高中数学1.4.3正切函数的性质与图象课时跟踪检测新人教A版必修4

自我小测1．在(0,2π)内，使tan x>1成立的x的取值范围是()．A.ππ5π()(π)424，， B.π(,π)4C.π5π()44， D.ππ5π3π()()4242，，2．直线y＝a(a为常数)与正切曲线y＝tan ωx(ω是常数且ω>0)相交，则相邻两交点之间的距离是()．A.πωB.2πωC．πD．与a的值有关3．函数1π3tan()23y x=+的图象的一个对称中心是()．A.π(0)6， B.2π(3-， C.2π(0)3-，D．(0,0)4．πtan()4y x=+的定义域是()．A.π|,R4x x x⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭B.π|π,R,Z4x x k x k⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭C.π|,R4x x x⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭D.3π|2π,R,Z4x x k x k⎧⎫≠+∈∈⎨⎬⎩⎭5．函数y＝tan(cos x)的值域是__________．6．若函数π2tan(2)5y ax=-的最小正周期为π5，则a＝__________.7．求函数πtan(3)3y x=-的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．8．函数y＝A tan(ωx＋φ)的图象与x轴相交的两相邻点坐标为π(,0)2-，π(,0)6，且过点(0，－3)，求此函数的解析式．9已知α、β都是锐角，且2tan3α=，9tan4β=，你能根据正切函数的增减性直接判断α＋β是否为锐角吗？参考答案1答案：D解析：画出函数y＝tan x的图象，并作出直线y＝1，并观察其在直线上方的部分可知：x的取值范围是ππ5π3π()()4242，，，故选D.2答案：A解析：直线y＝a与函数y＝tan x的图象的两相邻交点的距离实际上就是最小正周期的值．3答案：C解析：∵y＝tan x的图象的对称中心为π(0)2k，，k∈Z，由1ππ232kx+=得2ππ3x k=-(k∈Z)，∴函数1π3tan()23y x=+的图象的对称中心为2π(π,0)3k-，k∈Z.令k＝0，得2π(0)3-，，故选C. 4答案：B解析：y＝tan x的定义域为π|π,Z2x x k k⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，由πππ42x k+≠+得ππ4x k≠+(k∈Z)．5答案：[－tan 1，tan 1]解析：由cos x∈[－1,1]，结合y＝tan x的图象来求解．ππ1cos122x-<-≤≤<，∴－tan 1≤tan(cos x)≤tan 1.6答案：5 2±解析：由ππ25a=得2a＝±5，∴52a=±.7解：由ππ3π32x k-≠+，k∈Z，得π5π318kx≠+，k∈Z.∴所求定义域为π5π|R,,Z318kx x x k⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭且，值域为R ，周期π3T =，是非奇非偶函数． 在区间πππ5π(,)318318k k -+ (k ∈Z )上是增函数． 8解：由ππ3π32x k -≠+，k ∈Z ，得π5π318k x ≠+，k ∈Z . ∴所求定义域为π5π|R,,Z 318k x x x k ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭且， 值域为R ，周期π3T =，是非奇非偶函数． 在区间πππ5π(,)318318k k -+ (k ∈Z )上是增函数． 9解：能根据正切函数的增减性直接判断α＋β不是锐角．∵2πtan tan 336α=>=，又α为锐角，∴π6α>.同理，9πtan tan 43β=>=，又β为锐角， ∴π3β>，故πππ632αβ+>+=， ∴α＋β不可能为锐角．。

2020高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象课时作业（含解析）新人教A 版必修4一、选择题1．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y ＝1所得线段长为π4，则f (π12)的值是( )A ．0 B.33C ．1D. 3解析：正切函数图象上的相邻两支曲线之间的距离为周期T ，从而πω＝π4，所以ω＝4，从而f (π12)＝tan(4×π12)＝tan π3＝ 3.答案：D2．函数y ＝3tan(12x ＋π3)的一个对称中心是( )A ．(π6，0)B ．(2π3，－33)C ．(－2π3，0)D ．(0,0)解析：由x 2＋π3＝kπ2得x ＝kπ－2π3(k ∈Z)，k ＝0时，x ＝－23π.答案：C3．函数f (x )＝tan2xtan x 的定义域为( )A ．{x |x ∈R 且x ≠kπ4，k ∈Z}B ．{x |x ∈R 且x ≠kπ＋π2，k ∈Z}C ．{x |x ∈R 且x ≠kπ＋π4，k ∈Z}D ．{x |x ∈R 且x ≠kπ－π4，k ∈Z}解析：由tan x ≠0，得x ≠kπ，又x ≠kπ＋π2，2x ≠kπ＋π2，∴x ≠kπ且x ≠kπ＋π2且x ≠kπ2＋π4，∴x ≠kπ4，k ∈Z. 答案：A4．已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1解析：方法一：因为函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是单调函数，所以最小正周期T ≥π，即π|ω|≥π，所以0<|ω|≤1. 又函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，所以ω<0. 综上，－1≤ω<0.方法二：分别在各选项给出的区间上取特殊值来进行验证．如取ω＝1时，不符合题意，排除A 、C ；取ω＝－2时，π4∈(－π2，π2)，此时ωx ＝－π2，但－π2的正切值不存在，不符合题意，所以排除D.故选B.答案：B5．与函数y ＝tan(2x ＋π4)的图象不相交的直线是( ) A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π8解析：∵y ＝tan x 的图象与x ＝kπ＋π2，k ∈Z 不相交，∴2x ＋π4＝kπ＋π2(k ∈Z)．∴x ＝kπ2＋π8(k ∈Z)．当k ＝0时，x ＝π8.答案：C 二、填空题6．函数y ＝1tan x (x ∈[－π4，π4]且x ≠0)的值域为________．解析：∵x ∈[－π4，π4]且x ≠0，∴－1≤tan x <0或0<tan x ≤1，∴1tan x ≤－1或1tan x≥1，∴y ＝1tan x的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)7．不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小：tan135°________tan138°.(填“<”或“>”)解析：∵90°<135°<138°<270°，又∵y ＝tan x 在x ∈(90°，270°)上是增函数， ∴tan135°<tan138°. 答案：<8．已知正切函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象与x 轴相交的两相邻点的坐标为(π6，0)和(5π6，0)，且过(0，－3)点，则它的表达式为________．解析：T ＝5π6－π6＝2π3，∴ω＝πT ＝32.所以⎩⎪⎨⎪⎧32×π6＋φ＝0，－3＝A ·tan 32×0＋φ，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，φ＝－π4.答案：y ＝3tan(32x －π4)三、解答题9．利用函数图象解不等式－1≤tan x ≤33. 解：作出函数y ＝tan x ，x ∈(－π2，π2)的图象，如图所示．观察图象可得：在(－π2，π2)内，自变量x 应满足－π4≤x ≤π6，由正切函数的周期性可知，不等式的解集为{x |－π4＋kπ≤x ≤π6＋kπ，k ∈Z}． 10．求函数y ＝tan(3x －π3)的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性． 解：令t ＝3x －π3，则y ＝tan t .∵y ＝tan t 的定义域为t ≠kπ＋π2，k ∈Z ，∴3x －π3≠kπ＋π2，k ∈Z ，即x ≠kπ3＋5π18，k ∈Z.∴所求定义域为{x |x ≠kπ3＋5π18，k ∈Z}．∵y ＝tan t 的值域为R ， ∴y ＝tan(3x －π3)的值域为R.y ＝tan(3x －π3)的周期为T ＝π3.∵tan(－3x －π3)≠tan(3x －π3)，也不等于－tan(3x －π3)，∴y ＝tan(3x －π3)是非奇非偶函数．由kπ－π2<3x －π3<kπ＋π2，k ∈Z ，得 kπ3－π18<x <kπ3＋5π18，k ∈Z.∴函数在区间(kπ3－π18，kπ3＋5π18)(k ∈Z)上是增函数．。

1.4.3 正切函数的性质与图像（检测教师版）时间:40分钟 总分：60分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π4，x ∈R B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π4，x ∈R C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π4，k ∈Z ，x ∈R D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋34π，k ∈Z ，x ∈R 解析： y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，所以x －π4≠k π＋π2，k ∈Z ， 所以x ≠k π＋3π4，k ∈Z ，x ∈R . 答案： D2．下列说法正确的是( )A ．y ＝tan x 是增函数B ．y ＝tan x 在第一象限是增函数C ．y ＝tan x 在每个区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数 D ．y ＝tan x 在某一区间上是减函数解析： 正切函数在每个区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数．但在整个定义域上不是增函数，另外，正切函数不存在减区间．答案： C3．已知a ＝tan 2，b ＝tan 3，c ＝tan 5，不通过求值，判断下列大小关系正确的是( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＜b ＜cC ．b ＞a ＞cD ．b ＜a ＜c解析： tan 5＝tan[π＋(5－π)]＝tan(5－π)，由正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上为增函数可得tan 3＞tan 2＞tan(5－π)．答案： C4．函数y ＝tan(cos x )的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1] D ．以上均不对解析： ∵－1≤cos x ≤1，且函数y ＝tan x 在[－1，1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan x ≤tan 1，即－tan 1≤tan x ≤tan 1.答案： C5．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋tan(π＋x )是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋tan(π＋x )＝sin x ＋tan x . ∵y ＝sin x ，y ＝tan x 均为奇函数，∴原函数为奇函数．答案 A6．设a ＝log 12tan70°，b ＝log 12sin25°，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos25°，则有( ) A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．a <c <b解析 ∵tan70°>tan45°＝1，∴a ＝log 12tan70°<0.，又0<sin25°<sin30°＝12， ∴b ＝log 12sin25°>log 1212＝1，而c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos25°∈(0,1)，∴b >c >a . 答案 D二、填空题（共2小题，每题5分，共10分）7．函数y ＝1－tan x 的定义域是________．解析： 由1－tan x ≥0即tan x ≤1结合图象可解得．答案： ⎝⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π＋π4(k ∈Z ) 8．函数y ＝3tan(π＋x )，－π4＜x ≤π6的值域为________． 解析： 函数y ＝3tan(π＋x )＝3tan x ，因为正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数， 所以－3＜y ≤3，所以值域为(－3，3]．答案： (－3，3]三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）9．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的定义域、周期及单调区间． 解析： 由12x －π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠4π3＋2k π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠4π3＋2k π，k ∈Z .T ＝π12＝2π， 所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的周期为2π. 由－π2＋k π＜12x －π6＜π2＋k π，k ∈Z ，得－2π3＋2k π＜x ＜4π3＋2k π，k ∈Z ， 所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2k π，4π3＋2k π(k ∈Z )． 10．求函数y ＝tan 2x 的定义域、值域和周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象．解析： (1)要使函数y ＝tan 2x 有意义，必须且只需2x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即x ≠π4＋k π2，k ∈Z ， ∴函数y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π2，k ∈Z . (2)设t ＝2x ，由x ≠π4＋k π2，k ∈Z 知t ≠π2＋k π，k ∈Z ， ∴y ＝tan t 的值域为(－∞，＋∞)， 即y ＝tan 2x 的值域为(－∞，＋∞)．(3)由tan 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝tan(2x ＋π)＝tan 2x ， ∴y ＝tan 2x 的周期为π2. (4)函数y ＝tan 2x 在区间[－π，π]内的图象如图．。

高中数学 1.4.3 正切函数的性质与图象备课资料 新人教A 版必修4一、函数f(x)±g(x)最小正周期的求法若f(x)和g(x)是三角函数,求f(x)±g(x)的最小正周期没有统一的方法,往往因题而异,现介绍几种方法:(一)定义法例1 求函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期.解:∵y=|sinx|+|cosx|=|-sinx|+|cosx|=|cos(x+2π)|+|sin(x+2π)| =|sin(x+2π)|+|cos(x+2π)|, 对定义域内的每一个x,当x 增加到x+2π时,函数值重复出现,因此函数的最小正周期是2π. (二)公式法这类题目是通过三角函数的恒等变形,转化为一个角的一种函数的形式,用公式去求,其中正、余弦函数求最小正周期的公式为T=||2ωπ,正、余切函数T=||ωπ. 例2 求函数y=xtan 1-tanx 的最小正周期. 解:y=x tan 1-tanx=xx tan 2tan 12-=2x x x 2tan 2tan 2tan 12=-,∴T=2π. (三)最小公倍数法设f(x)与g(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数,T 1、T 2分别是它们的周期,且T 1≠T 2,则f(x)±g(x)的最小正周期是T 1、T 2的最小公倍数,分数的最小公倍数=.分母的最大公约数分子的最小公倍数 例3 求函数y=sin3x+cos5x 的最小正周期. 解:设sin3x 、cos5x 的最小正周期分别为T 1、T 2,则T 1=32π,T 2=52π,所以y=sin3x+cos5x 的最小正周期T=12π=2π. 例4 求y=sin3x+tan 52x 的最小正周期. 解:∵sin3x 与tan 52x 的最小正周期是32π与25π,其最小公倍数是110π=10π, ∴y=sin3x+tan 52x 的最小正周期是10π. (四)图象法例5 求y=|cosx|的最小正周期.解:由y=|cosx|的图象，可知y=|cosx|的周期T=π.(设计者:张云全)。

高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象课时提升卷新人教A版必修4（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分，共30分)1.要得到y=tan2x的图象，只需把y=tan的图象( )A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位2.下列说法正确的是( )A.正切函数在整个定义域内是增函数B.正切函数在整个定义域内是减函数C.函数y=3tan的图象关于y轴对称D.若x是第一象限角，则y=tanx是增函数3.(2013·合肥高一检测)下列不等式中正确的是( )A.tan>tanB.tan>tanC.<D.<4.函数f(x)=lg(tanx+)为( )A.奇函数B.既是奇函数又是偶函数C.偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数5.(2013·桂林高一检测)已知函数y=tan(2x+φ)的图象过点，则φ可以是( )A. B.- C.- D.二、填空题(每小题8分，共24分)6.函数y=的定义域为，值域为.7.(2013·厦门高一检测)函数y=tan的单调区间为.8.y=tan满足下列哪些条件(填序号).①在上单调递增；②为奇函数；③以π为最小正周期；④定义域为.三、解答题(9题～10题各14分，11题18分)9.(2013·揭阳高一检测)已知函数f(x)=2tan（ωx+）(ω>0)，y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于2π，求f(x)的单调递增区间.10.根据正切函数图象写出满足下列条件的x的取值集合：(1)tanx>1. (2)-1≤tanx<.11.(能力挑战题)作出函数y=tanx+|tanx|的图象，并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期.答案解析1.【解题指南】找出由y=tan2x的图象如何平移得到y=tan的图象，然后反向移动即可.【解析】选D.将y=tan2x的图象向左平移个单位可以得到y=tan2即y=tan的图象，所以只需把y=tan的图象向右平移个单位，就可得到y=tan2x的图象.2.【解析】选C.y=3tan=3tan|x|是偶函数，所以图象关于y轴对称.【误区警示】因为正切函数有无数个单调递增区间，很容易误选A，其实正切函数在整个定义域内不是单调函数.3.【解析】选B.因为tan=tan，tan=tan，而-<-<-<，y=tanx在上单调递增，故t an>tan，即tan>tan.4.【解析】选A.定义域为，关于原点对称，f(x)+f(-x)=lg(tanx+)+lg(-tanx+)=0，所以为奇函数.5.【解析】选B.将代入原函数可得tan=0，再将A，B，C，D代入检验即可.【变式备选】函数y=tan在一个周期内的图象是( )【解析】选A.函数y=tan的周期为2π，故B，D不正确；又x=-时，y=tan的函数值存在，故选A.6.【解析】由得，定义域为，值域为.答案：7.【解析】由y=tanx的单调递增区间为(k∈Z)，所以-+kπ<2x-<+kπ，k∈Z，即-+<x<+，k∈Z，因此，函数的单调递增区间为(k∈Z).答案：(k∈Z)8.【解析】令x∈，则∈，所以y=tan在上单调递增正确；tan=-tan，故y=tan为奇函数；T=2π，所以③不正确；由≠+kπ，k∈Z得，{x|x≠π+2kπ，k∈Z}，所以④不正确.答案：①②9.【解析】由题意知，函数f(x)的周期为2π，则=2π，由于ω>0，故ω=，所以f(x)=2tan.再由kπ-<x+<kπ+，k∈Z，得2kπ-<x<2kπ+，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.10.【解析】正切函数图象如图：(1)x∈时，若tanx>1，则x∈，故满足tanx>1的x取值集合为(k∈Z).(2)x∈时，若-1≤tanx<，则x∈，故满足-1≤tanx<的x取值集合为(k∈Z).11.【解析】y=tanx+|tanx|=其图象如图所示，由图象可知，其定义域是(k∈Z)；值域是[0，+∞)；单调递增区间是(k∈Z)；最小正周期T=π.【拓展提升】巧求三角函数的定义域(1)求三角函数的定义域，既要注意一般函数定义域的规律，又要注意三角函数本身的特有属性.(2)求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”，借助于数轴画线求交集的方法进行.在求解三角函数，特别是综合性较强的三角函数的定义域时，我们同样可以利用“数形结合”，在单位圆中画三角函数线，利用各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成.(3)一般地，已知弦函数的取值范围，求角的取值范围用三角函数线简单；已知切函数的取值范围，求角的取值范围用图象比较好.。

1．4.3 正切函数的性质与图象基础梳理 一、 正切函数的性质1．正切函数的定义域和值域：定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域为R ． 2．正切函数的周期性：y ＝tan x 的周期是k π(k ∈Z，k ≠0)，最小正周期是π． 3．正切函数的奇偶性与对称性：正切函数是奇函数，其图象关于原点中心对称． 4．正切函数的单调性：正切函数在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)内都是增函数．练习：正切函数y ＝tan x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的值域为[－1，1]．思考应用1．能否说正切函数在整个定义域上是增函数？解析：不能．正切函数在整个定义域上不具有单调性，因为它的定义域不连续，所以，不能说它在整个定义域上是增函数，正切函数在它的任一个连续区间内是单调递增函数．举反例：x 1＝π4，x 2＝5π4，x 1<x 2，tan x 1＝tan x 2这与单调性的定义矛盾．对每一个k ∈Z，在开区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2内，函数单调递增． 二、正切函数的图象1．根据正切函数y ＝tan x 的定义和周期，通过平移单位圆中的正切线来作出它在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象．2．将正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象，我们把它叫做正切曲线．正切曲线是被互相平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)所隔开的无数多支曲线组成的．这些平行直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)叫做正切曲线各支的渐近线．3．结合正切曲线的特征，类比正弦、余弦函数的“五点法”作图，也可用三点两线作图法作出正切函数y ＝tan x 在一个单调区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图．其中，三点为：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1.二线为：x ＝－π2，x ＝π2.画图时，注意图象不能与直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)相交． 思考应用2．你能求不等式tan x ≥3的解集吗？ 分析：本题可利用图象直观解决．解析：作正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图，观察图象，且由正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，tan π3＝ 3. ∵tan x ≥ 3，即tan x ≥tan π3，∴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，不等式tan x ≥3的解集⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2，故由正切函数的周期性可知原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π＋π3，k π＋π2(k ∈Z)．自测自评1．函数y ＝tan 2x 的最小正周期是(C) A ．2π B ．π C.π2 D.π4解析：T ＝π2，故选C.2．下列命题正确的是(C) A ．正切函数在定义域内是增函数 B ．正弦函数在定义域内是增函数 C ．函数y ＝3tan x 2的图象关于y 轴对称D ．若x 是第一象限角，则y ＝tan x 是增函数，y ＝cos x 是减函数解析： 正弦函数、余弦函数与正切函数都是区间上的单调函数，可排除A 、B 、D ，故选C.3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的定义域是(D)A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋3π4，k ∈Z解析：x －π4≠k π＋π2⇒x ≠k π＋3π4，k ∈Z.4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4的值域为⎦⎥⎤3，1．基础提升1．函数y ＝lg tan x 的增区间是(B) A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)B.⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)C.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z) D ．(k π，k π＋π)(k ∈Z)解析：由tan x >0，得k π<x <k π＋π2(k ∈Z)．又y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2上是增函数．∴函数y ＝lg tan x 的增区间是⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)．故选B.2．tan 600°的值是(D) A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3 解析：tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan 240° ＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝ 3.3．直线y ＝a (a 为常数)与函数y ＝tan ωx (ω为常数且ω＞0)的图象相交的相邻两点间的距离是(C)A ．π B.2πω C.πωD ．与a 值有关解析：利用图象，直线y ＝a 与函数y ＝tan ωx 的图象相交，相邻两点间的距离就是y ＝tan ωx 的一个最小正周期，即为πω.故选C.4．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为(C)A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 5．方程tan x ＝－3(－π<x <π)的解集为(C)A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π6，56πB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－23π，23πC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，23πD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫23π，53π巩固提高6．若f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则(A) A ．f (0)>f (－1)>f (1) B ．f (0)>f (1)>f (－1) C ．f (1)>f (0)>f (－1) D ．f (－1)>f (0)>f (1) 解析：由k π－π2＜x ＋π4＜k π＋π2，k ∈Z 得k π－3π4＜x ＜k π＋π4，k ∈Z ， ∴f (－1)＜f (0)．又∵f (1)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫1－3π4，∴1－3π4，－1，0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4且1－3π4＜－1＜0，∴f (1)＜f (－1)＜f (0)，故选A. 7．函数f (x )＝tan 2xtan x的定义域为(A)A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R且x ≠k π＋π2，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R且x ≠k π－π4，k ∈Z8．利用正切函数图象解不等式． (1)tan x ≥－1； (2)tan 2x ≤－1.分析：本题可先作出y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象，然后由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，并结合图象的升降(单调性)便可去掉法则“tan ”，从而建立自变量间的关系．解析：(1)因为tan x ≥－1，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，满足条件的x 为：－π4≤x ＜π2，由正切函数的图象及周期性可知，满足此不等式的x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π4＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z .(2)在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1.所以不等式tan 2x ≤－1的解集由不等式k π－π2＜2x ≤k π－π4，k ∈Z 确定．解得k π2－π4＜x ≤k π2－π8，k ∈Z.所以不等式tan 2x ≤－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π2－π4＜x ≤k π2－π8，k ∈Z .9．已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值；(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．解析：(1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1.∵x ∈[－1，3]， ∴当x ＝33时，f (x )min ＝－43； 当x ＝－1时，f (x )max ＝233.(2)函数f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1的对称轴为x ＝－tan θ， ∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3， 即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2<θ≤－π3或π4≤θ<π2， 即θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2.。

2016高中数学 1.4.3正切函数的性质和图象作业A 新人教A 版必修4一．选择题1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π5，x ∈R 且x ≠310π＋k π，k ∈Z 的一个对称中心是 ( ) A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫45π，0 D ．(π，0) 2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3在一个周期内的图象是 ( )3．下列函数中，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，且以π为周期的偶函数是 ( ) A ．y ＝tan|x | B ．y ＝|tan x | C ．y ＝|sin 2x | D ．y ＝cos 2x4．下列各式中正确的是 ( )A ．tan 735°>tan 800°B ．tan 1>－tan 2C ．tan 5π7<tan 4π7D ．tan 9π8<tan π75．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D.π46．已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则 ( ) A ．0<ω≤1 B ．－1≤ω<0C ．ω≥1 D ．ω≤－17．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图象是 ( )二．填空题8． 函数y ＝tan x －1的定义域是____________．9． 函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期是π2，则ω＝________.10． 求函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4的值域．11．判断函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性．12．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π4的定义域、周期、单调区间和对称中心．13．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在区间[0,2π]上交点的个数是多少？A-63答案1．C 2.A 3.B 4.D 5.A 6．[k π＋π4，k π＋π2)，k ∈Z 7.±2 8． 解 ∵－π4≤x ≤π4，∴－1≤tan x ≤1.令tan x ＝t ，则t ∈[－1,1]． ∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5.∴当t ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝－4， 当t ＝1，即x ＝π4时，y max ＝4.故所求函数的值域为[－4,4]． 9．B 10.D11．解 由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1或tan x <－1.∴函数定义域为 ⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π－π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z)关于原点对称． f (－x )＋f (x )＝lg －x ＋1－x －1＋lg tan x ＋1tan x －1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan x ＋1－tan x －1·tan x ＋1tan x －1 ＝lg 1＝0.∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．12．解 ①由π3x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z，得x ≠3k ＋34，k ∈Z.∴函数的定义域为 {x |x ∈R，且x ≠3k ＋34，k ∈Z}．②T ＝ππ3＝3，∴函数的周期为3.③由k π－π2<π3x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z.解得3k －94<x <3k ＋34，k ∈Z.∴函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －94，3k ＋34，k ∈Z.④由π3x ＋π4＝k π2，k ∈Z.解得x ＝3k 2－34，k ∈Z.∴函数的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫3k 2－34，0，k ∈Z. 13．解 因为当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，tan x >x >sin x ， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝sin x 与y ＝tan x 没有公共点，因此函数y ＝sin x 与y ＝tan x 在区间[0,2π]内的图象如图所示：。

2015年高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象课时跟踪检测 新人教A 版必修41．下列说法正确的是( ) A ．正切函数在整个定义域内是增函数 B ．正切函数在整个定义域内是减函数 C ．函数y ＝3tan x 2的图象关于y 轴对称 D ．若x 是第一象限角，则y ＝tan x 是增函数解析：由增减函数的概念知A 、B 均错误；对D,390°和60°均为第一象限角，且390°＞60°，但tan 390°＜tan 60°，故D 错误，综上可知C 正确．答案：C2．函数y ＝|tan 2x |是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数解析：f (－x )＝|tan(－2x )|＝|tan 2x |＝f (x )为偶函数，T ＝π2.答案：D3．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，则φ可以是( ) A.π6B ．－π6C ．－π12D.π12解析：将⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0代入原函数可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，再将A ，B ，C ，D 代入检验即可． 答案：B4．函数y ＝tan(cos x )的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1]D ．以上均不对解析：∵－1≤cos x ≤1，且函数y ＝tan x 在[－1,1]上为增函数，∴tan(－1)≤tanx ≤tan 1.即－tan 1≤tan x ≤tan 1.答案：C5．函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期是π2，则ω＝________.解析：由题意知，T ＝π|ω|＝π2，∴ω＝±2.答案：±26．在(0,2π)内，使tan x ＞1成立的x 的取值范围为________．解析：利用图象y ＝tan x 位于y ＝1上方的部分对应的x 的取值范围可知． 答案：⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫54π，32π7．求函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4的值域．解：∵－π4≤x ≤π4，∴－1≤tan x ≤1.令tan x ＝t ，则t ∈[－1,1]． ∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5. ∴当t ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝－4，当t ＝1，即x ＝π4时，y max ＝4.故所求函数的值域为[－4,4]．8．直线y ＝a (a 为常数)与正切曲线y ＝tan ωx (ω是常数且ω＞0)相交，则相邻两交点之间的距离是( )A.πωB.2πωC ．πD ．与a 的值有关解析：由正切曲线知相邻两交点之间的距离为一个周期，又T ＝πω，∴选A.答案：A9．若函数y ＝12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ为奇函数，则φ＝________.解析：∵函数为奇函数，∴φ＝k π(k ∈Z )． 答案：k π(k ∈Z )10．－tan 6π5与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5的大小关系是________．解析：－tan 6π5＝－tan π5，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5＝－tan 13π5＝－tan 3π5.∵0＜π5＜π2＜3π5＜π，∴tan π5＞0＞tan 3π5，则－tan 6π5＜tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5. 答案：－tan 6π5＜tan ⎝⎛⎭⎪⎫－13π511．y ＝tan x2满足下列哪些条件？________.(填序号)①在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增；②为奇函数；③以π为最小正周期；④定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π2，k ∈Z . 解析：令x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以y ＝tan x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增正确；tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝－tan x 2，故y ＝tan x 2为奇函数；T ＝πω＝2π，所以③不正确；由x 2≠π2＋k π，k ∈Z 得，{x |x ≠π＋2k π，k ∈Z }，所以④不正确．答案：①②12．已知函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于2π，求f (x )的单调递增区间．解：由题意知，函数f (x )的周期为2π， 则π|ω|＝2π，由于ω＞0，故ω＝12. 所以f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4.再由k π－π2＜12x ＋π4＜k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－3π2＜x ＜2k π＋π2，k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－3π2，2k π＋π2，k ∈Z .13．若函数f (x )＝tan 2x －a tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最小值为－6.求实数a 的值．解：设t ＝tan x ，∵|x |≤π4，∴t ∈[－1,1]． 则原函数化为：y ＝t 2－at ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22－a24，对称轴t ＝a2.①若－1≤a 2≤1，则当t ＝a 2时，y min ＝－a 24＝－6，∴a 2＝24(舍去)；②若a2<－1，即a <－2时，二次函数在[－1,1]上递增， y min ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－a 22－a 24＝1＋a ＝－6，∴a ＝－7； ③若a2>1，即a >2时，二次函数在[－1,1]上递减．y min ＝1－a ＝－6，∴a ＝7.综上所述，a ＝－7或a ＝7.本节内容是根据正切函数的诱导公式、正切线、正切函数定义等知识来推导、研究的，注意与正、余弦函数的图象与性质进行类比．1．正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z，值域是R . (2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ω≠0)的周期为T ＝π|ω|. (3)正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间．。

2019-2020年高中数学 1.4.3 正切函数的性质与图象备课资料新人教A版必修4一、函数f(x)±g(x)最小正周期的求法若f(x)和g(x)是三角函数,求f(x)±g(x)的最小正周期没有统一的方法,往往因题而异,现介绍几种方法:(一)定义法例1 求函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期.解:∵y=|sinx|+|cosx|=|-sinx|+|cosx|=|cos(x+)|+|sin(x+)|=|sin(x+)|+|cos(x+)|,对定义域内的每一个x,当x增加到x+时,函数值重复出现,因此函数的最小正周期是. (二)公式法这类题目是通过三角函数的恒等变形,转化为一个角的一种函数的形式,用公式去求,其中正、余弦函数求最小正周期的公式为T=,正、余切函数T=.例2 求函数y=-tanx的最小正周期.解:y=-tanx==2,∴T=.(三)最小公倍数法设f(x)与g(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数,T1、T2分别是它们的周期,且T1≠T2,则f(x)±g(x)的最小正周期是T1、T2的最小公倍数,分数的最小公倍数=例3 求函数y=sin3x+cos5x的最小正周期.解:设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2,则T1=,T2=,所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T==2π.例4 求y=sin3x+tanx的最小正周期.解:∵sin3x与tanx的最小正周期是与,其最小公倍数是=10π,∴y=sin3x+tanx的最小正周期是10π.(四)图象法例5 求y=|cosx|的最小正周期.解:由y=|cosx|的图象，可知y=|cosx|的周期T=π.(设计者:张云全)2019-2020年高中数学 1.4.3 正切函数的性质与图象教案新人教A版必修4教学分析本节课的背景是:这之前我们已经用了三节课的时间学习了正弦函数和余弦函数的性质.函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般来说,对函数性质的研究总是先作图象,通过观察图象获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表述.但对正切函数,教科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质,然后再根据性质研究正切函数的图象.这样处理,主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角,在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象,加强了理性思考的成分,并使数形结合的思想体现得更加全面.教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法.通过多媒体教学,让学生通过对图象的动态观察,对知识点的理解更加直观、形象.以提高学生的学习兴趣,提高课题教学质量.从学生的实际情况为教学出发点,通过各种数学思想的渗透,合理运用各种教学课件,逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力,学会运用数学思想解决实际问题的能力.这样既加强了类比这一重要数学思想的培养,也有利于学生综合运用能力的提高,有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯通,提高教学效果.由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中,因此,我们可以通过“探究”提出,引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质,让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法.三维目标1.通过对正切函数的性质的研究,注重培养学生类比思想的养成,以及培养学生综合运用新旧知识的能力.学会通过对图象的观察来整理相应的知识点,学会运用数学思想解决实际问题的能力.2.在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上,运用类比的方法,学习正切函数的图象与性质,从而培养学生的类比思维能力.3.通过正切函数图象的教学,培养学生欣赏(中心)对称美的能力,激发学生热爱科学、努力学好数学的信心.重点难点教学重点:正切函数的性质与图象的简单应用.教学难点:正切函数性质的深刻理解及其简单应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课.思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法.推进新课新知探究提出问题①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？活动:问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性.(1)周期性由诱导公式tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠+kπ,k∈Z可知,正切函数是周期函数,周期是π.这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性.(2)奇偶性由诱导公式tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠+kπ,k∈Z可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(,0)k∈Z.(3)单调性通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(,)内是增函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(+kπ,+kπ),k∈Z内都是增函数.(4)定义域根据正切函数的定义tanα=,显然,当角α的终边落在y轴上任意一点时,都有x=0,这时正切函数是没有意义的；又因为终边落在y轴上的所有角可表示为kπ+,k∈Z,所以正切函数的定义域是{α|α≠kπ+,k∈Z},而不是{α≠+2kπ,k∈Z},这个问题不少初学者很不理解,在解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质.(5)值域由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x大于且无限接近时,正切线AT 向Oy轴的负方向无限延伸;当x小于且无限接近时,正切线AT向Oy轴的正方向无限延伸.因此,tanx在(,)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.因此,正切函数的值域是实数集R.问题②,教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图1.图1问题③,正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论,这也体现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生可能选取了［0,π］作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的体现.此时,教师应调整计划,把课件中先作出［-,］内的图象,改为先作出［0,π］内的图象,再进行图象的平移,得到整个定义域内函数的图象,让学生观察思考.最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质,让学生通过分析得到先作区间(-,)的图象为好.这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图象,如图2.根据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y=tanx,x∈R,且x≠+kπ(k∈Z)的图象,我们称正切曲线,如图3.图2 图3问题④,教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出函数y=tanx,x∈(,)的简图.学生可看出有三个点很关键:(,-1),(0,0),(,1),还有两条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点(,-1),(0,0),(,1),再画两条平行线x=,x=,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助.讨论结果:①略.②正切线是AT.③略.④能,“三点两线”法.提出问题①请同学们认真观察正切函数的图象特征,由数及形从正切函数的图象讨论它的性质.②设问:每个区间都是增函数,我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子.活动:问题①,从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线x=+kπ,k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的.教师引导学生进一步思考,这点反应了它的哪一性质——定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线,我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质——值域为R；每隔π个单位,对应的函数值相等,得到它的哪一性质——周期π;在每个区间图象都是上升趋势,得到它的哪一性质——单调性,单调增区间是(+kπ,+kπ),k∈Z,没有减区间.它的图象是关于原点对称的,得到是哪一性质——奇函数.通过图象我们还能发现是中心对称,对称中心是(,0),k∈Z.问题②,正切函数在每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.如在区间(0,π)上就没有单调性.讨论结果:①略.②略.应用示例例1 比较大小.(1)tan138°与tan143°；(2)tan()与tan().活动:利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小,可以先利用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角,然后再比较大小.教师可放手让学生自己去探究完成,由学生类比正弦、余弦函数值的大小比较,学生不难解决,主要是训练学生巩固本节所学的基础知识,加强类比思想的运用.解:(1)∵y=tanx在90°<x<180°上为增函数,∴由138°<143°,得tan138°<tan143°.(2)∵tan()=-tan=-tan(3π+)=-tan,tan()=-tan=-tan(3π+)=-tan.又0<<<,而y=tanx在(0, )上是增函数,∴tan<tan.∴-tan>-tan,即tan()>tan().点评:不要求学生强记正切函数的性质,只要记住正切函数的图象或正切线即可.例2 用图象求函数y=的定义域.活动:如图4,本例的目的是让学生熟悉运用正切曲线来解题.不足之处在于本例可以通过三角函数线来解决,教师在引导学生探究活动中,也应以两种方法提出解决方案,但要有侧重点,应体现函数图象应用的重要性.图4 图5解:由tanx-≥0,得tanx≥,利用图4知,所求定义域为［kπ+,kπ+)(k∈Z).点评:先在一个周期内得出x的取值范围,然后再加周期即可,亦可利用单位圆求解,如图5.本节的重点是正切线,但在今后解题时,学生哪种熟练就用哪种.变式训练根据正切函数的图象,写出使下列不等式成立的x的集合.(1)1+tanx≥0;(2)tanx+3＜0.解:(1)tanx≥-1,∴x∈［kπ-,kπ+),k∈Z;(2)x∈［kπ-,kπ-),k∈Z.例3 求函数y=tan(x+)的定义域、周期和单调区间.活动:类比正弦、余弦函数,本例应用的是换元法,由于在研究正弦、余弦函数的类似问题时已经用过换元法,所以这里也就不用再介绍换元法,可以直接将x+作为一个整体.教师可让学生自己类比地探究,只是提醒学生注意定义域.解:函数的自变量x应满足x+≠kπ+,k∈Z,即x≠2k+,k∈Z.所以函数的定义域是{x|x≠2k+,k∈Z}.由于f(x)=tan(x+)=tan(x++π)=tan[(x+2)+ ]=f(x+2),因此,函数的周期为2.由-+kπ<x+<+kπ,k∈Z,解得+2k<x<+2k,k∈Z.因此,函数的单调递增区间是(+2k,+2k),k∈Z.点评:同y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的周期性的研究一样,这里可引导学生探究y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期T=.变式训练求函数y=tan(x+)的定义域,值域,单调区间,周期性.解:由x+≠kπ+,k∈Z可知,定义域为{x|x∈R且x≠kπ+,k∈Z}.值域为R.由x+∈(kπ-,kπ+),k∈Z可得,在x∈(kπ-,kπ+)上是增函数.周期是π,也可看作由y=tanx的图象向左平移个单位得到,其周期仍然是π.例4 把tan1,tan2,tan3,tan4按照由小到大的顺序排列,并说明理由.活动:引导学生利用函数y=tanx的单调性探究解题方法.也可利用单位圆中的正切线探究解题方法.但要提醒学生注意本节中活动的结论:正切函数在定义域内的每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.学生可能的错解有: 错解1:∵函数y=tanx是增函数,又1<2<3<4,∴tan1<tan2<ta n3<tan4.错解2:∵2和3的终边在第二象限,∴tan2,tan3都是负数.∵1和4的终边分别在第一和第三象限,∴tan1,tan4都是正数.又∵函数y=tanx是增函数,且2<3,1<4,∴tan2<tan3<tan1<tan4.教师可放手让学生自己探究问题的解法.发现错解后不要直接纠正,立即给出正确解法,可再让学生讨论分析找出错的原因.图6解法一:∵函数y=tanx在区间(,)上是单调递增函数,且tan1=tan(π+1),又<2<3<4<π+1<,∴tan2<tan3<tan4<tan1.解法二:如图6,1,2,3,4的正切函数线分别是AT1,AT2,AT3,AT4,∴tan2<tan3<tan4<tan1.点评:本例重在让学生澄清正切函数单调性问题,这属于学生易错点.把正切函数y=tanx的单调性简单地说成“在定义域内是增函数”是不对的.知能训练课本本节练习1—5.解答:1.在x轴上任取一点O1,以O1为圆心,单位长为半径作圆,作垂直于x轴的直径,将⊙O1分成左右两个半圆,过右半圆与x轴的交点作⊙O1的切线,然后从圆心O1引7条射线把右半圆分成8等份,并与切线相交,得到对应于,,,0,,,等角的正切线.相应地,再把x轴上从到这一段分成8等份.把角x的正切线向右平行移动,使它的起点与x轴上的点x重合,再把这些正切线的终点用光滑的曲线连结起来,就得到函数y=tanx,x∈(,)的图象.点评:可类比正弦函数图象的作法.2.(1){x|kπ<x<+kπ,k∈Z};(2){x|x=kπ,k∈Z};(3){x|+kπ<x<kπ,k∈Z}.点评:只需根据正切曲线写出结果,并不要求解三角方程或三角不等式.3.x≠+,k∈Z.点评:可用换元法.4.(1) ;(2)2π.点评:可根据函数图象得解,也可直接由函数y=Atan(ωx+φ),x∈R的周期T=得解.5.(1)不是.例如0<π,但tan0=tanπ=0.(2)不会.因为对于任何区间A来说,如果A不含有+kπ(k∈Z)这样的数,那么函数y=tanx,x∈A是增函数;如果A至少含有一个+kπ(k∈Z)这样的数,那么在直线x=+kπ两侧的图象都是上升的(随自变量由小到大).点评:理解正切函数的单调性.课堂小结1.先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法,有哪些启发、收获.本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后,研究的又一个具体的三角函数,与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同?研究正、余弦函数,是由图象得性质,而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质,并在此基础上得到图象,最后用图象又验证了函数的性质.2.(教师点拨)本节研究的过程是由数及形,又由形及数相结合,也是我们研究函数的基本方法,特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法.请同学们课后思考总结:这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？作业课本习题1.4 A组6、8、9.设计感想1.本教案的设计背景刚刚学完正弦函数、余弦函数的图象与性质.因此教案的设计主线是始终抓住类比思想这条主线,让学生在巩固原有知识的基础上,通过类比,由学生自己来对新知识进行分析、探究、猜想、证明,使新旧知识点有机地结合在一起,学生对新知识也较易接受.2.本教案设计的学习程序是:温故(相关知识准备)→新的学习对象与旧知识的联系→类比探究→解决问题→应用成果→归纳总结→进一步的发散思考→探索提高.。