2020年黑龙江省实验中学联盟校高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合A＝{x∈Z|x2−3x−4≤0}，B＝{x|0<ln x<2}，则A∩B的真子集的个数为（）A.3B.4C.7D.82. 设z∈C且z≠0，“z是纯虚数”是“z2∈R”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 如图是正态分布N(0, 1)的正态曲线图，下面3个式子中，等于图中阴影部分面积的个数为（）注：Φ(a)＝P(X≤a)①1 2−Φ(−a)②Φ(1−a)③Φ(a)−12A.0B.1C.2D.34. 等比数列{a n}的前n项和为S n，若S1，S3，S2成等差数列，则{a n}的公比q等于（）A.1B.2C.12D.−125. 函数f(x)＝|x|−ln|x|x2的图象大致为（）A. B.C. D.6. 如图所示，在△ABC中，AD=DB，点F在线段CD上，设AB→=a→，AC→=b→，AF→=xa→+yb→，则1x+4y+1的最小值为())A.6+2√2B.6√3C.6+4√2D.3+2√27. 执行如图所示的程序框图，若输入n＝10，则输出的S的值是（）A.910B.1011C.1112D.9228. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是上底面A1B1C1D1内一点，且AP // 平面EFDB，则cos∠APA1的最小值是（）A.√22B.√55C.13D.2√239. 若变量x ，y 满足约束条件{x ≤3,x +y −3≥0,x −y +1≥0, 则x −2y 的最小值是（ ）A.−3B.−5C.3D.510. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)与函数y =√x(x ≥0)的图象交于点P ，若函数y =√x 的图象与点P 处的切线过双曲线左焦点F(−4, 0)，则双曲线的离心率是（ ）A.√17+44B.√17+34C.√17+24D.√17+1411. 如图所示，用一边长为√2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为4π3的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A.√2−12B.√2+12C.√6−12D.√3−1212. 已知不等式x +a ln x +1e x ≥x a 对x ∈(1, +∞)恒成立，则实数a 的最小值为( )A.−√eB.−e2C.−eD.−2e二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）若顶点在原点的抛物线经过四个点(1, 1)，(2,12)，(2, 1)，(4, 2)中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________．已知向量a →=(4, 2)，b →=(λ, 1)，若a →+2b →与a →−b →的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为________．若函数f(x)={e x −a,x <1(x −2a)(x −a 2),x ≥1 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．2020年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中，为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为________．三、解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．且sin (A +C)=2√3Sa 2+c 2−b 2． （1）若sin B cos (π2−C)=cos 2A2，求角C 的大小．（2）若AC 边上的中线BM 的长为2，求△ABC 面积的最大值．如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝4，动点P 满足CP →=λCC 1→(λ>0)，当λ=12时，AB 1⊥BP ．（1）求棱CC 1的长；（2）若二面角B 1−AB −P 的大小为π3，求λ的值．网上购物的普及，传统的实体店遭受到了强烈的冲击，某商场实体店近九年来的纯利润如表所示：根据这9年的数据，对x 和y 作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.254； 根据后5年的数据，对x 和y 作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.985； （1）如果要用线性回归方程预测该商场2019年实体店纯利润，现有两个方案： 方案一：选取这9年的数据，进行预测； 方案二：选取后5年的数据进行预测；从生活实际背景以及相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适． 附：相关性检验的临界值表：（2）某机构调研了大量已经开店的店主，据统计，只开网店的占调查总人数的40%，既开网店又开实体店的占调查总人数的20%，现以此调查统计结果作为概率，若从上述统计的店主中随机抽查了5位，求只开实体店的人数的分布列及期望．已知点(1, e)，(e, √32)在椭圆上C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 经过C 的上顶点且l 与抛物线M:y 2＝4x 交于P ，Q 两点，F 为椭圆的左焦点，直线FP ，FQ 与M 分别交于点D （异于点P ），E （异于点Q ），证明：直线DE 的斜率为定值．设函数f(x)＝ln (x −1)+ax 2+x +1，g(x)＝(x −1)e x +ax 2． （1）若a ≥0，讨论g(x)的零点个数；（2）证明：f(x)≤g(x)．选考题(共10分请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做，则被所做的第一题计分）在平面直角坐标系xOy 中，直线C 1的参数方程为{x =−2+t cos αy =t sin α(t 为参数，0<α<π)，曲线C 2的参数方程为{x =−1+√3cos φy =1+√3sin φ （φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 2的极坐标方程；（2）设曲线C 1与曲线C 2的交点分别为A ，B ，M(−2, 0)，求|MA|2+|MB|2的最大值及此时直线C 1的倾斜角．（选修4-5）已知函数f(x)=|2x −1|+|x +1|． (1)求不等式f(x)≤x +2的解集；(2)若函数y =f(x)的最小值记为m ，设a >0，b >0，且有a +b =m ．求1a+1+2b+2的最小值．参考答案与试题解析2020年黑龙江省实验中学联盟校高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B的真子集的个数．【解答】∵集合A＝{x∈Z|x2−3x−4≤0}＝{x∈Z|−1≤x≤4}＝{−1, 0, 1, 2, 3, 4}，B＝{x|0<ln x<2}＝{x|1<x<e2}，∴A∩B＝{2, 3, 4}，∴A∩B的真子集的个数为：23−1＝7个．2.【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】z∈C且z≠0，“z是纯虚数”⇒“z2∈R”，反之不成立，例如取z＝2．即可判断出结论．【解答】∵z∈C且z≠0，“z是纯虚数”⇒“z2∈R”，反之不成立，例如取z＝2．∴ “z是纯虚数”是“z2∈R”的充分不必要条件．3.【答案】C【考点】正态分布的密度曲线【解析】根据正态分布N∽(0, 1)的正态分布曲线图，知正态曲线的对称轴是x＝0，欲求图中阴影部分面积，只须求12−P(X≤−a)，再结合对称性进行代换即可求得答案．【解答】：∵Φ(−a)＝P(X≤−a)，∴图中阴影部分的面积为12−P(X≤−a)=12−Φ(−a)，根据对称性可知阴影部分的面积为P(X≤a)−12=Φ(a)−12，∴ ①③正确，4. 【答案】D【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】由等差数列的中项性质可得2S3＝S1+S2，再由等比数列的通项公式解方程可得q．【解答】S1，S3，S2成等差数列，可得2S3＝S1+S2，即为2(a1+a2+a3)＝a1+a1+a2，即有2a1(1+q+q2)＝a1(2+q)，化为2q2+q＝0，解得q=−12（q＝0舍去），5.【答案】A【考点】函数的图象与图象的变换【解析】利用函数的奇偶性可排除CD，利用导数研究可知当x>0时，其在x＝1处取得极小值，可排除B，由此得解．【解答】因为f(−x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，排除C和D．当x>0时，f(x)=x−ln xx2，f′(x)=x3+2ln x−1x3，令f′(x)<0，得0<x<1；令f′(x)>0，得x>1．所以f(x)在x＝1处取得极小值，排除B，6.【答案】D【考点】基本不等式在最值问题中的应用向量的共线定理【解析】此题暂无解析【解答】解：AF→=xa→+yb→=2xAD→+yAC→．∵C，F，D三点共线，∴2x+y=1，∴1x+4y+1=2x+y+12(1x+4y+1)=(x+y+12)(1x+4y+1)=3+y+12x+4xy+1≥3+2√y+12x⋅4xy+1=3+2√2，当且仅当y+12x =4xy+1时取等号．故选D．7.【答案】B【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=11×2+12×3+⋯+110×11的值，可得：S=11×2+12×3+⋯+110×11=(1−12)+(12−13)+...+(110−111)＝1−111=1011．8.【答案】C【考点】直线与平面平行【解析】连结AC、BD，交于点O，连结A1C1，交EF于M，连结OM，则AO=∥PM，从而A1P＝C1M，由此能求出cos∠APA1的值．【解答】连结AC、BD，交于点O，连结A1C1，交EF于M，连结OM，设正方形ABCD−A1B1C1D1中棱长为1，∵在正方形ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是底面A1B1C1D1内一点，且AP // 平面EFDB，∴AO=∥PM，∴A1P＝C1M=AC4=√24，∴cos∠APA1=A1PAP =√24√A1P2+AA1=√24√8+1=13，即cos∠APA1的最小值是13．9.【答案】B 【考点】简单线性规划【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最小值即可．【解答】画出满足条件的平面区域，如图示：，由{x=3x−y+1=0，解得A(3, 4)，设z＝x−2y得：y=12x−12z，平移直线y=12x−12z，结合图象直线过A时，z最小，z的最小值是：−5，10.【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】设P的坐标为(m, √m)，求函数导数，利用导数的几何意义以及切线斜率公式建立方程关系求出m＝4，根据双曲线的定义求出a，c即可．【解答】设P的坐标为(m, √m)，左焦点F(−4, 0)，函数的导数f′(x)=2√x，则在P处的切线斜率k＝f′(m)=2√m=√mm+4，即m+4＝2m，得m＝4，则P(4, 2)，设右焦点为A(4, 0)，则2a＝|PF|−|PA|=√64+4−√0+4=2(√17−1)，即a=√17−1，∵c＝4，∴双曲线的离心率e=ca=√17+14，11.【答案】D【考点】球的表面积和体积【解析】由条件利用球的截面的性质求得球心到截面圆的距离，再求出垂直折起的4个小直角三角形的高，再与球的半径相加即得答案．【解答】由题意可得，蛋巢的底面是边长为1的正方形，故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，由于鸡蛋的体积为43π，故鸡蛋（球）的半径为1，故球心到截面圆的距离为√1−14=√32，而垂直折起的4个小直角三角形的高为12，故鸡蛋最低点与蛋巢底面的距离为√3−12，12.【答案】C【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】将原不等式化为e−x−ln e−x≥x a−ln x a对x∈(1, +∞)恒成立；设函数f(x)＝x−ln x，即f(e−x)≥f(x a)对x∈(1, +∞)恒成立；讨论函数f(x)的单调性；【解答】解：不等式x+a ln x+1e≥x a对x∈(1, +∞)恒成立，即x+1e x≥x a−a ln x=x a−ln x a对x∈(1, +∞)恒成立，即e−x−ln e−x≥x a−ln x a对x∈(1, +∞)恒成立.设函数f(x)=x−ln x，则f′(x)=1−1x =x−1x，所以f(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增.即f(e−x)≥f(x a)对x∈(1, +∞)恒成立，∵x∈(1, +∞)时，e−x∈(0,1e)，根据选项，只需讨论a<0的情况.当a<0时，y=x a在x∈(1, +∞)上单调递减，则x a∈(0, 1)，则e−x≤x a，两边取e为底的对数，得：−x≤a ln x (x>1)，即a≥−xln x (x>1).设函数ℎ(x)=−xln x ，则ℎ′(x)=1−ln x(ln x)2，所以ℎ(x)在(1, e)上单调递增，在(e, +∞)上单调递减.则ℎ(x)最大值=ℎ(e)=−e，即a≥−e.故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】x2＝8y或y2＝x【考点】抛物线的标准方程【解析】由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝2py(p>0)，然后分类求解得答案．【解答】由题意可得，抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝2py(p>0)．若抛物线方程为y2＝2px(p>0)，代入(1, 1)，得p=12，则抛物线方程为y2＝x，此时(4, 2)在抛物线上，符合题意；若抛物线方程为x2＝2py(p>0)，代入(2, 1)，得p＝2，则抛物线方程为x2＝8y，此时(2, 12)在抛物线上，符合题意．∴抛物线的标准方程可以是x2＝8y或y2＝x．【答案】(1−√11, 2)∪(2, 1+√11)【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】先求出a→+2b→与a→−b→的坐标，再根据a→+2b→与a→−b→不共线，且它们乘积为正值，求出实数λ的取值范围．【解答】解：∵向量a→=(4, 2)，b→=(λ, 1)，∴a→+2b→=(4+2λ, 4)，a→−b→=(4−λ, 1)，若a→+2b→与a→−b→的夹角是锐角，则a→+2b→与a→−b→不共线，且它们乘积为正值，即4+2λ4−λ≠41，且(a→+2b→)⋅( a→−b→)=(4+2λ, 4)⋅(4−λ, 1)=20+4λ−2λ2>0，求得1−√11<λ<1+√11，且λ≠2.故答案为：(1−√11, 2)∪(2, 1+√11).【答案】[12, 1)∪{2}∪[e, +∞)【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】分四种情况讨论当a≤0时，当0<a<2时，当a＝2时，当a>2时，图象使得符合函数f(x)有两个零点．【解答】当a≤0时，不满足题意，当0<a<2时，要使函数函数f(x)恰有2个零点，即{e−a>0a2<1≤2a ⇒12≤a<1，当a＝2时，满足题意，当a>2时，a2>2a>4，要使函数函数f(x)恰有2个零点，即e−a≤0．所以a≥e，综上所述：实数a的取值范围是[12, 1)∪{2}∪[e, +∞)．【答案】13【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，由排列组合公式分析3名志愿者辅导4门学科的情况数目，在分析其中甲辅导数学的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．【解答】根据题意，要求甲、乙、丙3名志愿者每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则必有1人辅导2门学科；则有C42A33＝6×6＝36种情况，若甲辅导数学，有C32A22+C31A22＝12种情况，则数学学科恰好由甲辅导的概率为13，三、解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）【答案】由于sin(A+C)=2√3Sa2+c2−b2，可得：sin B=2√3⋅12ac sin Ba2+c2−b2，所以a 2+c2−b22ac=√32，可得cos B=√32，所以由B∈(0, π)，可得B=π6，由sin B cos(π2−C)=cos2A2，可得sin B sin C=1+cos A2，可得：12sin C=1+cos A2，可得sin C＝1+cos(5π6−C)，可得sin(C+π3)＝1，因为C∈(0, π)，可得C+π3∈(π3, 4π3)，可得C+π3=π2，可得C=π6．延长BM到D，使得BM＝MD，连接AD，在△ABD中，有AB＝c，AD＝a，∠BAD=5π6，由余弦定理可得16＝a2+c2−2ac⋅(−√32)，即16＝a2+c2+√3ac，可得16−√3ac＝a2+c2≥2ac，可得ac≤32−16√3，当且仅当a＝c＝2√6−2√2时取等号，可得△ABC的面积S=12ac sin B=12×12×ac≤8−4√3，当且仅当a＝c＝2√6−2√2时取等号，即△ABC面积的最大值是8−4√3．【考点】余弦定理【解析】（1）由三角形的面积公式，余弦定理化简已知等式可求cos B=√32，结合范围B∈(0, π)，可得B=π6，利用三角函数恒等变换的应用化简可得sin(C+π3)＝1，进而结合范围C∈(0, π)，可得C的值．（2）延长BM到D，使得BM＝MD，连接AD，在△ABD中，由余弦定理，基本不等式可求得ac≤32−16√3，进而根据三角形的面积公式即可求解．【解答】由于sin(A+C)=2√3Sa2+c2−b2，可得：sin B=2√3⋅12ac sin Ba2+c2−b2，所以a2+c2−b22ac=√32，可得cos B=√32，所以由B∈(0, π)，可得B=π6，由sin B cos(π2−C)=cos2A2，可得sin B sin C=1+cos A2，可得：12sin C=1+cos A2，可得sin C＝1+cos(5π6−C)，可得sin(C+π3)＝1，因为C∈(0, π)，可得C+π3∈(π3, 4π3)，可得C+π3=π2，可得C=π6．延长BM到D，使得BM＝MD，连接AD，在△ABD中，有AB＝c，AD＝a，∠BAD=5π6，由余弦定理可得16＝a2+c2−2ac⋅(−√32)，即16＝a2+c2+√3ac，可得16−√3ac＝a2+c2≥2ac，可得ac≤32−16√3，当且仅当a＝c＝2√6−2√2时取等号，可得△ABC 的面积S =12ac sinB=12×12×ac ≤8−4√3，当且仅当a ＝c ＝2√6−2√2时取等号，即△ABC 面积的最大值是8−4√3．【答案】以点A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系，设CC 1＝m ，则B 1(3, 0, m)， B(3, 0, 0)，P(0, 4, λm)，所以AB 1→=(3,0,m)，PB →=(3,−4,−λm)，AB →=(3,0,0)，…2分 当λ=12时，有AB 1→⋅PB →=(3,0,m)⋅(3,−4,−12m)=0 解得m =3√2，即棱CC 1的长为3√2．…4分 设平面PAB 的一个法向量为n 1→=(x, y, z)， 则由{AB →⋅n 1→=0PB →⋅n 1→=0，得{3x =03x −4y −3√2λz =0 ，即{x =04y +3√2λz =0，令z ＝1，则y =−3√2λ4， 所以平面PAB 的一个法向量为n 1→=(0,−3√2λ4,1)，…6分 又平面ABB 1与y 轴垂直，所以平面ABB 1的一个法向量为n 2→=(0,1,0)， 因二面角B 1−AB −P 的平面角的大小为π3，所以|cos <n 1→,n 2→>|=12=−3√2λ4(3√2λ4)，结合λ>0，解得λ=2√69．…10分．【考点】异面直线及其所成的角 二面角的平面角及求法【解析】（1）以点A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出棱CC 1的长．（2）求出平面PAB 的一个法向量，和平面ABB 1的一个法向量，由已知条件利用向量法能求出λ的值． 【解答】以点A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系，设CC 1＝m ，则B 1(3, 0, m)， B(3, 0, 0)，P(0, 4, λm)，所以AB 1→=(3,0,m)，PB →=(3,−4,−λm)，AB →=(3,0,0)，…2分当λ=12时，有AB 1→⋅PB →=(3,0,m)⋅(3,−4,−12m)=0 解得m =3√2，即棱CC 1的长为3√2．…4分 设平面PAB 的一个法向量为n 1→=(x, y, z)，则由{AB →⋅n 1→=0PB →⋅n 1→=0，得{3x =03x −4y −3√2λz =0 ，即{x =04y +3√2λz =0，令z ＝1，则y =−3√2λ4， 所以平面PAB 的一个法向量为n 1→=(0,−3√2λ4,1)，…6分 又平面ABB 1与y 轴垂直，所以平面ABB 1的一个法向量为n 2→=(0,1,0)， 因二面角B 1−AB −P 的平面角的大小为π3，所以|cos <n 1→,n 2→>|=12=|−3√2λ4√(3√2λ4)|，结合λ>0，解得λ=2√69．…10分．【答案】选取方案二更合适，理由如下：①中介绍了，随差网购的普及，实体店生意受到了强烈的冲击， 从表格中可以看出从2014年开始，纯利润呈现逐年下降的趋势， 可以预见，2019年的实体店纯利润收入可能会接着下跌， 前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据． ②相关系数|r|越接近1，线性相关性越强，∵ 根据9年的数据得到的相关系数的绝对值0.985>0.959， ∴ 有99%的把握认为y 与x 具有线性相关关系．此调查统计结果作为概率，从上述统计的店主中随机抽查了1位， 开网店的概率为35，开实体店的概率为25，设只开实体店的店主人数为ξ，则ξ＝0，1，2，3，4，5，ξ∼B(5, 25)，P(ξ＝0)=C 50(25)0(35)5=2433125，P(ξ＝1)=C 51(25)(35)4=162625， P(ξ＝2)=C 52(25)2(35)3=216625，P(ξ＝3)=C 53(25)3(35)2=144625， P(ξ＝4)=C 54(25)4(35)=48625， P(ξ＝5)=C 55(25)5(35)0=323125，∴ ξ的分布列为：∵ ξ∼B(5, 25)，∴ E(ξ)＝5×25=2．【考点】离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）选取方案二更合适，理由是①中介绍了，随差网购的普及，实体店生意受到了强烈的冲击，2019年的实体店纯利润收入可能会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据．②中相关系数|r|越接近1，线性相关性越强，根据9年的数据得到的相关系数的绝对值0.985>0.959，从而有99%的把握认为y 与x 具有线性相关关系．（2）此调查统计结果作为概率，从上述统计的店主中随机抽查了1位，开网店的概率为35，开实体店的概率为25，设只开实体店的店主人数为ξ，则ξ＝0，1，2，3，4，5，ξ∼B(5, 25)，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)． 【解答】选取方案二更合适，理由如下：①中介绍了，随差网购的普及，实体店生意受到了强烈的冲击， 从表格中可以看出从2014年开始，纯利润呈现逐年下降的趋势， 可以预见，2019年的实体店纯利润收入可能会接着下跌， 前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据． ②相关系数|r|越接近1，线性相关性越强，∵ 根据9年的数据得到的相关系数的绝对值0.985>0.959， ∴ 有99%的把握认为y 与x 具有线性相关关系．此调查统计结果作为概率，从上述统计的店主中随机抽查了1位，开网店的概率为35，开实体店的概率为25，设只开实体店的店主人数为ξ，则ξ＝0，1，2，3，4，5，ξ∼B(5, 25)，P(ξ＝0)=C 50(25)0(35)5=2433125，P(ξ＝1)=C 51(25)(35)4=162625， P(ξ＝2)=C 52(25)2(35)3=216625， P(ξ＝3)=C 53(25)3(35)2=144625， P(ξ＝4)=C 54(25)4(35)=48625， P(ξ＝5)=C 55(25)5(35)0=323125，∴ ξ的分布列为：∵ ξ∼B(5, 25)，∴ E(ξ)＝5×25=2． 【答案】由题意可得{ 1a 2+e 2b 2=1e 2a2+34b 2=1e 2=c 2a 2=a 2−b 2a 2 解得：a 2＝2，b 2＝1， 所以椭圆的方程为：x 22+y 2＝1；证明：由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：y ＝kx +1，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，联立直线l 与抛物线的方程{y =kx +1y 2=4x ，整理可得：k4y 2−y +1＝0，△＝1−k >0即k <1，且k ≠0，y 1+y 2=4k ，y 1y 2=4k ，由（1）可得左焦点F(−1, 0)，所以直线FP 的方程为：y =y 1x1+1(x +1)， 联立直线PF 与抛物线的方程：{y 2=4x y =y 1x 1+1(x +1) 整理可得：y 2−4(x 1+1)y 1y +4＝0，所以y 1y D ＝4，所以y D =4y 1，所以D 的坐标(4y 12, 4y 1)， 同理可得：E 的坐标(4y 22, 4y 2)，所以k DE =4y 1−4y 24y 12−4y 22=y 1y 2y 1+y 2=1，所以可证得直线DE 的斜率为定值1． 【考点】 椭圆的应用 椭圆的标准方程 直线与椭圆的位置关系【解析】（1）由椭圆过两个点及e 与a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线PF 的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，可得点D 的坐标，同理可得E 的坐标，求出直线DE 的斜率可得为定值． 【解答】由题意可得{1a 2+e 2b 2=1e 2a 2+34b 2=1e 2=c 2a 2=a 2−b 2a 2 解得：a 2＝2，b 2＝1， 所以椭圆的方程为：x 22+y 2＝1；证明：由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：y ＝kx +1，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，联立直线l 与抛物线的方程{y =kx +1y 2=4x ，整理可得：k4y 2−y +1＝0，△＝1−k >0即k <1，且k ≠0，y 1+y 2=4k ，y 1y 2=4k ，由（1）可得左焦点F(−1, 0)，所以直线FP 的方程为：y =y 1x1+1(x +1)，联立直线PF 与抛物线的方程：{y 2=4x y =y 1x 1+1(x +1)整理可得：y 2−4(x 1+1)y 1y +4＝0，所以y 1y D ＝4，所以y D =4y 1，所以D 的坐标(4y 12, 4y 1)，同理可得：E 的坐标(4y 22, 4y 2)，所以k DE =4y 1−4y 24y 12−4y 22=y 1y2y 1+y2=1， 所以可证得直线DE 的斜率为定值1．【答案】由题意，g′(x)＝xe x +2ax ＝x(e x +2a)，①当a ＝0时，则函数g(x)＝(x −1)e x ，此时函数g(x)有唯一的零点x ＝1；②当a >0时，令g′(x)＝0，易知当x ∈(−∞, 0)时，g′(x)<0，g(x)递减，当x ∈(0, +∞)时，g′(x)>0，g(x)递增，∴ g(x)min ＝g(0)＝−1，故函数g(x)最多有两个零点，当x <0时，可得e x <e 0＝1且x −1<0，故(x −1)e x >x −1， ∴ g(x)>ax 2+x −1，故x →−∞时，g(x)>0， ∴ g(x)在(−∞, 0)有一个零点；当x >0时，g(1)＝a >0，故g(x)在(0, +∞)上有一个零点；综上可知，当a ＝0时，g(x)有唯一零点，当a >0时，g(x)有两个零点；证明：令H(x)＝g(x)−f(x)＝(x −1)e x −ln (x −1)−x −1，x >1，则H ′(x)=xe x −1x−1−1=xe x −xx−1=x(e x−1x−1)， 令t(x)=e x −1x−1，可得t(x)在(1, +∞)上是增函数，且t(1+e −2)=e 1+e−2−e 2<0,t(2)=e 2−1>0，∴ t(x)在(1, +∞)上有唯一零点x 0∈(1, 2)，当x ∈(1, x 0)时，H′(x)>0，H(x)递减，当x ∈(x 0, +∞)时，H′(x)<0，H(x)递增，故H(x)min =H(x 0)=(x 0−1)e x 0−ln (x 0−1)−x 0−1，且e x 0=1x 0−1，∴ H(x 0)＝1+x 0−x 0−1＝0， ∴ H(x)≥H(x 0)＝0，即得证．【考点】利用导数研究函数的最值 【解析】（1）求导可得g′(x)＝x(e x +2a)，然后分a ＝0及a >0讨论即可得出零点个数；（2）令H(x)＝g(x)−f(x)，连续求导后，可得H(x)min =H(x 0)=(x 0−1)e x 0−ln (x 0−1)−x 0−1，且e x 0=1x 0−1，结合H(x 0)＝1+x 0−x 0−1＝0，即可得证．【解答】由题意，g′(x)＝xe x +2ax ＝x(e x +2a)，①当a ＝0时，则函数g(x)＝(x −1)e x ，此时函数g(x)有唯一的零点x ＝1；②当a >0时，令g′(x)＝0，易知当x ∈(−∞, 0)时，g′(x)<0，g(x)递减，当x ∈(0, +∞)时，g′(x)>0，g(x)递增，∴ g(x)min ＝g(0)＝−1，故函数g(x)最多有两个零点，当x <0时，可得e x <e 0＝1且x −1<0，故(x −1)e x >x −1， ∴ g(x)>ax 2+x −1，故x →−∞时，g(x)>0， ∴ g(x)在(−∞, 0)有一个零点；当x >0时，g(1)＝a >0，故g(x)在(0, +∞)上有一个零点；综上可知，当a ＝0时，g(x)有唯一零点，当a >0时，g(x)有两个零点；证明：令H(x)＝g(x)−f(x)＝(x −1)e x−ln (x −1)−x −1，x >1，则H ′(x)=xe x−1x−1−1=xe x−xx−1=x(e x−1x−1)， 令t(x)=e x −1x−1，可得t(x)在(1, +∞)上是增函数，且t(1+e −2)=e 1+e−2−e 2<0,t(2)=e 2−1>0，∴ t(x)在(1, +∞)上有唯一零点x 0∈(1, 2)，当x ∈(1, x 0)时，H′(x)>0，H(x)递减，当x ∈(x 0, +∞)时，H′(x)<0，H(x)递增， 故H(x)min =H(x 0)=(x 0−1)e x 0−ln (x 0−1)−x 0−1，且e x 0=1x 0−1，∴ H(x 0)＝1+x 0−x 0−1＝0， ∴ H(x)≥H(x 0)＝0，即得证．选考题(共10分请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做，则被所做的第一题计分） 【答案】曲线C 2的参数方程为{x =−1+√3cos ϕy =1+√3sin ϕ（φ为参数），转换为直角坐标方程为(x +1)2+(y −1)2＝3．转换为极坐标方程为ρ2+2ρcos θ−2ρsin θ−1＝0．把直线C 1的参数方程为{x =−2+t cos αy =t sin α (t 为参数，0<α<π)，代入(x +1)2+(y −1)2＝3，得到(−2+t cos α+1)2+(t sin α−1)2＝3， 整理得t 2−2(sin α+cos α)t −1＝0，所以t 1+t 2＝2(cos α+sin α)，t 1⋅t 2＝−1，则：|MA|2+|MB|2=(t 1+t 2)2−2t 1t 2=4(1+2sin αcos α)+2＝4sin 2α+6，当α=π4时，|MA|2+|MB|2的最大值10．此时直线C 1的倾斜角为π4．【考点】圆的极坐标方程 【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换及余弦型函数性质的应用求出结果． 【解答】曲线C 2的参数方程为{x =−1+√3cos ϕy =1+√3sin ϕ（φ为参数），转换为直角坐标方程为(x +1)2+(y −1)2＝3．转换为极坐标方程为ρ2+2ρcos θ−2ρsin θ−1＝0．把直线C 1的参数方程为{x =−2+t cos αy =t sin α (t 为参数，0<α<π)，代入(x +1)2+(y −1)2＝3，得到(−2+t cos α+1)2+(t sin α−1)2＝3， 整理得t 2−2(sin α+cos α)t −1＝0，所以t 1+t 2＝2(cos α+sin α)，t 1⋅t 2＝−1，则：|MA|2+|MB|2=(t 1+t 2)2−2t 1t 2=4(1+2sin αcos α)+2＝4sin 2α+6，当α=π4时，|MA|2+|MB|2的最大值10．此时直线C 1的倾斜角为π4．（选修4-5） 【答案】解：(1)f(x)=|2x −1|+|x +1|={−3x,x <−1,−x +2,−1≤x ≤12,3x,x >12,作出函数f(x)的图象及函数y =x +2的图象如下，由图可知，不等式的解集为[0, 1]；(2)由图可知，函数y =f(x)的最小值为32，即m =32，∴ a +b =32，∴ (a +1)+(b +2)=92，∴ 1a+1+2b+2=29[(a +1)+(b +2)](1a+1+2b+2) =29[3+(b +2a +1+2(a +1)b +2)] ≥29(1+√2)2=6+4√29， 当且仅当b+2a+1=2(a+1)b+2，即a =9√2−112，b =14−9√22时取等号，∴ 1a+1+2b+2的最小值为6+4√29． 【考点】绝对值不等式的解法与证明 基本不等式在最值问题中的应用【解析】（1）将函数f(x)化为分段函数的形式，再作出函数f(x)的图象及函数y ＝x +2的图象，观察图象即可得解； （2）易知(a +1)+(b +2)=92，再利用柯西不等式即可求得最小值．【解答】解：(1)f(x)=|2x −1|+|x +1|={−3x,x <−1,−x +2,−1≤x ≤12,3x,x >12,作出函数f(x)的图象及函数y =x +2的图象如下，由图可知，不等式的解集为[0, 1]；(2)由图可知，函数y =f(x)的最小值为32，即m =32， ∴ a +b =32，∴ (a +1)+(b +2)=92，∴ 1a+1+2b+2=29[(a +1)+(b +2)](1a+1+2b+2) =2[3+(b +2+2(a +1))] ≥29(1+√2)2=6+4√29， 当且仅当b+2a+1=2(a+1)b+2，即a =9√2−112，b =14−9√22时取等号，∴1a+1+2b+2的最小值为6+4√29．。
