曲面论复习(一)

r r r = r ( u ( t ), v ( t ))
。
2 曲面 S 上一族曲线的方程 一般的，线性微分方程
A(u v ) du + B (u v ) dv = 0
-----(1)
表 示 曲 面 上 一 族 曲 线 , 因 为 若 A≠0 ， 则 由 上 式 得
6
B (u v ) du =− = F (u v ) ， dv A(u v)
3
这个切方向可用下述向量表示
r r ′ ( t ) 称为曲面 S 上的一个切 切方向。 方向
在曲面 S 的正常点 P0 处,
r r du r dv + rv r ′ ( t ) | t = t 0 = ( ru ) |t = t0 dt dt
——————（*）,
r r r r r r × r ≠ 0 P , r 因 u ， 所以 0 u , rv 决定唯一一 v
r r
决定的平面称为曲面在 P 点的切平面 切平面。 切平面
du dv du : dv ， 曲面的切方向完全依赖于 dt 与 dt 的比值 因此以后谈到曲面的方向时,就是指给出了 du : dv .
2 曲面的切平面方程的求法 设 r = r (u , v ) = {x (u , v ), y (u , v), z (u , v )}, P0 (u0 , v0 ) 为曲面上一 点， ρ ( x, y , z ) 为过 P0 点的切平面上任一点的径矢，则曲面在 P0 点的 切平面方程是：
第二章 曲面论 §1 曲面的概念
1.1 简单曲面及参数表示 一 简单曲面 1 约当(Jordan)曲线: 平面上不自交的闭曲线。 2 初等区域：约当曲线把平面分成为两部分，有限的那部分区域 初等区域 叫初等区域。(约当曲线的内部) 3 简单曲面：平面上初等区域到三维空间的一一的、双方连续的 简单曲面 映射的像叫简单曲面。 二 （简单） 简单）曲面的参数方程 1 曲面的参数方程、 曲面的参数方程、曲纹坐标 设 G 是初等区域， G 中点的笛氏坐标是 (u,v) ,G 在空间的一一的 双方连续的像是曲面 S，S 上的点笛氏坐标为（x,y,z), 则 x,y,z 都是
的某个邻域 U 内,都有
S 的正常点
r r r ru × rv ≠ 0
。 这样在 U 对应的这片曲面上的
每一点有唯一的一条 u-线 和唯一的一条 v-线，而且这两族曲线不相 切。这样的两族曲线叫做曲面上的正规坐标网 正规坐标网。 正规坐标网 5 命题 1 在曲面的正常点的邻域内，曲面的参数方程总可以写 成 z=z(x,y) （或 x=(y,z) 或 y=y(x,z)） 。
u,v 的函数：
x = x(u, v) y = y (u, v) ——————（1） ， z = z (u, v)
（1）叫做曲面 S 的参数方程或参数表示；u 和 v 称为曲面 S 的参数 或曲纹坐标 曲纹坐标。 曲纹坐标 如果曲面上的点 P0 是由 (u0 , v0 ) 确定的，则 (u0 , v0 ) 叫 P0 的曲纹 坐标，也叫曲线坐标，简称坐标，可记为 P(u0 , v0 ) 或 (u0 , v0 ) 。 曲面 S 的方程也可以写成
r r r = r (u , v) = {x(u , v), y (u , v), z (u, v)}
叫做曲面 S 的矢量式参数方程。
1
2 坐标曲线 初等区域 G 所在平面的坐标直线 v=常数或 u=常数在曲面 S 上的 像称为曲面的坐标曲线 坐标曲线。 坐标曲线 v=常数，u 变动的曲线 r = r (u u=常数，v 变动的曲线 r = r (u 0
x − x0 1
切平面
y − y0 0 1
z− − −
a x0 y0 a
2
0
x0 y 0 a xy 0
2
=0
1.3 曲面上的曲线族和曲线网 1 曲面 S 上一条曲线的方程 如果曲面 S： r
r
r = r (u , v) 上一条曲线 Γ 是由方程 u=u(t),v=v(t)
确定的，则将其带入曲面 S 的方程得曲线 Γ 的向径表示
x − x(u0, v0 ) y − y(u0, v0 ) z − z(u0, v0 ) = = yu (u0, v0 ) zu (u0, v0 ) zu (u0, v0 ) xu (u0, v0 ) xu (u0, v0 ) yu (u0, v0 ) yv (u0, v0 ) zv (u0, v0 ) zv (u0, v0 ) xv (u0, v0 ) xv (u0, v0 ) yv (u0, v0 )
4
zv (u0 , v0 )
特别的，对于曲面 z = z(x,y) 的参数表示形式,
r r = {x, y, z ( x, y )},
r rx = {1, 0, z x ( x0 , y0 )}, r ry = {0,1, z y ( x0 , y0 )} ,
在 P0 点的切平面为
x − x0 1 0
5
P65 例 求圆柱面 r = { R cos θ , R sin θ , z } 在任一点的切平面和法线方程。 例：求曲面 xyz = a 的切平面.
r
v r = x 解：
y
a xy ，
a a v v ′ rx′ = 1 0 − 2 ， ry = 0 1 − 2 xy x y
v ru v rv 共面
个平面 π ，由（*）表明 r ′
v
曲线 Γ 在 P0 的切线在平面 π 上，由 Γ 的任意性有： 命题 2 曲面上正常点 P 处的所有切方向都在过 P 点的坐标曲线
r r r 的切向量 u , rv
定义
所决定的平面上。
由曲面上点 P 和过 P 的两条坐标曲线的切向量 ru , rv
称为 S 的第一基本形式，用 Ι 表示，即
Ι = Edu 2 + 2 Fdudv + Gdv 2 ，
rr rr rr G = r E = r r , F = r r , 它的系数 u u u v v rv 叫做曲面的第一类基本量。
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说明 因为
rr rr E = ru ru > 0, G = rv rv > 0
3 曲面上曲线网的方程 一般的,二阶微分方程
A(u , v ) du 2 + 2 B (u , v ) dudv + C (u , v ) dv 2 = 0 -------（2）
2 （假定 B − AC > 0 ）表示曲面上两族曲线——曲线网。
因此（2）表示曲面上曲线网的方程。 特别，当 A = 0
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过这点平行于法方向的直线称为曲面在该点的法线 法线。 法线
r r r N = ru × rv ，单位法向量…… 曲面的法方向量
设曲面上一点 P0 的径矢是 r0 ， R 为法线上任一点的径矢，则法 线方程为
r
v
v v v v R = r0 + λ ( ru × rv )
坐标表示的标准方程是：
（ λ 为参数） 。
v
v
v0 ) 叫 u-曲线；
v
v
v ) 叫 v-曲线。
两族坐标曲线（ u _ 线族、 v _ 线族）在曲面上构成的曲线网，称 为曲面上的曲纹坐标网 曲纹坐标网。 曲纹坐标网 例 1 对于圆柱面 x = R cos θ , y = R sin θ , z = v 。
θ -曲线（z =常数） ：是垂直于 z 轴的平面和圆柱面的交线，是纬圆；
解之得 u
= ϕ (v , c )
, 其中 c 为待定常数。 每个 c 值对应曲面上一条 代表一族曲线。 (1)就是这族曲线的方程。
曲线，所以 u 特别
= ϕ ( v, c )
当 A = 0 时，有 当 B = 0 时，有
dv = 0 du = 0
即 υ = C1 ，表示 u-线 即 u = C 2 ，表示 v-线
C =0时
dudv = 0
du = 0 u = C1 dv = 0 υ = C2
表示曲面上的两族坐标曲线构成的曲纹坐标网。 注：1）曲纹坐标网 — 由坐标曲线族构成 2）曲线网 — 两族不同曲线构成
§2 曲面的第一基本形式 2.1 曲面的第一基本形式 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长
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给出曲面 S: r
即：
y − y0 0 1
z − z0 z x ( x0 , y0 ) = 0 z y ( x0 , y0 )
z − z 0 = z x ( x 0 , y 0 )( x − x 0 ) + z y ( x 0 , y 0 )( y − y 0 )
3 曲面的法线的定义和法线方程 定义 曲面在正常点处垂直于切平面的方向称为曲面的法方向 法方向。 法方向
若以 S 表示曲面上曲线的弧长，则有
v dr Q = 1, ds
v v 2 v v vv 2 = ru ⋅ ru du + 2ru ⋅ rv dudv + rv rv dv rr rr rr E = r r , F = r r , G = r 令 u u u v v rv ，
则 ds
2
= Edu 2 + 2 Fdudv + Gdv 2
，
这个二次形式决定曲面上曲线(C)的弧长， 曲线(C)上两点 A(t0 )、B (t1 ) 之间的弧长是
S=
∫
t1
t0
ds dt = dt
∫
t1
t0
E(
du 2 du dv dv ) + 2F + G ( ) 2 dt dt dt dt dt
Edu 2 + 2 Fdudv + Gdv 2 是关于 du, dv 的二次形式，
二 曲面的切平面和法线 1 曲面的切平面定义 设曲面 S 的方程为 r = r (u , v) , 若曲面上的点的曲纹坐标为 u =
r
r
µ (t ) v = v (t ) ，带入上式，得 v v v r = r [u (t ) v(t )] = r (t )
在曲面 S 上确定一条曲线 Γ ，
Γ 在曲面上 (u0 , v0 ) 点处的切方向称为曲面 S 在该点的一个切方向 一个切方向。 一个切方向
r
r r r = r (u , v ) 上的曲线(C): r = r (u(t ), v(t )) 。
对于曲线(C)有 或
r r du r dv ′ r (t ) = ru + rv dt dt r r r dr = ru du + rv dv ，
v v v ∴ ds 2 = dr 2 = (ru du + rv dv) 2
1
r
r
r
r
r
r r r ru × rv ≠ 0（不平行） ， 则称 P0 (u 0 v0 ) 为正常点 正常点 （正则点） ） 。
r rv (u0 , v0 ) ，
曲面上的点如果都是正常点，则曲面叫做正则曲面 正则曲面。 正则曲面 4 正规坐标网
r r r 因为曲面是光滑的 , 所以 u , rv 都连续 , 故在曲面
v-曲线（ θ =常数） ： 是圆柱面的直母线. 例 2 对于球面 x = R cos θ cos ϕ , y = R cos θ sin ϕ , z = R sin θ
θ -曲线: 是半圆 , 过两极--也叫经线;
ϕ -曲线:
例 3
是圆---也叫纬圆。
旋转曲面 x = ϕ (t ) cos θ , y = ϕ (t ) sin θ , z = ψ (t ) 的坐标曲线
，
r r rr r r EG − F 2 = ru 2 rv 2 − (ru rv )2 = (ru × rv )2 > 0
r
r
r
r r r r ( ρ − r (u0 , v0 ), ru (u0 , v0 ), rv (u0 , v0 )) = 0
切平面方程用行列式表示为：
。
x − x(u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 )
y − y (u0 , v0 ) z − z (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) = 0 yv (u0 , v0 )
是什么曲线?
θ -曲线：是垂直于 z 轴 的平面与旋转面的交线（纬线）
t - 曲线：是旋转面的母线（经线）
1.2 光滑曲面 曲面的切平面和法线 一 光滑曲面,正常点,正规坐标网 1 C k 类曲面: 如果曲面的分量函数有直到 k 阶的连续偏导数,则 称为 k 阶正则曲面或称为 C k 类曲面.
2
2 光滑曲面: C 类曲面叫做光滑曲面.以后假定讨论的曲面都是 光滑曲面. 3 正常点: 对曲面 S 上一点 P0 (u0 , v0 ) , 过 P0 的 u-曲线: r = r (u , v0 ) ,其切向量为 ru (u0 , v0 ) ； 过 P0 的 v-曲线: r = r (u0 , v) ,其切向量为 如果