广东省河源市正德中学北师大版九年级数学上册学案1.3正方形的性质与判定(第二课时)

第一章北师大版九年级数学特殊平行四边形1 . 3 正方形的性质与判定（二）【课前自主学习】一、目标导读1、知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算。

2、经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法。

3、理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点。

学习重点：掌握正方形的判定条件。

学习难点：合理恰当地利用正方形的判定定理解决问题。

二、预习检测我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入右图中。

【课堂互动学习】一、旧知补标，查缺补漏（1—5分钟）1.我的错题库：2.温故知新：（1）怎样判定一个四边形是平行四边形？（2）怎样判定一个四边形是矩形？（3）怎样判定一个四边形是菱形？议一议：怎样判定一个四边形是正方形？二、预习反馈，掌握学情（1—5分钟）1.在括号后面打“√”或“×”：（1）自觉阅读课文（），（2）自我完成“预习检测”（）。

2.展示答案，梳理知识（个别提问或集体回答，师生共同完成）。

三、例题变式，方法提炼（10—15分钟）1．探索正方形的判定条件：（1）直接用正方形的定义判，即先判定这个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个四边形是正方形；（2）先判定这个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；（3）先判定这个四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形。

2.方法提炼：后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理。

矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础。

这三个方法还可写成：有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形。

上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断。

1.3.2 正方形的性质与判定学案1. 正方形的定义和性质正方形是一种特殊的四边形，具有以下性质：•所有边相等：正方形的四条边都相等。

•所有角相等：正方形的四个内角都是直角（90度）。

•对角线相等：正方形的两条对角线相等且垂直。

2. 判定正方形的方法在判定一个四边形为正方形时，可以使用以下方法：方法一：四条边相等如果一个四边形的四条边都相等，则可以判定它是一个正方形。

因为正方形的定义要求四边相等，所以四条边相等是正方形的充分条件。

方法二：两对对边平行且相等如果一个四边形的两对对边既平行又相等，则可以判定它是一个正方形。

理由在于，正方形的定义要求四个内角都是直角，而两对平行且相等的对边可以保证四个内角都是直角。

方法三：对角线相等且垂直如果一个四边形的两条对角线相等且垂直，则可以判定它是一个正方形。

这是因为正方形的定义要求对角线相等且垂直。

3. 示例与练习示例一：判断下列四边形是否为正方形：四边形ABCD，AB = BC = CD = AD解：由题意可知四条边相等，根据方法一可以判定它是一个正方形。

示例二：判断下列四边形是否为正方形：四边形PQRS，PQ = QR，PS = SQ，∠RPQ = ∠QSP = ∠SRQ = ∠QPS = 90°解：由题意可知两对对边平行且相等，根据方法二可以判定它是一个正方形。

示例三：判断下列四边形是否为正方形：四边形WXYZ，WZ = XY，WY = XZ，对角线WZ和XY相等且垂直解：由题意可知对角线相等且垂直，根据方法三可以判定它是一个正方形。

练习：根据给定的条件，判断下列四边形是否为正方形：1.四边形ABCD，AB = BC = CD = DA，∠ABC = ∠BCD = ∠CDA =∠DAB = 90°2.四边形EFGH，EF = FG，EH = GH，FG ⊥ EH3.四边形IJKL，IJ = KL，JK = IL，对角线JK和IL相等且垂直4. 思考题思考：如果一个四边形的四个内角都是直角，是否一定是一个正方形？为什么？答：不一定。

1．3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质教学目标1．了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理；(重点)2．会利用正方形的性质进行相关的计算和证明．(难点)教学过程一、情景导入如图(1)所示，把可以活动的矩形框架ABCD的BC边平行移动，使矩形的邻边AD，DC相等，观察这时矩形ABCD的形状．如图(2)所示，把可以活动的菱形框架ABCD的∠A变为直角，观察这时菱形ABCD的形状．图(1)中图形的变化可判断矩形ABCD→特殊的四边形是什么四边形？图(2)中图形变化可判断菱形ABCD→特殊的四边形是什么四边形？经过观察，你发现既是矩形又是菱形的图形是什么四边形？引入正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，即：有一组邻边相等的矩形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形．二、合作探究探究点一：正方形的性质如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD＝OA2＋OD2＝22＋22＝8.∴正方形的周长为4AD＝48＝82，面积为AD2＝(8)2＝8.方法总结：结合勾股定理，充分利用正方形的四边相等、四角相等、对角线相等且互相垂直平分的性质，是解决与正方形有关的题目的关键．探究点二：正方形的性质的应用【类型一】利用正方形的性质求角度四边形是等边三角形，求∠BEC的大小．解析：等边△ADE可以在正方形的内部，也可以在正方形的外部，因此本题分两种情况．解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．【类型二】利用正方形的性质求线段长AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．解析：线段BE是Rt△ABE的一边，但由于AE未知，不能直接用勾股定理求BE，由条件可证△ABE≌△AFE，问题转化为求EF的长，结合已知条件易获解．解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.∴FC＝BE.在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝12＋12＝2(cm)，∴FC＝AC－AF＝2－1(cm)，∴BE＝2－1(cm)．方法总结：正方形被对角线分成4个等腰直角三角形，因此在正方形中解决问题时常用到等腰三角形的性质与直角三角形的性质．【类型三】利用正方形的性质证明线段相等如图，已知过正方形ABCD的对角线BD上一点P，作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，求证：AP＝EF.解析：由PE⊥BC，PF⊥CD知四边形PECF为矩形，故有EF＝PC，这时只需说明AP＝CP，由正方形对角线互相垂直平分可知AP＝CP.证明：连接AC，PC，如图．∵四边形ABCD为正方形，∴BD垂直平分AC，∴AP＝CP.∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，∴AP＝EF.方法总结：(1)在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等；(2)无论是正方形还是矩形，经常连接对角线，这样可以使分散的条件集中．三、板书设计正方形⎩⎪⎨⎪⎧正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形正方形的性质⎩⎨⎧四个角都是直角四条边都相等对角线相等且互相垂直平分教学反思经历正方形有关性质的探索过程，把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容．在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法。

1.3 正方形的性质与判定第1课时【教学目标】了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理.【教学重难点】重点:探索正方形的性质定理.难点:掌握正方形的性质的应用方法，把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容.【教学过程】一、探究导入【显示投影片】显示内容:展示生活中有关正方形的图片，幻灯片(多幅).【活动方略】教师活动:操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题:1.同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形四条边有什么关系？四个角呢？正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？正方形具有哪些性质呢？学生活动:观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片.进行联想.易知：1.正方形四条边都相等（小学已学过）；正方形四个角都是直角（小学学过).实验活动：教师拿出矩形按左图折叠.然后展开，让学生发现:只要矩形一组邻边相等，这样的矩形就是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，运动中让学生发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊菱形也是正方形.教师活动:组织学生联想正方形还具有哪些性质,板书画出一个正方形，如下图:学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质；它又是菱形，所以它又具有菱形的一切性质，归纳如下：正方形定义:有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 正方形性质：（1)边的性质:对边平行，四条边都相等.（2)角的性质：四个角都是直角.（3)对角线的性质:两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角.(4)对称性:是轴对称图形，有四条对称轴.【设计意图】采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题，突破难点.二、探究新知【课堂演练】(投影显示）演练题1：如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于0，MN//AB，且分别与OA、OB相交于M、N.求证：（1)BM=CN；(2)BM⊥CN.分析：本题是证明BM=CN，根据正方形性质，可以证明BM、CN所在ΔBOM 与ΔCON是否全等.（2）在（1)的基础上完成，欲证BM⊥CN.只需证∠5 + ∠CMG= 90°就可以了.【活动方略】教师活动:操作投影仪.组织学生演练，巡视，关注“学困生”；等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流.学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题.证明：（1) ∵四边形ABCD是正方形，∴∠COB=∠BOM= 90°，OC=OB.∵MN//AB，∴∠1=∠2, ∠ABO= ∠3，又∵∠1= ∠ABO= 45°，∴∠2=∠3，∴OM =ON，∴ΔCON≌ΔBOM，∴BM=CN.(2)由（1)知ΔBOM ≌ΔCON,∴∠4= ∠5，∵∠4+∠BMO=90°，∴∠5+∠BMC=90° , ∴∠CGM=90°, ∴BM ⊥CN.演练题2:如图，正方形ABCD 中，点E 在AD 边上，且AE= AD ，F 为AB 的中点，求证: ΔCEF 是直角三角形.分析：本题要证∠EFC= 90°，从已知条件分析可以得到只要利用勾股定理逆定理，就可以解决问题.这 里应用到正方形性质.【活动方略】教师活动:用投影仪显示演练题2,组织学生应用正方形和勾股定理逆定理分析，并请同学上讲台分析思路，板演.学生活动:先独立分析，找到证明思路是利用勾股定理的逆定理解决问题. 证明：设AB = 4a ，在正方形ABCD 中，DC=BC=4a ，AF=FB = 2a ，AE=a ，DE=3a.∵∠B=∠A=∠D=90°，由勾股定理得：EF2 +CF2= (AE2 +AF2) + (CB2 +BF2)= (a2 + 4a2) + (16a2+4a2)=25a2， CE2=CD2+DE2= (4a)2 + (3a)2=25a2，∴EF2 +CF2=CE2.由勾股定理的逆定理可知ΔCEF 是直角三角形.【设计意图】补充两道关于正方形性质应用的演练 题，提高学生的应用能力. 41三、范例点击例：已知：如图，四边形ABCD是正方形，矩形PECF的顶点P在正方形ABCD 的对角线BD上,E在BC上，F 在CD 上，连接AC、AP、PC、EF，若EC= 4，CF=3,求PA的长.分析：本题运用矩形对角线相等的性质可得EF=PC，运用正方形的性质可得AP=PC，进而可得AP=EF.因此，只要求出EF的值即可.解：∵四边形PECF是矩形，∴PC=EF.在RtΔEFC中，EC=4，CF=3, ∴EF='∴PC=5. ∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC且BD平分AC，即BD是AC的垂直平分线. ∵点P在BD 上，∴PA=PC=5.【方法归纳】与矩形对角线有关的计算问题，主要运用矩形的对角线相等和正方形的对角线的性质，借助第三条线段作“媒介”求线段的长.四、巩固练习教材P21随堂练习五、课堂小结本节课应掌握：正方形的概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.正方形的性质正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的对角线相等且互相垂直平分.正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形.六、布置作业教材P22习题1.7第1、2、3题第2课时【教学目标】1.知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算.2.经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法.3.理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点.【教学重难点】重点:掌握正方形的判定条件.难点:合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算.【教学过程】―、创设情境，引入新课我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中.通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形.1.怎样判断一个四边形是平行四边形？2.怎样判断一个四边形是矩形？3.怎样判断一个四边形是菱形？4.怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？议一议:你有什么方法判定一个四边形是正方形？二、探究新知1.探索正方形的判定条件：学生活动：四人一组进行讨论研究，老师巡回其间，进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法. （1）直接用正方形的定义判定，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个平行四边形是正方形；（2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；（3）先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形.后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理.矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础.这三个方法还可写成:有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形.上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断.2.正方形判定条件的应用例1:判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由.（1）四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；⑵四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；（3）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；（4)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.师生共析：是真命题，因为四条边相等的四边形是菱形，又四个角相等，根据四边形内角和定理知每个角为90°，所以由有一个角是直角的菱形是正方形可以判定此命题是真命题.⑵真命题,由四个角相等可知每个角都是直角，是矩形，由对角线互相垂直可判定这个矩形是菱形，所以根据是既是矩形又是菱形的四边形是正方形，可判定其为真.(3)假命题，对角线平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的四边形是菱形，所以它不一定是正方形. 如下图①，满足.AO=CO，BO=DO且AC⊥BD但四边形ABCD不是正方形（4）假命题，它可能是任意四边形.如上图②，AC⊥BD 且AC=BD，但四边形ABCD不是正方形.方法一:对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线垂直的平行四边形是菱形，所以是矩形又是菱形的四边形是正方形.可判定其为真.方法三：由对角线互相垂直平分可知是菱形，由对角线平分且相等可知是矩形，而既是菱形又是矩形的四边形就是正方形.总结:通过辨析，掌握判定正方形的各种方法和思路，从题中所给各种不同条件出发，寻找命题成立的判定依据，以便灵活应用.例2:如图，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD 上，且∠AFE= 45°，试说明EF=BE+DF.师生共析:要证EF=BE+DF,如果能将DF移到EB延长线或将BE移到FD延长线上，然后就能证明两线段长度相等。

1.3 正方形的性质和判定1. 掌握正方形的定义和性质，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系2. 掌握正方形的判定方法并能在解题中选择恰当的方法。

3. 提高学生分析问题及解决问题的能力。

4. 通过分析概念之间的联系与区别，培养学生辨证唯物主义观点 重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法 难点：正方形知识的灵活应用1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图） 3．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．【铺垫】正方形有 条对称轴．【例1】☆⑴、已知正方形BDEF 的边长是正方形ABCD 的对角线，则:BDEF ABCD S S =正方形正方形 ⑵、如图1，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为正方形菱形矩形平行四边形PNME DCBA⑶、如图2，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1AG =，2BF =，90GEF ∠=︒，则GF 的长为 ．【例2】☆将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n A A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为【例3】 ☆如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧交对角线BD 于点E ，连接CE ，P 是CE 上任意一点，PM BC ⊥于M ，PN BD ⊥于N ，则PM PN +的值为【铺垫】如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =．EDCBA【例4】如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证：AP EF =.F EPDCB A【巩固】如图所示，正方形ABCD 对角线AC 与BD 相交于O ，MN ∥AB ，且分别与AO BO 、交于M N 、．试探讨BM 与CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程．FEDCBAM N CDO BA【巩固】☆如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角形，那么DCP ∠=PDCBA【例5】已知正方形ABCD ，在AD 、AC 上分别取E 、F 两点，使2ED AD FC AC =∶∶，求证：BEF ∆是等腰直角三角形．EHDFCBA【例6】如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ，若50EAF ∠=︒，则CME CNF ∠+∠= ．NMFEDCBA【例7】☆如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作正方形ABE ，CE 与BD 相交于点F ，则AFD ∠=GC FED BA【例9】如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使DE AD =，DF BD =．连结BF 分别交CD ，CE 于H ，G ．求证：GHD ∆是等腰三角形．3142FE GHCDBA【巩固】如图，过正方形顶点A 引AE BD ∥，且BE BD =．若BE 与AD 的延长线的交点为F ，求证DF DE =．GFEBDA【例10】如图所示，在正方形ABCD 中，AK 、AN 是A ∠内的两条射线，BK AK ⊥，BL AN ⊥，DM AK ⊥，DN AN ⊥，求证KL MN =，KL MN ⊥.K NMLDCB A【巩固】如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接,BE DG ，求证：BE DG =.【例11】 如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长线上的一点，CE CF =，30FDC ∠=︒，求BEF ∠的度数.BDCAEF【巩固】☆已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并延长交DE 于F ． （1）求证：BCG DCE ∆∆≌；（2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90︒得到DAE '∆，判断四边形E BGD '是什么特殊四边形？并说明理由．【例12】若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，3BE =，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF AE =，则BM 的长为 ．【例13】☆如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，HA EB FC GD ===，连接EG 、FH ，交点为O ． ⑴、如图2，连接EF FG GH HE ，，，，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论； ⑵、将正方形ABCD 沿线段EG 、HF 剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD 的边长为3cm ，1cm HA EB FC GD ====，则图3中阴影部分的面积为_________2cm ．图3图1图2H DGC FEBAOH GFEDC BA【巩固】如图，正方形ABCD 对角线相交于点O ，点P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，AQ DP ⊥，求证：（1）OP OQ =；（2）OP OQ ⊥.BO D CAQP【例14】如图，正方形ABCD 中，E F ，是AB BC ，边上两点，且EF AE FC DG EF =+⊥，于G .求证：DG DA =G FEC DBA【巩固】如图，点M N ，分别在正方形ABCD 的边BC CD ，上，已知MCN∆的周长等于正方ABCDEF E 'GHEFG DCBA形ABCD 周长的一半，求MAN ∠的度数NMDCBA【巩固】如图，设EF ∥正方形ABCD 的对角线AC ，在DA 延长线上取一点G ，使AG AD =，EG 与DF 交于H ，求证：AH =正方形的边长．HEGCDFBA【例15】☆把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．GCHF EDB A【例16】如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，l 是AD 的垂直平分线，交AD 于点M ，以腰AB 为边作正方形ABFE ，作EP l ⊥于点P ，求证22EP AD CD +=.lPM FE DC BA【正方形的判定】【例17】四边形ABCD 的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形EFGH ，求证： ⑴、四边形EFGH 对角互补；⑵、若四边形ABCD 为平行四边形，则四边形EFGH 为矩形． ⑶、四边形ABCD 为长方形，则四边形EFGH 为正方形．M E NCDBA O E DC B A H GFE DCBA【巩固】如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE ∆是等边三角形． ⑴、求证：四边形ABCD 是菱形；⑵、若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．【巩固】已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC ∆外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ．⑴、求证：四边形ADCE 为矩形； ⑵、当ABC ∆满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．【例18】☆如图，点M 是矩形ABCD 边AD 的中点，2AB AD =，点P 是BC 边上一动点，PE MC ⊥，PF BM ⊥，垂足分别为E 、F ，求点P 运动到什么位置时，四边形PEMF 为正方形．PMF EDC BA【例19】☆如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE a AF b ==，，若23EFGH S =，则b a -=【例20】如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为27cm 和211cm ，则CDE ∆ 的面积为GFEDCB A【巩固】☆如图，在正方形ABCD 中，点1P P ，为正方形内的两点，且11PB PD PB AB CBP PBP ==∠=∠，，，则1BPP ∠= P 1PDC BA【例21】如图，若在平行四边形ABCD 各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为顶点组成一个正方形．PRQ S NMFEDCBA【例22】☆已知：PA 4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧.（1）如图，当∠APB=45°时，求AB 及PD 的长；（2）当∠APB 变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB 的大小.PDCBA【课后练习】 1、如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC BD ，的交点，过点O 作OE OF ⊥，分别交AB CD ，于E F ，，若43AE CF ==，，则EF =OFE DC BA2、如图所示，ABCD 是正方形，E 为BF 上的一点，四边形AEFC 恰好是一个菱形，则EAB ∠=______.ABCDEF3、如果点E 、F 是正方形ABCD 的对角线BD 上两点，且BE DF =，你能判断四边形AECF 的形状吗？并阐明理由．E CDFBA4、如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，求证：AM AD =．MFEDCBA。

1.3 正方形的性质与判定第1课时正方形的性质1．在对平行四边形、矩形、菱形的认识基础上探索正方形的性质，并能运用正方形的性质进行证明与计算．(重难点)2．进一步了解平行四边形、矩形、菱形及正方形之间的相互关系，并形成文本信息与图形信息相互转化的能力．阅读教材P20～21，完成下列问题：(一)知识探究1．有________相等并且有一个角是________的__________叫做正方形．2．正方形既是________又是________，它既具有________的性质，又有________的性质．3．正方形的________相等，都是________，________相等．4．正方形的对角线________________________．(二)自学反馈正方形的性质：1．边：________都相等且________．2．角：四个角都是________．3．对角线：两条对角线互相________且________，并且每一条对角线平分________．4．正方形既是________图形，又是________图形，正方形有________对称轴．活动1 小组讨论例如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE＝CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：如图，延长BE交DF于点M.∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边都相等，四个角都是直角)．∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°.∴∠BCE＝∠DCF.又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF.∴BE＝DF，∵∠DCF＝90°，∴∠CDF＋∠F＝90°.∴∠CBE＋∠F＝90°.∴∠BMF＝90°.∴BE⊥DF.本题是通过证明△BCE≌△DCF来得到BE与DF之间的关系，证明三角形全等是解决这一类型问题的常用做法．活动2 跟踪训练1．菱形，矩形，正方形都具有的性质是( )A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等2．正方形面积为36，则对角线的长为( )3．如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为( )A ．14B ．15C ．16D ．174．如图，延长正方形ABCD 的边BC 至E ，使CE ＝AC ，连接AE 交CD 于F ，则∠AFC ＝________°.5．如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，∠OCF ＝∠OBE.求证：OE ＝OF.活动3 课堂小结正方形的性质⎩⎪⎨⎪⎧边：正方形的四条边都相等且对边平行.角：正方形的四个角都是直角.对角线：正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角.对称：既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有四条对称轴，其对角线交点为对称中心.【预习导学】(一)知识探究1．一组邻边 直角 平行四边形 2.矩形 菱形 矩形 菱形3．四个角 直角 四条边 4.相等且互相垂直平分(二)自学反馈1．四条边 对边平行 2.直角 3.垂直平分 相等 一组对角4．中心对称 轴对称 四条【合作探究】活动2 跟踪训练1．C 2.B 3.C 4.112.55．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，OB ＝OC.∴∠AOB ＝∠BOC ＝90°.又∵∠OBE ＝∠OCF，∴△OBE ≌△OCF.∴OE ＝OF.第2课时 正方形的判定1．掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题．(重难点)2．发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断．阅读教材P22～24，完成下列问题：(一)知识探究1．对角线相等的________是正方形．2．对角线垂直的________是正方形．3．有一个是直角的________是正方形．(二)自学反馈1．已知四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )A ．∠D ＝90°B ．AB ＝CDC ．AD ＝BC D ．BC ＝CD2．下列命题正确的是( )A ．两条对角线相等的菱形是正方形B ．对角线与一边的夹角是45°的四边形是正方形C ．两邻角相等，且有一角是直角的四边形是正方形D ．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形3．在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( )A ．AC ＝BD ，AB ∥CD ，AB ＝CDB ．AD ∥BC ，∠A ＝∠CC ．AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BDD ．AO ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC4．如图，将一张矩形纸片ABCD 折叠，使AB 落在AD 边上，然后打开，折痕为AE ，顶点B 的落点为F.则四边形ABEF 是________形．活动1 小组讨论例 如图，在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠DCB ，BF ∥CE ，CF ∥BE.求证：四边形BECF 是正方形．证明：∵BF ∥CE ，CF ∥BE ，∴四边形BECF 是平行四边形．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°，∠DCB ＝90°.又∵BE 平分∠ABC ，CE 平分∠DCB ，∴∠EBC ＝12∠ABC ＝45°，∠ECB ＝12∠DCB ＝45°. ∴∠EBC ＝∠ECB.∴EB ＝EC.∴平行四边形BECF 是菱形．在△EBC 中，∵∠EBC ＝45°，∠ECB ＝45°，∴∠BEC ＝90°.∴菱形BECF 是正方形．掌握平行四边形、矩形、菱形成为正方形所需要的条件是解决这类问题的关键．活动2 跟踪训练1．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，求证：四边形BEDF 是正方形．2．如图，E 、F 、G 、H 分别是正方形ABCD 四条边上的点，AE ＝BF ＝CG ＝DH ，四边形EFGH 是什么图形？证明你的结论．3．如图所示，点E ，F ，G ，H 分别是CD ，BC ，AB ，DA 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形．活动3 课堂小结1．对角线相等的菱形是正方形；2．对角线垂直的矩形是正方形；3．有一个角是直角的菱形是正方形．【预习导学】(一)知识探究1．菱形 2.矩形 3.菱形(二)自学反馈1．D 2.A 3.C 4.正方【合作探究】活动2 跟踪训练1．证明：∵∠ABC ＝90°，DE ⊥BC ，DF ⊥AB ，∴四边形BEDF 是矩形．∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC ，DF ⊥AB ，∴DE ＝DF.∴四边形BEDF 是正方形．2．四边形EFGH 是正方形．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA.∵AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∴HA ＝EB ＝FC ＝GD.∵∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，∴Rt △AEH ≌Rt △BFE ≌Rt △CGF ≌Rt △DHG.∴HE ＝EF ＝FG ＝GH.∴四边形EFGH 是菱形．又∠AHE ＝∠BEF ，∠AHE ＋∠AEH ＝90°，∴∠BEF ＋∠AEH ＝90°.∴∠HEF ＝90°.∴四边形EFGH 是正方形．3．证明：连接BD.∵点E ，F ，G ，H 分别是CD ，BC ，AB ，DA 的中点，∴EF 是△BCD 的中位线，GH 是△ABD 的中位线．∴EF ∥BD ，EF ＝12BD ，GH ∥BD ，GH ＝12BD.∴EF ∥GH ，EF ＝GH.∴四边形EFGH 是平行四边形．。

1.3正方形的性质与判定(第2课时)一、问题引入1、正方形的定义： 叫做正方形.2、满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形?3、 的菱形是正方形.4、 的矩形是正方形.5、 的菱形是正方形.二、基础训练1、在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定四边形是正方形的条件是（ ）A.AC=BD,B.AD ∥BC,∠A=∠C ，C.，D.，，2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,D,E ，F 分别是AB,AC,BC的中点，连接DE,DF,EF,要使四边形DECF 是正方形，只需要添加一个条件为 .三、例题展示例1：已知：如图所示，在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC,CE 平分∠DCB,BF ∥CE,CF ∥BE, 求证：四边形BECF 是正方形.例2：求证：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形.CDAB //DO CO BO AO ===BD AC ⊥CO AO =DO BO =BC AB =FE D CB A F ED C BA第2题图四、课堂检测1、下列命题中，真命题是（ ）A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形2、顺次连接矩形各边中点所得的四边形是 .3、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是 .4、顺次连接正方形各边中点所得的四边形是 .5、已知：如图，E,F 是正方形ABCD 的对角线BD 上的两点，且BE=DF,求证：四边形AECF 是菱形.6、如图，在正方形ABCD 中，E,F ，G,H 分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH,四边形EFGH 是什么特殊四边形？请证明你的结论.7、如图，在矩形ABCD 中，M 是对角线AC 上的一个动点（点M 与点A,C 不重合），作ME ⊥AB 于点E,MF ⊥BC 于点F,(1) 试说明四边形EBFM 是矩形(2) 连接BM,当点M 运动到使∠ABM 为何值时，矩形EBFM 为正方形？请写出结论.H GFEDC B A 第6题图 F EDCBA 第5题图M F E DCB A第7题图。

1.3 正方形的性质和判定
【学习目标】
课标要求：
1在对平行四边形、矩形、菱形的认识基础上探索正方形的性质，体验数学发现的过程，并得出正确的结论．
2、进一步了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关系，并形成文本信息与图形信息相互转化的能力．
目标达成：
1学会正方形的定义及性质
2、正方形的性质应用
学习流程：
【课前展示】
问题：将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样
剪才能剪出一个正方形？
【创境激趣】
因为正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，把折痕作对角线，这时只需剪一个等腰直角三角形，打开即是正方形，因此只要保证剪口线与折痕成45°角即可。

【自学导航】
1、正方形的判定定理：
1.对角线相等的菱形是正方形。

2.对角线垂直的矩形是正方形。

3.有一个角是直角的菱形是正方形。

【合作探究】
教师可以课件展示下面的框架图，复习巩固平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系。

【展示提升】
典例分析知识迁移：
【强化训练】
1、取各边中点，顺次连接，组成什么图形？
2、A
C
E G
H
A
B C
E G
B
A
B
D
E G
B
H
A
B C
D
E
F
G
H
A
B C
D
E
F
G
H
【归纳总结】
1、正方形的性质
2、正方形的判定
【板书设计】
1.3正方形的性质判定判定例2
【教学反思】。

《正方形的性质与判定》精品教案教学目标：一、知识与技能目标：1．理解掌握正方形的判定定理．2．体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．二、过程与方法目标：1.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力．2．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．3．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法．三、情感态度与价值观目标：1.通过知识的迁移、类比、转化，激发学生探索新知识的积极性和主动性．2．体会数学与生活的联系．重点：特殊四边形——正方形的判定定理的灵活应用．难点：特殊四边形——正方形的判定定理的灵活应用．教学流程：一、复习导入1.__________________________________________是正方形;2.正方形的四个角都是___________,四条边________________,对角线____________.二、情景创设：将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？要保证剪的是正方形，则必须保证剪口线与折痕成45°角.三、探究一满足怎样的条件的矩形是正方形呢？（从边、角、对角线考虑）只要在满足对角线互相垂直，就能得到正方形；只要在满足邻边相等，就能得到正方形满足怎样的条件的菱形是正方形呢？（从边、角、对角线考虑）如果是菱形，只要在满足对角线相等（或者有一个角是直角），就能得到正方形探究结论：对角线相等的菱形是正方形.对角线垂直的矩形是正方形.有一个角是直角的菱形是正方形.定理：有一个角是直角的菱形是正方形.已知:四边形ABCD为菱形,∠ABC=90°求证:ABCD为正方形证明:∵四边形ABCD为菱形,∠ABC=90°∴AB CD ，BC AD∠BAD=∠ABC=90°(两直线平行,内对角相等)同理可得∠ADC=∠BAD=90°∠ADC=∠BCD=90°4个角都相等,4条边都相等的四边形为正方形定理;对角线相等的菱形是正方形.已知：四边形ABCD是菱形，且对角线AC=BD.求证：四边形ABCD是正方形证明：∵四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD也是平行四边形，又∵AC=BD（且AC，BD互相平分），∴四边形ABCD也为矩形，又∵四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形．定理：对角线垂直的矩形是正方形.已知：矩形ABCD的对角线交于点O,且AC⊥BD.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形∴OA=OB=OC=OD又∵AC⊥BD∴△OAD≌△OBA(SAS)∴AD=BA∴四边形ABCD是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)探究二：请你找出平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系，并绘制知识网络图表，同时在小组内进行交流.探究总结：通过上面的探究活动，我们可以发现：要证明一个四边形是正方形，只要证明出它既是一个矩形，又是一个菱形即可。

义务教育教科书（北师）九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.3《正方形的性质与判定（2）》导学案学习目标1．掌握正方形的判定定理，能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。

2.发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断。

【课前准备】阅读教材P22～24页，完成下面问题：1．什么叫正方形？它的判定方法有哪些？2.任意四边形、矩形、菱形、正方形的中点四边形各是什么？【课堂活动】核心问题一：探索并证明正方形的判定定理1．议一议：（1）将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？（2）满足什么条件的矩形是正方形？（3）满足什么条件的菱形是正方形？正方形的判定定理1:＿＿＿＿＿＿＿＿的矩形是正方形定理2:＿＿＿＿＿＿＿＿的矩形是正方形定理3:＿＿＿＿＿＿＿＿的菱形是正方形定理4:＿＿＿＿＿＿＿＿的菱形是正方形2．例题核心问题二：中点四边形1．做一做：我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形。

那么， 任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明。

2．议一议：（1）以菱形各边中点为顶点可以组成一个什么图形？(2) 以矩形各边中点为顶点可以组成一个什么图形？（3）以平行四边形各边中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明结论： 平行四边形的中点四边形是＿＿＿＿＿矩形的中点四边形是＿＿＿＿＿菱形的中点四边形是＿＿＿＿＿B A B CE G A B C EG正方形的中点四边形是＿＿＿＿＿（4）以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关系？有怎样的关系？【课堂小结】1．知识方面：2．数学思想：【目标检测】证明：1.对角线互相垂直的矩形是正方形2．有一个角是直角的菱形是正方形。

正方形的性质与判定【学习目标】1．掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。

2．知道特殊四边形的中点四边形的形状，并理解决定中点四边形形状的因素。

【学习过程】一、温故知新1、有一个的平行四边形是矩形2、有一组邻边的平行四边形是菱形二、自研自探环节请自主阅读课本P14至P16，然后思考什么样的图形称为正方形？并完成以下问题：1、定义：叫正方形。

2、矩形：①有的矩形是正方形（判定定理1）②对角线的矩形叫正方形（判定定理2）3、菱形：①有的菱形是正方形（判定定理3）②对角线的菱形叫正方形（判定定理4）4、平行四边形：①有，有的平行四边形是正方形②对角线的平行四边形是正方形5、完成图形关系三、合作探究环节：【小对子交流学习】1.在平行四边形ABCD中，∠A=90°，如果添加一个条件推出该四边形是正方形，则这个条件是（）A．∠D=90° B.AB=CD C. AD=BC D. BC=CD2.下列说法错误（）Ａ.两条对角线相等的菱形是正方形Ｂ.两条对角线相等且垂直平分的四边形是正方形Ｃ.两条对角线垂直且相等的四边形是正方形Ｄ.两条对角线垂直的矩形是正方形3.如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（）。

A．60° B.30° C.45° D.90°四、展示提升环节（小组合作展示）例1 已知：如图，在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠DCB ，BF ∥CE ，CF ∥BE.求证：四边形BECF 是正方形.例2 判断中点四边形的形状特征：图1 图2 图31.如图1，在ΔABC 中，EF 为ΔABC 的中位线，①若∠BEF=30°，则∠A= . ②若EF=8cm ，则AC= .2.在AC 的下方找一点D,做CD 和AD 的中点G 、H,问EF 和GH 有怎样的关系？EH 和FG 呢？3.四边形EFGH 为四边形ABCD 的中点四边形，问四边形E FGH 的形状有什么特征？4.动手画一画，平行四边形、矩形、菱形、正方形的中点四边形EFGH ，并判断中点四边形的形状。