2019年高中数学第二讲直线与圆的位置关系五与圆有关的比例线段自我小测

高中数学必修2直线与圆的位置关系辅导直线与圆的位置关系是高中数学的重要知识点,在历年高考中时常涉及，下面是店铺给大家带来的高中数学必修2直线与圆的位置关系辅导，希望对你有帮助。

高中数学必修2直线与圆的位置关系师：上述图形中直线和圆的相切你是如何得到的?生1：我是看出来的。

师：要是这样呢?你也能看得出来吗?(画得似乎相切——很难看出来是相切还是相交);(保持圆和直线的相对位置不变的情况下，拖动，再观察)生2：有的情形是观察不清楚公共点个数的，那就圆心到直线的距离与半径比较。

师：如何去比较呢?象图中圆心到直线的距离怎么得到?半径又是如何得到?生2：用来量吧，不过好象也不行的，那也只是近似的，象图中问题还是难以解决的。

师：观察和量都不是精确的，怎么样才是精确的呢?生2：用算出来的量化数字来判断。

师：对，解析几何就是用代数方法研究几何问题的一门学科，直线、圆都有方程，那么我们就可以通过研究两个方程的相关量来得到直线与圆的位置关系(写出本课课题)【思考】通过问题解决引导学生回忆已学判断直线与圆的位置关系的方法，并通过表格使之直观形象.然后利用电脑的分辨率造成误解，让学生感受到能否量化，需要根据数量来判断，为后续引出用坐标法解决问题做铺垫，也自然提出了本课课题。

二、典型问题中分别探索坐标法解题过程问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为50km 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北70km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响? 让学生之间进行讨论、交流。

师：你是怎么判断轮船受不受影响?生(齐声)：台风所在的圆与轮船航线所在直线是否相交.师：对，这个问题其实可以归结为直线与圆的位置关系.生3：设O为台风中心，A为轮船开始位置，B为港口位置，在OAB中，O到AB的距离=，因此受影响.(平几方法)生4：我是用代数方法的，先是建立坐标系。

五与圆有关的比例线段1．相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，弦AB与CD相交于P点，则PA·PB＝PC·PD.2．割线有关定理(1)割线定理：①文字叙述：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．②图形表示：如图，⊙O的割线PAB与PCD，则有PA·PB＝PC·PD.(2)切割线定理：①文字叙述：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；②图形表示：如图，⊙O的切线PA，切点为A，割线PBC，则有PA2＝PB·PC.3．切线长定理(1)文字叙述：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．(2)图形表示：如图，⊙O的切线PA，PB，则PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.如图，已知在⊙O线分别交⊙O于C，D两点，垂足是点E.求证：PC·PD＝AE·AO.由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P为AB的中点，∴PC·PD＝AP 2.在Rt △PAO 中再使用射影定理即可．连接OP .∵P 为AB 的中点，∴OP ⊥AB ，AP ＝PB . ∵PE ⊥OA ，∴AP 2＝AE ·AO .∵PD ·PC ＝PA ·PB ＝AP 2，∴PD ·PC ＝AE ·AO.相交弦定理的运用多与相似三角形联系在一起，也经常与垂径定理、射影定理、直角三角形的性质相结合证明某些结论．1．已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12 cm 和16 cm 两段，第二条弦的长为32 cm ，求第二条弦被交点分成的两段长．解：设第二条弦被交点分成的一段长为x cm ， 则另一段长为(32－x ) cm.由相交弦定理得x (32－x )＝12×16， 解得x ＝8或24，故另一段长为32－8＝24(cm)或32－24＝8(cm)， 所以另一条弦被交点分成的两段长分别为8 cm 和24 cm. 2．如图，已知AB 是⊙O 的直径，OM ＝ON ，P 是⊙O 上的点，PM ，PN 的延长线分别交⊙O 于Q ，R .求证：PM ·MQ ＝PN ·NR .⎭⎪⎬⎪⎫证明：⎭⎪⎬⎪⎫OM ＝ON OA ＝OB ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ AM ＝BNBM ＝AN PM ·MQ ＝AM ·MB PN ·NR ＝BN ·AN⇒PM ·MQ ＝PN ·NR .如图，AB是⊙O O 的割线，已知AC ＝AB .证明：(1)AD ·AE ＝AC 2； (2)FG ∥AC .(1)利用切割线定理； (2)证△ADC ∽△ACE .(1)∵AB 是⊙O 的一条切线，ADE 是⊙O 的割线， ∴由切割线定理得AD ·AE ＝AB 2. 又AC ＝AB ，∴AD ·AE ＝AC 2. (2)由(1)得AD AC ＝AC AE，又∠EAC ＝∠DAC ，∴△ADC ∽△ACE . ∴∠ADC ＝∠ACE .又∠ADC ＝∠EGF ，∴∠EGF ＝∠ACE .∴FG ∥AC .切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形结合在一起解决数学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等．3.如图，点P 是⊙O 外一点，PAB 为⊙O 的一条割线，且PA ＝AB ，PO 交⊙O 于点C ，若OC ＝3，OP ＝5，则AB 的长为( )A.10 B ．2 2 C. 5D. 6解析：选B 设PA ＝AB ＝x ，延长PO 交圆于点D .因为PA ·PB ＝PC ·PD ，OC ＝3，OP ＝5，所以PC ＝2，PD ＝8. 所以x ·2x ＝16， 所以x ＝2 2.4．如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B ，C ，∠APC 的角平分线分别与AB ，AC 相交于点D ，E .求证：(1)AD ＝AE ； (2)AD 2＝DB ·EC .证明：(1)因为∠AED ＝∠EPC ＋∠C ， ∠ADE ＝∠APD ＋∠PAB ，PE 是∠APC 的角平分线，所以∠EPC ＝∠APD ， 因为PA 是⊙O 的切线， 所以∠C ＝∠PAB .所以∠AED ＝∠ADE .故AD ＝AE . (2)⎭⎪⎬⎪⎫∠PCE ＝∠PAD ∠CPE ＝∠APD ⇒△PCE ∽△PAD ⇒EC DA ＝PCPA .⎭⎪⎬⎪⎫∠PEA ＝∠PDB ∠APE ＝∠BPD ⇒△PAE ∽△PBD ⇒AE BD ＝PAPB .PA 是切线，PBC 是割线⇒PA 2＝PB ·PC ⇒PA PB ＝PCPA. 故EC DA ＝AE BD.又AD ＝AE ， 故AD 2＝DB ·EC .如图，AB 是⊙O A ，B 两点的切线分别交于点E ，F ，AF 与BE 交于点P .求证：∠EPC ＝∠EBF .切线长定理→EA ＝EC ，FC ＝FB →EC FC ＝EPPB→CP ∥FB →结论 ∵EA ，EF ，FB 是⊙O 的切线， ∴EA ＝EC ，FC ＝FB .∵EA ，FB 切⊙O 于A ，B ，AB 是直径， ∴EA ⊥AB ，FB ⊥AB . ∴EA ∥FB .∴EA BF ＝EP BP .∴EC FC ＝EPPB.∴CP ∥FB .∴∠EPC ＝∠EBF .运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系，即①切线长相等，②圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合三角形等图形的有关性质进行计算与证明．5．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过O 作⊙O ′的两条切线OA ，OB ，A ，B 是切点，则∠AOB 等于( )A ．90°B ．60° C．45° D ．30°解析：选B 如图，连接OO ′，O ′A .∵OA 为⊙O ′的切线， ∴∠OAO ′＝90°.又∵⊙O 与⊙O ′为等圆且外切， ∴OO ′＝2O ′A . ∴sin ∠AOO ′＝AO ′OO ′＝12. ∴∠AOO ′＝30°.∴由切线长定理知∠AOB ＝2∠AOO ′＝60°.6.如图，P 为圆O 外一点，PA ，PB 是圆O 的两条切线，A ，B 为切点，OP 与AB 相交于点M ，且点C 是»AB 上一点．求证：∠OPC ＝∠OCM .证明：连接OB ，由切线长定理，得PA ＝PB ，PM ⊥AB ，PO 平分∠APB .又PB ⊥OB ，在Rt △OPB 中，OB 2＝OP ·OM ， ∵OB ＝OC ，∴OC 2＝OP ·OM ， 即OC OP ＝OMOC.∴△OCP ∽△OMC . ∴∠OPC ＝∠OCM .课时跟踪检测(十)一、选择题1．在半径为12 cm 的圆中，垂直平分半径的弦的长为( ) A ．3 3 cm B ．27 cm C ．12 3 cm D ．6 3 cm解析：选C法一：如图所示，OA ＝12，CD 为OA 的垂直平分线，连接OD . 在Rt △POD 中，PD＝OD2－OP2＝122－62＝63，∴CD＝2PD＝123(cm)．法二：如图，延长AO交⊙O于M，由相交弦定理得PA·PM＝PC·PD.又∵CD为线段OA的垂直平分线，∴PD2＝PA·PM.又∵PA＝6，PM＝6＋12＝18，∴PD2＝6×18.∴PD＝6 3.∴CD＝2PD＝123(cm)．2．如图，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB，CD，CE的长度，下列关系正确的是( )A．AB>CE>CD B．AB＝CE>CDC．AB>CD>CE D．AB＝CD＝CE解析：选A 因为∠1＝60°，∠2＝65°，所以∠ABC＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－65°＝55°，所以∠2>∠1>∠ABC，所以AB>BC>AC.因为CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点，所以AC＝CD，BC＝CE，所以AB>CE>CD.3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则( )A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2 D．CE·EB＝CD2解析：选A 在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.4.如图，已知PT 切⊙O 于点T ，TC 是⊙O 的直径，割线PBA 交TC 于点D ，交⊙O 于B ，A (B 在PD 上)，DA ＝3，DB ＝4，DC ＝2，则PB 等于( )A ．20B ．10C ．5D ．8 5解析：选A ∵DA ＝3，DB ＝4，DC ＝2， ∴由相交弦定理得DB ·DA ＝DC ·DT ， 即DT ＝DB ·DA DC ＝4×32＝6. ∵TC 为⊙O 的直径，所以PT ⊥DT . 设PB ＝x ， 则在Rt △PDT 中，PT 2＝PD 2－DT 2＝(4＋x )2－36.由切割线定理得PT 2＝PB ·PA ＝x (x ＋7)， ∴(4＋x )2－36＝x (x ＋7)， 解得x ＝20，即PB ＝20. 二、填空题5．AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，AM ＝4，BM ＝9，则弦CD 的长为________． 解析：根据相交弦定理，AM ·BM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CD 22，所以CD2＝6，CD ＝12.答案：126.如图所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，∠PBA＝∠DBA .若AD ＝m ，AC ＝n ，则AB ＝________.解析：因为直线PB 是圆的切线，所以∠PBA ＝∠C . 又因为∠PBA ＝∠DBA ，所以∠DBA ＝∠C . 又因为∠A ＝∠A ，所以△ABD ∽△ACB ， 所以AD AB ＝AB AC，所以AB ＝AD ·AC ＝mn . 答案： mn7．如图，AB ，CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD ＝2a3，∠OAP＝30°，则CP ＝________.解析：∵点P 为弦AB 的中点， ∴OP ⊥AB .∵∠OAP ＝30°，OA ＝a ， ∴PA ＝32a ，PB ＝32a . 由相交弦定理，得PA ·PB ＝PD ·CP . ∴CP ＝PA ·PB PD ＝32a ×32a2a 3＝98a .答案：98a三、解答题8.如图，已知PA ，PB ，DE 分别切⊙O 于A ，B ，C 三点，PO ＝13 cm ，⊙O 半径r ＝5 cm.求△PDE 的周长．解：∵PA ，PB ，DE 分别切⊙O 于A ，B ，C 三点， ∴DA ＝DC ，EB ＝EC . ∴△PDE 的周长为PA ＋PB ＝2PA .连接OA ，则OA ⊥PA .∴PA ＝PO 2－OA 2＝132－52＝12(cm)． ∴△PDE 的周长为24 cm.9．如图，BC 是半圆的直径，O 是圆心，P 是BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AD ⊥BC 于点D .(1)若∠B ＝30°，AB 与AP 是否相等？请说明理由； (2)求证：PD ·PO ＝PC ·PB ；(3)若BD ∶DC ＝4∶1，且BC ＝10，求PC 的长． 解：(1)相等． 连接AO ，如图所示．∵PA 是半圆的切线， ∴∠OAP ＝90°. ∵OA ＝OB ， ∴∠B ＝∠OAB . ∴∠AOD ＝2∠B ＝60°. ∴∠APO ＝30°. ∴∠B ＝∠APO .∴AB ＝AP . (2)证明：在Rt △OAP 中， ∵AD ⊥OP ，∴PA 2＝PD ·PO . ∵PA 是半圆的切线， ∴PA 2＝PC ·PB . ∴PD ·PO ＝PC ·PB .(3)∵BD ∶DC ＝4∶1，且BC ＝10， ∴BD ＝8，CD ＝2.∴OD ＝3. ∵OA 2＝OD ·OP ，∴25＝3×OP . ∴OP ＝253.∴PC ＝253－5＝103.10.如图，两个同心圆的圆心是O ，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD 是大圆的直径．大圆的弦AB ，BE 分别与小圆相切于点C ，F .AD ，BE 相交于点G ，连接BD .(1)求BD 的长；(2)求∠ABE ＋2∠D 的度数； (3)求BG AG的值．解：(1)连接OC ，因为AB 是小圆的切线，C 是切点， 所以OC ⊥AB ， 所以C 是AB 的中点． 因为AD 是大圆的直径， 所以O 是AD 的中点． 所以OC 是△ABD 的中位线． 所以BD ＝2OC ＝10.(2)连接AE .由(1)知C 是AB 的中点． 同理F 是BE 的中点． 即AB ＝2BC ，BE ＝2BF ， 由切线长定理得BC ＝BF . 所以BA ＝BE . 所以∠BAE ＝∠E . 因为∠E ＝∠D ，所以∠ABE ＋2∠D ＝∠ABE ＋∠E ＋∠BAE ＝180°. (3)连接BO ，在Rt △OCB 中， 因为OB ＝13，OC ＝5， 所以BC ＝12，AB ＝24. 由(2)知∠OBG ＝∠OBC ＝∠OAC . 因为∠BGO ＝∠AGB ， 所以△BGO ∽△AGB .所以BG AG ＝BO AB ＝1324.。

直线与圆的位置关系知识集结知识元不含有参数的直线与圆位置关系知识讲解1．直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系2．判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．例题精讲不含有参数的直线与圆位置关系例1.已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d 2，则d1+d2的最小值是．例2.点P是直线x+y﹣2=0上的动点，点Q是圆x2+y2=1上的动点，则线段PQ长的最小值为．例3.经过圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（）A．2x﹣y﹣3=0B．2x﹣y﹣1=0C．2x﹣y+3=0D．x+2y+1=0含有参数类型直线与圆的位置关系知识讲解1．直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系2．判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．例题精讲含有参数类型直线与圆的位置关系例1.已知△ABC的三边长为a，b，c，满足直线ax+by+2c=0与圆x2+y2=4相离，则△ABC是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上情况都有可能例2.直线ax﹣y+a=0（a≥0）与圆x2+y2=9的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相切或相离例3.圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上存在两点关于直线ax﹣2by+2=0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值为（）A．8B．9C．16D．18简单切线类型知识讲解1．圆的切线方程圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线．圆的切线方程的类型：（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程．例题精讲简单切线类型例1.设点A为圆（x﹣1）2+y2=1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为（）A．y2=2x B．（x﹣1）2+y2=4C．y2=﹣2x D．（x﹣1）2+y2=2例2.已知圆的方程是x2+y2=1，则经过圆上一点M（1，0）的切线方程是（）A．x=1B．y=1C．x+y=1D．x﹣y=1例3.'已知圆C的方程为x2+y2﹣2x+4y﹣3=0，直线l：x﹣y+t=0．若直线l与圆C相切，求实数t的值.'简单弦长问题知识讲解弦长问题一、求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式|AB|＝求解．(2)弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．(3)几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有()2＋d2＝r2，即|AB|＝2.通常采用几何法较为简便。

讲直线与圆的位置关系第与圆有关的比例线段汇报人：2023-12-10•直线与圆的位置关系•与圆有关的比例线段•与圆有关的面积计算目录•与圆有关的定理和推论•与圆有关的证明方法01直线与圆的位置关系当直线与圆有且仅有一个交点时，称直线与圆相切。

定义切线性质切线判定切线垂直于过切点的半径。

如果直线与圆的半径垂直，那么这条直线就是圆的切线。

030201圆与直线的交点当直线与圆没有交点时，称直线与圆相离。

相离当直线与圆有且仅有两个交点时，称直线与圆相交。

相交当直线与圆有且仅有一个交点时，称直线与圆相切。

相切在直角三角形中，圆的半径等于直角边，斜边等于直径。

半径相等当直线的斜率不存在时，直线垂直于x轴，此时直线与圆相切。

斜率不存在02与圆有关的比例线段圆的内接四边形定义如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形。

圆的内接四边形的性质对角互补，四边形的两组对边的延长线相交于圆上一点，且两组对边的平方和等于对角线的平方和。

圆的内接四边形的判定如果一个四边形的两组对边的平方和等于对角线的平方和，那么这个四边形是圆的内接四边形。

圆的外切四边形的性质四边形的两组对边的和相等，且每两条边相切于同一点。

圆的外切四边形的判定如果一个四边形的两组对边的和相等，且每两条边相切于同一点，那么这个四边形是圆的外切四边形。

圆的外切四边形定义如果一个四边形的四个顶点都在圆的边上，且四边形的每两条边都相切于同一点，那么这个四边形叫做圆的外切四边形。

在三角形中，如果一条边的中垂线与这条边所对的顶点在同一个圆上，那么这个圆叫做三角形的外接圆。

圆与三角形的边在三角形中，如果一个角的角平分线与这个角的对边中垂线重合，那么这个角所对的顶点在同一个圆上，这个圆叫做三角形的内切圆。

圆与三角形的角三角形的面积等于其内切圆的半径与三角形周长的乘积的一半。

圆与三角形的面积关系圆与三角形的关系03与圆有关的面积计算S=πr²，其中π表示圆周率，r表示圆的半径。

选修4－1 几何证明选讲第二讲直线与圆的位置关系【考纲速读吧】1．会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理．2．会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理．【要点集结号】与圆有关的辅助线的五种作法：①有弦，作弦心距；②有直径，作直径所对的圆周角；③有切点，作过切点的半径；④两圆相交，作公共弦；⑤两圆相切，作公切线．1．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比．由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．个必记结论1．切点与圆心的连线与圆的切线垂直；过切点且与圆的切线垂直的直线过圆心．2．相离两圆的内公切线夹在公切线间的线段长等于两圆外公切线的长．3．若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别地，对定线段张角为直角的点共圆．【课前自主导学】011．圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理（1）圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的________的一半．（2）圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的________．推论1：同圆或等圆中同弧或等弧所对的________相等，相等的________所对的弧也相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是________；90°的圆周角所对的弦是________．（3）弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的________．________．”对吗？（1）如图，在⊙O中，所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC，∠BOC，且∠BAC＝50°，则∠BOC ＝________．（2）如图，CD是⊙O的直径，AE切圆O于点B，连接DB，若∠D＝20°，则∠DBE的大小为________．2．圆内接四边形的判定定理和性质定理任意一个四边形是否有外接圆，三角形呢？如图，在⊙O中，∠CBE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠ADC＝120°，则∠CBE＝________，∠ABC＝________.3．圆的切线如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦BC与小圆相切于点A，若BC＝6，则由这两个同心圆所构成的圆环的面积为________．4．直线与圆位置关系的有关定理（1）如图，弦AB与CD相交于P点，PA＝4，PB＝2，则PC·PD＝________．（2）如图，PE是⊙O的切线，PAB与PCD是⊙O的割线，PA＝AB＝1，则PE＝________，PC·PD＝________．【自我校对】1．圆心角度数圆周角圆周角直角直径圆周角一半想一想：提示：只有同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等．填一填：（1）100°（2）70°2．互补内角对角互补对角想一想：提示：任意一个四边形不一定有外接圆，但一个三角形一定有外接圆，并且外接圆唯一．填一填：120°60°3．切线切点外端切线垂直于切点圆心填一填：9π4．比例中项积积切线长【考点一】圆内接四边形的判定与性质例1[2011·辽宁高考]如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED．（1）证明：CD∥AB；（2）延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．【审题视点】（1）结合圆内接四边形对角互补可证CD∥AB．（2）证出四边形ABGF对角互补，即可证出四点共圆．[证明]（1）因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD．因为A、B、C、D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA．故∠ECD＝∠EBA．所以CD∥AB．（2）由（1）知，AE＝BE．因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC．连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE．又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA．所以∠AFG＋∠GBA＝180°．故A，B，G，F四点共圆．【师说点拨】证明四点共圆的主要方法是利用其判定定理及推论，即通过证明四边形的一组对角互补或一个外角等于它的内角的对角实现．【变式探究】[2013·泰兴模拟]如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O 交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．（1）证明：A，P，O，M四点共圆；（2）求∠OAM＋∠APM的大小．解：（1）证明：连接OP ，OM ，因为AP 与⊙O 相切于点P ，所以OP ⊥AP ．因为M 是⊙O 的弦BC 的中点，所以OM ⊥BC ．于是∠OPA ＋∠OMA ＝180°，由圆心O 在∠PAC 的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A ，P ，O ，M 四点共圆．（2）解：由（1）得A ，P ，O ，M 四点共圆，所以∠OAM ＝∠OPM ．由（1）得OP ⊥AP ．由圆心O 在∠PAC 的内部，可知∠OPM ＋∠APM ＝90°， 所以∠OAM ＋∠APM ＝90°．【考点二】圆的切线的判定与性质例2 [2013·银川模拟]如图所示，AB 为⊙O 的直径，BC 、CD 为⊙O 的切线，B 、D 为切点．（1）求证：AD ∥OC ； （2）若⊙O 的半径为1，求AD·OC 的值．[解] （1）证明：如图，连接BD 、OD ．∵CB 、CD 是⊙O 的两条切线，∴BD ⊥OC ．∴∠2＋∠3＝90°．又AB 为⊙O 直径，∴AD ⊥DB ，∠1＋∠2＝90°．∴∠1＝∠3，∴AD ∥OC ．（2）∵AO ＝OD ，则∠1＝∠A ＝∠3，∴Rt △BAD ∽Rt △COD ，AD·OC ＝AB·OD ＝2．奇思妙想：在本例中，若AD·OC 的值是4，求⊙O 的半径．解：∵AO ＝OD ，∴∠1＝∠A ．∵∠1＝∠3，∴∠A ＝∠3． ∵∠BDA ＝∠CDO ＝90°，∴Rt △BAD ∽Rt △COD ． ∴AD OD ＝AB OC． ∴AD ·OC ＝AB ·OD ＝2OD 2． ∵AD ·OC ＝4，∴OD ＝2，即⊙O 的半径为2．【师说点拨】在解有关切线问题的题目时，从以下几个方面进行思考：（1）见到切线，要想到它垂直于过切点的半（直）径；（2）若过切点有垂线，则必过圆心；（3）过切点若有弦，则想弦切角定理；（4）若切线与一条割线相交，则想切割线定理；（5）若有两条切线相交，则想切线长定理，并要熟悉这里存在一个以交点和圆心连线为对称轴的对称图形．【变式探究】 如图，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过点C 作圆O 的切线l ，过点A 作l 的垂线AD ，D 为垂足，且AD 与圆O 交于点E ，求∠DAC 的大小与线段AE 的长．解：连接OC ，因为BC ＝OB ＝OC ＝3，所以∠CBO ＝60°，因为∠DCA ＝∠CBO ，所以∠DCA ＝ 60°，又AD ⊥DC ，故∠DAC ＝30°．因为∠ACB ＝ 90°，所以∠CAB ＝30°，则∠EAB ＝ 60°．连接BE ，可知∠ABE ＝30°，于是AE ＝12AB ＝3． 【考点三】与圆有关的比例线段例3 [2012·天津高考]如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D ． 过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________． 【审题视点】本题条件中，直线CD 为圆的切线，故考虑利用切割定理建立等量关系，再化简证之[解析] 在圆中，由相交弦定理：AF ·FB ＝EF ·FC ，∴FC ＝AF ·FB EF ＝2，由三角形相似，FC BD ＝AF AB， ∴BD ＝FC ·AB AF ＝83．由切割弦定理：DB 2＝DC ·DA ， 又DA ＝4CD ，∴4DC 2＝DB 2＝649．∴DC ＝43． [答案] 43【师说点拨】涉及与圆有关的成比例线段或等积线段（有时需转化为成比例的线段）的证明， ①利用相似三角形的性质在相似三角形中寻找比例线段．②利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理．③利用角平分线对边成比例．【变式探究】 [2013·揭阳模拟]如图，过△ABC 的顶点A 的圆与边BC 切于点P ，与边AB 、AC 分别交于点M 、N ，且CN ＝2BM ，点N 、P 分别为AC 、BC 的中点．求证：AM ＝ 7BM ．解析：由切割线定理，得BP2 ＝BM·BA ，CP2＝CN·CA ．因为P 是BC 的中点，所以BM·BA ＝CN· CA ．又点N 是AC 的中点，所以BM·（BM ＋AM ） ＝2CN2．又因为CN ＝2BM ，所以BM·（BM ＋AM ）＝8BM2， 所以AM ＝7BM ．【经典演练提能】041．[2012·湖北高考]如图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB ＝4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为________．答案：2解析：连接OC ，则OD ⊥CD 知，OD2＋CD2＝OC2．要使CD 最大，则OD 最小；当OD ⊥AB 时，OD 最小，此时CD ＝2．2．[2012·陕西高考]如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF·DB ＝________．答案：5解析：由三角形相似可得DE2＝DF·DB ，连接AD ，则DE2＝AE·EB ＝1×5＝5．所以DF·DB ＝5．3．[2012·广东高考]如下图所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，∠PBA ＝∠DBA ．若AD ＝m ，AC ＝n ，则AB ＝________．答案：mn解析：利用弦切角定理得到∠PBA ＝∠ACB ，再利用三角形相似求出．因为PB 是圆的切线，所以∠PBA ＝∠ACB ．又因为∠PBA ＝∠DBA ，所以∠DBA ＝∠ACB ．又因为∠A ＝∠A ，所以△ABD ∽△ACB ，所以AB AC ＝AD AB，所以AB 2＝AD ·AC ＝mn ，所以AB ＝mn ． 4．[2012·江苏高考]如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，连接BD 并延长至点C ，使BD ＝DC ，连接AC ，AE ，DE ．求证：∠E ＝∠C ．证明：如图，连接OD ，因为BD ＝DC ，O 为AB 的中点，所以OD ∥AC ，于是∠ODB ＝∠C ．因为OB ＝OD ，所以∠ODB ＝∠B ．于是∠B ＝∠C ．因为点A ，E ，B ，D 都在圆O 上，且D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，所以∠E 和∠B 为同弧所对的圆周角， 故∠E ＝∠B ．所以∠E ＝∠C ．【限时规范特训】05（时间：45分钟 分值：100分）一、选择题1．[2013·吉林月考]如图，P 是圆O 外一点，过P 引圆O 的两条割线PB 、PD ，P A ＝AB ＝5，CD ＝3，则PC 等于（ ）A ．2或－5B ．2C ．3D ．10答案：B解析：设PC ＝x ，由割线定理知P A ·PB ＝PC ·PD ． 即5×25＝x （x ＋3），解得x ＝2或x ＝－5（舍去）．故选B ．2．如图，⊙O 中弦AB 、CD 相交于点F ，AB ＝10，AF ＝2．若CF ∶DF ＝1∶4，则CF 的长等于（ ）A ．2B ．2C ．3D ．2 2答案：B解析：∵CF ∶DF ＝1∶4，∴DF ＝4CF ．∵AB ＝10，AF ＝2，∴BF ＝8．∵CF ·DF ＝AF ·BF ，∴CF ·4CF ＝2×8，∴CF ＝2．3．[2013·广州调研]如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，∠MAB ＝35°，则∠D ＝（ ）A ．35°B ．90°C ．125°D ．150°答案：C解析：连接BD ，则∠MAB ＝∠ADB ＝35°，由BC 是直径，知∠BDC ＝90°，所以∠D ＝∠ADB ＋∠BDC ＝125°．4．[2013·海淀区期末]如图，半径为2的⊙O 中，∠AOB ＝90°，D 为OB 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，则线段DE 的长为（ ）A ．55B ．255C ．355D ．32答案：C解析：延长BO 交圆O 于点F ，由D 为OB 的中点，知DF ＝3，DB ＝1，又∠AOB ＝90°，所以AD ＝5，由相交弦定理知AD ·DE ＝DF ·DB ，即3×1＝5×DE ，解得DE ＝355． 5．[2013·北京模拟]如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G ． 给出下列三个结论：①AD ＋AE ＝AB ＋BC ＋CA ；②AF ·AG ＝AD ·AE ；③△AFB ∽△ADG ．其中正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③答案：A解析：AB ＋BC ＋CA ＝AB ＋（BF ＋CF ）＋CA＝AB ＋（BD ＋CE ）＋CA ＝AD ＋AE ，故①正确；∵AE 2＝AF ·AG ，AD 2＝AF ·AG ，∴AE 2·AD 2＝（AF ·AG ）2．∴AE ·AD ＝AF ·AG ，故②正确；连接FD ，∠AFB ＋∠BFG ＝∠FDG ＋∠BFG ＝180°，∴∠AFB ＝∠FDG ≠∠ADG ．∴△AFB 与△ADG 不相似，故③不正确．6．[2013·南通模拟]如图，已知EB 是半圆O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC 切半圆O 于点D ， BC ⊥AC 于点C ，DF ⊥EB 于点F ，若BC ＝6，AC ＝8，则DF ＝（ ）A ．1B ．3C ．4D ．6答案：B解析：设圆的半径为r ，AD ＝x ，连接OD ，得OD ⊥AC ．故AD AC ＝OD BC ，即x 8＝r 6，故x ＝43r ． 又由切割线定理AD 2＝AE ·AB ，即169r 2＝（10－2r ）×10，故r ＝154．由三角形相似，知AD AB ＝DF BC，则DF ＝3． 二、填空题7．[2013·银川模拟]如图，直线PC 与⊙O 相切于点C ，割线P AB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，PC ＝4，PB ＝8，则CE ＝________．答案：125解析：由切割线定理知P A ·PB ＝PC 2，所以P A ＝2，则圆的直径为6，半径为3，所以PO ＝5，连结OC 在△OCP 中，由三角形的面积相等知CE ·OP ＝OC ·PC ，所以CE ＝OC ·PC OP ＝3×45＝125． 8．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1，若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．答案：72解析：因为AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1，所以可设AF ＝4x ，FB ＝2x ，BE ＝x ．由割线定理，得AF ·FB ＝DF ·FC ，即4x ×2x ＝2×2，解得x ＝12． 所以AF ＝2，FB ＝1，BE ＝12．由切线长定理，得EC 2＝BE ·EA ， 即EC 2＝12×（12＋3），解得EC ＝72． 9．[2013·梅州质检]如图，AB 是圆O 的直径，延长AB 至C ，使BC ＝2OB ，CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD ，BD ，则ADBD的值为________． 答案： 2解析：连接OD ，则OD ⊥CD ．设圆O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝OD ＝r ，BC ＝2r ．所以OC ＝3r ，CD ＝OC 2－OD 2＝22r ．由弦切角定理，得∠CDB ＝∠CAD ，又∠DCB ＝∠ACD ，所以△CDB ∽△CAD ．所以AD BD ＝AC CD ＝4r 22r＝2． 三、解答题10．[2013·惠州模拟]如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，ADE 、CFD 和CGE 都是⊙O 的割线， AC ＝AB ．（1）证明：AC 2＝AD ·AE ；（2）证明：FG ∥AC ．证明：（1）∵AB 是⊙O 的一条切线，∴AB 2＝AD ·AE ．又∵AC ＝AB ，∴AC 2＝AD ·AE ．（2）∵AC 2＝AD ·AE ，∴AC AD ＝AE AC，又∵∠DAC ＝∠CAE ， ∴△CAD ∽△EAC ，∴∠ACD ＝∠AEC ．又∵四边形DEGF 是⊙O 的内接四边形，∴∠CFG ＝∠AEC ，∴∠ACD ＝∠CFG ．∴FG ∥AC ．11．[2013·济宁模拟]如图，AB 是圆O 的直径，以B 为圆心的圆B 与圆O 的一个交点为P ．过点A 作直线交圆O 于点Q ，交圆B 于点M ，N ． （1）求证：QM ＝QN ；（2）设圆O 的半径为2，圆B 的半径为1，当AM ＝103时，求MN 的长． 解：（1）连接BM ，BN ，BQ ，BP ，∵B 为小圆的圆心，∴BM ＝BN ．又∵AB 为大圆的直径，∴BQ ⊥MN ．∴QM ＝QN ．（2）∵AB 为大圆的直径，∴∠APB ＝90°．∴AP 为圆B 的切线．∴AP 2＝AM ·AN ．由已知AB ＝4，PB ＝1，AP 2＝AB 2－PB 2＝15，又AM ＝103，∴15＝103×（103＋MN ）． ∴MN ＝76． 12．[2013·沈阳检测]如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 为⊙O 上的点，CA 是∠BAF 的角平分线，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于D 点，CM ⊥AB ，垂足为点M ．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）求证：AM·MB＝DF·DA．解：（1）连接OC，则有∠OAC＝∠OCA，又∵CA是∠BAF的角平分线，∴∠OAC＝∠F AC．∴∠F AC＝∠ACO．∴OC∥AD．∵CD⊥AF，∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线．（2）连接BC，在Rt△ACB中，CM⊥AB，∴CM2＝AM·MB．又∵DC是⊙O的切线，∴DC2＝DF·DA．易知△AMC≌△ADC，∴DC＝CM．∴AM·MB＝DF·DA．。

五 与圆有关的比例线段庖丁巧解牛知识·巧学一、相交弦定理1。

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

2。

定理的证明：如图2-5—2,已知⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于圆内的一点P 。

图2—5-2求证:PA·PB=PC·PD.证明：连结AC 、BD ，则由圆周角定理有∠B=∠C,又∵∠BPD=∠CPA，∴△APC∽△DPB.∴PA∶PD=PC∶PB，即PA·PB=PC·PD.当然，连结AD 、BC 也能利用同样道理，证得同样结论。

3。

由于在问题的证明中，⊙O 的弦AB 、CD 是任意的，因此,PA·PB=PC·PD 成立,表明“过圆内一定点P 的弦,被P 点分成的两条线段长的积应为一个定值”.虽然过定点P 的弦有无数多条，然而在这众多的弦中有一些长度比较特殊的弦，如过点P 的最长或最短的弦，通过它们可以找到定值。

图2-5-3如图2—5-3(1），考察动弦AB ，若AB 过⊙O 的圆心O ，则AB 为过点P 的最长的弦,设⊙O 的半径为R ，则PA·PB=（R+OP ）(R —OP ）。

如图2-5—3（2）,考察过点P 的弦中最短的弦，AB 为过⊙O 内一点P 的直径,CD 为过点P 且垂直于AB 的弦，显然，由垂直定理和相交弦定理,应有PA·PB=PC·PD=（21CD)2=OC 2—OP 2= R 2-OP 2。

由于⊙O 是定圆，P 为⊙O 内一定点，故⊙O 的半径R 与OP 的长为定值.设OP=d,比较上述两式，其结论是一致的，即PA·PB=（R+d ）（R-d ）=R 2-d 2，为定值.于是，相交弦定理可进一步表述为：“圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积为一定量，它等于圆的半径与交点到圆心距离的平方差.”定圆的任一弦被定点分得两线段长的积为定值，这个定值与点P 的位置有关,对圆内不同的点P,一般来说,定值是不同的，即这个定值是相对于定点P 与定圆O 而言的。

高中数学必修二直线与圆、圆与圆的位置关系突破点(一) 直线与圆的位置关系
基础回顾
考点链接
考点一：直线与圆的位置关系问题
方法技巧
直线与圆位置关系问题的求解策略
(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较烦琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．
(2)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式进行解决．
实战演练
考点二：弦长问题
方法技巧
求解弦长问题的常用方法
直线被圆所截得的弦长问题是直线与圆相交时产生的问题，也是直线与圆的位置关系的一个衍生问题．常用的方法有：(1)根据平面几何知识结合坐标，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示；(2)通过联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系，建立弦长与交点坐标的关系来解决问题．
实战演练
考点三：切线问题
易错提醒
求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．实战演练。

人教版高中数学选修四目录相似三角形的判定及相关性质、直线与圆的位置关系、平面与圆柱面的交线、平面与圆锥面的交线、简单曲线的极坐标方程、简单曲线的极坐标方程是人教版高中数学选修课的四个知识。

人教版高中数学选修目录人教版数学选修4-1第一讲、相似三角形的判定及有关性质一、平行线等分线段定理二、平行线分线段成比例定理三、相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四、直角三角形的射影定理第二讲、直线与圆的位置关系一、圆周角定理二、圆内接四边形的性质与判定定理三、圆的切线的性质及判定定理四、弦切角的性质五、与圆有关的比例线段第三讲、圆锥曲线性质的探讨一、平行射影二、平面与圆柱面的截线三、平面与圆锥面的截线人教版选修4-4目录第一讲、坐标系一、平面直角坐标系二、极坐标系三、简单曲线的极坐标方程四、柱坐标系与球坐标系简介第二讲、参数方程一、曲线的参数方程二、圆锥曲线的参数方程三、直线的参数方程四、渐开线与摆线高中数学选修4-5目录第一讲、不等式和绝对值不等式一、不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二、绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲、讲明不等式的基本方法一、比较法二、综合法与分析法三、反证法与放缩法第三讲、柯西不等式与排序不等式一、二维形式柯西不等式二、一般形式的柯西不等式三、排序不等式第四讲、数学归纳法证明不等式一、数学归纳法二、用数学归纳法证明不等式必修、选修什么意思人教版必修1、2、3、4、5为所有学生必修，不分文理，将作为学业水平考试的考试内容和高考的必考内容。

1-1，1-2是选修一系列，文科生必学内容，高考的必考内容。

另外还有两个系列的选修课，理科生必修，高考必修。

考三四系列是选修系列，要根据各省情况选择学习。

高考的时候，你选的每一本书都会有一个问题，你可以从中选择一本。

必修系列和选修系列的区别在于，只有学业水平考试是必修的，而高考是全部。

第五节与圆有关的比例线段(1)
课前导引
情景导入
圆内角的关系丰富而和谐,同样与圆有关的比例线段的关系定理:相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理,从不同侧面描述了同一本质.
知识预览
1.相交弦定理:圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等.
2.割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.
3.切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
4.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
1。

【最新】2019年高中数学第二讲直线与圆的位置关系五与圆有关的比例线段课堂探究课堂探究探究一相交弦定理的应用相交弦定理的结论是线段成比例，也可以看成等式，因此利用相交弦定理既可以得到成比例线段，又可以建立方程来解决问题．如下面的典型例题1中，利用相交弦定理列出关于r的方程．【典型例题1】如图，过⊙O内一点A作直线，交⊙O于B，C两点，且AB·AC＝64，OA＝10，则⊙O的半径r＝__________.解析：如图所示，作直线OA交⊙O于E，F两点，则AE＝r－10，AF＝r＋10.由相交弦定理，得(r－10)(r＋10)＝64，解得r1＝2，r2＝－2(不合题意，舍去)．故r＝2.答案：241点评 BC为⊙O的一条弦，再找到直径EF，利用相交弦定理即可．探究二割线定理、切割线定理的应用有切线和割线，往往就考查割线定理、切割线定理，而且有时需要通过转化、代换，才能运用定理解题．【典型例题2】如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于点A和点B，PA＝6 cm，AB＝8 cm，PO＝10.9 cm，求⊙O的半径．思路分析：由于PO既不是⊙O的切线，也不是割线，故需将PO延长交⊙O于点D，构成圆的一条割线，而OD又恰好是⊙O的半径，于是运用割线定理解题即可．解：如图，将PO延长交⊙O于D.根据割线定理，可得PA·PB＝PC·PD.设⊙O的半径为r cm，则6×(6＋8)＝(10.9－r)(10.9＋r)，解得r＝5.9，即⊙O的半径为5.9 cm.反思如果已知条件中出现过圆外同一点的圆的割线，那么常用到割线定理．本题中，利用割线定理列出了关于半径r的方程，进而求出了r的值．【典型例题3】如图，AB切⊙O于B，ACD为割线，E为的中点，BE交DC于F，求证：AF2＝AC·思路分析：由切割线定理可知AC·AD＝AB2，故只需证AF＝AB即可．证明：连接BC，BD.∵E∴∠DBE＝∠CBE.又AB是⊙O的切线，∴∠ABC＝∠CDB.∴∠ABC＋∠CBE＝∠DBE＋∠CDB，。