解：根据题意，设ℎ=f(t)=Asin(ωt +φ)+k ，(−π2<φ<0)，则A =2，k =1， 因为T =3，所以ω=2πT =2π3，所以ℎ=2sin(2π3t +φ)+1， 又因为t =0时，ℎ=0，所以0=2sinφ+1，所以sinφ=−12， 又因为−π2<φ<0，所以φ=−π6， 所以ℎ=f(t)=2sin(2π3t −π6)+1； 所以f(t)=√3sin2π3t −cos 2π3t +1， f(t +1)=2sin(2π3t +π2)+1=2cos 2π3t +1，f(t +2)=2sin(2π3t +7π6)+1=−√3sin 2π3t −cos 2π3t +1， 所以f(t)+f(t +1)+f(t +2)=3. 故选：C.根据题意设ℎ=f(t)=Asin(ωt +φ)+k ，求出φ、A 、T 和k 、ω的值，写出函数解析式，计算f(t)+f(t +1)+f(t +2)的值．本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．9.【答案】ABD【解析】解：对于A ，∵a 2+b 2−(a+b)22=(a−b)22≥0，当且仅当a =b 时，等号成立，∴a 2+b 2≥(a+b)22，故A 正确，对于B ，|a||b|+|b||a|≥2√|a||b|⋅|b||a|=2，当且仅当|a|=|b|时，等号成立，故B 正确， 对于C ，令a =−1，b =1，满足a <b ，但1a <1b ，故C 错误， 对于D ，∵a <b ，c <0，∴a c −b c =a−b c>0，即a c >b c，故D 正确．故选：ABD.对于AD ，结合作差法，即可求解，对于B ，结合基本不等式的性质，即可求解，对于C ，结合特殊值法，即可求解．本题主要考查不等式的性质，掌握作差法和特殊值法是解本题的关键，属于基础题．10.【答案】ABD【解析】解：先将函数f(x)=sinx 的图象向右平移π6个单位后，可得y =sin(x −π6)的图象，再将横坐标缩短为原来的12，得到函数g(x)=sin(2x −π6)的图象， 则当x ∈(0,π4)时，2x −π6∈(−π6,π3)，故g(x)单调递增，故A 正确； 当x =5π6时，g(x)=−1，为最小值，故g(x)的图象关于直线x =5π6对称，故B 正确； 当x ∈(π4,π2)时，2x −π6∈(π3,5π6)，故g(x)没有单调性，故C 不正确； 由题意可得g(x)的周期为π，当x =π12时，g(x)=0， 故g(x)的图象关于点(π12,0)对称，故D 正确． 故选：ABD.由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得g(x)的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】ABC【解析】解：函数f(x)={x +2,x ≤0|lgx|,x >0，作出f(x)的图象如图所示，由图象可知，f(x)=0有x =−2和x =1两个零点，故选项A 正确；方程f 2(x)−mf(x)−1=0有4个不同的实数根， 令f(x)=a ，f(x)=b ，a ≠b ， 则{a <00<b ≤2或{a =0b >2或{a >2b >2， 因为方程x 2−mx −1=0必有一正一负两个根，所以{a <00<b ≤2，且ab =−1，所以a =−1b ≤−12， 所以f(x)≤−12或0<f(x)≤2，则m =f 2(x)−1f(x)=f(x)−1f(x)， 令t =f(x)，则m =t −1t ，t ∈(−∞,−12]∪(0,2], 因为函数m =t −1t在(−∞,−12]和(0,2]上单调递增， 当t =−12时，m =32，当t =2时，m =32， 所以m ≤32，故选项B 正确； f(x)无最值，故选项C 正确；f(x)在(0,+∞)上不单调，故选项D 错误． 故选：ABC.利用分段函数的解析式，作出f(x)的图象，由图象即可判断选项A ，C ，D ，将方程f 2(x)−mf(x)−1=0有4个不同的实数根，转化为x 2−mx −1=0必有一正一负两个根，从而得到f(x)的取值范围，利用m 与f(x)的关系，结合不等式求解即可得到m 的取值范围，从而判断选项B.本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：A 选项：由函数f(x −1)的图象关于点(1,0)对称，可得函数f(x)的图象关于点(0,0)对称，所以函数f(x)为奇函数，故A 不正确； B 选项：由函数f(x)为奇函数可得f(x +2)=−f(x)=f(−x)， 故函数f(x)的图象关于直线x =1对称，故B 正确；C 选项：由函数f(x)满足对任意的x ∈R 都有f(x +2)=−f(x)，可得f(x +4)=−f(x +2)=f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数．因为f(x)，x ∈R 为奇函数，所以f(0)=0，由f(x +2)=−f(x)得f(0+2)=−f(0)， 故f(2)=0，则f(2022)=f(505×4+2)=f(2)=0，f(2023)=f(505×4+3)=f(3)=f(−1)=−f(1)=−3，所以f(2022)−f(2023)=0−(−3)=3，故C 正确；D 选项：由对任意x 1，x 2∈(0,1)，x 1≠x 2，都有x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 1f(x 2)+x 2f(x 1)， 即对任意的x 1，x 2∈(0,1)，x 1≠x 2，都有(x 1−x 2)(f(x 1)−f(x 2))>0， 可得函数f(x)在区间(0,1)上单调递增．因为f(−52)=f(−52+4)=f(32)=f(2−32)=f(12)，f(54)=f(2−54)=f(34)，且12<34， 所以f(12)<f(34)，即f(−52)<f(54)，故D 正确， 故选：BCD.对于A选项：根据函数f(x−1)的图象关于点(1,0)对称，则函数f(x)的图象关于点(0,0)对称，即可判断；对于B选项：由A选项可知函数f(x)为奇函数，可推得f(x+2)=f(−x)，即可判断图象关于直线x=1对称；对于C选项：由f(x+2)=−f(x)可推出函数f(x)是周期为4的周期函数，结合函数奇偶性可推得f(2022)=0，f(2023)=−3，即可判断C；对于D选项：由x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)可得(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0，推出函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，结合函数性质求得f(−52)=f(12)，f(54)=f(34)，即可得f(−52)<f(54).本题主要考查抽象函数及其应用，考查函数的奇偶性与周期性，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．13.【答案】[0,4]【解析】解：∵M={x|−3≤x−1≤3}={x|−2≤x≤4}，N={x|x≥0}，∴M∩N=[0,4].故答案为：[0,4].可求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法和区间的定义，绝对值不等式的解法，指数函数的单调性，交集及其运算，考查了计算能力，属于容易题．14.【答案】√33【解析】解：因为sin(π6−α)=√33，则cos(π3+α)=sin(π6−α)=√33，故答案为：√33.由已知结合诱导公式进行化简即可求解．本题主要考查了诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．15.【答案】−1【解析】解：因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(−x)=−f(x)，又因为f(1+x)=f(−x)，所以f(1+x)=−f(x)，所以f(2+x)=−f(1+x)=f(x)，则f(x)是周期为2的周期函数，所以f(20212)=f(1010+12)=f(12)=−f(−12)=−1.故答案为：−1.先由f(x)的奇偶性与题设条件推得f(1+x)=−f(x)，从而证得f(x)是周期函数，进而利用f(x)的周期性与奇偶性求得f(20212).本题考查函数的周期性，属于中档题．16.【答案】[34,3+√2]【解析】解：令t=sinx+cosx=√2sin(x+π4)∈[−√2,√2]，t2=1+2sinxcosx，所以y=t+t2−1+2=t2+t+1，t∈[−√2,√2]，对称轴t=−12，所以y∈[34,3+√2]，即函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的值域是[34,3+√2].换元法，令t=sinx+cosx=√2sin(x+π4)∈[−√2,√2]，把函数换元成二次函数，利用二次函数求得值域．本题考查三角函数求最大值和最小值，属于中档题目．17.【答案】解：(1)由已知得f(α)=−cosα⋅sinα⋅tan(−α)cosα⋅tan(−α)=−sinα；(2)由已知得sinα=−2√65，因为α为第三象限角，故cosα=−√1−sin2α=−15，故cos(π+α)=−cosα=15.【解析】(1)利用诱导公式直接化简即可；(2)根据平方关系求出cosα，再利用诱导公式求解．本题考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式求值的问题，属于基础题．18.【答案】解：由题意得，f(x)=2√3sinxcosx−2sin2x=√3sin2x+cos2x−1=2(√32sin2x+12cos2x)−1=2sin(2x+π6)−1，(Ⅰ)f(x)的最小正周期为：T=2π2=π，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ(k∈Z)得，−π3+kπ≤x≤π6+kπ(k∈Z)，所以函数f(x)的单调增区间是[−π3+kπ,π6+kπ](k∈Z)；(Ⅰ)因为0≤x ≤π4，所以π6≤2x +π6≤2π3， 所以12≤sin(2x +π6)≤1，即0≤2sin(2x +π6)−1≤1， 所以0≤f(x)≤1，当且仅当x =0时，f(x)取最小值f(x)min =f(0)=0， 当且仅当2x +π6=π2时，即x =π6时最大值f(x)max =f(π6)=1.【解析】根据题意、二倍角的正弦、余弦公式、两角和的正弦公式运算化简f(x)， (Ⅰ)由三角函数的周期公式求出周期，再由正弦函数的单调递增区间求出此函数的增区间； (Ⅰ)由x 的范围求出求出2x +π6的范围，再由正弦函数的性质求出次函数的最大值、最小值． 本题考查正弦函数的单调性、最值，以及三角恒等变换的公式的应用，考查了整体思想的应用．19.【答案】解：(1)当总质比为200时，v =1000⋅ln200，由参考数据得v ≈1000×5.3=5300m/s ，∴当总质比为200时，A 型火箭的最大速度约为5300m/s ；(2)由题意，经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度为1500m/s ，总质比变为M 3m， 要使火箭的最大速度至少增加500m/s ，则需1500⋅ln M3m −1000⋅ln Mm ≥500， 化简，得3ln M 3m −2ln M m ≥1，∴ln(M 3m)3−ln(M m)2≥1，整理得lnM 27m≥1，∴M 27m≥e ，则M m≥27×e ，由参考数据，知2.718<e <2.719， ∴73.386<27×e <73.413，∴材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为74.【解析】(1)当总质比为200时，v =1000⋅ln200，结合已知数据求解得答案；(2)由题意，经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度为1500m/s ，总质比变为M3m ，要使火箭的最大速度至少增加500m/s ，则需1500⋅ln M3m −1000⋅ln Mm ≥500，求出Mm 的范围，即可求得在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．本题主要考查了函数的实际运用，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)选①，A ={x|2x−2x+1<1}={x|x−3x+1<0}={x|−1<x <3}；选②，A ={x||x −1|<2}={x|−2<x −1<2}={x|−1<x <3}； 选③，A ={x|y =log 23−xx+1}={x|3−xx+1>0}={x|−1<x <3}. a =2时，B ={x|x 2+x −2<0}={x|−2<x <1}，所以A ∩B ={x|−1<x <1}，(∁U A)∪(∁U B)=∁U (A ∩B)={x|x ≤−1或x ≥1}；(2)因为A ={x|−1<x <3}，B ={x|x 2+x +a −a 2<0}={x|(x +a)(x +1−a)<0}， 当−a =a −1，即a =12时，B =⌀；当−a >a −1，即a <12时，B ={x|a −1<x <−a}； 当−a <a −1，即a >12时，B ={x|−a <x <a −1}. 若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，即有A ⫋B ， 所以B ≠⌀，则{a <12a −1≤−1−a ≥3或{a >12−a ≤−1a −1≥3，解得a ≤−3或a ≥4，即a 的取值范围是(−∞,−3]∪[4,+∞).【解析】(1)选①②③，运用对数不等式的解法和绝对值不等式的解法、对数的真数大于0，化简可得集合A ；由a =2，运用二次不等式的解法，可得集合B ，再由交集和补集的性质，可得所求集合；(2)由题意可得A ⫋B ，对a 讨论，化简集合B ，再解a 的不等式组可得所求取值范围． 本题考查不等式的解法和集合的混合运算，以及充分必要条件的判断，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)f(x)=sin(ωx −π3)+2cos(ωx −π6)=sinωxcos π3−coxsin π3+2(cosωxcos π6+sinωxsin π6) =32sinωx +√32cosωx =√3sin(ωx +π6)，所以f(x)=√3sin(ωx +π6)，将该函数的图象向左平移π6个单位后得到函数g(x)， 则g(x)=√3sin[ω(x +π6)+π6]=√3sin(ωx +ωπ6+π6)， 该函数的图象关于 y 轴对称，可知该函数为偶函数， 故ωπ6+π6=π2+kπ，k ∈Z ，解得ω=2+6k ，k ∈Z ， 因为0<ω<3， 所以得到ω=2.(2)由(1)可得函数f(x)=√3sin(2x +π6)， 列表：x −π12 π6 5π12 2π3 11π122x +π6 0 π2π 3π22π y 0√3−√3作图如下：(3)由(1)得到√3msin(x +π6)+√3cos(2x +π3)+√3(m +1)=0， 化简得msin(x +π6)+1−2sin 2(x +π6)+m +1=0， 令t =sin(x +π6)，x ∈[−7π6,0]，则t ∈[−1,12]，关于t 的方程−2t 2+mt +m +2=0，即(t +1)(2t −m −2)=0， 解得t 1=−1，t 2=m+22，当t 1=−1时，由sin(x +π6)=−1，x ∈[−7π6,0]，可得x =−2π3， 要使原方程在[−7π6,0]上有两个不相等的实数根， 则−1<m+22≤0，解得−4<m ≤−2，故实数m 的取值范围为(−4,−2].【解析】(1)化简f(x)解析式，通过三角函数图象变换求得g(x)，结合g(x)关于y 轴对称即可求得ω；(2)利用五点法作函数y =Asin(ωx +φ)的图象即可得解；(3)化简方程mf(x2)+g(x +π6)+√3(m +1)=0，利用换元法，结合一元二次方程根的分布求得m 的取值范围．本题考查五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查数形结合思想和学生的运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)∵x2∈[2,4]，∴2x2∈[4,8]，sin2x2∈[−1,1]，∴[sin2x2]max=1，∴[9sin2x2]max=9，∴原问题⇔f(x)≥9对任意x∈[2,4]成立，即ax2+2(a−2)x+1≥9对任意x∈[2,4]成立，即a≥4x对任意x∈[2,4]成立，∴a≥[4x]max=2.故a的范围是：[2,+∞).(2)①若a>0，∵ax0<0，∴x0<0，2x0−a<0，∴f(x0)=|2x0−a|+2⇔ax02+2(a−2)x0+1=a−2x0+2⇔a=2x0+1x02+2x0−1>0，⇒(2x0+1)(x02+2x0−1)>0⇒(2x0+1)[x0−(√2−1)][x0−(−√2−1)]>0，∵x0<0，∴x0−(√2−1)<0，∴不等式变为2(x0+1)[x0−(−√2−1)]<0，∴x0∈(−√2−1,−12)；②若a>0，∵ax0<0，∴x0>0，∴2x0−a>0，∴f(x0)=|2x0−a|+2⇔ax02+2(a−2)x0+1=2x0+2−a⇔ax02+2ax0−4x0+1+a=2x0+2⇔a(x02+2x0+1)=6x0+1⇔a=6x0+1x02+2x0+1<0⇒6x0+1<0⇒x0<−16，∵x0>0，∴此时无解．综上所述，存在x0∈(−√2−1,−12)满足题意．【解析】(1)首先求出9sin2x2在x2∈[2,4]上的最大值，问题转化为f(x)≥[9sin2x2]max对任意x∈[2,4]成立，然后化简不等式，参变分离构造a≥[4x]max即可．(2)分a>0和a<0两种情况讨论，去掉绝对值符号，转化为解不等式的问题．本题考查了分类讨论思想、转化思想及分式不等式的解法，也考查了学生的分析问题、解决问题及计算能力，属于中档题．。

广东省广州市高一数学上学期期末模拟试题带答案一、选择题1．已知全集{}=0,1,2,3,4U ，集合{}=1,2,3A ，{}=2,4B ，则()=U C B A （ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}1,3C ．{}1,2,3,4D ．{}0,2,42．若函数()13f x x =-的定义域是（ ） A ．[)1,3-B ．[)1,-+∞C ．[)()1,33,-⋃+∞D ．()3,+∞3．225︒化为弧度是（ ） A ．34π B ．54π C ．43π D ．76π4．已知角θ的终边经过点)P ，则sin θ=（ ）A ．67B C D 5．函数()22xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,3B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,26．碳14是碳的一种具放射性的同位素，1940年被人类首次发现，而后利用其半衰期发明的碳十四测年技术被广泛用于考古研究．其基本原理是，以年为单位，死亡生物机体中原有的碳14按确定的规律衰减．设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14含量为1，1年后残留量为x ，2年后残留量为2x ，3年后残留量为3x ……以此类推，一个生物体内放射性碳14衰变至原来数量的一半所需的时间，叫做碳14的半衰期．已知生物体内碳14的半衰期为5730年．湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时，碳14的残余量约占原始含量的76.7%，则推算马王堆古墓的年代约为（ ）（参考数据：lg 0.7670.115,lg 0.50.301,57300.115658.95≈-≈-⨯=） A ．1567年前B ．1857年前C ．2189年前D ．2538年前7．已知函数3,0(),0x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，若(1)()f a f a -≥-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知定义域为[]7,7-的函数()f x 的图象是一条连续不断的曲线，且满足()()0f x f x -+=.若(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有()()2112f x f x x x >，则满足()()()()212144m f m m f m --≤++的实数m 的取值范围为 （ ）A ．[]1,3-B ．[]1,5-C ．[]3,5-D ．[]3,3-二、填空题9．已知函数()f x 满足(3)()f x f x +=，且(1)2f =，则下列结论正确的是（ ） A ．()11f -=B ．(0)0f =C ．(4)2f =D ．(10)2f =10．已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不断，若存在常数λ（R λ∈），使得()()0f x f x λλ++=对任意的实数x 恒成立，则称()f x 是回旋函数．给出下列四个命题中，正确的命题是（ ）．A ．函数()f x a =（其中a 0≠）为回旋函数的充要条件是1λ=-．B ．若函数()x f x a =（1a >）为回旋函数，则1λ>．C ．函数()cos f x x π=不是回旋函数．D ．若()f x 是2λ=的回旋函数，则()f x 在[0,2020]上至少有1010个零点． 11．若0a b >>，则（ ） A ．a c b c -<-B ．22a b >C ．ac bc >D ．11a b< 12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数关于函数()D x 有以下四个命题，其中真命题有（ ）A ．()D x 既不是奇函数也不是偶函数B ．()(),r Q D x r D x ∀∈+=C ．()(),D 1x R D x ∀∈=D ．()()(),,x y R D x y D x D y ∃∈+=+三、多选题13．若命题“∃x 0∈R ，x 02﹣2x 0﹣a ＝0”为假命题，则实数a 的取值范围是_____． 14．若函数()f x 满足：在定义域D 内存在实数0x ，使得()()001(1)f x f x f +=+成立，则称函数()f x 为“1阶马格丁香小花花”函数．给出下列四个函数：①1()f x x=；②()x f x e =；③()2()lg 2f x x =+；④()cos f x x π=．其中是“1阶马格丁香小花花”函数的所有函数的序号是___________；15．已知0x >，0y >，且4x yxy x y +=+，则11x y+的最小值为________. 16．若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为_______________．四、解答题17．已知函数()223f x x x =--.(Ⅰ)设集合(){|0}A x f x =>,(){|0}B x f x ==,(){|0}C x f x =<,分别指出2,3,4是A ,B ,C 中哪个集合的元素;(Ⅱ)若R a ∃∈,[)12,,x x a ∀∈+∞,当12x x <时,都有()()12f x f x <,求实数a 的取值范围. 18．已知函数()()sin (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<图象上相邻两个零点的距离为2π． （1）若()y f x =的图象过点(,0)12π，求函数()f x 的解析式；（2）若函数()y f x =是偶函数，将()y f x =的图象向右平移4π个单位长度，得到()y g x =的图象，求函数22[()]()2x y f g x =-在(0,)2π上的值域．19．已知定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x >时，()1213xx f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．20．某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式3C x =+，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式35,07819,7k x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩.已知每日的利润L S C =-，且当2x =时，143L =.（1）求k 的值，并将该产品每日的利润L 万元表示为日产量x 吨的函数； （2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值.21．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：）时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度（单位：）由关系式确定，其中，，．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为．且最高点与最低点间的距离为．（1）求小球相对平衡位置的高度（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系；（2）小球在内经过最高点的次数恰为50次，求的取值范围．22．已知函数2(1)()()x x a f x x ++=为偶函数． （1）求实数a 的值；（2）记集合{}{}|(),,1,1,2E y y f x x A A ==∈=-，21lg 2lg 2lg5lg54λ=++-，判断λ与E的关系；（3）当11,,(0,0)x m n m n ⎡⎤∈>>⎢⎥⎣⎦时，若函数()f x 值域为[]23,23m n --，求,m n 的值.【参考答案】一、选择题 1．B 【分析】先求U C B ，再与A 求交集即可 【详解】∵全集{}=0,1,2,3,4U ，{}=2,4B ∴{}=0,1,3U C B 又{}=1,2,3A ∴()=U C B A {}1,3.故选：B 【点睛】集合的交、并、补运算： (1)离散型的数集用韦恩图； (2)连续型的数集用数轴． 2．C 【分析】根据偶次根号下非负，分母不等于零求解即可. 【详解】解：要使函数有意义，则需满足不等式1030x x +≥⎧⎨-≠⎩， 解得：1x ≥-且3x ≠，故选：C ． 3．B 【分析】根据角度制与弧度制的相互转化，计算即可. 【详解】 52252251804ππ︒=⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查了角度制化为弧度制的应用问题，属于基础题. 4．A 【分析】由正弦函数的定义即可求出. 【详解】角θ的终边经过点)P，6sin7θ∴==.故选：A.5．C【分析】根据零点存在定理得出()()120f f⋅<，代入可得选项.【详解】由题可知：函数()22xf x ax=--单调递增，若一个零点在区间()1,2内，则需：()()120f f⋅<，即122222012a a⎛⎫⎛⎫--⨯--<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0<<3a，故选：C.【点睛】本题考查零点存在定理，属于基础题.6．C【分析】由题设有573012x=，设马王堆古墓的年代约为n年前则0.767nx=，利用对数的运算性质求n即可.【详解】由题意，知：573012x=，即lg0.5log0.55730lgx x==，得lg0.5lg5730x=，设马王堆古墓的年代约为n年前，则0.767nx=，∴lg0.7675730lg0.7672189lg lg0.5nx⨯==≈.故选：C7．A【分析】首先判断函数的单调性，再将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：因为3,0(),0x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，当0x ≤时()x f x e -=单调递减，且()1f x ≥，当0x >时，3()f x x =-单调递减，且()0f x <，所以函数3,0(),0x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩在定义域上单调递减，因为(1)()f a f a -≥-，所以1a a -≤-，解得12a ≤，即不等式的解集为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故选：A 8．A 【分析】根据(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <，时，总有()()2112f x f x x x >，转化为(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <，时，总有()()2211x f x x f x >，令()()g x xf x =，则()g x 在(]0,7上递增，再根据()()0f x f x -+=，得到()g x 在[]7,7-上是偶函数，将()()()()212144m f m m f m --≤++，转化为()()214g m g m -≤+求解.【详解】 令()()g x xf x =，因为(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有()()2112f x f x x x >， 即(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有()()2211x f x x f x >， 即(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有()()21g x g x >， 所以()g x 在(]0,7上递增， 又因为()()0f x f x -+=， 所以()g x 在[]7,7-上是偶函数，又因为()()()()212144m f m m f m --≤++， 所以()()214g m g m -≤+，即()()214g m g m -≤+， 所以21747214m m m m ⎧-≤⎪+≤⎨⎪-≤+⎩即3411315m m m -≤≤⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤≤⎩，解得13m -≤≤，所以实数m 的取值范围为 []1,3- 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题令()()g x xf x =是关键，利用()g x 在(]0,7上递增，结合()g x 在[]7,7-上是偶函数，将问题转化为()()214g m g m -≤+求解.二、填空题9．CD 【分析】根据函数的周期，计算求值. 【详解】由条件()()3f x f x +=，可知函数的周期3T =， 因为()12f =，则()()4102f f ==. 故选：CD 10．AD 【分析】对于选项A,B,C 利用回旋函数的定义判断其是否正确；对于选项D ，由回旋函数的定义可得：(2)2()f x f x +=-，由零点存在性定理知在区间[x ，2]x +上至少有一个零点，可令0x =，2，4，6，⋯，10102⨯，即可得到正确选项．【详解】因为函数()f x a =（其中a 0≠）为回旋函数()()(1)01f x a f x a a λλλλλ⇔+==-=-⇔+=⇔=-，所以选项A 正确；若(1)x y a a =>为回旋函数，则0x x a a λλ++=，即0a λλ+=，0λ∴<，结论不成立，故选项B 错误；假设函数()cos f x x π=是回旋函数，所以cos ()cos 0x x πλλπ++=对任意实数x 都成立， 令12x =，则1cos ()0,sin 0,sin 02πλλπλπ+=∴-=∴=；令1x =得cos()0,cos 0,cos =ππλλπλλπλλ+-=∴--=∴-，所以21,1λλ=∴=±，经检验当1λ=±时，cos ()cos 0x x πλλπ++=对任意实数x 都成立，所以函数()cos f x x π=是回旋函数，所以选项C 错误；若()f x 是2λ=的回旋函数，则(2)2()0f x f x ++=，即(2)2()f x f x +=-恒成立，()(2)0f x f x +，∴由零点存在性定理得：函数()f x 在区间[x ，2]x +上至少有一零点，可令0x =，2，4，6，⋯，10102⨯，∴函数()f x 在[0，2020]上至少有1010个零点，故选项D 正确． 故选：AD 【点睛】方法点睛：类似本题的定义题，解答时，首先必须要理解掌握这个新的定义，再利用这个定义来解题.所以要解答本题，首先必须理解回旋函数的定义.11．BD 【分析】A. 取2,1,1a b c ===判断；B. 利用不等式的乘方性质判断；C. 取0c 判断；D.利用 不等式的取倒数性质判断. 【详解】A. 当2,1,1a b c ===时，a c b c ->-，故错误；B. 由不等式的乘方性质得22a b >，故正确；C. 当0c 时，ac bc =，故错误；D. 由不等式的取倒数性质得11a b<，故正确； 故选：BD 12．BCD 【分析】根据自变量x 是有理数和无理数进行讨论，可判定A 、B 、C ，举特例根据x x =判断D 即可得到答案. 【详解】对于A ，当x 为有理数时，则x -为有理数，则()()1D x D x -==． 当x 为无理数时，则x -为无理数，则()()0D x D x -==． 故当x ∈R 时，()()D x D x -=，∴函数为偶函数，若自变量x 是有理数，则x -也是有理数，可得()()112D x D x +-=+=， 所以()D x 不是奇函数，所以A 不是真命题；对于B ，r Q ∀∈，当x 是有理数时， x r +是有理数，()()1D x r D x +==， 当x 是无理数时， x r +是无理数，()()0D x r D x +==，所以B 是真命题； 对于C ，若自变量x 是有理数，则[]()(1)1D D x D ==，若自变量x 是无理数，则[]()(0)1D D x D ==，所以C 是真命题；对于D ， 当x =y =x y += 则()0,()()000D x y D x D y +=+=+=，满足()()()D x y D x D y +=+，所以D 是真命题. 故选：BCD. 【点睛】本题考查了特殊函数的性质及求函数的值，关键点是理解函数的定义和性质去做判断，考查了逻辑推理，数学运算.三、多选题 13．(),1-∞-【分析】首先根据题意得到x R ∀∈，220x x a --≠，再根据440a ∆=+<求解即可. 【详解】由题知：x R ∀∈，220x x a --≠， 即440a ∆=+<，解得1a <-. 故答案为：(),1-∞- 14．②④ 【分析】判断函数是否为 “1阶马格丁香小花花”，只需判断方程()()1(1)f x f x f +=+是否有实数解，逐个函数代入验证，即可求解. 【详解】 ①1()f x x =，方程()()1(1)f x f x f +=+为1111x x=++， 整理得，210x x ++=无实根，①不是“1阶马格丁香小花花”函数； ②()x f x e =，方程()()1(1)f x f x f +=+为1x x e e e +=+，整理得,1xee e =-解得1ln(1)x e =--，②是“1阶马格丁香小花花”函数； ③()2()lg 2f x x =+，方程()()1(1)f x f x f +=+为22lg[(1)2]lg(2)lg 3x x ++=++，整理得22230x x -+=，方程无实根，③不是“1阶马格丁香小花花”函数； ④()cos f x x π=，方程()()1(1)f x f x f +=+为 cos[(1)]cos cos x x πππ+=+，整理得1cos 2x π=12(),2()33x k k z x k k z πππ∴=±∈∴=±∈， ④是“1阶马格丁香小花花”函数. 故答案为:②④ 【点睛】本题考查新定义问题，要认真审题，转化为判断方程是否有实数解，属于中档题. 15．3 【分析】由条件4x y xy x y +=+可知114x y x y +=+，先求()211114x x x y y y ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+的最小值即可.【详解】由0x >，0y >，4x yxy x y +=+可得114x y x y xy x y++==+，所以()2511114459y x x x x x y y y y +++≥+⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭，当且仅当4y x x y =，即11,2x y ==等号成立， 所以113x y +≥，即11x y+的最小值为3， 故答案为：3 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 16．=4ω. 【分析】由所给函数图像 过点05(,)24y π,011(,)24y π-，列式115sin()sin()2424ππωϕωϕ+=-+，利用诱导公式可得. 【详解】 由函数图像过点05(,)24y π,011(,)24y π-,得05sin()24y πωϕ=+，011sin()24y πωϕ-=+，所以115sin()sin()2424ππωϕωϕ+=-+，又两点在同一周期，所以115()2424ππωϕπωϕ+=++，4ω=.故答案为4. 【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查简单三角方程的解，考查图形识别与运算求解能力，属于基础题.四、解答题17．（Ⅰ）2C ，3B ∈，4A ∈；（Ⅱ）{}1a a ≥ 【分析】(Ⅰ)根据题意,求出2230x x -->的解集,即可得集合A ､B ､C ,据此分析可得答案; (Ⅱ)根据题意可知函数()f x 在[a ,)+∞上单调递增,再结合二次函数的单调性分析可得答案. 【详解】(Ⅰ)函数2()23f x x x =--, 若2230x x -->,解得3x >或1x <-,则{|3A x x =>或1}x <-,{|1B x x ==-或3},{|13}C x x =-<<; 所以2C ,3B ∈,4A ∈;(Ⅱ)因为二次函数()223f x x x =--的图象是开口朝上的抛物线,且对称轴是1x =,所以()f x 在()1-∞，上单调递减,在[)1+∞，上单调递增, 因为R a ∃∈,[)12,,x x a ∀∈+∞,当12x x <时,都有()()12f x f x <, 所以函数()f x 在[),a +∞上单调递增,所以[),a +∞⊆[)1+∞，, 所以1a ≥,即a 的取值范围是{}1a a ≥. 【点睛】本题考查集合,考查二次函数的性质应用,涉及一元二次不等式的解法,难度不大.18．（1）5()sin(2?)6f x x π=+；（2）[1-． 【分析】（1）由题意求得函数()f x 的最小正周期，从而由周期公式求得2ω=，再由()012f π=，可求得56πϕ=，由此得出函数()f x 的解析式； （2）根据偶函数的性质求得2ϕπ=，再根据图象的平移可求得函数()g x 的解析式，由三角恒等变换化简函数，根据余弦函数的性质可求得答案. 【详解】解：（1）由题意得，2T ππω==，所以2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+．由于()012f π=，则6k πϕπ+=，,6k k Z πϕπ=-∈,又0ϕπ<<，则56πϕ=， 故5()sin(2)6f x x π=+． （2）由于()sin(2)f x x ϕ=+是偶函数，则(0)sin 1f ϕ==±， 又0ϕπ<<，所以2ϕπ=，()sin(2)cos 22f x x x π=+=，将()cos 2f x x =的图象向右平移4π个单位长度，得到()cos 2()cos(2)sin 242g x x x x ππ=-=-=的图象，故222[()]()2cos sin 21cos 2sin 21)24x y f g x x x x x x π=-=-=+-=+．因为(0,)2x π∈，52444x πππ<+<，所以1cos(2)4x π-≤+<11)24x π≤+<，所以函数22[()]()2x y f g x =-在(0,)2π上的值域为[1-．19．（1）()()()()121,030,0131,02xxxx x f x x x ⎧⎛⎫-->⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-++< ⎪⎪⎝⎭⎩（2）（﹣∞，﹣13）．【分析】（1）定义域为R 的奇函数f （x ），则f （0）＝0，当x ＞0时，()1213xx f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据奇函数的性质即可求解x ＜0的解析式，可得f （x ）的解析式；（2）从条件可知()f x 单调递减，由单调性和奇偶性脱去“f ”，转化为求解二次不等式恒成立的问题，从而求解实数k 的取值范围． 【详解】解：（1）定义域为R 的奇函数f （x ），则f （0）＝0，当x ＞0时，()1213xx f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当x ＜0时，﹣x ＞0，则()11213132xxx x f x --⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵f （x ）是奇函数，∴()1312xxf x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即()1312xx f x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭．∴f （x ）的解析式为： ()()()()121,030,0131,02xxxx x f x x x ⎧⎛⎫-->⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-++< ⎪⎪⎝⎭⎩．（2）当x ＞0时，()1213xx f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭单调递减，且()()100f x f <-<=，则()f x 在R上单调递减，若不等式f （t 2﹣2t ）+f （2t 2﹣k ）＜0恒成立， 即f （t 2﹣2t ）＜﹣f （2t 2﹣k ） ∴t 2﹣2t ＞k ﹣2t 2， 即3t 2﹣2t ＞k ，可得3（t ﹣13）2﹣13＞k 对任意的t ∈R ．∴k ＜﹣13．故得实数k 的取值范围是（﹣∞，﹣13）．【点睛】思路点睛：对于已知函数大小关系解不等式的问题，常应用函数的奇偶性和单调性去掉外层函数，构造内层函数的不等关系，解不等式即可.20．（1）8k ，822(07)816(7)x x L x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-⎩（2）当日产量为6吨时，日利润达到最大10万元． 【分析】（1）利用每日的利润L S C =-，且当2x =时，3L =，可求k 的值； （2）利用分段函数，分别求出相应的最值，即可得出函数的最大值． 【详解】解：由题意，每日利润L 与日产量x 的函数关系式为22(07)816(7)k x x L x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-⎩ （1）当2x =时，143L =，即：14222283k ⨯++=- 8k ∴=所以822(07)816(7)x x L x xx ⎧++<<⎪=-⎨⎪-⎩ （2）当7x 时，16L x =-为单调递减函数， 故当7x =时，9max L = 当07x <<时，888222(8)182(8)18888L x x x x x x ⎡⎤=++=-++=--+-⎣-+⎢⎥-⎦1810≤-= 当且仅当82(8)(07)8x x x-=<<-， 即6x =时，10max L =综合上述情况，当日产量为6吨时，日利润达到最大10万元． 【点睛】本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，确定函数的解析式是关键，属于中档题． 21．（1），；（2）．【分析】（1）首先根据题意得到，，从而得到，． （2）根据题意，当时，小球第一次到达最高点，从而得到，再根据周期为，即可得到.【详解】（1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为，所以．因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为，所以周期为2， 即，所以． 所以，．（2）由题意，当时，小球第一次到达最高点，以后每隔一个周期都出现一次最高点， 因为小球在内经过最高点的次数恰为50次，所以．因为，所以， 所以的取值范围为．（注：的取值范围不考虑开闭） 22．（1）1a =-；（2）E λ∈；（3）3535m n +-==【详解】试题分析：（1）由()()f x f x =-恒成立，可得()210a x +=恒成立，进而得实数a的值；（2）化简集合E =30,4⎧⎫⎨⎬⎩⎭ ，34λ=得E λ∈；（3）先判定()f x 的单调性，再求出11.x m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 的范围，与[]23,23m n --等价即可求出实数,m n 的值. 试题解析：（1）()f x 为偶函数()()2222(1)(1),x a x a x a x af x f x x x +++-++∴=-∴=，()210,0,1a x x R x a ∴+=∈≠∴=-且.（2）由（1）可知：()221x f x x -=，当1x =±时，0f x；当2x =时，()3,0,4f x E ⎧⎫=∴⎨⎬⎩⎭.()211lg 2lg 215lg5lg 2lg 2lg5lg544g λ=++-=++-113lg 2lg5lg10444=+-=-=，E λ∴∈.（3）()()22231121,,'0x f x f x x x x-==-∴=>.()f x ∴在11,m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，221()23123{,{1123()23f mm m mn n f n n=--=-∴∴-=-=-，,m n ∴为2310x x -+=的两个根，又由题意可知：11m n<，且0,0,.m n m n m n >>∴>∴==考点：1、函数的奇偶性及值域；2、对数的运算.。

高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知全集，集合，，则（ ） {1,2,3,4,5,6}U ={1,3,5}A ={4,5,6}B =()U A B = ðA ． B ． C ． D ．{1}{1,5}{3}{1,3}【答案】D【分析】根据集合的补集与交集运算即可.【详解】解：已知全集，集合，， {1,2,3,4,5,6}U ={1,3,5}A ={4,5,6}B =所以，则. {}1,2,3U B =ð(){}1,3U A B = ð故选：D.2．“”是“”的（ ） 0x =20x x +=A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件与必要条件定义判断.【详解】充分性：当时，，充分性成立；0x =20x x +=必要性：解得或，必要性不成立；故为充分不必要条件 20x x +=0x ==1x -故选：A3．已知实数a ，b ，c 满足，则下列不等式一定成立的是（ ） 0a b c >>>A ． B ．C ．D ． 22a c b c >c c b a >b a c c<11a b b a+>+【答案】D【分析】利用作差法逐项判断可得答案.【详解】因为a ，b ，c 满足，所以，，，0a b c >>>0a b ->0ab >0a b +>对于A ，，所以，故A 错误；()()220a c b c c a b a b -=+-<22a c b c <对于B ，，所以，故B 错误；()0--=<c a b c c b a abc c b a <对于C ，，所以，故C 错误； 0b a b ac c c --=>b a c c>对于D ，，所以，故D 正确；()11110⎛⎫⎛⎫+-+=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b a b b a ab 11a b b a +>+故选：D.4．已知，则下列结论正确的是（ ）3sin 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ． B ．4cos 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4cos 65πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ． D ． 4tan 63πθ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭24sin 35πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭【答案】C【分析】由诱导公式、同一三角函数的平方关系和商数关系对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，，所以A 不正确；4cos 35πθ⎛⎫-==± ⎪⎝⎭对于B ，，3cos =cos =cos =sin 6232335ππππππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以B 不正确；对于C ，由B 知，，所以，3cos 65πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭4sin 65πθ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭则，所以C 正确；4tan 63πθ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭对于D ，. 23sin sin sin sin 33335ππππθπθπθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以D 不正确. 故选：C. 5．函数，的值域是（ ） ()222x xf x -=[]1,2x ∈-A ． B ．C ．D ．(]8-∞，1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(]0,8【答案】B【分析】令，求出的值域，再根据指数函数单调性求值域.()[]222,1,g t x x x ∈-=-()g t ()f x 【详解】令，()[]222,1,g t x x x ∈-=-则， ()()min max (1)1,(1)3,g t g g t g ==-=-=所以()[1,3]g t ∈-又在上单调递增，2x y =R 所以()1322f x -≤≤即()182f x ≤≤故选：B.6．设函数，若关于x 的方程有4个不等实根，则a 的取值范围是()22,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩()f x a =（ ） A ． B ．C ．D ．(0,2][0,2)(0,2)[0,2]【答案】A【分析】根据图象的对称变换画出函数的图象，数形结合即可求解. ()f x 【详解】函数的图象如图所示，()fx关于x 的方程有4个不等实根，即可转化为函数与直线有4个不同的交()f x a =()y f x =y a =点，所以. 02a <≤故选：A.7．已知实数满足，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为x y ､1110x y +-=0xy >490x y t +-≥t （ ） A ．9 B ．25C ．16D ．12【答案】B【分析】根据题目所给条件可知，实数均满足是正数，再利用基本不等式“1”的妙用即可求出实x y ､数的最大值.t 【详解】由得，1110x y +-=111x y +=又因为，所以实数均是正数，0xy >x y ､若不等式恒成立，即；490x y t +-≥min (49)t x y≤+， 114949132954x y y x x y y x ⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎝⎭（）当且仅当时，等号成立；55,23x y ==所以，，即实数的最大值为25. min (49)25t x y ≤+=t 故选：B.8．函数是定义在R 上的偶函数，且当时，的解()f x 0x ≥()f x =()()1f x x -≥集为（ ） A ． B ．C ．D ．(],1-∞-1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]1,0-11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】先根据函数的解析式可得，再结合偶函数的性质与单调性求解即()()2,R f x x x =∈可.【详解】因为是定义在R 上的偶函数，故当时，()f x 0x <()()f x f x =-=又当时，； 0x ≥()()2f x x ===当时，， 0x <()()2f x x ===故.()()2,R f x x x =∈故即，()()1f x x -≥()()12f x f x -≥结合偶函数性质与的单调性可得，()f x =12x x -≥即，，解得.()()2212x x -≥()()3110x x -+≤11,3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选：D二、多选题9．已知函数的图象关于点对称，则（ ）()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<π,06⎛⎫⎪⎝⎭A ．π6ϕ=B ．直线是曲线的一条对称轴 5π12x =()y f x =C ．()()πf x f x +=D ．在区间上单调递增()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BC【分析】根据求得，结合三角函数的对称性、周期性、单调性求得正确答案.π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ϕ【详解】依题意，ππsin 063f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于，所以，A 选项错误.ππ4π0π,333ϕϕ<<<+<π2ππ,33ϕϕ+==则，()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以直线是曲线的一条对称轴，B 选项正确.5π5π2π3πsin sin 112632f ⎛⎫⎛⎫=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5π12x =()y f x =的最小正周期，所以，C 选项正确. ()f x 2ππ2T ==()()πf x f x +=由得，所以不是的递增区间，D 选项错误.π02x <<2π2π5π2333x <+<π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 故选：BC10．下列说法正确的是（ ） A ．任取，都有 x ∈R 43x x >B ．函数的最大值为113xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．函数（且）的图象经过定点()1xf x a =+0a >1a ≠()0,2D ．在同一坐标系中，函数与函数的图象关于轴对称3xy =13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭x 【答案】BC【分析】A 选项：利用特殊值的思路，令，即可得到A 不成立；B 选项：根据函数0x =13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性求最大值即可；C 选项：将代入到的解析式中验证即可；D 选项：求出函数()0,2()f x 图象关于轴对称后的解析式即可判断D 选项.3x y =x 【详解】A 选项：当时，，故A 错；0x =00431==B 选项：函数在上单调递增，上单调递减，所以1,01333,0xxx x y x ⎧⎛⎫≥⎪⎛⎫⎪==⎨⎝⎭⎪⎝⎭⎪<⎩(),0∞-()0,∞+，故B 正确； 0max113y ⎛⎫== ⎪⎝⎭C 选项：令，则，所以的图象恒过，故C 正确； 0x =()02f =()f x ()0,2D 选项：函数图象关于轴对称后的解析式为，故D 错.3xy =x 133xxy ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭故选：BC.11．下列说法正确的是（ ）．A ．命题“，”的否定为“，” x ∀∈R 210x x ++>x ∃∈R 210x x ++>B ．“或”是“”的必要不充分条件 2x ≠3y ≠5x y +≠C ．已知，，则,,a b c ∈R 22ac bc <a b <D ．当时，的最小值是π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2sin sin x x +【答案】BC【分析】根据全称量词命题的否定、必要不充分条件、不等式的性质、基本不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A 选项，命题“，”的否定为“，”， A 选项错误. x ∀∈R 210x x ++>x ∃∈R 210x x ++≤B 选项，若“或”，如，，则，即“”不成立； 2x ≠3y ≠1x =4y =5x y +=5x y +≠若“”，则“或”，5x y +≠2x ≠3y ≠所以“或”是“”的必要不充分条件，B 选项正确、 2x ≠3y ≠5x y +≠C 选项，由于，，则，所以，C 选项正确. ,,a b c ∈R 22ac bc <20c >a b <D 选项，，，()π0,,sin 0,12x x ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭2sin sin x x +≥=但D 选项错误. 2sin ,sin sin x x x==故选：BC12．设，关于函数，给出下列四个叙述，其()31xf x =-()()()()()22R g x f x m f x m m ⎡⎤=-++∈⎣⎦中正确的有（ ）A ．任意，函数都恰有3个不同的零点 0m >()g xB ．存在，使得函数没有零点 R m ∈()g xC ．任意，函数都恰有1个零点 0m <()g xD ．存在，使得函数有4个不同的零点 R m ∈()g x 【答案】AC【分析】画出函数的图像，利用函数的零点()31xf x =-转化为函数图像的交点逐项分析.【详解】如图的图像：()31xf x =-令()()0f x t t =≥所以化为：()()()()()2[]2R g x f x m f x m m =-++∈，()()22h t t m t m =-++令，()0h t =由()222440m m m ∆+-=+>=所以有两个不同的实数根，()220t m t m -++=设为：，12,t t 所以，12122,t t m t t m +=+=由 ()()()12121211110t t t t t t --=-++=-<所以121t t <<选项A ：任意， 则如图所示：0m >有两个交点，即此时原函数有两个零点， 1()y t f x ==有一个交点，即此时原函数有一个零点， 2()y t f x ==所以共3个不同的零点，故A 选项正确； ()g x 当时，，此时， 0m =120t t =122t t +=10t =22t =故此时函数有2个零点当时，由选项A 知有3个不同的零点； 0m >当时，，0m <120t t m =<有，此时函数有1个零点， 120,1t t <>所以函数至少有1个零点，故B 不正确； 由选项B ，可知C 正确；若存在，使得函数有4个不同的零点， R m ∈()g x 如图：则即：1201,01t t <<<<有两个交点，即原函数有两个零点， 1()t f x =有两个交点，即原函数有两个零点， 2()t f x =共4个零点；此时，121202,0t t t t <+<>当时，矛盾； 0m =12122,0t t t t +==当时，矛盾； 0m >122t t +>当时，矛盾， 0m <120t t <故D 选项错误. 故选：AC.三、填空题 13．____________. 5π19πcostan 225sin 36+︒+=【答案】1【分析】由诱导公式和特殊角的三角函数值，直接得到答案.【详解】依题意，根据诱导公式，原式. π7π11cos tan 45sin113622⎛⎫⎛⎫=-++=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：114．已知函数的图像经过点，若，则的取值范围为()nf x x =()2,8()()210f x f x +-<x __________. 【答案】}{1x x <-【分析】先求出函数的解析式，再利用其单调性解不等式即可.【详解】因为幂函数的图像过点，所以，，易知函数在上()n f x x =(2,8)3n =3()f x x =3()f x x =R 是奇函数，且单调递增，所以可化为，即，解得()()210f x f x +-<()()21f x f x <-21x x <-，故取值范围为.1x <-}{1x x <-故答案为： }{1x x <-15．下列命题中：①与互为反函数，其图象关于对称; 2x y =2log y x =y x =②函数的单调递减区间是；1y x=(,0)(0,)-∞+∞ ③当，且时，函数必过定点；0a >1a ≠()23x f x a -=-()2,2-④已知，且，则实数.()231a bk k ==≠121a b +=8k =上述命题中的所有正确命题的序号是______. 【答案】①③【分析】根据反函数、单调性、指数型函数图象所过定点、对数运算等知识对四个命题进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于①，因为与互为反函数，其图象关于对称；x y a =log a y x =y x =所以当时，与互为反函数，其图象关于对称，故命题①正确； 2a =2x y =2log y x =y x =对于②，由反比例函数可知，函数的单调递减区间是，故②错误；；1y x=(,0),(0,)-∞+∞对于③，因为，所以令，即，则，()23x f x a -=-20x -=2x =()22232f a -=-=-故过定点，故命题③正确；()f x ()2,2-对于④，因为，所以，()231a bk k ==≠23log ,log a k b k ==所以， 231111log 2,log 3log log k k a k b k====故由得，即，即，121a b+=log 22log 31k k +=()2log 231k ⨯=log 181k =所以，故命题④错误. 18k =故答案为：①③16．若对于任意，任意，使得不等式成立，则实数[]1,1m ∈-R y ∈()23613x m x y y +--<-+-x的取值范围是__________．【答案】()4,2-【分析】应用恒成立问题与最值的关系转化两个恒成立,再解不等式即可.【详解】因为对于任意,任意，使得不等式成立,[]1,1m ∈-R y ∈()23613x m x y y +--<-+-设,则()13t y y y =-+-()()2min 36x m x t y +--<又因为,所以.()()()13132t y y y y y =-+-≥---=()min 2t y =所以即()2362x m x +--<()2380x m x +--<设,()()223838g m x m x mx x x =+--=-++-对于任意,,应用一次函数性质可知[]1,1m ∈-()2380g m mx x x =-++-< ()()2213801380g x x x g x x x ⎧=-++-<⎪⎨-=++-<⎪⎩即得,解得 22280480x x x x ⎧+-<⎨+-<⎩2242x x ⎧--<<⎪⎨-<<⎪⎩则实数的取值范围是. x ()4,2-故答案为: .()4,2-四、解答题17．若集合，． {}24A x x =-<<{}0B x x m =-<(1)若，求．3m =A B ⋂(2)若，求实数m 的取值范围． A B A = 【答案】(1) {}23x x -<<(2){}4m m ≥【分析】根据交集和子集的定义，即可求解.【详解】（1）解：当时，，3m ={}3B x x =<因为，所以；{}24A x x =-<<{}23A B x x ⋂=-<<（2）解：由得,A B A = A B ⊆所以m 的取值范围是.{}4m m ≥18．已知. cos()sin()()3sin cos tan()22f πααπαππααπα---=⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)化简；()f α(2)若角为第二象限角，且，求的值. α1sin 3α=()f α【答案】(1) 1tan α-(2)()f α=【分析】（1）由诱导公式化简；（2）由平方关系求得，再由商数关系得，从而得结论．cos αtan α【详解】（1）. cos()sin()()3sin cos tan()22f πααπαππααπα---=⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 1cos sin (tan )tan αααααα-==---（2）∵，，角为第二象限角， 1sin 3α=22sin cos 1αα+=α∴，∴cos α=tanα=∴()f α=19．某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元．()*n n ∈N ()2102n n -(1)估计该设备从第几年开始实现总盈利；(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理．哪种方案较为合理？并说明理由．（注：年平均盈利额） =总盈利额年度【答案】(1)3(2)方案二更合理，理由见解析【分析】（1）先设为前年的总盈利额，由题中条件得出，列出不等式求解，即可得出()f n n ()f n 结果；（2）分别求出两种方案的总利润，以及所需要的时间，即可得出结论.【详解】（1）设为前年的总盈利额，单位：万元；()f n n 由题意可得，()()()()2298102160101001601028f n n n n n n n n =---=-+-=---由得，又，所以该设备从第年开始实现总盈利；()0f n >28n <<*n ∈N 3（2）方案二更合理，理由如下：方案一：由（1）知，总盈利额，()()221010016010590f n n n n =-+-=--+当时，取得最大值；此时处理掉设备，则总利润为万元；5n =()f n 909020110+=方案二：由（1）可得，平均盈利额为， ()210100160161010010020f n n n n n n n -+-⎛⎫==-++≤-= ⎪⎝⎭当且仅当，即时，等号成立；即时，平均盈利额最大，此时， 16n n =4n =4n =()80f n =此时处理掉设备，总利润为万元；8030110+=综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要4年即可，故方案二更合适.11020．已知函数的最小正周期． ()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π(1)求函数单调递增区间和对称中心；()f x (2)求函数在上的值域． ()f x π0,2⎡⎤⎢⎣⎦【答案】(1)答案见解析(2)[]1,2-【分析】（1）先由最小正周期求得，再结合的性质即可求得所求；ωsin y x =（2）利用整体法及的单调性即可求得在上的值域． sin y x =()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】（1）因为的最小正周期， ()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π所以，得，故， 2ππω=2ω=()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则由得， πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤+≤+∈ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈由得， π2π,Z 6x k k +=∈ππ,Z 122k x k =-+∈所以单调递增区间为，对称中心为. ()f x ()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦()ππ,0Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭（2）因为，所以， π02x ≤≤ππ7π2666x +≤≤所以，故，即， 1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭π12sin 226x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭()12f x -≤≤所以在上的值域为. ()f x π0,2⎡⎤⎢⎣⎦[]1,2-21．已知是定义在上的奇函数，且当时，.()f x R 0x >()13x f x =-(1)求函数的解析式；()f x (2)当时，方程有解，求实数的取值范围. []2,8x ∈()()222log 4log 0f x f a x +-=a 【答案】(1)； 13,0()13,0x x x f x x -⎧-≥=⎨-+<⎩(2).[]4,5【分析】（1）当时，则，再利用为奇函数，和0x <()0,13x x f x -->-=-()f x ()()f x f x =--，即可求出答案.(0)0f =（2）利用函数是奇函数把方程化为，再利用()()222log 4log 0f x f a x +-=()()222log log 4f x f a x =-是上的单调减函数得，在上有解. 再令，则()f x R 222log log 40x a x -+=[]2,8x ∈2log t x =在有解.分离参数有解问题，即可求出答案.240t at -+=[]1,3t ∈【详解】（1）当时，则，0x <()0,13x x f x -->∴-=-是奇函数，.()f x ()()13x f x f x -∴=--=-+又当时，0x =(0)0f =. 13,0()13,0x x x f x x -⎧-≥∴=⎨-+<⎩（2）由， ()()222log 4log 0f x f a x +-=可得. ()()222log 4log f x f a x =--是奇函数，()f x .()()222log log 4f x f a x ∴=-又是上的单调减函数，()f x R 所以在有解. 222log log 40x a x -+=[]2,8x ∈令，则在有解.[]2log ,2,8t x x =∈[]21,3,40t t at ∈∴-+=[]1,3t ∈即在有解， 4a t t=+[]1,3t ∈设易知函数在（1,2）递减，（2,3）递增，故值域为 ∴()4,g t t t=+[]4,5.实数的取值范围为∴a []4,522．已知函数与，其中是偶函数． ()()()4log 41x f x kx k =++∈R ()44log 23x g x a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭()f x (1)求实数的值及的值域；k ()f x (2)求函数的定义域；()g x (3)若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．()f x ()g x a 【答案】(1)，函数的值域为 12k =-()f x 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)答案见解析(3){}()31,-⋃+∞【分析】（1）利用偶函数的定义可求得实数的值，利用对数函数的单调性结合基本不等式可求得k 函数的值域；()f x （2）由已知可得出，对实数的取值进行分类讨论，结合指数函数的单调性可解得4203x a a ⋅->a 函数的定义域；()g x（3）令，由可知关于的方程有且只有一个正根，对实数20x t =>()()f x g x =t ()241103a t a ---=的取值进行分类讨论，结合一次函数和二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式（组），综a a 合可得出实数的取值范围.a 【详解】（1）解：由函数是偶函数可知，()f x ()()f x f x -=所以，，()()44log 41log 41x x kx kx -++=+-所以，， ()()()444444141142log log log log 441441441x x x xx x x x x x kx x ---+++=====-+++则，故，所以， 21k =-12k =-()()()4441log 41log 41log 22x x x f x x =+-=+-， ()(444411log log 22log 22x x x x -+==+≥=当且仅当时，等号成立，故函数的值域为. 0x =()f x 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）解：对于函数，则有. ()g x 4203x a a ⋅->当时，，不合乎题意； 0a =4203x a a ⋅-=当时，，得； 0a >423x >24log 3x >当时，，得. a<0423x <24log 3x <综上所述，当时，函数的定义域为； 0a >()g x 24log ,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭当时，函数的定义域为. a<0()g x 24,log 3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（3）解：函数与的图象有且只有一个公共点，()f x ()g x 即方程有且只有一个实根， ()4414log 41log 223x x x a ⎛⎫+-=⋅- ⎪⎝⎭即方程有且只有一个实根， 142223x x x a a +=⋅-令，则方程有且只有一个正根. 20x t =>()241103a t at ---=①当时，，不合题意; 1a =34t =-②当时，由得或， 1a ≠()216Δ4109a a =+-=34a =3-若，则不合题意；若，则满足要求. 34a =2t =-3a =-12t =若，可得或. ()2164109a a ∆=+->3a <-34a >则此时方程应有一个正根与一个负根， ()241103a t a ---=所以，，解得，因为或，故. 101a -<-1a >3a <-34a >1a >综上，实数的取值范围是a {}()31,-⋃+∞【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。

一、单选题1．关于命题“，”，下列判断正确的是（ ） x ∃∈N 220x x +=A ．该命题是全称量词命题，且是真命题 B ．该命题是存在量词命题，且是真命题 C ．该命题是全称量词命题，且是假命题 D ．该命题是存在量词命题，且是假命题【答案】B【分析】根据存在量词命题的定义及取可判断.0x =【详解】该命题是存在量词命题，当时，，所以该命题为真命题. 0x =220x x +=故选:B.2．设集合，，则（ ） {}2,1,0,1,2A =--(){}230B x x x =+≤A B = A ． B ．C ．D ．{}1,0-{}1,2{}2,1,0--{}0,1,2【答案】A【分析】解出集合，利用交集的定义可求得集合.B A B ⋂【详解】因为，，则.(){}323002B x x x x x ⎧⎫=+≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭{}2,1,0,1,2A =--{}1,0A B ⋂=-故选：A.3．已知幂函数的图象过点，则（ ） ()f x (2,16)()f x =A ． B ．C ．D ．4x 3x 6x 5x 【答案】A【分析】设，代入点，即可得，即可得答案. ()f x x α=(2,16)4α=【详解】解：设，则， ()f x x α=41(2)262f α===得， 4α=所以． 4()f x x =故选：A.4．已知，则（ ） 0.1,cos 2,2a ln b c π-===A ． B ．C ．D ．a b c >>a c b >>b a c >>b c a >>【答案】B【分析】根据对数函数，指数函数，余弦函数的性质，求出的范围，即可比较出大小. ,,a b c 【详解】因为，所以． 0.1ln π120cos2->>>>a c b >>故选：B5．若定义在上的函数满足则“为无理数”是“2023”的R ()f x ()2023,,0,,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数x ()()f f x =（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合已知条件分析判断即可. 【详解】当为无理数时，为有理数，则. x ()0f x =()()2023f f x =当为有理数时，为有理数，则. x ()2023f x =()()2023f f x =所以当时，，()()2023f f x =x ∈R 故“为无理数”是“”的充分不必要条件. x ()()2023f f x =故选：A 6．函数的部分图像大致为（ ）()22111x f x x +=-+A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用奇偶性和特殊点排除不符合的选项. 【详解】函数的定义域为，，因此()22111x f x x +=-+R ()()()2221211111x x f x f x x x -+-+-=-=-=+-+是上的偶函数，其图象关于轴对称，选项C ，D 不满足； ()f x R y 又，所以选项B 不满足，选项A 符合题意. ()1102f =>故选：A7．某科研小组研发一种水稻新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代15粒种子，则种子数量首次超过1000万粒的是（ ）（参考数据：） lg 20.3,lg 30.48≈≈A ．第5代种子 B ．第6代种子 C ．第7代种子 D ．第8代种子【答案】C【分析】设第代种子的数量为，根据题意列出不等式，对不等式化简代入数值即可得到结果.x 115x -【详解】设第代种子的数量为，由题意得，得．因为x 115x -171510x -≥715log 101x ≥+，故种子数量首次超过1000万粒的是第7715lg1077log 101111 6.9lg15lg 3lg 5lg 31lg 2+=+=+=+≈++-7代种子． 故选：C. 8．函数的零点所在区间为（ ） ()21log 12x f x x =-+A ． B ．C ．D ．()0,1()1,2()2,3()3,4【答案】C【分析】根据函数的单调性和零点存在定理，即可求得函数的零点所在的区间. ()f x 【详解】因为函数在上单调递减，函数在上单调递减， 12xy =()0,∞+2log y x =-()0,∞+所以在上单调递减.()f x ()0,∞+， ()2131log 11022f =-+=>当时，， ()0,1x ∈()()10f x f >>， ()22112log 21024f =-+=>， ()223193log 31log 328f =-+=-因为，所以，3222293log 2log log 382<==<()293log 308f =-<，()241154log 410216f =-+=-<所以，所以的零点所在区间为. ()()230f f <()21log 12xf x x =-+()2,3故选：C ．二、多选题9．下列命题正确的是（ ） A ．若，，则 B ．若，则 0a b >>0m >a b m m>1a b <<33a b >C ．若且，则 D ．若正数a ，b 满足，则0x >1x ≠1ln 2ln x x +≥2a b +=112a b+≥【答案】AD【分析】由不等式的性质和基本不等式的运用，逐个判断选项. 【详解】由不等式的性质可知，A 正确，B 错误； 当时，，C 错误； ()0,1x ∈1ln 0ln x x+<正数a ，b 满足，则， 2a b +=()1111222221121b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当时，等号成立，D 正确. 1a b ==故选：AD.10．在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ） αPA ．B ．C ．D ．tan α=sin()α-=cos(π)α-=πcos 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】AB【分析】先利用三角函数定义求得，进而求得的值判断选项A ；求得sin αα==tan α的值判断选项B ；求得的值判断选项C ；求得的值判断选项D.sin()α-cos(π)α-2πcos α⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】角的终边与单位圆的交点为 αP则A 判断正确； sin tan ααα===所以B 判断正确； ()sin sin αα-=-=C 判断错误； ()cos πcos αα-=-=D 判断错误.πcos sin 2αα⎛⎫-== ⎪⎝⎭故选：AB11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）()221f x ax bx =--A ．若是偶函数，则()f x 0b =B ．若的解集是，则 ()0f x <()1,1-1b a =C ．若，则恒成立1a =()0f x >D ．，，在上单调递增 0a ∀≤0b <()f x (),0∞-【答案】ABD【分析】利用函数奇偶性的定义求出的值，可判断A 选项；利用二次不等式的解集与系数的关系b 可判断B 选项；当时，计算可判断C 选项；利用一次函数与二次函数的单调性可判断D 选1a =∆项.【详解】对于A 选项，函数的定义域为，若函数为偶函数，则， ()f x R ()f x ()()f x f x -=即，即对任意的恒成立，则，A 对； 222121ax bx ax bx +-=--40bx =x ∈R 0b =对于B 选项，若不等式的解集为，()0f x <()1,1-则且、为方程的两根，则，解得，故，B 对；0a >1-1()0f x =111211aba ⎧-⨯=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩10a b =⎧⎨=⎩1b a =对于C 选项，若，则，，1a =()221f x x bx =--2Δ440b =+>故不恒成立，C 错；()0f x >对于D 选项，当时，因为，则在上单调递增， 0a =0b <()f x (),0∞-当时，函数的对称轴为直线且， a<0()f x b x a =0ba>由二次函数的单调性可知，函数在上单调递增， ()f x (),0∞-因此，，，在上单调递增，D 对. 0a ∀≤0b <()f x (),0∞-故选：ABD.12．函数满足，，，则（ ）()f x ()()22f x f x x -+=()()118f x f x x +--=x ∈R A ．B ． ()24f =()()3118f f +=C ．为奇函数D ．()2y f x x =-()()20f x f x ++≥【答案】BCD【分析】利用赋值法可判断AB 选项；令，利用函数奇偶性的定义可判断C 选()()2g x f x x =-项；根据已知条件推导出，再结合以及等式的可加性可()()288f x f x x +--=+()()22f x f x x +-=判断D 选项.【详解】在等式中，令，可得，()()22f x f x x +-=0x =()00f =在等式中，令，可得，A 错；()()118f x f x x +--=1x =()()2088f f =+=在等式中，令，可得，①()()22f x f x x +-=1x =()()112f f +-=在等式中，令，可得，② ()()118f x f x x +--=2x =()()3116f f --=①②可得，B 对；+()()3118f f +=令，其中，则，()()2g x f x x =-x ∈R ()()()()220g x g x f x f x x +-=+--=即，故函数为奇函数，C 对；()()g x g x -=-()2y f x x =-因为，则，()()118f x f x x +--=()()()()()21128188f x f x f x f x x x +--+=+--=+=+⎡⎤⎣⎦又因为，()()22f x f x x +-=上述两个等式相加可得，D 对. ()()()222288220f x f x x x x ++=++=+≥故选：BCD.三、填空题13．______.325661log 5log 2log 2log 182-⎛⎫-⨯++= ⎪⎝⎭【答案】9【分析】利用指数、对数的运算性质以及换底公式计算可得所求代数式的值.【详解】原式. ()36ln 5ln 22log 2188129ln 2ln 5=-⨯+⨯=-+=故答案为：.914．写出一个同时具有下列性质①②的函数：______．()f x ①对、，；②在其定义域内单调递增． 1x ∀20x >()()()1212f x x f x f x =+()f x 【答案】（答案不唯一，均满足） ()2log f x x =()()log 1a f x x a =>【分析】利用对数的运算性质以及对数函数的单调性可得出结果. 【详解】取，、，则()2log f x x =1x ∀()20,x ∈+∞，满足①，()()()()12212212212log log log f x x x x x x f x f x ==+=+在定义域内单调递增满足②，()2log f x x =()0,∞+故答案为：（答案不唯一，均满足）．()2log f x x =()()log 1a f x x a =>15．《乐府诗集》辑有晋诗一组，属清商曲辞吴声歌曲，标题为《子夜四时歌七十五首》.其中《夏歌二十首》的第五首曰：叠扇放床上，企想远风来.轻袖佛华妆，窈窕登高台.诗里的叠扇，就是折扇.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图，设扇形的面积为，其圆1S 心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与时，扇面为“美观扇面”.若扇面为θ2S 1S 2S“美观扇面”，扇形的半径10，则此时的扇形面积为__________.R =【答案】(503π【分析】根据扇形的面积公式结合题意列方程求出，从而可求出. θ1S 【详解】因为与所在扇形的圆心角分别为，1S 2S ,2θπθ-所以. ()2122121222R S S R θθπθπθ⋅⋅==--⋅由，得，2θπθ=-(3θπ=所以.((2111310050322S Rθππ=⋅⋅=⨯⨯=故答案为：(503π16．若存在实数、，使得函数在区间上单调递增，且a []1,9b ∈()()9100f x x x x=+->[],a b ()f x 在区间上的取值范围为，则的取值范围为______. [],a b [],ma mb m 【答案】416,39⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】当时，可得出，分析函数在区间上的单调性，可得19x ≤≤()910f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()f x []1,9出，根据单调性可得，则关于的方程在上至少有两个不等[][],1,3a b ⊆()()f a maf b mb ⎧=⎪⎨=⎪⎩x ()f x mx =[]1,3的实根，对实数的取值进行分类讨论，结合二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，m m 解之即可.【详解】当时，， 19x ≤≤()()2199109100x x x x x x x x---++-==≤所以，当时， ，19x ≤≤()991010f x x x x x ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，在上单调递减， ()f x []1,3[]3,9因为存在实数、，使得函数在区间上单调递增， a []1,9b ∈()()9100f x x x x=+->[],a b 则，即，[][],1,3a b ⊆13a b ≤<≤因为在区间上的取值范围为，则，()f x [],a b [],ma mb ()()f a ma f b mb ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以，方程在上至少有两个不等的实根，()f x mx =[]1,3由可得，()f x mx =()211090m x x +-+=令，则函数在上有两个不等的零点，()()21109g x m x x =+-+()g x []1,3①当时，即当时，在上单调递减， 10m +≤1m ≤-()g x []1,3此时，函数在上至多只有一个零点，不合乎题意；()g x []1,3②当时，即当时，因为函数在上有两个零点，10m +>1m >-()g x []1,3所以，，解得.()()()Δ100361051311039120m m g m g m ⎧=-+>⎪⎪<<⎪+⎨⎪=≥⎪=-≥⎪⎩41639m ≤<综上所述，实数的取值范围是.m 416,39⎡⎫⎪⎢⎣⎭故答案为：.416,39⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素： （1）二次项系数的符号； （2）判别式； （3）对称轴的位置； （4）区间端点函数值的符号.结合图象得出关于参数的不等式组求解.四、解答题17．已知非空集合．{}{}232,280A x a x a B x x x =-<<=-->(1)若，求．0a =()R A B ð(2)若“”是“”的既不充分也不必要条件，求a 的取值范围． x A ∈x B ∈【答案】(1) (){}R 34A B x x ⋃=-<≤ð(2) (1,7)-【分析】（1）先分别化简集合，再利用集合的交并补运算即可得解；,A B （2）根据题意可知不是的子集，也不是的子集，由此列出相应的不等式组，解得答案. A B B A 【详解】（1）因为，所以，0a ={}{}3230A x a x a x x =-<<=-<<因为或，{}{}{2280(4)(2)02B x x x x x x x x =-->=-+>=<-}4x >所以， {}R 24B x x =-≤≤ð故．(){}R 34A B x x ⋃=-<≤ð（2）因为“”是“”的既不充分也不必要条件， x A ∈x B ∈所以，同时不是的子集，也不是的子集， A ≠∅A B B A 因为，，所以，则， A ≠∅{}32A x a x a =-<<32a a -<3a >-又或，所以必不是的子集，{2B x x =<-}4x >B A 因为不是的子集，所以，解得，A B 2234a a >-⎧⎨-<⎩17a -<<又，故， 3a >-17a -<<所以a 的取值范围为． (1,7)-18．已知角满足.αcos 7sin 0αα+=(1)若，求的值； π02α-<<sin ,cos αα(2)若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值.βαx sin 3cos 2sin cos ββββ-+【答案】(1)， sin α=cos α(2). 209-【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求解； （2）求出，由弦化切将变形为求解.1tan 7β=sin 3cos 2sin cos ββββ-+tan 32tan 1ββ-+【详解】（1）因为，所以. π02α-<<sin 0,cos 0αα<>由，得， cos 7sin 0αα+=cos 7sin αα=-又因为，所以，22sin cos 1αα+=250sin 1α=sin α=cos α=（2）因为角的终边与角的终边关于轴对称， βαx 所以，2π,Z k k βα=-+∈由，得，cos 7sin 0αα+=1tan 7α=-则， 1tan tan 7βα=-=所以. 13sin 3cos tan 320712sin cos 2tan 19217ββββββ---===-++⨯+19．已知函数，.()2f x ax bx =+()0,1a ∈(1)若，且，求的最小值； ()11f =0b >11a b+(2)若，求关于的不等式的解集. ()11f =-x ()10f x +>【答案】(1)4(2)11x x x a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或【分析】（1）由已知可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得1a b +=11a b+a b +的最小值； 11a b+（2）由已知可得，可得出，由题意可得，利用二次不等1b a =--()()()1110f x ax x +=-->11a>式的解法解原不等式即可.【详解】（1）解：因为，，，()0,1a ∈0b >()11f a b =+=所以，，当且仅当时，等号成立，()1111224a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭12a b ==因此，的最小值为. 11a b+4（2）解：，可得，则，()11f a b =+=-1b a =--()()()()2111110f x ax a x ax x +=-++=-->，则，解不等式可得或.()0,1a ∈ 11a>()()110ax x -->1x <1x a >因此，不等式的解集为.()10f x +>11x x x a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或20．已知函数.()()22ln 12nf x x x =+-+(1)证明：当时，在上至少有两个零点；1n =()f x ()0,∞+(2)当时，关于的方程在上没有实数解，求的取值范围. 2n =x ()f x m =[]1,2m 【答案】(1)证明见解析； (2). ()(),362ln 2,-∞⋃++∞【分析】（1）通过零点存在性定理即可判断零点个数；（2）易判断函数的单调性，求出的值域，结合题设条件，即可求得的取值范围.()f x ()f x m 【详解】（1）当时，，1n =()22ln 2f x x x =-+因为，，，2110e e f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭()110f =>()2e 4e 0f =-<所以，，()110e f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭()()1e 0f f <因此，，，，即在上至少有两个零点.11,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()21,e x ∈()10f x =()20f x =()f x ()0,∞+（2）当时，，易知在上单调递增.2n =()22ln 2f x x x =++()f x []1,2又，，即的值域为, ()13f =()262ln 2f =+()f x []3,62ln 2+且关于的方程在上没有实数解， x ()f x m =[]1,2所以的取值范围为.m ()(),362ln 2,-∞⋃++∞21．对于函数，若在定义域内存在两个不同的实数x ，满足，则称为“类指数()f x ()2xf x =()f x 函数”．(1)已知函数，试判断是否为“类指数函数”，并说明理由； ()123xg x =-()g x (2)若为“类指数函数”，求a 的取值范围．()21x ah x a =--【答案】(1)不是 “类指数函数” ()g x (2) ()3-+【分析】（1）是否为“类指数函数”，可以转化为方程是否存在两个不同的实数()g x ()()0f x g x -=根；（2）是否为“类指数函数”， 转化为方程是否存在两个不同的实数根，进一步()h x ()()0f x h x -=化简、换元转化为一元二次方程求解. 【详解】（1）若函数为“类指数函数”，则在定义域内存在两个不同的实数x 满足方程()123xg x =-，. ()()0f x g x -=()()1223x xf xg x -=-+由于函数与在R 上均单调递增，所以在R 上均单调递增，至多有一个零2x y =13xy =-()()f x g x -点，所以不是 “类指数函数”. ()g x （2）若函数为“类指数函数”，则方程有两个不同的实数根，即方程()21xah x a =--()()0f x h x -=有两个不同的实数根，2021x x aa -=--整理得，()()22120x x a a -+-=设，则方程有两个不等的正根，20x t =>()210t a t a -+-=，由，解得或()21212Δ140100a a t t a t t a ⎧=++>⎪+=+>⎨⎪=->⎩()2Δ140a a =++>3a <--3a >-+由，解得；由，解得. 1210t t a +=+>1a >-120t t a =->a<0所以.30a -+<故a 的取值范围． ()3-+22．已知是定义在上的奇函数，其中、，且. ()24x af x x b-=+R a b ∈R ()21f =(1)求、的值；a b(2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明；()f x [)2,+∞(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求()222g x mx x m =-+-[]12,4x ∈[]20,1x ∈()()12f x g x =的取值范围.m 【答案】(1)，0a =4b =(2)在上为减函数，证明见解析 ()f x [)2,+∞(3) []0,1【分析】（1）利用奇函数的性质可得出，再结合可求得、的值，然后验证出()00f =()21f =a b 函数为奇函数即可；()f x （2）判断出函数在上为减函数，然后任取、且，作差()f x [)2,+∞1x [)22,x ∈+∞12x x >，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； ()()12f x f x -()()12f x f x -（3）记在区间内的值域为，在区间内的值域为，将问题转化为时()f x []2,4A ()g x []0,1B A B ⊆求实数的取值范围，利用单调性求出的值域，分、、和四种情况m ()f x 0m =01m <≤12m <≤m>2讨论，结合单调性求出的值域，即可得到答案． ()g x 【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，则，可得， ()24x a f x x b-=+R ()00af b =-=0a =则，则，解得，所以，，下面验证函数为奇()24x f x x b =+()28212f b ==+4b =()244x f x x =+()f x 函数.对任意的，，故函数的定义域为， x ∈R 244x +≥()244xf x x =+R 则，故函数为奇函数，合乎题意， ()()()224444xxf x f x x x --==-=-+-+()244x f x x =+因此，，.0a =4b =（2）解：函数在上单调递减，证明如下：()f x [)2,+∞任取、且，即，则，，1x [)22,x ∈+∞12x x >122x x >≥210x x -<124x x >则， ()()()()()()()()()()22122121121212222222121212444444440444444x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==<++++++所以，，故函数在上单调递减.()()12f x f x <()f x [)2,+∞（3）解：若对任意的，总存在，使得成立， []12,4x ∈[]20,1x ∈()()12f x g x =则函数在上的值域为函数在上的值域的子集， ()f x []2,4()g x []0,1因为函数在上单调递减，()f x []2,4则当时，，， []2,4x ∈()()max 21f x f ==()()min 445f x f ==所以，记在区间内的值域为.()f x []2,44,15A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦①当时，在上单调递减，0m =()22g x x =-+[]0,1则，，得在区间内的值域为. ()()max 02g x g ==()()min 10g x g ==()g x []0,1[]0,1B =因为，所以对任意的，总存在，使得成立. A B ⊆[]12,4x ∈[]20,1x ∈()()12f x g x =②当时，，在上单调递减，且， 01m <≤11m≥()g x []0,1[)21,2m -∈则，，得在区间内的值域为， ()()max 02g x g m ==-()()min 10g x g ==()g x []0,1[]0,2B m =-因为，所以对任意的，总存在，使得成立. A B ⊆[]12,4x ∈[]20,1x ∈()()12f x g x =③当时，，在上单调递减，在上单调递增， 12m <≤1112m ≤<()g x 10,m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,1m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则，得在区间内的值域为()()max02g x g m ==-()min 112g x g m m m ⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭()g x []0,1，所以，该不等式组无解；12,2B m m m ⎡⎤=-+--⎢⎥⎣⎦142521m m m ⎧-+-≤⎪⎨⎪-≥⎩④当时，，在上单调递减，在上单调递增，2m >1102m <<()g x 10,m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,1m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则，得在区间内的值域为()()max 10g x g ==()min 112g x g m m m ⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭()g x []0,1，不符合题意.12,0B m m ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦综上，实数的取值范围为.m []0,1【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，.()y f x =[],x a b ∈()y g x =[],x c d ∈（1）若，，有成立，则； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∀∈()()12f x g x <()()max min f x g x <（2）若，，有成立，则； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()max max f x g x <（3）若，，有成立，则；[]1,x a b ∃∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()min max f x g x <（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.[]1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x =()f x ()g x。

一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √-1B. √4C. πD. 0.1010010001…2. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项a10的值为（）A. 25B. 28C. 31D. 343. 函数f(x) = 2x - 3在定义域内的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知复数z = 3 + 4i，其共轭复数为（）A. 3 - 4iB. 4 + 3iC. -3 + 4iD. -4 - 3i5. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意实数x，x² ≥ 0B. 对于任意实数x，x³ ≥ 0C. 对于任意实数x，x⁴ ≥ 0D. 对于任意实数x，x⁵ ≥ 0二、填空题（每题5分，共25分）6. 已知sinα = 1/2，且α在第二象限，则cosα的值为______。

7. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，若∠BAC = 80°，则∠ABC的度数为______。

8. 若复数z满足|z - 1| = 2，则z在复平面内的对应点位于______。

9. 二项式(2x - 3y)³展开式中，x²y的系数为______。

10. 函数y = log₂(x - 1)的图像与x轴的交点坐标为______。

三、解答题（每题15分，共45分）11. （15分）已知数列{an}满足a₁ = 1，且对于任意正整数n，有an + 1 = 2an - 1。

求：（1）数列{an}的通项公式；（2）数列{an}的前n项和Sₙ。

12. （15分）在平面直角坐标系中，抛物线y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的顶点坐标为（h，k）。

（1）求证：h = -b/2a；（2）若抛物线经过点P（2，3），求a、b、c的值。

13. （15分）已知函数f(x) = x³ - 3x² + 4x - 6。

一、单选题1．已知集合，则的真子集个数是（ ）{}21M x x ==M A ． B ． C ． D ．3456【答案】A【分析】首先求集合中的元素个数，再根据集合的真子集个数公式求解.【详解】因为，所以，即，集合中有两个元素，所以的真子集个数是21x =1x =±{}11M =-，M .2213-=故选：A2．命题“”的否定是（ ） 2[0,),0∀∈+∞+≥x x x A ．B ．2[0,),0∀∈+∞+<x x x 2(,0),0∀∈-∞+≥x x x C ．D ．2000[0,),0∃∈+∞+<x x x 2000[0,),0∃∈+∞+≥x x x 【答案】C【分析】全称命题的否定形式，变，变即可.∀∃20+≥x x 2000x x +<【详解】命题“”为全称命题，则命题的否定为，2[0,),0∀∈+∞+≥x x x 2000[0,),0∃∈+∞+<x x x 故选：C ．【点睛】本题考查了含有量词的命题的否定形式，考查了逻辑推理能力，属于基础题. 3．在中，，则（ ）ABC A cos A =1tan 3B =()tan A B -=A ． B ． C ． D ．22-12-12【答案】A【解析】根据已知条件计算出的值，然后根据两角差的正切公式结合的值计算出tan A tan ,tan A B 的值. ()tan A B-【详解】因为，所以，所以，cos A =()0,A π∈34A π=tan 1A =-所以，()()11tan tan 3tan 211tan tan 113A BA B A B ----===-++-⨯故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是根据特殊角的余弦值求出其正切值以及两角差的正切公式的熟练运用.4．已知，，，则（ ） 0.62a =sin 2b =0.3log 1.3c =A ． B ． C ． D ．c<a<b a b c <<b a c <<c b a <<【答案】D【解析】根据指数函数、对数函数、正弦函数的性质把与0和1比较后可得． ,,a b c 【详解】因为，，，所以． 0.621>0sin 21<<0.3log 1.30<c b a <<故选：D ．5．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是奇函数，且当()f x 3x y =y x =()g x 0x >时，，则（ ） ()()g x f x x =-(9)g -=A ． B ．6 C ． D ．76-7-【答案】D【分析】先求出，再求出即得解.3()log f x x =(9)7g =-【详解】由已知，函数与函数互为反函数，则． ()y f x =3x y =3()log f x x =由题设，当时，，则． 0x >3()log g x x x =-3(9)log 99297g =-=-=-因为为奇函数，所以. ()g x (9)(9)7g g -=-=故选：D ．6．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；③若，则与的终边相同；④若，是第sin sin αβ=αβcos 0θ<θ二或第三象限的角.其中正确的命题个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析，判断正误即可.【详解】对于①，根据任意角的概念知，第二象限角不一定大于第一象限角，①错误；对于②，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关，②正确；对于③，若，则与的终边相同，或关于轴对称，③错误； sin sin αβ=αβy 对于④，若，则是第二或第三象限的角，或终边在负半轴上，④错误； cos 0θ<θx 综上，其中正确命题是②，只有个. 1故选：A 【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数概念，属于基础题.7．函数的零点个数为（ ）()23log 1xf x x =-A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】所求零点个数等价于与图象的交点个数，作出函数图象，由数形结合2log y x =13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭即可判断.【详解】函数的零点即的解，即与()23log 1xf x x =-2213log 10log 3xxx x ⎛⎫-=⇒= ⎪⎝⎭2log y x =图象的交点，如图所示， 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭从函数图象可知，与有两个交点.2log y x =13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭故选：C8．若函数的图象与轴有交点，且值域，则()[]sin (0,,0)4f x x x πωπω⎛⎫=-∈> ⎪⎝⎭x [)M ⊆+∞ω的取值范围是（ ） A ．B ．14[,234[,2]3C ．D ．11[,]43119[,]412【答案】D【分析】由函数有零点，可求得，由函数的值域可求得，()f x 14ω≥()f x [)M ⊆+∞1912ω≤综合二者即可得到的取值范围.ω【详解】定义在上的函数，[]0,π()sin 04y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭则，由函数有零点，所以，解得； ,444x πππωωπ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦()f x 04πωπ-≥14ω≥由函数的值域，所以，解得； ()f x M ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎪⎣⎭443ππωπ-≤1912ω≤综上，的取值范围是．ω119,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：D二、多选题9．已知x ，y ∈R ，且<0，则（ ）11x y <A ．x -y >0 B ．sin x -sin y >0C ．>0D ．>2 22x y -y x x y+【答案】ACD【分析】由不等式的性质得出，再由三角函数的性质、指数函数的单调性以及基本不等式0x y >>即可求解.【详解】因为x ，y ∈R ，且<0， 11x y<且，， 110y x x y xy -∴-=<0,0x y <<0y x ∴<<A ，由题意可得，故A 正确；0x y ->B ，因为正弦函数是周期函数，仅有，不能得出sin x -sin y >0，故B 错误； 0y x <<C ，由，则，即，故C 正确； 0y x <<22y x <220x y ->D ，因为，则，即， 0y x <<0,0y x x y >>2y x x y +≥=当且仅当，即取等号，又因为，x yy x =x y =0y x <<所以，故D 正确. 2y xx y+>故选：ACD10．下列函数中，最小正周期为的有（ ） πA ． B ．C ．D ．|cos |y x =sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭cos ||y x =【答案】AB【分析】逐项分析即得.【详解】对于A ，的最小正周期为，故A 正确；|cos |y x =π对于B ，的最小正周期为，故B 正确； sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22ππ=对于C ，的最小正周期为，故C 错误；tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2π对于D ，的最小正周期为2，故D 错误. cos ||cos y x x ==π故选：AB.11．下列各式正确的是（ ） A ．设0a >16a =B ．已知，则31a b +=81333a ba⋅=C ．若，则log 2,log 5a a m n ==220m n a +=D ．114511lg 311log log 93+=【答案】ABC【分析】根据指数运算法则和对数运算法则即可判断答案.【详解】对于A，故A 对；1656a a a===对于B ，，故B 对； 43813333333a b a ba b a a+⋅⋅===对于C ，，，，故C 对；2m a =5n a =()2220m n m n a a a +==对于D ，，故D 错．933334511451111log log log log log 11log log log log 4525109933=+=+=+=+故选：ABC ．12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R 的图，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当，盛水筒M 位于点，经过t 秒后运动到点，点P 的纵坐标满足0=t (03,P -(),P x y （，，），则下列叙述正确的是（ ） ()()sin y f t R t ωϕ==+0t ≥0ω>π2<ϕA ．筒车转动的角速度 π60ω=B ．当筒车旋转100秒时，盛水筒M 对应的点P 的纵坐标为 2-C ．当筒车旋转100秒时，盛水筒M 和初始点的水平距离为60P D ．筒车在秒的旋转过程中，盛水筒M 最高点到x 轴的距离的最大值为6 (]0,60【答案】ACD【分析】根据题意可知周期为120秒，进而可求，根据可求解，进而得ω0(3,P -π3ϕ=-，根据三角函数的性质，即可结合选项逐一求解.ππ()6sin 603f t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】对于A,因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，所以，故A 正确； 2ππ=12060ω=对于B,因为当时，盛水筒位于点，所以， 0=t M 0(3,P -6R ==所以有， (0)6sin sin f ϕϕ==-=因为，所以，π||2ϕ<π3ϕ=-即， ππ()6sin 603f t t ⎛⎫=-⎪⎝⎭所以B 错误； ππ4π(100)6sin 1006sin 66033f ⎛⎛⎫=⨯-==⨯=-⎪ ⎝⎭⎝对于C,由B 可知：盛水筒的纵坐标为， M -x，63x =⇒=±因为筒车旋转100秒时，所以此时盛水筒在第三象限，M 故，盛水筒和初始点的水平距离为,故C 正确； 3x =-M 0P 3(3)6--=对于D,因为，， πππ50(06032t x -=⇒=∈60]所以筒车在，秒的旋转过程中，盛水筒最高点到轴的距离的最大值为6，故D 正确．(060]M x故选：ACD三、填空题13．已知，，且，则的最小值是________．0x >0y >41x y +=11x y+【答案】9【分析】，再根据基本不等式求解. ()4111114511y xx y x x x x y y y y ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】 ()1114145111y xx y x x x y x y y y ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 又因为 40,00,0y xx y x y>>∴>>由基本不等式得，当且仅当并且 44y x x y +≥=4y x x y =41x y +=所以，所以，即的最小值为. 110,063y x =>=>459y x x y ++≥11x y +9故答案为：914．函数的表达式为，若，则实数的取值集合是______．()y f x =()3,12,1x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩()1f x >x 【答案】{}|2x x >-【分析】分类讨论和不同条件下，即可得到实数的取值集合. 1x ≤1x >()1f x >x 【详解】解：由题意在中，()3,12,1x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩当时，， 1x ≤()3f x x =+当时，解得：()1f x >21x -<≤当时，，1x >()2xf x =当时，解得： ()1f x >1x >综上，2x >-∴满足的实数的取值集合是 ()1f x >x {}|2x x >-故答案为：.{}|2x x >-15．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：．已知新丸经过50天后，体积变为．若一个新丸体积变为e kt V a -=⋅49a 827a，则需经过的天数为______． 【答案】75【分析】由题意，先算出，由此可算出一个新丸体积变为需经过的天数. 1504e 9k -⎛⎫= ⎪⎝⎭827a 【详解】由已知，得，504e 9ka a -=⋅∴． 1504e 9k-⎛⎫= ⎪⎝⎭设经过天后，一个新丸体积变为， 1t 827a 则， 18e 27kt a a -=⋅∴， ()115084e 279t t k -⎛⎫== ⎪⎝⎭∴，． 13502t =175t =故答案为：75.16．已知是定义在R 上的奇函数，满足，有下列说法： ()=y f x ()()12f x f x +=-①的图象关于直线对称； ()=y f x 3=2x ②的图象关于点对称；()=y f x 3,02⎛⎫⎪⎝⎭③在区间上至少有5个零点；()=y f x []0,6④若上单调递增，则在区间上单调递增． []0,1[]2021,2022其中所有正确说法的序号为_______． 【答案】②③④【分析】求得函数的图象关于点对称判断①②；求得在区间上零点个数=()y f x 3,02⎛⎫⎪⎝⎭()=y f x []0,6判断③；求得在区间上的单调性判断④ ()=y f x []2021,2022【详解】因为，所以，(1)(2)f x f x +=-(3)()f x f x +=故函数是周期为3的周期函数，又是定义在R 上的奇函数， ()f x =()y f x 则，所以，(3)()()f x f x f x +==--(3)()0f x f x ++-=故函数的图象关于点对称，故①错误，②正确；=()y f x 3,02⎛⎫⎪⎝⎭由题意可知，，因为，(6)(3)(0)0f f f ===()(3)()f x f x f x =+=--令，可得， 即， 32x =-3322f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322f f⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，从而，302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭93022f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故函数在区间上至少有5个零点，故③正确； =()y f x [0,6]因为，，202136741=⨯-20223674=⨯且函数在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增， ()f x [0,1]()f x [1,0]-故函数在区间上也单调递增，故④正确． ()f x [2021,2022]故答案为：②③④四、解答题17．设 {}{}22,430,0,1,4x U R A x x x B xC x a x a a R x ⎧⎫-==-+≤=<=≤≤+∈⎨⎬-⎩⎭(1)分别求(),U A B A B ⋂⋃ð(2)若，求实数的取值范围B C C = a 【答案】(1)；或 {}23A B x x =<≤ {|3U A B x x ⋃=≤ð}4x ≥(2) ()2,3a ∈【分析】（1）解不等式，直接计算集合的交集并集与补集；（2）根据集合间的计算结果判断集合间关系，进而确定参数取值范围.【详解】（1）解：解不等式可得，{}{}243013A x x x x x =-+≤=≤≤，{}20244x B x x x x ⎧⎫-=<=<<⎨⎬-⎩⎭所以，或，或； {}23A B x x =<≤ {2U B x x =≤ð}4x ≥{3U A B x x =≤ ð}4x ≥（2）解：由可得，且，B C C = C B ⊆C ≠∅所以，解得，即.214a a >⎧⎨+<⎩23a <<()2,3a ∈18．在平面直角坐标系xOy 中，角以Ox 为始边，点位于角的终边上．α)1P-α(1)求和的值；sin αcos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)若，求函数的定义域和单调递增区间．(),αππ∈-()()tan f x x α=-【答案】(1)，1sin 2α=-cos 4πα⎛⎫-=⎪⎝⎭(2)定义域，单调递增区间 |,3x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z 2,,33k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z【分析】（1）利用三角函数的定义，结合两角和与差的三角函数转化求解和的值；sin αcos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）求解角，然后利用正切函数的定义域以及单调区间求解即可． α【详解】（1）∵点位于角的终边上，，)1P-α1sin 2α∴=-cos α=1cos cos cos sin sin 4442πππααα⎛⎫∴-=+== ⎪⎝⎭（2），，(),αππ∈- 1sin 2α=-cos α=，所以6πα∴=-()tan 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,62x k k πππ+≠+∈Z ,3x k k ππ∴≠+∈Z 所以函数的定义域为|,3x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z 令，解得 ,262k x k k πππππ-+<+<+∈Z 2,33k x k k ππππ-+<<+∈Z 所以函数的单调递增区间 2,,33k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 19．已知函数（为常数且）的图象经过点， ()x f x b a =⋅,a b 0,1a a >≠(1,8)A (3,32)B （1）试求的值；,a b （2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围.11(()0x xm a b+-≥(,1]x ∈-∞m 【答案】（1）；（2）.2,4a b ==3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用函数图像上的两个点的坐标列方程组，解方程组求得的值. ,a b （2）将原不等式分离常数，利用函数的单调性，求出的取值范围.m m 【详解】（1）由于函数图像经过，，所以，解得，所以()f x (1,8)A (3,32)B 3832a b a b ⋅=⎧⎨⋅=⎩2,4a b ==.()2422x x f x +=⋅=（2）原不等式为，即在时恒成立，11(()0x x m a b +-≥11024x x m ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1124x xm ⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(,1]x ∈-∞而在时单调递减，故在时有最小值为，故1124x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(,1]x ∈-∞1x =1124x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11113244⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以实数的取值范围是. 34m ≤m 3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数的解析式，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查函数的单调性以及最值，属于中档题.20．已知函数. 21()sin()cos cos 64f x x x x π=-+-（1）求函数的最小正周期和单调区间；()f x （2）求函数在上的值域. ()f x [0,]2π【答案】⑴，递增区间为，递减区间 T π=[,36k k k Z ππππ-+∈2[,],63k k k Z ππππ++∈⑵ 11[,]42-【分析】整理函数的解析式可得：. ()1sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1）由最小正周期公式和函数的解析式求解最小正周期和单调区间即可.⑵结合函数的定义域和三角函数的性质可得函数的值域为. 11,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】 ()221111cos cos cos cos cos 2424f x x x x x x x x ⎫=-+-=⋅+-⎪⎪⎭11cos2111cos222422x x x x ⎫+=+⋅-=+⎪⎪⎭. 1sin 226x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1），T π=递增区间满足：， ()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z 据此可得，单调递增区间为， ,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦递减区间满足：， ()3222262k x k k ππππ+≤+≤π+∈Z 据此可得，单调递减区间为. 2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2），，， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 111sin 2,2642x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为. ()f x ∴11,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查三角函数的性质，三角函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本万元. 21()150600p x x x =++（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量（单8(60),130()15480,30m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？【答案】（1）300台；（2）90人.【解析】（1）每台机器人的平均成本为，化简后利用基本不等式求最小值；（2）由（1）()p x y x=可知，引进300台机器人，并根据分段函数求300台机器人日分拣量的最大值，根据最大值求若人工分拣，所需人数，再与30作差求解.【详解】（1）由总成本， 21()150600p x x x =++可得每台机器人的平均成本. 21150()11506001600x x p x y x x x x++===++因为. 1150112600y x x =++≥=当且仅当，即时，等号成立. 150600x x =300x =∴若使每台机器人的平均成本最低，则应买300台.（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量为：当时，300台机器人的日平均分拣量为130m ≤≤2160(60)1609600m m m m -=-+∴当时，日平均分拣量有最大值144000.30m =当时，日平均分拣量为30m >480300144000⨯=∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件.若传统人工分拣144000件，则需要人数为（人）. 1440001201200=∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少（人）.1203090-=【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，根据实际问题抽象出函数关系，并会求最值，本题最关键的一点时会求的最大值.()300q m 22．已知函数的图象过点，.()ln()()f x x a a R =+∈()1,02()()2f x g x x e =-（1）求函数的解析式；()f x （2）若函数在区间上有零点，求整数k 的值；()ln(2)y f x x k =+-()1,2（3）设，若对于任意，都有，求m 的取值范围. 0m >1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()ln(1)g x m <--【答案】（1）；（2）的取值为2或3；（3）.()ln f x x =k ()1,2【解析】（1）根据题意，得到，求得的值，即可求解；ln(1)0a +=a （2）由（1）可得，得到，设，根据题意转化为函()2ln 2y x kx =-2210x kx --=2()21h x x kx =--数在上有零点，列出不等式组，即可求解；()y h x =()1,2（3）求得的最大值，得出，得到，设()g x ()g m max ()ln(1)g x m <--22ln(1)m m m -<--，结合单调性和最值，即可求解.2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->()h m 【详解】（1）函数的图像过点，所以，解得， ()ln()()f x x a a R =+∈()1,0ln(1)0a +=0a =所以函数的解析式为.()f x ()ln f x x =（2）由（1）可知，，()2ln ln(2)ln 2y x x k x kx =+-=-(1,2)x ∈令，得，()2ln 20x kx -=2210x kx --=设，则函数在区间上有零点，2()21h x x kx =--()ln(2)y f x x k =+-()1,2等价于函数在上有零点，所以，解得， ()y h x =()1,2(1)10(2)720h k h k =-<⎧⎨=->⎩712k <<因为，所以的取值为2或3.Z k ∈k （3）因为且，所以且， 0m >1m m >1m >101m<<因为，2()22()22(1)1f x g x x e x x x =-=-=--所以的最大值可能是或， ()g x ()g m 1g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为 22112()2g m g m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22122m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ 112m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)0m m m m -⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭所以，2max ()()2g x g m m m ==-只需，即，max ()ln(1)g x m <--22ln(1)m m m -<--设，在上单调递增，2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->()h m (1,)+∞又，∴，即，所以，(2)0h =22ln(1)0m m m -+-<()(2)h m h <12m <<所以m 的取值范围是.()1,2【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，()f x 从而确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.。

2023-2024学年广东省广州市越秀区高一上册期末数学试题一、单选题1．设全集{}1,2,3,5,8U =，集合M 满足{}1,8U M =ð，，则（）A ．1M ∈B ．2M∉C ．3M∈D ．5M∉【正确答案】C【分析】根据补集的定义求出{}235M =，，，即可得到结果.【详解】因为{}1,8U M =ð，所以{}235M =，，，则3M ∈，所以C 正确.故选：C.2．对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a ＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．3．不等式26190x x --<的解集是（）A ．∅B ．RC ．13⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】D【分析】由一元二次不等式的解法求解即可.【详解】不等式26190x x --<可化为29610x x -+>，即2(31)0x ->，解得13x ≠，故原不等式的解集为11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.4．某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备．在过滤过程中，污染物含量M （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）之间的关系为0e ktW M -=（其中0M ，k 是正常数）．已知经过1h ，设备可以过滤掉50%的污染物，则过滤掉90%的污染物需要的时间约为（结果精确到0.1h ，参考数据：lg 20.3010≈）（）A ．3.0hB ．3.3hC ．6.0hD ．6.6h【正确答案】B【分析】由题意可得e 0.5k -=，进而得()0.10.5t=，利用指数与对数的关系可得0.5log 0.1t =，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可.【详解】由题意可知()00150%e kM M --=，所以e 0.5k -=，设过滤90%的污染物需要的时间为t ，则()00190%e ktM M --=，所以()()0.1e e 0.5ttkt k --===，所以0.5lg 0.1111log 0.1 3.3lg 0.5lg 20.311200lg t -====≈≈.故选：B.5．已知函数log ,log ,log ,log a b c d y x y x y x y x ====①②③④的大致图象如图所示，则（）A ．a c b a +<+B ．a d b c +<+C ．b c a d +<+D ．b d a c+<+【正确答案】A【分析】作直线1y =，则由log 1a a =，可得01c d a b <<<<<，进而由不等式性质可以判断A 正确，由不等式可加性可判断BCD 错误.【详解】作直线1y =，则由log 1a a =，可得01c d a b <<<<<，则由不等式性质可得a c b a +<+，所以A 正确.由不等式可加性可得a c b d +<+，故D 错误，不能推出B 、C ，故B 、C 错误.故选：A.6．方程e 410x x -+=的实数解所在的一个区间是（）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】利用函数零点存在定理即可求解.【详解】设()e 41xf x x =-+，1211e 41022f -⎛⎫-=+⨯+> ⎪⎝⎭，()00e 40120f =-⨯+=>，1211e 411022f ⎛⎫=-⨯+=> ⎪⎝⎭，()1e 41e 30f =-+=-<，3233e 41022f ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，所以()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00f x =，所以方程e 410x x -+=的实数解所在的一个区间是1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.7．下列函数中，最小正周期为π2，且在π(,0)4-上单调递减的是（）A ．)πsin(42y x =+B ．)πcos(42y x =-C ．tan(π2)y x =+D ．|sin(π2)|y x =+【正确答案】D【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，根据周期公式及三角函数的性质进行求解判断.【详解】c πsin(4)os 42y x x =+=，函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，4(π,0)x ∈-，则此函数在区间π(,0)4-上单调递增，故A 错误；s πcos(4)in 42y x x =-=，函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，4(π,0)x ∈-，则此函数在区间(,π48)π--上是单调递减，在区间()π8,0-上是单调递增，故B 错误；tan(π2)tan 2y x x =+=，函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，π2(,0)2x ∈-，则此函数在区间π(,0)4-上单调递增，故C 错误；|sin(π2)||sin 2||sin 2|y x x x =+=-=，因为sin 2y x =的最小正周期为π，则此函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，π2(,0)2x ∈-，|sin 2|sin 2y x x ==-，则此函数在区间π(,0)4-上单调递减，故D 正确.故选：D.8．设3log 2a =，5log 3b =，8log 5c =，则A ．b a c <<B ．a b c<<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】B【分析】根据对数函数的性质，结合基本不等式，即可得出结果.【详解】由对数性质，可得：(),,0,1a b c ∈，2255555l g 3l g 8l g 24log 3log 8122o o o +⎛⎫⎛⎫⋅<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5851log 3log 5log 8∴<=，即b c <；而3332log 2log log 3a ==，5552log 3log log 3b ==>=，综上所述，a bc <<.故选：B.本题主要考查比较对数式的大小，熟记对数函数的性质即可，涉及基本不等式的应用，属于常考题型.二、多选题9．已知命题2:R,10p x x x ∀∈-+>，则（）A ．命题p 是真命题B ．命题p 的否定是“2R,10x x x ∀∈-+=”C ．命题p 是假命题D ．命题p 的否定是“2R,10x x x ∃∈-+≤”【正确答案】AD【分析】利用配方法可判断命题的真假，根据全称命题的否定是特称命题写出命题的否定．【详解】2213R,1024x x x x ⎛⎫∀∈-+=-+> ⎪⎝⎭，则命题p 是真命题；命题p 的否定是“2R,10x x x ∃∈-+≤”，故A 、D 正确．故选：AD ．10．已知幂函数()y f x =的图象过点(，则（）A ．()12f x x =B ．()f x 的值域是[0,)+∞C ．()f x 是偶函数D ．()f x 在(0,)+∞上是减函数【正确答案】AB【分析】求出幂函数的解析式，然后根据幂函数的性质判断即可.【详解】设()f x x α=，∵()y f x =的图象过点(，∴1233α==，∴12α=，∴12()f x x =，从而可得，()f x 的定义域为[0,)+∞，值域是[0,)+∞，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，在[0,)+∞上是增函数，故A 、B 正确；C 、D 错误.故选：AB.11．已知5sin 13π3x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且ππ32x <<，则（）A ．5sin 13π6x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭B ．12cos 132π3x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭C ．tan 12π53x ⎛⎫= ⎪⎝-⎭D ．5cos 135π6x ⎛⎫-=⎪⎝⎭【正确答案】BCD【分析】根据角的范围及三角函数同角关系式求得cos 3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭π，tan π3x -⎛⎫⎪⎝⎭．由sin sin 2πππ63x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦结合诱导公式计算求解可判断A ；由πc c 2ππ3s 3o os x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦结合诱导公式计算求解可判断B ；由tan tan ππ33x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝-⎭-⎝⎭结合诱导公式计算求解可判断C ；由πc 2os 5ππ6s 3co x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦结合诱导公式计算求解可判断D.【详解】由ππ32x <<得ππ063x -<-<，则12cos 13π3x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，tan 12π53x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-.12sin sin cos 213ππππ633x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 错误；12cos cos cos 132ππππ333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确；tan ta 2ππ533n 1x x ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--，故C 正确；5cos cos sin 135ππππ6233x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.12．已知01a b <<<，则（）A ．b aa b <B ．log log a b b a >C ．log log 2a b b a +>D ．sin(sin )sin a b<【正确答案】ACD【分析】由x y a =的单调性可得b a a a <，由a y x =的单调性可得a a a b <，从而可判断A ；由log ,log a b y x y x ==的单调性可得log log ,log log a a b b a b a b ∴>>，从而可判断B ；由基本不等式可判断C ；利用结论：当π(0,)2x ∈时，sin x x <，可判断D.【详解】0< 1,x a y a <∴=在(0,)+∞上单调递减，又,b a a b a a <∴<，0,a a y x >∴= 在(0,)+∞上单调递增，由a b <得a a a b <，b a a b ∴<，故A 正确；由01a b <<<可知log ,log a b y x y x ==在(0,)+∞上均单调递减，log log ,log log a a b b a b a b ∴>>，log 1log a b b a ∴<<，故B 错误；由01a b <<<，可知lg lg log 0,log 0lg lg a b b a b a a b =>=>，因此lg lg log log 2lg lg a b b a b a a b +=+≥=，当且仅当a b =取等号，但已知01a b <<<，故等号不成立，从而得log log 2a b b a +>，故C 正确；当π(0,)2x ∈时，sin x x <．π012a b <<<< ，π0sin 2a ab ∴<<<<，又sin y x =在π(0,)2单调递增，所以sin(sin )sin sin a a b <<，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题13．若函数()f x =的定义域为A ，函数()()lg 2g x x =-的定义域为B ，则A ∩B =______.【正确答案】()1,2-【分析】先求得集合A B 、，再利用交集定义即可求得A B ⋂.【详解】()f x =的定义域为()1,-+∞；函数()()lg 2g x x =-的定义域为(),2-∞，则A B = ()1,2-.故()1,2-14．已知tan 2a =，则()2sin cos αα-=__________.【正确答案】15##0.2【分析】利用同角三角函数的基本关系，构造齐次式求解即可．【详解】()2222222sin cos 2sin cos tan 12tan sin cos sin cos 1tan 51ααααααααααα+-+--===++．故答案为.15四、双空题15．函数1101x y a a a -=+>≠(，)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是_____；若点P 在直线100)mx ny m n +=>>(，上，则21m n+的最小值为______.【正确答案】(1,2)；8【分析】利用指数幂的运算即可求得点P 的坐标，利用均值定理即可求得21m n+的最小值.【详解】当1x =时，1112a -+=，则函数1101x y a a a -=+>≠(，)的图象恒过定点(1,2)P ，点P 在直线100)mx ny m n +=>>(，上，可得2100)m n m n +=>>(，，则21214(2)4448n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当122m n ==时等号成立）故(1,2)；8五、填空题16．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若莱洛三角形的周长为π2，则其面积是___________.【正确答案】π8-【分析】根据图形分析，利用扇形面积和三角形的面积公式，即可求解.【详解】莱洛三角形的周长为π2，可得弧长6πA BCB AC===，则等边三角形的边长π16π23AB BC AC====，分别以点A、B、C为圆心，圆弧,,AB BC AC所对的扇形面积均为1π1π26224⨯⨯=，等边ABC的面积1122416S=⨯⨯=，所以莱洛三角形的面积是ππ3224168⨯-⨯.故答案为六、解答题17．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P⎛⎫-⎪⎝⎭(1)求sin cosαα+的值；(2)求sin(π)cos(π)πtan(2π)sin()2αααα--+++的值.【正确答案】(1)15-；(2)14【分析】（1）先利用三角函数定义求得sin cos αα、的值，进而求得sin cos αα+的值；（2）先求得tan α的值，再利用三角函数诱导公式即可求得该式的值.【详解】（1）角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则43sin ,cos 55αα=-=，则431sin cos 555αα+=-+=-；（2）由（1）得43sin ,cos 55αα=-=，则4tan 3α=-，则sin(π)cos(π)sin cos πtan cos tan(2π)sin()2αααααααα--++=++41sin cos tan 1134sin tan 43ααααα-+++====-18．已知函数()a f x x x=+.(1)若()15f =，判断()f x 的奇偶性，并说明理由；(2)若()43f =，判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，并加以证明.【正确答案】(1)()f x 是奇函数，理由见解析(2)()f x 在(0,)+∞上的单调递增，证明见解析【分析】（1）由(1)5f =求出a ，从而得()f x ，由函数奇偶性的定义求解即可；（2）由()43f =求出a ，从而得()f x ，由函数单调性的定义进行判断证明即可.【详解】（1）()f x 是奇函数，理由如下：∵()af x x x=+，且()15f =，∴15a +=，解得4a =∴4()f x x x=+，定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 又44()()()()f x x x f x x x-=-+=-+=--所以()f x 为奇函数.（2）()f x 在(0,)+∞上的单调递增，理由如下：∵()af x x x=+，且()43f =，∴434a +=，解得4a =-，∴4()f x x x=-设120x x <<，则2121212112()()()()4(14)4f x f x x x x x x x x x --=-=-+-∵120x x <<，∴21x x -0>，12410x x +>故21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >所以()f x 在(0,)+∞上的单调递增.19．已知函数1π()sin(0,R)23f x x x ωω=->∈的最小正周期为π.(1)求()f x 的单调递减区间；(2)求()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.【正确答案】(1)5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为4，最小值为14-.【分析】（1）根据周期可以求出2ω=，进而求出()f x 的单调递减区间；（2）根据π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求出π2π7π2,336x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，进而求出()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎣⎦上的最大值与最小值.【详解】（1）由题意可得2πT==πω，则2ω=，则1π()sin(2)23f x x =-，所以()f x 的单调递减区间需要满足：ππ3π2π22π(Z)232k x k k +≤-≤+∈，解得5π11πππ(Z)1212k x k k +≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为.5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知1π()sin(2)23f x x =-，因为π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则π2π7π2,336x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π1sin(2),32x ⎡-∈-⎢⎣⎦，则1(),4f x ⎡∈-⎢⎣⎦，所以()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦14-.20．已知函数||1()()2x f x a b =+的图象过点()0,2，且无限接近直线1y =但又不与该直线相交．(1)求函数()y f x =的解析式：(2)解关于x 的不等式3(ln )2f x <．【正确答案】(1)()||112x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)()10,e,e ⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据图象过点()0,2得,a b 的关系，根据图象无限接近直线1y =但又不与该直线相交求出b ，从而得解；（2）利用指数函数和对数函数的单调性求解即可．【详解】（1）由图象过点()0,2，得()02f a b =+=，∵函数||1()()2x f x a b =+无限接近直线1y =，但又不与该直线相交，∴1b =，从而1a =，∴()||112x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）由3(ln )2f x <得|ln |13122x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即|ln |1122x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则ln 1x >，所以ln 1x <-或ln 1x >，解得10ex <<或e x >．所以不等式3(ln )2f x <的解集为()10,e,e ⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭．21．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售人员的销售利润不低于10万元时，按其销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售人员的销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过其销售利润的25%．现有三个奖励模型：80.2, 1.02,log 1x y x y y x ===+，请分别判断这三个模型是否符合公司的要求？并说明理由．（参考数据： 1.028log 581.274,log 1000 3.322≈≈，当8x ≥时，8log 10.25x x +≤恒成立）【正确答案】奖励模型8log 1y x =+符合公司的要求，理由见解析【分析】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当[10,1000]x ∈时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③25%y x ≤⋅，根据函数的性质一一验证即可．【详解】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当[10,1000]x ∈时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③25%y x ≤⋅．对于0.2y x =，易知满足①，但当25x >时，>5y ，不符合公司的要求；对于 1.02x y =，易知满足①，但当82x ≥时， 1.02o 82l g 51.0251.02y >≥=，不符合公司的要求；对于8log 1y x =+，函数在[10,1000]上单调递增，而且函数的最大值8log 1000 3.3225≈<，因而满足①②，因为当8x ≥时，8log 10.25x x +≤恒成立，所以当[10,1000]x ∈时，8log 125%x x +<⋅，满足③，故符合公司的要求．综上，奖励模型8log 1y x =+符合公司的要求．22．对于定义在I 上的函数()f x ,若存在实数0x I ∈,使得()00f x x =,则称0x 是函数()f x 的一个不动点,已知2()2(0)f x ax x a =-+≠有两个不动点12,x x ,且122x x <<(1)求实数a 的取值范围；(2)设[]()log ()a F x f x x =-，证明：()F x 在定义域内至少有两个不动点.【正确答案】(1)10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）由题意，得到210ax x -+=的两个实数根为12,x x ，设2()1p x ax x =-+，根据二次函数的图象与性质，列出不等式即可求解；（2）把()F x x =可化为()2log 22a ax x x -+=，设2()220p x ax x =-+=的两个实数根为,m n ，根据1x =是方程()g x x =的实数根，得出()2()220n n h n a an n a =--+=>，结合函数()h x 单调性，即可求解．【详解】（1）因为函数()f x 有两个不动点12,x x ，所以方程()f x x =，即2220ax x -+=的两个实数根为12,x x ，记2()22p x ax x =-+，则()p x 的零点为1x 和2x ，因为122x x <<，所以(2)0a p ⋅<，即(42)0a a -<，解得102a <<，所以实数a 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）因为()2()log [()]log 22a a F x f x x ax x =-=-+方程()F x x =可化为()2log 22a ax x x -+=，即2222220x a ax x ax x ⎧=-+⎨-+>⎩设2()22p x ax x =-+，因为10,4(12)02a a <<∆=->，所以()0=p x 有两个不相等的实数根．设2()220p x ax x =-+=的两个实数根为,m n ，不妨设m n <．因为函数2()22p x ax x =-+图象的对称轴为直线1x a =，且1112(1)0,2,20,20p a p p a a a a ⎛⎫⎛⎫=>>=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以121m n a a <<<<．记()2()22x h x a ax x =--+，因为(1)0h =，且(1)0p a =>，所以1x =是方程()F x x =的实数根，所以1是()F x 的一个不动点，()2()220n n h n a an n a =--+=>，因为102a <<，所以24024,222a h a a a a ⎛⎫>=-<-< ⎪⎝⎭，且()h x 的图象在2,n a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象是不间断曲线，所以0,2x n a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，又因为()p x 在2,n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()0()0p x p n >=，所以0x 是()F x 的一个不动点，综上，()F x 在(,)a +∞上至少有两个不动点．。

2019-2020学年广东省广州市越秀区高一上学期期末考试
数学试卷
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．已知集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜4}，则集合A中的元素个数是（）
A．3B．4C．5D．6
2．如果点P（sinθ，cosθ）位于第四象限，那么角θ所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．若幂函数f（x）的图象过点（4，2），则f（a2）＝（）
A．a B．﹣a C．±a D．|a|
4．（）﹣2+log22等于（）
A ．B．3C．4D．5
5．（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
6．若函数在区间（1，e）上存在零点，则常数a的取值范围为（）A．0＜a＜1B ．C ．D ．
7．函数的最小正周期为（）
A ．B．πC．2πD．4π
8．已知α∈（π，π），cosα＝﹣，则tan （﹣α）等于（）
A．7B ．C ．﹣D．﹣7
9．如图所示，函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象过点，若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数为g（x），则g（0）＝（）
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2021-2022学年广东省广州市越秀区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}10A x x =+>，{}23B x x =-≤≤，则A B =（ ） A ．{}13x -<≤ B ．{}13x -<< C ．{}13x x -<≤ D ．{}13x x -<<【答案】C【分析】求出集合A ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】因为{}{}101A x x x x =+>=>-，{}23B x x =-≤≤，因此，{}13A B x x ⋂=-<≤.故选：C.2．若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A ．65-B ．25- C ．25D ．65【答案】C【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++ ()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++． 故选：C ．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan 2θ=-，求出sin ,cos θθ的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 3．已知31log 2a =，ln3b =，0.992c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】D【解析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.【详解】因为31log 02a =<，ln31b =>，0.99012c -<=<， 所以b c a >>， 故选：D4．下列说法中，错误的是（ ） A ．若22a b >，0ab >，则11a b < B ．若22a b c c>，则a b > C ．若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+ D ．若a b >，c d <，则a c b d ->-【答案】A【分析】逐一检验，对A ，取3,2a b =-=-，判断可知；对B ， 20c >，可知；对C ，利用作差即可判断；对D 根据不等式同向可加性可知结果. 【详解】对A ，取3,2a b =-=-，所以11a b>，故错误； 对B ，由20c >，22a b c c >，所以a b >，故正确； 对C, ()()()m b a a m a ab bm ab am b m b b b m b b m -++---==+⋅+⋅+， 由0b a >>，0m >，所以()()0m b a b b m ->⋅+，所以a m ab m b+>+，故正确；对D ，由c d <，所以c d ->-，又a b >，所以a c b d ->- 故选：A5．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象A ．向右平移6πB ．向右平移3π C ．向左平移6πD ．向左平移3π 【答案】B【分析】先将sin 2[2()]63y x cos x ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，进而由平移变换规律可得解.【详解】函数22sin 2cos[2]=cos(2)cos(2)[2()]626333y x x x x cos x ππππππ⎛⎫⎛⎫=-=---=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以只需将cos 2y x =向右平移3π可得[2()]3y cos x π=-.故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的图像平移变换，解题的关键是将函数名统一，需要利用诱导公式，属于中档题.6．下列全称量词命题与存在量词命题中：①设A 、B 为两个集合，若A B ⊆，则对任意x A ∈，都有x B ∈；②设A 、B 为两个集合，若A B ⊄，则存在x A ∈，使得x B ∉； ③{x yy ∀∈∣是无理数}，2x 是有理数； ④{x yy ∀∈∣是无理数}，3x 是无理数. 其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】对于命题①②，利用全称量词命题与存在量词命题的定义结合集合包含与不包含的意义直接判断；对于命题③④，举特例说明判断作答.【详解】对于①，因集合A 、B 满足A B ⊆，则由集合包含关系的定义知，对任意x A ∈，都有x B ∈，①是真命题；对于②，因集合A 、B 满足A B ⊄，则由集合不包含关系的定义知，存在x A ∈，使得x B ∉，②是真命题；对于③，显然{yy π∈∣是无理数}，2π也是无理数，则③是假命题； 对于④，显然32{yy ∈∣是无理数}，33(2)2=却是有理数，则④是假命题. 所以①②是真命题. 故选：B7．某人去上班，先跑步，后步行.如果y 表示该人离单位的距离，x 表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据随时间的推移该人所走的距离的大小的变化快慢，从而即可获得问题的解答，即先利用0x =时的函数值排除两项，再利用曲线的斜率反映行进速度的特点选出正确结果【详解】解：由题意可知：0x =时所走的路程为0，离单位的距离为最大值，排除A 、C ，随着时间的增加，先跑步，开始时y 随x 的变化快，后步行，则y 随x 的变化慢， 所以适合的图象为D ； 故选：D8．关于x 的不等式()(3)0ax b x -+<的解集为(-∞，3)(1-⋃，)+∞，则关于x 的不等式0ax b +>的解集为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞【答案】A【分析】根据题意可得1，3-是方程()(3)0ax b x -+=的两根，从而得到a b ，的关系，然后再解不等式0ax b +>从而得到答案.【详解】由题意可得0a <，且1，3-是方程()(3)0ax b x -+=的两根，1x ∴=为方程0ax b -=的根，a b ∴=， 则不等式0ax b +>可化为10x +<，即1x <-，∴不等式0ax b +>的解集为(,1)-∞-．故选: A ． 二、多选题9．下列四个命题中为真命题的是（ ） A ．“2x >”是“3x <”的既不充分也不必要条件B ．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件C ．关于x 的方程()200++=≠ax bx c a 有实数根的充要条件是240b ac =-≥△D ．若集合A B ⊆，则x A ∈是x B ∈的充分不必要条件 【答案】AC【分析】根据充要条件、必要条件的定义直接推导可得，注意集合的包含关系与充要条件的关系.【详解】{|2}{|3}x x x x >⊄<且{|3}{|2}x x x x <⊄>，所以A 正确；正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B 错误； 一元二次方程有实根则0≥，反之亦然，故C 正确； 当集合A =B 时，应为充要条件，故D 不正确. 故选：AC.10．下列式子中成立的是（ ）A ．1122log 4log 6<B ．0.30.31123⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ． 3.43.51122⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．32log 2log 3<【答案】BD【分析】由对数函数、指数函数和幂函数的单调性依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于A ，12log y x=在()0,∞+上单调递减，1122log 4log 6∴>，A错误；对于B ，0.3y x =在[)0,+∞上单调递增，0.30.31123⎛⎫⎛⎫∴> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，B 正确； 对于C ，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减， 3.43.51122⎛⎫⎛⎫∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误； 对于D ，3322log 2log 31log 2log 3<==<，D 正确. 故选：BD.11．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0>ω，0A >，2πϕ<）的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．为了得到()sin 2g x x =的图象，只要将()f x 的图象向右平移6π个单位长度 B ．函数()f x 的图象的一条对称轴为712x π= C ．函数()f x 在区间0,10π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．方程()0f x =在区间[]0,2020上有1285个实数解 【答案】AB【分析】先由图像求出()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后逐项分析，对于A ，利用三角函数图像变换规律判断即可，对于B ，求出函数的对称轴方程，再判断，对于C ，求出函数的单调区间判断，对于D ，由()0f x =解得,26k x k Z ππ=-∈，然后判断即可. 【详解】根据图象可知，1A =，741234T πππ=-=，T π=，则2ω=， 因为2sin 033f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以22()3k k Z πϕππ+=+∈，其中||2ϕπ<，故3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；把()f x 图象向右平移6π个长度，可得到()sin 2g x x =的图象，A 选项正确；令2()32x k k Z πππ+=+∈，解得1()122x k k Z ππ=+∈，当1k =时一条对称轴为712x π=，B 选项正确；由222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z ，得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，当0k =时，()f x 在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，当1k =时，()f x 在713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，1210ππ<，所以函数()f x 在0,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在7,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以函数在区间0,10π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，因此C 选项错误； 由()0f x =，得2,3x k k Z ππ+=∈，解得,26k x k Z ππ=-∈，当2020x =时，202026k ππ-=，得1286.9k ≈，当0k =时，6x π=-，当1k =时，3x π=，，所以函数()f x 在区间[0,2020]上有1286个零点，D 选项错误． 故选:AB.12．已知函数()sin cos f x x x =，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于直线y 轴对称B ．()f x 在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．()f x 的图象关于直线2x π=轴对称D ．()f x 的最大值为12【答案】BCD【分析】1sin 2,,222()sin cos 13sin 2,,222x x f x x x x x ππππ⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦==⎨⎛⎤⎪-∈⎥⎪⎝⎦⎩，画出其图象，然后逐一判断即可.【详解】1sin 2,,222()sin cos 13sin 2,,222x x f x x x x x ππππ⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦==⎨⎛⎤⎪-∈⎥⎪⎝⎦⎩，其图象如下所示：由图可知，()f x 的图象关于直线2x π=对称，故A 错误，C 正确；()f x 在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故B 正确； ()f x 的最大值为12，()f x 的最小值为12-，故D 正确故选：BCD【点睛】本题考查的是三角函数的图象及其性质，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题. 三、填空题13．sin330︒=_________. 【答案】12-【解析】根据诱导公式可求该值.【详解】()1sin330sin 36030sin302︒=︒-︒=-︒=-. 故答案为：12-.【点睛】诱导公式有五组，其主要功能是将任意角的三角函数转化为锐角或直角的三角函数．记忆诱导公式的口诀是“奇变偶不变，符号看象限”．本题属于基础题. 14．函数()22211m m y m m x --=--是幂函数，且在()0,x ∈+∞上是减函数，则实数m =__________.【答案】2【分析】根据函数为幂函数求参数m ，讨论所求得的m 判断函数是否在()0,x ∈+∞上是减函数，即可确定m 值.【详解】由题设，211m m --=，即220m m --=，解得1m =-或2m =，当1m =-时，2221(1)2(1)12m m --=--⨯--=，此时函数在()0,x ∈+∞上递增，不合题意；当2m =时，222122211m m --=-⨯-=-，此时函数在()0,x ∈+∞上递减，符合题设. 综上，2m =. 故答案为：215．若0m >，0n >，3m n +=，则14m n+的最小值为___________. 【答案】3【分析】利用基本不等式常值代换即可求解. 【详解】因为0m >，0n >，3m n +=，所以()1411414145523333n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4n mm n=，即1,2m n ==时，等号成立， 所以14m n+的最小值为3， 故答案为：316．已知定义在()(),00,∞-+∞上的偶函数()f x ，当0x >时，()223log ,02,815, 2.x x f x x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩若直线()y a a R =∈与函数()y f x =的图象恰有八个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，7x ，8x ，则12345678x x x x x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅的取值范围是___________. 【答案】(144,225)【分析】先作出函数的大致图象，由函数性质及图象可知八个根是两两关于y 轴对称的，因此分析可得561x x =,341x x =，进而将12345678x x x x x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅转化为212781237488567()x x x x x x x x x x x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==形式，再数形结合，求得结果.【详解】作出函数()223log ,02,815, 2.x x f x x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩的图象如图：直线()y a a R =∈与函数()y f x =的图象恰有八个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，7x ，8x ，不妨设从左到右分别是1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，7x ，8x ，则0<<3a ， 由函数解析式以及图象可知：2526log log x x -= ， 即561x x = ，同理：341x x = ；由图象为偶函数，图象关于y 轴对称可知：1827,x x x x =-=- ，所以212781237488567()x x x x x x x x x x x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==又因为78,x x 是方程28150x x a -+-= 的两根， 所以7815x x a =- ，而0<<3a ，所以121515a <-< ，故278()(144,225)x x ∈ ，即12345678(144,225)x x x x x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈， 故答案为：(144,225) 四、解答题17．已知全集U =R ，集合{}240A x x x =-<，{}232B x m x m =≤≤-.(1)当2m =时，求()UA B ；(2)如果A B A ⋃=，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)R . (2){}2,m m m R ≠∈【分析】（1）由集合交补定义可得.（2）由A B A ⋃=可得B A ⊆建立不等关系可得解. (1)当2m =时, ()0,4A =，{}4B =，A B =∅，()UA B =R(2)因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，B =∅，232m m -<，1m <或2m >，B ≠∅，2120324m m m ≤≤⎧⎪>⎨⎪-<⎩，12m ≤<，综上：m 的取值范围是{}2,m m m R ≠∈18．已知角α的终边落在直线y =上，且1cos 7α=-.(1)求tan2α的值； (2)若()11cos 14αβ+=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求β的值.【答案】(1)(2)3π 【分析】（1）易角α是第三象限的角，从而确定sin α的符号，再由同角三角函数的关系式求得sin ,tan αα，然后利用二倍角公式得解；（2）可得,()2αβππ+∈，再求得sin()αβ+的值，根据()βαβα=+-，由两角差的余弦公式，展开运算即可． (1)解：（1）由题意知，角α是第三象限的角，1cos7α=-，sin α∴=sintan cos ααα∴==∴22tan tan 21tan ααα==-(2)（2）由（1）知，3(,)2παπ∈， (0,)2πβ∈，(,2)αβππ∴+∈，11cos()014αβ+=>，()sin αβ∴+=1111cos cos[()]cos()cos sin()sin ()((1472βαβααβααβα∴=+-=+++=⨯-+⨯=， 3πβ∴=．19．已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()02x ,和022x ,π⎛⎫+- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求0sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ；. 【解析】【详解】试题分析：（1）由已知得A 和2T ，利用2πωT =即可求出函数()f x 的解析式；（2）由已知得0x 的值，代入，即可得0sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 试题解析：（1）解：由题意可得2A =， 1分00222T x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭， 3分 ∴.T π= 4分由得， 5分∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 6分 （2）解：∵ 点()0,2x 是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在y 轴右侧的第一个最高点, ∴ 0262x ππ+=. 7分 ∴ 06x π=. 8分∴0sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 64ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9分 sin cos cos sin 6464ππππ=+ 10分 12322=11分 26+=分 【解析】1、三角函数的图象与性质；2、两角和的正弦公式．20．已知()2221x x a a f x ⋅+-=+是定义在R 上的奇函数. (1)求实数a 和()1f 的值；(2)根据单调性的定义证明：()f x 在定义域上为增函数.【答案】(1)1；13(2)见详解2.【分析】（1）由()00f =可得a ，再求值.（2）设12x x <，作差()()12f x f x -与零比较.(1)因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，1a =，()21212121x x x f x -==-++， ()113f =(2)设12x x <，则()()()()()121212122222221212121x x x x x x f x f x --=-+=++++， 12x x <，1222x x ∴<，12220x x -<，所以()()120f x f x -<，()()12f x f x <，故()f x 在定义域上为增函数.21．某化工企业致力于改良工艺，想使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为30mg /m r ，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为31mg /m r ，第n 次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为3mg /m n r ，则可建立函数模型()()0.5001=5R,N*n P n r r r r P n +--⋅∈∈，其中n 是指改良工艺的次数.已知02r =，1 1.94r =（参考数据：lg 20.3≈）.(1)试求该函数模型的解析式；(2)若该地环保部门要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08mg /m ，试问至少进行多少次改良工艺才能使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？【答案】(1)()0.50.5=20.065N*n n r n --⋅∈； (2)6.【分析】（1）将02r =，1 1.94r =代入函数模型解解得答案；（2）结合题意，解出指数不等式即可.(1)根据题意，()0.51.94=22 1.9450.5P P +--⋅⇒=-，所以该函数模型的解析式为()0.50.5=20.065N*n n r n --⋅∈.(2)由（1），令()0.50.50.50.510lg 2=20.0655320.50.5lg55lg 20.018lg5n n n r n n ---⋅≤≥⇒-≥⇒≥+⇒， 则100.3100.31,1 5.30.70.7n ⨯⨯≥++≈，而*n ∈N ，则6n ≥. 综上：至少进行6次改良工艺才能使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.22．设a 为实数，函数2()2f x x ax =-．（1）当1a =时，求()f x 在区间[]0,2上的最大值；（2）设函数()(),()g x f x t a =为()g x 在区间[]0,2上的最大值，求()t a 的解析式； （3）求()t a 的最小值.【答案】（1）0（2）t （a）242222442a a a a a a ⎧-⎪⎪=≤⎨⎪-≥⎪⎩，＜＜，（3）12﹣【分析】（1）a ＝1时，函数f （x ）＝（x ﹣1）2﹣1，根据二次函数的性质即可求出它的值域；（2）化简g （x ）＝|f （x ）|＝|x （x ﹣2a ）|，讨论确定函数的单调性，求出最大值，得出t （a ）的解析式；（3）分别求出各段函数的最小值（或下确界），比较各个最小值，其中的最小值，即为求t （a ）的最小值．【详解】（1）a ＝1时，f （x ）＝x 2﹣2x ＝（x ﹣1）2﹣1，∵x ∈[0，2]，∴﹣1≤x ﹣1≤1，∴﹣1≤（x ﹣1）2﹣1≤0，()f x 在区间[]0,2上的最大值为0； （2）g （x ）＝|f （x ）|＝|x （x ﹣2a ）|，①当a ≤0时，g （x ）＝x 2﹣2ax 在[0，2]上是增函数，故t （a ）＝g （2）＝4﹣4a ；②当0＜a ＜1时，g （x ）在[0，a ）上是增函数，在[a ，2a ）上是减函数，在[2a ，2]上是增函数， 而g （a ）＝a 2，g （2）＝4﹣4a ，g （a ）﹣g （2）＝a 2+4a ﹣4＝（a ﹣2）（a2），故当0＜a ＜2时，t （a ）＝g （2）＝4﹣4a ，当2≤a ＜1时，t （a ）＝g （a ）＝a 2，③当1≤a ＜2时，g （x ）在[0，a ）上是增函数，在[a ，2]上是减函数，故t （a ）＝g （a ）＝a 2，④当a ≥2时，g （x ）在[0，2]上是增函数，t （a ）＝g （2）＝4a ﹣4，故t （a）242,222442a a a a a a ⎧-⎪⎪=≤⎨⎪-≥⎪⎩＜＜，； （3）由（2）知，当a ＜2时，t （a ）＝4﹣2a是单调减函数，()8t a >-当22a ≤<时，t （a ）＝a 2是单调增函数，且t （a ）的最小值为t （2）＝12﹣当2a ≥时，t （a ）＝4a ﹣4是单调增函数，最小值为t （2）＝4；比较得t （a ）的最小值为t （2）＝12﹣【点睛】本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值问题的解法，含参以及含绝对值的二次函数在闭区间上的最值问题和分段函数的最值问题的解法，意在考查学生的分类讨论思想意识以及数学运算能力．。

【区级联考】广东省广州市越秀区【最新】高一（上）期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}A x x 2018=，a 2019=，则下列关系中正确的是( ) A ．a A ∈ B ．a A ∉ C ．a A ⊆ D ．a A = 2．若cos θ0>，sin θ0<，则角θ是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．已知幂函数()n f x x =的图象经过点(，则()f 9的值为( )A ．3B ．3±C ．12D ． 4．设0.7a log 1.7=，0.7b log 1.8=， 1.8c 0.7=，则( )A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<5．函数()x f x 23x 7=+-的零点所在的一个区间是( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭6．函数()()sin cos sin cos y x x x x =+-的最小正周期是（ ）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π7．已知向量()()cos ,,2,1a sin b θθ==-，且a b ⊥，则tan 4πθ⎛⎫-⎪⎝⎭的值是（ ） A ．13 B ．3- C ．3 D ．13- 8．为了得到函数1πy 2sin x 36⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数1y 2sin x 3=的图象上所有点( ) A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π6个单位长度 C ．向左平移7π2个单位长度 D ．向右平移π2个单位长度 9．已知()f x 是偶函数，且在[)0,∞+上是减函数，若()()f lnx f 1>，则x 的取值范围是( )A ．()()1,00,1-⋃B ．()0,eC ．()()e,00,e -⋃D ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭10．若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为2y x 2x 1=-+，值域为{0,4，16}的“孪生函数”共有( )A ．4个B ．5个C ．8个D ．9个11．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为( )A ．1500元B ．1550元C ．1750元D ．1800元二、解答题12．已知向量()a 1,2=，()b 3,4=-，()c 5,k =． ()1若()()a b a c 10+⋅-=-，求实数k 的值； ()2若向量m 满足m //a ，且m =m ．13．设全集U =R ，集合2A={x|x -4x-12<0}，B={x|(x-a)(x-2a)<0}．（1）当a=1时，求集合U A B ⋂；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围．14．如图，现要在一块半径为r(r 0)>，圆心角为60的扇形纸板POQ 上剪出一个平行四边形OABC ，使点B 在弧PQ 上，点A 在半径OP 上，点C 在半径OQ 上．设αBOA ∠=()1求S 关于α的函数关系式；()2求S 的最大值及相应的α值．15．阅读下面材料：()()()()22233sin3θsin 2θθsin2θcos θcos2θsin θ2sin θcos θ12sin θsin θ2sin θ1sin θsin θ2sin θ3sin θ4sin θ=+=+=+-=-+-=-解答下列问题：()1证明：3cos3θ4cos θ3cos θ=-；()2若函数()πcos 3x π4f x msin x 5π4cos x 4⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭=++- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭在πx 0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有零点，求实数m 的取值范围．参考答案1．A【解析】【分析】根据集合A 中元素满足的性质2018,2019x a >=，我们可以判断出元素a 与集合A 的关系．【详解】因为集合{}|2018,2019A x x a =>=，所以a A ∈．故选A ．【点睛】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键．2．D【分析】利用三角函数的定义，可确定0,0y x <>，进而可知θ在第四象限．【详解】 根据三角函数的定义有()sin ,cos 0y x r r r θθ==>，所以0,0x y ><， 所以θ在第四象限，故选D ．【点睛】当θ的终边在不同象限的时候，其三个三角函数值的符号也发生变化，记忆的口诀是“全正切余”即：第一象限全为正，第二象限正弦正，第三象限切为正，第四象限余弦正． 3．A【分析】推导出()12f x x=，由此能求出()9f ． 【详解】代入点(，则有3n =，故12n =，所以()93f =，故选A ． 【点睛】本题考查幂函数解析式的求法，属于基础题．4．C【解析】【分析】根据对数函数的单调性及中间数0可得三个数的大小关系．【详解】因为0.70.70.7log 1.8log 1.7log 10<<=且 1.80.70>，故b a c <<，选C ．【点睛】对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数的运算性质统一底数.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递.5．C【分析】利用零点存在定理可判断零点所在的区间.【详解】()f x 为R 上的增函数，又()35120, 2.8 2.50.3022f f ⎛⎫=-=-=> ⎪⎝⎭，故零点所在对的区间为 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，选C ． 【点睛】不可解方程的零点所在区间应该通过零点存在定理来寻找，一般地要先考虑函数的单调性，再选择合适的区间(),a b ，使得()()0f a f b <，其中,a b 要依据解析式的形式来选取（()(),f a f b 要容易计算）.6．B【分析】利用二倍角公式化简可得cos2x y =-，再利用公式求最小正周期．【详解】22sin cos cos 2y x x x =-=-，故最小正周期为22T ππ==，选B ． 【点睛】本题考查三角函数最小正周期的求法，是基础题．7．A【分析】由已知求得tan θ，然后展开两角差的正切求解．【详解】解：由(cos ,sin ),(2,1)a b θθ==-，且a b ⊥，得2cos sin 0θθ-=，即tan 2θ=．tan tan 2114tan 412131tan tan 4πθπθπθ--⎛⎫∴-=== ⎪+⨯⎝⎭+⋅，故选A ． 【点睛】本题考查数量积的坐标运算，考查两角差的正切，是基础题．8．C【分析】 把函数12sin 36y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭化成172sin 32y x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即可得平移的方向及其大小． 【详解】 函数12sin 36y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭可化简为1172sin 2sin 3636y x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，也就是172sin 32y x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故只需把12sin 3y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭向左平移72π个单位即可得到12sin 36y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图像，故选C ． 【点睛】三角函数的图像往往涉及振幅变换、周期变换和平移变换，找寻两个不同函数的图像的变换时，首先它们的函数名要相同，其次两者之间的周期变换看ω，左右平移看φω．注意周期变换和平移变换（左右平移）的次序对函数解析式的影响，比如sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，它可以由sin y x =先向左平移3π个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的12，也可以先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向左平移6π. 9．D【分析】利用偶函数的性质()()f x fx =把原不等式转化为()()ln 1f x f >，再根据[)0,+∞上是减函数得到ln 1x <可得1x e e<<． 【详解】 因为()f x 为偶函数且在[)0,+∞上是减函数，原不等式转化为()()ln 1f x f >，故ln 1x <即1ln 1x -<<， 解得1x e e<<，故选D ． 【点睛】对于偶函数()f x ，其在对称两侧的单调性是相反的，并且()()()f x f x f x ==-，对于奇函数()g x ，其在对称两侧的单调性是相同的．另外解函数不等式要利用函数的单调性去掉对应法则f ．10．D【解析】【分析】根据值域可得定义域中应该含有的元素，分类列出可得不同函数的种数．【详解】令0y =，则1x =；令4y =，则1x =-或3x =；令16y =，则3x =-或5x =；设定义域为A ，A 中的自变量x 对于的函数值为0，则x 可取1，共有1种情况；同理A 中的自变量x 对于的函数值为4，则x 可取1-，也可取3，也可以取1,3-，共有3种情况，A 中的自变量x 对于的函数值为16，则x 可取3-，也可取5，也可以取3,5-，共有3种情况，故不同的定义域的个数为9种，它们分别为：{}1,1,3--．{}1,1,5-，{}1,3,3-，{}1,3,5；{}1,1,3,3--．{}1,1,3,5-，{}1,3,3,5-，{}1,3,3,5-；{}1,1,3,3,5--，故不同函数的种数为9．【点睛】函数有三要素即函数的定义域、对应法则和值域，如果知道前两者，则值域是唯一确定的，如果知道值域和对应法则，则定义域不确定，需结合对应法则考虑原像的不同情况． 11．A【分析】设此商场购物总金额为x 元，可以获得的折扣金额为y 元，可得到获得的折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合5025y =>，代入可得某人在此商场购物总金额，减去折扣可得答案．【详解】设此商场购物总金额为x 元，可以获得的折扣金额为y 元，由题设可知：()()0,08000.05800,80013000.1130025,1300x y x x x x ⎧<≤⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩，因为5025y =>，所以1300x >，所以()0.113002550x ⨯-+=，解得1550x =， 故此人购物实际所付金额为1550501500-=（元），故选A ．【点睛】本题为数学应用题，应依据题意构建数学模型（其数学模型为分段函数）后解一元一次不等式可得实际问题的解，注意利用不同范围上的函数值的范围构建需要的不等式．12．（1）5k =；（2）()m 3,6=或()3,6--.【分析】（1）利用坐标运算可得()()246210k -⨯-+⨯-=-，解这个方程可得5k =；（2）因向量共线故可设m a λ=，利用已知的模长可得λ的值从而得到所求的向量．【详解】（1）由题设有()2,6a b +=-，()4,2a c k -=--，因为()a b +()10a c -=-，故()()246210k -⨯-+⨯-=-，所以5k =．（2）因为m a ，故(),2m a λλλ==，所以22445λλ+=，解得3λ=±，所以()3,6m =或()3,6m =--．【点睛】如果()()1122,0,,a x y b x y =≠=，那么：（1）若//a b ，则存在实数λ使得b a λ= 且1221x y x y =；（2）若a b ⊥，则12120x x y y +=；13．（1）(][)2,12,6-；（2）[]1,3-. 【分析】（1）求出集合,A B 后可得到(][)2,12,6U A C B =-；（2）就0,0a a =≠分类讨论，再根据B A ⊆建立不等式组，解这个不等式组可得要求的范围．【详解】（1）当1a =时，()1,2B =，所以(][),12,U C B =-∞+∞， 而()2,6A =-，故(][)2,12,6U A C B =- ．（2）当0a =时，B φ=，符合；当0a ≠时，因为B A ⊆，所以26226a a -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，解得13a -≤≤且0a ≠． 综上，13a -≤≤．【点睛】含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式大于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．注意解B 中的不等式时可根据包括关系直接得到两个不等根满足的不等式组．14．（1）22S r sin 2αr 366π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，03απ<<；（2）最大值是2r 6，相应α的值是6π. 【分析】（1）过B 作BM OP ⊥，垂足为M ，则可用α的三角函数来表示平行四边形OABC 的面积S .（2）利用α的范围求出S 的最大值即可.【详解】（1）过B 作BM OP ⊥，垂足为M则sin ,cos BM r OM r αα==，cos sin 3OA OM AM r r αα=-=-， 设平行四边形OABC 的面积为S ，则cos sin sin S OA BM r r ααα⎛⎫=⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭22cos sin 3r ααα⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭21sin 22266r αα⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭22sin 2366r πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，其中03πα<<，因52666πππα<+<，所以1sin 2126πα⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，当6πα=时，2max S r = .【点睛】非直角三角形中边、角的关系，可通过作高线把非直角三角形转化为直角三角形来考虑．另外对于形如()22sin sin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为()()'sin 2'f x A x B ωϕ=++的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、最值等.15．（1）详见解析；（2）(⎤⎦.【分析】（1）依据sin3θ的公式推导过程推导即可.（2）利用诱导公式和cos3θ的公式把函数()f x 化为()24cos cos 244f x x m x ππ⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用换元法和参变分离法得到方程24m t t =+在,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上有解，利用函数()24g t t t=+可得m 实数的取值范围． 【详解】（1）证明：()cos3cos 2cos2cos sin 2sin θθθθθθθ=+=-()()222cos 1cos 21cos cos θθθθ=---34cos 3cos θθ=-（2）()3cos 34sin 54cos 4x f x m x x πππ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=++- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭ 24cos cos 244x m x ππ⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令cos 4t x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2t ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦，所以2240t mt --+=在2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦有解， 参变分离可得24m t t =+在2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上有解， 令()24g t t t =+，设1212t t <<<，则12112t t <<， 故()()()121212240g t g t t t t t ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，所以()24g t t t =+在2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上是增函数， 所以()g t的值域为(⎤⎦即(m ⎤∈⎦．【点睛】（一）三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法．（二）方程的有解问题可通过参变分离把问题转化为不含参数的函数的值域问题．。

越秀区高一上学期期末教学质量检查考生注意：本卷共三大题，20小题，满分150分，时间120分钟.不准使用计算器.参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=（其中S 为底面面积，h 为高）， 球的表面积公式24R S π= ， 球的体积公式334R V π=（其中R 为球的半径）.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确. 请用2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．） 1. 下列函数中，是偶函数的是（ ）A ．2)(x x f =B ．x x f =)(C ．xx f 1)(= D ．3)(x x x f += 2．下列各式正确的是 （ ）A ． 3334<B . 6log 4log 5.05.0<C . 33) 21() 21 (>- D . 4.1lg 6.1lg <3．直线01234=+-y x 在y 轴上的截距是 （ ）A. 4B. －4C. 3D. －34.如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（ ）A ．圆锥B ．三棱锥C ．三棱柱D ．三棱台5. 函数x e x f x +=)(的零点所在一个区间是（ ）A.（-2,-1）B. （-1,0）C. （0,1） D （1,2）6．下列四组函数，表示同一函数的是（ ）A ．x x g x x f ==)( ,)(2B ．332)( ,2log )(x x g x f x ==C ．x x g x x f ==)( ,) ()(2D ．xx x g x x f 2)( ,)(==（第4题图）7．与直线3450x y ++=关于x 轴对称的直线的方程为（ ）A ．3450x y -+=B ．0543=-+y xC ．0534=-+y xD ．0534=++y x 8. 已知α是平面，b a ,是直线，且a //b ，a ⊥平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ）A ．b ⊂平面αB ．b ⊥平面αC ．//b 平面αD ． b 与平面α相交但不垂直9．已知()x f x a =，()log (01)a g x x a a =≠>且，若0)2()1(<⋅g f ，那么()f x 与()g x 在同一坐标系内的图像可能是（ ）10.已知偶函数)(x f y =在区间(,0]-∞上是增函数，下列不等式一定成立的是（ ） A.(3)(2)f f >- B.()(3)f f π->C.2(1)(23)f f a a >++D.22(2)(1)f a f a +>+二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．） 11. 直线01=+-y x 的倾斜角是 .12. 已知⎩⎨⎧>-≤+=0 ,20 ,1)(2x x x x x f ，则=))1((f f .13. 正方体的表面积与其内切球表面积的比为 .14．函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，并且当)(∞+∈,0x 时，()2x f x =，那么，(1)f -= .三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分12分）已知集合{}02≥-=x x A ,集合{}3<=x x B . (1) 求B A ⋃； (2) 求B A ⋂； (3) 求)()(B C A C R R ⋃16. （本小题满分14分）求经过直线03:1=-+y x l 与直线01:2=--y x l 的交点M ，且分别满足下列条件的直线方程：（1）与直线032=-+y x 平行； （2）与直线032=-+y x 垂直.17.（本小题满分14分）如图，正方形ABCD 的边长为1，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD互相垂直，H G ,是FC DF ,的中点． （1）求证：//GH 平面CDE ； （2）求证：BC CDE ⊥平面； （3）求三棱锥ABC G -的体积．18.（本小题满分12分）如图：A 、B 两城相距100 km ，某天燃气公司计划在两地之间建一天（第17题图）燃气站D 给A 、B 两城供气. 已知D 地距A 城x km ，为保证城市安全，天燃气站距两城市的距离均不得少于10km . 已知建设费用y (万元)与A 、B 两地的供气距离(km)的平方和成正比，当天燃气站D 距A 城的距离为40km 时, 建设费用为1300万元.（供气距离指天燃气站距到城市的距离）（1）把建设费用y (万元)表示成供气距离x (km)的函数，并求定义域；（2）天燃气供气站建在距A 城多远，才能使建设供气费用最小.，最小费用是多少？19. （本小题满分14分）已知函数1)(+-=x cx x f , 其中c 为常数，且函数)(x f 图像过原点. (1) 求c 的值；(2) 证明函数)(x f 在[0,2]上是单调递增函数；(3) 已知函数31)()(-=x e f x g , 求函数)(x g 的零点.20. （本小题满分14分）若函数()f x 满足：对定义域内任意两个不相等的实数12,x x ,都有1212()()()22f x f x x xf ++>，则称函数()f x 为H 函数.已知cx x x f +=2)(,且)(x f 为偶函数.(1) 求c 的值；(2) 求证:()f x 为H 函数；(3) 试举出一个不为H 函数的函数)(x g ,并说明理由.BA（第18题图）第一学期期末教学质量检查高一数学B 答案一、选择题ACACB BABCC16. （本小题满分14分） 解：由⎩⎨⎧=--=-+0103y x y x 得⎩⎨⎧==12y x ,所以)1,2(M . …………………2分(1)依题意，可设所求直线为：)0(02≠=++c c y x . …………………4分因为点M 在直线上，所以0122=++⨯c ,解得：5-=c . ………………7分 所以所求直线方程为：052=-+y x . …………………9分 (2)依题意，设所求直线为：02=+-c y x . …………………10分因为点M 在直线上，所以0122=+⨯-c ,解得：0=c …………12分 所以所求直线方程为：02=-y x . …………………14分（3）解：依题意: 点G 到平面ABCD 的距离h 等于点F 到平面ABCD 的一半, ………11分 即: 21=h . …………………12分 ∴12121112131=⋅⋅⋅⋅=-ABC C V . ………………14分(求底面积对的有1分)18. （本小题满分12分）解：（1）设比例系数为k ,则])100([22x x k y -+=)9010(≤≤x . ……………3分(不写定义域扣1分)又1300,40==y x , 所以)6040(130022+=k ,即41=k , ……………5分 所以)5000100(21])100([41222+-=-+=x x x x y )9010(≤≤x . ………7分 （2）由于2500)50(21)5000100(2122+-=+-=x x x y , ………………10分所以当x ＝50时，y 有最小值为1250万元. …………………11分所以当供气站建在距A 城50km, 电费用最小值1250万元. ……12分19. 解: (1) 函数)(x f 图像过原点,∴ 0)0(=f ,即0=c . …………………3分(3) 令031131)()(=-+=-=xx xe e ef xg , …………………12分 21=∴xe , …………………13分 即2ln -=x . …………………14分20. （本小题满分14分）解:(1)因为()f x 为偶函数,所以0=c .22212121212()()()()2222f x f x x x x x x xf ++++-=- …………………4分=2121()04x x ->, …………………5分 1212()()()22f x f x x xf ++∴>，即()f x 为H 函数. …………………6分(3) 例:2()log g x x =. ……………8分(说明:底数大于1的对数函数或2x -都可以) . 理由:当121,2x x ==时,1222()()11(log 1log 2)222g x g x +=+=, …………………10分122221231()log log log 22222x x g ++==>=, …………………12分显然不满足1212()()()22g x g x x xg ++>, 所以该函数2()log g x x =不为H 函数. …………………14分。

广东省广州市越秀区2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x+1＞0}，B＝{x|﹣2≤x≤3}，则A∩B＝（）A．{﹣1＜x≤3}B．{﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x≤3}D．{x|﹣1＜x＜3} 2．若tanθ＝﹣2，则＝（）A．﹣B．﹣C．D．3．已知a＝log3，b＝ln3，c＝2﹣0.99，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a4．下列说法中，错误的是（）A．若a2＞b2，ab＞0，则B．若，则a＞bC．若b＞a＞0，m＞0，则D．若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d5．为了得到函数的图象，可以将函数y＝cos2x的图象（）个单位A．向右平移B．向右平移C．向左平移D．向左平移6．下列全称量词命题与存在量词命题中：①设A、B为两个集合，若A⊆B，则对任意x∈A，都有x∈B；②设A、B为两个集合，若A⊈B，则存在x∈A，使得x∉B；③∀x∈{y|y是无理数}，x2是有理数；④∀x∈{y|y是无理数}，x3是无理数．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．47．某人去上班，先快速走，后中速走．如果y表示该人离单位的距离，x表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（）A．B．C．D．8．关于x的不等式（ax﹣b）（x+3）＜0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则关于x的不等式ax+b＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）二、选择题：本题共有4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列四个命题中为真命题的是（）A．“x＞2”是“x＜3”的既不充分也不必要条件B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件C．关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有实数根的充要条件是Δ＝b2﹣4ac≥0D．若集合A⊆B，则x∈A是x∈B的充分不必要条件10．下列式子中成立的是（）A．log4＜log6B．（）0.3＞（）0.3C．（）3.4＜（）3.5D．log32＜log2311．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中ω＞0，A＞0，）的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．为了得到g（x）＝sin2x的图象，只要将f（x）的图象向右平移个单位长度B．函数f（x）的图象的一条对称轴为C．函数f（x）在区间上单调递增D．方程f（x）＝0在区间[0，2020]上有1285个实数解12．已知函数f（x）＝sin x|cos x|，，有以下结论（）A．f（x）的图象关于直线y轴对称B．f（x）在区间上单调递减C．f（x）的图象关于直线轴对称D．f（x）的最大值为三、填空题：本题共有4小题，每小题5分，共20分.13．计算sin330°＝．14．函数y＝（m2﹣m﹣1）是幂函数，且在x∈（0，+∞）上是减函数，则实数m ＝．15．若m＞0，n＞0，m+n＝3，则的最小值为．16．已知定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数f（x），当x＞0时，，若直线y＝a（a∈R）与函数y＝f（x）的图象恰有八个交点，其横坐标分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，则x1•x2•x3•x4•x5•x6•x7•x8的取值范围是．四、解答题：本题共有6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|m≤x≤3m﹣2}．（1）当m＝2时，求∁U（A∩B）；（2）如果A∪B＝A，求实数m的取值范围．18．（12分）已知角α的终边落在直线上，且．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）若，，求β的值．19．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+）（A＞0，ω＞0）的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+，﹣2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求sin（x0+）的值．20．（12分）已知是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求实数a和f（1）的值；（Ⅱ）根据单调性的定义证明：f（x）在定义域上为增函数．21．（12分）某化工企业致力于改良工艺，想使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为r0mg/m3，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为r1mg/m3，第n次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为r n mg/m3，则可建立函数模型r n＝r0﹣（r0﹣r1）•50.5n+P（P∈R，n∈N*），其中n是指改良工艺的次数．已知r0＝2，r1＝1.94（参考数据：lg2≈0.3）．（Ⅰ）试求该函数模型的解析式；（Ⅱ）若该地环保部门要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过0.08mg/m3，试问至少进行多少次改良工艺才能使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？22．（12分）设a为实数，函数f（x）＝x2﹣2ax．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）在区间[0，2]上的最大值；（Ⅱ）设函数g（x）＝|f（x）|，h（a）为g（x）在区间[0，2]上的最大值，求h（a）的解析式；（Ⅲ）求h（a）的最小值．【参考答案】一、选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．C【解析】因为集合A＝{x|x+1＞0}＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|﹣2≤x≤3}，则A∩B＝{x|﹣1＜x≤3}．故选：C．2．C【解析】由题意可得：＝＝＝．故选：C．3．D【解析】∵，∴a＜0，∵ln3＞ln e＝1，∴b＞1，∵0＜2﹣0.99＜20＝1，∴0＜c＜1，∴b＞c＞a，故选：D．4．A【解析】对于A，若a2＞b2，ab＞0，取a＝﹣4，b＝﹣2，则＞，故A错误；对于B，若，则＞0，所以a＞b，故B正确；对于C，若b＞a＞0，m＞0，则b﹣a＞0，则＝＞0，所以，故C正确；对于D，若a＞b，c＜d，则﹣c＞﹣d，所以a﹣c＞b﹣d，故D正确．故选：A．5．B【解析】∵y＝cos2x＝sin（2x+），∴y＝sin（2x+）向右平移个单位得到y＝sin[2（x﹣）+）]＝sin（2x﹣），故选：B．6．B【解析】根据A⊆B的定义可知，任意x∈A，都有x∈B，故①正确；若A⊈B，则存在x∈A，使得x∉B，故②正确；对于③④，π，是无理数，而π2是无理数，是有理数，故③④错误．故选：B．7．D【解析】当x＝0时，距离学校最远，不可能是0，排除A，C，先快速走，距离学校的距离原来越近，而且变化速度较快，排除B，故选：D．8．A【解析】由题意可得a＜0，且1，﹣3是方程（ax﹣b）（x+3）＝0的两根，∴x＝1为方程ax﹣b＝0的根，∴a＝b，则不等式ax+b＞0可化为x+1＜0，即x＜﹣1，∴不等式ax+b＞0的解集为（﹣∞，﹣1）．故选：A．二、选择题：本题共有4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．ACD【解析】对于A，“x＞2”是“x＜3”的既不充分也不必要条件，故A正确；对于B，“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B错误；对于C，ax2+bx+c＝0（a≠0）有实数根⇔Δ＝b2﹣4ac≥0，故C正确；对于D，若集合A⊆B，则x∈A是x∈B的充分不必要条件，故D正确．故选：ACD．10．BD【解析】根据对数函数的性质，当0＜a＜1时，对数函数为减函数，故A错误，根据幂函数的性质，当幂指数大于0时，函数在第一象限单调递增，∵＞，∴（）0.3＞（）0.3，故B正确，根据指数函数的性质，当0＜a＜1时，为减函数，C错误．∵log32＜log33＝1，log23＞log22＝1，∴log32＜log23，故D正确．故选：BD．11．AB【解析】由图知，A＝1，最小正周期T＝4×（﹣）＝π，所以ω＝＝2，所以f（x）＝sin（2x+φ），将点（，﹣1）代入函数解析式中，得﹣1＝sin（2•+φ），所以+φ＝﹣+2kπ，k∈Z，即φ＝2kπ﹣，k∈Z，因为，所以当k＝1时，φ＝，所以函数f（x）的解析式为f（x）＝sin（2x+），选项A，将f（x）＝sin（2x+）＝sin2（x+）的图象向右平移个单位可得到g（x）＝sin2x，即A正确；选项B，由图可知，x＝是f（x）图象的一条对称轴，即B正确；选项C，离y轴右侧最近的最高点对应的横坐标为﹣＝＜，所以函数f（x）在区间（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，即C错误；选项D，f（x）在一个周期[0，π]内有2个零点，而643π≈2019.02＜2020，即区间[0，2020]重复了643个周期的函数图象，所以方程f（x）＝0在区间[0，2020]上有643×2＝1286个实数解，即D错误．故选：AB．12．BCD【解析】当x∈[﹣，]时，f（x）＝sin x|cos x|＝sin x cos x＝sin2x，当x∈（，]时，f（x）＝sin x|cos x|＝﹣sin x cos x＝﹣sin2x，作出函数f（x）的图象如图：则函数关于y轴不对称，故A错误，区间[，π]的中点坐标为，区间[π，]的中点坐标为，则f（x）在区间[，]上单调递减，故B正确，由图象知f（x）关于x＝对称；故C正确，当x∈[﹣，]时，2x∈[﹣π，π]，当2x＝时，f（x）取得最大值，故D正确，故正确的是BCD，故选：BCD．三、填空题：本题共有4小题，每小题5分，共20分.13．﹣【解析】sin330°＝sin（360°﹣30°）＝﹣sin30°＝﹣．故答案为：﹣.14．2【解析】由题设条件及幂函数的定义知，由①解得m＝2，或m＝﹣1，代入②验证知m＝﹣1不合题意，故m＝2，故答案为2.15．3【解析】由m+n＝3，得（m+n）＝1，又m＞0，n＞0，所以+＝（m+n）（+）＝++≥+2＝3，当且仅当＝，即m＝1，n＝2时等号成立，所以+的最小值为3．故答案为：3．16．（144，225）【解析】作出函数f（x）的图象如下图所示，由图可知，0＜a＜3，由对称性可知，x1+x8＝0，x2+x7＝0，且x3x4＝x5x6＝1，∴x1•x2•x3•x4•x5•x6•x7•x8＝，∵x7，x8是方程x2﹣8x+15﹣a＝0的两个根，由根与系数的关系可得，x7x8＝15﹣a∈（12，15），∴∈（144，225），即x1•x2•x3•x4•x5•x6•x7•x8的取值范围为（144，225）．故答案为：（144，225）．四、解答题：本题共有6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：（1）A＝{x|0＜x＜4}，m＝2时，B＝{x|2≤x≤4}，∴A∩B＝{x|2≤x＜4}，且U＝R，∴∁U（A∩B）＝{x|x＜2或x≥4}；（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A，①B＝∅时，m＞3m﹣2，解得m＜1；②B≠∅时，，解得1≤m＜2；综上，实数m的取值范围为（﹣∞，2）．18．解：（I）由题意得，α的终边在第三象限，因为，所以sinα＝，tanα＝4，所以tan2α＝＝＝﹣；（II）因为，k∈Z，，所以α+β∈（π+2kπ，2π+2kπ），k∈Z，又，所以sin（α+β）＝﹣，所以cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝＝，所以．19．解：（1）∵图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+，﹣2）．∴A＝2，＝x0+﹣x0＝，即函数的周期T＝π，即T＝，解得ω＝2，即f（x）＝2sin（2x+）．∴2x0+＝，即x0＝，则sin（x0+）＝sin（+）＝sin cos+cos sin＝（sin+cos）＝（）＝．20．解：（Ⅰ）∵f（x）是R上是奇函数，∴f（0）＝0，即f（0）＝＝0，得a＝1，此时f（x）＝，则f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），则f（x）为奇函数，满足条件，则f（1）＝＝．证明：（Ⅱ）f（x）＝＝＝1﹣，设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝，∵x1＜x2，∴＜，则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），即f（x）在R上是增函数．21．解：（I）根据题意，1.94＝2﹣（2﹣1.94）⋅50.5+P⇒P＝﹣0.5，所以该函数模型的解析式为（II）由（I），令，，则，而n∈N*，则n≥6．综上：至少进行6次改良工艺才能使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．22．解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x2﹣2x＝x（x﹣2）＝（x﹣1）2﹣1，∵x∈[0，2]，∴当x＝1或2时，f（x）取得最大值0，即f（x）在区间[0，2]上的最大值为0．（Ⅱ）g（x）＝|f（x）|＝|x（x﹣2a）|，①当a≤0时，g（x）＝x2﹣2ax在[0，2]上单调递增，∴h（a）＝g（2）＝4﹣4a；②当0＜a＜1时，g（x）在[0，a）上是单调递增，在[a，2a）上单调递减，在[2a，2]上单调递增，而g（a）＝a2，g（2）＝4﹣4a，∵g（a）﹣g（2）＝a2+4a﹣4＝（a﹣2+2）（a+2+2），∴当0＜a＜2﹣2时，h（a）＝g（2）＝4﹣4a；当2﹣≤a＜1时，h（a）＝g（a）＝a2，③当1≤a＜2时，g（x）在[0，a）上是单调递增，在[a，2]上单调递减，∴h（a）＝g（a）＝a2，④当a≥2时，g（x）在[0，2]上是单调递增，∴h（a）＝g（2）＝4a﹣4，综上所述，h（a）＝，（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a＜2﹣2时，h（a）单调递减，无最小值，当2≤a＜2时，h（a）＝a2单调递增，∴h（a）的最小值为h（2﹣2）＝12﹣8，当a≥2时，h（a）＝4a﹣4单调递增，最小值为h（2）＝4，比较可知，h（a）的最小值为h（2﹣2）＝12﹣8．。