人教版九年级数学上册 二次函数的图像和性质讲义(无答案)

人教版九年级上册数学《二次函数》微专题复习讲义（二次函数的图像及性质）知识点一：二次函数的定义形如y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数. 例：如果函数y=(a －1)x 2是二次函数，那么a 的取值范围是 . 知识点二：二次函数解析式（1） 三种解析式：①一般式：y=ax 2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a ≠0)，其 中二次函数的顶点坐标是（h,k ）; ③交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2),其中x 1,x 2为抛物线与x 轴交点的横坐标.（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式. 知识点三：二次函数的图象与性质 1. 图象2. 对称轴x ＝ 2b a-. 3.顶点坐标24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.4. 增减性当x>2b a -时，y 随x 的增大而增大；当x ＜2ba -时，y 随x 的增大而减小. 当x>2b a -时，y 随x 的增大而减小；当x ＜2ba-时，y 随x 的增大而增大.5. 最值x=2b a -，y 最小＝244ac b a-.x=2b a -，y 最大＝244ac b a-.6. 系数a 、b 、c 的关系y =ax 2+bx +c (a ＞0)y =ax +bx +c (a ＜0)能力过关练习：1.抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是( )A.直线x=2B.直线x=-2C.直线x=1D.直线x=-12.若A(-4，y1)，B(-3，y2)，C(1,y3)为二次函数y=x2+4x-m的图象上的三点，则y 1， y2， y3的大小关系是（）A.y1＜y2＜y3B.y2＜y1＜y3C.y3＜y1＜y2D.y1＜y3＜y23.将抛物线y＝－2x2＋1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为( )A.y＝－2(x＋1)2－1B.y＝－2(x＋1)2＋3C.y＝－2(x－1)2＋1D.y＝－2(x－1)2＋34.抛物线y=x2-2x+m2+2(m是常数)的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点(0，1)和(-1，0)．下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是( )A.1个B.4个C.3个D.2个6. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则( )A.b>0,c>0B.b>0,c<0C.b<0,c<0D.b<0,c>07.将二次函数y=x2-4x+5化成y=a(x-h)2+k的形式为.8.如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab ＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是．（填上所有正确结论的序号）9.如图,二次函数y=a(x-2)2+k的图象与x轴交于A,B两点,且点A的横坐标为-1,则点B的横坐标为.10.二次函数S=-t2+12t-20(0≤t≤10)的最大值是 ,最小值是.11.如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上,顶点C的坐标为(4,3),D是抛物线y=-x2+6x上一点,且在x轴上方,则△BCD面积的最大值为________.12.若抛物线y＝x2－2x－3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为 ________．13. 已知二次函数y=-x2﹣2x+3．（1）求函数图象的对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点的坐标，并画出函数的大致图象；（2）根据图象直接写出函数值y为负数时，自变量x的取值范围．14.如图,抛物线y=ax2-5ax+4a与x轴相交于点A,B,且过点C(5,4).(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标.(2)请你设计一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限,并写出平移后抛物线的表达式.15. 已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点16. 如图，已知抛物线y=-14C，若已知B点的坐标为B（8，0）.（1）求抛物线的解析式.（2）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN 的最大值；。

第10讲 二次函数的图像和性质〔二〕知识要点梳理1. 二次函数2y ax bx c =++通过配方可以变成()2y a x h k =-+的形式，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，． 2y ax bx c =++的性质〔1〕. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-． 〔2〕. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值244ac b a-． 3. 二次函数2y ax bx c =++与一元二次方程02=++c bx ax 的关系(图象与x 轴的交点个数)： ① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的间隔 21AB x x =-=② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点，交点坐标为)0,2(ab - ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．4. 二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，〔假设与x 轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点〕.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.经典例题6422++-=x x y 配方成2()y a x h k =-+的形式，并指出它开口方向、对称轴和顶点坐标。

人教版数学九年级上册《22.1.2二次函数y=ax2 的图象和性质》说课稿1一. 教材分析人教版数学九年级上册《22.1.2二次函数y=ax^2 的图象和性质》这一节，是在学生已经掌握了函数的概念、一次函数的图象和性质的基础上，进一步引导学生学习二次函数的图象和性质。

通过这一节的学习，使学生能够掌握二次函数的一般形式，了解二次函数的图象特征，以及掌握二次函数的性质。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对一次函数的图象和性质有了初步的了解。

但是，二次函数相对于一次函数来说，图象和性质更加复杂，需要学生有一定的抽象思维能力。

此外，学生可能对二次函数的图象和性质在实际问题中的应用还不够清晰，需要教师在教学中进行引导和启发。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握二次函数的一般形式，了解二次函数的图象特征，掌握二次函数的性质。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探究二次函数的图象和性质。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神和合作意识。

四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的一般形式，二次函数的图象特征，二次函数的性质。

2.教学难点：二次函数的图象和性质在实际问题中的应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等，引导学生主动探究，提高学生的参与度和积极性。

2.教学手段：利用多媒体课件，展示二次函数的图象和性质，使抽象的知识更加直观形象。

同时，利用练习题和案例，帮助学生巩固所学知识。

六. 说教学过程1.导入：通过复习一次函数的图象和性质，引出二次函数的一般形式，激发学生的学习兴趣。

2.探究二次函数的图象特征：让学生观察二次函数的图象，引导学生发现二次函数的顶点、开口方向等特征。

3.探究二次函数的性质：通过小组讨论，让学生归纳出二次函数的增减性、对称性等性质。

二次函数图像与性质复习讲义1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数c bx ax y ++=2可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.3.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.4.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.（1）a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同. （2）抛物线的顶点、对称轴：①a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=， ∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.②抛物线()k h x a y +-=2的顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.5.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<a b（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置. 抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.6.几种特殊的二次函数的图像特征如下：7.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 8.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.（4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； ③方程组无解时⇔l 与G 没有交点. （6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程 02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,，()22121x x x x AB -=-=()a a ac b a ca b x x x x ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=4442221221xyO1 1O xy3二次函数的图像1.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（ ） A.y=x 2-x-2B.y=121212++-x C.y=121212+--x xD.y=22++-x x2.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（ ）A ．21y y <B ．21y y =C ．21y y >D ．不能确定4.如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确．．．的是（ ） A ．h m = B ．k n = C ．k n >D ．00h k >>，5.已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图4所示，有下列四个结论：20040b c b ac <>->①②③ ④0a b c -+<，其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6.已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：111-O xy11 1- Oxy 1211O1xyac ，a+b+c ，4a －2b+c ，2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（ ） A ．2 B. 3C. 4D. 57.小强从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）0a <；（2） 1c >；（3）0b >；（4） 0a b c ++>；（5）0a b c -+>. 你认为其中正确信息的个数有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个8.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =，则下列四个结论错误．．的是（ ） A ．0c > B ．20a b +=C ．240b ac -> D ．0a b c -+>9.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示， 则下列关系式不正确的是（ ） A ．a ＜0B. abc ＞0C. c b a ++＞0D. ac b 42-＞010.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ） A ． ①②B ． ①③④C ． ①②③⑤D ． ①②③④⑤OxyA图5x = 2BxyO11.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则下列关系式中错误．．的是（ ） A ．a ＜0 B ．c ＞0 C ．ac b 42-＞0 D ．c b a ++＞013.已知二次函数c bx ax y ++=2 (a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论： ①a ＞0. ②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．014.已知二次函数y ＝Ax 2＋Bx ＋C 的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A ．a ＞0 B ．c ＜0C ．b 2－4ac ＜0D ．a ＋b ＋c ＞015.如图5，已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点 A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为（ ） A ．（2，3） B ．（3，2） C ．（3，3）D ．（4，3）16.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则一次函数a bx y +=的 图象不经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限OyxO1 －117.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A ．ab ＜0B ．ac ＜0C ．当x ＜2时，函数值随x 的增大而增大；当x ＞2时，函数值随x 的增大而减小D ．二次函数y =ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点的横坐标就是方程ax 2+bx+c =0的根。

二次函数的图象和性质例题讲解：例1、在平面直角坐标系中画出y=x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2的图象y=x2表格：x -2 -1 0 1 2 yy=-x2表格：x -2 -1 0 1 2 yy=2x2表格：x -2 -1 0 1 2 yy=-2x2表格：x -2 -1 0 1 2 y通过画图我们可以得出二次函数y=ax 2的性质：1、二次函数的图象叫做_________，是__________图形；顶点坐标是______，对称轴是__________2、a>0，开口向_____；a<0，开口向_____3、|a|越大，开口越____；|a|越小，开口越____例2、抛物线215y x =-不具有的性质是（ ） A.开口向下 B.对称轴是y 轴 C.与y 轴不相交 D.最高点是坐标原点例3、如图所示,在同一坐标系中,作出①23x y = ②221x y = ③2x y =的图象则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是 (填序号)例4、下列说法错误的是（ ）A ．二次函数y=3x 2中，当x>0时，y 随x 的增大而增大B ．二次函数y=－6x 2中，当x=0时，y 有最大值0C ．a 越大图象开口越小，a 越小图象开口越大D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y=ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点思考：对于二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)，既然a 控制抛物线的开口，那么b 和c 控制什么呢？知识点三：函数的图象和性质知识回顾：函数平移法则:_______________________________例1、将y=2x 2向右平移3个单位，再上移1个单位，所得新的抛物线的解析式为__________，顶点坐标是__________，对称轴是__________再看更一般的情况：将y=ax 2向右平移h 个单位，再上移k 个单位，所得新的抛物线解析式为_________________________________叫做二次函数的顶点式，顶点坐标（ ， ） ， 对称轴是_________________总结：要确定二次函数的顶点和对称轴，可用配方法把它配成顶点式，再根据平移的思想判断出来例2、求二次函数y=x 2-2x+4的顶点坐标和对称轴 例3、求二次函数y=-x 2-4x-6的顶点坐标和对称轴例4、抛物线22-=x y 的顶点坐标为（ ）A ．（2，0）B ．（-2，0）C ．（0，2）D ．（0，-2）例5、抛物线2(1)3y x =-+的对称轴是（ ） A 、直线1x =B 、直线3x =C 、直线1x =-D 、直线3x =-例6、抛物线 y ＝-2(x ＋1)2＋3的顶点坐标是1、函数y=-x 2-4x+3图象顶点坐标是（ ） A.（2，-7） B.（-2，7） C.（-2，-7）D.（2， 7）2、抛物线()12212++=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，-1） D ．（-2，-1）3、 y=(x －1)2＋2的对称轴是直线（ ）A ．x=－1B ．x=1C ．y=－1D ．y=14、抛物线y=x 2-2x+1的对称轴是 ( )A 、直线x=1B 、直线x=-1C 、直线x=2D 、直线x=-25、二次函数的最小值是（ ）．A 、2B 、1C 、－3D 、236、抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x7、抛物线y=2(x-3)2的顶点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. x 轴上D. y 轴上2(1)2y x =++8、函数y=x 2-2x+3的图象的顶点坐标是( )A. (1，-4)B.(-1，2)C. (1，2)D.(0，3)9、将二次函数322+-=x x y 配方成k h x y +-=2)(的形式，则y=______________________10、对于2)3(22+-=x y 的图象下列叙述正确的是（ ）A 、顶点坐标为(－3，2)B 、对称轴为y=3C 、当3≥x 时y 随x 增大而增大D 、当3≥x 时y 随x 增大而减小11、用配方法把y ＝-x 2＋4x ＋5化为y ＝a(x-h)2＋k 的形式为y ＝ ，其开口方向 ，对称轴为 ，顶点坐标为12、若将二次函数y=x 2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式，则y=___________13、已知抛物线y= -2（x+3）²+5，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是_______定理：二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0）的顶点坐标是24(,)24b ac b a a --，对称轴是直线2b x a=-222222222222222证明：y =ax +bx +cby =a(x +x)+c(把a 提出来)a b b by =a[x +x +()-()]+c(配方法：加上一次项系数一半的平方）a 2a 2a b b y =a[(x +)-]+c（配成完全平方公式）2a 4a b b y =a(x +)-+c（乘法分配律）2a 4ab 4ac -b b 4ac -b y =a(x +)+（通分、合并，-+c =)2a 4a4a 4a由二次函数顶点式y =a(x -h)+k 得h =222b 4ac -b -，k =2a 4ab 4ac -b b∴二次函数y =ax +bx +c 的顶点坐标是(-,)，对称轴是直线x =-2a 4a 2a例7、抛物线942++=x x y 的顶点坐标是___________，对称轴是 ，有最____值______例8、二次函数y=mx 2-2mx-1+m 的顶点坐标是___________，对称轴是例9、已知抛物线y=x 2－8x ＋c 的顶点在x 轴上，则c 的值是（ ） A ．16 B ．－4 C ．4 D ．8例10、二次函数y=(x －3)(x ＋2)的图象的对称轴是（ ） A ．x=3 B ．x=－2 C ．x=12- D ．x=1214、抛物线221y x x =--+的顶点在（ ）A 、 第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限15、若0b <，则二次函数21y x bx =+-的图象的顶点在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限16、已知二次函数2y ax bx =+的图象经过点11A -（，），则ab 有 ( ) A 、最小值0 B 、最大值 1 C 、最大值2 D 、有最小值14-17、抛物线251222+-=x x y 的开口方向 ，顶点坐标是18、将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝＿＿＿＿19、函数x x y +-=22有最_____值，最值为_______20、若抛物线y ＝x 2－bx ＋9的顶点在x 轴上，则b 的值为_____21、二次函数y=x 2-2x+1的对称轴方程是______________22、如果抛物线2y ax bx c 与y 轴交于点A (0,2)，它的对称轴是1x ，那么ac b23、函数2y x px q 的图象是以3,2为顶点的一条抛物线，这个二次函数的表达式为24、二次函数有最小值为1，当0x 时，1y ，它的图象的对称轴为1x ，则函数的关系式为_________25、已知二次函数215222y x x =+-，求出抛物线的顶点坐标、对称轴、最小值26、直接写出下列函数的开口方向、顶点坐标、对称轴，最值 （1）12212+-=x x y （2）2832-+-=x x y （3）4412-+-=x x y27、请写出一个二次函数的解析式，满足：图象的开口向下，对称轴是直线x=﹣1，且与y 轴的交点在x 轴的下方，那么这个二次函数的解析式可以为28、请你写出函数2)1(+=x y 与12+=x y 具有的一个共同性质：_______________29、有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：甲：对称轴是直线4 x；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：_______________30、已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：_____________________。

二次函数及图像和性质学生讲义时间：一.知识巩固 (一)二次函数定义：一般地，形如y=aχ2+bx+c(a, b, c 是常数，a≠ 0)的函数叫做x 的二次 函数.a 是二次项系数，b 是一次项系数，C 是常数项。

注意：(1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x 的(2) a, b, c 为常数，且时0(3)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项，但不能没有二次 项.(4) x 的取值范围通常情况是任意实数 二次函数的特殊形式: 当 b=0 时，y=ax2+c 当 c=()时，y = ax2÷bx 当 b=0, c=0 时，y=ax2(二)二次函数图像及性质一次函数图像、正/反比例图像及性质回顾 二次函数的图象都是抛物线。

一般地，二次函数y = ax2 + bx + c (a≠0)的图象叫做抛物线y = ax2 + bx +co 每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点.(2) y=ax2+k⑶ y=a(x∙h)2的函数图］(4) y=a(x∙h)2+k 的函数图 1 (5) y=ax2+bx+c 的函数|(1) y=ax2的函数图像一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y 轴 ，顶点是一原点.授课教师:依次巩固函数图像及性质: (1) y=ax2的函数图］当a<0时，抛物线的开口 向下一.顶点是抛物线的最 最高 点,a(3) y=a(x-h)2的函数图像——左加右减一般地，抛物线y=a(χ-h)2有如下特点：对称轴是x=h;顶点是(h,0)；抛物线y=a(χ-h)2可以由抛物线y=ax2向左或向 右平移∣h ∣得到；h>0,向右平移;hvθ,向左平移(4) y=a(x-h)2 ÷k 的函数图像一一般地，由y=aχ2的图象便可得到二次函数y=a(x-h)2 +k 的图象:y=a(x-h>+k(a ≠（））的图象可以看成y=ax 2的图象先沿x 轴整体左（右）平移∣h ∣个单位（当h>0 时，向右平移;当h<0时，向左平移），再沿对称轴整体上（下）平移四个单位（当当a>()时，抛物线的开口 向上 顶点是抛物线的最 最低越大，抛物线的开口越_小;对称轴左侧递减，对称轴右侧递增。

第5讲二次函数的图象与性质知识定位讲解用时：2分钟A、适用范围：人教版初三，基础一般B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习二次函数的图象与性质，本节课的重点是掌握二次函数的平移法则，能够结合二次函数图象和性质判断a、b、c的之间的关系，而难点在于二次函数的图象和性质的综合考查，需要学生能够根据二次函数的图象与性质正确分析并解决问题。

希望同学们能够认真学习并掌握，为后面二次函数的应用打好基础。

知识梳理讲解用时：25分钟二次函数的图象（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表；①描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点；①连线：用平滑的曲线按顺序连接各点；①在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可，连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来，画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧。

x…-223--112-0121232…2y x= (4)491140141494…（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移|ab2|个单位，再向上或向下平移|abac442-|个单位得到的。

12341234xyxyOO1212----图1图2向上（）或向下（）平移个单位向上（）或向下（）平移个单位向左（）或向右（）平移个单位向左（）或向右（）平移个单位课堂精讲精练【例题1】抛物线212y x =向左平移8个单位，再向下平移9个单位，所得的抛物线的解析式是___________________。

【答案】218232y x x =++【解析】本题考查了二次函数平移规则，根据二次函数的平移法则，“上加下减，左加右减”，可知平移后的函数解析式为()21892y x =+-，整理即为218232y x x =++讲解用时：2分钟解题思路：牢记平移法则即可。