计算机图形学课件：第8章曲线和曲面

如果想使用三次样条获得一条通过各个型值点
的连续曲线，需要利用三次样条分段插值得到通过 每个型值点的分段三次样条曲线。对n+1个型值点， 分段插值时段与段之间要建立合适的边界条件，既 能使各段之间平滑连续，又可建立起足够的方程数， 求出所有的系数。
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7.2.1 Hermite 样条插值曲线
2．参数样条表示 在计算机图形学应用中使用几种不同的样条描述。
每种描述是一个带有某特定边界条件多项式的特殊 类型。
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例如空间一条曲线用三次参数方程可以表示如下：
x(u)﹦axu 3﹢bxu 2﹢cxu﹢dx y(u)﹦ayu 3﹢byu 2﹢cyu﹢dy z(u)﹦azu 3﹢bzu 2﹢czu﹢dz u[0,1] 或
同样，如果用u,w表示参数，二维空间自由曲面的参数方程
表示为：
x﹦x(u,w),y﹦y(u,w)
u,w[0,1]
曲面上一点的参数表示为：
P(u,w)﹦[x(u,w),y(u,w)]
三维空间自由曲面的参数方程表示为：
x﹦x(u,w),y﹦y(u,w),z﹦z(u,w)；u,w[0,1]
曲面上一点的参数表示为：
Hermite样条插值（以法国数学家Charles Hermite命名）使用值点和型值点处的一阶导数建立边界条
件。设Pk和Pk+1为第K个和第K+1个型值点，Hermite样 条插值边界条件规定为：
P(0) ﹦Pk P(1) ﹦Pk+1 P’(0)﹦Dk P’(1)﹦Dk+1 其中，Dk和Dk+1分别为Pk和Pk+1处的一阶导数。 将参数方程写成矩阵形式为：
二阶几何连续性，记为G2连续，指两个曲线段在相交 处其一阶和二阶导数均成比例。G2连续下，两个曲线段在 交点处的曲率相等。

其性质见P197
§8.3 贝叶斯（Bezier）曲面
定义 在空间给定（n+1）×（m+1）个点Pi,j (i=0,1…n;j=0,1…m)，称下列形式为n×m次Bezier曲 面：
nm
S(u,v)
Pi, j Bi,n (u)Bj,m (v),0 u, v 1
i0 j0
§8.3 贝叶斯（Bezier）曲面
其中 Bi,n (u) 是Bernstein基函数
C C Bi,n (u)
i ui (1 u)ni ,
n
i n! n i!(n i)!
§8.2 贝叶斯（Bezier）曲线
一般称折线P0、P1……Pn为C(u)的控制多边形，称P0、 P1……Pn各点为C(U) 的控制顶点。控制多边形是C(u)的 大致勾画，C(u)是P0、P1……Pn的逼近。
u
u
u
u
§8.1 曲线和曲面的表示
所以 c'(u) [x'(u), y'(u), z'(u)] 矢函数的导矢也是一 个矢函数，因此也有方向和模。当 u 0 ,c(u)/ u 就转变为切线矢量，故又称导矢为切矢。
曲线的自然参数方程 设在空间曲线c(u)上任取一点M0(x0,y0,z0)作为计算 弧长起点，曲线上其他点M(x,y,z)到M0的弧长s作为 曲线方程的参数，这样的方程称为曲线的自然参数 方程，弧长则称为自然参数。
数，得到
Pi '
n
i 1
Pi1
(1
n
i
) 1
Pi
§8.2 贝叶斯（Bezier）曲线
Bezier曲线的升阶 说明：
1、新的控制点是老的特征多边形在参数i/(n+1)处进 行线性插值的结果。

第三讲 曲线曲面基本理论1概述(a) 飞机 (b) 船舶 (c) 汽车图 1-1 曲线曲面造型应用曲线曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design, CAGD)和计算机图形学的一项重要内容，主要研究在计算机系统中如何用曲线曲面表示、设计、显示和分析物体模型。

它在航空航天、船舶、飞机、汽车等行业得到广泛应用(如图1-1所示)。

由Coons 、Bezier 等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础,经过三十多年的发展，曲线曲面造型现在已形成了以有理B 样条曲线曲面(Rational B-spline Surface)参数化特征设计和隐式代数曲线曲面(Implicit Algebraic Surface)表示为主体的两类方法，且以插值(Interpolation)、逼近(Approximation)手段为几何理论体系。

1.1曲线曲面表示曲线曲面可以用三种形式进行表示，即显式、隐式和参数表示，三种形式表示如下。

显式表示：形如),(y x f z =的表达式。

对于一个平面曲线而言，显式表达式可写为)(x f y =。

在平面曲线方程中，一个x 值与一个y 值对应，所以显式方程不能表示封闭或多值曲线，例如，不能用显式方程表示一个圆。

隐式表示：形如0),,(=z y x f 的表达式。

如一个平面曲线方程，隐式表达式可写为0),(=y x f 。

隐式表示的优点是易于判断函数),(y x f 是否大于、小于或等于零，也就易于判断点是落在所表示曲线上或在曲线的哪一侧。

参数表示：形如)(t f x =，)(t f y =，)(t f z =的表达式，其中t 为参数。

即曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。

如平面曲线上任一点P 可表示为)](),([)(t y t x t P =，如图1-2(a)所示；空间曲线上任一三维点P 可表示为)](),(),([)(t z t y t x t P =，如图1-2(b)所示。

• 求给定型值点之间曲线上的点称为曲线的插值。 • 将连接有一定次序控制点的直线序列称为控制
多边形或特征多边形
图8-2 曲线的逼近
8.1.5 连续性条件
假定参数曲线段pi以参数形式进行描述：
pipi(t) [it0 ,ti1 ]t
• 参数连续性 • 几何连续性
1.参数连续性 0阶参数连续性，记作C0连续性，是指曲线的几
8.2.2 三次Hermite样条
定义：假定型值点Pk和Pk+1之间的曲线段为p(t),t∈[0,1]， 给定矢量Pk、Pk+1、Rk和Rk+1，则满足下列条件的三次 参数曲线为三次Hermite样条曲线：
p(0)Pk, p(1)Pk1 p(0)Rk, p(1)Rk1
推导：
ax ay az
p(t) [t3
Geometric Design）
8.1 曲线曲面基础
8.1.1 曲线曲面数学描述的发展
• 弗格森双三次曲面片 • 孔斯双三次曲面片 • 样条方法 • Bezier方法 • B样条方法 • 有理Bezier • 非均匀有理B样条方法
8.1.2 曲线曲面的表示要求
1.唯一性 2.几何不变性 3.易于定界 4.统一性 5.易于实现光滑连接 6.几何直观
• 样条曲面则可以用两组正交样条曲线来描述。
• 曲线曲面的拟合：当用一组型值点来指定曲线曲面的 形状时，形状完全通过给定的型值点列。
图 种意义上最佳逼近这些型值点， 称之为对这些型值点进行逼近 (approximation)。
• 曲线曲面的逼近：当用一组控 制点来指定曲线曲面的形状时， 求出的形状不必通过控制点列 图8-2 曲线的逼近
2阶几何连续性，记作G2连续性，指相邻曲线段在交 点处其一阶和二阶导数均成比例。