2019高中数学第3章数系的扩充与复数3.2.3复数的除法学案新人教B版选修2_2

3.2.2 复数的乘法和除法明目标、知重点 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.进一步理解共轭复数的概念及性质.1.复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2.复数乘法的运算律对任意复数z1、z2、z3∈C，有3.复数的除法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(c＋d i≠0)，则z1z2＝a＋b ic＋d i＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i.[情境导学]我们学习过实数的乘法运算及运算律，那么复数的乘法如何进行运算，复数的乘法满足运算律吗？探究点一复数乘除法的运算思考1 怎样进行复数的乘法？答两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可.思考2 复数的乘法与多项式的乘法有何不同？答复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1.例1 计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；(2)(3＋4i)(3－4i)；(3)(1＋i)2.解 (1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i) ＝－20＋15i ；(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25； (3)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.反思与感悟 复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等.跟踪训练1 计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2. 解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i 2＝4－(－1)＝5； (2)(1＋2i)2＝1＋4i ＋(2i)2＝1＋4i ＋4i 2＝－3＋4i. 思考3 如何理解复数的除法运算法则？答 复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i). 例2 计算：(1)4－3i 4＋3i ＋4＋3i 4－3i ；(2)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i .解 (1)原式＝－2＋－＋＋2－＋＝16－9－24i 42＋32＋16－9＋24i42＋32＝7－24i 25＋7＋24i 25＝1425； (2)方法一 原式＝[＋22]6＋2＋33＋232＋22＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.方法二 (技巧解法) 原式＝[＋22]6＋2＋33－2＝i 6＋2＋32＋3i＝－1＋i.反思与感悟 复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数. 跟踪训练2 计算：(1)7＋i 3＋4i ；(2)－1＋＋－i .解 (1)7＋i3＋4i ＝＋－＋－＝25－25i 25＝1－i.(2)－1＋＋－i＝－3＋i －i ＝－3＋－i·i＝－1－3i.探究点二 共轭复数及其应用思考1 复数a ＋b i 及其共轭复数之积是实数还是虚数？答 复数a ＋b i 的共轭复数表示为a －b i ，由于 (a ＋b i)·(a －b i)＝a 2＋b 2，所以两个共轭复数之积为实数.思考2 共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？ 答 (1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称.(2)实数的共轭复数是它本身，即z ＝z ⇔z ∈R ，利用这个性质可证明一个复数为实数. (3)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数. 思考3 z ·z 与|z |2和|z |2有什么关系？ 答 z ·z ＝|z |2＝|z |2.例3 已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z . 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 且|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.① 因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数， 所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.② 由①②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝35，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i ，或z ＝－45＋35i.反思与感悟 本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点. 跟踪训练3 已知复数z 满足：z ·z ＋2i z ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和. 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ·z ＝a 2＋b 2，∴a 2＋b 2＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ， 即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝8＋6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－2b ＝82a ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝1，∴a ＋b ＝4，∴复数z 的实部与虚部的和是4.1.设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A.－i B.i C.－1 D.1答案 A解析 z ＝1i＝－i.2.已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z 等于( ) A.－2i B.2i C.－4i D.4i答案 C解析 由M ∩N ＝{4}得z i ＝4，z ＝4i ＝－4i.3.复数i －21＋2i 等于( )A.iB.－iC.－45－35iD.－45＋35i答案 A4.复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 D解析 因为z ＝2－i2＋i ＝－25＝3－4i5，故复数z 对应的点在第四象限，选D. [呈重点、现规律] 1.复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化. 2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题. 3.复数问题实数化思想.复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化.。

人教版高中选修(B版)2-23.1数系的扩充与复数的概念课程设计1. 课程背景本课程是人教版高中数学选修(B版)2-23.1数系的扩充与复数的概念。

在高中数学教学中，数系是数学基础之一，而复数则在数学及其它领域中有广泛的应用。

因此，在本课程中，将介绍数系的扩充，即实数集的扩充，以及复数的概念、运算及其在代数、几何中的应用，以帮助学生深入理解数学中的重要概念和方法。

2. 教学目标本课程的教学目标是通过多种教学方法和活动，使学生在知识、能力和情感等方面得到全面提升，具体目标如下：•理解实数集的扩充，了解虚数单位及其性质•掌握复数的概念和运算方法，以及复数共轭和模的概念及其性质•应用复数及其性质解决实际问题•提高学生的数学思维能力和创新能力•培养学生的数学兴趣和学习习惯3. 教学内容及方法3.1 教学内容本课程主要包括以下内容：3.1.1 实数集的扩充•负数的引入及其在代数中的应用•无理数的引入及其性质•实数集的扩充：引入虚数单位i，虚数的概念及运算，以及复数的概念和表示方法3.1.2 复数的概念和运算•复数的定义和表示方法•复数的运算法则：加、减、乘、除及其性质•复数的共轭和模：定义及其性质3.1.3 复数及其应用•复数方程的解法：公式法和图解法•复数在代数中的应用：方程的根、多项式的分解等•复数在几何中的应用：平面向量的乘法及其性质3.2 教学方法本课程采用多种教学方法，包括讲授、实验、讨论、竞赛和练习等，以提高学生学习数学的兴趣和积极性，具体如下：•讲授：向学生介绍新概念、新知识•实验：设计实验活动，让学生通过实际操作探究知识•讨论：通过小组讨论、课堂问答等方式，帮助学生理解知识、消除疑惑•竞赛：组织数学竞赛、数学活动等方式，激发学生的学习兴趣和竞争意识。

•练习：通过大量的练习，巩固知识和提高解题能力。

4. 教学步骤4.1 教学步骤一：引入新概念•介绍实数集的扩充：负数、无理数、虚数单位i等概念•让学生通过实例理解虚数的概念和运算法则•引入复数的概念：定义、表示方法4.2 教学步骤二：分组讨论•将学生分为小组，进行讨论•通过讨论，让学生深入理解复数相加、相减、相乘、相除的法则，并熟练掌握复数的共轭和模的概念及其性质4.3 教学步骤三：实验与应用•设计实验活动：让学生通过实验体验复数的性质及其应用•将复数的应用引入到实际问题中：让学生通过练习掌握复数方程的解法、多项式的分解等应用方面4.4 教学步骤四：复习和总结•回顾本课程的重点、难点和疑点•做一些课后练习，巩固学生的知识和技能•总结本课程的内容，对学生进行梳理和归纳，并布置作业5. 教学评估为了评价本课程的教学效果和学生的学习情况，我们将采用多种评估方法，包括课堂测试、小组评价、作业评分、调查问卷等方式，以便全面、客观地了解学生的学习效果和教学质量。

人教版高中数学B版目录第一篇：人教版高中数学B版目录人教版高中数学B版必修第一章1.1 集合集合与集合的表示方法必修一必修二必修三必修四第二章第三章第一章第二章第一章第二章第三章第一章第二章1.2 集合之间的关系与运算函数2.1 函数2.2 一次函数和二次函数 2.3 函数的应用（Ⅰ）2.4 函数与方程基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数 3.2 对数与对数函数 3.3 幂函数3.4 函数的应用（Ⅱ）立体几何初步1.1 空间几何体1.2 点、线、面之间的位置关系平面解析几何初步2.1平面真角坐标系中的基本公式2.2 直线方程 2.3 圆的方程2.4 空间直角坐标系算法初步1.1 算法与程序框图 1.2 基本算法语句1.3 中国古代数学中的算法案例统计2.1 随机抽样2.2 用样本估计总体 2.3 变量的相关性概率3.1 随机现象 3.2 古典概型3.3 随机数的含义与应用 3.4 概率的应用基本初等函(Ⅱ)1.1 任意角的概念与弧度制 1.2 任意角的三角函数 1.3三角函数的图象与性质平面向量2.1 向量的线性运算必修五第三章第一章第二章第三章2.2 向量的分解与向量的坐标运算 2.3平面向量的数量积 2.4 向量的应用三角恒等变换3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式3.3 三角函数的积化和差与和差化积解直角三角形1.1 正弦定理和余弦定理 1.2 应用举例数列2.1 数列 2.2 等差数列 2.3 等比数列不等式3.1 不等关系与不等式 3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法 3.4 不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单线性规划问题人教版高中数学B版选修常用逻辑用语命题与量词第一章1.1 选修1－1 选修1－2 选修4－5 第二章第三章第一章第二章第三章第四章第一章第二章第三章1.2 基本逻辑联结词1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式圆锥曲线与方程2.1 椭圆 2.2 双曲线 2.3 抛物线导数及其应用3.1 导数3.2 导数的运算 3.3导数的应用统计案例推理与证明数系的扩充与复数的引入框图不等式的基本性质和证明的基本方法1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.2 基本不等式1.3 绝对值不等式的解法 1.4 绝对值的三角不等式 1.5 不等式证明的基本方法柯西不等式与排序不等式及其应用2.1 柯西不等式2.2 排序不等式2.3平均值不等式(选学)2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型数学归纳法与贝努利不等式 3.1 数学归纳法原理3.2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式第二篇：高中数学目录必修1第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型必修2第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆必修3第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码必修4第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1－2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算第四章框图4.1 流程图4.2 结构图信息技术应用用word2002绘制流程图选修2－1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2 立体几何中的向量方法选修2－2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2－3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修3－1第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身选修3－3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义选修3－4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一 n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰思考题二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4－1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4－2第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1．旋转变换2．反射变换3．伸缩变换4．投影变换5．切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1．逆变换与逆矩阵2．逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1．二元一次方程组的矩阵形式2．逆矩阵与二元一次方程组探索与发现三阶矩阵与三阶行列式第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1．特征值与特征向量2．特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1．Anα的简单表示2．特征向量在实际问题中的应用选修4－4坐标系与参数方程第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线选修4－5不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式选修4－6初等数论初步第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥选修4－7优选法与试验设计初步第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4－9风险与决策第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例第三篇：高中数学目录【人教版】高中数学教材总目录必修一第一章集合与函数概念1.1 集合阅读与思考集合中元素的个数1.2 函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象实习作业小结第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2 对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1 函数与方程阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术方程的近似解3.2 函数模型及其应用信息技术应用收集数据并建立函数模型实习作业小结复习参考题必修二第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3 空间几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法小结复习参考题第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率探究与发现魔术师的地毯3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何小结复习参考题第四章圆与方程4.1 圆的方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆必修三第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3.1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3.2 古典概型3.3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修四第一章三角函数.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2 简单的三角恒等变换必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3 实习作业小结复习参考题第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4 基本不等式选修1-1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2 双曲线探究与发现2.3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3.4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1-2 第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2.2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4.1 流程图4.2 结构图选修2—1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用 3.2 立体几何中的向量方法选修2—2 第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3 第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合。

人教版高中选修(B版)1-23.1数系的扩充与复数的引入课程设计一、课程设计目的1.加深学生对数学数系的认识，扩展数系的范围；2.引入复数概念，让学生了解复数的存在与意义；3.提高学生综合运用已有知识解决实际问题的能力。

二、教学内容及时间安排1. 数系的扩充1.自然数、整数、有理数和实数的复习及深化（1课时）；2.无理数概念、主要无理数，以及无理数的性质（1课时）；3.实数系中的几个特殊的子集，如代数数和超越数等（1.5课时）。

2. 复数的引入1.负数的引入及负数的性质（1课时）；2.复数的概念及复数的表示方法（1课时）；3.复数的运算及其性质（1.5课时）。

3. 应用题训练1.根据实际问题引导学生运用已有知识解决实际问题（1.5课时）。

三、教学方法本课程采用探究式教学，注重学生主体地参与课堂活动，引导学生自己发现问题，自己尝试解决问题，培养学生探究和思考的能力。

四、教学过程及重难点讲解1. 数系的扩充（1）自然数、整数、有理数和实数的复习及深化重点讲解自然数、整数、有理数、无理数和实数之间的关系及性质，例如： - 自然数和整数可以表示不同的物质数量，智能获得或失去； - 有理数和实数可以表示良好的长度、面积和体积等。

（2）无理数概念、主要无理数，以及无理数的性质难点讲解主要无理数的概念及性质，例如： - π的无理性及其一些近似值；- 根号2的性质等。

（3）实数系中的几个特殊的子集，如代数数和超越数等讲解代数数和超越数的概念及表达式，例如：2 的开 3 次方是一个代数数，e 是一个超越数。

2. 复数的引入（1）负数的引入及负数的性质引导学生思考数学运算中的坑点和规律，例如：如何用正数或 0 减去一个正数。

将正数或 0 减去一个负数后，总是得到一个正数或 0。

（2）复数的概念及复数的表示方法讲解虚数的概念及复数的表示方法，例如：设一个复数 a + bi，其中 a 和 b 均是实数，a 称为实部，b 称为虚部，i 称为虚数单位，满足 i^2 = -1，称为虚数单位。

2019年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算学案新人教A 版选修2-2(I)【学习目标】1．掌握复数的代数形式的乘除运算；2．熟练一些复数乘除的结论．【探索新知】1．复数的乘法：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并． ()()a+bi c+di =注：两个复数的积是一个确定的复数． 2．复数的乘法的运算律：满足交换律、结合律、乘法对加法的分配律．即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有 交换律：z 1 ∙ z 2＝_________________； 结合律： z 1∙z 2 ∙z 3＝_________________； 分配律：z 1∙ (z 2＋z 3)＝_________________．3．复数的除法：除法是乘法的逆运算，设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)，＝a ＋b i c ＋d i＝_____________________________________(c ＋d i ≠0) 注：两个复数相除，（除数不为0），所得到的商是一个确定的复数．4．虚数单位i 的周期性： (1) 44+14243====.n n n n i i i i ++；；； (n ∈N). (2) 123n n n n i i i i ++++++=(n ∈N). 【基础自测】1、计算： (1) (3＋4i)(3－4i) ＝________； (2) (1＋i)2＝________；(3) (1＋2i)÷(3－4i) ＝________； (4) ___________；(5) (1－2i)(3＋4i)(－2＋i) ＝________； (6)． z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4 ＝________．2、若|z|＝3，z ＋z ＝0，则复数z ＝________．3、复数所对的点在第_________象限【合作学习】例1．计算：（1）⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i； （2）i 2 015－⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 50＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2i 1－3i 10．12121111112. 1 1.1(1) (2) .1z z z z z z z z z ωω=+-≤≤-=+例设是虚数，是实数，且求的值以及的实部的取值范围； 若，求证：是纯虚数【当堂检测】1．1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 014＝_______． 2．设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z的模为_______．3．若复数z 满足，则z ＝__________．(1 i)(1 2 i)4. =1i -++5．复数z ＝1－i 1＋i，则ω＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i6．若复数z 满足z i ＝1－i ，则z 等于( )A ．－1－iB ．1－iC ．－1＋iD ．1＋i7．复数对应的点在复数平面的第( )象限．A ．四B ．三C ．二D ．一8．若复数是纯虚数，则实数a 的值是( )A ．－2B ．4C ．－6D ．61119. 13i 3iz z =++-满足的复数是（ ） A ． 2＋i B ．－2＋3i C ．2＋2i D ．2－i10．已知：复数z 满足z 2＝3＋4i ，求z . 40039 9C67 鱧$33064 8128 脨23687 5C87 岇$TH CGq34681 8779 蝹25835 64EB 擫g。

高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义教学过程一、推进新课1.复数的加法探究新知我们规定，复数的加法法则如下：设bi a z +=1,di c z +=2是任意两个复数，那么()()()()i d b c a di c bi a +++=+++提出问题问题1：两个复数的和是个什么数，值唯一确定吗?问题2：当b=0,d=0时，与实数加法法则一致吗？问题3：它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法？活动设计:学生独立思考，口答。

活动成果：1．仍然是个复数，且是一个确定的复数。

2．一致。

3．实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类比于实数运算中的合并同类项。

设计意图：加深对复数加法法则的理解,且与实数类比，了解规定的合理性。

提出问题:实数加法有交换律、结合律，复数满足吗?并试着证明。

活动设计：学生先独立思考，然后小组交流.活动成果：满足,对任意的,,,321C z z z ∈有交换律:1221z z z z +=+结合律：()()321321z z z z z z ++=++证明:设bi a z +=1，di c z +=2,()()i d b c a z z +++=+21x O y()b a Z ,1 ()d c Z ,2 Z ()()i b d a c z z +++=+12显然，1221z z z z +=+同理可得，()()321321z z z z z z ++=++设计意图:引导学生根据实数加法满足的运算律，大胆尝试推导复数加法的运算律，提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力。

高中数学第三章数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案2 新人教A版选修2-2 高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案2 新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案2 新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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高中数学第三章数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案2 新人教A版选修2-2§3.2.2复数代数形式的乘除运算教学目标：知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味,学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。

教学重点：复数代数形式的除法运算。

教学难点：对复数除法法则的运用。

教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。

【教师引入】 :数的概念是从实践中产生和发展起来的。

早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0。

自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展（二)、探究新知，揭示概念１．乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di（a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积（a+bi）(c+di)=（ac －bd)+（bc+ad）i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并。

人教版高中选修(B版)2-2第三章数系的扩充与复数教学设计一、教学目标通过本章教学，学生应该能够：1.了解有理数系、实数系、和复数系的概念及其性质；2.掌握复数的基本概念和运算法则；3.学会解一元二次方程，并能够运用所学知识解决实际问题。

二、教学内容2.1 数系的扩充1.实数系的性质及其表示方法2.有理数与无理数的定义3.实数系的扩充2.2 复数的概念1.复数的定义2.复数的表示3.复数的实部、虚部、共轭和模2.3 复数的运算1.复数的四则运算2.复数的乘法法则3.复数的除法法则2.4 一元二次方程1.一元二次方程的定义2.一元二次方程的解法3.使用一元二次方程解决实际问题三、教学方法本章教学以问题导向式为主导，通过引入问题的方式调动学生的学习兴趣。

同时，采用师生互动、小组合作、课堂演示等方式使学生主动参与教学过程，增强学生的学习积极性。

四、教学重点和难点4.1 教学重点1.复数的概念及其运算法则2.一元二次方程的解法4.2 教学难点1.复数概念的理解与掌握2.一元二次方程解法的灵活运用五、课时安排本章教学共分为5节课，分别安排为：课时教学内容授课方式第一节课数系的扩充讲授第二节课复数的基本概念讲授与小组讨论第三节课复数的运算讲授与课堂演示第四节课一元二次方程的解法讲授与课堂练习第五节课实际问题的解决学生小组探究与课堂汇报六、教学资源1.电子课件2.实验器材七、教学评估1.课堂表现2.课后作业3.期末考试。

高中人教版（B）教材目录介绍必修一第一章集合1．1 集合与集合的表示方法1．2 集合之间的关系与运算第二章函数2．1 函数2．2 一次函数和二次函数2．3 函数的应用（Ⅰ）2．4 函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3．1 指数与指数函数3．2 对数与对数函数3．3 幂函数3．4 函数的应用（Ⅱ）必修二第一章立体几何初步1．1 空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2．1 平面真角坐标系中的基本公式 2．2 直线方程2．3 圆的方程2．4 空间直角坐标系必修三第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量的相关性第三章概率3．1 随机现象3．2 古典概型3．3 随机数的含义与应用3．4 概率的应用必修四第一章基本初等函(Ⅱ)1．1 任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1 向量的线性运算2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．3 平面向量的数量积2．4 向量的应用第三章三角恒等变换3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式3．3 三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解直角三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例第二章数列2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 均值不等式3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线第三章导数及其应用3．1 导数3．2 导数的运算3．3 导数的应用选修1－2第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.2 立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2 排列与组合1.3 二项式定理第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修3-1第一讲早期的算术与几何第二讲古希腊数学第三讲中国古代数学瑰宝第四讲平面解析几何的产生第五讲微积分的诞生第六讲近代数学两巨星第七讲千古谜题第八讲对无穷的深入思考第九讲中国现代数学的开拓与发展选修3-2选修3-3第一讲从欧氏几何看球面第二讲球面上的距离和角第三讲球面上的基本图形第四讲球面三角形第五讲球面三角形的全等第六讲球面多边形与欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系第八讲欧氏几何与非欧几何选修3-4第一讲平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念第三讲对称与群的故事选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质第二讲直线与圆的位置关系第三讲圆锥曲线性质的探讨选修4-2第一讲线性变换与二阶矩阵第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法第三讲逆变换与逆矩阵第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量选修4-3选修4-4第一讲坐标系第二讲参数方程选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2 基本不等式1．3 绝对值不等式的解法1．4 绝对值的三角不等式1．5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用 2．1 柯西不等式2．2 排序不等式2．3 平均值不等式(选学)2．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1 数学归纳法原理3．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式选修4-6第一讲整数的整除第二讲同余与同余方程第三讲一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用选修4-7第一讲优选法第二讲试验设计初步选修4-8选修4-9第一讲风险与决策的基本概念第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介。

目标定位：数的概念的发展与数系扩充是数学发展的一条重要线索．数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，也体现了数学发生、发展的客观需要．复数作为数系扩充的结果引入，体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化．《标准》在选修1-2与选修2-2中设计了数系的扩充与复数的引入的内容，突出数系的扩充过程，实现了基础教育数学课程中数系从实数到复数的又一次扩充．《标准》强调复数的代数表示法及代数形式的加减运算的几何意义，淡化烦琐的计算和技巧性训练，从而体会数学体系的建构过程、数形结合思想以及人类理性思维在数学发展中的作用，有助于发展学生的创新意识．引进虚数，把实数集扩充到复数集，这是中学课程里数的概念的最后一次扩充．虚数的引入，虽然最先是由于数学本身的需要，但也只有当复数表示平面上的点这一几何解释出现之后，在解决实际问题中才得到广泛的应用，复数才被人们承认并且巩固了下来．复数与平面向量有着密切的联系．复数的向量形式是它的几何意义之一；借助向量，我们可以得到复数的加法法则，并赋予其几何意义；复数减法的几何意义与向量减法也是一致的．这种数形结合的思想丰富了我们研究问题和解决问题的范围和手段．同时，复数作为一种新的“数学语言”也为我们今后用代数方法解决几何问题提供了可能．数系的扩充与复数的引入与2002年颁布的《全日制普通高级中学数学教学大纲》相比，删去了复数的三角形式以及复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等内容，突出了数系的扩充过程、复数的代数表示法、代数形式的四则运算以及加减运算的几何意义．教材解读：复数的内容是高中数学课程中的传统内容．对于复数，《标准》要求在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法及其几何意义；能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．注重提高学生的数学思维能力是高中数学课程的基本理念之一，也是高中数学教育的基本目标之一．人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程．它们是数学思维能力的具体体现．数系的扩充与复数的引入具体地综合体现了上述数学思维过程．这些使得学生可以在以往具体经历各种数学思维方式的基础上，在更高层次上加以理解．本章教学内容虽然不多，但中学阶段重要的数学思想方法都有所体现．时，常用到待定系数法建立相应的方程组来解决．这充分体现了转化化归思想和方程思想．复数包括实数和虚数两部分，虚数还分纯虚数和非纯虚数．解决与复数概念有关的问题时，对虚部b的讨论十分关键．要合理地加以分类讨论，要注意不重复且不遗漏．复数的四则运算可类比实数运算来学习，但它不是实数运算合情推理的结果，而是一种“规定”，是新的定义．复数的四则运算本身也是一个建构的过程，其前提是对虚数单位i的两个规定，从而形成了一个具有公理化结构特点的小系统．公理化思想的有机渗透，对学生体会数学精神，感悟数学本质很有教育价值．对本章的教学提出以下建议：1．数的概念的发展与数系扩充是数学发展的一条重要线索．数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，也体现了数学发生、发展的客观需求．教学中，应突出数系的扩充过程，让学生通过回忆以往的学习历程，了解数集的每一次扩充，既是客观实际的需要，又是数学内部发展的需要．从数的运算和解方程的角度感悟“实数不够用了”，从而理解引入虚数的必要性．2．复数的运算是一种新的规定，它是数学体系建构过程中的重要组成部分．学生通过类比归纳、运算求解，进一步体会在新的数集中，原有的运算及其性质仍然适用，同时解决了某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾，有利于形成对数学较为完整的认识．3．在复数运算的教学中，可以类比多项式的运算法则来理解和记忆．应注意避免烦琐的计算与技巧训练．对于有兴趣的学生，可以安排一些引申的内容，如求x3＝1的根，介绍代数学基本定理等．4．复数的几何意义和复数加减法的几何意义，可结合平面解析几何和平面向量中的有关知识来学习，这种数形结合的思想丰富了我们研究问题和解决问题的范围和手段．。

3．2.2 复数的乘法和除法1.了解共轭复数的性质．2.理解复数乘除法的运算定律．3.掌握复数乘除法的运算及共轭复数的性质．1．复数的乘法(1)定义：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ． (2)运算律①对任意z 1，z 2，z 3∈C 有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)乘法对加法的分配律z 1·(z 2＋z 3)＝z 1·z 2＋z 1·z 3对复数z ，z 1，z 2和自然数m ，n ，有z m·z n＝z m ＋n，(z m )n＝z mn，(z 1·z 2)n＝z n1·z n2. 2．共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称． (2)实数的共轭复数是它本身，即z ＝z －⇔z ∈R . 利用这个性质，可以证明一个复数是实数． (3)z ·z －＝|z |2＝|z －|2∈R . 3．复数的除法设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a 、b 、c 、d ∈R ，z 2≠0)， 则z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )ic 2＋d 2．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个复数的积与商一定是虚数．( ) (2)两个共轭复数的和与积是实数．( )(3)两个共轭复数在复平面上的对应点关于实轴对称．( ) (4)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．(1＋i)(2＋i)＝( ) A ．1－iB ．1＋3iC ．3＋iD ．3＋3i解析：选B ．依题意得(1＋i)(2＋i)＝2＋i 2＋3i ＝1＋3i ，选B ． 3.1＋3i1－i＝( ) A ．1＋2i B ．－1＋2i C ．1－2i D ．－1－2i答案：B4．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x ＝________，y ＝________． 答案：－1，1复数代数形式的乘除运算(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)；(2)(1＋2i)2＋3(1－i)2＋i ；(3)(1－4i)(1＋i)＋2＋4i 3＋4i.【解】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎪⎫34－14i (1＋i)＝⎝⎛⎭⎪⎫－32＋12i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.(2)(1＋2i)2＋3(1－i)2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i2＋i＝i 2＋i ＝i(2－i)5＝15＋25i. (3)(1－4i)(1＋i)＋2＋4i 3＋4i ＝5－3i ＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i 3＋4i＝(7＋i)(3－4i)(3＋4i)(3－4i)＝21－28i ＋3i ＋425＝25－25i25＝1－i.复数乘除运算的常用技巧(1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．1.下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A ．i(1＋i)2B ．i 2(1－i) C ．(1＋i)2D ．i(1＋i)解析：选C ．i(1＋i)2＝i ·2i ＝－2，不是纯虚数，排除A ；i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数，排除B ；(1＋i)2＝2i ，2i 是纯虚数．故选C ．2．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45C ．4D ．45解析：选D ．因为(3－4i)z ＝|4＋3i|，所以z ＝|4＋3i|3－4i ＝42＋323－4i ＝35＋45i ，所以z 的虚部为45.3．计算：(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)； (2)3＋2i 2－3i ＋3－2i 2＋3i ；(3)(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i . 解：(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i) ＝(24＋8i －6i ＋2)－(28＋21i －4i ＋3) ＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i. (2)3＋2i 2－3i ＋3－2i 2＋3i ＝i(2－3i)2－3i ＋－i(2＋3i)2＋3i＝i －i ＝0.(3)(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＝i 2－i －2i ＋2i －1＋i 2－i ＋i ＝1－3i －2＋i ＝(1－3i)(－2－i)(－2＋i)(－2－i)＝－2－i ＋6i ＋3i 25＝－5＋5i5＝－1＋i. 共轭复数性质的应用设z 1、z 2∈C ，A ＝z 1·z －2＋z 2·z －1，B ＝z 1·z －1＋z 2·z －2，问A 与B 是否可以比较大小？为什么？【解】 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， 则z －1＝a －b i ，z －2＝c －d i ，所以A ＝z 1·z －2＋z 2·z －1＝(a ＋b i)(c －d i)＋(c ＋d i)(a －b i)＝ac －ad i ＋bc i －bd i 2＋ac －bc i ＋ad i －bd i 2＝2ac ＋2bd ∈R ，B ＝z 1·z －1＋z 2·z －2＝|z 1|2＋|z 2|2＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2∈R ， 所以A 与B 可以比较大小．共轭复数性质的巧用(1)z ·z －＝|z |2＝|z －|2是共轭复数的常用性质；(2)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z －，利用此性质可以证明一个复数是实数； (3)若z ≠0且z ＋z －＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．1.若复数z 满足z－1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－iD ．－1＋i解析：选A ．由题意z －＝i(1－i)＝1＋i ，所以z ＝1－i ，故选A ． 2．已知z ∈C ，z －为z 的共轭复数，若z ·z －－3i z －＝1＋3i ，求z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z －＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.i 的运算性质(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017等于________．(2)化简i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100.【解】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)2 017＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 2 2 017＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.故填i.(2)设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100，① 所以i S ＝i 2＋2i 3＋…＋99i 100＋100i 101，② ①－②得(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 100－100i 101＝i(1－i 100)1－i －100i 101＝0－100i ＝－100i.所以S ＝－100i 1－i ＝－100i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝－100(－1＋i)2＝50－50i.所以i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100＝50－50i.(1)等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即i n＋i n ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n ∈N ＋)．(2)记住以下结果，可提高运算速度． ①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i. ②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i1－i＝i. ③1i＝－i. 1.复数z ＝1－i 1＋i，则ω＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10的值为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：选B ．z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1.2．计算：(1)2＋2i (1－i)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016； (2)i ＋i 2＋…＋i2 017.解：(1)原式＝2(1＋i)－2i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 008＝i(1＋i)＋(－i)1 008＝i ＋i 2＋(－1)1 008·i 1 008＝i －1＋i4×252＝i －1＋1 ＝i.(2)法一：原式＝i(1－i 2 017)1－i ＝i －i2 0181－i＝i －(i 4)504·i 21－i ＝i ＋11－i ＝(1＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2i2＝i.法二：因为i n＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝0(n ∈N ＋)，所以原式＝(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＋i2 017＝i2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.1．复数的乘法与多项式乘法是类似的，注意有一点不同，即所得结果中必须把i 2换成－1，结合到实际运算过程中去，把实部，虚部分别合并，而不必去记公式．2．复数的除法可以通过将分母实数化得到，即a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)(c ＋d i)(c －d i)＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )ic 2＋d 2，公式也没必要去死记．3．复数的乘除法运算中，常考查i n 的周期性，往往把它与数列相结合．要熟记i n的周期性，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n＝1，n ∈N ＋.实数a 的共轭复数仍是a 本身，即z ∈C ，z ＝z －⇔z ∈R ，这是判断一个数是否是实数的一个准则，也是题目中的隐含条件，切记不要忽视．1．若z ＝1＋2i i ，则复数z －＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i解析：选D ．z ＝1＋2i i ＝2＋1i＝2－i ，z －＝2＋i.2．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则复数z 1z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A ．z 1z 2＝3＋i1－i＝1＋2i ，位于第一象限．3．若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z －＋z ＝________． 解析：因为z ＝1－2i ， 所以z ·z －＝|z |2＝5. 所以z ·z －＋z ＝6－2i. 答案：6－2i4．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是__________． 解析：法一：因为i(z ＋1)＝－3＋2i ， 所以z ＝－3＋2ii －1＝－(－3i －2)－1＝1＋3i ，故z 的实部是1.法二：令z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由i(z ＋1)＝－3＋2i 得i[(a ＋1)＋b i]＝－3＋2i ，－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ，所以b ＝3，a ＝1，故z 的实部是1.答案：1[A 基础达标]1．若复数z ＝2i ＋21＋i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为( )A ．22B ． 2C ． 3D ．2解析：选B ．由题意，得z ＝2i ＋21＋i ＝2i ＋2(1－i)(1＋i)(1－i)＝1＋i ，复数z 的模|z |＝12＋12＝ 2.2．复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C ．z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限，故选C ．3．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H解析：选D ．依题意得z ＝3＋i ，z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝4－2i2＝2－i ，该复数对应的点的坐标是(2，－1)．4．设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2解析：选A ．由1＋z1－z＝i ，得z ＝－1＋i 1＋i ＝(－1＋i)(1－i)2＝2i 2＝i ，所以|z |＝|i|＝1，故选A ．5．若z ＋z －＝6，z ·z －＝10，则z ＝( ) A ．1±3i B ．3±i C ．3＋iD ．3－i 解析：选B ．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝6，a 2＋b 2＝10，解得a ＝3，b ＝±1， 则z ＝3±i.6．i 是虚数单位，－5＋10i 3＋4i ＝________(用a ＋b i 的形式表示，其中a ，b ∈R )．解析：－5＋10i 3＋4i ＝(－5＋10i)(3－4i)(3＋4i)(3－4i)＝－15＋20i ＋30i ＋409＋16＝1＋2i.答案：1＋2i7.a ＋3i1＋2i(a ∈R )是纯虚数，则a ＝________． 解析：a ＋3i 1＋2i ＝(a ＋3i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(a ＋6)＋(3－2a )i5，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6＝03－2a ≠0，所以a ＝－6.答案：－6 8．已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________．解析：根据已知可得a ＋2ii ＝b ＋i ⇒2－a i ＝b ＋i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，－a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝－1，从而a ＋b ＝1.答案：1 9．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (2－i)(3＋i)； (2)(2＋2i)2(4＋5i)(5－4i)(1－i).解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (2－i)(3＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (7－i)＝3－72＋73＋12i.(2)(2＋2i)2(4＋5i)(5－4i)(1－i)＝4i(4＋5i)5－4－9i＝－20＋16i 1－9i ＝－4(5－4i)(1＋9i)82＝－4(41＋41i)82＝－2－2i.10．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2i 1－i 1＋i ＝0的复数z 所对应的点在第几象限？解：结合⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc 可知⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2i 1－i 1＋i ＝z (1＋i)－(1－i)(1＋2i)＝0，所以z ＝(1－i)(1＋2i)1＋i ＝(1－i)2(1＋2i)(1＋i)(1－i)＝2－i.所以复数z 所对应的点在第四象限．[B 能力提升]11．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2解析：选B ．法一：因为z ＝1－i ，所以z 2－2z z －1＝(1－i)2－2(1－i)1－i －1＝－2－i＝－2i.法二：由已知得z －1＝－i ，从而z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝(－i)2－1－i ＝2i＝－2i.12．设z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：设z 1z 2＝b i(b ∈R 且b ≠0)， 所以z 1＝b i ·z 2，即a ＋2i ＝b i(3－4i)＝4b ＋3b i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ，2＝3b ，所以a ＝83.答案：8313．已知复数z 满足z ＝(－1＋3i )·(1－i)－4. (1)求复数z 的共轭复数；(2)若ω＝z ＋a i ，且复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．解：(1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ， 所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)ω＝－2＋(4＋a )i ，复数ω对应向量为(－2，4＋a )， 其模为4＋(4＋a )2＝20＋8a ＋a 2.又复数z 所对应向量为(－2，4)，其模为2 5.由复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模得，20＋8a ＋a 2≤20，a 2＋8a ≤0，a (a ＋8)≤0，所以，实数a 的取值范围是－8≤a ≤0.14．(选做题)设z 是虚数，ω＝z ＋1z是实数，且－1<ω<2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围；(2)设μ＝1－z 1＋z，求证：μ为纯虚数． 解：因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则ω＝z ＋1z ＝(x ＋y i)＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i. (1)因为ω是实数，且y ≠0， 所以y －y x 2＋y 2＝0， 即x 2＋y 2＝1.所以|z |＝1，此时ω＝2x .又－1<ω<2，所以－1<2x <2.所以－12<x <1， 即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. (2)证明：μ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i)1＋(x ＋y i)＝(1－x －y i)(1＋x －y i)(1＋x )2＋y 2 ＝1－x 2－y 2－2y i 1＋2x ＋x 2＋y 2. 又x 2＋y 2＝1，所以μ＝－y 1＋x i. 因为y ≠0，所以μ为纯虚数．。

3.2.3 复数的除法1．掌握复数的除法法则，并能运用复数的除法法则进行计算.复数的除法(1)已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，如果存在一个复数z ′，使z ·z ′＝1，则z ′叫做z 的______，记作1z. (2)我们规定两个复数除法的运算法则如下： (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝iia b c d ＋＋=1(i)()i a b c d ＋＋=22i (i)()c d a b c d -＋＋=()()22iac bd bc ad c d ++-＋=2222i ac bd bc ad c d c d +-+＋＋其中a ，b ，c ，d ∈R .上述复数除法的运算法则不必死记.在实际运算时，我们把商iia b c d ++看作分数，分子、分母同乘以分母的____________，把分母变为实数，化简后，就可以得到运算结果.【做一做】复数2i12im z -+＝(m ∈R )在复平面内对应的点不可能位于( ). A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限复数的模有哪些性质？ 剖析：(1)z z ＝ (2)|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2| (3)11222||= (0)||z z z z z ≠ (4)|z n|＝|z |n题型一 复数的除法【例题1】计算下列各式的值：(1)2i 1－i ；(2)2＋i 7＋4i ；(3)1(9＋2i)2；(4)2＋3i 3－2i. 分析：直接利用复数除法的运算法则，分子、分母同时乘分母的共轭复数来计算．反思：在复数的除法中，除直接利用分子、分母同时乘分母的共轭复数外，形如a ＋b ib －a i或a －b i b ＋a i 的复数，还可以直接化简，即a ＋b i b －a i ＝－a i 2＋b i b －a i ＝i ，a －b i b ＋a i ＝－a i 2－b ib ＋a i＝－i.题型二 复数运算的综合应用【例题2】设z 是虚数，ω＝z ＋1z是实数，且－1＜ω＜2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围；(2)设u ＝1－z1＋z ，求证：u 为纯虚数；(3)求ω－u 2的最小值．分析：(1)按常规解法，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，化简ω＝z ＋1z，找出实部、虚部列出等量关系式求解；(2)证明u 为纯虚数，可按定义证明实部为零，虚部不为零．或证明u ＋u ＝0，且u ≠0； (3)要求ω－u 2的最小值，由(1)，(2)，知ω与u 2均为实数，所以可先建立ω－u 2的函数关系，再设法求出最小值．反思：该题涉及到复数的基本概念和四则运算以及均值不等式等知识．只要概念清楚，运算熟练，按常规思路顺其自然不难求解．注意：解决后面的问题时，可以使用前面已经得到的结论．题型三 易错辨析易错点：在求解过程中因忽视有关条件而导致错误．【例题3】已知zz －1是纯虚数，求z 在复平面内对应的点的轨迹． 错解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z z －1＝x ＋y i (x －1)＋y i ＝(x ＋y i)[(x －1)－y i](x －1)2＋y 2＝x 2＋y 2－x (x －1)2＋y 2－y (x －1)2＋y 2i. ∵z z －1是纯虚数， ∴x 2＋y 2－x ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，∴z 在复平面上对应点的轨迹是以点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，12为半径的圆．1复数1－2＋i ＋11－2i 的虚部是( )． A ．15i B ．15 C ．－15i D ．－152复数⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1i 3等于( )．A ．8B ．－8C ．8iD ．－8i 3已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i ，若z 1z 2为实数，则实数m 的值为( )． A ．83 B ．32 C ．－83 D ．－324设i 为虚数单位，则复数(1＋i)21－i＝________.5设复数z 1＝2－i ，z 2＝1－3i ，则复数iz 1＋z 25的虚部等于__________．答案：基础知识·梳理(1)倒数 (2)共轭复数c －d i【做一做】A z ＝m －2i 1＋2i ＝15[(m －2i)(1－2i)]＝15[(m －4)－2(m ＋1)i]，在复平面上对应的点若在第一象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧m －4＞0，－2m ＋1＞0无解，即该点不可能在第一象限．典型例题·领悟 【例题1】解：(1)2i 1－i ＝2i 1＋i 1－i 1＋i＝i(1＋i)＝－1＋i. (2)2＋i7＋4i ＝2＋i 7－4i 7＋4i7－4i ＝2×7－i·4i＋i·7－2·4i 72＋42＝14＋4－i 65＝1865－165i. (3)19＋2i2＝9－2i 2[9＋2i 9－2i ]2＝81－4－36i 92＋222＝777 225－367 225i. (4)方法一：2＋3i3－2i ＝2＋3i3＋2i 9＋4＝6＋4i ＋9i ＋6i 213＝13i13＝i.方法二：2＋3i 3－2i ＝－2i 2＋3i 3－2i ＝i 3－2i3－2i ＝i.【例题2】(1)解：∵z 是虚数，∴可设z ＝x ＋y i ，x ，y R ，且y ≠0.∴ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i.∵ω是实数，且y ≠0，∴y －yx 2＋y 2＝0，∴x 2＋y 2＝1，即|z |＝1.此时ω＝2x .∵－1＜ω＜2，∴－1＜2x ＜2，从而有－12＜x ＜1.即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. (2)证明：u ＝1－z 1＋z ＝1－x ＋y i 1＋x ＋y i ＝1－x －y i 1＋x －y i 1＋x 2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i1＋x 2＋y2＝－y1＋xi. ∵x (－12，1)，y ≠0，∴y1＋x≠0. ∴u 为纯虚数．(3)解：ω－u 2＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 1＋x i 2＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋x 2＝2x ＋1－x 21＋x 2＝2x ＋1－x 1＋x ＝2x －1＋21＋x ＝2(x ＋1)＋21＋x－3. ∵－12＜x ＜1，∴1＋x ＞0.于是ω－u 2＝2(x ＋1)＋21＋x －3≥22x ＋1·21＋x－3＝1. 当且仅当2(x ＋1)＝21＋x，即x ＝0时等号成立． ∴ω－u 2的最小值为1，此时z ＝±i. 【例题3】错因分析：由zz －1为纯虚数，得x 2＋y 2－x ＝0，且y ≠0，错解中忽略了y ≠0.正解：设z ＝x ＋y i(x ，y R )，则z z －1＝x ＋y i x －1＋y i ＝x ＋y i [x －1－y i]x －12＋y 2＝x 2＋y 2－x －y i x －12＋y 2. ∵zz －1是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x ＝0，y ≠0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(y ≠0)．∴z 在复平面内对应的点的轨迹是以点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，12为半径的圆，并去掉点(0,0)和点(1,0)．随堂练习·巩固1．B1－2＋i ＋11－2i ＝－2－i 4＋1＋1＋2i 1＋4＝－1＋i5＝－15＋15i.故选B.2．D ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1i 3＝(i ＋i)3＝(2i)3＝－8i.故选D.3．Dz 1z 2＝m ＋2i 3＋4i 3－4i 3＋4i ＝3m －8＋6＋4m i25R ，∴6＋4m ＝0，∴m ＝－32.4．－1＋i1＋i 21－i＝2i1＋i2＝－1＋i.5．i ∵iz 1＋z 25＝i 2－i ＋1＋3i 5＝i 2＋i 5＋15＋35i ＝－15＋25i ＋15＋35i ＝i.。