最新高考数学(理)一轮复习 正弦定理和余弦定理

第二十三课时 正弦定理和余弦定理考纲要求：正弦定理、余弦定理及其应用(B)知识梳理：2.三角形中常用的面积公式(1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为△ABC 内切圆的半径)．基础训练：1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(2)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) (3)在△ABC 中，有sin A ＝sin(B ＋C )．( )(4)在△ABC 中，asin A ＝a ＋b －c sin A ＋sin B －sin C.( )(5)在△ABC 中，若a 2＋b 2<c 2，则△ABC 为钝角三角形．( )(6)公式S ＝12ab sin C 适合求任意三角形的面积．( )(7)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)√ (7)√2．在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，c ＝20，则a ＝________. 答案：10(32－6)3．在△ABC 中，若a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________.答案：634．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，cos C ＝35，则此三角形的面积S 的值为________．答案：125[典题1](1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sinB ，则c ＝________.(3)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．①求sin B sin C；②若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．解析：(1)在△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝bsin B，有3sin 2π3＝6sin B ，可得sin B ＝22.因为∠A 为钝角，所以∠B ＝π4.(2)∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16，∴c ＝4. (3)①S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC .由正弦定理，得sin B sin C ＝AC AB ＝12.②因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由①，知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.答案：(1)π4(2)4小结：(1)解三角形时，若式子中含有角的余弦或边的二次式，则要考虑用余弦定理；若式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；若以上特征都不明显，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是惟一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不惟一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．练习：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值．解：(1)由正弦定理可得b 2＋c 2＝a 2＋bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)由(1)可知sin A ＝32，因为cos B ＝13，B 为△ABC 的内角，所以sin B ＝223，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝32×13＋12×223＝3＋226. 由正弦定理a sin A ＝csin C得c ＝a sin A sin C ＝332×3＋226＝1＋263.[典题2] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，试判断△ABC 的形状．解析： 依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，有sin(B ＋C )＝sin 2A ， 从而sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，解得sin A ＝1，∴A ＝π2，△ABC 是直角三角形．[探究1] 若将本例条件改为“2sin A cos B ＝sin C ”，试判断△ABC 的形状．解：法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π<A －B <π，所以A ＝B ，故△ABC 为等腰三角形．法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得 2a ·a 2＋c 2－b 22ac＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b ，故△ABC 为等腰三角形．[探究2] 若将本例条件改为“(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )”，试判断三角形的形状．解：∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B .法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ，又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .在△ABC 中，0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 法二：由正弦定理、余弦定理得： a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．[探究3] 若将本例条件改为：“2a sin A ＝(2b ＋c )·sin B ＋(2c ＋b )sin C ，且sin B ＋sin C ＝1”，试判断△ABC 的形状．解：由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，cos A ＝－12，sin A ＝32，则sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，所以sin B sin C ＝14，解得sin B ＝sin C ＝12.因为0<B <π2，0<C <π2，故B ＝C ＝π6，所以△ABC 是等腰钝角三角形． 小结：(1)判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．(2)判断三角形形状主要有以下两种途径： ①通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；②利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．[典题3] 已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C . (1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积． 解析：(1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac . 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.(2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2，故a 2＋c 2＝2ac ，进而可得c ＝a ＝ 2.所以△ABC 的面积为12×2×2＝1.小结：三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc ·sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．练习：1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c ＝4，sin C ＝2sin A ，sin B ＝154，则S △ABC ＝________.解析：∵sin C ＝2sin A ，由正弦定理可得c ＝2a ，∵c ＝4，∴a ＝2，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×4×154＝15.答案：152．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．解：(1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos 2B ＝sin 2C .①又A ＝π4，故B ＋C ＝3π4，可得－cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ，② 由①②解得tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)，得sin C ＝255，cos C ＝55.因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C ， 所以sin B ＝31010.由正弦定理得c ＝22b3，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3. 总结：1．在利用正、余弦定理解决三角形问题时，应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B . 注意：1．在解三角形或判断三角形形状时，要注意三角函数值的符号和角的范围，防止出现增解、漏解．2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．课后作业：1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2a sin B ，则A ＝________. 解析：因为在锐角△ABC 中，b ＝2a sin B ，由正弦定理得，sin B ＝2sin A sin B ，所以sin A ＝12，又0<A <90°，所以A ＝30°.答案：30°2．在△ABC 中，已知AB ＝5，BC ＝3，∠B ＝2∠A ，则边AC 的长为________．解析：在△ABC 中，AB ＝c ＝5，BC ＝a ＝3，AC ＝b ，∠B ＝2∠A ，由正弦定理b sin B ＝asin A，得b sin 2A ＝3sin A ，即b 2sin A cos A ＝3sin A ，整理得，b ＝6cos A ，故cos A ＝b 6，再由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即9＝b 2＋25－10b ·b6，解得b ＝26(负值舍去)，故AC ＝b ＝2 6.答案：263．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝________.解析：由题意可得12AB ·BC ·sin B ＝12，又AB ＝1，BC ＝2，所以sin B ＝22，所以B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B ＝135°.由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝ 5.答案：54．在△ABC 中，若a 2－b 2＝3bc 且sin (A ＋B )sin B＝23，则A ＝________.解析：因为sin (A ＋B )sin B ＝23，故sin Csin B ＝23，即c ＝23b ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12b 2－3bc 43b 2＝6b 243b 2＝32，所以A ＝π6.答案：π65.如图，在△ABC 中，已知B ＝π4，D 是BC 边上一点，AD ＝10，AC ＝14，CD ＝6，则AB ＝________.解析：∵AD ＝10，AC ＝14，CD ＝6，∴由余弦定理得cos C ＝AC 2＋CD 2－AD 22AC ·CD＝142＋62－1022×14×6＝1114， ∴sin C ＝ 1－⎝⎛⎭⎫11142＝5314，由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ，即AB ＝AC ·sin Csin B＝5 6.答案：566．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，三角形的面积S ＝3，则三角形外接圆的半径为________．解析：由面积公式，得S ＝12bc sin A ，代入得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，故a ＝23，由正弦定理，得2R ＝a sin A ＝2332，解得R ＝2.答案：27．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b＝________.解析：在△ABC 中，∵sin B ＝12，0<B <π，∴B ＝π6或B ＝5π6.又∵B ＋C <π，C ＝π6，∴B ＝π6，∴A ＝π－π6－π6＝2π3.∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝1. 答案：18．在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________.解析：如图，在△ABD 中，由正弦定理，得sin ∠ADB ＝AB sin B AD ＝2×323＝22.由题意知0°<∠ADB <60°，所以∠ADB ＝45°，则∠BAD ＝180°－∠B －∠ADB ＝15°，所以∠BAC ＝ 2∠BAD ＝30°，所以∠C ＝180°－∠BAC －∠B ＝30°，所以BC ＝AB ＝2，于是由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120°＝(2)2＋(2)2－22×2×⎝⎛⎭⎫－12＝ 6.答案：69．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．解析：由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －4，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为 3.答案：310．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________.解析：因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，所以结合三角形的面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)．答案：－4311．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sinB ＝sin 2C ，则a ＋bc的取值范围为________．解析：由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ＝2π3.由正弦定理得a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝233·(sin A ＋sin B )，又A ＋B ＝π3，∴B ＝π3－A ，∴sin A ＋sinB ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3.又0<A <π3，∴π3<A ＋π3<2π3，∴sin A ＋sin B ∈⎝⎛⎦⎤32，1，∴a ＋b c ∈⎝⎛⎦⎤1，233.答案：⎝⎛⎦⎤1，23312.在△ABC 中，∠A ＝3π4，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD 的长．解：设△ABC 的内角∠BAC ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ， 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos ∠BAC＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90， 所以a ＝310.又由正弦定理得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝1010，由题设知0＜B ＜π4，所以cos B ＝1－sin 2B ＝ 1－110＝31010.在△ABD 中，因为AD ＝BD ，所以∠ABD ＝∠BAD ， 所以∠ADB ＝π－2B ， 故由正弦定理得AD ＝AB ·sin B sin (π－2B )＝6sin B 2sin B cos B ＝3cos B＝10.13.已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值．解：(1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .∵△ABC 的面积等于3，∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A ，①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2.∵C ＝π3，∴A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.14．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角的对边，且a ＋b ＝3c sin A ＋c cos A . (1)求角C ；(2)如图，设D 为BC 的中点，且AD ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由正弦定理可得sin A ＋sin B ＝3sin C sin A ＋sin C cos A ， 又A ＋B ＋C ＝π，∴sin A ＋sin(A ＋C )＝3sin C sin A ＋sin C cos A ， 整理可得1＋cos C ＝3sin C ，即3sin C －cos C ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫C －π6＝12. 又C ∈(0，π)，∴C －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，5π6， ∴C －π6＝π6，∴C ＝π3.(2)由余弦定理可得AD 2＝CA 2＋CD 2－2CA ·CD ·cos C＝CA 2＋CD 2－CA ·CD ＝b 2＋a 24－ab 2≥ab －ab 2＝ab 2当且仅当b ＝a2时取等号．∴ab 2≤4，故S △ABC ＝12ab ·sin C ≤23， ∴△ABC 面积的最大值为2 3.15.在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝10，cos B ＝255，D 为AC 的中点，求BD 的长．解：(1)因为2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ， 由正弦定理得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ， 整理得2a 2＝2b 2＋2c 2－2bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2bc 2bc ＝22，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π4.(2)由cos B ＝255，得sin B ＝1－cos 2B ＝1－45＝55，所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－⎝⎛⎭⎫22×255－22×55＝－1010. 由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝10×5522＝2，所以CD ＝12AC ＝1，在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝(10)2＋12－2×1×10×⎝⎛⎭⎫－1010＝13，所以BD ＝13.。

第28讲正弦定理和余弦定理1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理余弦定理正弦定理公式a2＝b2＋c2－2bc cos__A；b2＝c2＋a2－2ca cos__B；c2＝a2＋b2－2ab cos__Casin A＝bsin B＝csin C＝2R常见变形cos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ac；cos C＝a2＋b2－c22ab(1)a＝2R sin A，b＝2R sin__B，c＝2R sin__C；(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b a≤b解的个数 一解 两解 一解 一解 无解3.三角形常用面积公式 (1)S ＝12a ·h a (h a表示a 边上的高).(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝abc 4R .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径).1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2.2.三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .➢考点1 利用正、余弦定理解三角形[名师点睛](1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系. 1.(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b 2＝ac ，点D 在边AC 上，BD sin ∠ABC ＝a sin C . (1)证明：BD ＝b .(2)若AD ＝2DC ，求cos ∠ABC .2．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c +的最小值．[举一反三]1．（2022·上海·模拟预测）如图，在ABC 中，已知45B ∠=︒，D 是BC 边上的一点，5,7,3AD AC DC ===，则AB 的长为（ ）A ．53．5653D 562．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足)(sin sin )()sin 3A B a b C a c +-=-，若1b =，则22a c +的取值范围是__________．3．（2022·山东日照·三模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a c =，且sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，则cos A =________．4．（2022·江苏江苏·一模）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若3a b =，则cos B 的最小值是___________.5．（2022·全国·高考真题（理））记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．➢考点2 判断三角形的形状1．（2022·浙江·高三专题练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 22sin cos a B b B A =，则ABC 的形状一定是（ ）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形2．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 若22tan tan b B c C=，则ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形D ．不确定 [举一反三]1．（2022·江苏南通·模拟预测）小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线的长度分别为1，则（ ）A ．能制作一个锐角三角形B ．能制作一个直角三角形C ．能制作一个钝角三角形D ．不能制作这样的三角形2．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且2cos c a B =，则ABC 的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形3．（2022·浙江·高三专题练习）若ABC 满足222a b c bc =+-，且sin 2sin B C =，则ABC 的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或直角三角形4．（2022·浙江·高三专题练习）已知ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S .若sinsin 2A Ca b A +=，2S CA =⋅，则ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形 C ．正三角形D ．等腰直角三角形5．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知cos sin a b C B -=. (1)求内角B 的大小；(2)已知ABC 2a c =，请判定ABC 的形状，并说明理由.➢考点3 和三角形面积有关的问题1．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B -+==． (1)求ABC 的面积；(2)若sin sin A C =b ．2．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22cos c b a C =-． (1)求角A ；(2)若M 为BC 的中点，AM =ABC 面积的最大值．[举一反三]1．（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）在ABC 中，AB AC =，D 为AC 的中点，2BD =，则ABC 面积的最大值为______.2．（2022·浙江·高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知345,cos 5a c C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积．3．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）如图，已知在ABC 中，M 为BC 上一点，2AB AC BC =≤，π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且15sin 8B =．(1)若AM BM =，求ACAM的值； (2)若AM 为BAC ∠的平分线，且1AC =，求ACM △的面积．4．（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且222ab a b c =+-． (1)求角C ；(2)若△ABC 的面积534S =，且21c =，求△ABC 的周长．5．（2022·江苏南通·模拟预测）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，2cos cos 3⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭b A a B c ．(1)求cos B ；(2)若b ＝3，a ＞c ，△ABC 的面积为22，求a第28讲 正弦定理和余弦定理1.正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理余弦定理正弦定理公式a 2＝b 2＋c 2－2bc cos__A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos__B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__Ca sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R 常见变形 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin__C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(3)a ∶b ∶c ＝sin__A ∶sin__B ∶sin__C ； (4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A2.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b a ≤b 解的个数一解两解一解一解无解3.三角形常用面积公式 (1)S ＝12a ·h a (h a表示a 边上的高).(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝abc 4R .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径).1.三角形中的三角函数关系 (1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2.2.三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .➢考点1 利用正、余弦定理解三角形[名师点睛](1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系. [典例]1.(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b 2＝ac ，点D 在边AC 上，BD sin ∠ABC ＝a sin C . (1)证明：BD ＝b .(2)若AD ＝2DC ，求cos ∠ABC . (1)证明 因为BD sin ∠ABC ＝a sin C ， 所以由正弦定理得，BD ·b ＝ac ， 又b 2＝ac ，所以BD ·b ＝b 2， 又b >0，所以BD ＝b .(2)解 法一 如图所示，过点D 作DE ∥BC 交AB 于E ， 因为AD ＝2DC ，所以AE EB ＝AD DC ＝2，DE BC ＝23，所以BE ＝c 3，DE ＝23a .在△BDE 中，cos ∠BED ＝BE 2＋DE 2－BD 22BE ·DE ＝c 29＋4a 29－b 22·c 3·2a 3＝c 2＋4a 2－9b 24ac ＝c 2＋4a 2－9ac4ac.在△ABC 中，cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝c 2＋a 2－b 22ac ＝c 2＋a 2－ac2ac .因为∠BED ＝π－∠ABC ，所以cos ∠BED ＝－cos ∠ABC ，所以c 2＋4a 2－9ac 4ac ＝－c 2＋a 2－ac2ac ，化简得3c 2＋6a 2－11ac ＝0，方程两边同时除以a 2， 得3⎝⎛⎭⎫c a 2－11⎝⎛⎭⎫c a ＋6＝0，解得c a ＝23或c a＝3. 当c a ＝23，即c ＝23a 时，cos ∠ABC ＝c 2＋a 2－ac 2ac ＝49a 2＋a 2－23 a243a 2＝712； 当ca＝3，即c ＝3a 时， cos ∠ABC ＝c 2＋a 2－ac 2ac ＝9a 2＋a 2－3a 26a 2＝76>1(舍).综上，cos ∠ABC ＝712.法二 因为AD →＝2DC →，所以BD →＝23BC →＋13BA →，所以BD →2＝49BC →2＋49BC →·BA →＋19BA →2.因为BD ＝b ，所以b 2＝49a 2＋49ac cos ∠ABC ＋19c 2，所以9b 2＝4a 2＋4ac cos ∠ABC ＋c 2.①又b 2＝ac ＝a 2＋c 2－2ac cos ∠ABC ，② 所以①－②，得8ac ＝3a 2＋6ac cos ∠ABC ，所以cos ∠ABC ＝8ac －3a 26ac ＝43－a2c .由①②知⎩⎨⎧9＝4×a c ＋4cos ∠ABC ＋ca ，1＝a c ＋ca －2cos ∠ABC ，所以11＝6a c ＋3c a ，所以6⎝⎛⎭⎫a c 2－11×a c ＋3＝0，解得a c ＝32或a c ＝13. 当a c ＝32时，cos ∠ABC ＝43－34＝712； 当a c ＝13时，cos ∠ABC ＝43－16＝76(不合题意，舍去). 所以cos ∠ABC ＝712.2．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c +的最小值．【解】（1）因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B BA B B B===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A B C =-=+=-=，而π02B <<，所以π6B =；（2）由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<，而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-，所以30,,,424B C πππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B B c C B+++-==()2222222cos 11cos 24cos 5285425cos cos B BB BB-+-==+-≥-=-．当且仅当22cos 2B =时取等号，所以222a b c +的最小值为425-．[举一反三]1．（2022·上海·模拟预测）如图，在ABC 中，已知45B ∠=︒，D 是BC 边上的一点，5,7,3AD AC DC ===，则AB 的长为（ ）A ．53．5653D 56【答案】D【解析】在ACD △中，由余弦定理得：2224992511cos 227314AC CD AD C AC CD +-+-===⋅⨯⨯， 因为()0,πC ∈，所以21153sin 114C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在ABC 中，由正弦定理得：sin sin AB ACC B=7sin 45=︒，解得：AB =故选：D2．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且满足)(sin sin )()sin A B a b C c +-=-，若1b =，则22a c +的取值范围是__________．【答案】(7,4+【分析】因为)(sin sin )()sin A B a b Cc +-=-，由正弦定理得222a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-==(0,π)B ∈,所以π6B =， 因为1b =，由正弦定理知2sin sin sin b a cB A C===， 所以22224sin 4sin 2(1cos 2)2(1cos 2)a c A C A C +=+=-+-5ππ42cos 2cos 24263A A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为在锐角ABC 中，有π02A <<，5ππ062A <-<，得ππ32A <<， 所以ππ2π2333A <-<πsin 213A ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，则2274a c <+≤+故答案为：(7,4+3．（2022·山东日照·三模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a c =，且sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，则cos A =________．【答案】4-【分析】解：由sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，得22sin sin sin ,B A C b ac =⋅∴=，又2a c =所以::2a b c =，所以22222212cos 24b c a A bc+-+-===-.故答案为：4．（2022·江苏江苏·一模）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若3a b =，则cos B 的最小值是___________.【分析】解：由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，又3a b =，所以()()2222238cos 236+b c b b c B b c bc+-==⋅，因为22+8b c ≥=，当且仅当c =时取等号，所以228+cos 6b c B bc =≥=，所以cos B. 5．（2022·全国·高考真题（理））记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长． 【解】(1)证明：因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-， 所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅，即()22222222222a cb a bc b c a +-+--+-=-， 所以2222a b c =+； (2)解：因为255,cos 31a A ==， 由（1）得2250bc +=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 则50502531bc -=， 所以312bc =，故()2222503181b c b c bc +=++=+=， 所以9b c +=，所以ABC 的周长为14a b c ++=.➢考点2 判断三角形的形状1．（2022·浙江·高三专题练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 22sin cos a B b B A =，则ABC 的形状一定是（ ）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形 【答案】A【分析】由正弦定理sin 22sin cos a B b B A =，得22sin sin cos 2sin cos A B B B A =， 又在ABC 中，(),0,A B π∈，所以sin 0B ≠， 所以tan tan A B =，即A B =， 故ABC 的形状一定是等腰三角形， 故选：A ．2．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 若22tan tan b B c C=，则ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形D ．不确定 【答案】C【分析】在ABC 中，原等式化为：22sin cos sin cos b B Cc C B=，由正弦定理sin sin b c B C =得，22cos cos b b Cc c B=， 即cos cos b B c C =，由余弦定理得：22222222a c b a b c b c ac ab+-+-⋅=⋅，整理得222244a b a c b c -=-， 则有2222222()()()a b c b c b c -=+-，于是有b c =或222b c a +=，ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形. 故选：C [举一反三]1．（2022·江苏南通·模拟预测）小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线的长度分别为1，则（ ）A ．能制作一个锐角三角形B ．能制作一个直角三角形C ．能制作一个钝角三角形D ．不能制作这样的三角形 【答案】C【分析】由向量关系与余弦定理列方程求解三条边长后判断 【详解】设三角形的三条边为a ，b ，c ，设BC 中点为D ， 1()2AD AB AC =+，则()222124AD AB AC AB AC =++⋅()2222222211222424b c a c b bc b c a bc ⎛⎫+-=++⋅=+- ⎪⎝⎭，∴2222228b c a +-= 同理，2222222228,224a b c a c b +-=+-=∴2222831003283a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，∴a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩，a c +=>，∴可以构成三角形 2225610044333a cb +-=-=-，∴cos 0B <， ∴ABC 为钝角三角形， 故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且2cos c a B =，则ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 【答案】A【分析】首先利用正弦定理边化角公式得到()sin 0A B -=，即可得到答案. 【详解】因为2cos c a B =，所以sin 2sin cos C A B =， 即()sin sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B A B +=+=， 整理得到()sin cos cos sin sin 0A B A B A B -=-=， 因为0A π<<，0B π<<，所以A B ππ-<-<， 即0A B -=，A B =，ABC 为等腰三角形. 故选：A3．（2022·浙江·高三专题练习）若ABC 满足222a b c bc =+-，且sin 2sin B C =，则ABC 的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或直角三角形 【答案】B【分析】由正弦定理可得2b c =，结合222a b c bc =+-，可得,2a b c ==，即222b a c =+，分析即得解【详解】由正弦定理，以及sin 2sin B C =，可得2b c = 代入222a b c bc =+-，可得2222(2)23a c c c c c =+-⨯=,2a b c ∴==故22290b a c B =+∴∠= 故ABC 为直角三角形 故选：B4．（2022·浙江·高三专题练习）已知ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S .若sinsin 2A Ca b A +=，2S CA =⋅，则ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形 C ．正三角形D ．等腰直角三角形 【答案】C【分析】由三角形的内角和定理、诱导公式、正弦定理以及二倍角的正弦公式化简已知条件，可求角B ，由三角形的面积公式和平面向量数量积的定义可求角A ，再由三角形的内角和求角C ，即可判断ABC 的形状，进而可得正确选项. 【详解】因为sinsin 2A C a b A +=，所以sin sin 22B a b A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即cos sin 2B a b A =， 由正弦定理可得：sin cos sin sin 2BA B A =， 因为sin 0A ≠，所以cos sin 2sin cos 222B B B B ==， 因为022B π<<，所以cos 02B ≠，所以2sin 12B =，可得1sin 22B =， 所以26B π=，解得3B π=，因为23S BA CA =⋅，所以12sin cos 2bc A A ⨯=，即sin A A =，所以tan A 3A π=，所以3C A B ππ=--=，所以ABC 的形状是正三角形， 故选：C.5．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知cos sin a b C B -=. (1)求内角B 的大小；(2)已知ABC 2a c =，请判定ABC 的形状，并说明理由.解：（1）因为cos sin a b C B -=，由正弦定理可得sin sin cos sin A B C C B -=，又由()()sin sin πsin sin cos cos sin A B C B C B C B C ⎡⎤=-+=+=+⎣⎦，可得cos sin sin B C C B =，因为()0,πC ∈，可得sin 0C >，所以cos B B =，即tan B =又因为()0,πB ∈，可得π3B =.（2）因为ABC π3B =，所以1csin 2S a B ===2ac =，因为2a c =，所以1,2c a ==，所以b ===222a b c =+，故ABC 为直角三角形.➢考点3 和三角形面积有关的问题1．（2022·全国·高考真题）记ABC的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S，已知12313S S S B -+==． (1)求ABC 的面积； (2)若sin sin A C =b ． 解：（1）由题意得22221231,,2S a SS =⋅===，则222123S S S -+==，即2222a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a cb B ac+-=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，又1sin 3B =，则cos B==1cos ac B ==，则1sin 2ABCS acB ==（2）由正弦定理得：sin sin sin b a cB A C==，则229sin sin sin sin sin 4b a c ac B A C A C =⋅===，则3sin 2b B =，31sin 22b B ==.2．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22cos c b a C =-． (1)求角A ；(2)若M 为BC 的中点，AM =ABC 面积的最大值．解：(1)解法一：因为22cos c b a C =-，由正弦定理得：sin 2sin 2sin cos C B A C =-，所以sin 2sin()2sin cos C A C A C =+-2sin cos 2cos sin 2sin cos 2cos sin A C A C A C A C =+-=， 因为sin 0C ≠， 所以12cos 1,cos 2A A ==， 为0πA <<， 所以π3A =．解法二：因为22cos c b a C =-， 由余弦定理得：222222a b c c b a ab +-=-⋅， 整理得222bc b c a =+-，即222a b c bc =+-，又由余弦定理得2222cos a b c bc A =+- 所以12cos 1,cos 2A A ==， 因为0πA <<， 所以π3A =．(2)解法一：因为M 为BC 的中点， 所以1()2AM AB AC =+， 所以()222124AM AB AB AC AC =+⋅+， 即22132cos 43c b bc π⎛⎫=++⋅ ⎪⎝⎭， 即2212b c bc +=-，而222b c bc +≥，所以122bc bc -≥即4bc ≤，当且仅当2b c ==时等号成立所以ABC 的面积为11sin 422ABC S bc A =≤⨯≤△ 即ABC解法二：设BM MC m ==，在ABM 中，由余弦定理得2232cos c m AMB =+-∠，①在ACM △中，由余弦定理得2232cos b m AMC =+-∠，②因为πAMB AMC ∠+∠=，所以cos cos 0AMB AMC ∠+∠=所以①+②式得22262b c m +=+．③在ABC 中，由余弦定理得22242cos m b c bc A =+-⨯， 而π3A =，所以2224m b c bc =+-，④联立③④得：22222212b c b c bc +-=+-，即2212b c bc +=-，而222b c bc +≥，所以122bc bc -≥，即4bc ≤，当且仅当2b c ==时等号成立．所以ABC 的面积为11sin 422ABC S bc A =≤⨯≤△ 即ABC[举一反三]1．（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）在ABC 中，AB AC =，D 为AC 的中点，2BD =，则ABC 面积的最大值为______. 【答案】83【分析】首先利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得ABC 面积的最大值．【详解】设2AB AC m ==，2BC n =，由于ADB CDB π∠=-∠， 在ABD △和BCD △中应用余弦定理可得：2222444466m n m m m m+-+-=-，整理可得：2242m n =-， 结合勾股定理可得ABC 的面积：11222S BC n =⨯=833=， 当且仅当289n =时等号成立．则ABC 面积的最大值为83． 故答案为：83 2．（2022·浙江·高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知345,cos 5a c C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积． 解：(1)由于3cos 5C =， 0πC <<，则4sin 5C =．因为45a c =， 由正弦定理知4sin 5sin A C =，则55sin sin 45A C ==． (2)因为45a c =，由余弦定理，得2222221612111355cos 22225a a a abc C ab a a +--+-====， 即26550a a +-=，解得5a =，而4sin 5C =，11b =， 所以ABC 的面积114sin 51122225S ab C ==⨯⨯⨯=． 3．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）如图，已知在ABC 中，M 为BC 上一点，2AB AC BC =≤，π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且15sin 8B =．(1)若AM BM =，求AC AM的值； (2)若AM 为BAC ∠的平分线，且1AC =，求ACM △的面积．解：（1）因为15sin B =π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以27cos 1sin 8B B =-=，因为2AB AC =，所以由正弦定理知sin 2sin C AB B AC==，即sin 2sin C B =，因为AM BM =，所以2AMC B ∠=∠，sin sin 22sin cos AMC B B B ∠==，在AMC 中，sin 2sin cos 7cos sin 2sin 8AC AMC B B B AM C B ∠====． （2）由题意知22AB AC ==，设BC x =，由余弦定理得222217cos 48x B x +-==，解得2BC =或32BC =．因为2AC BC ≤，所以2BC =，因为AM 为BAC ∠的平分线，BAM CAM ∠=∠所以11sin 2211sin 22ABM ACM AB AM BAM BM h S S AC AM CAM CM h ⋅∠⨯==⋅∠⨯（h 为底边BC 的高）所以2BM ABCM AC ==，故1233CM BC ==，而由（1）知sin 2sin C B ==112sin 1223ACM S AC CM C =⋅⋅=⨯⨯=△ 4．（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且222ab ab c =+-．(1)求角C；(2)若△ABC 的面积S =c =△ABC 的周长． 解：(1)因为222ab a b c =+-，由余弦定理，得到2221cos 22a b c C ab +-==， 又0πC <<，所以π3C =； (2)因为△ABC 的面积S =c =π3C = 所以有221sin 212S ab C ab a b ====+-， 联立22526ab a b =⎧⎨+=⎩，则6ab +==，所以△ABC 的周长为6a b c ++=5．（2022·江苏南通·模拟预测）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，2cos cos 3⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭b A a B c ．(1)求cos B ；(2)若b ＝3，a ＞c ，△ABC 的面积为a ．解：(1)因为2cos cos 3b A a B c ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由正弦定理得 2sin cos sin cos sin sin 3B A A B AC =-+，因为C A B π=--， 所以2sin cos sin cos sin sin cos cos sin 3B A A B A A B A B =-++， 所以22sin cos sin 3=A B A ，可得1cos 3B =.(2)sin B =∵1sin 2===ABC S ac B 6ac =在△ABC 中，由余弦定理得221293+-⋅=a c ac ，∴2213a c +=， ()225a c +=，5a c +=，∴a ，c 可看作一元二次方程2560x x -+=的两不等实根， ∵a c >∴3a =。

第七节 正弦定理和余弦定理1．正弦定理 2．余弦定理 3．三角形的面积公式第一课时 正弦定理和余弦定理(一) 考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形[典例] (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.考法(二) 余弦定理解三角形[典例] (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( ) A ．7.5 B ．7 C ．6 D ．5(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b 2c －a ＝sin Asin B ＋sin C，则角B ＝________. [题组训练]1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A.24 B ．－24 C.34 D ．－342.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π33.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C . (1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值．考点二 判定三角形的形状[典例] (1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a c ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形[变透练清]1.(变条件)若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________．2.(变条件)若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．3.(变条件)若本例(2)条件改为“cos A cos B ＝ba＝2”，那么△ABC 的形状为________．[课时跟踪检测]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos Bb ，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定3．在△ABC 中，cos B ＝ac (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b＝( )A ．14B ．6 C.14 D. 65．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( )A. 5 B ．3 C.10 D ．47．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________.8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c＝________.9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B . (1)求证：a ＝2b cos B ； (2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求A 的大小； (2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．第二课时 正弦定理和余弦定理(二)考点一 有关三角形面积的计算[典例] (1)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，c ＝4，cos B ＝34，则△ABC 的面积等于( ) A ．37 B.372 C ．9 D.92(2)△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，则B ＝______. [变透练清]1.(变条件)本例(1)的条件变为：若c ＝4，sin C ＝2sin A ，sin B ＝154，则S △ABC ＝________. 2.(变结论)本例(2)的条件不变，则C 为钝角时，ca 的取值范围是________．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(2b －a )cos C ＝c cos A . (1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，△ABC 的面积S ＝433，求△ABC 的周长．考点二 平面图形中的计算问题[典例] 如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1.(1)若AC ＝5，求△ABC 的面积； (2)若∠ADC ＝π6，CD ＝4，求sin ∠CAD .[题组训练]1.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________．2.如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列．(1)求sin ∠CED ；(2)求BE 的长．考点三 三角形中的最值、范围问题[典例] (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，A ≠π2，sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎤0，π4C.⎣⎡⎦⎤π6，π4D.⎣⎡⎦⎤π6，π3 (2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，则cos C 的最小值为( )A.32 B.22 C.12 D ．－12[题组训练]1．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( ) A. 2 B.98 C ．1 D.782．在△ABC 中，已知c ＝2，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，则a ＋b 的取值范围为________． 3．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos B b ＋cos C c ＝sin A3sin C .(1)求b 的值；(2)若cos B ＋3sin B ＝2，求△ABC 面积的最大值．考点四 解三角形与三角函数的综合应用考法(一) 正、余弦定理与三角恒等变换[典例] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 b sin A ＝ac os ⎝⎛⎭⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．考法(二) 正、余弦定理与三角函数的性质[典例] 已知函数f (x )＝c os 2x ＋3sin(π－x )c os(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sin C ＝a sin A ，求△ABC 的面积．[对点训练]在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2a －c )cos B －b cos C ＝0. (1)求角B 的大小；(2)设函数f (x )＝2sin x cos x cos B －32cos 2x ，求函数f (x )的最大值及当f (x )取得最大值时x 的值． [课时跟踪检测]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( ) A.12 B.14C ．1D ．22．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，则角B 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π63．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3， S △ABC ＝22，则b 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．2 D ．2或34．在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，t a n ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．25．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a sin B ＝3b cos A ，当b ＋c ＝4时，△ABC 面积的最大值为( )A.33 B.32C. 3 D ．2 3 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．2＋ 2C ．3D ．3＋ 27．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 12b cos A ＝sin B ，且a ＝23，b ＋c ＝6，则△ABC 的面积为________．9．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠BAC ＝π2，点D 在边BC 上，AD ＝1，且BD ＝2DC ，∠BAD ＝2∠DAC ，则sin Bsin C＝________.10．如图所示，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E为垂足，若DE ＝22，则cos A ＝________.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c (1＋cos B )＝b (2－cos C )． (1)求证：2b ＝a ＋c ；(2)若B ＝π3，△ABC 的面积为43，求b .12．在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长；(2)求c os ⎝⎛⎭⎫A －π6的值．。

第六节正弦定理和余弦定理【考纲下载】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R是△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos_B，c2＝a2＋b2－2ab cos_C变形 形式①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ； ②sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R，sin C ＝c 2R； ③a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ； ④a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab解决 三角 形的 问题 ① 已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；② ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角2．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况 A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A ＜a ＜ba ≥b a ＞b a ≤b 解的个数 一解 两解一解一解无解3.三角形中常用的面积公式(1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为△ABC 内切圆半径)．1．在三角形ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的什么条件？“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的什么条件？提示：“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件，“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的充要条件．2．在三角形中，“a 2＋b 2＜c 2”是“△ABC 为钝角三角形”的什么条件？“a 2＋b 2＞c 2”是“△ABC 为锐角三角形”的什么条件？提示：“a 2＋b 2＜c 2”是“△ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件；“a 2＋b 2＞c 2”是“△ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件．1．(2013·北京高考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15B.59C.53D ．1 解析：选B 依题意，由a sin A ＝b sin B ，即313＝5sin B ，得sin B ＝59.2．在△ABC 中，若a ＝2，c ＝4，B ＝60°，则b 等于( ) A ．2 3 B ．12 C ．27 D ．28解析：选A 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即b 2＝4＋16－8＝12，所以b ＝2 3. 3．(2013·湖南高考)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π3B.π4C.π6D.π12 解析：选A 由正弦定理可得，2a sin B ＝3b 可化为2sin A sin B ＝3sin B ，又sin B ≠0，所以sin A ＝32，又△ABC 为锐角三角形，得A ＝π3.4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.答案：4 35．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析：由余弦定理得b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14，解得b ＝4. 答案：4答题模板(三)利用正、余弦定理解三角形[典例] (2013·江西高考)(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．[快速规范审题]第(1)问1．审结论，明解题方向观察所求结论：求角B 的大小――→应求B 的某一三角函数值转化为求sin B 、cos B 或tan B 的值．2．审条件，挖解题信息观察条件：cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0A ＋B ＋C ＝π,cos [π－(A ＋B )]＋(cos A －3sin A )cos B ＝0，即sin A sin B －3sin A cos B ＝0.3．建联系，找解题突破口sin A sin B －3sin A cos B ＝0――→sin A ≠0 sin B ＝3cos B ――→cos B ≠0tan B ＝3――→B ∈(0，π)B ＝π3. 第(2)问1．审结论，明解题方向观察所求结论：求b 的取值范围――→应建立关于b 的方程或不等式b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 2．审条件，挖解题信息观察条件：B ＝π3，a ＋c ＝1――→角B 为边a ，c 的夹角可考虑利用余弦定理建立联系． 3．建联系，找解题突破口b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 错误!b 2＝3错误!2＋错误!错误!求b 2的范围，进而求得结论．,[准确规范答题](1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0，即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0， ⇨2分因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0，又cos B ≠0，所以tan B ＝3，⇨4分 此处易忽视对sin A ≠0，cos B ≠0的说明，直接得出tan B ＝3，造成解题步骤不完整又0＜B ＜π，所以B ＝π3. ⇨6分 此处易忽视B 的范围，直接得出B ＝π3(2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，所以b 2＝3⎝⎛⎭⎫a －122＋14. ⇨10分此处易忽视隐含条件0＜a ＜1，而错误地认为b 2≥14，从而造成解题错误又0＜a ＜1，于是有14≤b 2＜1，即12≤b ＜1. ⇨12分[答题模板速成]解三角形问题一般可用以下几步解答：第一步 边角互化 利用正弦定理或余弦定理实现边角互化第二步三角变换三角变换、化简、消元，从而向已知角(或边)转化第三步由值求角代入求值第四步反思回顾查看关键点，易错点，如本题中公式应用是否正确，a的取值范围是否正确。