强连续线性算子半群在抛物型方程中的应用吴中华;汤磊;胡真珍【摘要】给出了强连续线性算子半群在抛物型方程中的应用,得出了算子半群以-A 为无穷小生成元的条件和抛物型方程混合问题(3)有唯一解的条件,并给出了相应证明.【期刊名称】《河南工程学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2009(021)001【总页数】3页(P48-50)【关键词】C0半群;无穷小生成元;抛物型方程【作者】吴中华;汤磊;胡真珍【作者单位】成都理工大学,信息管理学院,四川,成都,610059;成都理工大学,信息管理学院,四川,成都,610059;成都理工大学,信息管理学院,四川,成都,610059【正文语种】中文【中图分类】O177.1线性算子半群理论是20世纪40年代产生和发展起来的，作为泛函分析的一个分支越来越被人们所重视.半群理论在解决抽象发展方程的Cauchy问题及在对马氏过程的系统研究中都成为基本的数学工具，近年来在分布参数系统、现代控制理论、滤波和信息处理、偏微分方程及随机过程等各个领域都得到广泛应用.半群方法不仅是讨论线性发展方程的有力工具，而且在研究非线性发展方程时，也具有应用意义，在抛物型方程中的应用就是一个例证.利用算子半群方法求解发展型方程定解问题时通常有以下几个步骤：首先将具体的偏微分方程定解问题(例如抛物型方程的初值问题)化成抽象的发展型方程初值问题，如在本文公式(3)的形式所示，这时，在(3)中的算子A一般是一个微分算子，并且通过其定义域的规定已把解应满足的边界条件的要求包括在内；其次说明算子A满足一定的条件，从而能做出一个算子半群 {T(t)，t≥0}，它以-A为无穷小生成元.这样，抽象发展方程初值问题的解就可以用T(t)μ0 表示，再回到原始的定解问题，即得所需之解.1 预备知识定义1.1[1-3] C0 半群设X是Hilbert空间以下简称H，{T(t)；t≥0}是X→X 的有界线性算子族，如果它满足：(1) T(0)=I(2) T(t+s)=T(t)·T(s)=T(s)·T(t)，(t,s≥0)(3)则称{T(t)；t≥0}为强连续算子半群或 C0 类半群，简称 C0 半群.而且如果‖T(t)‖≤1称 T(t)是 C0 类压缩半群.定义1.2[3，4] 如果算子A满足和对于称A是半群 T(t) 的无穷小生成元， D(A)是A的定义域.定义1.3[5] 算子A∈￡(U，V0′)(￡(U，V0′)为U到V0′的一切线性连续算子所组成的空间)：∀u∈U，<Au，v>V=B(u，v)，∀v∈V0，A为B(·，·)的形式算子.引理1.1[5] 设B(·，·)是V×V→R的连续双线性形式，且是 V-H 强制的，即 B(u，u)≥∀u∈V. 那么D(A)在 H 中稠密， A是闭的，而且引理1.2[1，2] 线性算子A是C0 类半群T(t) 的无穷小生成元的充分必要条件是：(1) A是闭的，且D(A)在H中稠密，(2) ∀λ>ω, λI-A 是D(A)→H的双射，且‖(λI-A)-n‖≤M(λ-ω)-n，n=1,2, …,(1)其中，M>0, ω>0是由 C0 类半群 T(t)，即由‖T(t)‖≤Meωt所决定的.引理1.3[6] 线性算子A:D(A)→H 是 C0 类压缩半群的无穷小生成元的充要条件是：(1) D(A)在H中稠密，(2) -A是增生的，(3) 对λ>0，λI-A 是D(A)→H 上的满射, 即值域R(λI-A)=H.引理1.4[1] 设 T(t)是一致有界 C0 类半群. A是 T(t) 的无穷小生成元,且设0∈ρ(A).则存在和M>0,使得ρ(A)⊃并且有‖R(λ;A)‖￡(H)≤M|λ|-1, ∀λ∈∑,λ≠0引理1.5[1] 设A是解析半群T(t)的无穷小生成元，f∈L1(0,T;H).而且假设如果∀t∈(0,T)，存在δt>0和连续的实函数W1(τ):[0,∞]→[0,∞]，使得‖f(t)-f(τ)‖≤Wt(|t-τ|) 和τ-1Wt(τ)dτ<+∞,则∀u0∈H ，问题的广义解u就是经典解.3 主要结论及其证明考察2m阶椭圆算子∂α(ααβ∂βu)满足强椭圆条件.即Re(-1)mAm(x,ξ)≥c|ξ|2m,∀x∈Ω,ξ∈Rn, 其中由Garding 公式知,双线性形式是强制的,即存在c0>0,λ0>0,使得∀设考察混合问题：(2)设A相应的双线性形式B(·，·)在空间套V ⊂H=H′⊂V′中相应的形式算子(见定义1.3)，那么抛物型方程初边值问题(2)可以归结为下列Hilbert空间中抽象的一阶发展方程：在[0,T](3)定理1.1 设A是由三重结构(V,H,B)所决定的形式算子，其中，双线性形式B(·，·)：V×V→R,是连续的和V-H强制的：存在c0>0，λ0>0，使得∀u∈V.则-A是H上 c0 类半群 T(t) 的无穷小生成元，且‖T(t)‖￡(H)≤eωt，ω≥0，(4)而∀λ≥λ0-Aλ=-(λI+A)是H上 c0类压缩半群Tλ(t) 的无穷小生成元.证明：为了证明-A是 c0类半群 T(t) 的无穷小生成元，只需验证引理1.2的条件即可，由于双线性形式B是V-H强制的，所以D(A)在H中稠密，且A是闭的(见引理1.1).同时有∀λ>λ0，λI+A 是双射，且‖(λI+A)-1‖￡(H,V) ≤(λ-λ0)-1,实际上，边值问题：(λI+A)u=f，u ∈D(A), f∈H等价于变分问题：(5)但是，∀从而双线性形式B(u,v)+λ(u,v)是V强制的，即∀u∈V.(6)所以变分问题(5)存在唯一解u∈V.由正则性理论，∀f∈H，有u∈D(A)，并且即‖u‖H ≤(λ-λ0)-1‖f‖H，即‖(λI+A)-1‖￡(H,V)≤(λ-λ0)-1.反复应用上面的讨论，可以得到式(1),且 M=1.因此， -A是 c0 类半群无穷小生成元，并有(4).为了证明-Aλ是 c0 类压缩半群无穷小生成元，只要证明-Aλ满足引理1.3的条件即可.由上面的讨论，D(Aλ)在H中稠密以及Aλ到H上的双射.所以这里只需证明-Aλ是耗散的(或+Aλ是增生的)即可.而这些由(6)立即可以得出.证毕.定理1.2 如果A(x,∂)是2m阶的强椭圆算子，B(·,·)是V×V→R 相应的双线性形式，A是由三重结构(V,H,B)所定义的形式算子，则-A是H上的解析半群的无穷小生成元.证明：设Aλ0=A+λ0I, 则由B的V-H强制性，有由B的连续性，有((Aλ0+λI)u,u)≤‖(Aλ0+λI)u‖H‖u‖H,故λ‖u‖H≤‖(Aλ0+λI)u‖H ,此即‖R(λ;Aλ0)‖￡(H,V)≤1.(7)另一方面，ρ(Aλ0)包括整个正实轴，所以ρ(A)⊃而由(7)有‖R(λ;Aλ0)‖￡(H,V)≤|λ|-1,∀λ∈∑,λ≠0.则由引理1.4知-Aλ0是解析半群的无穷小生成元.同时，由于一个解析半群的无穷小生成元A,加上一个线性有界算子 C 后， A+C仍是一个解析半群的无穷小生成元.所以-A也是H上的一个解析半群的无穷小生成元.证毕.定理1.3 设Ω⊂Rn 有界，且边界足够光滑，f(x,t)∈H，∀t≥0，以及t→‖f(·，t)‖H是指标为θ的连续的，即‖f(·，t)-f(·，τ)‖H≤M|t-τ|θ，0<θ≤1，同时u0∈H，则抛物型方程混合问题(2)有唯一解这个定理是定理1.1，定理1.2和引理1.5的直接结果.【相关文献】[1] Pazy.A. Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations[M].New York: Springer-Verlag,1983.[2] Goldstein,Jerome A. Linear Operators and Applications[M].New York: Oxford University Press,1985.[3] Yosida K. Functional Anaiysis[M].Berlin:Springer-Verlag,1974.[4] Rudin W. Functional Analysis[M]. New York: McGraw-Hill Book Company, 1991.[5] Showalter R E. Hilbert Space Methods for Partial DifferentialEquations[M].London:Pitman Publishing,1977.[6] 周鸿兴，王连文. 线性算子半群理论及应用[M].济南:山东科学技术出版社,1994.。
