概率论1.2

fn (A) = p
频率定义概率的意义 （1）它提供了一种可广泛应用的，近似计算事件 概率的方法。 频率在一定程度上反映了事件发生的可能性 大小，尽管每进行一连串（ n 次）试验，所 得到的频率可以各不相同，但只要 n 相当大， 频率与概率是会非常接近的。 因此，概率是可以通过频率来“测量”的， 频率是概率的一个近似. （2）它提供了一种检验理论正确与否的准则。
249
256 247 251 262 258
0.502 0.498
0.512 0.494 0.502 0.524 0.516
7
随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性
频率稳定性
长期实践表明，在重复试验中，事件 A 发生的 频率 fn(A) 总在一个常数值附近摆动，而且，随
着重复试验次数 n 的增加，频率的摆动幅度越
(b) 不放回抽样（无重复排列） 样本空间 S 中样本点总数 n = P62 = 6 5 = 30
P42 4 3 2 P ( A) = 2 = = P6 6 5 5
2 P22 7 P ( B) = + 2 = 5 P6 15
P22 1 14 P （C） = 1- P （C） = 1- 2 = 1- = P6 15 15
来越小，观测到的大偏差越来越稀少，呈现出一
定的稳定性。
频率稳定性即通常所说的统计规律性
这种 频率稳定性 为用统计方法求概率的数值 开拓了道路。 在实际中，当概率不易求出时，人们常取实验 次数很大时事件的频率作为概率的估计值，称 此概率为
统计概率
这种确定概率的方法称为频率方法.
概率的频率定义 —— 统计概率 在一组不变的条件下，重复作 n 次试验，当试 验次数 n 很大时，事件A发生的频率 fn(A) 稳定 地在某数值 p 附近摆动。称数值 p 为事件 A 在 这一组不变的条件下发生的概率，记作
又由于基本事件两两互不相容，所以
1 P S P {e1 } P {e2 } +P {en }
1 P {e i } , n i 1, 2, , n
若事件 A 包含 k 个样本点，即
A = ei1 ei2 eik
则有

解
设 A= “ B= “ C= “ D =“
取到的两只都是白球 ” 取到的两只球颜色相同 ” 取到的两只球中至少有一只是白球 ” 第一次取到红球，第二次取到白球 ”
(a) 放回抽样 （可重复排列） 样本空间 S 中样本点总数 n=6×6=36 42 P ( A) 2 0.444 6 42 22 P ( B) 0.556 2 6 22 P (C ) 1 P (C ) 1 2 0.889 6 2 4 2 P ( D) = 2 = 6 9
(3) 若 A1 , A2 , ......, Ak 是互不相容的事件 ,则 f(A1 A2 ... Ak ) = f n (A1 )+ f n (A2 )+ ... + f n (Ak )
直观想法是用频率来近似事件 A 在一次 试验中发生的可能性的大小，但是这种 近似是否可行呢？
实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次，各
P ( Ai )
i 1 n
P ( Ai A j ) 1 i j n
n 1

P ( Ai A j Ak ) ( 1) 1 i j k n
P ( A1 A2 An ).
1 1 例1 设事件 A, B 的概率分别为 和 , 求在下列 3 2 三种情况下 P ( B A) 的值. 1 (1) A与B互斥; ( 2) A B; ( 3) P ( AB ) . 8
2 4 4 P( D) = = 30 15
例2 （二项分布概型，超几何分布概型） 设有 N 件产品，其中有 D件次品，今从中任取 n 件，问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是 多少？ （放回抽样和不放回抽样两种方式) 解 设 A = “ 取到的两只都是白球 ” (a) 放回抽样 从 N 件产品中有放回地抽取 n 件，取法共 有 N n 种。
若随机试验 E 满足： （1）样本空间 S 只含有有限个元素 ； （2）试验中每个基本事件发生的可能性相同 则称试验 E 为等可能性概型（古典概型）
二
等可能概型中事件概率的计算公式
设
S ={e1, e2, …en }
由古典概型的等可能性，得
P{e1 } = P{e2 } = ... = P{en }
3） C = {恰有 n 个盒子中各有一个球}
n n CN n! PN P (C ) = (= n ) n N N
n C 从 N 件产品中抽取 n 件，取法共有 N 种
故
k D
C C P A C
n k N D n N
此式即为超几何分布的概率公式。
注：在 N 件产品中取 n 件，其中恰有 k 件
k n k C 次品的取法共有 种 DC N D
例3 (抽签与顺序无关) 袋中有 a 只白球和 b 只红球。现在把球一只只 随机的取出来不放回，求第 k 次取出的一只球 是白球 (1 k a + b) 的概率。
§3 频率与概率
一 定义 频率 在相同的条件下，进行了n 次试验， 在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为事件A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件 A 发生的 频率，并记成 fn(A) 。
性质 设 A 是随机试验 E 的任一事件，则
(1) 0 fn (A) 1
(2) f(S) = 1, f( ) = 0
又因 P ( B A) 0,
故 P ( A) P ( B ).
(4) 对于任一事件 A, P ( A) 1.
(5) 设 A 是 A 的对立事件, 则 P ( A) 1 P ( A).
(6) ( 加法公式) 对于任意两事件 A, B 有 P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB ).
推广 三个事件和的情况
P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A1 A2 ) P ( A2 A3 ) P ( A1 A3 ) P ( A1 A2 A3 ).
n 个事件和的情况
P ( A1 A2 An )
做 7 遍，观察正面出现的次数及频率
试验 序号
1 2 3 4
5 6
n5
n 50
f
nH
2 3 1 5 1 2 4
nH
22 25
21 25 24 18 27
f
0.44
n 500 f nH
251
0.4 0.6
0.2 1.0 0.2 0.4 0.8
0.50
0.42 0.50 0.48 0.36 0.54
解 (1) 由图示得 P ( B A) P ( B), 1 故 P ( B A) P ( B ) . 2 ( 2) 由图示得
A
B B A
S
P ( B A) P ( B ) P ( A)
1 1 1 . 2 3 6
S
(3)由图示得
因而 P ( B A) P ( B) P ( AB)
定义 设 E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于 E 的每一个事件A 赋予一个实数，记为 P(A) , 称为事件 A 的概率，如果集合函数 满足下列条件： 公理1：对任一事件 A，有 P(A) 0 ； 公理2：对必然事件 S，有 P(S) = 1 ； 公理3：若事件 A1, A2, …, Ak ,… 互不相容， 则有

ik
P A = P ei1
+ P e + ... + P e
i2
Байду номын сангаас
k = n
=
A 包含的基本事件数
S 中基本事件总数
取球问题
例1 一口袋装有 6 只球，其中 4 只白球、2 只红 球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。考 虑两种取球方式： (a) 放回抽样 第一次取一只球，观察其颜色 后放回袋中，搅匀后再取一球。 (b) 不放回抽样 第一次取一球不放回袋中， 第二次从剩余的球中再取一球。 分别就上面两种方式求： 1） 取到的两只都是白球的概率； 2） 取到的两只球颜色相同的概率； 3） 取到的两只球中至少有一只是白球的概率； 4） 第一次取到红球，第二次取到白球的概率。
事件发生
事件发生
的频繁程度
的可能性的大小
频率 频率的性质
稳定值
概率 概率的公理化定义
二
概率 1933年，前苏联数学家柯尔莫 哥洛夫给出了概率的公理化定义。 即通过规定概率应具备的基本 性质来定义概率.
柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单， 但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦。 下面介绍用公理给出的概率定义 —— 概率的公理化定义
故
k Cn D k ( N D )n k P A n N D n k k D k C n ( ) (1 ) N N
此式即为二项分布的概率公式。
注：在 N 件产品中取 n 件，其中恰有 k 件 次品的取法共有 C k D k ( N D )n k 种
n
(b) 不放回抽样
1） A = {某指定的一个盒子中没有球}
( N -1)n P ( A) = n N
注：某指定的一个盒子中不能放球。 n 个球中的每一个球可以并且只可以 放入其余的N -1 个盒子中，总共有 ( N 1)n 种放法。
2） B = {某指定的 n 个盒子中各有一个球}
n! P(B) = n N
注：某指定的 n 个盒子中，每个盒子中 各放一球，总共有 n! 种放法。