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疱丁巧解牛知识·巧学一、相似的概念1.相似图形：把具有相同形状的图形称为相似形.“相同形状”也就是一个图形可看作是由另一个图形放大、缩小或复制得到的.方法归纳相似关系中只关注图形的形状是否相同，不考虑它们的大小和位置之间的关系.也就是说：只要两个图形形状相同，不论大小是否相同，位置如何摆放都是相似形.2.生活中常见的相同形状的图形主要有以下几种类型：(1)同一地区按不同的比例尺所绘制的地图；(2)同一张底片扩印出来的照片，电影胶片上的图像与它映照到屏幕上的图像；(3)通过放大镜、眼镜所看到的图形与实际图形；(4)沙盘模型与建筑原型是相似形.3.相似多边形：形状相同的多边形是相似多边形.例如：国旗上的5个五角星都相似.要点提示形状相同的前提是边数相同.4.相似与全等：全等是相似的特殊情形.形状相同，两图形相似；形状相同并且大小也相同，两图形全等.辨析比较“放大镜”与“哈哈镜”.放大镜是一种用来观察物体细节的简单目视光学器件，是焦距比眼的明视距离小得多的会聚透镜.使用放大镜，令其紧靠眼睛，并把物体放在它的焦点以内，成一正立放大的虚像，这个“像”与物体本身相似.哈哈镜镜面凹凸不平，根据凹凸镜成像原理，成的是或大或小的虚象，照出人来就奇形怪状了，所以哈哈镜的“像”与物体本身不相似.二、比例线段1.线段的比：线段的比是指用同一长度单位量得两条线段的长度的比.①两条线段的比与长度单位的选择无关；②求两条线段的比时，若其单位不同，则必须使单位相同再求比；③两条线段的比是一个正数；④两条线段的比a∶b中，要清楚谁为前项.例如：线段a=10 cm，b=15 cm，则线段a与b的比是10∶15=2∶3，a是前项，b是后项；线段b与a的比是15∶10=3∶2，b是前项，a是后项.10cm，则线段AB与AC的比是正方形ABCD中，AB=10 cm，对角线AC=210=2∶2.10∶22.比例线段：比例线段是指在四条线段a、b、c、d中，如果其中两条线段的比a∶b等于另外两条线段的c∶d，即a∶b=c∶d.那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段.例如：四条线段1 cm、2 cm、3 cm、6 cm满足1∶2=3∶6，所以1 cm、2 cm、3 cm、6 cm是比例线段.要点提示①四条线段才能成比例；②线段成比例时，一定要将线段按顺序列出，不可颠倒，一般可以按大小顺序写出.3.比例中项：若作为比例内项的两条线段相同，即a∶b=b∶c，则线段b叫做a、c的比例中项.三、相似多边形的性质1.相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等.(1)形状的相同是指“对应边成比例，对应角相等”.(2)识别两个边数相同的多边形是否相似的方法：①两个多边形的边都对应成比例；②角都对应相等, 那么这两个多边形相似.误区警示上述两个条件必须同时成立，缺一不可(如矩形与正方形角都对应相等，但边不是都对应成比例，不相似；菱形与正方形边都对应成比例，但角不是对应相等，不相似).在格点上画多边形相似时，就是保持对应位置上的线段放大或缩小相同的倍数，对应的角的大小不变，所以画出的多边形是相似的.2.相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.例如：若△ABC 与△A′B′C′相似，那么k A C CA C B BC B A AB =''=''=''，这两个相似三角形的相似比就是k.(1)相似比是有顺序性的，前面的一个多边形的边作为分子，后面一个多边形的边作为分母.表示两个多边形相似的顺序不一样时，相似比也不相同.(2)相似比为正数.相似比为1，即k=1时，两个相似多边形不仅形状相同，而且大小也相同，这时两个多边形就全等.深化升华 根据性质，可以由一个图形的已知条件求其相似图形的未知元素.①由对应角相等，可以直接求出对应角的度数；②由对应边的比等于相似比，列比例式可以求对应边长.问题·探究问题1 等边三角形都相似吗？导思：根据相似多边形的定义，比较它们的边，是否成比例比较它们的角是否相等. 探究:(1)从不同类型的三角形入手：①等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°，因此，两个等边三角形的边都对应成比例，角也都对应相等，所以是相似的；②两个等腰三角形，当它们的顶角不相等时，角就不能对应相等，虽然两三角形对应腰的比相等，但是不能等于两底边的比，所以也不一定相似；③由于任意两个三角形，它们的边不一定对应成比例，角也不一定对应相等，所以不一定相似.(2)看看我们学习过的四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形等图形，它们各自能相似吗？如果不相似，添加几个条件就可以判断它们相似呢？(见27.2《问题·探究》)(3)不同边数的多边形相似吗？边长为10 cm 的正方形与同样边长的正六边形相似吗？为什么？问题2 相似三角形的周长之比为多少？导思：熟悉比例的变形，避免重复计算.探究:比例是商的形式，根据等式的基本性质，可以把商与积互化.(1)【比例的基本性质】在任意的一个比例里，两个外项的积等于两个内项的积，即a ∶b=c ∶d ⇔da=bc.(符号“⇔”表示从左边的条件可以得到右边的结论，把右边作为条件，可以得到左边的结论).(2)【反比定理】在一个比例里，第一个比的反比，等于第二个比的反比，这叫做比例中 的反比定理，即cd a b d c b a =⇔=. (3)【更比定理】在一个比例里，更换第一个比的后项与第二个比的前项的位置后，仍成比例；或者更换第一个比的前项与第二个比的后项的位置后，仍成比例，这叫做比例中的更比定理，即db c a d c b a =⇔=. (4)【合比定理】在一个比例里，第一个比的前后项的和与它后项的比，等于第二个比的前后项的和与它的后项的比，这叫做比例中的合比定理，即dd c b b a d c b a +=+⇔=. (5)【等比定理】几个相等的比的前项的和与后项的和的比，等于这些比里的任一个比，即 若k n m d c b a ==== (b+d+…+n≠0)，则k nd b m c a =++++++ . 典题•热题例1 如图27.1-2，在给出的点格内通过放大或缩小画出已给图形的相似形.图27.1-2思路解析：首先固定一个最左边格点上的一个点，分别在横线上和竖线上把相应的线段放 大或缩小(画图，一般都画在所给定的区域内).解：如图27.1-3.图27.1-3方法归纳 在格点中作相似形时，找能够反映图形特征的点，作出这些被放大或缩小后的位置，再由这些点构造新图形.例2 (1)已知线段a=30 mm ，b=5 cm ，则a ∶b=__________；(2)量得A 、B 两地在某张地图上的距离是5 cm ，而两地的实际距离是250 km ，则这张地图的比例尺是__________；(3)在相同时刻的物高与影长成比例.如果一古塔在地面上的影长为50 m ，同时，高为1.5 m 的测竿的影长为2.5 m ，那么古塔的高是__________m.思路解析：(1)由定义“两条线段的比是这两条线段长度的比”，在计算它们的比时先要 统一单位；因为a=30 mm=3 cm ，所以a ∶b=3∶5.(2)比例尺=实际距离图上距离，通常写成1∶常数的形式，计算前还是要注意统一单位；因为 5cm=0.05 m ，250 km=250 000 m ，所以比例尺为0.05∶250 000=1∶5 000 000.(3)相同时刻的物高与影长成比例，因此古塔的高、古塔的影长、测竿的高、测竿的影长是成比例线段，即测杆的影长测杆的高古塔的影长古塔的高=，从而解决问题. 设古塔的高为x m ，根据题意得5.25.150=x ， 解得x=30，所以古塔的高为30 m.答案：(1)3∶5 (2)1∶5 000 000 (3)30深化升华 利用比例线段可以进行相关计算，其关键是找准比例式.比例尺=测杆的影长测杆的高物体的影长物体的高实际距离图上距离=;. 例3 若x ∶y ∶z=3∶4∶7且2x-y+z=18，那么x+2y-z=__________. 思路解析：由x ∶y ∶z=3∶4∶7,知743z y x ==.可利用比例解决问题.特别是遇到连等式时，可用设比例系数(即公比)的办法解决.方法一：∵x ∶y ∶z=3∶4∶7，∴743z y x ==. 设k z y x ===743(k≠0)，则x=3k ，y=4k ，z=7k. ∴ 2x-y+z=6k-4k+7k=9k ，即9k=18.解得k=2.∴ x+2y-z=3k+8k-7k=4k=4×2=8.方法二：∵x ∶y ∶z=3∶4∶7，∴y z y x 47,43==. ∴2x-y+z=2×y 43-y+y 47=18.解方程得y=8. ∴x=6，z=14.∴x+2y-z=6+16-14=8.答案：8变式方法 利用比例式计算时，通常可用方程思想，设中间参数计算.又如：已知x ∶y=2∶7，求22225223y xy x y xy x -++-的值. 由x ∶y=2∶7,得y x 72=.把y x 72=代入原式得(以下略).。
九年级下册数学《相似》重点知识整理《相似》重点知识27.1 图形的相似1、相似的定义如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。
（相似的符号：∽）2、相似的判定如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。
3、相似比相似多边形的对应边的比叫相似比。
相似比为1时，相似的两个图形全等相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。
相似多边形的周长比等于相似比。
相似多边形的面积比等于相似比的平方。
27.2 相似三角形1、相似三角形的判定（★重难点）（1）.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似（2）三边对应成比例（3）两边对应成比例,且夹角相等（4）两个三角形的两个角对应相等★常考题型：1、利用三角形的相似测量塔高、河宽2、相似三角形判定的常用模型A字型、8字型、三等角模型3、相似的性质1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
2.相似三角形周长的比等于相似比。
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方4.多边形的面积的比等于相似比的平方，周长比等于相似比。
27.3 位似1、定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
2、位似的相关性质（1）位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。
（2）位似多边形的对应边平行或共线。
（3）位似可以将一个图形放大或缩小。
（4）位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。
（5）根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。
★易错点1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；2、两个位似图形的位似中心只有一个；3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。
相似图形图形相似的定义：我们把形状相同的图形叫作相似图形。
注意：1、相似图形只针对形状，不谈大小；2、两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；3、相似图形的形状相同，大小不一定相同，全等图形是特殊的相似图形；4、图形的相似与图形的位置无关。
特殊图形——相似多边形：如果它们的角对应相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫相似多边形。
图文说明：如图所示，在四边形ABCD 和四边形1111D C B A ，1A A ∠=∠,1B B ∠=∠,1C C ∠=∠1D D ∠=∠,11111111D A ADD C CD C B BC B A AB === 则四边形ABCD 相似于四边形1111D C B A 相似； 记作：四边形ABCD ∽四边形1111D C B A(注意要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上！！！)相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例。
注意： 1、相似多边形对应边的比称为相似比,一般用 k 表示；2、若已知四边形ABCD 与四边形1111D C B A 的相似是k ,那么四边形1111D C B A 与四边形ABCD 的相似比是k1。
比例线段定义：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比)与另两条线段的比相等，如dcb a =（即bc ad =），我们就说这四段线段是成比例线段，简称比例线段。
其中a 、b 、c 、d 叫组成比例的项；a 、d 叫比的外项，b 、c 叫比的内项， 当比的内项相等时，即cbb a =或c b b a ::=，线段 b 叫做线段a 和c 的比例中项。
解题策略：1、抓住比的内项乘积等于比的外项乘积，进行一些比的变换； 2、判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大先排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可；3、成比例的线段是有顺序的，比如：a 、b 、c 、d 是成比例的线段，则只能写成d c b a =，而不能写成cd b a =。
第二十七章、相似知识点一：比例线段1. 比例线段 在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．2.比例的基本性质(1)基本性质：a cb d=⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）(2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c dd±；（b 、d ≠0） (3)等比性质：a cb d =＝…＝mn ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔ ......a c mb d n++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）3.平行线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=. （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例. 即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OBOD OC=. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4.黄金分割 点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm知识点二 ：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF.(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，AC ABDF DE=，则△ABC ∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC ∽△DEF. F E D CB A l 5l 4l 3l 2l 1ODCBAEDCBAFE DC BAFE DC B AFE DC B A6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4.(2) 如图，DE∥BC， AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.。
九年级数学下册第二十七章相似知识点归纳总结(精华版)单选题1、如图，在四边形ABDC中，不等长的两对角线AD、BC相交于O点，且将四边形ABDC分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若OA：OB＝OC：OD＝2：3，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（）A．甲与丙相似，乙与丁相似B．甲与丙相似，乙与丁不相似C．甲与丙不相似，乙与丁相似D．甲与丙不相似，乙与丁不相似答案：A分析：利用已知条件得到即OAOC =OBOD，加上对顶角相等，则可判断△AOB∽△COD；再利用比例性质得到AOOB=OCOD，而∠AOC＝∠BOD，所以△AOC∽△BOD．解：∵OA：OB＝OC：OD＝2：3，即OAOC =OBOD，而∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∵OAOC =OBOD，∴AOOB =OCOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD．故选：A．小提示：本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．2、两个相似六边形，若对应边之比为3：2，则这两个六边形的周长比为（）A．9：4B．9：2C．3：1D．3：2答案：D分析：根据相似图形的性质求解即可．解：因为这两个六边形相似，所以这两个六边形的周长比＝对应边之比＝3：2，故选：D．小提示：本题考查相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的周长比等于相似比，即相似多边形的周长比等于对应边的比是解题的关键．3、若ab =cd=−2，则a−cb−d＝（）A．−2B．2C．−12D．12答案：A分析：根据ab =cd=−2，可知a＝﹣2b，c＝﹣2d，将a和c的值代入求值的代数式化简即可．解：∵ab =cd=−2，∴a＝﹣2b，c＝﹣2d，∴a−cb−d =−2b+2db−d=−2(b−d)(b−d)=−2．故选：A．小提示：本题考查了比例的性质，解题的关键是根据已知将a和c用b和d正确表示．4、在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm的线段实际长为（）A．50cmB．500cmC．150cm D．1500cm答案：B分析：根据成比例线段的性质求解即可．解：∵1：50=10:500，∴长度为10cm 的线段实际长为500cm ， 故选B ．小提示：本题考查了成比例线段，掌握比例的性质是解题的关键．5、线段AB 的长为2，点C 是线段AB 的黄金分割点，则线段AC 的长可能是（ ） A ．√5+1B ．2﹣√5C ．3﹣√5D ．√5﹣2 答案：C分析：根据黄金分割点的定义，知AC 可能是较长线段，也可能是较短线段，分别求出即可． 解：分两种情况讨论 （1）如图，∵点C 是线段AB 的黄金分割点，AB ＝2， ∴AC ＝√5−12AB ＝√5−12×2＝√5﹣1， 或如图，AC ＝2﹣（√5﹣1）＝3﹣√5，故选：C ．小提示：本题主要考查了黄金分割的定义，熟记黄金分割的比值是解题的关键．6、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作弧交AC 于点D ，连接BD ，再分别以点B ，D 为圆心，大于12BD 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，连接DE ，则下列结论正确的是（ ）A．DE垂直平分AC B．△ABE∽△CBAC．BD2=BC⋅BE D．CE⋅AB=BE⋅CA答案：D分析：根据作图可知AP是∠BAC的角平分线，AB=AD，根据SAS证明△ABE≌△ADE，可得EB=ED，∠ADE=∠ABE=90°，根据面积法可得S△ABES△AEC =12AB⋅BE12AC⋅DE=12AB⋅BE12AB⋅EC，可得ABAC=BEEC即可判断D选项正确，其他选项无法证明．解：根据作图可知AP是∠BAC的角平分线，AB=AD，∴∠EAB=∠EAD，在△ABE与△ADE中，{AE=AE∠EAB=∠EADAB=AD，∴△ABE≌△ADE，∴EB=ED，∵∠ABC=90°，∴∠ADE=∠ABE=90°，∴BE⊥AB,ED⊥C，∵S△ABES△AEC =12AB⋅BE12AC⋅DE=12AB⋅BE12AB⋅EC，∴ABAC =BEEC，即CE⋅AB=BE⋅CA．A,B,C选项无法证明．故选：D．小提示：本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，三角形面积公式，证明两三角形相似，垂直平分线的性质，理解基本作图是解题的关键．7、如图，AG:GD=3:1，BD:DC=2:3，则AE:EC的值是（）A．8:7B．6:5C．3:2D．8:5答案：B分析：过点作DF∥BE交AC于点F，根据平行线分线段成比例定理分别求出CFFE =CDDB=32，AEFE=AGGD=3，进而得到答案．解：如图，过点作DF∥BE交AC于点F，由平行线分线段成比例定理得，则CFEF =CDDB=32，AEEF=AGGD=3，∴CF＝32EF，AE＝3EF∴EC＝CF＋EF＝52EF∴AE∶EC＝3EF∶52EF＝6：5，故选：B小提示：本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．8、如图，l1∥l2∥l3，若ABBC =23，DF=15，则EF=（）A．5B．6C．7D．9答案：D分析：根据平行线分线段成比例定理可得ABBC =DEEF，根据题意，DE=DF−EF，进而求解．∵l1∥l2∥l3，∴ABBC =DEEF．∵ABBC =23，∴DEEF =23，∵DE=DF−EF，DF=15，∴15−EFEF =23，∴EF=9．故选：D．小提示：本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用平行线分线段成比例定理是解本题的关键．9、如图，C为线段AB的黄金分割点（AC＜BC），且BC＝2，则AB的长为（）A．2√5＋2B．2√5﹣2C．√5＋1D．√5﹣3答案：C分析：黄金分割比定理：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值为√5−12，叫黄金分割比，由此进行求解即可．解：C为线段AB的黄金分割点，BC＝2 ，AC＜BC∴ACBC =BCAB=√5−12∴AC=2×√5−12=√5−1∴AB=AC+BC=√5−1+2=√5+1故选：C小提示：本题考查黄金分割定理，理解黄金分割定理的概念，熟悉比值是解题的关键．10、如图，点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，下列条件中一定能判定DE∥AC的是（）A．ADDB =BECEB．BDAD=BEECC．ADAB=CEBED．BDBA=DEAC答案：B分析：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．A．由ADDB =BECE，不能得到DE∥BC，故本选项不合题意；B．由BDAD =BEEC，能得到DE∥BC，故本选项符合题意；C．由ADAB =CEBE，不能得到DE∥BC，故本选项不合题意；D．由BDBA =DEAC，不能得到DE∥BC，故本选项不符合题意；故选B．小提示：本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．填空题11、如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则AFEF的值为______．答案：43分析：过E点作EH∥AC交BD于点H，根据平行线分线段成比例定理，由EH∥CD得到EHCD =34,由于AD=CD，则EH AD =34，然后利用平行线分线段成比例定理得到AFEF的值.过E点作EH∥AC交BD于点H，如图：∵EH∥AC，∴EHCD =BEBC，∵BE＝3EC，∴EHCD =3CE4CE=34，∵D为AC的中点，∴AD=CD，∴EHCD =EHAD=34，∵EH∥AD，∴AFEF =ADEH=43.故答案为43.小提示：本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.12、如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=______m．答案：100分析：由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长．解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，∴△ABD∽△ECD，∴ABEC =BDCD，即AB=BD×ECCD，解得：AB=120×5060=100（米）．故答案为100．小提示：本题主要考查了相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．13、如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，对角线BD的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则线段EF的长为 __．答案：152##7.5分析：根据矩形的性质和勾股定理求出BD，证明△BOF∽△BCD，根据相似三角形的性质得到比例式，求出EF即可．解：如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，又AB=6，AD=BC=8，∴BD=√AB2+AD2=10，∵EF是BD的垂直平分线，∴OB=OD=5，∠BOF=90°，又∠C=90°，∴ΔBOF∽ΔBCD，∴OFCD =BOBC，∴OF6=58，解得，OF=154，∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∠A=90°，∴∠EDO=∠FBO，∵EF是BD的垂直平分线，∴BO=DO，EF⊥BD，在ΔDEO和ΔBFO中，{∠EDO=∠FBOBO=DO∠EOD=∠FOB，∴ΔDEO≅ΔBFO(ASA)，∴OE=OF，∴EF=2OF=15．2．所以答案是：152小提示：本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键．14、如图，在▱ABCD中，点E在AB上，CE，BD交于点F，若AE:BE=4:3，且BF=2，则DF=_________．答案：143分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB=CD，继而可判定△BEF∽△DCF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得BF：DF=BE：CD问题得解．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AE：BE=4：3，∴BE：AB=3：7，∴BE：CD=3：7．∵AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴BF：DF=BE：CD=3：7，即2：DF=3：7，∴DF=14．3故答案为14．3小提示：此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是根据题意判定△BEF∽△DCF，再利用相似三角形的对应边成比例的性质求解．15、如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，则EF的长为_______．答案：34分析：易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得EFAB =DFDB，EFCD=BFBD，从而可得EFAB+EFCD=BF BD +DFBD=1，然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，∴AB∥CD∥EF，∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，∴EFAB =DFDB，EFCD=BFBD，∴EFAB +EFCD=BFBD+DFBD=1，∵AB=1，CD=3，∴EF1+EF3=1，∴EF=34，所以答案是：34．小提示：本题考查相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．解答题16、如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上、已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC ＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．答案：树高AB是9米分析：先证得△DEF∽△DCB，可得BCEF =DCDE，再由勾股定理可得DE=0.4m，可得BC＝7.5m，即可求解．解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，∴BCEF =DCDE，∵DF＝0.5 m，EF＝0.3 m，AC＝1.5m，CD＝10 m，由勾股定理得DE＝√DF2−EF2＝0.4 m，∴BC0.3=100.4，∴BC＝7.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9（m），答：树高AB是9m．小提示：本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．17、如图，ΔABC内接于⊙O，∠CBG=∠A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD．（1）求证：PG与⊙O相切：（2）若EFAC =58，求BEOC的值；（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为4，PD=OD，求EC的长．答案：（1）见解析；（2）54；（3）6−√13．分析：（1）要证PG与⊙O相切只需证明∠OBG=90°，由∠BAC与∠BDC是同弧所对圆周角且∠BDC=∠DBO可得∠CBG=∠DBC，结合∠DBC+∠OBC=90°即可得证；（2）求BEOC需将BE与OC或OC相等线段放入两三角形中，通过相似求解可得，作OM⊥AC、连接OA，证△BEF∽△OAM得EFAM =BEOA，由AM=12AC、OA=OC知EF12AC=BEOC，结合EFAC=58即可得；（3）Rt△DBC中求得BC=4√3、∠DCB=30°，在Rt△EFC中设EF=x，知EC=2x、FC=√3x、BF=4√3﹣√3x，继而在Rt△BEF中利用勾股定理求出x的，从而得出答案．（1）证明：如图，连接OB，∵OB=OD，∴∠BDC=∠DBO，∵∠BAC=∠GBC、∠BDC=∠BAC，∴∠GBC=∠BDC，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC=90°，∴∠DBO+∠OBC=90°，∴∠GBC+∠OBC=90°，∴∠GBO=90°，∴PG与⊙O相切；（2）解：过点O 作OM ⊥AC 于点M ，连接OA ，∵OC =OA ，OM ⊥AC ，∴∠AOM =∠COM =12∠AOC ，∵ AC ⌢=AC ⌢，∴∠ABC =12∠AOC ，∴∠EBF =∠AOM ，又∵∠EFB =∠OMA =90°，∴ΔBEF ∽ΔOAM ，∴ EF AM =BE OA ，∵AM =12AC ，OA =OC ，∴ EF 12AC =BE OC ，又∵ EF AC =58，∴ BE OC =2×EF AC =2×58=54；（3）解：∵PD =OD ，∠PBO =90°，∴BD =OD =4，在RtΔDBC中，BC=√CD2−BD2=√82−42=4√3，又∵OD=OB，∴ΔDOB是等边三角形，∴∠DOB=60°，∵∠DOB=∠OBC+∠OCB，OB=OC，∴∠OCB=12∠DOB=30°，∴EC=2EF，由勾股定理FC=√EC2−EF2=√4EF2−EF2=√3EF ∴设EF=x，则EC=2x、FC=√3x，∴BF=4√3−√3x，∵BEOC =54，且OC=4，∴BE=5，在RtΔBEF中，BE2=EF2+BF2，∴25=x2+(4√3−√3x)2，整理得4x2−24x+23=0△=242-16×23=208＞0解得：x=24±4√132×4=6±√132，∵6+√132>4，舍去，∴x=6−√132，∴EC=6−√13．小提示：本题主要考查圆的综合问题，涉及圆周角定理、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质，一元二次方程的解法等知识，熟练掌握和运用相关的性质与定理进行解题是关键.18、如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE=BE，AC与BD相交于点O．BE与AC相交于点F．(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由;(3)若OF=3，EF=2，求DE的长度．答案：(1)证明见解析(2)△ECF，△BAF与△OBF相似，理由见解析(3)3+√19分析：（1）根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论；（2）根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出；（3）根据△OBF∽△ECF得出3OA=2BF+9，根据△OBF∽△BAF得出BF2=3(OA+3)，联立方程组求解即可．（1）证明：如图所示：∵四边形ABCD为矩形，∴∠2=∠3=∠4，∵DE=BE，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，又∵BE平分∠DBC，∴∠1=∠6，∴∠3=∠6，又∵∠3与∠5互余，∴∠6与∠5互余，∴BF⊥AC；（2）解：△ECF，△BAF与△OBF相似．理由如下：∵∠1=∠2，∠2=∠4，∴∠1=∠4，又∵∠OFB=∠BFO，∴△OBF∽△BAF，∵∠1=∠3，∠OFB=∠EFC，∴△OBF∽△ECF；（3）解：∵△OBF∽△ECF，∴EFOF =CFBF，∴23=CFBF，∴3CF=2BF，∵在矩形ABCD中对角线相互平分，图中OA=OC=OF+FC=3+FC，∴3OA=2BF+9①，∵△OBF∽△BAF，∴OFBF =BFAF，∴BF2=OF⋅AF，∵在矩形ABCD中AF=OA+OF=OA+3，∴BF2=3(OA+3)②，由①②，得BF=1±√19（负值舍去），∴DE=BE=2+1+√19=3+√19．小提示：本题考查矩形综合问题，涉及到矩形的性质、角平分线的性质、角度的互余关系、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键．。
新人教版九年级下册初中数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《相似》全章复习与巩固--知识讲解（提高）【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化；4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力. 【知识网络】【要点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比.3.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．要点诠释：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（d也叫第四比例项）（2）若a:b=b:c，则2b =ac（b称为a、c的比例中项）．要点二、相似三角形1.相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
3.相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．要点三、位似1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.要点诠释：(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点 为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k.要点四、黄金分割1.定义：如图，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即AB AP AP PB =（此时线段AP 叫作线段PB 、AB 的比例中项），则P 点就是线段AB 的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．要点五、射影定理在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D ，∴△ABC∽△ACD∽△CBD（“角角”）∴BD AD CD ⋅=2；AB AD AC ⋅=2；AB BD BC ⋅=2（射影定理）；CD AB BC AC ⋅=⋅（等积）．【典型例题】类型一、相似三角形【:相似专题复习 394502：例1-2】1. 已知：如图，∠ABC =∠CDB =90°，AC =a ，BC =b ，当BD 与a 、b 之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？【答案与解析】∵AC =a ，BC =b ，∴AB=22a b -，①当△ABC ∽△BDC 时，BD BC AB AC=, 即22b a b BD a -=. ②当△ABC ∽△CDB 时，BD BC CB AC=， 即2b BD a=. 【总结升华】相似三角形中未明确对应点和对应边时，要注意分类讨论.举一反三 【变式】如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8,沿直线MN 对折，使A 、C 重合，直线MN 交AC 于O.（1）求证：△COM∽△CBA； （2）求线段OM 的长度.【答案】（1）证明： A 与C 关于直线MN 对称，∴AC ⊥MN ，∴∠COM=90°，在矩形ABCD 中，∠B=90°，∴∠COM=∠B ，又∠ACB=∠ACB ，∴△COM ∽△CBA ，（2）在Rt △CBA 中，AB=6，BC=8，∴AC=10 ，∴OC=5，△COM ∽△CBA ，∴OC OM=BC AB ，∴OM=154. 2. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN∥AB，MC ＝6，NC ＝23，则四边形MABN 的面积是（ ）A ．63B ．123C ．183D ．243【答案】C ； 【解析】由MC ＝6，NC ＝23，∠C＝90°得S △CMN =63，再由翻折前后△CMN ≌△DMN 得对应高相等；由MN∥AB 得△CMN ∽△CAB 且相似比为1:2，故两者的面积比为1:4，从而得S △CMN ：S 四边形MABN =1:3，故选C.【总结升华】本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点.知识点丰富；考查了学生综合运用知识来解决问题的能力.难度较大.类型二、相似三角形的综合应用3.（2015•上海）已知，如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 的延长线上，且OE=OB ，连接DE ．（1）求证：DE ⊥BE ；（2）如果OE ⊥CD ，求证：BD •CE=CD •DE ．【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO=BD ，∵OE=OB ，∴OE=BD ，NM D A CB∴∠BED=90°，∴DE⊥BE；（2）∵OE⊥CD∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵OB=OE，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠BED，∴△BDE∽△DCE，∴，∴BD•CE=CD•DE．【总结升华】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键．4.（2016•杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若，求的值．【思路点拨】（1）欲证明△ADF∽△ACG，由可知，只要证明∠ADF=∠C即可．（2）利用相似三角形的性质得到=，由此即可证明．【答案与解析】（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∴∠ADF=∠C，∵=，∴△ADF∽△ACG．（2）解：∵△ADF∽△ACG，∴=，又∵=，∴=，∴=1．【总结升华】本题考查相似三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识，记住相似三角形的判定方法是解决问题的关键，属于基础题中考常考题型．举一反三：【变式】（2015•湘潭）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．【答案与解析】证明：（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，∴∠C=∠AED=90°，∴∠DEB=∠C=90°，∵∠B=∠B，∴△BDE∽△BAC；（2）由勾股定理得，AB=10．由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，在Rt△BDE中，由勾股定理得，DE2+BE2=BD2，即CD2+42=（8﹣CD）2，解得：CD=3，在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，即32+62=AD2，解得：AD=．【: 相似专题复习 394502：例7】5. 如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式．【答案与解析】（1）∵MBC △是等边三角形∴60MB MC MBC MCB ===︒，∠∠∵M 是AD 中点，∴AM MD =，∵AD BC ∥，∴60AMB MBC ==︒∠∠，60DMC MCB ==︒∠∠，∴AMB DMC △≌△，∴AB DC =，∴梯形ABCD 是等腰梯形．（2）在等边MBC △中，4MB MC BC ===，60MBC MCB ==︒∠∠， 又∵60MPQ =︒∠，∴120BMP BPM BPM QPC +=+=︒∠∠∠∠，∴BMP QPC =∠∠，∴BMP CQP △∽△， ∴PC CQ BM BP=， ∵PC x MQ y ==， ∴44BP x QC y =-=-， ， ∴444x y x-=- ， ∴2144y x x =-+. 【总结升华】利用相似三角形得到的比例式，构建线段关系求得函数关系，关键是能够灵活运用所学知识来解题.举一反三【变式】如图所示，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D 从点B 出发，沿线段BA 运动到点A 为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，设动点D 运动的时间为x 秒，AE 的长为y ．(1)求出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当x 为何值时，△BDE 的面积S 有最大值，最大值为多少?【答案】(1)因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，所以.又因为AB=8，AC=6，，， 所以，即，自变量x 的取值范围为.(2). 所以当时，S 有最大值，且最大值为6.类型三、黄金分割 6.如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落到线段EA 上，折出点B 的新位置B ′，因而EB ′=EB ．类似地，在AB 上折出点B ″使AB ″=AB ′．这是B ″就是AB 的黄金分割点．请你证明这个结论．【答案与解析】设正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点，∴BE=1∴AE=225AB BE +=，又B ′E=BE=1，∴AB ′=AE-B ′E=5-1，∵AB″=AB′=5-1∴AB″：AB=(5-1):2∴点B″是线段AB的黄金分割点．【总结升华】本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键．举一反三【变式】如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证：（1）AD=BD=BC；（2）点D是线段AC的黄金分割点．【答案】（1）∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=72°，∠ADB=108°，∴∠ABD=36°，∴△ADB、△BDC是等腰三角形，∴AD=BD=BC．（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC：AC=CD：BC，∴BC2=AC•DC，∵BC=AD，∴AD2=AC•DC，∴点D是线段AC的黄金分割点．。
