二次根式教材分析
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北师大版数学八年级上册7《二次根式》教学设计4一. 教材分析《二次根式》是北师大版数学八年级上册第七章的内容,本章主要让学生了解二次根式的概念、性质和运算方法。
通过本章的学习,学生能理解二次根式的实际意义,掌握二次根式的基本性质和运算规律,为后续学习更高深的数学知识打下基础。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了实数和分数,对数的运算有一定的基础。
但是,对于二次根式这一概念,学生可能较为陌生,需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
此外,学生对于抽象的数学概念,有时难以理解其内涵,需要教师通过具体例子和生活中的实际问题来进行引导。
三. 教学目标1.了解二次根式的概念和性质。
2.掌握二次根式的运算方法。
3.能运用二次根式解决实际问题。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用讲授法、案例分析法、问题驱动法、小组讨论法等,结合多媒体教学,引导学生通过观察、思考、讨论、实践等方式,掌握二次根式的概念、性质和运算方法。
六. 教学准备1.教材、教案、课件。
2.相关的生活实例和练习题。
3.多媒体教学设备。
七. 教学过程1. 导入(5分钟)教师通过引入实际问题,如“一个物体从地面上抛出,上升到最高点后再落下,求物体上升的最大高度。
”让学生思考如何用数学方法来解决这个问题。
2. 呈现(10分钟)教师通过讲解和展示课件,介绍二次根式的概念和性质,如“二次根式是一个形如√a的数学表达式,其中a是一个非负实数。
”并通过实例来引导学生理解二次根式的实际意义。
3. 操练(10分钟)教师给出一些二次根式的运算题目,如“计算√8 + √2”,让学生独立完成,然后进行讲解和解析。
4. 巩固(10分钟)教师通过一些练习题,让学生运用二次根式的运算方法,如“计算(√2 + √3)^2”,并引导学生理解二次根式的运算规律。
5. 拓展(10分钟)教师引导学生思考二次根式在实际问题中的应用,如“一个物体从地面上抛出,上升到最高点后再落下,求物体上升的最大高度。
本文将针对数学中的二次根式的教学进行分析和优化,旨在让学生更好地掌握和应用二次根式的概念,提升他们的数学水平。
一、教案分析1.教学目标根据教材要求,学生需要掌握二次根式的概念、性质和运算法则,并能够熟练地应用到解决实际问题中。
2.教学内容(1)二次根式的概念和性质;(2)二次根式的化简和恒等变形;(3)二次根式的加减乘除及相关应用。
3.教学方法(1)讲解法:教师通过讲解,让学生熟悉二次根式的概念、性质和运算法则。
(2)练习法:教师通过大量的例题和习题,让学生掌握二次根式的应用技巧。
(3)探究法:教师通过引导学生探究二次根式的性质和运算法则,增强学生的自主学习能力。
4.教学评价教师将通过平时的课堂练习和期末考试来评价学生对二次根式的掌握情况。
二、教案优化教学目标的优化除了学习二次根式的概念、性质和运算法则外,还可以增加一些实际应用的例子,让学生更加深入地了解二次根式的应用,以提高兴趣和自信心。
教学内容的优化(1)二次根式的概念和性质部分可以配合动画或实物展示来进行,让学生更加直观地理解二次根式的含义和特点。
(2)针对二次根式的化简和恒等变形,可以增加一些巧妙的方法和技巧,让学生更加熟练地掌握化简和变形的方法。
(3)在二次根式的加减乘除部分,可以增加一些多项式的加减乘除应用例子,以加深学生对二次根式的应用理解,提高其实际操作能力。
教学方法的优化(1)对于讲解法,可以增加互动性和趣味性,比如通过作图、互动问答等方式来进行讲解,使学生更加活跃和参与度高。
(2)在练习法方面,可以增加一些游戏化的练习方式,如竞赛、小组合作等方式,让学生在练习中体现其实际应用能力。
(3)对于探究法,可以增加更多的探究方向,如二次根式在工程中的应用等,激发学生的学习兴趣和快乐体验。
教学评价的优化除了平时的课堂练习和期末考试外,可以增加一些以小组为单位的项目作业,由学生进行实际应用和演示,来评价学生对二次根式的掌握和运用情况。
三、总结二次根式不仅是数学中重要的理论和知识,更是现实生活中不可或缺的应用技巧。
《二次根式》说课稿(写写帮整理)第一篇:《二次根式》说课稿(写写帮整理)《二次根式》说课稿一、教材分析“二次根式”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。
本章是在第13章的基础上,进一步研究二次根式的概念,性质,和运算。
本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密,同时也是以后将要学习的“锐角三角函数”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础。
第一节研究了二次根式的概念和性质。
它是学习本章的关键,它也是学习二次根式的化简和运算的依据。
二、教学目标课标要求:学生要学会学习、自主学习,要为学生终生学习打下坚实的基础,根据教学大纲和新课标的要求,根据教材内容和学生的特点我确定了本节课的教学目标1、了解二次根式的概念2、了解二次根式的基本性质,经历观察、比较、总结二次根式的基本性质的过程,发展学生的归纳概括能力。
3、通过对二次根式的概念和性质的探究,提高数学探究能力和归纳表达能力。
4、学生经历观察、比较、总结和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性与创造性,体验发现的乐趣,并提高应用的意识。
教学重点:二次根式的概念和基本性质教学难点:二次根式的基本性质的灵活运用三、教法和学法教学活动的本质是一种合作,一种交流。
学生是数学学习的主人,教师是数学学习的组织者、引导者与合作者,本节课主要采用自主学习,合作探究,引领提升的方式展开教学。
依据学生的年龄特点和已有的知识基础,本节课注重加强知识间的纵向联系,拓展学生探索的空间,体现由具体到抽象的认识过程。
为了为后续学习打下坚实的基础,例如在“锐角三角函数”一章中,会遇到很多实际问题,在解决实际问题的过程中,要遇到将二次根式化成最简二次根式等,本课适当加强练习,让学生养成联系和发展的观点学习数学的习惯。
四、教学过程活动一:根据学生已有知识探究二次根式的概念1.探究二次根式概念由四个实际问题(三个几何问题,一个物理问题)入手,设置问题情境,让学生感受到研究二次根式来源于生活又服务于生活。
第1章 二次根式二次根式属于“数与代数”领域的内容,它是在学生学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的,是对七年级上册“实数”“代数式”等内容的延伸和补充。
二次根式的运算以整式的运算为基础,在进行二次根式的有关运算时,所使用的运算法则与整式、分式的相关法则类似;在进行二次根式的加减时,所采用的方法与合并同类项类似;在进行二次根式的乘除时,所使用的法则和公式与整式的乘法运算法则及乘法公式类似。
这些都说明了前后知识之间的内在联系。
本章的主要内容有二次根式,二次根式的性质,二次根式的运算(根号内不含字母、不含分母有理化)。
一、教科书内容和教学目标1、本章的教学要求。
(1)了解二次根式的概念,了解简单二次根式的字母取值范围;(2)了解二次根式的性质;(3)了解二次根式的加、减、乘、除的运算法则;(4)会用二次根式的性质和运算法则进行有关实数的简单四则运算(不要求分母有理化)。
2、本章教材分析。
课本在回顾算术平方根的基础上,通过“合作学习”的三个问题引出二次根式的概念,并说明以前学的数的算术平方根也叫做二次根式。
在例题和练习的安排上,着重体现三个方面的要求:一是求二次根式中字母的取值范围;二是求二次根式的值;三是用二次根式表示有关的问题。
对于二次根式的性质,课本利用第4页图1-2给出的。
该图的含义是如果正方形的面积为a ,那么这个正方形的边长就是a ;反之,如果正方形的边长为a ,那么这个正方形的面积就是a ,因此就有a a 2)(。
从而得出二次根式的第一个性质。
至于第二个性质,可以通过学生的计算来发现,所以课本安排了一个“合作学习”,让学生自己去发现和归纳。
该节第一课时的重点在于对这两个性质的理解和运用,例题和练习的设计就围绕这两个性质展开。
第二课时是学习二次根式的另外两个性质,课本安排两组练习,意在让学生通过自己的尝试,与同学的合作交流来发现这两个性质。
通过两个例题和一组练习,使学生知道运用二次根式的性质,可以简化实数的运算,也可以对结果是二次根式的式子进行化简。
【人教版】数学八下:第16章《二次根式》全章名师说课稿一. 教材分析《人教版》数学八下第16章《二次根式》是学生在学习了实数、代数式、方程等知识后,进一步研究根式的一个章节。
本章主要内容包括二次根式的定义、性质、运算及应用。
通过本章的学习,使学生了解二次根式在数学中的地位和作用,培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本章内容前,已掌握了实数、代数式、方程等知识,具备了一定的数学基础。
但二次根式作为一项新的内容,对学生来说仍具有一定的抽象性。
因此,在教学过程中,需要关注学生的学习需求,引导他们通过观察、分析、归纳等方法,逐步理解二次根式的内涵和外延。
三. 说教学目标1.知识与技能:理解二次根式的定义、性质,掌握二次根式的运算方法,能运用二次根式解决实际问题。
2.过程与方法:通过观察、分析、归纳等方法,培养学生自主学习、合作交流的能力。
3.情感态度与价值观:培养学生对数学的兴趣,提高学生运用数学知识解决实际问题的意识。
四. 说教学重难点1.重点:二次根式的定义、性质,二次根式的运算。
2.难点:二次根式在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法:采用问题驱动、案例教学、分组讨论等教学方法,引导学生主动参与,提高学生学习兴趣。
2.教学手段:利用多媒体课件、教学卡片等辅助教学,使抽象的二次根式形象化、具体化。
六. 说教学过程1.导入新课:通过一个实际问题,引出二次根式,激发学生学习兴趣。
2.自主学习:让学生独立阅读教材,理解二次根式的定义和性质。
3.合作交流:分组讨论二次根式的运算方法,分享学习心得。
4.课堂讲解:教师讲解二次根式的运算规则,引导学生总结规律。
5.巩固练习:布置针对性的练习题,让学生巩固所学知识。
6.拓展应用:引入实际问题,引导学生运用二次根式解决问题。
7.课堂小结:教师引导学生总结本节课的主要内容和收获。
8.课后作业:布置适量的作业,让学生进一步巩固所学知识。
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教案5一. 教材分析《二次根式》是北师大版数学八年级上册第七章的内容。
本节内容是在学生已经掌握了有理数的乘除法、平方根的基础上进行的。
二次根式是数学中的基本概念,它在几何、物理等领域有广泛的应用。
本节课的主要内容是二次根式的定义、性质和运算规则,旨在培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础,对平方根的概念和运算有一定的了解。
但二次根式相对于平方根来说,其概念和运算更为复杂,需要学生进行一定的抽象和推理。
因此,在教学过程中,需要关注学生的学习情况,引导学生理解二次根式的本质,掌握其运算规则。
三. 教学目标1.理解二次根式的定义和性质。
2.掌握二次根式的运算规则。
3.能够运用二次根式解决实际问题。
四. 教学重难点1.二次根式的定义和性质。
2.二次根式的运算规则。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过提出问题,引导学生思考和探索;通过案例分析,让学生了解二次根式的应用;通过小组合作学习,培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关案例材料。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入(5分钟)利用PPT展示一些生活中的实例,如计算物体体积、求解方程等,引导学生思考这些实例与二次根式的关系。
2.呈现(10分钟)介绍二次根式的定义和性质,通过PPT展示相关公式和定理。
让学生初步了解二次根式的基础知识。
3.操练(10分钟)让学生进行一些简单的二次根式运算,如化简、求值等。
教师在这个过程中要注意引导学生掌握运算规则,并及时解答学生的问题。
4.巩固(10分钟)让学生运用二次根式解决一些实际问题,如计算物体体积、求解方程等。
教师在这个过程中要注意引导学生将所学知识运用到实际问题中,提高学生的解决问题的能力。
5.拓展(10分钟)让学生探讨二次根式在实际生活中的应用,如物理、化学等领域。
教师在这个过程中要注意引导学生思考和探索,培养学生的创新能力。
北师大版数学八年级上册7《二次根式》说课稿3一. 教材分析北师大版数学八年级上册7《二次根式》是初中数学的重要内容,它既是对实数系统的完善,也是进一步学习代数、几何等知识的基础。
本节课主要介绍二次根式的概念、性质和运算。
通过学习,学生能够理解二次根式的实际意义,掌握二次根式的基本性质,提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数的基本概念,具有一定的代数基础。
他们对实数的认识有助于理解二次根式。
然而,学生对二次根式的理解可能仍停留在表面,对其内在联系和应用可能不够深入。
因此,在教学过程中,需要关注学生的认知水平,引导学生深入理解二次根式。
三. 说教学目标1.知识与技能:学生能够理解二次根式的概念,掌握二次根式的性质,学会进行二次根式的运算。
2.过程与方法:通过观察、思考、交流,学生能够发现二次根式的性质,提高分析问题和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观:学生能够体验数学与实际生活的联系,培养学习数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.重点:二次根式的概念、性质和运算。
2.难点:二次根式的性质的发现和证明,二次根式在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法:采用问题驱动、合作学习、探究发现的教学方法,引导学生主动参与,培养学生的思维能力和创新能力。
2.教学手段:利用多媒体课件、实物模型、数学软件等辅助教学,提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入:通过实际问题引入二次根式的概念,激发学生的兴趣。
2.新课导入:介绍二次根式的概念,引导学生探究二次根式的性质。
3.例题讲解:通过典型例题,讲解二次根式的运算方法。
4.实践环节:学生自主探究,发现二次根式的性质。
5.应用拓展:结合实际问题,引导学生运用二次根式解决实际问题。
6.总结:对本节课的内容进行总结,强调二次根式的概念、性质和运算。
7.作业布置:布置巩固二次根式的练习题,提高学生的应用能力。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁,能够突出二次根式的关键信息。
北师大版八年级数学上册:2.7《二次根式》教学设计3一. 教材分析《二次根式》是北师大版八年级数学上册第2章第7节的内容,本节内容主要介绍二次根式的概念、性质和运算。
二次根式是中学数学中的重要内容,它在解决实际问题和其他学科中有着广泛的应用。
通过学习二次根式,学生能够更好地理解和掌握数学中的根式概念,提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前,已经掌握了实数、有理数和无理数的基本概念,具备了一定的代数基础。
但学生对二次根式这一概念可能较为陌生,需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
同时,学生可能对二次根式的运算规则和性质理解不够深入,需要在教学过程中进行引导和讲解。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念和性质;2.掌握二次根式的运算规则;3.能够应用二次根式解决实际问题;4.培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质;2.二次根式的运算规则;3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法和案例教学法,通过实例和练习引导学生理解二次根式的概念和性质,通过讲解和练习让学生掌握二次根式的运算规则,通过实际问题让学生应用二次根式解决问题。
六. 教学准备1.PPT课件;2.相关例题和练习题;3.教学黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入(5分钟)通过PPT展示一些实际问题,如计算物体体积、求解方程等,引导学生思考如何利用二次根式解决这些问题。
让学生认识到二次根式在实际问题中的重要性。
2.呈现(10分钟)讲解二次根式的概念和性质,通过PPT展示相关定义和性质,让学生理解二次根式的基本特点。
同时,给出一些例子,让学生加深对二次根式的认识。
3.操练(10分钟)让学生进行二次根式的运算练习,如化简、求值等。
教师引导学生运用二次根式的性质和运算规则,解答练习题。
在此过程中,教师应及时解答学生的疑问,并进行讲解和指导。
4.巩固(10分钟)让学生运用二次根式解决实际问题,如计算物体体积、求解方程等。
沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计1一. 教材分析《二次根式》是沪科版数学八年级下册第16章的第一节内容。
本节内容主要介绍二次根式的概念、性质和运算。
二次根式在数学中占有重要的地位,它是学习更高阶数学的基础。
本节内容的教学目标是使学生理解二次根式的概念,掌握二次根式的性质,能进行二次根式的运算。
二. 学情分析学生在学习本节内容前,已经学习了实数、有理数、无理数等基础知识,对数学中的运算有一定的理解。
但二次根式作为一个新的概念,对学生来说还是较为抽象,需要通过实例和练习来理解和掌握。
三. 教学目标1.了解二次根式的概念,能正确识别二次根式。
2.掌握二次根式的性质,能进行二次根式的运算。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法1.采用实例教学法,通过具体的例子来引导学生理解和掌握二次根式的概念和性质。
2.采用归纳法,让学生通过自主探究和合作交流,总结出二次根式的性质和运算方法。
3.采用练习法,通过大量的练习来巩固学生的知识和提高解题能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料,如PPT、教案、练习题等。
2.准备教学工具,如黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入(5分钟)通过一个实际问题引入二次根式的概念,如“一个正方形的对角线长为8,求正方形的面积。
”让学生思考如何解决这个问题,从而引出二次根式。
2.呈现(10分钟)讲解二次根式的概念和性质,通过PPT展示相关的例子和性质,让学生理解和掌握二次根式。
3.操练(10分钟)让学生进行二次根式的运算练习,如化简二次根式、求二次根式的值等。
教师及时批改和讲解,帮助学生掌握二次根式的运算方法。
4.巩固(10分钟)通过一些综合性的练习题,让学生运用所学的知识和方法解决问题,巩固二次根式的理解和运用。
5.拓展(10分钟)讲解二次根式的一些应用,如在几何、物理等学科中的应用,让学生了解二次根式的实际意义和价值。
人教版数学八年级下册说课稿:第16章二次根式(一)一. 教材分析人教版数学八年级下册第16章《二次根式》是中学数学中非常重要的一个章节。
它不仅是学习高中数学的基础,也是解决实际问题的重要工具。
本章主要介绍了二次根式的概念、性质和运算。
通过本章的学习,学生可以掌握二次根式的基本知识,提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数的基本概念,具备了一定的逻辑思维能力。
但是,对于二次根式这一概念,学生可能初次接触,理解起来有一定难度。
因此,在教学过程中,需要教师耐心引导,帮助学生建立起对二次根式的直观认识。
三. 说教学目标1.知识与技能:让学生掌握二次根式的概念、性质和运算方法,能够熟练运用二次根式解决实际问题。
2.过程与方法:通过观察、实验、猜想、验证等方法,引导学生主动探索二次根式的性质,培养学生的动手操作能力和思维能力。
3.情感态度与价值观:激发学生对数学的兴趣,培养学生的团队合作精神,使学生感受到数学在生活中的重要性。
四. 说教学重难点1.重点:二次根式的概念、性质和运算方法。
2.难点:二次根式的混合运算和实际应用。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法,引导学生主动探究二次根式的性质。
2.利用多媒体辅助教学,直观展示二次根式的运算过程,提高学生的学习兴趣。
3.小组讨论,培养学生的团队合作精神。
4.结合生活实际,让学生感受数学的应用价值。
六. 说教学过程1.导入新课:通过复习实数的基本概念,引出二次根式的概念。
2.探究二次根式的性质:引导学生进行实验、观察、猜想、验证,总结出二次根式的性质。
3.学习二次根式的运算:让学生通过自主学习,掌握二次根式的运算方法。
4.实际应用:结合生活实际,让学生运用二次根式解决实际问题。
5.总结提升:对本章内容进行总结,强化学生对二次根式的理解和运用。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了,突出二次根式的概念、性质和运算方法。
可以采用流程图、等形式,帮助学生直观地理解二次根式的相关知识。
苏科版数学八年级下册12.1《二次根式》说课稿3一. 教材分析《二次根式》是苏科版数学八年级下册第12章第1节的内容。
这一节主要介绍了二次根式的概念、性质和运算。
二次根式在数学中占有重要的地位,它是学习更高级数学的基础。
通过本节的学习,学生能够理解和掌握二次根式的基本概念和性质,能够进行二次根式的运算,为后续的学习打下坚实的基础。
二. 学情分析八年级的学生已经学习过一次根式,对根式有一定的了解。
但是,二次根式相对于一次根式来说,概念更加抽象,性质更加复杂。
因此,学生在学习本节内容时可能会感到困难和困惑。
另外,学生对于二次根式的运算可能还不够熟悉,需要通过练习来提高。
三. 说教学目标1.知识与技能目标:学生能够理解二次根式的概念,掌握二次根式的性质,能够进行二次根式的运算。
2.过程与方法目标:通过观察、思考、交流等活动,学生能够培养自己的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标:学生能够积极参与课堂活动,对数学产生兴趣,树立自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点:二次根式的概念、性质和运算。
2.教学难点:二次根式的性质的理解和应用,二次根式的运算的熟练掌握。
五. 说教学方法与手段在本节课中,我将采用问题驱动的教学方法,通过提出问题,引导学生思考和探索,从而激发学生的学习兴趣和主动性。
同时,我会利用多媒体教学手段,展示二次根式的图形和动画,帮助学生更好地理解和掌握二次根式。
六. 说教学过程1.导入:通过复习一次根式,引导学生思考二次根式的概念,激发学生的学习兴趣。
2.新课引入:讲解二次根式的概念,通过示例和练习,让学生理解和掌握二次根式的定义。
3.性质讲解:通过观察和实验,引导学生发现二次根式的性质,并进行证明和解释。
4.运算讲解:讲解二次根式的运算规则,通过示例和练习,让学生熟悉和掌握二次根式的运算。
5.巩固练习:布置一些练习题,让学生独立完成,巩固所学知识。
6.总结:对本节课的内容进行总结,强调二次根式的概念和性质,提醒学生注意运算的细节。
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教案3一. 教材分析《二次根式》是北师大版数学八年级上册第七章的内容,本节内容主要介绍二次根式的概念、性质和运算。
二次根式在数学中具有重要地位,是学习更高级数学的基础。
通过本节内容的学习,使学生了解二次根式的相关概念,掌握二次根式的性质和运算方法,培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前,已掌握实数、有理数、无理数等相关知识,具备一定的数学基础。
但二次根式较为抽象,学生对其概念和性质的理解可能存在一定的困难。
因此,在教学过程中,要注重引导学生从实际问题中抽象出二次根式的概念,并通过实例分析,使学生掌握二次根式的性质和运算方法。
三. 教学目标1.了解二次根式的概念,掌握二次根式的性质。
2.学会二次根式的运算方法,能够熟练进行二次根式的计算。
3.培养学生的抽象思维能力,提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念及其性质。
2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法采用启发式教学法、实例教学法和小组合作学习法。
通过实际问题引入二次根式的概念,引导学生自主探索二次根式的性质和运算方法,学生进行小组讨论,培养学生的合作意识和团队精神。
六. 教学准备1.准备相关实际问题,用于导入二次根式的概念。
2.准备PPT课件,展示二次根式的性质和运算方法。
3.准备练习题,巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入(5分钟)通过一个实际问题引入二次根式的概念。
例如:已知一根木料的长度为5√3米,问这根木料可以锯成多少段长度相等的木条?引导学生从实际问题中抽象出二次根式的概念。
2.呈现(10分钟)利用PPT课件,呈现二次根式的性质和运算方法。
通过实例分析,使学生掌握二次根式的性质,如:二次根式具有非负性、同类二次根式可以合并等。
同时,介绍二次根式的运算方法,如:二次根式的乘法、除法、乘方等。
3.操练(10分钟)学生进行小组合作学习,让学生互相练习二次根式的运算。
《⼆次根式》教材分析《⼆次根式》教材分析1⼀、本章地位与作⽤本章内容属于“数与代数”的基础内容,既是“整式”、“分式”之后引⼊的第三类重要代数式,也是“实数”之后对“数”的认识的深化.本章内容具有极强的“⼯具性”,教材中安排本章在“勾股定理”之后、“⼆次⽅程”之前,意在为解⼆次⽅程做好准备;本学期安排本章在“勾股定理”之前,能为解任意直⾓三⾓形的三边数值扫清障碍.⼆、知识⽹络归纳三、课标及中考要求【课标要求】了解⼆次根式、最简⼆次根式的概念,了解⼆次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会⽤它们进⾏有关的简单四则运算.(不要求进⾏根号下含字母的⼆次根式的四则运算,如,等.)【中考要求】1参考了之前⼏次同题教材分析稿,例题也⼤多沿⽤之。
四、课时安排建议21.1 ⼆次根式约2课时 21.2 ⼆次根式的乘除约2课时 21.3 ⼆次根式的加减约3~4课时数学活动与⼩结约2课时五、全章教学建议1.注意本章内容的“⼯具性”.⼆次根式相关知识的学习是为后续勾股定理、⼆次⽅程的学习打基础,因此应重点落实⼆次根式的性质、化简和计算(特别是实数的化简和计算)的准确性,提⾼学⽣的计算能⼒.尽管课本中的例题相对简单,但不要忽视它们在学⽣建⽴知识结构的过程所起的过渡作⽤.⾮实验班不建议在此补充涉及代数式化简、运算技巧的内容(如分母有理化等),相应地,学探诊测试6第6题及之后的题⽬可不作为基本教学要求.2.从提出⼆次根式的概念开始,就注意强化“⼆次根式在⼀定条件下才有意义”这⼀观念.避免教材第7页⼩贴⼠“在本章中,如果没有特别说明,所有的字母都表⽰正数”给学⽣带来的误解和误导.总有为数不少的学⽣将⼆次根式有意义的“⾮负性”条件误记为“正性”条件,可能与此有关.3.注意对“实数”⼀章知识的复习,体现“数式通性”的原则;注意与“整式”、“分式”相关知识的联系,相关结论可以类⽐记忆.4.注意教材和学探诊中,有些题⽬需要⽤到勾股定理,可先回避.六、各⼩节教学建议 21.1 ⼆次根式(1)实例引⼊,注意复习开平⽅、算术平⽅根的概念和符号表⽰.(2)⼆次根式的形式定义:建议不要把精⼒放在辨别⼀个式⼦是否为⼆次根式上,⽽应该侧重于理解被开⽅数是⾮负数(不要误记为正数)的要求.作为单独⼀个数应属于单项式,⾮⼆次根式.学探诊92页第6题:下列各式中,⼀定是⼆次根式的是:(A B C D 答案B .本⼈认为题⼲应该改为“下列各⼆次根式⼀定有意义的是”.总之,真正该提醒学⽣的是“数式通性”:如果被开⽅数是⼀个常数,那么它不可以是负数;如果被开⽅数含字母,那么它有取值范围的限制(与分式类似).(3)⼆次根式(根号)的双重⾮负性:)0(,0≥≥a a ;(4)教材要求掌握的公式:2 (0)a a =≥ (0)a a ≥,建议授课时提⾼要求,理解并掌握??<-≥==)0()0(2a a a a a a .2a 与2)(a 的对⽐:①运算顺序不同:2)(a 是先求算术平⽅根再平⽅,2a 是先平⽅再求算术平⽅根;② a 的取值不同:2)(a 中a 的取值是0≥a ,⽽2a 中a 的取值是任意实数;③运算结果不同:2)(a =a (0≥a );2a =??<-≥=)0()0(||a a a a a .(5)代数式的概念:建议适当补充⼀些代数式的书写规范(如果之前没有讲过).例1 :当x 是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义?(1 (2 (3(4 答案:(1)1x ≥;(2)1x ≤;(3)1x >;(4)0x ≥且1x ≠.提⾼题:求下列函数解析式中⾃变量x 的取值范围:(1)y x 23-;(2)y 11x +;(3)y =(4)y .答案:(1)322x -≤≤;(2)0x ≤且1x ≠-;(3)12x ≥且2x ≠;(4)全体实数.例2 :若x 、y 为实数,且y =2-x +x -2+3.求y x 的值.(y x =9)例3 :判断下列等式是否成⽴:(1)219()= (2)219()=-19()= (4)2()a b=-()a b =- (6)0)().a a =≤答案:(1)√;(2)×;(3)√;(4)√;(5)×;(6)√.例4 :已知c b a ,,为三⾓形的三边,则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=.(a b c ++)21.2 ⼆次根式的乘除(10,0)a b ≥≥理解⼆次根式乘除运算法则的合理性:可与()n n n a b ab =做形式上的类⽐;***可以利⽤算术平⽅根的定义进⾏推理证明:∵222ab =?= 且0≥≥,∴.从公式的适⽤范围看,包括了某些字母取0的情况;为降低难度,如果遇到纯⼆次根式化简问题,可以默认为字母都表⽰正数;当涉及字母的取值范围问题时,不能认为字母都是正数.(2)公式的逆⽤:)0,0(≥≥?=b a b a ab ;.能利⽤这条性质对⼆次根式进⾏化简.注意学⽣不易理解“开得尽⽅的因数或因式”的含义,教材在第8页⼩贴⼠的解释:可以开⽅后移到根号外的因数或因式.在这⾥,不妨多举⼀些例⼦,让学⽣明确在化简时,⼀般先将被开⽅数进⾏因数分解或因式分解,然后再将能开得尽⽅的因数或因式开出来.初步总结乘法运算的结果应满⾜以下两个要求:①结果是⼀个⼆次根式,或单项式乘以⼆次根式;也可能没有根号,只是单项式;②根号下不再有 “开得尽的因数或因式”.(30,0)a b=≥>,)0,0(>≥=b a ba b a注意0b >的条件;可以通过归纳、或证明、或类⽐nn n a a b b ??=得出此公式;对于⼆次根式的除法运算和⼆次根式的化简,应让学⽣⼀题多解,⼀⽅⾯是熟悉⼆次根式性质、运算法则和⽅法,另⼀⽅⾯,通过⼀题多解,总结做题经验,使运算更灵活、更简洁.如515515555353532==??==; 515)5(155553532==??=. a a a a aa a a224222828===;a aaa a a a a 22222228====.⼜如 222222212212212=?==?=; 22)2(2122122==?=;22142122122=?=?=.如果学⽣觉得不易灵活运⽤,也可总结为更易操作的“算法”:=再化简.⽤具体的实例归纳总结出把⼀个⼆次根式化为最简⼆次根式的⽅法技巧.如:当被开⽅数较⼤时,可⽤分解因数的办法将被开⽅数尽可能写成完全平⽅数的乘积形式.⾄此学⽣应能对……等常见数值进⾏化简.总之,学⽣在化简运算的简洁性和准确性上都容易出现问题,因此建议在教学过程中先要求学⽣观察⼆次根式的特点,根据其特点分析运⽤哪条性质、哪种⽅法来解答,每步运算的根据的什么,培养学⽣的分析能⼒和观察能⼒,以及计算的⽬的性和条理性.(4)最简⼆次根式的概念:不要求学⽣背出定义,关键是遇到实际式⼦能够加以判断,让学⽣在练习中熟悉这个概念,同时明确⼆次根式的运算结果应化为最简⼆次根式.例5 :计算:(1 (2;(3 (4例6 :化简:(1 (2 (3 (4(5 (6 (7 (8(9 (10)例7 :计算:(1;(2 (3;(4;(5 (6)3 (7 (8 (9例8 :计算:(1)12322??;(2))126(75?÷.例9 1.4143个有效数字). 21.3 ⼆次根式的加减(1)教材采⽤了“被开⽅数相同的最简⼆次根式”的说法;为简洁明了,建议还是类⽐同类项的概念给出“同类⼆次根式”的概念,能通过实例判断⼏个⼆次根式是不是同类⼆次根式,注意强调先化简的重要性.例如,分成⼏个⼩问题:①把被开⽅数都是整数的放在⼀个⼩题中,②把被开⽅数都是分数的放在⼀个⼩题中,③把被开⽅数带有简单字母的放在⼀个⼩题中,④把字母次数略⾼于2的放在⼀个⼩题中,……使问题的解决有⼀个由浅⼊深的渐进过程,最终再给出类似a(2)明确⼆次根式的加减法运算的实质就是合并同类⼆次根式,这与整式加减的实质类似.加减法的练习也同样可细分成⼏个层次进⾏教学.例如:①不需要化简能直接进⾏相加减的,②需要化简但被开⽅数都是简单整数的,③被开⽅数都是有理数但既有整数⼜有分数的,④被开⽅数含有字母的,等等.加减运算中常出现的错误类型有:①或类似的式⼦;②运算过程中有3294+=+或34143=或类似的问题;③运算过程中有532=+或2322311=-或类似的问题.(4)⼆次根式的混合运算.教材利⽤⼩贴⼠类⽐了它与实数、整式运算的联系:第14页: “在有理数范围内成⽴的运算律,在实数范围内仍成⽴”;第17页: “在⼆次根式的运算中,多项式乘法法则和乘法公式仍然适⽤”.分析式⼦结构,明确运算顺序;关注乘法公式和运算律的应⽤;计算少跳步,避免类似(5516=,之类的典型错误.例10计算:(1(2)2484554+-+(3)3241182182-+;(4)4832714122+-;(5()3122--?(6)0(π1)+-(7)1+(8)68 13222124--+-例11计算:(1)3)154276485(÷+- (2)x xx x 3)1246(÷- (3) )65153(1051-?(4)2136233÷-(5)2)32()122)(488(---+ (6))2332)(2332(-+ (7)2)534(+(8))3225)(65(-+(9) 1515)103()103(-+ (10) (11))13(1312+?+÷(12)abb a ab b 3)23(235÷-?(13))93()24(3ab a ba b a a b a b +-+ (14)221122??-+-+(15)((((22221111(16)ab -b a ―ab+2++a b b a (a >0,b >0)例12⼀个长⽅体的长为,宽为cm 3,⾼为cm 2,则它的表⾯积为 2cm ,体积为3cm .(8+例13若8a ,⼩数部分是b ,则22ab b -= .(5)★章节复习及综合(1)条件求值类题⽬:例14甲、⼄两⼈对题⽬“求值:21122-++a a a ,其中51=a ”有不同的解答,甲的解答:11112495a a a a a a a ==+-=-=,⼄的解答:5111)1(1211222==-+=-+=-++a a a a a a a a aa ,谁的解答是错误的?为什么?例15(1)如果524-+=+b a b a ,那么b a 2+=_____.(2)若实数x y ,满⾜033222=+-++y y x ,则xy 的值是..例16①已知: 101=+a a ,求221a a +的值.(6)②已知: ()5721+=x , ()5721-=y ,求x 2- xy + y 2的值.(112)(2)寻找规律、现场学习类:例17已知下列等式:10=100,1000,······,①根据上述等式的特点,请你写出第四个等式,并通过计算验证等式的正确性;②观察上述等式的规律,请你写出第n 个等式.(允许写成99999n个的形式)例18 观察下列等式:12)12)(12(12121-=-+-=+;23)23)(23(23231-=-+-=+;34)34)(34(34341-=-+-=+;……回答下列问题:①;② ......(9)例19m 和n ,使22mn a +=且mn =a ±222m n mn +±,即变成2()m n ±5±32++222++,==请仿照上例解下列问题:(1;(2七、***拓展专题(1)分母有理化:例20)a b ≠ 例21计算:)12008)(200720081...341231121(+++++++++(2)⼆次根式⽐较⼤⼩:例22⽐较⼤⼩:(1)3与22(平⽅法)(2)-(被开⽅数)(3)571-与351-(分母有理化)(4)2002-2001与2001-2000(倒数法/分⼦有理化)例23观察下列各式的特点:2312->-,3223->-,2532->-,……(1) 请根据以上规律填空20072007- >(2) 请根据以上规律写出第)1(≥n n 个不等式,并证明你的结论. (3) 计算下列算式:.....+9)(3)化简和运算技巧(注意隐含条件:字母的取值范围):例24(1)已知a <0,化简⼆次根式b a 3-的正确结果是(). AA .ab a --B .ab a -C .ab aD .ab a -(2)把mm 1-根号外的因式移到根号内,得(). C A .m B .m - C .m -- D .m -例25 (1)已知x+y=6,xy=6,求:xyy x +的值;(2)已知x +y=-8,xy=8,求的值.(-例26 计算)311)(37(6117)75)(53(7523+++++++++例27 (1)化简ba b a b a b ab a b a a ba b +-÷++-?-+-2;(a ba b +-)(2)化简111111112222-++--++--+-++a a a a a a a a .(1a >).(例28(1)已知x =2323-+, y =2323+-,求32234232y x y x y x xy x ++-的值;)(2)已知3 21+=a ,求a a a a a a a -+---+-2221 2121的值.(3)。
第十六章 二次根式教材分析:二次根式教材分析(一)课程学习目标1. 理解二次根式的概念,了解被开方数必须是非负数的理由;2.了解最简二次根式的概念;3.理解二次根式的性质:(1))0(≥a a 是非负数;(2)())0(2≥=a a a ;(3))0(2≥=a a a ; 4.掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关实数的简单四则运算(不要求分母有理化);5.了解代数式的概念,进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。
(二)知识结构框图本章知识结构框图如下:注意:有关a 的取值及讨论.(三)课时安排本章教学时间约需10课时,具体分配如下(仅供参考):16.1 二次根式 约3课时 16.2 二次根式的乘除 约5课时 16.3 二次根式的加减 约4课时 小结 约2课时(四)内容安排本章是在第10章的基础上,进一步研究二次根式的概念、性质和运算。
本章重点是二次根式的化简和运算,难点是正确理解二次根式的性质和运算法则的合理性,学习本章的关键是理解二次根式的概念和性质,它们是学习二次根式的化简与运算的依据。
第10章“实数”中,我们学习了平方根、算术平方根的概念,以及利用平方运算与开平方运算的互逆关系求非负数的平方根和算术平方根的方法。
全章分为三节,第一节研究了二次根式的概念和性质。
教科书首先给出四个实际问题,要求学生根据已学的平方根和算术平方根的知识写出这四个问题的答案,并分析所得结果在表达式上的特点,由此引出二次根式的概念。
在二次根式的概念中,重要的一点是理解被开方数是非负数的要求,教科书结合例题对此进行了较详细的分析。
接下去,教科书采用由特殊到一般的方法,归纳给出了二次根式的性质())0(2≥=a a a ,并根据算术平方根的定义对这条性质进行了分析,对于二次根式的性质)0(2≥=a a a ,教科书同样采用了让学生通过具体计算,分析运算过程和运算结果,最后归纳得出一般结论的方法进行研究。
二次根式教材分析本页仅作为文档封面,使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March二次根式教材分析一、学段地位二次根式是在学生学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的,是对“实数、整式”等内容的延伸和补充,对数与式的认识更加完善。
二次根式的化简对勾股定理的应用是很好的补充;二次根式的概念、性质、化简与运算是后续学习解直角三角形、一元二次方程和二次函数的基础.二次根式是初中阶段学习数与式的最后一章,是式的变形的终结章.二、教学内容1.二次根式的相关概念(1a≥0)的式子叫二次根式;(2 ) 最简二次根式:被开方数的因数是整数,或因式是整式,不含能进一步开方的因数或因式.(3 ) 同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.☆(4 ) 分母有理化:2.两个重要公式2=a(a≥03.两个重要性质(a≥0,b≥0);(a≥0,b>0).4.二次根式的运算(1)二次根式的乘除法a≥0,b≥0);a≥0,b>0). (2)二次根式的加减法(合并同类二次根式)三、教学要求教学目标1.知识与技能(1)理解二次根式的概念.(2a≥0)2=a(a≥0(3a≥0,b≥0(a≥0,b≥0);a≥0,b>0(a≥0,b>0).(4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减.2.过程与方法(1)先提出问题,让学生探讨、分析问题,师生共同归纳,得出概念.•再对概念的内涵进行分析,得出几个重要结论,并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.(2)用具体数据探究规律,用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定,•并运用规定进行计算.(3)利用逆向思维,•得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简.(4)通过分析前面的计算和化简结果,抓住它们的共同特点,•给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念,来对相同的二次根式进行合并,达到对二次根式进行计算和化简的目的.3.情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生:利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神,经过探索二次根式的重要结论,二次根式的乘除规定,发展学生观察、分析、发现问题的能力.教学重点1a≥0(a≥02=a (a≥0及其运用.2.二次根式乘除法的法则及其运用.3.最简二次根式的概念.4.二次根式的加减运算,实质是合并同类二次根式.教学难点1a ≥0)2=a (a ≥0)及的理解及应用.2.二次根式的乘法、除法的条件限制.3.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式.四、、本章课时安排:本章教学时间约需9课时(仅供参考):21.1 二次根式 约2课时21.2 二次根式的乘除 约2课时21.3 二次根式的加减 约3课时数学活动小结 约2课时典型例题1.1),a a ≥<-x ≤a ≥x ≤2.当x 适合什么条件时,下列二次根式有意义(1解:1x ≥- 解:x<1 解:1x ≠(4 (5解:全体实数 解:全体实数3.(1m 的值。
人教版数学八年级下册16.1《二次根式》说课稿2一. 教材分析人教版数学八年级下册16.1《二次根式》是学生在学习了实数、有理数和无理数的基础上,进一步研究根式的一种拓展。
这部分内容主要介绍了二次根式的概念、性质和运算。
通过学习二次根式,学生能够更好地理解实数的内涵,提高解决问题的能力。
本节课的内容对于学生来说是一个重要的转折点,对于后续学习函数、方程等数学知识有着至关重要的作用。
二. 学情分析在八年级下册的学生已经具备了一定的数学基础,对于实数、有理数和无理数有了初步的了解。
但是,对于二次根式这一概念,学生可能较为陌生,需要通过实例和讲解来逐步理解。
此外,学生可能对于根式的运算规则和性质理解不够深入,需要通过大量的练习来巩固。
三. 说教学目标1.知识与技能目标:学生能够理解二次根式的概念,掌握二次根式的性质和运算规则。
2.过程与方法目标:通过实例分析和小组讨论,学生能够培养观察、思考和合作的能力。
3.情感态度与价值观目标:学生能够体验到数学与实际生活的联系,激发对数学的兴趣和好奇心。
四. 说教学重难点1.教学重点:二次根式的概念、性质和运算规则。
2.教学难点:二次根式的运算规则和性质的理解与应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法:采用问题驱动法、实例分析法、小组讨论法等,引导学生主动探究和思考。
2.教学手段:利用多媒体课件、实物模型、数学软件等辅助教学,提高学生的学习兴趣和效果。
六. 说教学过程1.引入新课:通过展示实际生活中的例子,引出二次根式的概念,激发学生的兴趣。
2.讲解概念:讲解二次根式的定义,通过示例让学生理解二次根式的含义。
3.性质探讨:引导学生观察和分析二次根式的性质,让学生通过小组讨论来发现和总结。
4.运算规则:讲解二次根式的运算规则,通过示例让学生掌握运算方法。
5.巩固练习:布置一些具有代表性的题目,让学生独立完成,巩固所学知识。
6.总结与拓展:对本节课的内容进行总结,提出一些拓展问题,激发学生的思考。
《二次根式》教材分析1一、本章地位与作用本章内容属于“数与代数”的基础内容,既是“整式”、“分式”之后引入的第三类重要代数式,也是“实数”之后对“数”的认识的深化.本章内容具有极强的“工具性”,教材中安排本章在“勾股定理”之后、“二次方程”之前,意在为解二次方程做好准备;本学期安排本章在“勾股定理”之前,能为解任意直角三角形的三边数值扫清障碍.二、知识网络归纳三、课标及中考要求【课标要求】了解二次根式、最简二次根式的概念,了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关的简单四则运算.(不要求进行根号下含字母的二次根式的四则运算,如,等.) 【中考要求】1参考了之前几次同题教材分析稿,例题也大多沿用之。
四、课时安排建议21.1 二次根式 约2课时 21.2 二次根式的乘除 约2课时 21.3 二次根式的加减 约3~4课时 数学活动与小结 约2课时五、全章教学建议1. 注意本章内容的“工具性”.二次根式相关知识的学习是为后续勾股定理、二次方程的学习打基础,因此应重点落实二次根式的性质、化简和计算(特别是实数的化简和计算)的准确性,提高学生的计算能力.尽管课本中的例题相对简单,但不要忽视它们在学生建立知识结构的过程所起的过渡作用.非实验班不建议在此补充涉及代数式化简、运算技巧的内容(如分母有理化等),相应地,学探诊测试6第6题及之后的题目可不作为基本教学要求.2. 从提出二次根式的概念开始,就注意强化“二次根式在一定条件下才有意义”这一观念.避免教材第7页小贴士“在本章中,如果没有特别说明,所有的字母都表示正数”给学生带来的误解和误导.总有为数不少的学生将二次根式有意义的“非负性”条件误记为“正性”条件,可能与此有关.3. 注意对“实数”一章知识的复习,体现“数式通性”的原则;注意与“整式”、“分式”相关知识的联系,相关结论可以类比记忆.4. 注意教材和学探诊中,有些题目需要用到勾股定理,可先回避.六、各小节教学建议 21.1 二次根式(1)实例引入,注意复习开平方、算术平方根的概念和符号表示. (2)二次根式的形式定义:建议不要把精力放在辨别一个式子是否为二次根式上,而应该侧重于理解被开方数是非负数(不要误记为正数)的要求.作为单独一个数应属于单项式,非二次根式.学探诊92页第6题:下列各式中,一定是二次根式的是:(A B C (D )B .本人认为题干应该改为“下列各二次根式一定有意义的是”.总之,真正该提醒学生的是“数式通性”:如果被开方数是一个常数,那么它不可以是负数;如果被开方数含字母,那么它有取值范围的限制(与分式类似). (3)二次根式(根号)的双重非负性:)0(,0≥≥a a ;(4)教材要求掌握的公式:2 (0)a a =≥ (0)a a =≥,建议授课时提高要求,理解并掌握⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a .2a 与2)(a 的对比:① 运算顺序不同:2)(a 是先求算术平方根再平方,2a 是先平方再求算术平方根;② a 的取值不同:2)(a 中a 的取值是0≥a ,而2a 中a 的取值是任意实数;③ 运算结果不同:2)(a =a (0≥a );2a =⎩⎨⎧<-≥=)0()0(||a a a a a .(5)代数式的概念:建议适当补充一些代数式的书写规范(如果之前没有讲过). 例1 :当x 是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义(11x - (21x - (31x -; (41x -. 答案:(1)1x ≥; (2)1x ≤; (3)1x >; (4)0x ≥且1x ≠.提高题:求下列函数解析式中自变量x 的取值范围:(1)2y x =+-x 23-; (2)y x =--11x +; (3)21||2x y x -=-; (4)222y x x =-+.答案:(1)322x -≤≤;(2)0x ≤且1x ≠-;(3)12x ≥且2x ≠;(4)全体实数. 例2 :若x 、y 为实数,且y =2-x +x -2+3.求y x 的值. (y x =9) 例3 :判断下列等式是否成立:(1)2(19)19()= (2)2(19)19()-=-(3)2(19)19()-= (4)()2()a ba b -=-(5)2()()a b a b-=- (6)2(0)().a a a =-≤答案:(1)√;(2)×;(3)√;(4)√;(5)×;(6)√.例4 :已知c b a ,,为三角形的三边,则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+= . (a b c ++)21.2 二次根式的乘除(1)从具体到抽象,归纳得出乘法公式:(0,0)a b ab a b ⋅=≥≥理解二次根式乘除运算法则的合理性:可与()n n n a b ab =做形式上的类比;***可以利用算术平方根的定义进行推理证明:∵()()()222a ba b ab ⋅=⋅= 且 0,0a b ≥≥,∴ a b ab ⋅=.从公式的适用范围看,包括了某些字母取0的情况;为降低难度,如果遇到纯二次根式化简问题,可以默认为字母都表示正数; 当涉及字母的取值范围问题时,不能认为字母都是正数.(2)公式的逆用:)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ;.能利用这条性质对二次根式进行化简.注意学生不易理解“开得尽方的因数或因式”的含义, 教材在第8页小贴士的解释:可以开方后移到根号外的因数或因式.在这里,不妨多举一些例子,让学生明确在化简时,一般先将被开方数进行因数分解或因式分解,然后再将能开得尽方的因数或因式开出来.初步总结乘法运算的结果应满足以下两个要求:①结果是一个二次根式,或单项式乘以二次根式;也可能没有根号,只是单项式;②根号下不再有 “开得尽的因数或因式”.(3)除法公式及逆用:(0,0)a a a b b b =≥>,)0,0(>≥=b a ba b a注意0b >的条件;可以通过归纳、或证明、或类比nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭得出此公式;对于二次根式的除法运算和二次根式的化简,应让学生一题多解,一方面是熟悉二次根式性质、运算法则和方法,另一方面,通过一题多解,总结做题经验,使运算更灵活、更简洁. 如515515555353532==⨯⨯==; 515)5(155553532==⨯⨯=. a a a a aa a a224222828==⨯⨯=;a aaa a a a a 22222228=⋅==⋅=. 又如 222222212212212=⨯=⨯⨯⨯=⨯=; 22)2(2122122==⨯=;22142122122=⨯=⋅=. 如果学生觉得不易灵活运用,也可总结为更易操作的“算法”:ab 型即a b 型,所有a b 的转化为a a b a b b b b⨯⨯==⨯再化简;或者:a b型即a b 型,所有的a b 转化为a b a b b b b ⨯⨯=⨯再化简.用具体的实例归纳总结出把一个二次根式化为最简二次根式的方法技巧.如:当被开方数较大时,可用分解因数的办法将被开方数尽可能写成完全平方数的乘积形式.至此学生应能对112,,12.5,3……等常见数值进行化简.总之,学生在化简运算的简洁性和准确性上都容易出现问题,因此建议在教学过程中先要求学生观察二次根式的特点,根据其特点分析运用哪条性质、哪种方法来解答,每步运算的根据的什么,培养学生的分析能力和观察能力,以及计算的目的性和条理性.(4)最简二次根式的概念:不要求学生背出定义,关键是遇到实际式子能够加以判断,让学生在练习中熟悉这个概念,同时明确二次根式的运算结果应化为最简二次根式.例5 :计算:(1 (2; (3 (4.例6 :化简:(1; (2 (3 (4(5; (6 (7; (8(9 (10)例7 :计算: (1; (2 (3; (4;(5 (6)3 (7 (8; (9. 例8 :计算:(1)12322⨯⨯; (2))126(75⋅÷.例9 1.4143个有效数字). 21.3 二次根式的加减(1)教材采用了“被开方数相同的最简二次根式”的说法;为简洁明了,建议还是类比同类项的概念给出“同类二次根式”的概念,能通过实例判断几个二次根式是不是同类二次根式,注意强调先化简的重要性.例如,分成几个小问题:① 把被开方数都是整数的放在一个小题中, ② 把被开方数都是分数的放在一个小题中, ③ 把被开方数带有简单字母的放在一个小题中, ④ 把字母次数略高于2的放在一个小题中,……使问题的解决有一个由浅入深的渐进过程,最终再给出类似a的例子. (2)明确二次根式的加减法运算的实质就是合并同类二次根式,这与整式加减的实质类似.加减法的练习也同样可细分成几个层次进行教学.例如:① 不需要化简能直接进行相加减的, ② 需要化简但被开方数都是简单整数的, ③ 被开方数都是有理数但既有整数又有分数的, ④ 被开方数含有字母的,等等. 加减运算中常出现的错误类型有:①② 运算过程中有3294+=+或34143=或类似的问题; ③ 运算过程中有532=+或2322311=-或类似的问题. (4)二次根式的混合运算.教材利用小贴士类比了它与实数、整式运算的联系:第14页: “在有理数范围内成立的运算律,在实数范围内仍成立”; 第17页: “在二次根式的运算中,多项式乘法法则和乘法公式仍然适用”. 分析式子结构,明确运算顺序; 关注乘法公式和运算律的应用; 计算少跳步,避免类似(535316-=,222=8之类的典型错误.例10计算:(182(2)2484554+-+(3)3241182182-+; (4)4832714122+-; (5()32812--(6)0(π1)123+-(7)818512+(8)6813222124--+-例11计算:(1)3)154276485(÷+- (2)x xx x 3)1246(÷- (3))65153(1051-⋅(4)2136233÷-(5)2)32()122)(488(---+(6))2332)(2332(-+(7)2)534(+(8))3225)(65(-+(9) 1515)103()103(-+ (10)(23326)(23326) (11))13(1312+⋅+÷(12)ab b a ab b 3)23(235÷-⋅ (13))93()24(3ab a ba b a a b a b +-+ (14)22131322⎛⎛-+--+ ⎝⎭⎝⎭(15)((((222212131213++(16)ab -b a ―a b +2++abb a (a >0,b >0)例12一个长方体的长为,宽为cm 3,高为cm 2,则它的表面积为 2cm ,体积为3cm . (8+例13若8a ,小数部分是b ,则22ab b -= .(5)★ 章节复习及综合 (1)条件求值类题目: 例14甲、乙两人对题目“求值:21122-++a a a ,其中51=a ”有不同的解答,甲的解答:11112495a a a a a a a =+=+-=-=, 乙的解答:5111)1(1211222==-+=-+=-++a a a a a a a a aa, 谁的解答是错误的为什么 例15(1)如果524-+=+b a b a ,那么b a 2+=_____.(2)若实数x y ,满足033222=+-++y y x ,则xy 的值是 . .例16① 已知: 101=+a a , 求221a a +的值. (6) ② 已知: ()5721+=x , ()5721-=y , 求x 2xy + y 2的值. (112)(2) 寻找规律、现场学习类: 例17已知下列等式:10=100=, 1000=,······,① 根据上述等式的特点,请你写出第四个等式,并通过计算验证等式的正确性; ② 观察上述等式的规律,请你写出第n 个等式. (允许写成99999n L 14243个的形式)例18观察下列等式:12)12)(12(12121-=-+-=+;23)23)(23(23231-=-+-=+;34)34)(34(34341-=-+-=+;……回答下列问题:①;② ......+.(9)例19m 和n ,使22mn a +=且mn =a ±222m n mn +±,即变成2()m n ±5±=32++222++=,==请仿照上例解下列问题:(1; (2七、***拓展专题(1)分母有理化: 例20)a b ≠ 例21计算:)12008)(200720081 (3)41231121(+++++++++(2)二次根式比较大小: 例22比较大小:(1)3与22(平方法) (2)-与-(被开方数)(3)571-与351-(分母有理化)(4)2002-2001与2001-2000(倒数法/分子有理化) 例23观察下列各式的特点:2312->-,3223->-,2532->-,……(1) 请根据以上规律填空2007-2007- >(2) 请根据以上规律写出第)1(≥n n 个不等式,并证明你的结论. (3) 计算下列算式:.....+++9)(3)化简和运算技巧(注意隐含条件:字母的取值范围):例24 (1)已知a <0,化简二次根式b a 3-的正确结果是( ). AA .ab a --B .ab a -C .ab aD .ab a -(2)把mm 1-根号外的因式移到根号内,得( ). C A .m B .m -C .m --D .m -例25 (1)已知x+y=6,xy=6,求:xy y x +的值;(2)已知x +y=-8,xy=8,求的值.(-例26 计算)311)(37(6117)75)(53(7523+++++++++ 例27 (1)化简 ba b a b a b ab a b a a b a b+-÷++-⋅-+-2; (a b a b +-)(2)化简111111112222-++--++--+-++a a a a a a a a .(1a >). ()例28 (1)已知x =2323-+, y =2323+-, 求32234232y x y x y x xy x ++-的值;) (2)已知321+=a , 求a a a a a a a -+---+-22212121的值. (3)。