非线性系统分析(精)
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第8章 非线性系统分析
14
一、非线性控制系统概述(11)
考虑著名的范德波尔方程
x 2 (1 x2 ) x x 0, 0
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。当扰动使 x 1 时，因为 (1 x 2 ) 0 系统具有负阻尼，此时系统 x(t ) 的运动呈发散形式；当 x 1 时，因为 从外部获得能量， 2 (1 x 2）＞0，系统具有正阻尼，此时系统消耗能量， x(t ) 的运动呈收敛形式；而 当x＝1 时，系统为零阻尼， 系统运动呈等幅振荡形式。 上述分析表明，系统能克 服扰动对 的影响，保持幅 值为1的等幅振荡，见右图。
1
第八章 非线性控制系统分析
本章主要内容： 一、非线性控制系统概述 二、常见非线性特性及其对系统运动的影响 三、描述函数法
2
第八章、非线性控制系统分析
本章要求 : 1、了解非线性系统的特点 2、了解常见非线性特性及其对系统运动的影响 3、掌握研究非线性系统描述函数法
3
一、非线性控制系统概述
本节主要内容： 1、研究非线性控制理论的意义 2、非线性系统的特征 3、非线性系统的分析与设计方法
5
一、非线性控制系统概述(2)
6
一、非线性控制系统概述(3)
在下图所示的柱形液位系统中，设 H为液位高度，Qi 为 C 为贮槽的截面积。根据水力 液体流入量， Q0为液体流出量， 学原理知
Q0 k H
其中比例系数 k 取决于液体的粘度的阀阻。 液体系统的动态方程为
dH C Qi Q 0 Qi k H dt
显然，液位和液体输入量的数字关系式为非线性微分方程。 由此可见，实际系统中普遍存在非线性因素。
7
一、非线性控制系统概述(4)
一、非线性控制系统概述(11)
考虑著名的范德波尔方程
x 2 (1 x2 ) x x 0, 0
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。当扰动使 x 1 时，因为 (1 x 2 ) 0 系统具有负阻尼，此时系统 x(t ) 的运动呈发散形式；当 x 1 时，因为 从外部获得能量， 2 (1 x 2）＞0，系统具有正阻尼，此时系统消耗能量， x(t ) 的运动呈收敛形式；而 当x＝1 时，系统为零阻尼， 系统运动呈等幅振荡形式。 上述分析表明，系统能克 服扰动对 的影响，保持幅 值为1的等幅振荡，见右图。
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第八章 非线性控制系统分析
本章主要内容： 一、非线性控制系统概述 二、常见非线性特性及其对系统运动的影响 三、描述函数法
2
第八章、非线性控制系统分析
本章要求 : 1、了解非线性系统的特点 2、了解常见非线性特性及其对系统运动的影响 3、掌握研究非线性系统描述函数法
3
一、非线性控制系统概述
本节主要内容： 1、研究非线性控制理论的意义 2、非线性系统的特征 3、非线性系统的分析与设计方法
5
一、非线性控制系统概述(2)
6
一、非线性控制系统概述(3)
在下图所示的柱形液位系统中，设 H为液位高度，Qi 为 C 为贮槽的截面积。根据水力 液体流入量， Q0为液体流出量， 学原理知
Q0 k H
其中比例系数 k 取决于液体的粘度的阀阻。 液体系统的动态方程为
dH C Qi Q 0 Qi k H dt
显然，液位和液体输入量的数字关系式为非线性微分方程。 由此可见，实际系统中普遍存在非线性因素。
7
一、非线性控制系统概述(4)
《自动控制原理》考点精讲(第8讲 非线性控制系统分析)
（2）稳定性分析很复杂 线性系统的稳定性只取决于系统的结构与参数，而与外部作用 和初始条件无关。 非线性系统的稳定性：与系统的参数与结构、运动的初始状 态、输入信号有直接关系。 非线性系统的某些平衡状态（如果不止有一个平衡状态的话） 可能是稳定的，而另外一些平衡状态却可能是不稳定的。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。 正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与 分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。 混沌：
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
e
x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况 下，也可以通过积分法， 直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。 注1：线性系统的等倾线为直线； 注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其 切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可 在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率 为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切 线方向场。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。 正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与 分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。 混沌：
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
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e
x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
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例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况 下，也可以通过积分法， 直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。 注1：线性系统的等倾线为直线； 注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其 切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可 在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率 为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切 线方向场。
第8章非线性系统分析
t
稳定的。初始条件不同，系统的运动可能趋
于不同的平衡状态，运动的稳定性就不同。
所以说，非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与运 动的初始条件、输入信号有直接关系。
2：时间响应
y(t)
线性系统 非线性系统
R2
R1
0
t
3：自持振荡
4：对正弦信号的响应
Ac
线性系统当输入某一恒定幅值和不同
相轨迹AD段，可以用x轴上的P、Q、
x
R点为圆心，以|PA|、|QB|、|RC|
RQ P
为半径的小圆弧AB、BC、CD来近似。
0
经过每段小圆弧所需的时间，可以
B A
x
很方便地计算出来。 以tAB为例，在A点有：
DC
AB B MA
x PA sin A x PA cos A OP
解： x dx x 0
dx
令： dx
dx
x 1 x
上式即为等倾线方程。显然，等倾线为 通过相平面坐标原点的直线，其斜率为 -1/α，而α是相轨迹通过等倾线时切 线的斜率。
1.0 2.0
x 0.5 0 0.5
1.0 2.0
(x0 , 0)
y
x
K,
y
处于系统前向通路最前面的测量元件，其死区所造成的影响最大，而放 大元件和执行元件死区的不良影响可以通过提高该元件前级的传递系数 来减小。
2：饱和
•大 信 号 作 用 之 下 的 等 效 增 益 降 低 ， 使 系 统超调量下降，振荡性减弱，稳态误差增 大。
y
S K 0S x
•处于深度饱和的控制器对误差信号的变化失去反应，从而使系统丧失 闭环控制作用。
自动控制原理第七章非线性控制系统的分析
X X
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e
非线性系统分析方法
解：1. 死去继电特性的描述函数
4M N(X)
1 ( )2
X
X
2. 绘制描述函数的负倒数特性
1
X
N(X ) 4M 1 ( )2
X
3. 绘制线性部分的极坐标图
4. 判断稳定性，分析两曲线相交点的性质
1 N(X)
X
-1.56 300 400 B -1 -0.5
X 130 A 140
120 G(j)
趋于奇点 远离奇点 包围奇点
例：二阶线性定常系统
••
•
x 2n x n2 x 0
试分析其奇点运动性质。
dx/dt x
稳定节点
••
•
x 2n x n2 x 0
dx/dt x
1
稳定节点
相轨迹趋于原点，该奇点称为 稳定节点
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
1
不稳定节点
相轨迹远离原点，该奇点为 不稳定节点
者是自持振荡的
自持振荡点 a 振荡幅值=Xa
振荡频率=a
Im Re
X a
0
1 G(j) N ( X )
例：已知死区继电非线性系统如图
R(s)
+M
460
C(s)
+-
- -M
( j)(0.01 j 1)(0.005 j 1)
继电参数： M 1.7 死区参数：Δ 0.7 应用描述函数法作系统分析。
•
x
-1 -5/4
-3/2
-5/3
=
-2
-3/7
-3
-5 - x
3
1 1/3
0 -3/4 -1/2 -1/3
第7章非线性系统分析
描述函数的定义是：输入为正弦函数时，输 出的基波分量与输入正弦量的复数比。
其数学表达式为
N
X
R
X
Y1
sin(t X sint
1)
Y1 X
1
A12 B12 arctan A1
A1
1
2
y(t) costdt
0
X
B1
1
B1
2
y(t ) sin tdt
0
7.3 非线性特性的描述函数法
（2）举例说明描述函数
(1) 降低了定位精度，增大了系统的静差。 (2) 使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
4.摩擦特性
Mf
M1 •
M2
•
M f 摩擦力矩
转速
M1 静摩擦力矩
M 2 动摩擦力矩
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
摩擦特性的影响
(1)对随动系统而言，摩擦会增加静差，降低精 度。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
2.饱和特性
x1 a ，等效增益 为常值，即线性段 斜率；
而 x1 a ，输出饱
和，等效增益随输 入信号的加大逐渐 减小。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
饱和特性的影响
(1) 饱和特性使系统开环增益下降， 对动态响应的 平稳性有利。
(2) 如果饱和点过低，则在提高系统平稳性的同时， 将使系统的快速性和稳态跟踪精度有所下降。
7.3 非线性特性的描述函数法
KX sint
y(t) Ka
0 t 1 1 t / 2
∵ y(t) 单值奇对称， A0 0 A1 0
B1
4
非线性系统分析
3、频率特性发生畸变 在线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输出信号也是相同频率的正弦函数，两者仅在幅值和相位上不同，因此可以用频率特性来分析线性系统。但是在非线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输出信号通常是包含高次谐波的非正弦周期函数，使输出波形发生非线性畸变。
四、分析与设计方法 而非线性系统要用非线性微分方程来描述，不能应用叠加原理，因此没有一种通用的方法来处理各种非线性问题。 1、相平面法（二阶系统） 2、描述函数法（高阶系统）
8-2 常见非线性及其对系统运动的影响
一、死区特性 控制系统中死区特性的存在，将导致系统产生稳态误差，而测量元件死区的影响尤为显著。
二、饱和特性 饱和特性将使系统在大信号作用下之等效放大系数减小，因而降低稳态精度。在有些系统中利用饱和特性做信号限幅。
三、间隙特性 间隙或回环特性对系统的影响比较复杂，一般说来，它会使系统稳差增大，相位滞后增大，从而使动态特性变坏。
例题：设含饱和非线性特性的非线性系统方框图如图所示，试绘制当输入信号为r(t)=1(t)时的相轨迹。
解：饱和特性的数学表达式为：
描述系统运动过程的微分方程为
由上列方程组写出以误差e为输出变量的系统运动方程为
(I)
若
则系统在I区工作于欠阻尼状态，这时的奇点(0，0)为稳定焦点;
3、相轨迹的绘制 （1）解析法 用求解微分方程的办法找出x和 的关系，从而可在相平面上绘制相轨迹。
（2）等倾线法 等倾线：在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线。
二、线性系统的相轨迹
1、一阶系统的相轨迹
x
T<0
x
T>0
2、二阶系统的相轨迹
（1）奇点： 在相平面上，
，不确定的点称为奇点。
非线性系统的关键问题探讨与分析
非线性系统的关键问题探讨与分析随着科技的发展，现代自然和社会系统已逐渐转向复杂化、多样化和不确定性。
而非线性系统是这些系统中最常见的一类，其本质特征是系统的输出不仅与输入相关，还与系统内部的状态、非线性关系、不可预知的扰动和外部环境等多个因素相关。
因此，研究非线性系统的关键问题成为了当下科学研究的热点之一。
一、非线性系统的问题非线性系统研究的问题主要有两个方面：一是非线性动力学，二是复杂网络。
1. 非线性动力学非线性动力学是研究非线性系统动力学行为、稳态和混沌等的一门学科。
其中最常见的问题是非线性振动和混沌现象。
非线性振动主要研究非线性系统中产生的不同形式的振动，例如固定点、极限环和周期振动等。
而混沌现象则是研究非线性系统中输入微小扰动后出现的不可预测、随机和复杂结果。
混沌的产生是因为非线性系统中的不可重合性、初始条件敏感性和非周期性等特征。
2. 复杂网络复杂网络研究的是由大量节点和连接构成的复杂结构。
其中最常见的问题是网络同步和控制。
网络同步是指在外部扰动作用下，节点之间的状态变化被耦合成为一种同步的状态。
这种同步状态在生物、电力和通信系统等中都有广泛应用。
而控制则是指通过在网络中调节节点之间的耦合强度和拓扑结构等方式，达到控制网络输出的目的。
二、非线性系统的分析方法要研究和控制非线性系统，需要采用一些特殊的分析方法。
目前，研究者已经开发出多种拓扑学、统计学和信息学等方法来解决复杂系统中的非线性问题。
1. 拓扑学拓扑学是研究对象的形状和空间变化特征的学科。
在非线性系统研究中，拓扑学可以用来描述系统的结构和耦合方式。
例如，可以通过网络拓扑结构的分析，确定节点之间的功能关系，并进一步研究同步状态的形成和控制。
2. 统计学统计学是研究数据分布和变化规律的学科。
在非线性系统研究中，统计学可以用来描述混沌系统的统计规律和预测其未来行为。
例如，可以通过时间序列统计分析，确定混沌系统的各种指标，并对其未来状态进行预测。
第8章 非线性系统分析
dx/dt x
不稳定节点
x 2 n x n x 0
2
1 0
相轨迹振荡远离原点，为不 稳定焦点。
dx/dt x
不稳定焦点
x 2 n x n x 0
2
0
相轨迹为同心圆，该奇点为中心 点。
dx/dt x
中心点
x 2 n x n x 0
R(s) 例8-7 继电控制系统， + 阶跃信号作用下，试用 相平面法分析系统运动。
e
+M -M
m
C(s) K s(Ts 1)
解 （1）作相平面图 线性部分 T c c Km 误差方程 e(t ) r (t ) c(t ) ———— 阶跃信号 r (t ) 1(t ), r (t ) 0, r(t ) 0 误差方程 T e e Km
x x sin x 0
奇点为
f ( x, x) x sin x 0
x0 无穷多个。 x k
4、奇点邻域的运动性质
由于在奇点上，相轨迹的斜率不定， 所以可以引出无穷条相轨迹。
dx 0 dx 0
相轨迹在奇点邻域的运动可以分为
1.趋向于奇点 2.远离奇点 3.包围奇点
（4）滞环特性
滞环特性为正向行程与反向行程不重叠，输入输出曲 线出现闭合环路。又称换向不灵敏特性。通常是叠加 在其它传输关系上的附加特性。
f(e) k +M -e +e0 e -e0 0 +e -M f(e) +M -e 0 -M +e e 0 f(e) e
饱和滞环
继电滞环
不稳定节点
x 2 n x n x 0
2
1 0
相轨迹振荡远离原点，为不 稳定焦点。
dx/dt x
不稳定焦点
x 2 n x n x 0
2
0
相轨迹为同心圆，该奇点为中心 点。
dx/dt x
中心点
x 2 n x n x 0
R(s) 例8-7 继电控制系统， + 阶跃信号作用下，试用 相平面法分析系统运动。
e
+M -M
m
C(s) K s(Ts 1)
解 （1）作相平面图 线性部分 T c c Km 误差方程 e(t ) r (t ) c(t ) ———— 阶跃信号 r (t ) 1(t ), r (t ) 0, r(t ) 0 误差方程 T e e Km
x x sin x 0
奇点为
f ( x, x) x sin x 0
x0 无穷多个。 x k
4、奇点邻域的运动性质
由于在奇点上，相轨迹的斜率不定， 所以可以引出无穷条相轨迹。
dx 0 dx 0
相轨迹在奇点邻域的运动可以分为
1.趋向于奇点 2.远离奇点 3.包围奇点
（4）滞环特性
滞环特性为正向行程与反向行程不重叠，输入输出曲 线出现闭合环路。又称换向不灵敏特性。通常是叠加 在其它传输关系上的附加特性。
f(e) k +M -e +e0 e -e0 0 +e -M f(e) +M -e 0 -M +e e 0 f(e) e
饱和滞环
继电滞环
非线性系统的分析
可利用继电控制实现快速跟踪。
带死区的继电特性，将会增加系统的定 位误差，对其他动态性能的影响，类似 于死区、饱和非线性特性的综合效果。
式中
a — —继电器吸合电压； ma — —继电器释放电压； M — —常值输出。
当a=0时，继电器的吸合及释放电压为零，此种情况亦 称零值切换，又称理想继电器特性，如 图7-1-5a所示。
增长，时间响应都逐渐衰减为零，非线性系统也 是稳定系统 。
当x0 1时， 线性系统的响应仍与 x0 1时一样。
但非线性系统的响应则不然，它随时间增长而发散
到。系统呈不稳定状态。
2、系统的自持振荡
在非线性系统中，在无外部激励时，发生某一固定 振幅和频率的振荡，称为自持振荡（或自激振荡）。
例 7-1-2 范德波尔方程是
如图7-1-4c所示，其数学描述是
kxt a
yt kxt a
c sgn xt
•
y(t) 0
•
y(t) 0
(7-1-5)
•
y(t) 0
式中 a — —间隙宽度；
k — —线性输出特性的斜率，k tan
间隙（回环）特性的影响
降低了定位精度，增大了系统的静差。
使系统动态响应的振荡加剧，稳定性 变坏。
图 7-1-1 b) 弹簧力的非线性特性
考虑到作用于质量m上的全部力，其运动 可用下面的非线性微分方程描述：
m
d2y dt 2
fv
dy dt
kyy
F
(7-1-1)
描述大多数非线性物理系统的数学模型是n阶非线性 微分方程，其形式为
m
dn dt
y
n
h t, yt, dyt
dt, d 2 yt
带死区的继电特性，将会增加系统的定 位误差，对其他动态性能的影响，类似 于死区、饱和非线性特性的综合效果。
式中
a — —继电器吸合电压； ma — —继电器释放电压； M — —常值输出。
当a=0时，继电器的吸合及释放电压为零，此种情况亦 称零值切换，又称理想继电器特性，如 图7-1-5a所示。
增长，时间响应都逐渐衰减为零，非线性系统也 是稳定系统 。
当x0 1时， 线性系统的响应仍与 x0 1时一样。
但非线性系统的响应则不然，它随时间增长而发散
到。系统呈不稳定状态。
2、系统的自持振荡
在非线性系统中，在无外部激励时，发生某一固定 振幅和频率的振荡，称为自持振荡（或自激振荡）。
例 7-1-2 范德波尔方程是
如图7-1-4c所示，其数学描述是
kxt a
yt kxt a
c sgn xt
•
y(t) 0
•
y(t) 0
(7-1-5)
•
y(t) 0
式中 a — —间隙宽度；
k — —线性输出特性的斜率，k tan
间隙（回环）特性的影响
降低了定位精度，增大了系统的静差。
使系统动态响应的振荡加剧，稳定性 变坏。
图 7-1-1 b) 弹簧力的非线性特性
考虑到作用于质量m上的全部力，其运动 可用下面的非线性微分方程描述：
m
d2y dt 2
fv
dy dt
kyy
F
(7-1-1)
描述大多数非线性物理系统的数学模型是n阶非线性 微分方程，其形式为
m
dn dt
y
n
h t, yt, dyt
dt, d 2 yt
第九章 非线性系统的分析
9.1 控制系统的非线性特性
9.1.1 典型的非线性特性 （1）饱和特性
系统存在饱和特性的元件时， 系统存在饱和特性的元件时， 过渡过程时间的增加和稳态误 差的加大 但在某些自动控制系统中饱 和特性能够起到抑制系统振荡 的作用。 的作用。
kx ( x < a) y= b sgn x ( x > a)
（1）描述函数法 描述函数法
描述函数法又称为谐波线性化法， 描述函数法又称为谐波线性化法，它是一种基于频 率域工程近似方法。 率域工程近似方法。 这种方法用非线性元件输出的基波信号代替在正弦 作用下的非正弦输出，使非线性元件近似于一个线 作用下的非正弦输出， 性元件， 性元件，从而可以应用乃奎斯特稳定判据对系统的 稳定性进行判别。 稳定性进行判别。 应用描述函数法研究非线性控制系统的自持振荡时， 应用描述函数法研究非线性控制系统的自持振荡时， 能给出振荡过程的基本特性(如振幅、频率) 能给出振荡过程的基本特性(如振幅、频率)与系统 参数(如放大系数、时间常数等)的关系， 参数(如放大系数、时间常数等)的关系，给系统的 初步设计提供一个思考方向。 初步设计提供一个思考方向。 描述函数法是线性控制系统理论中的频率法在非线 性系统中的推广。 性系统中的推广。
第九章 非线性系统的分析
概述
（1）实际控制系统在某种程度上都具有非线 所谓线性系统是在实际系统中， 性，所谓线性系统是在实际系统中，忽略了非 线性因素后的理想模型。 线性因素后的理想模型。 若系统的非线性特性y （2）若系统的非线性特性y=f(x) 在工作点附 近能展开台劳级数，忽略变量增量的高次项， 近能展开台劳级数，忽略变量增量的高次项， 仅取变量增量的一次项， 仅取变量增量的一次项，则函数增量与变量增 量之间是线性关系。此时， 量之间是线性关系。此时，系统可近似成线性 系统。 系统。若y=f(x) 在工作点附近不能展开成台劳 级数， 为本质非线性， 级数，则称 y=f(x) 为本质非线性，这样的系统 只能按非线性系统理论来进行分析。 只能按非线性系统理论来进行分析。
非线性系统的分析与控制方法
非线性系统的分析与控制方法现今，非线性现象随处可见，涉及到的领域包括工程学、物理学、化学、生物学、经济学等。
与此同时，为了满足人类日益增长的需求，我们需要分析与控制这些非线性系统，使其达到我们所希望的状态。
本文将探讨分析与控制非线性系统的常见方法，涵盖了数学模型、稳定性分析、反馈控制等方面的内容。
1. 数学模型一个非线性系统通常可以利用微分方程表达。
微分方程可以是常微分方程或者偏微分方程，这取决于物理系统的特性。
使用数学模型可以对非线性系统进行分析与控制，比如进行数值计算，对系统进行仿真或者进行数值优化。
数学建模可以使用不同的方法，比如解析法、数值法和近似法等。
在实际应用中，通常使用形式化方法来描述系统的行为。
形式化方法涉及到一些形式的逻辑体系来描述现实问题。
它们通常适用于非线性系统的分析、验证和控制，其中一些常见的方法有：模型检验、定理证明和模型检查等。
2. 稳定性分析稳定性分析是对非线性系统的一个重要分析方法，它涉及到系统是否能够维持其稳定性。
稳定性分析包括局部稳定性分析和全局稳定性分析。
局部稳定性分析关注系统是否能够询问某种程度的扰动，而全局稳定性分析关注系统在无论多大的扰动下是否能保持稳定。
通常情况下，对于一个非线性系统，可以通过对其相应线性化系统的特征值进行分析来评估系统是否稳定。
如果相应线性化系统的特征值的实部都为负，则该非线性系统是局部稳定的。
如果相应线性化系统的特征值的实部都为负，并且没有虚部，则非线性系统是全局稳定的。
相反，如果相应线性化系统的特征值具有正实部，那么原始的非线性系统是不稳定的。
3. 反馈控制反馈控制是对非线性系统的适当信息反馈的一种方法，用于实现所需的稳态或动态目标。
在这种方法中，系统的输出信号与输入信号之间存在一定的误差。
通过将该误差反馈到控制器中，可以对系统进行优化，使其达到所需要的目标。
反馈控制方法最常见的类型是Proportional-Integral-Derivative （PID）控制器，它涉及到根据系统的误差信号进行比例反馈（P 项）、积分反馈（I项）和微分反馈（D项）。
第8章-非线性系统分析
假若平衡点在坐标原点时得：
令：
方程组可改写为
特征方程
线性化方程组
在一般情况下，线性化方程在平衡点附近的相轨迹与非线性系统在平衡点附近的相轨迹具有同样的形状特征。但是，若线性化方程求解至少有一个根为零，根据李雅普诺夫小偏差理论，不能根据一阶线性化方程确定非线性系统平衡点附近的特性，此时，平衡点附近的相轨迹要考虑高阶项。
(1) 无阻尼运动（=0） 此时系统特征根为一对共轭虚根，相轨迹方程变为
对上式分离变量并积分，得
式中，A为由初始条件决定的积分常数。
初始条件不同时,上式表示的系统相轨迹是一族同心椭圆，每一个椭圆对应一个等幅振动。在原点处有一个平衡点(奇点)，该奇点附近的相轨迹是一族封闭椭圆曲线，这类奇点称为中心点。
图8-1 无阻尼二阶线性系统的相轨迹
(2)欠阻尼运动（01） 系统特征方程的根为一对具有负实部的共轭复根,系统的零输入解为 式中,A、B、为由初始条件确定的常数。时域响应过程是衰减振荡的。
可求出系统有一个位于相平面原点的平衡点（奇点），不同初始条件出发的相轨迹呈对数螺旋线收敛于该平衡点，这样的奇点称为稳定焦点。
5．李雅普诺夫法 李雅普诺夫法是根据广义能量函数概念分析非线性系统稳定性。原则上适用所有非线性系统，但对大多数非线性系统，寻找李雅普诺夫函数相当困难，关于李雅普诺夫法在现代控制理论中作祥解。 6．计算机辅助分析 利用计算机模拟非线性系统，特别上采用MATLAB软件工具中的Simulink来模拟非线性系统方便且直观，为非线性系统的分析提供了有效工具。
例1：确定非线性系统的奇点及附近的相轨迹。
解：令
求得奇点（0，0），（-2，0）。
即
由
（1）奇点（0，0） 线性化方程为
特征根
令：
方程组可改写为
特征方程
线性化方程组
在一般情况下，线性化方程在平衡点附近的相轨迹与非线性系统在平衡点附近的相轨迹具有同样的形状特征。但是，若线性化方程求解至少有一个根为零，根据李雅普诺夫小偏差理论，不能根据一阶线性化方程确定非线性系统平衡点附近的特性，此时，平衡点附近的相轨迹要考虑高阶项。
(1) 无阻尼运动（=0） 此时系统特征根为一对共轭虚根，相轨迹方程变为
对上式分离变量并积分，得
式中，A为由初始条件决定的积分常数。
初始条件不同时,上式表示的系统相轨迹是一族同心椭圆，每一个椭圆对应一个等幅振动。在原点处有一个平衡点(奇点)，该奇点附近的相轨迹是一族封闭椭圆曲线，这类奇点称为中心点。
图8-1 无阻尼二阶线性系统的相轨迹
(2)欠阻尼运动（01） 系统特征方程的根为一对具有负实部的共轭复根,系统的零输入解为 式中,A、B、为由初始条件确定的常数。时域响应过程是衰减振荡的。
可求出系统有一个位于相平面原点的平衡点（奇点），不同初始条件出发的相轨迹呈对数螺旋线收敛于该平衡点，这样的奇点称为稳定焦点。
5．李雅普诺夫法 李雅普诺夫法是根据广义能量函数概念分析非线性系统稳定性。原则上适用所有非线性系统，但对大多数非线性系统，寻找李雅普诺夫函数相当困难，关于李雅普诺夫法在现代控制理论中作祥解。 6．计算机辅助分析 利用计算机模拟非线性系统，特别上采用MATLAB软件工具中的Simulink来模拟非线性系统方便且直观，为非线性系统的分析提供了有效工具。
例1：确定非线性系统的奇点及附近的相轨迹。
解：令
求得奇点（0，0），（-2，0）。
即
由
（1）奇点（0，0） 线性化方程为
特征根
第七章 非线性系统的分析
自激振荡或自振荡,如图所示。 自振荡是人们特别感兴趣的一个 问题,对它的研究有很大的实际意义。
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四、非线性系统的正弦输入响应 正弦信号作用下，线性系统的输出是与输入信 号同频率的正弦信号。 而非线性系统在正弦信号作用下的响应则很复 杂，一般不是正弦信号，但仍是周期信号；有 时输出信号频率为输入频率的倍频、分频等现 象。 非线性系统响应还有其他与线性系统不同的现 象,无法用线性系统的理论来解释。在一些情况 下,引入某些非线性环节,使系统获得比线性系 统更为优异的性能。实际上大多数智能控制都 属于非线性控制范畴。
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图7-6-3非线性控制系统的稳定性分析
二、自振荡分析
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• 若复平面中-1／N (X)曲线与G (j)曲线有交点,则该交 点对应着可能的等幅振荡,问题是这个等幅振荡能否稳 定地存在？也就是说,如果系统受到某个扰动使振荡的 振幅发生变化,系统是否具有恢复到扰动前的等幅振荡 状态的能力？如果系统具备这种能力,则该等幅振荡能 够稳定地存在,并能被观察到,称这个稳定的等幅振荡为 自持振荡。反之,振荡不能稳定地存在,必然转移到其它 运动状态(收敛到零或发散)。 • 以图7-6-3(c) 为例进行分析。图中-1／N (X)曲线与G (j)曲线有两个交点a和b, 对应于不同的振荡频率和振 幅。对a点,振幅及频率为Xa及 (j),若由于扰动使振 荡的振幅略有增大,这时工作点将沿-1／N (X)曲线由a 点移动到c点。由于c点不被G (j)所包围,故系统进入稳 定区,周期振荡的振幅要衰减,并逐步恢复到Xa,即自动返 回原状态；若由于扰动使振荡的振幅略有减小,这时工 作点将沿-1／N (X)曲线由a 点转移到d点，由
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四、非线性系统的正弦输入响应 正弦信号作用下，线性系统的输出是与输入信 号同频率的正弦信号。 而非线性系统在正弦信号作用下的响应则很复 杂，一般不是正弦信号，但仍是周期信号；有 时输出信号频率为输入频率的倍频、分频等现 象。 非线性系统响应还有其他与线性系统不同的现 象,无法用线性系统的理论来解释。在一些情况 下,引入某些非线性环节,使系统获得比线性系 统更为优异的性能。实际上大多数智能控制都 属于非线性控制范畴。
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图7-6-3非线性控制系统的稳定性分析
二、自振荡分析
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• 若复平面中-1／N (X)曲线与G (j)曲线有交点,则该交 点对应着可能的等幅振荡,问题是这个等幅振荡能否稳 定地存在？也就是说,如果系统受到某个扰动使振荡的 振幅发生变化,系统是否具有恢复到扰动前的等幅振荡 状态的能力？如果系统具备这种能力,则该等幅振荡能 够稳定地存在,并能被观察到,称这个稳定的等幅振荡为 自持振荡。反之,振荡不能稳定地存在,必然转移到其它 运动状态(收敛到零或发散)。 • 以图7-6-3(c) 为例进行分析。图中-1／N (X)曲线与G (j)曲线有两个交点a和b, 对应于不同的振荡频率和振 幅。对a点,振幅及频率为Xa及 (j),若由于扰动使振 荡的振幅略有增大,这时工作点将沿-1／N (X)曲线由a 点移动到c点。由于c点不被G (j)所包围,故系统进入稳 定区,周期振荡的振幅要衰减,并逐步恢复到Xa,即自动返 回原状态；若由于扰动使振荡的振幅略有减小,这时工 作点将沿-1／N (X)曲线由a 点转移到d点，由
非线性系统的分析
非线性系统理论1.1.非线性系统特点非线性系统与线性控制系统相比，具有一系列新的特点］，线性系统满足叠加原理，而非线性控制系统不满足叠加原理。
图8-1带滤波器的非线性系统2•非线性系统的稳定性不仅取决于控制系统的固有结构和参数， 而且与系统的初始条件以及外加输入有关系。
例：对于一由非线性微分方程 X=-x(1 ―) 描述的非线性系统，显然有两个平衡点，即x 1=0和x 2=1。
将上式改写为=—dt x(l - x)设20吋，系统的初态为咛积分上式可得dx3•非线性系统可能存在自激振荡现象 的情况： (1) 如图跳跃谐振和多值响应8 — 3 所砂)其输出存在极其复杂图8—3跳跃谐振与多值响应(2)分频振荡和倍频振荡非线性系统在正弦信号作用下， 其稳态分量除产生同频率振荡外,和分频振荡。
如图 8—4所示波形。
还可能产生倍频振荡4•非线性系统在正弦信号作用下, 的输入信号倍频信号分频信图8—4倍频撮荡与分频振荡8.1.2 研究非线性系统的意义与方法1•研究非线性系统的意义1）实际的控制系统，存在着大量的非线性因素。
这些非线性因素的存在，使得我们用线性系统理论进行分析时所得出的结论，与实际系统的控制效果不一致。
线性系统理论无法解释非线性因素所产生的影响。
2）非线性特性的存在，并不总是对系统产生不良影响。
2•研究非线性系统的方法1）相平面法是用图解的方法分析一阶，二阶非线性系统的方法。
通过绘制控制系统相轨迹,达到分析非线性系统特性的方法。
2）描述函数法是受线性系统频率法启发，而发展出的一种分析非线性系统的方法。
它是一种谐波线性化的分析方法，是频率法在非线性系统分析中的推广。
3）计算机求解法是利用计算机运算能力和高速度对非线性微分方程的一种数值解法。
8.2典型非线性特性的数学描述及其对系统性能的影响8.2.1饱和特性在电子放大器中常见的一种非线性，如图8-5所示，饱和装置的输入特性的数学描述如下：［辰。
sig 滋(f)8.2.2死区特性死区特性也称为不灵敏区，如图8-6所示。
第7章 非线性系统分析
1 2
x ≥ a x < −a
2 2
x >
1 1
•
0
− a < x < a x > a x < −a
1
x <
2
•
0
4. 间隙特性
输入输出之间具 有多值关系
输出
齿轮传动中的齿隙 液压传动中的油隙
输入
元件开始运动 输入信号< 无输出信号； 输入信号< a 时，无输出信号； 当输入信号> 以后，输出随输入线性变化。 当输入信号> a 以后，输出随输入线性变化。 元件反向运动 保持在运动方向发生变化瞬间的输出值； 保持在运动方向发生变化瞬间的输出值； 输入反向变化>2 输出随输入线性变化。 输入反向变化>2a ，输出随输入线性变化。
§7-2
常见非线性特性 常见非线性特性
一个单输入单输出静态非线性特性的数 学描述为： 学描述为：
y = f (x)
静态非线性特性中，死区特性、饱和特性、继 电特性、间隙特性是最常见的，也是最简单。 也是最简单 也是最简单
1. 死区特性
输出
（不灵敏区特性 不灵敏区特性） 不灵敏区特性
各类液压阀的正重叠量； 各类液压阀的正重叠量； 系统的库伦摩擦； 系统的库伦摩擦； 测量变送装置的不灵敏区； 测量变送装置的不灵敏区； 调节器和执行机构的死区； 调节器和执行机构的死区； 弹簧预紧力；等等。 弹簧预紧力；等等。
如果系统线性部分gs具有良好的低通滤波特性则高次谐波分量通过线性部分后将被衰减到忽略不计可以近似认为当输入为正弦信号xt时只有yt的基波分量沿闭环反馈回路送至比较点其高次谐波分量可忽略不计即只考虑一次谐波sincos非线性环节相当于一个对正弦输入信号的幅值及相位进行变换的环节可以仿照线性系统频率特性的概念建立非线性环节的等效幅相特性
x ≥ a x < −a
2 2
x >
1 1
•
0
− a < x < a x > a x < −a
1
x <
2
•
0
4. 间隙特性
输入输出之间具 有多值关系
输出
齿轮传动中的齿隙 液压传动中的油隙
输入
元件开始运动 输入信号< 无输出信号； 输入信号< a 时，无输出信号； 当输入信号> 以后，输出随输入线性变化。 当输入信号> a 以后，输出随输入线性变化。 元件反向运动 保持在运动方向发生变化瞬间的输出值； 保持在运动方向发生变化瞬间的输出值； 输入反向变化>2 输出随输入线性变化。 输入反向变化>2a ，输出随输入线性变化。
§7-2
常见非线性特性 常见非线性特性
一个单输入单输出静态非线性特性的数 学描述为： 学描述为：
y = f (x)
静态非线性特性中，死区特性、饱和特性、继 电特性、间隙特性是最常见的，也是最简单。 也是最简单 也是最简单
1. 死区特性
输出
（不灵敏区特性 不灵敏区特性） 不灵敏区特性
各类液压阀的正重叠量； 各类液压阀的正重叠量； 系统的库伦摩擦； 系统的库伦摩擦； 测量变送装置的不灵敏区； 测量变送装置的不灵敏区； 调节器和执行机构的死区； 调节器和执行机构的死区； 弹簧预紧力；等等。 弹簧预紧力；等等。
如果系统线性部分gs具有良好的低通滤波特性则高次谐波分量通过线性部分后将被衰减到忽略不计可以近似认为当输入为正弦信号xt时只有yt的基波分量沿闭环反馈回路送至比较点其高次谐波分量可忽略不计即只考虑一次谐波sincos非线性环节相当于一个对正弦输入信号的幅值及相位进行变换的环节可以仿照线性系统频率特性的概念建立非线性环节的等效幅相特性
第七章非线性系统的分析
2、死区非线性
x1 ≤ ∆ 0, x2 = k ( x1 − ∆signx1 ), x1 > ∆
1 signx1 = −1
x1 > 0 x1 < 0
在实际系统中死区可由众多原因引起，它对系统可产生不同的 影响：一方面它使系统不稳定或者产生自振荡；另一方面有时 人们又人为的引入死区特性，使系统具有抗干扰能力。
第七章 非线性控制系统
7-2
1、饱和非线性
kx1 = x2 = ka x2 m −ka = − x 2m
典型非线性环节
x1 < a x1 ≥ a x1 ≤ −a
x2m
x2
−a
0
k
a
x1
此处：输入 x1 − − − − x2 − − − −输出 k − − − −比例系数
− x2m
第七章 非线性控制系统
第七章 非线性控制系统
4）混沌(Chaos)
蝴蝶效应（ The Butterfly Effect） 是指在一个动力系统中，初始条 件下微小的变化能带动整个系统 的长期的巨大的连锁反应。这是 一种混沌现象。 核心理念：看似微不足道的细小 变化，却能以某种方式对社会产 生微妙的影响，甚至影响整个社 会系统的正常运行。
第七章 非线性控制系统
r(t)
e(t)
N(A,ω) NLS
x(t)
G(s)
c(t)
非线性系统的闭环“传递函数”：
G ( jω ) N ( A, ω ) Φ ( jω ) = 1 + G ( jω ) N ( A, ω )
0 闭环“特征方程”： 1 + G ( jω ) N ( A, ω ) =
即
1 G ( jω ) = − N ( A, ω )
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7.3 非线性特性的描述函数法
(3)相平面法的特点
① 适用于一、二阶非线性系统的分析 ② 方法：首先将二阶非线性微分方程变写为以 输出量及输出量导数为变量的两个一阶微分方程；然 后依据这一对方程，设法求出其在上述两变量构成的 相平面中的轨线，并由此对系统的时间响应进行判别。 ③ 该方法所得结果比较精确和全面。 ④ 对于高于二阶的系统，需要讨论变量空间中 的曲面结构，从而大大增加了工程使用的困难。
7.3 非线性特性的描述函数法
1. 2. 3. 4.
基本概念 谐波线性化 非线性特性的描述函数 典型非线性特性的描述函数
7.3 非线性特性的描述函数法
1. 基本概念
(1) 分析非线性系统的两种工程方法
相平面法 描述函数法
(2) 描述函数法（谐波平衡法）的特点
描述函数法是一种近似方法，相当于线性理论中频率法 的推广。方法不受阶次的限制，且所得结果也比较符合实际，故 得到了广泛应用。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
3.回环（间隙）特性
x1表示输入 x2表示输出
b表示间隙。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
回环（间隙）特性的影响
(1) 降低了定位精度，增大了系统的静差。 (2) 使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
7.1 非线性系统动态过程的特点
4. 非线性系统的运动形式
（1）非线性系统在小偏离时单调变化，大 偏离时很可能就出现振荡。 （2）非线性系统的动态响应不服从叠加原 理。
7.1 非线性系统动态过程的特点
5. 非线性系统的自振
非线性系统的自振却在一定范围内能够长期 存在，不会由于参数的一些变化而消失。
4.摩擦特性
Mf
M1 M2
Mf
摩擦力矩
转速
M1 M2
静摩擦力矩 动摩擦力矩
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
摩擦特性的影响
(1)对随动系统而言，摩擦会增加静差，降低精 度。
(2)在复现缓慢变化的低速指令时，会造成爬行 现象，大大影响系统的低速平稳性。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
1. 不灵敏区（死区） 2. 饱和 3. 间隙 4. 摩擦 5. 继电器
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
1.不灵敏区（死区）特性
△ 表示不灵敏区， 也常称死区。
x1 表示输入 x2 表示输出
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
不灵敏区（死区）特性的影响
7.3 非线性特性的描述函数法
2. 谐波线性化
（1）描述函数概念
描述函数是对非线性特性在正弦信号作用下的 输出，进行谐波线性化处理之后得到的，它是非线 性特性的近似描述。
（2）以理想继电特性为例的谐波线性化
b 理想继电特性：x(t ) b e(t ) 0 e(t ) 0
正弦输入信号： x X sin t
(a)理想继电特性 (b)死区继电特性 (c)一般的继电特性
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
继电器特性的影响
(1) 理想继电控制系统最终多半处于自振工作状 态。
(2) 可利用继电控制实现快速跟踪。
(3) 带死区的继电特性，将会增加系统的定位误 差，对其他动态性能的影响，类似于死区、饱和 非线性特性的综合效果。
非本质非线性 能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。 本质非线性 用小偏差线性化方法不能解决的非线性。
7.1 非线性系统动态过程的特点
2. 几种典型的非线性特性
7.1 非线性系统动态过程的特点
3. 非线性系统的稳定性
（1）非线性系统的稳定性，则除了与系统的结 构、参数有关外，很重要的一点是与系统 起始偏离的大小密切相连。 （2）不能笼统地泛指某个非线性系统稳定与否， 而必须明确是在什么条件、什么范围下的 稳定性。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
饱和特性的影响
(1) 饱和特性使系统开环增益下降， 对动态响应的 平稳性有利。 (2) 如果饱和点过低，则在提高系统平稳性的同时， 将使系统的快速性和稳态跟踪精度有所下降。 (3) 带饱和的控制系统，一般在大起始偏离下总是 具有收敛的性质，系统最终可能稳定，最坏的情况 就是自振，而不会造成愈偏愈大的不稳定状态。
改善系统跟踪过程的平稳性，采取的措施：
(1) 采取良好的润滑或外加高频颤振信号的 办法，以减小静、动摩擦力矩的差值。 (2) 采取按干扰补偿的办法，通过引入非线 性校正来抵消摩擦力矩的影响。 (3) 采取增加系统阻尼的办法，以减小转速 脉动，提高平稳性。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
5.继电器特性
(1)当系统前向通道中串有死区特性的元件时，最 主要的影响是增大了系统的稳态误差，降低了定位 精度。 (2)减小了系统的开环增益，提高了系统的平稳性， 减弱动态响应的振荡倾向。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
2.饱和特性
x1 a ，等效增益 为常值，即线性段 斜率； 而 x1 a ，输出饱 和，等效增益随输 入信号的加大逐渐 减小。
7.1 非线性系统动态过程的特点
1. 非线性系统的定义及种类 2. 几种典型的非线性特性
3. 非线性系统的稳定性
4. 非线性系统的运动形式 5. 非线性系统的自振
7.1 非线性系统动态过程的特点
1. 非线性系统的定义及种类
（1）定义 含有非线性元件的系统，称之为非线性系统。 （2）非线性系统的分类
第七章
非线性系统分析
第7章 非线性系统分析
主要内容
非线性系统动态过程的特点 非线性环节及其对系统结构的影响 非线性特性的描述函数 分析非线性系统的描述函数小结
第7章 非线性系统分析
学习重点
了解非线性系统的特点，掌握非线性系统 与线性系统的本质区别； 了解典型非线性环节的特点； 理解描述函数的基本概念，掌握描述函数 的计算方法； 掌握分析非线性系统的近似方法——描述 函数法，能够应用描述函数法分析非线性 系统的稳定性。