近世代数第1讲

近世代数知识点近世代数知识点第一章基本概念1.1集合●A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A.1.2映射●证明映射：●单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。

●满射：像集合中每个元素都有原像。

Remark：映射满足结合律！1.3卡氏积与代数运算●{（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般A*B不等于B*A.●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。

1.4等价关系与集合的分类★等价关系：1 自反性：∀a∈A,a a;2 对称性：∀a,b∈R, a b=>b a∈R;3 传递性：∀a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R.Remark：对称+传递≠自反★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。

第二章群2.1 半群1.半群=代数运算+结合律，记作（S,）Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。

ii.若半群中的元素可交换，即a b=b a,则称为交换半群。

2.单位元i.半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。

ii.单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。

iii.在有单位元的半群中，规定a0=e.3.逆元i.在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。

ii.逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元=可逆元。

iii.若一个元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，则a1=a2,且为a的逆元。

4.子半群i.设S是半群，≠T S,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个子半群ii.T是S的子半群a,b T,有ab T2.2 群1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元Remark：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel群.ii. 加群=代数运算为加法+交换群iii.单位根群Um={m=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL(n,p).2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元=代数运算+结合律+∀a,b G,ax=b,ya=b有解3. 群的性质i. 群满足左右消去律ii.设G是群，则∀a,b G,ax=b,ya=b在G中有唯一解iii.e是G单位元⇔ e2=eiv.若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群4. 群的阶群G的阶，即群G中的元素个数，用表示。

《近世代数》课程教案第一章 基本概念教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。

集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。

理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n 的剩余类。

教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n 的剩余类。

教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n 的剩余类。

教学措施：网络远程。

教学时数：8学时。

教学过程：§1 集合定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。

集合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。

定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为∅，且∅是任一集合的子集。

（1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。

（2）集合表示：习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合，习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。

若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ∉∈否则记为,。

表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）： 例：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。

2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。

近世代数近世代数是数学中的一个重要分支，它主要研究代数结构及其应用。

近世代数产生于19世纪中叶，一开始被视为是整数理论的一部分，但随着研究的深入，近世代数逐渐发展成为一门独立的数学分支。

在这篇文章中，我们将对近世代数的概念、发展以及主要结论进行探讨。

一、近世代数的概念近世代数是指从巴格-瓦列理公式出发，发展起来的一种代数学，它主要研究代数结构的一般理论。

在近世代数中，我们主要研究群、环和域这三种代数结构，这三种代数结构都可以看作一组数以及对这些数进行运算的一种集合。

群：群是一种代数结构，它包含了一组有限或无限个元素以及一种二元运算。

这种运算满足结合律、单位元素存在和逆元素存在的条件，这里的逆元素指的是一个元素与之相乘可以得到单位元素。

环：环是一种代数结构，它包含了一组有限或无限个元素以及两种二元运算。

这两种运算被称作加法和乘法，加法满足结合律、交换律、单位元素存在以及逆元素存在的条件，乘法满足结合律和分配律。

域：域是一种代数结构，它包含了一组有限或无限个元素以及两种二元运算。

这两种运算被称作加法和乘法，加法满足结合律、交换律、单位元素存在以及逆元素存在的条件，乘法满足结合律、交换律、单位元素存在以及逆元素存在的条件。

此外，对于任意的非零元素，都有其乘法逆元素存在。

二、近世代数的发展1、伽罗华理论伽罗华理论是19世纪中期出现的一种代数理论，该理论最初的研究对象是方程的根式解。

伽罗华理论的主要思想是利用群论的方法研究方程的根的性质。

2、李群和黎曼猜想20世纪初，李群的概念被引入到了数学中。

李群是一种具有光滑结构和群结构的数学对象，它将代数和几何联系起来，是现代微分几何和物理学中不可或缺的数学工具之一。

黎曼猜想是数论中的一个著名猜想，它关于大约150年前被提出，至今尚未证明。

其主要内容是，对于任意正整数n，大于1的所有素数p都满足：p的虚部等于n的平方根。

3、格罗滕迪克定理格罗滕迪克定理是当代近世代数的一个重要定理，该定理表明，任何有限群都可以表示为一些简单有限群的直积。

第一章§1.1集合§1.2映射与变换教学内容：集合，子集，集合相等的概念集合关系及运算的定义和性质映射，单射，满射，双射，逆映射的定义及例子变换，置换等的定义及例子映射的象及逆象的定义，映射的乘法教学重点：集合的关系及运算，映射变换的定义，映射的乘法在很多课程中都学过有关集合的知识，一些基本的概念和结论不再重复，这里，只复习一下不太熟悉的知识，并在符号上做一个统一的规定。

1、用Z表示整集合，Z*表示非零整数集，用ψ表示有理数集，ψ*表示非零有理数数集等。

Z+ ，ψ+…R,C…2、AB表示A是B的子集，A=B或ABAB表示A是B的真子集，即B中有不存在A的元素AB表示A不是B的子集AB表示A不是B的真子集A=BAB且BA3、如果集合A含有无穷多个元素，则记为=,如果A含有n个元素，则记为=n。

（A的阶），有+=+4、称集合A-B={aaA, aB}为集合A与B的差集。

易知有A-B=A5、集合A有很多子集，将A的所有子集放在一起（包括空集）也组成一个集合，称为A的幂集，记作P(A)。

=（=n）映射是函数的推广，函数的定义中要求有两个数集，而映射中，是一般的集合6、定义：设A,B是两个集合，如果有一个法则，他对于A中每个元素，在B中都有一个唯一确定的元素y与它对应，则称为从A到B的映射。

这种关系常表示为：AB 或：xy 或y=（x）xy且称y为x在之下的像，称x为y在之下的原像或逆像。

由定义可知，映射必须满足三个条件：①A中每个元素都有像，②A中元素的像是唯一的，③A中元素的像在B里。

例：P6例1-6例1.不是映射，不满足①例2.不是映射，不满足②例3.不是映射，不满足③例4.是映射，不单不满例4.是映射，不单，满例6.是映射，单不满7、映射是函数概念的推广，是对应法则，A是定义域，B包含值域，根据B是否与值域相等，可将映射区分为是否是满射。

A中不同元素的像可能相同，也可能不同，据此可区分映射是否为单射。

第 1 讲第 一 章 基 本 概 念§1—3 集合、映射及代数运算 （2课时）（Sets mapping and algebra operation ）本讲教学目的和要求：本讲主要介绍本书中将用到的有关集合、映射和代数运算的一些基本知识和基本概念。

要求学生掌握以下概念：1、元素属于（不属于）集合与集合包含（不包含）另一集合的区别。

2、子集、真子集；集合的运算（交、并、差、补、布而和等）。

3、映射的定义，元素关于硬是个的象、逆象。

单射、满射、双射及卡氏（cartesian ）积。

4、代数运算（包括A A A D B A 到和到⨯⨯）本讲的重点和难点：代数运算（二元运算）的掌握及映射概念的把握。

尤其是掌握各类映射（单射、满射及双射）的定义、陈述。

本讲的教法及教具：使用投影仪和展示台。

在教学过程中充分启发学生进行思考和提问。

本讲思考题：蕴涵在教学过程中。

布置作业：)2();2)(1();1(964P P P 。

教学内容及过程：一、集合定义1：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。

集合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。

例1：师院99级数学与应用数学专业的全体学生组成一个集。

而每个学生就称为这个集中的元素。

定义2：没有元素的集合叫做空集，记为∅，且∅是任一集合的子集。

例2：一切满足方程0122=+x 的实数组成的集合是空集。

（1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。

例3：“由我院胖子组成的集合”这不能组成一个集合。

（违反了确定性）例4：集合中的元素要求两两互异。

即：｛1，2，2，3｝=｛1，2，3｝。

（2）集合表示：习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合，习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。

若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ∉∈否则记为,。

表示集合通常有三种方法：1、枚举法（列举法）：例5：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。