2018年中考数学备考专题复习：全等三角形(解析版)

2021中考数学试题分类汇编：考点全等三角形一．选择题〔共9小题〕1．〔2021•安顺〕如图，点D，E分别在线段，上，与相交于O点，，现添加以下的哪个条件仍不能判定△≌△〔〕A．∠∠C B．C．D．【分析】欲使△≌△，，可根据全等三角形判定定理、、添加条件，逐一证明即可．【解答】解：∵，∠A为公共角，A、如添加∠∠C，利用即可证明△≌△；B、如添，利用即可证明△≌△；C、如添，等量关系可得，利用即可证明△≌△；D、如添，因为，不能证明△≌△，所以此选项不能作为添加的条件．应选：D．2．〔2021•黔南州〕以下各图中a、b、c为三角形的边长，那么甲、乙、丙三个三角形和左侧△全等的是〔〕A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△全等，甲与△不全等．【解答】解：乙和△全等；理由如下：在△和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：，所以乙和△全等；在△和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：，所以丙和△全等；不能判定甲与△全等；应选：B．3．〔2021•河北〕：如图，点P在线段外，且，求证：点P在线段的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，那么作法不正确的选项是〔〕A．作∠的平分线交于点CB．过点P作⊥于点C且C．取中点C，连接D．过点P作⊥，垂足为C【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论．【解答】解：A、利用判断出△≌△，∴，∠∠90°，∴点P在线段的垂直平分线上，符合题意；C、利用判断出△≌△，∴，∠∠90°，∴点P在线段的垂直平分线上，符合题意；D、利用判断出△≌△，∴，∴点P在线段的垂直平分线上，符合题意，B、过线段外一点作线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意；应选：B．4．〔2021•南京〕如图，⊥，且．E、F是上两点，⊥，⊥．假设，，，那么的长为〔〕A．B．C．a﹣D．﹣c【分析】只要证明△≌△，可得，，推出〔b﹣c〕﹣c；【解答】解：∵⊥，⊥，⊥，∴∠∠90°，∠∠90°，∠∠90°，∴∠∠C，∵，∴△≌△，∴，，∵，∴〔b﹣c〕﹣c，应选：D．5．〔2021•临沂〕如图，∠90°，．⊥，⊥，垂足分别是点D、E，3，1，那么的长是〔〕A．B．2 C．2D．【分析】根据条件可以得出∠∠90°，进而得出△≌△，就可以得出，就可以求出的值．【解答】解：∵⊥，⊥，∴∠∠90°，∴∠∠90°．∵∠∠90°，∴∠∠．在△和△中，，∴△≌△〔〕，∴1，3．∴﹣3﹣1=2应选：B．6．〔2021•台湾〕如图，五边形中有一正三角形，假设，，∠115°，那么∠的度数为何？〔〕A．115 B．120 C．125 D．130【分析】根据全等三角形的判定和性质得出△与△全等，进而得出∠∠E，利用多边形的内角和解答即可．【解答】解：∵正三角形，∴，∠∠∠60°，∵，，∴△≌△，∴∠∠115°，∠∠，∠∠，∴∠∠∠∠180°﹣115°=65°，∴∠∠∠∠65°+60°=125°，应选：C．7．〔2021•成都〕如图，∠∠，添加以下条件，不能判定△≌△的是〔〕A．∠∠D B．∠∠C．D．【分析】全等三角形的判定方法有，，，，根据定理逐个判断即可．【解答】解：A、∠∠D，∠∠，，符合，即能推出△≌△，故本选项错误；B、∠∠，，∠∠，符合，即能推出△≌△，故本选项错误；C、∠∠，，，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△≌△，故本选项正确；D、，∠∠，，符合，即能推出△≌△，故本选项错误；应选：C．8．〔2021•黑龙江〕如图，四边形中，，5，∠∠90°，那么四边形的面积为〔〕A．15 B．12.5 C．14.5 D．17【分析】过A作⊥，交的延长线于E，判定△≌△，即可得到△是等腰直角三角形，四边形的面积与△的面积相等，根据S×5×5=12.5，即可得出结论．△【解答】解：如图，过A作⊥，交的延长线于E，∵∠∠90°，∴∠∠180°=∠∠，∴∠∠，又∵∠∠90°，∴∠∠，又∵，∴△≌△，∴，即△是等腰直角三角形，∴四边形的面积与△的面积相等，×5×5=12.5，∵S△∴四边形的面积为12.5，应选：B．9．〔2021•绵阳〕如图，△和△都是等腰直角三角形，，，△的顶点A在△的斜边上，假设，，那么两个三角形重叠局部的面积为〔〕A．B．3C．D．3【分析】如图设交于O，连接，作⊥于M，⊥于N．想方法求出△的面积．再求出与的比值即可解决问题；【解答】解：如图设交于O，连接，作⊥于M，⊥于N．∵∠∠90°，∴∠∠，∵，，∴△≌△，∴∠∠45°，，∵∠45°，∴∠∠∠90°，在△中，2，∴2，×2×2=2，∴S△∵平分∠，⊥于M，⊥于N，∴，∵，2×=3﹣，∴S△应选：D．二．填空题〔共4小题〕10．〔2021•金华〕如图，△的两条高，相交于点F，请添加一个条件，使得△≌△〔不添加其他字母及辅助线〕，你添加的条件是．【分析】添加，根据三角形高的定义可得∠∠90°，再证明∠∠，然后再添加可利用判定△≌△．【解答】解：添加，∵△的两条高，，∴∠∠90°，∴∠∠90°，∠∠90°，∴∠∠，在△和△中，∴△≌△〔〕，故答案为：．11．〔2021•衢州〕如图，在△和△中，点B，F，C，E在同一直线上，，∥，请添加一个条件，使△≌△，这个添加的条件可以是〔只需写一个，不添加辅助线〕．【分析】根据等式的性质可得，根据平行线的性质可得∠∠E，再添加可利用判定△≌△．【解答】解：添加，∵，∴，即，∵∥，∴∠∠E，在△和△中，∴△≌△〔〕，故答案为：．12．〔2021•绍兴〕等腰三角形中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，长为半径的圆上，且，那么∠的度数为30°或110°．【分析】分两种情形，利用全等三角形的性质即可解决问题；【解答】解：如图，当点P在直线的右侧时．连接．∵，∠40°，∴∠∠70°，∵，，，∴△≌△，∴∠∠40°，∴∠∠﹣∠30°，当点P′在的左侧时，同法可得∠′=40°，∴∠P′40°+70°=110°，故答案为30°或110°．13．〔2021•随州〕如图，在四边形中，5，且＞，8．给出以下判断：①垂直平分；②四边形的面积•；③顺次连接四边形的四边中点得到的四边形可能是正方形；④当A，B，C，D四点在同一个圆上时，该圆的半径为；⑤将△沿直线对折，点A落在点E处，连接并延长交于点F，当⊥时，点F到直线的距离为．其中正确的选项是①③④．〔写出所有正确判断的序号〕【分析】依据5，，可得是线段的垂直平分线，故①正确；依据四边形的面积，故②错误；依据，可得顺次连接四边形的四边中点得到的四边形是正方形，故③正确；当A，B，C，D四点在同一个圆上时，设该圆的半径为r，那么r2=〔r ﹣3〕2+42，得，故④正确；连接，设点F到直线的距离为h，由折叠可得，四边形是菱形，5，4，依据S△××××，可得，进而得出，再根据S△梯形﹣S△，即可得到，故⑤错误．【解答】解：∵在四边形中，5，，∴是线段的垂直平分线，故①正确；四边形的面积，故②错误；当时，顺次连接四边形的四边中点得到的四边形是正方形，故③正确；当A，B，C，D四点在同一个圆上时，设该圆的半径为r，那么r2=〔r﹣3〕2+42，得，故④正确；将△沿直线对折，点A落在点E处，连接并延长交于点F，如下图，连接，设点F到直线的距离为h，由折叠可得，四边形是菱形，5，4，∴3，∵S△××××，∴，∵⊥，∥，∴⊥，，∵S△梯形﹣S△，∴×5〔5+5+〕×﹣×5×，解得，故⑤错误；故答案为：①③④．三．解答题〔共23小题〕14．〔2021•柳州〕如图，和相交于点C，∠∠E，．求证：△≌△．【分析】依据两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等进展判断．【解答】证明：∵在△和△中，，∴△≌△〔〕．15．〔2021•云南〕如图，平分∠，．求证：△≌△．【分析】根据角平分线的定义得到∠∠，利用定理判断即可．【解答】证明：∵平分∠，∴∠∠，在△和△中，，∴△≌△．16．〔2021•泸州〕如图，，，．求证：∠∠C．【分析】欲证明∠∠C，只要证明△≌△〔〕即可；【解答】证明：∵，∴，在△和△中，，∴△≌△〔〕，∴∠∠F．17．〔2021•衡阳〕如图，线段，相交于点E，，．〔1〕求证：△≌△；〔2〕当5时，求的长．【分析】〔1〕根据，，∠和∠是对顶角，利用证明△≌△即可．〔2〕根据全等三角形的性质即可解决问题．【解答】〔1〕证明：在△和△中，，∴△≌△〔〕．〔2〕解：∵△≌△，∴，18．〔2021•通辽〕如图，△中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接．〔1〕求证：△≌△；〔2〕假设，试判断四边形的形状，并证明你的结论．【分析】〔1〕由∥得∠∠，继而结合∠∠、即可判定全等；〔2〕根据，且是边上的中线可得∠90°，由四边形是矩形可得答案．【解答】证明：〔1〕∵E是的中点，∴，∵∥，∴∠∠，∠∠，∴△≌△〔〕；〔2〕连接，∵∥，，∴四边形是平行四边形，∵△≌△，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴四边形是矩形．19．〔2021•泰州〕如图，∠∠90°，，、相交于点O．求证：．【分析】因为∠∠90°，，，知△≌△〔〕，所以，证明△与△全等，所以有．【解答】证明：在△和△中，∴△≌△〔〕，∴∠∠，∴．20．〔2021•南充〕如图，，，∠∠．求证：∠∠E．得到∠∠E．【解答】解：∵∠∠，∴∠﹣∠∠﹣∠，即∠∠，在△和△中，∵，∴△≌△〔〕，∴∠∠E．21．〔2021•恩施州〕如图，点B、F、C、E在一条直线上，，∥，∥，交于O．求证：与互相平分．【分析】连接，，判定△≌△〔〕，可得，依据∥，即可得出四边形是平行四边形，进而得到与互相平分．【解答】证明：如图，连接，，∵，∴，又∵∥，∥，∴∠∠，∠∠，在△和△中，，∴△≌△〔〕，∴，又∵∥，∴四边形是平行四边形，∴与互相平分．22．〔2021•哈尔滨〕：在四边形中，对角线、相交于点E ，且⊥，作⊥，垂足为点F ，与交于点C ，∠∠．〔1〕如图1，求证：；〔2〕如图2，是△的中线，假设2，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△面积的2倍．【分析】〔1〕由⊥、⊥知∠∠∠∠，根据∠∠∠得出∠∠即可得； 〔2〕设，先得出22a 、、、2a ，据此知S △2a 2=2S △，证△≌△得2a ，再分别求出S △、S △、S △，从而得出答案．【解答】解：〔1〕∵∠∠，∠∠，∴∠∠，∵⊥、⊥，∴∠∠∠∠，∴∠∠，∴；〔2〕设，那么22a，，∴S△••2a•2，∵是△的中线，∴，∵、⊥，∴2a，那么S△••〔22a〕•2a2=2S△；在△和△中，∵，∴△≌△〔〕，∴2a，∴S△••〔2a〕•22a2，S△••〔2a〕•22a2，S△••〔〕•22a2，综上，面积等于△面积的2倍的三角形有△、△、△、△．23．〔2021•武汉〕如图，点E、F在上，，，∠∠C，与交于点G，求证：．【分析】求出，根据推出△≌△，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．【解答】证明：∵，∴，∴，在△和△中∴△≌△〔〕，∴∠∠，∴．24．〔2021•咸宁〕：∠．求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'=∠〔1〕如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C、D；〔2〕如图2，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，长为半径间弧，交O′A′于点C′；〔3〕以点C′为圆心，长为半径画弧，与第2步中所而的弧交于点D′；〔4〕过点D′画射线O′B'，那么∠A'O'B'=∠．根据以上作图步骤，请你证明∠A'O'B′=∠．【分析】由根本作图得到′D′′C′，′D′，那么根据““可证明△≌△【解答】证明：由作法得′D′′C′，′D′，在△和△O′C′D′中，∴△≌△O′C′D′，∴∠∠C′O′D′，即∠A'O'B′=∠．25．〔2021•安顺〕如图，在△中，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接．〔1〕求证：；〔2〕假设⊥，试判断四边形的形状，并证明你的结论．【分析】〔1〕连接，由证明△≌△，得出，即可得出答案；〔2〕根据平行四边形的判定得出平行四边形，求出，根据菱形的判定得出即可；【解答】〔1〕证明：连接，∵E为的中点，∴，∵∥，∴∠∠，在△和△中，，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵为中线，∴，∴；〔2〕四边形的形状是菱形，理由如下：∵，∥，∴四边形是平行四边形，∵⊥，∴∠90°，∵为中线，∴，∴平行四边形是菱形；26．〔2021•广州〕如图，与相交于点E，，．求证：∠∠C．【解答】证明：在△和△中，，∴△≌△〔〕，∴∠∠C〔全等三角形对应角相等〕．27．〔2021•宜宾〕如图，∠1=∠2，∠∠D，求证：．【分析】由全等三角形的判定定理证得△≌△，那么其对应边相等．【解答】证明：如图，∵∠1=∠2，∴∠∠．在△与△中，，∴△≌△〔〕，∴．28．〔2021•铜仁市〕：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，，，，求证：∥．【分析】可证明△≌△，得出∠∠B，即可得出∥；【解答】证明：∵，∴，在△和△中，，∴△≌△〔〕∴∠∠B，∴∥；29．〔2021•温州〕如图，在四边形中，E是的中点，∥，∠∠B．〔1〕求证：△≌△．〔2〕当6时，求的长．【分析】〔1〕利用即可证明；〔2〕首先证明四边形是平行四边形，推出即可解决问题；【解答】〔1〕证明：∵∥，∴∠∠，∵E是中点，∴，∵∠∠B，∴△≌△．〔2〕解：∵△≌△，∴，∵∥，∴四边形是平行四边形，∴，∵6，∴3．30．〔2021•菏泽〕如图，∥，，．请写出与的数量关系，并证明你的结论．【分析】结论：．只要证明△≌△即可；【解答】解：结论：．理由：∵∥，∴∠∠B，∵，∴，∵，∴△≌△，∴．31．〔2021•苏州〕如图，点A，F，C，D在一条直线上，∥，，．求证：∥．【分析】由全等三角形的性质判定△≌△，那么对应角∠∠，故证得结论．【解答】证明：∵∥，∴∠∠D，∵，∴．∴在△与△中，，∴△≌△〔〕，∴∠∠，∴∥．32．〔2021•嘉兴〕：在△中，，D为的中点，⊥，⊥，垂足分别为点E，F，且．求证：△是等边三角形．【分析】只要证明△≌△，推出∠∠C，推出，又，即可推出；【解答】证明：∵⊥，⊥，垂足分别为点E，F，∴∠∠90°，∵D为的中点，∴，在△和△中，，∴△≌△，∴∠∠C，∴，∵，∴，∴△是等边三角形．33．〔2021•滨州〕，在△中，∠90°，，点D为的中点．〔1〕如图①，假设点E、F分别为、上的点，且⊥，求证：；〔2〕假设点E、F分别为、延长线上的点，且⊥，那么吗？请利用图②说明理由．【分析】〔1〕连接，根据等腰三角形的性质可得出、∠∠，根据同角的余角相等可得出∠∠，由此即可证出△≌△〔〕，再根据全等三角形的性质即可证出；〔2〕连接，根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠∠、，根据同角的余角相等可得出∠∠，由此即可证出△≌△〔〕，再根据全等三角形的性质即可得出．【解答】〔1〕证明：连接，如图①所示．∵∠90°，，∴△为等腰直角三角形，∠45°．∵点D为的中点，∴，∠45°．∵∠∠90°，∠∠90°，∴∠∠．在△和△中，，∴△≌△〔〕，∴；〔2〕，证明如下：连接，如图②所示．∵∠∠45°，∴∠∠135°．∵∠∠90°，∠∠90°，∴∠∠．在△和△中，，∴△≌△〔〕，∴．34．〔2021•怀化〕：如图，点A．F，E．C在同一直线上，∥，，∠∠D．〔1〕求证：△≌△；〔2〕假设点E，G分别为线段，的中点，连接，且5，求的长．【分析】〔1〕根据平行线的性质得出∠∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可；〔2〕利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可．【解答】证明：〔1〕∵∥，∴∠∠C，在△与△中，∴△≌△〔〕；〔2〕∵点E，G分别为线段，的中点，∴，∵5，∴10，∵△≌△，∴10．35．〔2021•娄底〕如图，四边形中，对角线、相交于点O，且，，过O点作⊥，分别交、于点E、F．〔1〕求证：△≌△；〔2〕判断四边形的形状，并说明理由．【分析】〔1〕首先证明四边形是平行四边形，再利用证明△≌△；〔2〕结论：四边形是菱形．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；【解答】〔1〕证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∴∥，∴∠∠，在△和△中，，∴△≌△．〔2〕解：结论：四边形是菱形，∵△≌△，∴，∵，∴，∵∥，∴四边形是平行四边形，∵，⊥，∴，∴四边形是菱形．36．〔2021•桂林〕如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，．〔1〕求证：△≌；〔2〕假设∠55°，∠88°，求∠F的度数．【分析】〔1〕求出，根据推出△≌△．〔2〕由〔1〕中全等三角形的性质得到：∠∠，进而得出结论即可．【解答】证明：〔1〕∵，，且∴在△和△中，∴△≌△〔〕〔2〕由〔1〕可知，∠∠∵∠55°，∠88°∴∠180°﹣〔∠∠B〕=180°﹣〔55°+88°〕=37°∴∠∠37°。

全等三角形一.填空题1. （2018·湖北荆州·3分）已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC．射线OC即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是．【解答】解：由作法①知，OM=ON，由作法②知，CM=CN，∵OC=OC，∴△OCM≌△OCN（SSS），故答案为：SSS．二.解答题1.（2018·云南省昆明·6分）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2．求证：BC=DE．【分析】根据ASA证明△ADE≌△ABC；【解答】证明：（1）∵∠1=∠2，∵∠DAC+∠1=∠2+∠DAC∴∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ADE≌△ABC（ASA）∴BC=DE，【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等2.（2018·云南省·6分）如图，已知AC平分∠BAD，AB=AD．求证：△ABC≌△ADC．【分析】根据角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC，利用SAS定理判断即可．【解答】证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC．【点评】本题考查的是全等三角形的判定、角平分线的定义，掌握三角形全等的SAS定理是解题的关键．3.（2018·浙江省台州·12分）如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD=CE．（1）如图1，求证：∠CAE=∠CBD；（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC=2，CE=1，求△CGF的面积．【分析】（1）直接判断出△ACE≌△BCD即可得出结论；（2）先判断出∠BCF=∠CBF，进而得出∠BCF=∠CAE，即可得出结论；（3）先求出BD=3，进而求出CF=，同理：EG=，再利用等面积法求出ME，进而求出GM，最后用面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD，∴∠CAE=∠CBD；（2）如图2，在Rt△BCD中，点F是BD的中点，∴CF=BF，∴∠BCF=∠CBF，由（1）知，∠CAE=∠CBD，∴∠BCF=∠CAE，∴∠CAE+∠ACF=∠BCF+∠ACF=∠BAC=90°，∴∠AMC=90°，∴AE⊥CF；（3）如图3，∵AC=2，∴BC=AC=2，∵CE=1，∴CD=CE=1，在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD==3，∵点F是BD中点，∴CF=DF=BD=，同理：EG=AE=，连接EF，过点F作FH⊥BC，∵∠ACB=90°，点F是BD的中点，∴FH=CD=，∴S△CEF=CE•FH=×1×=，由（2）知，AE⊥CF，∴S△CEF=CF•ME=×ME=ME，∴ME=，∴ME=，∴GM=EG﹣ME=﹣=，∴S△CFG=CF•GM=××=．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，勾股定理，作出辅助线求出△CFG的边CF上的是解本题的关键．4. （2018•呼和浩特•6分）如图，已知A.F、C.D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．（1）证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D，∵AF=CD，∴AF+FC=CD+FC，即AC=DF，∵AB=DE，∴△ABC≌△DEF．（2）如图，连接AB交AD于O．在Rt△EFD中，∵∠DEF=90°，EF=3，DE=4，∴DF==5，∵四边形EFBC是菱形，∴BE⊥CF，'∴EO==，∴OF=OC==，∴CF=，∴AF=CD=DF﹣FC=5﹣=．5. （2018•乐山•9分）如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC=BD．证明：∵∠ABD+∠3=180°∠ABC+∠4=180°，且∠3=∠4，∴∠ABD=∠ABC在△ADB和△ACB中，，∴△ADB≌△ACB（ASA），∴BD=CD．6. （2018•广安•6分）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB=EF．【分析】根据AAS证明△ABM≌△EFA，可得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=90°，AD∥BC，（2分）∴∠EAF=∠BMA，∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°=∠B，（4分）在△ABM和△EFA中，∵，∴△ABM≌△EFA（AAS），（5分）∴AB=EF．（6分）【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定是关键．7.（2018·辽宁大连·9分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E.F在AC上，且AF=CE．求证：BE=DF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OD=OB．∵AE=CF，∴OE=OF．在△BEO和△DFO中，，∴△BEO≌△DFO，∴BE=DF．8.（2018·江苏镇江·6分）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=75 °．【解答】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（SAS）；（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，∴∠BAE=∠CAF=30°，∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD，∴∠ADC==75°，故答案为：75．。

三角形综合题归类考点：利用角相等证明垂直1. 已知BE ，CF 是△ABC 的高，且BP=AC ，CQ=AB ，试确定AP 与AQ 的数量关系和位置关系2. 如图，在等腰R t△ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ．(1)求证：CD=BF ；(2)求证：AD ⊥CF ；(3)连接AF ，试判断△ACF 的形状.拓展巩固：如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．3. 如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接AE ，GC . （1）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使E 点落在BC 边上，如图2，连接AE 和GC .你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.BAC E FQPD A BCDEF图9ABCDE F4.如图1，ABC ∆的边BC 在直线l 上，,AC BC ⊥且,AC BC =EFP ∆的边FP 也 在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =（1） 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的 数量关系和位置关系；（2） 将EFP ∆沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ,连接 ,AP BQ .猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将EFP ∆沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长 线于点Q,连结,AP BQ ,你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.等腰三角形（中考重难点之一） 考点1：等腰三角形性质的应用1. 两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结,ME MC ．试判断EMC ∆的形状，并说明理由． MED CBA压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知Rt ABC ∆中，AC BC =，90C ∠=︒，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=︒，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．l(1)A B(F) (E)C PABECFPQ (2) lABEC FP l(3)Q当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S ∆∆∆+=．当EDF ∠绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，DEF S ∆，CEF S ∆，ABC S ∆又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．FEDCBA图1AECF BD图2AECFBD图32. 已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。

2018届中考数学一轮复习讲义第16讲三角形全等【知识巩固】1.全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。

2.全等三角形：（1）定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（2）表示方法：△ ABC全等于△ DEF （）（3）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等.三角形全等的判定：（1）边边边(SSS) :三边对应相等的两个三角形全等。

（2）角边角（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（3）角边角（ASA）：两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等。

角角边（AAS）：两个角和其中的一个叫的对边对应相等的两个三角形全等。

（4）斜边，直角边(HL)：斜边和直角边对应相等的两个三角形全等。

4.角的平分线的性质（1）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

（2）角的平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平【典例解析】典例一、全等形下列说法正确的是（）A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等【考点】全等图形．【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及全等三角形的判定定理可得答案．【解答】解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等；B、面积相等的两个三角形全等，说法错误；C、完全重合的两个三角形全等，说法正确；D、所有的等边三角形全等，说法错误；故选：C．典例二、全等三角形（2017黑龙江鹤岗）如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件AB=DE或BC=EF或AC=DF，使得△ABC≌△DEF．【考点】KB：全等三角形的判定．【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，易证∠A=∠EDF，∠ABC=∠E，故添加AB=DE、BC=EF 或AC=DF根据ASA、AAS即可解题．【解答】解：∵BC∥EF，∴∠ABC=∠E，∵AC∥DF，∴∠A=∠EDF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，同理，BC=EF或AC=DF也可求证△ABC≌△DEF．故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF均可．【变式训练】（2017山东聊城）如图，已知AB∥DE，AB=DE，BE=CF，求证：AC∥DF．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【分析】首先由BE=CF可以得到BC=EF，然后利用边边边证明△ABC≌△DEF，最后利用全等三角形的性质和平行线的判定即可解决问题．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠DEF，又∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即：BC=EF，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB=∠DFE，∴AC∥DF．典例三、角平分线性质的应用（2017广西百色）如图，AM为∠BAC的平分线，下列等式错误的是（）A．∠BAC=∠BAM B．∠BAM=∠CAM C．∠BAM=2∠CAM D．2∠CAM=∠BAC 【考点】IJ：角平分线的定义．【分析】根据角平分线定义即可求解．【解答】解：∵AM为∠BAC的平分线，∴∠BAC=∠BAM，∠BAM=∠CAM，∠BAM=∠CAM，2∠CAM=∠BAC．故选：C．6．（2017广西百色）5月14﹣15日“一带一路”论坛峰会在北京隆重召开，促进了我国与世界各国的互联互通互惠，“一带一路”地区覆盖总人数约为44亿人，44亿这个数用科学记数法表示为（）A．4.4×108B．4.4×109C．4×109D．44×108【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：44亿这个数用科学记数法表示为4.4×109，故选：B．【变式训练】（2017四川眉山）如图，在△ABC中，∠A=66°，点I是内心，则∠BIC的大小为（）A．114°B．122°C．123°D．132°【考点】MI：三角形的内切圆与内心．【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据内心的概念得到∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵∠A=66°，∴∠ABC+∠ACB=114°，∵点I是内心，∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，∴∠IBC+∠ICB=57°，∴∠BIC=180°﹣57°=123°，故选：C．典例四、全等形的综合应用已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．（1）如图1，求证：AE=BD；（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】（1）根据全等三角形的性质即可求证△ACE≌△BCD，从而可知AE=BD；（2）根据条件即可判断图中的全等直角三角形；【解答】解：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，DC=EC，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，在△ACE与△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，（2）∵AC=DC，∴AC=CD=EC=CB，△ACB≌△DCE（SAS）；由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC∴∠DOM=90°，∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，∴△EMC≌△BCN（ASA），∴CM=CN，∴DM=AN，△AON≌△DOM（AAS），∵DE=AB，AO=DO，∴△AOB≌△DOE（HL）【能力检测】1. ( 2017湖南怀化)如图，AC=DC，BC=EC，请你添加一个适当的条件：CE=BC，使得△ABC≌△DEC．【考点】KB：全等三角形的判定．【分析】本题要判定△ABC≌△DEC，已知AC=DC，BC=EC，具备了两组边对应相等，利用SSS即可判定两三角形全等了．【解答】解：添加条件是：CE=BC，在△ABC与△DEC中，，∴△ABC≌△DEC．故答案为：CE=BC．本题答案不唯一．2.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．（S．S．S．）B．（S．A．S．）C．（A．S．A．） D．（A．A．S．）【考点】全等三角形的判定．【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．【解答】解：作图的步骤：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；④过点D′作射线O′B′．所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；作图完毕．在△OCD与△O′C′D′，，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠A′O′B′=∠AOB，显然运用的判定方法是SSS．故选：A．3.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃．应该带（）A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块【考点】全等三角形的应用．【分析】根据题意应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．【解答】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故选：B．4.如图，如果△ABC≌△FED，那么下列结论错误的是（）A．EC=BD B．EF∥AB C．DF=BD D．AC∥FD【考点】全等三角形的性质．【分析】根据全等三角形的性质得出DF=AC，∠E=∠B，∠EDF=∠ACB，FD=AC，推出EF∥AB，AC∥DF，EC=BD，即可得出答案．【解答】解：∵△ABC≌△EFD，∴DF=AC，∠E=∠B，∠EDF=∠ACB，ED=BC；∴EF∥AB，AC∥DF，FD﹣CD=BC﹣DC，∴EC=BD，故选项A、B、D正确，选项C错误；故选C．5.把两根钢条A′B、AB′的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽工具（卡钳）．如图，若测得AB=5厘米，则槽为5厘米．【考点】全等三角形的应用．【分析】首先利用SAS定理判定△AOB≌△A′OB′，然后再根据全等三角形对应边相等可得A′B′=AB=5cm．【解答】解：连接AB，∵把两根钢条A′B、AB′的中点连在一起，∴AO=A′O，BO=B′O，在△ABO和△A′B′O中，∴△AOB≌△A′OB′（SAS），∴A′B′=AB=5cm，故答案为：5．6. （2017四川南充）如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E、F，DE=CF，AE=BF，求证：AC∥BD．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【分析】欲证明AC∥BD，只要证明∠A=∠B，只要证明△DEB≌△CFA即可．【解答】证明：∵DE⊥AB，CF⊥AB，∴∠DEB=∠AFC=90°，∵AE=BF，∴AF=BE，在△DEB和△CFA中，，△DEB≌△CFA，∴∠A=∠B，∴AC∥DB．7.如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF．∠A=∠D=90°；求证：AB∥DE．【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定．【分析】欲证明AB∥DE，只需证得∠B=∠FED．由Rt△ABC≌Rt△DEF，根据全等三角形的性质推知该结论即可．【解答】证明：如图，∵FB=CE，∴FB+FC=CE+FC，即BC=EF．又∵∠A=∠D=90°，在Rt△ABC与Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），∴∠B=∠FED，∴AB∥DE．8.如图，AB、CD相交于点O，△AOB≌△DOC，且∠A=80°，∠DOC=30°，BO=23，AO=18，求∠DC0的度数和BD的长度．【考点】全等三角形的性质．【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠D=∠A，全等三角形对应边相等可得DO=AO，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠DCO，BD=BO+DO计算即可得解．【解答】解：∵△AOB≌△DOC，∴∠D=∠A=80°，DO=AO=18，在△COD中，∠DCO=180°﹣∠D﹣∠DOC=180°﹣80°﹣30°=70°，BD=BO+DO=23+18=41．9.两个大小不同的等腰直角三角板如图所示放置，右图是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）指出线段DC和线段BE的位置关系，并说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】（1）根据两个等腰直角三角形的性质得：AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=90°，由等式性质得：∠BAE=∠CAD，根据SAS证明两三角形全等；（2）由等腰直角三角形得两锐角为45°，再由全等三角形的性质得：∠ACD=∠B=45°，所以∠BCD=90°，则CD⊥BE．【解答】证明：（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，在△ABE和△ACD中，∵，∴△ABE≌△ACD（SAS）；（2）CD⊥BE，理由是：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵△ABE≌△ACD，∴∠ACD=∠ABC=45°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=45°+45°=90°，∴CD⊥BE．10.（2016·湖北荆州·8分）如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．【分析】当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．先证明CD=DA=DB，得到∠DAC=∠DCA，由AC∥A′C′即可得到∠DA′E=∠DEA′由此即可判断△DA′E的形状．由EF∥AB推出∠CEF=∠EA′D，∠EFC=∠A′D′C=∠A′DE，再根据A′D=DE=EF即可证明．【解答】解：当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．理由：∵△BCA是直角三角形，∠ACB=90°，AD=DB，∴CD=DA=DB，∴∠DAC=∠DCA，∵A′C∥AC，∴∠DA′E=∠A，∠DEA′=∠DCA，∴∠DA′E=∠DEA′，∴DA′=DE，∴△A′DE是等腰三角形．∵四边形DEFD′是菱形，∴EF=DE=DA′，EF∥DD′，∴∠CEF=∠DA′E，∠EFC=∠CD′A′，∵CD∥C′D′，∴∠A′DE=∠A′D′C=∠EFC，在△A′DE和△EFC′中，，∴△A′DE≌△EFC′．【点评】本题考查平移、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．。

2018中考数学专题复习教案全等三角形中动点问题
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C
F
图1图2 图3。

2018年中考数学试题分类汇编解析-考点：全等三角形D6．（2018•台湾）如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（）A．115 B．120 C．125 D．130【分析】根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等，进而得出∠B=∠E，利用多边形的内角和解答即可．【解答】解：∵正三角形ACD，∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，∵AB=DE，BC=AE，∴△ABC≌△AED，∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°，∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°，故选：C．7．（2018•成都）如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（）A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DBC C．AC=DB D．AB=DC【分析】全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．【解答】解：A、∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；B、∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；C、∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确；D、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；故选：C．8．（2018•黑龙江）如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为（）A．15 B．12.5 C．14.5 D．17【分析】过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，判定△ACD≌△AEB，即可得到△ACE是等腰直角三角形，四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，根据S=×5×5=12.5，即可得出结论．△ACE【解答】解：如图，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC，∴∠D=∠ABE，又∵∠DAB=∠CAE=90°，∴∠CAD=∠EAB，又∵AD=AB，∴△ACD≌△AEB，∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形，∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，=×5×5=12.5，∵S△ACE∴四边形ABCD的面积为12.5，故选：B．9．（2018•绵阳）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE=，AD=，则两个三角形重叠部分的面积为（）A．B．3C．D．3【分析】如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．想办法求出△AOB的面积．再求出OA与OB的比值即可解决问题；【解答】解：如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．∵∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ECA=∠DCB，∵CE=CD，CA=CB，∴△ECA≌△DCB，∴∠E=∠CDB=45°，AE=BD=，∵∠EDC=45°，∴∠ADB=∠ADC+∠CDB=90°，在Rt△ADB中，AB==2，∴AC=BC=2，∴S×2×2=2，△ABC=∵OD平分∠ADB，OM⊥DE于M，ON⊥BD于N，∴OM=ON，∵====，=2×=3﹣，∴S△AOC故选：D．二．填空题（共4小题）10．（2018•金华）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是AC=BC ．【分析】添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC．【解答】解：添加AC=BC，∵△ABC的两条高AD，BE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，∴∠EBC=∠DAC，在△ADC和△BEC中，∴△ADC≌△BEC（AAS），故答案为：AC=BC．11．（2018•衢州）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是AB=ED （只需写一个，不添加辅助线）．【分析】根据等式的性质可得BC=EF，根据平行线的性质可得∠B=∠E，再添加AB=ED可利用SAS 判定△ABC≌△DEF．【解答】解：添加AB=ED，∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，即BC=EF，∵AB∥DE，∴∠B=∠E，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），故答案为：AB=ED．12．（2018•绍兴）等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP=BA，则∠PBC的度数为30°或110°．【分析】分两种情形，利用全等三角形的性质即可解决问题；【解答】解：如图，当点P在直线AB的右侧时．连接AP．∵AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠C=70°，∵AB=AB，AC=PB，BC=PA，∴△ABC≌△BAP，∴∠ABP=∠BAC=40°，∴∠PBC=∠ABC﹣∠ABP=30°，当点P′在AB的左侧时，同法可得∠ABP′=40°，∴∠P′BC=40°+70°=110°，故答案为30°或110°．13．（2018•随州）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD且BC＞AB，BD=8．给出以下判断：①AC垂直平分BD；②四边形ABCD的面积S=AC•BD；③顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形可能是正方形；④当A，B，C，D四点在同一个圆上时，该圆的半径为；⑤将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，当BF⊥CD时，点F到直线AB的距离为．其中正确的是①③④．（写出所有正确判断的序号）【分析】依据AB=AD=5，BC=CD，可得AC是线段BD的垂直平分线，故①正确；依据四边形ABCD 的面积S=，故②错误；依据AC=BD，可得顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形是正方形，故③正确；当A，B，C，D四点在同一个圆上时，设该圆的半径为r，则r2=（r﹣3）2+42，得r=，故④正确；连接AF，设点F到直线AB的距离为h，由折叠可得，四边形ABED是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4，依据S△BDE=×BD×OE=×BE×DF，可得DF=，进而得出EF=，再根据S△ABF =S梯形ABFD﹣S△ADF，即可得到h=，故⑤错误．【解答】解：∵在四边形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD，∴AC是线段BD的垂直平分线，故①正确；四边形ABCD的面积S=，故②错误；当AC=BD时，顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形是正方形，故③正确；当A，B，C，D四点在同一个圆上时，设该圆的半径为r，则r2=（r﹣3）2+42，得r=，故④正确；将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，如图所示，连接AF，设点F到直线AB的距离为h，由折叠可得，四边形ABED是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4，∴AO=EO=3，∵S△BDE=×BD×OE=×BE×DF，∴DF==，∵BF⊥CD，BF∥AD，∴AD⊥CD，EF==，∵S△ABF =S梯形ABFD﹣S△ADF，∴×5h=（5+5+）×﹣×5×，解得h=，故⑤错误；故答案为：①③④．三．解答题（共23小题）14．（2018•柳州）如图，AE和BD相交于点C，∠A=∠E，AC=EC．求证：△ABC≌△EDC．【分析】依据两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等进行判断．【解答】证明：∵在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA）．15．（2018•云南）如图，已知AC平分∠BAD，AB=AD．求证：△ABC≌△ADC．【分析】根据角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC，利用SAS定理判断即可．【解答】证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC．16．（2018•泸州）如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求证：∠F=∠C．【分析】欲证明∠F=∠C，只要证明△ABC≌△DEF（SSS）即可；【解答】证明：∵DA=BE，∴DE=AB，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠C=∠F．17．（2018•衡阳）如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．（1）求证：△ABE≌△DCE；（2）当AB=5时，求CD的长．【分析】（1）根据AE=DE，BE=CE，∠AEB和∠DEC是对顶角，利用SAS证明△AEB≌△DEC即可．（2）根据全等三角形的性质即可解决问题．【解答】（1）证明：在△AEB和△DEC中，，∴△AEB≌△DEC（SAS）．（2）解：∵△AEB≌△DEC，∴AB=CD，∵AB=5，∴CD=5．18．（2018•通辽）如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【分析】（1）由AF∥BC得∠AFE=∠EBD，继而结合∠EAF=∠EDB、AE=DE即可判定全等；（2）根据AB=AC，且AD是BC边上的中线可得∠ADC=90°，由四边形ADCF是矩形可得答案．【解答】证明：（1）∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，∴△AEF≌△DEB（AAS）；（2）连接DF，∵AF∥CD，AF=CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵△AEF≌△DEB，∴BE=FE，∵AE=DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF=AB，∵AB=AC，∴DF=AC，∴四边形ADCF是矩形．19．（2018•泰州）如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．【分析】因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以AB=CD，证明△ABO与△CDO全等，所以有OB=OC．【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），∴∠OBC=∠OCB，∴BO=CO．20．（2018•南充）如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠C=∠E．【分析】由∠BAE=∠DAC可得到∠BAC=∠DAE，再根据“SAS”可判断△BAC≌△DAE，根据全等的性质即可得到∠C=∠E．【解答】解：∵∠BAE=∠DAC，∴∠BAE﹣∠CAE=∠DAC﹣∠CAE，即∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∵，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠C=∠E．21．（2018•恩施州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求证：AD与BE互相平分．【分析】连接BD，AE，判定△ABC≌△DEF（ASA），可得AB=DE，依据AB∥DE，即可得出四边形ABDE是平行四边形，进而得到AD与BE互相平分．【解答】证明：如图，连接BD，AE，∵FB=CE，∴BC=EF，又∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE，又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AD与BE互相平分．22．（2018•哈尔滨）已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE．（1）如图1，求证：AD=CD；（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．【分析】（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得；（2）设DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知S△ADC =2a2=2S△ADE，证△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分别求出S△ABE 、S△ACE、S△BHG，从而得出答案．【解答】解：（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF，∴∠ADE=∠CGF，∵AC⊥BD、BF⊥CD，∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，∴∠DAE=∠GCF，∴AD=CD；（2）设DE=a，则AE=2DE=2a，EG=DE=a，∴S△ADE=AE•DE=•2a•a=a2，∵BH是△ABE的中线，∴AH=HE=a，∵AD=CD、AC⊥BD，∴CE=AE=2a，则S△ADC =AC•DE=•（2a+2a）•a=2a2=2S△ADE；在△ADE和△BGE中，∵，∴△ADE≌△BGE（ASA），∴BE=AE=2a，∴S△ABE=AE•BE=•（2a）•2a=2a2，S△ACE=CE•BE=•（2a）•2a=2a2，S△BHG=HG•BE=•（a+a）•2a=2a2，综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．23．（2018•武汉）如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．【分析】求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．【解答】证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，∴BF=CE，在△ABF和△DCE中∴△ABF≌△DCE（SAS），∴∠GEF=∠GFE，∴EG=FG．24．（2018•咸宁）已知：∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'=∠AOB（1）如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；（2）如图2，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径间弧，交O′A′于点C′；（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所而的弧交于点D′；（4）过点D′画射线O′B'，则∠A'O'B'=∠AOB．根据以上作图步骤，请你证明∠A'O'B′=∠AOB．【分析】由基本作图得到OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，则根据“SSS“可证明△OCD≌△O′C′D′，然后利用全等三角形的性质可得到∠A'O'B′=∠AOB．【解答】证明：由作法得OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，在△OCD和△O′C′D′中，∴△OCD≌△O′C′D′，∴∠COD=∠C′O′D′，即∠A'O'B′=∠AOB．25．（2018•安顺）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AC⊥AB，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【分析】（1）连接DF，由AAS证明△AFE≌△DBE，得出AF=BD，即可得出答案；（2）根据平行四边形的判定得出平行四边形ADCF，求出AD=CD，根据菱形的判定得出即可；【解答】（1）证明：连接DF，∵E为AD的中点，∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS），∴EF=BE，∵AE=DE，∴四边形AFDB是平行四边形，∴BD=AF，∵AD为中线，∴DC=BD，∴AF=DC；（2）四边形ADCF的形状是菱形，理由如下：∵AF=DC，AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC⊥AB，∴∠CAB=90°，∵AD为中线，∴AD=BC=DC，∴平行四边形ADCF是菱形；26．（2018•广州）如图，AB与CD相交于点E，AE=CE，DE=BE．求证：∠A=∠C．【分析】根据AE=EC，DE=BE，∠AED和∠CEB是对顶角，利用SAS证明△ADE≌△CBE即可．【解答】证明：在△AED和△CEB中，，∴△AED≌△CEB（SAS），∴∠A=∠C（全等三角形对应角相等）．27．（2018•宜宾）如图，已知∠1=∠2，∠B=∠D，求证：CB=CD．【分析】由全等三角形的判定定理AAS证得△ABC≌△ADC，则其对应边相等．【解答】证明：如图，∵∠1=∠2，∴∠ACB=∠ACD．在△ABC与△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（AAS），∴CB=CD．28．（2018•铜仁市）已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF．【分析】可证明△ACE≌△BDF，得出∠A=∠B，即可得出AE∥BF；【解答】证明：∵AD=BC，∴AC=BD，在△ACE和△BDF中，，∴△ACE≌△BDF（SSS）∴∠A=∠B，∴AE∥BF；29．（2018•温州）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED=∠B．（1）求证：△AED≌△EBC．（2）当AB=6时，求CD的长．【分析】（1）利用ASA即可证明；（2）首先证明四边形AECD是平行四边形，推出CD=AE=AB即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AD∥EC，∴∠A=∠BEC，∵E是AB中点，∴AE=EB，∵∠AED=∠B，∴△AED≌△EBC．（2）解：∵△AED≌△EBC，∴AD=EC，∵AD∥EC，∴四边形AECD是平行四边形，∴CD=AE，∵AB=6，∴CD=AB=3．30．（2018•菏泽）如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．【分析】结论：DF=AE．只要证明△CDF≌△BAE即可；【解答】解：结论：DF=AE．理由：∵AB∥CD，∴∠C=∠B，∵CE=BF，∴CF=BE，∵CD=AB，∴△CDF≌△BAE，∴DF=AE．31．（2018•苏州）如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求证：BC∥EF．【分析】由全等三角形的性质SAS判定△ABC≌△DEF，则对应角∠ACB=∠DFE，故证得结论．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D，∵AF=DC，∴AC=DF．∴在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB=∠DFE，∴BC∥EF．32．（2018•嘉兴）已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．【分析】只要证明Rt△ADE≌Rt△CDF，推出∠A=∠C，推出BA=BC，又AB=AC，即可推出AB=BC=AC；【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，∴∠AED=∠CFD=90°，∵D为AC的中点，∴AD=DC，在Rt△ADE和Rt△CDF中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDF，∴∠A=∠C，∴BA=BC，∵AB=AC，∴AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形．33．（2018•滨州）已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点．（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE=AF；（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE=AF吗？请利用图②说明理由．【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△BDE≌△ADF（ASA），再根据全等三角形的性质即可证出BE=AF；（2）连接AD，根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△EDB≌△FDA（ASA），再根据全等三角形的性质即可得出BE=AF．【解答】（1）证明：连接AD，如图①所示．∵∠A=90°，AB=AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD=45°．∵点D为BC的中点，∴AD=BC=BD，∠FAD=45°．∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF．在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE=AF；（2）BE=AF，证明如下：连接AD，如图②所示．∵∠ABD=∠BAD=45°，∴∠EBD=∠FAD=135°．∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°，∴∠EDB=∠FDA．在△EDB和△FDA中，，∴△EDB≌△FDA（ASA），∴BE=AF．34．（2018•怀化）已知：如图，点A．F，E．C在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可；（2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵AB∥DC，∴∠A=∠C，在△ABE与△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，∴ED=CD，∵EG=5，∴CD=10，∵△ABE≌△CDF，∴AB=CD=10．35．（2018•娄底）如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．【分析】（1）首先证明四边形ABCD是平行四边形，再利用ASA证明△AOE≌△COF；（2）结论：四边形BEDF是菱形．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；【解答】（1）证明：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF．（2）解：结论：四边形BEDF是菱形，∵△AOE≌△COF，∴AE=CF，∵AD=BC，∴DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵OB=OD，EF⊥BD，∴EB=ED，∴四边形BEDF是菱形．36．（2018•桂林）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF．（1）求证：△ABC≌DEF；（2）若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数．【分析】（1）求出AC=DF，根据SSS推出△ABC≌△DEF．（2）由（1）中全等三角形的性质得到：∠A=∠EDF，进而得出结论即可．【解答】证明：（1）∵AC=AD+DC，DF=DC+CF，且AD=CF∴AC=DF在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS）（2）由（1）可知，∠F=∠ACB∵∠A=55°，∠B=88°∴∠ACB=180°﹣（∠A+∠B）=180°﹣（55°+88°）=37°∴∠F=∠ACB=37°。

2018年中考数学复习：全等三角形（一）、基本概念1、“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。

同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

初中数学全等三角形有关知识总结2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理证明两个三角形全等，必须根据已知条件与结论，认真分析图形，准确无误的确定对应边及对应角；去分析已具有的条件和还缺少的条件，并会将其他一些条件转化为所需的条件，从而使问题得到解决。

运用定理证明三角形全等时要注意以下几点。

1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等（AAS）（2）已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等（SAS）②第三组边也相等（SSS）（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等（AAS或ASA）②夹等角的另一组边相等（SAS）三、疑点、易错点1、对全等三角形书写的错误在书写全等三角形时一定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

切记不要弄错。

2、对全等三角形判定方法理解错误；3、利用角平分线的性质证题时，要克服多数同学习惯于用全等证明的思维定势的消极影响。

中考专题复习模拟演练:全等三角形一、选择题1.如图，某同学将一块三角形玻璃打碎成三块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A. 带（1）去B. 带（2）去C. 带（3）去D. 带（1）（2）去2.已知：△ABC≌△DEF，AB=DE，∠A=70°，∠E=30°，则∠F的度数为（）A. 80°B. 70°C. 30°D. 100°3.如图,在△ABC中,∠C=90°,ED⊥AB于点D,BD=BC,若AC=6 cm,则AE+DE等于( )A. 4 cmB. 5 cmC. 6 cmD. 7 cm4.如图，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝3，则EC的长为（）A. 2B. 3C. 5D. 2.55.如图，已知两个全等直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转到△A′CB′的位置，其中A′C交直线AD于点E，A′B′分别交直线AD，AC于点F，G．则旋转后的图中，全等三角形共有（）A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对6.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连结CE 交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE. 下列结论中：①CE=BD=2；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，图中的全等三角形的对数（）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对8.如图已知△ABE≌△ACD, AB=AC, BE=CD，∠B=40°,∠AEC=120°则∠DAC的度数为（）A. 80°B. 70°C. 60°D. 50°9.如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（）A. 40°B. 35°C. 30°D. 25°10.如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是( )A. B. C. D.二、填空题11.用直尺和圆规作一个角等于已知角得到两个角相等的依据是________12.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF=2 ．以上结论中，你认为正确的有________．（填序号）13.如图，在由边长为1cm的小正方形组成的网格中，画如图所示的燕尾形工件，现要求最大限度的裁剪出10个与它全等的燕尾形工件，则这个网格的长至少为（接缝不计）________ ．14.如图，E为正方形ABCD中CD边上一点，∠DAE=30°，P为AE的中点，过点P作直线分别与AD、BC相交于点M、N．若MN=AE，则∠AMN等于________15.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO= AC；③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有________（填序号）．16.如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E 离开点A后，运动________秒时，△DEB与△BCA全等．17.在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，如图7，则∠EAB是多少度？请你说出∠EAB= ________度18.如图（1）所示，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上面的一点，连接BD、CD；如图（2）已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面的三点，连接BD、CD、BE、CE、BF、CF；…，依次规律，第N个图形中有全等三角形的对数是________．三、解答题19.已知，如图：AE⊥AB，BC⊥AB，AE=AB，ED=AC．求证：ED⊥AC．20.如图，两根旗杆AC与BD相距12m，某人从B点沿AB走向A，一定时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线夹角为90°，且CM=DM．已知旗杆AC的高为3m，该人的运动速度为0.5m/s，求这个人走了多长时间？21.如图1，等边△ABC中，D是AB上一点，以CD为边向上作等边△CDE，连结AE．（1）求证：AE∥BC；（2）如图2，若点D在AB的延长线上，其余条件均不变，（1）中结论是否成立？请说明理由．22.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）证明：BE=CF；（2）如果AB=16，AC=10，求AE的长．23.将一块正方形和一块等腰直角三角形如图1摆放．（1）如果把图1中的△BCN绕点B逆时针旋转90°，得到图2，则∠GBM=________；（2）将△BEF绕点B旋转．①当M，N分别在AD，CD上（不与A，D，C重合）时，线段AM，MN，NC之间有一个不变的相等关系式，请你写出这个关系式：________；（不用证明）②当点M在AD的延长线上，点N在DC的延长线时（如图3），①中的关系式是否仍然成立？若成立，写出你的结论，并说明理由；若不成立，写出你认为成立的结论，并说明理由．24.已知矩形纸片ABCD中，AB=2，BC=3．操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上．探究：（1）如图1，若点B与点D重合，你认为△EDA1和△FDC全等吗？如果全等，请给出证明，如果不全等，请说明理由；（2）如图2，若点B与CD的中点重合，请你判断△FCB1、△B1DG和△EA1G之间的关系，如果全等，只需写出结果，如果相似，请写出结果和相应的相似比；（3）如图2，请你探索，当点B落在CD边上何处，即B1C的长度为多少时，△FCB1与△B1DG全等．参考答案一、选择题C A C B C CD A B C二、填空题11.SSS12.①③④13.2114.60°或120°15.①②③16.0，2，6，817.3518.n（n+1）三、解答题19.证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，∴∠EAD=∠CBA=90°，在Rt△ADE和中Rt△ABC中，，∴Rt△ADE≌Rt△ABC（HL），∴∠EDA=∠C，又∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∴∠CAB+∠C=90°∴∠CAB+∠EDA=90°，∴∠AFD=90°，∴ED⊥AC20.解：∵∠CMD=90°，∴∠CMA+∠DMB=90°，又∵∠CAM=90°，∴∠CMA+∠ACM=90°，∴∠ACM=∠DMB，在△ACM和△BMD中，，∴△ACM≌△BMD（AAS），∴AC=BM=3m，∴他到达点M时，运动时间为3÷0.5=6（s），答：这个人从B点到M点运动了6s．21.（1）证明：∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCA﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，即∠BCD=∠ACE，∵△ABC和△DCE是等边三角形，∴BC=AC，DC=EC，在△BDC与△ACE中，，∴△DBC≌△ACE（SAS），∴∠B=∠CAE，∴∠B=∠CAE=∠BAC=60°，∴∠CAE+∠BAC=∠BAE=120°，∴∠B+∠BAE=180，∴AE∥BC（2）成立，证明如下：∵△DBC≌△ACE，∴∠BDC=∠AEC，在△DMC和△AME中，∵∠BDC=∠AEC（已证），∴∠DMC=∠EMA，∴△DMC∽△EMA，∴∠EAM=∠DCM=60°，∴∠EAC=120°，又∵∠DCA+∠CAE=∠DCE+∠ECA+CEA=180°+∠ECA，∴AE∥BC22.（1）证明：如图，连接BD、CD．∵DG⊥BC，BG=GC，∴DB=DC，∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在Rt△DEB和Rt△DFC中，，∴△DEB≌△DFC，∴BE=CF．（2）解：在Rt△ADE和rT△ADF中，，∴△ADE≌△ADF，∴AE=AF，∴AB﹣BE=AC+CF，∴2AE=AB﹣AC=16﹣10，∴AE=323.（1）45°（2）MN=AM+CN24.（1）解：全等．∵四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，由题意知：∠A=∠A1，∠B=∠A1DF=90°，CD=A1D，所以∠A1=∠C=90°，∠CDF+∠EDF=90°，所以∠A1DE=∠CDF，所以△EDA1≌△FDC（ASA）（2）解：△B1DG和△EA1G全等．与△B1DG相似，设FC= ，则B1F=BF= ，B1C= DC=1，△FCB所以，所以，所以△FCB1与△B1DG相似，相似比为4：3（3）解：△FCB1与△B1DG全等．设，则有，，在直角中，可得，整理得，解得 (另一解舍去)，所以，当B1C= 时，△FCB1与△B1DG全等．。

全等三角形一、单选题（共12题；共24分）1、下图中，全等的图形有（）A、2组B、3组C、4组D、5组2、使两个直角三角形全等的条件是（）A、一锐角对应相等B、两锐角对应相等C、一条边对应相等D、两条直角边对应相等3、下列说法错误的是（）A、等腰三角形两腰上的中线相等B、等腰三角形两腰上的高线相等C、等腰三角形的中线与高重合D、等腰三角形底边的中线上任一点到两腰的距离相等4、如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带（）去配．A、①B、②C、③D、①和②5、长为1的一根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x 的取值X围为（）A、B、C、D、6、已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（）A、15°或75°B、15°C、75°D、150°和30°7、如图，x的值可能为（）A、10B、9C、7D、68、如图，△A BC中，AB=AC ， EB=EC ，则由“SSS”可以判定（）A、△ABD≌△ACDB、△ABE≌△ACEC、△BDE≌△CDED、以上答案都不对9、如果线段AB=3cm，BC=1cm，那么A、C两点的距离d的长度为（）A、4cmB、2cmC、4cm或2cmD、小于或等于4cm，且大于或等于2cm10、（2016•滨州）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A、50°B、51°C、51.5°D、52.5°11、（2016•某某）如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）A、AC=BDB、∠CAB=∠DBAC、∠C=∠DD、BC=AD12、如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（）A、24°B、25°C、30°D、36°二、填空题（共5题；共6分）13、若△ABC≌△EFG，且∠B＝60°,∠FGE－∠E＝56°,，则∠A＝________度．14、如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“________”．15、如图，△ABC≌△ADE，∠B＝100°，∠BAC＝30°，那么∠AED＝________°．16、如果△ABC 和△DEF 全等，△DEF 和△GHI 全等，则△ABC 和△GHI________全等，如果△ABC 和△DEF 不全等，△DEF 和△GHI 全等，则△A BC 和△GHI________全等．（填“一定”或“不一定”或“一定不”）17、（2016•某某）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 是BC 边上一动点（不含B 、C 两点），将△ABP 沿直线AP 翻折，点B 落在点E 处；在CD 上有一点M ，使得将△CMP 沿直线MP 翻折后，点C 落在直线PE 上的点F 处，直线PE 交CD 于点N ，连接MA ，NA ．则以下结论中正确的有________（写出所有正确结论的序号） ①△CMP∽△BPA；②四边形AMCB 的面积最大值为10；③当P 为BC 中点时，AE 为线段NP 的中垂线； ④线段AM 的最小值为2；⑤当△ABP≌△ADN 时，BP=4﹣4．三、综合题（共6题；共66分）18、如图，分别以Rt△ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F ，连接DF ．(1)试说明AC=EF ；(2)求证：四边形ADFE 是平行四边形.19、已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE=CG ，连接BG 并延长交DE 于F ．(1)求证：△BCG≌△DCE；(2)将△DC E 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD 是什么特殊四边形，并说明理由。

2018年全国中考数学真题分类 等腰三角形与等边三角形（二）一、选择题1. （2018山西省，8题，3分） 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=60°， AC=6,将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到△A'B'C,此时点A'恰好在AB 边上，则点B'与点B 之间的距离为( ) A ．12B ．6C ．6√2D ．6√3【答案】D【解析】解：连接B'B∵ 将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到△A'B'C,∴ CA=CA ’又∵ ∠A=60°∴ △AA'C 为等边三角形∴ ∠ACA ’ =60°，即旋转角为60° ∴ ∠BCB ’ =∠ACA ’ =60° ∴ △BB'C 为等边三角形 ∴ BB ’=BC又∵ 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=60°, AC=6, ∴ BB ’=BC=6√3【知识点】锐角三角函数、旋转、等边三角形2. （2018内蒙古包头，8，3分）如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ， △ADE 的顶点D 、E 分别在BC 、AC 上，且∠DAE ＝90°，AD ＝AE .若∠C +∠BAC ＝145°，则∠EDC 的度数为( ) A.17.5° B.12.5° C.12° D.10°【答案】D【思路分析】由∠C+∠BAC＝145°得知∠B＝35°；由AB＝AC得知∠B＝∠C＝35°；由等腰直角三角形的性质可得∠AED＝45°，又∵∠AED＝∠EDC+∠C，∴∠EDC＝45°－35°＝10°.【知识点】等腰三角形的性质；等腰直角三角形的性质；三角形内角和；三角形外角的性质3. （2018云南省昆明市，11，4分）在△AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则∠CDO的度数为（）A． 90° B． 95° C． 100° D．120°【答案】B．【解析】由量角器的摆放可知，∠BOA＝70°，∠COA＝130°，又∵OC＝OA，∴∠A＝∠C＝1 2（180°－130°）＝25°，∵∠BOA＝70°，∠COA＝130°，∴∠COD＝∠COA－∠BOA＝130°－70°＝60°，∴∠CDO＝180°－∠COD－∠C＝180°－60°－25°＝95°，故选B．【知识点】三角形的外角；等腰三角形的性质二、填空题1. （2018广西省桂林市，16，3分）如图，在△ABC中，∠ A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是．【答案】3．【解题过程】∵∠ A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝72°，又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝12∠ABC ＝36°，∴∠BDC ＝∠C ＝72°，∴△BCD 是等腰三角形，又∵∠BDC ＝∠A ＋∠ABD，∴∠A ＝∠ABD ＝36°，∴∴△ABD 是等腰三角形，故有3个等腰三角形． 【知识点】等腰三角形的性质和判定；三角形的内角和定理2. （2018黑龙江绥化，18，3分）已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为 . 【答案】50°或80°.【解析】解：当等腰三角形顶角的外角为130°时，顶角为180°-130°=50°； 当等腰三角形底角的外角为130°时，顶角为180°-2(180°-130°)=80°. 故答案为50°或80°. 【知识点】等腰三角形的性质3. （2018湖南娄底，16，3）如图，ABC 中，ABAC ，ADBC 于D 点，DEAB 于点E ，BF AC 于点F ，3cm DE ，则BFcm .【答案】6【解析】过点D 作AC DH ⊥，对ABC ∆用等面积法，得到DF=DE+DH ，再三线合一得到AD 是角平分线，进一步得到DE=DH ，故答案为6AAB【知识点】等腰三角形三线合一、等面积法4. （2018吉林长春，12，3分）如图，在ΔABC 中，AB=AC .以点C 为圆心，以CB 长为半径作圆弧，交AC 的延长线于点D ，连结BD .若∠A =32°，则∠CDB 的大小为 度.(第12题)【答案】37【解析】∵AB=AC ，∠A =32° ∴∠ACB =(180°－32°)÷2=74° 由尺规作图知，CB=CD ∴∠CBD=∠CDB 又∵∠CBD+∠CDB=∠ACB∴∠CDB =21∠ACB=37°【知识点】等腰三角形，三角形内角和，尺规作图，外角5. （2018吉林省，14, 2分）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k ，若k=12，则该等腰三角形的顶角为 度． 【答案】36【解析】根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C ，根据三角形内角和定理和已知得出5∠A=180°，求出即可．设顶角为α，则其底角为1-2α︒（180），由k=12，可得1-2α︒（180）=2α，解出α=36°。

第十二章全等三角形单元测试答案一、单选题(共10小题,每小题4分，共计40分)1．（2018·黑龙江中考真题）如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（）A．30°B．35°C．45°D．60°【答案】B【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB=∠DAB，计算即可．【详解】作MN⊥AD于N，∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN=MC，∵M是BC的中点，∴MC=MB，∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB=∠DAB=35°，故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键.2．（2018·贵州中考真题）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙【答案】B【解析】分析：根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．详解：乙和△ABC全等；理由如下：在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，所以乙和△ABC全等；在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，所以丙和△ABC全等；不能判定甲与△ABC全等；故选：B．点睛：本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．（2018·江阴市暨阳中学初二月考）如图，已知，，下列哪个条件不能判定≌（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：A．∠M=∠N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN；B．AB=CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN；C．AM=CN，有SSA，不能判定△ABM≌△CDN；D．AM∥CN，得出∠MAB=∠NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN．故选C．考点：全等三角形的判定．4．（2018·丹阳市云阳学校初二期末）如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，在格点F、G、H、I中选出一个点与点D、点E构成的三角形与△ABC全等，则符合条件的点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】分析：根据全等三角形的判定解答即可．详解：由图形可知：AB=，AC=3，BC=，GD=，DE=，GE=3，DI=3，EI=，所以G，I两点与点D、点E构成的三角形与△ABC全等．故选B．点睛：本题考查了全等三角形的判定，关键是根据SSS证明全等三角形．5．（2018·江苏中考真题）如图，，且.、是上两点，，.若，，，则的长为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】分析：详解：如图,∵AB⊥CD,CE⊥AD,∴∠1=∠2, 又∵∠3=∠4,∴180°-∠1-∠4=180°-∠2-∠3,即∠A=∠C. ∵BF⊥AD,∴∠CED=∠BFD=90°,∵AB=CD, ∴△ABF≌△CDE,∴AF=CE=a,ED=BF=b, 又∵EF=c,∴AD=a+b-c. 故选:D.点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明△ABF≌△CDE是关键.6．（2018·陕西高新一中初一期末）如图，大树AB与大数CD相距13m，小华从点B沿BC走向点C，行走一段时间后他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和D，两条视线的夹角正好为90°，且EA=ED.已知大树AB的高为5m，小华行走的速度为1m/s，小华行走到点E的时间是（）A．13s B．8s C．6s D．5s【答案】B【解析】分析: 首先证明∠A=∠DEC，然后可利用AAS判定△ABE≌△ECD，进而可得EC=AB=5m，再求出BE的长，然后利用路程除以速度可得时间详解:：∵∠AED=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∵∠ABE=90°，∴∠A+∠AEB=90°，∴∠A=∠DEC，在△ABE和△DCE中＝＝，＝∴△ABE≌△ECD（AAS），∴EC=AB=5m，∵BC=13m，∴BE=8m，∴小华走的时间是8÷1=8（s），故选：B.点睛: 此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确判定△ABE≌△ECD.7．（2018·北京市第四十四中学初二期中）如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是( )A．甲B．乙与丙C．丙D．乙【答案】B【解析】乙图中利用角角边可证明全等.丙图中可以用边角边可证明全等.故选B.8．（2017·上海市廊下中学初二期末）下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是( )A．两条直角边分别对应相等B．两个锐角分别对应相等C．一条直角边和斜边分别对应相等D．一个锐角和一条斜边分别对应相等【答案】B【解析】解：A．可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意；B．两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意；C．可以利用HL判定两三角形全等，不符合题意；D．可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意．故选B．点睛：本题考查了直角三角形全等的判定方法；本题主要利用三角形全等的判定，运用好有一对相等的直角这一隐含条件是解题的关键．9．（2017·大石桥市水源镇九年一贯制学校初二期中）小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第_____块去，这利用了三角形全等中的_____原理（）A．2；SAS B．4；SAS C．2；AAS D．4；ASA【答案】D【解析】由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃.故选：D.点睛：本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键. 10．（2017·丹阳市第三中学初二期中）如图是5×5的正方形网络，以点D，E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（）A．8个B．6个C．4个D．2个【答案】C【解析】解：根据题意，运用SSS可得与△ABC全等的三角形有4个，线段DE的上方有两个点，下方也有两个点．故选C．点睛：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时要做到不重不漏．二、填空题(共5小题,每小题4分，共计20分)11．（2018·富顺县北湖实验学校初二期末）如图，若AB=AC,BD=CD,∠B=20°,∠BDC=120°,则∠A=________.【答案】80【解析】试题解析：连接故答案为：12．（2017·甘肃省武威第五中学初二月考）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是______．【答案】3．【解析】解：如图，过点D作DF⊥AC于F．∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF．由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴×4×2+×AC×2=7，解得：AC=3．故答案为：3．点睛：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解答本题的关键．13．（2019·哈尔滨市萧红中学初一期末）如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，CF=5,BD=2,点C到直线AB的距离为9，△ABC面积为_________.【答案】31.5【解析】根据平行线性质求出∠A=∠FCE，根据AAS推出△ADE ≌△CFE,则AD=CF ，AB=CF+BD=7,再代入三角形面积公式S=12ah ，即可解答. 【详解】证明：∵FC ∥AB ，∴∠A=∠FCE ，在△ADE 和△CFE 中 AED FEC A FCEDE EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ADE ≌△CFE ．∴AD=CF ．+527AB CF BD ∴==+=点C 到直线AB 的距离为9∴△ABC 面积=792=31.5⨯÷故△ABC 面积为31.5【点睛】本题考查三角形的判定和性质.于证明AD=CF 是解题关键.14．（2017·四川中考真题）△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD 是△ABC 的中线，设AD 长为m ，则m 的取值范围是____．【答案】1<m <4【解析】试题分析：延长AD 至E ，使AD=DE ，连接CE ，则AE=2m ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=CD ，在△ADB 和△EDC 中，∵AD=DE ，∠ADB=∠EDC ，BD=CD ，∴△ADB ≌△EDC ，∴EC=AB=5，在△AEC 中，EC ﹣AC ＜AE ＜AC+EC ，即5﹣3＜2m ＜5+3，∴1＜m ＜4，故答案为：1＜m ＜4．考点：全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．15．（2019·内蒙古中考真题）下面三个命题：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题的序号为_____．【答案】①②．【解析】由全等三角形的判定方法得出①②正确，③不正确【详解】解：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；正确；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；正确；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等；不正确；故答案为：①②．【点睛】本题考查了命题与定理、全等三角形的判定方法；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．三、解答题16．（2017·江苏中考真题）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．（1）求证：AC=CD；（2）若AC=AE，求∠DEC的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）112.5°．【解析】根据同角的余角相等可得到，结合条件，再加上，可证得结论；根据，，得到，根据等腰三角形的性质得到，由平角的定义得到．【详解】证明：，，，在△ABC和△DEC中，，△ △，；（2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD，∴∠1＝∠D＝45°，∵AE＝AC，∴∠3＝∠5＝67.5°，∴∠DEC＝180°－∠5＝112.5°．17．（2018·湖北中考真题）如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．【答案】证明见解析.【解析】【分析】求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．【详解】∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，∴BF=CE，在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS），∴∠GEF=∠GFE，∴EG=FG．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．18．（2017·山东中考真题）已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF．【答案】证明见解析.【解析】试题分析：利用SAS证明△AEB≌△CFD，再根据全等三角形的对应边相等即可得.试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=DC，∴∠BAE=∠DCF，在△AEB和△CFD中，，∴△AEB≌△CFD（SAS），∴BE=DF ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键. 19．（2018·湖北中考真题）如图正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别为DC 、BC 中点．（1）求证：△ADE ≌△ABF ．（2）求△AEF 的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）6.【解析】试题分析：（1）由四边形ABCD 为正方形，得到AB=AD ，∠B=∠D=90°，DC=CB ，由E 、F 分别为DC 、BC 中点，得出DE=BF ，进而证明出两三角形全等；（2）首先求出DE 和CE 的长度，再根据S △AEF =S 正方形ABCD -S △ADE -S △ABF -S △CEF 得出结果．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD ，∠D=∠B=90°，DC=CB ，∵E 、F 为DC 、BC 中点，∴DE=12DC ，BF=12BC ， ∴DE=BF ，在△ADE 和△ABF 中，{AD ABB D DE BF=∠=∠=，∴△ADE ≌△ABF （SAS ）；（2）解：由题知△ABF 、△ADE 、△CEF 均为直角三角形，且AB=AD=4，DE=BF=12×4=2，CE=CF=12×4=2， ∴S △AEF =S 正方形ABCD ﹣S △ADE ﹣S △ABF ﹣S △CEF=4×4﹣12×4×2﹣12×4×2﹣12×2×2 =6．。

知识点28 全等三角形一、选择题1. （2018贵州安顺，T5，F3）如图，点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定．．．．．△ABE≌△ACD( )A.∠B=∠CB. AD = AEC. BD = CED. BE=CD【答案】D【解析】选项A，当AB=AC，∠A=∠A，∠B=∠C时，△ABE≌△ACD（ASA），故此选项不符合题意；选项B，当AB=AC，∠A=∠A，AE=AD时，△ABE≌△ACD（SAS），故此选项不符合题意；选项C，由AB=AC，BD=CE，得AB-AD=AD，AC-CE=AE，即AD=AE, △ABE≌△ACD（SAS），故此选项不符合题意；选项D，当AB=AC，∠A=∠A，BE=CD时，不能判定△ABE 与△ACD全等，故此选项符合题意. 故答案选D.【知识点】全等三角形的判定定理.2. （2018四川省成都市，6，3）如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．AB＝DC【答案】C【解析】解：因为∠ABC＝∠DCB，加上题中的隐含条件BC＝BC，所以可以添加一组角或是添加夹角的另一组边，可以证明两个三角形全等，故添加A、B、D均可以使△ABC≌△DCB．故选择C．【知识点】三角形全等的判定；二、填空题1.（2018浙江金华丽水，12，4分）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是．【答案】答案不唯一，如CA =CB ，CE =CD 等．【解析】已知两角对应相等，可考虑全等三角形的判定ASA 或AAS ．故答案不唯一，如CA =CB ，CE =CD 等．【知识点】全等三角形的判定2. （2018浙江衢州，第13题，4分）如图，在△ABC 和△DEF 中，点B ，F ，C ，E 在同一直线上，BF ＝CE ，AB ∥DE ，请添加一个条件，使△ABC ≌△DEF ，这个添加的条件可以是________________（只需写一个，不添加辅助线）第13题图【答案】AC//DF,∠A=∠D 等【解析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是了解全等三角形的判断方法. 因为已知AB//DE ，BF=CE,这样可以看作时已知一角和一边对应相等，利用判定方法进行判断写出即可．【知识点】全等三角形的判定1. （2018湖北荆州，T12，F3）已知：AOB ∠，求作：AOB ∠的平分线．作法：①以点O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点M ，N ；②分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在AOB ∠内部交于点C ；③画射线OC ．射线OC 即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是 ．【答案】SSS【解析】由作图可得OM=ON ，MC=NC ，而OC=OC ，∴根据“SSS ”可判定∆MOC ≌∆NOC.【知识点】作图—基本作图；三角形全等的判定.三、解答题1. （2018四川省南充市，第18题，6分）如图，已知AB AD =，AC AE =，BAE DAC ∠=∠.求证：C E ∠=∠.【思路分析】根据等式的基本性质，求得∠BAC =∠DAE ，再利用SAS 证明三角形全等，最后利用全等三角形的性质即可得证.【解题过程】证明：∵∠BAE =∠DAC ，∴∠BAE －∠CAE =∠DAC －∠CAE .∴∠BAC =∠DAE . --------------------------------------- 2分在△ABC 与△ADE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△ADE (SAS). ---------------------- 5分 ∴∠C =∠E . ------------------------------------------------- 6分【知识点】全等三角形的判定2. （2018湖南衡阳，20，6分）如图，已知线段AC ，BD 相交于点E ，AE=DE ，BE=CE.（1）求证：△ABE ≌△DCE ；（2）当AB =5时，求CD 的长.【思路分析】（1）根据已知条件，直接利用SAS 证明△ABE ≌△DCE 即可；（2）根据三角形全等的性质，可知CD=AB ，据此解答即可.【解题过程】解：（1）证明：在△ABE 和△DCE 中，AE=DEAEB=DEC BE=CE⎧⎪⎨⎪⎩∠∠，∴△ABE ≌△DCE .（2）∵△ABE ≌△DCE ，∴CD =AB .∵AB =5，∴CD =5.【知识点】全等三角形的判定、全等三角形的判性质3. （2018江苏泰州，20，8分）（本题满分8分）如图，90A D ==∠∠°，AC DB =，AC 、DB 相交于点O .求证：OB OC =.【思路分析】根据“HL ”可证Rt△ABC ≌Rt△DCB ，得∠A CB =∠DBC ，从而得证OB OC =.【解题过程】在Rt△ABC 和Rt△DCB 中AC DBBC CB =⎧⎨=⎩∴Rt△ABC ≌Rt△DCB （HL ）∴∠A CB =∠DBC ，∴OB OC =.【知识点】三角形全等4. （2018四川省宜宾市，18，6分）如图，已知∠1=∠2，∠B=∠D ，求证：CB=CD.【思路分析】先根据三角形外角的性质得到∠BAC=∠DAC ，然后根据AAS 判定△ABC 与△ADC 全等，从而根据性质得到CB=CD. 【解题过程】证明：∵∠1=∠2，∠B=∠D ，∴∠DAC=∠BAC ，在△ACD 和△ABC 中，D DAC BAC AC AC B∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△ACD （AAS ），∴CB=CD ．【知识点】三角形全等的判定；三角形外角的性质1. (2018山东菏泽，17，6分)如图，AB ∥CD ，AB=CD ，CE=BF ．请写出DF 与AE 的数量关系，并证明你的结论.【思路分析】先由AB ∥CD ，得出∠B=∠C ；再由CE=BF ，得出CF=BE ；由“SAS”判定△ABE ≌△DCF 即可得证．【解析】解：DF=AE ．证明：∵AB ∥CD ，∴∠B=∠C ．∵CE=BF ，∴CE －EF=BF －EF ，即CF=BE ．在△ABE 和△DCF 中，AB CD B C BE CF ⎧⎪⎨⎪⎩，∠∠，，=== ∴△ABE ≌△DCF ．∴DF=AE ．【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；2. （2018广东广州，18，9分）如图，AB 与CD 相交于点E ，AE ＝CE ，DE ＝BE ．求证：∠A ＝∠C ．【思路分析】先根据题中条件AE ＝CE ，DE ＝BE ，∠AED ＝∠CEB 证明△AED ≌△CEB ，从而∠A ＝∠C ．【解析】在△AED 和△CEB 中，=AE CE AED CEB DE BE =⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠，∴△AED ≌△CEB （SAS ），∴∠A ＝∠C .【知识点】全等三角形的判定和性质3. （2018陕西，18，5分）如图，AB ∥CD ，E 、F 分别为AB 、CD 上的点，且EC ∥BF ，连接AD ，分别与EC 、BF相交于点G 、H ．若AB =CD ，求证：AG =DH ．【思路分析】要证AG =DH ，需转化为证明AH =DG 较简单，即证明△ABH ≌△DCG ，结合两组平行线利用AAS 即可完成证明过程．【解题过程】证明：∵AB ∥CD ，∴∠A ＝∠D ．∵EC∥BF，∴∠CGD=∠AHB．∵AB=CD,∴△ABH≌△DCG∴AH=DG．∴AH－GH=DG－GH．即AG=DH．【知识点】全等三角形的判定和性质，平行线的性质。

【例3】如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量 ），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC. （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）指出图中所有平行的线段，并说明理由. 【解析】（1）∵BF=EC,∴BF+FC=EC+CF,则BC=EF. 又∵AB=DE，AC=DF，∴△ABC≌△DEF. （2）AB∥DE，AC∥DF. 理由∵△ABC≌△DEF,∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE,∴AB∥DE， AC∥DF.
斜边直角边定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对 应相等，那么这两个直角三角形全等.简记为“HL”(或“斜边、直 角边”).
【例1】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论 ① AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC； ④DA=DC，其中正确结论的序号是_______. 【解析】 ∵△ABO≌△ADO，∴∠AOB=∠AOD，AB=AD，∠BAO=∠DAO， ∴∠AOB=∠AOD=90°，即AC⊥BD.在△ABC和△ADC中，AB=AD， ∠BAO=∠DAO，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SAS）， ∴CB=CD.故①②③正确.根据条件不能判断AD与DC的数量关系， 故④错误. 【答案】①②③
第五单元 三角形
第22课时 全等三角形
考纲考点
（1）全等三角形的有关概念. （2）三角形全等的判定（SAS、ASA、SSS、AAS）和性质. （3）直角三角形全等的判定定理（HL）. （4）定义、命题、定理、推论的意义. （5）区分命题的条件和结论. （6）原命题与逆命题的概念. （7）识别两个互逆命题，并判断其真假. （8）利用反例判断一个命题是错误的. （9）反证法的含义. （10）综合法证明的格式与过程.

知识点28 全等三角形一、选择题1. （2018贵州安顺，T5，F3）如图，点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定．．．．．△ABE≌△ACD( )A.∠B=∠CB. AD = AEC. BD = CED. BE=CD【答案】D【解析】选项A，当AB=AC，∠A=∠A，∠B=∠C时，△ABE≌△ACD（ASA），故此选项不符合题意；选项B，当AB=AC，∠A=∠A，AE=AD时，△ABE≌△ACD（SAS），故此选项不符合题意；选项C，由AB=AC，BD=CE，得AB-AD=AD，AC-CE=AE，即AD=AE, △ABE≌△ACD（SAS），故此选项不符合题意；选项D，当AB=AC，∠A=∠A，BE=CD时，不能判定△ABE与△ACD全等，故此选项符合题意. 故答案选D.【知识点】全等三角形的判定定理.2. （2018四川省成都市，6，3）如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．AB＝DC【答案】C【解析】解：因为∠ABC＝∠DCB，加上题中的隐含条件BC＝BC，所以可以添加一组角或是添加夹角的另一组边，可以证明两个三角形全等，故添加A、B、D均可以使△ABC≌△DCB．故选择C．【知识点】三角形全等的判定；二、填空题1.（2018浙江金华丽水，12，4分）如图，△ABC 的两条高AD ，BE 相交于点F ，请添加一个条件，使得△ADC ≌△BEC (不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是 ．【答案】答案不唯一，如CA =CB ，CE =CD 等．【解析】已知两角对应相等，可考虑全等三角形的判定ASA 或AAS ．故答案不唯一，如CA =CB ，CE =CD 等．【知识点】全等三角形的判定2. （2018浙江衢州，第13题，4分）如图，在△ABC 和△DEF 中，点B ，F ，C ，E 在同一直线上，BF ＝CE ，AB ∥DE ，请添加一个条件，使△ABC ≌△DEF ，这个添加的条件可以是________________（只需写一个，不添加辅助线）第13题图【答案】AC//DF,∠A=∠D 等【解析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是了解全等三角形的判断方法. 因为已知AB//DE ，BF=CE,这样可以看作时已知一角和一边对应相等，利用判定方法进行判断写出即可．【知识点】全等三角形的判定1. （2018湖北荆州，T12，F3）已知：AOB ∠，求作：AOB ∠的平分线．作法：①以点O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点M ，N ；②分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在AOB ∠内部交于点C ；③画射线OC ．射线OC 即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是 ．【答案】SSS【解析】由作图可得OM=ON ，MC=NC ，而OC=OC ，∴根据“SSS ”可判定∆MOC ≌∆NOC.【知识点】作图—基本作图；三角形全等的判定.三、解答题1. （2018四川省南充市，第18题，6分）如图，已知AB AD =，AC AE =，BAE DAC ∠=∠. 求证：C E ∠=∠.【思路分析】根据等式的基本性质，求得∠BAC =∠DAE ，再利用SAS 证明三角形全等，最后利用全等三角形的性质即可得证.【解题过程】证明：∵∠BAE =∠DAC ，∴∠BAE －∠CAE =∠DAC －∠CAE .∴∠BAC =∠DAE . --------------------------------------- 2分在△ABC 与△ADE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△ADE (SAS). ---------------------- 5分 ∴∠C =∠E . ------------------------------------------------ 6分【知识点】全等三角形的判定2. （2018湖南衡阳，20，6分）如图，已知线段AC ，BD 相交于点E ，AE=DE ，BE=CE.（1）求证：△ABE ≌△DCE ；（2）当AB =5时，求CD 的长.【思路分析】（1）根据已知条件，直接利用SAS 证明△ABE ≌△DCE 即可；（2）根据三角形全等的性质，可知CD=AB ，据此解答即可.【解题过程】解：（1）证明：在△ABE 和△DCE 中，AE=DE AEB=DEC BE=CE ⎧⎪⎨⎪⎩∠∠，∴△ABE ≌△DCE .（2）∵△ABE ≌△DCE ，∴CD =AB .∵AB =5，∴CD =5.【知识点】全等三角形的判定、全等三角形的判性质3. （2018江苏泰州，20，8分）（本题满分8分）如图，90A D ==∠∠°，AC DB =，AC 、DB 相交于点O .求证：OB OC =.【思路分析】根据“HL ”可证Rt△ABC ≌Rt△DCB ，得∠A CB =∠DBC ，从而得证OB OC =.【解题过程】在Rt△ABC 和Rt△DCB 中AC DB BC CB =⎧⎨=⎩∴Rt△ABC ≌Rt△DCB （HL ）∴∠A CB =∠DBC ，∴OB OC =.【知识点】三角形全等4. （2018四川省宜宾市，18，6分）如图，已知∠1=∠2，∠B=∠D ，求证：CB=CD.【思路分析】先根据三角形外角的性质得到∠BAC=∠DAC ，然后根据AAS 判定△ABC 与△ADC 全等，从而根据性质得到CB=CD. 【解题过程】证明：∵∠1=∠2，∠B=∠D ，∴∠DAC=∠BAC ，在△ACD 和△ABC 中，D DAC BAC AC AC B ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△ACD （AAS ），∴CB=CD ．【知识点】三角形全等的判定；三角形外角的性质1. (2018山东菏泽，17，6分)如图，AB ∥CD ，AB=CD ，CE=BF ．请写出DF 与AE 的数量关系，并证明你的结论.【思路分析】先由AB ∥CD ，得出∠B=∠C ；再由CE=BF ，得出CF=BE ；由“SAS”判定△ABE ≌△DCF即可得证．【解析】解：DF=AE ．证明：∵AB ∥CD ，∴∠B=∠C ．∵CE=BF ，∴CE －EF=BF －EF ，即CF=BE ．在△ABE 和△DCF 中，AB CD B C BE CF ⎧⎪⎨⎪⎩，∠∠，，=== ∴△ABE ≌△DCF ．∴DF=AE ．【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；2. （2018广东广州，18，9分）如图，AB 与CD 相交于点E ，AE ＝CE ，DE ＝BE ．求证：∠A ＝∠C ．【思路分析】先根据题中条件AE ＝CE ，DE ＝BE ，∠AED ＝∠CEB 证明△AED ≌△CEB ，从而∠A ＝∠C ．【解析】在△AED 和△CEB 中，=AE CE AED CEB DE BE =⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠，∴△AED ≌△CEB （SAS ），∴∠A ＝∠C .【知识点】全等三角形的判定和性质3. （2018陕西，18，5分）如图，AB ∥CD ，E 、F 分别为AB 、CD 上的点，且EC ∥BF ，连接AD ，分别与EC 、BF 相交于点G 、H ．若AB =CD ，求证：AG =DH ．【思路分析】要证AG=DH，需转化为证明AH=DG较简单，即证明△ABH≌△DCG，结合两组平行线利用AAS即可完成证明过程．【解题过程】证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D．∵EC∥BF，∴∠CGD=∠AHB．∵AB=CD,∴△ABH≌△DCG∴AH=DG．∴AH－GH=DG－GH．即AG=DH．【知识点】全等三角形的判定和性质，平行线的性质。

第17讲全等三角形【考点总汇】一、全等三角形的性质及判定定理 1•性质(1) _________________________ 全等三角形的对应边，对应角 。

(2) ________________________________ 全等三角形的对应边的中线 _______________________ ，对应角平分线 _____________________________________ ，对应边上的高 __________ ，全等三角 形的周长 _________ ，面积 _________ 。

2•判定定理(1)三边分别 _________ 的两个三角形全等(简写“边边边”或“ _______ ”)。

微拨炉：已知两边和一角判定三角形全等时，没有“ SSA ”定理，即不能错用成“两边及一边对角相等的两个三角形全等”。

二、角的平分线1•性质：角的平分线上的点到角的两边的距离 ___________ 。

2•判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在 ____________ 。

3•三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离 微拨炉： 1•三角形的角平分线是一条线段，不是射线。

2•角的平分线的性质定理和判定定理互为逆定理。

注意分清题设和结论。

高频考点1、全等三角形的判定与性质 【范例】如图，在△ ABC 中，AB=CB ，■ ABC =90，D 为AB 延长线上一点，点 E 在BC 边上, 且 BE 二 BD ，连接 AE 、DE 、DC 。

(2)两边和它们的夹角分别________ 的两个三角形全等(简写“边角边”或 ”) (3)两角和它们的夹边分别________ 的两个三角形全等(简写“角边角”或”)(4)斜边和一条直角边分别 的两个直角三角形全等(简写“斜边、直角边”或 ”)(1)求证：△ ABE ◎△ CBD(2)若• CAE =30 ［求• BDC 的度数D得分要领：判定全等三角形的基本思路1•已知两边：（1）找夹角（SAS） ; （2）找直角（HL或SAS） ; （3）找第三边（SSS）。

一、选择题1．(2018·临沂，11，3分)如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D ，E .AD ＝3，BE ＝1.则DE 的长是( ) EDC B A第11题图A ．32B ．2C .22D ．1011．B ，解析：∵AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，∴∠ADC =∠CEB =90°，∠DAC ＋∠DCA =90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ECB ＋∠DCA =90°，∴∠DCA =∠ECB ，∵AC =CB ，∴△ACD ≌△CBE ，∴AD =CE =3，CD =BE =1，∴DE =CE －CD =3－1=2.2．（2018·成都，6，3分）如图，已知∠ABC =∠DCB ，添加以下条件，不能判定△ABC ≌△DCB 的是（ ）A ．∠A =∠DB ．∠ACB =∠DBC C. AC =DBD ．AB =DC6．C 解析：因为∠ABC =∠DCB ，BC =CB ，当∠A =∠D 时，根据“AAS”能判断△ABC ≌△DCB ；当∠ACB =∠DBC 时，根据“ASA” 能判断△ABC ≌△DCB ；当AC =DB 时，“SSA” 不能判断△ABC ≌△DCB ；当AB =DC 时，根据“SAS” 能判断△ABC ≌△DCB .7．(2018·南京，5，2)如图，AB ⊥CD ，且AB =CD ，E 、F 是AD 上两点，CE ⊥AD ，BF ⊥AD .若CE =a ，BF =b ，EF =c ，则AD 的长为( )A .a +cB .b +cC .a -b +cD .a +b -c答案：D ，解析：由AB ⊥CD ，BF ⊥AD 可得∠A +∠B =90°,∠A +∠D =90°,则∠B =∠D ,结合已知AB =CD ,∠CED =∠BF A =90°，则△ABF ≌△CDE ，所以AF =CE =a ，BF =DE =b ，所以AD =a +b -c ，故选D .二、填空题1．（2018·金华市，12，4分）如图，△ABC 的两条高AD,BE 相交于点F ，请添加一个条件，使得△ADC ≌△BEC (不添加其他字母及辅 助线)，你添加的条件是 ▲ .答案．答案不唯一，如CA=CB ，CE=CD 等，解析：根据三角形全等的判定方法，已知题目中∠ADC =∠BEC =90°∠C =∠C ，再添加一组边相等即可证明全等.2.（2018·济宁，13，3分）在△ABC 中，点E 、F 分别是边AB 、AC 的中点，点D 在BC 边上，连接DE 、DF 、EF ，请你添加一个条件________________，使△BED 与△FED 全等．答案：答案不唯一，如：BD ＝EF （或BD ＝CD 或DF ∥AB 或DE ∥AC 或∠BED ＝∠EDF 等）．解析：因为点E 、F 分别是边AB 、AC 的中点，所以EF ＝12BC ，EF ∥BC ，所以∠FED ＝∠BDF ，又因为DE 是△BED 、△FED 的公共边，所以根据“SAS ”可知应添加BD ＝EF ．3．(2018·广安，14，3分)如图5，∠AOE ＝∠BOE ＝15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB 于C ，若EC ＝1，则OF ＝______．答案：2，解析：过点E 作EH ⊥OA 于H ，则由角平分线的性质得EH ＝EC ＝1．∵OE 平分∠AOB ，EF ∥OB ，∴∠FEO ＝∠BOE ＝∠AOE ＝15°．∴∠AFE ＝30°．∴OF ＝EF ＝2EH ＝2．三、解答题1．(2017·南充，18，6分)(本小题满分6分)如图，已知AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAE ＝∠DAC .求证：∠C ＝∠E .证明：∵∠BAE ＝∠DAC ，∴∠BAE －∠CAE ＝∠DAC －∠CAE .∴∠BAC ＝∠DAE .在△ABC 与△ADE 中，=.AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪=⎨⎪⎩，∠∠，∴△ABC ≌△ADE (SAS ).∴∠C ＝∠E .2.．(2018·泸州，18，6分)如图6，EF ＝BC ，DF ＝AC ，DA ＝EB ．求证：∠F ＝∠C ．CFB O EA 图5 （第13题图） C D EFAB AB D CE FF E D CB A 思路分析：由DA ＝EB 可证得DE ＝AB ，又因为EF ＝BC ，DF ＝AC ，所以可根据“SSS ”证得△DEF ≌△ABC ，从而根据“全等三角形对应角相等”得到∠F ＝∠C ．解答过程：∵DA ＝EB ，∴DA ＋AE ＝EB ＋AE ，即DE ＝AB ．又∵EF ＝BC ，DF ＝AC ，∴△DEF ≌△ABC ，∴∠F ＝∠C ．3.(宜宾市2018) (本小题6分) (注意．．：在试题卷．．．．上作．．答无效．．．) 如图，已知∠1=∠2，∠B =∠D ,求证：CB =CD思路分析：判断两条线段的关系，一般包括数量关系与位置关系，这里根据已知条件，证明两个三角形全等即可．证明：∵∠1=∠2，∴180°-∠1=180°-∠2，即∠ACB=∠ACD .在△CDA 和△CBA 中，B D ACB ACD AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDA ≌△CBA . ∴CD ＝CB .4．（2018·温州市，18，8分） 如图，在四边形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，AD ∥EC ,∠AED ＝∠B .（1）求证：△AED ≌△EBC .（2）当 AB ＝6 时，求 CD 的长.（1） 解析：由AD ∥EC 可知∠A ＝∠CEB ；又因为E 是 AB 的中点，所以AE ＝EB ；且∠AED ＝∠B .所以△AED ≌△EBC .（ASA ）（2） 答案：3.解析：由（1）△AED ≌△EBC 可知AD =EC ，又因为AD ∥EC ，所以四边形AECD 为平行四边形，又因为AB ＝6，则CD =AE =35. （2018·广州市，18，9）如图10，AB 与CD 相交于点E ，AE ＝CE ，DE ＝BE .求证：∠A ＝∠C .B EA C D思路分析：先根据题中条件AE ＝CE ，DE ＝BE ，∠AED =∠CEB 证明△AED ≌△CEB ，从而∠A =∠C ．解答过程：在△AED 和△CEB 中，=AE CE AED CEB DE BE =⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠，∴△AED ≌△CEB （SAS ），∴∠A ＝∠C .6．(2018·衡阳市，20题，6分)如图，已知线段AC ，BD 相交于点E ，AE ＝DE ，BE ＝CE ．(1)求证：△ABE ≌△DCE ；(2)当AB ＝5时，求CD 的长．第20题图思路分析：(1)利用对顶角的性质，可以得到三角形全等的等量关系；(2)利用(1)的结论即可求解． 解答过程：解：(1)在△ABE 和△DCE 中，.AE DE AEB DEC BE CE ⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩＝，，∴△ABE ≌△DCE ．(2)由(1)可知，AB ＝CD ，∵AB ＝5，∴CD ＝5．7．（2018湖北武汉，18，8分）如图，点E 、F 在BC 上，BE ＝CF ，AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，AF 与DE 交于点G ，求证：GE ＝GF .思路分析：要证 GE ＝GF ，根据题目条件，只要证明∠DEC ＝∠AFB ，利用“边角边”证明△ABF 和△DCE 全等得到∠DEC ＝∠AFB 即可.解答过程：证明：（1）∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE .在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△ABF ≌△DCE （SAS ）.∴∠DEC ＝∠AFB ，∴GE ＝GF .8．（2018·泰州市，20，8分）如图，∠A =∠D =90°，AC =DB ，AC 、DB 相交于点O .求证：OB =OC .思路分析：结合题中已知条件，要证OB =OC ，可以考虑证∠OBC =∠OCB ，这个条件可以通过证明Rt△ABC ≌Rt △DCB 而得到；也可以考虑证明△ABO ≌△DCO ，差一对相等的边，也可以通过证明Rt △ABC ≌Rt △DCB 而得到．解答过程：证明：法一：∵∠A =∠D =90°，AC =DB ，BC =CB ，∴Rt △ABC ≌Rt △DCB （HL ），∴∠OBC =∠OCB ，∴BO =CO ．法二：∵∠A =∠D =90°，AC =DB ，BC =CB ，∴Rt △ABC ≌Rt △DCB （HL ），∴AB =DC ，又∵∠AOB = ∠DOC ，∴△ABO ≌△DCO （AAS ），∴BO =CO ．9．（2018·怀化市，19，10分） 已知：如图，点A ，F ，E ，C 在同一直线上，AB ∥DC ，AB =CD ，∠B =∠D .（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若点E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点，连接EG ，且EG =5，求AB 的长.思路分析：（1）要证△ABE ≌△CDF ，已经具有两个条件，再利用AB ∥DC ，找出一对等角，即可证明；（2）求AB 的长，即求CD 的长，根据题中中位线条件，易求.解答过程：解：（1）证明：∵AB ∥DC ，∴∠A =∠C ，∵AB =CD ，∠B =∠D ，∴ △ABE ≌△CDF （ASA ）；（2）∵E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点，∴EG =21CD ，∵EG =5，∴CD =10，∵△ABE ≌△CDF ，∴AB =CD =10.10．（2018·德阳市，19，7分）如图点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AD 、AB 上一点，若AE ＝DC ＝2ED ，且EF ⊥EC ．（1）求证：点F 为AB 的中点；（2）延长EF 与CB 的延长线相交于点H ，连结AH ，已知ED ＝2，求AH 的值。