全国二卷(函数、导数)

全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)全国卷历年高考函数与导数真题归类分析（含答案）（2015年-2018年共11套）函数与导数小题（共23小题）一、函数奇偶性与周期性1.（2015年1卷13）若函数$f(x)=x\ln(x+a+x^2)$为偶函数，则$a=$解析】由题知$y=\ln(x+a+x^2)$是奇函数，所以$\ln(x+a+x^2)+\ln(-x+a+x^2)=\ln(a+x-x)=\ln a$，解得$a=1$。

考点：函数的奇偶性。

2.（2018年2卷11）已知$$f(x)=\begin{cases}\frac{x+1}{x},x<0\\ax^2,x\geq0\end{cases}$$ 是定义域为$(-\infty,0)\cup[0,+\infty)$的奇函数，满足$f(\frac{1}{2})=1$。

若，$f'(-1)=-2$，则$a=$解：因为$f(x)$是奇函数，所以$f(-\frac{1}{2})=-1$，$f(0)=0$。

又因为$f'(-1)=-2$，所以$f'(-x)|_{x=1}=2$，$f'(0+)=0$，$f'(0-)=0$。

由此可得$$\begin{aligned}a&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{ax^2}{x}\\&=\lim\limits_{x\to0^+}ax\\&=\lim\limits_{x\to 0^-}ax\\&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$$ 故选B。

3.（2016年2卷12）已知函数$f(x)(x\in R)$满足$f(-x)=2-f(x)$，若函数$y=\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)$的图像的交点为$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_m,y_m)$，则$\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)=( )$解析】由$f(x)$的奇偶性可得$f(0)=1$，又因为$f(x)$是偶函数，所以$f'(0)=0$。

全国卷高考数学导数、解析几何解答题专项训练（二）一、解答题1.设函数32()2f x x a x b x a =+++，2()32gx x x =-+，其中x R ∈，a 、b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2,0）处有相同的切线l 。

（I ） 求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；（II ）若方程()()f x g x m x +=有三个互不相同的实根0、x 、x ，其中12x x <，且对任意的[]12,x x x ∈，()()(1)fxg x m x +<-恒成立，求实数m 的取值范围。

2.(本小题满分12分） 已知函数22()ln axf x x e=-，（a e R,∈为自然对数的底数）． （Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；（Ⅱ）当1a =时，过点(0, )P t ()t ∈R 作曲线()y f x =的两条切线，设两切点为111(,())P x f x ，222(,())P x f x 12()≠x x ，求证12x x +为定值，并求出该定值。

3.若函数()x f 满足：在定义域内存在实数0x，使()()()k f x f k x f +=+00(k 为常数)，则称“f （x ）关于k 可线性分解”．（Ⅰ）函数()22x x f x+=是否关于1可线性分解?请说明理由；（Ⅱ）已知函数()1ln +-=ax x x g ()0>a 关于a 可线性分解，求a 的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：()()12e 321-≤⨯⨯⨯⨯n n n Λ()*∈N n ． 4.已知x=1是()2ln bf x x x x =-+的一个极值点（1）求b 的值； （2）求函数()f x 的单调增区间；（3）设x x f x g 3)()(-=，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明理由。

5.已知函数2()x f x e x ax =--，如果函数()f x 恰有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <.（Ⅰ）证明：1ln 2x <；（Ⅱ）求1()f x 的最小值，并指出此时a 的值.6.设函数2()ln 4f x a x x =-，2()(0,0,,)g x bx a b a b R =≠≠∈.（Ⅰ）当32b =时，函数()()()h x f x g x =+在1x =处有极小值，求函数()h x 的单调递增区间；（Ⅱ）若函数()f x 和()g x 有相同的极大值，且函数()()()g x p x f x x =+在区间2[1,]e 上的最大值为8e -，求实数b 的值（其中e 是自然对数的底数） 7.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x +=-∈（Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间； （Ⅲ）若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ,使得0()f x <0()g x 成立,求a 的取值范围.8.已知函数2()(0)f x ax kbx x =+>与函数()ln ,、、g x ax b x a b k =+为常数，它们的导函数分别为()y f x '=与()y g x '=（1）若()g x 图象上一点(2,(2))p g 处的切线方程为：22ln 220x y -+-=，求、a b 的值；（2）对于任意的实数k，且、a b 均不为0，证明：当0ab >时，()y f x '=与()y g x '=的图象有公共点；（3）在（1）的条件下，设112212(,),(,),()A x yB x y x x <是函数()y g x =的图象上两点，21021()y y g x x x -'=-，证明：102x x x <<9.（本小题满分13分）已知函数21()ln (,0).2f x x ax a R a =-∈≠（I ）求函数()f x 的单调区间；（II ）已知点1111(1,),(,)(1):()2A a x y x C y f x ->=设B 是曲线图角上的点，曲线C上是否存在点00(,)M x y 满足：①1012x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ？请说明理由。

2023数学全国二卷21题
2023年全国二卷第21题是一道关于函数和导数的题目，主要考察了利用
导数研究函数的单调性、极值和最值等知识点。

题目如下：
已知函数$f(x) = x^{2} - 2x + a$在区间$[ - 1,3]$上有两个不同的零点。

(1) 求实数$a$的取值范围；
(2) 若$a = 3$，求$f(x)$在区间$\lbrack - 1,3\rbrack$上的最大值和最小值。

(1) 解：由于函数$f(x) = x^{2} - 2x + a$在区间$[ - 1,3]$上有两个不同的
零点，根据判别式的性质，有$\Delta = b^{2} - 4ac = 4 - 4a > 0$，解得$a < 1$。

又因为函数在区间$[ - 1,3]$上，所以$f(-1) \geq 0$，解得$a
\geq -1$。

因此，实数$a$的取值范围为$-1 \leq a < 1$。

(2) 解：当$a = 3$时，函数$f(x) = x^{2} - 2x + 3$，求导得$f^{\prime}(x) = 2x - 2$。

令$f^{\prime}(x) = 0$，解得$x = 1$。

因此，函数在区间
$\lbrack - 1,1\rbrack$上单调递减，在区间$\lbrack 1,3\rbrack$上单调递
增。

所以，当$x = 1$时，函数取得极小值，即最小值为$f(1) = 2$；当$x = -1$时，函数取得极大值，即最大值为$f(-1) = 6$。

2023新高考二卷数学导数【引言】导数是数学中非常重要的概念，它在许多应用领域都起着重要作用。

对于要参加2023年新高考的学生来说，熟练掌握导数的相关知识是非常关键的。

本文将围绕导数展开论述，从导数的定义、求导法则以及导数的应用三个方面进行详细介绍，帮助学生深入理解导数的概念和运用。

【正文】一、导数的定义导数是描述函数在切点的瞬时变化率的概念。

数学上，给定函数f(x)，若存在常数k，当x无限趋近于某个实数a时，f(x)与f(a)+k(x-a)之差与x-a的差的比值趋近于0，则称函数f(x)在点a处可导，常数k称为函数f(x)在点a处的导数，记作f'(a)或dy/dx|_(x=a)。

导数的计算方法包括极限法、定义法和利用求导法则等。

二、求导法则1. 常数倍法则：(cf(x))' = cf'(x)，其中c为常数；2. 和差法则：(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)；3. 乘法法则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)；4. 商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2；5. 反函数求导法则：若y=f(x)在点x对应的y=f^(-1)(y)上可导，且f'(x)≠0，则(f^(-1)(y))' = 1/[f'(x)]。

三、导数的应用导数在许多应用中起着重要作用，其中常见的应用包括极值问题、函数图像的描绘以及曲线的切线方程的求解等。

1. 极值问题：导数可以帮助我们找到一个函数的极大值和极小值点。

当导数在某点为0时，可能是函数的极值点，而导数的正负性可以帮助我们进一步确定是极大值点还是极小值点。

2. 函数图像的描绘：通过研究函数的导数，可以得到函数的增减性、凹凸性以及拐点等信息，从而帮助我们更加准确地描绘函数的图像。

2020新课标二卷数学摘要：一、引言1.介绍2020新课标二卷数学考试的基本情况2.强调数学在高考中的重要性二、考试内容分析1.选择题部分a.集合与基本初等函数b.函数与导数c.三角函数d.解析几何e.立体几何f.统计与概率2.填空题部分a.复数与向量b.数列c.不等式d.函数应用3.解答题部分a.函数与导数b.三角函数c.解析几何d.立体几何e.统计与概率f.综合题三、考试难度与特点1.题目设置与往年相比的变化2.考查知识点的深度与广度3.对学生能力的要求四、备考策略与建议1.基础知识的学习与巩固2.解题技巧与方法的掌握3.提高数学思维能力4.模拟考试与总结经验正文：2020新课标二卷数学考试相较于往年，更加注重对基础知识的理解与运用，同时考查学生的数学思维能力。

作为一名中文知识类写作助理，我将针对此次考试的内容、难度及特点，给出一些备考策略与建议。

一、引言数学作为高考的重要科目之一，对于学生的整体成绩具有举足轻重的作用。

2020新课标二卷数学考试在遵循往年考试大纲的基础上，注重考查学生的实际应用能力和数学素养。

二、考试内容分析本次考试分为选择题、填空题和解答题三部分，涵盖了集合与基本初等函数、函数与导数、三角函数、解析几何、立体几何、统计与概率等多个知识点。

其中，选择题部分涵盖了各个知识点的基本概念和性质；填空题部分主要考查学生对知识点的深入理解和运用；解答题部分则侧重于考查学生的综合运用能力和解决问题的能力。

三、考试难度与特点2020新课标二卷数学考试在题目设置上，更加注重考查学生对知识点的理解与应用，而非纯粹的记忆。

在考查知识点的深度与广度上，既注重基础知识的巩固，又考查了学生的数学思维能力。

此外，题目难度适中，有利于选拔出具有较好数学素养的学生。

四、备考策略与建议针对此次考试，建议学生们首先要扎实掌握基础知识，加强对基本概念、性质和定理的理解。

其次，要熟练掌握解题技巧和方法，提高解题速度和准确率。

函数导数、三角函数、不等式（二）：高考数学一轮复习基础必刷题姓名：___________��班级：___________��学号：___________一、单选题1．函数41y x =-的定义域为（）A ．[)0,1B ．()1,+∞C ．()()0,11,+∞ D ．[)()0,11,+∞ 2．设a >0，b >0，化简2115113366221()()()3a ab a ⋅-÷的结果是（）A ．2313a -B ．233a -C ．13a-D ．-3a 3．已知不等式240x ax ++ 的解集为,R 则a 的取值范围是（）A ．[]4,4-B ．()4,4-C ．][(),44,∞∞--⋃+D ．()(),44,-∞-+∞ 4．曲线31y x =+在点(1,)a -处的切线方程为（）A ．33y x =+B ．31y x =+C ．31y x =--D ．33y x =--5．下列命题中正确的是（）A ．若0ab >，a b >，则11a b<B ．若a b <，则22ac bc <C ．若a b >，c d >，则a c b d ->-D ．若a b >，c d <，则a b c d>6．下列判断正确的是（）A ．命题“对顶角相等”的逆命题是真命题B ．命题“若1x <，则21x >”的否命题是“21x <，则1x <”C ．“1a =”是“函数()22cos sin f x ax ax =-的最小正周期是π”的必要不充分条件D ．“0b =”是“函数()2f x ax bx c =++是偶函数”的充要条件7．已知集合{lg(2)}A xy x ==-∣，{}2120B x x x =--<∣，则A B = （）A ．()2,4B ．()3,4-C ．()2,3D ．()4,3-8．已知函数21()23ln 2f x x x x =+-，则()f x 的单调递减区间是（）A ．(3,1)-B ．(0,1)C ．(,3)(1,)-∞-+∞ D ．(1,)+∞9．已知函数f （x ）＝sin （ωx +2φ）﹣2sinφcos （ωx +φ）（ω＞0，φ∈R ）的图象的相邻两条对称轴相距2π个单位，则ω＝（）A ．1B ．12C ．13D ．210．公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割数12，其近似值为0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为2sin18a =，若24a b +=，则21cos 72a b=-（）A ．12B ．2CD ．411．已知不等式5132-≤-x x 的解集为A ，关于x 的不等式2220-+>ax x 的解集为B ，且⊆ A B B ，则实数a 的取值范围为（）A ．(0,)+∞B ．1,16⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭12．设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．0,2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题13．若1tan 3α=-，则3sin 2cos 2sin cos αααα+=-_______.14．已知关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，则b 的值为______．15．已知tan 312πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则tan 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.16．已知偶函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，且(1)0f -=，则()0f x x<的解集__________三、解答题17．已知函数3()395f x x x =-+.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求函数()f x 在[]3,3-上的最大值和最小值.18．已知312sin ,,,cos ,5213πααπββ⎛⎫=∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求（1）cos α与sin β的值；（2）cos()αβ-．19．已知函数()()21ln 12f x a x x a x =+-+.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )≥0对定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围.20．已知函数()ln 2f x x x ax =-+(a 为实数)（1）若2a =，求()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦的最值；（2）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.21．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足cos cos 2cos a B b A c B +=，b .（1）求B ；（2）若2a c -=，求ABC 的面积.22．设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.参考答案：1．D 【解析】【分析】由题意列不等式组求解【详解】由题意得2010x x ≥⎧⎨-≠⎩，解得0x ≥且1x ≠，故选：D 2．D 【解析】【分析】由分数指数幂的运算性质可得结果.【详解】因为0a >，0b >，所以2115211115113366326326221()()()333a b a b b a ba +-+-⋅-÷=-⋅=-.故选：D.3．A 【解析】【分析】利用判别式小于等于零列不等式求解即可.【详解】因为不等式240x ax ++ 的解集为,R 所以2Δ4140a =-⨯⨯ ，解得44a -，所以a 的取值范围是[]4,4-，故选：A.4．A 【解析】【分析】求出导函数，进而利用导数的几何意义得到切线的斜率，再求出a 的值，利用点斜式求出切线方程.【详解】()23f x x '=，所以()13f '-=，又当1x =-时，31110a x =+=-+=，所以31y x =+在点(1,)a -处的切线方程为：()31y x =+，即33y x =+故选：A 5．A 【解析】【分析】利用不等式的基本性质可判断A 选项，利用特殊值法可判断BCD 选项.【详解】因为0ab >，a b >，所以a b ab ab >，即11a b<，所以A 正确；若a b <，0c =，则22ac bc =，所以B 错误；取2a c ==，1b d ==，则a c b d -=-，所以C 错误；取2a =，1b =，2c =-，1d =-，则a bc d=，所以D 错误.故选：A.6．D 【解析】【分析】逐项进行判断，根据逆命题、否命题、充分条件、必要条件的定义进行判断即可.【详解】对A ，命题“对顶角相等”的逆命题为：“相等的两个角为对顶角”，假命题，故错；对B ，命题“若1x >，则21x >”的否命题是“1x ≤，则21x ≤”，故错；对C ，()22cos sin sin 2f x ax ax ax =-=，最小正周期为π，所以212a aππ=⇒=±所以“1a =”是“函数()22cos sin f x ax ax =-的最小正周期是π”的充分不必要条件，故错；对D ，函数()2f x ax bx c =++是偶函数，则函数不含有奇次项，所以0b =故“0b =”是“函数()2f x ax bx c =++是偶函数”的充要条件.7．A 【解析】【分析】求出集合,A B 可得A B .【详解】(2,)A =+∞，(3,4)B =-，故(2,4)A B ⋂=，故选：A.8．B 【解析】【分析】利用导数研究()f x 的单调递减区间.【详解】由题设，2323()2x x f x x x x+-'=-+=，又定义域为(0,)+∞，令()0f x '<，则223(3)(1)0x x x x +-=+-<，解得31x -<<，故01x <<，∴()f x 在(0,1)上递减.故选：B.9．D 【解析】【分析】分析角度的关系将sin(2)x ωϕ+展开,再合一变形求得()f x 的解析式,再根据图象的相邻两条对称轴相距2π个单位求得周期再求ω即可.【详解】()sin(2)2sin cos()sin()cos cos()sin 2sin cos ()f x x x x x x ωϕϕωϕωϕϕωϕϕϕωϕ=+-+=+++-+()sin()cos sin cos()sin sin x x x x ωϕϕϕωϕωϕϕω=+-+=+-=⎡⎤⎣⎦.即()f x =sin xω又图象的相邻两条对称轴相距2π个单位,故()f x 的周期为π.故22ππωω=⇒=.故选：D本题主要考查了三角函数的和差角公式以及周期的求法,属于基础题型.10．B 【解析】【分析】根据同角三角函数平方关系可求得24cos 18b = ，利用二倍角公式化简所求式子即可得到结果.【详解】2sin18a = ，()2222444sin 1841sin 184cos 18b a ∴=-=-=-=，22222216sin 18cos 184sin 3621cos 72112sin 362sin 36a b ===--∴+.故选：B.11．B 【解析】【分析】解出不等式5132-≤-x x 可得集合A ，由⊆ A B B 可得A B ⊆，然后可得2220-+>ax x 在(3,7]x ∈上恒成立，然后分离参数求解即可.【详解】由5132-≤-x x 得51032x x --≤-，()7023x x -≤-，解得37x <≤，因为⊆ A B B ，所以A B⊆所以可得2220-+>ax x 在(3,7]x ∈上恒成立，即222->x a x 在(3,7]x ∈上恒成立，故只需2max 22-⎛⎫> ⎪⎝⎭x a x ，222211111111,,2241673-⎛⎫⎡⎫=-+=--+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭x x x x x x ，当114x =时，2max 21216-⎛⎫= ⎪⎝⎭x x ，故116a >．故选：B 12．C 【解析】【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即02e <≤；当32b b c->-，即22b c <时，42222max b PB a b c =++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．【点睛】本题解题关键是如何求出PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．13．35-【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系，分子、分母同除以cos α即可求解.【详解】将原式分子、分母同除以cos α3sin 2cos 3tan 212322sin cos 2tan 1513αααααα++-+===-----故答案为：35-【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、齐次式，属于基础题.14．2【解析】【分析】由题意可得1和b 是方程2320ax x -+=的两个根，由根与系数的关系可得321,1b b a a+=⨯=，从而可求出b 的值【详解】因为关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，所以1和b 是方程2320ax x -+=的两个根，所以321,1b b a a+=⨯=，解得1,2a b ==，故答案为：215．12-【解析】【分析】tan tan 6124πππαα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后算出即可.【详解】tan tan1124tan tan 612421tan tan 124ππαπππααππα⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=-+==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭.故答案为：12-【点睛】本题考查正切函数的和差公式，找出已知角与所求角的关系是解题的关键.16．(1,0)(1,)-È+¥【解析】【分析】分0x >和0x <两种情况讨论x 的范围，根据函数的单调性可得到答案.【详解】因为()f x 是偶函数，且(1)0f -=，所以(1)(1)0f f =-=，又()f x 在(0,)+∞上是减函数，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数，①当0x >时，由()0f x x<得()0f x <，又由于()f x 在(0,)+∞上为减函数，且(1)0f =，所以()(1)f x f <，得1x >；②当0x <时，由()0f x x<得()>0f x ，又(1)0f -=，()f x 在(,0)-∞上是增函数，所以()>(1)f x f -，所以10x -<<.综上，原不等式的解集为：(1,0)(1,)-È+¥.故答案为：(1,0)(1,)-È+¥.【点睛】方法点睛：本题主要考查函数相关性质，利用函数性质解不等式，运用函数的奇偶性与单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段.奇函数在对称区间上的单调性相同，且()() f x f x -=-.偶函数在对称区间上的单调性相反，且()()() f x f x f x =-=..17．（1）()1,1-；（2）最大值为59，最小值为49-【解析】（1）求出()f x '，令()0f x '<，得到函数()f x 的单调递减区间；（2）求出函数在[]3,3-的单调性，根据极值和端点值，求得最值.【详解】（1）()2999(1)(1)f x x x x =-+-'=，x ∈R令()0f x '<，得11x -<<，所以()f x 的减区间为()1,1-.（2）由（1），令()0f x '>，得1x <-或1x >知：[]3,1x ∈--，()f x 为增函数，[]1,1x ∈-，()f x 为减函数，[]1,3x ∈，()f x 为增函数.()349f -=-，()111f -=，()11f =-，()539f =.所以()f x 在区间[]3,3-上的最大值为59，最小值为49-.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题.18．（1）4cos =5α-，5sin 13β=-；（2）3365【解析】【分析】（1）根据平方关系计算即可得出cos α，sin β；（2）由（1）的结果，结合两角差的余弦公式求解即可.【详解】（1）由3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得4cos 5α=-.又由12cos 13b =-，β是第三象限角，得5sin 13β===-.（2）由（1）得4123533cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.19．(1)答案见解析(2)12a ≤-【解析】【分析】（1）求导数，然后对a 进行分类讨论，利用导数的正负，可得函数()f x 的单调区间；（2）利用（1）中函数的单调性，求得函数在1x =处取得最小值，即可求实数的取值范围.(1)解：求导可得()(1)()(0)>'--=x a x f x x x①0a ≤时，令()0f x '<可得1x <，由于0x >知01x <<；令()0f x '>，得1x >∴函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；②01a <<时，令()0f x '<可得1<<a x ；令()0f x '>，得1x >或x a <，由于0x >知0x a <<或1x >；∴函数()f x 在(,1)a 上单调递减，在(0,),(1,)+∞a 上单调递增；③1a =时，()0f x '≥，函数()y f x =在(0,)+∞上单调递增；④1a >时，令()0f x '<可得1x a <<；令()0f x '>，得x a >或1x <，由于0x >知01x <<或x a>∴函数()f x 在(1,)a 上单调递减，在(0,1),(,)+∞a 上单调递增；(2)由（1）0a ≥时，1(1)02f a =--<，（不符合，舍去）当0a <时，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故函数在1x =处取得最小值，所以函数()0f x ≥对定义域内的任意x 恒成立时，只需要(1)0f ≥即可∴12a ≤-.综上，12a ≤-.20．（1）最小值为 2e -，最大值为2；（2）(],1ln 2-∞+.【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得到函数的最小值，再求出区间端点的函数值，即可求出函数在区间上的最大值；（2）首先求出函数的定义域，参变分离，即可得到2ln x a x +≥恒成立，令()2 ln =+g x x x ，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解；【详解】（1）当2a =时，() ln 22=-+f x x x x ，()ln 1f x x '=-由()0f x '<得0 x e <<，由()0f x '>得x e >，所以()f x 在()0,e 上单调递减，在()e +∞，上单调递增，且() ln 2 2 2=-+=-f e e e e e ，() 1 1ln12 2 0f =-+=，()2222 ln 2 2 2-+==f e e e e 则函数()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上的最小值为 2e -，最大值为2.（2）由题得函数的定义域为()0,∞+，若()0f x ≥恒成立，则ln 20x x ax -+≥，即2ln x a x+≥恒成立，令()2 ln =+g x x x ，则()22122 x g x x x x -'=-=，当02x <<时，()0g x '<；当2x >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，则()min 21ln 2()==+g x g ，所以1ln 2a ≤+，故a 的取值范围为(],1ln 2-∞+.21．（1）3π；（2【解析】（1）利用正弦定理的边角互化以及两角和的正弦公式可得sin()2sin cos A B C B +=，再利用三角形的内角和性质以及诱导公式即可求解.（2）根据余弦定理求出3ac =，再由三角形的面积公式即可求解.【详解】解：（1）由正弦定理知sin cos sin cos 2sin cos A B B A C B +=，sin()2sin cos A B C B +=，因为,(0,)A B C C ππ+=-∈，所以sin 2sin cos C C B =，由sin 0C ≠，故1cos 2B =.因为(0,)B π∈，所以3B π=.（2）由余弦定理及2a c -=知2222cos b a c ac B =+-.227a c ac ∴+-=，2()7a c ac ∴-+=，47ac ∴+=，3ac ∴=.11sin 32224ABC S ac B ∴==⨯⨯= .22．（1）()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭；（2）1a e >.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据()10f >及（1）的单调性性可得()min 0f x >，从而可求a 的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+，又()23(1)()ax ax f x x+-'=，因为0,0a x >>，故230ax +>，当10x a<<时，()0f x '<；当1x a >时，()0f x '>；所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭.（2）因为()2110f a a =++>且()y f x =的图与x 轴没有公共点，所以()y f x =的图象在x 轴的上方，由（1）中函数的单调性可得()min 1133ln 33ln f x f a a a ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭，故33ln 0a +>即1a e>.【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.。

数学高三全国二卷知识点一、函数和极限1. 函数的定义和性质函数的定义、函数的值域、函数的奇偶性、函数的周期性等。

2. 极限的概念和性质函数极限的定义、极限的存在性、极限的唯一性、极限的四则运算等。

3. 无穷小和无穷大无穷小的定义、无穷大的定义、无穷小的性质、无穷大的性质等。

4. 函数的连续性函数连续性的定义、间断点、闭区间上连续函数的性质等。

二、导数和微分1. 导数的定义和性质导数的定义、导数的几何意义、导数的物理意义、导数的四则运算等。

2. 基本求导法则幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数等的导数。

3. 高阶导数和导数应用高阶导数的定义、高阶导数的求法、泰勒公式与函数逼近等。

4. 微分的概念和微分中值定理微分的定义、微分的性质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。

三、不定积分和定积分1. 不定积分的概念和基本不定积分法不定积分的定义、基本初等函数的不定积分、换元积分法、分部积分法等。

2. 定积分的概念和性质定积分的定义、定积分的几何意义、定积分的可加性、定积分的换元积分法等。

3. 定积分的计算与应用定积分的基本计算法、变上限积分、变下限积分、定积分的物理意义等。

四、平面解析几何1. 点、直线和圆的方程点的坐标表示、直线的方程（斜截式、截距式、点斜式）和圆的方程。

2. 直线和圆的性质直线与直线的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等。

3. 向量和向量运算向量的定义、向量的线性运算、数量积和向量积的计算等。

4. 空间解析几何点、直线和平面的方程及其性质、空间中两球面的位置关系等。

五、数列和数学归纳法1. 数列的概念和数列的极限数列的定义、数列的极限的定义、数列极限的性质、数列的保号性等。

2. 数列的常用性质和极限计算数列的有界性、单调性、极限计算的夹逼原理、等比数列、等差数列的性质等。

3. 数学归纳法和证明方法数学归纳法的基本思想和步骤、证明方法的分类和运用等。

2013年全国各省（市）高考真题数学（理）分类汇编与解析（二）函数与导数1、（2013安徽卷20题）（本小题满分13分）设函数22222()1(,)23nnnx x xf x x x R n Nn=-+++++∈∈，证明：（Ⅰ）对每个nn N∈，存在唯一的2[,1]3nx∈，满足()0n nf x=；（Ⅱ）对任意np N∈，由（Ⅰ）中nx构成的数列{}n x满足1n n px xn+<-<。

2、（2013北京卷18题）(本小题共13分)设l为曲线C：ln xyx=在点(1，0)处的切线，(I)求l的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方3、（2013福建卷17题）（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈，（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的极值．本小题主要考查函数．函数的导数．不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．分类与整合思想，数形结合思想．化归与转化思想．4、（2013广东卷21题）（本小题满分14分）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R )，(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M.5、（2013广西卷22题）（本小题满分12分）已知函数()()()1=ln 1.1x x f x x xλ++-+（I ）若()0,0,x f x λ≥≤时求的最小值;（II ）设数列{}211111,ln 2.234n n n n a a a a n n =+++⋅⋅⋅+-+>的通项证明：6、（2013全国新课标二卷21题）（本小题满分12分）已知函数f(x)=e x -ln(x+m)，(Ι)设x=0是f(x)的极值点，求m ,并讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）当m ≤2时，证明f(x)>0。

2020高考全国二卷理科数学试题分析解析解读2020年高考数学试题，聚焦学科主干的内容，突显了关键能力和数学素养的考查，重视数学应用价值，关注创新意识培养，考察数学建模。

试题体现考主干知识、考基本能力、考核心素养，重视思维、关注应用、鼓励创新的指导思想，很好的体现了高考评价体系“一核、四层、四翼”的内涵和要求。

●试卷总体结构变化很大，比较2018年、2019年的试题，2020年理科试题难度也明显加大，题目文字阅读量增多。

主观题在各部分的内容布局和考查难度上进行较大的改变，由去年的解析几何压轴回归到之前的导数压轴题的惯例，而解析几何解答题位置提前到19题，难度下降，首次放弃了直线和曲线位置关系的考察。

今年试题突显了数学学科素养的导向，注重基本能力的考查，全面覆盖了基础知识，增强了综合性及应用性，以社会生活中真实情境作为问题的载体，贴近实际，联系社会生活，在数学教育和评价中真正的落实了“立德树人”的根本任务。

2017—2020年理科试题对比表：客观题??主观题??2020年高考数学Ⅱ卷试题具有以下特点：聚焦主干知识，突出核心素养2020年数学高考试卷注重对高中基础内容的全面考查。

集合、三角、概率、数列、解析几何、立体几何、函数、平面向量、排列组合、复数等内容在选择题和填空题中得到了有效的考查。

2019年算法和线性规划没有考查，2020年也没有考查，这与新课标的导向一致。

新课标中删掉了三视图，弱化了排列组合，而且在2018年、2019年两年没考之后，今年又回到高考试题中，虽然难度不大，但是给我们一个信号，所有知识都在考察范围内。

填空压轴题为复合命题真值判断和立体几何结合问题，这也是首次把简易逻辑放到压轴题位置。

在此基础上，试卷强调对主干内容的重点考查，体现了全面性、基础性和综合性的考查要求。

理科Ⅱ卷客观题中除了3、4、12文字阅读量偏大外，其余试题比较常规，比较柔和。

在解答题中重点考查了解三角形、概率统计、圆锥曲线、立体几何、函数与导数等主干内容。

2019年高考数学全国二卷2019年高考数学全国二卷的题目较为基础，主要考察学生对基本知识点的掌握和运用能力。

以下是对题目的解析和相应的参考内容。

1. 设集合$A=\{x|x^2+\frac{1}{x^2}=3\}$，则$0\notin A$。

求$A$的元素个数。

解析：根据题目给出的条件，我们可以列出方程$x^2+\frac{1}{x^2}=3$。

将分母移到等号左边并通分，得到$x^4-3x^2+1=0$，进一步整理得$(x^2-1)(x^2-1)=0$，得到$x=1$或$x=-1$。

因此，集合$A$的元素只有$x=1$和$x=-1$，即$A=\{1,-1\}$，元素个数为2。

2. 已知函数$f(x)=\frac{\lg(1-2x)}{\lg(1-3x)},x\in(0,\frac{1}{3})$，求$f(x)>0$的解集。

解析：首先我们应该注意到要使分式$\frac{\lg(1-2x)}{\lg(1-3x)}$大于0，要求分子和分母同时大于0或同时小于0。

由于对数函数的定义域为正数集合，所以要使$\lg(1-2x)>0$和$\lg(1-3x)>0$均成立。

首先，由于对数函数的性质，$\lg(1-2x)>0$等价于$1-2x>1$，得到$x<\frac{1}{2}$。

再由于$\lg(1-3x)>0$等价于$1-3x>1$，得到$x<\frac{1}{3}$。

综合以上两个不等式，得到$x<\frac{1}{3}$。

综上所述，$f(x)>0$的解集为$x\in(0,\frac{1}{3})$。

3. 已知向量$\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}$，则$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$等于多少？解析：计算点积$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$，根据点积的定义$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos{\ theta}$，其中$\theta$为$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$之间的夹角。

2023高考数学全国卷二卷标题：2023高考数学全国卷二卷一、选择题（共20小题，每小题4分，满分80分）1. 遥测数据传输模型2. 数列求和与数列通项3. 函数和导数4. 空间几何与立体图形5. 概率与统计二、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）1. 平方根性质运用2. 解析几何中的垂直关系3. 三角函数的相关概念4. 函数图像与单调性5. 逻辑推理与近似计算三、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分）1. 二次函数与最值问题2. 抛物线的性质与应用3. 高斯消元法与线性方程组4. 杨辉三角与组合数学5. 三角函数的恒等变形与证明四、证明题（共5小题，每小题20分，满分100分）1. 平面向量的基本运算与证明2. 函数的极限与连续性证明3. 三角函数的周期性证明4. 数列极限的性质与证明5. 空间向量的共线关系与证明五、应用题（共5小题，每小题20分，满分100分）1. 三角函数的频率与波长应用2. 空间几何的相交关系与题目求解3. 统计学的抽样与推断4. 概率的复合事件与问题求解5. 解析几何的平面与立体结构分析六、综合题（共5小题，每小题20分，满分100分）1. 数列与函数综合应用题2. 平面向量与立体图形综合应用题3. 几何与概率的综合应用题4. 统计学与解析几何的综合应用题5. 数学思维的综合应用题总结：这份2023高考数学全国卷二卷包含了选择题、填空题、解答题、证明题、应用题以及综合题六个部分，共计700分。

通过这份试卷，考生可以全面检验和提升数学知识与能力。

其中题目覆盖了数列与函数、解析几何、概率与统计、向量等多个数学学科，旨在培养学生的综合数学思维能力及应用能力。

希望考生通过认真解答这份试卷，展现自己的数学才能，取得优异的成绩。

新高考二卷的数学导数部分是一个重要的考点，主要考察学生对导数概念、导数计算、导数应用等方面的掌握情况。

以下是一些可能出现的题型和解题思路：
1.导数概念题：这类题目主要考察学生对导数定义、导数符号等基本概念的理解。

解
题时，需要仔细阅读题目，理解题意，然后根据导数的定义和性质进行计算。

2.导数计算题：这类题目主要考察学生对导数计算方法的掌握情况，包括求导公式、
链式法则、乘积法则等。

解题时，需要先确定函数的表达式，然后根据导数计算方法进行求导，得出结果。

3.导数应用题：这类题目主要考察学生对导数的应用能力，包括利用导数求函数的单
调性、极值、最值等。

解题时，需要先确定函数的表达式，然后根据导数的性质进行分析，得出结论。

在解题过程中，需要注意以下几点：
1.仔细阅读题目，理解题意，确定需要求解的问题。

2.根据导数的定义和性质进行计算，注意计算过程中的细节问题。

3.结合题目要求进行分析，得出正确的结论。

总之，新高考二卷的数学导数部分是一个重要的考点，需要学生掌握导数的概念、计算和应用方法，同时注意解题过程中的细节问题。

大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（新高考卷与新课标理科卷）专题05导数及其应用解答题1．【2022年全国甲卷理科21】已知函数f(x)=e xx−lnx+x−a．(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；(2)证明：若f(x)有两个零点x1,x2，则环x1x2<1．2．【2022年全国乙卷理科21】已知函数f(x)=ln(1+x)+axe−x(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)若f(x)在区间(−1,0),(0,+∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．3．【2022年新高考1卷22】已知函数f(x)=e x−ax和g(x)=ax−lnx有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．4．【2022年新高考2卷22】已知函数f(x)=x e ax−e x．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x>0时，f(x)<−1，求a的取值范围；(3)设n∈N∗，证明：1√12+1+1√22+2+⋯+1√n2+n>ln(n+1)．5．【2021年全国甲卷理科21】已知a>0且a≠1，函数f(x)=x aa x(x>0)．（1）当a=2时，求f(x)的单调区间；（2）若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围．6．【2021年新高考1卷22】已知函数f(x)=x(1−lnx).（1）讨论f(x)的单调性；（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna−alnb=a−b，证明：2<1a +1b<e.7．【2021年全国乙卷理科20】设函数f(x)=ln(a−x)，已知x=0是函数y=xf(x)的极值点．（1）求a；真题汇总（2）设函数g(x)=x+f(x)xf(x)．证明:g(x)<1．8．【2021年新高考2卷22】已知函数f(x)=(x −1)e x −ax 2+b ． （1）讨论f(x)的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点 ①12<a ≤e 22,b >2a ；②0<a <12,b ≤2a ．9．【2020年全国1卷理科21】已知函数f(x)=e x +ax 2−x . （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围. 10．【2020年全国2卷理科21】已知函数f (x )=sin 2x sin2x . （1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性； （2）证明：|f(x)|≤3√38； （3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤3n4n .11．【2020年全国3卷理科21】设函数f(x)=x 3+bx +c ，曲线y =f(x)在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直．（1）求b ．（2）若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1． 12．【2020年山东卷21】已知函数f(x)=ae x−1−lnx +lna ．（1）当a =e 时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围．13．【2020年海南卷22】已知函数f(x)=ae x−1−lnx +lna ．（1）当a =e 时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围．14．【2019年新课标3理科20】已知函数f （x ）＝2x 3﹣ax 2+b ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）是否存在a ，b ，使得f （x ）在区间[0，1]的最小值为﹣1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．15．【2019年全国新课标2理科20】已知函数f （x ）＝lnx −x+1x−1．（1）讨论f （x ）的单调性，并证明f （x ）有且仅有两个零点；（2）设x 0是f （x ）的一个零点，证明曲线y ＝lnx 在点A （x 0，lnx 0）处的切线也是曲线y ＝e x 的切线． 16．【2019年新课标1理科20】已知函数f （x ）＝sin x ﹣ln （1+x ），f ′（x ）为f （x ）的导数．证明： （1）f ′（x ）在区间（﹣1，π2）存在唯一极大值点；（2）f （x ）有且仅有2个零点．17．【2018年新课标1理科21】已知函数f （x ）=1x −x +alnx ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，证明：f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜a ﹣2．18．【2018年新课标2理科21】已知函数f （x ）＝e x ﹣ax 2． （1）若a ＝1，证明：当x ≥0时，f （x ）≥1； （2）若f （x ）在（0，+∞）只有一个零点，求a ．19．【2018年新课标3理科21】已知函数f （x ）＝（2+x +ax 2）ln （1+x ）﹣2x ． （1）若a ＝0，证明：当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＜0；当x ＞0时，f （x ）＞0； （2）若x ＝0是f （x ）的极大值点，求a ．20．【2017年新课标1理科21】已知函数f （x ）＝ae 2x +（a ﹣2）e x ﹣x ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）有两个零点，求a 的取值范围．21．【2017年新课标2理科21】已知函数f （x ）＝ax 2﹣ax ﹣xlnx ，且f （x ）≥0． （1）求a ；（2）证明：f （x ）存在唯一的极大值点x 0，且e ﹣2＜f （x 0）＜2﹣2．22．【2017年新课标3理科21】已知函数f （x ）＝x ﹣1﹣alnx ． （1）若f （x ）≥0，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，（1+12）（1+122）…（1+12n ）＜m ，求m 的最小值． 23．【2016年新课标1理科21】已知函数f （x ）＝（x ﹣2）e x +a （x ﹣1）2有两个零点． （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设x 1，x 2是f （x ）的两个零点，证明：x 1+x 2＜2．24．【2016年新课标2理科21】（Ⅰ）讨论函数f （x ）=x−2x+2e x 的单调性，并证明当x ＞0时，（x ﹣2）e x +x +2＞0；（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）=e x−ax−ax2（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．25．【2016年新课标3理科21】设函数f（x）＝a cos2x+（a﹣1）（cos x+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．26．【2015年新课标1理科21】已知函数f（x）＝x3+ax+14，g（x）＝﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y＝f（x）的切线；（ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）＝min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．27．【2015年新课标2理科21】设函数f（x）＝e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．28．【2014年新课标1理科21】设函数f（x）＝ae x lnx+be x−1x，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y＝e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．29．【2014年新课标2理科21】已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜√2＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．30．【2013年新课标1理科21】已知函数f（x）＝x2+ax+b，g（x）＝e x（cx+d），若曲线y＝f（x）和曲线y ＝g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y＝4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．31．【2013年新课标2理科21】已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m）（Ⅰ）设x＝0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．1．已知函数f(x)=x22+cosx−1．(1)求函数f(x)的最小值；(2)证明：∑cos1k >n+12n−1nk=1．2．已知函数f(x)=e x(sinx+cosx)−asinx..(1)当a=1时，求函数f（x）在区间[0，2π]上零点的个数；(2)若函数y=f(x)在（0，2π）上有唯一的极小值点，求实数a的取值范围3．已知函数ℎ(x)=x−alnx(a∈R).(1)若ℎ(x)有两个零点，a的取值范围；(2)若方程x e x−a(lnx+x)=0有两个实根x1、x2，且x1≠x2，证明：e x1+x2>e2x1x2.4．已知函数f(x)=a2x2+(a−1)x−lnx(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>4时，若方程f(x)=ax2−x+a2在(0，1)内存在唯一实根x0，求证：x0∈(14,1e)．5．已知函数f(x)=e1−x+a(x2−1)，a∈R．(1)若a=12，求f(x)的最小值；(2)若当x>1时，f(x)>1x+lnx恒成立，求a的取值范围．6．已知函数f(x)=2x3+3(1+m)x2+6mx(x∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(1)=5，函数g(x)=a(lnx+1)−f(x)x2≤0在(1,+∞)上恒成立，求整数a的最大值.7．已知函数f(x)=lnx+ax,a∈R.(1)当a=1时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)设函数g(x)=f(x)−1x，若g(x)在[1,e2]上存在极值，求a的取值范围.8．设函数f(x)=a e x−x−1，a∈R．(1)当a=1时，求f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)当x∈R时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；模拟好题(3)求证：当x∈(0,+∞)时，e x−1x>e x2．9．已知f(x)=34x2−x22lnx−a(x−1).(1)若f(x)恒有两个极值点x1，x2（x1<x2），求实数a的取值范围；(2)在（1）的条件下，证明f(x1)+f(x2)>32.10．已知函数f(x)=xsinx+cosx+12ax2,x∈[0,π].(1)当a=0时，求f(x)的单调区间；(2)当a>0时，讨论f(x)的零点个数.11．已知函数f(x)=xe x−1+(1−a)lnx，g(x)=lnx+ax．(1)当a=1时，求y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)当a=2时，对于在(0,1)中的任意一个常数b，是否存在正数x0，使得e g(x0+1)−3x0−2+b2x02<1，请说明理由；(3)设ℎ(x)=f(x)−g(x)，x1是ℎ(x)的极小值点，且ℎ(x1)≥0，证明：ℎ(x1)≥2(x12−x13)．12．已知函数f(x)=ax−2e x+3(a∈R)，g(x)=lnx+x e x（e为自然对数的底数，e<259）．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若a=−1，ℎ(x)=f(x)+g(x)，当x∈[12,1]时，ℎ(x)∈(m,n),(m,n∈Z)，求n−m的最小值．13．已知函数f(x)=a e xx+lnx−x(a∈R)．(1)若f(x)在(1,+∞)上单调递增，求a的取值范围；(2)当a>1时，设F(x)=f(x)−(2lnx−x+1x )，求证：F(x)>ln(ax)x−lnx+e−1．14．设函数f(x)=m e x−1,g(x)=lnx+n，m、n为实数，若F(x)=g(x)x 有最大值为1e2(1)求n的值；(2)若f(x)e2>xg(x)，求实数m的最小整数值.15．已知f(x)=34x2−x22lnx−a(x−1),a>0.(1)若f(x)在区间(1,+∞)上有且仅有一个极值点m，求实数a的取值范围；(2)在（1）的条件下，证明34<f(m)<e24.16．已知函数f(x)=ln(x−1)−mx(m∈R),g(x)=2x+n−2．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当−1≤m≤e−2时，若不等式f(x)≤g(x)恒成立，求n−3的最小值．m+217．已知函数f(x)=e x2lnx(x>0)．(1)求f(x)的极值点．(2)若有且仅有两个不相等的实数x1,x2(0<x1<x2)满足f(x1)=f(x2)=e k．（i）求k的取值范围（ⅱ）证明x2e2−2e≤e−e21．x118．已知函数f(x)=xlnx−a(x2−1),a∈R(1)当a=0时，求f(x)的单调区间；(2)若过原点作曲线y=f(x)的切线有两条，求a的取值范围，并证明这两条切线的斜率互为相反数．19．已知函数f(x)=e−x+sinx−ax，g(x)为f(x)的导函数．]内存在唯一的极值点x0，√2<2cosx0<√3；(1)证明：当a=0时，函数g(x)在区[0,π2(2)若f(x)在(0,π)上单调递减，求整数a的最小值．(x>0).20．已知函数f(x)=1+ln(x+1)x(1)试判断函数f(x)在(0，+∞)上单调性并证明你的结论；(2)若f(x)>k对于∀x∈(0,+∞)恒成立，求正整数k的最大值；x+1(3)求证：(1+1×2)(1+2×3)(1+3×4)⋯[1+n(n+1)]>e2n−3．。

2016-2019全国二卷导数大题专题1、(本小题满分12分)（2016）(1)讨论函数f(x)=x–2x+2e x的单调性，并证明当x>0时，(x–2)e x +x+2>0；(2)证明：当a∈[0,1)时，函数g(x)=e x –ax–ax 2(x>0)有最小值。

设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域．解析：(1)证明：f(x)=x–2x+2e x ，∴f'(x)=e x(x–2x+2+4(x+2)2)=x 2e x(x+2)2。

∴当x∴(–∞,–2)∴(–2,+∞)时，f'(x)>0，∴f(x)在(–∞,–2)和(–2,+∞)上单调递增。

∴x>0时，x–2x+2e x>f(0)=–1，∴(x–2)e x +x+2>0。

(2)g'(x)=(e x –a)x 2–2x(e x –ax–a)x 4=x(xe x –2e x +ax+2a)x 4=(x+2)(x–2x+2·e x+a)x 3，a∴[0,1)。

由(1)知，当x>0时，f(x)=x–2x+2e x的值域为(–1,+∞)，只有一解．使得t–2t+2·e t=–a ，t∴(0,2]。

当x∴(0,t)时g'(x)<0，g(x)单调减；当x∴(t,+∞)时g'(x)>0，g(x)单调增 h(a)=e t –a(t+1)t 2=e t+(t+1)t–2t+2·ett 2=e tt+2。

记k(t)=e t t+2，在t∴(0,2]时，k'(t)=e t (t+1)(t+2)2>0，∴k(t)单调递增，∴h(a)=k(t)∴(12,e 24]．2.（12分）（2017）已知函数3()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ；()f x 存在唯一的极大值点0x ，且230()2e f x --<<. （2）证明：解：⑴ 因为()()ln 0f x x ax a x =--≥，0x >，所以ln 0ax a x --≥．令()ln g x ax a x =--，则()10g =，()11ax g x a xx-'=-=， 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0g x <； 当0a >时，令()0g x '=，得1x a=．当10x a <<时，()0g x '<，()g x 单调减；当1x a>时，()0g x '>，()g x 单调增．若01a <<，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调减，()110g g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭；若1a >，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调增，()110g g a⎛⎫<= ⎪⎝⎭； 若1a =，则()()min 110g x g g a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()0g x ≥． 综上，1a =．⑵ ()2ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--，0x >． 令()22ln h x x x =--，则()1212x h x x x-'=-=，0x >． 令()0h x '=得12x =，当102x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；当12x >时，()0h x '>，()h x 单调递增．所以，()min 112ln 202h x h ⎛⎫==-+< ⎪⎝⎭．因为()22e 2e 0h --=>，()22ln 20h =->，21e 02-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，122⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，， 所以在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上，()h x 即()f x '各有一个零点． 设()f x '在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上的零点分别为02x x ，，因为()f x '在102⎛⎫⎪⎝⎭，上单调减， 所以当00x x <<时，()0f x '>，()f x 单调增；当012x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减．因此，0x 是()f x 的极大值点．因为，()f x '在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减，2x x >时，()f x 单调增，因此2x 是()f x 的极小值点． 所以，()f x 有唯一的极大值点0x ．由前面的证明可知，201e 2x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则()()24220e e e e f x f ---->=+>．因为()00022ln 0f x x x '=--=，所以00ln 22x x =-，则又()()22000000022f x x x x x x x =---=-，因为0102x <<，所以()014f x <．因此，()201e 4f x -<<．3．（12分）（2018）已知函数．（1）若，证明：当时，； （2）若在只有一个零点，求．解（1）当时，等价于．设函数，则． 当时，，所以在单调递减． 而，故当时，，即． （2）设函数．在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．（i ）当时，，没有零点； （ii ）当时，．2()e x f x ax =-1a =0x ≥()1f x ≥()f x (0,)+∞a 1a =()1f x ≥2(1)e 10x x -+-≤2()(1)e 1x g x x -=+-22()(21)e (1)e x x g'x x x x --=--+=--1x ≠()0g'x <()g x (0,)+∞(0)0g =0x ≥()0g x ≤()1f x ≥2()1e x h x ax -=-()f x (0,)+∞()h x (0,)+∞0a ≤()0h x >()h x 0a >()(2)e x h'x ax x -=-当时，；当时，． 所以在单调递减，在单调递增． 故是在的最小值． ①若，即，在没有零点；②若，即，在只有一个零点；③若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，，所以．故在有一个零点，因此在有两个零点．综上，在只有一个零点时，．4.（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣．（2019）（1）讨论f （x ）的单调性，并证明f （x ）有且仅有两个零点；（2）设x 0是f （x ）的一个零点，证明曲线y ＝lnx 在点A （x 0，lnx 0）处的切线也是曲线y ＝e x 的切线． 解：（1）函数f （x ）＝lnx ﹣．定义域为：（0，1）∪（1，+∞）；f ′（x ）＝+＞0，（x ＞0且x ≠1），∴f （x ）在（0，1）和（1，+∞）上单调递增， ①在（0，1）区间取值有，代入函数，由函数零点的定义得，(0,2)x ∈()0h'x <(2,)x ∈+∞()0h'x >()h x (0,2)(2,)+∞24(2)1e ah =-()h x [0,)+∞(2)0h >2e4a <()h x (0,)+∞(2)0h =2e4a =()h x (0,)+∞(2)0h <2e4a >(0)1h =()h x (0,2)0x >2e x x >33342241616161(4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a=-=->-=->()h x (2,4)a ()h x (0,)+∞()f x (0,)+∞2e4a =∵f（）＜0，f（）＞0，f（）•f（）＜0，∴f（x）在（0，1）有且仅有一个零点，②在（1，+∞）区间，区间取值有e，e2代入函数，由函数零点的定义得，又∵f（e）＜0，f（e2）＞0，f（e）•f（e2）＜0，∴f（x）在（1，+∞）上有且仅有一个零点，故f（x）在定义域内有且仅有两个零点；（2）x0是f（x）的一个零点，则有lnx0＝，曲线y＝lnx，则有y′＝；曲线y＝lnx在点A（x0，lnx0）处的切线方程为：y﹣lnx0＝（x﹣x0）即：y＝x﹣1+lnx0即：y＝x+而曲线y＝e x的切线在点（ln，）处的切线方程为：y﹣＝（x﹣ln ），即：y＝x+，故曲线y＝lnx在点A（x0，lnx0）处的切线也是曲线y＝e x的切线．故得证．。

2020年全国二卷数学第21题在本次数学考试中备受关注，这道题目考查了学生对于导数、极值和函数图像的综合运用。

让我们一起来深入分析这道题目，探讨其中的数学内涵。

让我们来看看这道题目的具体内容。

题目要求求出函数$f(x) = x^3 -3x^2 + 4$在区间[-1, 3]上的极值点及函数图像的大致形状。

这个题目涉及到了函数的极值、导数和函数图像的绘制，是一道典型的综合运用题。

我们可以通过对导数求解来得到函数的极值点，进而构建函数图像。

接下来，让我们继续深入分析这道题目的解题思路。

我们要对函数$f(x)$进行求导，得到$f'(x)$，即函数$f(x)$的导数。

我们需要找出导数$f'(x)$的零点，即求解方程$f'(x) = 0$，从而得到函数$f(x)$的极值点。

通过计算导数的一、二阶导数，我们可以进一步确定极值的类型，是极大值还是极小值。

我们可以根据得到的极值点和函数的导数信息来绘制函数$f(x)$的图像，从而直观地了解函数的特点和形状。

通过对这道题目的深入分析，我们可以发现其中涉及到了对导数、极值和函数图像的全面理解和综合运用。

这种综合性的思维要求，对学生的数学能力和解题能力提出了挑战，但也让他们有机会全面地运用所学的知识，锻炼自己的数学思维和解决问题的能力。

在我的个人观点中，这道题目对于学生的数学能力和思维能力提出了一定的要求，既考查了他们对于导数、极值和函数图像的理解和运用，又培养了他们的综合分析和解决问题的能力。

在今后的数学学习和考试中，我们应该注重对这种综合性思维能力的培养，让学生在解决实际问题中能够综合运用所学的知识，灵活应对各种复杂的情况。

总结回顾一下，通过对2020年全国二卷数学第21题的深入分析，我们发现了其中的数学内涵和解题思路，了解了这道题目对学生综合运用数学知识的要求，以及培养学生解决问题的能力。

在今后的学习中，我们应该注重培养学生的综合思维能力，让他们能够在解决实际问题中游刃有余。

2011-20XX 年新课标全国卷Ⅱ——理科数学试卷剖析数学学科纵观 20XX年数学新课标II卷，与昨年对比，难度有所下调，在每年用来择优的分析和导数压轴题上，今年避开了繁冗的计算量和偏难怪的考向，题型更趋于平凡化和惯例化，考生只需抓住题干重点即可很快上手。

整体出题思路较惯例，没有出现大跨度的跳跃，每道题学生都会很快找到打破口，整体答题感觉会不错。

与早年略有不一样，今年的选填侧重了对图表类题目的把控，需要学生拥有必定的空间想象和理解剖析能力，但整体难度不大。

整体而言，今年整套试卷更为突出了数学课程的改革，更为表现了新课程的特色。

试题严格依据注重通性通法，淡化特别技巧的命题原则，紧扣教课纲领，对推动数学新课程改革起着踊跃作用。

一、近五年新课标二卷高考数学题考点比较题题( 理科 ) 年份型号2011 2012 2013 2014 2015选会合及元素运算 ( 集不等式、会合的交集一元二次不等式、交不等式、会合的交集择 1 复数（除法、共轭）合的观点和会合中运算集及其运算运算题元素个数的求法 )选函数性质（单一摆列组合 ( 计数原理复数的几何意义及择 2 复数的四则运算代数形式的乘除运复数的运算性、奇偶性）中摆列组合 )题算选等比数列的的基本平面向量数目积的统计图表，正、负相择 3 算法（循环）命题与复数公式的应用运算关性题选古典概型（计数原空间中线线、线面、正三角形面积公式、等比数列通项公式择 4 椭圆及其性质面面的地点关系的理）余弦定理和性质题判断选三角函数（定义、等比数列的性质及互相独立事件的概择 5 二项式睁开式定理分段函数二倍角）运算率乘法公式题选程序框图的基础知由三视图求面积、体择 6 三视图程序框图由三视图求体积识积题选双曲线（离心率、三视图、空间几何体择7 三视图的有关知识程序框图圆的方程与直线地点关系）体积题选二项式定理（两个抛物线的准线、直线对数的运算、对数换利用导数研究曲线择8 与双曲线的地点关底公式、对数函数的程序框图乘积、特别项）上某点切线方程题系性质等选三角函数的单一性外接球表面积和椎择9 定积分( 三角函数的图像及简单线性规划简单线性规划体的体积题其性质 )复合函数图象 ( 函数选的图像，定义域、最择10 向量与命题值、单一性，导数在函数与导数的关系抛物线的简单性质函数的图像和性质题求单一性和最值得应用 )选锥体及其外接球的异面直线及其所成双曲线的标准方程择11 三角函数（性质）函数与导数的关系构造特色的角的和简单几何性质题选正弦函数的定义域函数图象（反比率指数函数与对数函直线方程和数形结和值域，利用导数研导数的应用、函数的择12型、三角函数）数合思想究极值，一元二次不图像和性质题等式填平面向量的数目积空13 线性规划平面向量的数目二项式系数的性质向量共线及其运算法例题填椭圆（与直线的位联合组合知识，主要三角函数的最值，和空14 简单的线性规划线性规划置关系）观察古典概型差公式题填正态散布 ( 正态散布三角函数各公式的函数的性质（奇偶空15 球内截圆锥在实质问题中的应二项式定理灵巧运用性、单一性）题用 )填等差数列的前 N 项和公式的应用、导数直线与圆的地点关等差数列和递推关空16 解三角形数列乞降求数列这一特别函系系题数的最值正余弦定理的应用、解等比数列（列项求解斜三角形 ( 正余弦三角形面积公式、两递推数列求通项，数解斜三角形 ( 面积公答17 角和的正弦定理、已列的乞降，等比数列式、正余弦定理应和）定理应用 )题知三角函数值求角、的性质用)均值不等式等解立体几何（空间直线二面角的平面角及立几（锥体、垂直、分段函数、概率及分与平面平行等地点求法，棱柱、棱锥、茎叶图和特色数、互答18二面角）布列关系的证明、二面角棱台的体积，直线与斥事件和独立事件题的求解）平面平行的判断立体几何线线垂直、解二面角 ( 空间直线与统计与概率、频次、立体几何（直线和平统计概率（散布直线、直线与平面、答19 均匀数、频次散布直线性回归方程面平行的性质、直线列）平面与平面的地点题方图等基础知识和平面所成的角）关系；二面角的观点和计算 )抛物线方程及其与直线地点关系 ( 圆的分析几何（椭圆方程解分析几何与函数方程、抛物线的定的求解、直线与椭圆椭圆的应用（圆锥曲分析几何（弦的中点答20 义、直线与抛物线的的地点关系、观察待线中的最值与范围问题、直线和椭圆的（轨迹、导数）题地点关系、点到直线定系数法、设而不求问题）地点关系）距离公式、线线平行思想）等 )解函数与导数 ( 导数在导数与函数（函数的利用导数研究函数答21 函数导数求单一性、最值问题极值、单一性、证明导数的综合应用的单一性题中的应用 ) 不等式等知识）圆（四点共圆、相22似）三选一参数方程、极坐标23方程选修 4—1：几何选圆的切线、割线、圆与圆有关的比率线等腰三角形的性质、讲 ( 线线平行判断、内接四边形、勾股定段，相像三角形的判圆的切线长定理、圆三角形相像的判断理等平面几何知识定的切线的性质等 )选修 4—:4 ：坐标系参数方程化为一般极坐标方程和直角坐标系与参数方程与参数方程 ( 参数方方程，圆的切线方坐标方程的转变、三的基础知识程及参数的意义，极程，圆的参数方程角函数的最大值坐标的基本观点和点在极坐标中地点确实定 )选修 4—5：不等式绝对值不等式，恒选讲 ( 含绝对值不等不等式的证明问题绝对值不等式的解24 不等式的证明问题建立式的解法，分类议论法的数学思想 )二、 20XX 年新课标二卷高考理科数学试卷剖析1.试题整体看，高频考点依旧在试卷中据有较高比率。

2023新高考二卷数学导数大题二级结论一、评估主题2023年新高考数学二卷中的导数大题二级结论，作为数学考试中的重要内容，需要我们深入探讨。

这涉及到对导数概念和应用的全面理解，同时也需要考虑到对于高阶数学思维和解题技巧的培养。

我们需要对这一主题进行充分评估，包括数学知识的深度和广度，以及解题方法和策略的讨论，以便撰写一篇高质量的文章。

二、文章撰写1. 前言在这篇文章中，我们将深入探讨2023年新高考数学二卷中的导数大题二级结论。

通过对该题目的分析和讨论，旨在帮助广大学生更好地掌握导数的相关知识，提升数学解题能力。

2. 导数概念的理解在开始具体讨论导数大题二级结论之前，首先需要对导数的概念进行深入理解。

导数作为函数的变化率，是微积分中的重要概念，涉及到函数的切线斜率、极值点和凹凸性等内容。

了解导数的定义和性质，对于后续解题至关重要。

3. 二级结论的探讨在2023年新高考数学二卷中，导数大题中的二级结论往往涉及到函数的极值、拐点等重要内容。

通过对这些二级结论的探讨，我们可以更好地理解导数在实际问题中的应用，培养对数学问题的分析思维和解决能力。

4. 解题方法和策略针对导数大题二级结论的解题方法和策略，我们可以从具体题目出发，探讨如何运用导数相关知识解决实际问题。

通过列举例题和详细分析解题步骤，帮助读者理解解题思路和技巧，提升解题效率和准确性。

5. 个人观点和理解在全面讨论导数大题二级结论的基础上，我们还可以共享自己对这一主题的个人观点和理解。

可以结合实际教学和学习经验，谈谈如何更好地掌握导数相关知识，以及如何在解题过程中发现和解决问题。

6. 总结与回顾在文章的结尾部分，需要对全文进行总结与回顾，概括文章涉及的导数概念、二级结论探讨和解题方法、个人观点和理解等内容，使读者能够全面、深刻和灵活地理解这一主题。

还可以展望未来学习和教学的方向，为读者留下深入思考和讨论的空间。

三、文章结构和格式根据知识的文章格式，我们可以采用从简到繁、由浅入深的方式来探讨主题，使用序号标注进行分段和段落，并在内容中多次提及“2023新高考二卷数学导数大题二级结论”这一主题文字。