黑龙江省鸡西市高中数学2.2对数与对数运算复习教案新人教必修1创新

2.2.1对数与对数运算（第3课时）一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，培养学生根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题的真实性和初步的推理能力．培养学生的分析、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究的意识． （二）学习目标1．了解对数的换底公式及其推导；2．能应用对数换底公式进行化简、求值、证明； 3．运用对数的知识解决实际问题． （三）学习重点用对数的运算性质进行化简、求值和证明． （四）学习难点 1．会用log log nm a a mb b n =，aN N a log 1log =等变形公式进行化简． 2．对数换底公式的应用．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 （1）换底公式 一般地，log a b =log log c c ba，其中0,1,0,0,1a a b c c >≠>>≠，这个公式称为对数的换底公式． （2）对数的换底公式的应用log log a b b a ⋅= 1 ．log log m n N a a nN m=． 2．预习自测（1）计算100lg 20log 25+= ． 【答案】2．（2）计算=4log 16log 327 ．【答案】23． （3）83log 9log 2⋅的值为（ ） A ．32 B ．1 C ．23 D ．2 【答案】A ．（4）计算272log 9+= ．【答案】83．(二)课堂设计 1．知识回顾（1）指数和对数的互化b a N =⇔ l o g a b N = （其中0a >，且1a ≠，0N >）． （2）默写对数的运算法则① N M MN a a a log log log += ； ② N M NMa a al o g l o g l o g -= ； ③ M n M a na l o g l o g = ．（3）计算:522log 253log 64-= ； ()22log log 16= ． 【答案】14-，2． 2．问题探究 探究一●活动① （大胆猜想，大胆操作，探究新知识） 计算下列各组中两个式子的值．()55log 1001lg100,log 10； ()232log 272log 27,log 3；()373log 3log log 7．【答案】（1）因为22555555log 100log 102log 10lg100lg102,2log 10log 10log 10=====，所以55log 100lg100log 10=；（2）232log 27log 27log 3=； （3）373log log log 7=． 【设计意图】通过对具体数据的观察，加深对换底公式的直观认识． ●活动② （集思广益，证明新知识） 证明对数换底公式： log log log c a c bb a=，其中（0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）． 证明：令log a b N =，则N a b =，又令log c b A =,则A c b =，令log c a B =，则B c a =， 所以，()NN B BN a c c ==，所以，BN A c c =，所以BN A =，即A N B=， 故 log log log c a c bb a=． 【设计意图】由特殊到一般，由旧识到新知． ●活动③ （反思过程，发散思维） 利用对数的换底公式化简下列各式： （1）a c log c log a ⋅；（2）23453452log log log log ⋅⋅⋅． 【答案】（1）1；（2）1．【设计意图】熟悉公式基本结构，得出换底公式的常见变形结构：ac c a log 1log =． 探究二●活动① （基础性例题） 例1 求值： （1）235111log log log 2589⨯⨯； （2）（3log 3log 84+）（2lo g 2l o g 93+）； （3）0.21log 35-．【知识点】换底公式． 【数学思想】转化思想．【解题过程】（1）235111lglg lg1112589log log log 2589lg 2lg 3lg 5⨯⨯=⨯⨯()()()2lg53lg 22lg312lg 2lg3lg5---=⨯⨯=-；（2）()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++9lg 2lg 3lg 2lg 8lg 3lg 4lg 3lg 2log 2log 3log 3log 9384⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3lg 22lg 3lg 2lg 2lg 33lg 2lg 23lg 453lg 22lg 32lg 63lg 5=⨯=； （3）0.25lg3lg3lg15111log 3log 15lg0.2lg5lg55555515-+-=====．【思路点拨】抓住对数运算法则同底的要求，利用换底公式将底数变为同底． 【答案】（1）12-；（2）54；（3）15． 同类训练求值：（1）427125log 9log 25log 16⋅⋅； （2）9log 4log 25log 532⋅⋅． 【知识点】换底公式的基本应用．【数学思想】转化思想．【解题过程】（1）427125lg9lg 25lg168log 9log 25log 16lg 4lg 27lg1259⋅⋅=⋅⋅=； （2）85lg 9lg 3lg 4lg 2lg 25lg 9log 4log 25log 532=⋅⋅=⋅⋅． 【思路点拨】抓住对数运算法则同底的要求，利用换底公式将底数变为同底．【答案】（1）89；（2）8．例2 若()324941log 7log 9log log 02a a ⋅⋅=>，则a =_______. 【知识点】换底公式的含参应用． 【数学思想】转化思想．【解题过程】由已知可得：()1lglg 7lg 9lg 20lg 3lg 2lg 49lg 4aa ⋅⋅=>，即()lg 72lg3lg lg 20lg3lg 22lg 72lg 2a a -⋅⋅=>， 得()1lg lg 202a a =->，故1222a -==． 【思路点拨】抓住对数运算法则同底的要求，利用换底公式将底数变为同底．【答案】2．同类型训练若2log 31x =，则3x的值为（ ） A ．3 B ．2 C ．6D ．21 【知识点】换底公式的变形应用和指数相结合． 【数学思想】方程思想．【解题过程】因2log 31x =，则23log 321log 233=2.log 3x x ==∴=【思路点拨】解方程． 【答案】B.【设计意图】知识点的交叉，以及对数利用换底公式化简． ●活动2 （提升型例题）例3 设lg 2a =，lg3b =，试用a 、b 表示12log 6和5log 12． 【知识点】换底公式的逆用． 【数学思想】化归思想． 【解题过程】ba ba ++=++==23lg 2lg 3lg 2lg 26lg 12lg 12log 6， b a a+-=+-==213l g 2l g 22l g 112lg 5lg 5log 12．【思路点拨】利用换底公式将对数换为同底． 【答案】b a b a ++2，ba a+-21． 同类训练设a =3log 2，b =7log 3，试用a 、b 表示21log 14和56log 21． 【知识点】换底公式的逆用． 【数学思想】化归思想． 【解题过程】ab aba b ab ++=++=++==1117log 2log 7log 3log 14log 21log 21log 33333314；ab a ab b a b ++=++=++==3137log 3log 8log 7log 21log 56log 56log 33333321．【思路点拨】利用换底公式将对数换为同底．【答案】ab ab a ++1； aba ab ++3． ●活动3 （探究型例题）例4 若1052==b a ，求ba 11+的值．【知识点】指数与对数互化，换底公式． 【数学思想】方程思想，化归思想．【解题过程】因为1052==b a ，所以2lg 110log 2==a ，5lg 110log 5==b 15lg 2lg 11=+=+ba ． 【思路点拨】用解方程的思想将a 、b 分解出来. 【答案】1.同类训练 设3643==y x ，求yx 12+的值．【知识点】指数与对数互化，换底公式． 【数学思想】方程思想，化归思想．【解题过程】因为3643==y x ，所以3log 136log 363==x ，4log 136log 364==y ， 则136log 4log 3log 212363636==+=+yx ．【思路点拨】用解方程的思想将x 、y 分解出来. 【答案】1.【设计意图】结合前一节知识，强化指对关系以及在对数运算中同底意识． 3．课堂总结 知识梳理（1）了解对数的换底公式及其推导；（2）能应用对数换底公式进行化简、求值、证明； （3）运用对数的知识解决实际问题． 重难点归纳（1）用对数的运算性质进行化简、求值和证明； （2）利用对数的换底公式进行化简、求值．（三）课后作业 基础型 自主突破 1．已知32log 3=a ，31log 31=b ，则=ab （ ） A ．3 B ．33C ．31D ．33【知识点】换底公式的应用． 【数学思想】化归思想．【解题过程】由题31log 3-=b ，所以31log log log 333==+ab b a ，故33=ab ．【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解． 【答案】B ． 2．+31log 12131log 151的值属于区间（ ）A ．()1,2--B ．()1,0C ．()2,1D ．()3,2【知识点】换底公式的应用． 【数学思想】化归思想． 【解题过程】()1113333112511111log log log log 102,3112510log log 33+=+==∈． 【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解． 【答案】D ．3．若a =2log 3，则=3log 12（ ）A ．11+a B ．1+a aC ．1+aD ．aa 1+ 【知识点】换底公式的应用． 【数学思想】化归思想．【解题过程】由题a =2log 3，则2log 23lg 212lg 3lg 2lg 3===a ， 故a+=+==112log 23log 112log 3log 3log 333312． 【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解． 【答案】A ．4．设a =2lg ，b =3lg ，则12log 5等于（ ）A ．a ba ++12 B ．ab a ++12C ．a b a -+12D ．ab a -+12【知识点】换底公式的应用． 【数学思想】化归思想． 【解题过程】aba -+=-+==122lg 13lg 4lg 5lg 12lg 12log 5． 【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解． 【答案】C ．5．已知3632==n m ，则=+nm 11（ ） A ．2B ．1C ．21 D ．31【知识点】换底公式的应用． 【数学思想】化归思想． 【解题过程】由题知2log 12log 136log 36362=⇒==m m ， 3l o g 13l o g 136log 36363=⇒==nn ， 所以216log 6log 3log 2log 1126363636===+=+n m ． 【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解． 【答案】C ． 6．计算：=+3log 3log 422__________.【知识点】换底公式的应用． 【数学思想】化归思想． 【解题过程】3332222233l o g 233l o g 213l o g 3l o g 3l o g 3l o g 3l o g 22222242=====+++【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解． 【答案】33． 能力型 师生共研 7．375754log 31log 9log 2log ⋅⋅ =_________.【知识点】换底公式的应用． 【数学思想】化归思想．【解题过程】()232lg 323lg 7lg 5lg 7lg 5lg 3lg 22lg 217lg 4lg 5lg 31lg 7lg 9lg 5lg 2lg 4log 31log 9log 2log 337575-=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅． 【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解． 【答案】23-． 8．若1log 325log 225=-x x ()1,0≠>x x ，则=x ．【知识点】换底公式的应用．【数学思想】化归思想，方程思想．【解题过程】因为1log 325log 225=-x x ()1,0≠>x x ，则1log 3log 122525=-x x， 令x t 25log =，即1312=-t t ，则1312=-t t，即()()0123=+-t t ， 所以32=t 或1t =-，即345=x 或125x =． 【思路点拨】将对数化为同底，再利用解方程． 【答案】345或125． 探究型 多维突破9．已知5log log 248=+b a ，7log log 248=+a b ，则=ab ________．【知识点】换底公式的应用．【数学思想】化归思想．【解题过程】已知5log log 248=+b a ，7log log 248=+a b ，则5log log 3122=+b a ，7log log 3122=+a b ， 所以 ()1275log log 3422=+=+b a ， 即9log 2=ab ，则51229==ab ．【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解．【答案】512．10．若()b ab ab a log 4log =，则=ba ______． 【知识点】换底公式的应用．【数学思想】化归思想．【解题过程】若()b ab ab a log 4log =，则ab b a ab lg lg 4lg lg =，()b a b a b a ba ba lg lg 4lg lg lg lg lg 4lg lg lg 2⋅=+⇒+=+，所以()0lg lg 2=-b a ，即b a lg lg =， 所以1=b a．【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解．【答案】1．自助餐1．若a =2lg ，b =3lg ，则3log 2等于（ ）A ．a bB ．b aC ．b aD ．a b【知识点】换底公式的应用．【数学思想】化归思想． 【解题过程】a b==2lg 3lg 3log 2．【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解．【答案】A ．2．()()=⋅4log 9log 32（ ）A ．14 B ． 12 C ．2 D ．4【知识点】换底公式的应用．【数学思想】化归思想．【解题过程】()()43lg 2lg 22lg 3lg 23lg 4lg 2lg 9lg 4log 9log 32=⋅=⋅=⋅． 【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解．【答案】D ．3． 设m b a ==52，且211=+ba ，则=m （ ） A ．10 B ．10 C ．20 D ．100【知识点】换底公式的应用．【数学思想】化归思想．【解题过程】因为m b a ==52，所以2log 1log 2m m a ==，5log 1log 5m m b ==， 则210log 5log 2log 11==+=+m m m b a ，所以10=m ．【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解．【答案】 A ．4．若*,1,1N n b a ∈>>，则下列各式：①a b log 1:；②a b lg lg ；③n a b n log ；④b a ab ab log 1log -1-中，与b a log 相等的是 (把符合的序号都填上)．【知识点】换底公式的应用．【数学思想】化归思想．【解题过程】④ b ab b ab a abb a a ab ab ab abab ab log log log log log log 1log 1===--． 【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解．【答案】① ② ③ ④．5．已知3log 2a =，35b =，用a 、b 表示30log 2．【知识点】换底公式的应用．【数学思想】化归思想．【解题过程】已知35b =，则3log 5b =，所以ab a a 2125log 3log 2log 2log 30log 2130log 2130log 3333322++=++=⋅==． 【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解． 【答案】ab a 21++． 6．解不等式：012792493log log >--x x ．【知识点】换底公式的变形应用，解不等式．【数学思想】化归思想．【解题过程】012730127922732493log log 2log log >--⇒>--x x x x012012732log 2log 73>--⇒>--⇒x x x x ()()034>+-⇒x x 又0>x ，故4>x ．【思路点拨】利用换底公式的变形将不等式化简后再求解． 【答案】{}4>x x ．。

2.2.1 对数与对数运算一、教材分析本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.2对数函数的内容二、三维目标1．知识与技能（1）．理解对数的概念，了解对数与指数的关系；（2）．理解和掌握对数的性质；（3）．掌握对数式与指数式的关系。

2．过程与方法（1）通过实例认识对数模型，体会引入对数的必要性；（2）通过观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化；（3）通过分组探究进行活动，掌握对数的重要性质。

3．情感、态度与价值观（1）通过本节的学习体验数学的严谨性，培养细心观察、认真分析分析、严谨认真的良好思维习惯和不断探求新知识的精神；（2）感知从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性认知过程；（3）体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质．三、教学重点教学重点：（1）对数的定义；（2）指数式与对数式的互化四、教学难点教学难点：推导对数性质五、教学策略讲练结合掌握对数的双基，即对数产生的意义、概念等基础知识，求对数及对数式与指数式间转化等基本技能的掌握六、教学准备（对数教学目标）—对数的文化意义、对数概念（讲一讲）—对数式与指数式转化（做一做）—例题（讲一讲）、习题（做一做）—两种特殊的对数（讲一讲）—求值（做一做）—评价、小结—作业。

八、板书设计第二章基本初等函数（I）2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算九、教学反思对数的教学采用讲练结合的教学模式。

教学中，以双基为教学主题，采用讲讲练练的教学程序，运用指数式与对数式的转化策略，通过教师的讲，数学家对对数的痴迷激发学生好奇，从实际问题导入对数概念、对数符号，理解对数的意义，通过典型例题的讲授，充分揭示对数式与指数式间的关系，掌握求对数值的方法，通过学生典型习题的练，使学生进一步理解对数式与指数式间的关系，掌握求对数的一些方法，在讲练结合中实现教学目标。

黑龙江省鸡西市高中数学 2.2 对数函数复习课2教案新人教版必
修1
定点
()1,0；
④单调性：当1a >时，函数()f x 在()0,+∞上
是增函数；
当
01a <<时，函数()f x 在()0,+∞上是减函数.
⑤对数函数的图象 在第一象限内，图象离x 轴越近的底数越大。

（3）幂函数
()f x x
α
=的性质：
①所有的幂函数在()0,+∞都有定义，并且图象都
通过点
()1,1；
②如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在
区间
[)0,+∞上是增函数；
③如果0α
<，则幂函数的图象在区间()0,+∞上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋向于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴； ④当α是奇数时，幂函数是奇函数，当α是偶数时，幂函数是偶函数.
（4）指数函数、对数函数的不等式和方程 （5）同底的指数函数和对数函数互为反函数
二、解答题
1．已知函数y ＝f(x)是R 上的增函数，且f (m ＋3)≤f (5)，则实数m 的取值范围是________．
2．函数f (x )＝－x 2
＋2x ＋3在区间[－2,3]上的最大值与最小值的和为________．
3．若函数f (x )＝x 2＋a ＋1x ＋a x
为奇函数，。

对数与对数运算（二）
（一）教学目标
1．知识与技能：理解对数的运算性质．
2．过程与方法：通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识．
3．情感、态态与价值观
通过“合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用，培养学生对立统一、相互联系，相互转化以及“特殊—一般”的辩证唯物主义观点，以及大胆探索，实事求是的科学精神．
（二）教学重点、难点
1．教学重点：对数运算性质及其推导过程.
2．教学难点： 对数的运算性质发现过程及其证明.
（三）教学方法
针对本节课公式多、思维量大的特点，采取实例归纳，诱思探究，引导发现等方法．
（四）教学过程。

2.2.1对数与对数运算（一）（一）教学目标1．知识技能：①理解对数的概念，了解对数与指数的关系；②理解和掌握对数的性质；③掌握对数式与指数式的关系.2.过程与方法：通过与指数式的比较，引出对数定义与性质.3．情感、态度、价值观（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力.（2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质.（3）在学习过程中培养学生探究的意识.（4）让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力.（二）教学重点、难点（1）重点：对数式与指数式的互化及对数的性质（2）难点：推导对数性质的（三）教学方法启发式启发学生从指数运算的需求中，提出本节的研究对象——对数，从而由指数与对数的关系认识对数，并掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算.引导学生在指数式与对数式的互化过程中，加深对于定义的理解，为下一节学习对数的运算性质打好基础.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题1．提出问题（P72思考题）13 1.01xy=⨯中，哪一年的人口数要达到10亿、20亿、30亿……，该老师提出问题，学生思考回答.启发学生从指数运算的需由实际问题引入，激发学生的学习积极如何解决？即：1820301.01, 1.01, 1.01, 131313x x x ===在个式子中，x分别等于多少？象上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数（引出对数的概念）.求中，提出本节的研究对象——对数，性.概念形成合作探究：若1.01x=1318，则x称作是以1.01为底的1318的对数.你能否据此给出一个一般性的结论？一般地，如果a x=N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.举例：如：24416,2log16==则，读作2是以4为底，16的对数.1242=，则41log22=，读作12是以4为底2的对数.合作探究师：适时归纳总结，引出对数的定义并板书.让学生经历从“特殊一一般”，培养学生“合情推理”能力，有利于培养学生的创造能力．概念深化1. 对数式与指数式的互化在对数的概念中，要注意：（1）底数的限制a＞0，且a≠1（2）logxaa N N x=⇔=指数式⇔对数式幂底数←a→对数底数指数←x→对数幂←N→真数掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算.通过本环节的教学，培养学生的用联系的关点观察问题.说明：对数式log a N 可看作一记号，表示底为a （a ＞0，且a ≠1），幂为N 的指数工表示方程xa N =（a ＞0，且a ≠1）的解. 也可以看作一种运算，即已知底为a （a ＞0，且a ≠1）幂为N ，求幂指数的运算. 因此，对数式log a N 又可看幂运算的逆运算.2. 对数的性质：提问：因为a ＞0，a ≠1时，log x N a a N x =⇔=则 由１、a 0=1 ２、a 1=a 如何转化为对数式②负数和零有没有对数？ ③根据对数的定义，log a Na=？（以上三题由学生先独立思考，再个别提问解答）由以上的问题得到① 011,a a a ==Q （a ＞0，且a ≠1）② ∵a ＞0，且a ≠1对任意的力，10log N 常记为lg N .恒等式：log a Na =N3. 两类对数① 以10为底的对数称为常用对数，10log N 常记为lg N .② 以无理数e =2.71828…为底的对数称为自然对数，log e N 常记为ln N .备选例题例1 将下列指数式与对数式进行互化.（1）64)41(=x（2）51521=-（3）327log 31-= （4）664log -=x【分析】利用a x= N ⇔x = log a N ，将（1）（2）化为对数式，（3）（4）化为指数式. 【解析】（1）∵64)41(=x ，∴x =41log 64（2）∵51521=-，∴2151log 5-= （3）∵327log 31-=，∴27)31(3=-（4）∵log x 64 = –6，∴x －6= 64.【小结】对数的定义是对数形式与指数形式互化的依据，同时，教材的“思考”说明了这一点. 在处理对数式与指数式互化问题时，依据对数的定义a b= N ⇔b = log a N 进行转换即可.例2 求下列各式中的x . （1）32log 8-=x ； （2）4327log =x ； （3）0)(log log 52=x ； 【解析】（1）由32log 8-=x 得32332)2(8--==x = 2–2，即41=x . （2）由4327log =x ，得343327==x ，∴813)3(4343===x .（3）由log 2 (log 5x ) = 0得log 5x = 20= 1. ∴x = 5.【小结】（1）对数式与指数式的互化是求真数、底数的重要手段.（2）第（3）也可用对数性质求解.如（3）题由log 2(log 5x ) = 0及对数性质log a 1=0. 知log 5x = 1，又log 55 = 1. ∴x = 5.。

2.2.1 对数与对数运算第一课时 对数的概念 三维目标定向 〖知识与技能〗理解对数的概念，掌握对数恒等式及常用对数的概念，领会对数与指数的关系。

〖过程与方法〗 从指数函数入手，引出对数的概念及指数式与对数式的关系，得到对数的三条性质及对数恒等式。

〖情感、态度与价值观〗增强数学的理性思维能力及用普遍联系、变化发展的眼光看待问题的能力，体会对数的价值，形成正确的价值观。

教学重难点：指、对数式的互化。

教学过程设计 一、问题情境设疑引例1：已知2524,232==，如果226x =，则x = ？ 引例2、改革开放以来，我国经济保持了持续调整的增长，假设2006年我国国内生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国内生产总值比2006年翻两番？分析：设经过x 年国内生产总值比2006年翻两番，则有a a x4%)81(=+，即1.08 x = 4。

这是已知底数和幂的值，求指数的问题，即指数式ba N =中，求b 的问题。

能否且一个式子表示出来？可以，下面我们来学习一种新的函数，他可以把x 表示出来。

二、核心内容整合1、对数：如果)10(≠>=a a N a x且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作N x a log =。

其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当 a > 0且1a ≠时，Nx N a a x log =⇔=（符号功能）——熟练转化如：1318log 131801.101.1=⇔=x x ，4 2 = 16 ⇔ 2 = log 4 162、常用对数：以10为底10log N写成lg N ；自然对数：以e 为底log e N写成ln N （e = 2.71828…）3、对数的性质：（1）在对数式中N = a x > 0（负数和零没有对数）；（2）log a 1 = 0 , log a a = 1（1的对数等于0，底数的对数等于1）；（3）如果把b a N =中b 的写成log a N ，则有N a N a =log （对数恒等式）。

高中数学 2.2.1对数与对数运算(一)教案新人教A版必修1 3.2.1对数及其运算（一）
教学目标：理解对数的概念、常用对数的概念，通过阅读材料，了解对数的发展历史及其对简化运算的作用教学重点：理解对数的概念、常用对数的概念.
教学过程：
1、对数的概念：
复习已经学习过的运算指出：加法、减法，乘法、除法均为互逆运算，指数运算与对数运算也为互逆运算：
若
（a 0,a 1）
2、对数的性质
（1）零和负数没有对数，即
（2） 1的对数为0，即log1 0
（3）底数的对数为1，即logaa 1
3、对数恒等式：alogaN，则
叫做以为底
的对数。

记作：logaN b中N必须大于零； N
4、常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，记为：log10N lgN
5、例子：
（1）将下列指数式写成对数式
5 625 2 64 1 64
3 37 ()a1
3m 5.73
（2）将下列对数式写成指数式
log116 4
2
log2128 7 log327 a lg0.01 2。

黑龙江省鸡西市高中数学 2.2 对数教案新人教版必修1
一、教学设计设计意图
本节课内容是高一新教材,第一册第二章函数的第三节,在此之前已经学习了函数的概念性质,反函数,指数与指数函数,为了进一步学习指数函数的反函数----------对数函数,首先要学习对数,与对数的运算法则.本节课对数是已知底数与幂值求指数的问题,对数式与指数式可以进行互化,因此对数是在指数基础上进一步学习的,同时学好对数概念也可以加深对指数概念的理解,并且为后面对数运算性质与对数函数的学习打好基础.
二、教学目标描述：
（1）知识与技能：
①理解对数的概念，了解对数运算与指数运算互逆关系，及常用对数和自然对数。

②掌握对数式与指数式的互化。

（对数的运算和性质的证明等都用到）
（2）能力与方法：
①能利用对数的性质进行对数的运算。

②解决有关实际问题能力。

③培养学生的逆向思维能力。

（3）情感与态度：
通过指数的类比以及对数概念的建立，培养学生树立事物的辩证发展和矛盾转化的观点。

三、教学过程设计
四、教后反思
1、大部分学生比较怕数学概念的学习，理解能力，逆向思维能力等方面参差不齐。

问
题发现法作为一种启发式教学方法，从实际问题出发，提出问题，如何解决问题，启发学生通过主动思考，使学生变被动学习为主动愉快的学习。

教学中引导学生从实例出发启发出对数的定义，引发学生对学习新概念的重视和关注。

2、本节课采用多媒体辅助与讲练结合法，通过一些指数式和对数式互化题型层层深入进行讲练，对进一步理解两种式子的对照和对数定义起很大的作用，并能求一些简单的对数，体现素质教育中学习能力的培养问题达到预期的教学目标。

2.2.2 对数与对数运算（第2课时）一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，了解简单对数的运算以及简单对数式的化简，学好对数运算性质是学好对数函数的关键，增强学生的成就感,增强学生学习的积极性. （二）学习目标1．理解对数的运算性质;能熟练运用对数的运算性质进行化简、计算、证明. 2．让学生经历并推导出对数的运算性质并加以记忆; （三）学习重点掌握对数的运算性质及其推导过程，依据对数性质进行对数运算 （四）学习难点对数的运算性质及其推导过程 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务读一读：阅读教材64-65页完成下列任务：(1)类比指数运算性质能得出其相应对数运算性质,并写出推导过程; (2)写出对数三条的运算性质及其各字母的取值范围并加以记忆. ①N M MN a a a log log log += ②N M NMa a alog log log -= ③)0,0,1,0(log log >>≠>=N M a a M n M a n a 2．预习自测（1）25log 20lg 100+的值为（ ） A.2 B.-2C.21D.21-答案：A. (2)8log 932log 2log 2333+-的值为（ ） A.21 B.2 C.3D.31 答案：B.(3)已知,23=a 用a 表示6log 4log 33-为_________. 答案：1-a . (二)课堂设计 1．知识回顾),0,0()(),,0()(),,0(R r b a b a ab R s r a a a R s r a a a a r r r rs s r s r s r ∈>>=∈>=∈>=+2．问题探究探究一 对数运算性质的探究●活动① 提出问题，对数与指数的关系及指数运算法则各是怎样的？N a b = ⇔ b N a =l o g （R b N a a ∈>≠>,0,1,0）【设计意图】引导学生根据指数的运算性质大胆尝试推导对数的运算性质，提高学生的建构能力和主动探究能力.●活动② 利用指数对数关系及指数的运算法则推导出对数的运算法则，以指数运算的第一个性质为例证明：q p a a a N a M q N p M ==∴==,log ,log 设MN q p a a a MN a q p q p log =+∴=∙=+MN N M a a a log log log =+【设计意图】规律总结，指出推导的关键是完成指数运算向对数运算的过渡． ●活动③ 理解并掌握对数的运算性质①N M MN a a a log log log += ②N M NMa a alog log log -= ③)0,0,1,0(log log >>≠>=N M a a M n M a n a 引导学生判断下列式子是否正确①)5(log )3(log )]5()3[(log 222-+-=-⨯-（错误） ②10log 210log 10210=（正确） ③N M MN a a a log log )(log ∙=（错误） ④N M N M a a a log log )(log +=+（错误）【设计意图】巩固对数的运算性质，提高学生发散思维及分析问题的能力． 探究二●活动① 基础型例题 例1．求下列各式的值：（1）352log (24)⨯ （2）125log 5 （3）2.1lg 12lg 23lg -+（4）22log log 【知识点】对数的运算性质． 【数学思想】转换与化归思想.【解题过程】（1）134log 534log 2log )42(log 25232532=+=+=⨯.（2）3555log 125log 53log 53===. （3）lg32lg 21lg3lg 41lg1.2lg1.2+-+-=lg1.21lg1.2==.（4）22log log2log =22log log 42===.【思路点拨】对数的运算性质.【答案】（1）13 ; （2）3 ; （3）1 ; （4）2.同类训练 求下列各式的值： (1)14log 501log 2log 235log 55215--+ (2)()2336618log 4log log 6+答案：（1）2;（2）1.解析：【知识点】对数的运算性质． 【数学思想】转换与化归思想. 【解题过程】21)145035(log 14log 50log 2log 35log 14log 501log 2log 235log )1(5552555215=-÷⨯=-+-=--+()()()()2366623666622236666266(2)原式log 2log 18log log 2(log 22log 3)log log 2log 2log 3log (log 3log 2)1=⋅+=⋅++=+⋅+=+=点拨：对数的运算性质.例2．计算(1)427125log 9log 25log 16⋅⋅（2）421938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++答案：（1）98 ; （2）25.解析：【知识点】对数的运算性质． 【数学思想】转换与化归思想. 【解题过程】（1）原式985lg 32lg 43lg 35lg 22lg 23lg 2125lg 16lg 27lg 2514lg 9lg =⨯⨯=⨯⨯=g （2）原式=254523652log 45)2log 212(log )3log 313log 21(23322=+⨯=++⋅+.点拨：对数的运算性质.同类训练 已知b a ==7log ,3log 32, 用b a ,表示56log 42. 答案：31ab ab a +++.解析：【知识点】对数的运算性质． 【数学思想】转换与化归思想. 【解题过程】aa 12log ,3log 32=∴= 23334233333log (78)log 73log 3log 56log (237)log 2log 3log 711b ab a ab a b a+⨯++∴====⨯⨯++++++. 点拨：对数的运算性质. ●活动2 提升型例题 例3（1）1052==b a ,求ba 11+的值; （2）设3log 22=x ，求xx xx --+-222233的值．【知识点】对数的运算性质． 【数学思想】转换与化归思想.【解题过程】,10log ,10log ,1052)1(52==∴==b a b a15lg 2lg 11=+=+∴ba. 22log 22log 3,log 2=（）由得a Nxx x aN==∴=61331333133222233=+-=+-∴--xx x x . 【思路点拨】对数的运算性质. 答案：(1)1;(2)613. 同类训练 求下列各式的值：设410=a ，5lg =b ，求b a -210的值 ． 答案：516. 解析：【知识点】对数的运算性质． 【数学思想】转换与化归思想.【解题过程】由5lg =b ，得510=b ，∴ 516102=-b a .点拨：对数的运算性质. ●活动3 探究型例题例4.对于函数)32(log )(221+-=ax x x f ，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围. 答案：（1）)3,3(-;（2）),3[]3,(+∞--∞ . 解析：【知识点】对数的运算性质，二次函数的性质． 【数学思想】函数思想【解题过程】222233令()()u g x x ax x a a ==-+=-+-，(21030（）对恒成立 的取值范围是min u x R u a x a >∈∴=->⇒<<∴（2）由u 21log 的值域为R ，即)(x g u =能取遍（0，+)∞的一切值．)(x g u = 的值域为),0(),3[2+∞⊇+∞-a ，∴ 命题等价于33032min ≥-≤⇒≤-=a a a u 或， ∴ a 的取值范围是),3[]3,(+∞--∞ . 点拨：对数的运算性质.同类训练 已知函数f(x)=x 2-2ax+3（1)若函数的定义域为),3()1,(+∞⋃-∞，求实数a 的值; （2)若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值.答案：（1）2;（2）±1.解析：【知识点】对数的运算性质．【数学思想】数形结合思想，函数与方程思想. 【解题过程】由定义域的概念知，命题等价于 （1）不等式0322>+-ax x 的解集为{}31><x x 或，∴3,121==x x 是方程0322=+-ax x 的两根，2322121=∴⎩⎨⎧=⋅=+a x x a x x∴即a 的值为2.（2）函数的值域为]1,(--∞,即)(x g 的值域为),2[+∞， ∵)(x g 的值域是),3[2+∞-a ,∴命题等价于123)(2min ±=⇒=-=a a x g , 即a 的值为±1. 点拨：对数的运算性质 3.课堂总结 知识梳理①N M MN a a a log log log += ②N M NMa a alog log log -= ③)0,0,1,0(log log >>≠>=N M a a M n M a n a 重难点归纳掌握对数的运算性质及其推导过程，依据对数性质进行对数运算 （三）课后作业 基础型 自主突破 1.(1)=-3log 6log 22______; (2)=-15log 5log 33______; (3)=+31log 75log 55_______; (4)=+-)32(log 32_______.答案：（1）1;（2）－1;（3）2;（4）－1. 解析：【知识点】对数的运算． 【数学思想】转换与化归思想.【解题过程】对数的运算性质的灵活运用. 点拨：对数的运算性质的灵活运用．2.若12010log 3=x ,则=+-x x 20102010（ ）A.310 B.6C.38D.316 答案：A.解析：【知识点】对数的运算． 【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】对数的运算性质的灵活运用.点拨：31020102010,3log ,12010log 20103=+∴=∴=-x x x x . 3.已知m>0,且,1lg )10lg(10mm x +=则x 等于________. 答案：0.解析：【知识点】对数的运算． 【数学思想】函数与方程思想 【解题过程】01011lg)10lg(=∴==+x mm x . 点拨：对数的运算性质的灵活运用. 4.计算3log 2333558log 932log 2log 2-+-的结果. 答案：-7.解析：【知识点】对数的运算． 【数学思想】转化与化归思想. 【解题过程】79)83294(log 3-=-⨯⨯=原式 点拨：对数的运算性质的灵活运用.5．计算：(1)18lg 7lg 37lg 214lg -+- （2）2lg 236.0lg 23lg 2lg 2+++答案：（1）0（2）21． 解析：【知识点】对数运算性质． 【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】（1）原式=01lg 18)37(714lg18lg 7lg )37lg(14lg 22==⨯⨯=-+- （2）原式=213lg 22lg 43lg 2lg 22lg 2236lg 23lg 2lg 2=++=+-++点拨：对数运算性质的灵活应用．6.若,ln ln a y x =-则33)2ln(2ln y x -⎪⎭⎫⎝⎛等于（ ）A.2aB.aC.23a D.a 3 答案：D.解析：【知识点】对数的运算． 【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】a y x y x 3)ln (ln 3)2ln(2ln 33=-=-⎪⎭⎫⎝⎛点拨：对数运算性质的灵活应用． 能力型 师生共研 7.设,52m b a ==且,211=+ba 则m 等于（ ） A.10 B.10 C.20 D.100 答案：A.解析：【知识点】对数的运算． 【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】m b m a m b a 52log ,log ,52==∴==101025log 2log 112=∴=∴=+=+∴m m ba m m 点拨：对数运算性质的灵活应用．8. 若正数b a ,满足2362log 3log log ()a b a b +=+=+,则ba 11+的值为（ ） A ．36 B ．72 C ．108 D ．721 答案：C.解析：【知识点】对数运算性质． 【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】设2362log 3log log ()=a b a b k +=+=+,所以有k k k b a b a 6,327,24=+==,所以b a ab k k k +==⨯=632108即10811=+ba . 点拨：对数运算性质的灵活应用，对数与指数的关系． 探究型 多维突破9.求值n n n 32log )3log ...27log 9log 3(log 92842++++ 答案：25. 解析：【知识点】对数运算性质． 【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】∵ 3l o g 3l o g 22=n n , ∴ 原式＝252log 3log 32log 3log 532922==n n 点拨：对数运算性质的灵活应用．10.已知a lg 和b lg 是关于x 的方程02=+-m x x 的两个根，而关于x 的方程0)lg 1()(lg 2=+--a x a x 有两个相等的实数根，求实数b a ,和m 的值. 答案：6,1000,1001-===m b a 解析：【知识点】对数运算性质．【数学思想】函数与方程.【解题过程】由题意可知⎪⎩⎪⎨⎧=++=⋅=+0)lg 1(4)(lg lg lg 1lg lg 2a a m b a b a 6,1000,1001-===∴m b a 点拨：对数运算性质的灵活应用．自助餐1．已知y x 32=,则=y x ________. 答案：lg3lg 2. 解析：【知识点】对数运算性质.【数学思想】转化与化归思想. 【解题过程】2lg 3lg 3lg 2lg 3lg 2lg =∴=∴=y x y x y x . 点拨：对数运算性质的灵活应用．2.已知,lg x a =则=+3a ( )A.)3lg(xB.)3lg(x +C.3lg xD.)1000lg(x答案：D.解析：【知识点】对数运算性质．【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】由已知)1000lg(1000lg lg 3lg 3x x x a =+=+=+. 点拨：对数运算性质的灵活应用． 3.=---233)12(lg )150(lg ( )A.5lg 2B.0C.1-D.5lg 2-答案：B.解析：【知识点】对数运算性质．【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】由于,012lg ,0150lg <->-所以原式0)2lg 1(150lg =---= 点拨：对数运算性质的灵活应用．4.已知集合},2{},41{A x x y y B x x A ∈-==<<=,-==+2{ln }1x C x y x , 则集合=⋂C B （ ） A.}11{<<-x x B.}11{≤≤-x x C. }21{<<-x x D.{}21≤<-x x答案：A.解析：【知识点】对数运算性质．【数学思想】转化与化归思想. 【解题过程】由已知}21{},12{<<-=<<-=x x C y y B 所以}11{<<-=⋂x x C B .点拨：对数运算性质的灵活应用． 5.=----+3232)827()32(log ________. 答案：913-. 解析：【知识点】对数运算性质．【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】因为32132+=-，所以1)32(log 32-=-+，所以原式=913- 点拨：对数运算性质的灵活应用．6.10054==b a 设，的值求)21(2ba +. 答案：2.解析：【知识点】对数运算性质．【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】对两边同时取以10为底的对数， 得2)21(25lg 2,4lg 225lg 4lg =+∴==∴==ba b a b a . 点拨：对数运算性质的灵活应用．。

2.2.1对数与对数运算（第1课时）一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，理解对数的概念，并能根据对数的概念求一些特殊对数式的值，同时熟练进行对数式与指数式的互化，渗透应用意识，培养学生归纳思维能力和逻辑推理能力，进一步提高数学发现能力. （二）学习目标 1．理解对数的概念.2．熟练进行对数式与指数式的互化．3．会根据对数的概念求一些特殊对数式的值． （三）学习重点 1．理解对数的概念.2．熟练进行对数式与指数式的互化．3．会根据对数的概念求一些特殊对数式的值． （四）学习难点 1.对数的概念的理解. 二、教学设计 （一）预习任务1.读一读：阅读教材并填空：一般地，如果)1,0(≠>a a a 的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做底数，N 叫做真数。

N a b =⇔b N a =log （R b N a a ∈>≠>,0,1,0）.注：（1）对数的底数a 必须大于0且不等于1；（2）对数的真数N 必须大于0，也即负数与0没有对数； （3）对数的值可以为一切实数，也即对数值可正、可负、可为零. 2.a log 1=0,=a a log 1.3.通常以10为底的对数，叫做常用对数。

为了简便，N 的常用对数N 10log ，简记作N lg ；通常以无理数 7182.2=e 为底的对数叫做自然对数。

为了简便，N 的自然对数N e log 简记作N ln .4.探究:在定义中为什么规定a >0,a ≠1? 2.预习自测1.以下四个命题中是真命题的是（ ） ①若,3log 5=x 则x =15； ②若,21log 25=x 则x =5； ③若,05log =x 则5=x ; ④若,3log 5-=x 则1251=x . A.①② B.①③ C.②④ D.③④【知识点】对数与指数的互化.【解题过程】5log 3x =，得x =53=125.∴①是假命题，251log 2x =，得5x ==.∴②是真命题；log 0，得x 0∴③是假命题；5log 3x =-，得x =5-3=1125.∴④是真命题.【思路点拨】由对数式与指数式的转化关系进行运算. 【答案】C. 2.设lg 525x=则=x _________.【知识点】对数与指数的互化关系. 【解题过程】lg 525x==52，∴lg 2x =，由对数定义可得210100x ==.【思路点拨】指数运算、对数运算结合. 【答案】100.3.如果N =a 2(a >0,且a ≠1)，则有（ ）A.2log N a =B.2log a N =C.log 2N a =D.log 2a N = 【知识点】指数式与对数式的互化.【解题过程】∵N =a 2(a >0,且a ≠1)∴2log a N =，故选D.【思路点拨】利用同底的指数式与对数式的互化关系即可得出. 【答案】D. (二)课堂设计 1．问题探究探究一 结合实例，认识对数概念. ●活动① 归纳提炼概念求出下列各式中x 的值（1）93=x ；（2）8113=x ． 追问若73=x 时，x 存在吗？若存在，x =? 引入新的记法7log 3=x 上述问题从93=x ，8113=x ，73=x 中分别求出x ，其共同点就是已知底数a 和幂N ，求出指数x ．定义：一般地，如果)1,0(≠>a a a 的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做底数，N 叫做真数.N a b =⇔b N a =log （R b N a a ∈>≠>,0,1,0）【设计意图】：通过将对数与指数中的a ,b,N 三个元素比较分析，加深对对数的理解，体现了事物之间的普遍联系.●活动②提出问题，指数和对数有什么区别和联系? 引导学生回顾指数和对数的定义，组织问题的答案. 用表格对相关元素进行对比分析.老师强调指数式和对数式互化：N a b =⇔b N a =log （R b N a a ∈>≠>,0,1,0）【设计意图】：再次通过将指数式和对数式中的a,x,N 三个元素比较分析，加深对对数的理解，体现了事物之间的普遍联系。

221 (3)对数与对数运算(教学设计)内容：换底公式教学目标: 知识与技能：推导对数的换底公式，培养学生分析、综合解决问题的能力，培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度。

过程与方法：让学生经历推导对数的换底公式的过程，归纳整理本节所学知识。

情感态度与价值观：通过对数的运算法则，对数换底公式的学习，培养学生的探究意识，培养学生的严谨的思维品质；感受对数的广泛应用。

教学重点：对数的运算性质、换底公式及其应用。

教学难点：正确使用对数的运算性质和换底公式。

教学过程：一、复习回顾，新课引入：问：上节课我们学习了哪些对数的性质？请用文字语言叙述.答：(1)积的对数等于同底对数的和；(2 )商的对数等于同底对数的差；(3) n次幕的对数等于同底对数的n倍；即: ( 1)log a(M N) log a M log a N ；/c、 M - “(2)log a log a M log a N；N(3)log a M n n log a M ( n R).二、师生互动，新课讲解：1、对数的换底公式问：前面我们学习了常用对数和自然对数，我们知道任意不等于对数转换为以10或e为底的对数？把问题一般化，能否把以a为底转化为以c为底?亦log c b即log a b —•其中a 0 ,且a 1 , c 0 ,且c 1 . log c a 1的正数都可以作为对数的底，能否将其它底的师生共同探究：设log a b P，则a p b，对此等式两边取以c为底的对数，得到:log c a p log c b，根据对数的性质，有: p log c a log c b，所以p log c b log c a八亠log c b公式lOg a b —称为换底公式.log c a用换底公式可以很方便地利用计算器进行对数的数值计算.18例如，求我国人口达到18亿的年份，就是计算x log101—的值，利用换底公式和对数的运算「性质，可得:13l 18x log 18 g13 lg18 lg13X log 1 01 .13 lg1.01 lg1.011.2553 1.113932.8837 33 （年）0.0043例1: 利用换底公式推导下面的结论n 1(1)log a m b log a b；( 2) log a bm log b a变式训练1 :（课本P68练习NO: 4）例2:求log89log 27 32 的值。

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