备战2019高考数学(理科)大二轮复习课件：专题七概率与统计7.3

= ������ −
^
������������=43-6×4=19,故 y 关于 x 的线性回归方程为������=6x+19. (2)①当车流量为 8 万辆,即 x=8 时,������=6×8+19=67.故当车流 量为 8 万辆时,PM2.5 的浓度为 67 微克/立方米. ②根据题意得 6x+19≤100,即 x≤13.5,故要使该市某日空气 质量为优或良,应控制当天车流量在 13 万辆以内.
^ ^ ^ ∑ (������ ������ -������ )(������ ������ -������ )
������ =1 8
∑ (������ ������ -������ )
2
=
108.8 1.6
=68,
������ = ������ − ������ ������=563- 68×6.8= 100.6, 所以 y 关于 w 的线性回归方程为������=100.6+68w,因此 y 关于 x 的回归方程为������=100.6+ 68 ������ .
题型
复习策略 抓住考查 的主要题 目类型进 行训练,重 点是互斥 事件的概 率、 古典概 型、 几何概 型、 用样本 估计总体、 回归分析、 独立性检 验等.
核心归纳
仅供学习交流！！！
-22命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五
解： (1)由散点图可以判断 ,y=c+d ������ 适宜作为年销售量 y 关于 年宣传费 x 的回归方程类型. (2)令 w= ������ ,先建立 y 关于 w 的线性回归方程. 由于������ = i=1 8
7.2
概率、统计与统计案例

的平均数为=a+b,方差为 a2s2.
3.与线性回归方程有关的结论
^
^
^
(1)回归直线 = x+一定过样本点的中心(, ).
^
^
^
^
(2)相关系数 r 与线性回归方程随机变量的均值与方差有关的结论
(1)二项分布:若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).
(2)超几何分布:若 X~H(n,N,M),则


E(X)= (其中 为符合要求元素的频




-1
率),D(X)=n (1- )(1--1).
(3)均值、方差的性质:若随机变量X的均值为E(X),方差为D(X),Y=aX+b,则
随机变量Y的均值E(Y)=aE(X)+b,方差D(X)=a2D(X).
=1
第 i 组数据的频率.
n
(4)方差:s2=(x1-x)2p1+(x2-x)2p2+(x3-x)2p3+…+(xn-x)2pn= ∑ (xi-)2pi,其中 xi 是第 i
i=1
组数据的中点,pi 为第 i 组数据的频率.
2.与平均数、方差有关的结论
平均数、
方差的性质:若 x1,x2,…,xn 的平均数为,方差为 s2,yn=axn+b,则 y1,y2,…,yn
下篇
七、概率与统计
1.与频率分布直方图(或分布表)中数字特征有关的结论
(1)众数是频率最大的那组数据的中点.
(2)中位数是将分组从小到大排列,累积频率为0.5的那个数,此时把每组数
据看成均匀分布.

(3)平均数:=x1p1+x2p2+x3p3+…+xnpn= ∑ xipi,其中 xi 是第 i 组数据的中点,pi 为

紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共 10 种，其中取出的 2 支彩笔中含
有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共 4 种，所以所求概率 P＝140＝25.
故选 C．
7．(2018·江苏卷，6)某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生 3
去参加活动，则恰好选中 2 名女生的概率为___1_0____.
有 7＋23,11＋19,13＋17.所以随机选取两个数，和为 30 的概率为C3210＝115.
2．(2018·全国卷Ⅰ，10)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此 图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB， AC，△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整 个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 p1，p2，p3，则( A )
(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (Ⅱ)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查． (ⅰ)用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数 学期望； (ⅱ)设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”， 求事件 A 发生的概率．
• 预测2019年命题热点为：
• (1)古典概型、几何概型、条件概率的概率公式的 应用．
• (2)离散型随机变量的分布列、均值及方差的计 算．
核心知识整合
1．随机事件的概率 (1)随机事件的概率范围：__0_≤_P_(_A_)_≤_1____;必然事件的概率为__1____；不可能事 件的概率为___0___. (2)古典概型的概率 P(A)＝A中所基含本的事基件本总事数件数.

图72
(1)分别求出成绩在第3,4,5组的人数； (2) 现决定在笔试成绩较高的第 3,4,5 组中用分层抽样抽 取6人进行面试． ①已知甲和乙的成绩均在第 3组，求甲或乙进入面试的
概率；
②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，
设第4组中有X名学生被考官 D面试，求X的分布列和数学期
望．
【互动探究】 1 ． 2015年10 月18日至27 日，第一届全国青年运动会在 福州举行，某服务部需从大学生中招收志愿者，被招收的志 愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分 组 ： 第 1 组 [75,80) ， 第 2 组 [80,85) ， 第 3 组 [85,90) ， 第 4 组 [90,95)，第5组[95,100]，得到的频率分布直方图如图72：
解：(1)甲、乙两位选手成绩的茎叶图如图 73：
图 73 (2)因为 x 甲＝ x 乙＝8.5， 又 s2 甲＝0.27，
2 2 s2 ＝ 0.405 ，得 s < s 乙 甲 乙，所以选派甲合适．
1 (3)依题意，得乙不低于 8.5 分的频率为2，X 的可能取值为 1 0,1,2,3.则 X～B3，2， 13 13－k k 1k k ∴P(X＝k)＝C3 2 1－2 ＝C32 ，k＝0,1,2,3. 所以 X 的分布列为 0 1 2 3 X 1 3 3 1 P 8 8 8 8 1 3 ∴E(X)＝np＝3×2＝2， 1 1 3 D(X)＝np(1－p)＝3×2×1－2＝4.
②X 的所有可能取值为 0,1,2，
1 1 C2 2 C 8 4 2C4 P(X＝0)＝C2＝5，P(X＝1)＝ C2 ＝15， 6 6
C2 1 2 P(X＝2)＝C2＝15. 6 所以 X 的分布列为 X P 0 2 5 1 8 15 2 1 15

2018全国I卷理20
以生产线为背景，加以合理的数学抽象和数据分析，考查学生解决 实际问题的能力。
用求导法 求最值
~
EY=180X0.1=18
近5年全国Ⅱ、 Ⅲ卷试题回顾及特点简析
针对近5年全国Ⅱ Ⅲ卷试题的特点， 分析其主要涉及以下5大知识和思想：
1.线性回归直线 2.茎叶图 3.独立性检验 4.条件概率 5.讨论的思想
2015全国I卷文理19
2015全国I卷文理19
换元
年利率Z : z 0. 2 y x y d x c
二次函数 求最值
2016全国I卷理19
2016 课标卷 1：某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件, 在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足 再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：
命题规律Ⅱ 、Ⅲ 卷（文科）
考查知识点
2018 Ⅱ 18 2018 Ⅲ 18 回归直线方程，并进行预报值分析 茎叶图并进行分析
2017 Ⅱ 19 2017 Ⅲ 18
2016 Ⅱ 18 2016 Ⅲ 18 2015 Ⅱ 18 2014 Ⅱ 19
频率分布直方图求概率，独立性检验 根据表格进行求概率
根据表格进行求概率 根据给定的频率对应表，求平均数 （这个表格就是理科学习的分布列） 画频率分布直方图，求平均数。根据分布图进行求概率 根据茎叶图求中位数，根据茎叶图求概率，分析茎叶图
近五年对比Ⅰ卷和Ⅱ Ⅲ卷的高考题， 从知识点的考查来看，他们各自的风 格相对比较稳定，特别是Ⅱ Ⅲ卷。我们不 难发现，Ⅱ Ⅲ卷较I卷难度要小一些。 1. Ⅰ卷对正态分布，二项分布考查非常 频繁 。 2.Ⅱ 、Ⅲ卷中常考的独立性检验，茎叶 图，条件概率，在I卷中从来没有考查过。 3 .Ⅱ 、Ⅲ卷中从来没有考查过超几何分 布，二项分布，正态分布.

命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
对点训练2安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项
工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )
A.12种
B.18种 C.24种D.36种
关闭
先把
4
项工作分成
3
份有C
2 4
C 21
C
A
2 2
1 1
种情况,再把
3
名志愿者排列有A33
种D 情况,故不同的安排方式共有C42AC2122C
数原理?
关闭
解：例以1点如S图,A,,将B,C一,D个的四顺棱序锥分步的染每色一. 个顶点染上一种颜色,并使同一
条第棱一步上,的点S两染端色异,有色5种.如方果法只; 有5种颜色可供使用,求不同的染色方法
总第数二步. ,点A染色,与S在同一条棱上,有4种方法;
第三步,点B染色,与S,A分别在同一条棱上,有3种方法;
016x2 016(x∈R),则���2���1
������ C5������ ������5-32������.
+
令 5-32������=2,可得 r=2.
所以
������-
1 2 ������
5
的展开式中的 x2 的系数为
-
1 2
2
C52
= 52.
(2)令 x=0,得 a0=(1-0)2 016=1.
规律总结
拓展演练
3.应用通项公式要注意五点: (1)它表示二项展开式的任意项,只要n与r确定,该项就随之确定; (2)Tr+1是展开式中的第(r+1)项,而不是第r项; (3)公式中a,b的指数和为n,且a,b不能随便颠倒位置; (4)要将通项中的系数和字母分离开,以便于解决问题; (5)对二项式(a-b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题. 4.二项展开式系数最大的项的求法: 求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数 法 用,设���������展��� ≥开������式������-1中, 解各出项r系,即数得分展别开为式A系1,A数2,最…大,An的+1,项且.第r项系数最大,应

2．正态分布 X～N(μ，σ2)的三个常用数据 (1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826； (2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544； (3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.
[解题指导]
[解]
(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ， μ＋3σ)之内的概率
为 0.9974， 从而零件的尺寸在(μ－3σ， μ＋3σ)之外的概率为 0.0026， 故 X～B(16,0.0026)． 因此 P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408. X 的数学期望为 E(X)＝16×0.0026＝0.0416.
[对点训练]
2 1．(2018· 兰州检测)设 X～N(μ1，σ2 1)，Y～N(μ2，σ2)，这两个
正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是(
)
A． P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C．对任意正数 t，P(X≥t)≥P(Y≥t) D．对任意正数 t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
3．方差公式 1 － － － s ＝ [(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2] n
2
[对点训练] 1．(2018· 安徽皖南八校联考)某校为了解 1000 名高一新生的 健康状况， 用系统抽样法(按等距的规则)抽取 40 名同学进行检查， 将学生从 1～1000 进行编号，现已知第 18 组抽取的号码为 443， 则第一组用简单随机抽样抽取的号码为( A．16 B．17 C．18 D．19 )
[答案]
C
2． 某校组织了“2017 年第 15 届希望杯数学竞赛(第一试)”， 已知此次选拔赛的数学成绩 X 服从正态分布 N(72,121)(单位： 分)， 此次考生共有 500 人，估计数学成绩在 72 分到 83 分之间的人数 约为(参数数据：P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝ 0.9544.)( A．238 ) B．170 C．340 D．477

因此 P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408. X 的数学期望为 E(X)＝16×0.0026＝0.0416.
(2)(ⅰ)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ) 之外的概率只有 0.0026，一天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸在 (μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有 0.0408，发生的概率很 小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天 的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查， 可见上述监控生产过程的方法是合理的．
[解析] 由题图可知 μ1<0<μ2，σ1<σ2， ∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故 A 错； P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故 B 错； 当 t 为任意正数时，由题图可知 P(X≤t)≥P(Y≤t)，而 P(X≤t) ＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)， ∴P(X≥t)≤P(Y≥t)， 故 C 正确，D 错．
[解析] 第一组用简单随机抽样抽取的号码为 443－(18－ 1)×104000＝18.故选 C.
[答案] C
2．(2018·全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经 济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济 收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构 成比例，得到如下饼图：
16
xi2＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134，
i＝1
剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据 9.22，剩下数据的样本方差 为
115×(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008， 因此 σ 的布应关注的两点 (1) 利 用 P(μ － σ<X≤μ ＋ σ) ， P(μ － 2σ<X≤μ ＋2σ) ， P(μ － 3σ<X≤μ＋3σ)的值直接求解． (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间的面积为 1 来求解．

C. x 甲> x 乙，m 甲<m 乙
D. x 甲< x 乙，m 甲<m 乙
押题依据 从茎叶图中提取数字的特征(如平均数、众数、中位数等)是高
考命题的热点题型.
123
押题依据 解析 答案
2.某校为了解高三学生寒假期间的学习情况，抽查了100名学生，统计他 们每天的平均学习时间，绘成的频率分布直方图如图所示，则这100名学 生中学习时间在6至10小时之间的人数为__5_8__.
(2)某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,700,700， 为了解不同年级学生的眼睛近视情况，现用分层抽样的方法抽取了容 量为100的样本，则高三年级应抽取的学生人数为__3_5___. 解析 由题意结合抽样比可得，高三年级应抽取的学生人数为 100×600＋770000＋700＝35.
附：b^ ＝i＝1 n
＝i＝1n
，a^ ＝ y －b^ x .
∑ xi－ x 2
∑x2i －n x 2
i＝1
i＝1
由上表可得线性回归方程y^＝b^ x＋a^ ，据此模型预测广告费用为 8 万元时
的销售额是
√A.59.5万元
C.56万元
B.52.5万元 D.63.5万元
思维升华 解析 答案
(2)(2017·四川成都九校联考)某学校为了解该校学生对于某项运动的爱 好是否与性别有关，通过随机抽查110名学生，得到如下2×2的列联表：
√C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
思维升华 解析 答案
跟踪演练3 (1)(2017届德州二模)某产品的广告费用x(万元)与销售额 y(万元)的统计数据如表：

(3)二项式定理：
0 n 1 n－1 1 k n－k k n n * C a ＋ C a b ＋…＋ C a b ＋…＋ C b ( n ∈ N ) n n n n ①定理内容： (a＋b) ＝________________________________________________ ；
n
k n k k C b na ②通项公式：Tk＋1＝_________________.
(2)二项式系数的有关性质： ①二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即
n 1 3 5 0 2 4 2 C1 ＋ C ＋ C ＋…＝ C ＋ C ＋ C ＋…＝ _______ ； n n n n n n
－
②若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 则 f(x)展开式中的各项系数和为 f(1)， f1＋f－1 奇数项系数和为 a0＋a2＋a4＋…＝ ， 2 f1－ f－1
排列、组合的应用
二项式定理的应用
2．与概率问题相结合考查
1.考查二项展开式的指定项或指定项的系数 2．求二项式系数和二项展开式的各项系数和
• • • • • •
备考策略 本部分内容在备考时应注意以下几个方面： (1)准确把握两个计数原理的区别及应用条件． (2)明确解决排列、组合应用题应遵守的原则及常用方法． (3)牢记排列数公式和组合数公式． (4)掌握二项式定理及相关概念；掌握由通项公式求常数项 、指定项系数的方法；会根据赋值法求二项式特定系数和 ． • 预测2019年命题热点为： • (1)以实际生活为背景的排列、组合问题．
2 2 C1 · C · A 3 4 2＝36(种)，或列式为
可得安排方式为 故选 D．
4×3 1 2 1 C3· C4· C2＝3× ×2＝36(种)． 2

热点二 排列组合
[命题方向] 1．排列组合的简单应用.2.排列组合的综合应用．
山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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高考专题复习 ·数学（理）
析热点 高考 聚集
研思想 方法 提升
课时 跟踪
1．(2014年重庆高考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品
训练
类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是
提升
课 时 讨论．其一：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1，此时，从 x1，x2，x3，x4，x5
跟踪
训 练 中任取一个让其等于 1 或－1，其余等于 0，于是有 C15C12＝10 种情况；
其二：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝2，此时，从 x1，x2，x3，x4，x5 中任取两
()
A．72
B．120
C．144
D．168
山
东
解析：依题意，先仅考虑 3 个歌舞类节目互不相邻的排法种数为 A33 金
太 A34＝144，其中 3 个歌舞类节目互不相邻但 2 个小品类节目相邻的排法种 阳
书 数为 A22A22A33＝24，因此满足题意的排法种数为 144－24＝120，选 B. 业
C．145 D．146
解析：分四种情况进行讨论：
(1)a3 是 0，a1 和 a2 有 C25种排法，a4 和 a5 有 C25种排法，则五位自然
山 东
数中“凹数”有 C25C25＝100 个；(2)a3 是 1，有 C24C24＝36 个；(3)a3 是 2，
金 太
有 C23C23＝9 个；(4)a3 是 3，有 C22C22＝1 个．由分类加法计数原理知五位

高频考点
-6-
命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
解：(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:
通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地 区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地 区用户满意度评分比较分散.
高频考点
-7-
命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因
此只需考虑200≤n≤500. 当300≤n≤500时, 若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;
若最高气温位于区间[20,25),
则Y=6×300+2(n-300)-4n=1 200-2n;
若最高气温低于20,
则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此E(Y)=2n×0.4+(1 200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=6400.4n.
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
高频考点
-4-
命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎 叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具 体值,给出结论即可);
记“甲以 4 比 1 获胜”为事件 A,则 P(A)=C43
1 3 · 1 4-3 ·1 = 1.
2
2
28
高频考点
-20-
命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四

基本事件总数为 25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为 10， ∴所求概率 P＝1205＝25.故选 D．
• 4．(2017·全国卷Ⅰ，2)如图，正方形ABCD内的图
形来自中国古代的太极图．正方形内切圆的黑色 部分和白色部分关于正方形的中心B 成中心对 称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部 分的概率是( )
x＋y－1≤0， (2)(2018·衡阳二模)若不等式组x－y＋1≥0，
y＋12≥0
表示区域为 Ω，不等式(x－12)2
＋y2≤14表示的区域为 Γ，向 Ω 区域均匀随机撒 360 颗芝麻，则落在区域 Γ 中芝麻数
约为( A )
A．114
B．10
C．150
D．50
[解析] 作出平面区域 Ω 如图：则区域 Ω 的面积为 S△ABC＝12×3×32＝94， 区域 Γ 表示以 D(12，0)为圆心，以12为半径的圆， 则区域 Ω 和 Γ 的公共面积为 S′＝34π×(12)2＋12×(12)2＝31π6＋18. 所以芝麻落入区域 Γ 的概率为SS△′ABC＝3π3＋6 2. 所以落在区域 Γ 中芝麻数约为 360×3π3＋6 2＝ 30π＋20≈114.
510＝2 000，
获得好评的第四类电影部数为 200×0.25＝50，
所以所求概率为2 50000＝0.025.
(2)方法一：记“随机选取的 1 部电影没有获得好评”为事件 A， 由表知，没有获得好评的电影部数为 140×(1－0.4)＋50×(1－0.2)＋300×(1－ 0.15)＋200×(1－0.25)＋800×(1－0.2)＋510×(1－0.1)＝1 628， 所以 P(A)＝12 602080＝0.814， 即所求概率为 0.814. 方法二：记“随机选取的 1 部电影获得好评”为事件 A，则“随机选取的 1 部 电影没有获得好评”为事件 A ， 由表知，获得好评的电影部数为 140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋ 800×0.2＋510×0.1＝372，