方阵与格点

天津中考数学格点技巧一、理解格点意义在解决数学问题时，我们经常遇到各种图形，其中格点图是一种常见的图形表示方式。

所谓格点，是指将图形画在方格纸上，每个交点称为格点。

理解格点的意义是掌握格点技巧的基础。

在格点图中，我们可以更加直观地观察图形的形状、大小和位置关系，从而更好地解决问题。

二、掌握基本图形在数学问题中，有许多基本的图形，如三角形、四边形、圆等。

掌握这些基本图形的性质和特点是解决格点问题的关键。

例如，直角三角形的斜边长度可以用勾股定理计算，而平行四边形的对角线可以互相平分等。

熟悉这些基本图形，可以帮助我们快速找到解题思路。

三、运用面积计算面积计算是解决格点问题的重要方法之一。

在格点图中，我们可以将复杂的图形划分为若干个基本图形，然后计算它们的面积。

在计算面积时，我们可以利用格点的位置关系，通过分割、填补、平移等方式将图形的面积转化为易于计算的形式。

四、解决图形问题在解决格点问题时，我们需要关注图形的形状、大小和位置关系。

通过观察格点图，我们可以发现图形的对称性、相似性等性质，从而更好地解决问题。

例如，我们可以利用图形的对称性找到对称轴，从而更好地理解图形的性质。

五、运用代数方程在解决格点问题时，我们经常需要建立代数方程。

通过设立代数方程，我们可以将实际问题转化为数学问题，从而更好地解决问题。

在建立代数方程时，我们需要根据题目的实际情况和已知条件设立变量和方程式，然后通过解方程找到未知数。

六、掌握特殊三角形在解决格点问题时，特殊三角形是一种常见的图形。

特殊三角形包括等腰三角形、等边三角形和直角三角形等。

掌握这些特殊三角形的性质和特点是解决格点问题的关键。

例如，等腰三角形的两腰相等，等边三角形的三个角都等于60度等。

熟悉这些特殊三角形，可以帮助我们更快地找到解题思路。

七、解决复杂图形问题对于一些复杂的图形问题，我们需要运用综合分析的方法来解决。

首先需要仔细审题，理解题目的要求和已知条件，然后通过观察和分析图形的形状、大小和位置关系，找到解题的突破口。

数学专项复习小升初典型奥数之方阵问题在小升初的数学考试中，方阵问题是一个常考的知识点，也是奥数中的典型题型。

对于即将面临小升初的同学们来说，掌握方阵问题的解题方法和技巧至关重要。

接下来，让我们一起来深入了解方阵问题。

首先，我们要明白什么是方阵。

方阵就是行数和列数相等的正方形队列。

比如，一个 5 行 5 列的队列就是一个方阵。

方阵问题主要包括以下几个方面：一、方阵的基本特点1、方阵不论在哪一层，每边上的数量都相等。

每向里一层，每边上的数量就减少 2。

2、每层数量相差 8（除了最里层）。

3、实心方阵的总数＝每边数量×每边数量二、方阵的层数、每层数量与总数的关系假设一个方阵有 n 层，最外层每边有 a 个，那么从外往里第二层每边数量为 a 2，第三层每边数量为 a 4，以此类推。

每层数量＝每边数量×4 4总数＝最外层每边数量×最外层每边数量三、常见的方阵问题类型及解题方法1、已知方阵总数，求每边数量比如，一个实心方阵的总数是 64 人，求每边有多少人？我们知道实心方阵的总数＝每边数量×每边数量，因为8×8 ＝64，所以每边有 8 人。

2、已知每边数量，求方阵总数若一个方阵每边有 9 人，求这个方阵的总人数。

总数＝ 9×9 ＝ 81（人）3、求方阵的层数及每层的数量例如，一个方阵总数为 144 人，最外层每边有 12 人，求方阵的层数和每层的数量。

首先，最外层数量＝ 12×4 4 ＝ 44（人）因为每层数量相差 8，所以从外往里第二层数量为 44 8 ＝ 36（人），第三层为 36 8 ＝ 28（人），第四层为 28 8 ＝ 20（人），第五层为 20 8 ＝ 12（人）。

所以这个方阵一共有 5 层。

四、解题技巧和注意事项1、画图辅助理解在解决方阵问题时，通过画图可以更直观地看出方阵的结构和数量关系，有助于我们找到解题的思路。

2、找准关键信息认真审题，确定题目中给出的是方阵总数、每边数量还是其他相关信息，根据已知条件选择合适的公式进行计算。

三年级数学方阵问题讲解三年级数学中，方阵问题是一个常见的考点。

方阵是一个由数字组成的矩阵，它的行数和列数相等。

在解决方阵问题时，我们需要掌握方阵的特点和相关的计算方法。

方阵的特点是行数和列数相等。

在三年级数学中，我们通常会遇到2×2和3×3的方阵。

2×2的方阵有两行两列，3×3的方阵有三行三列。

方阵中的每个数字都有自己的位置，我们可以用行和列来表示。

在解决方阵问题时，我们需要了解方阵的计算方法。

首先，我们可以计算方阵的和、差、积。

方阵的和是指将方阵中对应位置的数字相加得到的新的方阵。

例如，对于两个2×2的方阵A和B，它们的和可以表示为 A + B。

差和和的计算方法类似，只不过是将对应位置的数字相减得到新的方阵。

积是指将方阵中对应位置的数字相乘得到的新的方阵。

例如，对于两个2×2的方阵A和B，它们的积可以表示为A × B。

我们还需要了解方阵的转置和逆矩阵。

方阵的转置是指将方阵中的行和列互换得到的新的方阵。

例如，对于一个2×2的方阵A，它的转置可以表示为A的倒置符号。

逆矩阵是指对于一个方阵A，存在另一个方阵B，使得 A × B = B × A = 单位矩阵。

单位矩阵是一个对角线上的元素为1，其它元素为0的方阵。

逆矩阵可以用来求解方程组和计算方阵的逆。

在解决方阵问题时，我们可以用方阵来表示一些实际问题。

例如，我们可以用方阵来表示一个矩形的边长和面积，或者用方阵来表示一个三角形的三个顶点坐标。

通过对方阵进行计算，我们可以求解这些实际问题。

在解决方阵问题时，我们还需要注意一些常见的计算错误。

例如，计算方阵的和、差、积时，我们需要对应位置的数字进行计算，不能错位。

另外，方阵的乘法不满足交换律，即 A × B ≠ B × A。

我们需要按照方阵的定义进行计算。

方阵问题是三年级数学中的一个重要内容。

方阵问题-北京版四年级数学上册教案一、教学目标1.知道如何在方阵中找出某个位置；2.能够了解方阵与坐标点之间的关系；3.能够熟练解决包括加、减、比较等各种类型的方阵问题。

二、教学重点1.让学生能够熟练解决各种类型的方阵问题；2.培养学生的思维能力和计算能力。

三、教学难点1.培养学生的抽象思维能力；2.让学生能够理解坐标点与方阵之间的关系，并准确地读取坐标点在方阵中的位置。

四、教学步骤步骤一：前置知识导入教师可以通过提问等方式帮助学生回忆起如何阅读坐标，以及如何进行简单的加减运算。

例如，可以问：•在地图上，如何查找一个城市的位置？•如果现在你身在A城市，你要去B城市，需要走多少公里？•如果现在你在(3,5)这个坐标点，你要往上走三步，向右走四步，会到达哪个坐标点？步骤二：引入方阵在黑板上画一个方阵，并以一个具体的例子来介绍如何在方阵中找出某个位置。

例如，假设我们有一个3✕4的方阵，现在要找到其中第2行第3列（也就是坐标点(2,3)）的位置。

教师可以用白色笔在方阵上圈出该位置，并解释它的含义。

步骤三：方阵与坐标点的关系教师可以在黑板上画一个坐标系，再画出一个方阵，并让学生自己找到其中某几个位置的坐标点。

例如，找出方阵中的第2行第3列、第4行第2列这两个位置的坐标点，并在坐标系中画出来。

接下来，教师可以逐步引入如何通过坐标点来定位方阵中的位置，例如，让学生在黑板上标出某个位置的坐标点，然后让他们在方阵中找到该位置并打上标记。

步骤四：方阵问题1.加减问题：教师可以在黑板上出示一些加减问题，例如：–如果现在你站在坐标点(2,3)，你往上走两步，往右走三步，你会到达哪个坐标点？–如果现在你站在坐标点(3,4)，你往下走四步，往左走两步，你会到达哪个坐标点？2.大小比较问题：教师可以在黑板上出示一些大小比较的问题，例如：–坐标点(1,3)和坐标点(2,2)哪个位置更靠近坐标轴？–坐标点(5,1)和坐标点(4,3)哪个位置更靠近坐标轴？步骤五：小结教师可以对方阵问题的解决方法进行小结，并对出现的问题进行解答和讲解。

小升初数学方阵知识点总结一、方阵的定义1. 方阵是指行数和列数相等的矩阵，通常表示为n阶矩阵，其中n表示方阵的阶数。

2. 一个n阶方阵可以表示为(Aij)的形式，其中i表示行数，j表示列数，Aij表示方阵中第i行第j列的元素。

二、方阵的分类1. 根据元素是否满足某些特定性质，方阵可以分为对角方阵、上三角方阵、下三角方阵、对称方阵、反对称方阵等不同类型。

2. 对角方阵是指除了对角线上的元素外，其他元素均为0的方阵。

3. 上（下）三角方阵是指对角线以下（以上）的元素均为0的方阵。

4. 对称方阵是指矩阵关于主对角线对称的方阵。

5. 反对称方阵是指矩阵的转置等于原矩阵的相反数的方阵。

三、方阵的运算1. 矩阵的加法：对应位置的元素相加。

2. 矩阵的数乘：矩阵中的每个元素都乘以一个数。

3. 矩阵的乘法：对于两个矩阵A（m×n）和B（n×p），它们的乘积为C（m×p），其中C的第i行第j列元素为A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。

4. 矩阵的转置：将矩阵的行和列互换得到新的矩阵。

四、方阵的性质1. 方阵的行列式：n阶方阵的行列式表示为|A|，通过广义化的代数余子式和元素计算得到。

2. 方阵的逆：若方阵A有逆矩阵A-1，则A·A-1=A-1·A=I，其中I为单位矩阵。

3. 方阵的秩：方阵A的秩是指A的非零子式的最高阶数。

五、方阵的应用1. 线性代数中的方阵表示了线性变换，并应用在几何学中。

2. 方阵在工程、物理、计算机等领域有着广泛的应用，如在数据处理、图像处理、信号处理等方面。

3. 方阵的特性和运算在数学建模和统计学中有重要作用，如在最小二乘法、协方差矩阵等方面应用广泛。

总结：方阵是数学中的重要概念，通过学习方阵的定义、分类、运算、性质和应用，可以帮助学生掌握更多的数学知识，并为今后更深入的学习打下坚实的基础。

同时，了解方阵的应用领域，可以帮助学生将数学知识与实际问题结合起来，更好地理解和应用所学的知识。

第二讲间隔与方阵植树问题植树问题是解答种树及其与种树相似的一类应用题.在植树问题中常见的三个数量，它们是路长，棵距，棵树.他们之间的关系是：路长÷棵距=段数①若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数+=1全长÷株距+1全长=株距⨯(棵数-1)株距=全长÷(棵数-1)②如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为：全长=株距⨯棵数棵数=段数=全长÷株距株距=全长÷棵数③如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数-=1全长÷株距-1株距=全长÷(棵数+1)全长=株距⨯(棵数+1)方阵问题方阵：让若干人或物体排队，若行数和列数相等，恰好排成一个正方形，所排的图形就叫方阵.实心（中实）方阵：如果方阵排满物体，叫实心方阵空心（中空）方阵：若方阵的中间不排物体，叫空心方阵基本特点：1、方阵任何一层的没边上物体数相等；2、每向内一层，每边物体数减少2个；3、任意相邻两层物体数相差8个.基本公式：1、一层物体总数=（该层每边物体数-1）⨯42、实心方阵物体总数=最外层每边物体数⨯最外层每边物体数3、空心方阵物体总数=实心物体总数-空心部分物体总数关键问题：确定方阵中特殊位置物体的数量和关系.注意边长的奇偶性，实心方阵边长÷=2层数2层数，或是（边长+1）÷=1例题1【提高】用棋子排成一个⨯66的实心方阵，共需要多少枚棋子？最外层有多少枚棋子？【分析】总数为⨯=6636（枚），最外层有-⨯=(61)420（枚）.【精英】（“走美杯”三年级初赛试题）某小学三年级的学生排成一个实心的正方形方阵，最外面一层有学生40人，这个方阵总共多少人？【分析】最外层每边人数为÷+=404111（人），因此方阵总人数为⨯=1111121（人）【拓展】（第七届数学竞赛三年级决赛）有196枚围棋子，摆成一个⨯1414的正方形.甲、乙两人依次从最外一层起取走每一层的全部棋子，直到取完为止，甲比乙多取了___________枚棋子.【分析】此正方形一共有÷=1427（层），最内层棋子数为⨯=224（枚）.甲取了四次，分别为第7、5、3、1层（由内向外数），乙取了三次，分别为第6、4、2层，根据方阵的特点，前三次甲每次都比乙多取83428（枚）棋子.8枚，可见，甲比乙一共多取了⨯+=例题2【提高、精英】幼儿园小朋友在老师指导下，把棋子排成正方形方阵，如果在这个方阵中去掉横竖各一排，则这个方阵少了9枚棋子，那么这个方阵共有多少枚棋子？【分析】该方阵最外层每边棋子数为+÷=5525（枚）.(91)25（枚），方阵中总棋子数为⨯=例题3【提高、精英】有一堆棋子排成实心方阵多余3只，如果横、纵各增加一排，则缺8只，问一共有棋子多少？【分析】根据题意可知原实心方阵新增一排一列需要+=3811只棋子，那么增加后的每排有+÷=(111)26只，那么原来的实心方阵共有-⨯-=25328只.(61)(61)25只棋子，那么一共有棋子+=例题4【提高、精英】有柳树若干棵，若排成三层的中空方阵，尚余9棵，在中空部分增加一层，则缺7棵，柳树有多少棵？【分析】根据题意可知在中空部分增加一层需要柳树+=9716棵，那么中空方阵最外层柳树的棵树为(4016)(31)27105（棵）.168340（棵），由此可知柳树的棵树为+⨯+÷-=+⨯=2例题5【提高、精英】有一个用圆片摆成的两层中空方阵，外层每边有16个圆片，如果把内层的圆片取出来，在外层再摆一层，变成一个新的中空方阵，应再增加多少圆片？【分析】法一：内层一共有--⨯=(1621)452（个）圆片，在外层之外再摆一层需要+-⨯=(1621)468（个），可见需要增加-=685216（个）圆片.法二：根据方阵的特点可知，新增的那一层比内层应该多+=8816（个）圆片.例题6【提高、精英】用棋子摆成最外层每边24粒的实心方阵，若改为3层的空心方阵，它的最外层每边有多少粒棋子？【分析】棋子总数为⨯=2424576（粒），改成空心方阵之后最外层每边有÷÷+=57643351（粒）.例题7【提高、精英】每边长25米的正方形水池边铺正方形水泥块，这种水泥块每边为50厘米.如果紧靠水池边铺三层水泥块（水泥块紧靠在一起），成为三层空心方阵，共要水泥块多少块？【分析】25米=2500厘米=⨯5050厘米.紧靠水池边的第一层需要水泥块-⨯+=(501)48204（块），第三层需要水泥块++=20488220（块），那么一共需要水泥块数量为+⨯÷=(204220)32636（块）.例题8【提高】有一个用方形瓷砖拼成的正方形，要在横、竖方向分别增加三排瓷砖，拼成一个大的正方形，一共需要增加159块瓷砖，问原来的正方形是由几块瓷砖拼成的？【分析】原来的正方形最外层的瓷砖块数为---÷÷=(159135)3225（块），那么原来的正方形中瓷砖的块数为⨯=2525625（块）.【精英】一些棋子被摆成了一个四层的空心方阵（右图是一个四层空心方阵的示意图）.后来小林又添入28个棋子，这些棋子恰好变成了一个五层的空心方阵（不能移动原来的棋子），那么最开始最少有________个棋子？【分析】将四层空心方阵变成五层空心方阵有三种方法，第一种是在最外层增加一圈（两行两列），第二种是在最内层增加一圈（两行两列），第三种是在最内层增加一行一列，在最外层的另外两个方向也增加一行一列.五层空心方阵的最外层至少有40枚棋子，所以第一种情况不符合题意，如果是第二种情况，那么最外层应该有+⨯=28846枚棋子，最开始应该有+++=60524436192枚棋子.如果是第三种情况，那么设五层方阵最内圈边长为x ，那么最外圈边长为+⨯=+x x 428，一共增加的棋子数为-++-=+x x x 232(8)1412枚，所以+=x 41228，解得=x 4.五层方阵的最外层边长为+=4812，原有棋子---=12(42)2811222枚.4所以最开始至少有112枚棋子.【补充1】用棋子摆成一个实心方阵，一共用了81枚棋子，那么最外层一共有棋子_______枚.【分析】=⨯8199，因此最外层棋子数为-⨯=(91)432（枚）.（此题可在例5之后讲）【补充2】一堆棋子排成一个实心方阵，后来又添进21只棋子，使横竖各增加一排，成为一个新的实心方阵，求原来实心方阵用了多少只棋子？【分析】新方阵最外层每边棋子数量为+÷=(211)211（只），那么原来的方阵用了-⨯-=(111)(111)100只棋子.（此题可在例3之后讲）【补充3】某班抽出一些学生参加节日活动表演，想排成一个正方形方阵，结果多出7人；如果每行每列再增加一排，却少了4人，问共抽出学生多少人？【分析】根据题意可知再增加一排一列需要学生+=7411（人），那么增加一排一列之后最外层每排人数为+÷=(111)26（人），抽出的学生人数为⨯-=66432（人）.（此题可在例3之后讲）【补充4】同学们做广播操排成最外一层是20人的实心方阵，做广播操的同学有多少人？【分析】最外层每边人数：÷+=20416人，所有人数：⨯=6636人.（此题可在例5之后讲）【补充5】若干学生排成一个实心方阵，最外一层每边有14人.共有多少层？1~4层一共有多少人？【分析】层数：-÷+=(142)217层，第四层每边人数：+-⨯=2(41)28人，1~4层总人数：⨯=8864人.（此题可在例5之后讲）【补充6】某小学有120名同学，排成一个三层空心方阵.方阵最外层每边有多少人？【分析】每层人数成一等差数列，所以中间层一共有：÷=120340人，最外层：+=40848人，最外层每边：÷+=484113人.（此题可在例6之后讲）【补充7】用若干棋子摆成层数大于一层的实心方阵，再把这个实心方阵拆开，用这些棋子摆成一个只有一层的空心方阵，最少需要多少个棋子？【分析】假设原来的方阵为a 行⨯a 列（>a 2），拆成一层的空心方阵时每边的棋子数为A （A 为正整数），那么有⨯=-⨯a a A (1)4，若要此式成立需满足⨯a a 为4的倍数，满足题意的最小的数为16，此时=a 4，=A 5，棋子总数为16.（此题可在例5之后讲）【补充8】某实心方阵最外层有44人，若改成4层的中空方阵，它的最外层有多少人？【分析】原实心方阵总人数为÷+⨯÷+=(4441)(4441)144（人），改成中空方阵后最外层的总人数为： ÷÷+-⨯=(1444441)448（人）.（此题可在例6之后讲）练习1某校三年级的同学排成一个方阵，最外一层人数为80人，问最外一层每边多少人？这个方阵共有三年级的学生多少人？【分析】每边人数为÷+=804121（人）；三年级总人数为⨯=2121441（人）练习2某年级同学排成方阵队形参加广播操比赛，因服装问题要横竖各减少一排，这样共去掉了19人，则此年级原定有多少人参加广播操比赛？【分析】该年级原有排（列）数为+÷=1010100（人）(191)210，那么原有参赛人数为⨯=练习3活动中，老师把学生组成一个正方形方队，其中最外层都是男生，男生共36人，其余是女生，问参加这个方队的学生共有多少人？【分析】此正方形方队中每一行（列）人数为+÷=1010100（人）.(364)410（人），那么这个方队总人数为⨯=练习4解放军进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵有几层？一共有多少人？【分析】层数为-÷+=(4816)52160（人）.(4816)815（层），总人数为+⨯÷=练习5将⨯1212的实心方阵改成三层空心方阵，那么空心方阵最外层每边是多少人？【分析】方阵总人数为⨯=14434315（人）.1212144（人），那么空心方阵外层每边人数为÷÷+=练习6在第五届运动会上，红心小学组成了一个混合型方阵，方阵最外层每边30人，共有10层，中间5层的位置由25个同学抬着这次运动会的会徽，问这个方阵队共有多少同学组成？【分析】根据题意可知由内向外数前五层一共有25个同学，后五层形成一个最外层每边人数为30的五层空心方阵，该空心方阵人数为-⨯⨯=50025525（人）(305)54500（人），那么学生总数为+=5。

格点求面积知识点一、格点的概念。

1. 定义。

- 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为格点。

例如，在坐标平面中，点(1,2)、( - 3,5)等都是格点，而像(1.5,3)就不是格点。

二、格点图形。

1. 定义。

- 顶点都是格点的多边形称为格点多边形。

比如一个三角形，它的三个顶点的坐标都是整数，这个三角形就是格点三角形；同样，四边形的四个顶点坐标都是整数时，它就是格点四边形。

三、格点求面积的方法。

1. 皮克定理（Pick's theorem）- 对于一个格点多边形，设其内部格点数为I，边界格点数为B，其面积S 满足公式S = I+(B)/(2)- 1。

- 例如，有一个格点三角形，经观察其内部格点数I = 3，边界格点数 B = 6，根据皮克定理，其面积S=3+(6)/(2)-1=3 + 3-1=5。

2. 分割法。

- 将格点多边形分割成若干个我们熟悉的图形，如三角形、矩形等。

- 比如一个格点五边形，可以通过连接格点将其分割成三个三角形。

分别求出这三个三角形的面积，然后将它们相加就得到了五边形的面积。

假设这三个三角形的面积分别为S_1 = 2，S_2=3，S_3 = 1，那么五边形的面积S = S_1+S_2+S_3=2 +3+1=6。

3. 补形法。

- 把格点多边形补成一个大的规则图形（如矩形），然后用大图形的面积减去补上去的小图形的面积。

- 例如，有一个格点凹四边形，我们可以把它补成一个矩形。

设矩形的面积为S_矩形=10，补上去的三个三角形的面积分别为S_1=1，S_2=2，S_3=1，那么凹四边形的面积S = S_矩形-S_1-S_2-S_3=10 - 1-2 - 1=6。

正方形格点阵中多边形面积的计算公式在正方形格点阵中，如果要计算多边形的面积，可以使用Pick定理或Shoelace定理两种方法。

1. Pick定理：Pick定理是一种用于计算多边形面积的简单而直观的方法，适用于多边形的顶点坐标都是整数的情况。

Pick定理的公式如下：面积=内部格点数+边上格点数/2-1其中，内部格点数表示多边形内部的格点数，边上格点数表示多边形边上的格点数。

假设我们有一个正方形格点阵，边长为a。

我们需要计算一个有n个顶点的多边形的面积。

首先，我们可以通过计算内部格点数和边上格点数来应用Pick定理。

内部格点数可以通过计算多边形内部的数量来获得。

画出多边形的边，可以看到多边形内部的格点数为S = a-2，即正方形的边长减去两个。

边上格点数可以通过计算多边形的边界格点数来获得。

每个边上有a个格点，因此多边形的边上格点数为n*a。

将这些值代入Pick 定理的公式，即可计算多边形的面积。

2. Shoelace定理：Shoelace定理是一种更普遍适用的方法，适用于多边形的顶点坐标可以是任意实数的情况。

Shoelace定理的公式如下：面积 = ，(x1*y2 + x2*y3 + ... + xn*y1) - (y1*x2 + y2*x3 + ... + yn*x1)， / 2其中，(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) 是多边形的顶点坐标，按逆时针方向排列。

假设我们有一个正方形格点阵，边长为a。

我们需要计算一个有n个顶点的多边形的面积。

首先，我们可以计算出多边形每个顶点的坐标。

对于正方形格点阵，每个格点的坐标可以表示为(i, j)，其中i和j分别为行和列的索引。

我们可以将顶点坐标代入Shoelace定理的公式，从而计算多边形的面积。

需要注意的是，Shoelace定理的公式中的坐标需要按逆时针方向排列，以确保计算的结果为正。

综上所述，对于正方形格点阵中的多边形面积的计算，我们可以采用Pick定理或Shoelace定理两种方法。

方阵的相关知识点总结一、方阵的定义方阵是一种特殊的矩阵，它具有相同的行数和列数，可以表示成n×n的形式。

一个n×n 的方阵具有n行和n列，其中每行和每列之间的元素数量相等，因此可以写成一个n行n 列的矩阵。

一般来说，我们用A表示一个方阵，其中A=(a_ij)表示一个n×n的方阵，其中a_ij表示第i行第j列的元素。

二、特殊类型的方阵1. 对角方阵：对角方阵是一种特殊的方阵，它的主对角线以外的元素都为0。

对角方阵的主对角元素是指第i行第i列元素，通常用a_ii表示。

对角方阵是一种非常重要的方阵，它在数学和物理学中有着广泛的应用。

对角方阵有许多特殊的性质，例如对角方阵的转置仍然是对角方阵，对角方阵的行列式即为主对角元素的乘积等。

2. 上三角矩阵：上三角矩阵是一种特殊的方阵，它的主对角线以下的元素都为0。

上三角矩阵也具有许多特殊的性质，例如上三角矩阵的转置仍然是上三角矩阵，上三角矩阵的行列式即为主对角元素的乘积等。

3. 下三角矩阵：下三角矩阵是一种特殊的方阵，它的主对角线以上的元素都为0。

下三角矩阵也具有许多特殊的性质，例如下三角矩阵的转置仍然是下三角矩阵，下三角矩阵的行列式即为主对角元素的乘积等。

三、方阵的运算方阵的运算包括加法、减法、数乘、矩阵乘法等操作。

以下将详细介绍方阵的运算规则：1. 方阵的加法：如果A和B都是n×n的方阵，那么A和B的和是一个n×n的方阵，它的元素是A和B对应元素的和。

2. 方阵的减法：如果A和B都是n×n的方阵，那么A和B的差是一个n×n的方阵，它的元素是A和B对应元素的差。

3. 数乘：如果A是一个n×n的方阵，k是一个实数，那么kA是一个n×n的方阵，它的元素是A的每个元素乘以k。

4. 矩阵乘法：如果A是一个n×n的方阵，B是一个n×n的方阵，那么AB是一个n×n的方阵，它的元素是A的每一行与B的每一列对应元素的乘积之和。

格点面积公式证明首先，我们需要了解什么是格点。

在平面上，每个点的坐标都是两个整数，我们称这个点为格点。

考虑一个简单的正方形，边长为1个单位。

我们可以很容易地看出，正方形内部格点的数量为1接下来，我们考虑一个更复杂的情况，一个长方形。

假设长方形的边长分别为a和b，其中a和b都是正整数。

我们可以将长方形重新划分为a个单位的正方形和b个单位的正方形。

显然，每个单位正方形内部都只有一个格点。

所以，长方形内的格点数量为a乘以b，即格点数量为ab。

下面，我们来研究一些特殊情况。

考虑一个直角三角形，其中直角边长为a，斜边长为b，且a和b都是正整数。

我们可以将这个直角三角形重新划分为一个长方形和一个直角三角形。

长方形的边长为a，b的值减去1、直角三角形的斜边长度仍然为b。

长方形内的格点数量为a乘以(b-1)。

而直角三角形内的格点数量为(b-1)除以2、所以，直角三角形内的格点数量为(a乘以(b-1))加上((b-1)除以2)。

我们可以通过符号来简化证明过程。

设P为任意多边形，n为P内的格点数量，s为P的面积。

那么，赋格定理可以表示为：n=s+b/2-1其中，b为P的边上的格点数量。

接下来，我们利用数学归纳法来证明赋格定理。

首先，我们证明当多边形为三角形时，赋格定理成立。

我们假设三角形内的格点数量为n，面积为s，则三角形的边上的格点数量为b。

由于三角形具有三条边，所以b = a1 + a2 + a3，其中ai为每条边上的格点数量。

三角形可以划分为两个直角三角形和一个小多边形。

其中直角三角形的格点数量分别为(a1-1)/2和(a2-1)/2，而小多边形内的格点数量为s。

所以，n=(a1-1)/2+(a2-1)/2+s。

根据赋格定理的公式，我们可以得到：n=s+b/2-1代入b=a1+a2+a3，我们可以得到：s+(a1+a2+a3)/2-1=(a1-1)/2+(a2-1)/2+s化简之后，我们可以得到：(a1+a2+a3)/2=(a1-1)/2+(a2-1)/2+1化简之后，我们可以得到：a1+a2+a3=a1+a2这是一个显然成立的等式，所以我们证明了当多边形为三角形时，赋格定理成立。

格点法求面积的公式格点法是一种常用的数学方法，可以用来求解各种几何问题，其中包括求解面积问题。

在这篇文章中，我们将介绍如何使用格点法来求解面积问题，并给出相应的公式。

我们需要了解什么是格点。

格点是指平面上的一个点，其坐标值为整数。

例如，(0,0)、(1,1)、(2,2)等都是格点。

在平面上，我们可以通过连接相邻的格点来构成一个网格，这个网格可以用来表示各种几何形状。

接下来，我们考虑如何使用格点法来求解面积问题。

假设我们要求解一个多边形的面积，我们可以将这个多边形放在一个网格上，并将其分解为若干个小三角形。

对于每个小三角形，我们可以使用海龙公式来求解其面积，然后将所有小三角形的面积相加，即可得到多边形的面积。

具体来说，我们可以按照以下步骤来求解多边形的面积：1. 将多边形放在一个网格上，使得多边形的所有顶点都是格点。

2. 将多边形分解为若干个小三角形，每个小三角形的顶点都是格点。

3. 对于每个小三角形，使用海龙公式来求解其面积。

4. 将所有小三角形的面积相加，即可得到多边形的面积。

下面，我们给出格点法求解面积的公式：S = (A - B + 2) / 2其中，S表示多边形的面积，A表示多边形内部格点的个数，B表示多边形边界上格点的个数。

这个公式的原理是基于欧拉定理。

欧拉定理指出，对于一个平面图形，其内部格点的个数与边界上格点的个数之和，等于其面积加上1。

因此，我们可以通过计算内部格点的个数和边界上格点的个数，来求解平面图形的面积。

格点法是一种简单而有效的方法，可以用来求解各种几何问题，包括面积问题。

通过使用格点法，我们可以将复杂的几何问题转化为简单的计算问题，从而更加方便地进行求解。

格点面积公式推导过程
格点面积公式推导过程可以通过以下参考内容来进行说明。

首先，我们需要了解什么是格点。

在平面几何中，格点指的是平面上由整数坐标所确定的点，即坐标为(x, y)，其中x和y 都是整数。

可以将一个格点看作是一个正方形的顶点。

接下来，我们来推导格点面积公式。

1. 将一个格点看作是一个正方形的顶点，根据正方形的性质，格点的面积等于正方形的面积。

2. 一个正方形的边长等于两个顶点的横坐标或纵坐标之差的绝对值。

因为格点的坐标是整数，所以一个格点的横坐标和纵坐标之差也是整数。

3. 正方形的面积等于边长的平方。

根据步骤2，正方形的边长是两个整数之差的绝对值，所以正方形的面积等于两个整数之差的绝对值的平方。

4. 因为在平面几何中，我们已经知道两个整数之差的绝对值的平方等于两个整数的平方之差。

即，|a-b|^2 = a^2 - 2ab + b^2。

5. 将步骤4中的公式代入步骤3中，得到正方形的面积为a^2 - 2ab + b^2。

6. 因为格点的面积等于正方形的面积，所以格点的面积也等于
a^2 - 2ab + b^2。

最终，我们得到了格点的面积公式为a^2 - 2ab + b^2。

通过以上的推导过程，我们可以得到格点面积公式。

这个公式可以用来计算格点的面积，可以在进行多边形相关问题的计算中发挥重要作用。

小学方阵知识点总结一、什么是方阵方阵是指一个矩阵，即行数和列数相等的矩阵，也就是“n×n”的矩阵，其中n为任意正整数。

方阵可以用来表示一些有序的数据或者一些运算的规律。

二、方阵的特点1. 方阵的行数和列数相等，也就是n×n的形式。

2. 方阵中每一个元素都有固定的位置和确定的数值。

3. 方阵可以进行加法、减法和数乘等运算，也可以进行转置和求逆运算。

三、方阵的表示方阵一般用单个大写字母表示，比如A、B、C等。

如果方阵的元素用a11、a12、a13...an2、an3...ann来表示，那么方阵可以表示为：A = | a11 a12 a13 ... an || a21 a22 a23 ... an || a31 a32 a33 ... an || ... ... ... ... || an1 an2 an3 ... ann |四、方阵的运算1. 方阵的加法：对应位置上的元素相加。

2. 方阵的减法：对应位置上的元素相减。

3. 方阵的数乘：方阵中的每个元素都乘以一个数。

4. 方阵的转置：将方阵的元素翻转，行变成列。

5. 方阵的逆运算：对于可逆矩阵，可以求其逆矩阵，使得两者相乘得到单位矩阵。

五、方阵的应用1. 解方程组：通过方阵的逆运算，可以求解线性方程组。

2. 计算矩阵的信息：比如行列式、特征值、特征向量等。

3. 图像变换：在计算机图像处理中可以应用到矩阵运算，比如平移、缩放、旋转等。

总之，方阵是线性代数中的重要概念，掌握方阵的基本知识和运算能力对于学习数学和应用数学方面都有很大的帮助。

因此，小学生要提前对方阵有所了解，并通过练习加深理解，为将来的学习打下基础。

小学奥数：格点型面积（毕克定理）板块一正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N=+-．这个规律就是毕克定理．【例1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？【例2】如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【例3】判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶【例4】如图，计算各个格点多边形的面积．【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．)毕克定理若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，则它的面积为12LS N=+-．【例5】如图(a)，计算这个格点多边形的面积．【例6】(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【例7】分别计算图中两个格点多边形的面积．⑴⑵【巩固】求下列各个格点多边形的面积．⑵⑴⑷⑶【例8】我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？【例9】右图是一个812面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．HGFAEDCB【例10】右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【例11】(“小学数学奥林匹克”竞赛试题)55的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是平方厘米．【例12】(“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【例13】(第六届“从小爱数学”邀请赛试题)两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为25.12cm，右下角的阴影部分(线状)面积为27.4cm，求大正方形的面积．【例14】(第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积．B PQFEDCB A板块二 三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．【例 15】 如图(a )，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形ABC 的面积．A B CD F E(b )(a )【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算ABC的面积．【例 16】 求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．⑴⑵⑶⑷【例 17】 把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128，求图中粗线所围成的三角形的面积．【例 18】 如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？【例19】把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．【例20】将图中的图形分割成面积相等的三块．【例21】如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？【例22】(第五届“华杯赛”试题)正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？SRQABC DEFNM PEB【例23】如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角形ABC的面积是_____平方厘米．。

线代方阵知识点总结在线性代数中，方阵是一个非常重要的概念。

方阵是一个n×n的矩阵，即矩阵的行数和列数相等。

方阵的概念是线性代数中的基础，理解方阵的性质和运算规则对于理解线性代数的其他理论和方法是非常重要的。

在这篇文章中，我们将从不同角度来总结方阵的相关知识点。

一、方阵的定义和基本概念首先，我们来看方阵的定义和一些基本概念。

方阵是一个n×n的矩阵，即有n行和n列。

在表示方阵时，通常使用大写字母A、B、C等来表示，而矩阵中的元素可以用a_{ij}来表示，其中i表示行数，j表示列数。

在一个n×n的方阵中，元素a_{ij}称为矩阵的第i行第j列元素。

另外，方阵的对角线上的元素称为主对角线元素。

如果一个方阵A的元素满足a_{ij}=0(i≠j)，那么称它是一个对角矩阵。

如果一个方阵A的元素满足a_{ij}=0 (i>j)，那么称它是一个上三角矩阵；如果满足a_{ij}=0 (i<j)，那么称它是一个下三角矩阵。

有时候我们还需要对方阵进行转置操作，即将矩阵的行和列互换得到新的矩阵，这样得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵，通常用A^T表示。

二、方阵的运算在线性代数中，我们对方阵可以进行加法、乘法等运算。

首先来看方阵的加法。

对于两个n×n的方阵A和B，它们的加法定义为：A+B=C，其中C的第i行第j列元素为a_{ij}+b_{ij}，即对应元素相加。

方阵的加法遵循交换律和结合律。

接着是方阵的数乘。

对于一个实数k和一个n×n的方阵A，方阵的数乘定义为：kA=D，其中D的第i行第j列元素为ka_{ij}，即矩阵中的每个元素都乘以k。

这里需要注意的是，矩阵的数乘遵循分配律。

另外，我们还可以对两个方阵进行矩阵乘法运算。

矩阵乘法的定义比较复杂，但主要思想是将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列分别组合成新的矩阵。

对于一个m×n的矩阵A和一个n×p的矩阵B，它们的乘积AB=E，其中E是一个m×p的矩阵，E的第i行第j列元素为矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和。

格点的概念格点（Lattice Point）是一个在坐标平面或空间中，坐标都是整数的点。

格点可以看作是由一组整数坐标确定的点阵，形成一个网格。

格点在数学、物理、计算机科学等领域都有广泛的应用。

格点的概念最早起源于数学。

在数学中，格点是指在坐标平面或空间中，所有坐标都是整数的点。

在平面中，格点是由两个整数坐标组成的点；在三维空间中，格点是由三个整数坐标组成的点。

格点可以看作是坐标系的基本单位，它们之间的距离都是相等的。

格点在几何、代数、组合数学等领域都有应用。

在几何学中，格点常被用于描述图形的形状和位置关系。

例如，正方形的四个顶点就是四个格点；直线段的两个端点也可以是格点。

在代数学中，格点被用于描述向量空间和离散结构。

在组合数学中，格点则用于研究各种组合结构的性质。

格点在物理学中也有重要的应用。

在固体物理中，晶格就是一种由格点构成的结构。

晶体的周期性结构可以描述为由一组格点组成的网格，晶体中原子的位置可以用格点的坐标来表示。

格点理论在材料科学中起到了关键作用，可以用于解释材料的电子结构和磁学性质等现象。

格点在计算机科学中也有广泛的应用。

在计算几何中，格点可用于表示图形中的离散点，从而进行计算和算法设计。

在图像处理中，图像常被表示为由像素组成的格点，每个像素代表一个格点。

在密码学中，格点可用于构建密码算法和密钥交换协议。

除了上述领域，格点还在其他许多领域也有应用。

例如，在统计学中，格点可用于对数据进行离散化和建模。

在经济学中，格点可用于描述经济系统的不同状态和转变。

在生物学中，格点可用于模拟分子在细胞内的运动和相互作用。

总而言之，格点是一个在坐标平面或空间中，坐标都是整数的点。

格点在数学、物理、计算机科学等领域都有广泛的应用。

它们被用于描述几何形状、离散结构、晶体结构、图形图像、统计建模等领域。

格点理论对我们理解和研究自然界和人工系统中的各种现象和结构具有重要意义。

数学方阵的概念数学方阵是一个特殊的矩阵，它的行数等于列数。

也就是说，一个n阶方阵就是一个n行n列的矩阵。

在数学中，方阵有许多重要的性质和应用。

首先，方阵的对角线上的元素称为主对角线元素。

对于一个n阶方阵，主对角线上的元素可以表示为a11, a22, ..., ann，其中aij表示方阵中第i行第j列的元素。

主对角线上的元素在方阵的性质和运算中扮演重要的角色。

方阵可以进行加法和乘法运算。

两个相同阶数的方阵可以进行加法运算，其运算法则是将对应位置的元素相加。

例如，给定两个3阶方阵A和B，它们的加法运算可以表示为A + B = (aij + bij)。

同样，方阵也可以进行数乘运算。

一个方阵A可以与一个常数k相乘，其结果为方阵中的每个元素与k相乘。

例如，给定一个3阶方阵A和一个常数k，它们的数乘运算可以表示为kA = (k * aij)。

方阵的乘法是一个复杂的运算。

两个方阵的乘法只有在第一个方阵的列数等于第二个方阵的行数时才能进行。

如果有一个m阶方阵A和一个n阶方阵B，它们的乘法运算可以表示为AB = C，其中C是一个m行n列的方阵，其元素由A 和B的对应元素相乘再相加得到。

方阵还有一个重要性质是它可以表示线性变换。

线性变换是指将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的过程。

一个n阶方阵A可以表示一个线性变换f: R^n -> R^n，其中R^n表示n维实数向量空间。

具体而言，对于一个n维向量x = (x1, x2, ..., xn)，线性变换f将x映射为y = (y1, y2, ..., yn)，其计算方法是y = Ax，其中A是方阵，x和y都是n维列向量。

方阵的乘法也可以理解为线性变换的复合。

方阵还有一些特殊类型。

一个对角方阵是指主对角线以外的元素全为零的方阵。

一个上三角方阵是指主对角线以下的元素全为零的方阵。

一个下三角方阵是指主对角线以上的元素全为零的方阵。

这些特殊类型的方阵在数学和物理问题中经常出现，它们具有一些特殊的性质和简化计算的能力。