2013-2017年高考数学(理)分类汇编：第8章-立体几何-2-空间几何体的直观图与三视图

2017 年高考试题分类汇编之立体几何一、选择题（在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1.（ 2017 课标 I 理）某多面体的三视图如下图，此中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形构成，正方形的边长为2 ，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形， 这些梯形的面积之和为（） A.10B.12C.12D.16（第 1题）（第 2题）（第 3题）2.（ 2017 课标 II1理）如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）A.90B.63C.42D.363. （ 2017 北京理） 某四棱锥的三视图如下图，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A.3 2B.2 3C.2 2D.24.（ 2017 课标 II 理）已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1中， ABC 1200 , AB 2, BCCC 1 1，则异面直线AB 1 与 BC 1 所成角的余弦值为（3 15 C . 10 3） A. B.5D .2535. （ 2017 课标 III 理） 已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A.B.3C.D .4246.（ 2017 浙江）某几何体的三视图如下图（单位： cm ），则该几何体的体积 （单位： cm 3）是（）A.2 1 B.3 C .31D.332227.（ 2017 浙江）如图， 已知正四周体 D ABC （全部棱长均相等的三棱锥）， P,Q, R 分别为 AB, BC, CA上的点， AP PB,BQCR 2 ，分别记二面角 D PR Q, DPQ R,D QRP 的平面角为 , ,QCRA则（） A. B. C. D.O2OO1（第 6题）（第 7题）（第 8题）二、填空题（将正确的答案填在题中横线上）8.（ 2017江苏）如图 ,在圆柱 O1 ,O2内有一个球 O ,该球与圆柱的上、下边及母线均相切.记圆柱 O1 , O2的体积为 V1,球 O 的体积为 V2 ,则V1的值是. V29. （ 2017 天津理）已知一个正方体的全部极点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18 ，则这个球的积为.10. （ 2017 山东理）由一个长方体和两个1 圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积4为.（第10 题）（第11 题）11.（ 2017课标I 理）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O.D,E,F为圆剪开后，分别以O 上的点，BC ,CA, ABDBC , ECA, FAB 分别是以 BC ,CA, AB 为底边的等腰三角形.沿虚线为折痕折起DBC , ECA , FAB ，使得 D , E, F 重合，获得三棱锥.当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.12. （ 2017课标III理）a,b 为空间中两条相互垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与 a, b都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有以下结论：①当直线AB 与a 成 600角时，AB 与b 成300角；②当直线AB 与a成600角时，AB 与b 成600角；③直线AB 与a所成角的最小值为450；④直线AB与 a 所成角的最小值为600.________.（填写全部正确结论的编号）此中正确的选项是三、解答题（应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤）13.（ 2017 课标I 理）如图，在四棱锥P ABCD 中，AB // CD，且BAP CDP90o.（ 1）证明：平面PAB平面PAD ；（ 2）若PA PD AB DC ,APD90 0，求二面角A PB C 的余弦值.14.（ 2017 课标II 理）如图，四棱锥P ABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，AB BC 1AD ,BAD ABC90o , E 是PD 的中点。

确定球心位置的三种方法决定球的几何要素是球心的位置和球的半径，在球与其他几何体的结合问题中，通过位置关系的分析，找出球心所在的位置是解题的关键，不妨称这个方法为球心位置分析法．方法一由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；(2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到；(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A．16πB．20πC．24πD．32π【解析】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，可求得底面边长为2，故球的直径为22＋22＋42＝26，则半径为6，故球的表面积为24π，故选C．【答案】 C方法二构造长方体或正方体确定球心(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为()A．2B．6 2C．112D．52【解析】易知四面体A′EFD的三条侧棱A′E，A′F，A′D两两垂直，且A′E＝1，A′F＝1，A′D＝2，把四面体A′EFD补成从顶点A′出发的三条棱长分别为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A′EFD的外接球，球的半径为r＝1212＋12＋22＝62.故选B．【答案】 B方法三 由性质确定球心利用球心O 与截面圆圆心O ′的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．正三棱锥A -BCD 内接于球O ，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O 的表面积为________．【解析】 如图，M 为底面△BCD 的中心，易知AM ⊥MD ，DM ＝1，AM ＝ 3.在Rt △DOM 中，OD 2＝OM 2＋MD 2，即OD 2＝(3－OD )2＋1，解得OD ＝233，故球O 的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫2332＝163π.【答案】163π。

第八章 立体几何第一节 空间几何体及其表面积和体积题型85 空间几何体的表面积与体积1.（2017江苏6）如图所示，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下面及母线均相切．记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是 ．1.解析 设球O 的半径为r ，由题意212V r r =π⋅，3243V r =π，所以1232V V =．故填32．2．（2017天津理10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .2.解析 设正方体的边长为a ，则226183a a =⇒=.外接球直径为正方体的体对角线，所以233==R a ，344279πππ3382==⨯=V R . 3.（2107全国1卷理科16）如图所示，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，DBC △，ECA △，FAB △分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起DBC △，ECA △，FAB △，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥.当ABC △的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：3cm ）的最大值为_______.O FED CBAO O 1O 2 ⋅⋅ ⋅3.解析 由题意，联结OD ，交BC 于点G ，如图所示，则OD BC ⊥，36OG BC =， 即OG 的长度与BC 的长度成正比.设OG x =，则23BC x =，5DG x =-，三棱锥的高222225102510h DG OG x x x x =-=-+-=-，21233332ABC S x x x =⋅⋅=△，则21325103ABC V S h x x =⋅=-△45=32510x x -.令()452510f x x x =-，50,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3410050f x x x '=-，令()0f x '>，即4320x x -<，2x <，当()0f x '<，得522x <<，所以()f x 在()0,2上单调递增，在52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.故()()280f x f =≤，则380415V ⨯=≤，所以体积的最大值为3415cm .题型86 旋转体的表面积、体积及球面距离4.（2107全国3卷理科8）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）. A ．πB ．3π4C ．π2D ．π44．解析 如图所示，由题可知球心在圆柱体的中心处，圆柱体上、下底面圆的半径 2213122r ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，则圆柱体的体积23ππ4V r h ==.故选B.题型87 几何体的外接球与内切球第二节 空间几何体的直观图与三视图题型88 斜二测画法与直观图——暂无 题型89 空间几何体的三视图5.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）. A.π12+ B. π32+ C. 3π12+ D. 3π32+5.解析 由三视图可知，直观图是由半个圆锥与一个三棱锥构成，半圆锥体积为()2111=13232S π⨯π⨯⨯=，三棱锥体积为211=213=132S ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，所以几何体体积1212S S S π=+=+．故选A ．6.（2017全国1卷理科7）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）.A.10B.12C.14D.166. 解析 由三视图可画出立体图，如图所示，该多面体只有两个相同的梯形的面，()24226S =+⨯÷=梯，6212S =⨯=全梯.故选B.7.（2107全国2卷理科4）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）. A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π7．解析 该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，如图所示． 2211π310π3663π22=-=⋅⋅-⋅⋅⋅=V V V 总上.故选B.4668.（2017北京理7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）. A.32 B.23 C.22 D.28. 解析 几何体四棱锥如图所示，最长棱为正方体的体对角线，即22222223l =++=.故选B.9.（2017山东理13）由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .9. 解析 该几何体的体积为21112211242V π=π⨯⨯⨯+⨯⨯=+．第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系题型90 证明“点共面”“线共面”“点共线”或“线共点” ——暂无 题型91 截面问题——暂无10.（2017江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为107cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）.（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分 的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．ABC D A 1B 1C 1D 1容器ⅠFEGH O E 1F 1G 1H 1O 1容器Ⅱ10.解析 （1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处，如图所示为截面11A ACC 的平面图形．因为107AC =，40AM =，所以()224010730MC =-=，从而3sin 4MAC ∠=.记AM 与水面的交点为1P ， 过点1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足，则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =，从而11116sin PQ AP MAC==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．问(1)AC 1A 1CMP 1Q 1（2）如图所示为截面11E EGG 的平面图形，O ，1O 是正棱台两底面的中心．由正棱台的定义，1OO ⊥平面EFGH ， 所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1O O EG ⊥． 同理，平面11E EGG ⊥平面1111E FG H ，111O O E G ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处．过G 作11GK E G ⊥，K 为垂足，则132GK OO ==．因为 14EG =，1162E G =，所以16214242KG -==， 从而2211 GG KG GK =+22243240=+=．设1EGG α∠=，ENG β∠=，则114sin sin cos 25KGG KGG απ⎛⎫=+==⎪⎝⎭∠∠．因为2απ<<π，所以3cos 5α=-． 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24cos 25β=， 于是()()sin sin sin =NEG αβαβ=π--=+∠sin cos cos sin αβαβ+4243735255255⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭． 记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22PQ EG ⊥，2Q 为垂足，则22PQ ⊥平面EFGH ，故2212PQ =，从而22220sin P Q EP NEG==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．问(2)G O E Q 2P 2NG 1KE 1O 1评注 此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强．也有学生第（1）问采用相似法解决，解法如下：107AC =，40AM =，所以()224010730CM =-=，1112PQ =，所以由11AP A Q CM △△∽，111PQ AP CM AM =，即1123040AP =，解得116AP =． 答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．题型92 异面直线的判定——暂无第四节 直线、平面平行的判定与性质题型93 证明空间中直线、平面的平行关系11.（2107浙江19（1））如图所示，已知四棱锥P ABCD -，PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点. （1）证明：//CE 平面PAB .11.解析 （1）如图所示，设PA DE 的中点为F ，联结EF ，FB .ABCD PE因为E ，F 分别为PD ，PA 的中点，所以//EF AD ，且1=2EF AD . 又因为//BC AD ，12BC AD =，所以//EF BC ，且=EF BC ，所以四边形BCEF 为平行四边形，所以//CE BF ，又BF ⊂平面PAB ，所以//CE 平面PAB .H QPN MF DBCEA12.（2017江苏15）如图所示，在三棱锥A BCD -中，AB AD ⊥，BC BD ⊥， 平面ABD ⊥平面BCD ， 点,E F （E 与,A D 不重合）分别在棱,AD BD 上，且EF AD ⊥． 求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD AC ⊥．ABDCEF12.解析 （1）在平面ABD 内，因为AB AD ⊥，EF AD ⊥，且点E 与点A 不重合，所以//EF AB .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以//EF 平面ABC . （2）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC AD ⊥.又AB AD ⊥，BC AB B = ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC .又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD AC ⊥.13.（2017全国2卷理科19）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，o 90BAD ABC ∠=∠=， E 是PD 的中点. （1）求证：直线//CE 平面PAB ；EM DCBAP13．解析 （1）令PA 的中点为F ，联结EF ，BF ，如图所示．因为点E ，F 为PD ，PA 的中点，所以EF 为PAD △的中位线，所以=1//2EF AD ．又因为90BAD ABC ∠=∠=︒，所以BC AD ∥．又因为12AB BC AD ==，所以=1//2BC AD ，于是=//EF BC ．从而四边形BCEF 为平行四边形，所以CE BF ∥．又因为BF PAB ⊂面，所以CE ∥平面PAB .Oz yxPM 'M F ED CBA题型94 与平行有关的开放性、探究性问题第五节 直线、平面垂直的判定与性质题型95 证明空间中直线、平面的垂直关系14.（2017江苏15）如图所示，在三棱锥A BCD -中，AB AD ⊥，BC BD ⊥， 平面ABD ⊥平面BCD ， 点,E F （E 与,A D 不重合）分别在棱,AD BD 上，且EF AD ⊥． 求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD AC ⊥．ABDCEF14.解析 （1）在平面ABD 内，因为AB AD ⊥，EF AD ⊥，且点E 与点A 不重合，所以//EF AB .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以//EF 平面ABC . （2）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC AD ⊥.又AB AD ⊥，BC AB B = ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC .又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD AC ⊥.15.（2017全国1卷理科18（1））如图所示，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，且90BAP CDP ∠=∠= .(1)求证：平面PAB ⊥平面PAD ；DCBAP15. 解析 （1）证明：因为90BAP CDP ∠=∠= ，所以PA AB ⊥，PD CD ⊥.又因为AB CD ∥，所以PD AB ⊥.又因为PD PA P = ，PD ，PA ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD .又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .16.（2017全国3卷理科19（1））如图所示，四面体ABCD 中，ABC △是正三角形，ACD △是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，AB BD =．（1）求证：平面ACD ⊥平面ABC ；16．解析 ⑴如图所示，取AC 的中点为O ，联结BO ，DO . 因为ABC △为等边三角形，所以BO AC ⊥，AB BC =.由AB BC BD BD ABD DBC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，得ABD CBD ≅△△，所以AD CD =，即ACD △为等腰直角三角形， 从而ADC ∠为直角.又O 为底边AC 中点，所以DO AC ⊥. 令AB a =，则AB AC BC BD a ====，易得2a OD =，32a OB =， 所以222OD OB BD +=，从而由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=，即OD OB ⊥. 由OD AC OD OB AC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩ 平面平面，所以OD ⊥平面ABC . 又因为OD ⊂平面ADC ，由面面垂直的判定定理可得平面ADC ⊥平面ABC .BEC DAO题型96 与垂直有关的开放性、探索性问题——暂无第六节 空间向量与立体几何题型97 空间向量及其运算 题型98 空间角的计算17.（2017全国2卷理科10）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠= ，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）.A ．32 B ．155 C ．105D ．33 17．解析 设M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 的中点，则1AB 和1BC 的夹角为MN 和NP 夹角或其补角（异面线所成角为π02⎛⎤ ⎥⎝⎦，）.可知11522MN AB ==，11222NP BC ==，取BC 的中点Q ，联结,,PQ MQ PM ，则可知PQM △为直角三角形．1=PQ ，12MQ AC =.在ABC △中，2222c o s A C A B B C A B B C AB C =+-⋅⋅∠14122172⎛⎫=+-⨯⨯⋅-= ⎪⎝⎭，即7=AC ，则72MQ =，则在MQP △中，22112MP MQ PQ =+=. 在PMN △中，222cos 2MN NP PM PNM MN NP +-∠=⋅⋅222521122210552222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-⋅⋅. 又异面直线所成角为π02⎛⎤ ⎥⎝⎦，，则其余弦值为105．故选C.18.（2107山东理17）如图所示，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120 得到的，G 是 DF 的中点. （1）设P 是 CE上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小； （2）当3AB =，2AD =，求二面角E AG C --的大小.18.解析 （1）因为AP BE ⊥，AB BE ⊥，AB ，AP ⊂平面ABP ，AB AP A = ， 所以BE ⊥平面ABP .又BP ⊂平面ABP ，所以BE BP ⊥.又120EBC ∠=︒，所以30CBP ∠=︒.（2）以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.Gz yxPFE DC BA由题意得(0,0,3)A ，(2,0,0)E ，(1,3,3)G ，(1,3,0)C -，则(2,0,3)AE =-，(1,3,0)AG = ，(2,0,3)CG =.设111(,,)x y z =m 是平面AEG 的一个法向量，由00AE AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，可得111123030x z x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 取12z =，可得平面AEG 的一个法向量(3,3,2)-m =. 设222(,,)x y z =n 是平面ACG 的一个法向量，由00AG CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，可得222230230x y x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 取22z =-，可得平面ACG 的一个法向量(3,3,2)=--n . 从而1cos ,2⋅==⋅m n m n m n ，易知二面角E AG C --为锐角.因此所求的角为60︒. 19.（2017江苏22）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，且2AB AD ==，13AA =，120BAD ∠=︒． （1）求异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值； （2）求二面角1B A D A --的正弦值．A 1B 1C 1D 1ABCD19.解析 在平面ABCD 内，过点A 作AE AD ⊥，交BC 于点E ． 因为1AA ⊥平面ABCD ，所以1AA AE ⊥，1AA AD ⊥．如图所示，以{}1,,AE AD AA为正交基底，建立空间直角坐标系A xyz -．EDCBAD 1C 1B 1A 1xyz因为2AB AD ==，13AA =，120BAD ∠=︒． 则()0,0,0A ，()3,1,0B-，()0,2,0D ，()3,0,0E，()10,0,3A ，()13,1,3C ．（1）()13,1,3A B =--，()13,1,3AC =，则111111cos ,A B AC A B AC A B AC ⋅=()()3,1,33,1,3177--⋅==-．因此异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值为17． （2）平面1A DA 的一个法向量为()3,0,0AE =．设(),,x y z =m 为平面1BA D 的一个法向量，又()13,1,3A B =-- ，()3,3,0BD =-，则100A B BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即330330x y z x y ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩． 不妨取3x =，则3y =，2z =，所以()3,3,2=m 为平面1BA D 的一个法向量.从而cos ,AE AE AE ⋅=m m m ()()3,0,03,3,23434⋅==⨯，设二面角1B A D A --的大小为θ，则3cos 4θ=． 因为[]0,θ∈π，所以27sin 1cos 4θθ=-=． 因此二面角1B A D A --的正弦值为74． 20.（2017全国1卷理科18）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，且90BAP CDP ∠=∠= .(1)求证：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA PD AB DC ===，90APD ∠= ，求二面角A PB C --的余弦值.DCBAP20. 解析 （1）证明：因为90BAP CDP ∠=∠= ，所以PA AB ⊥，PD CD ⊥.又因为AB CD ∥，所以PD AB ⊥.又因为PD PA P = ，PD ，PA ⊂平面PAD ，所以AB ⊥ 平面PAD .又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .（2）取AD 的中点O ，BC 的中点E ，联结PO ，OE ，因为AB CD ∥，所以四边形ABCD 为平行四边形，所以OE AB ∥.由（1）知，AB ⊥平面PAD ，所以OE ⊥平面PAD .又PO ，AD ⊂平面PAD ，所以OE PO ⊥，OE AD ⊥.又因为PA PD =，所以PO AD ⊥，从而PO ， OE ，AD 两两垂直.以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 设2PA =，所以()002D -，，，()220B ，，，()002P ，，，()202C -，，，所以()022PD =-- ，，，()222PB =- ，，，()2200BC =-，，.设()x y z =n ,,为平面PBC 的一个法向量，由00PB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得2220220x y z x ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩. 令1y =，则2z =，0x =，可得平面PBC 的一个法向量()012=n ,,. 因为90APD ∠=︒，所以PD PA ⊥，又知AB ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， 所以PD AB ⊥，又PA AB A = ，所以PD ⊥平面PAB .即PD是平面PAB 的一个法向量，()022PD =-- ,,， 从而23cos 323PD PD PD ⋅-===-⋅n n n ,. 由图知二面角A PB C --为钝角，所以它的余弦值为33-.21.（2017全国2卷理科19）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，o 90BAD ABC ∠=∠=， E 是PD 的中点. （1）求证：直线//CE 平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成的锐角为45 ，求二面角M AB D --的余弦值.EM DCBAP21．解析 （1）令PA 的中点为F ，联结EF ，BF ，如图所示．因为点E ，F 为PD ，PA的中点，所以EF 为PAD △的中位线，所以=1//2EF AD ．又因为90BAD ABC ∠=∠=︒，所以BC AD ∥．又因为12AB BC AD ==，所以=1//2BC AD ，于是=//EF BC ．从而四边形BCEF 为平行四边形，所以CE BF ∥．又因为BF PAB ⊂面，所以CE ∥平面PAB .（2）以AD 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设1AB BC ==，则()000O ，，，()010A -，，，()110B -，，，()100C ，，，()010D ，，，()003P ，，．点M 在底面ABCD 上的投影为M '，所以MM BM''⊥，联结BM '．因为45MBM '∠= ，所以MBM '△为等腰直角三角形．因为POC △为直角三角形，33OC OP =，所以60PCO ∠= ．设MM a '=，33CM a '=，313OM a '=-．所以31003M a ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭，，． 2222316101332BM a a a a ⎛⎫'=++=+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭．从而321132OM a '=-=-． 所以21002M ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭，，，261022M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，261122AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，，，(100)AB = ，，． 设平面ABM 的法向量11(0)y z =，，m ，则11602AM y z ⋅=+= m ，所以(062)=-，，m ， 易知平面ABD 的一个法向量为(001)=，，n ，从而10cos ,5⋅==⋅m n m n m n ．故二面角M AB D --的余弦值为105． Oz yxPM 'M F ED CBA22.（2017全国3卷理科19）如图所示，四面体ABCD 中，ABC △是正三角形，ACD △是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，AB BD =．（1）求证：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角––D AE C 的余弦值．22．解析 ⑴如图所示，取AC 的中点为O ，联结BO ，DO . 因为ABC △为等边三角形，所以BO AC ⊥，AB BC =.由AB BC BD BD ABD DBC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，得ABD CBD ≅△△，所以AD CD =，即ACD △为等腰直角三角形， 从而ADC ∠为直角.又O 为底边AC 中点，所以DO AC ⊥. 令AB a =，则AB AC BC BD a ====，易得2a OD =，32a OB =， 所以222OD OB BD +=，从而由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=，即OD OB ⊥. 由OD AC OD OB AC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩ 平面平面，所以OD ⊥平面ABC . 又因为OD ⊂平面ADC ，由面面垂直的判定定理可得平面ADC ⊥平面ABC .BEC DAO⑵由题意可知V V D ACE B ACE --=，即B ，D 到平面ACE 的距离相等，即点E 为BD 的中点.以O 为坐标原点，OA 为x 轴正方向，OB 为y 轴正方向，OD为z 轴正方向，设AC a =，建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，,0,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2a D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,,02a B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,,44a E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 易得3,,244a a a AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,22a a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，,0,02a OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭ . 设平面AED 的法向量为()1111=,,x y z n ，平面AEC 的法向量为()2222=,,x y z n ，则1100AE AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ，取()13,1,3=n ；2200AE OA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，取()20,1,3=-n .设二面角D AE C --为θ，易知θ为锐角，则12127cos 7θ⋅==⋅n n n n .z OADC EBxy23.（2017北京理16）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，//PD 平面MAC ，6PA PD ==，4AB =． （1）求证：M 为PB 的中点； （2）求二面角B PD A --的大小；（3）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．23.解析 （1）设,AC BD 的交点为E ，联结ME .因为PD ∥平面MAC ，平面MAC 平面PBD ME =，所以PD ME ∥. 因为ABCD 是正方形，所以E 为BD 的中点，所以M 为PB 的中点.MP EDCBA（2）取AD 的中点O ，联结OP ，OE . 因为PA PD =，所以OP AD ⊥.又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且OP ⊂平面PAD ，所以OP ⊥平面ABCD . 因为OE ⊂平面ABCD ，所以OP OE ⊥.因为ABCD 是正方形，所以OE AD ⊥.如图所示，建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,2)P ，(2,0,0)D ，(2,4,0)B -，(4,4,0)BD =- ，(2,0,2)PD =-.设平面BDP 的法向量为(,,)x y z =n ，则0BD PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即440220x y x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩. 令1x =，则1y =，2z =，于是(1,1,2)=n .平面PAD 的法向量为(0,1,0)=p ，所以1cos ,||||2⋅==<>n p n p n p .由题知二面角B PD A --为锐角，所以它的大小为3π. P ME D CB A z xyO（3）由（1）知21,2,2M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(2,4,0)C ，2(3,2,)2MC =- . 设直线MC 与平面BDP 所成角为α，则26sin cos ,9MC MC MCα⋅===<>n n n . 所以直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为269. 24.（2017天津理17）如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠= .点D E N ，，分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =.（1）求证：//MN 平面BDE ； （2）求二面角C EM N --的正弦值；（3）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721，求线段AH 的长.NM ED CBAP24.解析 如图所示，以A 为坐标原点，{},,AB AC AP为基底，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意可得(000)A ，，，(200)B ，，，(040)C ，，，(004)P ，，，(002)D ，，，(022)E ，，，(001)M ，，，(120)N ，，．（1）证明：()0,2,0DE = ，()2,0,2DB =-.设(,,)x y z =n 为平面BDE 的一个法向量，则0DE DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ，即20220y x z =⎧⎨-=⎩，不妨设1z =，可得(1,0,1)=n .又()1,2,1MN =- ，可得0MN ⋅=n ，因为MN ⊄平面BDE ，所以//MN 平面BDE ．（2）易知1(1,0,0)=n 为平面CEM 的一个法向量.设2(,,)x y z =n 为平面EMN 的一个法向量，则220EM MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ，因为(0,2,1)EM =-- ，(1,2,1)MN =- ，所以2020y z x y z --=⎧⎨+-=⎩. 不妨设1y =，可得2(4,1,2)=--n . 因此有1212124cos ,|||21⋅==-n n n n |n n ，于是1215sin ,21=n n . 所以二面角C EM N --的正弦值为1521. zyxA B C D EM NP（3）依题意，设()04AH h h =剟，则H （0，0，h ），进而可得(1,2,)NH h =-- ，(2,2,2)BE =-.由已知得2|||22|7cos ,21||||523NH BE h NH BE NH BE h ⋅-===+⨯ ，整理得2102180h h -+=， 解得85h =或12h =.所以线段AH 的长为85或12.25.（2107浙江19）如图所示，已知四棱锥P ABCD -，PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点. （1）证明：//CE 平面PAB ；（2）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值.25.解析 （1）如图所示，设PA DE 的中点为F ，联结EF ，FB . 因为E ，F 分别为PD ，PA 的中点，所以//EF AD ，且1=2EF AD . 又因为//BC AD ，12BC AD =，所以//EF BC ，且=EF BC ，所以四边形BCEF 为平行四边形，所以//CE BF ，又BF ⊂平面PAB ，所以//CE 平面PAB .H QPN MF DBCEA（2）分别取BC ，AD 的中点为M ，N .联结PN 交EF 于点Q ，联结MQ .因为E ，F ，N 分别是PD ，PA ，AD 的中点，所以Q 为EF 的中点，在平行四边形BCEF 中，//MQ CE .由PAD △为等腰直角三角形，得PN AD ⊥.ABCD PE由DC AD ⊥，N 是AD 的中点，所以12ND AD BC ==，且BC DN ∥,所以四边形BCDN 是平行四边形，所以CD BN ∥，所以BN AD ⊥.又BN PN N = ,所以AD ⊥平面PBN ， 由//BC AD ，得BC ⊥平面PBN ，又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBN . 过点Q 作PB 的垂线，垂足为H ，联结MH .MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以QMH ∠是直线CE 与平面PBC 所成的角.设1CD =.在PCD △中，由2PC =，1CD =，2PD =，由余弦定理得2CE =， 又BC ⊥平面PBN ，PB ⊂平面PBN ，所以BC PB ⊥.在PBN △中，由1PN BN ==，223PB PC BC =-=，QH PB ⊥,Q 为PN 的中点，得14QH =. 在Rt MQH △中，14QH =，2MQ =，所以2sin 8QMH ∠=， 所以直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是28. 26．（2107浙江9）如图所示，已知正四面体–D ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP PB =，2BQ CRQC RA==，分别记二面角––D PR Q ，––D PQ R ，––D QR P 的平面角为α，β，γ，则（ ）.A ．γαβ<<B ．αγβ<<C ．αβγ<<D ．βγα<<26.解析 如图所示，设点D 在底面ABC 内的射影为O ，判断O 到PR ，PQ ，QR 的距离，O 到哪条线段的距离越小，对应的二面角就越大.显然有,αβ,γ均为锐角．1P 为三等分点，O 到1PQR △三边的距离相等．动态研究问题：1P P ®，所以O 到QR 的距离不变，O 到PQ 的距离减少，O 到PR 的距离变大．所以αγβ<<．O P 1R QPCBA题型99 空间距离的计算——暂无题型100 与空间角、空间距离有关的开放性、探索性问题——暂无27.（2017全国3卷理科16）a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在的直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60 角时，AB 与b 成30 角； ②当直线AB 与a 成60 角时，AB 与b 成60 角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45 ； ④直线AB 与a 所成角的最小值为60 ；其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）.27．解析 由题意知，a ，b ，AC 三条直线两两相互垂直，作出图像如图所示．不妨设图中 所示的正方体的边长为1，故1AC =，2AB =，边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则点A保持不变，点B 的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以CD为x 轴正方向，CB 为y 轴正方向，CA为z 轴正方向，建立空间直角坐标系．则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，直线a 的方向单位向量(0,1,0)=a ，1=a ．B 点起始坐标为(0,1,0) ，直线b 的方向单位向量(1,0,0)=b ，1=b ．设B 点在运动过程中的坐标()cos ,sin ,0B θθ'， 其中θ为B C '与CD 的夹角，[0,2π)θ∈.那么'AB 在运动过程中的向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=-，2AB '= ． 设AB '与直线a 所成夹角为π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则(cos ,sin ,1)(0,1,0)22cos sin 0,22AB θθαθ⎡⎤-⋅==∈⎢⎥'⎣⎦a ， 所以ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故③正确，④错误．设AB '与直线b 所成夹角为π[0,]2β∈，(cos ,sin ,1)(1,0,0)2cos cos 2AB AB AB θθβθ'⋅-⋅===''b b b . 当AB '与直线a 夹角为60︒时，即π3α=， 2sin 2cos 2cos32πθα===． 因为22cos sin 1θθ+=，所以2cos 2θ=．从而21cos cos 22βθ==． 因为π0,2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π=3β，此时AB '与b 的夹角为60︒．所以②正确，①错误．故填② ③.C (O )ba θz yxB 'DBA28.（2017天津理17）如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠= .点D E N ，，分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =.（1）求证：//MN 平面BDE ； （2）求二面角C EM N --的正弦值；（3）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721，求线段AH 的长.NM ED CBAP28.解析 如图所示，以A 为坐标原点，{},,AB AC AP为基底，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意可得(000)A ，，，(200)B ，，，(040)C ，，，(004)P ，，，(002)D ，，，(022)E ，，，(001)M ，，，(120)N ，，．（1）证明：()0,2,0DE = ，()2,0,2DB =-.设(,,)x y z =n 为平面BDE 的一个法向量，则0DE DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ，即20220y x z =⎧⎨-=⎩，不妨设1z =，可得(1,0,1)=n .又()1,2,1MN =- ，可得0MN ⋅=n ，因为MN ⊄平面BDE ，所以//MN 平面BDE ．（2）易知1(1,0,0)=n 为平面CEM 的一个法向量.设2(,,)x y z =n 为平面EMN 的一个法向量，则2200EM MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ，因为(0,2,1)EM =-- ，(1,2,1)MN =- ，所以2020y z x y z --=⎧⎨+-=⎩. 不妨设1y =，可得2(4,1,2)=--n . 因此有1212124cos ,|||21⋅==-n n n n |n n ，于是1215sin ,21=n n . 所以二面角C EM N --的正弦值为1521. （3）依题意，设()04AH h h =剟，则H （0，0，h ），进而可得(1,2,)NH h =-- ，(2,2,2)BE =-.由已知得2|||22|7cos ,21||||523NH BE h NH BE NH BE h ⋅-===+⨯，整理得2102180h h -+=，解得85h =或12h =.所以线段AH 的长为85或12.zyxA B C D EM NP题型101 立体几何中的最值问题探究与扩展——暂无。

1.（安徽理科第6题、文科第8题）（A ） 48 (B)32+817 (C) 48+8 (C) 48+817 (D) 80解析：由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，两底面积和为()12244242´+´=，四个侧面的面积为()44221724817++=+，所以几何体的表面积为48817+故选C. 2.（安徽理科第17题，文科第19题，本小题满分13分）分） 如图，A B E D F C 为多面体，平面ABED 与平面A C F D 垂直，点O 在线段A D 上，1O A =，OD =，ODE ODF OAC OAB D D D D ,,,都是正三角形。

都是正三角形。

(Ⅰ)证明直线BC EF ∥；(Ⅱ)求棱锥F OBED -的体积. （1）证明：分别去OA ，OD 的中点M ，N ，连接CM ，ＢＭ，ＢＭＥＮ，ＦＮ，设ＥＢ和ＤＡ相交于Ｇ，由于ＯＡ＝１，ＥＮ，ＦＮ，设ＥＢ和ＤＡ相交于Ｇ，由于ＯＡ＝１，OD=2，则EN BM //，且EN BM 21=，则M 为GN 的中点，所以GA=1 同理可得：G 为FC 和DA 的交点。

则有C 为FG 的中点，B 为EG 的中点。

所以的中点。

所以BC 是EFG D 的中位线。

故BC EF ∥。

（2）四边形OBED 是梯形，其中OB=1，DE=2，底边上的高为323260sin =×=°OE2333)21(2131331=××+×=×=\-O B E D O B E DF S V3.（北京理科第7题）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是(A) 8 (B) 62 (C)10 (D) 82解：根据三视图可知，该四面体满足：^SA 平面ABC ，ABC D 中 °=Ð90ABC ，3,4===BC AB SA ，四个三角形都是直角三角形，四个三角形都是直角三角形 6,26,8,10,5,24======D D D D ABC SBC SAB SAC S S S S AC SB4.（北京理科第16题）如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ^平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2,60A B B A D =Ð=.(Ⅰ)求证：BD ^平面;P A C（Ⅱ）若,P A A B =求P B 与A C 所成角的余弦值；所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面P B C 与平面P D C 垂直时，求P A 的长的长. .解：（1）因为ABCD 是菱形，则对角线互相垂直，BD AC ^\，又^PA 平面ABC所以BD ^平面PAC ，（2）设O BD AC = ，3,1,2,60=====°=ÐCO AO BO AB PA BAD以以O 为坐标原点以OC OB ,所在的直线分别为y x ,轴建立空间直角坐标系xyz O -则)0,3,0(),0,1,1(,0,3,0(),2,3,0(C B A P ）--，)2,3,1(-=\PB ，)0,32,0(=AC 设AC PB ,的夹角为q ，则4632226||||cos=´=×=AC PB AC PB q（3）由（）由（22）知),0,3,1(-=BC 设)0)(,3,0(>t t P 设平面PBC 的法向量为),,(z y x m =，则0,0=×=×m BP m BC所以ïîïíì=+--=+-0303tz y x y x ，令3=y ，则t z x 6,3==，)6,3,3(t m =\同理，平面PDC 的法向量为)6,3,3(tn -=，因为平面PBC ^平面PDC 所以0=×n m ，即03662=+-t，解得6=t ，6=\PA5.（北京文科第5题）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是锥的表面积是(A)32 (B)16+162 (C)48 (D)16322+6.（北京文科17）如图，在四面体PABC 中，,,P C A B P A B C ^^点,,,D E F G 分别是棱,,,A PA CB C P B的中点。

第6节 空间向量与立体几何题型97 空间向量及其运算1.（2015四川理14）如图所示，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，,E F 分别为AB ，BC 的中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为 .1.解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设1AB =，()()0,,101M y y 剟，则11,,02AF⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,0,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，1,,12EM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 由于异面直线所成的角的范围为π0,2⎛⎤⎥⎝⎦，所以cos θ==21y -()2222214181cos 1545545y y y y y θ-+⎛⎫+=⋅=- ⎪++⎝⎭， 令81y t +=，19t剟，则281161,14552y y t t+⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦+-， 所以24cos0,25θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故cos θ的最大值为25，此时0y =.2.（2015浙江理13） 如图，三棱锥A BCD -中 3,2AB AC BD CD AD BC ======，MQPFE DCBA点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是 ．2.解析 解法一: 连接ND ，取ND 中点E ，连接,ME CE ，如图（1）所示，则CME ∠即是,AN CM 所成的角.ME =，CM =，CE =所以7cos 8CME ∠==.评注 本题也可用向量法来求. 如图（2）所示，把A BCD -放入一个长方体中，然后建立空间直角坐标系，利用cos ,AN CM AN CM AN CM⋅=⋅来计算.ENMDCB Ay图（1） 图（2）题型98 空间角的计算1.（2013山东理4）已知三棱柱111ABC A BC -的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为的NMDCB ABFCDAP1B 正三角形，若P 为底面111A BC 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ）.A.5π12 B.π3 C. π4 D.π62.（2013辽宁理18）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上的点.（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）若211AB AC PA ===，，，求证：二面角--C PB A 的余弦值.ACB3．(2013湖南理19）如图5，在直棱柱1111//ABCD ABC D AD BC -中，，90,BAD ∠=,AC BD ⊥1,BC =1 3.AD AA ==（1）证明：1ACB D ⊥；（2）求直线111BC ACD 与平面所成角的正弦值.4. (2013重庆理19）如图，四棱锥-P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，2BC CD ==，4AC =，π3ACB ACD ∠=∠=，F 为PC 的中点，AF PB ⊥. （1）求PA 的长；（2）求二面角--B AF D 的正弦值.OABCDC1A1B1D1ED 1C 1B 1A 1DCBA5.(2013天津理17）如图，四棱柱1111ABCD A B C D －中．侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB DC∥，AB AD ⊥，1AD CD ==，12AA AB ==，E 为棱1AA 的中点． (1) 证明：11B C CE ⊥；(2) 求二面角11B CE C －－的正弦值；(3) 设点M 在线段1C E 上，且直线AM 与平面11ADD A所成角的正弦值为6，求线段AM 的长．6.（2013山东理18）如图所示，在三棱锥P ABQ -中，PB ⊥平面ABQ ，BA BP BQ ==，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，2AQ BD =，PD 与EQ 交于点G ，PC与FQ 交于点H ，连接GH . （1）求证：GH AB ∥；（2）求二面角D GH E --的余弦值. 7. (2013陕西理18）如图，四棱柱1111-ABCD ABC D 的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1AO ⊥平面ABCD，1AB AA ==（1）证明：1AC ⊥平面11BB D D ；（2）求平面1OCB 与平面11BB D D 的夹角θ的大小.8. (2013福建理19）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，侧棱⊥1AA 底面ABCD ，1//,1,3,AB DC AA AB k ==4,5,6,(0)AD k BC k DC k k ===>（1）求证：⊥CD 平面11A ADD（2）若直线1AA 与平面C AB 1所成角的正弦值为76，求k 的值 （3）现将与四棱柱1111D C B A ABCD -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为)(k f ，写出)(k f 的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）.9. (2013安徽理19）如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为225.，AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60. （1）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面； （2）求cos COD ∠.BP1A BB 1C 1D 1A 1P A DC10．（2013四川理19）如图，在三棱柱11ABC A BC -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AB AC AA ==，120BAC ∠=，1,D D 分别是线段11,BC BC 的中点，P 是线段AD 的中点．（1）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面1ABC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面11ADD A ；（2）设（1）中的直线l 交AB 于点M ，交AC 于点N ，求二面角1A AM N --的余弦值．11.（2013广东理18）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，6BC =，,DE 分别是,AC AB 上的点，CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥ABCDE '-，其中A O '=(1) 证明:A O '⊥平面BCDE ；(2) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.12. (2013全国新课标卷理18）如图，直棱柱111-ABC ABC 中，DE ，分别是1AB BB ，的中点，1AA AC CB AB ===. .CO BDEA CDOBE'A图1图2（1）证明：1BC ∥平面11ACD ； （2）求二面角1--D AC E 的正弦值.13.（2013江西理19）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G 为PD 的中点，DAB DCB △≌△，1EA EB AB ===，32PA =，连接CE 并延长交AD 于F ．(1) 求证：AD ⊥平面CFG ；(2) 求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值．14.（2014 新课标2理11）直三棱柱111ABC ABC -中，90BCA ∠=︒，M N ，分别是11AB ，11AC 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）.A.110 B.25C.10D. 215.（2014 四川理 8）如图，在正方体1111ABCD ABC D -中，点O 为线段BD 的中点。

2017高考数学空间几何体知识点棱锥：(1)概念：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各个面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫棱锥。

在棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面，棱锥中这个多边形叫做棱锥的底面，棱锥中相邻两个侧面的交线叫做棱锥的侧棱，棱锥中各侧棱的公共顶点叫棱锥的顶点。

棱锥顶点到底面的距离叫棱锥的高，过棱锥不相邻的两条侧棱的截面叫棱锥的对角面。

(2)分类：按照棱锥底面多边形的边数可将棱锥分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥…(3)正棱锥的概念：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。

棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。

圆柱：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。

旋转轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边叫做圆柱侧面的母线。

圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分。

球：第一定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫球体，简称球。

半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。

第二定义：球面是空间中与定点的距离等于定长的所有点的集合。

棱柱的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形;②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形;③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。

棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比。

正棱锥性质：①正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高(叫侧高)也相等;②正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影、侧棱、底面的外接圆的半径R、底面的半边长可组成四个直角三角形。

12012年高考真题理科数学解析汇编：立体几何一、选择题 1 ．（2012年高考（新课标理））已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =;则此棱锥的体积为 （ ）A．BCD2 ．（2012年高考（新课标理））如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为A ．6B ．9C ．12D ．18 3 ．（2012年高考（浙江理））已知矩形ABCD ,AB =1,BC将∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着,在翻着过程中,A ．存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置,使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置,三直线“AC 与BD ”,“AB 与CD ”,“AD 与BC ”均不垂直4 ．（2012年高考（重庆理））设四面体的六条棱的长分别为a ,且长为a 的棱与长,则a 的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．5 ．（2012年高考（四川理））如图,半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内,过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ,过圆O 的直径CD 作平面α成45角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为B ,该交线上的一点P 满足60BOP ∠= ,则A 、P 两点间的球面距离为 （ ） A ．arccos4R B ．4R πC ．arccos3R D ．3R π6 ．（2012年高考（四川理））下列命题正确的是 （ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 7 ．（2012年高考（上海春））已知空间三条直线.l m n 、、若l 与m 异面,且l 与n 异面,则2（ ） A ．m 与n 异面. B ．m 与n 相交. C ．m 与n 平行. D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能. 8 ．（2012年高考（陕西理））如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为 （ ）A．BCD ．359 ．（2012年高考（江西理））如图,已知正四棱锥S-ABCD 所有棱长都为1,点E 是侧棱SC 上一动点,过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记SE=x(0<x<1),截面下面部分的体积为V(x),则函数y=V(x)的图像大致为10．（2012年高考（湖南理））某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能是11．（2012年高考（湖北理））我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d的一个近似公式d ≈. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159 判断,下列近似公式中最精确的一个是（ ）A．d ≈ B．d C．d ≈D(一)必考题(11—14题) 12．（2012年高考（湖北理）何体的体积为 A 图1 B C D侧视图正视图 俯视图3A ．8π3B ．3πC ．10π3D ．6π13．（2012年高考（广东理））(立体几何)某几何体的三视图如图1所示,它的体积为 （ ）A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π14．（2012年高考（福建理））一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是 （ ） A ．球 B ．三棱柱 C ．正方形 D ．圆柱 15．（2012年高考（大纲理））已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中,12,AB CC E ==为1CC 的中点,则直线1AC 与平面BED 的距离为 （ ）A ．2 BC．D ．116．（2012年高考（北京理））某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是（ ）A．28+ B．30+C．56+D．60+17．（2012年高考（安徽理））设平面α与平面β相交于直线m ,直线a 在平面α内,直线b 在平面β内,且b m ⊥,则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分不必要条件 二、填空题 18．（2012年高考（天津理））―个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为______3m .419．（2012年高考（浙江理））已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积等于___________cm 3.20．（2012年高考（四川理））如图,在正方体1111ABCD A BC D -中,M 、N 分别是CD 、1CC 的中点,则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________.21．（2012年高考（上海理））如图,AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱,BC=2。

Q1D A 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系1.已知直线a ，b 分别在两个不同的平面，内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面和平面相 交”的（ ）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件1.A 解析 由直线和直线相交，可知平面有公共点，所以平面和平面相交．反过来，如果平面和平面相交，直线和直线不一定相交，可能与两平面的交线都平行.故选A.题型90 证明“点共面”“线共面”“点共线”或“线共点” ——暂无1. (2013安徽理3） 在下列命题中，不是公理的是（ ）.A. 平行于同一个平面的两个平面相互平行B. 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C. 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线题型91 截面问题——暂无1. (2013安徽理15） 如图，正方体1111-ABCD A BC D 的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A P Q ，，的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号） ①当10<<2CQ 时，S 为四边形 ②当12CQ =时，S 为等腰梯形③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足113C R =④当3<<14CQ 时，S 为六边形⑤当1CQ =时，S 2.（2017江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）.αβαβa b αβ,αβαβa b（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分 的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．2.解析 （1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处，如图所示为截面11A ACC 的平面图形．因为AC =40AM =，所以30MC ==，从而3sin 4MAC ∠=.记AM 与水面的交点为1P ， 过点1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足，则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =，从而11116sin PQ APMAC==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．（2）如图所示为截面11E EGG 的平面图形，O ，1O 是正棱台两底面的中心．AC A 11容器ⅠE G 1H 1容器Ⅱ问(1)AC 1A 1CMP 1Q 1由正棱台的定义，1OO ⊥平面EFGH ， 所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1O O EG ⊥． 同理，平面11E EGG ⊥平面1111E FG H ，111O O E G ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处．过G 作11GK E G ⊥，K 为垂足，则132GK OO ==．因为 14EG =，1162E G =，所以16214242KG -==，从而1GG =40==．设1EGG α∠=，ENG β∠=，则114sin sin cos 25KGG KGG απ⎛⎫=+==⎪⎝⎭∠∠．因为2απ<<π，所以3cos 5α=-． 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24cos 25β=， 于是()()sin sin sin =NEG αβαβ=π--=+∠sin cos cos sin αβαβ+4243735255255⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭． 记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22PQ EG ⊥，2Q 为垂足，则22PQ ⊥平面EFGH ， 故2212PQ =，从而22220sin P Q EPNEG==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．评注 此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强．也有学生第（1）问采用相似法解决，解法如下：AC =40AM =，所以30CM ==，1112PQ =，所以由11AP A Q CM △△∽，111PQ AP CM AM =，即1123040AP =，解得116AP =． 答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．题型92 异面直线的判定——暂无1．（2015年广东理8）若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ） A ．至多等于3 B ．至多等于4 C ．等于5 D ．大于5 1.解析 正四面体的四个顶点两两距离相等，即空间中n 个不同的点两两距离都相等， 则正整数n 可以等于4，而且至多等于4．假设可以等于5，则不妨先取出其中4个点，为A ，B ，C ，D ，则A B C D 构成一个正四面体的四个顶点，设第5个点为点E ，则点E 和点A ，B ，C 也要构成一个正四面体，此时点E 要么跟点D 重合，要么点E 和点D 关于平面ABC 对称，但此时DE 的长又不等于AB ，故矛盾．故选B ．问(2)G O E Q 2P 2NG 1KE 1O 1。

2013-2017高考数学全国卷理科--立体几何汇编学校： 姓名： 班级： 考号：评卷人 得分 一、选择题I(理)]某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成, 正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为 ( )A. 10B. 12C. 14D. 162. [2017·全国新课标卷II(理)]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为 ( )A. 90πB. 63πC. 42πD. 36π3. [2017·全国新课标卷II(理)]已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC 1=1,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为 ( )A. √32 B.√155 C. √105 D. √334. [2017·全国新课标卷III(理)]已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 ( ) A. π B. 3π4 C. π2 D. .π45. [2016·高考全国新课标卷Ⅰ,6]如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是()A. 17πB. 18πC. 20πD. 28π6. [2016·高考全国新课标卷Ⅰ,11]平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A. √32B. √22C. √33D. 137. [2016·高考全国新课标卷Ⅱ,6]如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A. 20πB. 24πC. 28πD. 32π8. [2016·高考全国新课标卷Ⅲ,9]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()A. 18+36√5B. 54+18√5C. 90D. 819. [2016·高考全国新课标卷Ⅲ,10]在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()A. 4πB. 9π2C. 6π D. 32π310. [2015·高考全国新课标卷Ⅰ,6]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛11. [2015·高考全国新课标卷Ⅰ,11]圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16+20π,则r=()正视图俯视图A. 1B. 2C. 4D. 812. [2015·高考全国新课标卷Ⅱ,6]一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A. 18B. 17C. 16D. 1513. [2015·高考全国新课标卷Ⅱ,9]已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π14. [2014·高考全国新课标卷Ⅰ，12]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )A. 6√2B. 6C. 4√2D. 415. [2014·全国新课标卷Ⅱ,6]如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A. 1727B. 59C. 1027D. 1316. [2014·全国新课标卷Ⅱ,11]直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠BCA ＝90°,M ,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,BC ＝CA ＝CC 1,则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A. 110B. 25C.√3010 D. √2217. [2013·高考全国新课标卷Ⅰ，6]如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( ) A.500π3 cm 3 B. 866π3 cm 3 C. 1372π3 cm 3 D. 2048π3cm 318. [2013·高考全国新课标卷Ⅰ，8]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 16＋8πB. 8＋8πC. 16＋16πD. 8＋16π 19. [2013·高考全国新课标卷Ⅱ，4]已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( )A. α∥β且l ∥αB. α⊥β且l ⊥βC. α与β相交，且交线垂直于lD. α与β相交，且交线平行l20. [2013·高考全国新课标卷Ⅱ，7]一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )A. B. C. D.二、填空题I(理)]如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.22. [2017·全国新课标卷III(理)]a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)23. [2016·高考全国新课标卷Ⅱ,14]α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)三、解答题24. [2017·全国新课标卷I(理)] (本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.25. [2017·全国新课标卷II(理)] (本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.ABCD,AB=BC=12(1)证明:直线CE∥平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.26. [2017·全国新课标卷III(理)] (本小题满分12分)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.27. [2016·高考全国新课标卷Ⅰ,18] (本小题满分12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D -AF-E与二面角C-BE-F都是60°.(1)证明:平面ABEF⊥平面EFDC;(2)求二面角E-BC-A的余弦值.28. [2016·高考全国新课标卷Ⅱ,19] (本小题满分12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=5,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置,OD'=√10.4(1)证明:D'H⊥平面ABCD;(2)求二面角B-D'A-C的正弦值.29. [2016·高考全国新课标卷Ⅲ,19] (本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN∥平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.30. [2015·高考全国新课标卷Ⅰ,18](本小题满分12分)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.(1)证明:平面AEC⊥平面AFC;(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.31. [2015·高考全国新课标卷Ⅱ,19](本小题满分12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F= 4.过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值.32. [2014·高考全国新课标卷Ⅰ,19] (本小题满分12分) 如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧面BB 1C 1C 为菱形,AB ⊥B 1C .(1)证明：AC ＝AB 1；(2)若AC ⊥AB 1,∠CBB 1＝60°,AB ＝BC ,求二面角A -A 1B 1-C 1的余弦值.33. [2014·全国新课标卷Ⅱ，18] (本小题满分12分) 如图,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点.(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角D -AE -C 为60°,AP ＝1,AD ＝√3,求三棱锥E -ACD 的体积.34. [2013·高考全国新课标卷Ⅰ，18](本小题满分12分) 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值.35. [2013·高考全国新课标卷Ⅱ，18](本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝√22AB .(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ； (2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值.。

1A第4节 直线、平面平行的判定与性质题型93 证明空间中直线、平面的平行关系1．（2013江西理8）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为,m n ，那么m n +=（ ）.A ．8B ．9C ．10D ．11 2．（2013广东理6）设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个 不同的平面下列命题中正确的是（ ）.A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ 3. (2013安徽理19）如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为225.，AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60. （1）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面； （2）求cos COD ∠.4. (2013全国新课标卷理18）如图，直棱柱111-ABC ABC 中，DE ，分别是1AB BB ，的中点，12AA AC CB AB ===. （1）证明：1BC ∥平面11ACD ；αAB CDEFBPQPMDBA（2）求二面角1--D AC E 的正弦值.5.（2013山东理18）如图所示，在三棱锥P ABQ -中，PB ⊥平面ABQ ，BA BP BQ ==，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，2AQ BD =，PD 与EQ 交于点G ，PC与FQ 交于点H ，连接GH . （1）求证：GH AB ∥；（2）求二面角D GH E --的余弦值. 6.（2013江苏16）如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BC AB ⊥，AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点G E ，分别是棱SC SA ，的中点. 求证：（1）平面//EFG 平面ABC ； （2）SA BC ⊥.7.（2013浙江理20）如图，在四面体BCD A -中，⊥AD 平面B C D ，22,2,==⊥BD AD CD BC .M是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且QC AQ 3=.（1）证明：//PQ 平面BCD ；（2）若二面角D BM C --的大小为60，求BDC ∠的大小.8. (2015福建理7) 若,l m 是两条不同的直线，m α⊥，则“l m ⊥ ”是“//l α”的（ ）. A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件ABCS G F EC ．充要条件 D.既不充分也不必要条件8.解析 若l m ⊥，又因为m ⊥α，则//l α或l α⊂；若//l α，又因为m ⊥α， 则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α”的必要不充分条件．故选B ．9.（2016全国甲理14）α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题： ①如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥． ②如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥． ③如果//a β，m α⊂，那么//m β．④如果//m n ， //αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 以上命题正确的命题有 .9. ②③④ 解析 将题中假设放在一个正方体模型中易知②③④正确.10.（2016浙江理2）已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线,m n 满足,m n αβ∥⊥，则（ ）. A.l m ∥ B.n m ∥ C.n l ⊥ D.m n ⊥10.C 解析 对于选项A ，因为l αβ=，所以l α⊂.又因为//m α，所以m 与l 平行或异面.故选项A 不正确；对于选项B 和D ，因为αβ⊥，n β⊥，所以n α⊂或//n α.又因为//m α，所以m 与n 的关系平行、相交或异面都有可能.故选项B 和D 不正确；对于选项C ，因为,l αβ=所以,l β⊂因为,n β⊥所以n l ⊥，故选项C 正确，故选C.11．（2016江苏卷16）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点，点F 在侧棱1B B上，且11B D AF ⊥，1111AC A B ⊥．求证：（1）直线//DE 平面11AC F ；11.解析 （1）因为,D E 分别为,AB BC 的中点，所以DE 为ABC △的中位线，所以//DE AC ，又因为三棱柱111ABC A B C -为直棱柱，故11//AC AC ，所以11//DE AC ，又因为11AC ⊂平面11AC F ，且11DE AC F ⊄，故//DE 平面11AC F ．12.（2016天津理17）如图所示，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥ABC DEFA 1B 1C 1平面ABCD ，点G 为AB 的中点，2AB BE ==. （1）求证：//EG 平面ADF ；12.分析 （1）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证. 解析 解法一：（1）取AD 中点M ，连接FM ，GM ，如图所示.由题意可得//GM BO ，且GM BO =，所以四边形EGMF 为平行四边形. 所以//EG FM ，且FM ⊂平面ADF ，所以//EG 平面ADF .13.（2016四川理18）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，BC AD ∥，=90ADC PAB ∠∠=，12BC CD ==AD .E 为边AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90. （1）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；13.解析 （1）取棱AD 的中点()M M PAD ∈平面，点M 即为所求的一个点.证明如下： 因为AD BC ∥，12BC AD =，所以BC AM ∥，且BC AM =.所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM AB ∥.又AB ⊂平面PAB ，CM PAB ⊄平面，所以CM ∥平面PAB .PAB CD EOABCD EFGHMH G FE DCBA O(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点).14.（2016山东理17）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线.（1）已知,G H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH平面ABC ；14.解析（1）证明：设FC 的中点为I ，连接,GI HI ，在CEF △中，因为G 是CE 的中点，所以GI EF . 又EF OB ，所以GIOB .在CFB △中，因为H 是FB 的中点，所以HIBC .又HIGI I =，OBBC B =，所以平面GHI平面ABC ，因为GH ⊂平面GHI ，所以GH平面ABC .B15.（2107浙江19（1））如图所示，已知四棱锥P ABCD -，PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，CD AD ⊥，22PCAD DC CB ===，E 为PD 的中点.MDCBAP（1）证明：//CE 平面PAB .15.解析 （1）如图所示，设PA DE 的中点为F ，联结EF ，FB . 因为E ，F 分别为PD ，PA 的中点，所以//EF AD ，且1=2EF AD . 又因为//BC AD ，12BC AD =，所以//EF BC ，且=EF BC ，所以四边形BCEF 为平行四边形，所以//CE BF ，又BF ⊂平面PAB ，所以//CE 平面PAB .H QPN F DBCEA16.（2017江苏15）如图所示，在三棱锥A BCD -中，AB AD ⊥，BC BD ⊥， 平面ABD ⊥平面BCD ， 点,E F （E 与,A D 不重合）分别在棱,AD BD 上，且EF AD ⊥．求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD AC ⊥．ABDCEFABCD PE16.解析 （1）在平面ABD 内，因为AB AD ⊥，EF AD ⊥，且点E 与点A 不重合，所以//EF AB .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以//EF 平面ABC . （2）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD平面BCD BD =，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC AD ⊥. 又AB AD ⊥，BCAB B =，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC .又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD AC ⊥.17.（2017全国2卷理科19）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，o 90BAD ABC ∠=∠=， E 是PD 的中点. （1）求证：直线//CE 平面PAB ；EM DCBAP17．解析 （1）令PA 的中点为F ，联结EF ，BF ，如图所示．因为点E ，F 为PD ，PA 的中点，所以EF 为PAD △的中位线，所以=1//2EF AD ．又因为90BAD ABC ∠=∠=︒，所以BC AD ∥．又因为12AB BC AD ==，所以=1//2BC AD ，于是=//EF BC ．从而四边形BCEF 为平行四边形，所以CE BF ∥．又因为BF PAB ⊂面，所以CE ∥平面PAB.题型94 与平行有关的开放性、探究性问题 1.（2016四川理18）如图所示，在四棱锥P ABCD-中，BCAD ∥，=90ADC PAB ∠∠=，12BC CD ==AD .E 为边AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90.（1）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；1.解析 （1）取棱AD 的中点()M M PAD ∈平面，点M 即为所求的一个点.证明如下： 因为AD BC ∥，12BC AD =，所以BC AM ∥，且BC AM=.所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM AB ∥.又AB ⊂平面PAB ，CM PAB ⊄平面，所以CM ∥平面PAB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点).2.（2016北京理17）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ， PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值； （3）在棱PA 上是否存在点M ，使得BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.PAB CD EDCBAPMDCBAP2. 解析 （1）如题中的图所示，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，AB ⊂平面,ABCD AB AD ⊥，得AB ⊥平面PAD ，所以PD AB ⊥.又因为,PD PA PA ⊥⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，ABPA A =，所以PD ⊥平面PAB .（2）如图所示，设棱AD 的中点是O ，由题设可得直线,,OC OA OP 两两互相垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.可得(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(2,0,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C D P -， 所以(2,0,1),(0,1,1)PC DP =-=，(1,1,1)PB =-.设平面PCD 的一个法向量是(,,)x y z =n ，得20PC x z DP y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n ，所以可得(1,2,2)=-n .设直线PB 与平面PCD 所成角的大小为ϕ，可得2sin 1PB PBϕ⋅====⋅n n 即直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值是3.（3）设棱PA 上存在点(,,)M x y z ，使得BM 平面P C D ，并设(01)AMAPλλ=≤≤，得AM APλ=，即(,1,)x yz λ-=-，即(,,)(x y z λλ=-.得(0,1,),(1,,)M BM λλλλ-=--.由BM平面PCD ，平面PCD 的一个法向量是(1,2,2)=-n ，得(1,2,2)(1,,)1220BM λλλλ⋅=-⋅--=-++=n ，解得14λ=. 又BM ⊄平面PCD ，所以BM 平面PCD .即在棱PA 上存在点M 使得BM 平面PCD ，且14AM AP =.。

2013年高考理科数学试题分类汇编——立体几何一、选择题1、错误！未指定书签。

（2013年新课标1理）如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 （ ）A ．35003cm πB ．38663cm πC ．313723cm πD ．320483cm π 【答案】A2、（2013年广东理）设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）A ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥【答案】D3、（2013年上海市春季）若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为（ ）A ．1:2B ．1:4C ．1:8D ．1:16【答案】C错误！未指定书签。

4、（2013年大纲版理）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中12AA AB =,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ）A ．23B ．33C ．23D ．13【答案】A5、（2013年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+【答案】A6、（2013年高考湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为1V ,2V ,3V ,4V ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有（ ）A ．1243V V V V <<<B ．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<【答案】C7、（2013年湖南理）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于（ ）A ．1B ．2C ．2-12D ．2+12【答案】C8、（2013年广东理）某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 （ ）A ．4B ．143C ．163D ．6【答案】B9、（2013年新课标Ⅱ卷理）已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则（ ）A ．βα//,且α//lB ．βα⊥,且β⊥lC ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l【答案】D12 211正视图 俯视图 侧视图第5题图10、（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直,体积为94,底面是边长为3的正三角形.若P 为底面111A B C 的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ）A ．512πB ．3πC ．4πD ．6π【答案】B11、（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））某几何体的三视图如题()5图所示,则该几何体的体积为（ ）A ．5603B ．5803C ．200D ．240【答案】C12、（2013年辽宁理）已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为（ ）A ．3172B ．210C ．132D ．310【答案】C13、（2013年江西理））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB CD ,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为,m n ,那么m n +=（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】A14、（2013年新课标Ⅱ卷（理）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A15、（2013年安徽理）在下列命题中,不是公理的是（ ）A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A16、（2013年浙江理）在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,对空间任意一点P ,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =,则（ ）A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为045C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为060【答案】A17、（2013年高考四川卷（理））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是（ ）【答案】D二、填空题1、（2013年高考上海卷（理））在xOy 平面上,将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y = 和1y =-围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分.记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω,过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面,所得截面面积为2418y ππ-+,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为__________【答案】2216ππ+.2、（2013年陕西理）某几何体的三视图如图所示, 则其体积为________.1121 【答案】3π 3、（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球O 的半径,32OK =,且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60,则球O 的表面积等于______.【答案】16π4、（2013年高考北京卷（理））如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为BC 的中点,点P 在线段D 1E 上,点P 到直线CC 1的距离的最小值为__________.【答案】 255 5、（2013年江苏）如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则=21:V V ____________.1D 1B P D1C C E B A1A【答案】1:246、（2013年浙江理）若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________2cm .【答案】247、（2013年安徽理）如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号).①当102CQ <<时,S 为四边形;②当12CQ =时,S 为等腰梯形;③当34CQ =时,S 与11C D 的交点R 满足1113C R =;④当314CQ <<时,S 为六边形;⑤当1CQ =时,S 的面积为62. 【答案】①②③⑤8、（2013年辽宁理）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________. 4323 3正视图侧视图 俯视图 （第12题图） A BC AD E FBC9、（2013年福建理）已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是_______【答案】12π10、（2013年上海市春季）在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为_______【答案】3π 三、解答题1、（2013年辽宁理）如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.(I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；(II)2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值D 1C 1 B 1 A 1DC AB2、（2013年重庆理）如图,四棱锥P ABCD -中,PA ABCD ⊥底面, 2,4,3BC CD AC ACB ACD π===∠=∠=,F 为PC 的中点,AF PB ⊥.(1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值.错误！未指定书签。

2013数学高考真题—立体几何分类汇编1.（北京理14）如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 为BC 中点，点P 在线段E D 1上。

点P 在线段E D 1上，点P 到直线1CC 距离的最小值为 。

2.（北京理17）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，C C AA 11是边长为4的正方形，平面⊥ABC 平面C C AA 11，5,3==BC AB .（1）求证：⊥1AA 平面ABC ； （2）求二面角111B BC A --的余弦值； （3）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得B A AD 1⊥，并求1BC BD的值。

3.（北京文8）如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 为对角线1BD 的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有（ ）.A 3个 .B 4个 .C 5个 .D 6个 4（北京文10）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为 。

4（北京文17）如图，四棱锥ABCD P -中，AB ∥CD ，AD AB ⊥,AB CD 2=,平面PAD ⊥底面ABCD ，AD PA ⊥，E 和F 分别是CD 和PC 中点。

求证： （1）⊥PA 底面ABCD ； （2）BE ∥平面PAD ； （3）平面⊥BEF 平面PCD5（大纲理10）已知正四棱柱1111D C BA ABCD -中，AB AA 21=，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ） .A 2 .B 3.C 2.D 1 ABA 1C 1D 1CB 1C BA B CA 1C 1D 俯视图正（主）视图侧（左）视图CD6（大纲文理16）已知圆O 与圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，23=OK ,且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为060，则球O 的表面积等于 。

7（大纲理19）如图，四棱锥ABCD P -中，090=∠=∠BAD ABC ,AD BC 2=,PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形。

正（主）视图侧（左）视图第八章 立体几何第1节 空间几何体及其表面积和体积1 .（2014 陕西理 14）观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中，,,F V E 所满足的等式是_________.1 . 解析 观察表中数据，并计算F V +分别为11，12，14，又其对应E 分别为9，10，12，容易观察并猜想2F V E +-=.题型85 空间几何体的表面积与体积1．（2013湖北理8）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有：（ ）. A ．1243V V V V <<< B ．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<2 . (2013重庆理5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）.A.5603B. 5803C. 200D. 2403 .（2013江苏8）如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，， 的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V .4．（2013广东理5）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）.A ．4B ．143C ．163D ．65 .（2014 山东理 13）三棱锥P ABC -中，,D E 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = .5 . 解析 如图，设1ABD S S =△，2PAB S S =，E 到平面ABD 的距离为1h ，C 到平面PAB 的EDCAPA B C1A DE F 1B 1C 俯视图432距离为2h ，则212S S =，212h h =，11113V S h =，22213V S h =，所以11122214V S h V S h ==.评注 本题考查三棱锥的体积求法以及等体积转化法在求空间几何体体积中的应用.本题的易错点是不能利用转化与化归思想把三棱锥的体积进行适当的转化，找不到两个三棱锥的底面积及相应高的关系，从而造成题目无法求解或求解错误.6 .（2014 福建理 13）要制作一个容积为34m ，高为1m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 .（单位：元）6 . 解析 设底面的边长分别为x m ，y m ，总造价为T 元，则144V xy xy =⋅=⇒=.()()420221108020802080204160T x y x y =⨯++⨯⨯=+++⨯+⨯=…（当且仅当x y =时取等号）故该容器的最低总造价是160元. 7 .（2014 新课标2理18） （本小题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）证明：//PB 平面AEC ； （2）设二面角D AE C --为60︒，1AP =，AD =，求三棱锥E ACD -的体积.8 .（2016上海理19）将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图所示，长为，长为，其中与在平面的同侧． （1）求三棱锥的体积； （2）求异面直线与所成角的大小．111AAOO 1OO AC 23π11A B 3π1B C 11AAOO 111C O A B -1BC 1AA A 1AAPECB8.解析 （1）连结，则，所以为正三角形，故，所以．（2）设点在下底面圆周的射影为，连结，则，所以为直线与所成角（或补角），，连结，，，所以，故，因此为正三角形，所以，故，所以，故直线与所成角大小为．9 .（2016江苏17）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A BC D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A BC D -（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高1PO 的4倍． （1）若6m AB =，，则仓库的容积是多少；（2）正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？ 9 .解析 （1），则，，，故仓库的容积为．（2）设(m)，仓库的容积为，则(m)，，(m)，，，当时，，单调递增；当时，，11OB 111113AO A B B ∠=π=111O AB △111O A B S =△111111113C O A B O A B V OO S -=⋅=△1B B 1BB 11BB AA ∥1BBC ∠1BC 1AA 111BB AA ==,,BC BOOC 113AB A B π==23AC π=3BC π=3BOC π∠=BOC △1BC BO ==11tan 1BCBB C BB ∠==145BBC ∠=︒1BC 1AA 45︒AA 11OO 12m PO =6m 1PO ()12m PO =()18m OO =()1111231116224m 33P A B C D ABCD V S PO -=⋅=⨯⨯=()111123168288m ABCD A B C D ABCD V S OO -=⋅=⨯=()111111113=312m P A B C D ABCD A B C D V V V --+=()3312m 1PO x =()V x 14OO x =11A O =11A B =()11111111P A B C D ABCD A B C D V x V V --=+1113ABCD ABCD S PO S OO =⋅+⋅()2132363x x =⨯-()06x <<()()2'2612V x x =--()06x <<(x ∈()'0V x >()V x ()x ∈()'0V x <A 1单调递减．故当取到最大值，即(m)时，仓库的容积最大．1 0 .（2016浙江理14）如图所示，在中，，若平面外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD DA =，PB BA =，则四面体的体积的最大值是 .10 .解析 在中，因为，所以.由余弦定理可得，所以设，则.在中，由余弦定理可得.故.在中，，.由余弦定理可得，所以.过点作直线的垂线，垂足为.设，则，，解得.而的面积.设与平面所成角为，则点到平面的距离.故四面体的体积()V x x =()V x 1PO =ABC △2AB BC ==120.ABC ∠=ABC PBCD 12ABC △2,120AB BC ABC ==∠=30BAD BCA ∠==2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2222222cos120=+-⨯⨯=12AC =AD x =0x <<DC x =ABD △2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅22222cos 30x x =+-⋅24x =-+BD =PBD △PD AD x ==2PB BA ==222cos 2PD PB BD BPD PD PB +-∠===⋅30BPD ∠=P BD O PO d =12PBD S BD d =⨯△12sin 302d x =⋅d =BCD △111sin )2sin 30)222S CD BC BCD x x =⋅∠=⋅=PO ABC θP ABC sin h d θ=PBCD 11111sin )33332BCD BCD BCD V S h S d S d x θ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯=D CBAP当时等号成立，所以我们取. 设，因为，所以.则当故此时，.因为所以函数在上单调递减，故.，故此时，. 由上述可知，函数在单调递减，故.综上所述，四面体的体积的最大值为. 11 .（2017江苏6）如图所示，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下面及母线均相切．记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是 ．π2θ=π2θ=t ==0x剟12t 剟|x =0x剟x x ==x =211414=666t V t tt t ⎡⎤-⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⋅=- ⎪⎝⎭()2141,6V t t ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭12,t剟()V t '<0，()V t []1,2()()14111612V t V ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭…x <…x x ==x =16V t⎡⎤⎢⎥⎣⎦=2141466t t t t -⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭()V t (1,2]141()(1)1612V t V ⎛⎫<=-= ⎪⎝⎭PBCD 12P E DCA11 .解析 设球O的半径为r ，由题意212Vrr =π⋅，3243V r =π，所以1232V V =．故填32．12．（2017天津理10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .12.解析 设正方体的边长为a ，则226183a a =⇒=.外接球直径为正方体的体对角线，所以23=R ，344279πππ3382==⨯=VR . 13.（2017全国1卷理科16）如图所示，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，DBC △，ECA △，FAB △分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起DBC △，ECA △，FAB △，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥.当ABC △的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：3cm ）的最大值为_______.13.解析 由题意，联结OD ，交BC 于点G ，如图所示，则OD BC ⊥，OG =， 即OG 的长度与BC 的长度成正比.设OG x =，则BC =，5DG x =-，三棱锥的高h，2132ABCS x =⋅⋅=△，则13ABC V S h =⋅=△令()452510f x x x =-，50,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3410050f x x x '=-，令()0f x '>，即4320x x -<，2x <，当()0f x '<，得522x <<，所以()f x 在()0,2上单调递增，在52,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.故()()280f x f =≤，则V所以体积的最大值为3.俯视图侧视图题型86 旋转体的表面积、体积及球面距离1.（2013浙江理12）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于________2cm .2 .（2013辽宁理13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .3. （2013辽宁理10） 已知直三棱柱111-ABC ABC 的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（ ）.A.2B. C. 132D. 4 .（2014 江苏理 8）设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12VV 的值是 ． 4. 解析 设圆柱甲的底面半径为1r ，高为1h ，圆柱乙的底面半径为2r ，高为2h .由题意得211222πr 9π4S S r ==，所以1232r r =.又因为=S S 甲侧乙侧，即11222π=2πr h r h ，所以11222==3h r h r ， 故1111122222923432V S h S h V S h S h ==⋅=⨯=.评注 考查立体几何中侧面积、体积公式，考查运算和恒等变形的能力. 5.（2014 陕西理 5） 已知底面边长为1面上，则该球的体积为（ ）.A.32π3B. 4πC. 2πD. 4π35. 解析 如图为四棱柱1AC .根据题意得AC 1ACC A 为正方形，所以外接球直径122R A C ==，所以1R =，所以4π=3V 球，故选D . 6 .（2014 湖北理 8）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36V L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）. A.227 B.258C.15750D.3551136. 解析 圆锥的体积22211ππ332π12πL L h V r h h ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，由题意得7512π2≈，π近似取为258，故选B .7.（2014 大纲理 8）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）.A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π7. 解析 设球的半径为R ，由题意可得()2224R R -+=，解得94R =，所以该球的表面积为281π4π4R =.故选A. 8.（2015全国1理6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）.A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛8.解析 设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，所以163r =，所以米堆的体积为 1143⨯⨯3⨯216320539⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭立方尺，故堆放的米约为320 1.62229÷≈斛.故选B ．9.(2015山东理7) 在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//AD BC ，222BC AD AB ===. 将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ). A ．23πB ．43πC ．53πD ．2π9.解析 由题意，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的几何体是一个底面半径为 1，高为2的圆柱挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥所得的组合体，所以V V V =-=圆柱圆锥22112113π⨯⨯-π⨯⨯=5233πππ-=．故选C ． 10.（2015江苏9）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 ．1 0.解析 原来的总体积为()()22154283V =⨯π⨯⨯+π⨯⨯1963π=，设新的半径为r ， 故变化后体积()()221'483V r r =⨯π⨯⨯+π⨯⨯22819633r ππ==，计算得27r =，从而r =11.（2017全国3卷理科8）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）.A ．πB ．3π4 C ．π2 D ．π41 1．解析 如图所示，由题可知球心在圆柱体的中心处，圆柱体上、下底面圆的半径r ，则圆柱体的体积23ππ4V r h ==.故选B.题型87 几何体的外接球与内切球1.（2015全国2理9）已知,A B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）．A.36πB. 64πC.144πD. 256π1.解析 根据题意，可得图如图所示， 当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时， 三棱锥O ABC -的体积最大，则可设球O 的半径为R ，此时O ABC C AOB V V --==2311136326R R R ⨯⨯==，故6R =， 则球O 的表面积为24π144πS R ==.故选C ．2.（2016全国丙理10）在封闭的直三棱柱111ABC ABC -内有一个体积为V 的球，若，，，13AA =，则V的最大值是（ ）. A. B. C. D. 2.B 解析 如图所示，假设在直三棱柱111ABC ABC -中，有一个球与平面11ABB A ，平面11BCC B ，平11AAC C 面相切，其俯视图如图所示.设其球的半径为r ， 则且，得. 因此，直三棱柱内球的半径最大值为，则.故选B.AB BC ⊥6AB =8BC =4π9π26π32π316822,11(6810)22ABC ABC S r C ⨯⨯===⨯++△△123r AA = (32)r …3233max 4439πππ3322V r ⎛⎫=== ⎪⎝⎭B A C C 1B 1A 1C B A。

第 5 节 直线、平面垂直的判定与性质题型 95证明空间中直线、平面的垂直关系1. (2013 全国新课标卷理4） 已知 m ，n 为异面直线， m 平面， n 平面 .直线 l 满足 lm ， ln ， l，则（） .A. ∥ 且 l ∥B.且 lC.与相交 ,且交线垂直于 lD.与相交 ,且交线平行于 l2.（ 2013 广东理 18）如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中， A 90 ， BC 6 ， D , E 分别是 AC , AB 上的点， CD BE2， O 为 BC 的中点 .将ADE 沿 DE 折起，得到如图 2 所示的四棱锥 ABCDE ，其中 AO3 .CO.BADECOBADE图 1图 2(1) 证明 : A O 平面 BCDE ；(2) 求二面角 A CD B 的平面角的余弦值 .3.（ 2013 江西理 19）ABCD 中， PA ⊥平面 ABCD ， E 为 BD 的中点， G 为 PD 的中如图，四棱锥P 点， △ DAB ≌△ DCB ， EA EB AB 1， PA3，连接 CE 并延长交 AD 于 F ．求证： AD2(1) 平面 CFG ；(2)求平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值．4.（ 2013 江苏 16）AB ，过 A如图，在三棱锥 S ABC 中，平面 SAB 平面 SBC ， AB BC ， AS 作 AF SB ，垂足为 F ，点 E ， G 分别是棱 SA ， SC 的中点 . 求证：（1）平面 EFG // 平面 ABC ；S（2） BCSA .EGFCAB5. (2013 福建理 19）如 图 ， 在 四 棱 柱 ABCD A 1 B 1C 1D 1 中 ， 侧 棱 AA 1底 面 ABCD ，AB/ / DC, AA 11,AB 3k,A D4 k, B C5 k, D C 6,k( k 0（ 1）求证：CD平面 ADD 1 A 1（ 2）若直线AA 1 与平面AB 1 C 所成角的正弦值为6 ，求7k 的值（ 3）现将与四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为 f (k) ，写出f (k) 的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）.6.(2013 天津理 17）ABCD ABC D 1如图，四棱柱－ 1 1 1 1 中．侧棱 AA 底面 ABCD ，AB ∥ DC ，ABAD ，AD CD1， AA AB 2， E 为棱 AA 的中点．1 1(1)证明： BC CE ；1 1(2) 求二面角 B 1－CE －C 1 的正弦值；(3) 设点M 在线段 CE 上，且直线AM与平面 ADD A 所成角的正弦值为2，求线段1 1 16AM 的长．B B1C C1A A1ED D1 7． (2013 湖南理 19）如图 5，在直棱柱ABCD ABC11 1D中，AD// BC，BAD 90,AC BD , BC1, 1AD AA 3.A1 D 1 1（ 1）证明：AC B1D；B1C1（ 2）求直线BC11与平面ACD1所成角的正弦值 .A DBC8.（ 2013 辽宁理 18）如图， AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面， C 是圆上的点.（1）求证：平面PAC平面PBC；（2）若AB 2，AC 1，PA 1，求证：二面角C -PB -A的余弦值 .PABC9. (2013 陕西理 18）如图，四棱柱ABCDABC- D 的底面 ABCD 是正方形， O 为底面中心，AO 平面11 111ABCD ， ABAA 12 .D1C1A1B1（1）证明： AC 1 平面 BBD 11D ；DC（2）求平面 OCB 与平面 BBD D 的夹角 的大小 .1 1 1OAB10（. 2014 辽宁理 4）已知 m n表示平面，下列说法正确的是 （）.， 表示两条不同直线，A ．若 m// , n // , 则 m // nB ．若 m ，n，则 m nC ．若 m， mn ，则 n // D ．若 m//， m n ，则 n10. 解析A 选项 m 、n 也可以相交或异面，C 选项也可以 n，D 选项也可以 n//或 n 与斜交 . 根据线面垂直的性质可知选B .11.（ 2014 广东理 7）若空间中四条两两不同的直线 l 1,l 2,l 3, l 4 ，满足 l 1 l 2 ,l 2l 3, l 3l 4 ，则下列结论一定正确的是（ ） .A ． l 1 l 4B ． l 1//l 4C ． l 1,l 4 既不垂直也不平行D ． l 1, l 4 的位置关系不确定11. 解析由 l 1l 2 ， l 2 l 3 可知 l 1与 l 3的位置不确定，若 l 1 //l 3 ，则结合 l 3 l 4 ，得 l 1 l 4 ，所以排除选项 B ，C ，若 l 1 l 3，则结合 l 3 l 4 ，知 l 1与 l 4可能不垂直，所以排除选项A.故选 D.评注 本题考查了空间直线之间的位置关系，考查学生的空间想象能力、思维的严密性 .12.（ 2014 江苏理 16）如图，在三棱锥 PABC 中， D ， E ， F 分别为棱 PC ， AC ， AB 的中点．已知 PAAC ， PA6， BC8 ， DF 5．求证：（ 1）直线 PA // 平面DEF；（ 2）平面 BDE平面 ABC ．PD13.（ 2015 广东理 18）如图所示， △ PDC 所在的平面AE与 长方形 ABCD 所 在 的平面 垂直 ， PDPC 4 ，FCBAB 6 ， BC3，点 E 是 CD 的中点，点PDCEAFGBF , G分别在线段AB ， BC上，且 AF2 FB , CG2GB .(1)求证：PEFG；(2) 求二面角 P AD C 的正切值；(3) 求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值 .13. 解析 （ ）证明：因为 PD PC 且点 E 为 CD 的中点，所以 PEDC ．1又平面 PDC 平面 ABCD ，且平面 PDC平面 ABCDCD ， PE 平面 PDC ，所以 PE 平面 ABCD ．又 FG 平面 ABCD ，所以 PEFG ．（ ）因为 ABCD 是矩形，所以 ADDC ．由（ ）可得 PE 平面 ABCD ，所以PE AD，2 1所以 AD平面 PCD ．又 PD 平面 PDC ，所以 AD PD ．又因为 ADDC ，所以 PDC 即为二面角 P AD C 的平面角．在 Rt △ PDE 中， PD 4， DE1AB 3 ， PEPD 2DE 27，2所以tanPDCPE 7，即二面角 PAD C 的正切值为7 ．DE33（3）如图所示，连接AC ，因为 AF2FB ， CG 2GB ，即AFCG 2 ，FBGB所以 AC //FG ，所以PAC 为直线 PA 与直线 FG 所成角或其补角．在 △PAC 中，因为 PAPD 2AD 25 ，ACAD 2 CD 23 5，52352所以由余弦定理可得2AC 2PC 242cos PACPA9 5 ，2PA AC2 53 525所以直线PAFG 所成角的余弦值为9 5 ．与直线25PDECGA FB14.（ 2016 全国甲理 14 ） ，是两个平面， m ， n 是两条线，有下列四个命题：①如果 m n ， m ， n//，那么．②如果 m ， n // ，那么 m n ．③如果 a //， m，那么 m//．④如果 m //n ， // ，那么 m 与所成的角和 n 与 所成的角相等．以上命题正确的命题有.14. ②③④ 解析将题中假设放在一个正方体模型中易知②③④正确.15（. 2016 浙江理 2）已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l .若直线 m, n 满足 m ∥ , n ⊥ ，则（ ）.A. m ∥ lB. m ∥ nC. n lD. m n15.C 解析对于选项 A ，因为l ，所以 l.又因为 m //，所以 m 与 l 平行或异面.故选项 A 不正确；对于选项 B 和 D ，因为，n ，所以 n或 n // .又因为 m //，所以 m 与 n 的关系平行、相交或异面都有可能 .故选项 B 和 D 不正确；对于选项 C ，因为l, 所以 l , 因为 n,所以 n l ，故选项 C 正确，故选 C.16.(2016 全国甲理 19)如图所示，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ，AB 5 ，AC 6 ， 点 E ， F 分别在 AD ， CD 上， AECF5， EF 交 BD 于点 H ，将 △ DEF沿 EF 折4到 △ D EF 的位置， OD10 . （1）证明： DH平面 ABCD ；D /AEDOHFBC16.解析 （ 1）证明：因为 AE CF5AE CF EF ∥ AC4 ，所以ADCD ，所以 ．因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC BD ，所以 EF BD ，所以 EF DH ，所以 EFDH ．因为AC6 ，所以AO3.又AB 5 ，OB ，所以OBOD4，所以 OHAEOD 1 ，AOAD所以 DH D H3，所以OD2OH2D H 2，所以 D HOH．又因为OH I EFH，所以 DH面 ABCD ．17.（ 2016 全国乙理 18）如图所示，在以 A， B ， C ， D ， E ， F为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF2 FD ， AFD 90 ，且二面角 DAF E 与二面角C BE F 都是 60 ．（1）求证：平面ABEF平面EFDC；CDEFB A17.解析（ 1）由已知可得AF DF ， AF FE ，所以 AF平面 EFDC.又 AF平面 ABEF ，故平面 ABEF平面 EFDC.18.（ 2016 北京理17）如图所示，在四棱锥P ABCD 中，平面PAD平面 ABCD ，PA PD ， PA PD ， AB AD ， AB 1 ， AD 2 ，AC CD 5 .（1）求证：PD平面 PAB；PD ABC18.解析（ 1）如题中的图所示，平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD ，AB平面 ABCDAB,AD，得AB平面 PAD ，所以 PD AB .又因为 PD PA,PA平面 PAB ， AB平面 PAB， AB PA A ，所以PD平面PAB .19.（ 2016 浙江理17）如图所示，ABC DEF，BCFE平面ABC ,在三棱台中平面ACB =90 ，BE EF FC1, BC2, AC 3.(1) 求证：BF平面 ACFD ；D FA ECB19.解析（ 1）因为此几何体三棱台，延长AD, BE,CF 可相交于一点K, 如图所示.因为平面 BCFE平面ABC，平面 BCFE 平面ABC为BC，KD FAEC BAC平面ABC，且AC BC ，所以AC平面BCK，因此BF AC .又因为 EF ∥BC , BE EF FC1, BC 2 ，可以求得KBC KCB 60 ，所以△ BCK为等边三角形，且 F 为 CK 的中点，则BF CK .因为 AC,CK平面ACFD，AC CK C ，所以BF平面 ACFD .20．（2016 江苏 16）如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D , E分别为AB, BC的中点，点F 在侧棱 B B 上，且 B D A F ， AC1A B ．111111求证：（ 1）直线DE //平面AC11F；（2）平面B1 DE平面AC F．11C11B1AFCEA D B20.解析（ 1）因为 D , E 分别为AB, BC的中点，所以DE为△ ABC 的中位线，所以DE // AC ，又因为三棱柱ABC A1 B1C1为直棱柱，故 AC //AC11，所以 DE //AC11，又因为 AC11平面 AC11F ，且 DE AC11 F ，故DE// 平面AC1 1F．（2）三棱柱ABC A1B1C1为直棱柱，所以 AA1平面 A1B1C1.又 AC11平面 A1 B1C1，故 AA1AC11.又 AC1 1A1B1，且 AA1A1B1A1， AA1 , A1B1平面 AA1B1 B ，所以 AC11平面 AA1B1B ．又因为 B1D平面 AA1B1 B ，所以 AC11B1 D ．又因为 AF1B1D ， AC11A1 F A1，且 AC11, A1 F平面 AC11F ，所以B1D平面AC F．又因为 B D平面B DE，所以平面 B DE平面AC1F．111111（江苏15）如图所示，在三棱锥 A BCD 中，AB AD ，BC BD ，平面ABD21. 2017平面 BCD ，点 E,F （E与A,D不重合）分别在棱AD , BD 上，且EF AD ．求证：（ 1） EF∥平面ABC；（ 2）AD AC．AEBF DC21.解析（1）在平面ABD内，因为AB AD ， EF AD ，且点 E 与点 A 不重合，所以EF //AB .又因为 EF平面 ABC ，AB平面 ABC ，所以 EF // 平面 ABC .（2）因为平面ABD平面 BCD ，平面ABD平面 BCD BD ，BC平面 BCD ， BC BD ，所以 BC平面 ABD .因为 AD平面 ABD ，所以BC AD .又 AB AD ，BC AB B ，AB平面 ABC ， BC平面 ABC ，所以 AD平面 ABC 又因为 AC平面 ABC ，所以 AD AC..22.（ 2017全国 1 卷理科18（ 1））如图所示，在四棱锥P ABCD中， AB //CD ，且BAP CDP90.(1) 求证：平面PAB平面PAD；PD CA B22.1BAP CDP90，所以 PA AB，PD CD .解析（）证明：因为又因为 AB∥ CD ，所以.又因为PD PA P ，PD，PA平面，所以AB PAD AB PD AB PAB PAD平面PAB PAD.又平面，所以平面平面.（2017全国3卷理科（））如图所示，四面体 ABCD 中，△ ABC 是正三角形，△ ACD23.191是直角三角形，ABD CBD ，AB BD ．（1）求证：平面ACD平面 ABC ；23．解析⑴如图所示，取AC 的中点为 O ，联结 BO ， DO .因为△ ABC 为等边三角形，所以BO AC ， AB BC .AB BC由 BD BD，得△ABD △CBD ，所以 AD CD ，即△ ACD 为等腰直角三角形，ABD DBC从而 ADC 为直角.又 O 为底边 AC 中点，所以 DO AC.令 AB a ，则 AB ACBC BD a，易得 ODa3a ，， OB22222DOB，即 OD OB .所以 OD OB BD ，从而由勾股定理的逆定理可得2OD ACOD OB由 AC OB O，所以 OD平面 ABC.AC平面 ABCOB平面 ABC又因为 OD平面 ADC ，由面面垂直的判定定理可得平面ADC平面 ABC.DCEOBA题型 96与垂直有关的开放性、探索性问题——暂无1．（ 2013 四川理19）如图，在三棱柱ABC A BC 中，侧棱AA底面 ABC ，AB AC2AA ，1111 BAC120，D, D 分别是线段BC,BC 的中点，P是线段AD的中点．1111P ABC（）在平面 ABC内，试作出过点与平面平行的直线 l ，说明理由，并证明直线 l 平面 ADD A ；1 1（2）设（ 1）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A AM N 的余弦值．1CDA P BC1D 1B1A12. (2015 陕西理18) 如图a所示，在直角梯形ΑΒCD中，ΑD //ΒC，ΒΑDπ，2ΑΒ=ΒC = 1，ΑD 2 ，Ε是ΑD 的中点，O是ΑC与 BE的交点．将△ABE 沿 BE 折起到△ΑΒΕ的位置，如图 b所示．1A1(A)A E DEDOOB C B C（ a ）（ b）（ 1）证明：CD平面ΑΟC；1（ 2）若平面ΑΒΕ1平面ΒCDΕ，求平面ΑΒ1C与平面Α1CD夹角的余弦值．2. 解析（ 1）因为AB = AE =1,所以△ABE为等腰三角形，所以AO BE.1同理可证 CO BE .因为AO1CO=O，所以BE平面 AOC1.因为 ED //BC 且 ED =BC ，所以四边形 BCDE 为平行四边形，所以 EB //CD .所以 CD平面 AOC1.(2) 当平面A1BE平面 BCDE 时，以 O 为坐标原点，OBxOC为 y 轴，OA为 z 为轴，1轴的正方向建立空间直角坐标系O - xyz ，如图所示 .则B( 2,0,0), C(0,2,0), A1(0,0,2), E(2,0,0), D( 2,2,0)，22222则 A1B = ( 2,0, -2), BC = (- 2 ,2,0),2222设平面 A1 B C的法向量为n1 =(x ,y , 1， ) 则n1BC 2x22y2n11,1,1.z 22n1A1B x0A1(A)22AD (2,22CD(2,0,0)E D同理，,)，，122B OCx y设平面 ACD的法向量n =(w, z,1)，所以12n2CD2w0w 02 z2，n2A1D2w0z 122得 n2(0,1,1)，从而平面ABC ACDcos n1n22.1与平面1夹角的余弦值为6n1n2 3 23。