高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 第二节 平行线分线段成比例定理课堂导学案 新人教A版选修4-11

平行线分线段成比例定理一、教学目标：㈠知识与技能：1．掌握平行线分线段成比例定理的推论。

2．用推论进行有关计算和证明。

㈡教学思考：通过探究平行线分线段成比例定理的推论，培养学生数学思维能力。

㈢解决问题：学生经历观察、操作、探究、交流、归纳、总结过程获得结论，体验解决问题的多样性，感悟比例中间量的作用。

㈣情感态度：1．通过探究活动，给学生创造表现自我的机会，让学生体验成功的喜悦。

2．培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质。

3．将学生置于教师平等地位、营造和谐的师生气氛。

二、教学重点：推论及应用三、教学难点：推论的应用四、教学方法：引导、探究五、教学媒体：投影、胶片六、教学过程：【活动一】引入新课问题1 上节我们学习了什么内容？本节将研究什么？学生共同手工拼图，通过思考探究得出结论。

在本次活动中，教师应重点关注：1．操作过程中学生是否把被截得两直线交点放在相应位置。

2．学生是否有探究本节所学内容的兴趣和欲望。

设计意图：使学生通过动手操作、观察、直观得出初步结论。

【活动二】探究推论问题2．被截直线的交点若落在第一条或第二条平行线上，平行线分线段成比例定理是否还成立？问题3．若上述问题成立，可得什么特殊结论？321123教师提问，引导学生猜想，并在拼好的图上测量、计算、证明。

推论：投影出示。

在本次活动中，教师应重点关注： 1．学生是否认真、仔细的测量和计算。

2．学生能否用定理证明所得推论。

设计意图：培养学生大胆猜测，从实践中得出结论。

【活动三】问题4 看图说比例式A BCD3()2() A B DE1() DE BC学生结对子，师生结对子说出比例式。

在本次活动中，教师应重点关注：1．学生能否顺利回答对方所提出的比例式。

2．学生是否与同伴交流中达到互帮互学。

3．学生能否体会由平行得出多个比例式。

设计意图：给学生表现机会，让学生体验成功的喜悦，调动学生积极性。

【活动四】 教学例3问题5 已知：如图：BC ∥DE ，AB=15，AC=9，BD=4，求：AE学生独立思考后，分组交流得出多种解题途径，老师引导学生找出最佳方案。

高中数学第1讲相似三角形的判定及有关性质2平行线分线段成比例定理学案11．掌握平行线分线段成比例定理及其推论．(重点)2．能利用平行线分线段成比例定理及推论解决有关问题. (难点、易混点)[基础·初探]教材整理1 平行线分线段成比例定理阅读教材P5～P7“定理”及以上部分，完成下列问题．1．文字语言三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．2．图形语言如图1­2­1，l1∥l2∥l3，则有：＝，AB＝，＝.AC图1­2­1如图1­2­2所示，DE∥A B，DF∥BC，下列结论中不正确的是( )图1­2­2A.＝B.＝BFABC.＝D.＝DFBC【解析】∵DF∥EB，DE∥FB，∴四边形DEBF为平行四边形，∴DE＝BF，DF＝EB，∴＝＝，A正确；CE＝＝，B正确；CBCD＝＝，C正确．AD【答案】D教材整理2 平行线分线段成比例定理的推论阅读教材P7～P9，完成下列问题．1．文字语言平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．2．图形语言如图1­2­3，l1∥l2∥l3，图1­2­3如图1­2­4所示，在△ACE中，B，D分别在AC，AE上，下列推理不正确的是( )图1­2­4A．BD∥CE⇒＝BDCEB．BD∥CE⇒＝BDCEC．BD∥CE⇒＝ADDED．BD∥CE⇒＝BDCE【解析】由平行线分线段成比例定理的推论不难得出A，B，C 都是正确的，D是错误的．【答案】D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]如图E，AC上取点F，使AE＝AF，求证：＝.图1­2­5【精彩点拨】在这道题目中所证的比例组合都没有直接的联系，可以考虑把比例转移，过点C作CM∥EF，交AB于点M，交AD于点N，且BC的中点为D，可以考虑补一个平行四边形来求解．【自主解答】如图，过C作CM∥EF，交AB于点M，交AD于点N.∵AE＝AF，∴AM＝AC.∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD.延长AD到G，使得DG＝AD，连接BG，CG，则四边形ABGC为平行四边形，∴AB＝GC.∵CM∥EF，∴＝＝，∴＝.又AB∥GC，AM＝AC，GC＝AB，∴＝＝，∴＝.1．解答本题的关键是添加辅助线，构造平行四边形．2．比例线段常由平行线产生，因而研究比例线段问题应注意平行线的应用，在没有平行线时，可以添加平行线来促成比例线段的产生．3．利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的，如本题中，＝＝＝.[再练一题]1．如图1­2­6，AD∥BE∥CF，EG∥FH，求证：＝.图1­2­6【证明】∵AD∥BE∥CF，∴＝.又∵EG∥FH，∴＝，∴＝.如图AC上一点，FE∥BC交AB于E，DF的延长线交BC于H，DE的延长线交CB的延长线于G.求证：BC＝GH. 【导学号：07370006】图1­2­7【精彩点拨】从复杂的图形中找出基本图形△A BC和△DHG，而EF是它们的截线，再使用定理或推论即可．【自主解答】∵FE∥BC，∴＝，＝.∵AD∥EF∥BH，∴＝，∴＝，∴BC＝GH.1．解答本题的关键是构造分子或分母相同的比例式．2．应用平行线分线段成比例定理及推论应注意的问题：(1)作出图形，观察图形及已知条件，寻找合适的比例关系；(2)如果题目中没有平行线，要注意添加辅助线，可添加的辅助线可能很多，要注意围绕待证式；(3)要注意“中间量”的运用与转化．[再练一题]2．如图1­2­8所示，已知梯形ABCD的对角线AC与BD相交于点P，两腰BA，CD的延长线相交于点O，EF∥BC且EF过点P.求证：(1)EP＝PF；(2)OP平分AD和BC.图1­2­8【证明】(1)∵EP∥BC，∴＝.又∵PF∥BC，∴＝.∵AD∥EF∥BC，∴＝，∴＝，∴EP＝PF.(2)在△OEP中，AD∥EP，∴＝.在△OFP中，HD∥PF，∴＝，∴＝.又由(1)知EP＝PF，∴AH＝HD.同理BG＝GC.∴OP平分AD和BC.[探究共研型]探究1【提示】过点C作CF∥AB，与DE的延长线交于点F.∵DE∥BC，CF∥AB，∴＝，＝.∴＝.∵四边形BCFD是平行四边形，∴DF＝BC，∴＝，∴＝＝.探究2 如何证明课本中P9中“探究”？【提示】如果l1与l2相交于点G(如图(1))，那么l1与l2确定一个平面π.连接AD，BE，CF，则AD，BE，CF均在平面π上，且AD∥BE∥CF.由平行线分线段成比例定理可知，＝.如果l1与l2是异面直线，那么可在直线l2上取一点G，过点G 作l3∥l1，设l3与平面α，β，γ分别相交于P，Q，R(如图(2))，则l1与l3确定一个平面π1，l3与l2确定一个平面π2.在π1中，连接AP，BQ，CR，则AP∥BQ∥CR，所以＝.在平面π2中，连接PD，QE，RF，则PD∥QE∥RF，所以＝，所以＝.(1) (2)如图1­2­9所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD.(1)求＋的值；(2)求证：＋＝.图1­2­9【精彩点拨】(1)利用比例线段转化所求；(2)证出EF＝2OE，再利用(1)的结果证明．【自主解答】(1)∵OE∥AD，∴＝.∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC，∴＝，∴＋＝＋＝＝1.(2)证明：∵AD∥BC∥EF，可得＝＝＝，故OF＝OE，即EF＝2OE.由(1)知，∵＋＝1，∴＋＝2.∴＋＝2，∴＋＝.1．本题要证明的结论较多，证明时要注意与图形的结合和对式子的合理变形．2．运用平行线分线段成比例定理的推论来证明比例式或计算比值，应分清相关三角形中的平行线段及所截边，并注意在求解过程中运用等比性质、合比性质等．[再练一题]3．如图1­2­10，已知点E是▱ABCD边CD延长线上的一点，连接BE交AC于点O，交AD于点 F.求证：OB2＝OE·OF. 【导学号：07370007】图1­2­10【证明】因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AD∥BC.由AB∥CE，得＝.由AF∥BC，得＝，所以＝(等量代换)，即OB2＝OE·OF.[构建·体系]1．如图1­2­11，已知DE∥BC，则下列比例式成立的是( )图1­2­11A.＝B.＝DAABC.＝D.＝AEAC【解析】由平行线分线段成比例定理的推论知，＝.【答案】C2．如图1­2­12，已知＝，DE∥BC，则等于( )图1­2­12A. B.54C. D.49【解析】∵DE∥BC，＝.∴＝，∴＝.又∵＝，∴＝.【答案】C3．如图1­2­13所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一颗树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为________米．图1­2­13【解析】设河宽为x米，据题意＝，解得x＝22.5.【答案】22.54．如图1­2­14所示，已知a∥b，＝，＝3，则＝________. 【导学号：07370008】图1­2­14【解析】∵a∥b，∴＝，＝.∵＝3，∴BC＝3CD，∴BD＝4CD.又∵＝，∴＝＝，∴＝，∴＝，∴＝＝.【答案】1255．如图1­2­15，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15 cm，AF＝4 cm，求BE和DE的长．图1­2­15【解】∵DE∥AC，∴∠3＝∠2.又AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，即AE＝ED.∵DE∥AC，EF∥BC，∴四边形EDCF是平行四边形，∴ED＝FC，即AE＝ED＝FC.设AE＝DE＝FC＝x.由EF∥BC，得＝，即＝，解得x1＝6，x2＝－10(舍去)．所以DE＝6(cm)，BE＝15－6＝9(cm)．我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图1­2­16，梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC延长线上一点，AE分别交BD于G，交BC于F.下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝.其中正确的个数是( )图1­2­16A．1 B．2C．3 D．4【解析】∵BC∥AD，∴＝，＝，故①④正确．∵BF∥AD，∴＝，故②正确．【答案】C2．如图1­2­17，E是▱ABCD的边AB延长线上的一点，且＝，则＝( )图1­2­17A. B.C. D.25【解析】∵CD∥AB，∴＝＝，又AD∥BC，∴＝.由＝，得＝，即＝，∴＝＝.故选C.【答案】C3．如图1­2­18，平行四边形ABCD中，N是AB延长线上一点，则－为( )【导学号：07370009】图1­2­18A. B．1C. D.23【解析】∵AD∥BM，∴＝.又∵DC∥AN，∴＝，∴＝，∴＝，∴－＝－＝＝1.【答案】B4．如图1­2­19，AD是△ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE 交AD于点F，则AF∶FD为( )图1­2­19A．2∶1B．3∶1C．4∶1D．5∶1【解析】过D作DG∥AC交BE于G，如图，因为D是BC的中点，所以DG＝EC，又AE＝2EC，故AF∶FD＝AE∶DG＝2EC∶EC＝4∶1.【答案】C5．如图1­2­20，将一块边长为12的正方形纸ABCD的顶点A，折叠至边上的点E，使DE＝5，折痕为PQ，则线段PM和MQ的比是( )图1­2­20A．5∶12B．5∶13C．5∶19D．5∶21【解析】如图，作MN∥AD交DC于点N，∴＝.又∵AM＝ME，∴DN＝NE＝DE＝，∴NC＝NE＋EC＝＋7＝.∵PD∥MN∥QC，∴＝＝＝.【答案】C二、填空题6．(2016·乌鲁木齐)如图1­2­21，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD＝CE，若AB∶AC＝3∶2，BC＝10，则DE的长为__________．图1­2­21【解析】∵DE∥BC，∴AD∶AE＝AB∶AC＝3∶2.∵AD＝CE，∴CE∶AE＝3∶2.∵AE∶AC＝2∶5，∴DE∶BC＝2∶5.∵BC＝10，∴DE∶10＝2∶5，解得DE＝4.【答案】47．如图1­2­22，已知B在AC上，D在BE上，且AB∶BC＝2∶1，ED∶DB＝2∶1，则AD∶DF＝________.图1­2­22【解析】如图，过D作DG∥AC交FC于G.则＝＝，∴DG＝BC.又BC＝AC，∴DG＝AC.∵DG∥AC，∴＝＝，∴DF＝AF.从而AD＝AF，∴AD∶DF＝7∶2.【答案】7∶28．如图1­2­23，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于O，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，则EF＝________.图1­2­23【解析】∵AD∥EF∥BC，∴＝＝＝，∴EO＝FO，而＝＝，＝，BC＝20，AD＝12，∴＝1－＝1－，∴EO＝7.5，∴EF＝15.【答案】15三、解答题9．线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点．连接AC，BD交于点P.如图1­2­24，当OA＝OB，且D为OA中点时，求的值．图1­2­24【解】过D作DE∥CO交AC于E，因为D为OA中点，所以AE＝CE＝AC，＝，因为点C为OB中点，所以BC＝CO，＝，所以＝＝，所以PC＝CE＝AC，所以＝＝＝2.10．如图1­2­25，AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，连接AD，BC交于点E，EF⊥BD于F，求证：＋＝. 【导学号：07370010】图1­2­25【证明】∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，∴AB∥EF∥CD，∴＝，＝，∴＋＝＋＝＝＝1，∴＋＝.[能力提升]1．如图1­2­26，已知△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD与CE相交于F，则＋的值为( )图1­2­26A. B．1C. D．2【解析】过点D作DG∥AB交EC于点G，则＝＝＝.而＝，即＝，所以AE＝DG，从而有AF＝FD，EF＝FG＝CG，故＋＝＋＝＋1＝.【答案】C2．如图1­2­27，已知P，Q分别在BC和AC上，＝，＝，则＝( )图1­2­27A．3∶14 B．14∶3C．17∶3D．17∶14【解析】过点P作PM∥AC，交BQ于M，则＝.∵PM∥AC且＝，∴＝＝.又∵＝，∴＝·＝×＝，即＝.【答案】B3.如图1­2­28所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2.E，F分别为AD，BC上点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为__________．图1­2­28【解析】如图，延长AD，BC交于点O，作OH⊥AB于点H.∴＝，得x＝2h1，＝，得h1＝h2.∴S梯形ABFE＝×(3＋4)×h2＝h1，S梯形EFCD＝×(2＋3)×h1＝h1，∴S梯形ABFE∶S梯形EFCD＝7∶5.【答案】7∶54．某同学的身高为 1.6 m，由路灯下向前步行 4 m，发现自己的影子长为2 m，求这个路灯的高．【解】如图所示，AB表示同学的身高，PB表示该同学的影长，CD表示路灯的高，则AB＝1.6m，PB＝2 m，BD＝4 m.∵AB∥CD，∴＝，∴CD＝＝＝4.8(m)，即路灯的高为4.8 m.。

高中数学选修4-1知识点总结高中数学选修4-1知识点总结第一讲相似三角形的判定及有关性质1.平行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

2.平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

3.相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。

由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。

所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。

预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。

判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两角对应相等，两三角形相似。

判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

二平行线分线段成比例定理1．掌握平行线分线段成比例定理及其推论．(重点)2．能利用平行线分线段成比例定理及推论解决有关问题. (难点、易混点)[基础·初探]教材整理1 平行线分线段成比例定理阅读教材P5～P7“定理”及以上部分，完成下列问题．1．文字语言三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．图1­2­1如图1­2­2所示，DE∥AB，DF∥BC，下列结论中不正确的是( )图1­2­2A.AD DC ＝AFDE B.CE CB ＝BF AB C.CD AD ＝CE DFD.AF BF ＝DF BC【解析】 ∵DF ∥EB ，DE ∥FB ， ∴四边形DEBF 为平行四边形， ∴DE ＝BF ，DF ＝EB ， ∴AD DC ＝AF FB ＝AFDE，A 正确；CE CB ＝DE AB ＝BFAB，B 正确； CD AD ＝CE EB ＝CEDF，C 正确． 【答案】 D教材整理2 平行线分线段成比例定理的推论 阅读教材P 7～P 9，完成下列问题． 1．文字语言平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 2．图形语言如图1­2­3，l 1∥l 2∥l 3，图1­2­3如图1­2­4所示，在△ACE 中，B ，D 分别在AC ，AE 上，下列推理不正确的是( )图1­2­4A ．BD ∥CE ⇒AB AC ＝BD CE B ．BD ∥CE ⇒AD AE ＝BD CEC ．BD ∥CE ⇒AB BC ＝AD DE D ．BD ∥CE ⇒AB BC ＝BD CE【解析】 由平行线分线段成比例定理的推论不难得出A ，B ，C 都是正确的，D 是错误的．【答案】 D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]如图F ，使AE ＝AF ，求证：EP FP ＝AC AB.图1­2­5【精彩点拨】 在这道题目中所证的比例组合都没有直接的联系，可以考虑把比例转移，过点C 作CM ∥EF ，交AB 于点M ，交AD 于点N ，且BC 的中点为D ，可以考虑补一个平行四边形来求解．【自主解答】 如图，过C 作CM ∥EF ，交AB 于点M ，交AD 于点N .∵AE ＝AF ，∴AM ＝AC . ∵AD 为△ABC 的中线， ∴BD ＝CD .延长AD 到G ，使得DG ＝AD ，连接BG ，CG ，则四边形ABGC 为平行四边形，∴AB ＝GC . ∵CM ∥EF ，∴EP MN ＝FP CN ＝APAN，∴EP FP ＝MN CN.又AB ∥GC ，AM ＝AC ，GC ＝AB ， ∴MN CN ＝AM GC ＝AC AB ，∴EP FP ＝ACAB.1．解答本题的关键是添加辅助线，构造平行四边形．2．比例线段常由平行线产生，因而研究比例线段问题应注意平行线的应用，在没有平行线时，可以添加平行线来促成比例线段的产生．3．利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的，如本题中，EP FP ＝MN CN ＝AM GC ＝ACAB.[再练一题]FH ，求证：AB AC ＝EG FH.图1­2­6又∵EG ∥FH ，∴EG FH ＝DE DF， ∴AB AC ＝EG FH.如图FE ∥BC 交AB于E ，DF 的延长线交BC 于H ，DE 的延长线交CB 的延长线于G .求证：BC ＝GH . 【导学号：07370006】图1­2­7【精彩点拨】 从复杂的图形中找出基本图形△ABC 和△DHG ，而EF 是它们的截线，再使用定理或推论即可．【自主解答】 ∵FE ∥BC ，∴EF BC ＝AE AB ，EF GH ＝DFDH. ∵AD ∥EF ∥BH ，∴AE AB ＝DFDH，∴EF BC ＝EF GH，∴BC ＝GH .1．解答本题的关键是构造分子或分母相同的比例式． 2．应用平行线分线段成比例定理及推论应注意的问题： (1)作出图形，观察图形及已知条件，寻找合适的比例关系；(2)如果题目中没有平行线，要注意添加辅助线，可添加的辅助线可能很多，要注意围绕待证式；(3)要注意“中间量”的运用与转化．[再练一题]2．如图1­2­8所示，已知梯形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点P ，两腰BA ，CD 的延长线相交于点O ，EF ∥BC 且EF 过点P .求证：(1)EP ＝PF ； (2)OP 平分AD 和BC .图1­2­8【证明】 (1)∵EP ∥BC ，∴EP BC ＝AE AB.又∵PF ∥BC ，∴PF BC ＝DF DC. ∵AD ∥EF ∥BC ，∴AE AB ＝DFDC，∴EP BC ＝PF BC，∴EP ＝PF . (2)在△OEP 中，AD ∥EP ，∴AH EP ＝OH OP. 在△OFP 中，HD ∥PF ，∴HD PF ＝OHOP， ∴AH EP ＝HD PF.又由(1)知EP ＝PF ，∴AH ＝HD . 同理BG ＝GC∴OP 平分AD探究1 【提示】∴DF ＝BC ， ∴AD AB ＝DE BC， ∴AD AB ＝AE AC ＝DEBC.探究2 如何证明课本中P 9中“探究”？【提示】 如果l 1与l 2相交于点G (如图(1))，那么l 1与l 2确定一个平面π.连接AD ，BE ，CF ，则AD ，BE ，CF 均在平面π上，且AD ∥BE ∥CF .由平行线分线段成比例定理可知，AB BC ＝DE EF. 如果l 1与l 2是异面直线，那么可在直线l 2上取一点G ，过点G 作l 3∥l 1，设l 3与平面α，β，γ分别相交于P ，Q ，R (如图(2))，则l 1与l 3确定一个平面π1，l 3与l 2确定一个平面π2.在π1中，连接AP ，BQ ，CR ，则AP ∥BQ ∥CR ，所以AB BC ＝PQQR . 在平面π2中，连接PD ，QE ，RF ，则PD ∥QE ∥RF ，所以PQ QR ＝DEEF， 所以AB BC ＝DE EF.(1) (2)如图1­2­9所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD .(1)求OE AD ＋OE BC的值； (2)求证：1AD ＋1BC ＝2EF.图1­2­9【精彩点拨】 (1)利用比例线段转化所求； (2)证出EF ＝2OE ，再利用(1)的结果证明． 【自主解答】 (1)∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝BE AB. ∵EF ∥AD ，AD ∥BC ，∴EF ∥AD ∥BC ， ∴OE BC ＝AE AB， ∴OE AD ＋OE BC ＝BE AB ＋AE AB ＝BE ＋AEAB＝1.(2)证明：∵AD ∥BC ∥EF ，可得OF BC ＝OD BD ＝OA AC ＝OEBC，故OF ＝OE ，即EF ＝2OE . 由(1)知，∵OE AD ＋OE BC ＝1，∴2OE AD ＋2OEBC＝2.∴EF AD ＋EFBC＝2， ∴1AD ＋1BC ＝2EF.1．本题要证明的结论较多，证明时要注意与图形的结合和对式子的合理变形． 2．运用平行线分线段成比例定理的推论来证明比例式或计算比值，应分清相关三角形中的平行线段及所截边，并注意在求解过程中运用等比性质、合比性质等．[再练一题]3．如图1­2­10，已知点E 是▱ABCD 边CD 延长线上的一点，连接BE 交AC 于点O ，交AD07370007】图1­2­10由AF ∥BC ，得OA OC ＝OF OB， 所以OF OB ＝OB OE(等量代换)， 即OB 2＝OE ·OF .[构建·体系]1．如图1­2­11，已知DE ∥BC ，则下列比例式成立的是( )图1­2­11A.DA AB ＝ACAE B.DE BC ＝DA AB C.EA AB ＝DA ACD.DA AB ＝AE AC【解析】 由平行线分线段成比例定理的推论知，DA AC ＝EAAB.【答案】 C2．如图1­2­12，已知AD DB ＝45，DE ∥BC ，则ECAC等于( )图1­2­12A.95 B.54 C.59D.49【解析】 ∵DE ∥BC ，AD DB ＝45.∴AB DB ＝95， ∴DB AB ＝59. 又∵DB AB ＝EC AC，∴EC AC ＝59. 【答案】 C3．如图1­2­13所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一颗树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为________米．【解析】 设河宽为x＝35，BC CD ＝3，则AEEC＝________. 【导学号：07370008】图1­2­14【解析】 ∵a ∥b ， ∴AE EC ＝AG CD ，AF BF ＝AGBD .∵BC CD＝3，∴BC ＝3CD ，∴BD ＝4CD .又∵AF BF ＝35，∴AG BD ＝AF BF ＝35， ∴AG 4CD ＝35，∴AG CD ＝125， ∴AE EC ＝AG CD ＝125.【答案】1255．如图1­2­15，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AB ＝15 cm ，AF ＝4 cm ，求BE 和DE 的长．图1­2­15【解】 ∵DE ∥AC ， ∴∠3＝∠2. 又AD 平分∠BAC ， ∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，即AE ＝ED . ∵DE ∥AC ，EF ∥BC ，∴四边形EDCF 是平行四边形， ∴ED ＝FC ，即AE ＝ED ＝FC . 设AE ＝DE ＝FC ＝x .由EF ∥BC ，得AE BE ＝AF FC ，即x 15－x ＝4x，解得x 1＝6，x 2＝－10(舍去)． 所以DE ＝6(cm)，BE ＝15－6＝9(cm)．我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(二) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图1­2­16，梯形ABCD 中，AE 分别交BD 于G ，交BC 于F .下列结论：①EC CD ＝EF AF ；②FG AG ＝；④AF CD ＝AEDE.其中正确的个数是( )图1­2­16A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ∵BC ∥AD ， ∴EC CD ＝EF AF ，AF AE ＝CDDE，故①④正确．∵BF ∥AD ，∴FG AG ＝BG GD，故②正确． 【答案】 C2．如图1­2­17，E 是▱ABCD 的边AB 延长线上的一点，且DC BE ＝32，则ADBF＝( )图1­2­17A.32 B.23 C.52D.25【解析】 ∵CD ∥AB ，∴CD BE ＝FD EF ＝32， 又AD ∥BC ，∴BF AD ＝EF ED.由FD EF ＝32，得FD ＋EF EF ＝3＋22， 即ED EF ＝52， ∴AD BF ＝ED EF ＝52.故选C. 【答案】 C3．如图1­2­18，平行四边形ABCD 中，N 是AB 延长线上一点，则BC BM －AB BN为( )【导学号：07370009】图1­2­18A.12 B ．1 C.32D.23【解析】 ∵AD ∥BM ，∴AB BN ＝DMMN. 又∵DC ∥AN ，∴DM MN ＝MC BM， ∴DM ＋MN MN ＝MC ＋BMBM，∴DN MN ＝BC BM， ∴BC BM －AB BN ＝DN MN －DM MN ＝MNMN＝1.【答案】 B4．如图1­2­19，AD 是△ABC 的中线，E 是CA 边的三等分点，BE 交AD 于点F ，则AF ∶FD 为( )图1­2­19A ．2∶1B ．3∶1C ．4∶1D ．5∶1【解析】 过D 作DG ∥AC 交BE 于G ，如图，因为D 是BC 的中点， 所以DG ＝12EC ，又AE ＝2EC ，故AF ∶FD ＝AE ∶DG ＝2EC ∶12EC ＝4∶1.【答案】 C5．如图1­2­20，将一块边长为12的正方形纸ABCD 的顶点A ，折叠至边上的点E ，使DE ＝5，折痕为PQ ，则线段PM 和MQ 的比是( )图1­2­20A ．5∶12B ．5∶13C ．5∶19D ．5∶21【解析】 如图，作MN ∥AD 交DC 于点N ，∴DN NE ＝AM ME. 又∵AM ＝ME ，∴DN ＝NE ＝12DE ＝52，∴NC ＝NE ＋EC ＝52＋7＝192.∵PD ∥MN ∥QC ， ∴PM MQ ＝DN NC ＝52192＝519. 【答案】 C 二、填空题6．(2016·乌鲁木齐)如图1­2­21，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC ，AD ＝CE ，若AB ∶AC ＝3∶2，BC ＝10，则DE 的长为__________．图1­2­21【解析】 ∵DE ∥BC ， ∴AD ∶AE ＝AB ∶AC ＝3∶2. ∵AD ＝CE ， ∴CE ∶AE ＝3∶2. ∵AE ∶AC ＝2∶5， ∴DE ∶BC ＝2∶5. ∵BC ＝10， ∴DE ∶10＝2∶5， 解得DE ＝4. 【答案】 47．如图1­2­22，已知B 在AC 上，D 在BE 上，且AB ∶BC ＝2∶1，ED ∶DB ＝2∶1，则AD ∶DF ＝________.图1­2­22【解析】 如图，过D 作DG ∥AC 交FC 于G .则DG BC ＝ED EB ＝23，∴DG ＝23BC .又BC ＝13AC ，∴DG ＝29AC .∵DG ∥AC ，∴DF AF ＝DG AC ＝29，∴DF ＝29AF .从而AD ＝79AF ，∴AD ∶DF ＝7∶2.【答案】 7∶28．如图1­2­23，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于O ，过O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，则EF ＝________.图1­2­23【解析】 ∵AD ∥EF ∴EO ＝FO ，而EO BC ＝AE AB ＝AD ＝12，，∴EF ＝15.为线段OA 上一点．连接AC ，BD 交于点P .如图1­2­24，图1­2­24【解】 过D 作DE ∥CO 交AC 于E ，因为D 为OA 中点， 所以AE ＝CE ＝12AC ，DE CO ＝12，因为点C 为OB 中点，所以BC ＝CO ，DE BC ＝12，所以PE PC ＝DE BC ＝12，所以PC ＝23CE ＝13AC ，所以AP PC ＝AC －PC PC ＝23AC13AC ＝2.10．如图1­2­25，AB ⊥BD 于B ，CD ⊥BD 于D ，连接AD ，BC 交于点E ，EF ⊥BD 于F ，求证：1AB ＋1CD ＝1EF. 【导学号：07370010】图1­2­25【证明】 ∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，EF ⊥BD ， ∴AB ∥EF ∥CD ， ∴EF AB ＝DF BD ，EF CD ＝BFBD，∴EF AB ＋EF CD ＝DF BD ＋BF BD ＝DF ＋BF BD ＝BDBD ＝1，∴1AB ＋1CD ＝1EF.[能力提升]1．如图1­2­26，已知△ABC 中，AE ∶EB ＝1∶3，BD ∶DC ＝2∶1，AD 与CE 相交于F ，则EF FC ＋AFFD的值为()图1­2­26A.12 B ．1 C.32D ．2【解析】 过点D 作DG ∥AB 交EC 于点G ，则DG BE ＝CD BC ＝CG EC ＝13.而AE BE ＝13，即AE BE ＝DGBE，所以AE ＝DG ，从而有AF ＝FD ，EF ＝FG ＝CG，故EF FC ＋AF FD ＝EF 2EF ＋AF AF ＝12＋1＝32.【答案】 C2．如图1­2­27，已知P ，Q 分别在BC 和AC 上，BP CP ＝25，CQ QA ＝34，则AR RP＝( )图1­2­27A ．3∶14B ．14∶3C ．17∶3D ．17∶14【解析】 过点P 作PM ∥AC ，交BQ 于M ，则AR RP ＝AQPM.∵PM ∥AC 且BP CP ＝25，∴QC PM ＝BC BP ＝72. ＝143，中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2.E ，F 分别为AD ，BC 上EFCD 的面积比为__________．图1­2­28【解析】 如图，延长AD ，BC 交于点O ，作OH ⊥AB 于点H .∴xx ＋h 1＝23，得x ＝2h 1，x ＋h 1x ＋h 1＋h 2＝34，得h 1＝h 2. ∴S 梯形ABFE ＝12×(3＋4)×h 2＝72h 1，S 梯形EFCD ＝12×(2＋3)×h 1＝52h 1，∴S 梯形ABFE ∶S 梯形EFCD ＝7∶5. 【答案】 7∶54．某同学的身高为1.6 m ，由路灯下向前步行4 m ，发现自己的影子长为2 m ，求这个路灯的高．【解】 如图所示，AB 表示同学的身高，PB 表示该同学的影长，CD 表示路灯的高，则AB ＝1.6 m ，PB ＝2 m ，BD ＝4 m.∵AB ∥CD ， ∴PB PD ＝AB CD， ∴CD ＝AB ×PDPB＝＋2＝4.8(m)，即路灯的高为4.8 m.。

三 相似三角形的判定及性质庖丁巧解牛知识·巧学一、平行线分线段成比例定理1.定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.2.用符号语言表示:如图1-2-1所示，a∥b∥c,则EFDEBC AB =.图1-2-13.定理的证明：若BCAB是有理数，则将AB 、BC 分成相等的线段，把问题转化为平行线等分线段，达到证明的目的，再推广到整个实数范围，其完整的推广过程等学到高等数学时才会实现.4.定理的条件:与平行线等分线段定理相同，它需要a 、b 、c 互相平行，构成一组平行线，m 与n 可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a 、b 、c 相交，即被平行线a 、b 、c 所截.平行线的条数还可以更多. 知识拓展对于3条平行线截两条直线的图形，要注意以下变化(如图121):如果已知是a∥b∥c，那么根据定理就可以得到所有的对应线段都成比例，如FDFECA CB DF DE AC AB ==,等. 记忆要诀 对于平行线分线段成比例定理，可以归纳为右左右左全上全上下上下上===1，，等，便于记忆.二、平行线分线段成比例定理的推论1.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.2.符号语言表示:如图1-2-2所示，a∥b∥c,则BCDEAC AE AB AD ==(1) （2）图1-2-23.推论的证明：直接利用平行线分线段成比例定理，应当注意的是一定要将线段对应好. 误区警示实际应用时，通常图形中不会出现三条平行线，此时要注意正确识别图形，如图123.图1-2-3问题·探究问题1 平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何区别与联系？怎样正确使用平行线分线段成比例定理？思路:从两个定理的条件和结论两方面进行对比，可以找到它们的共同点和区别点. 探究:我们学习的平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等(如图1-2-4，若l 1∥l 2∥l 3，AB ＝BC ，则DE=EF).图1-2-4 图1-2-5平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图1-2-5,若l 1∥l 2∥l 3,则EFDEBC AB =. 比较这两个定理可知:当截得的对应线段成比例,比值为1时,则截得的线段相等,即当EFDEBC AB ==1时,则有AB=BC,DE=EF,因此平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的扩充,而平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例.平行线等分线段定理是证明线段相等的依据,而平行线分线段成比例定理是证明线段成比例的途径.在使用平行线分线段成比例定理时,要特别注意“对应”的问题，如图1-2-5中的线段AB 、BC 、AC 的对应线段分别是DE 、EF 、DF.由平行线分线段成比例定理有DF EFAC BC DF DE AC AB DE EF AB BC ===,,.根据比例的性质,还可以得到DF AC DE AB EF BC DE AB ==,,DFACEF BC =. 为了掌握对应关系，可根据对应线段的相对位置特征，把DFDEAC AB =说成是“上比全等于上比全”，把EFBCDE AB =说成是“左比右等于左比右”，使用这种形象化语言，不仅能够按要求或需要准确地写出比例式，而且也容易检查比例式是否正确.问题2 证明线段相等的问题较常见，而证题的方法随着所学知识的不断积累也逐渐增多.那么证明线段相等通常有哪些方法？我们现在学习的平行线分线段成比例定理及推论能发挥什么作用？思路:从学过的所有涉及线段相等的结论进行总结.探究:根据题设的不同，证明线段相等可以利用全等三角形的对应线段相等；等腰三角形、等腰梯形的两腰相等；平行四边形的对边相等，对角线互相平分；正方形、矩形、等腰梯形的对角线相等；关于直线成轴对称或关于点成中心对称的线段相等，以及线段的垂直平分线的性质定理、角平分线的性质定理等等.现在学了线段成比例的有关定理，也常用来证两线段相等，其方法是利用条件中有的(或添作的)平行线或相似三角形，列出几组比例式进行比较而得出. 典题·热题例1如图1-2-6所示，∠A=∠E，BE AB =21，BD=8，求BC 的长.图1-2-6思路分析：要求BC ，由于BC 和BD 是对应线段，因此只要得出AC∥DE 即可. 解：∵∠A=∠E，∴AC∥DE.∴BE ABBD BC =(平行于三角形一边的直线截其他两边的延长线所得的对应线段成比例). ∴8BC =21.∴BC=4.误区警示 在列比例式求某线段的长时，应尽可能将需求的线段写成比例式第一项，以减少比例变形，减少错误.例2如图1-2-7所示，DE∥BC，EF∥DC，求证:AD 2=AF·AB.图1-2-7思路分析：要证AD 2=AF·AB，只要证ABADAD AF =，由于AF 、AD 、AB 在同一直线上，因此上式不能直接用定理证，于是想到用过渡比.从基本图形“A”型中立即可找到过渡比为ACAE.证明：∵DE∥BC，∴ACAEAB AD =(平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例). ∵EF∥DC,∴ACAEAD AF =. ∴ABAD AD AF =,即AD 2=AF·AB. 深化升华 等积式常常转化为比例式证明，要善于从复杂图形中识别出基本图形中的公共部分(即ACAE)，它往往是构成证明中的过渡比. 例3如图1-2-8所示，已知直线FD 和△ABC 的BC 边交于D ，与AC 边交于E ，与BA 的延长线交于F ，且BD=DC ，求证:AE·FB=EC·FA.图1-2-8思路分析：本题只要证FB FA EC AE =即可.由于EC AE 与FBFA没有直接联系，因此必须寻找过渡比将它们联系起来，因此考虑添加平行线进行构造.证明：过A 作AG∥BC，交DF 于G 点.∵AG∥BD,∴FB FA =BD AG . 又∵BD=DC,∴FB FA =DC AG.∵AG∥BD,∴DC AG =ECAE.∴EC AE =FBFA ,即AE·FB=EC·FA. 变式方法 本题过点A 还有一种方式作平行线构造基本图形，过B 、C 都有两种方式作平行线构造基本图形.例4如图1-2-9，已知AD 是△ABC 的内角平分线,求证:CDBDAC AB =.图1-2-9思路分析：AB 、AC 不在同一直线上，而BD 和CD 在同一直线上.在同一直线上的两条线段的比往往和平行线有关，所以我们考虑不妨作一条平行线. 证明：过点C 作CE∥AD，交BA 的延长线于点E, ∵AD∥EC,∴CDBDAE AB =又∵∠E=∠BAD,∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠CAD, ∴∠E=∠ACE.∴AC=AE.∴CDBDAC AB =. 深化升华 此题是三角形的内角平分线定理，即三角形的内角平分线分对边成两条线段与夹这个角的两边对应成比例.例5某同学的身高1.60米，由路灯下向前步行4米，发现自己的影子长2米，求这个路灯的高？图1-2-10思路分析：结合光的直线传播，建立如图1-2-10所示的三角形，根据人体与路灯杆平行将题目转化为成比例线段，代入数值可以获得结果.解：如图1-2-10，AB 表示同学的身高，CD 表示路灯的高.∵AB∥CD,∴CDABPD PB =∴CD=2)42(6.1+⨯=⨯PB PD AB =4.8(米). 答:路灯高为4.8米.例6如图1-2-11，从Rt△ABC 的两直角边AB 、AC 向三角形外作正方形ABFG 及ACDE ，CF 、BD 分别交AB 、AC 于P 、Q 点，求证:AP=AQ.图1-2-11证明：∵AB∥GF,AC∥ED， ∴BE BA ED AQ CG CA GF AP ==,,即AP=CG GF CA •,AQ=BEEDBA •. ∵CA=ED,GF=BA,CG=BE,∴AP=AQ.例7如图1-2-12，四边形ABCD 中，AC 、BD 交于O ，过O 作AB 的平行线，与AD 、BC 分别交于E 、F ，与CD 的延长线交于K ，求证:KO 2=KE·KF.图1-2-12思路分析：KO 、KE 、KF 在一条直线上，要证明KO 2=KE·KF，即要证KOKFKE KO =，显然要寻找中间比，现有图形无法将线段KO 、KE 、KF 与平行线分线段成比例定理及其推论联系起来，若延长CK 、BA ，设它们交于H ，则图形中出现如上题所说的两个基本图形,这就不难将KOKFKE KO =进行转换而找到中间比. 证明：延长CK 、BA ，设它们交于H ，∵KO∥HB,∴KH DK HA KE DH DK HB KO ==,.∴HA KE HB KO =,即HAHBKE KO =. ∵KF∥HB,同理可得HA HB KO KF =.∴KOKF KE KO =,即KO 2=KE·KF. 深化升华 本题所作的辅助线，不仅构造了两个常见的基本图形，而且可以直接利用三角形一边的平行线的性质定理，找到KE KO 与KOKF的中间比，使问题得以突破,也可以由两个基本图形直接得到HAHBKO KF HA HB KE KO ==,.。

相似三角形的判定及有关性质【学习目标】1. 了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理．2. 理解并掌握相似三角形的判定及性质。

【要点梳理】要点一、平行截割定理 1。

平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他与这组平行线相交的直线上截得的线段也相等。

推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． 2．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 如右图：l 1∥l 2∥l 3，则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF=== 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．要点诠释：由上述定理可知：在证明有关比例线段时，辅助线往往作平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.要点二、相似三角形 1.定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。

要点诠释：关于相似三角形要注意以下几点：① 对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．② 顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③ 两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④ 全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．2．相似三角形的判定定理①两角对应相等的两个三角形相似。

②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

③三边对应成比例的两个三角形相似。

④平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 3．相似直角三角形的判定定理①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似． ②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

第十一章⎪⎪⎪几何证明选讲(选修4－1)第一节 相似三角形的判定及有关性质1．平行线的截割定理 (1)平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． (2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 2．相似三角形的判定定理(1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． (3)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似． 3．相似三角形的性质定理(1)性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．(2)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．4．直角三角形相似的判定定理(1)判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似． (2)判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似． (3)判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．5．直角三角形射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．[小题体验]1.(教材习题改编)如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF＝12 cm ，则BC 的长为________ cm.解析：由⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED ⇒E 为AD 中点，M 为BC 的中点， 又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm. ∴BC ＝2MC ＝24 cm. 答案：242.(教材习题改编)如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2. ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49，故S △ADE S 四边形DBCE ＝45. 答案：451．在使用平行线截割定理时易出现对应边的对应顺序混乱，导致错误． 2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角的对应失误．3．射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似．但要注意满足直角三角形射影定理结论的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用．[小题纠偏]1.(2016·鞍山模拟)如图，在▱ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD 于点F ，则BF ∶FD 的值为________．解析：因为AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3， 所以BE ∶AD ＝2∶5，因为AD ∥BC ， 所以BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5， 所以BF ∶FD 的值为25.答案：252.如图，在Rt △ABC 中 ，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，若AB ∶AC ＝2∶1，则AD ∶BC 为________．解析：设AC ＝k ，则AB ＝2k ，BC ＝5k ， ∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ， ∴AC 2＝CD ·BC ， ∴k 2＝CD ·5k ，∴CD ＝55k ， 又BD ＝BC －CD ＝455k ， ∴AD 2＝CD ·BD ＝55k ·455k ＝45k 2， ∴AD ＝255k ，∴AD ∶BC ＝2∶5. 答案：2∶5考点一 平行线分线段成比例定理的应用(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于点O ，过点O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，求EF 的值．解：∵AD ∥BC ， ∴OB OD ＝BC AD ＝2012＝53， ∴OB BD ＝58.∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝OB BD ＝58.∴OE ＝58AD ＝58×12＝152，同理可求得OF ＝38BC ＝38×20＝152，∴EF ＝OE ＋OF ＝15.2．如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，求BFFC 的值．解：如图，过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M . ∵点E 是BD 的中点，∴在△BDM 中，BF ＝FM . 又点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF ， ∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12.[谨记通法]平行线分线段成比例定理及推论的应用的一个注意点及一种转化(1)一个注意点：利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用．(2)一种转化：解决此类问题往往需要作辅助的平行线，要结合条件构造平行线组，再应用平行线分线段成比例定理及其推论转化比例式解题．考点二 相似三角形的判定及性质 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 上，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，且CF ＝13BC .求证：(1)EF ⊥BC ； (2)∠ADE ＝∠EBC . 证明：设AB ＝AC ＝3a ， 则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a . (1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23. 又∠C 为公共角， 故△BAC ∽△EFC ，由∠BAC ＝90°，得∠EFC ＝90°， 故EF ⊥BC .(2)由(1)得EF ＝FC AC ·AB ＝2a ， 故AE EF ＝a 2a ＝22，AD BF ＝2a 22a ＝22，∴AE EF ＝AD BF， ∴△ADE ∽△FBE ， 所以∠ADE ＝∠EBC .[由题悟法]证明相似三角形的一般思路(1)先找两对内角对应相等．(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例． (3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．[即时应用]如图，已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．解：(1)证明：因为DE ⊥BC ，D 是BC 的中点，所以EB ＝EC ，所以∠B ＝∠BCE .又因为AD ＝AC ，所以∠ADC ＝∠ACB.所以△ABC ∽△FCD.(2)如图，过点A 作AM ⊥BC ， 垂足为点M .因为△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ， 所以S △ABC S △FCD ＝⎝⎛⎭⎫BC CD 2＝4.又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20. 因为S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12×10×AM ，所以AM ＝4.因为DE ∥AM ，所以DE AM ＝BDBM . 因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，所以DE 4＝55＋52，解得DE ＝83.考点三 直角三角形中的射影定理 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]如图所示，CD 垂直平分AB ，点E 在CD 上，DF ⊥AC ，DG ⊥BE ，F ，G 分别为垂足．求证：AF ·AC ＝BG ·BE . 证明：因为CD 垂直平分AB ， 所以∠ADC ＝∠BDC ＝90°，AD ＝D B.在Rt △ADC 中，因为DF ⊥AC ， 所以AD 2＝AF ·AC . 同理BD 2＝BG ·BE . 所以AF ·AC ＝BG ·BE .[由题悟法]对射影定理的理解和应用(1)利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影．(2)要善于将有关比例式进行适当的变形转化，有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式，并且注意射影定理的其他变式．(3)注意射影定理与勾股定理的结合应用．[即时应用]在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，求tan ∠BCD 的值． 解：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ， 又BD ∶AD ＝1∶9， 令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)． ∴CD 2＝9x 2， ∴CD ＝3x .Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13.1.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，求EF BC ＋FGAD 的值．解：由平行线分线段成比例定理得 EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC ，故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝AC AC ＝1.2.如图，等边三角形DEF 内接于△ABC ，且DE ∥BC ，已知AH ⊥BC 于点H ，BC ＝4，AH ＝3，求△DEF 的边长．解：设DE ＝x ，AH 交DE 于点M ，显然MH 的长度与等边三角形DEF 的高相等，又DE ∥BC ，则DE BC ＝AM AH ＝AH －MH AH ， 所以x4＝3－32x 3＝2－x 2，解得x ＝43.故△DEF 的边长为43.3.如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交AD ，AC 于点E ，F ，交CB 的延长线于点N .若AE ＝2，AD ＝6，求AFAC的值． 解：∵AD ∥BC ， ∴△AEF ∽△CNF ， ∴AF CF ＝AE CN ， ∴AF AF ＋CF ＝AEAE ＋CN.∵M 为AB 的中点，∴AE BN ＝AMBM ＝1，∴AE ＝BN ， ∴AF AC ＝AF AF ＋CF ＝AE AE ＋BN ＋BC ＝AE 2AE ＋BC. ∵AE ＝2，BC ＝AD ＝6， ∴AF AC ＝22×2＋6＝15.4.如图，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝GF ·HF .证明：在△AFH 与△GFB 中， 因为∠H ＋∠BAC ＝90°， ∠GBF ＋∠BAC ＝90°，所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠BFG ＝90°， 所以△AFH ∽△GFB ， 所以HF BF ＝AF GF ， 所以AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ， 所以DF 2＝AF ·BF . 所以DF 2＝GF ·HF .5.(2016·大连模拟)如图，已知D 为△ABC 中AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于G ，交BC 延长线于F ，若BG ∶GA ＝3∶1，BC ＝8，求AE 的长．解：因为AE ∥BC ，D 为AC 的中点， 所以AE ＝CF ，AE BF ＝AG BG ＝13.设AE ＝x ，又BC ＝8， 所以x x ＋8＝13，所以x ＝4. 所以AE ＝4.6.(2016·大连模拟)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F .(1)求BFFC 的值；(2)若△BEF 的面积为S 1，四边形CDEF 的面积为S 2，求S 1∶S 2的值． 解：(1)过点D 作DG ∥BC ，并交AF 于点G ，因为E 是BD 的中点，所以BE ＝DE . 又因为∠EBF ＝∠EDG ，∠BEF ＝∠DEG ， 所以△BEF ≌△DEG ，则BF ＝DG ， 所以BF ∶FC ＝DG ∶FC .又因为D 是AC 的中点，则DG ∶FC ＝1∶2， 则BF ∶FC ＝1∶2，即BF FC ＝12.(2)若△BEF 以BF 为底，△BDC 以BC 为底， 则由(1)知BF ∶BC ＝1∶3，又由BE ∶BD ＝1∶2，可知h 1∶h 2＝1∶2， 其中h 1，h 2分别为△BEF 和△BDC 的高， 则S △BEF S △BDC ＝13×12＝16， 则S 1∶S 2＝1∶5. 故S 1∶S 2的值为15.7.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 的延长线于点D.(1)求证：PC AC ＝PDBD ；(2)若AC ＝3，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：因为∠CPD ＝∠ABC ，∠PDC ＝∠PDC ， 所以△DPC ∽△DBA ，所以PC AB ＝PD BD . 又AB ＝AC ，所以PC AC ＝PD BD. (2)因为∠ABC ＋∠APC ＝180°，∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∠ABC ＝∠ACB ， 所以∠ACD ＝∠APC .又∠CAP ＝∠DAC ，所以△APC ∽△ACD ， 所以AP AC ＝AC AD. 所以AP ·AD ＝AC 2＝9.8.△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AB ，AC 上的点，AD ，EF 交于点P ，若BD ＝DC ，AE ＝AF .求证：AB AC ＝PF PE .证明：过F 作MN ∥AD 交BA 的延长线及DC 于M ，N .对△MEF ，有PF PE ＝AMAE ，因为AE ＝AF ，所以PF PE ＝AM AF. 对△MBN ，有AB AM ＝BDDN ， 因为BD ＝DC ，所以AB AM ＝DCDN . 对△ADC ，有AC AF ＝DC DN ，所以AB AM ＝ACAF . 所以AB AC ＝AM AF ，所以AB AC ＝PF PE .第二节 直线与圆的位置关系1．圆周角(1)定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)推论1：①同弧或等弧所对的圆周角相等； ②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． (3)推论2：①半圆(或直径)所对的圆周角是直角； ②90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．3．弦切角定理及其推论(1)定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． (2)推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半． 4．圆中的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．[小题体验]1.(教材习题改编)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．解析：设垂足为D ，⊙O 的半径等于R ， ∵AB ，BC 是⊙O 的两条弦， AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22， ∴AD ＝1，∴R 2＝2＋(R －1)2， ∴R ＝1.5.故⊙O 的半径为1.5. 答案：1.52.如图，AC 为⊙O 的直径，OB ⊥AC ，弦BN 交AC 于点M .若OC ＝3，OM ＝1，则MN 的长为________．解析：由题意得： CM ＝CO ＋OM ＝3＋1， AM ＝AO －OM ＝3－1， BM 2＝OB 2＋OM 2＝4，BM ＝2， 根据相交弦定理有CM ·AM ＝BM ·MN ，代入数值可解得MN ＝CM ·AM BM ＝(3＋1)(3－1)2＝1.答案：13.如图，⊙O 的直径AB ＝6 cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ，若∠CPA ＝30°，PC ＝________ cm.解析：连接OC ，则OC ⊥PC .又OC ＝3，∠CPA ＝30°， ∴CP ＝OCtan 30°＝3 3.答案：3 31．解决圆周角、圆心角及弦切角问题时，角之间关系易于混淆导致错误．2．使用相交弦定理与切割线定理时，注意对应线段成比例及相似三角形知识的应用．[小题纠偏]1.如图所示，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点B 在圆O 上，BC ＝2，∠BCD ＝30°，则圆O 的面积为________．解析：设圆O的半径为r，过B作⊙O的直径BA，连接AC，则∠ACB＝90°.又由弦切角定理得∠CAB＝∠BCD＝30°，∴AB＝2BC＝4.∴r＝2，∴S＝πr2＝4π.答案：4π2.如图所示，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA＝3，AB＝4，PO＝5，则⊙O的半径为________．解析：设⊙O的半径为r.由割线定理得PA·PB＝PC·PD,3×7＝(PO－r)(PO＋r)，即21＝25－r2，∴r2＝4，∴r＝2.答案：2考点一圆周角、弦切角和圆的切线问题(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.(2016·黄冈模拟)已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于A，∠ACB的平分线分别交AB，AE于D，F两点，求∠AFD的大小．解：因为AC为圆O的切线，由弦切角定理，得∠B＝∠EAC.又因为CD平分∠ACB，则∠ACD＝∠BCD，所以∠B＋∠BCD＝∠EAC＋∠ACD.根据三角形外角定理，∠ADF＝∠AFD.因为BE是圆O的直径，则∠BAE＝90°，所以△ADF是等腰直角三角形．所以∠ADF＝∠AFD＝45°.2．(2015·广东高考改编)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，求OD的长．解：由题意得OP ＝12BC ＝12，OA ＝2，于是PA ＝CP ＝22－⎝⎛⎭⎫122＝152. 因为∠DCP ＝∠B ＝∠POA ，又∠DPC ＝∠APO ，所以△DCP ∽△AOP ， 故PD PA ＝PCPO， 即PD ＝15212×152＝152，所以OD ＝152＋12＝8.[谨记通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．考点二 圆内接四边形的性质及判定 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·昆明模拟)如图所示，已知D 为△ABC 的BC 边上一点，⊙O 1经过点B ，D ，交AB 于另一点E ，⊙O 2经过点C ，D ，交AC 于另一点F ，⊙O 1与⊙O 2的另一交点为G .(1)求证：A ，E ，G ，F 四点共圆；(2)若AG 切⊙O 2于G ，求证：∠AEF ＝∠ACG . 证明：(1)如图，连接GD ，四边形BDGE ，四边形CDGF 分别内接于⊙O 1，⊙O 2， ∴∠AEG ＝∠BDG ， ∠AFG ＝∠CDG ，又∠BDG ＋∠CDG ＝180°， ∴∠AEG ＋∠AFG ＝180°，∴A，E，G，F四点共圆．(2)∵A，E，G，F四点共圆，∴∠AEF＝∠AGF，∵AG与⊙O2相切于点G，∴∠AGF＝∠ACG，∴∠AEF＝∠ACG.[由题悟法]证明四点共圆的常用方法(1)若四个点到一定点等距离，则这四个点共圆．(2)若一个四边形的一组对角的和等于180°，则这个四边形的四个顶点共圆．(3)若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．(4)若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆．[即时应用](2016·吉林实验中学)如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F.(1)求证：BC∥DE；(2)若D，E，C，F四点共圆，且AC＝BC，求∠BAC.解：(1)证明：因为DE为圆的切线，所以∠EDC＝∠DAC.又因为∠DAC＝∠DAB，∠DAB＝∠DCB，所以∠EDC＝∠DCB，所以BC∥DE.(2)因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA＝∠CED，由(1)知∠ACF＝∠CED，所以∠CFA＝∠ACF.设∠DAC＝∠DAB＝x，因为AC＝BC，所以∠CBA＝∠BAC＝2x，所以∠CFA＝∠FBA＋∠FAB＝3x，在等腰△ACF中，180°＝∠CFA＋∠ACF＋∠CAF＝7x，则x≈25.7°，所以∠BAC＝2x≈51.4°.考点三 与圆有关的比例线段 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2015·陕西高考)如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C .(1)证明：∠CBD ＝∠DBA;(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径． 解：(1)证明：因为DE 为⊙O 的直径， 所以∠BED ＋∠EDB ＝90°.又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°， 从而∠CBD ＝∠BED.又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ， 所以∠CBD ＝∠DBA . (2)由(1)知BD 平分∠CBA ， 则BA BC ＝ADCD＝3. 又BC ＝2，从而AB ＝3 2. 所以AC ＝AB 2－BC 2＝4， 所以AD ＝3.由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ， 即AE ＝AB 2AD ＝6，故DE ＝AE －AD ＝3， 即⊙O 的直径为3.[由题悟法]与圆有关的比例线段解题思路(1)见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理． (2)见到圆的两条割线就要想到割线定理． (3)见到圆的切线和割线就要想到切割线定理．[即时应用]1．(2015·天津高考改编)如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ，若CM ＝2，MD ＝4，CN ＝3，求线段NE 的长．解：由题意可得CM ·MD ＝AM ·MB ， 则2×4＝2AM 2，AM ＝2. 又CN ·NE ＝AN ·NB ， 即3NE ＝4×2，解得NE ＝83.2．(2015·湖北高考改编)如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC ＝3PB ，求ABAC的值． 解：因为PA 是圆的切线， A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割线定理，知PA 2＝PB ·PC ＝PB (PB ＋BC )， 因为BC ＝3PB ，所以PA 2＝4PB 2，即PA ＝2PB. 由弦切角定理，得∠PAB ＝∠PCA ， 又∠APB ＝∠CPA ，故△PAB ∽△PCA ， 所以AB AC ＝PB PA ＝12.1．(2015·重庆高考改编)如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA ＝6，AE ＝9，PC ＝3，CE ∶ED ＝2∶1，求BE 的长．解：由切割线定理，知PA 2＝PC ·PD ， 即62＝3PD ， 解得PD ＝12，所以CD ＝PD －PC ＝9， 所以CE ＝6，ED ＝3.由相交弦定理，知AE ·EB ＝CE ·ED ，即9BE ＝6×3，解得BE ＝2.2．(2016·兰州双基测试)如图，在正△ABC 中，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AD ，BE 相交于点P .求证：(1)P ，D ，C ，E 四点共圆； (2)AP ⊥CP .证明：(1)在正△ABC 中，由BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，知：△ABD ≌△BCE ，∴∠ADB ＝∠BEC ，即∠ADC ＋∠BEC ＝180°， ∴P ，D ，C ，E 四点共圆．(2)连接DE ，在△CDE 中，CD ＝2CE ，∠ACD ＝60°， 由正弦定理知∠CED ＝90°，由P ，D ，C ，E 四点共圆知，∠DPC ＝∠DEC ， ∴AP ⊥CP .3．(2016·陕西一检)如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点，AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C ，D ，且PC ＝PD.(1)求证：l 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径OA ＝5，AC ＝4，求CD 的长．解：(1)证明：连接OP ， ∵AC ⊥l ，BD ⊥l ， ∴AC ∥BD.又OA ＝OB ，PC ＝PD ， ∴OP ∥BD ，从而OP ⊥l .∵点P 在⊙O 上，∴l 是⊙O 的切线． (2)由(1)可得OP ＝12(AC ＋BD )，∴BD ＝2OP －AC ＝10－4＝6. 过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ， 则BE ＝BD －AC ＝6－4＝2. ∴在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝102－22＝4 6. ∴CD ＝4 6.4.(2015·全国卷Ⅰ)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC交⊙O 于点E .(1)若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； (2)若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小． 解：(1)证明：如图，连接AE ，由已知得AE ⊥BC ，AC ⊥AB. 在Rt △AEC 中，由已知得DE ＝DC ，故∠DEC ＝∠DCE . 连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB. 又∠ACB ＋∠ABC ＝90°， 所以∠DEC ＋∠OEB ＝90°，故∠OED ＝90°，即DE 是⊙O 的切线． (2)设CE ＝1，AE ＝x .由已知得AB ＝23，BE ＝12－x 2. 由射影定理可得AE 2＝CE ·BE ， 所以x 2＝12－x 2，即x 4＋x 2－12＝0. 解得x ＝3，所以∠ACB ＝60°.5．(2015·沈阳一模)如图所示，已知AB 为圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的两个点，CE ⊥AB 于E ，BD 交AC 于G ，交CE 于F ，CF ＝FG .(1)求证：C 是劣弧BD 的中点； (2)求证：BF ＝FG .证明：(1)∵CF ＝FG ，∴∠CGF ＝∠FCG . ∵AB 是圆O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝π2.∵CE ⊥AB ，∴∠CEA ＝π2.∵∠CBA ＝π2－∠CAB ，∠ACE ＝π2－∠CAB ，∴∠CBA ＝∠ACE .∵∠CGF ＝∠DGA ，∠DGA ＝∠ABC ， ∴π2－∠DGA ＝π2－∠ABC ， ∴∠CAB ＝∠DAC ， ∴C 为劣弧BD 的中点．(2)∵∠GBC ＝π2－∠CGB ，∠FCB ＝π2－∠GCF ，∴∠GBC ＝∠FCB ，∴CF ＝FB ，∴BF ＝FG .6．(2016·贵州七校联考)如图，⊙O 1和⊙O 2的公切线AD 和BC 相交于点D ，A ，B ，C 为切点，直线DO 1交⊙O 1于E ，G 两点，直线DO 2交⊙O 2于F ，H 两点．(1)求证：△DEF ∽△DHG ；(2)若⊙O 1和⊙O 2的半径之比为9∶16，求DEDF 的值． 解：(1)证明：∵AD 是两圆的公切线， ∴AD 2＝DE ·DG ，AD 2＝DF ·DH ， ∴DE ·DG ＝DF ·DH ，∴DE DH ＝DF DG ， 又∵∠EDF ＝∠HDG ， ∴△DEF ∽△DHG .(2)连接O 1A ，O 2A ， ∵AD 是两圆的公切线， ∴O 1A ⊥AD ，O 2A ⊥AD ， ∴O 1，A ，O 2共线，∵AD 和BC 是⊙O 1和⊙O 2的公切线， DG 平分∠ADB ，DH 平分∠ADC ， ∴DG ⊥DH ，∴AD 2＝O 1A ·O 2A .设⊙O 1和⊙O 2的半径分别为9x 和16x ，则AD ＝12x ， ∵AD 2＝DE ·DG ，AD 2＝DF ·DH ，∴144x 2＝DE (DE ＋18x )，144x 2＝DF (DF ＋32x )， ∴DE ＝6x ，DF ＝4x ， ∴DE DF ＝32.7．(2016·沈阳模拟)如图，已知圆O 1与圆O 2外切于点P ，直线AB 是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A ，B 两点，AC 是圆O 1的直径，过C 作圆O 2的切线，切点为D.(1)求证：C ，P ，B 三点共线； (2)求证：CD ＝CA .证明：(1)连接PC ，PA ，PB ，BO 2，∵AC是圆O1的直径，∴∠APC＝90°.连接O1O2必过点P，∵AB是两圆的外公切线，A，B为切点，∴设∠BAP＝∠ACP＝α，∴∠AO1P＝2α.由于O1A⊥AB，O2B⊥AB，∴∠BO2P＝π－2α，∴∠O2BP＝α.又∠ABP＋∠O2BP＝90°，∴∠ABP＋∠BAP＝90°，∴C，P，B三点共线．(2)∵CD切圆O2于点D，∴CD2＝CP·CB.在△ABC中，∠CAB＝90°，又∵AP⊥BC，∴CA2＝CP·CB，故CD＝CA.8．(2015·全国卷Ⅱ)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积．解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF，从而EF∥BC.(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE ＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形． 因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3， 所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033. 所以四边形EBCF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633.。

第二节 平行线分线段成比例定理
课前导引
情景导入
平行线等分线段定理中,我们以“相邻两条平行线间的距离都相等”为条件,探究出它们在其他直线上截得的线段相等,我们自然想到这组平行线中相邻平行线间距离不相等,情形又怎样呢?
知识预览
1.平行线分线段成比例定理.
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
2.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例.
3.用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线所截得的三角形的.三边与原三角形三边对应成比例.
4.比例性质:
(1)如果d c b a =,那么c d a b =.(反比性质) (2)如果d c b a =,那么b b a +=d d c +或(d
d c b b a -=-).(合比性质) (3)如果d c b a =⇔ad=bc.(基本性质) 5.构造平行线是本节重要解题方法之一.
说明:高度重视“对应问题”.如图1-2-1,l 1∥l 2∥l 3,则对应关系，如下:
图1-2-1
①BC AB =EF DE (下
上下上=); ②AC AB =DF DE (全
上全上=); ③EF BC DE AB =(右左右左=).。