高一必修一2.2和2.3练习 - 副本

2.3 二次函数与—元二次方程、不等式1．若不等式2(1)0mx m x m +-+>对实数x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围（ ） A ．1m <-或13m > B ．1m >C ．13m >D ．113m -<< 2．若关于x 的不等式22840x x a --+≤在13x ≤≤内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12a ≤ B ．12a ≥ C ．10a ≤ D ．10a ≥3．已知集合2{|20}M x x x =-<，{|41}N x x =-<<，则M N ⋃=（ ）A ．{|42}x x -<<B ．{|31}x x -<<C ．{|22}x x -<<D ．{|12}x x -<<4．已知集合||12}A x Z x =∈-≤≤，{}2|1B x x =≤，则（ ） A ．{}1,0,1A B =- B ．{}1,0,1,2A B ⋃=-C ．{}|11A B x x ⋂=-≤≤D ．{}|12A B x x ⋃=-≤≤ 5．若对任意(1,)x ∈+∞，不等式(1)(1)0x ax -+≤恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．11a -≤≤ B ．1a ≤ C ．1a ≥- D ．1a ≤-6．已知集合{}3M x x =≥，{}23100N x x x =--≤，则M N ⋃=（ ） A ．{}35M x x =≤≤ B ．{}3M x x =≥ C ．{}2x x ≥- D ．{}5x x ≤ 7．不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦成立，则a 的最小值为（ ）A ．52B ．52-C ．2D ．2-8．若不等式220x ax a -+>对一切实数x ∈R 恒成立，则关于t 的不等式2log (22)0a t t +->的解集为（ ）A ．(3,1)-B ．(3,13)(13,1)----+C ．(13,13)---+D ．(,13)(13,)-∞---++∞ 9．已知函数()24x x a f x x++=，若对于任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)5,+∞B ．()5,-+∞C ．()5,5-D ．[]5,5- 10．已知()22f x x bx c =-++，不等式()0f x >的解集为()-1,3.若对任意的[]1,0x ∈-，()4f x m +≥恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．](-2∞， B ．](-4∞， C ．[)2+∞， D ．[)4+∞， 11．已知关于x 的不等式11ax x <-的解集为()(),12,-∞⋃+∞，则不等式11x ax-≥的解集为__________. 12．“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件是__________.13．已知集合{}2A x x =≤，(){}40B x x x =-≤，则()A B =R ________.14．已知函数()224f x x mx =--+，若对于任意[],2x m m ∈+，都有()0f x >成立，则实数m 的取值范围为_____.15．若对定义域内任意x ，都有()()f x a f x +>（a 为正常数），则称函数()f x 为“a 距”增函数．若()3144f x x x =-+，x ∈R 是“a 距”增函数，则a 的取值范围是________．16．某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为215(05)2R x x x =-，其中x 是产品生产并售出的数量（单位：百台）． （1）把利润表示为年产量的函数．（2）年产量为多少时，企业所得利润最大？（3）年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？17．已知函数2()3f x x ax a =++-，a R ∈.当[]0,2x ∈时，()f x 的最大值是关于a 的函数()M a .求函数()M a 的表达式及()M a 的最小值 18．已知2,()23a f x ax x ∈=+-R ．（Ⅰ）关于x 的方程()0f x =有且只有正根，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若()30f x a -≥对[1,0]a ∈-恒成立，求实数x 的取值范围．19．解不等式：2(2)10ax a x +++>.20．已知函数()22222=-++f x x ax a ． （1）关于x 的方程()22=f x a 有解，求实数a 的取值范围； （2）求函数()f x 在区间33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值． 21．已知函数2()(2)2()f x x a x a a R =-++∈.（1）求不等式()0f x <的解集；（2）若当x ∈R 时，()4f x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.22．已知函数21y mx mx =--.（1）若0y <时，对任意的x ∈R 都成立，求实数m 的取值范围；（2）求关于x 的不等式()2223y m x x <---的解集. 23．已知不等式()21460a x x --+>的解集为{}31x x -<<． （1）解不等式()2220x a x a +-->； （2）b 为何值时，230ax bx ++≥的解集为R ？24．（1）解关于x 的不等式2(23)60(0)ax a x a -++>≠（2）若对任意a ∈[-1，1]，2(23)60ax a x -++>恒成立，求实数x 的取值范围.25．已知函数()|||2|(),()|2|()f x x k x k R g x x m m Z =-++∈=+∈．（1）若关于x 的不等式()1g x 的整数解有且仅有一个值4-，当1k =时，求不等式()f x m 的解集；（2）已知2()23h x x x =-+，若12,(0,)x R x ∀∈∃∈+∞，使得12()()f x h x 成立，求实数k 的取值范围．参考答案1．C【分析】对m 分m≠0和m=0两种情况讨论分析得解.【详解】由题得0m =时，x ＜0，与已知不符，所以m≠0.当m≠0时，220(1)40m m m >∆=--<且， 所以13m >. 综合得m 的取值范围为13m >. 故选C 【点评】本题主要考查一元二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．A【分析】原不等式22840x x a --+≤在13x ≤≤内有解等价于2284a x x ≤-++在13x ≤≤内有解， 等价于()[]2max 284,1,3a x x x ≤-++∈，再根据二次函数的性质即可求出结果.【详解】原不等式22840x x a --+≤在13x ≤≤内有解等价于2284a x x ≤-++在13x ≤≤内有解，设函数()[]2284,1,3f x x x x =-++∈， 所以原问题等价于()max a f x ≤又当2x =时，()max 12f x =，所以12a ≤.故选：A.【点评】本题主要考查一元二次不等式的应用，考查函数与方程思想和等价化归与转化思想．属于基础题．3．A【分析】解一元二次不等式化简集合M ，利用并集的定义求解即可．【详解】集合{}2{|20}|02M x x x x x =-<=<<，{|41}N x x =-<<则{}|42M N x x ⋃=-<<故选：A【点评】本题考查集合的交并补运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题． 4．A【分析】用列举法表示出集合A ，再求解出不等式21x ≤的解集为集合B ，即可计算出,A B A B ⋃⋂的结果.【详解】因为集合{|12}{1,0,1,2}A x Z x =∈-≤≤=-，{}2|1{|11}B x x x x =≤=-≤≤， 所以{1,0,1}A B ⋂=-，{|11}{2}A B x x ⋃=-≤≤⋃，故选：A.【点评】本题考查集合的交集和并集运算，难度较易.5．D【分析】对任意()1,x ∈+∞，不等式()()110x ax -+≤恒成立，即10ax +≤恒成立，代入计算得到答案.【详解】对任意()1,x ∈+∞，不等式()()110x ax -+≤恒成立10x ->即10ax +≤恒成立1101ax a a x+≤⇒≤-⇒≤- 故答案为D 【点评】本题考查了不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力. 6．C【分析】解一元二次不等式化简集合N ，利用并集的定义计算即可． 【详解】集合{}3M x x =≥，{}()(){}{}2310052025N x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤则M N ⋃={}2x x ≥-故选：C【点评】本题考查集合的交并补运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题． 7．B 【分析】不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦成立，等价于21x ax +≥-即1a x x -≤+对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦成立，利用对勾函数的单调性求出函数的最小值，代入可得a 的范围，进而得出a 的最小值．【详解】不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦成立， 等价于21x ax +≥-即1a x x -≤+对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦成立，1y x x =+在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，min 15222y ∴=+= 55,22a a ∴-≤≥-，即a 的最小值是52-． 故选：B【点评】本题考查一元二次不等式的恒成立问题，考查对勾函数的单调性，考查学生计算能力，属于基础题．8．B【分析】先由不等式220x ax a -+>恒成立确定a 的取值范围，然后再由对数函数性质求解．【详解】∵不等式220x ax a -+>对x ∈R 恒成立，∴2440a a ∆=-<，解得01a <<，∴由2log (22)0a t t +->得20221t t <+-<，∴31t -<<-11t -<．故选：B ．【点评】本题考查一元二次不等式恒成立问题，考查对数函数的性质．掌握一元二次不等式恒成立的条件是解题基础．对数函数中一定要注意对数的真数大于0．9．B【分析】根据条件将问题转化为“24a x x >--在[)1,+∞上恒成立”，再根据()2max 4a x x >--求解出a 的范围.【详解】因为对于任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，所以240x x a ++>对[)1,x ∈+∞恒成立，所以()2max 4a x x >--，[)1,x ∈+∞，又因为24y x x =--的对称轴为2x =-，所以24y x x =--在[)1,+∞上单调递减， 所以()()2max 4145x x --=--=-，所以5a >-，故选：B.【点评】方法点睛：一元二次不等式在指定区间上恒成立求解参数范围问题的处理方法： （1）分类讨论法：根据参数的临界值作分类讨论；（2）分离参数法：将自变量和参数分离开来，自变量部分构造新函数，分析新函数的最值与参数的大小关系.10．D【分析】先根据韦达定理求出b 和c 的值，再根据不等式恒成立求出m 的范围. 【详解】由题得13(2)2(1)32b b c⎧-+=-=⎪-⎪⎨⎪-⋅=-⎪⎩，所以b=4,c=6.所以()2246f x x x =-++. 因为对任意的[]1,0x ∈-，()4f x m +≥恒成立，所以对任意的[]1,0x ∈-，2242m x x -≥-恒成立，因为y=2242x x --在[-1,0]上的最大值为4.所以m≥4.故选D【点评】本题主要考查一元二次不等式的解和二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．()[),02,-∞+∞【分析】由题意可知2是方程11ax x =-的根，求出a 的值，代入不等式11x ax -≥，化简变形后解此不等式可得出结果.【详解】已知关于x 的不等式11ax x <-的解集为()(),12,-∞⋃+∞，则2是方程11ax x =-的根，则21a =，解得12a =， 代入不等式11x ax-≥得221x x -≥，即20x x -≥，解此不等式得0x <或2x ≥. 因此，不等式11x ax -≥的解集为()[),02,-∞+∞.故答案为：()[),02,-∞+∞.【点评】本题考查利用分式不等式的解集求参数，同时也考查了分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.12．14m > 【分析】利用判别式求出m 得取值范围，即命题的充要条件．【详解】∵“不等式x 2﹣x +m >0在R 上恒成立”，∴∆=(﹣1)2﹣4m <0，解得m 14>， 又∵m 14>⇒∆=1﹣4m <0，所以m 14>是“不等式x 2﹣x +m >0在R 上恒成立”的充要条件， 故答案为：14m > 【点评】本题考查一元二次不等式的应用，考查命题的充要条件，考查学生转化思想和计算能力，属于基础题．13．(]2,4【分析】对集合B 进行化简，先求出A R ，根据集合的交集运算，得到答案. 【详解】集合(){}{}4004B x x x x x =-≤=≤≤ 因为集合{}2A x x =≤ 所以{}2R A x x =>所以(){}(]242,4RA B x x ⋂=<≤=. 故答案为：(]2,4.【点评】本题考查解一元二次不等式，集合的补集、交集运算，属于简单题.14．⎛ ⎝⎭【分析】问题转化为()()020f m f m ⎧⎪⎨+⎪⎩＞＞，解一元二次不等式组，即可求出结果. 【详解】函数()224f x x mx =--+，若对于任意[],2x m m ∈+，都有()0f x >成立， 只需满足：()()020f m f m ⎧⎪⎨+⎪⎩＞＞即可， 整理得：()()22224022240m m m m m ⎧--+⎪⎨-+-++⎪⎩＞＞，解得803m m ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＜＜，即03m ＜＜故m的取值范围是⎛⎝⎭.故答案为：⎛ ⎝⎭.【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，属于中档题.15．(1,)+∞【分析】由题中定义得出()()f x a f x +>，作差变形后得出22313304ax a x a a ++->对任意的x ∈R 恒成立，结合0a >得出∆<0，由此可求得实数a 的取值范围.【详解】()()()()332231114433444f x a f x x a x a x x ax a x a a ⎡⎤⎛⎫+-=+-++--+=++- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 因为函数()y f x =是“a 距”增函数，所以22313304ax a x a a ++->恒成立， 由0a >，所以2210912014a a a ⎛⎫∆<⇒--<⇒> ⎪⎝⎭． 因此，实数a 的取值范围是()1,+∞.故答案为：()1,+∞.【点评】本题考查函数新定义，考查二次不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中等题.16．（1）21 4.750.5(05,2120.25(5).x x x y x x ⎧-+-⎪=⎨⎪->⎩；（2）475台；（3）年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．【分析】（1）根据利润函数＝销售收入函数−成本函数，由此即可求出结果；（2）由利润函数是二次函数，可以利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的自变量x 的值；（3）要使企业不亏本，则利润0y ≥，根据分段函数，分类解不等式，即可求出结果．【详解】（1）设利润为y 万元， 得22150.50.25(05),215550.50.25(5).2x x x x y x x ⎧---⎪⎪=⎨⎪⨯-⨯-->⎪⎩即()21 4.750.505,2120.25(5).x x x y x x ⎧-+-⎪=⎨⎪->⎩ （2）显然当05x ≤≤时，企业会获得最大利润， 此时，21( 4.75)10.781252y x =--+， 4.75x ∴=，即年产量为475台时，企业所得利润最大．（3）要使企业不亏本，则0y ≥． 即205,1 4.750.502x x x ≤≤⎧⎪⎨-+-≥⎪⎩或5,120.250,x x >⎧⎨-≥⎩ 得0.115x ≤≤或548x <≤，即0.1148x ≤≤．即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．【点评】本题主要考查了分段函数的应用，属于基础题.17．7,2()5,23,2a a M a a a a +>-⎧⎪==-⎨⎪-<-⎩，5. 【分析】讨论对称轴2a x =-和定义域的关系，分三种情况得到函数()M a ，根据分段函数求()M a 的最小值.【详解】函数()f x 的对称轴为2a x =-，[]0,2x ∈，不确定区间与对称轴的关系，分三类进行讨论：（1）当12a -<时，2a >-，()(2)7M a f a ==+； （2）当12a -=时，2a =-，()(0)(2)M a f f f ===； （3）当12a ->时，2a <-，()(0)3M a f a ==-. 所以，7,2()5,23,2a a M a a a a +>-⎧⎪==-⎨⎪-<-⎩．当2a >-时，()5M a >，2a <-时，()5M a >，所以当2a =-时，()M a 有最小值5.【点评】思路点睛：含参二次函数求最值，当不能确定对称轴是否属于区间[],m n ，则需分类讨论，以对称轴与区间的关系确定讨论的标准.18．（Ⅰ）103a -≤≤；（Ⅱ）[]0,3． 【分析】（Ⅰ）讨论0a =和0a ≠两类，当0a ≠时，利用韦达定理列出不等式解出实数a 的取值范围；（Ⅱ）构造()()232g a a x x =-+，[1,0]a ∈-，则()()1000g g ⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩，解不等式可得实数x 的取值范围．【详解】（Ⅰ）当0a =时，()230f x x =-=，解得32x =，符合题意； 当0a ≠时，()0f x =即2230ax x +-=，121241202030a x x a x x a ⎧⎪∆=+≥⎪⎪+=->⎨⎪⎪=->⎪⎩，解得103a -≤< 综上可得：实数a 的取值范围是103a -≤≤． （Ⅱ）()30f x a -≥即22330ax x a +--≥，构造()()232g a a x x =-+，[1,0]a ∈- 则有()()1000g g ⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩，即223020x x x ⎧-++≥⎨≥⎩，解得03x ≤≤ 实数x 的取值范围是[]0,3．【点评】方法点睛：本题考查一元二次方程根的问题，考查不等式的恒成立问题，关于恒成立问题的几种常见解法总结如下：1.参变分离法，将不等式恒成立问题转化为函数求最值问题；2.主元变换法，把已知取值范围的变量作为主元，把求取值范围的变量看作参数；3.分类讨论，利用函数的性质讨论参数，分别判断单调性求出最值；4.数形结合法，将不等式两端的式子分别看成两个函数，作出函数图象，列出参数的不等式求解．19．答案见解析.【分析】本题首先可讨论0a =这种情况，将不等式化为210x +>并求解，然后讨论0a >、0a <这两种情况，此时0∆>，最后根据两个实根的大小关系即可得出结果.【详解】①当0a =时，不等式为210x +>，解集为12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭，②当0a ≠时，22(2)440a a a ∆=+-=+>，恒有两个实根1x =2x =， 当0a >时，2222a a a a----<，解集为x x ⎧⎪<⎨⎪⎩x >⎪⎭； 当0a <时，22242422a a a a aa ，解集为x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭， 综上所述：0a =时，解集为12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭； 0a >时，解集为22ax x a ⎧--⎪<⎨⎪⎩或22a x a -->⎪⎭； 0a <时，解集为x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭.【点评】本题考查解含参数的一元二次不等式，解题时要注意分类讨论．分类讨论有三个层次：第一层次是最高次项系数是否为0，在最高次项系数不为零时，还应分正负，第二层次是相应的二次方程有无实根，第三层次就是比较两根的大小，是中档题.20．（1）(),a ∈-∞⋃+∞；（2）22min 217323,4233()2,2217323,42a a a f x a a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩．【分析】（1）关于x 的二次方程()22=f x a 有解，则0∆≥，解不等式可得实数a 的取值范围；（2）函数()f x 对称轴为x a =，开口向上，按32a ≤-，3322a -<<和32a ≥分别写出函数的单调性，进而得出最小值． 【详解】（1）由2222222-++=x ax a a ，则2220x ax -+=，由关于x 的方程()22=f x a 有解，则2220x ax -+=有解， 所以()22420∆=--⨯≥⇒≤a a 2a，则(),a ∈-∞⋃+∞． （2）由题可知：()22222=-++f x x ax a ，33,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，对称轴为x a =，开口向上， 当32a ≤-时，函数在33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，所以2min 317()2324f x f a a ⎛⎫=-=++ ⎪⎝⎭ 当3322a -<<时，函数在3,2⎛⎫- ⎪⎝⎭a 单调递减，在3,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以()2min ()2f x f a a ==+；当32a ≥时，函数在33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，所以2min 317()2324f x f a a ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭； 则函数在区间33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值为22min 217323,4233()2,2217323,42a a a f x a a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩．【点评】方法点睛：本题考查函数有解问题，考查二次函数最值的求法，考查分类讨论思想，有关恒成立有解问题的一般思路有：1.函数性质法，对于一次函数，只须两端满足条件即可；对于二次函数，就要考虑参数和∆的取值范围；2.分离变量法，将参数移到不等式的一侧，将自变量x 都移到不等式的另一侧；3.变换主元法，题目中已经告诉了参数的取值范围，要求自变量的取值范围，把自变量看作“参数”，把参数看作“自变量”，然后再利用函数的性质法求解；4.数形结合法，对于有根号的函数，或者指对幂函数相结合的不等式，求函数恒成立问题可以转化为求“谁的函数图像一直在上面”．21．(1)见解析；(2) []2,6a ∈- 【分析】（1）不等式()0f x <可化为：(2)()0x x a --<，比较a 与2的大小，进而求出解集．（2）()4f x ≥-恒成立即2(2)240x a x a -+++≥恒成立，则2(2)4(24)0a a ∆=+-+≤，进而求得答案．【详解】解：（1）不等式()0f x <可化为：(2)()0x x a --<，①当2a =时，不等()0f x <无解；②当2a >时，不等式()0f x <的解集为{}2x x a <<； ③当2a <时，不等式()0f x <的解集为{}2x a x <<. （2）由()4f x ≥-可化为：2(2)240x a x a -+++≥，必有：2(2)4(24)0a a ∆=+-+≤，化为24120a a --≤，解得：[]2,6a ∈-.【点评】本题考查含参不等式的解法以及恒成立问题，属于一般题．22．（1）(]4,0-；（2）答案见解析.【分析】（1）分0m =、0m <、0m >三种情况，结合题意得出关于m 的等式，进而可求得实数m 的取值范围；（2）将所求不等式化简变形为()()3110m x x +-+<⎡⎤⎣⎦，分m 分类讨论，结合二次不等式的解法可得出所求不等式的解集.【详解】（1）210mx mx --<对任意的x ∈R 都成立，当0m =时，10-<恒成立；当0m <，240m m ∆=+<，解得40m -<<，原不等式恒成立；当0m >时，原不等式不恒成立.综上可得m 的范围是(]4,0-；（2）关于x 的不等式()2223y m x x <---，即为()()23210m x m x +++-<， 化为()()3110m x x +-+<⎡⎤⎣⎦，当3m =-时，可得10x +>，解得1x >-，解集为{}1x x >-； 当3m >-，即103m >+，可得()1103x x m ⎛⎫-+< ⎪+⎝⎭，则解集为113x x m ⎧⎫-<<⎨⎬+⎩⎭； 当3m <-时，①若4m =-时，可得()210x +>，解集为{}1x x ≠-； ②若4m <-，即113m >-+，可得()1103x x m ⎛⎫-+> ⎪+⎝⎭，则解集为{1x x <-或13x m >+} ③若43m -<<-，则113m <-+，可得()1103x x m ⎛⎫-+> ⎪+⎝⎭，则解集为{13x x m <+或1x >-} 综上所述，当3m =-时，原不等式的解集为{}1x x >-； 当3m >-时，原不等式的解集为113x x m ⎧⎫-<<⎨⎬+⎩⎭； 当4m =-时，原不等式的解集为{}1x x ≠-； 当4m <-时，原不等式的解集为{1x x <-或13x m >+}； 当43m -<<-时，原不等式的解集为{13x x m <+或1x >-} .【点评】本题考查利用二次不等式恒成立求参数，同时也考查了含参二次不等式的求解，考查计算能力，属于中等题.23．（1）{|1x x <-或3}2x >；（2）66b -≤≤．【分析】（1）由已知条件结合韦达定理可求出a 的值，进而求出一元二次不等式求其解集；（2）由（1）得2330x bx ++≥的解集为R ，所以判别式小于等于零，可求出b 的范围. 【详解】（1）由题意知10a -<且－3和1是方程2(1)460a x x 的两根，∴10421631a aa⎧⎪-<⎪⎪=-⎨-⎪⎪=-⎪-⎩ 解得3a =.∴不等式22(2)0x a x a ，即为2230x x -->，解得1x <-或32x >. ∴所求不等式的解集为{|1x x <-或3}2x >；（2）230ax bx ++≥，即为2330x bx ++≥，若此不等式的解集为R ，则24330b ∆=-⨯⨯≤，解得66b -≤≤.【点评】本题考查了一元二次不等式的解法和由一元二次不等的解集求参数，考查了一元二次不等式恒成立问题，考查了计算能力，属于中档题.24．（1）详见解析；（2）{}32x x -<< 【分析】（1）不等式等价于()320a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，分3330,0,,222a a a a <<<=>四种情况讨论求不等式的解集；（2）不等式转化为()22360x x a x --+>，[]1,1a ∈-恒成立，通过设函数()()[]2236,1,1f a a x x x a =--+∈-，由恒成立思想建立不等式求x 的取值范围.【详解】（1）不等式化简为()()()332020ax x a x x a ⎛⎫-->⇔--> ⎪⎝⎭，当0a >时，不等式等价于()320x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭， 当32a <时，即32a >时，不等式的解集是{2x x >或3}x a <， 当32a =时，即32a =时，不等式的解集是{}2x x ≠， 当32a >时，即302a <<时，不等式的解集是3x x a ⎧>⎨⎩或2}x <， 当0a <时，不等式等价于()320x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，不等式的解集是32x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 综上可知：32a >时，不等式的解集是{2x x >或3}x a <，32a =时，不等式的解集是{}2x x ≠，302a <<时，不等式的解集是3x x a ⎧>⎨⎩或2}x <，当0a <时，不等式的解集是32x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. （2）不等式整理为()22360x x a x --+>，[]1,1a ∈-恒成立， 设()()[]2236,1,1f a a x x x a =--+∈-， 可得：()()1010f f ⎧->⎪⎨>⎪⎩ ，即()()()222630126302x x x x x x ⎧--+->⎪⎨-+->⎪⎩ （1）解得：32x -<<，（2）解得：3x >或2x < ， 所以不等式的解集是{}32x x -<< 【点评】本题考查含参不等式的解法，不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的思想和构造法，逻辑推理和计算能力，属于中档题型.25．（1）97,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）(,4][0,)-∞-+∞ 【分析】（1）求解不等式()1g x ，结合整数解有且仅有一个值4-，可得8m =，分类讨论，求解不等式，即得解；（2）转化12,(0,)x R x ∀∈∃∈+∞，使得12()()f x h x 成立为1min 2min ()()f x h x ，利用不等式性质()|||2||()(2)||2|f x x k x x k x k =-++--+=+，求解二次函数最小值，代入解不等式即可. 【详解】（1）不等式()1g x ，即|2|1x m +，所以1122m m x ---+， 由1154322m m ---+-<-<-， 解得79m <<．因为m Z ∈，所以8m =，当1k =时，()|1||2|f x x x =-++21,2,3,21,21,1,x x x x x ---⎧⎪=-<<⎨⎪+⎩，不等式()8f x 等价于2,218x x -⎧⎨--≤⎩或21,38x -<<⎧⎨⎩或1,218.x x ⎧⎨+⎩ 即922x --或21x -<<或712x ， 故9722x -，故不等式()8f x 的解集为97,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． （2）因为()|||2||()(2)||2|f x x k x x k x k =-++--+=+，由22()23(1)2,(0,)h x x x x x =-+=-+∈+∞，可得min ()(1)2h x h ==，又由12,(0,)x R x ∀∈∃∈+∞，使得12()()f x h x 成立，则|2|2k +，解得4k -或0k ．故实数k 的取值范围为(,4][0,)-∞-+∞．【点评】本题考查了绝对值不等式的求解和恒成立问题，考查了学生转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.。

2.2.1.3一、选择题1．下列各式中不正确的是( )[答案] D[解析] 根据对数的运算性质可知：2．log 23·log 34·log 45·log 56·log 67·log 78＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] log 23·log 34·log 45·log 56·log 67·log 78＝lg3lg2×lg4lg3×lg5lg4×lg6lg5×lg7lg6×lg8lg7＝lg8lg2＝3，故选C.3．设lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512等于( ) A.2a ＋b 1＋a B.a ＋2b 1＋a C.2a ＋b 1－aD.a ＋2b 1－a[答案] C[解析] log 512＝lg12lg5＝2lg2＋lg31－lg2＝2a ＋b1－a ，故选C.4．已知log 72＝p ，log 75＝q ，则lg2用p 、q 表示为( ) A ．pq B.q p ＋q C.pp ＋qD.pq 1＋pq[答案] B[解析] 由已知得：log 72log 75＝p q ，∴log 52＝pq变形为：lg2lg5＝lg21－lg2＝p q ，∴lg2＝pp ＋q，故选B.5．设x ＝，则x ∈( )A ．(－2，－1)B ．(1,2)C ．(－3，－2)D ．(2,3)[答案] D[解析] x ＝＝log 310∈(2,3)，故选D.6．设a 、b 、c ∈R ＋，且3a ＝4b ＝6c ，则以下四个式子中恒成立的是( )A.1c ＝1a ＋1b B.2c ＝2a ＋1b C.1c ＝2a ＋2bD.2c ＝1a ＋2b[答案] B[解析] 设3a ＝4b ＝6c ＝m ， ∴a ＝log m 3，b ＝log m 4，c ＝log m 6， ∴1a ＝log m 3，1b ＝log m 4，1c ＝log m 6， 又∵log m 6＝log m 3＋log m 2，1c ＝1a ＋12b ，即2c ＝2a ＋1b，故选B. 7．设方程(lg x )2－lg x 2－3＝0的两实根是a 和b ，则log a b ＋log b a 等于( ) A ．1 B ．－2 C ．－103D ．－4[答案] C[解析] 由已知得：lg a ＋lg b ＝2，lg a lg b ＝－3那么log a b ＋log b a ＝lg b lg a ＋lg a lg b ＝lg 2b ＋lg 2alg a lg b＝(lg a ＋lg b )2－2lg a lg b lg a lg b ＝4＋6－3＝－103，故选C.8．已知函数f (x )＝2x 2＋lg(x ＋x 2＋1)，且f (－1)≈1.62，则f (1)≈( )A ．2.62B ．2.38C ．1.62D ．0.38[答案] B[解析] f (－1)＝2＋lg(2－1)，f (1)＝2＋lg(2＋1) 因此f (－1)＋f (1)＝4＋lg[(2－1)(2＋1)]＝4， ∴f (1)＝4－f (－1)≈2.38，故选B. 二、填空题9．设log 89＝a ，log 35＝b ，则lg2＝________. [答案]22＋3ab[解析] 由log 89＝a 得log 23＝32a ，∴lg3lg2＝3a2，又∵log 35＝lg5lg3＝b ，∴lg3lg2×lg5lg3＝32ab ， ∴1－lg2lg2＝32ab ， ∴lg2＝22＋3ab.10．已知log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，那么式子log abc x ＝________. [答案] 1[解析] log x (abc )＝log x a ＋log x b ＋log x c ＝12＋13＋16＝1，∴log abc x ＝1.11．若log a c ＋log b c ＝0(c ≠1)，则ab ＋c －abc ＝______. [答案] 1[解析] 由log a c ＋log b c ＝0得：lg(ab )lg a lg b·lg c ＝0，∵c ≠1，∴lg c ≠0∴ab ＝1， ∴ab ＋c －abc ＝1＋c －c ＝1.12．光线每透过一块玻璃板，其强度要减弱110，要使光线减弱到原来的13以下，至少要这样的玻璃板______块(lg3＝0.4771)．[答案] 11[解析] 设光线原来的强度为1，透过第n 块玻璃板后的强度为(1－110)n .由题意(1－110)n <13，两边同时取对数得n lg(1－110)<lg 13，所以n >－lg32lg3－1＝0.47710.0458≈10.42故至少需要11块玻璃板． 三、解答题13．已知log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m 的值． [解析] log 416＝2，log 34·log 48·log 8m ＝log 3m ＝2， ∴m ＝9.14．计算(lg 12＋lg1＋lg2＋lg4＋lg8＋……＋lg1024)·log 210.[解析] (lg 12＋lg1＋lg2＋lg4＋…＋lg1024)·log 210＝(－1＋0＋1＋2＋…＋10)lg2·log 210＝－1＋102×12＝54. 15．若25a ＝53b ＝102c ，试求a 、b 、c 之间的关系． [解析] 设25a ＝53b ＝102c ＝k ， 则a ＝15log 2k ，b ＝13log 5k ，c ＝12lg k .∴log k 2＝15a ，log k 5＝13b ，log k 10＝12c ，又log k 2＋log k 5＝log k 10，∴15a ＋13b ＝12c. 16．设4a ＝5b ＝m ，且1a ＋2b ＝1，求m 的值．[解析] a ＝log 4m ，b ＝log 5m .∴1a ＋2b＝log m 4＋2log m 5＝log m 100＝1，∴m ＝100. 17．已知二次函数f (x )＝(lg a )x 2＋2x ＋4lg a 的最大值是3，求a 的值． [解析] ∵f (x )的最大值等于3∴⎩⎪⎨⎪⎧lg a <016lg 2a －44lg a＝3，∴(4lg a ＋1)(lg a －1)＝0∵lg a <0，∴lg a ＝－14，∴a ＝10－14.。

2021-2022年高一物理第一册培优同步专题训练 2.2 匀变速直线运动的速度与时间的关系一、单选题。

本大题共12小题，每小题只有一个选项符合题意。

1．下列四个图读中，表示物体做匀加速直线运动的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．关于匀变速直线运动，下列说法中正确的是（ ） A ．匀加速直线运动的速度一定与时间成正比 B ．匀减速直线运动就是加速度为负值的运动 C ．匀变速直线运动的速度随时间均匀变化D ．速度先减小再增大的运动一定不是匀变速直线运动3．在光滑足够长的斜面上，有一物体以10 m/s 初速度沿斜面向上运动，如果物体的加速度始终为5m/s 2，方向沿斜面向下。

那么经过3 s 时的速度大小和方向是 （ ） A ．25m/s ，沿斜面向上 B ．5m/s ，沿斜面向下 C ．5m/s ，沿斜面向上D ．25m/s ，沿斜面向下4．如图所示为一物体做直线运动的v t -图象，用1v 、1a 表示物体在10~t 时间内的速度和加速度，22v a 、表示物体在21~t t 时间内的速度和加速度，则由图可知（ ）A ．1v 与2v 方向相同，1a 与2a 方向相同，12a a >B ．1v 与2v 方向相同，1a 与2a 方向相反，12a a <C ．1v 与2v 方向相反，1a 与2a 方向相同，12a a >5．甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，0t =时刻同时经过公路旁的同一个路标，如图所示，图线a 、b 分别描述了甲、乙两车在0~20s 的运动情况。

下列说法正确的是（ ）A ．在0~10s 内两车都做减速直线运动B ．在10~20s 内乙车加速度为0.52m /sC ．在5~15s 内甲车的平均速度大小为5m /sD ．在10s t =时乙车速度比甲车大6．星级快车出站时能在150 s 内匀加速到180 km/h ，然后正常行驶．某次因意外列车以加速时的加速度大小将车速减至108 km/h.以初速度方向为正方向，则下列说法不正确的是( )A ．列车加速时的加速度大小为13m/s 2B ．列车减速时，若运用v ＝v 0＋at 计算瞬时速度，其中a ＝－13m/s 2C ．若用v -t 图象描述列车的运动，减速时的图线在时间轴(t 轴)的下方D ．列车由静止加速，1 min 内速度可达20 m/s7．一质点自x 轴原点出发，沿正方向以加速度a 加速，经过t 0时间速度变为v 0，接着以加速度a 运动，当速度变为2v 时，加速度又变为a ，直至速度变为04v 时，加速度再变为a ，直到速度为8v ··，其v –t 图象如图所示，则下列说法正确的是A．质点运动过程中离原点的最大距离为v0t0B．质点一直沿x轴正方向运动C．质点最终静止在原点D．质点在x轴上的整个运动过程就是一个匀变速直线运动8．一家从事创新设计的公司打造了一台飞行汽车，既可以在公路上行驶，也可以在天空飞行。

2.2.2　对数函数及其性质课后篇巩固提升基础巩固1.y=2x与y=log2x的图象关于( )A.x轴对称B.直线y=x对称C.原点对称D.y轴对称y=2x与y=log2x互为反函数,故函数图象关于直线y=x对称.2.函数y=ln(1-x)的图象大致为( )(-∞,1),且函数在定义域上单调递减,故选C.3.已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,且a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是( )A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1y=log a (x+c )的图象是由y=log a x 的图象向左平移c 个单位长度得到的,结合题图知0<c<1.根据单调性易知0<a<1.4.已知a>0且a ≠1,函数y=log a x ,y=a x ,y=x+a 在同一坐标系中的图象可能是( )函数y=a x 与y=log a x 的图象关于直线y=x 对称,再由函数y=a x 的图象过(0,1),y=log a x 的图象过(1,0),观察图象知,只有C 正确.5.已知a=,b=log 2,c=lo ,则( )2-1313g 1213A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b0<a=<20=1,b=log 2<log 21=0,c=lo >lo =1,∴c>a>b.故选D .2-1313g 1213g 12126.若对数函数f (x )的图象经过点P (8,3),则f = .(12)f (x )=log a x (a>0,a ≠1),则log a 8=3,∴a 3=8,∴a=2.∴f (x )=log 2x ,故f =log 2=-1.(12)1217.将y=2x 的图象先 ,再作关于直线y=x 对称的图象,可得到函数y=log 2(x+1)的图象( )A.先向上平移一个单位长度B.先向右平移一个单位长度C.先向左平移一个单位长度D.先向下平移一个单位长度,可求出解析式或利用几何图形直观推断.8.已知函数f (x )=直线y=a 与函数f (x )的图象恒有两个不同的交点,则a 的取值范围{log 2x ,x >0,3x ,x ≤0,是 .f (x )的图象如图所示,要使直线y=a 与f (x )的图象有两个不同的交点,则0<a ≤1.9.作出函数y=|log 2x|+2的图象,并根据图象写出函数的单调区间及值域.y=log 2x 的图象,如图甲.再将y=log 2x 在x 轴下方的图象关于x 轴对称翻折到x 轴上方(原来在x 轴上方的图象不变),得函数y=|log 2x|的图象,如图乙;然后将y=|log 2x|的图象向上平移2个单位长度,得函数y=|log 2x|+2的图象,如图丙.由图丙得函数y=|log 2x|+2的单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(0,1),值域是[2,+∞).10.已知对数函数y=f(x)的图象经过点P(9,2).(1)求y=f(x)的解析式;(2)若x∈(0,1),求f(x)的取值范围.(3)若函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称,求y=g(x)的解析式.设f(x)=log a x(a>0,且a≠1).由题意,f(9)=log a9=2,故a2=9,解得a=3或a=-3.又因为a>0,所以a=3.故f(x)=log3x.(2)因为3>1,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,即f(x)的取值范围为(-∞,0).g1(3)因为函数y=g(x)的图象与函数y=log3x的图象关于x轴对称,所以g(x)=lo x.3能力提升1.函数y=log a(x+2)+1(a>0,且a≠1)的图象过定点( )A.(1,2)B.(2,1)C.(-2,1)D.(-1,1)x+2=1,得x=-1,此时y=1.2.若函数f (x )=log 2x 的反函数为y=g (x ),且g (a )=,则a=( )14A.2 B.-2 C. D.-1212,得g (x )=2x .∵g (a )=,∴2a =,∴a=-2.14143.若函数f (x )=log 2(x 2-ax-3a )在区间(-∞,-2]上是减函数,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,4)B.(-4,4]C.(-∞,4)∪[2,+∞)D.[-4,4)t (x )=x 2-ax-3a ,则由函数f (x )=log 2t 在区间(-∞,-2]上是减函数,可得函数t (x )在区间(-∞,-2]上是减函数,且t (-2)>0,所以有-4≤a<4,故选D .4.已知函数f (x )=a x +log a (x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值等于( )A. B.2 C.3D.1213y=a x 与y=log a (x+1)在[0,1]上的单调性相同,所以f (x )在[0,1]上的最大值与最小值之和为f (0)+f (1)=(a 0+log a 1)+(a 1+log a 2)=a ,整理得1+a+log a 2=a ,即log a 2=-1,解得a=.故选A .125.已知a=log 23.6,b=log 43.2,c=log 43.6,则a ,b ,c 的大小关系为 .a==2log 43.6=log 43.62,又函数y=log 4x 在区间(0,+∞)上是增函数,3.62>3.6>3.2,log 43.6log 42∴log 43.62>log 43.6>log 43.2,∴a>c>b.6.已知a>0且a ≠1,则函数y=a x 与y=log a (-x )在同一直角坐标系中的图象只能是下图中的 (填序号).方法一)首先,曲线y=a x 位于x 轴上方,y=log a (-x )位于y 轴左侧,从而排除①③.其次,从单调性考虑,y=a x 与y=log a (-x )的增减性正好相反,又可排除④.故只有②满足条件.(方法二)若0<a<1,则曲线y=a x 下降且过点(0,1),而曲线y=log a (-x )上升且过点(-1,0),所有选项均不符合这些条件.若a>1,则曲线y=a x 上升且过点(0,1),而曲线y=log a (-x )下降且过点(-1,0),只有②满足条件.(方法三)如果注意到y=log a (-x )的图象关于y 轴的对称图象为y=log a x 的图象,又y=log a x 与y=a x 互为反函数(两者图象关于直线y=x 对称),则可直接选②.7.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,若当x ∈(0,+∞)时,f (x )=lg x ,则满足f (x )>0的x 的取值范围是 .f (x )的解析式为f (x )=其图象如右图所示.{lg x ,x >0,0,x =0,-lg (-x ),x <0,由函数图象可得不等式f (x )>0时,x 的取值范围为(-1,0)∪(1,+∞).-1,0)∪(1,+∞)8.设函数f (x )=ln(ax 2+2x+a )的定义域为M.(1)若1∉M ,2∈M ,求实数a 的取值范围;(2)若M=R ,求实数a 的取值范围.由题意M={x|ax 2+2x+a>0}.由1∉M ,2∈M 可得{a ×12+2×1+a ≤0,a ×22+2×2+a >0,化简得解得-<a ≤-1.{2a +2≤0,5a +4>0,45所以a 的取值范围为.(-45,-1](2)由M=R 可得ax 2+2x+a>0恒成立.当a=0时,不等式可化为2x>0,解得x>0,显然不合题意;当a ≠0时,由二次函数的图象可知Δ=22-4×a×a<0,且a>0,即化简得解得a>1.{4-4a 2<0,a >0,{a 2>1,a >0,所以a 的取值范围为(1,+∞).9.已知函数f (x )=log 2(a 为常数)是奇函数.1+ax x -1(1)求a 的值与函数f (x )的定义域;(2)若当x ∈(1,+∞)时,f (x )+log 2(x-1)>m 恒成立,求实数m 的取值范围.∵函数f (x )=log 2是奇函数,1+axx -1∴f (-x )=-f (x ).∴log 2=-log 2.1-ax -x -11+ax x -1即log 2=log 2,∴a=1.ax -1x +1x -11+ax 令>0,解得x<-1或x>1.1+x x -1所以函数的定义域为{x|x<-1或x>1}.(2)f (x )+log 2(x-1)=log 2(1+x ),当x>1时,x+1>2,∴log 2(1+x )>log 22=1.∵x ∈(1,+∞),f (x )+log 2(x-1)>m 恒成立,∴m ≤1.故m 的取值范围是(-∞,1].。

2.2.2.3一、选择题1.已知a >0且a ≠1，则在同一坐标系中，函数y ＝a －x 和y ＝log a (－x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 若0<a <1，则y ＝a －x 单调增，只能是A 、C ，此时，log a (－x )单调增，排除C ，x ＝1时，log a (－x )无意义，排除A ；∴a >1，此时y ＝log a (－x )单调减，排除B ，故选D.2.若0<a <1，函数y ＝log a (x ＋5)的图象不通过( ) A.第一象限 B ．第二象限 C.第三象限D ．第四象限[答案] A[解析] 将y ＝log a x 的图象向左平移5个单位，得到y ＝log a (x ＋5)的图象，故不过第一象限，选A. 3.设0<x <y <1，则下列结论中错误．．的是( ) ①2x <2y ②⎝⎛⎭⎫23x <⎝⎛⎭⎫23y ③log x 2<log y 2 ④log 12x >log 12yA ．①②B ．②③C ．①③D ．②④[答案] B[解析] ∵y ＝2u 为增函数，x <y ，∴2x <2y ，∴①正确； ∵y ＝⎝⎛⎭⎫23u为减函数，x <y ，∴⎝⎛⎭⎫23x >⎝⎛⎭⎫23y ，∴②错误； ∵y ＝log 2x 为增函数，0<x <y <1，∴log 2x <log 2y <0，∴log x 2>log y 2，∴③错误； ∵y ＝log 12u 为减函数0<x <y ，∴log 12x >log 12y ，∴④正确．4．如下图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 的取值分别为3、43、35、110，则相应于C 1、C 2、C 3、C 4的a 值依次是( )A.3，43，35，110B.3，43，110，35C.43，3，35，110D.43，3，110，35[答案] A[解析] 根据对数函数图象的变化规律即可求得． 5．函数y ＝log 12|x ＋2|的增区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(－2，＋∞)[答案] B[解析] 由y ＝log 12|x ＋2|∵t ＝－(x ＋2)在x ∈(－∞，－2)上是减函数，y ＝log 12t 为减函数，∴此函数在(－∞，－2)上是增函数．6．设a >0且a ≠1，函数y ＝log a x 的反函数与y ＝log a 1x 的反函数的图象关于( )A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．y ＝x 对称D ．原点对称[答案] B7．(08·陕西)设函数f (x )＝2x ＋3的反函数为f －1(x )，若mn ＝16(m 、n ∈R ＋)，则f －1(m )＋f －1(n )的值为( )A ．－2B ．1C ．4D ．10[答案] A[解析] 解法一：由y ＝2x＋3得x ＝－3＋log 2y ，∴反函数f －1(x )＝－3＋log 2x ，∵mn ＝16，∴f －1(m )＋f －1(n )＝－6＋log 2m ＋log 2n＝－6＋log 2(mn )＝－6＋log 216＝－2.解法二：设f －1(m )＝a ，f －1(n )＝b ，则f (a )＝m ，f (b )＝n ， ∴mn ＝f (a )·f (b )＝2a ＋3·2b ＋3＝2a＋b ＋6＝16，∴a ＋b ＋6＝4，∴a ＋b ＝－2.8．若函数f (x )＝log a |x ＋1|在(－1,0)上有f (x )>0，则f (x )( ) A ．在(－∞，0)上是增函数 B ．在(－∞，0)上是减函数 C ．在(－∞，－1)上是增函数 D ．在(－∞，－1)上是减函数 [答案] C[解析] 当－1<x <0时，0<x ＋1<1， 又log a |x ＋1|>0，∴0<a <1因此函数f (x )＝log a |x ＋1|在(－∞，－1)上递增；在(－1，＋∞)上递减．9．已知函数f (x )＝log a (x －k )的图象过点(4,0)，而且其反函数y ＝f －1(x )的图象过点(1,7)，则f (x )是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增[答案] A[解析] 由于y ＝f －1(x )过点(1,7)，因此y ＝f (x )过点(7,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ log a (4－k )＝0log a (7－k )＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3a ＝4， ∴f (x )＝log 4(x －3)是增函数．10．已知函数f (x )＝log 12(3x 2－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．－8≤a ≤－6B ．－8<a <－6C ．－8<a ≤－6D ．a ≤－6[答案] C[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧3－a ×(－1)＋5>0a 6≤－1⇒－8<a ≤－6，故选C.[点评] 不要只考虑对称轴，而忽视了定义域的限制作用． 二、填空题11．y ＝log a x 的图象与y ＝log b x 的图象关于x 轴对称，则a 与b 满足的关系式为________． [答案] ab ＝112．方程2x ＋x ＝2，log 2x ＋x ＝2,2x ＝log 2(－x )的根分别为a 、b 、c ，则a 、b 、c 的大小关系为________． [答案] b >a >c[解析] 在同一坐标系内画出y ＝2x ，y ＝log 2x ，y ＝2－x ，y ＝log 2(－x )的图象．∴b >a >c .13．方程a －x ＝log a x (a >0且a ≠1)的解的个数为____．[答案] 1[解析] 当a >1时，在同一坐标系中作出y ＝log a x 和y ＝a －x 的图象如图，则两个图象只有一个交点．同理，当0<a <1时，可观察出两个图象也只有一个交点．14．已知c 1：y ＝log a x ，c 2：y ＝log b x ，c 3：y ＝log c x 的图象如图(1)所示．则在图(2)中函数y ＝a x 、y ＝b x 、y ＝c x 的图象依次为图中的曲线__________．[答案] m 1，m 2，m 3 [解析] 由图(1)知c >1>a >b >0故在图(2)中m 3：y ＝c x ，m 2：y ＝b x ，m 1：y ＝a x . 15．函数y ＝a x ＋1(0<a ≠1)的反函数图象恒过点______．[答案] (1，－1) [解析] 由于y ＝a x ＋1的图象过(－1,1)点，因此反函数图象必过点(1，－1)．三、解答题16．已知函数f (x )＝log 1a(2－x )在其定义域内单调递增，求函数g (x )＝log a (1－x 2)的单调递减区间．[解析] 由于f (x )＝log 1a(2－x )在定义域内递增，所以0<1a <1，即a >1，因此g (x )＝log a (1－x 2)的递减区间为[0,1)．17．我们知道，y ＝a x (a >0且a ≠1)与y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数．只要把其中一个进行指对互化．就可以得到它的反函数的解析式．任意一个函数y ＝f (x )，将x 用y 表示出来能否得到它的反函数？据函数的定义：对于自变量x 的每一个值y 都有唯一确定的值与之对应．如果存在反函数，应是对于y 的每一个值，x 都有唯一确定的值与之对应，据此探究下列函数是否存在反函数？若是，反函数是什么？若否，为什么？(1)y ＝2x ＋1; (2)y ＝x ； (3)y ＝x 2;(4)y ＝2x －1x ＋1.[解析] (1)∵y ＝2x ＋1是单调增函数，由y ＝2x ＋1解得x ＝12(y －1)这时对任意y ∈R ，都有唯一确定的x 与之对应，也就是x 是y 的函数，按习惯用x 表示自变量，y 表示函数，则y ＝2x ＋1的反函数为y ＝12(x －1)． (2)同(1)的道理，∵y ＝x 单调增，也存在反函数，由y ＝x 解出x ＝y 2，∴y ＝x 的反函数为y ＝x 2，因为这里的x 就是y ＝x 中的y 且y ≥0，∴x ≥0，即反函数为y ＝x 2(x ≥0)．(3)∵x ＝±1时，都有y ＝1，反过来对于y ＝1，x 有两个值与之对应，故y ＝x 2不存在反函数． (4)由y ＝2x －1x ＋1解得x ＝y ＋12－y ，对y 的每一个值，x 都有唯一值与之对应，故存在反函数，反函数为y＝x ＋12－x(x ≠2)．。

2.2.2对数函数及其性质班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．若log a 2<log b 2<0，则下列结论正确的是A.0<a <b <1B.0<b <a <1C.a >b >1D.b >a >12．已知函数f (x )=a x +log a x (a >0,且a ≠1) 在[1,2] 上的最大值与最小值之和为log a 2+6 ，则 a 的值为A.12B.14C.2D.43．已知f (x )=2+log 3x ,x ∈[181,9]，则f (x ) 的最小值为 A.-2 B.-3 C.-4 D.04．函数y =e |ln π|−|x −1| 的图象大致是A. B. C. D.5．已知 0<a <1，0<b <1，则关于 x 的不等式a log b (x−3)<1 的解集为 .6．已知函数y =log a (x +3)−89(a >0,a ≠1) 的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f (x )=3x +b 的图象上，则b = .7．已知 f (x )=2+log 3x ,x ∈[1,9] ，求 y =[f (x )]2+f (x 2) 的最大值以及 y 取最大值时x 的值.8．已知函数 f (x )=log 12(2x −1).(1)求函数 f (x ) 的定义域、值域；(2)若 x ∈[1,92] ，求函数 f (x ) 的值域. 【能力提升】现有某种细胞100个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg3=0.477,lg2=0.301).2.2.2对数函数及其性质课后作业·详细答案【基础过关】1．B【解析】∵1og a2＜1og b2＜0，如图所示，∴0＜b＜a＜1.2．C【解析】利用“增函数＋增函数仍为增函数”“减函数＋减函数仍为减函数”确定函数f(x)的单调性，根据单调性求最大值和最小值，进而求解a的值.当a＞1时，函数y＝a x和y＝ log a x在[1，2]都是增函数，所以f(x)＝a x+ log a x在[1，2]是增函数，当0＜a＜1时，函数y＝a x和y＝ log a x在[1，2]都是减函数，所以f(x)＝a x+ log a x 在[1，2]是减函数，由题意得f(1)＋f(2)＝a＋a2＋1og a2＝6＋1og a2，即a＋a2＝6，解得a＝2或a＝－3(舍去).3．A【解析】∵函数f(x)＝2＋1og3x在[181，9]上是增函数，∴当x＝181时，f(x)取最小值，最小值为f(181)＝2＋1og3181＝2＋1og33−4＝2−4＝−2.4．D【解析】原函数的定义域为(0，＋∞)，首先去绝对值符号，可分两种情况x≥1及0＜x＜1讨论.①当x≥1时，函数化为：y＝e lnx－(x－1)＝1；淘汰C.②当0＜x＜1时，函数化为：y＝1x＋x－1.令x＝12，得y＝32，淘汰A、B，故选D.5．{x|3＜x＜4}【解析】原式转化为a log b(x－3)＜ a0(0＜a＜1)，∴log b(x－3)>0＝log b(0＜b＜1)，∴0＜x－3＜1，∴3＜x＜4.6．－1【解析】当x＋3＝1，即x＝－2时，对任意的a＞0，且a≠1都有y＝log a1－89＝0－89＝－89，所以函数y＝log a(x+3)－89图象恒过定点A(－2，－89)，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则－89＝3－2＋b，∴b＝－1.7．∴f(x)＝2＋log3x，∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝(2＋log3x)2＋2＋2log3x＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log 3x+3)2−3.∵函数f (x )的定义域为[1，9]，∴要使函数y ＝[f(x)]2＋f(x 2)有意义，必须满足{1≤x 2≤91≤x ≤9， ∴1≤x ≤3， ∴0≤log 3x ≤1，∴6≤y ＝(log 3x ＋3)2－3≤13.当log 3x ＝1，即x ＝3时，y ＝13.∴当x ＝3时，函数y ＝[f(x)]2＋f(x 2)取得最大值13.8．(1)由2x －1＞0得，x ＞12，函数f (x )的定义域是(12，+∞)，值域是R. (2)令u ＝2x －1，则由x ∈[1，92]知，u ∈[1，8]. 因为函数y ＝log 12u 在[1，8]上是减函数，所以y ＝log 12u ∈[－3，0].所以函数f (x )在x ∈[1，92]上的值域为[-3，0]. 【能力提升】解：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数;1小时后，细胞总数为12×100+12×100×2=32×100；2小时后，细胞总数为12×32×100+12×32×100×2=94×100；3小时后，细胞总数为12×94×100+12×94×100×2=278×100；4小时后，细胞总数为12×278×100+12×278×100×2=8116×100； 可见，细胞总数与时间(小时)之间的函数关系为: y =100×(32)x ，x ∈N ∗ 由100×(32)x >1010，得(32)x >108，解得xlg 32>8，∴x >8lg3−lg2；∵8lg3−lg2=80.477−0.301≈45.45，∴x >45.45. 答：经过46小时，细胞总数超过1010个.y x。

第3课时离子反应和离子方程式(B)基本要求1．离子方程式Ba2＋＋SO2―4===BaSO4↓可以表示()A．氢氧化钡与硫酸铁溶液之间的反应B．稀硫酸与氢氧化钡溶液的反应C．稀硫酸与可溶性钡盐之间的反应D．氢氧化钡与硫酸铜溶液之间的反应2．在某无色透亮的酸性溶液中，能共存的离子组是()A．Na＋、MnO－4、K＋、NO－3B．Na＋、Mg2＋、SO2－4、Cl－C．Na＋、Ba2＋、OH－、NO－3D．K＋、SO2－4、HCO－3、Na＋3．重金属离子具有毒性。

试验室中有甲、乙两种重金属离子的废液，甲废液经化验呈碱性，主要的有毒离子为Ba2＋，如将甲、乙两废液按肯定比例混合，毒性明显降低。

则乙废液中可能含有的离子是()A. Cu2＋和SO2－4B. Cu2＋和Cl－C. K＋和SO2－4D. Ag＋和NO－34．下列离子方程式错误的是()A．氢氧化钾与稀硫酸反应：OH－＋H＋===H2OB．铁和稀硫酸反应：2Fe＋6H＋===2Fe3＋＋3H2↑C．氯化钡溶液与硝酸银溶液反应：Cl－＋Ag＋===AgCl↓D．澄清石灰水中加入碳酸钠溶液：Ca2＋＋CO2－3===CaCO3↓5．能正确表示下列化学反应的离子方程式的是()A．硫酸铜溶液与氢氧化钡溶液反应：Ba2＋＋SO2－4===BaSO4↓B．Cl2与水的反应：Cl2＋H2O＝H＋＋Cl－＋HClOC．足量CO2通入澄清的石灰水：OH－＋CO2===HCO－3D．碳酸氢钙溶液与足量氢氧化钠溶液反应：Ca2＋＋HCO－3＋OH—===CaCO3↓＋H2O6．在下列溶液中，各组离子肯定大量共存的是()A．使酚酞试液变红的溶液：Na＋、Cl－、SO2－4、Fe3＋B．使紫色石蕊试液变红的溶液：K＋、NO－3、Cl－、CO2－3C．氢氧化钠溶液中：K＋、Ba2＋、Cl－、NO－3D．含SO2－4的溶液中：Mg2＋、Ca2＋、Cl－、NO－37．下列各组反应中，能够用同一离子方程式表示的是()A．锌与盐酸的反应、锌与硝酸的反应B．纯碱与硫酸的反应、烧碱与硫酸的反应C．Cl2通入澄清石灰水中、Cl2通入烧碱溶液中D．苏打与硝酸的反应、小苏打与盐酸的反应8．分别写出一个能实现下列离子反应的化学方程式：(1)2Ag＋＋Cu===Cu2＋＋2Ag：___________________。

【变式探究】 将本例条件改为“p: |x|≤2,q:x≤a”,第(2)题如何解答? 【解析】设A={x| |x|≤2},B={x|x≤a}, 则A={x|-2≤x≤2},若p是q的充分不必要条件,则有A B,所以a≥2.
【解题策略】 根据充分、必要条件求参数的值或范围的关键点 (1)先合理转化条件,得到关于参数的方程或不等式(组),再通过解方程或不等 式(组)求出参数的值或取值范围. (2)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集 合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取 舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.
2. (教材二次开发:练习改编)从符号“⇒”“ ”“⇔”中选择适当的一个 填空: (1)x-2=0______(x-2)(x-3)=0; (2)a+5是无理数______a是无理数; (3)x=y______ x = y .
3.从“充分”“必要”中选择适当的一个填空: (1)“x>2”是“x>3”的________ 条件; (2)“四边形ABCD是正方形”是“四边形ABCD是菱形”的________ 条件. 【解析】(1)因为“x>3”⇒“x>2”,所以“x>2”是“x>3”的必要条件; (2)因为“四边形ABCD是正方形”⇒“四边形ABCD是菱形”,所以“四边形 ABCD是正方形”是“四边形ABCD是菱形”的充分条件. 答案:(1)必要 (2)充分
【思路导引】首先判定集合A和B的包含关系,然后根据“小范围”可推出“大 范围”,“大范围”不可推出“小范围”,进行判断. 【解析】选B.因为A={x|-1≤x<3}, B={x|0<x≤2}, 所以B A,所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件.

新版高一数学必修第一册第二章全部配套练习题（含答案和解析）2.1 等式性质与不等式性质基 础 练巩固新知 夯实基础1．若1a <1b <0，则下列结论中不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |2．已知a >b >0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1aB ．a ＋1a ≥b ＋1bC ．b a >b ＋1a ＋1D ．b －1b >a －1a3．下列说法正确的是( )A ．若a >b ，c >d ，则ac >bdB ．若1a >1b，则a <bC ．若b >c ，则|a |b ≥|a |cD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d 4．若y 1＝3x 2－x ＋1，y 2＝2x 2＋x －1，则y 1与y 2的大小关系是( ) A ．y 1<y 2 B ．y 1＝y 2C ．y 1>y 2D ．随x 值变化而变化 5．一辆汽车原来每天行驶x km ，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程就超过2 200 km ，写成不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km ，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________．6．已知三个不等式①ab >0；①c a >db ；①bc >ad .若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．7．若x ①R ，则x 1＋x2与12的大小关系为________． 8．已知1<α<3，－4< β <2，若z ＝12α－β，则z 的取值范围是________．9.已知a >b ，1a <1b ，求证：ab >0.10．已知－2<a ≤3，1≤b <2，试求下列代数式的取值范围．(1)|a |； (2)a ＋b ； (3)a －b ； (4)2a －3b .能 力 练综合应用 核心素养11．设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．ab >bc B ．ac >bc C ．ab >acD ．a |b |>c |b |12．若abcd ＜0，且a ＞0，b ＞c ，d ＜0，则( ) A ．b ＜0，c ＜0 B ．b ＞0，c ＞0 C ．b ＞0，c ＜0D ．0＜c ＜b 或c ＜b ＜013．实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；①a ＋b ＝c ＋d ；①a ＋d <b ＋c .则将a ，b ，c ，d 按照从小到大的次序排列为________． 14．已知|a |<1，则11＋a 与1－a 的大小关系为________．15．已知a ，b ①R ，a ＋b >0，试比较a 3＋b 3与ab 2＋a 2b 的大小．16．已知0<a <b 且a ＋b ＝1，试比较： (1)a 2＋b 2与b 的大小； (2)2ab 与12的大小．17．已知1≤a －b ≤2,2≤a ＋b ≤4，求4a －2b 的取值范围．18．建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件就越好，试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．【参考答案】1. D 解析： ①1a <1b <0，①b <a <0，①b 2>a 2，ab <b 2，a ＋b <0，①A 、B 、C 均正确，①b <a <0，①|a |＋|b |＝|a ＋b |，故D 错误．2. A 解析：因为a >b >0，所以1b >1a >0，所以a ＋1b >b ＋1a，故选A.3. C 解析 A 项：a ，b ，c ，d 的符号不确定，故无法判断；B 项：不知道ab 的符号，无法确定a ，b 的大小；C 项：|a |≥0，所以|a |b ≥|a |c 成立；D 项：同向不等式不能相减．4. C 解析y 1－y 2＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0， 所以y 1>y 2.故选C.5. 8(x ＋19)>2 200 8x >9(x －12) 解析：①原来每天行驶x km ，现在每天行驶(x ＋19)km.则不等关系“在8天内的行程超过2 200 km”，写成不等式为8(x ＋19)>2 200.①若每天行驶(x －12)km ，则不等关系“原来行驶8天的路程现在花9天多时间”， 写成不等式为8x >9(x －12)． 6. 3 解析：①①①①，①①①①.(证明略)由①得bc －ad ab >0，又由①得bc －ad >0.所以ab >0①①.所以可以组成3个正确命题．7. x 1＋x 2≤12 解析：①x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0，①x 1＋x 2≤12. 8. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫z ⎪⎪－32<z <112 解析：①1<α<3，①12<12α<32，又－4<β<2，①－2<－β<4.①－32<12α－β<112，即－32<z <112. 9.证明：①1a <1b ，①1a －1b <0，即b －a ab<0，而a >b ，①b －a <0，①ab >0. 10. 解：(1)|a |①[0，3]．(2)－1<a ＋b <5.(3)依题意得－2<a ≤3，－2<－b ≤－1，相加得－4<a －b ≤2；(4)由－2<a ≤3得－4<2a ≤6，①由1≤b <2得－6<－3b ≤－3，①由①＋①得，－10<2a －3b ≤3. 11. C 解析：选C.因为a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0，b 可正、可负、可为零． 由b >c ，a >0知，ab >ac .12. D 解析： 由a ＞0，d ＜0，且abcd ＜0，知bc ＞0，又①b ＞c ，①0＜c ＜b 或c ＜b ＜0. 13. a <c <d <b 解析：由①得a ＝c ＋d －b 代入①得c ＋d －b ＋d <b ＋c ，①c <d <b .由①得b ＝c ＋d －a 代入①得a ＋d <c ＋d －a ＋c ，①a <c .①a <c <d <b . 14.11＋a≥1－a 解析：由|a |<1，得－1<a <1. ①1＋a >0,1－a >0.即11＋a 1－a ＝11－a 2①0<1－a 2≤1，①11－a 2≥1，①11＋a≥1－a . 15.解：因为a ＋b >0，(a －b )2≥0，所以a 3＋b 3－ab 2－a 2b ＝a 3－a 2b ＋b 3－ab 2＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )(a －b )(a ＋b )＝(a －b )2(a ＋b )≥0，所以a 3＋b 3≥ab 2＋a 2b .16.解：(1)因为0<a <b 且a ＋b ＝1，所以0<a <12<b ，则a 2＋b 2－b ＝a 2＋b (b －1)＝a 2－ab ＝a (a －b )<0，所以a 2＋b 2<b .(2)因为2ab －12＝2a (1－a )－12＝－2a 2＋2a －12＝－2⎝⎛⎭⎫a 2－a ＋14＝－2⎝⎛⎭⎫a －122<0，所以2ab <12.17.解：令4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，①⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，－m ＋n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.又①1≤a －b ≤2，①3≤3(a －b )≤6，又①2≤a ＋b ≤4，①5≤3(a －b )＋(a ＋b )≤10，即5≤4a －2b ≤10. 故4a －2b 的取值范围为5≤4a －2b ≤10.18.解：设住宅窗户面积、地板面积分别为a ，b ，同时增加的面积为m ，根据问题的要求a <b ，且ab ≥10%.由于a ＋mb ＋m －a b ＝m (b －a )b (b ＋m )>0，于是a ＋m b ＋m >a b .又a b ≥10%，因此a ＋m b ＋m >ab≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．2.2 第1课时 基本不等式的证明基 础 练巩固新知 夯实基础1．已知a ，b ①R ，且ab >0，则下列结论恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b ≥2 2．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( )A ．a ＝±1B ．a ＝1C ．a ＝－1D ．a ＝03．对x ①R 且x ≠0都成立的不等式是( )A ．x ＋1x ≥2B ．x ＋1x ≤－2C.|x |x 2＋1≥12D.⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2 4．已知x >0，y >0，x ≠y ，则下列四个式子中值最小的是( )A.1x ＋yB.14⎝⎛⎭⎫1x ＋1yC. 12(x 2＋y 2)D.12xy5．给出下列不等式：①x ＋1x ≥2； ①⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2； ①x 2＋y 2xy ≥2； ①x 2＋y 22>xy ； ①|x ＋y |2≥|xy |.其中正确的是________(写出序号即可)．6．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(填序号)．①ab ≤1； ①a ＋b ≤2； ①a 2＋b 2≥2； ①a 3＋b 3≥3； ①1a ＋1b≥2.7．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c .能 力 练综合应用 核心素养8．若0<a <b ，a ＋b ＝1，则a ，12，2ab 中最大的数为( )A ．aB ．2ab C.12D ．无法确定9．已知a >0，b >0，则a ＋b2，ab ，a 2＋b 22，2aba ＋b中最小的是( ) A.a ＋b 2B.abC.a 2＋b 22D.2aba ＋b10．设a >0，b >0，则下列不等式中不一定成立的是( )A ．a ＋b ＋1ab≥22 B.2ab a ＋b ≥abC.a 2＋b 2ab ≥a ＋b D ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 11．已知a ，b ①(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，则下列各式恒成立的是( )A.1ab≥8 B.1a ＋1b≥4C.ab ≥12D.1a 2＋b2≤12 12．若a ＜1，则a ＋1a －1与－1的大小关系是________．13．给出下列结论：①若a >0，则a 2＋1>a .①若a >0，b >0，则⎝⎛⎭⎫1a ＋a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥4. ①若a >0，b >0，则(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4. ①若a ①R 且a ≠0，则9a ＋a ≥6.其中恒成立的是________．14．已知x ＞0，y ＞0，z ＞0.求证：⎝⎛⎭⎫y x ＋z x ⎝⎛⎭⎫x y ＋z y ⎝⎛⎭⎫x z ＋y z ≥8.15．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9.【参考答案】1. D 解析：选D.对于A ，当a ＝b 时，a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错误；对于B ，C ，虽然ab >0，只能说明a ，b 同号，当a ，b 都小于0时，B ，C 错误；对于D ，因为ab >0，所以b a >0，a b >0，所以b a ＋ab ≥2b a ·a b ，即b a ＋a b≥2成立．2. B [解析] a 2＋1－2a ＝(a －1)2≥0，①a ＝1时，等号成立．3. D [解析] 因为x ①R 且x ≠0，所以当x >0时，x ＋1x ≥2；当x <0时，－x >0，所以x ＋1x ＝－⎝⎛⎭⎫－x ＋1－x ≤－2，所以A 、B 都错误；又因为x 2＋1≥2|x |，所以|x |x 2＋1≤12，所以C 错误，故选D. 4. C [解析] 解法一：①x ＋y >2xy ，①1x ＋y <12xy，排除D ；①14⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝x ＋y 4xy ＝14xy x ＋y >1(x ＋y )2x ＋y ＝1x ＋y ，①排除B ；①(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy <2(x 2＋y 2)，①1x ＋y>12(x 2＋y 2)，排除A.解法二：取x ＝1，y ＝2.则1x ＋y ＝13；14⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝38；12(x 2＋y 2)＝110；12xy ＝122＝18.其中110最小． 5. ① 解析：当x >0时，x ＋1x ≥2；当x <0时，x ＋1x≤－2，①不正确；因为x 与1x 同号，所以⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2，①正确； 当x ，y 异号时，①不正确； 当x ＝y 时，x 2＋y 22＝xy ，①不正确；当x ＝1，y ＝－1时，①不正确．6. ①①① [解析] 令a ＝b ＝1，排除①①；由2＝a ＋b ≥2ab ①ab ≤1，①正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝4－2ab ≥2，①正确；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab≥2，①正确．7.[证明] 因为a ，b ，c 都是正数，所以bc a ，ac b ，ab c 也都是正数．所以bc a ＋ac b ≥2c ，ac b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋abc≥2b ，三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ac b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ac b ＋abc ≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号． 8. C 解析：选C.因为0<a <b ，a ＋b ＝1，所以a <12，因为ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，所以2ab <12，则a ，12，2ab 中最大的数为12，故选C.9. D [解析] 因为a >0，b >0，所以2ab a ＋b ≤2ab2ab ＝ab ，a ＋b 2≥ab ，a 2＋b 22＝2(a 2＋b 2)4≥(a ＋b )24＝a ＋b2(当且仅当a ＝b >0时，等号成立)．所以a ＋b2，ab ，a 2＋b 22，2ab a ＋b 中最小的是2aba ＋b，故选D. 10. B 解析：选B.因为a >0，b >0，所以a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab ≥22，当且仅当a ＝b 且2ab ＝1ab即a ＝b ＝22时取等号，故A 一定成立．因为a ＋b ≥2ab >0，所以2ab a ＋b ≤2ab2ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以2ab a ＋b ≥ab 不一定成立，故B 不成立．因为2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a 2＋b 2a ＋b ＝（a ＋b ）2－2ab a ＋b ＝a ＋b －2ab a ＋b ≥2ab －ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a 2＋b 2a ＋b ≥ab ，所以a 2＋b 2ab≥a ＋b ，故C 一定成立．因为(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，故D 一定成立，故选B. 11. B [解析] ①当a ，b ①(0，＋∞)时，a ＋b ≥2ab ，又a ＋b ＝1，①2ab ≤1，即ab ≤12.①ab ≤14.①1ab ≥4.故选项A 不正确，选项C 也不正确．对于选项D ，①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ，当a ，b ①(0，＋∞)时，由ab ≤14可得a 2＋b 2＝1－2ab ≥12.所以1a 2＋b 2≤2，故选项D 不正确．对于选项B ，①a >0，b >0，a ＋b ＝1，①1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝1＋b a ＋ab＋1≥4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．故选B.12. a ＋1a －1≤－1 解析:因为a ＜1，即1－a >0,所以－⎝⎛⎭⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a≥2（1－a ）·11－a＝2.即a ＋1a －1≤－1.13.①①① [解析] 因为(a 2＋1)－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，所以a 2＋1>a ，故①恒成立． 因为a >0，所以a ＋1a ≥2，因为b >0，所以b ＋1b ≥2，所以当a >0，b >0时，⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥4，故①恒成立． 因为(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ，又因为a ，b ①(0，＋∞)，所以b a ＋ab ≥2，所以(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4，故①恒成立． 因为a ①R 且a ≠0，不符合基本不等式的条件，故9a＋a ≥6是错误的．14.证明：因为x ＞0，y ＞0，z ＞0，所以y x ＋z x ≥2yz x ＞0，x y ＋z y ≥2xz y ＞0，x z ＋y z ≥2xyz ＞0，所以⎝⎛⎭⎫y x ＋z x ⎝⎛⎭⎫x y ＋z y ⎝⎛⎭⎫x z ＋y z ≥8yz ·xz ·xyxyz＝8，当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立． 15.[证明] 证法一：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理1＋1b ＝2＋a b，故⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.所以⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时取等号)．证法二：因为a ，b 为正数，a ＋b ＝1.所以⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab ， ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，于是1ab ≥4，2ab ≥8，因此⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥1＋8＝9⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.2.2 第2课时 基本不等式的综合应用基 础 练巩固新知 夯实基础1.（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92 C ．3 D.3222．设x >0，则y ＝3－3x －1x的最大值是( )A ．3B ．3－22C ．3－2 3D ．－1 3．若0＜x ＜12，则函数y ＝x 1－4x 2的最大值为( )A ．1 B.12 C.14D.184．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件5．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．56．已知y ＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．7．已知y ＝x ＋1x.(1)已知x ＞0，求y 的最小值；(2)已知x ＜0，求y 的最大值．8．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝ab .(1)求ab 的最小值； (2)求a ＋2b 的最小值．能 力 练综合应用 核心素养9．已知a <b ，则b －a ＋1b －a＋b －a 的最小值为( )A ．3B ．2C ．4D ．110．已知实数x ，y 满足x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，则x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．811．设x ＞0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( ) A ．0 B.12C ．1D.3212．已知x ≥52，则y ＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54za C ．最大值1D ．最小值113．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．814．已知x ＞0，y ＞0，2x ＋3y ＝6，则xy 的最大值为________．15．若点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．16．设a>b>c，且1a－b＋1b－c≥ma－c恒成立，求m的取值范围．17．(1)若x＜3，求y＝2x＋1＋1x－3的最大值；(2)已知x＞0，求y＝2xx2＋1的最大值．【参考答案】1. B 解析：选B.因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，所以（3－a ）（a ＋6）≤（3－a ）＋（a ＋6）2＝92.即（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为92.2. C 解析：y ＝3－3x －1x＝3－⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≤3－2 3x ·1x ＝3－23，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取等号． 3. C 解析：因为0＜x ＜12，所以1－4x 2＞0，所以x 1－4x 2＝12×2x 1－4x 2≤12×4x 2＋1－4x 22＝14，当且仅当2x＝1－4x 2，即x ＝24时等号成立，故选C. 4. B 解析：设每件产品的平均费用为y 元，由题意得y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B.5. C 解析：可得6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝1，所以2a ＋b ＝6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2ab ＝2ba时等号成立，所以9m ≤54，即m ≤6，故选C. 6. 36 解析：y ＝4x ＋ax≥24x ·a x ＝4a (x >0，a >0)，当且仅当4x ＝a x ，即x ＝a2时等号成立，此时y 取得最小值4a . 又由已知x ＝3时，y 的最小值为4a ，所以a2＝3，即a ＝36. 7. 解：(1)因为x ＞0，所以x ＋1x≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立．所以y 的最小值为2. (2)因为x ＜0，所以－x ＞0.所以f (x )＝－⎣⎡⎦⎤（－x ）＋1－x ≤－2（－x ）·1－x ＝－2，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时等号成立．所以y 的最大值为－2. 8. 解：因为2a ＋b ＝ab ，所以1a ＋2b＝1；(1)因为a >0，b >0， 所以1＝1a ＋2b≥22ab ，当且仅当1a ＝2b ＝12，即a ＝2，b ＝4时取等号，所以ab ≥8，即ab 的最小值为8；(2)a ＋2b ＝(a ＋2b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ·2ab＝9， 当且仅当2b a ＝2ab ，即a ＝b ＝3时取等号，所以a ＋2b 的最小值为9.9. A 解析：因为a <b ，所以b －a >0，由基本不等式可得b －a ＋1b －a ＋b －a ＝1＋1b －a＋(b －a )≥1＋21b －a·（b －a ）＝3， 当且仅当1b －a ＝b －a (b >a )，即当b －a ＝1时，等号成立，因此，b －a ＋1b －a ＋b －a 的最小值为3,故选A.10. D 解析：因为x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋xy≥4＋24y x ·xy＝8， 当且仅当4y x ＝xy时等号成立．故选D.11. A 解析：选A.因为x ＞0，所以x ＋12＞0，所以y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立，所以函数的最小值为0. 12. D 解析：y ＝x 2－4x ＋52x －4＝（x －2）2＋12（x －2）＝12⎣⎡⎦⎤（x －2）＋1x －2，因为x ≥52，所以x －2＞0，所以12⎣⎡⎦⎤（x －2）＋1x －2≥12·2（x －2）·1x －2＝1，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时取等号．故y 的最小值为1.13. B 解析 (x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋ax y ＋y x ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2⎝⎛⎭⎫当且仅当y x ＝a 时取等号 .①(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，①(a ＋1)2≥9.①a ≥4.14. 32 解析：因为x ＞0，y ＞0，2x ＋3y ＝6，所以xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎫2x ＋3y 22＝16·⎝⎛⎭⎫622＝32.当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.15. 8 解析：因为点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，所以2m ＋n ＝1， 所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2（2m ＋n ）n＝4＋⎝⎛⎭⎫n m ＋4m n ≥8. 16.解 由a >b >c ，知a －b >0，b －c >0，a －c >0.因此，原不等式等价于a －c a －b ＋a －c b －c≥m .要使原不等式恒成立，只需a －c a －b ＋a －cb －c的最小值不小于m 即可． 因为a －c a －b ＋a －c b －c ＝(a －b )＋(b －c )a －b ＋(a －b )＋(b －c )b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ×a －bb －c＝4， 当且仅当b －c a －b ＝a －b b －c，即2b ＝a ＋c 时，等号成立．所以m ≤4，即m ①{m |m ≤4}.17.解：(1)因为x ＜3，所以3－x ＞0.又因为y ＝2(x －3)＋1x －3＋7＝－⎣⎡⎦⎤2（3－x ）＋13－x ＋7，由基本不等式可得2(3－x )＋13－x≥22（3－x ）·13－x ＝22，当且仅当2(3－x )＝13－x，即x ＝3－22时，等号成立，于是－⎣⎡⎦⎤2（3－x ）＋13－x ≤－22，－⎣⎡⎦⎤2（3－x ）＋13－x ＋7≤7－22，故y 的最大值是7－2 2.(2)y ＝2x x 2＋1＝2x ＋1x .因为x ＞0，所以x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，所以0＜y ≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立．故y 的最大值为1.2.3 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式基 础 练巩固新知 夯实基础1．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6>0}，则M∩N为()A．{x|－4≤x<－2或3<x≤7} B．{x|－4<x≤－2或3≤x<7}C．{x|x≤－2或x>3} D．{x|x<－2或x≥3}2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为() A．{x|x<－1或x>2} B．{x|x≤－1或x≥2}C．{x|－1<x<2} D．{x|－1≤x≤2}3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解() A．{x|x<－1或x>2} B．{x|x≤－1或x≥2}C．{x|－1<x<2} D．{x|－1≤x≤2}4．关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是() x|x<－1或x>3B．{x|－1<x<3}A.{}C．{x|1<x<3} D．{x|x<1或x>3}5．若不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝ax2－x－c的图象为()6．设集合A＝{x|(x－1)2<3x＋7，x①R}，则集合A∩Z中有________个元素．7．不等式－1<x2＋2x－1≤2的解集是________．8．解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.9． 解不等式：x 2－3|x |＋2≤0.能 力 练综合应用 核心素养10． 若0<t <1，则关于x 的不等式(t －x )(x －1t)>0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1t <x <tB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >1t 或x <tC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1t 或x >tD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |t <x <1t11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)①(3，＋∞)B ．(－3,1)①(2，＋∞)C ．(－1,1)①(3，＋∞)D ．(－∞，－3)①(1,3)12．不等式x 2－px －q <0的解集是{x |2<x <3}，则不等式qx 2－px －1>0的解是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－12或x >－13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <－13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12 D.{}x | x <2或x >3 13．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是______________．14．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的两根都是负数，则m 的取值范围为________．15．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2>0的解集为{x |1<x <m }，则a ＝________，m ＝________. 16．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．17．解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0.【参考答案】1. A 解析 ①M ＝{x |x 2－3x －28≤0}＝{x |－4≤x ≤7}，N ＝{x |x 2－x －6>0}＝{x |x <－2或x >3}，①M ∩N ＝{x |－4≤x <－2或3<x ≤7}．2. D 解析 由题意知，－b a ＝1，ca ＝－2，①b ＝－a ，c ＝－2a ，又①a <0，①x 2－x －2≤0，①－1≤x ≤2.3. D 解析 由方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点为2，－1，又①a <0，①函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是开口向下的抛物线，①不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为{x |－1≤x ≤2}．4. A 解析 由题意，知a >0，且1是ax －b ＝0的根，所以a ＝b >0，所以(ax ＋b )(x －3)＝a (x ＋1)(x －3)>0，所以x <－1或x >3，因此原不等式的解集为{x |x <－1或x >3}．5. B 解析 因为不等式的解集为{x |－2<x <1}，所以a <0，排除C 、D ；又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选B.6. 6 解析 由(x －1)2<3x ＋7，解得－1<x <6，即A ＝{x |－1<x <6}，则A ∩Z ＝{0,1,2,3,4,5}，故A ∩Z 共有6个元素．7. {x |－3≤x <－2或0<x ≤1} 解析 ①⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3≤0，x 2＋2x >0，①－3≤x <－2或0<x ≤1.8. 解 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a .函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，所以(1)当a <－1时，原不等式解集为{x |a <x <－1}； (2)当a ＝－1时，原不等式解集为①； (3)当a >－1时，原不等式解集为{x |－1<x <a }． 9. 解 原不等式等价于|x |2－3|x |＋2≤0，即1≤|x |≤2.当x ≥0时，1≤x ≤2；当x <0时，－2≤x ≤－1. ①原不等式的解集为{x |－2≤x ≤－1或1≤x ≤2}．10. D 解析 ①0<t <1，①1t >1，①1t >t .①(t －x )(x －1t )>0①(x －t )(x －1t )<0①t <x <1t .11. A 解析 f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1；当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0. 所以f (x )>f (1)的解集是(－3,1)①(3，＋∞)．12. B [解析] 易知方程x 2－px －q ＝0的两个根是2,3.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3＝p ，2×3＝－q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝5，q ＝－6，不等式qx 2－px －1>0为－6x 2－5x －1>0，解得－12<x <－13.13. k ≤2或k ≥4 解析 x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2.14. {m |m ≥9} 解析 ①⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m ≥0，x 1＋x 2＝3－m <0，x 1x 2＝m >0，①m ≥9.15. －3 －3 解析 可知1，m 是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的两个根，且a <0， ①⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝6a 1×m ＝a解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3m ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2m ＝2(舍去)． 16.解 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－13，2，①⎩⎨⎧－13＋2＝－b a－13×2＝c a，①b ＝－53a ，c ＝－23a .所以不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为⎝⎛⎭⎫－23a x 2－⎝⎛⎭⎫－53a x ＋a <0，即2ax 2－5ax －3a >0. 又因为a <0，所以2x 2－5x －3<0，所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <3.17.解 (1)当a ＝0时，原不等式可化为－2x ＋4>0，解得x <2，所以原不等式的解集为{x |x <2}．(2)当a >0时，原不等式可化为(ax －2)(x －2)>0，对应方程的两个根为x 1＝2a，x 2＝2.①当0<a <1时，2a >2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a ，或x <2；①当a ＝1时，2a＝2，所以原不等式的解集为{x |x ≠2}；①当a >1时，2a <2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2，或x <2a . (3)当a <0时，原不等式可化为(－ax ＋2)(x －2)<0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2，则2a<2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a<x <2. 综上，a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a<x <2； a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}；0<a ≤1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a，或x <2； 当a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2，或x <2a2.3 第2课时 一元二次不等式的应用基 础 练巩固新知 夯实基础1．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －3≤x ≤12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12≤x ≤3C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 12≤x <1或1<x ≤3 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12≤x ≤3且x ≠1 2．不等式4x ＋23x －1>0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >13或x <－12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <13C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >13 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－123．不等式2－xx ＋1<1的解集是( )A ．{x |x >1}B ．{x |－1<x <2} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －1<x <124． 若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝①，则实数a 的值的集合是( )A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}5． 若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ①(0,1]恒成立，则m 的最大值为 ( )A ．1B ．－1C ．－3D ．36．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )A ．15≤x ≤30B ．12≤x ≤25C ．10≤x ≤30D ．20≤x ≤307． 若关于x 的不等式x －a x ＋1>0的解集为(－∞，－1)①(4，＋∞)，则实数a ＝________.8.若不等式x 2＋mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是__________．9．解下列分式不等式：(1)x ＋12x －3≤1； (2)2x ＋11－x <0.10. 当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R?能 力 练综合应用 核心素养11． 不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．①D ．{x |x <－2或x >2}12．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是()A．(－2,2) B．(－2,2]C．(－∞，－2)①[2，＋∞) D．(－∞，2)13．对任意a①[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是() A．1<x<3 B．x<1或x>3C．1<x<2 D．x<1或x>214．在R上定义运算①：x①y＝x(1－y)．若不等式(x－a)①(x＋a)<1对任意的实数x都成立，则a的取值范围是________.15．已知2≤x≤3时，不等式2x2－9x＋a<0恒成立，则a的取值范围为________．16．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个正实根，则m的取值范围是________．17．已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．18．某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量为a kW·h，本年度计划将电价降低到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kW·h.(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)．【参考答案】1. D 解析①原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋5≥2(x －1)2，x ≠1，①⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－5x －3≤0，x ≠1，①⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤3，x ≠1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12≤x ≤3且x ≠1. 2. A 解析4x ＋23x －1>0①(4x ＋2)(3x －1)>0①x >13或x <－12，此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >13或x <－12.3. C 解析原不等式等价于2－x x ＋1－1<0①1－2x x ＋1<0①(x ＋1)·(1－2x )<0①(2x －1)(x ＋1)>0，解得x <－1或x >12.4. D 解析 a ＝0时符合题意，a >0时，相应二次方程中的Δ＝a 2－4a ≤0，得{a |0<a ≤4}，综上得{a |0≤a ≤4}.5. C 解析 由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ①(0,1]恒成立，又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，①f (x )min ＝f (1)＝－3，①m ≤－3.6. C 解析 设矩形的另一边长为y m ，则由三角形相似知，x 40＝40－y40，①y ＝40－x ，①xy ≥300，①x (40－x )≥300，①x 2－40x ＋300≤0，①10≤x ≤30. 7. 4 解析x －ax ＋1>0①(x ＋1)(x －a )>0 ①(x ＋1)(x －4)>0，①a ＝4. 8. －2<m <2 解析 由题意知，不等式x 2＋mx ＋1>0对应的函数的图象在x 轴的上方，所以Δ＝(m )2－4×1×1<0，所以－2<m <2.9. 解 (1)①x ＋12x －3≤1，①x ＋12x －3－1≤0，①－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0.此不等式等价于(x －4)⎝⎛⎭⎫x －32≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4.①原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32或x ≥4. (2)由2x ＋11－x <0得x ＋12x －1>0，此不等式等价于⎝⎛⎭⎫x ＋12(x －1)>0，解得x <－12或x >1， ①原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12或x >1.10.解 ①当a 2－1＝0时，a ＝1或－1.若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立．若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0即x <12，不合题意，舍去．①当a 2－1≠0时，即a ≠±1时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，Δ＝[－a －1]2＋4a 2－1<0.解得－35<a <1.综上a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－35，1. 11. A 解析①x 2＋x ＋1>0恒成立，①原不等式①x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2①x 2＋4x ＋4>0①(x ＋2)2>0，①x ≠－2. ①不等式的解集为{x |x ≠－2}．12. B 解析 ①mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x ， ①(2－m )x 2＋(4－2m )x ＋4>0.当m ＝2时，4>0，x ①R ；当m <2时，Δ＝(4－2m )2－16(2－m )<0，解得－2<m <2.此时，x ①R . 综上所述，－2<m ≤2.13. B 解析 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ①[－1,1]①⎩⎪⎨⎪⎧ g1＝x 2－3x ＋2>0g－1＝x 2－5x ＋6>0①⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2x <2或x >3①x <1或x >3. 14. －12 <a <32 解析 根据定义得(x －a )①(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ，又(x －a )①(x ＋a )<1对任意的实数x 都成立，所以x 2－x ＋a ＋1－a 2>0对任意的实数x 都成立，所以Δ<0，即1－4(a ＋1－a 2)<0，解得－12<a <32.15. a <9 解析 ①当2≤x ≤3时，2x 2－9x ＋a <0恒成立，①当2≤x ≤3时，a <－2x 2＋9x 恒成立．令y ＝－2x 2＋9x .①2≤x ≤3，且对称轴方程为x ＝94，①y min ＝9，①a <9.①a 的取值范围为a <9.16. (0,1] 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m －32－4m ≥0x 1＋x 2＝3－m ＞0x 1x 2＝m ＞0， 解得0＜m ≤1.17. 解 设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，根据题意，画出示意图由图分析可得，m 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ f 0＝2m ＋1<0f －1＝2>0f 1＝4m ＋2<0f 2＝6m ＋5>0解得－56<m <－12. 18. 解(1)设下调后的电价为x 元/kW·h ，依题意知，用电量增至k x －0.4＋a ，电力部门的收益为y ＝⎝⎛⎭⎫k x －0.4＋a (x －0.3)(0.55≤x ≤0.75)．(2)依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫0.2ax －0.4＋a (x －0.3)≥[a ×(0.8－0.3)](1＋20%)，0.55≤x ≤0.75.整理，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1.1x ＋0.3≥0，0.55≤x ≤0.75.解此不等式，得0.60≤x ≤0.75.①当电价最低定为0.60元/kW·h 时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.。

第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（共2课时）（第1课时）一、选择题1．（2019北京高一期中）不等式x(x +2)<3的解集是（ ）． A ．{x|−1<x <3} B ．{x|−3<x <1} C ．{x|x <−1 ，或x >3} D ．{x|x <−3 ，或x >1} 【答案】B【解析】由题意x(x +2)<3，∴x 2+2x −3<0即(x +3)(x −1)<0，解得：−3<x <1， ∴该不等式的解集是{x|−3<x <1}，故选B ．2．（2019全国课时练习）已知集合A ={y|y −2>0},集合B ={x|x 2−2x ≤0},则A ∪B = ( ) A ．[0,+∞) B ．(−∞,2] C ．[0,2)∪(2,+∞) D ．R 【答案】A【解析】∵集合A ={y|y −2>0}，集合B ={x|x 2−2x ≤0}={x|0≤x ≤2}， ∴A ∪B ={x|x ≥0}= [0,+∞)，故选A.3．（2019全国课时练习）不等式2620x x --+≤的解集是（ ）A.21|32x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B.21|32x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或 C.1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭D.3|2x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭【答案】B【解析】22620620(21)(32)0x x x x x x --+≤⇒+-≥⇒-+≥2132或x x ⇒≤-≥．故选B ．4．（2019·安徽高一期中）若关于x 的不等式230ax bx ++>的解集为1(1,)2-，其中,a b 为常数，则不等式230x bx a ++<的解集是（ ） A ．(1,2)- B ．(2,1)-C ．1(,1)2-D ．1(1,)2-【答案】A【解析】由230ax bx ++>解集为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭可得：()11122311122ba a⎧-=-+=-⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩解得：63a b =-⎧⎨=-⎩ ∴所求不等式为：23360x x --<，解得：()1,2x ∈- 本题正确选项：A5．（2019天津高一课时练习）在R 上定义运算⊗:a ⊗b =ab +2a +b ，则满足x ⊗(x −2)<0的实数x 的取值范围为（ ） A ．(0,2)B ．(−2,1)C ．(−∞,−2)∪(1,+∞)D ．(−1,2)【答案】B【解析】由定义运算⊙可知不等式x ⊙（x －2）＜0为x(x −2)+2x +x −2<0，解不等式得解集为（－2,1）6．（2019全国高一课时练习）一元二次不等式2kx 2+kx ﹣＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是（ ）A.（﹣3，0）B.（﹣3，0]C.[﹣3，0]D.（﹣∞，﹣3）∪[0，+∞） 【答案】A【解析】由一元二次不等式2kx 2+kx ﹣＜0对一切实数x 都成立，则，解得﹣3＜k ＜0．综上，满足一元二次不等式2kx 2+kx ﹣＜0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是（﹣3，0）． 故选A ． 二、填空题7．（2019全国高三课时练习）不等式220x x +-<的解集为___________． 【答案】()2,1-【解析】不等式220(2)(1)0x x x x +-<⇔+-<的解集为()2,1-.8.（2019广州市培正中学高二课时练习）若关于x 的不等式 −12x 2+2x >mx 的解集是{x|0<x <2}，则实数m 的值是_____________． 【答案】1.【解析】∵不等式−12x 2+2x >mx 的解集为{x|0<x <2}，∴0,2是方程−12x 2+(2−m )x =0的两个根，∴将2代入方程得m =1，∴m =1，故答案为1.9.（2019天津高一课时练习）如果关于x 的不等式5x 2-a≤0的正整数解是1,2,3,4,那么实数a 的取值范围是____. 【答案】[80,125)【解析】由题意知a >0,由5x 2-a ≤0,得−√a5≤x ≤√a5,不等式的正整数解是1,2,3,4,则4≤√a5<5,∴80≤a <125.即实数a 的取值范围是[80,125).10．（2019·全国高一课时练习）当()1,3x ∈时，不等式240x mx -+>恒成立，则实数m 的取值范围是_____________． 【答案】4m <【解析】240x mx -+>，且()1,3x ∈，所以原不等式等价于24x m x+<，不等式恒成立，则24min x m x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，由2444x x x x +=+≥=，当且仅当()21,3x =∈时,24 4minx x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以正确答案为4m <。

1。1。3（2）集合的基本运算（补集及综合运算)
1．设全集 U＝R，A＝｛x｜0≤x≤6｝，则∁RA＝（ ）． A．｛ 0，1，2，3，4,5,6} B．｛x|x<0 或 x〉6}
C．｛x｜0<x〈6}
D．｛x|x≤0 或 x≥6}[来源:学科网 ZXXK]
2．已知全集 U＝｛2,5 ，8｝，且∁UA＝｛2},则集合 A 的真子集个数为（ ）．
4．直线 y＝2x＋1 与 y 轴的交点所组成的集合为（ ）．［来源：学§科§网 Z§X§X§K］
A．{0,1}
B．{(0，1）}
C。Error!
D. {(1f，0）｝）
5．集合 A＝｛y|y＝x2＋1｝，集合 B＝{（x，y）|y＝x2＋1｝（A、B 中 x∈R，y∈R ）．选项中元
素与集合的关系都正确的是（ ）．
9．以方程 x2－5x＋6＝0 和方程 x2－x－2＝0 的解为元素的集合中共有________个元素．
10．设 1,0， x 三个元素构成集合 A，若 x2∈A，求实数 x 的值．
11．已知集合 M 中含有三个元素 2, a，b，集合 N 中含有三个元素 2a ，2，b2，且 M＝N，求 a，b 的值．
A．3
B．4
C．5
D．6
3．若 A 为全体正实数的集合，B＝{－2，－1，1，2}，则下列结论中正确的是（ )．
A．A∩B＝｛－2,－1}
B．（∁RA)∪B＝{－2，－ 1，1｝
C．A∪B＝{1,2}
D．(∁RA）∩B＝｛－2，－1｝
4．在如图中 ， 用阴影表示出集合（∁UA)∩(∁U B)．
5．已知 U 为全集，集合 M、N 是 U 的子集，若 M∩N＝N，则（ )．

第2课时碳酸钠的性质与应用基本要求1．下列关于Na2CO3的叙述中，错误的是()A．能与盐酸反应B．在通常状况下Na2CO3的溶解度略小于NaHCO3C．在其水溶液中加入石灰水有白色沉淀产生D．能与稀硫酸反应放出气体2．下列物质中，能与烧碱溶液反应的是()A．Na2CO3B．NaCl C．CO2D．BaCl23．下列说法中不正确的是()A．Na2CO3和NaHCO3均可与HCl反应B．Na2CO3比NaHCO3易溶于水C．Na2CO3的稳定性比NaHCO3强D．Na2CO3能与石灰水反应而NaHCO3不反应4. 有关Na2CO3和NaHCO3的叙述中正确的是()A．Na2CO3比NaHCO3热稳定性强B．相同质量的Na2CO3和NaHCO3与足量盐酸作用时，产生的气体质量相同C．相同温度下，Na2CO3的溶解度小于NaHCO3D．物质的量浓度相同时，Na2CO3溶液的pH比NaHCO3溶液的大5．有相同质量的两份NaHCO3粉末，第一份加入足量盐酸，笫二份先加热使其完全分解再加足量同质量分数的盐酸，则两者所消耗的盐酸中氯化氢的质量比为()A．2∶1 B．1∶1 C．1∶2 D．4∶16．将Na2CO3·10H2O和NaHCO3的固体混合物11.94 g，溶于水制成200 mL 溶液，测得Na＋的浓度c(Na＋)＝0.5 mol·L－1。

若将11.94 g该混合物加热至质量不再转变时，得到的固体物质的质量为()A．3.1 g B.5.3 gC.9.0 gD.11.0 g7．为鉴别K2CO3和NaHCO3两种白色固体，有4位同学分别设计了下列四种不同的方法，其中不行行的是()A．各取少量固体放入试管中加热，将导气管插入水中，看到有连续气泡产生的是NaHCO3B．分别取样在试管中加热，将可能产生的气体通入澄清石灰水，观看是否变浑浊C．分别取样配成溶液，滴加Ca(OH)2溶液，观看有无白色沉淀生成D．分别配成溶液，用铂丝蘸取溶液在酒精灯火焰上灼烧，观看火焰的颜色(必要时可透过蓝色钴玻璃)8．Na2CO3固体中混有少量NaHCO3，除去杂质的方法是__________，反应方程式为________________________；NaHCO3溶液中混有少量Na2CO3，除去杂质的方法是________________，反应的方程式为_________；除去CO2气体中少量HCl，所用试剂是______________，反应的方程式为_________。

2.2 匀变速直线运动的速度与时间的关系（同步练习）一、选择题1.对匀变速直线运动的理解，下列说法正确的是()A．匀变速直线运动是速度越来越大的运动B．匀变速直线运动是在任意相等的时间内速度变化相等的运动C．匀变速直线运动是速度保持不变的运动D．匀变速直线运动的v-t图像是一条过原点倾斜的直线2.质点沿x轴运动，其速度v随时间t变化的图像如图所示，已知t＝0时刻质点速度方向沿x 轴正方向，t2－t1＝t3－t2。

则下列说法正确的是()A.t2时刻质点的速度和加速度均为零B.t2时刻质点即将向x轴负方向运动C.质点在t1时刻和t3时刻的速度相同D.质点在t1时刻和t3时刻的加速度大小相等、方向相反3.一物体沿竖直方向运动，以竖直向上为正方向，其运动的v-t图像如图所示。

下列说法正确的是()A．物体0～1 s内做匀加速直线运动B．物体2～3 s内向下运动C．物体0～1 s内的加速度方向与2～3 s内的加速度方向相反D．物体0～1 s内的平均速度与2～3 s内的平均速度相等4.一物体静止在光滑的水平桌面上，现对其施加一水平外力，使它沿水平桌面做直线运动，该物体的v-t图像如图所示，根据图像，下列说法正确的是()A.0～6 s内物体运动的加速度始终没有改变B.2～3 s内物体做减速运动C.第1 s末物体的速度改变方向D.1.5 s末和2.5 s末两个时刻物体的加速度相同5.一个做初速度为零的匀加速直线运动的物体，它在第1 s末、第2 s末、第3 s末的瞬时速度之比是()A．1∶1∶1B．1∶2∶3C．12∶22∶32D．1∶3∶56.一物体做匀变速直线运动，初速度为2 m/s，加速度大小为1 m/s2，则经1 s后，其末速度()A．一定为3 m/s B．一定为1 m/sC．可能为1 m/s D．不可能为1 m/s7.下列说法正确的是()A．若物体的加速度均匀增加，则物体做匀加速直线运动B．若物体的加速度均匀减小，则物体做匀减速直线运动C．若物体加速度与其速度方向相反，则物体做减速直线运动D．若沿直线运动的物体在任意的相等时间间隔内位移相同，则物体做匀变速直线运动8.下列有关匀变速直线运动的认识，其中正确的是()A．物体在一条直线上运动，若在相等的时间内通过的位移相等，则物体的运动就是匀变速直线运动B．加速度大小不变的运动就是匀变速直线运动C．匀变速直线运动是速度变化量为零的运动D．匀变速直线运动的加速度是一个恒量9.如图所示为甲、乙两质点的v-t图像．对于甲、乙两质点的运动，下列说法中正确的是()A．质点甲向所选定的正方向运动，质点乙与甲的运动方向相反B．质点甲、乙的速度相同C．在相同的时间内，质点甲、乙的位移相同D．不管质点甲、乙是否从同一地点开始运动，它们之间的距离一定越来越大10.(多选)下列四个选项中的图像表示物体做匀加速直线运动的是()11.(多选)(2022·山东泰安高一阶段检测)甲、乙两物体从同一位置出发沿同一直线运动，两物体运动的v-t图像如图所示，下列判断正确的是()A．甲做匀速直线运动，乙做匀变速直线运动B．两物体两次速度相同的时刻分别在1 s末和4 s 末C．乙在前2 s内做匀加速直线运动，2 s后做匀减速直线运动D．2 s后，甲、乙两物体的速度方向相反12.A、B是做匀变速直线运动的两个物体，其速度—时间图像如图所示，则以下说法错误的是()A．A做初速度v0＝2 m/s，加速度a＝1 m/s2的匀加速直线运动B．4 s后，B沿反方向做匀减速运动C．t＝1 s时，A的速度大小为3 m/s，方向沿正方向D．t＝6 s时，B的速度大小为4 m/s，方向沿负方向13.(多选)(2022·广东新兴一中月考)跳伞运动员做低空跳伞表演，当飞机离地面某一高度静止于空中时，运动员离开飞机自由下落，运动一段时间后打开降落伞，打开伞后运动员以5 m/s2的加速度匀减速下降，则在运动员减速下降的任一秒内()A.这一秒末的速度比前一秒初的速度小5 m/sB.这一秒末的速度是前一秒末的速度的1 5C.这一秒末的速度比前一秒末的速度小5 m/sD.这一秒末的速度比前一秒初的速度小10 m/s二、非选择题14.汽车原来以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，因为路口出现红灯，司机从较远的地方开始刹车，使汽车匀减速前进，当车速减到2 m/s时，交通灯转为绿色，司机当即放开刹车，并且只用了减速过程的一半时间，加速到原来的速度，从刹车开始到恢复原来速度的过程用了12 s。

高中数学必修一同步训练及解析1．在函数y＝1x，y＝2x3，y＝x2＋1，y＝(x＋1)3中，幂函数地个数为( )A．1B．2C．3D．4解析：选A.形如y＝xα地函数才是幂函数，其中系数为1，α为实常数，故只有y＝1x＝x－12是幂函数．2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减地函数是( ) A．y＝x－2B．y＝x－1C．y＝x2D．y＝x 1 3解析：选A.∵y＝x－1和y＝x 13都是奇函数，故B、D错误．又y＝x2虽为偶函数，但在(0，＋∞)上为增函数，故C错误．y＝x－2＝1x2在(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故A满足题意．3．函数y＝x 12与函数y＝x－1地图象交点坐标是________．答案：(1，1)4．已知2.4α＞2.5α，则α地取值范围是________．解析：∵0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，∴y＝xα在(0，＋∞)为减函数．故α<0.答案：α＜0[A级基础达标]1．下列函数中，其定义域和值域不同地函数是( )A．y＝x 1 3B．y＝x－1 2C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23解析：选D.y ＝x 23＝3x 2，其定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同．2．函数y ＝x 13地图象是( )解析：选B.因为当x ＞1时，x ＞x 13，当x ＝1时，x＝x 13，所以A 、C 、D 错误．选B.3．设α∈{－1，1，12，3}，则使函数y ＝x α地定义域为R ，且为奇函数地所有α值为( ) A ．1，3 B ．－1，1 C ．－1，3 D ．－1，1，3解析：选A.在函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 3中，只有函数y ＝x 和y ＝x 3地定义域是R ，且是奇函数，故α＝1，3.4．下列幂函数中是奇函数且在(0，＋∞)上单调递增地是________．(写出所有正确地序号)①y ＝x 2；②y ＝x ；③y ＝x 12；④y ＝x 3；⑤y ＝x －1.解析：由奇偶性地定义知y ＝x 2为偶函数，y ＝x 12＝x 既不是奇函数也不是偶函数．由幂函数地单调性知y ＝x －1在(0，＋∞)上单调递减，故填②④. 答案：②④5．幂函数y ＝f (x )地图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27地x 地值是________ .解析：设f (x )＝x α(α是常数)，因为y ＝f (x )地图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－18，所以(－2)α＝－18＝(－2)－3，解得α＝－3，所以f (x )＝x －3.从而有x －3＝27＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－3，解得x ＝13.答案：136．比较下列各题中两个幂地值地大小：(1)2.334，2.434；(2)(2)－32，(3)－32；(3)(－0.31)65，0.3565.解：(1)∵y ＝x 34为R 上地增函数，又2.3<2.4，∴2.334<2.434.(2)∵y ＝x －32为(0，＋∞)上地减函数，又2<3，∴(2)－32>(3)－32.(3)∵y ＝x 65为R 上地偶函数，∴(－0.31)65＝0.3165.又函数y ＝x 65为[0，＋∞)上地增函数，且0.31<0.35，∴0.3165<0.3565，即(－0.31)65<0.3565.[B 级 能力提升]7．以下关于函数y ＝x α当α＝0时地图象地说法正确地是( ) A ．一条直线B．一条射线C．除点(0，1)以外地一条直线D．以上皆错解析：选C.∵y＝x0，可知x≠0，∴y＝x0地图象是直线y＝1挖去(0，1)点．8．如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝x m和y＝x n在第一象限内地图象，则下列结论正确地是( ) A．n<m<0B．m<n<0C．n>m>0D．m>n>0解析：选A.由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.取x＝2，则有2m>2n，知m>n，故n<m<0.9．若幂函数y＝(m2＋3m－17)·x4m－m2地图象不过原点，则m地值为________．解析：由m2＋3m－17＝1，解得m＝3或m＝－6，当m＝3时，指数4m－m2>0不合题意，当m＝－6时，指数4m－m2<0符合题意．∴m＝－6. 答案：－610．已知幂函数f(x)＝x－12，若f(a＋1)<f(10－2a)，求a地取值范围．解：f(x)＝x－12＝1x(x>0)，由图象知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a .得⎩⎪⎨⎪⎧ a >－1，a <5，a >3.∴3<a <5. 11．函数f (x )＝(m 2－m －5)x m －1是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，试确定m 地值． 解：根据幂函数地定义得：m 2－m －5＝1， 解得m ＝3或m ＝－2，当m ＝3时，f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是增函数； 当m ＝－2时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m ＝3.。

2.2.2.4一、选择题1.12log 612－log 62等于( ) A ．22B ．12 2 C.12 D ．3[答案] C[解析] 12log 612－log 62＝12log 612－12log 62 ＝12log 6122＝12log 66＝12，故选C. 2．以下函数中，在区间(－∞，0)上为单调增函数的是( )A ．y ＝－log 12(－x )B ．y ＝2＋x 1－xC ．y ＝x 2－1D ．y ＝－(x ＋1)2 [答案] B [解析] y ＝－log 12(－x )＝log 2(－x )在(－∞，0)上为减函数，否定A ；y ＝x 2－1在(－∞，0)上也为减函数，否定C ；y ＝－(x ＋1)2在(－∞，0)上不单调，否定D ，故选B.3．(09·陕西文)设不等式x 2－x ≤0的解集为M ，函数f (x )＝ln(1－|x |)的定义域为N ，则M ∩N 为( )A ．[0,1)B ．(0,1)C ．[0,1]D ．(－1,0][答案] A[解析] 由题意知M ＝{x |0≤x ≤1}，N ＝{x |－1<x <1}，∴M ∩N ＝[0,1)，故选A.4．f (x )＝a x ，g (x )＝－log b x 且lg a ＋lg b ＝0，a ≠1，b ≠1，则y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象( )A ．关于直线x ＋y ＝0对称B ．关于直线x －y ＝0对称C ．关于y 轴对称D ．关于原点对称[答案] B[解析] ∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，f (x )＝a x ，g (x )＝－log b x ＝－log 1ax ＝log a x∴f (x )与g (x )互为反函数，其图象关于直线x －y ＝0对称．5．(2010·安徽理，2)若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪log 12x ≥12，则∁R A ＝( ) A ．(－∞，0]∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫22，＋∞ C ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫22＋∞ D.⎣⎡⎭⎫22，＋∞ [答案] A[解析] log 12x ≥12，∴0<x ≤22， ∁R A ＝(－∞，0]∪(22，＋∞)，故选A. 6．(2010年延边州质检)函数y ＝xa x|x |(a >1)的图象的大致形状是( )[答案] C[解析] ∵y ＝xa x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x >0)－⎝⎛⎭⎫1a x (x <0)， ∵a >1，∴当x >0时，y ＝a x 单增，排除B 、D ；当x <0时，y ＝－⎝⎛⎭⎫1a x 单减，排除A ，故选C. 7．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a [答案] C[解析] ∵x ∈(e －1,1)，y ＝ln x 是增函数，∴－1<ln x <0，∵ln 3x －ln x ＝ln x (ln 2x －1)>0，∴c >a ，∵ln x －2ln x ＝－ln x >0，∴a >b ，∴c >a >b .8．设A ＝{x ∈Z|2≤22－x <8}，B ＝{x ∈R||log 2x |>1}，则A ∩(∁R B )中元素个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C [解析] 由2≤22－x <8得，－1<x ≤1， ∵x ∈Z ，∴x ＝0,1，∴A ＝{0,1}；由|log 2x |>1，得x >2或0<x <12， ∴∁R B ＝{x |x ≤0或12≤x ≤2}， ∴A ∩(∁R B )＝{0,1}．9．(09·全国Ⅰ)已知函数f (x )的反函数为g (x )＝1＋2lg x (x >0)，则f (1)＋g (1)＝( )A ．0B ．1C ．2D ．4 [答案] C[解析] ∵g (1)＝1，f (x )与g (x )互为反函数，∴f (1)＝1，∴f (1)＋g (1)＝2.10．对任意两实数a 、b ，定义运算“*”如下：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，若a ≤b ；b ，若a >b ， 则函数f (x )＝log 12(3x －2)*log 2x 的值域为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．[0，＋∞)[答案] C [解析] ∵a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，若a ≤b ，b ，若a >b .而函数f (x )＝log 12(3x －2)*log 2x 的大致图象如右图所示的实线部分，∴f (x )的值域为(－∞，0]．二、填空题11．若正整数m 满足10m －1<2512<10m ，则m ＝______.(其中lg2＝0.3010) [答案] 155[解析] 将已知不等式两边取常用对数，则m －1<512lg2<m ，∵lg2＝0.3010，m ∈Z ＋，∴m ＝155.12．若a ＝log 3π、b ＝log 76、c ＝log 20.8，则a 、b 、c 按从小到大顺序用“<”连接起来为________．[答案] c <b <a[解析] a ＝log 3π>log 33＝1，b ＝log 76<log 77＝1，log 76>log 71＝0，c ＝log 20.8<log 21＝0∴c <b <a13．函数f (x )＝|x －2|－1log 2(x －1)的定义域为________． [答案] [3，＋∞)[解析] 要使函数有意义，须⎩⎪⎨⎪⎧ |x －2|－1≥0x －1>0x －1≠1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3或x ≤1x >1x ≠2，∴x ≥3.14．已知log a 12<1，那么a 的取值范围是__________． [答案] 0<a <12或a >1 [解析] 当a >1时，log a 12<0成立， 当0<a <1时，log a 12<log a a ，∴12>a >0. 三、解答题15．设A ＝{x ∈R|2≤x ≤π}，定义在集合A 上的函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的最大值比最小值大1，求a 的值．[解析] a >1时，y ＝log a x 是增函数，log a π－log a 2＝1，即log a π2＝1，得a ＝π2. 0<a <1时，y ＝log a x 是减函数，log a 2－log a π＝1，即log a 2π＝1，得a ＝2π. 综上可知a 的值为π2或2π. 16．已知f (x )＝log a 1＋x 1－x(a >0且a ≠1)， (1)求f (x )的定义域；(2)判断y ＝f (x )的奇偶性；(3)求使f (x )>0的x 的取值范围．[解析] (1)依题意有1＋x 1－x>0，即(1＋x )(1－x )>0，所以－1<x <1， 所以函数的定义域为(－1,1)．(2)f (x )为奇函数．因为函数的定义域为(－1,1)，又f (－x )＝log a 1－x 1＋x ＝log a (1＋x 1－x )－1＝－log a 1＋x 1－x＝－f (x )， 因此y ＝f (x )为奇函数．(3)由f (x )>0得，log a 1＋x 1－x>0(a >0，a ≠1)，① 当0<a <1时，由①可得0<1＋x 1－x<1， ② 解得－1<x <0；当a >1时，由①知1＋x 1－x>1， ③解此不等式得0<x <1.17．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且关于x 的二次方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1＝0有等根，判断△ABC 的形状．[解析] ∵方程有等根∴Δ＝4－4[lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1]＝4－4lg 10(c 2－b 2)a 2＝0， ∴lg 10(c 2－b 2)a 2＝1，∴10(c 2－b 2)a 2＝10 ∴c 2－b 2＝a 2即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．18．(1)计算： lg 23－lg9＋lg10(lg 27＋lg8－lg 1000)(lg0.3)(lg1.2)(2)设a 、b 满足条件a >b >1,3log a b ＋3log b a ＝10，求式子log a b －log b a 的值．[分析] (1)因9＝32,27＝33,8＝23,12＝22·3，故需将式中的项设法化为与lg2，lg3相关的项求解；(2)题设条件与待求式均为x ＋y ＝c 1，x －y ＝c 2的形式，注意到x ·y ＝log a b ·log b a ＝1，可从x ·y 入手构造方程求解．[解析] (1)lg0.3＝lg 310＝lg3－lg10＝lg3－1， lg1.2＝lg 1210＝lg12－1＝lg(22·3)－1＝2lg2＋lg3－1. lg 23－lg9＋lg10＝lg 23－2lg3＋1＝1－lg3，lg 27＋lg8－lg 1000＝32(lg3＋2lg2－1)， 原式＝32·(1－lg3)·(lg3＋2lg2－1)(lg3－1)(lg3＋2lg2－1)＝－32. (2)解法1：∵log b a ·log a b ＝lg a lg b ·lg b lg a＝1， ∴log b a ＝1log a b. 由log a b ＋log b a ＝103，得：log a b ＋1log a b ＝103.令t ＝log a b ，∴t ＋1t ＝103，化简得3t 2－10t ＋3＝0，由a >b >1，知0<t <1，∴t ＝13. ∴log a b －log b a ＝log a b －1log a b ＝13－3＝－83. 解法2：log a b ·log b a ＝lg b lg a ·lg a lg b＝1， ∵3log a b ＋3log b a ＝10，∴9(log a b ＋log b a )2＝100，∴log 2a b ＋log 2b a ＝1009－2＝829∴(log a b －log b a )2＝log 2a b ＋log 2b a －2＝649. ∵a >b >1，∴log a b －log b a <0，∴log a b －log b a ＝－83.。

2.2位移变化规律 课时练（解析版）1．一辆汽车在平直公路上做刹车实验，0t =时刻起开始刹车，刹车过程的位移大小x 与速度大小的关系为()2125m 16x v =-，下列分析正确的是（ ） A ．刹车过程汽车的加速度大小为8m/s 2 B ．刹车过程持续的时间为5s C ．0t =时刻汽车的速度大小为5m/sD ．刹车后3s 的位移大小为24m2．汽车在水平地面上因故刹车，可以看做是匀减速直线运动，其位移与时间的关系是x ＝（16t －2t 2） m ，则它5 s 内的位移为（ ） A ．40 mB ．32mC ．50 mD ．45m3．某质点做匀变速直线运动，第2秒内的位移是6m ，第6秒内的位移是10m ，则下列说法中不正确的是（ ） A ．质点的初速度是4.5m/s B ．质点运动的加速度是1m/s 2 C ．质点前4秒内平均速度为6m/s D ．质点在4.5秒末的瞬时速度是9m/s4．汽车在平直的公路上行驶，发现险情紧急刹车，汽车立即做匀减速直线运动直到停车，已知汽车刹车时第一秒内的位移为10m ，在最后1秒内的位移为2m ，则下列说法正确的是（ ）A ．汽车做匀减速运动的初速度为14m/sB ．汽车加速度大小为2m/s 2C ．汽车从刹车开始，前4秒内的总位移为16mD ．汽车在第1秒末的速度一定为8m/s5．如图所示，一小物块从一光滑且足够长的固定斜面顶端O 点无初速释放后，先后通过P 、Q 、N 三点，已知物块从P 点运动到Q 点与从Q 点运动到N 点所用的时间相等，且PQ 长度为2m ，QN 长度为5m ，则由上述数据可以求出OP 的长度为（ ）A ．1m 48B ．1m 12C ．1m 24 D ．1m 66．某列车启动后，在最初的10秒内的运动可以看作匀加速直线运动。

若该列车从静止出发第一个3秒内的位移为S ，第二个3秒内的位移应为（ ） A ．5SB ．4SC ．3SD ．2S7．为了测试某品牌汽车的加速性能，汽车试驾员在平直的试车道上竖起了三根标志杆A 、B 、C ，AB BC s ==。

1 3
.
(2)注意到两个对数的真数相同，可先比较 log0.71.1 与 log0.71.2 的大小．
∵0<0.7<1,1.1<1.2，
∴由对数函数的单调性，得 log0.71.1>log0.71.2. 又∵log0.71.2<log0.71.1<0， ∴log01.71.1<log01.71.2， 即 log1.10.7<log1.20.7. 另外，也可以利用对数函数图象，当底数大于 1 时，底 数越大，在直线 x＝1 左侧图象越靠近 x 轴，由右图所示，可 知 log1.10.7<log1.20.7.
[思路分析] (1)观察所求式子，猜测函数可能具有奇偶 性，先根据定义判断函数的奇偶性，再求值；(2)根据函数单 调性的定义来探究．
[解析] (1)∵函数的定义域为(－1,1)，关于坐标原点对 称，又 f(－x)＝lg11＋ －xx＝－lg11－ ＋xx＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数． ∴f(20110)＋f(－20110)＝f(20110)－f(20110)＝0.
规律总结：幂、指、对函数型的数值间的大小比较，要 注意函数单调性、作差(商)法的应用.
命题方向 3 求函数最值问题
这种问题经常会利用函数的单调性．
[例 4] 已知 x 满足 2(log1 x)2＋7log1 x＋3≤0，求函数 f(x)
2
2
＝log24x·log22x的最大值和最小值．
[解析] 由 2(log1 x)2＋7log1 x＋3≤0 解得－3≤log1 x≤－
(3)常用的对数不等式有三种类型： ①形如 logax>logab 的不等式，借助 y＝logax 的单调性求 解，如果 a 的取值不确定，需分 a>1 与 0<a<1 两种情况讨论． ②形如 logax>b 的不等式，应将 b 化为以 a 为底的对数式 的形式，再借助 y＝logax 的单调性求解． ③形如 logax>logbx 的形式，可利用图象求解．