人大微积分课件10-4对面积的曲面积分

2 2 2 D xy
2 3a .
4
2 2

D xy
2.若曲面

： ( x , z )
则 f ( x , y , z ) dS

D xz
f [ x , y ( x , z ), z ] 1 y x y dxdz ; z
2 2
3. 若曲面 Σ ： x ( y , z ) x
则 f ( x , y , z ) dS


f ( x , y, z )dS f ( x , y, z )dS f ( x , y, z )dS .
1 2
三、计算法
按照曲面的不同情况分为以下三种：
1. 若曲面 : z z( x , y )
则


f ( x , y , z ) dS
f [ x , y , z ( x , y )] 1 z x z y dxdy ;
| xyz | dS 4 xyz dS

1
2 2 2 2
4 xy ( x y ) 1 ( 2 x ) ( 2 y ) dxdy
D xy
{( x , y ) | x 2 y 2 1 , x 0 , y 0 } 其 中 D xy
利用极坐标
第四节 对面积的曲面积分
一、概念的引入
二、对面积的曲面积分的定义 三、计算法
一、概念的引入
实例
若曲面 是光滑的, 它的面密度为连
续 函 数 ( x , y, z), 求 它 的 质 量 .
所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 有切平面,且当点在 曲面上连续移动时, 切平面也连续转动.
二、对面积的曲面积分的定义
n i1
并 作 和 f ( i , i , i ) S i , 如 果 当 各 小 块 曲 面 的直径的最大值 0 时, 这和式的极限存在, 则 称 此 极 限 为 函 数 f ( x , y , z ) 在 曲 面 上 对 面 积 的曲面积分或第一类曲面积分.
记为
2 2
显然
xdS xdxdy 0 ,
1 D1

2
xdS

D1
x 1 1dxdy 0 ,
讨 论 3 时 , 将 投 影 域 选 在 xoz 上 .
（注意： y 1 x 分为左、右两片）
2
（左右两片投影相同）

3
xdS
31
2

xdS


f ( x , y , z ) dS .
即


f ( x , y , z ) dS lim
0
n
f ( i , i , i ) S i
叫积分曲面 .
i1
其中 f ( x , y , z )叫被积函数，
2.对面积的曲面积分的性质
若 可分为分片光滑的曲面 1及 2 , 则
z
关于 z 轴对称，
被 积 函 数 | xyz | 关 于
xoz 、 yoz 坐 标 面 对 称
x
y
有

4
1
成 立 ，( 1 为 第 一 卦 限 部 分 曲 面 )
dS
1 z x
2
z y dxdy
2 2
2

原式
1 ( 2 x ) ( 2 y ) dxdy
2
2 0
2 ( 5 x ) dxdy
D xy

d ( 5 r cos )rdr
0
5
125
2 .
例 2
计 算 | xyz | dS ,

其中 为 抛物面 z x y （ 0 z 1） .
2 2
解 依对称性知：
抛物面 z x y
2 2
1： x y z a , 即 z a x y
dS 1 z x z y dxdy
y
2 2
2 2

2
3 dxdy
2 2
( x

2
z ) dS 8 ( x y z ) dS
1
8 [ x y ( a x y ) ] 3 dxdy
32
2

xdS
2
D xz
x 1 y x y dxdz z
xoz
2 x 1
D xz
x
2 2
1 x
dxLeabharlann dxdz 21 1
x 1 x
2

x2
dz
0
,



xdS 0 0 .
2 2 2 例4 计 算 ( x y z ) dS , 其 中 为 内 接 于 球 面
x
2
y
2
z
2
a 的 八 面 体 | x | | y | | z | a 表 面 .
2 2 2
2
解
被积函数 f ( x, y, z) x y z ,
关于坐标面、原点均对称 ,
积分曲面 也具有对称性 ,
故 原 积 分

8
1
,
(其 中 1 表 示 第 一 卦 限 部 分 曲 面 )

x r cos t ,
2 2
y r sin t ,
4 dt
2 0

2

1
r cos t sin t r
1 4 r rdr
2
0
2 sin 2 tdt
0

1
r
5
1 4 r dr
2
0
令 u 1 4r
2

1
4
5
u(
u1 4
1
) du
2
125
51 420
1.定义 设 曲 面 是 光 滑 的 , 函 数 f ( x , y , z ) 在
上 有 界 , 把 分 成n 小 块 S i （ S i 同 时 也 表 示 第 i 小 块 曲 面 的 面 积 ） , 设 点 ( i , i , i ) 为 S i 上 任 意 取 定 的 点 , 作 乘 积 f ( i , i , i ) S i ,
投影域 ：
D xy {( x , y ) | x y 25 }
2 2
dS
1 z x
2
z y dxdy
2
2

故

1 0 ( 1 ) dxdy
y z ) ds
2dxdy ,
( x

D xy
2 ( x y 5 y ) dxdy
.
例3
计算


xdS , 其 中 是 圆 柱 面 x y 1 ,
2 2
平面 z x 2及z 0 所围成的空间立体的表面.
解




1


2


3
其中1： z 0 ,
2： z x 2 ,
投 影 域 D1 ： x y 1
2 2
3： x y 1.


D yz
f [ x ( y , z ), y , z ] 1 x y x dydz . z
2 2
例1
计 算 ( x y z ) ds , 其 中 为 平 面

y z 5被柱面 x
2
y
2
25 所 截 得 的 部 分 .
解 积分曲面
：z 5 y ,