2.2 对偶理论 2.3对偶问题的经济意义——影子价格

影子价格的经济意义
影子价格Y*---原问题线性规划对偶模型中对偶变量的最 优解. 一般在求解原问题线性规划模型最优解时,其对偶模型的 最优解也同时得出. Y*=CB×B-1
(P)
max Z CX
s.t AX≤b xi≥0
(D)
min Z Yb
s.t YA≥C yj≥0
C=(C1,C2,…Cn ), X=(X1,X2,…Xn )T
Y=(Y1,Y2,…Ym )
A=(aij)m×n , b=(b1,b2…bm)T
X*为原问题线性规划模型的最优解. Y*为原问题线性规划对偶模型的最优解.
影子价格的经济意义
1.影子价格反映资源对目标函数的边际贡献. 增加单位资源可使经济收益增加Y*. 2.影子价格反映了资源的稀缺程度. Y*>0, 表示资源短缺,影子价格越大,稀缺程度越高. Y*=0,资源有剩余,不短缺. 3.影子价格反映了资源的使用价值.
1
3
3.333333 1.333333 0.666667 -0.33333 0.333333
0
0
1 0 0 0 0
0
0
0 1 0 0 0
0
0
-0.33333 -0.33333 0.333333 -0.66667 1 0
106.5
λj=Cj-CB*B -1*Pj
0 0 4 0 x4 x5 x1 x7 λj=Cj-CB*B -1*Pj 40 28 60 93
0 0 1 0 0
24 42 180 69.75
终表
Cj CB 2 0 XB x2 x5 24 12 4 0 0 2 x2 1 0 3 x3 2 0 0 x4 0.6 -0.4 0 x5 0 1 0 x6 -0.2 -0.2 0 x7 0 0 θi

木工的影子价格 y 3 = 10 即增加1小时的木工，总收入增加 元 小时的木工， ，即增加 小时的木工 总收入增加10元 餐桌的影子价格 y 4 = 0 ，即增加1个餐桌的需求，总收入不增加 个餐桌的需求， 即增加 个餐桌的需求
投资策略：哪种资源的影子价格大就投资那项？ 投资策略：哪种资源的影子价格大就投资那项？
（j = 1,2, L , n)
资源
B1
B2 L Bn
资源 限制
A1 A2 M Am
单位 利润
a11 a12 L a1n a21 a22 L a2n L L L L am1 am2 L amn
b1 b2 M bm
x1 , x 2 L , x n ≥ 0
c1 c2 L cn
种资源增加一个单位， 决策依据： 比较第 种资源增加一个单位 决策依据： 比较第i种资源增加一个单位，其余资源不增加 时利润的增加值
现有资源中的煤炭和设备台时已经全部用完而没有剩余， 因此若增加这两种资源，必然会工厂带来新的效益。 650 若把最优方案带入钢材 约束：有 5 x1 * +2 x 2 * = < 170 7 现有资源中的钢材有剩余，因此若增加这种资源， 只能造成积压，不会给工厂增加效益。
⇒ y1 * = 0
*影子价格的大小客观地反映了资源 影子价格的大小客观地反映了资源 在系统内部的稀缺程度 在系统内部的稀缺程度
(2)若有某个αi X* ≠ bi ,则必有yi * = 0
(3)若 某 xj * ≠ 0,必 则 *Pj = cj 有 个 有 Y (4)若 某 Y *Pj ≠ cj ,则 有 j * = 0 有 个 必 x
(1)若有某个yi * ≠ 0,则必有αi X* = bi
资源的合理利用问题：

3
x2
2
0
1
1/2
σj
-14
0
0
-1.5
x4
x5
1/4
0
1/2
1
-1/8
0
-1/8
0
若生现产在I该和厂II，从求其此他时地的方最抽优调方4台案时设备用于
b1 增加 4
0 0.25 0 这里 B-1 = -2 0.5 1
0.5 -0.125 0
各列分别对应 b1, b2, b3 的单一变化。 因此，设 b1 增加 4，则 x1, x5, x2 分别变为： 4+0×4=4, 4+(-2)×4=-4<0, 2+0.5×4=4 用对偶单纯形法进一步求解。
用单纯形法继续迭 代 用对偶单纯形法继 续迭代 引入人工变量，编 制新的单纯形表重 新计算
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价值系数c发生变化： 考虑检验数
j =- cj +∑i = 1, 2, …, m ci a’ij ,
j =1,2,……,n
这里a’ij 为最优单纯形表中的系数，不 同于初始的aij
1. c是非基变量的系数： 2. c是基变量的系数：
j = - cj +∑ ci a’ij ， 若用单j纯≥ 形0，法则求最解优。解不变；否则，进一步
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2. B 中某一列变化：
稍微复杂些，一般可重新列表计算， 也可以用列替换的方法在原最优单 纯形表上继续进行计算。
例2.10：例2.6中 x2 的系数 P2 改变为( 4, 0, 2 )T， c2 改变为1。
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例2.6：线性规划
max z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4+ 0x5

影子价格是经济学中的重要概念，将一个企业拥 有的资源的影子价格与市场价格比较，可以决定是购 入还是出让该种资源。当某资源的市场价格低于影子 价格时，企业应该买进该资源用于扩大生产；而当市 场价格高于影子价格时，则企业的决策者应该将已有 资源买掉。这样获利会更多。在考虑一个地区或一个 国家某种资源的进出口决策中，资源的影子价格是影 响决策的一个重要因素。 利用单纯形表求解线性规划，在求得最优解的同 时，很容易得到问题的各种资源的影子价格。某资源 的影子价格，就是该资源对应的约束条件所加松弛变 量在最优表中的检验数的相反数。
例1 写出下面线性规划的对偶规划 minZ=2x1+ x2-4x3 原问题即 2x1+3x2 +x3 ≥1 minZ=2x1+ x2-4x3 3x1- x2 +x3 ≤4 2x1+3x2 +x3 ≥1 x1 +x3=3 -3x1+ x2-x3 ≥-4 x1,x2≥0 x1 +x3=3 其对偶为：maxW=y1 -4y2+3y3 x1,x2≥0 2y1- 3y2 +y3 ≤2 3y1+ y2 ≤1 y1- y2 +y3 =-4 y1,y2≥0
线性规划的原问题与对偶问题的变换规则表：
原问题（或对偶问题） 目标函数 maxZ 价值系数 资源系数 行约束的个数为m 行约束的个数为m 第i个行约束取“≤” 个行约束取“≤ 第ι个行约束取“＝” 原变量的个数为n 原变量的个数为n 第j个变量xj ≥0 个变量x 第k个变量xk无限制 个变量x 对偶问题（或原问题） 目标函数 minW 资源系数 价值系数 对偶变量的个数为m 对偶变量的个数为m 第i个变量yi ≥0 个变量y 第ι个变量yι无限制 个变量y 行约束的个数为n 行约束的个数为n 第j个行约束取“≥” 个行约束取“≥ 第k个行约束取“＝”