11-12第2学期《概率论》试卷C

概率论试题库考试试卷分布说明：试卷共四个大题：选择题.填空题、判断题和解答题，共22个小 题。

其中：选择题共5个小题（4个基础题，1个能力题）,每小题4分，共20分; 填空题共6个（5个基础题，1个能力题），每小题4分，共24分；判断题共6个（5 个基础题，1个能力题）,每小题2分，共12分；解答题共5个（3个基础题，1个 能力题,1个提高题）,3个基础题每小题8分，能力题和提高题各10,共44分。

满足: 基础题：能力题：提高题=7:2:1。

一、选择题40小题。

（每小题4分，共5小题，共20分）1、从四个乒乓球种子选手中选两个人代表学校岀去比赛，在比赛前采用每两个人都对决的选拔赛，则选拔赛共要举行的场数为（A2、下列不属于抽样调查的特点的是（4、设某种电灯泡的寿命X 服从正态分布其中〃是未知的，现在随机的抽取4只这种灯泡，测得其寿命为1500, 1455, 1368, 1649,是估计总体均值“为（C ）A 、 1500B 、 1649C 、 1493D 、 13685、某人从A 地到B 地要经过两个有红、黃、绿灯的交通路口，则他一路是碰绿灯的概率是（C ）A 、一B 、一C 、—D 、一 4 2 27 9 6A 、0. 05B 、0. 13C 、0. 14D 、0. 127、小明打开收音机，想听电台报时（1小时报一次时）,则他等待的时间小于1刻钟的概率是（A ）A 、6B 、30C 、4D 、3 A 、经济性B 、时效性C 、广泛性D 、客观性3、书架上一共有3本英文书，2本法文书，5本中文书, 从中任取一本，则取得的书是外文书的概率（A ）A 、0.5B 、0. 1C 、0.2D 、0.6A、0. 25B、0. 6C、0.5D、0.458、随机变量g〜N（20, 25）,则随机变量g的标准差是（D ）A、20B、25C、45D、 59、甲、乙两人向同一H标射击，甲命中的概率为0.8,乙命中的概率为0.4,则日标被击中的概率为（B ）A、0. 32B、0. 88C、0. 8D、0. 110、设事件A与B互不相容，且P（A）HO, P（B）HO,则下面结论正确的是（D ）A、瓦与耳互不相容；B、P（B|A）>0 :C、P（AB）=P（A）P（B）;D、P（AP）= P（A）11、书架上一共有3本英文书，2本法文书，5本中文书，从中任取一本，则取得的书是外文书的概率（A ）A、0. 5B、0. 1C、0. 2D、0. 612、中、乙两人向同一目标射击，中命中的概率为0.6,乙命中的概率为0.5,则目标被两人都击中的概率为（D ）A、0. 32B、0. 5C、0. 56D、0. 313、某人从中地到乙地要经过三个有红、绿灯的交通路口，则他一路是碰绿灯的概率是（C ）A、丄B、丄C、丄D> -4 2 8 314、从数字1、2、3、4、5中，随机抽取3个数字组成一个不重复的3位数，其各位数字之和为6的概率为（D ）A、丄B、丄C、丄—125 5 10 12515、设A、B、C为三个事件，则A、B、C至少发生一个的事件应该表示为（B ）A、ABCB、AUBUCC、ABCD、ABC16、。

《概率论与数理统计》考试题一、填空题（每小题2分，共计60分）1、A 、B 是两个随机事件，已知0.3)B (p ,5.0)A (p ==，则a ）、若B A ,互斥，则=)B -A (p 0.5 ;b ）若B A ,独立,则=)B A (p 0.65 ;c ）、若2.0)(=⋅B A p ,则=)B A (p 3/7 . 2、袋子中有大小相同的红球7只，黑球3只，(1)从中不放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 7/15 。

(2)若有放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/50 。

(3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/55 . 3、设随机变量X 服从泊松分布}8{}7{),(===X P X p λπ，则{}=X E 8 .4、设随机变量X 服从B （2，0. 8）的二项分布,则{}==2X p 0.64 , Y 服从B （8，0. 8）的二项分布, 且X 与Y 相互独立，则}1{≥+Y X P =1- 0.210，=+)(Y X E 8 。

5 设某学校外语统考学生成绩X 服从正态分布N （75，25），则该学校学生的及格率为 0.9987 ，成绩超过85分的学生占比}85{≥X P 为 0.0228 。

其中标准正态分布函数值9987.0)3(,9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ. 6、设二维随机向量),(Y X 的分布律是有 则=a _0.1_，X的数学期望=)(X E ___0.4___，Y X 与的相关系数=xy ρ___-0.25______。

7、设161,...,X X 及81,...,Y Y 分别是总体)16,8(N 的容量为16，8的两个独立样本，Y X ,分别为样本均值，2221,S S 分别为样本方差。

则：~X N(8,1) ，~Y X - N(0,1.5) ，{}5.12>-Y X p = 0.0456 ，~161521S )15(2χ，~2221S S F(15,7) 。

《概率论与数理统计》复习试题带答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

第1题若随机变量X的方差存在,由切比雪夫不等式可得P{|X-E(X)|＞1}≤()【正确答案】 A【你的答案】本题分数2分第2题若D(X)，D(Y)都存在，则下面命题中错误的是()A. X与Y独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)B. X与Y独立时，D(X-Y)=D(X)+D(Y)C. X与Y独立时，D(XY)=D(X)D(Y)D. D(6X)=36D(X)【正确答案】 C【你的答案】本题分数2分第3题设F(x)=P{X≤x}是连续型随机变量X的分布函数，则下列结论中不正确的是()A. F(x)不是不减函数B. F(x)是不减函数C. F(x)是右连续的D. F(-∞)=0,F(+∞)=1【正确答案】 A【你的答案】本题分数2分【正确答案】 D【你的答案】本题分数2分第5题从一批零件中随机抽出100个测量其直径，测得的平均直径为5.2cm，标准方差为1.6cm，若想知这批零件的直径是否符合标准直径5cm，因此采用了t-检验法，那么，在显著性水平α下，接受域为()【正确答案】 A【你的答案】本题分数2分第6题设μ0是n次重复试验中事件A出现的次数,p是事件A在每次试验中出现的概率,则对任意ε＞0,均有limn→∞Pμ0n-p≥ε()A. =0B. =1C. ＞0D. 不存在【正确答案】 A【你的答案】本题分数2分第7题设X的分布列为X0123P0.10.30.40.2F(x)为其分布函数，则F(2)=()A. 0.2B. 0.4D. 1【正确答案】 C【你的答案】本题分数2分第8题做假设检验时，在()情况下，采用t-检验法.A. 对单个正态总体，已知总体方差，检验假设H0∶μ=μ0B. 对单个正态总体，未知总体方差，检验假设H0∶μ=μ0C. 对单个正态总体，未知总体均值，检验假设H0∶σ2=σ20D. 对两个正态总体，检验假设H0∶σ21=σ22【正确答案】 B【你的答案】本题分数2分第9题已知E(X)=-1,D(X)=3,则E［3(X2-2)］=()A. 9B. 6C. 30D. 36【正确答案】 B【你的答案】本题分数2分第10题X~N(μ,σ2),则P{μ-kσ≤X≤μ+kσ}=()A. Φ(k)+Φ(-k)B. 2Φ(k)C. 2Φ(k-1)D. 2Φ(k)-1【正确答案】 D二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格上填上正确答案。

北 京 交 通 大 学2011~2012学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）参 考 答 案一．（本题满分8分）在某个社区，60%的家庭拥有汽车，30%的家庭拥有房产，而20%的家庭既有汽车又有房产．现随机地选取一个家庭，求此家庭或者有汽车或者有房产但不是都有的概率． 解：设=A “任取一个家庭拥有汽车”，=B “任取一个家庭拥有房产”．由题设得 ()6.0=A P ，()3.0=B P ，()2.0=AB P ．因此有 ()()()()4.02.06.0=-=-=-=AB P A P AB A P B A P ； ()()()()1.02.03.0=-=-=-=AB P B P AB B P B A P ． 所求概率为()()()5.01.04.0=+=+=⋃B A P B A P B A B A P ． 二．（本题满分8分）假设一个人在一年中患感冒的次数X 服从参数为4=λ的Poisson 分布．现有一种预防感冒的新药，它对于22%的人来讲，可将上面的参数λ降为1=λ（称为疗效显著）；对37%的人来讲，可将上面的参数λ降为3=λ（称为疗效一般）；而对于其余的人来讲则是无效的．现有一人服用此药一年，在这一年中，他患了2次感冒，求此药对他是“疗效显著”概率有多大？ 解：设{}此药疗效显著=1A ，{}此药疗效一般=2A ，{}此药无效=3A，{}次感冒某人一年中患2=B ． 由题设，可知如果事件1A 发生，则X 服从参数为1=λ的Poisson 分布；如果事件2A 发生，则X 服从参数为3=λ的Poisson 分布；如果事件3A 发生，则X 服从参数为4=λ的Poisson 分布．因此，由Bayes 公式，我们有()()()()()∑==31111k kkA BP A P A B P A P B A P2206.02441.02337.02122.02122.042321212=⨯+⨯+⨯⨯=----eeee ．三．（本题满分8分）某人住家附近有一个公交车站，他每天上班时在该站等车的时间X （单位：分钟）服从41=λ的指数分布，如果他候车时间超过5分钟，他就改为步行上班．求他一周5天上班时间中至少有2天需要步行的概率． 解：X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00414x x ex p xX ．设=A “候车时间超过5分钟”，则()4554415-+∞-==≥=⎰edx eX P p x ．设Y ：一周5天中他需要步行上班的天数．则()p B Y ,5~，因此所求概率为()()()()41155005111112p p C p p C Y P Y P ----=≤-=≥4438.0151144545545=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=---e e e ． 四．（本题满分8分）设随机变量X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤≤+=其它5.002x xcx x f ．⑴ 求常数c ；⑵ 求X 的分布函数()x F ． 解：⑴ 由密度函数的性质()1=⎰+∞∞-dxx f ，得()()()()⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-++==5.05.0001dxx f dx x f dx x f dxx f ()81242135.00235.002+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰c x x c dx x cx ，解方程，得21=c ．⑵ 当0≤x 时，()()0==⎰∞-xdtt f x F ；当5.00<<x 时，()()()()()27212320xx dt t tdt t f dt t f dtt f x F xx x+=+=+==⎰⎰⎰⎰∞-∞-；当5.0≥x 时，()()()()()15.05.00=++==⎰⎰⎰⎰∞-∞-xxdtt f dt t f dt t f dtt f x F ．综上所述，随机变量X 的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+≤=5.015.0027023x x x x x x F ． 五．（本题满分8分） 设n 个随机变量n X X X ,,,21 相互独立，都服从区间()1,0上的均匀分布，令()n X X X Y ,,,max 21 =，⑴ 求随机变量Y 的密度函数()x p Y ；⑵ 求数学期望()Y E ． 解：⑴ 随机变量X 的密度函数为()⎩⎨⎧<<=其它101x x p X ，分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=111000x x xx x F X ． 随机变量Y 的密度函数为 ()()()()⎩⎨⎧<<==--其它01011x nx x p x F n x p n X n X Y ．⑵ ()()111+=⋅==⎰⎰-+∞∞-n n dx nxx dx x xp Y E n Y ．六．（本题满分8分）设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤=其它10421,22y x y x y x p⑴ 求随机变量Y 的边际密度函数；（5分）⑵ 求条件密度函数()y x p YX ．（3分） 解：当0≤y ，或者1≥y 时，()0=y p Y ； 当10<<y 时，()()⎰⎰⎰--+∞∞-===yyyyY dxx yydx x dx y x p y p 22421421,253022731221221y xy dx xyyy=⋅==⎰所以，随机变量Y 的边际密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它102725y yy p Y ．当10<<y 时，()02725>=y y p Y ，因此当10<<y 时，X 关于Y 的条件密度函数为()()()y p y x p y x p Y Y X ,=2322522327421-==yx y yx即当10<<y 时，条件密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤=-其它10232232y x y x y x p Y X ．七．（本题满分8分）设随机变量X 与Y 相互独立，而且都服从正态分布()2,σμN ．再令bY aX U+=，bY aX V -=，其中a 与b 是不全为零的常数，求随机变量U 与V 的协方差()V U ,cov 与相关系数V U ,ρ．解：由于随机变量X 与Y 都服从正态分布()2,σμN ，所以()()μ==Y E X E ，()()2σ==Y D X D ．()()()()()μμμb a b a Y bE X aE bY aX E U E +=⋅+⋅=+=+=； ()()()()()μμμb a b a Y bE X aE bY aX E V E -=⋅-⋅=-=-=． 再由于随机变量X 与Y 相互独立，故有()()()()()222222222σσσb a b a Y D b X D a bY aX D U D +=⋅+⋅=+=+=， ()()()()()222222222σσσb a b a Y D b X D a bY aX D V D +=⋅+⋅=+=-=， ()()bY aX bY aX V U -+=,cov ,cov ()()()()()2222222,c o v,c o v σb a Y D b X D a Y Y b X X a -=-=-=，所以，()()()2222,,cov ba b a VD UD VU V U +-==ρ．八．（本题满分8分）某药厂断言，该厂生产的某种药品对治愈一种疑难的血液病的治愈率为8.0．医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言；否则就拒绝这一断言．试用中心极限定理计算，⑴ 如果实际上对这种疾病的治愈率确为8.0，问拒绝这一断言的概率是多少？⑵ 如果实际上对这种疾病的治愈率为7.0，问接受这一断言的概率是多少？ （附，标准正态分布()1,0N 的分布函数()x Φ的某些数值：解：设X ：100位服用此药品的病人中治愈此病的人数，则()p B X ,100~．⑴ 当8.0=p 时， ()()⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-=≤=2.08.01008.0100752.08.01008.010075X P XP P 拒绝断言()()1056.08944.0125.1125.125.12.08.01008.0100=-=Φ-=-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-≤⨯⨯⨯-=X P ． ⑵ 当7.0=p 时， ()()⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯--=>=3.07.01007.0100753.07.01007.0100175X P XP P 接受断言()1379.08621.0109.1109.13.07.01007.01001=-=Φ-≈⎪⎭⎫⎝⎛≤⨯⨯⨯--=X P ． 九．（本题满分8分） 设总体()2,~σμN X ，()921,,,X X X是取自总体X 中的一个样本，令∑==61161i i X Y ， ∑==97231i i X Y ，()∑=-=9722221i i Y X U．计算统计量()UY Y Z 212-=的分布（不需求出Z 的密度函数，只需指出Z 所服从的分布及其参数）． 解：由题设可知，⎪⎪⎭⎫⎝⎛6,~21σμN Y ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛3,~22σμN Y ， 所以有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2,0~221σN Y Y ．因此有()1,0~221N Y Y σ-．又由()∑=-=9722221i iY XU ，得()2~2222χσU．因此由t 分布的构造，得 ()()2~21222222121t UY Y UY Y Z ⋅-=-=σσ． 十．（本题满分8分）设总体X 服从参数为p 的几何分布，其分布律为{}1-==k pqk X P () ,3,2,1=k ．其中10<<p 是未知参数，p q -=1．()n X X X ,,,21 是取自该总体中的一个样本．试求参数p 的极大似然估计量． 解：似然函数为 (){}{}{}{}n n n n x X P x X P x X P x X x X x X P p L ======== 22112211,,,()()()()nx nx x x nk k n p p p p p p p p ----∑-=--⋅-==1211111111所以，()()p n x p n p L n k k -⎪⎭⎫⎝⎛-+=∑=1ln ln ln 1．所以，()01ln 1=---=∑=pnxpn p L dpd nk k，解方程，得xp 1=．因此p 的极大似然估计量为Xp 1ˆ=．十一．（本题满分10分）⑴ 设总体X 等可能地取值1，2，3， ，N ，其中N 是未知的正整数．()n X X X ,,,21 是取自该总体中的一个样本．试求N 的极大似然估计量．（7分）⑵ 某单位的自行车棚内存放了N 辆自行车，其编号分别为1，2，3，…，N ，假定职工从车棚中取出自行车是等可能的．某人连续12天记录下他观察到的取走的第一辆自行车的编号为12， 203， 23， 7， 239， 45， 73， 189， 95， 112， 73， 159，试求在上述样本观测值下，N 的极大似然估计值．（3分） 解：⑴ 总体X 的分布列为 {}Nx X P 1==， ()N x ,,2,1 =．所以似然函数为 (){}nni i i Nx X P N L 11===∏=， ()()n i N x i ,,2,1,1 =≤≤．当N 越小时，似然函数()N L 越大；另一方面，N 还要满足：()n i N x i ,,2,1,1 =≤≤，即{}()n n x x x x N =≥,,,max 21 ．所以，N 的最大似然估计量为()n X N =ˆ．⑵ 由上面的所求，可知N 的最大似然估计值为()239ˆ==n x N ． 十二．（本题满分10分）三个朋友去喝咖啡，他们决定用如下的方式付账：每人各掷一枚均匀的硬币，如果某人掷出的结果与其余两人的不一样，则由该人付账；如果三人掷出的结果都一样，则重新掷下去，直到确定了由谁付账时为止．求：⑴ 抛掷硬币次数X 的数学期望；（5分）⑵ 进行了3次还没确定付账人的概率．（5分） 解：⑴ X 的取值为 ,3,2,1．并且()43411⋅⎪⎭⎫⎝⎛==-k k X P ， () ,3,2,1=k ．即随机变量X 服从参数43=p 的几何分布，因此()341==pX E ．⑵ ()()015625.0641414313333==⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>=X P P 次还未确定付账人进行了．。

概率论期末试题及答案在概率论的学习过程中，期末试题是评估学生对该学科知识理解和应用的重要方式。

本文将给出一份概率论的期末试题及答案，以供参考。

试题将按照适当的格式整理，确保排版整洁美观，语句通顺，全文表达流畅，同时符合阅读体验的要求。

试题一：概率基础1. 已知事件A发生的概率为0.4，事件B发生的概率为0.6，求事件A和事件B同时发生的概率。

2. 一桶中装有6个红色球和4个蓝色球，从中随机抽取2个球，求这2个球颜色相同的概率。

3. 掷一颗骰子，点数为1至6的概率各为1/6。

连续投掷两次，求两次投掷结果和为7的概率。

试题二：概率分布1. 某商品的销售量服从正态分布N(150, 25)，计算销售量在120至180之间的概率。

2. 某批产品的质量服从均匀分布U(60, 80)，求产品质量小于75的概率。

3. 甲、乙两个小组分别进行同一项任务，甲组平均完成时间为4小时，标准差为0.5小时；乙组平均完成时间为3.8小时，标准差为0.3小时。

求完成时间小于4.2小时的概率。

试题三：条件概率1. 假设事件A和事件B是相互独立的，已知P(A)=0.3，P(B)=0.4，求P(A|B)和P(B|A)。

2. 某城市的天气预报根据历史数据和气象模型给出，根据预报可以推测出降雨的概率。

已知天气预报准确率为80%，预报为有降雨的概率为30%，求实际发生降雨的概率。

3. 从一批产品中随机抽取一件进行检验，已知该批产品中次品率为5%，已检一件产品为次品，求该件产品来自次品批次的概率。

试题四：随机变量1. 设随机变量X服从指数分布Exp(λ)，已知λ=0.1，求P(X≥2)。

2. 设随机变量X服从均匀分布U(20, 40)，求X的期望值E(X)和方差Var(X)。

3. 设随机变量X服从正态分布N(60, 16)，求P(X>70)和P(50≤X≤80)。

试题五：大数定律和中心极限定理1. 设随机变量X服从参数为p的二项分布B(n,p)，当n=200，p=0.4时，根据大数定律，计算X的期望值E(X)和方差Var(X)。

第一部分 基本题一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）（每道选择题选对满分，选错0分）1. 事件表达式A B 的意思是 ( ) (A) 事件A 与事件B 同时发生 (B) 事件A 发生但事件B 不发生 (C) 事件B 发生但事件A 不发生 (D) 事件A 与事件B 至少有一件发生 答：选D ，根据A B 的定义可知。

2. 假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B ( ) (A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1 (D) 是必然事件 答：选A ，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。

3. 已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 ( ) (A) 自由度为1的χ2分布 (B) 自由度为2的χ2分布 (C) 自由度为1的F 分布 (D) 自由度为2的F 分布答：选B ，因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n 的χ2分布。

4. 已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( ) (A) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3) 答：选C ，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2-2=0, D (X +Y )=D (X )+D (Y )=4+1=5, 所以有X +Y ~N (0,5)。

5. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( ) (A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B)1233X X X ++是μ的无偏估计(C) 22X 是σ2的无偏估计(D) 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计答：选B ，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。

《概率论与数理统计（二）》复习题一、单项选择题1.设A,B 为随机事件，则事件“A ,B 至少有一个发生”可表示为 A.AB B.AB C.A BD.A B2.设随机变量2~(,)X N μσ，Φ()x 为标准正态分布函数，则{}P X x >= A.Φ(x ) B.1-Φ(x ) C.Φx μσ-⎛⎫⎪⎝⎭D.1-Φx μσ-⎛⎫ ⎪⎝⎭3.设二维随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ,则X ~A.211(,)N μσB.221()N μσC.212(,)N μσD.222(,)N μσ4.设随机事件A 与B 互不相容，且()0P A >，()0P B >，则A. ()1()P A P B =-B. ()()()P AB P A P B =C. ()1P A B =D. ()1P AB =5.设随机变量~(,)X B n p ，且()E X =2.4，()D X =1.44，则A. n =4, p =0.6B. n =6, p =0.4C. n =8, p =0.3D. n =24, p =0.16.设随机变量2~(,)X N μσ，Y 服从参数为(0)λλ>的指数分布，则下列结论中不正确．．．的是 A.1()E X Y μλ+= B.221()D X Y σλ+=+C.1(),()E X E Y μλ==D.221(),()D X D Y σλ==7.设总体X 服从[0,θ]上的均匀分布（参数θ未知），12,,,n x x x 为来自X 的样本，则下列随机变量中是统计量的为 A. 11ni i x n =∑B. 11ni i x n θ=-∑C. 11()ni i x E X n =-∑D. 2111()n i x D X n =-∑8.设12,,,n x x x 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，其中μ未知，x 为样本均值，则2σ的无偏估计量为 A. 11()1ni i x n μ=--∑2 B. 11()ni i x n μ=-∑2C. 11()1ni i x x n =--∑ 2 D.11()ni i x x n =-∑ 29．设A,B 为B 为随机事件，且A B ⊂，则AB 等于A.ABB.BC.AD.A10．设A ，B 为随机事件，则()P A B -=A.()()P A P B -B.()()P A P AB -C.()()()P A P B P AB -+D.()()()P A P B P AB +-11．设随机变量X 的概率密度为1,3<x<6,()30,f x ⎧⎪=⎨⎪⎩其他，则{}3<4=P X ≤A.{}1<2P X ≤B.{}4<5P X ≤C.{}3<5P X ≤D.{}2<7P X ≤12．已知随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则X 的分布函数为A.e ,0,()0, 0.x x F x x λλ-⎧>=⎨≤⎩B.1e ,0,()0, 0.x x F x x λλ-⎧->=⎨≤⎩C.1e ,0,()0, 0.x x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩D.1e ,0,()0, 0.x x F x x λ-⎧+>=⎨≤⎩13．设随机变量X 的分布函数为F(x)，则A.()1F -∞=B.(0)0F =C.()0F +∞=D.()1F +∞=14．设随机变量X 与Y 相互独立，它们的概率密度分别为(),()X Y f x f y ，则(X ，Y )的概率密度为 A.[]1()()2X Y f x f y + B.()()X Y f x f y +C.1()()2X Y f x f y D.()()X Y f x f y15．设随机变量~(,)X B n p ，且() 2.4,() 1.44E X D X ==，则参数n,p 的值分别为 A.4和0.6 B.6和0.4 C.8和0.3D.3和0.816．设随机变量X 的方差D(X)存在，且D(X)>0，令Y X =-，则X γρ= A.1- B.0 C.1 D.2二、填空题1. 一口袋中装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这2只球恰为一红一黑的概率是____________.2. 设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A ）=______________.3. 设A,B,C 为三个随机事件,P(A)=P(B)=P(C)=41,P(AB)=P(AC)=P(BC)=61,P(ABC)=0,则P(A B C)=___________. 4. 设X 为连续随机变量，c 为一个常数，则P ｛X ＝c ｝＝_____________.5. 已知连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<=.2,1;20),1(31;0,31)(≥≤x x x x e x F x设X 的概率密度为f(x)，则当x<0,f(x)= _______________.6. 已知随机变量X 的分布函数为F X (x),则随机变量Y=3X+2的分布函F Y (y)=_________.7. 设随机变量X ～N （2，4），则P ｛X≤2｝＝____________.8. 设随机变量X 的概率密度为f(x)=+∞<<-∞-x ex ,2122π，则E(X+1)=___________.9. 设随机变量X 与Y 相互独立，且X ～N （0，5），Y ～X 2（5），则随机变量YX Z =服从自由度为5的_______________分布。

概率论与数理统计试卷 一、是非题（共7分，每题1分）1．设A ,B ,C 为随机事件，则A 与C B A ⋃⋃是互不相容的. 2．)(x F 是正态随机变量的分布函数，则)(1)(x F x F -≠-. 3．若随机变量X 与Y 独立，它们取1与1-的概率均为5.0，则Y X =. 4．等边三角形域上二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布.5. 样本均值的平方2X 不是总体期望平方2μ的无偏估计. 6．在给定的置信度α-1下，被估参数的置信区间不一定惟一. 7．在参数的假设检验中，拒绝域的形式是根据备择假设1H 而确定的. 二、选择题（15分，每题3分）（1）设A B ⊂，则下面正确的等式是 。

（ａ）)(1)(A P AB P -=； （ｂ）)()()(A P B P A B P -=-； （ｃ）)()|(B P A B P =； （ｄ）)()|(A P B A P =（2）离散型随机变量X 的概率分布为k A k X P λ==)(( ,2,1=k )的充要条件是 。

（ａ）1)1(-+=A λ且0>A ； （ｂ）λ-=1A 且10<<λ； （ｃ）11-=-λA 且1<λ； （ｄ）0>A 且10<<λ.（3）设10个电子管的寿命i X (10~1=i )独立同分布，且A X D i =)((10~1=i )，则10个电子管的平均寿命Y 的方差=)(Y D .（ａ）A ； （ｂ）A 1.0； （ｃ）A 2.0； （ｄ）A 10. （4）设),,,(21n X X X 为总体)1,0(~N X 的一个样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则有 。

（ａ）)1,0(~N X ； （ｂ）)1,0(~N X n ；（ｃ）)1(~/-n t S X ； （ｄ）)1,1(~/)1(2221--∑=n F X X n ni i .（5）设),,,(21n X X X 为总体),(2σμN (μ已知)的一个样本，X 为样本均值，则在总体方差2σ的下列估计量中，为无偏估计量的是 。

《线性代数、概率论》期末考试试卷答案一、选择题（每小题后均有代号分别为A, B, C, D的被选项, 其中只有一项是正确的, 将正确一项的代号填在横线上，每小题2分，共40分）：1．行列式G的某一行中所有元素都乘以同一个数k得行列式H，则------------C-------------;(A) G=H ；(B) G= 0 ；(C) H=kG ；(D) G=kH 。

2．在行列式G中，A ij是元素a ij的代数余子式，则a1j A1k+ a2j A2k+…+a nj A nk--------D------;(A) ≠G (j=k=1,2,…,n时) ；(B) =G（j, k=1,2,…,n; j≠k时) ；(C) =0 (j=k=1,2,…,n时) ；(D) =0（j, k=1,2,…,n ;j≠k时) 。

3．若G，H都是n⨯ n可逆矩阵，则----------B------------；(A) (G+H)-1=H-1+G-1；(B) (GH)-1=H-1G-1；(C) (G+H)-1=G-1+H-1；(D) (GH)-1=G-1H-1。

4．若A是n⨯ n可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵, 则--------A----------；(A) |A*|=|A|n-1；(B) |A*|=|A|n ；(C) |A*|=|A|n+1；(D) |A*|=|A|。

5．设向量组α1, α2,…,αr (r>2)线性相关, 向量β与α1维数相同，则------------C----------- (A) α1, α2,…,αr-1 线性相关；(B) α1, α2,…,αr-1 线性无关；(C) α1, α2,…,αr ,β线性相关；(D) α1, α2,…,αr ,β线性无关。

6．设η1, η2, η3是5元齐次线性方程组AX=0的一组基础解系, 则在下列中错误的是D-------------------(A) η1, η2, η3线性无关；(B) X=η1+η2+ η3是AX=0的解向量；(C) A的秩R(A)=2；(D) η1, η2, η3是正交向量组。

概率论与数理统计（二）复习题之一一、单项选择题1. 设A ，B 是互不相容事件，则=+)(B A P【 】A. )(1A P -B. )(1B P -C. )()(1B P A P --D. )()(B P A P ⋅2. 某种规格的电子元件正常使用200小时的概率是0.8，正常使用250小时的概率为0.6，现有一个该种元件已经正常使用了200小时，则能够使用250小时的概率为【 】A. 0.48B. 0.6C. 0.8D. 0.753. 设随机变量ξ的分布律为22()0123!kP k k e k ξ===⋅⋅⋅⋅，，，，，，则(2)D ξ=【 】A. 2B. 4C. 6D. 84. 设12n X X X ⋅⋅⋅，，，是取自总体2~X N μσ（，）的样本，则对任意0>ε，下列各式成立的是【 】A. {}22n P X n σμεε-<≥B. {}221P X n σμεε--≥≥C. {}22P X n σμεε-≥≤D. {}22P X n n σμεε-≥≤5. 设随机变量X Y （，）的联合分布为则X Y （，）的协方差covX Y =（，）【 】A. 0B. 1C.81D. 81-6. 设随机变量X Y ，同分布，概率密度为 2120()0x x f x θθ⎧<<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩其他，， 若[]1(2)E C X Y θ+=，则C 的值为【 】A.21B.31 C. 221θD. θ327. 123X X X ，，都服从[02]，上的均匀分布，则123(32)E X X X -+=【 】A. 1B. 3C. 4D. 28. 随机变量Y X +=ξ与Y X -=η不相关的充分必要条件为【 】A. ()()E X E Y =B. 2222()()()()E X E X E Y E Y -=-C. 22()()E X E Y =D. 2222()()()()E X E X E Y E Y +=+9. 某生产线的产品合格率为0.85，使用某种仪器作产品的抽样检测，仪器检查结果的正确率为0.90，现任取一件产品经仪器检查为合格，而该件产品确实合格的概率为 【 】A. 0.85B. 1C. 0.98D. 0.9410. 设总体2~X N μσ（，），统计假设为0H ：0μμ=对1H ：0μμ≠，若用t 检验法，则在显著水平α的拒绝域为【 】A. 12(1)t tn α--＜ B. 12(1)t tn α-≥-C. 1(1)t t n α-≥-D. 1(1)t t n α---＜ 二、填空题11. 将3人以相同的概率分配到4间房的每一间中，则恰好3间房中各有1人的概率是________。

北京交通大学2018~2019学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（C 卷）一．（本题满分8分）某人钥匙丢了，他估计钥匙掉在宿舍里、教室里以及路上的概率分别为4.0、35.0和25.0，而钥匙在上述三个地方被找到的概率分别为5.0、65.0和45.0．如果钥匙最终被找到，求钥匙是在路上被找到的概率．解：设=B “钥匙被找到”．=1A “钥匙掉在宿舍里”，=2A “钥匙掉在教室里”，=3A “钥匙掉在路上”．由Bayes 公式，得()()()()()∑==31333i iiA B P A P A B P A P B A P 2083.045.025.065.035.05.04.045.025.0=⨯+⨯+⨯⨯=．二．（本题满分8分）抛掷3枚均匀的硬币，设事件{}至多出现一次正面=A ，{}正面与反面都出现=B 判断随机事件A 与B 是否相互独立（4分）？如果抛掷4枚均匀的硬币，判断上述随机事件A 与B 是否相互独立（4分）？解：⑴如果抛掷3枚硬币，则样本点总数为823=．()2184==A P ，()4386==B P ，()83=AB P ，所以有()()()B P A P AB P =⨯==432183，因此此时随机事件A 与B 是相互独立的．⑵如果抛掷4枚硬币，则样本点总数为1624=．()165=A P ，()871614==B P ，()41164==AB P ，所以有()()()B P A P AB P =⨯≠=8716541，因此此时随机事件A 与B 不是相互独立的．三．（本题满分8分）设随机变量X 的密度函数为()()⎩⎨⎧<<-=其它010143x x x f ．求：⑴()X E （4分）；⑵(){}X E X P >（4分）．解：⑴()()()⎰⎰-⋅==+∞∞-1314dxx x dx x xf X E ()2.051514312143341432==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅=-+-=⎰dx x x x x ．⑵(){}{}()⎰-=>=>12.03142.0dxx X P X E X P ()4096.062525641234331412.043212.032==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅=-+-=⎰x x x x dx x x x ．四．（本题满分8分）某加油站每周补给一次汽油，如果该加油站每周汽油的销售量X （单位：千升）是一随机变量，其密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=其它0100010012014x x x f 试问该加油站每次的储油量需要多大，才能把一周内断油的概率控制在%2以下？解：设该加油站每次的储油量为a ．则由题意，a 应满足1000<<a ，而且()02.0≤>a X P ．而()()()()5100410010010011001201⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=+==>⎰⎰⎰⎰+∞+∞a dx x dx x f dx x f dx x f a X P aaa．所以，应当有，02.010015≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ．所以，得502.01001≤-a，即10002.015a ≤-，因此有()26949481.5402.011005=-⨯≥a ．因此可取55=a （千升），即可使一周内断油的概率控制在%5以下．五．（本题满分8分）设平面区域D 是由双曲线xy 1=，()0>x 以及直线x y =，2=x 所围，二维随机变量()Y X ,服从区域D 上的均匀分布．求：⑴二维随机变量()Y X ,的联合密度函数()y x f ,（4分）；⑵随机变量Y 的边缘密度函数()y f Y （4分）．解：⑴区域D 的面积为2ln 23ln 21121221-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰x x dx x x A ，所以，二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()()()⎪⎩⎪⎨⎧∉∈-=Dy x D y x y x f ,,2ln 231,．⑵当121<≤y 时，()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-==⎰⎰+∞∞-y dx dx y x f y f y Y 122ln 2312ln 231,21；当21≤≤y 时，()()()y dx dx y x f y f yY --=-==⎰⎰+∞∞-22ln 2312ln 231,2．所以，随机变量Y 的边际密度函数为()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤--<≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=其它02122ln 231121122ln 231y y y y y f Y ．六．（本题满分8分）设随机变量X 与Y 满足：()2var =X ，()4var =Y ，()1,cov =Y X ，再设随机变量Y X U 32-=，Y X V 23-=，求二维随机变量()V U ,的相关系数V U ,ρ．解：()()()()()32124924,cov 12var 9var 432var var =-⨯+⨯=-+=-=Y X Y X Y X U ，()()()()()22124429,cov 12var 4var 923var var =-⨯+⨯=-+=-=Y X Y X Y X V ，()()Y X Y X V U 23,32cov ,cov --=()()()()231134626,cov 9,cov 4var 6var 6=⨯-⨯+⨯=--+=Y X Y X X X ．所以，二维随机变量()V U ,的相关系数为()()()8668451157.011823223223var var ,cov ,====V U V U V U ρ．七．（本题满分8分）设()21,X X 是取自正态总体()2,0σN 中的一个样本．试求随机变量22121⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=X X X X Y 的分布．（不必求出Y 的密度函数，只需指出Y 是哪一种分布，以及分布中的参数即可．）解：由于()21,0~σN X ，()22,0~σN X ，而且1X 与2X 相互独立，所以()2212,0~σN X X +，()2212,0~σN X X -．由于()()()0var var ,cov 212121=-=-+X X X X X X ，而且()2121,X X X X -+服从二元正态分布，所以21X X +与21X X -相互独立．所以，()1~22221χσ⎪⎭⎫ ⎝⎛+X X ，()1~22221χσ⎪⎭⎫ ⎝⎛-X X ；而且2212⎪⎭⎫ ⎝⎛+σX X 与2212⎪⎭⎫ ⎝⎛-σX X 相互独立．所以，()1,1~2222122122121F X X X X X X X X Y ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=σσ．八．（本题满分8分）某射手射击，他打中10环的概率为5.0，打中9环的概率为3.0，打中8环的概率为1.0，打中7环的概率为05.0，打中6环的概率为05.0．他射击100次，试用中心极限定理近似计算他所得的总环数介于900环与930环之间的概率．（附表：标准正态分布分布函数()x Φ的部分数值表：x 25.130.135.140.1()x Φ8944.090230.091149.091924.0解：设k X 表示该射手射击的第k 发时所得的环数()100,,2,1 =k ，则k X 的分布律为k X 109876P5.03.01.005.005.0所以，()15.905.0605.071.083.095.010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=k X E ，()95.8405.0605.071.083.095.010222222=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=k X E ，所以，()()()[]2275.115.995.84222=-=-=k k k X E X E X D ．因此，10021,,,X X X 是独立同分布的随机变量，故()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≤-≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤∑∑∑∑∑∑∑∑========10011001100110011001100110011001930900930900k k k k k k k k k k k k k k k k X D X E X D X E X X D X E P X P ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯-≤⨯⨯-≤⨯⨯-=∑=2275.110015.91009302275.110015.91002275.110015.91009001001k k X P ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤⨯⨯-≤-=∑=35388.12275.110015.910035388.11001k kXP ()()()82289.0191149.02135.1235.135.1=-⨯=-Φ=-Φ-Φ≈．九．（本题满分9分）设随机变量X 与Y 相互独立而且同分布，其中随机变量X 的分布列为{}{}010,01>-==>==p X P p X P ，再设随机变量⎩⎨⎧++=为奇数为偶数Y X Y X Z 01．⑴写出随机变量()Z X ,的联合分布律以及X 与Z 各自的边缘分布律；⑵问p 取什么值时，随机变量X 与Z 相互独立？解：⑴X 与Z 的联合分布列以及X 与Z 各自的边际分布列为ZX01⋅i p 0()p p -1()21p -p -11()p p -12p pjp ⋅()p p -12()22121p p p +--其中{}{}{}{}()p p Y P X P Y X P Z X P -=========1101,00,0；{}{}{}{}()21000,01,0p Y P X P Y X P Z X P -=========；{}{}{}{}()p p Y P X P Y X P Z X P -=========1010,10,1；{}{}{}{}2111,11,1p Y P X P Y X P Z X P =========；⑵如果X 与Z 相互独立，则有{}(){}{}()p p p Z P X P p p Z X P -⋅====-===120110,1，解方程()()p p p p p -⋅=-121，得21=p ．并且当21=p 时，有ZX01⋅i p 04141211414121jp ⋅2121可以验证，此时X 与Z 是相互独立的．十．（本题满分9分）两台相同型号的自动记录仪，每台无故障工作的时间分别为X 和Y ，假设X 与Y 相互独立，都服从参数为5=λ的指数分布．X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-0055x x e x f x．现首先开动其中一台，当其损坏停用时另一台自动开动，直至第二台记录仪损坏为止．令：T ：从开始到第二台记录仪损坏时记录仪的总共工作时间，试求随机变量T 的概率密度函数．解：X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-00055x x e x f xX ，Y 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-0055y y e y f yY 由题意，知Y X T +=，设T 的密度函数为()t f T ，则()()()()⎰⎰+∞-+∞∞--=-=55dxx t f e dx x t f x f t f Y x Y X T 作变换x t u -=，则dx du -=，当0=x 时，t u =；当+∞→x 时，-∞→u ．代入上式，得()()()()⎰⎰∞---∞--=-=tY u tt Y u t T duu f e edu u f et f 55555当0≤t 时，由()0=y f Y ，知()0=t f T ；当0>t 时，()ttu u tT te du e e et f 55552555-∞---=⋅=⎰综上所述，可知随机变量T 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-00255t t te t f tT ．十一．（本题满分9分）设总体X 的密度函数为()θθθxe xf -=21;，()+∞<<∞-x ，其中0>θ是未知参数．()n X X ,,1 是从中抽取的一个样本．求θ的最大似然估计量．解：θ的似然函数为()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==∑∏==n i i nni i x x f L 111exp 21;θθθθ，则有()()∑=--=ni ixn L 112ln ln θθθ，对θ求导，得()∑=+-=ni ixn L d d 121ln θθθθ，令()0ln =θθL d d ，即有0112=+-∑=ni i x n θθ，解似然方程，得∑==ni i x n 11θ．所以，θ的最大似然估计量为∑==n i i X n 11ˆθ．十二．（本题满分9分）设总体X 的密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它0063θθθx x xx f ，其中0>θ是未知参数，()n X X ，， 1是从该总体中抽取的一个样本．⑴.求未知参数θ的矩估计量θˆ（5分）；⑵.求方差()θˆvar （4分）．解：⑴.()()()26032θθθθ=-==⎰⎰+∞∞-dx x x dx x xf X E ，所以，()X E 2=θ，将()X E 用样本均值∑==ni i X n X 11来替换，得未知参数θ的矩估计为X2ˆ=θ⑵.()()()()X nX X var 4var 42var ˆvar ===θ，而()()()[]22X E X E X D -=()()204622203322θθθθθθ=--=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰⎰+∞∞-dx x x dx x f x所以，()()nn X n 5204var 4ˆvar 22θθθ=⨯==。

《概率论》模拟试卷（一）一、填空题（每小题3分，共15分）1、把9本书任意放在书架上，则其中指定的4本书放在一起的概率为 ..________11~5.______25.013.002104.____)2(____,123.____3.07.022=>========+==-=）（），则，（、设随机变量）（则，）（，）（，已知，，取值为、设随机变量全部可能）（的指数分布，则服从参数为、设随机变量）（，则）（，）（为随机事件，且、、设X P N X X P X P X P X D X E X AB P B A P A P B A σλ二、选择题（每小题3分，共15分）.0421231302010),(),(313232)(.3.022*******)(121}2{1不独立与）（）（）（）（）（）；（）（）（）（独立；与）（），则必有（），（，已知，、设随机变量）（；）（；）（；）（）（则其它，）的联合密度为：，、设（）（；）（；）；（或）次，则最有可能失败（，每次投中的概率为、某人独立地投篮三次）（；）（；；）（）（点数之和一次，则、掷两颗均匀的骰子各Y X D Y E X E XY E C Y D X D XY D B Y X A Y X Cov Y X D C B A a y x y x a y x f Y X D C B A D C B A P ====⎩⎨⎧<<<<+==≤5、设随机变5、量X ～B (n , p),且E(X) = 0.6, D(X) = 0.48,则n , p 的值为( )(A) n = 2 , p= 0.2 ; (B) n = 6 , p = 0.1 ; (C) n = 3 , p = 0.2 ; (D) n = 2 , p = 0.3 .三、从1，2，…，10共十个数字中任取一个，假定每个数字都以101的概率被取中，取后还原，先后取出7个数字，试求下列事件概率： （1） 7个数字全不相同；（2）不含10与1；（3）10恰好出现两次；（4）至少出现两次10。

《概率论与数理统计》习题及答案习题2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只 X 的分布律.2.设在15只同类型零件中有 2只为次品，在其中取 3次，每次任取1只，作不放回抽样, 以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图；（3）13 3P{X <—}, P{1 c X <—}, P{1 <X <—}2 22【解】X =0,1,2.1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，球中的最大号码，写出随机变量 【解】X =3,4,5 1 P(X =3) C ；P(X =4)=|3C5c 2P(X =5)卡C5= 0.1 = 0.3 = 0.6P{1 cX C2}.P(XP(X P(X0) C 133C151) C 2C 23T 一 C 135=2)=企=丄 ^22 35 _ 12 "35C 15 35x>3P(X >2) = P(X =2) +P(X =3) =0.896(2)当 x<0 时,F (x ) =P (X w x ) =0当 0 w x<1 时, F (x )22当 1 w x<2 时, F (x ) =P (X w x ) =P(X=0)=3534 =P (X w x ) =P(X=0)+ P(X=1)= = 35当x >2时，F 故X 的分布函数(X )=P (X w x ) =10, 22X v 0135 ' F(x) =*353435,1,1<xc2 x>2兰 2)=F (1)=2|,2 2 353 3 34 34P (1cX <：) = F(：)-F(1) =晶一；；^=02 2 35 353 3 12P(1 < X < —) = P(X =1) + P(1 c X < —)= —2 2 35341P(1 c X <2) =F(2) -F(1)-P(X =2) =1-—一一 =0.P(X 3.射手向目标独立地进行了 3次射击，每次击中率为 0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求 3次射击中至少击中 2次的概率.【解】设X 表示击中目标的次数.则X=0, 1, 2, 3.P( X =0) =(0.2)3=0.0081 2 P (X =1) = C 3O.8(O.2) =0.096 P (X =2)=C 3(0.8)20.2 = 0.384 P( X =3) =(0.8)3=0.512故X 的分布律为 X P分布函数0 0.0081 0.0962 0.3843 0.5120,0.008, F(x) =<0.104,0.488, X <0 0<x<1 1<x v2 2<x<3 L 1,(2)由分布律的性质知N1=2 P(X=k)=送—=a k=3 k=1 N即a=1.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0.6,0.7,今各投3次，求：(1) 两人投中次数相等的概率； (2)甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，贝y X~b (3，0.6) Y~b(3,0.7)(1) P(X =Y) =P( X =0, Y =0) + P(X =1,Y =1) + P(X =2 ,Y = 2) +P(X =3, Y =3)331212= (0.4) (0.3) + C 30.6(0.4) C 30.7(0.3) +2 2 2 23 3C 3(0.6) 0.4C 3(0.7) 0.3+(0.6) (0.7)= 0.32076(2) P(X A Y) =P(X =1,Y =0) + P(X =2,Y =0) + P(X =3,Y = 0) +P(X =2,Y =1) + P(X =3, Y=1) + P( X =3 ,Y=2) 1 2 3 2 2 3= C 30.6(0.4) (0.3) + C 3(0.6) 0.4(0.3) +(0.6)3(0.3)3+C 2(0.6)20.4C ；0.7(0.3)2 +(0.6)3C 10.7(0.3)^(0.6)3C 2(0.7)20.3=0.2434. (1)设随机变量X 的分布律为kAP {X=k}= a ——,k!其中k=0, 1, 2,…，入＞0为常数，试确定常数 a.(2)设随机变量X 的分布律为P{ X=k}= a/N ,k=1, 2,…，N ,试确定常数a.【解】(1)由分布律的性质知□c =Z P(Xkz0□c - k=k 2a S?k r a L'6.设某机场每天有 200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为 0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降 落而没有空闲跑道的概率小于 0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落 )? 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则 X~b(200,0.02)，设机场需配备 N 条跑道， 则有 P(X A N) cO.01 200 Z c k 00(0.02)k (0.98)200上 c0.01 k =N H 1 利用泊松近似 A = np = 200 X 0.02 =4.比e 仃 p (x >N )L S -------------- <0.01k 少*H k ! 查表得N > 9.故机场至少应配备 9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有 1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于 2的概率是多少(利 用泊松定理)？ 【解】设X 表示出事故的次数，则 X~b (1000, 0.0001) P(X >2) =1 - P(X =0) -P(X =1) … _0.1 C /I VZ -0.1 = 1-e -0.1xe 8.已知在五重贝努里试验中成功的次数 X 满足P{X=1}= P{X=2}，求概率P{X=4}.【解】设在每次试验中成功的概率为 P ,则 c 5p (1 - P )4 =c5 p 2(1- p)3 所以 1 P(^4^C 5(1)4- = 3 3 243 10 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为 0.3,当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号, (1) (2) 【解】 进行了 5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； 进行了 7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率 . (1)设X 表示5次独立试验中 A 发生的次数，则 X~6( 5，0.3) 5P(X >3)=S c 5(0.3)k(0.7)i =0.16308kz3⑵ 令丫表示7次独立试验中 A 发生的次数，则 Y~b (7, 0.3)7P(Y >3)=送 C k (0.3)k(0.7) 3 =0.35293k=310.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(1/2) t的泊松分布，而与时间间隔起点无关(时间以小时计) .(1)求某一天中午12时至下午(2)求某一天中午12时至下午3【解】(1) P(X =0)=訐3时没收到呼救的概率；5时至少收到1次呼救的概率.5 ⑵ P(X >1)=1- P(X =0)k k 2 _k11.设P{X=k}= C2P (1 - p) , k=0,1,2E、z 1 m m.. \4_mP{ Y=m}= C4 p (1 一p)m=0,1,2,3,45分别为随机变量X, Y的概率分布，如果已知P{X> 1}=-，试求P{Y> 1}.95 4【解】因为P(X>1)=故P(Xc1)=—.9 9P(X c1) = P(X =0)=(1 -p)2故得(1-P)24 "9,"3.从而P (Y>1)=1-p(Y=0) =1-(1-P)465止0.80247810.001,试求在这2000册书中12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算，A = np = 2000 X 0.001 =2P(X=5“虫=0.00185!3 113.进行某种试验，成功的概率为一，失败的概率为一.以X表示试验首次成功所需试验的次4 4数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.【解】X =1,2J||,k,|||P(X =2)+P(X =4)+)H+P (X =2k )+111+4)3 3 +…+ (丄)22 3+…4 4 4 4 4 414.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002 ,每个参加保险的人在 1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： (1) (2) 【解】以 (1) 设1年中死亡人数为 X ,则X~b(2500,0.002)，则所求概率为P(2000 X >30000) = P(X >15) =1 - P(X <14)由于n 很大，p 很小，^=np=5,故用泊松近似，有14 e-55kP( X A 15) " -S ------------ 止 0.000069k 竺k!⑵P(保险公司获利不少于 10000)=P(30000 -2000X >10000) = P(X <10)10e ^5k止送巳上-止0.986305 krn k!141—(4)2_1=5即保险公司获利不少于 10000元的概率在98%以上P (保险公司获利不少于 20000) = P(30000 - 2000 X > 20000) = P( X < 5) 5 e 55k 上 S ----- 止 0.615961kzs k! 即保险公司获利不少于 15.已知随机变量 X 的密度函数为 lx|f(x)=Ae , 亠 <x<+ g , 求：(1) A 值；(2) P{0< X<1}; (3) F(x). 由 J f (x)dx =1 得 20000元的概率约为62% 【解】(1) 处 _L X 处 jAe 叫x=2.0 Ae 和x=2A A 」.21 1 1 1 , p(0<X <1)=2 J 0rdx 二(1-ejx 1 1当 x<0 时，F (X )= f - e xd^ =- e x*2 2保险公司亏本的概率；保险公司获利分别不少于 10000元、20000元的概率.“年”为单位来考虑.在1月1日，保险公司总收入为 2500 X 12=30000元.x<017. 在区间［0, a ］上任意投掷一个质点，以 中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求【解】 由题意知X~ U ［0,a ］，密度函数为故当x<0时F (X )=0当 0< x w a 时 F(x)=X11 X 1当 X >0 时，F(x)=f-e Xdx+f-e 」dx'远2 ■^-oc 2』0 2=1—b 2 F (X ^!I1 Xc-e , X c0 2 1 」-丄e 」x>0 2 16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命 ［100 f(x)= {= L 0,求：(1)(2)(3) 【解】2 , X>100,X X c100. 在开始150小时内没有电子管损坏的概率;在这段时间内有一只电子管损坏的概率； F ( X ).150100132 3 8 P 1=[ P( X A 150)]3=(2)3=27(2)P 2 乂33(1)2= 9⑶当 x<100 时 F (X )=0X当 x > 100 时 F(x)=[ f(t)dtJ-O C100 X¥dt 十100 t 2•100X 的密度函数为X 表示这质点的坐标，设这质点落在［X 的分布函数.0, a :f (X )= < a'10,其他当 x>a 时，F (X )=1 即分布函数「0,XF(x)才—, l ai 1,18. 设随机变量X 在［2 , 5］上服从均匀分布.现对 值大于3的概率. 【解】X~U ［2,5］，即故所求概率为p 七(l4+c 3(|4|719.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分钟计)服从指数分布E(-).某顾客在窗口55次，以丫表示一个月内他未等 P {Y > 1}.该顾客未等到服务而离开的概率为Y ~b(5,e')，即其分布律为P (Y =k) =c 5(ed k(1-er 5二k =0,123,4,5P(Y >1)=1 -P(Y = 0) =1 -(l-e ，)5=0.516720. 某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走从N (40, 102);第二条路程较长，但阻塞少，所需时间(1) 若动身时离火车开车只有 (2)又若离火车开车时间只有【解】(1)若走第一条路，X~N (40, 102),则f(X^H ,10,2<x<5其他x>aX 进行三次独立观测，求至少有两次的观测等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行 到服务而离开窗口的次数，试写出丫的分布律，并求【解】依题意知X ~ E(1)，即其密度函数为1 f(x)=<E e【0,X -5X >0 x<0X5dx =e-2.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从 N (50，42).1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ 45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？<x -4° 60 -40]=①⑵=0.97727 10丿若走第二条路，X~N ( 50，42)，则< 60-50 L ①(2.5) = 0.9938 ++4丿故走第二条路乘上火车的把握大些 (2)若 X~N (40, 102),则P(X <45) =P「X-50W 45~50L Q (_1.25)I 4 4丿 = 1—0(1.25)=0.1056故走第一条路乘上火车的把握大些221•设 X~N (3，22),(1) 求 P{2<X <5}, P{*<X <10}, (2)确定 c 使 P{X >c}= P{X < c}.P(|X |A 2) = P(X >2) + P(X <—2)V 2 q 卩】+1—①但〕 l 2丿l 2丿= 0.6915 +1 -0.9938 =0.6977P(X<60) = P (帀P(X c60) = p (X-50I 4'X -40 ,10若 X~N ( 50 , 42),贝UP(X <45)= P<〒U (0.5)=0.6915 P{ I X I > 2}, P{X > 3};了2 -3 I 解】(1)P(2<x^= P bX -3 < ------- 2(1〕 = 0.8413-1 +0.6915 =0.5328 = Q (1)_1 +①(1〕 f _4_3 P(—4 <X <10) =I 2 X —3< -------2=0亿L ① 12丿 0.9996I 2丿=P g — V 2 2 h —① f-1 1V 2丿+ P 3 二丿I 2 2a I 2丿P(X >3)= P(弓)=1-①(0)=0.5⑵c=322.由某机器生产的螺栓长度(cm ) X~N (10.05,0.062),规定长度在10.05± 0.12内为合格品， 求一螺栓为不合格品的概率.=1 -①(2) + ①(-2) = 2[1 -①(2)] = 0.045623.一工厂生产的电子管寿命 X (小时)服从正态分布 N (160, I),若要求P{120 < X W 200 => 0.8，允许I 最大不超过多少？ 【解】P(120cX <200) = p f 20"16024.设随机变量X 分布函数为(2) P(X <2) =F (2) =1 —e "P(X >3) =1-F(3) =1-([-©少)=e ；人「- —)x ⑶ f (x)=F '(x)=f 0, x <025.设随机变量X 的概率密度为|x,f (x )=<2 —X,I I 0,求X 的分布函数F (X ),并画出f ( X )及 F ( X ).【解】p (|X -10.05^0.12) = Pd x -10.050.12)0.06> -----0.06丿X -160 200-160 < ----------- <c1.29= 31.25F (x )屮十Be ,I 0,x" x<0.仏 >0),求常数A , B ;求 P{X W 2} , P{X > 3}; 求分布密度f (x ).i xi mF (x H 1(1) (2) (3)【解】(1)由 < 片得严1x>00 <x <1, 1<x C 2,其他.【解】当x<0时F (X )=0X 0 X f f(t)dt = J f(t)dt+.0 f(t)dt._oC・ _oC7XX珥 tdt=—当 x < 0 时 F (X )= J f (x)dx = J-当 1 <x<2 时 F(x)=Xu f(t)dt0 1;_^f(t)d^ J 0f(t)dt + L f(t)dt1X珂tdt + [ (2-t)dt 1 X 23 =-+2x-— 一一 2 2 22X+2X-1 2X当 x >2 时 F(x M.c f(t)d ^10, X 2X c0F(x) ={2 22x-1,I 2I 1,1<xc2 x>226.设随机变量X 的密度函数为(1) f(x)=ae —凶，入 >0； bx, 12，X .0,a,b ,并求其分布函数 F (X ).J f(x)dx=1 知 1 ⑵ f(x)= f —试确定常数 【解】(1)由 即密度函数为0 v x €1, 1 <x <2, 其他. □c 5 叫X = 2a f>dxf (X )才2 l 2e2ax<0当 0<x<1 时 F(x)=X 0 i r x X i r x当 x>0 时 F (X )= (x)dx = ‘尹冰 + J o 专Eclx故其分布函数27.求标准正态分布的上 a 分位点,(1) a =0.01，求 Z j ； (2) a =0.003，求 Z x ，Z 陀. 【解】(1) P(X A z J =0.01F(x)2 1 >X -e , .2X A O X <01(2)由 1 = f^f(x)d^ bxdx + f — dx oC得即X 的密度函数为山 2 勺Xb=1b=一 +2 2当 X < 0 时 F (X )=0|x, II 1 f(x)十,X 0,1 <x c2 其他当 0<x<1 时 F(x) = J f(x)dx= J f(x)dx + J f (x)dx*■ -CC*■ -CC *"0X=4xdx当 1 < X<2 时 F (X )= J f (x)dx 斗 0dx3 1=———2 X当 X > 2 时 F (X )=1 故其分布函数为F(x)P0, 2Xx<0 2 3 21,0 <x c 1 1 <xc2 x>22i q (z 』=0.01①（Za ）=0.09Z —33(2)由 P(X >Z a )=0.003得1-①(Za )= 0.003①(去)=0.997% =2.75由 P(X A Za /2)=0.0015 得1-①(Z^/2)=0.0015①(Za /2)=0.9985Zo /2 = 2.9628.设随机变量X 的分布律为求Y=X 2的分布律.【解】丫可取的值为0, 1 , 4, 9P(Y =0) =P(X =0) J5P(Y = 1) = P (X = -1) + P( X =1)」+丄6 15 301P (Y =4) =P (X = —2)=-5 11P(Y =9) =P( X =3)=30故丫的分布律为0 1 4 1/57/301/51 k29•设 P{X=k}=( —) , k=1,2,…，令I 1,当X 取偶数时 Y = 5[-1,当X 取奇数时.X P k-21/5 一1 0 1/6 1/51 1/153 11/30查表得查表得Y P k9 11/30⑶ p (Y >0)=1当 y w 0 时 FY (y) = P(Y <y) =0求随机变量X 的函数丫的分布律.【解】P(Y =1) = P( X =2) +P(X =4) +)||+P (X =2k)+H|= G )2+([)4 +川+ (1)2k+川 2 2 2 1 1 14 4 3P (丫 =_1) = 1- P (丫 =1) = 230•设 X~N (0, 1).(1) 求Y=e X 的概率密度；(2) 求Y=2X 2+1的概率密度； (3)求丫= I X I 的概率密度•【解】(1)当 y w 0 时，F Y (y) = P(Y <y)=0x当 y>0 时，FY (y) =P(Y <y)= P(e <y) =P(X <ln y)In y=Lc f x (x )dxdF Y (y)1 1 1 Jn2y/2f Y (y^^=7f x (Iny ^7；72n e ，y >0(2) P(Y = 2X 2 +1 >1) = 1当 y w 1 时 F Y (y) =P(Y <y) =0Q当 y>1 时 F Y (y) =P(Y <y)= P(2X +1<y)=P W 詈卜P卜呼卡:Ji (y 4)/2「L E f X (x )dx故 f Y (y )=；^F Y (y)二1』一2dy4 V4"f = + 、ff x4y 4)/4—e , y A 1当 y>0 时 F Y (y) = P(|X Uy) = P(-y <X <y)y=J 」f x(x)dx故 TR —n2』2/2K ,y >031. 设随机变量X~U (0,1),试求：(1) Y=e X 的分布函数及密度函数； (2)Z=/lnX 的分布函数及密度函数.【解】(1) P(0 cX <1)=1y W1 时 F Y (y) = P(Y <y) =01<y<e 时 F Y (y) = P(e X < y) = p(x <ln y)rj^ X当 y 》e 时 F Y (y)= P(e < y) =1 即分布函数,p-0,F Y (y) = <ln II 1,y, y <11 c y cey 工e 故丫的密度函数为1f Y (y) i y ，0, 其他(2)由 P ( 0<X<1) =1知P(Z A0) =1当 Z W 0 时，F Z (z) = P(Z <z)=0当 z>0 时，F Z (z) = P(Z <z) = P(-2ln X <z)=P(lnX <-彳)=P(X Ke"/2)1当y w 0时, F Y (y)= P(Y <y)=0 当0<y<1时,F Y (y) = P(Y <y) = P(sinx <y)=P(0 <X <arcsin y) + P( n — arcs in y 兰 X < narcsin y2x n-y dx + 7C=1( arcs iny) n 2 .=—arcsiny n2x^, —dx‘ n_arcsin y丘+1- 4( n - arcsiny )2nF Y (y) 9故Y 的密度函数为10,其他33.设随机变量X 的分布函数如下:F(x)F1+x 2'i (2),< (1)试求Y=sinX 的密度函数. 【解】P(0 c Y <1)=1试填上(1),(2),(3)项.即分布函数故Z 的密度函数为32. 设随机变量X 的密度函数为Udx-1-/2F z (Z 」0, .z/2U -eI 1 j/2f z (z 」尹L 0,f(x)=l 学L 0,0< Xz<0 z 》0Z A O z<0其他.【解】由lim F （x ） =1知②填1。

《概率论与数理统计》模拟试卷一、填空题1．三只考签由三个学生轮流放回抽取一次,每次取一只,设i A 表示第i 只考签被抽到(1,2,3)i =,则“至少有一只考签没有．．被抽到〞这一事件可表示为 . 2．设()0.4P A =,()0.3P B =,()0.6P A B =,则()P AB = .3．一袋中装有10个球,其中3个黑球,7个白球,先后两次不放回从袋中各取一球,则第二次取到的是黑球的概率为 .4．随机变量X 的分布函数为0,0()0.4,011,1x F x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩,则{1}P X == .5．设随机变量~(,25)X N μ,且{5}0.5P X >=,则μ= .6．设随机变量X 的概率密度函数为,01()0,Ax x f x <<⎧=⎨⎩其它,则常数A = .7．设随机变量X 服从参数为,n p 的二项分布,且16n =,()4D X =,则p = . 8．设二维随机变量(,)X Y 的分布律为则{}P X Y == .9．设随机变量X 服从参数为1的泊松分布,则2{()}P X E X == .10．设随机变量~(1,1),~(1,1)X N Y N -,且X 与Y 相互独立,则2[()]E X Y -= . 11．()1D X =,()9D Y =,0.5XY ρ=,则(321)D X Y -+= .12．设X 和Y 的方差DX 和DY 都存在,且满足()()D X Y D X Y +=-,则X 与Y 的相关系数XY ρ= .13．设1210,,,X X X 是来自总体(0,1)X N 的简单随机样本,则统计量2221210X X X +++服从自由度n = 的2χ分布.14．设来自总体~(,1)X N μ的容量为16的样本的样本均值 5.11x =,其未知参数μ的置信水平为1α-的置信区间为(4.62,5.60),则α= .15．设正态总体2~(,)X N μσ,其中2,μσ均未知,12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记11n i i X X n ==∑,221()ni i Q X X ==-∑,则检验假设01:0,:0H H μμ=≠的t 检验方法使用统计量t = .二、计算题1．设随机变量X 的概率密度函数,01()2,120,x x f x x x <<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 ,求⑴{1}P X ≥;⑵分布函数()F x .2．设随机变量X 的概率密度函数1,01()0,X x f x <<⎧=⎨⎩其他,⑴求XY e =的概率密度函数()Y f y ;⑵求Y 的数学期望()E Y .3．设,X Y 的联合概率密度函数为,01,01(,)0,x y x y f x y +<<<<⎧=⎨⎩其他,⑴求X 和Y 的边缘概率密度函数()X f x 和()Y f y ;⑵推断X 与Y 的是否独立?4．将两封信随意投入3个邮筒,设X 和Y 分别表示投入第1和2号邮筒中信的数目,⑴求X 和Y 的联合分布律;⑵求X 与Y 的协方差(,)Cov X Y .5．设总体X 的概率密度函数22,0(;)0,xx f x θθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他,其中0θ>为未知参数,n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本.⑴求未知参数θ的矩估量量ˆθ;⑵推断所求的估量量ˆθ是否为θ的无偏估量量.6．设总体X 的概率密度函数||1(;)()2x f x e x θθθ-=-∞<<+∞,其中0θ>为未知参数,6,3,1,2,4,7,8,9---为来自总体的X 样本值,求θ的极大似然估量值．参考答案一、填空题1．123A A A 2．0.3 3．0.3 4．0.6 5．56．2 7．0.5 8．0.4 9．12e10．6 11．27 12．0 13．10 14．0.05 15X三、计算以下概率问题1．解：⑴1{1}1{1}10.5P X P X xdx ≥=-<=-=⎰⑵当0x <时,()0F x =; 当01x ≤<时,2()2xx F x xdt ==⎰;当12x ≤<时,211()(2)212xx F x xdx x dx x =+-=--⎰⎰; 当2x ≥时,()1F x =;所以2200,012()21,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪--≤<⎪⎪≥⎩，.2．解：⑴()1,01,0,x f x <<⎧=⎨⎩其他 (){}{}X Y F y P Y y P e y =≤=≤当0y <时,()0Y F y =; 当0,y ≥时,(){ln }(ln )Y X F y P X y F y =≤=,()()Y Y f y F y '=,于是1,1()0,Y y ey f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他⑵1()()1XxE Y E e e dx e ===-⎰3．解：⑴当01x <<时,11()(,)()2X f x f x y dy x y dy x +∞-∞==+=+⎰⎰； 当01y <<时,101()(,)()2Y f y f x y dx x y dx y +∞-∞==+=+⎰⎰； ⑵(,)()()X Y f x y f x f y ≠∴X 与Y 不是相互独立的。

北 京 交 通 大 学2011~2012学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）参 考 答 案一．（本题满分8分）在某个社区，60%的家庭拥有汽车，30%的家庭拥有房产，而20%的家庭既有汽车又有房产．现随机地选取一个家庭，求此家庭或者有汽车或者有房产但不是都有的概率． 解：设=A “任取一个家庭拥有汽车”，=B “任取一个家庭拥有房产”．由题设得 ()6.0=A P ，()3.0=B P ，()2.0=AB P ．因此有 ()()()()4.02.06.0=-=-=-=AB P A P AB A P B A P ； ()()()()1.02.03.0=-=-=-=AB P B P AB B P B A P ． 所求概率为()()()5.01.04.0=+=+=⋃B A P B A P B A B A P ． 二．（本题满分8分）假设一个人在一年中患感冒的次数X 服从参数为4=λ的Poisson 分布．现有一种预防感冒的新药，它对于22%的人来讲，可将上面的参数λ降为1=λ（称为疗效显著）；对37%的人来讲，可将上面的参数λ降为3=λ（称为疗效一般）；而对于其余的人来讲则是无效的．现有一人服用此药一年，在这一年中，他患了2次感冒，求此药对他是“疗效显著”概率有多大？ 解：设{}此药疗效显著=1A ，{}此药疗效一般=2A ，{}此药无效=3A ， {}次感冒某人一年中患2=B ．由题设，可知如果事件1A 发生，则X 服从参数为1=λ的Poisson 分布；如果事件2A 发生，则X 服从参数为3=λ的Poisson 分布；如果事件3A 发生，则X 服从参数为4=λ的Poisson 分布．因此，由Bayes 公式，我们有 ()()()()()∑==31111k kkA BP A P A B P A P B A P2206.02441.02337.02122.02122.042321212=⨯+⨯+⨯⨯=----ee e e． 三．（本题满分8分）某人住家附近有一个公交车站，他每天上班时在该站等车的时间X （单位：分钟）服从41=λ的指数分布，如果他候车时间超过5分钟，他就改为步行上班．求他一周5天上班时间中至少有2天需要步行的概率． 解：X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00414x x ex p xX ． 设=A “候车时间超过5分钟”，则()4554415-+∞-==≥=⎰e dx e X P p x．设Y ：一周5天中他需要步行上班的天数．则()p B Y ,5~，因此所求概率为()()()()41155005111112p p C p p C Y P Y P ----=≤-=≥4438.0151144545545=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---e e e ． 四．（本题满分8分）设随机变量X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤≤+=其它05.002x x cx x f ．⑴ 求常数c ；⑵ 求X 的分布函数()x F ．解：⑴ 由密度函数的性质()1=⎰+∞∞-dx x f ，得()()()()⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-++==5.05.001dx x f dx x f dx x f dx x f ()81242135.00235.002+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰c x x cdx x cx ，解方程，得21=c ． ⑵ 当0≤x 时，()()0==⎰∞-xdt t f x F ；当5.00<<x 时，()()()()()27212320x x dt t t dt t f dt t f dt t f x F xx x +=+=+==⎰⎰⎰⎰∞-∞-；当5.0≥x 时，()()()()()15.05.00=++==⎰⎰⎰⎰∞-∞-xxdt t f dt t f dt t f dt t f x F ．综上所述，随机变量X 的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+≤=5.015.0027023x x x x x x F ． 五．（本题满分8分） 设n 个随机变量n X X X ,,,21Λ相互独立，都服从区间()1,0上的均匀分布，令()n X X X Y ,,,m ax 21Λ=，⑴ 求随机变量Y 的密度函数()x p Y ；⑵ 求数学期望()Y E ． 解：⑴ 随机变量X 的密度函数为()⎩⎨⎧<<=其它0101x x p X ，分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=111000x x x x x F X ．随机变量Y 的密度函数为 ()()()()⎩⎨⎧<<==--其它01011x nx x p x F n x p n X n X Y ．⑵ ()()111+=⋅==⎰⎰-+∞∞-n ndx nx x dx x xp Y E n Y ． 六．（本题满分8分）设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤=其它010421,22y x y x y x p⑴ 求随机变量Y 的边际密度函数；（5分）⑵ 求条件密度函数()y x p Y X ．（3分） 解：当0≤y ，或者1≥y 时，()0=y p Y ； 当10<<y 时， ()()⎰⎰⎰--+∞∞-===yyyyY dx x y ydx x dx y x p y p 22421421,2503022731221221y x y dx x y yy=⋅==⎰ 所以，随机变量Y 的边际密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它102725y yy p Y ． 当10<<y 时，()02725>=y y p Y ，因此当10<<y 时，X 关于Y 的条件密度函数为()()()y p y x p y x p Y Y X ,=2322522327421-==y x y y x即当10<<y 时，条件密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤=-其它10232232y x y x y x p Y X ．七．（本题满分8分）设随机变量X 与Y 相互独立，而且都服从正态分布()2,σμN ．再令bY aX U +=，bY aX V -=，其中a 与b 是不全为零的常数，求随机变量U 与V 的协方差()V U ,cov 与相关系数V U ,ρ． 解：由于随机变量X 与Y 都服从正态分布()2,σμN ，所以()()μ==Y E X E ，()()2σ==Y D X D ．()()()()()μμμb a b a Y bE X aE bY aX E U E +=⋅+⋅=+=+=； ()()()()()μμμb a b a Y bE X aE bY aX E V E -=⋅-⋅=-=-=． 再由于随机变量X 与Y 相互独立，故有()()()()()222222222σσσb a b a Y D b X D a bY aX D U D +=⋅+⋅=+=+=， ()()()()()222222222σσσb a b a Y D b X D a bY aX D V D +=⋅+⋅=+=-=， ()()bY aX bY aX V U -+=,cov ,cov ()()()()()2222222,cov ,cov σb a Y D b X D a Y Y b X X a -=-=-=，所以，()()()2222,,cov ba b a V D U D V U VU +-==ρ． 八．（本题满分8分）某药厂断言，该厂生产的某种药品对治愈一种疑难的血液病的治愈率为8.0．医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言；否则就拒绝这一断言．试用中心极限定理计算，⑴ 如果实际上对这种疾病的治愈率确为8.0，问拒绝这一断言的概率是多少？⑵ 如果实际上对这种疾病的治愈率为7.0，问接受这一断言的概率是多少？ （附，标准正态分布()1,0N 的分布函数()x Φ的某些数值：解：设X ：100位服用此药品的病人中治愈此病的人数，则()p B X ,100~．⑴ 当8.0=p 时，()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-=≤=2.08.01008.0100752.08.01008.010075X P X P P 拒绝断言()()1056.08944.0125.1125.125.12.08.01008.0100=-=Φ-=-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-≤⨯⨯⨯-=X P ．⑵ 当7.0=p 时，()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯--=>=3.07.01007.0100753.07.01007.0100175X P X P P 接受断言()1379.08621.0109.1109.13.07.01007.01001=-=Φ-≈⎪⎭⎫⎝⎛≤⨯⨯⨯--=X P ．九．（本题满分8分） 设总体()2,~σμN X ，()921,,,X X X Λ是取自总体X 中的一个样本，令∑==61161i i X Y ， ∑==97231i i X Y ，()∑=-=9722221i i Y X U ．计算统计量()U Y Y Z 212-=的分布（不需求出Z 的密度函数，只需指出Z 所服从的分布及其参数）． 解：由题设可知，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6,~21σμN Y ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛3,~22σμN Y ，所以有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2,0~221σN Y Y ．因此有()1,0~221N Y Y σ-． 又由()∑=-=9722221i i Y X U ，得()2~2222χσU ．因此由t 分布的构造，得 ()()2~21222222121t UY Y UY Y Z ⋅-=-=σσ．十．（本题满分8分）设总体X 服从参数为p 的几何分布，其分布律为{}1-==k pq k X P ()Λ,3,2,1=k ．其中10<<p 是未知参数，p q -=1．()n X X X ,,,21Λ是取自该总体中的一个样本．试求参数p 的极大似然估计量． 解：似然函数为 (){}{}{}{}n n n n x X P x X P x X P x X x X x X P p L ========ΛΛ22112211,,,()()()()n x nx x x nk k n p p p p p p p p ----∑-=--⋅-==1211111111Λ 所以，()()p n x p n p L n k k -⎪⎭⎫⎝⎛-+=∑=1ln ln ln 1．所以，()01ln 1=---=∑=p nx p n p L dp d nk k ，解方程，得xp 1=． 因此p 的极大似然估计量为Xp1ˆ=． 十一．（本题满分10分）⑴ 设总体X 等可能地取值1，2，3，Λ，N ，其中N 是未知的正整数．()n X X X ,,,21Λ是取自该总体中的一个样本．试求N 的极大似然估计量．（7分）⑵ 某单位的自行车棚内存放了N 辆自行车，其编号分别为1，2，3，…，N ，假定职工从车棚中取出自行车是等可能的．某人连续12天记录下他观察到的取走的第一辆自行车的编号为12， 203， 23， 7， 239， 45， 73， 189， 95， 112， 73， 159，试求在上述样本观测值下，N 的极大似然估计值．（3分） 解：⑴ 总体X 的分布列为 {}Nx X P 1==， ()N x ,,2,1Λ=． 所以似然函数为 (){}nni i i N x X P N L 11===∏=， ()()n i N x i ,,2,1,1Λ=≤≤．当N 越小时，似然函数()N L 越大；另一方面，N 还要满足：()n i N x i ,,2,1,1Λ=≤≤，即{}()n n x x x x N =≥,,,max 21Λ．所以，N 的最大似然估计量为()n X N =ˆ． ⑵ 由上面的所求，可知N 的最大似然估计值为()239ˆ==n x N ． 十二．（本题满分10分）三个朋友去喝咖啡，他们决定用如下的方式付账：每人各掷一枚均匀的硬币，如果某人掷出的结果与其余两人的不一样，则由该人付账；如果三人掷出的结果都一样，则重新掷下去，直到确定了由谁付账时为止．求：⑴ 抛掷硬币次数X 的数学期望；（5分）⑵ 进行了3次还没确定付账人的概率．（5分） 解：⑴ X 的取值为Λ,3,2,1．并且()43411⋅⎪⎭⎫⎝⎛==-k k X P ， ()Λ,3,2,1=k ． 即随机变量X 服从参数43=p 的几何分布，因此()341==p X E ．⑵ ()()015625.0641414313333==⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>=X P P 次还未确定付账人进行了．。

东莞理工学院（本科）试卷（D 卷）2011 --2012 学年第二学期《概率论与数理统计》试卷（答案）开课单位：计算机学院数学教研室 ，考试形式：闭卷，允许带 计算器 入场一、选择填空题（共70分 每空21、设A 、B 为两个事件，P(A)=0.5，P(A-B)=0.2，则P(B A )为( C ) （A ）0.2 （B ）0.3 （C ）0.7 （D ）0.82、A 、B 是两个随机事件，P( A ) = 0.3，P( B ) = 0.4，且A 与B 互不相容,则P （B A ）等于（ D ） (A) 0 (B) 42.0 (C) 88.0 (D)13、已知P(A)=0.5,P(B)=0.6,且A 与B 相互独立,则)(B A P 等于（ C ） （A ）0.6 （B ）0.7 （C ）0.8 （D ）0.94、事件A 、B 相互独立，)(A P =0.3，)(A B P =0.6，则)(A P +)(B P 等于（ C ） （A ）0.5 （B ）0.3 （C ）0.9 （D ）15、设A 、B 为两个事件，则B A -表示( D ) （A ）“A发生且B 不发生” （B ）“A、B 都不发生” （C ）“A、B 都发生”（D ）“A不发生或者B 发生”6、 某事件发生的概率为10，如果试验10次，则该事件（D ）（A ）一定会发生1次 （ B ） 一定会发生10次 （C ） 至少会发生1次 （D ）发生的次数是不确定的 7、已知离散型随机变量X 概率函数为1)(+==i pi X P ，1 ,0=i ，则p 的值为( A )（A ）(-1+5)／2 （ B ）(1+5)／2 （ C ）(-l ±5)／2 （ D ） 1／2 8、某大学统计系06级3班共有60名同学。

至少有2名同学生日相同的概率为（ D ） （一年按365天计算）（A ） 6060!365（B ） 6036560365P （ C ）!36560365P （ D ） 60365601365P -9、 红星游乐园入口处的每辆汽车的载客人数服从2λ=的泊松分布，今任意观察一辆到达公园门口的汽车，车中无乘客的概率为（A ）（A ） 2e- （B ） 2 （C ） 2e （ D ）!22-e10、某食品超市的牛奶销售量服从正态分布，每天平均销售200公斤，标准差为20公斤。

《概率论与数理统计（二）》复习题一、单项选择题 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1. 设连续随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它，；,02x 0,2x)x (f 则P{－1≤X ≤1}＝（ ）A.0B.0.25C.0.5D.12. 某人独立射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多击中一次的概率为（ ）A.0.002B.0.008C.0.08D.0.104 3. 设二维随机向量（X,Y ）的联合分布列为x( ) 则P{X=0}=A.112B.212 C. 412D.5124. 设随机变量X ～B （30，61），则E （X ）＝ （ ） A.61B. 65C. 625 D.55. 设随机变量X 的概率密度为f(x)，则f(x)一定满足 （ ）A.0≤f(x)≤1B.⎰∞-=>Xdt )t (f }x X {PC.⎰+∞∞-=1dx )x (fD.f(+∞)=16. 从0，1，…，9十个数字中随机地有放回地连续抽取四个数字，则“8”至少出现一次的概率为 （ ）A. 0.1 B 0.3439 C 0.4 D 0.65617. 设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是 （ ）A. )()(X D c X D =+B. c X D c X D +=+)()(C. c X D c X D -=-)()(D. )()(X cD cX D = 8. 设ξ是一随机变量2, (0), E D C ξμξσσ==>是任意常数。

则有( )。

A 、222()()E C E C ξξ-=-B 、22()()EC E ξξμ-=- C 、22()()E C E ξξμ-<-D 、22()()E C E ξξμ-≥-9. 设ξ的密度函数为21(), (1)x x ϕπ=+而2ηξ=,则 η的密度函数()y ϕ=( )。

《概率论与数理统计》期中测验试题汇总1 / 14作者：日期：2 / 14《概率论与数理统计》期中考试试题（一）一、选择题（本题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分） 1．某射手向一目标射击两次， A i 表示事件 “第 i 次射击命中目标” ，i=1，2，B 表示事件 “仅 第一次射击命中目标” ，则 B=（ ）A ．A 1A 2B ． A 1A 2C ． A 1A 2D ． A 1 A 2p （0< p<1） ，他向目标连续射击，则第一次未中第二次命中的概率为（件产品是一等品的概率为（5．下列选项正确的是（、填空题（本题共 9 小题，每小题 2 分，共 18 分）7．同时扔 3 枚均匀硬币，则至多有一枚硬币正面向上的概率为 ____________ . 8．将 3 个球放入 5个盒子中，则3 个盒子中各有一球的概率为 = ___________ _ 9．从a 个白球和 b 个黑球中不放回的任取 k 次球，第 k 次取的黑球的概率是10．设随机变量 X ～U （0，5），且Y 2X 1，则 Y 的概率密度 f Y （y ）= ___________1，0 x 1, 0 y 1,11．设二维随机变量 （X ，Y ）的概率密度 f （x,y ）= 0, 其他， 则 P{ X+Y ≤1}= _________________________2．某人每次射击命中目标的概率为A ．p 22 B ．(1-p)2C ． 1-2pD ．p(1-p)3．已知 P(A)=0.4 ，P(B)=0.5，且 A B ， 则 P(A|B)= (A ．0B ．0.4C ． 0.8D ．14．一批产品中有 5%不合格品，而合格品中 等品占60% ，从这批产品中任取一件，则该A ．0.2B ．0.30C ． 0.38D ．0.57A ．互为对立事件一 定是 互不相容的B ．互为独立的事件一定是互不相容的C ．互为独立的随机变量一定是不相关的D ．不相关的随机变量不一定是独立的6．设随机变量 X 与 Y 相互独立， X 服从参数12 为的指数分布， Y ～ B （6， 1 ），则 D （X-Y ）=（ ） A ． 17B ．45 C ．41D ．212．设二维随机变量（X,Y）的协方差矩阵是4 0.5，则相关系数X,Y= _________________________0.5 9X,Y13. 二维随机变量(X，Y) N( 1,3,16,25,0.5) ，则X ;Z X Y .1 e x5 ,x 014. 随机变量X 的概率密度函数为f X(x) 5e ,x 0，0,x 0, 1 y 1 f Y（y） 2 ，（ X ,Y ）相互独立，且Z X Y的概率密度函数为f z（z）0, others15. 设随机变量X , E（X） 3,D（X）13，则应用切比雪夫不等式估计得3P{ |X 3 | 1}三、计算题（本题共5 小题，共70 分）16．（8 分）某物品成箱出售，每箱20 件，假设各箱含0，1和2件次品的概率分别是0.7，0.2 和0.1 ，顾客在购买时，售货员随机取出一箱，顾客开箱任取4 件检查，若无次品，顾客则买下该箱物品，否则退货.试求：（1）顾客买下该箱物品的概率；（2）现顾客买下该箱物品，问该箱物品确实没有次品的概率.17．（20 分）设二维随机变量（X，Y）只能取下列点：（0，0），（-1，1），（-1，1），3 （2，0），且取这些值的概率依次为1，a，1，5 .6 12 12 求（1）a=？并写出（X，Y）的分布律；（2）（X，Y）关于X，Y 的边缘分布律；问X，Y 是否独立; （3）P{X Y 0}; （4） X Y 1的条件分布律；（5）相关系数X ,Y18．（8 分）设测量距离时产生的随机误差X～N（0,10 2）（单位：m），现作三次独4 / 14Y 的概率密度函数为立测量，记Y 为三次测量中误差绝对值大于19.6 的次数，已知Φ(1.96)=0.975.(1)求每次测量中误差绝对值大于19.6 的概率p;(2)问Y 服从何种分布，并写出其分布律；求E(Y).19 ．( 24 分 ) 设二维随机变量(X,Y) 的联合密度函数为ke 2x y, x 0,y 0p(x,y)0, others求: (1) 常数k 的值；(2) 分布函数F(x,y) ；(3) 边缘密度函数p X(x) 及p Y(y) , X 与Y是否独立;(4) 概率P{Y X} ，(5) 求Z X Y的概率密度; (6) 相关系数X,Y20.(10 分)假定暑假市场上对冰淇淋的需求量是随机变量X盒，它服从区间[200，400]上的均匀分布，设每售出一盒冰淇淋可为小店挣得1 元，但假如销售不出而屯积于冰箱，则每盒赔3 元。